Управление оптическими импульсами и пучками в нелинейных связанных волноводах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

О'

На правах рукописи

Сухоруков Андрей Анатольевич

Управление оптическими импульсами и пучками в нелинейных связанных волноводах

01.04.05 - Оптика

ДИССЕРТАЦИЯ в виде научного доклада на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2013

005058805

Работа выполнена в Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики.

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук Кившаръ Юрий Семёнович Официальные оппоненты:

Манцызов Борис Иванович, доктор физико-математических наук, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, профессор физического факультета кафедры общей физики

Маймистов Андрей Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», профессор кафедры физики твердого тела и наносистем

Никоноров Николай Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, заведующий кафедрой оптоинформационных технологий и материалов

Ведущая организация:

ФГУП Научно-производственная корпорация «Государственный оптический институт им. С.И. Вавилова»

Защита состоится 4 июня 2013 г. в 15:50 в аудитории 285 на заседании диссертационного совета Д 212.227.02 при Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики, расположенном по адресу: 197101, г. Санкт-Петербург, пр. Кронверкский, д. 49.

С диссертацией в виде научного доклада можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики.

Диссертация в виде научного доклада разослана 29 апреля 2013 г.

Отзывы и замечания в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Бурункова Ю.Э.

Содержание

Введение........................................................................4

1. Локализация полихроматического света..............................11

1.1. Полихроматический свет в периодических структурах..........12

1.2. Нелинейная локализация полихроматического света............15

1.3. Экспериментальные исследования полихроматического самозахвата ................................................................17

1.4. Широкополосное управление дифракцией в массивах изогнутых волноводов .....................................................26

1.5. Заключение..........................................................33

2. Переключение медленного света......................................34

2.1. Дисперсия и скорость света в нелинейных структурах..........36

2.2. Переключение медленного света в связанных волноводах ... 38

2.3. Медленные оптические пули ......................................47

2.4. Определение дисперсии и профилей мод..........................49

2.5. Заключение..........................................................55

3. Переключение фазы пучка второй гармоники......................56

3.1. Теория распространения лазерного пучка в массиве волноводов 56

3.2. Нелинейная динамика амплитуды и фазы пучка..................58

3.3. Экспериментальное наблюдение переключения фазы............62

3.4. Заключение..........................................................64

4. Генерация перепутанных фотонов....................................65

4.1. Спонтанное параметрическое рассеяние и квантовые блуждания фотонов..........................................................65

4.2. Управление пространственными корреляциями фотонов .... 67

4.3. Заключение..........................................................70

Список публикации автора по теме работы..............................73

Главы в книгах..............................................................73

Статьи в реферируемых журналах........................................73

Цитированная литература..................................................85

Введение

В диссертационной работе представлены новые подходы к управлению световыми пучками и импульсами в одномерных и двумерных фотонных решетках, сформированных из связанных волноводов. Продемонстрированы возможности контроля над пучками в широком спектральном диапазоне и в режиме медленного света. Разработаны эффективные методы оптического переключения, преобразования длины волны света, и генерации перепутанных фотонов с оптически перестраиваемыми классическими и квантовыми характеристиками в нелинейных решетках. Теоретические результаты были подтверждены в экспериментальных исследованиях.

Актуальность работы

Оптические импульсы используются для передачи информации в глобальных и локальных коммуникационных системах. Пропускная способность сетей растет ускоренными темпами, при этом также значительно возрастают энергозатраты на электронно-оптические преобразования в узлах связи. Одно из перспективных направлений по увеличению производительности сетей с одновременной повышением энергоэффективности, является разработка методов полностью оптического управления оптическими импульсами в специальных интегральных оптических устройствах. Для реализации этого подхода необходимо использовать нелинейные оптические эффекты. Нелинейное самовоздействие и взаимодействие оптических пучков и импульсов может быть использовано для переключения, маршрутизации и преобразования сигналов. С другой стороны, нелинейные процессы позволяют генерировать отдельные фотоны, которые мо1уг использоваться для создания защищенных линий связи, использующих принципы квантовой оптики.

Принципиально новые возможности по эффективному применению нелинейных процессов открываются при использовании специально структурированных волноводных систем, в которых используются последние достижения техники по изготовлению элементов с микро- и нано- разрешением. Так, в последние десятилетия широко исследовались фотонные кристаллы, где оптический показатель преломления периодически модулирован. Важно, что в таких структурах оптическая нелинейность может быть значительно усилена по сравнению с объёмными оптическими кристаллами. Более того, в искусственных структурах нелинейные взаимодействия могут протекать совершенно иным образом и для их изучения и применения требуются фундаментальные научные исследования.

В рамках данной диссертационной работы выработаны оригинальные

подходы к решению ряда актуальных проблем эффективной реализации управления светом на основе систем связанных волноводов, которые можно рассматривать как один из типов фотонных кристаллов. Показано, что такие системы могут работать в широком спектральном диапазоне, характерном для источников света со спектром суперконтинуума и сверхкоротких импульсов. Эти системы могут обеспечивать контроль над скоростью света для динамического изменения задержки импульсов и могут генерировать отдельные оптические фотоны с перестраиваемой статистикой для устройств квантовой оптики, включая защищенные линии передач.

Цель диссертационной работы

Разработка новых фундаментальных подходов к управлению пучками и импульсами света в системах связанных нелинейных волноводов, позволяющих реализовать оптическое переключение света в широком спектральном диапазоне и управление скоростью и задержкой импульсов с одновременным подавлением их пространственного и временного дисперсионного расплыва-пия, а также преобразование длины волны света, включая режим генерации пар фотонов с перестраиваемой квантовой статистикой.

Научная новизна

Представленные результаты исследований по управлению импульсами и пучками в системах связанных волноводов являются принципиально новыми. В частности,

1. Разработаны оригинальные методы построения компактных интегрированных оптических волноводных систем для перестраиваемого управления пространственными профилями пучков от источников белого света со спектром суперконтинуума, позволяющие разделять и комбинировать различные спектральные компоненты. Важно отметить, что разработанные методы обладают большой общностью и они применимы к волноводам изготовленным из различных материалов.

2. Предложены новые подходы к одновременному замедлению импульсов света и их переключению между выходными каналами в волноводных системах. При этом возможно повышение энергоэффективности, т.к. в режиме медленного света усиливаются нелинейные эффекты и оптическое переключение может происходить при меньшей мощности.

3. Предсказан новый фундаментальный эффект резкого изменения фазового профиля пучка второй гармоники при нелинейной фокусировке пучка накачки. Это явление основано на одновременном действии нелинейной фо-

кусировки и линейной фазовой синхронизации; такие эффекты могут наблюдаться в различных физических системах.

4. Впервые поставлена и решена задача описания перепутанных фотонных состояний при спонтанном параметрическом рассеянии в нелинейных связанных волноводах и предложены методы по гибкому управлению квантовой статистикой. Ключевым преимуществом предложенной концепции является практическое отсутствие потерь внутри одного интегрального элемента, объединяющего в себе функции генерации и обработки квантовых состояний.

5. Разработан оригинальный метод спектрального анализа высокого разрешения, позволяющий определить с высокой точностью параметры мод в коротких отрезках периодических волноводов. При этом преодолевается фундаментальное ограничение метода Фурье, где разрешение обратно пропорционально длине волновода, в то время как для практических применений требуются максимально компактные устройства. Метод устойчив к шумам и применим для обработки данных численных расчётов, а также экспериментальных измерений, полученных с ближнепольных микроскопов.

Практическая значимость

Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы при создании систем оптической связи нового поколения, основанных на принципе оптического управления световыми импульсами и пучками, позволяющего увеличить скорость, производительность и энергоэффективность. Разработанные методы спектрального анализа могут использоваться для точного анализа распространения света в волноводах, что важно для контроля параметров изготовляемых устройств. Также предложенные подходы к генерации фотонов с перестраиваемой статистикой могут найти применение в реализации защи-щённых линий связи и квантовых вычислений.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Пространственно-спектральное переключение пучков со сверхшироким суперконтинуумным спектром реализовано в массивах нелинейных волноводов. Избирательное разделение и комбинирование различных спектральных компонент с помощью дифракции волн в периодической структуре и нелинейного взаимодействия компонент с различными длинами волн.

2. Управление дифракцией и рефракцией световых пучков в широком спектральном диапазоне, например, для всего видимого спектра, в системах продольно модулированных волноводов. Произвольно настраиваемая зависи-

мость силы дифракции от оптической длины волны за счёт специального выбора периодического продольного профиля изгиба волноводов в массиве. Реализация подавленной или частотно-независимой дифракции. Изменение эффективной геометрии двумерных решёток между гексагональной, квадратной и одномерной.

3. Одновременное замедление импульсов света и их пространственное переключение в системах волноводов с решётками Брэгга и фотонно-кристал-лических волноводах, которые сдвинуты относительно соседних волноводов в продольном направлении на пол-периода решётки. Сохранение эффекта эффективного переключения при небольшом отклонении в значении сдвига от оптимального.

4. Динамически перестраиваемое замедление и пространственное переключение оптических импульсов в связанных волноводах с решётками Брэгга. Режим полного переключения импульса между выходными волноводами при изменении мощности всего на 1%, что является преимуществом по сравнению с обычными волноводами. За счёт нелинейного самовоздействия происходит подавление дисперсионного расплывания медленных импульсов.

5. Метод спектрального анализа, позволяющий определять дисперсию распространяющихся и нсраспространяющихся (неоднородных) волн в периодических волноводах с высоким разрешением, превышающим точность анализа Фурье. Высокая эффективность метода в применении к численному моделированию и обработке экспериментальных измерений с ближнепольного микроскопа.

6. Резкое переключение фазового профиля пучка второй оптической гармоники при плавном изменении мощности накачки в системе волноводов с квадратичной нелинейностью. При малой мощности фазовый фронт плоский, а при превышении мощностью порогового значения фаза между соседними волноводами сдвигается на л. Фазовая трансформация связана с нелинейной самофокусировкой пучка и линейной синхронизацией фаз между волноводами.

7. Генерация пар перепутанных фотонов в процессе спонтанного параметрического рассеяния в системе нелинейных оптических волноводов, с квантовой статистикой, ключевым образом отличающейся от фотонов, сгенерированных в однородных кристаллах. Гибкое управление пространственными корреляциями фотонов за счёт изменения классического профиля пучка накачки.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на конференциях, включая следующие приглашенные доклады:

1. A. A. Sukhorukov, "Generation and shaping of photon pairs in nonlinear waveguide arrays," 15-th International Conference on Laser Optics, 25-29 June 2012, St. Petersburg, Russia.

2. A. A. Sukhorukov, Y. Sun, and T. P. White, "Slow-light enhanced optomechanical interactions,"Advances in Slow and Fast Light - SPIE Photonics West, 21-26 January 2012, San Francisco, USA.

3. A. A. Sukhorukov, "Optical Phase Transitions and Quantum Walks in Nonlinear Waveguide Arrays,"CLEO Pacific Rim, 28 August - 1 September 2011, Sydney, Australia.

4. A. A. Sukhorukov, "PT symmetric nonlinear photonic structures,"Active Photonic Materials IV - SPIE Optics and Photonics, San Diego 2011, 21-25 August 2011, San Diego, USA.

5. A. A. Sukhorukov, "Quantum Walks and Phase Transitions in Quadratic Nonlinear Waveguide Arrays,"WAVEPRO - Wave Propagation: From Electrons, to Photonic Crystals and Memamaterials, 8-11 June 2011, Crete, Greece.

6. T. White and A. A. Sukhorukov, "Effect of loss in dispersion-engineered slow light waveguides,"International meeting "Days on Diffraction,"30 May - 3 June 2011, St. Petersburg, Russia

7. A. A. Sukhorukov, "Slow and fast light in photonic crystals with gain and loss,"Advances in Slow and Fast Light - SPIE Photonics West, 22-27 January 2011, San Francisco, USA.

8. A. A. Sukhorukov, "Slow light in coupled periodic photonic structures,"International Workshop on Complexity in Periodically Structured Systems, 30 August - 3 September 2010, Dresden, Germany.

9. A. A. Sukhorukov, "Localization and switching of light in nonlinear photonic lattices,"International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO), 23-26 August 2010, Kazan, Russia.

10. A. A. Sukhorukov, "Nonlinear photonics in curved photonic lattices," 14-th International Conference on Laser Optics, 28 June - 2 July 2010, St. Petersburg, Russia.

11. A. A. Sukhorukov, "Coupled cavities and band-edge slow-light in periodic waveguides,"Advances in Slow and Fast Light - SPIE Photonics West, 22-28 January 2010, San Francisco, USA.

12. Yu. S. Kivshar and A. A. Sukhorukov, "Nonlinear physics in periodic photonic structures,"ETOPIM - The 8th International Conference on Electrical,Transport and Optical Properties of Inhomogeneous Media, 7-12 June, 2009, Crete, Greece.

13. A. A. Sukhorukov, "Polychromatic light control in nonlinear photonic lattices,"Workshop "Nonlinear Optics In Guided Geometries 18 - 20 May 2009, Berlin, Germany.

14. A. A. Sukhorukov, "Slow-light in nonlinear periodic waveguides,"PECS

VIII The 8th International Photonic & Electromagnetic Crystal Structures Meeting, 5-9 April 2009, Sydney, Australia.

15. A. A. Sukhorukov, "Slow Light Vortices and Resonances in Periodic Waveguides: Theory and Experiment,"Advances in Slow and Fast Light - SPIE Photonics West, 24-29 January 2009, San Jose, USA.

16. A. A. Sukhorukov, "Switching of slow-light pulses in coupled periodic waveguides,"International Conference "Laser Optics 2008 St.Petersburg, Russia, 23-28 June 2008.

17. A. A. Sukhorukov, "Switching of slow-light in photonic structures,"International meeting "Days on Diffraction,"St. Petersburg, Russia, 3-6 June 2008

18. A. A. Sukhorukov, "Slow-light switching in periodic photonic structures,"International Heraeus-Seminar on "Discrete Optics and Beyond Bad Honnef, Germany, 19-22 May 2008.

19. A. A. Sukhorukov, "Photonic crystal couplers for slow light,"Advances in Slow and Fast Light - SPIE Photonics West, 19-24 January 2008, San Jose, USA.

20. A. A. Sukhorukov, "Spatio-temporal localization and all-optical switching in nonlinear photonic structures,"International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO), May 28 - June 1, 2007, Minsk, Belrus.

21. A. A. Sukhorukov, "Supercontinuum discrete solitons,"IX International Workshop on Nonlinear Optics Applications, May 17-20 2007, Swinoujscie, Poland.

22. A. A. Sukhorukov, "Spatio-temporal localization and all-optical switching in nonlinear photonic lattices,"International seminar and workshop "Nonlinear Physics in Periodic Structures March 19-30, 2007, Dresden, Germany.

23. A. A. Sukhorukov, "Slow light in nonlinear Bragg grating structures,"International workshop "Nonlinear Effects in Photonic Materials March 12-14, 2007, Berlin, Germany.

24. A. A. Sukhorukov and Yu. S. Kivshar, "Slow-light diffraction management and optical bullets in nonlinear Bragg-grating waveguide arrays,"XII Conference on Laser Optics, June 26-30, 2006, St. Petersburg, Russia.

25. A. A. Sukhorukov and Yu. S. Kivshar, "Soliton mobility in nonlinear lattices,"SPIE International Congress on Optics and Optoelectronics, 28 August - 2 September 2005, Warsaw, Poland

26. A. A. Sukhorukov, "Spatial beam switching in low-index nonlinear photonic structures,"International workshop on "Photonic crystals: fundamentals to devices"(Australia, July 2005)

Основные публикации

По теме диссертации автором опубликовано 5 глав в книгах и 134 статьи в журналах, удовлетворякнцих требованию ВАК как включенные в систему цитирования (библиографическую базу) Web of Science.

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации теоретические результаты получены лично автором. Также приведены избранные экспериментальные результаты, полученные при непосредственном и определяющем вкладе автора в постановку задач, планирование экспериментов и анализ данных измерений.

Структура и объём диссертации

Диссертация в виде научного доклада состоит из введения, 4 глав, списков публикаций автора по теме работы и цитированной литературы из 301 наименования. Общий объём диссертации — 97 страниц, включая 32 рисунка.

1. Локализация полихроматического света в периодических структурах

Фотонные структуры с периодической модуляцией оптического показателя преломления открывают новые возможности для контроля фундаментальных аспектов динамики световых волн [140], включая эффекты преломления и дифракции, поэтому в них можно гибко управлять оптическими пучками. Физика распространения пучка в периодических фотонных структурах определяется рассеянием волн на областях с повышенным показателем преломления и последующей интерференцией рассеянных волн. Это резонансный процесс, чувствительный и к частоте, и к направлению расггространения. Например, в фотонных кристаллах возникают резкие спектральные зависимости, когда распространение оптических сигналов чрезвычайно чувствительно к длине волны. Поэтому большинство продемонстрированных подходов к управлению пространственными пучками в периодических структурах первоначально оптимизированы для узкого частотного интервала. Во многих практических случаях, включая сверхширокополосную оптическую связь и операции над сверхкороткими импульсами или суперконтинуумным излучением, спектр оптических сигналов может простираться на широкий диапазон частот. Все это оправдывает интерес к изучению распространения широкополосных оптических пучков в периодических фотонных структурах.

Сильная дисперсия волн в периодических структурах может приводить к усиленному пространственному разделению спектральных компонент падающего света — эффекту суперпризмы [141, 142]. Важно, что дисперсия и дифракция волн могут быть уравновешены или усилены в средах с нелинейным оптическим откликом, что открывает возможности чисто оптического спектрального управления [143]. Нелинейное спектральное управление полихроматическим светом представляет увлекательную физическую задачу. В этой главе мы представим оригинальные теоретические результаты по управлению широкополосным и суперконтинуумным светом в массивах связанных волноводов, а также опишем подтвеждающие их экспериментальные реализации.

Чтобы продемонстрировать основные идеи нелинейного управления полихроматическим светом, рассмотрим распространение широкополосного когерентного оптического излучения от генерации суперконтинуума в одномерной периодической структуре в виде набора волноводов [рис. 1.1 (а)]. Этот тип структур принадлежит к классу нелинейных фотонных решеток [144-152], [67, 94, 120] и характеризуется модуляцией показателя преломления в поперечном направлении с характерным периодом в несколько длин волн, что напоминает периодическую оболочку фотонно-кристаллических волноводов [153]. В таких структурах обратное рассеяние света отсутствует и коэф-

фициент пропускания может приближаться к единице одновременно для всех спектральных компонент, что делает эти структуры привлекательными для операций над полихроматическим или суперконтинуумным светом. С помощью этой системы мы изучаем новые возможности чисто оптического пространственного переключения, спектрального профилирования и локализации суперконтинуумных световых пучков. Мы демонстрируем, что сочетание рассеяния волн на периодической структуре и нелинейного взаимодействия многочисленных компонент с различными длинами волн позволяет избирательно разделять или комбинировать различные спектральные компоненты. Дополнительная гибкость достигается при взаимодействии с наведёнными дефектами и границами структуры, где малые изменения показателя преломления могут обеспечить перестраиваемую спектральную фильтрацию.

В этой главе в разделе 1.1 мы обсуждаем основные эффекты при линейном распространении полихроматического света в фотонных решетках. В разделе 1.2 мы описываем влияние нелинейного отклика среды на спектральный и пространственный профиль пучка. Мы покажем, как коллективное нелинейное взаимодействие спектральных компонент в среде с медленной нелинейностью приводит к формированию полихроматических щелевых солитонов. В разделе 1.3 мы представляем экспериментальные результаты, подтверждающие теоретические предсказания, и демонстрируем, как медленная само-дефокусировочная фоторефрактивная нелинейность в наборе волноводов из ниобата лития может быть использована для управления чисто оптическим перепрофилированием суперконтинуумного света. Мы также описываем возможности использования поверхностных эффектов для изменения нелинейного распространения полихроматического света, включая формирование полихроматических нелинейных поверхностных состояний. Далее в разделе 1.4 обсуждается широкополосное управление дифракцией в массивах изогнутых волноводов. Заключение сформулировано в разделе 1.5.

1.1. Полихроматический свет в периодических структурах

В этом разделе мы обсудим общие свойства дифракции полихроматических пучков в планарных периодических фотонных структурах [рис. 1.1 (а)], таких как оптически наведённые решетки или наборы волноводов [144-152], [67, 94, 120]. Физический механизм дифракции пучка в таких структурах основан на связи между модами соседних волноводов [148, 154, 155]. Когда пучок вводится в один волновод на входе, он испытывает "дискретную дифракцию", при которой большая часть света уходит в крылья пучка. Это кардинально отличается от дифракции гауссова пучка в объёмных средах, где при любых длинах распространения интенсивность максимальна в центре пучка. Свет перетекает из одного волновода в другой вследствие пространственного

перекрытия мод этих волноводов. Так как профиль моды и ее локализация зависят от длины волны, дискретная дифракция характеризуется сильной частотной дисперсией. Перекрытие мод соседних волноводов обычно значительно сильнее для длинноволновых компонент [156], которые поэтому дифрагируют быстрее, чем коротковолновые. Это приводит к пространственному перераспределению цветов в полихроматическом пучке, которое усиливается с длиной распространения, см. рис. 1.1(6). В результате на выходе длинноволновые компоненты доминируют на крыльях пучка, тогда как коротковолновые — в его центральной области, см. рис. 1.1 (в).

Рис. 1.1. (а) Схема набора волноводов (сверху) и характерный поперечный профиль показателя преломления (внизу), (б), (в) численное моделирование дифракции полихроматического пучка, (б) изображение эволюции пучка внутри структуры и (в) спектрально разрешённый выходной пучок, (г) дисперсия блоховских волн при длине волны 530 нм, (д) зависимость фотонных зон от длины волны. Численное моделирование выполнено для характерных параметров набора волноводов в ЫМЬОз [62].

Математическое моделирование процесса дифракции для оптического излучения с высокой степенью пространственной когерентности (как у супер-континуумного света, генерируемого в фотонно-кристаллических волноводах) основано на системе уравнений для огибающих пространственных пучков Ат(х, г) различных частотных компонент с длиной волны в вакууме Лт. Так как мы рассматриваем распространение пучка с малой угловой расходимостью в решётке с малым контрастом показателя преломления порядка от 10"4 до 10"-, волновое уравнение может быть сведено к параболическим уравне-

ниям в обычном параксиальном приближении [62, 69, 81]:

,дАт Лт д2Лт 2 я ,

+ ~А—7ТПГТ + Т^х, Am)Am = 0 , (1.1)

dz 4япп(Ат) дх2 Ат

где х и z — поперечная и продольная координаты, соответственно, и «о(Лт) — фоновое значение показателя преломления. Функция Ап(х,Ат) описывает модуляцию эффективного показателя преломления, которая зависит от локализации моды в вертикальном направлении (вдоль у) в планарной волноведу-щей структуре. Так как профиль вертикальной моды зависит от длины волны, дисперсия эффективного показателя преломления определяется геометрией фотонной структуры. Для набора волноводов на основе LiNbOt модуляцию показателя преломления приближённо можно описать как Ап(х,Л) = Л'гтах№ соч2(лх/с1), где зависимость эффективной глубины модуляции от длины волны Аптах(А) может быть найдена численно или определена экспериментально по измерениям связи волноводов [62, 69]. Даже если дисперсия среды и геометрическая дисперсия слабые, распространение пучка все ещё будет сильно зависеть от его частотного спектра [81], так как значения А,„ явно входят в уравнения (1.1).

Линейное распространение пучков света в периодической решётке можно полностью описать разложением входного профиля по набору пространственно распределённых собственных мод, называемых блоховскими волнами [157, 158]. Профили блоховских волн можно найти решением (1.1) в форме A„(x,z) - i/rj(x,Am)exp[i/3j(Kb,A,„)z + iKbx/d], где ф/х, Лт) обладает периодичностью решётки, Л,„) — постоянные распространения, Л'ь — нормированные блоховские волновые числа,./' — номер зоны и d — период решётки. Для каждой длины волны зависимость постоянной продольного распространения (вдоль z) от поперечного блоховского волнового числа (вдоль х) периодическая, fij(Kb, Ат) = Pj{K\, ± 2л, Ат), и она полностью определяется её видом в первой зоне Бриллюэна, —тт<Кь< л. Эта зависимость имеет универсальный характер [140, 157, 158], причём спектр состоит из неперекрывающихся разрешённых зон, разделённых фотонными запрещёнными зонами, как это показано на рис. 1.1 (д). Положение и ширина этих зон, однако, сильно зависят от длины волны света [рис. 1.1(д)]. В результате динамика пространственного пучка подвержена частотной дисперсии. В частности, скорость дифракции пучка определяется кривизной зависимости f}j{Kb,Am). Для входного пучка, введённого в один волновод, в основном, возбуждается первая зона, и скорость дифракции пучка определяется выражением тах^ \д2Р\/дК*\, которое увеличивается для больших длин волн, при которых зона становится шире. Этот вывод полностью согласуется с приведённой выше физической интерпретацией на основе представлений о связи волноводных мод.

1.2. Нелинейная локализация полихроматического света

Для построения нелинейного фотонного устройства, выполняющего операции над широкополосными сигналами, требуется возможность настройки спектрального пропускания в пространстве. В этом разделе мы опишем подход к гибкому пространственно-спектральному управлению полихроматическим светом с помощью нелинейного взаимодействия и самозахвата спектральных компонент в отдельных каналах из набора волноводов.

1.2.1. Нелинейные взаимодействия в средах с медленной нелинейностью

Чтобы выполнить пространственное переключение и перепрофилирование полихроматических сигналов без генерации или ослабления различных спектральных компонент, необходимо подавить процессы когерентного четы-рехволнового смешения. Этого можно достичь в средах с нелинейным откликом, медленным но сравнению с масштабом временной когерентности [159]. Такое условие обычно удовлетворяется для фоторефрактивных сред [160, 161] или жидких кристаллов [162], в которых оптически наведённые сдвиги показателя преломления определяются средним по времени значением интенсивности различных спектральных компонент. Поэтому распространение пучков в средах с медленной нелинейностью принципиально отличается от динамики света с суперконтинуумным спектром в многоканальных фотонно-кристалли-ческих волноводах с быстрым нелинейным откликом [163-166], где вызванные нелинейностью изменения формы пространственных мод неизбежно сопровождаются спектральным преобразованием.

Мы моделируем нелинейное распространение и взаимодействие спектральных компонент включением в уравнение (1.1) члена, описывающего вызванный нелинейностью сдвиг показателя преломления:

,дАт Лт <Э2А,„ 27г

+ 1-,, ^ Я 2 + Т" Ш{х,Лт) + Апгй(х,1)]Ат = 0 . (1.2)

дг 4пп0(Лт) дх2 Лт

Нелинейный член в (1.2) записан в керровской форме: АпП]{х,г) = уМ~у о"(/17)|/1;|2, что приближённо описывает фотовольтаический эффект в 1лМЬ03 [161, 167] в режиме слабого насыщения. Здесь у — коэффициент нелинейности и М — число спектральных компонент, включенных в численное моделирование. Тогда как нелокалыюсть и насыщение могут исказить свойства солитонов [168], в экспериментальных условиях эти эффекты могут быть слабы [62, 69, 80]. Важной характеристикой этой модели служит спектральный нелинейный отклик о~(Л¡).

Физический механизм фотовольтаической нелинейности в ниобате лития возникает вследствие возбуждения зарядов при поглощении света и последующем разделении этих зарядов из-за диффузии. Спектральный отклик этого

типа нелинейности зависит от допирования кристалла и стехиометрии, и он может варьироваться от образца к образцу. В общем случае, чувствительность к свету имеется в широком спектральном диапазоне с максимумом в синей области [169]. Спектральный диапазон чувствительности может достигать и инфракрасного диапазона [170], что приводит к широкополосному нелинейному отклику. В нашем анализе мы аппроксимируем зависимость фоточувствительности гауссовой функцией <т(Л) = ехр[- 1о§(2)(Л-Ль)2М„], гДе Л > Ль = 400пш и Л№ - 150пш.

1.2.2. Полихроматические щелевые солитоны

Многочисленные спектральные компоненты оптического пучка могут подвергаться самозахвату и распространяться в общем направлении, когда они нелинейно связаны друг с другом и формируют полихроматический пространственный солитон. Такие солитоны являются самозахваченными полихроматическими пучками, которые не дифрагируют. В объёмных средах белые солитоны могут существовать только в средах с самофокусировочной нелинейностью [160, 161]. Однако, в наших исследованиях показано, что полихроматические солитоны возникают также в средах с самодефокусировочной нелинейностью [81]. Ниже мы рассмотрим этот интересный случай формирования полихроматического солитона в решетках с самодефокусировочной нелинейностью, когда в объёмной среде локализация невозможна, но может возникать только вследствие резонансной брэгговской локализации в периодической структуре.

Численное моделирование, основанное на системе уравнений (1.2) (с у = -1 для самодефокусировочного нелинейного отклика), показывает, что самозахват входного пучка происходит при превышении критического уровня мощности [62, 81]. В этом режиме спектральные компоненты становятся пространственно локализованными и формируют полихроматический солитон, который распространяется без расширения в фотонной структуре, см. рис. 1.2(а). Чтобы определить физический механизм локализации пучка и формирования солитона, мы рассчитали частотную зависимость постоянных распространения, которая представлена как график функции распределения (белый цвет отвечает большим амплитудам) на рис. 1.2(6). Этот рисунок показывает, что постоянные распространения полностью сосредоточены внутри запрещённой зоны брэгговского отражения вследствие нелинейного убывания показателя преломления в области солитона. Этот эффект, аналогичный волноводному распространению в полых фотонно-кристаллических волноводах [153], отвечает пространственному самозахвату всех спектральных компонент в ультрашироком спектральном диапазоне. Поэтому такие самозахваченные структуры можно называть полихроматическими щелевыми солитона-

Рис. 1.2. Численное моделирование нелинейного самозахлата пучка и формирования полихроматического щелевого солитона [62]. (а) Возбуждение солитоиа внутри набора волноводов; (б) постоянные распространения солитонного пучка в зависимости от длины волны, штриховые и тптрих-пунктирные линии указывают края зон, как на рис. 1.1(д); (в) спектрально разрешённый профиль интенсивности на выходе; (г) доля выходной мощности, сохраняющаяся в центральном волноводе, для различных спектральных компонент.

-10 0 10 Номер волновода

й 0

500 600 700 800

Длина волны, нм

Номер волновода

Длина волны, нм

ми. Отметим, что для синих компонент спектр постоянных распространения сдвинут глубже внутрь запрещённой зоны, тогда как спектр красных компонент весьма близок к краю запрещённой зоны, что объясняет более слабую локализацию красных компонент, как это показано на рис. 1.2(в) и 1.2(г). Это приводит к окрашиванию солитонного профиля [рис. 1.2(в)]: солитон обладает синим центром и красными крыльями.

1.3. Экспериментальные исследования полихроматического самозахвата

1.3.1. Экспериментальная установка

В этом разделе мы опишем, как экспериментально исследовались нелинейные эффекты изменения профиля пучка полихроматического света и его

Рис. 1.3. (а) Схема экспериментальной установки. Суперкоитинуумное излучение генерируется в фотонно-кристаллическом волноводе (ФКС) и затем вводится в один канал из набора ЫЛ'ЬОз-волноводов. Выход из структуры отображается на цветную ПЗС-камеру. Для спектрального разрешения выходного пучка между образцом и камерой может вводиться призма. Для анализа суперконтинуума используется волноводный анализатор спектра, а для интерфе-рометрического анализа применяется референтный пучок из дисперсионно скомпенсированного интерферометра. 3 — зеркала, Л — линзы, П — призмы и СП — стеклянная пластинка, (б) Спектр генерируемого суперконтинуумного излучения, (в) Иллюстрация схемы возбуждения. показывающая разделение цветов внутри набора волноводов [69]

самозахват. Ключевой для экспериментальной реализации является комбинация периодической структуры, обладающей широкополосным нелинейным откликом, и источника полихроматического света с широким частотным спектром, высокой пространственной когерентностью и высокой интенсивностью. Естественный выбор такого источника света предоставляет эффект генерации суперконтинуума. В этом процессе спектрально узкие лазерные импульсы преобразуются в широкополосный суперконтинуумный свет вследствие нескольких процессов [153, 166, 171, 172], включая самомодуляцию фазы, формирование солитонов при наличии аномальной дисперсии и керровской нелинейности, распад солитонов из-за дисперсии высших порядков и рама-новский сдвиг частоты солитонов, что приводит к несолитонному излучению в диапазоне коротких длин волн. Такое суперкоитинуумное излучение зарекомендовало себя как отличное средство для определения характеристик материалов с запрещёнными зонами [173]; оно обладает высокой пространственной когерентностью [172], а также высокой яркостью и интенсивностью, необходимой для наблюдения нелинейных эффектов [174]. В экспериментах [рис. 1.3(а)] мы используем пучок суперконтинуумного света, генерируемый

фемтосекундными лазерными импульсами (140 фс на длине волны 800 нм от титан-сапфирового лазера) при их распространении через сильно нелинейный фотонно-кристаллический волновод длиной 1.5 м (Crystal Fiber NL-2.0-740 с нулевой дисперсией на длине волны 740 нм) [69]. Спектр генерируемого суперконтинуума показан на рис. 1.3(6), и оп простирается па широкий диапазон частот (обычно более чем на одну оптическую октаву). После повторной коллимации и ослабления суперконтинуумное излучение анализируется волно-водным спектрометром и фокусируется микрообъективом (х20) в один канал из набора волноводов [см. рис. 1.3(b)],

Массивы волноводов были изготовлены прямой диффузией тонкого (100 А) слоя титана в монокристалл ниобата лития с Х-ориентацией разреза и длиной 50 мм [94] с различной периодичностью и контрастом показателя преломления. Волноводы являются одномодовыми для всех спектральных компонент суперконтинуума. Выбор кристалла LiNbCb для экспериментов диктовался его сильным нелинейно-оптическим откликом при микроваттных лазерных мощностях вследствие фоторефракции [175, 176]. Фотовольтаическая фоторефракционная нелинейность [167] в LiNbCb самодефокусировочного типа и возрастание интенсивности излучения приводит к локальному уменьшению показателя преломления среды.

После введения пучка в набор волноводов выходной сигнал отображается микрообъективом (х5) на цветную ПЗС-камеру, причём между изображаемым объектом и камерой может быть помещена дисперсионная 60°-ная (стекло SF-11) призма, чтобы спектрально разрешить все компоненты суперконтинуума. Спектральное распределение на выходе также может быть получено с высокой точностью (разрешение 0.3 нм) волноводным спектрометром, который интегрирует сигнал по всей поперечной моде каждого волновода и предоставляет индивидуальные спектры к каждом волноводе. Кроме того, для интерферометрических измерений фазовой структуры выходного пучка используется референтный суперконтинуумный пучок [62]. Для компенсации задержки импульса и его расширения внутри волноводов из LiNbC>3, референтный пучок посылается через линию с варьируемой задержкой, реализованную как интерферометр с компенсированной дисперсией, включающий объёмный кристалл LiNbC>3 длиной 5 см (чтобы уравнять дисперсию среды). Таким образом, появляется возможность проводить интерферометрические измерения в ультрашироком спектральном диапазоне. Эксперименты были выполнены с двумя образцами со слабой и сильной связью волноводов, что позволяло выделить различные сценарии нелинейной локализации.

Номер аопноводз

Рис. 1.4. (а) Спектр, измеренный спектрометром при низкой входной мощности (17 мкВт) на выходе набора волноводов с периодом 19 мкм; (б) нормированное спектральное пропускание для центрального, 2-го, 4-го, 6-го, 8-го и 10-го волноводов: (в), (г) спектр па выходе при нелинейной локализации с мощностью 7.5 мВт и нормированное пропускание (центральный, 1-ый, 2-ой и 3-ий волноводы); (д) измеренная (точки) и численно смоделированная (линии) относительная спектральная мощность в центральном волноводе в зависимости от входной мощности для пяти спектральных компонент.

1.3.2. Нелинейное спектрально-пространственное преобразование пучков

Сначала мы рассмотрим эффект нелинейности при распространении су-перконтинуумного пучка в наборе слабо связанных волноводов (период 19 мкм). Связь волноводов в этом образце была рассчитана так, чтобы синие спектральные компоненты оставались полностью в центральном волноводе, тогда как другие компоненты были связаны с соседними волноводами. Спектральное распределение на выходе при низкой мощности пучка (17 мкВт), измеренное спектрометром, показано на рис. 1.4(а). Этот рисунок представляет линейное распределение цветов в зависимости от номера волновода. Это можно рассматривать как простую схему для сортировки или разделения цветов исходного широкополосного излучения в различные волноводные каналы — эффект, аналогичный демультиплексорам для разделения длин волн. Такое естественное разделение цветов ясно видно на рис. 1.4(6), где мы изобразили спектр на выходе различных волноводов, нормированный на входной суперконтинуумный спектр. Эти спектры показывают главный максимум, за которым следуют затухающие осцилляции. Видно, что из всего суперконтину-умного спектра в каждом волноводе мы выделяем узкую спектральную полосу. Максимум этого пропускания, однако, быстро уменьшается при больших длинах волн вследствие возрастания связи волноводов и соответствующего

расширения пучка.

Эффект нелинейного самовоздействия пучка может кардинально изменить спектр пропускания каждого волновода. На рис. 1.4(в) мы показываем комбинированные рисунки для всего набора в нелинейном режиме (мощность 7.5 мВт). Видно, что при такой мощности спектральное расширение в длинноволновую область компенсируется нелинейным самозахватом даже в случае самодефокусировочной нелинейности. Нормированные спектры для трёх первых волноводов показаны на рис. 1.4(г). Нормированный спектр пропускания центрального волновода имеет чёткую колоколообразную форму с крутым краем для коротких длин воли и плавно уменьшающимся наклоном при больших длинах волн, что выявляет более слабый самозахват в последнем случае. При этом только малая доля излучения перетекает в соседние волноводы.

Для количественного описания нелинейного спектрального преобразования мы приводим на рис. 1.4(д) долю спектральной мощности, удерживаемую центральным волноводом, для пяти различных длин волн; экспериментальные измерения изображены точками, а результаты численного моделирования — линиями. Наши результаты показывают, что для синих спектральных компонент (470 нм), которые дифрагируют слабее, локализация происходит при меньших мощностях. Порог мощности локализации выше для больших длин волн (500, 580, 645 и 780 нм), так как для них необходима большая мощность для компенсации более сильной дифракции. Наблюдаемая постепенная локализация спектральных компонент при возрастании мощности вместе с сильной нелинейной локализацией в пространственной области указывают па возможность активного управления пропускаемого суперконтину-умного излучения. Такой активный контроль реализуется вследствие баланса дифракции волн и нелинейной пространственной локализации в наборе ЫМЬОз-волноводов.

1.3.3. Генерация полихроматических щелевых солитонов

Во второй серии экспериментов мы исследовали нелинейный процесс локализации полихроматического пучка в структуре с периодом 10 мкм. В этом образце связь волноводов сильнее, чем в образце с большим расстоянием между волноводами, рассмотренном в разделе 1.3.2. Изображение на рис. 1.5(а) представляет спектрально разрешённую дискретную дифракцию суперконти-нуумтюго пучка (измерено спектрометром) в случае, когда входной пучок фокусируется в один волновод. Вновь дифракция наиболее слабая для синих спектральных компонент, для которых связь волноводов слабее. Однако, для компонент с наиболее короткими длинами волны (460 нм) теперь связаны более чем восемь соседних волноводов. Спектрально разрешённая дискретная

дифракция не только предоставляет наглядную иллюстрацию распределения спектра на выходе, но и позволяет точно определить связь волноводов. Мы установили, что длина дискретной дифракции, определяемая как длина, на которой пучок расширяется на два дополнительных волновода, изменяется с 1 см для синей области спектра (480 нм) до менее 0.2 см для красной области (800 нм). Эти значения отвечают общей длине распространения в 5.5 и 27.5 длин дискретной дифракции для синей и красной областей соответственно. Распространение на несколько дифракционных длин для всех спектральных компонент создаёт благоприятные условия для нелинейных экспериментов, включая изучение формирования солитонов [177, 178]. Такое эффективно длительно распространение также способствует сильному спектральному преобразованию в нелинейном режиме.

Рис. 1.5. Распространение полихроматического света в наборе волноводов с периодом Юмкм [62]. (а) Выходной профиль при полихроматической дискретной дифракции при низкой мощности лазера (0.01 мВт); (б) нелинейная локализация и формирование полихроматического щелевого еолитона при большей мощности (6 мВт); (в) численный расчёт профиля выходного пучка при возрас тании входной мощности.

Чтобы изучить нелинейное самовоздействие пучка, мы наблюдали профиль выходного пучка при увеличении мощности входного пучка. До уровня мощности 150мкВт широкий выходной профиль менялся слабо, но затем быстро преобразовывался в локализованное состояние в узком диапазоне мощностей входного пучка. Дальнейшее возрастание мощности пучка приводило к постепенному захвату его длинноволновых спектральных компонент. Типичный спектрально разрешённый выходной профиль показан на рис. 1.5(6) для суперконтинуума со средней мощностью 6 мВт. Отличительной особенностью наблюдаемого процесса локализации служит то, что одновременно захватываются все компоненты суперконтинуумного спектра — от синих компонент до красных. Численное моделирование зависимости профиля выходного пучка от мощности [рис. 1.5(в)] действительно выявило, что локализация полихроматического света обладает резким порогом по мощности. По

существу этот процесс локализации приводит к подавлению пространственного расплывания в нелинейном режиме посредством формирования полихроматического щелевого солитона.

Мы также произвели интерферометрическое измерение фазовой структуры локализованного выходного пучка, пользуясь высокой пространственной когерентностью суперконтинуумного излучения. Такие измерения важны для проверки того, что локализация связана с брэгговским ограничением внутри запрещённой зоны. Наблюдавшаяся интерференционная структура выявила, что все спектральные компоненты в соседних волноводах находятся в про-тивофазе. Это служит доказательством того, что локализованный пучок действительно является полихроматическим щелевым солитоном, характерной особенностью которого является противофазная структура [62]. Отметим, что этот тип локализации отличается по физике от щелевых солитонов, формируемых в наборах волноводов с квадратичной нелинейностью [150], в которых излучение на второй гармонике характеризуется плоским фазовым фронтом, в отличие от противофазной структуры па компоненте с основной частотой.

1.3.4. Взаимодействие с наведённым дефектом

поперечная координата поперечная координата поперечпая координата

950 800

s

И 650

3

1 560

ей сз

500

п

470

Рис. 1.6. Спектрально разрешённое отражение и пропускание слабого пробного пучка (0.01 мВт) на оптически наведённом дефекте при зондировании набора (г/ = 19мкм) (а) в волноводе, соседнем с дефектом, (б) на один волновод дальше, (в) па два волновода дальше [69].

Особенностью процесса локализации в [д1ч1Ь0з является медленность нелинейного отклика. Время отклика обратно пропорционально входной лазерной мощности, и его можно менять от нескольких секунд до минут при низкой интенсивности излучения. Преимуществом такого медленного отклика служит то, что если решётка показателя преломления записана, то она сохраняется в структуре длительное время, если только образец не был подвержен

интенсивному облучению [175]. Это открывает новые возможности для динамической записи дефектов с произвольной геометрией [176, 179, 180]. Мы продемонстрируем, что такие дефекты могут играть роль спектральных фильтров для суперконтинуумного излучения. Мы генерируем локализованное су-перконтинуумное состояние в структуре с периодом 19мкм при мощности 12 мВт и через несколько часов зондируем этот наведённый дефект супер-континуумным пучком низкой мощности. Чтобы детальнее исследовать спектральное распределение на выходе из образца, мы используем призму [112 на рис. 1.3(a)] и получаем двумерное изображение, обеспечивающее пространственное разрешение в горизонтальном направлении и спектральное разрешение в вертикальном направлении. Такой метод позволяет точно определить спектральное распределение на выходе из структуры. Отметим, что спектральная шкала в этих измерениях нелинейна (рис. 1.6) из-за дисперсии призмы.

Когда излучение вводится в волновод, соседний с дефектом [рис. 1.6(a)], мы наблюдаем отражение всех спектральных компонент с длиной волны, меньшей пороговой (в нашем случае приблизительно 800 нм). С другой стороны, спектральные компоненты с большими длинами волн могут туннели-ровать в область слева от дефекта. Если входной пучок вводится во второй или третий волновод в сторону от наведенного дефекта, наблюдается сложное спектральное преобразование формы пучка из-за отражения от дефекта. Отметим, что нелинейное изменение показателя преломления в отстроенном волноводе всего лишь порядка Ю-4, но его достаточно для значительной модификации спектра суперконтинуумного излучения. Этот эффект отчасти аналогичен поверхностному управлению суперконтинуумным светом, обсуждаемым ниже в разделе 1.3.5, но с возможностью динамической перестройки и чисто оптической настройки свойств дефекта.

1.3.5. Пространственно-спектральное преобразование при взаимодействии с поверхностью

Большая гибкость в формировании профиля пучка может быть достигнута, если оптический пучок взаимодействует с поверхностью периодической структуры [181-183], [81, 82]. У таких границ или поверхностей могут существовать линейные локализованные моды, служащие обобщением так называемых таммовских поверхностных состояний, известных в физике твёрдого тела и в периодических фотонных структурах. Нелинейность среды делает возможной локализацию света даже в тех случаях, когда линейные поверхностные состояния отсутствуют [184-190], [86]. Слегка изменяя поверхностный волновод [см. пример на рис. 1.7(a)], можно выполнить спектрально селективное управление линейными волнами. Поверхностный дефект шрает роль оптического волновода, когда изменение показателя преломления превыша-

Рис. 1.7. (а) Характерный профиль показателя преломления в наборе волноводов с поверхностным дефектом, для сравнения штриховая линия показывает показатель преломления в бесконечной периодической структуре: (б) численный расчёт линейной и (в), (г) нелинейной динамики внутри образна (снизу) и спектра па выходе (сверху) при возрастании мощности входного пучка, фокусируемого во второй волновод от дефекта [80].

ет определённый порог, такой, что собственное значение моды выходит из фотонной разрешённой зоны [191, 192]. Так как зонная структура фотонной решетки сильно зависит от частоты, как это обсуждалось в разделе 1.1, критический сдвиг показателя преломления также становится зависимым от длины волны. Оптическое излучение может быть локализовано на поверхности, только если длина волны излучения меньше определённой пороговой величины: Л < ЛЛ], где Лй) зависит от сдвига показателя преломления в поверхностном дефекте [191, 192]. Для больших длин волн свет отражается от поверхности, и эти спектральные компоненты подвергаются модифицированной дискретной дифракции [184]. Для профиля показателя преломления, показанного на рис. 1.7(а), дефект может захватить синие спектральные компоненты, тогда как компоненты с большими длинами волн отражаются.

В нашем исследовании [80] продемонстрировано, что вводя свет во второй волновод от поверхностного дефекта, можно выполнить зависящее от мощности пространственно-спектральное преобразование. В линейном режиме туннелирование коротковолновых компонент с Л < Л^ в первый волновод почти полностью подавлено. С другой стороны, свет с большими длинами воли может проникнуть в первый волновод, см. рис. 1.7(6). При возрастании интенсивности света показатель преломления в области входного пучка продолжает убывать, постепенно приближаясь к эффективному показателю преломления поверхностного волновода. Когда рассогласование между двумя волноводами уменьшается, компоненты с более короткой длиной волны начинают туннелировать в первый волновод. Как только это происходит, нелинейность начинает увеличивать рассогласование и свет переключается окон-

поперечная координата поперечная координата поперечная координата поперечная координата

Рис. 1.8. Экспериментальная демонстрация взаимодействия с поверхностным дефектом су-перконтинуумного светового пучка, вводимого во второй волновод, (а), (б), (г), (д) спектрально разрешённые пространственные распределения на выходе при возрастании входной лазерной мощности, стрелки показывают положение поверхностного волновода; (в) распределение выходной интенсивности и схематическое изображение профиля показателя преломления в наборе волноводов [80]

чательно в первый волновод, как это показано на рис. 1.7(в). Однако при ещё больших мощностях на входе, показатель преломления второго волновода убывает до величин, меньших показателя преломления соседних волноводов, так что свет остается захваченным во входном волноводе, см. рис. 1.7(г).

Предложенный метод управления пучками также был реализован экспериментально [80]. При возрастании входной мощности во втором волноводе мы наблюдали увеличение связи с поверхностным волноводом для красных, зелёных и синих компонент [рис. 1.8(а-г)] и формирование полихроматических нелинейных мод. При ещё больших мощностях второй волновод полностью отстраивается от соседних, и мы налюдаем свет, захваченный целиком во второй волновод [рис. 1.8(д)]. В последнем случае нелинейность сильно подавляет влияние поверхности на распространение пучка. Эти результаты показывают, что коллективное пространственное переключение множественных спектральных компонент может быть реализовано посредством нетривиального взаимодействия пучков со стационарными (внедренными в процессе изготовления образца) и самонаведёнными нелинейными дефектами в фотонных решетках.

1.4. Широкополосное управление дифракцией в массивах изогнутых волноводов

Как показано в наших исследованиях [7, 44, 52, 60, 70, 72, 78], новые возможности по управлению полихроматическими пучками света можно реализовать в массивах связанных оптических волноводов, оси которых перио-

дически изогнуты вдоль направления распространения. В частности, зависимость силы дифракции от длины волны может быть компенсирована за счёт дисперсии, определяемой геометрией структуры. Это открывает новые возможности для коллимации, фокусировки и произвольного изменения профиля пучков белого света.

Периодические фотонные структуры позволяют управлять фундаментальными аспектами распространения света [140, 158]. В частности, можно управлять силой дифракции, которая обуславливает фокусировку и расплыва-ние пространственных пучков [193, 194]. Дифракция может быть подавлена в периодических структурах, при этом реализуется режим динамической локализации, когда средняя ширина пучка остаётся неизменной на протяжении сотен дифракционных длин в вакууме [195]. С другой стороны, дифракция может быть сделана отрицательной, что позволяет фокусировать расходящиеся пучки [196].

Пространственная дифракция пучков обычно зависит от длины волны. В ряде экспериментов [195, 197] было показано, что эффект динамической локализации пучков ограничивается спектральным диапазоном не более 10% от центральной частоты. Сильная зависимость пространственной динамики пучка от длины волны может быть использована для мультиплексирования и демультиплексирования сигналов в оптических сетях связи [198, 199]. Однако оставался открытым вопрос о возможности использования периодических фотонных структур для совместного управления распространением всех спектральных компонент полихроматических пучков, включая случай супер-континуумного спектра генерируемого в микро-структурированных волокнах [171, 200].

Мы показали [44, 52, 60, 70, 72, 78], что зависимость силы дифракции от длины волны может быть скомпенсирована в периодических системах за счёт геометрически-индуцированной дисперсии. Мы предложили конфигурацию периодических фотонных структур, в которых можно реализовать управление дифракцией в очень широком частотном диапазоне, охватывающем до 50% от центральной частоты. Возможно создание структур, где полихроматические пучки испытывают фиксированную нормальную, аномальную или пулевую дифракцию.

Рассмотрим распространение полихроматических пучков в периодическом массиве связанных оптических волноводов [см. рис. 1.9(а)], где оси волноводов периодически изогнуты вдоль направления распространения [см. примеры на рис. 1.10(а) и 1.11(а)]. В линейном режиме динамика пучка определяется независимой эволюцией комплексных огибающих Е(х, Л) отдельных частотных компонент. Этот процесс может быть описан параксиальными

уравнениями,

.дЕ z.j/1 д2Е 2 nzs

где x и z это поперечная и продольная координаты нормированные на характерные расстояния xs = 1мкм иг, = 1мм, соответственно, Л — длина волны в вакууме, с - скорость света, щ - средний показатель преломления среды, v(x) = у(х + d) описывает периодическую модуляцию показателя преломления с периодом d в поперечном направлении и х0(г) = xq(z + L) определяет продольный изгиб профиля оси волновода с периодом L (отметим, что L » d). Когда наклон пучков меньше угла Брэгга для каждой длины волны, то пучок возбуждает в основном волповодные моды, и распространение пучка может быть описано как изменение амплитуд мод отдельных волноводов за счёт связи между соседними волноводами. При учёте периодического изгиба волноводов уравнения для амплитуд мод могут быть представлены в виде [197, 201]

i~~r~ + СМ [¥п+1 + 4VJ = сохо ЮпЧп, dz

где vF„(z; со) - амплитуды мод, п - номер волновода, w = 2nnod/A - безразмерная частота, а точками обозначены производные. Коэффициент С(со) определяет связь между соседними волноводами, которая приводит к дискретной дифракции, впервые описанной для массивов прямых волноводов (при jto s 0) в работах [154, 155]. Коэффициент связи уменьшается при увеличении оптической частоты [156], и, соответственно, уширение пучков за счёт дифракции существенно слабее на более коротких длинах волн, см. рис. 1.9(6-д).

Будем рассматривать симметричные профили изгиба волноводов, такие что xq(z) = /(z - za) для определённого сдвига продольной координаты za, где функция /(г) симметрична, /(z) s /(-z). Тогда, после полного периода изгиба (z —* z + L), пучок испытает такую же дифракцию, как в прямом массиве волноводов с эффективным коэффициентом связи [197, 201]

Ce ff(w) = C(w)L

-1

cos [ыхп(0\ dç.

Таким образом, дифракция полихроматических пучков определяется как частотной зависимостью коэффициента связи определённого для массивов прямых волноводов, так и дисперсией за счёт изгиба волноводов. Исходя из этого мы предложили, что пространственная дифракция может быть синхронизована для всех спектральных компонент, что позволит эффективно управлять пространственными профилями полихроматических пучков. Такой режим реализуется, когда эффективный коэффициент связи остаётся постоянным вблизи

Рис. 1.9. Дискретная дифракция в (а) массиве прямых волноводов с периодом й = 9мкм.

(б) Коэффициент связи нормированный на коэффициент связи на центральной частоте С0. (в-д) Эволюция интенсивности пучка вдоль волноводов и профили интенсивности на выходе после распространения па расстояние 80мм для ширины пучка па входе Змкм па длинах воли

(в) Л,- = 580пт, (г) Л0 = 532пт, и (д) Ль = 490пт, которые соответствуют точкам 'в', 'г', и 'д' на рис. (б). Ширина волноводов Змкм, показатель преломления подложки щ = 2.35.

центральной частоты ыо,

0,

(1.4)

и мы далее показываем, что это условие может быть удовлетворено за счет специального выбора профилей изгиба.

Мы установили, что управление дифракцией в широком спектральном диапазоне может быть реализовано с использованием профилей изгиба, составленных из чередующихся сегментов [см. пример на рис. 1.10(а)], хо(г) =

ЛПсов [2тгг/го] - 1} при 0 < г < го, х0(г) = А2{сое [2л(г - го)/(£/2 - го)] - 1}

при zo < г < LI2, и х0(г) = ~x0(z - L/2) при L/2 < z < L. Эффективный коэффициент связи в таких структурах может быть вычислен аналитически: Ceff(w) = C(w)2L~l[zoJo(£i) + {L/2 - гоУо(й)], где Jm это функция Бесселя первого рода порядка т, ¿¡] = 2nA]Lj/zo, и = 2лА2ы/ (L/2 - го)-

Во-первых, продемонстрируем возможность динамической локализации пучков белого света, когда все спектральные компоненты остаются локализованы, несмотря на нетривиальную эволюцию поля в массиве волноводов. Режим динамической локализации реализуется, когда дифракция подавлена и эффективный коэффициент связи равен нулю, Сец- = 0. Этот эффект наблюдался ранее для монохроматических пучков в массивах с зигзагообразным [193] или синусоидальным [197] профилем изгиба. Однако в таких структурах не может быть одновременно выполнено условие (1.4), в результате чего наблюдается сильная дифракция для спектральных компонент с частотной отстройкой всего в несколько процентов [197].

Для реализации широкополосной динамической локализации выберем такие параметры модуляции, чтобы gi(co0) = £i - 2.40 и = ¿2 - 5.52

являлись первым и вторым корнем уравнения Jod) = 0. Тогда условие динамической локализации точно выполняется на центральной частоте о)ц, Ceff(wo) = 0, и одновременно условие частотно-независимой связи в соответствии с уравнением (1.4) выполняется для следующих параметров модуляции: А, - [#i/2ii(Ä)/2^(^i(#2)-#i/i(#i))wo]L/2, А2 = -иШ/ЬША^ и zo = 2nu>oA\l£\. В результате получаем практически плоскую зависимость коэффициента связи от частоты в области центральной частоты, см. рис. 1.10(6), где точка 'г' соответствует центральной частоте. Видно, что эффективная связь остаётся близкой к нулю в очень широком спектральном диапазоне, охватывающем около 50% от центральной частоты. Отметим, что период модуляции L является свободным параметром; он всегда может быть выбран достаточно большим, чтобы избежать потерь на изгибах волноводов, гак как максимальная кривизна волноводов обратно пропорциональна периоду: max|jco(z)| ~ LT1. Хотя эволюция пучка внутри массива волноводов зависит от длины волны, профиль пучка точно восстанавливается после полного периода изгиба, см. примеры на рис. 1.10(в-д), где представлены результаты численного моделирования уравнения (1.3). Динамическая локализация сохраняется даже на красном крае спектра, где в прямом массиве наблюдается самая сильная дифракция [сравним рис. 1.10(в) и рис. 1.9(в)]. За счёт специального профиля изгиба обеспечивается динамическая локализация в намного более широком частотном диапазоне по сравнению с простой синусоидальной модуляцией, для которой дифракции пучка наблюдается уже при небольшой отстройке частоты от центральной.

Перейдем теперь к анализу условий для реализации частотно-независимой нормальной или аномальной дифракции полихроматических пучков. Для

Рис. 1.10. Широкополосная динамическая локализация в массиве изогнутых волноводов: (а) профиль изгиба с периодом L = 60мм и параметрами модуляции A¡ = 27мкм. А2 = 42мкм, го = 18мм. (б) эффективный коэффициент связи нормированный на связь в прямом массиве на центральной частоте С о = С(ш о), (в-д) Эволюция интенсивности пучка и профилей интенсивности на выходе для различных длин волн (в) Л, = 560тп, (г) Д0 = 532пт, и (д) Ль = 400ши, соответствующих отмеченным точкам на рисунке (6).

110-110

110-110

уменьшения габаритов устройства желательно увеличить абсолютную величину эффективной связи и одновременно удовлетворить уравнение (1.4). Мы нашли, что уравнения (1.4) могут быть выполнены в структурах с го = ¿-/2 и А1 = (£/2лшо) ¿/2. Здесь набор возможных значений параметра £ определяется из соотношения = С^/С^а, где С0 = С(шо) и С1 = с1С(ш)/с1ш\й1=Ыо

характеризуют дисперсию связи в прямом массиве. Можно получить как нормальную, так и аномальную дифракцию, соответствующие положительным и отрицательным эффективным коэффициентам о) = Со-/о(<?)> значения

которых зависят от выбранною значения Например, для массива волно-

400 500 „ 600 700

X

J Ay! ^ J УР°

щ

60 40i 20 0

-150

0 X

150-150

0 X

150-150

0 X

150

Рис. 1.11. Частотно-независимая дифракция в массиве периодически изогнутых волноводов, (а) Профиль изгиба волноводов с периодом £ = 40мм и (б) соответствующий эффективный коэффициент связи нормированный на связь в прямом массиве на центральной частоте С0 = С(шо). (в-д) Эволюция интенсивности пучка вдоль волноводов и профили интенсивности на выходе после распространения на расстояние 80мм на длинах волн (в) Л,. = 580пт, (г) Ло = 532л»1, и (д) Ль = 490пт, которые соответствуют точкам 'в', 'г', и 'д' на рис. (б).

водов, показанного на рис. 1.9, на центральной частоте ыо = 250 [соответствующей длине волны Л0 = 532пт] значения параметров С0 - 0.13тт"1 и С] - -0.0021тт~]. Соответственно, постоянный положительный коэффициент связи вблизи центральной частоты Сс^(<уо) — 0.25Со достигается при £ - 6.47, а отрицательный коэффициент связи Ceff(o>o) — -0.25Со -при f = 2.97.

Мы установили, что структуры с профилем изгиба, составленным из одного прямого (Ai = 0) и одного синусоидального сегментов, являются предпочтительными, когда co0Ci/C0 > €сгЫ€сг)/Joitcr), где значение %сг -

5.84 определяется из уравнения \.1\(£Сг) + £,сг [-/о(£т) - Ь(%сг)\ /2] \-1о(&г) - 1] + %сг]\(£сг) = 0. В таком случае большие значения положительной эффективной связи могут быть получены для параметров изгиба А\ = О, Л 2 = [С1Сс1Г(ш0)/2яС^1(#2)]£/2, го = [С,п(«о)/С0]^/2. В такой структуре эффективный коэффициент связи на центральной частоте составляет Сси(о>о) =

Пример структуры, в которой реализуется частотно-независимая дифракция, показан на рис. 1.11 (а), и соответствующая частотная зависимость эффективного коэффициента связи представлена на рис. 1.11(6). Профили пучка на выходе оказываются практически постоянными в широкой области спектра, см. примеры для трёх длин волн на рис. 1.11(в-д). Отметим, что пространственные профили на этих длинах волн существенно отличаются при распространении на такую же длину в массиве прямых волноводов, см. рис. 1.9(в-д).

1.5. Заключение

Мы представили обзор проведённых теоретических и экспериментальных исследований пространственно-спектрального управления полихроматическим светом в периодических фотонных структурах. Мы описали новые типы самозахваченных пучков в виде полихроматических щелевых солитонов и поверхностных волн, которые обладают нетривиальными распределениями фазы и спектральными свойствами. Мы представили первые наблюдения полихроматических щелевых солитонов в периодических фотонных структурах с самодефокусировочной нелинейностью; такие солитоны могут быть сформированы при одновременной пространственно-спектральной локализации всего суперконтинуумного излучения в фотонных запрещённых зонах. Также показано, что дифракцией полихроматических пусков можно гибко управлять в массивах периодически изогнутых волноводов. По нашему мнению, многие из теоретически предсказанных и экспериментально продемонстрированных эффектов могут найти применение для перестраиваемого управления частотной дисперсии импульсов с ультрашироким спектром, предоставляя дополнительные возможности при разработке широкополосных оптических систем и устройств.

2. Пространственное переключение медленного света в периодических фотонных структурах

Скорость света определяет максимально возможную скорость передачи информации - 3 х 108 м/с. Импульсы света в волноводах переносят биты информации вокруг света за доли секунды, обеспечивая интерактивную глобальную связь. Ввиду непрерывного роста информационных потоков требуется постоянное увеличение пропускной способности сетей. Ожидается, что в будущем маршрутизация и переключение потоков данных станут выполняться чисто оптически, а требующиеся в настоящее время множественные преобразования между оптическими импульсами и электронными сигналами в сетевых концентраторах или повторителях будут минимизированы. Для осуществления этой концепции необходимо разработать методы динамического управление скоростью света, что позволит выполнять синхронизацию и мультиплексирование сигналов. Более того, временно замедляя свет, можно обеспечить сжатие оптических импульсов и выполнять операции над ними в компактных интегральных оптических устройствах. Также в режиме медленного света значительно усиливается взаимодействие света с веществом, что позволяет реализовать эффективное управление светом и нелинейное преобразование сигналов.

Замедление света является непростой физической задачей. В обычных диэлектриках скорость света может быть уменьшена не более, чем в четыре раза, что ограничивается величиной оптического показателя преломления доступных материалов. Наиболее сильное замедление света вплоть до его полной остановки наблюдалось в режиме электромагнитно индуцированной прозрачности [202]. Это явление основано на резонансном взаимодействии света с атомной системой, и при этом скорость света оказывается чрезвычайно чувствительной к частотной отстройке. Поэтому эффект замедления наблюдается только в узком частотном диапазоне, что ограничивает его применимость в линиях связи, в которых требуется производительность свыше 100 Гб/с. С другой стороны, диэлектрические фотонные структуры с периодической модуляцией оптического показателя преломления в субмикронном масштабе могут быть сконструированы для работы в практически любом частотном диапазоне. Периодическая модуляция приводит к резонансному рассеянию света, и в фотонных кристаллах было экспериментально зарегистрировано уменьшение скорости оптического импульса более чем в 100 раз [203-205]. Сверхмедленпое распространение света может быть получено в связанных высокодобротных оптических резонаторах [206-211]. Однако во всех статических структурах максимальная достижимая задержка становится меньше для более коротких импульсов, у которых шире спектр и соответственно возникают более силь-

ные искажения при распространении вследствие частотной дисперсии [212]. Была выдвинута идея, что ограничение на произведение запаздывание — ширина полосы, основного параметра, характеризующего способность устройства хранить оптические сигналы [213], может быть преодолено в динамически перестраиваемых структурах, где появляется возможность полностью остановить и затем выпустить импульсы света на основе оптической схемы управления [214, 215].

Медленный свет изучался, главным образом, в схемах, в которых направление распространения определяется геометрией волновода. Новые способы управления направлением распространения света могут быть реализованы в пространственно протяженных периодических фотонных структурах, в которых привычные законы отражения, преломления и дифракции могут изменяться. В качестве примеров можно отметить эффекты отрицательного преломления [216] по отношению к нормали и подавления дифракции или автоколлимации [195] пучков. Возможность медленного распространения света в двумерных фотонных структурах была продемонстрирована экспериментально [217] при возбуждении плоскими волнами, но ещё требуется рассмотрение эффекта дифракции для сфокусированных пучков. С другой стороны, в нелинейных периодических структурах свет может модифицировать показатель преломления и таким образом изменить свою скорость, что делает возможными чисто оптическое переключение и управление направлением пучка. Важно отметить, что нелинейность усиливается в режиме медленного света [218-220]. Все эти соображения и стимулировали наши исследования по оптическому управлению как величиной, так и направлением скорости света в нелинейных периодических структурах.

В этой главе представлены наши результаты [25, 28, 36, 49, 56, 65, 75, 79], демонстрирующие возможности динамически перестраиваемого замедления и пространственного переключения оптических импульсов в специально сконструированных нелинейных фотонных структурах. В разделе 2.1 приводится обзор методов уменьшения скорости света на основе управления дисперсией в периодических структурах. В разделе 2.2 рассмотрены фотонные структуры в виде нелинейных брэгговских решеток и фотонно-кристаллических связанных волноводов, которые можно использовать одновременно для замедления импульсов и их перенаправления между выходными портами. В разделе 2.3 обсуждается маршрутизация импульса в бездефектных периодических структурах в виде набора нелинейных волноводов с брэгговскими решётками, в которых направление распространения определяется структурой волнового фронта оптического импульса. Наконец, в разделе 2.4 представлен метод спектрального анализа, позволяющий определять дисперсию медленного света на основе измерений ближнего поля в периодических волноводах. В разделе 2.5 сформулировано заключение.

2.1. Дисперсия и управление скоростью света в нелинейных периодических структурах

Рис. 2.1. Схема брэггевской решётки (а) и соответствующие частотные зависимости дисперсии (б) и групповой скорости (в). На рисунках (б) и (в) затенена запрещённая зона частот, (г) Схема фотонно-кристаллического волновода, где кружки указывают области с уменьшенным значением оп тического показателя преломления.

Диэлектрические структуры с модуляцией показателя преломления микронного масштаба могут вести себя как метаматериалы с необычными характеристиками. Эти структуры предоставляют новые возможности но управлению фундаментальными свойствами электромагнитных волн, включая перестройку групповой скорости, которая определяет скорость распространения световых импульсов. Одним из механизмов, который может замедлить световые волны, является брэгговское рассеяние на периодических неодно-родностях показателя преломления [140], как в случае брэгговской решётки, схематически показанной на рис. 2.1 (а). В периодических структурах спектр волн включает запрещённые зоны в определённых частотных интервалах, аналогичные энергетическим запрещённым зонам электронов в кристаллических потенциалах [рис. 2.1(6)]. В периодических структурах, в которых направление распространения определяется геометрией волновода, дисперсионное соотношение между оптической частотой со и волновым числом Блоха к в окрестности краев разрешённых зон обычно записывают в виде а) то + 02(к - ко)2, где а>о и ко обозначают значения на границе зоны, а П2 — коэффициент дисперсии второго порядка. Групповая скорость определяется как = <1ш1(1к ~ ±2[02(ы - ы0)]1/2, и она плавно убывает до нуля, когда частота приближается к краю разрешённой зоны [рис. 2.1 (в)]. В недавних экспериментах [203-205] сообщалось об уменьшении групповой скорости более чем в 100 раз в фотонно-кристаллических волноводах, таких как волновод АУ1, схема которого показана на рис. 2.1(г). В волноводах с брэгговскими решетками экспериментально достигнутый коэффициент замедления [221, 222]

меньше (до трёх раз), одна задержка импульса может быть существенной ввиду много большей длины распространения.

Ширина спектра оптического импульса обратно пропорциональна его длительности: 6ш ~ т-1. При распространении импульсы уширяются из-за дисперсии, которая возникает вследствие зависимости скорости света от частоты. Чувствительность скорости к частотной отстройке обратно пропорциональна групповой скорости: с1У„/с1со ~ 21)2/У„. Поэтому искажения импульса особенно сильны в окрестности краев зон [223]. Подавление дисперсии возможно в специально сконструированных структурах, поддерживающих распространение широкополосного медленного света внутри разрешённой зоны вдали от краев запрещённой зоны, где дисперсионная кривая содержит точку, для которой £)2 = 0. В этом случае искажения импульса определяются эффектами более высокого порядка, которые также можно минимизировать [224-231].

Важным свойством систем с медленным светом является их перестраи-ваемость. Рассмотрим следствие изменения показателя преломления диэлектрической среды или специальных включений [232], которые могут быть вызваны электрооптическим, тепловым, фоторефрактивным или другими механизмами. Такое изменение можно описать, в первом приближении, как эффективный сдвиг разрешённых и запрещённых зон на величину ¿си. Чувствительность фазовой скорости Ур — со ¡к (которая определяет характеристики таких фазовочувствительных устройств, как интерферометр Маха-Цендера) к сдвигу зон возрастает в число раз, обратно пропорциональное групповой скорости, что позволяет конструировать очень компактные оптические переключатели [203, 219]. Для линий связи возможность динамически настраивать групповую скорость позволяет производить перестраиваемую задержку импульсов. Такая перестройка может быть реализована, если групповая скорость чувствительна к эффективному сдвигу запрещённых зон, то есть с1У„1 (1м ф 0. Однако, в этом случае импульсы неизбежно испытывают вызванное дисперсией уширение и возникает фундаментальное ограничение на произведение "задержка-спектральная ширина сигнала" [212].

Произведение задержка-спектральная ширина сигнала может быть сделано неограниченно большим, если показатель преломления модифицируется в определённых областях в то самое время, в которое импульс распространяется через фотонную структуру [233]. В недавнем эксперименте захват импульса и его последующее высвобождение управлялись внешней накачкой [215] и искажения импульса были минимизированы. Такая схема требует точной синхронизации сигнальной волны и волны накачки. С другой стороны, необходимость в накачке может отпасть в нелинейных средах, в которых сам сигнальный импульс наводит изменение показателя преломления.

Было показано, что одновременная перестройка скорости распростране-

Линейное распространение

(а)

Нелинейное распространение

П П

) V

Рис. 2.2. Иллюстрация распространения импульса в режиме медленного света через нелинейную периодическую структуру, как, например, волновод с брэгговской решёткой, (а) Уши-рение импульса с малой пиковой интенсивностью вследствие линейной дисперсии групповой скорости, (б) Нелинейная компенсация дисперсии и формирование щелевого солитона при возрастании энергии импульса.

ния и подавление вызванного дисперсией расплывания импульса могут быть осуществлены в средах с быстрым нелинейным откликом, в которых импульс может изменить условия своего распространения. Самовоздействие нелинейного импульса в брэгговских решетках может привести к формированию щелевых солитонов [234], огибающая которых остаётся неизменной при распространении через фотонную структуру (см. рис. 2.2). С другой стороны, скорость распространения щелевых солитонов теоретически может быть доведена до нулевой при определенных условиях возбуждения. Экспериментально продемонстрировано, что скорость щелевого солитона можно перестраивать, варьируя мощность оптического излучения [222]. Кроме того, эффективность передачи света в фотонную структуру может быть улучшена в нелинейном режиме.

2.2. Переключение медленного света в связанных волноводах

Системы связанных волноводов рассматриваются как ключевой элемент для создания сверхбыстрых полностью оптических переключателей [235— 239]. Эти устройства используют туннелирование света между двумя волноводами, помещёнными вблизи друг друга. В линейном режиме свет переключается из одного волновода в другой на расстоянии, называемом длиной связи. При высоких мощностях входного сигнала зависимость от интенсивности показателя преломления вследствие оптической нелинейности создаёт расстройку между волноводами, которая может подавить перекачку мощности между волноводами, так что свет остаётся во входном волноводе. В этом разделе обсуждается схема связанных волноводов, позволяющая переключать импульсы медленного света между выходными портами. В разделе 2.2.1 описываются

возможности применения нелинейных связанных волноводов с брэгговскими решётками для полностью оптического переключения импульсов медленного света с одновременным управлением запаздыванием и компенсацией дисперсии. Далее в разделе 2.2.2 демонстрируется возможность маршрутизации импульсов медленного света в специально сконструированных фотонно-кристал-лических связанных волноводах, в которых расстояние переключения может быть уменьшено на несколько порядков величины по сравнению с брэгговскими решётками.

2.2.1. Оптическое переключение в связанных волноводах с брэгговскими решётками

Рассмотрим распространение импульса вдоль двух параллельных волноводов, каждый из которых содержит брэгговскую решётку. Такие структуры ранее были предложены для преобразования мод и для фильтрации, реализующей операции вставка/извлечение [240-244], причём была продемонстрирована их динамическая перестройка за счет вызванного нелинейностью сдвига брэгговского резонанса [245]. Было также показано, что в нелинейном режиме могут существовать стационарные щелевые солитоны [246-249]. Здесь мы обсуждаем применение таких структур для полностью оптического управления импульсами медленного света [75].

Принцип работы связанных волноводов [235-239] основывается на эффекте полного туниелирования света между волноводами в линейном режиме. Поэтому важно достичь такого же типа туниелирования в режиме медленного света, когда оптическая частота настроена на окрестность края зоны, связанной с резонансным брэгговским отражением от периодической решётки. При таких условиях динамику импульса можно описать системой уравнений для нормированных медленно меняющихся огибающих мод [250], распространяющихся в прямом (и„) и обратном (к>„) направлениях в каждом из волноводов (п= 1,2):

/^ + Ф + С«з-„+р^„ + г(1"«12 + 2К|2К = 0, (2.1)

ОТ 01

^-¡^ + Сщ_п+р'пип+у(Ы2 + 2\ип\2^п = 0. (2.2)

д[ ог

Здесь ¡иг- безразмерные время и расстояние распространения, нормированные на и соответственно, С — коэффициент связи мод соседних волноводов, рп характеризует амплитуду и фазу брэгговских решёток, у — коэффициент (керровской) нелинейности, а групповая скорость вдали от брэгговского резонанса нормирована на единицу. Масштабные коэффициенты следующие: г5 = А^\р\\ЦжААй) и г5 - ¡¡с/п0, где с — скорость света в вакууме, Ао — длина

волны света в вакууме, АЛц — ширина брэгговского резонанса для одного волновода, ио — эффективный показатель преломления в отсутствии решётки. Далее в численных расчётах мы полагаем у = 10"2, Л0 = 1550.63 нм, АЛо = 0.1 нм, ts ~ 12.8 пс, zs ~ 1.8 мм в соответствии с характерными параметрами волно-водных брэгговских решёток [222, 243] с контрастом показателя преломлетгия An я 1.3 х 10"4.

Рис. 2.3. (а), (б) Схемы связанных волноводов с (а) синфазными (р1 = р7 = 0.5) или (б) противофазными (р! = -р1 = 0.5) брэгговскими решётками, (в), (1) Характерные зависимости дисперсии и (д), (е) нормированной групповой скорости от длины волны для случаев синфазных [(в) и (д)] и противофазных [(г) и (е)] решёток. Для всех рисунков С и 0.144. Сплошные и пунктирные линии соответствуют различным ветвям дисперсии мод, отметим что линии перекрываются на рисунке (е).

Рассмотрим случай идентичных волноводов и проанализируем влияние сдвига фаз <р между в остальном одинаковыми волноводными решётками с Р\ = р и рг = Р ехр(г^) (без потери общности мы полагаем величину р вещественной и положительной), см. рис. 2.3(а), 2.3(6). Было показано, что сдвиг фазы решётки может сильно изменить отражение мод с различной симметрией [241, 243, 244]; мы исследуем, как этот параметр структуры воздействует на свойства мод медленного света.

В линейном режиме распространение волн полностью определяется собственными модами Флоке-Блоха вида ип = IIп ехр Цк? - шЯ), м>п = \\?пехр(Ис1 - ¡ш). После подстановки этих выражений в линеаризованные уравнения (2.1) и (2.2) (полагая у = 0), получаем дисперсионное соотношение между частотой со и волновым числом к: а>2(к) = к2 + С2 + |р|2 + 2 С[кг + И2 со82(^/2)],/2.

Медленное распространение света может наблюдаться вследствие уменьшения нормированной групповой скорости (Ув = ско/йк), когда центральная

частота импульса настроена вблизи края запрещённой зоны. В зависимости от параметров структуры могут реализоваться различные режимы медленного света.

(i) Если |pcos(<¿>/2)/C| > 1, то при ш2 < и>\ = С2 + \р\2 - 2 С\р cos(^/2)| возникает запрещённая зона и существует только единственная распространяющаяся вперед мода (с Vg > 0) при частотах вблизи края запрещённой зоны. Такая ситуация может быть реализована для синфазных решёток с <р = 0, см. рис. 2.3(в), 2.3(д).

(п) Если |pcos(</>/2)/C| < 1, то запрещённая зона возникает при \со\ < a>g = |psin(y>/2)| и одновременно существуют два типа мод, распространяющихся вперед (с Vg > 0) в областях ск>0ик<0 для частот, произвольно близких к запрещённой зоне. Такая ситуация всегда реализуется для противофазных решёток с <р = 7Г, см. рис. 2.3(г), 2.3(е).

Рис. 2.4. Линейное пропускание падающей волны, вводимой в первый волновод полу-беско-псчпой (г > 0) структуры с синфазными (верхний ряд) и противофазными (нижний ряд) брэг-говскими решётками: (а)-(г) Распределение интенсивности (усреднённое по периоду решётки) в первом (сплошные линии) и втором (штриховые линии) волноводах для (а), (б) большой отстройки частоты от резонанса и (в), (г) настройки частоты вблизи края разрешённой зоны с малой групповой скоростью = 0.1. (д), (е) Интенсивности при г = 2см в зависимости от отстройки длины волны. Параметры соответствуют рис. 2.3, а интенсивности нормированы на интенсивность входного сигнала.

Теперь проанализируем линейное распространение импульсов в полубесконечных связанных волноводах с брэгговскими решётками. Если оптическая частота отстроена от запрещённой зоны, свет периодически переключается между волноводами с характерным периодом ¿с ~ 7г/(2 С), определённым для обычных связанных волноводов без брэгговских решёток, см. примеры на рис. 2.4(а) и 2.4(6). Периодическое туннелирование возникает вследствие биения чётной и нечётной мод, отвечающих различным ветвям дисперсионных кривых. Если центральная частота импульса настроена вблизи края запрещённой зоны и (0 поддерживается только одна медленная мода, то периодические биения исчезают и свет в равной степени распределяется между волновода-

2

см

Z, см

о/., нм

5Х, нм

ми независимо от возбуждения на входе, см. рис. 2.4(в) и 2.4(д). Отметим, что интенсивность света на границе второго волновода отлична от нуля из-за сильного отражения распространяющейся вперед чётной моды. Периодическое туннелирование может поддерживаться в режиме медленного света, только если (ii) у края запрещённой зоны сосуществуют две моды, см. рис. 2.4(г) и 2.4(е). Поэтому конфигурация с противофазными брэгговскими решётками предпочтительна для переключения импульсов медленного света, так как при ip = л дисперсия типа (ii) всегда реализуется при любой глубине модуляции показателя преломления в решётке, причём одновременно достигается максимальная ширина запрещённой зоны.

При увеличении мощности оптического излучения становятся важными нелинейные эффекты, и в этом случае численно решались уравнения (2.1) и (2.2), чтобы промоделировать распространение импульса. Мы обнаружили, что оптимальный режим пространственно-временного управления может быть реализован, в частности, если размер структуры равен трем длинам связи: L = 3 Lc. В линейном режиме импульс трижды переключается между волноводами и, соответственно, попадает на выходе в другой волновод, однако импульс значительно уширяется из-за дисперсии групповой скорости, см. рис. 2.5(а). При возрастании энергии светового импульса нелинейность способна поддерживать нерасширяющиеся импульсы медленного света в виде щелевых солитонов, ранее изученных в одиночном волноводе [222] и в связанных волноводах [246-249]. Особенно примечательно, что наличие двух типов мод медленного света в структуре с противофазными решётками приводит к появлению щелевых солитонов, которые периодически переключаются между волноводами при сохранении постоянной длительности, см. рис. 2.5(б)-2.5(г). Этот эффект аналогичен периодическому переключению солитонов быстрого света в изогнутых фильтрах с двойной сердцевиной [251]. В согласии со свойствами обычных нелинейных связанных волноводов [235-239] длина переключения постепенно увеличивается при возрастании мощности оптического излучения, что приводит в результате к переключению импульса между волноводами на выходе. Если мощность на входе ещё более увеличивается, наблюдается резкое переключение, при котором выходные характеристики чрезвычайно чувствительны к малейшим изменениям интенсивности на входе (на уровне менее 1%), см. рис. 2.5(6) и 2.5(в). В то же время, при изменении оптической мощности меняется и задержка импульса. Перестройку задержки импульса мощностью можно регулировать, выбирая такие параметры как связь волноводов и отстройка частоты от края запрещённой зоны. Такое переключение можно реализовать в компактных планарных устройствах на основе материалов с сильной нелинейностью, таких как AlGaAs [252] и халькогенид-ные стекла [253].

Волновод 1

Волновод 2

Выходная интенсивность -1-т-1

О 5 Расстояние,

10 О

см

5 10 Расстояние, см

А I \ I \ / I

\

»

ч

!|

1|

- м

11

2 4 6 Время, не

Рис. 2.5. (а)-(г) Динамика импульса внутри нелинейных связанных волноводов при различных значениях нормированной пиковой входной интенсивности /0 = 10~4, 3.33,3.37,4. Показаны профили интенсивности в первом (левый ряд) и втором (средний ряд) волноводах. Профили выходной интенсивности, нормированные па /о, в первом (сплошные линии) и втором (штриховые линии) волноводах показаны в правом ряду. Входной гауссов импульс обладает полной шириной па половинном уровне от максимальной интенсивности 577 пс, а сто центральная длина волны настроена па край запрещенной зоны при Л0 — Л/|0/2.

2.2.2. Тунпелирование медленного света в фотонпо-кристаллических связанных волноводах

Волноводы, созданные в планарных фотонных кристаллах, предоставляют множество уникальных возможностей по управлению оптическими импульсами. Мы представим здесь общий подход к построению связанных волноводов в фотонных кристаллах, в которых может быть реализована бездис-

Рис. 2.6. Пример реализации антисимметричных фотонно-кристаллических связанных волноводов, поддерживающих бездиспсрсиоппос переключение света между волноводами, (а) геометрия связанных волноводов; (б) дисперсия фундаментальных мод (дополнительные пунктирные кривые обозначают границы светового конуса).

Интенсивность совместно возбужденных мод

Рис. 2.7. (а), (б) Поперечные распределения интенсивности (сверху) и фазы {внизу) магнитного ноля для мод у края запрещённой зоны при (1/А и 0.214 с (а) положительным (к = 0.88 л/с!) и (б) отрицательным (к = —0.82 волновыми числами, соответственно, (в) Интенсивность совместно возбуждённых мод.

персионная маршрутизация медленного света [65], когда импульсы полностью переключаются между параллельными волноводами на фиксированной длине связи даже при том, что групповая скорость меняется на порядки величины. Дополнительным преимуществом предложенной структуры является короткая длина связи, равная всего нескольким единичным ячейкам. Такие характеристики обеспечиваются сосуществованием прямой и обратной мод, для кото-

Мода 2

Интенсивность

Фаза

таи* ЯЬ

-а -202« (б)

Мода 1

Интенсивность

Фаза

Рис. 2.8. (а) Зависимость групповой скорости от частотной отстройки от края запрещённой зоны в логарифмической шкале и (б) соответствующая зависимость длины связи.

Рис. 2.9. (а) Схема набора волноводов с противофазными соседними брэгговскими решётками, (б) соответствующие контуры изочастот для различных значений отстройки от края запрещённой зоны: со = 4 (сплошные линии), а> = 2 (штриховые линии), ш = 1.1 (штрих-пунктир), (в) Автоколлимация пучка при угле падения, отвечающем К = я/2. Для всех рисунков р = 1 и С = 1. [79]

10"4 10- 10

Групповая скорость (с„) (а)

3.4 3.45

Длина связи (d) (б)

рых дисперсия на краю запрещённой зоны в точности согласуется, что реализует принципиально другой физический режим по сравнению с рассмотренными ранее [225, 230, 254-257] фотонно-кристаллическими связанными волноводами.

Для иллюстрации общей идеи рассмотрим двумерные фотонные кристаллы, созданные гексагональным набором отверстий в пластинке Si с радиусом отверстий 0.3d, где d — постоянная решётки. Волновод W1 получается при удалении одного ряда отверстий, см. рис. 2.1(г). Вследствие гексагональной симметрии решётки, симметрия связанных волноводов критически зависит от числа рядов N между двумя волноводами W1. Если число N нечётное, связанные волноводы симметричны по отношению к отражению относительно центральной линии между волноводами (х —> —х). Если число N чётное, то связанные волноводы становятся антисимметричными и они отображаются на

себя только если отражение выполняется одновременно по двум осям (х —> —дг иг-» -г), см. пример для N = 2 на рис. 2.6(а).

Переключение света между связанными волноводами возможно вследствие биений двух мод, которые (i) однонаправлены и (п) обладают различной симметрией. Поэтому для реализации маршрутизации импульсов медленного света с перестраиваемыми в широком диапазоне групповыми скоростями необходимо наличие двух различных ветвей дисперсионной кривой с одинаковым наклоном (то есть, с совпадающим знаком групповой скорости), произвольно близких к краю фотонной запрещённой зоны. Отметим, что в диэлектрических связанных волноводах всегда выполняется следующее соотношение: со(к) = w(—k). Тогда условие (i) может быть выполнено, если край запрещённой зоны достигается в точке с ненулевым волновым числом внутри зоны Бриллюэна, то есть dw/dk|t=tl) = 0 при 0 < |¿0| < К, где кь = n¡d — блохов-ское волновое число. На рис. 2.6(6) показано, что такая ситуация действительно реализуется в антисимметричных связанных волноводах при d/Л « 0.214. Оказывается, что условие (и) выполняется только для антисимметричных связанных волноводов, что подтверждается расчётом профилей мод вблизи края запрещённой зоны, см. рис. 2.7(а), 2.7(6). При том что распределения интенсивности для двух мод практически совпадают, их структура фаз существенно отличается. Как результат, биения этих мод приводят к переключению света между волноводами, см. рис. 2.7(в). Такое туннелирование обеспечивается исключительно симметрией связанных волноводов, без необходимости какой-либо специальной оптимизации структуры. Отметим, что связанные волноводы с противофазными брэгговскими решётками, описанные в разделе 2.2.1, принадлежат к классу антисимметричных структур, что и объясняет их оптимальные характеристики для переключения медленного света.

Функционирование антисимметричных связанных волноводов основывается на биениях прямой (к и +ко) и обратной (к а —ко) волн. У края запрещённой зоны дисперсия может быть представлена разложением со я ojo + lh(\k\ - ко)2 + Д3(|*| - ко)3, где D2 и />( — коэффициенты дисперсии второго и третьего порядков. Обращая это выражение, мы получим асимптотическую зависимость волнового числа от частоты в виде k0J ,ÚJo ~ ski] + сг[(о) - cü0)/D2]1/2 - s(Dj/2)(ü) - co0)(D2)'2, где значения j = ±1 и с = ±1 отвечают четырём различным модам. Соответствующие групповые скорости Vg = dcújdk ^ 2 ctDjIUú - wo)/D2]1/2 + 2s(o> - coq)Di/D2. Видно, что групповые скорости для ветвей с положительными (s = +1) и отрицательными (.v = —1) волновыми числами асимптотически совпадают в режиме медленного света, когда со —> wq, что подтверждается численными расчётами, представленными на рис. 2.8(а). Длина связи определяется как расстояние, на котором разность фаз сонаправленных мод меняется на л, и вблизи края запрещённой зоны мы получим Lc = nd\argexp{i[ks=^i - ~

nd |arg exp{i[2 ku - D3(D2)~2(w - шоХМГ1. В соответствии с этим выражением в режиме медленного света длина связи приближается к постоянной величине, как это показано на рис. 2.8(6). Это замечательное свойство и обеспечивает бездисперсионное переключение медленного света, при котором динамика, показанная на рис. 2.7(в), сохраняется даже при изменении скорости света па несколько порядков величины.

2.3. Медленные оптические пули

В этом разделе мы обсудим возможность пространственно-временного управления медленными импульсами света в наборе связанных волноводов с брэгговскими решётками. В таких структурах становится возможным одновременно замедлить световые импульсы и выполнить их пространственную маршрутизацию. Кроме того, мы покажем, как можно независимо управлять степенью дифракции и дисперсии в режиме медленного света, обеспечивая оптимальные условия для нелинейного управления динамикой пространственно-временных импульсов. В частности, мы опишем и продемонстрируем численно формирование сильно локализованных оптических пуль медленного света в таких структурах [79], что может быть использовано для преодоления проблемы уширения импульсов в пространственно протяженных линейных системах.

Рис. 2.10. Мгновенные изображения распределения интенсивности в импульсе света, распространяющемся в наборе волноводов, показанной на рис. 2.9(а): (а)-(г) Линейное расширение вследствие пространственной дифракции и временной дисперсии, (д)-(3) Нелинейный пространственно-временной самозахват и формирование оптической пули. Входной импульс имеет гауссов профиль с шириной по половиппому уровню интенсивности Р\¥НМ /II « 13.

Аналогично случаю двух волноводов с брэгговскими решётками, обсуж-

давшемуся в разделе 2.2.1, оптимальные условия для управления медленными импульсами достигаются при введении сдвига фаз между в остальных отношениях одинаковыми брэгшвскими решётками, как показано на рис. 2.9(а). Линейная дисперсия волн Флоке-Блоха в такой периодической системе определяется как ш(К, к) = ±{р2 + [к-2 С cos(AT)]2}1/2, где К — поперечное волновое число, определяющее разность фаз между соседними волноводами, и к — постоянная распространения вдоль волноводов. Особенно важно, что при любом направлении распространения, определяемом компонентой К волнового вектора Блоха, ширина и положение одномерной запрещённой частотной зоны остаётся тем же самым, |а>| < р. Это необычное свойство приводит к примечательным спектральным особенностям. Во-первых, в спектре всегда, независимо от глубины решётки р и силы связи волноводов С, имеется двумерная (квази-)запрещённая зона. Во-вторых, форма контуров изочастот в разрешённой зоне не зависит от частоты, см. рис. 2.9(6). Это означает, что преломление и дифракция пучка остаются неизменными даже для медленного света при приближении частоты к краю запрещённой зоны. Например, если частота отстроена от брэгговского резонанса и влияние решётки слабо, известно, что дифракция пучка подавляется [148] при угле падения, отвечающем К - я/2. Примечательно, что для набора волноводов со смещёнными по фазе решётками такое свойство автоколлимации сохраняется в режиме медленного света, см. рис. 2.9(в).

Уникальные свойства линейного спектра в наборах волноводов со смещёнными по фазе решётками указывают на то, что такие структуры предоставляют оптимальные условия для нелинейного управления динамикой импульса. В частности, так как двумерная запрещённая зона возникает при любой глубине решётки и силе связи волноводов, можно выбрать эти параметры независимо, чтобы уравновесить силу дисперсии и дифракции. Это позволяет одновременно компенсировать расширение импульса в пространстве и во времени и формировать световые пули [258-260] посредством нелинейного самозахвата. Действительно, численное моделирование подтверждает возможность выполнить пространственную маршрутизацию импульсов. В линейном режиме импульсы уширяются и в поперечном, и в продольном направлениях [рис. 2.10(а)—2.10(г)]. Нелинейное самовоздействие приводит к самозахвату импульса в пространстве и во времени. Скорость сформированной световой пули показанной на рис. 2.10(д)-2.10(з) составляет 30% от скорости света в отсутствие брэгтовских решёток, и ещё меньшие скорости могут быть достигнуты за счёт управления центральной частотой и спектральной шириной входного импульса. При характерных экспериментальных параметрах для брэгговского волновода, изготовленного из AlGaAs [252], ÀÀq = 0.2 нм и Ло = 1550 нм, и получим ts 12.8 пс и zs ~ 1.8 мм. Таким образом, расчёты на рис. 2.10 соответствуют экспериментально доступным параметрам входного импульса

длительностью 170 не и длины волноводов 27 мм. Более короткими импульсами можно управлять с помощью более глубоких решёток с большей шириной брэгговского резонанса.

2.4. Определение дисперсии и профилей мод в периодических волноводах

Периодические оптические волноводы открывают новые возможности для управления распространением света, включая реализацию режима медленного света. Распространение света в волноводах может экспериментально наблюдаться с помощью ближнепольного микроскопа. При это возможтто измерить амплитуду, фазу и поляризацию электрического поля и определить их пространственное распределение в плоскости волновода [261]. Мы разработали оригинальный метод спектрального анализа высокого разрешения, позволяющий определить с высокой точностью параметры мод в коротких отрезках периодических волноводов на основе ближнепольных измерений. В нашем методе преодолевается фундаментальное ограничение метода Фурье, в котором разрешение обратно пропорционально длине волновода. Более того, предложенный метод позволяет определять дисперсию как распространяющихся, так и нераспространяющихся (неоднородных, либо эванесцентных) волн, которые могут играть ключевую роль при замедлении скорости света. Отметим, что паш метод также может эффективно применяться для определения дисперсии мод на основе данных численного моделирования.

Наиболее часто для определения дисперсии мод в волноводах используется пространственное преобразование Фурье (ППФ) комплексного профиля электрического поля вдоль оси волновода, при этом пики в спектре Фурье соответствуют волновым числам мод [204, 262, 263]. Тем не менее, существует фундаментальное ограничение на точность ППФ: А к > 2п/Ь, где Ак это спектральное разрешение и L - длина структуры. Таким образом, дисперсия может быть определена с высокой точностью только для длинных волноводов, содержащих много периодов. Другим ограничением метода ППФ является то, что он не может определить дисперсию нераспространяющихся волн, которые могут играть важную роль вблизи границ волноводов. Например, нераспро-страняющиеся волны могут обеспечить эффективное возбуждение медленных световых волн [264]. Кроме того, все волны имеют убывающие амплитуды при наличии оптических потерь, например, в металлических метаматериалах и плазмонных структурах, и в этом случае метод ППФ также не может определить коэффициенты поглощения мод.

Альтернативные методы определения дисперсия были разработаны для преодоления недостатков метода ППФ. Интерференция двух встречных волн

распространяющихся в фотонных кристаллах применялась для определения их волновых чисел [265]. Было показано, что в метаматериалах эффективный показатель преломления может быть определен по фазовой скорости доминирующей распространяющейся или затухающей волны [266, 267]. Однако эти методы не применимы при наличии нескольких распространяющихся или затухающих мод.

Недавно было показано, что дисперсия в многомодовых волноводах может быть определена с математически неограниченной точностью на основе профилей полей в коротких участках волноводов [268], [53]. В этих работах были развиты подходы, основанные на адаптации к периодическим волноводам спектральных методов высокого разрешения, разработанных ранее для анализа временной динамики [269, 270]. Далее мы показали [27, 36, 45], что при учёте пространственной симметрии мод в периодических волноводах, можно не только определить дисперсию, по также одновременно получить пространственные профили всех мод. Наш оригинальный метод применим в случае произвольной комбинации распространяющихся и неоднородных волн. Далее мы описываем этот метод, а также иллюстрируем его применение на примере анализа динамики света на границе раздела фотонно-кристалличе-ского волновода в режиме медленного света [264].

Рассмотрим участок периодического волновода, в котором в определённом диапазоне частот возбуждается конечное число мод (М). Значение М может быть установлено на основе численного моделирования, с учётом как распространяющихся, так и неоднородных волн. Поскольку моды периодического волновода удовлетворяет теореме Блоха [140], комплексную огибающую электрического поля моды с номером т на частоте со можно представить в виде |Дт(г; со) ехр(Истг/с1). Здесь кт это комплексные волновые числа Блоха, г = (х, у, г), где х и у — координаты в плоскости перпендикулярной оси волновода, г — координата вдоль волновода, с! — период вдоль оси волновода и фт — периодические волновые функции Блоха: = + й). Полное поле внутри волновода может быть представлено в виде линейной суперпозиции М мод с амплитудами ат\

м

£(г; со) = ^ ат1//т(х; со) ехр(;1'„,г/</) + и{г; со). (2.3)

т=1

Здесь и'(г; со) — невязка, которая может возникнуть из-за возбуждения невол-новодных мод и слабых неоднородных волн, которые исключены из рассмотрения, а также из-за шумов в экспериментальных измерениях.

Теперь сформулируем процедуру для одновременного определения дисперсии и пространственных профилей мод. Разделим пространство на элементарные ячейки, (х, у, г + п й — й). Здесь мы предполагаем, что г меняется в пределах одной ячейки (гшш < г < г,Шп + с1) и п = 1 : N, где N это число

ячеек в отрезке волновода. Введем обозначения £/„(г; со) - Е(х, у, z + п d—d; со), Ат(г;ы) = атф„(г\со) exp(ikmz/d) и n>„(r;w) = w(x,y,z + nd - d\cS). Тогда, с учётом периодичности Елоховских волн, уравнения (2.3) можно записать в виде

м

Un{г; а>) = ^ ¿m(r; со) exp[ikm(n - 1)] + wn(г; «), (2.4)

га= 1

где г относится к первой ячейке. Если рассматривать эти соотношения только для одной точки г в элементарной ячейке, то они становятся математически эквивалентны проблеме, рассматриваемой в спектральном анализе временных последовательностей [269, 270] и спектральные методы высокого разрешения могут быть использованы для извлечения волновых чисел мод [53]. Однако ключевое свойство периодических волноводов заключается в том, что уравнения (2.4) должны выполняться одновременно для всех пространственных координат г внутри элементарной ячейки. Это позволяет определить значения кт и Ат(г;ы) при условии, что число измерений превышает число неизвестных: N х Np > M х Np + Мь где Np это число точек в ячейке и Мь это число независимых значений волновых чисел. Будем искать значения параметров, при которых наиболее точно описывается профиль поля, и для этого применим метод наименьших квадратов, чтобы найти минимум невязки W = |w„|2 /XrZ^li \Un\2, где суммирование £r ведется по всем точкам в одной ячейке. Для заданных волновых чисел минимум \VA({km\) = гшплVV достигается при dW/dAm = dW/dA'm = 0. Отсюда следует, что для каждой точки г в элементарной ячейке, оптимальные амплитуды удовлетворяют линейным уравнениям Сн ■ С • А (г; со) = Сн • U(г; со), где компоненты вектора A(r; ai) являются оптимальными значениями амплитуд мод, компоненты матрицы С это Спр = exp[ikp{n — 1)], а компоненты вектора U(г; со) это Un(r; со) для р = 1 : М_и п = 1 :_N. Можно показать, что \¥л({кт\) = WA=K = 1 - Zr U"(г; со) ■ С ■ А(г; ùj)I £r UH(r; w) ■ l/(r; ai). Теперь остаётся найти абсолютный минимум lVmin = min{tmï Wa (заметим, что, по определению, значение УУд вещественно и положительно), что можно сделать с помощью численных методов, например, функции "fminsearch" в среде программирования Matlab.

Продемонстрируем применение метода для двумерного [г = (x,z)] фо-тонно-кристаллического волновода, показанного на рис. 2. И (а). На этом рисунке элементарная ячейка выделена затенением и также проиллюстрировано определение Un. Фотонные кристаллы рассматриваются как эффективные среды для получения медленного света, так как их дисперсией можно управлять с помощью изменения геометрических параметров. Однако, ключевой проблемой является эффективное заведение света в волновод с малой скоростью света (PC 2) из волновода с быстрой скоростью (PC 1). Мы рассматри-

^ 0

ч_7

С •..

г/

ип(х. г)

а2 = 0.4 04<1

а! = 0.38 с1 Фаза

РС 1

РС 2

РС 1

Рис. 2.11. (а) Схема двумерного фотонно-кристаллического волновода. Определение дисперсии производится для участка волновода РС 2. (б) Численно рассчитанные амплитуда (слева) и фаза (справа) комплексного электрического ноля на нормированной частоте <1/Л - 0.2662.

ваем пример, когда такой процесс протекает эффективно за счёт возбуждения ^распространяющейся волны на границе участка волновода, в котором замедляется скорость света [264]. Для иллюстрации нашего метода, определим дисперсию и профили мод в волноводе РС 2, исходя из численных расчётов электрического поля Е(х,г;ш). Примеры полей приведены на рис. 2.11(6). Эти профили электрического поля были рассчитаны с помощью матриц рассея-

ния [271, 272], и для нашего анализа мы использовали разрешение в 8 точек на период в х и z направлениях. В PC 2, дисперсия содержит точку перегиба, и, следовательно, необходимо учесть М = 6 мод [27, 45], что включает прямую и обратную моды медленного света (т = 1,2) и ^распространяющиеся моды (т = 3,4,5,6). Наличие нескольких распространяющихся и нераспространяю-гцихся мод позволяет продемонстрировать эффективность применения нашего метода определения дисперсии мод.

При определении дисперсии мод полезно учесть ограничения, связанные с симметриями мод в волноводах. В диэлектрических волноводах без потерь волновые числа связаны как: ki = — к\, ко, - к$ = k*v к6 = — к$ = — к*у Таким образом, два значения к\ и ki являются независимыми параметрами, которые полностью определяют дисперсию всех мод (М^ = 2), и мы принимаем это во внимание при численной минимизации функционала W.

I h I I fa |

I ki i

I--fa -1

I- fa -if--k\ -1

реальная часть мнимая реальная

волновое число (27r/d)

Рис. 2.12. Комплексные волновые числа к,„ определённые с помощью метода пространственного спектрального анализа. Распространяющиеся и нераспространяющиеся моды отмечены кругами и треугольниками, соответственно. Сплошные кривые показывают точную дисперсию, полученные численно на основе матриц рассеяния [271, 272]. Горизонтальные линии на частоте d/Л = 0.2662 соответствуют точке перегиба в дисперсии распространяющихся мод.

Результаты расчёта волновых чисел кт представлены на рис. 2.12. Значения волновых чисел находятся в хорошем согласии с точными дисперсионны-

Рис. 2.13. Амплитудные и фазовые профили мод Ат{х, г; ш), определённые с помощью метода спектрального анализа на основе профилей полей приведённых на рис. 2.11(6) на частоте соответствующей режиму медленного света.

—2.48 -I- г 7.14е-2

—2.48 — г 7.14е~2

—2.34 + г 3.05е-5 к4 =

ми кривыми, полученными численно с помощью матриц рассеяния [271, 272]. Важно подчеркнуть, что одновременно с волновыми числами мы определили пространственные профили мод, которые возбуждены в волноводе. Профили мод Ат(х, z', со) на частоте d/A ^ 0.2662, соответствующей режиму медленного света, представлены на рис. 2.13. На рисунках ясно видны распространяющиеся (т - 1,2) и нераспространяклцисся (или неоднородные) (т = 3,4,5,6)

к3 = 2.48-г7.14е-2 къ = 2.48 + г7.14е-2

моды. Такое разложение по модам позволяет понять процессы на границе волновода как связанные с интерференцией распространяющихся и нерас-пространяющихся мод, что не может быть установлено непосредственно из профилей полей представленных на рис. 2.11(6) или из их ППФ спектров.

Разработанный метод был успешно применен в нашей работе [27] для обработки экспериментальных данных с ближнепольного микроскопа при изучении распространения медленного света в фотонно-кристаллических волноводах. Метод также был использован для экспериментального определения профилей оптических мод в фотонных кристаллах [273]. Таким образом, разработанный метод активно применяется для спектрального анализа в периодических волноводах, предоставляя уникальные преимущества по сравнению с методом Фурье.

2.5. Заключение

Таким образом, мы показали, что и пространственной, и временной динамикой медленных импульсов света можно управлять в специально сконструированных нелинейных периодических фотонных структурах с оптимизированными дисперсионными характеристиками у края запрещённой зоны. Мы представили подходы к переключению и маршрутизации импульсов, которые можно сочетать с управляемой задержкой и компенсацией дисперсии в наборах нелинейных волноводов с брэгговскими решётками; показано также, что импульсами медленного света можно эффективно управлять в фотонно-кристаллических связанных волноводах. Также разработан метод спектрального анализа для периодических волноводов, позволяющий в том числе детально анализировать распространение медленного света на основе ближнепольных экспериментальных измерений.

3. Переключение фазы пучка второй гармоники в массивах квадратичных волноводов

Синхронизация колебаний и локализация волн это два основных нелинейных явления, которые стимулировали прогресс в нелинейной динамики в течение последних десятилетий. Синхронизация фаз [274] проявляется в системах различной физической природы при наличии внешнего воздействия и связи между элементами. Примеры включают синхронное мигание светлячков и пульсации в массивах лазеров [275, 276]. С другой стороны, локализация волн в оптических нелинейных решетках, таких как массивы волноводов, также определяется связью между волноводами [277]. В данной работе мы описываем новый тип переключения фазы в нелинейных цепочках, который происходит за счёт действия локализации и синхронизации. Мы ожидаем, что это явление может появиться в различных физических системах, и демонстрируем его в оптике.

3.1. Теория распространения лазерного пучка в массиве волноводов

Рассмотрим распространение лазерного пучка в массиве близко расположенных оптических волноводов в среде с квадратичной нелинейностью, где при распространении основной волны (ОВ) может происходить процесс генерации второй гармоники (ВГ). В таких структурах динамика второй гармоники определяется двумя механизмами энергетического обмена [Рис. 3.1 (а)]: О) эффективной внешней силой со стороны ОВ из-за квадратичной нелинейности [3] в том же месте решётки и (¡1) линейным туннелированием ВГ волн между соседними волноводами. Мы покажем, что каждый из этих механизмов может привести к различной синхронизации фаз в профиле пучка второй гармоники. Механизм (Т) является доминирующим, когда основная волна (и соответствующая эффективная внешняя сила) распределена по многим волноводам, в то время как механизм (и) доминирует, когда основная волна сильно локализована за счёт нелинейной самофокусировки.

Ключевым результатом нашего исследования [29, 133] является предсказание и экспериментальное наблюдение резкого переключения фазы пучка второй гармоники на выходе при увеличении оптической мощности основной волны на входе, когда фаза меняется с плоской на осциллирующую в противофазе между соседними волноводами. Показано, что такой фазовый переход профиля выходного пучка может регулироваться путём сдвига положения входного пучка по отношению к массиву волноводов. Эти результаты демонстрируют новые возможности для полностью оптического управления

показатель преломления

ОВ00

1.505

О) Д §¿2

Ш (1ч

о со.

длина волны ОВ [мкм]

.й §

ч: т о

О-

поперечное волновое число кР№/к.

«н

Рис. 3.1. (а) Схема исследуемой системы, (б) Эскиз образца РРЦч7 с изображением профиля показателя преломления, (в) Профили иитепсивностей для мод ОВ и ВГ. (г) Зависимость фазовой расстройки от длины волны ОВ. (д) Дисперсионные зависимости для мод ОВ (слева) и ВГ (справа).

фазой пучков в фотонных структурах.

Мы изучаем динамику пучка в массиве связанных волноводов в кристалле ниобата лития с периодической доменной структурой (РРЬЫ) [рис. 3.1(6)], где возможна эффективная генерация второй оптической гармоники в режиме фазового синхронизма. Чтобы продемонстрировать переключение фазы пучка, мы рассматриваем нелинейное взаимодействие между модами ОВоо и ВГщ, профили интенсивностей которых показаны на рис. 3.1 (в). Для обоих типов

мод, связь между волноводами оказывается примерно одинаковой. Это ключевое отличие от предыдущих экспериментов, в которых рассматривалось нелинейное взаимодействие между модами ОВоо и ВГоо, где линейная связь между модами соседних волноводов ВГоо незначительна в связи с их сильной локализацией. Пространственная эволюция пучков в массивах квадратичных волноводов может моделироваться с помощью системы нормированных уравнений для комплексных амплитуд мод в волноводах [277],

/¿А + сов(А,+1 + А„_,) + А'Вп = 0 (3.1)

ад + свг(5„+1 + В„_!) - ДуЗВп +А2п = 0.

Здесь г — расстояние вдоль волноводов нормированное на г« <г/г — производная по направлению распространения, А„ и Вп — нормированные амплитуды мод ОВ и ВГ в п-ом волноводе соответственно. Отметим, что полная мощность в массиве Р = Ров + Рвг сохраняется, где Р(т = \Ап\2 и Рвг = \Вп\2. Вещественные коэффициенты сов,вг = ш) определяют связь меж-

ду соседними волноводами, где ¿оВВГ - физические длины связи. Фазовая расстройка между модами ОВ и ВГ (с учётом периодической структуры доменов) характеризуется значением Дб. Экспериментальные измерения позволяют определить зависимость А/3 от частоты ОВ, как показано на рис. 3.1 (г).

В линейном режиме распространение пучков определяется пространственными дисперсионными соотношениями для мод Блоха [196]: А„(г) = А0(г = 0) ехр(/£ов/г + /у3овг) для ОВ и В „(г) = Вф. = 0) ехр(г£В[й + для ВГ. Здесь /?ов = 2сов соя(£0в) и /?Вг = 2свг соя(£вг) - ДД Характерные дисперсионные соотношения схематически показаны на рис. 3.1 (д). Для постоянных распространения за пределами заштрихованной полосы линейные волны затухают в связи с наличием фотонной запрещённой зоны [133], А„ = и Вп = к"1"1, где = [1 + (1 - ?]2)112]/ги с щ = 2сов/уЗов и т = 2свг/(£вг + Д8). Отметим, что для постоянных распространения ниже полосы (Дов < — 2сов и Рвг < —2свг — ДЗ), «] < 0, то есть у затухающих волн фаза меняется на л между соседними волноводами.

3.2. Нелинейная динамика амплитуды и фазы пучка

Далее мы показываем, что нелинейное параметрической взаимодействие между волнами ОВ и ВГ может изменить фазовый профиль пучков. Отметим, что наиболее эффективная генерация ВГ происходит, когда волны пространственно локализованы, в связи с концентрацией мощности в центре пучка. Сильная локализация происходит при более высоких оптических мощностях из-за самофокусировки.

Для того, чтобы выявить общие соотношения между локализацией и нелинейным переключением фазы пучка, мы сначала анализируем стационарные локализованные состояния или солитоиы. Такие решения имеют вид An(z) = An(z = 0)ехр(ij3z) и Bn(z) = Bn(z = 0)ехр(2i/3z) [277, 278]. Здесь /3-реальный параметр, который одновременно определяет постоянные распространения ОВ (уЗов = Р) и ВГ (Рвг = 2/7). Подставляя эти выражения в уравнения (3.1), мы получим систему нелинейных уравнений для вещественных амплитуд ОВ и ВГ. Хотя решения этих уравнений могут быть найдено только численно, мы можем определить эффект переключения фазы аналитически анализируя хвосты локализованных солитонов, где |А„| —> 0 и \В„\ —» 0 при |и| » 0. Решение для хвоста пучка ОВ такое же, как и для линейной неоднородной волны, А„ я к^"'. Для волн ВГ нелинейным членом, представляющим эффективную внешнюю силу ОВ, нельзя пренебрегать даже в пределе малых амплитуд.

Мы вывели асимптотические выражения для хвостов пучка ВГ: Вп ~ kJ' для |/с2| < к\ и Вп а Оф-1"1 для |аг2| > В первом случае, профиль хвоста ВГ соответствует линейной неоднородной волне, в то время как во втором случае хвост ВГ полностью определяется эффективной внешней силой со стороны ОВ. Переключение фазы пучка ВГ происходит при постоянной распространения ниже полосы, р < Р\ = min(-2con,-сш - Ар/2), поскольку в этом случае Kj < 0. Переключение фазы происходит при

ps± = -CqHcb!' ± лДов^вр + 2с^,в - Д/?с2нсВр. (3.2)

В хвостах ВГ амплитуды мод находятся в противофазе между соседними волноводами при р < рь- и р > ps+, в то время как амплитуды находятся в фазе при j8s_ < Р < ps+- Важно отметить, что для слабой или нулевой связи между модами ВГ (сцг - 0), Д,± стремится к бесконечности и переключение фазы не происходит. Поэтому во всех предыдущих экспериментах с квадратичными массивами волноводов, такой эффект не наблюдался. В экспериментальных условиях, рассмотренных в настоящей работе, длины связи практически постоянны в диапазоне частот около Ар = 0 со значениями LrBl = LcOB - 20 мм. Выберем значение zs = 2Ц)Н/л, тогда соответствующие нормированные константы связи составляют сов.вг — 1-

Структуры фазы профиля ВГ в центре и в хвостах солитона могут различаться. На рис. 3.2(a) представлены численно определённые области параметров для нечётных солитонных решений (с центром в узле решётки [277, 278]), где указаны границы переключения фазы в хвосте и во всем профиле солитона. На рис. 3.2(6,в) показаны интенсивности и фазы профилей солитонов в зависимости от р при Ар = 1. При малых абсолютных значениях р у ОВ компоненты — осциллирующая фаза, а у компоненты ВГ — плоская.

зона ОВ (нет солитонов)

осциллирующие хвосты ВГ

неосциллирующая ВГ

5-5 0 номер волновода п

5 0 л 2к

поперечное волновое число- к

-2.5 -2

постоянная распространения

постоянная распространения (3

¡сциллирующая В Г]

зона ВГ (нет солитонов)

Рнс. 3.2. (а) Области существования и различных топологий содитонных решений с сов = сВг = 1. (б-е) Семейство солитонов для Д/? = 1 [указано пунктиром на рис. (а)]: (б) абсолютные значения амплитуд мод, (в) фазы, где синий соответствует 0 и красный л-, (г) Абсолютные значения пространственных спектров Фурье, (д) Общая мощность, и (е) отношение мощностей Рвг/Ров- Пунктирные линии в (б-е) отмечают значение /За±. соответствующее переключению фазы профиля хвостов ВГ.

Если значение /? ниже профиль ОВ становится очень узким. Таким образом, ВГ испытывает эффективную внешнюю силу со стороны ОВ всего лишь в нескольких центральных волноводах. При этом происходит переключение

профиля ВГ, когда амплитуды в соседних волноводах оказываются в проти-вофазе. Переключение фазы сопровождается характерным изменением в пространственном Фурье спектре [рис. 3.2(г)]. В то время как спектр ОВ всегда локализован у края зоны Бриллюэна (ков — спектр Фурье для ВГ переключается между центром и краем зоны Бриллюэна при переходе между плоской и осциллирующей фазой пучка.

На рис. 3.2(д) показана мощность для солитонов, соответствующих рис. 3.2(б-г). Монотонная зависимость мощности от постоянной распространения является общим свойством для всех семейств солитонов, испытывающих переключение фазы, так как они возникают у края полосы ОВ. Такие солитоны устойчивы [278]. Для значений постоянной распространения ниже порога фазового перехода, мощность в компоненте ВГ намного меньше, чем мощность ОВ [рис. 3.2(е)].

о; ^

х ш

I

со

о.

н

о

о

а.

с:

о

га

сц

а;

го

X I X

к о н о о с:

2.5

0 5-50 номер волновода п

5 0 к 2л

поперечное волновое число к

Рис. 3.3. Семейства солитонов с чётной симметрией: (а) амплитуды мод, (б) фазы и (в) Фурье спектры. Обозначения и параметры соответствуют рис. 3.2(б-г).

Мы также анализируем чётный тип солитонных решений, где профиль ОВ центрирован между соседними волноводами [277, 278]. Так же, как и для нечётных солитонов, рассмотренных выше, происходит переключение фазы в хвостах ВГ, см. рис. 3.3. Однако, амплитуды ВГ в двух центральных волноводах всегда находятся в фазе за счёт чётной симметрии. В результате, пик спектра всегда сосредоточен в центре зоны Бриллюэна [рис. З.З(в)]. Это свидетельствует о возможности частичного подавления переключения фазы. Хотя чётные солитоны могут испытывать неустойчивость, связанную с нарушением симметрии, приводящую к их превращению в в нечётные солитоны [278], та-

кая неустойчивость может развиваться относительно медленно, что позволяет реализовать чётную симметрию в экспериментах.

3.3. Экспериментальное наблюдение переключения фазы

поперечное волновое число

Рис. 3.4. Экспериментально измеренная (верхний ряд) и теоретически рассчитанная (нижний ряд) зависимость пространственного спектра ВГ от входной мощности для различных нормированных расстроек А/3. Пунктирные линии обозначают критические мощности.

Предсказанное явление переключения фазы также исследовалось экспериментально. В наших экспериментах [29] в массив волноводов запускалась только волна ОВ. а затем внутри массива происходила генерация ВГ и самофокусировка пучка. Тем не менее, основные предсказания, основанные на анализе стационарных солитонов, полностью подтвердились. Входные импульсы имели длительность 5,2 пс и длину волны около 1500 нм. Чтобы получить осциллирующую фазу ОВ, пучок наклонялся под углом Брэгга. Мощность пучка устанавливалась с помощью полуволновой пластинки и поляризатора. Массив состоял из 101 параллельного волновода с поперечным расстоянием 15 мкм. Волноводы были изготовлены путём диффузии титана в РР1ЛЧ кристалле длиной 71 мм [279]. Для предотвращения фоторефрактивного эффекта образец нагревался до 220°С. На выходе из образца профили пучков ОВ и ВГ

5 2.0

ю

о

£•1.5

0 ш

1 1.0 X л

Го 0.5 о. н

1о.о

я 2л: 0 тс

поперечное волновое число

теория

Рис, 3.5. (а) Экспериментальные и (б) численные зависимости пространственного спектра ВГ от положения центра пучка ОВ на входе для Д/3 = -9 и пиковой мощности 10 кВт. Пунктирная линия отмечает £вг — я.

фиксировались камерами. Чтобы получить пространственный спектр Фурье ВГ, использовался объектив и дополнительная камера.

В верхнем ряду на рис. 3.4 показаны результаты измерений зависимости спектра Фурье компоненты ВГ от входной мощности ОВ для различных фазовых расстроек, значения которых зависят от входной длины волны в соответствии с рис. 3.1 (г). Для малой входной мощности спектра Фурье ВГ сосредоточен около &вг = 0,2тг, что соответствует плоскому фазовому профилю. Для входной мощности ОВ выше критической у компонент ВГ проявляется осциллирующая фаза, соответствующая &вг = п. Это однозначный признак переключения фазы, в точном соответствии с предсказаниями, основанными на представленном выше анализе стационарных солитонов.

Для подтверждения интерпретации экспериментальных результатов было проведено моделирование распространения импульсов с учётом расстройки групповых скоростей и временной дисперсии [18, 19]. Результаты моделирования приведены в нижнем ряду на рис. 3.4, и они хорошо согласуются с данными измерений. В отличие от случая стационарных солитонов, переключение фазы для импульсов ВГ не является полным, так как крылья импульса остаются в их исходном состоянии. Поэтому всегда присутствуют ненулевые спектральные компоненты ВГ с А-вг = 0,2л.

Другой примечательной особенностью стационарных солитонов является отсутствие полного переключения фазы для чётной симметрии (см. рис. 3.3). На рис. 3.5(а) представлена совокупность экспериментальных результатов для различных поперечных сдвигов образца по отношению к широкому входному пучку ОВ. Видно, что спектральная мощность ВГ при квг = л сильно зависит

от положения входного пучка. Когда входной пучок центрирован на волноводе (нечётная симметрия), фаза ВГ осциллирует в соответствии с рис. 3.4. Для чётной симметрии, когда пучок центрирован между соседними волноводами, спектральная мощность ВГ при кш- = л равна нулю. Это показывает, что переключением фазы можно управлять за счёт изменения положения входного пучка. Экспериментальные результаты хорошо согласуются с данными численного моделирования [рис. 3.5(6)].

3.4. Заключение

Таким образом, мы предсказали теоретически и подтвердили экспериментально резкое переключение структуры фазы пучка ВГ при изменении мощности пучка ОВ в массивах волноводов с квадратичной нелинейностью. Также продемонстрирована возможность управления переключением фазы путём изменения симметрии возбуждения. Переключение фазы связано с эффектом нелинейной фокусировки и локализации, которые также могут наблюдаться и в других нелинейных системах.

4. Генерация перепутанных фотонов в массивах квадратичных волноводов

Спонтанное параметрическое рассеяние (СПР) [280] является наиболее часто используемым процессом для генерации фотонов с перепутанными квантовыми состояниями [281]. Важные приложения включают квантовую криптографию [282] и устройства квантовой логики [283, 284]. Однако, при использовании обычных оптических схем возникают проблемы с обеспечением интерференционной устойчивости, что накладывает ограничение на реализацию сложных квантовых алгоритмов, требующих большого числа оптических компонентов. Действительно, для успешной работы квантовых оптических схем требуется, чтобы квантовая интерференция происходила заданным образом при прохождении всех оптических компонентов. Это требование может быть выполнено в интегрированных оптические схемах, в которых было недавно продемонстрировано много-фотонное перепутывание [285], реализация квантового алгоритма факторизации [286], и контроль над перепутывани-ем поляризационных компонент [287]. Ожидается, что в ближайшем будущем станет возможно массовое производство таких интегрированных устройств для квантовых оптических вычислений.

Важным компонентом интегрированных схем в квантовой оптике являются связанные волноводы. В массиве волноводов отдельные фотоны распространяются в режиме квантовых блужданий, связанных с интерференцией волновой функции при туннелировании фотона между соседними волноводами. В случае распространения пар фотонов в перепутанном состоянии, на выходе из массива волноводов могут формироваться нетривиальные квантовые корреляции [288, 289]. Такие коррелированные квантовые блуждания, включающие интерференцию нескольких фотонов, могут использоваться для реализации квантовых алгоритмов, где скорость работу увеличивается экспоненциально с числом перепутанных фотонов [290, 291]. В предыдущих исследованиях коррелированные пары фотонов генерировались в отдельных кристаллах, а затем заводились в связанные волноводы с помощью ряда оптических элементов. Однако, при этом из-за практически неизбежных потерь может нарушаться квантовая когерентность.

4.1. Спонтанное параметрическое рассеяние и квантовые блуждания фотонов

В нашей работе [16] мы предлагаем и описываем теоретически новую интегрированную схему, включающую одновременную генерацию коррелированных пар фотонов через СПР и их квантовые блуждания в одном интегри-

рованном устройстве - массиве квадратичных нелинейных волноводов. Такая схема позволяет избежать сложных схем для заведения фотонов в массив волноводов, которые требовались в предыдущих экспериментах [289], и при этом предоставляет новые возможности для управления пространственными квантовыми корреляциями на выходе из массива волноводов. В частности, мы показываем, что при изменении условий синхронизма для СПР или при варьировании пространственного профиля пучка накачки, можно контролировать квантовые состояния фотонов, включая реализацию режимов группировки или анти-группировки. Важно отметить, что такой простой, но гибкий контроль квантовой статистики не представляется возможным, когда пары фотонов создаются вне массива. Отметим, что ранее изучалась генерация фотонов в двух связанных нелинейных волноводах [292, 293] и интегрированные схемы, включающие источники фотонов на базе СПР [294]. Однако, в рамках предлагаемой в настоящей работе интеграции СПР и квантовых блужданий в одном нелинейном массиве волноводов происходит дополнительная квантовая интерференция между вероятностями генерации фотонных пар в разных местах массива. Как показано далее, эта квантовая интерференция позволяет улучшить чёткость пространственных корреляций фотонов на выходе.

Массивы квадратичных нелинейных волноводов позволяют манипулировать оптическими импульсами в режиме генерации второй гармоники [277]. Здесь мы рассматриваем обратный процесс СПР и изучаем генерацию коррелированных пар фотонов, как схематически показано на рис. 4.1 (а). Для определённости рассмотрим режим вырожденного СПР, когда накачка генерирует фотоны одинаковой поляризации с частотой, примерно равной половине частоты пучка накачки. Невырожденное СПР также может происходить, однако, такой процесс может быть исключен с помощью частотной фильтрации на выходе из массива.

Квантовые блуждания происходят в результате непрерывного туннели-рования фотонов между волноводами. Эффект туннелирования между соседними волноводами может быть охарактеризован коэффициентами связи [277, 289]. Будем считать, что отфильтрованный диапазон частот достаточно узкой, так что коэффициенты связи совпадают для сигнального (s) и холостого (/) фотонов, С = Cs,i-

Для массивов волноводов удобно представлять состояния фотонов в базисе волн Блоха (которые концептуально аналогичны Фурье модам в однородных объёмных, кристаллах), которые имеют вид exp(ik^n + i/3sjz) [277]. Здесь п — номер волновода, индексы s и / обозначают сигнальную и холостую волны соответственно, — нормированные поперечные волновые числа, которые определяют разность фаз между соседними волноводами и ps i — постоянные распространения, которые определяют продольные волновые числа. Пространственная дисперсии записывается в соответствии с универсальным

соотношением для массивов волноводов [277],

= = /?(0Vv) + 2С cos(*£)• (4.1)

Здесь /3<°> — постоянная распространения для одного волновода, ojsj — частоты сигнальной и холостой волн. Дисперсионные зависимости для сигнальной и холостой волн представлены на рис. 4.1(6). Для накачки с оптической частотой Юр - 2o)jпространственная дисперсия также имеет вид аналогичный уравнению (4.1), однако соответствующий коэффициент связи Ср, как правило, имеют гораздо меньшее значение по сравнению с сигнальной и холостой волнами, Ср <к С, из-за слабого перекрытия мод между соседними волноводами на более высоких частотах [277]. На практике, CPL 1, где L это дайна массива. Следовательно, для накачки эффектами связи можно пренебречь (Ср ~ 0). В этом случае профиль пучка накачки на входе Ап(п) остаётся практически неизменным внутри массива.

Отметим, что пространственная дисперсия в массивах волноводов существенно отличается от дисперсии в объёмных кристаллах. Во-первых, в однородных кристаллах дифракция пропорциональна длине волны света в материале. В частности, коэффициент дифракции для пучка накачки равен примерно половине коэффициента дифракции для сигнальной и холостой волн. Однако, в массивах волноводов дифракция сигнальной и холостой волн определяется коэффициентом связи С, которым можно гибко управлять, например, путём изменения поперечного расстояния между волноводами. В то же время, дифракция пучка накачки может быть практически полностью подавлена, как обсуждалось выше. Во-вторых, в однородных кристаллах пространственная дисперсия является параболической в параксиальном режиме, р ~ —D(kJ~)2. Таким образом, для каждого волнового числа существует единственное направление распространения, определяемое нормированным углом v(k■L) = -др/дк1- = Wk1-. В массивах волноводов, форма дисперсии существенно другая [уравнение (4.1)], например, существуют пары воли с различными волновыми числами и совпадающими направлениями распространения, так как [277] v(kL) = 2С sin(A'~) и v{k^) = v(n-kL'j. Мы покажем далее, что из-за этих различий в дисперсии СПР процессы в массивах волноводов предоставляют новые и уникальные возможности по управлению фотонами по сравнению с объёмными кристаллами.

4.2. Управление пространственными корреляциями фотонов

Для описания фотонных корреляций на выходе из массива волноводов применим математический подход, разработанный ранее для многомодовых

волноводов [295-297]. Мы рассматриваем непрерывную волну накачки с уз-

(0)

кополосным спектром на центральной частоте а>р и описываем состояния

(б)

Рис. 4.1. (а) Схема квадратичного массива волноводов: пучок накачки генерирует пары фотонов, которые туннелируют между соседними волноводами, (б) Зависимость постоянной распространения от нормированного поперечного волнового числа для сигнальной (красный пунктир) и холостой (синяя линия) волн в режиме вырожденного СПР.

фотонов на выходе из массива волноводов с помощью базиса волн Блоха. Отметим, что полный набор волн Блоха определяется поперечными волновыми числами из первой зоны Бриллюэна, -л < < л. Тогда выражение для двух-фотонного состояния может быть записано следующим образом [16]:

||/г) = 2л В

йктйк^

йАы Лее)),

(4.2)

где

А со)) = Ак(к$ + #) sinc(A/?L/2) ехр(-;'ДД£,/2) а\Аы, к±) а\-Аы, к-) |0, 0).

(4.3)

Здесь Ак — пространственный спектр профиля пучка накачки, В — константа, (Аа1Шщ, Ао)тах) — диапазон длин волн пропускаемых фильтром на выходе, а' — операторы рождения фотонов с заданными поперечными волновыми числами и частотами, |0, 0) — вакуумное состояние. Фазовая расстойка

Рис. 4.2. Корреляции пар фотонов (а) в ¿-пространстве (для пространственного спектра) и (б) в реальном пространстве (для номеров волноводов) для накачки заведённой в центральный волновод (п = 0) при нулевой фазовой расстойке для уединённого волновода.

Теперь вычислим корреляционную функцию второго порядка Г= ^ЛаКК^!^.)!2), которая определяет корреляции между фотонами с различными поперечными волновыми числами. Для определения корреляций между сигнальным и холостым фотонами в реальном пространстве (с соответствующими номерами волноводов п$ и щ) мы применяем Фурье преобразование к выражению (4.3) и получаем двухфотонное состояние в представлении для реального пространства |¥„(и5, и,-, Асо)). Затем вычислим корреляционную функцию Г„(п6.,и,) = J dA£iJ(|<ЧJ,г|г^'„>|2), которая может быть определена экспериментально при измерении совпадений отсчётов для двух детекторов, перемещаемых по всему массиву волноводов [289] [см. рис. 4.1 (а)]. Далее в численных расчётах мы используем характерные экспериментальные параметры для массива волноводов в ЫЫЬОз [29], где длина волноводов может составлять Ь= 10/С.

Рассмотрим сначала случай, когда накачка заведена в центральный волновод (п = 0). При этом пространственный спектр накачки получается постоянным для всех поперечных волновых чисел, А^к^ + к±) - 1. На рис. 4.2 представлены фотонные корреляции на выходе из массива волноводов в ¿-пространстве и реальном пространстве, для случая вырожденного синхронизма для одного волновода когда си = 0) = 0. Квадратная форма, на-

определяется с помощью соотношения (4.1), = А/3{0\Асо)-

2Ссоа(£^) - 2Ссо«(^), где Д/?<0)(Да>) — расстройка в одном волноводе и Лео - - = 2 - и>, — отстройка сигнальной и холостой частот

от вырожденной частоты 0)^/2.

блюдаемая в ¿-пространстве [рис. 4.2(a)], свидетельствует о выраженной корреляции между генерируемыми сигнальным и холостым фотонами с поперечными волновыми числами, удовлетворяющими соотношениям kf ± kf ~ ±л. Это связано с тем, что такие волновые числа соответствуют наиболее эффективным синхронным взаимодействиям с Л/3 = -2Ccos(&j-) -гСсоз^) = 0 при Аш = 0. Отметим, что в режиме фазового синхронизма фотоны в паре будет иметь те же или противоположные направления распространения, т.к. v(kf ) = ±v(kf). Действительно, соответствующие корреляции в реальном пространстве, представленные на рис. 4.2(6), показывают, что вероятность обнаружения сигнального и холостого фотонов в одном и том же волноводе (ns = rif, режим группировки) или в противоположных волноводах (я., = — п,-, режим анти-группировки) значительно выше по сравнению с другими вероятностями. Таким образом, группировка и анти-группировка для пары фотонов очень сильно выражены. Это связано с квантовой интерференцией между парами фотонов, сгенерированных в разных местах вдоль центрального волновода. Такая интерференция увеличивает чёткость корреляции при условии, что выполнены условия фазового синхронизма для уединённого волновода.

Статистикой фотонов на выходе можно управлять путём изменения профиля пучка накачки. Когда пучок накачки заведен с одинаковыми амплитудами и фазами в два соседних волновода, Ап(п) = 1 при и = 0,1, то в ¿-пространстве корреляции сильно изменяются [рис. 4.3(a)] по сравнению с пучком накачки заведённым в один волновод. Это происходит потому, что спектр накачки в основном концентрируется в центральной части зоны Бриллюэна с \кр\ < л/2 и, следовательно, для синхронного взаимодействия кр = kf + kf, что подавляет генерацию фотонов с волновыми числами kf + kf - ±л. Эффективные синхронные процессы с kf - kf - ±л соответствуют противоположным направлениям распространения генерируемых фотонов с v(fc^) ~ —v(kf). Соответственно, в реальном пространстве преобладает режим анти-группировки [рис. 4.3(6)].

Если мы введем разность фаз л между амплитудами накачки в двух волноводах на входе, т.е. Л„(0) = 1 и А„( 1) = ехр(;тг) = -1, то ситуация изменится на противоположную, т.к. другие синхронные процессы будут преобладать в ¿-пространстве по сравнению со случаем без фазовой модуляции накачки, рассмотренным выше. Это приводит к выраженной группировке пар фотонов в реальном пространстве [рис. 4.3(в,г)].

4.3. Заключение

Таким образом, мы описали явление одновременного СПР и квантовых блужданий в массивах квадратичных нелинейных волноводов и показали, что корреляции фотонов можно эффективно контролировать путём измене-

Рис. 4.3. Корреляции иар фотонов (а,в) в ¿-пространстве и (б,д) в реальном пространстве для вырожденного фазового синхронизма и пучка накачки заведённого в волноводы номер п 0,1 с амплитудами (а,б) Л„(0) = Л,,(1) = 1 и (в,г) Л„(0) = -Л„(1) = 1.

ния профиля пучка пакачки. При этом возможно получать различные типы квантовых корреляций, например, режимы группировки и анти-группировки, и динамически переключаться между ними. Мы показали, что СПР в нелинейных массивах волноводов позволяет получить более чётко выраженные корреляции фотонов по сравнению с квантовыми блужданиями в линейных массивах волноводов, благодаря интерференции вероятностей генерирования фотонных пар в разных местах по длине нелинейного массива волноводов. По сравнению с СПР в объёмных кристаллах, нелинейные массивы волноводов открывают совершенно новые возможности для управления пространственной дисперсией волн и, соответственно, для управления корреляциями фотонов.

Мы ожидаем, что наши результаты могут открыть новые возможности для развития квантовых интегральных схем, в которых объединяется генерация пар фотонов и преобразование коррелированных состояний фотонов. Отметим, что пространственные волновые функции пар фотонов, образующихся при СПР могут быть сформированы за счёт поляризации кристалла для модуляции знака квадратичной нелинейной восприимчивости [298-300]. Квадратичная нелинейность в массивах волноводов также может быть модулирована путём создания доменной структуры [277], [29], поэтому объединение двух подходов может предоставить ещё большую гибкость для управления квантовыми состояниями в соответствии с требованиями приложений в интегрированных фотонных платформах. Нелинейные массивы волноводов также могут быть использованы для управления много-фотонными квантовыми состояниями [301], что является предметом дальнейших исследований.

Список публикаций автора по теме работы Главы в книгах

1. Sukhorukov A. A. Spatial switching of slow light in periodic photonic structures // Nonlinearities in Periodic Structures and Metamaterials / Ed. by C. Denz, S. Flach, Yu. S. Kivshar.— New York : Springer-Verlag, 2009,— Vol. 150 of Springer Series in Optical Sciences. — P. 55-70.

2. Neshev D. N., Sukhorukov A. A., Krolikowski W. Z., Kivshar Y. S. Polychromatic light localization in periodic structures // Nonlinearities in Periodic Structures and Metamaterials / Ed. by C. Denz, S. Flach, Yu. S. Kivshar. — New York : Springer-Verlag, 2009,— Vol. 150 of Springer Series in Optical Sciences. — P. 145-161.

3. Saltiel S. M., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Multistep parametric processes in nonlinear optics // Progress in Optics / Ed. by E. Wolf. — Amsterdam : North-Holland, 2005. - Vol. 47. - P. 1-73.

4. Kivshar Y. S., Sukhorukov A. A. Stability of spatial optical solitons // Spatial Optical Solitons / Ed. by S. Trillo, W. E. Torruellas. — New York : SpringerVerlag, 2001, — Vol. 82 of Springer Series in Optical Sciences. — P. 211-245.

5. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Nonlinear impurity modes in homogeneous and periodic media // Nonlinearity and Disorder: Theory and Applications / Ed. by F. Abdullaev, O. Bang, M. P. Sorensen. — New York : Kluwer, 2001,— P. 279-289.

Статьи в реферируемых журналах

6. Розанов Н. Н., Федоров С. В., Савельев Р. С., Сухоруков А. А., Кив-шарь Ю. С. Зонная структура и широкополосная компенсация поглощения усилением в слоистых оптических материалах // Ж. Эксп. Теор. Физ. — 2012. — Т. 141.-С. 899-909.

7. Garanovich I. L., Longhi S., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Light propagation and localization in modulated photonic lattices and waveguides // Phys. Rep. - 2012,- Vol. 518, no. 1-2,- P. 1-79.

8. Andryieuski A., Ha S., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Lavrinenko A. V. Bloch-mode analysis for retrieving effective parameters of metamaterials // Phys. Rev. В.-2012.-Jul 18,-Vol. 86, no. 3.-P. 035127-10.

9. Alexeeva N. V., Barashenkov I. V., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Optical solitons in PT-symmctric nonlinear couplers with gain and loss // Phys. Rev. A. — 2012. —Jun 28.— Vol. 85, no. 6. - P. 063837-13.

10. Sukhorukov A. A., Dmitriev S. V., Suchkov S. V., Kivshar Y. S. Nonlocality

in PT-symmetric waveguide arrays with gain and loss // Opt. Lett. — 2012. — Jim 1.-Vol. 37, no. 11.-P. 2148-2150.

11. White T. P., Sukhorukov A. A. Transition from slow and frozen to superluminal and backward light through loss or gain in dispersion-engineered waveguides // Phys. Rev. A.— 2012. —Apr 11,— Vol. 85, no. 4,— P. 043819-6.

12. Gutman N., de Sterke C. M., Sukhorukov A. A., Botten L. C. Slow and frozen light in optical waveguides with multiple gratings: Degenerate band edges and stationary inflection points // Phys. Rev. A.— 2012.— Mar 7,— Vol. 85, no. 3,- P. 033804-11.

13. Sun Y., White T. P., Sukhorukov A. A. Slow-light enhanced optical forces between longitudinally shifted photonic-crystal nanowire waveguides // Opt. Lett.-2012.-Mar 1,-Vol. 37, no. 5.-P. 785-787.

14. Solntsev A. S., Sukhorukov A. A. Combined frequency conversion and pulse compression in nonlinear tapered waveguides // Opt. Lett.— 2012, — Feb 15.- Vol. 37, no. 4,- P. 446-448.

15. Gutman N., Dupree W. H., Sun Y., Sukhorukov A. A., de Sterke C. M. Frozen and broadband slow light in coupled periodic nanowire waveguides // Opt. Express. - 2012.-Feb 13,- Vol. 20, no. 4,- P. 3519-3528.

16. Solntsev A. S., Sukhorukov A. A., Neshev D. X., Kivshar Y. S. Spontaneous parametric down-conversion and quantum walks in arrays of quadratic nonlinear waveguides // Phys. Rev. Lett.— 2012, — Jan 10.— Vol. 108, no. 2.-P. 023601-5.

17. Setzpfandt F., Sukhorukov A. A., Pertsch T. Discrete quadratic solitons with competing second-harmonic components // Phys. Rev. A.— 2011.—Nov 22,- Vol. 84, no. 5,- P. 053843-8.

18. Setzpfandt F., Sukhorukov A. A., Neshev D. N„ Schiek R„ Solntsev A. S., Ricken R., Min Y., Sohler W., Kivshar Y. S., Pertsch T. Spectral pulse transformations and phase transitions in quadratic nonlinear waveguide arrays // Opt. Express. - 2011. - Nov 7. - Vol. 19, no. 23. - P. 23188-23201.

19. Setzpfandt F., Neshev D. N., Sukhorukov A. A., Schiek R., Ricken R, Min Y., Kivshar Y. S., Sohler W., Lederer F., Tunnermann A., Pertsch T. Nonlinear dynamics with higher-order modes in lithium niobate waveguide arrays // Appl. Phys. B.- 2011. -Sep. -Vol. 104, no. 3,- P. 487-493.

20. Gutman N., Botten L. C., Sukhorukov A. A., de Sterke C. M. Degenerate band edges in optical fiber with multiple grating: efficient coupling to slow light//Opt. Lett.-2011.-Aug 15,-Vol. 36, no. 16.-P. 3257-3259.

21. Dmitriev S. V., Suchkov S. V., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Scattering of linear and nonlinear waves in a waveguide array with a PT-symmetric defect//Phys. Rev. A.-2011.-Jul 28,-Vol. 84, no. l.-P. 013833-5.

22. Solntsev A. S., Sukhorukov A. A., Neshev D. N., Iliew R., Geiss R.,

Pertsch T.( Kivshar Y. S. Cascaded third harmonic generation in lithium niobate nanowaveguides // Appl. Phys. Lett.— 2011. — Jim 6.— Vol. 98, no. 23.-P. 231110-3.

23. Szameit A., Dreisow F., Heinrich M., Nolte S., Sukhorukov A. A. Realization of reflectionless potentials in photonic lattices // Phys. Rev. Lett. — 2011. — May 12. - Vol. 106, no. 19. - P. 193903-4.

24. Maksymov I. S., Sukhorukov A. A., Lavrinenko A. V., Kivshar Y. S. Comparative study of FDTD-adopted numerical algorithms for Kerr nonlinearities // IEEE Antennas Wirel. Propag. Lett. — 2011.— Vol. 10.— P. 143-146.

25. Ha S„ Ams M„ Marshall G. D„ Neshev D. N., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Withford M. J. Control of light transmission in laser-written phase-shifted Bragg grating couplers // Opt. Lett. — 2011. — Apr 15. — Vol. 36, no. 8,- P. 1380-1382.

26. Spasenovic M„ White T. P., Ha S., Sukhorukov A. A., Kampfrath T„ Kivshar Y. S., de Sterke C. M., Krauss T. F., Kuipers L. Experimental observation of evanescent modes at the interface to slow-light photonic crystal waveguides//Opt. Lett. - 2011. - Apr l.-Vol. 36, no. 7,-P. 1170-1172.

27. Ha S., Spasenovic M., Sukhorukov A. A., White T. P., de Sterke C. M., Kuipers L. K., Krauss T. F., Kivshar Y. S. Slow-light and evanescent modes at interfaces in photonic crystal waveguides: optimal extraction from experimental near-field measurements // J. Opt. Soc. Am. B. — 2011. — Apr. — Vol. 28, no. 4. - P. 955-963.

28. Ha S., Sukhorukov A. A., Lavrinenko A. V., Shadrivov I. V., Powell D. A., Kivshar Y. S. Observation of tunneling of slow and fast electromagnetic modes in coupled periodic waveguides // Appl. Phys. Lett.— 2011, —Feb 7. - Vol. 98, no. 6. - P. 061909-3.

29. Setzpfandt F., Sukhorukov A. A., Neshev D. N., Schiek R., Kivshar Y. S., Pertsch T. Phase transitions of nonlinear waves in quadratic waveguide arrays//Phys. Rev. Lett.-2010.-Dec l.-Vol. 105,no. 23. — P. 233905^4.

30. Mahmoodian S., Sukhorukov A. A., Ha S., Lavrinenko A. V., Poulton C. G., Dossou K. B., Botten L. C„ McPhedran R. C., de Sterke C. M. Paired modes of heterostructure cavities in photonic crystal waveguides with split band edges // Opt. Express. - 2010. -Dec 6. - Vol. 18, no. 25. - P. 25693-25701.

31. Rukhlenko I. D., Garanovich I. L., Premaratne M., Sukhorukov A. A., Agrawal G. P., Kivshar Y. S. Polarization rotation in silicon waveguides: Analytical modeling and applications // IEEE Photonics J. — 2010. — Jun.— Vol. 2, no. 3,-P. 423-435.

32. Sukhorukov A. A., Marsal N., Minovich A., Wolfersberger D., Sciamanna M., Montemezzani G., Neshev D. N. Lattice-controlled modulation instability in photorefractive feedback systems // Opt. Lett. — 2010. —Nov 1.— Vol. 35,

no. 21.-P. 3568-3570.

33. Scheuer J., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. All-optical switching of dark states in nonlinear coupled microring resonators // Opt. Lett. — 2010.—Nov 1.-Vol. 35, no. 21.-P. 3712-3714.

34. Sukhorukov A. A., Xu Z. Y., Kivshar Y. S. Nonlinear suppression of time reversals in PT-symmetric optical couplers // Phys. Rev. A.— 2010, —Oct 13,-Vol. 82, no. 4.-P. 043818-5.

35. Bennet F. H., Amuli I. A., Sukhorukov A. A., Krolikowski W., Neshev D. N., Kivshar Y. S. Focusing-to-defocusing crossover in nonlinear periodic structures //Opt. Lett. —2010, —Oct 1, —Vol. 35, no. 19, — P. 3213-3215.

36. Ha S., Sukhorukov A. A., Lavrinenko A. V., Kivshar Y. S. Cavity mode control in side-coupled periodic waveguides: Theory and experiment // Photonics Nanostruct.: Fundam. Appl. — 2010, —Sep.— Vol. 8, no. 4,— P. 310-317.

37. Dmitriev S. V., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Binary parity-time-symmetric nonlinear lattices with balanced gain and loss // Opt. Lett.— 2010. - Sep 1. - Vol. 35, no. 17. - P. 2976-2978.

38. Rukhlenko I. D., Premaratne M., Garanovich I. L., Sukhorukov A. A., Agrawal G. P. Analytical study of pulse amplification in silicon Raman amplifiers // Opt. Express.— 2010,—Aug 16.— Vol. 18, no. 17,— P. 18324-18338.

39. Liu W., Sukhorukov A. A., Miroshnichenko A. E„ Poulton C. G„ Xu Z. Y„ Neshev D. N., Kivshar Y. S. Complete spectral gap in coupled dielectric waveguides embedded into metal // Appl. Phys. Lett.— 2010.—Jul 12,— Vol. 97, no. 2.-P. 021106-3.

40. Qi X. Y„ Garanovich I. L„ Xu Z. Y„ Sukhorukov A. A., Krolikowski W„ Mitchell A., Zhang G. Q., Neshev D. N., Kivshar Y. S. Nonlinear surface waves in arrays of curved waveguides // Photonics Nanostruct.: Fundam. Appl. - 2010. - May. - Vol. 8, no. 2. - P. 62-66.

41. Szameit A., Garanovich I. L., Heinrich M., Sukhorukov A. A., Dreisow F., Pertsch T., Nolte S., Tunnermann A., Longhi S., Kivshar Y. S. Observation of two-dimensional dynamic localization of light // Phys. Rev. Lett. — 2010,— Jun 1,- Vol. 104, no. 22. - P. 223903-4.

42. Sukhorukov A. A. Reflectionless potentials and cavities in waveguide arrays and coupled-resonator structures // Opt. Lett.— 2010.—Apr 1,— Vol. 35, no. 7.- P. 989-991.

43. Matuszewski M., Garanovich I. L., Sukhorukov A. A. Light bullets in nonlinear periodically curved waveguide arrays // Phys. Rev. A.— 2010.— Apr. - Vol. 81, no. 4. - P. 043833-7.

44. Qi X. Y., Garanovich I. L., Sukhorukov A. A., Krolikowski W., Mitchell A., Zhang G. Q., Neshev D. N., Kivshar Y. S. Polychromatic solitons and

symmetry breaking in curved waveguide arrays // Opt. Lett. — 2010.— May 1. — Vol. 35, no. 9.-P. 1371-1373.

45. Ha S., Sukhorukov A. A., Dossou K. B., Botten L. C., de Sterke C. M., Kivshar Y. S. Bloch-mode extraction from near-field data in periodic waveguides // Opt. Lett. - 2009. - Dec 15. - Vol. 34, no. 24. - P. 3776-3778.

46. Johansson M., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Discrete reduced-symmetry solitons and second-band vortices in two-dimensional nonlinear waveguide arrays // Phys. Rev. E. - 2009. - Oct. - Vol. 80, no. 4. - P. 046604-15.

47. Dmitriev S. V., Sukhorukov A. A., Pshenichnyuk A. I., Khadeeva L. Z., Iskandarov A. M., Kivshar Y. S. Anti-Fermi-Pasta-Ulam energy recursion in diatomic lattices at low energy densities // Phys. Rev. B.— 2009.— Sep. — Vol. 80, no. 9,- P. 094302-9.

48. Qi X. Y„ Garanovich I. L„ Xu Z. Y„ Sukhorukov A. A., Krolikowski W., Mitchell A., Zhang G. Q., Neshev D. N., Kivshar Y. S. Observation of nonlinear surface waves in modulated waveguide arrays // Opt. Lett. — 2009.-Sep 15.-Vol. 34, no. 18. - P. 2751-2753.

49. Sukhorukov A. A., Ha S., Desyatnikov A. S., Lavrinenko A. V., Kivshar Y. S. Slow-light vortices in periodic waveguides // J. Opt. A-Pure Appl. Opt.— 2009. - Sep. - Vol. 11, no. 9. - P. 094016-6.

50. Xu Z. Y., Sukhorukov A. A. Spatial-spectral vortex solitons in quadratic lattices//Opt. Lett.-2009.-Apr 15,-Vol. 34, no. 8.-P. 1168-1170.

51. Davoyan A. R., Shadrivov I. V., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Plasmonic Bloch oscillations in chirped metal-dielectric structures // Appl. Phys. Lett. — 2009.-Apr20.-Vol. 94, no. 16.-P. 161105-3.

52. Szameit A., Garanovich I. L., Heinrich M., Sukhorukov A. A., Dreisow F., Pertsch T., Nolte S., Tuennermann A., Kivshar Y. S. Polychromatic dynamic localization in curved photonic lattices // Nature Physics. — 2009. — Apr. — Vol. 5, no. 4.-P. 271-275.

53. Sukhorukov A. A., Ha S., Shadrivov I. V., Powell D. A., Kivshar Y. S. Dispersion extraction with near-field measurements in periodic waveguides // Opt. Express. - 2009. -Mar 2. - Vol. 17, no. 5. - P. 3716-3721.

54. Rasmussen P. D., Bennet F. H., Neshev D. N., Sukhorukov A. A., Rosberg C. R., Krolikowski W., Bang O., Kivshar Y. S. Observation of two-dimensional nonlocal gap solitons // Opt. Lett.— 2009. —Feb 1.— Vol. 34, no. 3. - P. 295-297.

55. Davoyan A. R., Sukhorukov A. A., Shadrivov I. V., Kivshar Y. S. Beam oscillations and curling in chirped periodic structures with metamaterials // Phys. Rev. A.- 2009.-Jan.-Vol. 79, no. 1,- P. 013820-8.

56. Ha S., Sukhorukov A. A. Nonlinear switching and reshaping of slow-light pulses in Bragg-grating couplers // J. Opt. Soc. Am. B.— 2008.— Dec.— Vol. 25, no. 12,- P. C15-C22.

57. Sukhorukov A. A., Lavrinenko A. V., Chigrin D. N., Pelinovsky D. E., Kivshar Y. S. Slow-light dispersion in coupled periodic waveguides // J. Opt. Soc. Am. B. - 2008. - Dec. - Vol. 25, no. 12. - P. C65-C74.

58. Szameit A., Garanovich I. L., Heinrich M., Sukhorukov A. A., Dreisow F., Pertsch T., Nolte S., Tunnermann A., Kivshar Y. S. Observation of defect-free surface modes in optical waveguide arrays // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Nov 14. - Vol. 101, no. 20. - P. 203902-4.

59. Szameit A., Garanovich I. L., Heinrich M., Minovich A., Dreisow F., Sukhorukov A. A., Pertsch T., Neshev D. N.. Nolte S., Krolikowski W„ Tunnermann A., Mitchell A., Kivshar Y. S. Observation of diffraction-managed discrete solitons in curved waveguide arrays // Phys. Rev. A.— 2008.-Sep.-Vol. 78, no. 3.-P. 031801-4.

60. Garanovich I. L., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Shaping and switching of polychromatic light in arrays of periodically curved nonlinear waveguides // Cent. Eur. J. Phys. - 2008. - Sep. - Vol. 6, no. 3. - P. 593-602.

61. Garanovich 1. L., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Defect-free surface states in modulated photonic lattices // Phys. Rev. Lett. — 2008.—May 23.— Vol. 100, no. 20.-P. 203904-4.

62. Sukhorukov A. A., Neshev D. N., Dreischuh A., Krolikowski W., Bolger J., Eggleton B. J., Bui L., Mitchell A., Kivshar Y. S. Observation of polychromatic gap solitons // Opt. Express.— 2008,—Apr 28.— Vol. 16, no. 9.-P. 5991-5996.

63. Rasmussen P. D., Sukhorukov A. A., Neshev D. N., Krolikowski W., Bang O., Laegsgaard J., Kivshar Y. S. Spatiotemporal control of light by Bloch-mode dispersion in multi-core fibers // Opt. Express. — 2008.—Apr 14.— Vol. 16, no. 8.-P. 5878-5891.

64. Davoyan A. R., Shadrivov I. V., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Bloch oscillations in chirped layered structures with metamaterials // Opt. Express. — 2008. - Mar 3,- Vol. 16, no. 5.-P. 3299-3304.

65. Ha S. W., Sukhorukov A. A., Dossou K. B., Botten L. C., Lavrinenko A. V., Chigrin D. N., Kivshar Y. S. Dispersionless tunneling of slow light in antisymmetric photonic crystal couplers // Opt. Express. — 2008.— Jan 21,— Vol. 16, no. 2.-P. 1104-1114.

66. Sukhorukov A. A., Handmer C. J., de Sterke C. M., Steel M. J. Slow light with flat or offset band edges in few-mode fiber with two gratings // Opt. Express. - 2007.-Dec 24,- Vol. 15, no. 26,- P. 17954-17959.

67. Neshev D. N., Sukhorukov A. A., Krolikowski W., Kivshar Y. S. Nonlinear optics and light localization in periodic photonic lattices // J. Nonlinear Opt. Phys. Mater.-2007.-Mar.-Vol. 16, no. l.-P. 1-25.

68. Sukhorukov A. A., Neshev D. N., Kivshar Y. S. Shaping and control of polychromatic light in nonlinear photonic lattices // Opt. Express. — 2007. —

Oct 1,-Vol. 15, no. 20.-P. 13058-13076.

69. Neshev D. N., Sukhorukov A. A., Dreischuh A., Fischer R., Ha S., Bolger J., Bui L., Krolikowski W., Eggleton B. J., Mitchell A., Austin M. W., Kivshar Y. S. Nonlinear spectral-spatial control and localization of supercontinuum radiation // Phys. Rev. Lett.— 2007,— Sep 21,— Vol. 99, no. 12.-P. 123901-4.

70. Garanovich I. L., Sukhorukov A. A. Nonlinear directional coupler for polychromatic light // Opt. Lett.— 2007,—Mar 1,— Vol. 32, no. 5,— P. 475-477.

71. Garanovich I. L., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Nonlinear diffusion and beam self-trapping in diffraction-managed waveguide arrays // Opt. Express. - 2007. - Jul 23. - Vol. 15, no. 15. - P. 9547-9552.

72. Garanovich I. L., Szameit A., Sukhorukov A. A., Pertsch T., Krolikowski W., Nolte S., Neshev D., Tuennermann A., Kivshar Y. S. Diffraction control in periodically curved two-dimensional waveguide arrays // Opt. Express. — 2007. - Jul 23. - Vol. 15, no. 15. - P. 9737-9747.

73. Fischer R., Neshev D. N., Lopez-Aguayo S., Desyatnikov A. S., Sukhorukov A. A., Krolikowski W., Kivshar Y. S. Light localization in azimuthally modulated Bessel photonic lattices // J. Mater. Sci.-Mater. Electron.-2007.-Oct.-Vol. 18.-P. S277-S283.

74. Fischer R., Neshev D. N„ Saltiel S. M„ Sukhorukov A. A., Krolikowski W„ Kivshar Y. S. Monitoring ultrashort pulses by transverse frequency doubling of counterpropagating pulses in random media // Appl. Phys. Lett. — 2007. — Jul 16,-Vol. 91, no. 3.-P. 031104-3.

75. Ha S., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Slow-light switching in nonlinear Bragg-grating couplers // Opt. Lett.— 2007. —Jun 1,— Vol. 32, no. 11.— P. 1429-1431.

76. Kevrekidis P. G., Dmitriev S. V., Sukhorukov A. A. On a class of spatial discretizations of equations of the nonlinear Schrodinger type // Math. Comput. Simul. — 2007.-Mar 30,- Vol. 74, no. 4-5.-P. 343-351.

77. Rosberg C. R., Neshev D. N., Sukhorukov A. A., Krolikowski W., Kivshar Y. S. Observation of nonlinear self-trapping in triangular photonic lattices // Opt. Lett. - 2007.-Feb 15.-Vol. 32, no. 4,- P. 397-399.

78. Garanovich I. L., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Broadband diffraction management and self-collimation of white light in photonic lattices // Phys. Rev. E. - 2006. - Dec. - Vol. 74, no. 6. - P. 066609-4.

79. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Slow-light optical bullets in arrays of nonlinear Bragg-grating waveguides // Phys. Rev. Lett. — 2006.—Dec 8,— Vol. 97, no. 23,- P. 233901^1.

80. Sukhorukov A. A., Neshev D. N., Dreischuh A., Fischer R., Ha S., Krolikowski W., Bolger J., Mitchell A., Eggleton B. J., Kivshar Y. S.

Polychromatic nonlinear surface modes generated by supercontinuum light // Opt. Express. - 2006.-Nov 13.- Vol. 14, no. 23.-P. 11265-11270.

81. Motzek K., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Self-trapping of polychromatic light in nonlinear periodic photonic structures // Opt. Express. — 2006. — Oct 16,- Vol. 14, no. 21,- P. 9873-9878.

82. Motzek K., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Polychromatic interface solitons in nonlinear photonic lattices // Opt. Lett.— 2006.— Nov 1,— Vol. 31, no. 21,- P. 3125-3127.

83. Sukhorukov A. A. Soliton dynamics in deformable nonlinear lattices // Phys. Rev. E. - 2006. - Aug. - Vol. 74, no. 2. - P. 026606-4.

84. Dmitriev S. V., Kevrekidis P. G., Sukhorukov A. A., Yoshikawa N., Takeno S. Discrete nonlinear Schrodinger equations free of the Peierls-Nabarro potential // Phys. Lett. A. — 2006,—Aug 14,— Vol. 356, no. 4-5,— P. 324-332.

85. Molina M. I., Garanovich I. L., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Discrete surface solitons in semi-infinite binary waveguide arrays // Opt. Lett.— 2006.-Aug 1,-Vol. 31, no. 15.-P. 2332-2334.

86. Garanovich I. L., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Molina M. Surface multi-gap vector solitons // Opt. Express. — 2006, —May 29,— Vol. 14, no. 11.— P. 4780-4785.

87. Rosberg C. R., Garanovich I. L., Sukhorukov A. A., Neshev D. N., Krolikowski W., Kivshar Y. S. Demonstration of all-optical beam steering in modulated photonic lattices // Opt. Lett.— 2006,—May 15,— Vol. 31, no. 10,- P. 1498-1500.

88. Sukhorukov A. A., Shadrivov I. V., Kivshar Y. S. Wave scattering by metamaterial wedges and interfaces // Int. J. Numer. Model.: Electron. Netw. Device Fields. - 2006. - Mar-Apr. - Vol. 19, no. 2. - P. 105-117.

89. Fischer R., Neshev D. N., Lopez-Aguayo S., Dcsyatnikov A. S., Sukhorukov A. A., Krolikowski W., Kivshar Y. S. Observation of light localization in modulated Bessel optical lattices // Opt. Express.— 2006.— Apr 3,- Vol. 14, no. 7,- P. 2825-2830.

90. Sukhorukov A. A. Enhanced soliton transport in quasiperiodic lattices with introduced aperiodicity // Phys. Rev. Lett.— 2006.— Mar 24,— Vol. 96, no. 11,- P. 113902-4.

91. Trompeter H., Krolikowski W., Neshev D. N., Desyatnikov A. S., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Pertsch T., Peschel U., Lederer F. Bloch oscillations and Zener tunneling in two-dimensional photonic lattices // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Feb 10. - Vol. 96, no. 5. - P. 053903-1.

92. Trager D., Fischer R., Neshev D. N., Sukhorukov A. A., Denz C., Krolikowski W., Kivshar Y. S. Nonlinear Bloch modes in two-dimensional photonic lattices // Opt. Express.— 2006.—Mar 6.— Vol. 14, no. 5,—

P. 1913-1923.

93. Fischer R., Trager D., Neshev D. N., Sukhorukov A. A., Krolikowski W., Denz C., Kivshar Y. S. Reduced-symmetry two-dimensional solitons in photonic lattices // Phys. Rev. Lett.— 2006. —Jan 20,— Vol. 96, no. 2,— P. 023905-4.

94. Matuszewski M., Rosberg C. R., Neshev D. N., Sukhorukov A. A., Mitchell A., Trippenbach M., Austin M. W., Krolikowski W., Kivshar Y. S. Crossover from self-defocusing to discrete trapping in nonlinear waveguide arrays // Opt. Express. - 2006. - Jan 9. — Vol. 14, no. 1. — P. 254-259.

95. Desyatnikov A. S., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Azimuthons: Spatially modulated vortex solitons // Phys. Rev. Lett. — 2005, —Nov 11,— Vol. 95, no. 20.-P. 203904-4.

96. Shadrivov I. V., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Complete band gaps in one-dimensional left-handed periodic structures // Phys. Rev. Lett. — 2005.— Nov 4. - Vol. 95, no. 19. - P. 193903^1.

97. Alexander T. J., Ostrovskaya E. A., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Three-dimensional matter-wave vortices in optical lattices // Phys. Rev. A. — 2005. — Oct. - Vol. 72, no. 4. - P. 043603-4.

98. Rosberg C. R., Neshev D. N„ Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Krolikowski W. Tunable positive and negative refraction in optically induced photonic lattices // Opt. Lett.— 2005. —Sep 1.— Vol. 30, no. 17,— P. 2293-2295.

99. Garanovich I. L., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Soliton control in modulated optically-induced photonic lattices // Opt. Express.— 2005. —Jul 25,- Vol. 13, no. 15,-P. 5704-5710.

100. Hanna B., Krolikowski W., Neshev D., Sukhorukov A. A., Ostrovskaya E. A., Kivshar Y. S. Spatial solitons in photorefractive lattices // Opto-Electron. Rev. - 2005. - Vol. 13, no. 2. - P. 85-91.

101. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Soliton control and Bloch-wave filtering in periodic photonic lattices // Opt. Lett.— 2005. —Jul 15.— Vol. 30, no. 14.— P. 1849-1851.

102. Rosberg C. R., Hanna B., Neshev D. N., Sukhorukov A. A., Krolikowski W., Kivshar Y. S. Discrete interband mutual focusing in nonlinear photonic lattices // Opt. Express.- 2005.-Jul 11,- Vol. 13, no. 14,- P. 5369-5376.

103. Motzek K., Sukhorukov A. A., Kaiser F., Kivshar Y. S. Incoherent multi-gap optical solitons in nonlinear photonic lattices // Opt. Express. — 2005. — Apr 18,-Vol. 13, no. 8.-P. 2916-2923.

104. Ku T. S., Shih M. F., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Coherence controlled soliton interactions // Phys. Rev. Lett. — 2005, —Feb 18,— Vol. 94, no. 6,— P. 063904-4.

105. Morandotti R., Mandelik D., Silberberg Y., Aitchison J. S., Sorel M.,

Christodoulides D. N., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Observation of discrete gap solitons in binary waveguide arrays // Opt. Lett. — 2004. —Dec 15. - Vol. 29, no. 24. - P. 2890-2892.

106. Pelinovsky D. E., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Bifurcations and stability of gap solitons in periodic potentials // Phys. Rev. E. — 2004. — Sep. — Vol. 70, no. 3.-P. 036618-17.

107. Neshev D., Sukhorukov A. A., Hanna B., Krolikowski W., Kivshar Y. S. Controlled generation and steering of spatial gap solitons // Phys. Rev. Lett. — 2004.-Aug 20,- Vol. 93, no. 8,- P. 083905^1.

108. Alexander T. J., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Asymmetric vortex solitons in nonlinear periodic lattices // Phys. Rev. Lett. — 2004, —Aug 6,— Vol. 93, no. 6.-P. 063901^1.

109. Sukhorukov A. A., Neshev D., Krolikowski W., Kivshar Y. S. Nonlinear Bloch-wave interaction and Bragg scattering in optically induced lattices // Phys. Rev. Lett. - 2004. - Mar 5. - Vol. 92, no. 9. - P. 093901^1.

110. Shadrivov T. V., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Zharov A. A., Boardman A. D., Egan P. Nonlinear surface waves in left-handed materials // Phys. Rev. E.- 2004.-Jan. - Vol. 69, no. 1,- P. 016617-9.

111. Neshev D., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Krolikowski W. Observation of transverse instabilities in optically induced lattices // Opt. Lett. — 2004. — Feb 1,- Vol. 29, no. 3,- P. 259-261.

112. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Generation and stability of discrete gap solitons//Opt. Lett. —2003, —Dec 1,-Vol. 28, no. 23, —P. 2345-2347.

113. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Multigap discrete vector solitons // Phys. Rev. Lett.-2003.-Sep 12,-Vol. 91, no. 11.-P. 113902-4.

114. Salgueiro J. R., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Spatial optical solitons supported by mutual focusing // Opt. Lett.— 2003, —Aug 15,— Vol. 28, no. 16,-P. 1457-1459.

115. Shadrivov I. V., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Guided modes in negative-refractive-index waveguides // Phys. Rev. E. — 2003,—May.— Vol. 67, no. 5.-P. 057602-4.

116. Shadrivov I. V., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Beam shaping by a periodic structure with negative refraction // Appl. Phys. Lett.— 2003.—Jun 2.— Vol. 82, no. 22,- P. 3820-3822.

117. Sukhorukov A. A., Akhmediev N. N. Multiport soliton devices with controllable transmission // Opt. Lett. — 2003,— Jun 1,— Vol. 28, no. 11,— P. 908-910.

118. Salgueiro J. R., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Saltiel S. M. Parametric vector solitons in tetragonal crystals // Opt. Lett. — 2003. — May 15. — Vol. 28, no. 10.-P. 828-830.

119. Sukhorukov A. A., Shoji S., Kivshar Y. S., Kawata S. Self-written waveguides

in photosensitive materials // J. Nonlinear Opt. Phys. Mater. — 2002. — Dec. — Vol. 11, no. 4.-P. 391-407.

120. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Eisenberg H. S., Silberberg Y. Spatial optical solitons in waveguide arrays // IEEE J. Quantum Electron. — 2003. — Jan. - Vol. 39, no. 1,- P. 31-50.

121. Sukhorukov A. A., Akhmediev N. N. Intensity limits for stationary and interacting multi-soliton complexes // Phys. Lett. A. — 2002. — Dec 2. — Vol. 305, no. 3-4.-P. 160-166.

122. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Discrete gap solitons in modulated waveguide arrays // Opt. Lett.— 2002, —Dec 1,— Vol. 27, no. 23,— P. 2112-2114.

123. Dmitriev S. V., Semagin D. A., Sukhorukov A. A., Shigenari T. Chaotic character of two-soliton collisions in the weakly perturbed nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev. E. — 2002.— Oct. — Vol. 66, no. 4.— P. 046609-8.

124. Semagin D. A., Dmitriev S. V., Shigenari T., Kivshar Y. S., Sukhorukov A. A. Effect of weak discreteness on two-soliton collisions in nonlinear Schrodinger equation // Physica B.- 2002.-May.- Vol. 316,- P. 136-138.

125. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Nonlinear guided waves and spatial solitons in aperiodic layered medium// J. Opt. Soc. Am. B. —2002. —Apr.— Vol. 19, no. 4.-P. 772-781.

126. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Spatial optical solitons in nonlinear photonic crystals // Phys. Rev. E. - 2002. -Mar. - Vol. 65, no. 3. - P. 036609-14.

127. Shoji S., Kawata S., Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Self-written waveguides in photopolymcrizable resins // Opt. Lett. — 2002. — Feb 1. — Vol. 27, no. 3. — P. 185-187.

128. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Self-trapped optical beams: Spatial solitons // Pramana J. Phys. - 2001.-Nov-Dec. - Vol. 57, no. 5-6,- P. 1079-1096.

129. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S. Nonlinear localized waves in a periodic medium // Phys. Rev. Lett. - 2001. - Aug 20. - Vol. 87, no. 8. - P. 083901-4.

130. Sukhorukov A. A., Ankiewicz A., Akhmediev N. N. Multi-soliton complexes in a sea of radiation modes // Opt. Commun.— 2001.—Aug 1,— Vol. 195, no. 1-4,- P. 293-302.

131. Sukhorukov A. A., Alexander T. J., Kivshar Y. S., Saltiel S. M. Multistep cascading and fourth-harmonic generation // Phys. Lett. A.— 2001. —Mar 12.-Vol. 281, no. 1,-P. 34-38.

132. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Bang O., Rasmussen J. J., Christiansen P. L. Nonlinearity and disorder: Classification and stability of nonlinear impurity modes // Phys. Rev. E. - 2001. - Mar. - Vol. 63, no. 3. - P. 036601-18.

133. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Bang O., Soukoulis C. M. Parametric localized modes in quadratic nonlinear photonic structures // Phys. Rev. E. —

2000.-Jan.-Vol. 63, no. 2.-P. 016615-9.

134. Kivshar Y. S., Sukhorukov A. A., Ostrovskaya E. A., Alexander T. J., Bang O., Saltiel S. M., Clausen C. B., Christiansen P. L. Multi-component optical solitary waves // Physica A. — 2000, —Dec 15.— Vol. 288, no. 1-4.— P. 152-173.

135. Sukhorukov A. A., Akhmediev N. N. Multisoliton complexes on a background//Phys. Rev. E. — 2000. - May. - Vol. 61, no. 5, —P. 5893-5899.

136. Sukhorukov A. A. Approximate solutions and scaling transformations for quadratic solitons // Phys. Rev. E. — 2000. —Apr.— Vol. 61, no. 4.— P. 4530-4539.

137. Sukhorukov A. A., Akhmediev N. N. Coherent and incoherent contributions to multisoliton complexes // Phys. Rev. Lett.— 1999.—Dec 6. — Vol. 83, no. 23.-P. 4736-4739.

138. Kivshar Y. S., Sukhorukov A. A., Saltiel S. M. Two-color multistep cascading and parametric soliton-induced waveguides // Phys. Rev. E. — 1999. — Nov. — Vol. 60, no. 5. - P. R5056-R5059.

139. Sukhorukov A. A., Kivshar Y. S., Bang O. Two-color nonlinear localized photonic modes // Phys. Rev. E.- 1999, — Jul.— Vol. 60, no. 1,— P. R41-R44.

Цитированная литература

140. Joannopoulos J. D., Meade R. D., Winn J. N. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. — Princeton : Princeton University Press, 1995.

141. Kosaka H., Kawashima T., Tomita A., Notomi M., Tamamura T., Sato T., Kawakami S. Superprism phenomena in photonic crystals: Toward microscale lightwave circuits // J. Lightwave Technol. — 1999.—Nov. — Vol. 17, no. 11.-P. 2032-2038.

142. Serbin J., Gu M. Experimental evidence for superprism effects in three-dimensional polymer photonic crystals // Adv. Mater.— 2006.—Jan 19.— Vol. 18, no. 2.-P. 221-225.

143. Panoiu N. C., Bahl M., Osgood R. M. Optically tunable superprism effect in nonlinear photonic crystals//Opt. Lett. —2003, —Dec 15, —Vol. 28,no. 24,— P. 2503-2505.

144. Christodoulides D. N., Joseph R. I. Discrete self-focusing in nonlinear arrays of coupled wave-guides // Opt. Lett.— 1988. —Sep.— Vol. 13, no. 9.— P. 794-796.

145. Eisenberg H. S., Silberberg Y., Morandotti R, Boyd A. R., Aitchison J. S. Discrete spatial optical solitons in waveguide arrays // Phys. Rev. Lett.— 1998, —Oct 19,-Vol. 81, no. 16.-P. 3383-3386.

146. Fleischer J. W., Carmon T., Segev M., Efremidis N. K., Christodoulides D. N. Observation of discrete solitons in optically induced real time waveguide arrays//Phys. Rev. Lett.- 2003.-Jan 17,-Vol. 90, no. 2.-P. 023902-4.

147. Neshev D., Ostrovskaya E., Kivshar Y., Krolikowski W. Spatial solitons in optically induced gratings // Opt. Lett. — 2003, —May 1,— Vol. 28, no. 9,— P. 710-712.

148. Christodoulides D. N., Lederer F., Silberberg Y. Discretizing light behaviour in linear and nonlinear waveguide lattices // Nature. — 2003. — Aug 14. — Vol. 424, no. 6950.-P. 817-823.

149. Fratalocchi A., Assanto G., Brzdakiewicz K. A., Karpierz M. A. Discrete propagation and spatial solitons in nematic liquid crystals // Opt. Lett.— 2004. — Jul 1. — Vol. 29, no. 13.-P. 1530-1532.

150. Iwanow R., Schiek R., Stegeman G. I., Pertsch T., Lederer F., Min Y., Sohler W. Observation of discrete quadratic solitons // Phys. Rev. Lett.— 2004. — Sep 10,-Vol. 93, no. 11.-P. 113902-4.

151. Chen F., Stepic M., Ruter C. E„ Runde D., Kip D., Shandarov V., Manela 0., Segev M. Discrete diffraction and spatial gap solitons in photovoltaic LiNbÛ3 waveguide arrays // Opt. Express.— 2005, —May 30,— Vol. 13, no. 11,— P. 4314-4324.

152. Fleischer J. W„ Bartal G„ Cohen 0., Schwartz T., Manela O., Freedman В., Segev M., Buljan H., Efremidis N. K. Spatial photonics in nonlinear

waveguide arrays // Opt. Express.— 2005.-Mar 21,— Vol. 13, no. 6.— P. 1780-1796.

153. Russell P. S. J. Photonic crystal fibers // Science. - 2003, —17 Jan.- Vol. 299, no. 5605.-P. 358-362.

154. Jones A. L. Coupling of optical fibers and scattering in fibers // J. Opt. Soc. Am. - 1965,-Vol. 55, no. 3.-P. 261.

155. Somekh S., Garmire E., Yariv A., Garvin H. L., Hunsperger R. G. Channel optical waveguide directional couplers // Appl. Phys. Lett. — 1973,— Vol. 22, no. l.-P. 46^17.

156. Iwanow R., May-Arrioja D. A., Christodoulides D. N., Stegeman G. I., Min Y., Sohler W. Discrete Talbot effect in waveguide arrays // Phys. Rev. Lett. - 2005. - Jul 29. - Vol. 95, no. 5. - P. 053902-*.

157. Yeh P. Optical Waves in Layered Media. — New York : John Wiley & Sons, 1988.

158. Russell P. S. J., Birks T. A., Lloyd-Lucas F. D. Photonic Bloch waves and photonic band gaps // Confined Electrons and Photons / Ed. by E. Burstein, C. Weisbuch.- 1995,- P. 585-633.

159. Christodoulides D. N., Singh S. R., Carvalho M. I., Segev M. Incoherently coupled soliton pairs in biased photorefractive crystals // Appl. Phys. Lett.—

1996.-Mar 25.-Vol. 68, no. 13.-P. 1763-1765.

160. Mitchell M., Segev M. Self-trapping of incoherent white light // Nature.—

1997. — Jun 26,- Vol. 387, no. 6636.-P. 880-883.

161. Buljan H., Schwartz Т., Segev M., Soljacic M., Christodoulides D. N. Polychromatic partially spatially incoherent solitons in a noninstantaneous Kerr nonlinear medium // J. Opt. Soc. Am. В.— 2004, —Feb.— Vol. 21, no. 2. - P. 397-404.

162. Alberucci A., Peccianti M., Assanto G., Dyadyusha A., Kaczmarek M. Two-color vector solitons in nonlocal media // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Oct 13,— Vol. 97, no. 15,- P. 153903-4.

163. Fedotov А. В., Naumov A. N., Bugar I., Chorvat D., Sidorov-Biryukov D. A., Chorvat D., Zheltikov A. M. Supercontinuum generation in photonic-molecule modes of microstructure fibers // IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. — 2002, —May-Jun. — Vol. 8, no. 3,— P. 665-674.

164. Федотов А. Б., Бугар И., Наумов A. H., Хорват мл. Д., Сидоров-Бирюков Д. А., Хорват Д., Желтиков А. М. Локализация света и переключаемая генерация суперконтинуума в модах циклической фотонной молекулы микроструктурированного волокна // Письма в ЖЭТФ,— 2002,— Т. 75, № 7. - С. 374-378.

165. Betlej A., Suntsov S., Makris К. G., Jankovic L., Christodoulides D. N., Stegeman G. I., Fini J., Bise R. Т., DiGiovanni J. All-optical switching and multifrequency generation in a dual-core photonic crystal fiber // Opt. Lett.—

2006. — May 15,-Vol. 31, no. 10,-P. 1480-1482.

166. Желтиков A. M. Микроструктурированные световоды в оптических технологиях,—Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2009,— 192 с.

167. Valley G. С., Segev М., Crosignani В., Yariv A., Fejer М. М„ Bashaw М. С. Dark and bright photovoltaic spatial solitons // Phys. Rev. A.— 1994,— Dec. - Vol. 50, no. 6. - P. R4457-R4460.

168. Xu Z. Y., Kartashov Y. V., Torner L. Gap solitons supported by optical lattices in photorefractive crystals with asymmetric nonlocality // Opt. Lett. — 2006. — Jul 1,- Vol. 31, no. 13.- P. 2027-2029.

169. Shah R. R., Kim D. M., Rabson T. A., Tittel F. K. Characterisation of iron-doped lithium niobate for holographic storage applications // J. Appl. Phys. — 1976.-Dec.-Vol. 47, no. 12,-P. 5421-5431.

170. Jermann F., Simon M., Kratzig E. Photorefractive properties of congruent and stoichiometric lithium niobate at high light intensities // J. Opt. Soc. Am. B. — 1995.-Nov.-Vol. 12, no. 11.-P. 2066-2070.

171. Ranka J. K., Windeler R. S., Stentz A. J. Visible continuum generation in air-silica microstructure optical fibers with anomalous dispersion at 800 nm // Opt. Lett. - 2000. - 1 Jan. - Vol. 25, no. 1. - P. 25-27.

172. Dudley J. M., Genty G., Coen S. Supercontinuum generation in photonic crystal fiber // Rev. Mod. Phys. - 2006. - Vol. 78. - P. 1135-1184.

173. Qi M. H„ Lidorikis E., Rakich P. Т., Johnson S. G., Joannopoulos J. D„ Ippen E. R, Smith H. I. A three-dimensional optical photonic crystal with designed point defects // Nature. — 2004, —Jun 3,— Vol. 429, no. 6991,— P. 538-542.

174. Balu M., Hales J., Hagan D. J., Van Stryland E. W. Dispersion of nonlinear refraction and two-photon absorption using a white-light continuum z-scan // Opt. Express.-2005.-May 16,- Vol. 13, no. 10.-P. 3594-3599.

175. Ashkin A., Boyd G. D., Dziedzic J. M., Smith R. G., Ballman A. A., Levinstein J. J., Nassau K. Optically-induced refractive index inhomogeneities in LiNb03 and LiTa03 // Appl. Phys. Lett. - 1966. - Vol. 9, no. 1. - P. 72-74.

176. Kip D. Photorefractive waveguides in oxide crystals: fabrication, properties, and applications // Appl. Phys. В.— 1998.—Aug. — Vol. 67, no. 2.— P. 131-150.

177. Stegeman G. I., Segev M. Optical spatial solitons and their interactions: Universality and diversity // Science.— 1999. —Nov 19.— Vol. 286, no. 5444,- P. 1518-1523.

178. Кившарь Ю. С., Агравал Г. П. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2005.— 648 с.

179. Guo A., Henry М., Salamo G. J., Segev М., Wood G. L. Fixing multiple waveguides induced by photorefractive solitons: directional couplers and

beam splitters // Opt. Lett.— 2001, —Aug 15,— Vol. 26, no. 16,— P. 1274-1276.

180. Zhang P., Yang D. X., Zhao J. L., Wang M. R. Photo-written waveguides in iron-doped lithium niobate crystal employing binary optical masks // Opt. Eng. - 2006. - Jul. - Vol. 45, no. 7. - P. 074603-7.

181. Makris K. G., Hudock J., Christodoulides D. N., Stegeman G. I., Manela O., Segev M. Surface lattice solitons // Opt. Lett. — 2006. —Sep 15,— Vol. 31, no. 18,- P. 2774-2776.

182. Molina M. I., Kivshar Y. S. Interface localized modes and hybrid lattice solitons in waveguide arrays // Phys. Lett. A. — 2007. —Mar 5,— Vol. 362, no. 4,- P. 280-282.

183. Suntsov S., Makris K. G., Christodoulides D. N„ Stegeman G. I., Morandotti R., Volatier M., Aimez V., Ares R., Ruter C. E., Kip D. Optical modes at the interface between two dissimilar discrete meta-materials // Opt. Express. - 2007. - Apr 16. - Vol. 15, no. 8. - P. 4663-4670.

184. Makris K. G., Suntsov S., Christodoulides D. N., Stegeman G. I., Hache A. Discrete surface solitons // Opt. Lett. — 2005. —Sep 15,— Vol. 30, no. 18,— P. 2466-2468.

185. Suntsov S., Makris K. G., Christodoulides D. N., Stegeman G. I., Hache A., Morandotti R., Yang H„ Salamo G., Sorel M. Observation of discrete surface solitons // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Feb 17. - Vol. 96, no. 6. — P. 063901-4.

186. Kartashov Y. V., Vysloukh V. A., Tomer L. Surface gap solitons // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Feb 24. - Vol. 96, no. 7. - P. 073901^1.

187. Siviloglou G. A., Makris K. G., Iwanow R., Schiek R., Christodoulides D. N., Stegeman G. I., Min Y., Sohler W. Observation of discrete quadratic surface solitons//Opt. Express. - 2006,-Jun 12,- Vol. 14, no. 12, —P. 5508-5516.

188. Smirnov E., Stepic M., Ruter C. E., Kip D., Shandarov V. Observation of staggered surface solitary waves in one-dimensional waveguide arrays // Opt. Lett.-2006.-Aug 1.-Vol. 31, no. 15.-P. 2338-2340.

189. Kartashov Y. V., Ye F. W., Tomer L. Vector mixed-gap surface solitons // Opt. Express.-2006.-May 29.-Vol. 14, no. 11,-P. 4808-4814.

190. Rosberg C. R„ Neshev D. N., Krolikowski W., Mitchell A., Vicencio R. A., Molina M. I., Kivshar Y. S. Observation of surface gap solitons in semiinfinite waveguide arrays // Phys. Rev. Lett.— 2006, —Aug 25.— Vol. 97, no. 8.-P. 083901^4.

191. Yeh P., Yariv A., Hong C. S. Electromagnetic propagation in periodic stratified media .1. general theory // J. Opt. Soc. Am.— 1977.— Vol. 67, no. 4,— P. 423-438.

192. Yeh P., Yariv A., Cho A. Y. Optical surface-waves in periodic layered media // Appl. Phys. Lett. - 1978. - Vol. 32, no. 2. - P. 104-105.

193. Eisenberg H. S., Silberberg Y., Morandotti R., Aitchison J. S. Diffraction

management // Phys. Rev. Lett.— 2000. —Aug 28.— Vol. 85, no. 9.— P. 1863-1866.

194. Kartashov Y. V., Torner L., Vysloukh V. A. Diffraction management of focused light beams in optical lattices with a quadratic frequency modulation // Opt. Express.- 2005, —May 30,- Vol. 13, no. 11,— p. 4244-4249.

195. Rakich P. T., Dahlem M. S., Tandon S., Ibanescu M., Soljacic M., Petrich G. S., Joannopoulos J. D., Kolodziejski L. A., Ippen E. P. Achieving centimetre-scale supercollimation in a large-area two-dimensional photonic crystal. - 2006. - Feb. - Vol. 5, no. 2. - P. 93-96.

196. Pertsch T„ Zentgraf T., Peschel U., Brauer A., Lederer F. Anomalous refraction and diffraction in discrete optical systems // Phys. Rev. Lett.— 2002. - Mar 4. - Vol. 88, no. 9. - P. 093901^1.

197. Longhi S., Marangoni M., Lobino M., Ramponi R., Laporta P., Cianci E., Foglietti V. Observation of dynamic localization in periodically curved waveguide arrays // Phys. Rev. Lett. — 2006.—Jun 23.— Vol. 96, no. 24.— P. 243901-4.

198. Wu L. J., Mazilu M., Karle T., Krauss T. F. Superprism phenomena in planar photonic crystals // IEEE J. Quantum Electron.— 2002. —Jul. — Vol. 38, no. 7.-P. 915-918.

199. Wan J., Laforest M., de Sterke C. M., Dignam M. M. Optical filters based on dynamic localization in curved coupled optical waveguides // Opt. Commun. - 2005. - Mar 15. - Vol. 247, no. 4-6. - P. 353-365.

200. Wadsworth W. J., Ortigosa-Blanch A., Knight J. C„ Birks T. A., Man T. P. M., Russell P. S. Supercontinuum generation in photonic crystal fibers and optical fiber tapers: a novel light source // J. Opt. Soc. Am. B. — 2002.— Sep. — Vol. 19, no. 9,- P. 2148-2155.

201. Longhi S. Self-imaging and modulational instability in an array of periodically curved waveguides // Opt. Lett.— 2005, —Aug 15.— Vol. 30, no. 16.— P. 2137-2139.

202. Liu C., Dutton Z., Behroozi C. H., Hau L. V. Observation of coherent optical information storage in an atomic medium using halted light pulses // Nature. — 2001. —Jan 25. — Vol. 409, no. 6819.-P. 490-493.

203. Vlasov Y. A., O'Boyle M., Hamann H. F., McNab S. J. Active control of slow light on a chip with photonic crystal waveguides // Nature. — 2005.— Nov 3. - Vol. 438, no. 7064. - P. 65-69.

204. Gersen H., Karle T. J., Engelen R. J. P., Bogaerts W., Korterik J. P., van Hulst N. F., Krauss T. F., Kuipers L. Real-space observation of ultraslow light in photonic crystal waveguides // Phys. Rev. Lett. — 2005. —Feb 25,— Vol. 94, no. 7,- P. 073903-4.

205. Jacobsen R. S., Lavrinenko A. V,, Frandsen L. H., Peucheret C.,

Zsigri B., Moulin G., Fage-Pedersen J., Borel P. I. Direct experimental and numerical determination of extremely high group indices in photonic crystal waveguides // Opt. Express.— 2005. —Oct 3,— Vol. 13, no. 20,— P. 7861-7871.

206. Yariv A., Xu Y., Lee R. K., Scherer A. Coupled-resonator optical waveguide: a proposal and analysis // Opt. Lett.— 1999, —Jun 1,— Vol. 24, no. 11.— P. 711-713.

207. Mookherjea S., Yariv A. Coupled resonator optical waveguides // IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. — 2002,—May-Jun. — Vol. 8, no. 3, — P. 448-456.

208. Poon J. K. S., Zhu L., DeRose G. A., Yariv A. Transmission and group delay of microring coupled-resonator optical waveguides // Opt. Lett. — 2006. — Feb 15,- Vol. 31, no. 4.-P. 456-458.

209. Akahane Y., Asano T., Song B. S., Noda S. High-Q photonic nanocavity in a two-dimensional photonic crystal // Nature. — 2003. — Oct 30. — Vol. 425, no. 6961,-P. 944-947.

210. Asano T., Kunishi W., Song B. S„ Noda S. Time-domain response of point-defect cavities in two-dimensional photonic crystal slabs using picosecond light pulse // Appl. Phys. Lett.— 2006.-Apr 10,— Vol. 88, no. 15,— P. 151102-3.

211. Tanabe T., Notomi M., Kuramochi E., Shinya A., Taniyama H. Trapping and delaying photons for one nanosecond in an ultrasmall high-Q photonic-crystal nanocavity // Nature Photonics. — 2007. — Jan. — Vol. 1, no. 1. — P. 49-52.

212. Khurgin J. B. Performance of nonlinear photonic crystal devices at high bit rates //Opt. Lett.-2005.-Mar 15.-Vol. 30, no. 6.-P. 643-645.

213. Tucker R. S., Ku P. C„ Chang-Hasnain C. J. Slow-light optical buffers: Capabilities and fundamental limitations // J. Lightwave Technol.— 2005,— Dec. - Vol. 23, no. 12.- P. 4046-4066.

214. Yanik M. F„ Fan S. H. Stopping light all optically // Phys. Rev. Lett. - 2004. -Feb 27,- Vol. 92, no. 8,- P. 083901-4.

215. Xu Q. F., Dong P., Lipson M. Breaking the delay-bandwidth limit in a photonic structure.— 2007, —Jun. —Vol. 3, no. 6,— P. 406^110.

216. Foteinopoulou S., Soukoulis C. M. Negative refraction and left-handed behavior in two-dimensional photonic crystals // Phys. Rev. B.— 2003.— Jun 15. - Vol. 67, no. 23. - P. 235107-5.

217. Altug H., Vuckovic J. Experimental demonstration of the slow group velocity of light in two-dimensional coupled photonic crystal microcavity arrays // Appl. Phys. Lett. — 2005. — Mar 14. — Vol. 86, no. 11. — P. 111102-3.

218. Soljacic M., Joannopoulos J. D. Enhancement of nonlinear effects using photonic crystals.— 2004,—Apr. —Vol. 3, no. 4,— P. 211-219.

219. Jacobsen R. S., Andersen K. N., Borel P. I., Fage-Pedersen J., Frandsen L. H., Hansen O., Kristensen M., Lavrinenko A. V., Moulin G., Ou H., Peucheret C.,

Zsigri B., Bjarklev A. Strained silicon as a new electro-optic material // Nature.-2006.-May 11,-Vol. 441, no. 7090.-P. 199-202.

220. Roussey M., Baida F. I., Bernal M. P. Experimental and theoretical observations of the slow-light effect on a tunable photonic crystal // J. Opt. Soc. Am. B.- 2007,-Jun.- Vol. 24, no. 6,- P. 1416-1422.

221. Eggleton B. J., de Sterke C. M., Slusher R. E. Bragg solitons in the nonlinear Schrodinger limit: experiment and theory // J. Opt. Soc. Am. B.— 1999. — Apr. - Vol. 16, no. 4. - P. 587-599.

222. Mok J. T., de Sterke C. M., Littler 1. C. M., Eggleton B. J. Dispersionless slow light using gap solitons. — 2006. — Nov. — Vol. 2, no. 11. — P. 775-780.

223. Engelen R. J. P., Sugimoto Y., Watanabe Y., Korterik J. P., Ikeda N., van Hulst N. F., Asakawa K., Kuipers L. The effect of higher-order dispersion on slow light propagation in photonic crystal waveguides // Opt. Express. —

2006. — Feb 20. — Vol. 14, no. 4. — P. 1658-1672.

224. Petrov A. Y., Eich M. Zero dispersion at small group velocities in photonic crystal waveguides//Appl. Phys. Lett. — 2004. — Nov 22, —Vol. 85, no. 21,— p. 4866-4868.

225. Mori D., Baba T. Wideband and low dispersion slow light by chirped photonic crystal coupled waveguide // Opt. Express.— 2005.—Nov 14,— Vol. 13, no. 23. - P. 9398-9408.

226. Khurgin J. B. Expanding the bandwidth of slow-light photonic devices based on coupled resonators // Opt. Lett.— 2005, —Mar 1,— Vol. 30, no. 5,— P. 513-515.

227. Figotin A., Vitebskiy I. Slow light in photonic crystals // Waves Random Complex Media.- 2006.-Aug.- Vol. 16, no. 3,- P. 293-382.

228. Frandsen L. H., Lavrinenko A. V., Fage-Pedersen J., Borel P. I. Photonic crystal waveguides with semi-slow light and tailored dispersion properties // Opt. Express. — 2006. — Oct 2. — Vol. 14, no. 20. — P. 9444-9450.

229. Settle M. D., Engelen R. J. P., Salib M., Michaeli A., Kuipers L., Krauss T. F. Flatband slow light in photonic crystals featuring spatial pulse compression and terahertz bandwidth // Opt. Express. — 2007. —Jan 8,— Vol. 15, no. 1,— P. 219-226.

230. Huang S. C., Kato M., Kuramochi E., Lee C. P., Notomi M. Time-domain and spectral-domain investigation of inflection-point slow-light modes in photonic crystal coupled waveguides // Opt. Express.— 2007.— Mar 19.— Vol. 15, no. 6. - P. 3543-3549.

231. Baba T., Mori D. Slow light engineering in photonic crystals // J. Phys. D.—

2007. - May 7. - Vol. 40, no. 9. - P. 2659-2665.

232. Busch K., John S. Liquid-crystal photonic-band-gap materials: The tunable electromagnetic vacuum // Phys. Rev. Lett.— 1999.—Aug 2.— Vol. 83, no. 5. - P. 967-970.

233. Yanik M. F., Fan S. H. Dynamic photonic structures: Stopping, storage, and time reversal of light // Stud. Appl. Math. — 2005. — Aug. — Vol. 115, no. 2. — P. 233-253.

234. de Sterke С. M., Sipe J. E. Gap solitons // Progress in Optics / Ed. by

E. Wolf. - Amsterdam : North-Holland, 1994,- Vol. XXXIII.- P. 203-260.

235. Jensen S. M. The nonlinear coherent coupler // IEEE Trans. Microw. Theory Tech.- 1982.-Oct.-Vol. MTT-30, no. 10,-P. 1568-1571.

236. Майер А. А. Оптические транзисторы и бистабштьныс элементы на основе нелинейной передачи света системами с однонаправлеными связанными волнами // Kvantov. Elektron. — 1982. — Т. 9, № 11. — С. 2296-2302.

237. Friberg S. R., Silberberg Y„ Oliver M. К., Andrejco М. J., Saifi M. A., Smith P. W. Ultrafast all-optical switching in a dual-core fiber nonlinear coupler // Appl. Phys. Lett.— 1987, —Oct 12,— Vol. 51, no. 15,— P. 1135-1137.

238. Майер А. А. Оптическое самопереключение однонаправленных распре-деленно-связанных волн // УФН,— 1995, — Т. 165, № 9. — С. 1037-1075.

239. Майер А. А. Экспериментальное наблюдение явления самопереключения однонаправленных распределенно-связанных волн // УФН,— 1996.— Т. 166, № 11,-С. 1171-1196.

240. Orlov S. S., Yariv A., VanEssen S. Coupled-mode analysis of fiber-optic add-drop filters for dense wavelength-division multiplexing // Opt. Lett. — 1997. — May 15,- Vol. 22, no. 10,- P. 688-690.

241. Perrone G., Laurenzano M., Montrosset I. Design and feasibility analysis of an innovative integrated grating-assisted add-drop multiplexer // J. Lightwave Technol.-2001.-Dec.-Vol. 19, no. 12.-P. 1943-1948.

242. Tomljenovic-Hanic S., Love J. D. Symmetry-selective reflection gratings // J. Opt. Soc. Am. A.- 2005.-Aug.-Vol. 22, no. 8,-P. 1615-1619.

243. Aslund M., Canning J., Poladian L., de Sterke С. M., Judge A. Antisymmetric grating coupler: experimental results // Appl. Optics.— 2003. —Nov 20. — Vol. 42, no. 33.- P. 6578-6583.

244. Castro J. M., Geraghty D. F., Honkanen S., Greiner С. M., Iazikov D., Mossberg T. W. Optical add-drop multiplexers based on the antisymmetric waveguide Bragg grating // Appl. Optics.— 2006.— Feb 20.— Vol. 45, no. 6.-P. 1236-1243.

245. Imai M., Sato S. Optical switching devices using nonlinear fiber-optic grating coupler // Photonics Based on Wavelength Integration and Manipulation / Ed. by K. Tada, T. Suhara, K. Kikuchi, Y. Kokubun, K. Utaka, M. Asada,

F. Koyama, T. Arakawa. - 2005. - Vol. 2 of IPAP Books. - P. 293-302.

246. Mak W. С. K., Chu P. L., Malomed B. A. Solitary waves in coupled nonlinear waveguides with Bragg gratings // J. Opt. Soc. Am. В.— 1998, —Jun.— Vol. 15, no. 6,- P. 1685-1692.

247. Mak W. C. K., Malomed B. A., Chu P. L. Symmetric and asymmetric solitons in linearly coupled Bragg gratings // Phys. Rev. E. — 2004. — Jun. — Vol. 69, no. 6.-P. 066610-9.

248. Gubeskys A., Malomed B. A. Solitons in a system of three linearly coupled fiber gratings // Eur. Phys. J. D. - 2004. - Feb. - Vol. 28, no. 2. - P. 283-299.

249. Tsofe Y. J., Malomed B. A. Quasisymmetric and asymmetric gap solitons in linearly coupled Bragg gratings with a phase shift // Phys. Rev. E. — 2007. — May. - Vol. 75, no. 5.- P. 056603-10.

250. Agrawal G. P. Nonlinear Fiber Optics. — New York : Academic Press, 1988.

251. Psaila D. C., de Sterke C. M. Soliton propagation in twin-core fiber rocking filters // Opt. Lett. - 1993. - 15 Nov. - Vol. 18, no. 22. - P. 1905-1907.

252. Millar P., De la Rue R. M., Krauss T. F„ Aitchison J. S„ Broderick N. G. R., Richardson D. J. Nonlinear propagation effects in an AlGaAs Bragg grating filter // Opt. Lett. - 1999. - May 15. - Vol. 24, no. 10. - P. 685-687.

253. Shokooh-Saremi M., Ta'eed V. G„ Baker N. J., Littler I. C. M„ Moss D. J., Eggleton B. J., Ruan Y. L., Luther Davies B. High-performance Bragg gratings in chalcogenide rib waveguides written with a modified Sagnac interferometer // J. Opt. Soc. Am. B.— 2006.—Jul.— Vol. 23, no. 7,— P. 1323-1331.

254. Sugimoto Y., Tanaka Y., Ikeda N., Yang T., Nakamura H., Asakawa K., Inoue K., Maruyama T., Miyashita K.., Ishida K., Watanabe Y. Design, fabrication, and characterization of coupling-strength-controlled directional coupler based on two-dimensional photonic-crystal slab waveguides // Appl. Phys. Lett.- 2003.-Oct 20.-Vol. 83, no. 16. - P. 3236-3238.

255. Mori D., Baba T. Dispersion-controlled optical group delay device by chirped photonic crystal waveguides // Appl. Phys. Lett. — 2004. — Aug 16. — Vol. 85, no. 7.-P. 1101-1103.

256. Yamamoto N., Ogawa T., Komori K. Photonic crystal directional coupler switch with small switching length and wide bandwidth // Opt. Express.— 2006.-Feb 6.- Vol. 14, no. 3,- P. 1223-1229.

257. Quan Y. J., Han P. D., Lu X. D„ Ye Z. C., Wu L. Optical interleaver based on directional coupler in a 2D photonic crystal slab with triangular lattice of air holes // Opt. Commun. - 2007. -Feb 15. - Vol. 270, no. 2. - P. 203-206.

258. Silberberg Y. Collapse of optical pulses 11 Opt. Lett.— 1990.-Nov 15,-Vol. 15, no. 22.-P. 1282-1284.

259. Eisenberg H. S., Morandotti R., Silberberg Y., Bar-Ad S., Ross D., Aitchison J. S. Kerr spatiotemporal self-focusing in a planar glass waveguide // Phys. Rev. Lett.- 2001.-Jul 23.- Vol. 87, no. 4,-P. 043902-4.

260. Malomed B. A., Mihalache D., Wise F., Torner L. Spatiotemporal optical solitons // J. Opt. B: Quantum Semicl. Opt. — 2005. — May. — Vol. 7, no. 5. —

P. R53-R72.

261. Engelen R. J. P., Sugimoto Y., Gersen H., Ikeda N.. Asakawa K., Kuipers L. Ultrafast evolution of photonic eigenstates in k-space. — 2007. — Jun. — Vol. 3, no. 6.-P. 401^05.

262. Gersen H., Karle T. J., Engelen R. J. P., Bogaerts W., Korterik J. P., van Hulst N. F., Krauss T. F., Kuipers L. Direct observation of Bloch harmonics and negative phase velocity in photonic crystal waveguides // Phys. Rev. Lett. — 2005, — Apr 1,— Vol. 94, no. 12,—P. 123901—4.

263. Le Thomas N., Zabelin V., Houdre R., Kotlyar M. V., Krauss T. F. Influence of residual disorder on the anticrossing of Bloch modes probed in k space // Phys. Rev. B.-2008.-Sep.-Vol. 78, no. 12,-P. 125301-8.

264. White T. P., Botten L. C., de Sterke C. M„ Dossou K. B„ McPhedran R. C. Efficient slow-light coupling in a photonic crystal waveguide without transition region // Opt. Lett.— 2008,—Nov 15,— Vol. 33, no. 22,— P. 2644-2646.

265. Fan S. H., Appelbaum T., Joannopoulos J. D. Near-field scanning optical microscopy as a simultaneous probe of fields and band structure of photonic crystals: A computational study // Appl. Phys. Lett.— 1999, —Nov 29.— Vol. 75, no. 22.-P. 3461-3463.

266. Popa B. I., Cummer S. A. Determining the effective electromagnetic properties of negative-refractive-index metamaterials from internal fields // Phys. Rev. B.-2005.-Oct.-Vol. 72, no. 16.-P. 165102-5.

267. Andryieuski A., Malureanu R., Lavrinenko A. V. Wave propagation retrieval method for metamaterials: Unambiguous restoration of effective parameters // Phys. Rev. B. - 2009. -Nov. - Vol. 80, no. 19. - P. 193101-4.

268. Dastmalchi B., Mohtashami A., Hingerl K., Zarbakhsh J. Method of calculating local dispersion in arbitrary photonic crystal waveguides // Opt. Lett.-2007.-Oct 15,-Vol. 32, no. 20.- P. 2915-2917.

269. Roy R„ Sumpter B. G., Pfeffer G. A., Gray S. K., Noid D. W. Novel methods for spectral-analysis // Phys. Rep. — 1991. —Jun.— Vol. 205, no. 3.— P. 109-152.

270. Mandelshtam V. A. FDM: the filter diagonalization method for data processing in NMR experiments // Prog. Nucl. Magn. Reson. Spectrosc.— 2001.-Mar 19,-Vol. 38, no. 2.-P. 159-196.

271. Botten L. C„ White T. P., Asatryan A. A., Langtry T. N„ de Sterke C. M., McPhedran R. C. Bloch mode scattering matrix methods for modeling extended photonic crystal structures, i. theory // Phys. Rev. E. — 2004,— Nov. - Vol. 70, no. 5. - P. 056606-13.

272. Dossou K., Byrne M. A., Botten L. C. Finite element computation of grating scattering matrices and application to photonic crystal band calculations // J. Comput. Phys. — 2006.—Nov 20, — Vol. 219, no. 1. — P. 120-143.

273. Huisman S. R., Ctistis G., Stobbe S., Herek J. L., Lodahl P., Vos W. L., Pinkse P. W. H. Extraction of optical Bloch modes in a photonic-crystal waveguide // J. Appl. Phys. - 2012. - Feb 1. - Vol. 111, no. 3. - P. 033108-5.

274. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences.— Cambridge : Cambridge University Press, 2003.— P. 432.

275. Winfree A. T. On emerging coherence // Science. — 2002.— Dec 20.— Vol. 298, no. 5602,- P. 2336-2337.

276. Larger L., Dudley J. M. Nonlinear dynamics optoelectronic chaos // Nature. — 2010.-May 6.-Vol. 465, no. 7294.-P. 41^12.

277. Lederer F., Stegeman G. I., Christodoulides D. N., Assanto G., Segev M., Silberberg Y. Discrete solitons in optics // Phys. Rep. — 2008. —Jul.— Vol. 463, no. 1-3.-P. 1-126.

278. Peschel Т., Peschel U., Lederer F. Discrete bright solitary waves in quadratically nonlinear media // Phys. Rev. E. — 1998.—Jan. — Vol. 57, no. l.-P. 1127-1133.

279. Iwanow R, Schiek R., Stegeman G., Pcrtsch Т., Lederer F., Min Y., Sohler W. Arrays of weakly coupled, periodically poled lithium niobate waveguides: beam propagation and discrete spatial quadratic solitons // Opto-Electron. Rev. - 2005. - Vol. 13, no. 2.-P. 113-121.

280. Клышко Д. H. Фотоны и нелинейная оптика. — Москва : Наука, 1980.

281. Walborn S. P., Monken С. Н„ Padua S., Ribeiro P. Н. S. Spatial correlations in parametric down-conversion // Phys. Rep. — 2010.— Oct. — Vol. 495, no. 4-5.-P. 87-139.

282. Ekert A. K., Rarity J. G., Tapster P. R., Palma G. M. Practical quantum cryptography based on 2-photon interferometry // Phys. Rev. Lett. — 1992,— Aug 31.-Vol. 69, no. 9.-P. 1293-1295.

283. O'Brien J. L., Pryde G. J., White A. G., Ralph Т. C., Branning D. Demonstration of an all-optical quantum controlled-not gate // Nature.— 2003.-Nov 20.- Vol. 426, no. 6964.- P. 264-267.

284. Gasparoni S., Pan J. W., Walther P., Rudolph Т., Zeilinger A. Realization of a photonic controlled-not gate sufficient for quantum computation // Phys. Rev. Lett. - 2004. - Jul 9. - Vol. 93, no. 2. - P. 020504-4.

285. Matthews J. C. F., Politi A., Stefanov A., O'Brien J. L. Manipulation of multiphoton entanglement in waveguide quantum circuits // Nature Photonics. - 2009.—Jun.- Vol. 3, no. 6.- P. 346-350.

286. Politi A., Matthews J. C. F., O'Brien J. L. Shor's quantum factoring algorithm on a photonic chip // Science.— 2009, —Sep 4.— Vol. 325, no. 5945,— P. 1221.

287. Sansoni L., Sciarrino F., Vallone G., Mataloni P., Crespi A., Ramponi R., Osellame R. Polarization entangled state measurement on a chip // Phys. Rev.

Lett.-2010.-Nov 10.-Vol. 105, no. 20.-P. 200503^1.

288. Bromberg Y., Lahini Y., Morandotti R., Silberberg Y. Quantum and classical correlations in waveguide lattices // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Jun 26. — Vol. 102, no. 25.-P. 253904-1.

289. Peruzzo A., Lobino M., Matthews J. C. F., Matsuda N., Politi A., Poulios K., Zhou X. Q„ Lahini Y., Ismail N.. Worhoff K., Bromberg Y„ Silberberg Y„ Thompson M. G., O'Brien J. L. Quantum walks of correlated photons // Science.-2010.-Sep 17.-Vol. 329, no. 5998.-P. 1500-1503.

290. Shenvi N., Kempe J., Whaley К. B. Quantum random-walk search algorithm // Phys. Rev. A. - 2003. - May. - Vol. 67, no. 5. - P. 052307-11.

291. Hillery M., Reitzner D., Buzek V. Searching via walking: How to find a marked clique of a complete graph using quantum walks // Phys. Rev. A. — 2010.-Jun 17,- Vol. 81, no. 6.-P. 062324-5.

292. Zhang Q„ Xie X. P., Takesue H„ Nam S. W., Langrock C„ Fejer M. M., Yamamoto Y. Correlated photon-pair generation in reverse-proton-exchange PPLN waveguides with integrated mode demultiplexer at 10 GHz clock // Opt. Express.-2007.-Aug 6.-Vol. 15, no. 16.-P. 10288-10293.

293. Zhang Q., Takesue H., Langrock C., Xie X. P., Fejer M. M., Yamamoto Y. Hong-Ou-Mandel dip using degenerate photon pairs from a single periodically poled lithium niobate waveguide with integrated mode demultiplexer // Jpn. J. Appl. Phys. - 2010. - Jun. - Vol. 49, no. 6. - P. 064401^.

294. Saleh M. F„ Di Giuseppe G„ Saleh В. E. A., Teich M. C. Photonic circuits for generating modal, spectral, and polarization entanglement // IEEE Photonics J.-2010.-Oct.-Vol. 2, no. 5.-P. 736-752.

295. Christ A., Laiho K., Eckstein A., Lauckner Т., Mosley P. J., Silberhorn C. Spatial modes in waveguided parametric down-conversion // Phys. Rev. A. — 2009. - Sep. - Vol. 80, no. 3. - P. 033829-7.

296. Grice W. P., Walmsley I. A. Spcctral information and distinguishability in type-II down-conversion with a broadband pump // Phys. Rev. A. — 1997,— Aug. - Vol. 56, no. 2. - P. 1627-1634.

297. Di Giuseppe G., Atature M., Shaw M. D., Sergienko A. V., Saleh В. E. A., Teich M. C. Entangled-photon generation from parametric down-conversion in media with inhomogeneous nonlinearity // Phys. Rev. A. — 2002. — Jul. — Vol. 66, no. 1,-P. 013801-17.

298. Torres J. P., Alexandrescu A., Carrasco S., Tomer L. Quasi-phase-matching engineering for spatial control of entangled two-photon states // Opt. Lett. — 2004. - Feb 15. - Vol. 29, no. 4. - P. 376-378.

299. Чехова M. В., Шумилкина О. А. Поперечная компрессия двухфотон-ных волновых пакетов // Письма в ЖЭТФ. — 2010,— Т. 91, № 12,— С. 718-723.

300. Leng Н. Y., Yu X. Q., Gong Y. X., Xu P., Xie Z. D„ Jin H„ Zhang C.,

Zhu S. N. On-chip steering of entangled photons in nonlinear photonic crystals 11 Nat. Commun. — 2011. — Aug. — Vol. 2. — P. 429-5.

301. Rai A., Angelakis D. G. Dynamics of nonclassical light in integrated nonlinear waveguide arrays and generation of robust continuous-variable entanglement // Phys. Rev. A.- 2012. —May 30,- Vol. 85, no. 5.— P. 052330-5.

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникации» 197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14 Тел. (812) 233 46 69. Объем 6,1 у.пл. Тираж 100 экз.