Условия сходимости к равновесию и задачи регулирования экономического рынка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение.

Гл. 1. Модели односторонних аукционов.

§1. Американский аукцион.

§2. Голландский аукцион.

Гл. 2. Модели рынка одного товара с переменными ценами.

§1. Одноэтапная модель дуополии.

§2. Двухэтапная модель дуополии.

§3. Модель олигополии с одинаковыми себестоимостями.

§4. Модель олигополии с разными себсстоимостями.

Гл. 3. Модели оптимизации финансирования бюджетной сферы

§1. Однопродуктовый рынок.

§2. Монополизированный рынок.

В настоящее время методы теории игр широко используются в различных областях науки. В экономической теории эти методы применяются для описания и анализа конкурентного равновесия, концепцию которого предложил Вальрас в 1874 году (см. [37]). Согласно этой концепции, участники рынка определяют свой спрос и предложение, исходя из сложившихся цен; цены же, в свою очередь, устанавливаются на уровне, обеспечивающем равенство совокупного спроса совокупному предложению. В 1954 году работа Эрроу и Дебре [13] положила начало решению проблемы существования равновесия для экономических моделей. После доказательства в начале 60-х годов в работах Скарфа и Дебре ([31], [19]) Парето-оптимальных свойств конкурентного равновесия по Вальрасу и его принадлежности к с-ядру экономики концепция равновесия по Вальрасу приобрела устойчивый авторитет в математической экономике.

Вместе с тем, в теории экономического равновесия не получили достаточно полного решения следующие вопросы. Во-первых, как количественно и качественно охарактеризовать условия, при которых рынок приходит в состояние конкурентного равновесия (т.е. условия совершенной конкуренции)? Во-вторых, как ведут себя цены после их освобождения в процессе перехода от фиксированных цен к рыночному ценообразованию? Данные вопросы приобрели особенно большое значение в связи с происходящим в ряде стран, включая Россию, переходом от плановой экономики к рыночной. И наконец, в условиях экономической нестабильности особую актуальность приобретает еще один вопрос: как обеспечить в новых условиях достаточный жизненный уровень тех групп населения, для которых основным источником доходов является государственный или региональный бюджет? Математические модели, ориентирующиеся на решение этих вопросов, рассмотрены в [28], [16], [35]. В первой работе изучается динамика цен для модели олигополии в предположении, что в любой момент времени существует единая цена. Однако, в реальности каждый продавец может независимо определять цену на свой товар. Эта возможность учитывается в двух последних работах. В них были получены интервальные оценки отклонения возможных цен от конкурентного равновесия. Однако, в некоторых ситуациях данные интервалы достаточно широкие, и возможен большой разброс цен. Динамическая модель ценовой конкуренции, исследованная в [21], позволяет точно описывать динамику цен, но в ней был рассмотрен только случай дуополии с единой себестоимостью. Традиционные методы решения последнего вопроса были разработаны Кейнсом и его последователями (см. [7]). Рассматривая рынок совершенной конкуренции, они предусматривают единственный способ ее решения: увеличение номинальной зарплаты. Однако, связанный с этим рост бюджетных расходов ведет к усилению инфляции. При этом данные результаты нельзя применить к монополизированному рынку, который является довольно типичным для нашей страны. Этим определяется актуальность темы диссертации.

Целью настоящей работы является построение математических моделей и определение условий сходимости к конкурентному равновесию для односторонних аукционов, дуополий и олигополий в условиях ценовой конкуренции, а также построение и теоретическое исследование моделей оптимизации финансирования бюджетной сферы.

В последнее время появилось значительное количество работ, посвященных исследованию динамики цен на аукционах и сравнению их с конкурентным равновесием. Наиболее широко здесь представлены исследования двухсторонних аукционов, на которых активными агентами являются как покупатели, так и продавцы. (На аукционах такого типа обычно проходят валютные торги). Эти исследования велись сразу по нескольким направлениям. С одной стороны, проводился эко-нометрический анализ сходимости двойного аукциона к равновесной цене и равновесию Нэша (см. [26]). С другой стороны, были построены адаптивные модели, в которых трейдеры могут накапливать информацию о предыдущих торгах (см. [38], [20], [22]). В этих моделях также исследуется вопрос сходимости двойного аукциона к равновесной цене и равновесию Нэша. Также в работе [38] двойной аукцион описывается как игра с неполной информацией, решением которой является равновесие Нэша-Байеса.

Другой разновидностью аукционов являются многокритериальные аукционы, где критерием продажи товара служит не только наибольшая (наименьшая) цена покупателя (продавца), но и другие признаки, такие как качество товара, его технические характеристики, время осуществления проекта и др. На практике такие аукционы происходят, например, при покупке систем вооружения. В работе [17] ищутся равновесия для некоторых видов двухкритериальных аукционов, на которых победитель определяется по двум критериям: цене и качеству предлагаемого товара.

Наиболее распространенными являются односторонние аукционы, на которых активными агентами являются либо только продавцы, либо - покупатели. На аукционах такого типа происходят первичные размещения ценных бумаг, продажи крупных партий товара и другие операции. Описание динамики цен на аукционах этого типа недостаточно широко представлено в научной литературе. Здесь стоит отметить работы [9] и [30], в которых описывается оптимальное поведение участников одностороннего аукциона на основе такого принципа оптимальности как равновесие Нэша. Но в указанных работах рассматривается предложение, состоящее из единицы товара. В то же время на практике представляют значительный интерес односторонние аукционы, на которых выставляется на продажу не одна, а несколько единиц товара.

Исследование динамики цен на односторонних аукционах с несколькими единицами предлагаемого товара возможно с позиции теории игр, примененной к рынку одного товара, где каждый продавец (на аукционе - покупатель) может независимо определять цену на свой товар.

Первая модель такого типа была предложена и исследована Бертраном в 1883 году в работе [15], где рассматриваются один товар, фирмы-продавцы с неограниченными производственными мощностями, постоянными и одинаковыми предельными затратами на производство. Стратегией каждого продавца является цена на предлагаемый им товар. Покупатели приобретают товар у продавцов, назначивших минимальную цену. Таким образом, построена игровая модель рынка, в которой игроками являются продавцы, а в качестве значений выигрыша рассматриваются их прибыли. Фактически эта работа Бертрана показывает, что в данных условиях при наличии хотя бы двух продавцов любое равновесие Нэша (см. [29]) соответствует конкурентному равновесию по Вальрасу.

Обобщения модели Бертрана исследовались в ряде работ ([24], [11], [36], [12], [5], [35] и др.). Все эти модели относятся к рынку одного товара, где производственные мощности фирм-продавцов ограничены, а предельные издержки производства постоянны. Как и в модели Бертрана, стратегией каждого продавца является цена, а выигрышем является прибыль (на аукционе - заявочная цена и прибыль, полученная от перепродажи купленного товара, соответственно). Предполагается, что покупатели приобретают товар в порядке возрастания цены (в [12] изучается более общий случай) и их поведение описывается функциями остаточного спроса. Аналогично продается товар на аукционах, начиная с заявки с наибольшей ценой и в порядке убывания заявочных цен.

В упомянутых работах рассматриваются такие понятия, характеризующие коллективное поведение участников рынка, как точки равновесия Нэша (см. [29]), последовательное исключение доминируемых стратегий, а также модели динамики поведения типа олигополии Кур-но (см. [28], [Ю]). Получены условия на параметры рынка, при выполнении которых указанным моделям поведения соответствуют состояния рынка, близкие к конкурентному равновесию. Исследованные модели динамики характеризуют также процесс перехода к этим состояниям.

Результаты, полученные с помощью аппарата теории игр для рынка одного товара, могут быть не только обобщены, но и усилены для моделей односторонних аукционов с неединичным предложением. Во-первых, относительная простота функций спроса, предложения, а также функции остаточного спроса для аукциона позволяет в некоторых случаях сблизить полученные для рынка одного товара (см. [35]) верхние и нижние оценки отклонения возможных цен от цены конкурентного равновесия. Во-вторых, правила продажи на некоторых аукционах существенно отличаются от рассмотренных в моделях рынка одного товара. Примером может служить голландский аукцион, на котором товар продается не по заявочной цене, а по цене отсечения.

Теоретически важным частным случаем несовершенной конкуренции является дуополия. Как уже отмечалось, первая модель дуополии была описана Бертраном (1883). Из этой модели следует, что при равновесии Нэша обе фирм назначают цену, равную их себестоимости и получают нулевую прибыль. В 1887 году Эджворт показал, что если мощности фирм ограничены, то равновесие в чистых стратегиях не всегда существует. В ряде работ (см. [14], [27], [18]) было доказано, что в модели Эджворта существует равновесие Нэша в смешанных стратегиях. В последнее время модели дуополии, описанные Бертраном и Эджвортом, подверглись серьезной критике. В 1989 году Фридман в [25] высказал идею о том, что "хотя логика моделей Бертрана и Эджворта корректна, но экономическая уместность сомнительна".

В 1992 году Дудей в [21] предложил модель дуополии, в которой обладающие единичным спросом покупатели приходят на рынок последовательно, а две фирмы, имеющие одинаковые себестоимости и ограниченные по объему выпуска, могут менять свои цены перед приходом каждого покупателя. Это предположение позволяет описать оптимальное поведение фирм в достаточно простой форме. Из модели Дудея следует, что если по крайней мере одна из фирм не может удовлетворить совокупный спрос, то обе фирмы получают положительную прибыль, причем как минимум одна из них продает весь произведенный товар. Однако недостатком данной модели является ее структурная неустойчивость: при незначительном отличии запасов товара фирм возникает большая асимметрия их выигрышей. Так, если одна фирма имеет запас товара, равный спросу, а вторая - на единицу меньше, то подыгровым совершенным равновесием Нэша (см. [32]) в данном случае является ситуация, когда сначала вторая фирма продает весь свой товар по монопольной цене, а затем оставшийся единичный спрос по монопольной цене удовлетворяет первая фирма. Очевидно, что при достаточно большом спросе такая ситуация вряд ли имеет место.

Одинаковые себестоимости у фирм-производителей в модели Ду-дея сильно ограничивают возможность ее применения в анализе реальных ситуаций. В большинстве случаев фирмы-дуополисты могут различаться не только объемами производства, но и своими себесто-имостями за счет разных технологий, рекламной политики и других факторов.

В настоящей работе мы рассматриваем также математические модели рынка, включающего в себя бюджетный сектор, и обсуждаем вопросы финансирования бюджетной сферы. В ходе развития рыночных отношений сохраняется необходимость централизованного финансирования целого ряда отраслей. К бюджетной сфере относятся образование, здравоохранение, наука и культура, социальное обеспечение и оборона, деятельность таможен, судов, налоговых инспекций и других государственных органов. В сфере материального производства в эту категорию входят коммунальные, транспортные, энергетические и информационные сети и др.

Рыночный механизм не может обеспечить эффективного функционирования указанных отраслей. Во всех странах они в значительной степени или полностью финансируются из централизованных источников: государственных, региональных и местных бюджетов (см. [8], [34]).

В настоящее время развитие рыночных отношений в России происходит в условиях резкого сокращения реальной заработной платы работников бюджетной сферы. Прямыми результатами этого явились широкое распространение коррупции, неэффективное функционирование таможен, налоговых инспекций и других государственных органов, а как следствие - массовый незаконный вывоз капитала и ресурсов за рубеж, уклонение от налогов, господство неконтролируемых монопольных структур во многих областях экономики. Таким образом, рынок развивается в крайне неэффективных формах, вопреки интересам основной массы населения. Еще более катастрофическим для будущего России является происходящее разрушение систем образования, здравоохранения, науки и культуры.

Таким образом, повышение реальной заработной платы работников бюджетной сферы является весьма актуальной задачей. Традиционные методы регулирования рыночной экономики, разработанные Кейнсом и его последователями (см. [7]), предусматривают единственный способ решения: увеличение номинальной заработной платы. Однако связанный с этим рост бюджетных расходов ведет к усилению и без того высокой инфляции, спекулятивному характеру экономической активности.

Альтернативой является рост предложения дешевых потребительских товаров и снижение рыночных цен. Одна из возможностей регулирования предложения - это товарные интервенции. Государственные и региональные органы управления осуществляют их путем закупки товаров на внешнем рынке (либо по специальным договорам с местными предприятиями) и перепродажи потребителям по сниженным ценам. Другой путь - выделение предприятиям субсидий или льготных кредитов для внедрения технологий с низкими себестоимо-стями.

Исходя из указанных вопросов, проблематика настоящей диссертации включает следующие задачи:

1. поиск рациональных стратегий поведения участников односторонних аукционов на основе теоретико-игровых принципов оптимальности и сопоставление их с состоянием конкурентного равновесия по Вальрасу;

2. построение модели дуополии с разными себестоимостями, в которой фирмы могут менять цены в процессе продажи; поиск совершенного подыгрового равновесия для этой модели; сопоставление с равновесием Вальраса оптимальной и монопольной стратегий;

3. построение двухэтапной модели дуополии, в которой на первом этапе фирмы имеют возможность выбора объемов производства, а на втором этапе происходит непосредственная продажа товара, причем цены в процессе продажи могут меняться; поиск равновесия Нэша для этой модели;

4. построение модели олигополии с одинаковыми себестоимостями, в которой фирмы могут менять цены в процессе продажи; поиск совершенного подыгрового равновесия для этой модели;

5. построение модели олигополии с переменными ценами, в которой фирмы имеют разные себестоимости; оценка отклонения возможных цен от цены конкурентного равновесия;

6. поиск оптимальных стратегий, позволяющих обеспечить некоторый фиксированный уровень потребления для людей, основной доход которых представляют выплаты из бюджета (зарплата, стипендии, пенсии и т.д.), и сочетающих в себе повышение номинальных доходов и дотирование производства более дешевых товаров.

Охарактеризуем кратко содержание отдельных разделов работы.

В главе 1 исследуются модели односторонних аукционов: американского и голландского. Для таких аукционов описываются рациональные стратегии поведения их участников, исходя из теоретико-игрового принципа оптимальности, такого как исключение доминируемых стратегий, и сопоставляются с состоянием конкурентного равновесия по Вальрасу.

В §1 рассматривается модель американского аукциона. С помощью аукционов такого типа проводятся первичное размещение большинства ценных бумаг, продажа крупных партий товара на сырьевых биржах и другие операции. Аукцион проходит по следующим правилам. Продавец (аукционер) выставляет N единиц товара с начальной ценой г. В аукционе принимают участие п покупателей, которые подают свои заявки одновременно и независимо, указывая цену и количество товара, которое хотели бы приобрести. Эти заявки удовлетворяются по заявочным ценам, начиная с заявки с самой высокой ценой, в порядке убывания цен. Аукцион прекращается либо по исчерпанию заявок, либо товара. Если объема оставшегося товара недостаточно для удовлетворения текущей заявки, то она удовлетворяется частично. При наличии нескольких таких заявок возможны различные правила распределения оставшегося товара. Рассматриваются следующие варианты: а) оставшийся товар распределяется среди покупателей, подавших заявки с текущей ценой, пропорционально объемам их заявок; б) все покупатели упорядочены, и сначала удовлетворяются заявки с меньшими номерами. Порядок, определяющий приоритет в приобретении товара при равенстве цен, может быть связан, в частности, с временем подачи заявки.

В предлагаемой модели прибыль от покупки товара на аукционе определяется следующим образом. Предполагается, что для каждого покупателя г задана резервная цена гг и объем товара V1, который он может перепродать по этой цене. Цель каждого из участников заключается в максимизации своей прибыли после перепродажи купленного товара.

Исследуемая модель представлена как игра п лиц, где игроками являются участники аукциона, стратегиями - назначаемые ими заявочные цены, а выигрышем - прибыль, которую получает каждый участник после перепродажи купленного товара по своей резервной цене.

Для определения рациональных стратегий поведения игроков используется процесс последовательного исключения доминируемых стратегий (см. [28]). Для игры в нормальной форме с множеством игроков /, множествами стратегий Н1 и функциями выигрыша /г(/г), к Е Н = Н1 X • • • X Нп, стратегия к1 игрока г доминирует его стратегию дг на множестве Н С Н (кг У дг на Н), если для любого набора стратегий (к^ £ Ш: ] Е АО}) стратегия к1 дает игроку выигрыш не меньший, чем стратегия дг, и для некоторого набора к этот выигрыш строго больше. Если же выигрыш строго больше для любого набора к £ Й, то говорят, что к1 строго доминирует дг на множестве Н.

Процедура последовательного исключения доминируемых стратегий определяется последовательностью множеств Н = Н\ I) Кч I) п ■ • I) Нь = Н, где для любого I = 1,., к — 1 Н\ = Щ и для любог=1 го дг Е Н1\Н1+1 существует стратегия 1ъг Е , которая доминирует дг на множестве Н[. Множество Н называется доминирующим. Аналогично определяется строго доминирующее множество стратегий.

Согласно теории коллективного поведения, доминирующие множества характеризуют ожидаемое поведение игроков для широкого круга конфликтных ситуаций: предполагается, что каждый игрок использует некоторую стратегию из доминирующего множества (см. [28], [5]). Такой исход особенно вероятен для аукционов, которые проводятся регулярно, и где состав участников относительно постоянен. Кроме того, последовательное исключение дает квазидинамическую картину поведения участников игры.

Пусть р - равновесная цена, которая балансирует спрос и предложение, ар- максимальная цена, при которой общий спрос на товар больше предложения на величину, превышающую объем заявки любого покупателя с резервной ценой, не превышающей р. Применяя результат, полученный в работе Васина [35] для рынка одного товара, легко показать, что отрезок цен [р,р] является доминирующим множеством стратегий участников американского аукциона. Однако, благодаря достаточно простой функции остаточного спроса участников аукциона, удается уточнить данную оценку. Для каждого игрока с резервной ценой гг не ниже равновесной решается задача определения заявочной цены рг, обеспечивающей ему максимальную прибыль (если все остальные игроки назначают свои максимальные, резервные цены) и цены р;, дающей ту же величину прибыли при полном удовлетворении заявки. Пусть минимальные из этих цен определены как г и р соответственно. В Предложении 1.1.3 показано, что р < г < р < р.

В Теореме 1.1.1 доказывается, что для американского аукциона с пропорциональным правилом рационирования результатом последовательного исключения доминируемых стратегий является отрезок цен от р до р. Таким образом, получены верхняя и нижняя оценки ожидаемого отклонения данного аукциона от конкурентного равновесия. В случае американского аукциона с упорядоченными покупателями процедуру исключения можно продолжить. В Теореме 1.1.2 доказывается, что для этого типа аукциона отрезок от г до р образует множество цен, оставшееся после последовательного исключения доминируемых стратегий, т.е. максимальное отклонение рынка от цены равновесия меньше, чем в случае аукциона с пропорциональным правилом рационирования.

Следует отметить, что определяемая теоремами 1.1.1 и 1.1.2 правая граница возможных цен на американском аукционе лежит левее равновесной цены. Таким образом, в настоящей работе не только уточняется верхняя оценка отклонения цен от равновесной цены, но и, в отличие от предыдущих работ, получена ненулевая нижняя оценка этого отклонения.

В §2 рассматривается модель голландского аукциона. Как и американский, голландский аукцион довольно популярен. С помощью аукционов такого типа проводятся, например, первичные размещения американских казначейских среднесрочных облигаций (treasury notes). Аукцион проходит по тем же правилам, как и американский, с той лишь разницей, что заявки удовлетворяются по цене отсечения.

Как и в §1, рассматриваются два варианта распределения оставшегося товара: а) оставшийся товар распределяется среди покупателей, подавших заявки с текущей ценой, пропорционально объемам их заявок; б) все покупатели упорядочены, и сначала удовлетворяются заявки с меньшими номерами. Для каждого варианта результаты последовательного исключения доминируемых стратегий сформулированы в виде теорем. В Теореме 1.2.1 доказывается, что для голландского аукциона с пропорциональным правилом рационирования результатом последовательного исключения доминируемых стратегий игрока г, резервная цена которого больше или равна р, является отрезок цен от р до г1. Таким образом, продажная цена на таком аукционе заключена в отрезке цен от р до р. Хотя правила продажи на голландском аукционе существенно отличаются от правил на рынке одного товара, тем не менее мы получили схожий с [35] результат. В итоге получены верхняя и нижняя оценки ожидаемого отклонения данного аукциона от состояния конкурентного равновесия.

В случае голландского аукциона с упорядоченными покупателями процедуру исключения можно продолжить. В Теореме 1.2.2 доказывается, что для этого типа аукциона отрезок от f до г1 образует множество цен, оставшееся после последовательного исключения доминируемых стратегий игрока г, резервная цена которого больше или равна р. Таким образом, продажная цена на таком аукционе заключена в отрезке цен от г до р. Как и в случае американского аукциона, максимальное отклонение цен на голландском аукционе с упорядоченными покупателями от цены равновесия меньше, чем в случае голландского аукциона с пропорциональным правилом рационирования. Также стоит отметить, что доминирующее множество цен в случае американского аукциона уже, чем в случае голландского.

Глава 2 посвящена исследованию моделей дуополии и олигополии с переменными ценами, которые в процессе продажи могут меняться. Рассматриваются следующие задачи: поиск оптимальных стратегий как совершенного подыгрового равновесия Нэша для одноэтапной модели, а также поиск равновесия Нэша для двухэтапной модели, где на первом этапе фирмы могут выбрать объемы своего производства, а на. втором этапе происходит непосредственная продажа товара.

В §1 построен аналог одноэтапной модели Дудея для дуополии с разными себестоимостями. Рассматривается следующий рынок одного товара. На рынке присутствуют две фирмы, которые предлагают некоторое количество единиц однородного неделимого товара. Существует N покупателей, которые хотят купить по единице товара каждый по цене не более М рублей. Каждая фирма i характеризуется себестоимостью с\ где с1 < с2, и начальным запасом товара i — 1,2. Покупатели приходят на рынок в разное время и одновременно наблюдают предлагаемые цены обеих фирм. Процесс продажи разбит на N периодов, а все покупатели упорядочены в порядке, обратном их времени прихода на рынок. Придя на рынок, покупатель покупает товар у фирмы, назначившей минимальную цену при условии, что эта цена не превосходит М рублей. Если в момент прихода покупателя фирмы устанавливают одинаковую цену, то считается равновероятным, что товар будет куплен у одной или другой фирмы. Если цены на товар превосходят М рублей у обеих фирм, то покупатель покидает рынок, не совершив покупки, и в дальнейшем уже на данный рынок не возвращается. Фирмы ищут стратегии, с помощью которых они могли бы максимизировать свой доход. В качестве стратегии фирмы г рассматривается правило назначения цены в каждый период времени t = 1,.,ЛГ, i = 1,2, в зависимости от значений ТУ, М, с1, с2, Функция выигрыша каждой фирмы равна суммарной прибыли, полученной от продажи товара.

Описанная модель рассматривается как динамическая игра, разыгрываемая фирмами. Задача состоит в том, чтобы найти совершенные подыгровые равновесия Нэша. В Теореме 2.1.1 доказывается, что для любых начальных запасов обеих фирм существует совершенное поды-гровое равновесие Нэша. В результате вся область начальных объемов товара фирм разбивается на четыре разные по типу подобласти. Так, если совокупное предложение обеих фирм не превышает совокупного спроса, то обе фирмы назначают монопольную цену. В следующей области две фирмы жестко конкурируют друг с другом. К этой области, в частности, относится случай, когда каждая фирма может самостоятельно удовлетворить совокупный спрос. В этом случае первая фирма самостоятельно удовлетворяет весь спрос по цене, равной себестоимости второй фирмы. Третий тип областей относится к лидерству первой фирмы, когда она продает весь свой товар по монопольной цене, а затем оставшийся спрос удовлетворяет вторая фирма также по монопольной цене. В частности, к этой области относится случай, когда вторая фирма может удовлетворить весь совокупный спрос, а первая - нет. И, наконец, последний тип области относится к лидерству второй фирмы. В этом случае вторая фирма продает весь свой товар, а затем первая фирма удовлетворяет оставшийся спрос по монопольной цене. К этой области, в частности, относится случай, когда первая фирма может удовлетворить весь совокупный спрос, а вторая - нет, при этом выигрыш первой фирмы должен быть больше, чем в случае жесткой конкуренции.

В §2 рассмотрена двухэтапная модель дуополии с переменными ценами. На первом этапе фирмы-дуополисты одновременно и независимо определяют объемы производства товара, а на втором этапе происходит непосредственная его продажа. В данной модели ищутся оптимальные объемы производства двух фирм как равновесие Нэша в биматричной игре, соответствующей первому этапу, причем выигрышем является прибыль, получаемая фирмой на втором этапе в совершенном подыгровом равновесии Нэша.

Сначала рассматривается дуополия с одинаковыми себестоимостя-ми. В Теореме 2.2.1 описываются результаты, полученные в [21] относительно оптимального поведения фирм-дуополистов на втором этапе игры. В Теореме 2.2.2 доказывается, что для дуополии с одинаковыми себестоимостями оптимальные стратегии фирм на первом этапе таковы, что общее предложение на втором этапе не превышает совокупный спрос. Таким образом, на втором этапе устанавливается единая, монопольная цена. В отличие от модели Дудея, данная модель обладает структурной устойчивостью относительно начальных запасов двух фирм и описывает процесс "дележа" рынка фирмами-дуополистами, при котором каждая из них получает положительную прибыль.

Далее рассматривается двухэтапная модель дуополии с разными себестоимостями для случая, близкого к монополии первой фирмы. Согласно Теореме 2.2.3, если максимальный выпуск товара первой фирмы не превосходит спроса, то она производит максимальный объем и на втором этапе продает весь свой товар по монопольной цене. Если первая фирма может самостоятельно удовлетворить весь спрос, то она является единственным производителем, который на втором этапе продает товар, причем по монопольной цене. В этом случае вторая фирма ничего не производит, и рынок становится полностью монополизированным.

§3 посвящен поиску оптимального поведения фирм для олигополии с одинаковыми себестоимостями. В качестве принципа оптимальности рассматривается совершенное подыгровое равновесие Нэша. В Теореме 2.3.1 получены условия установления на таком рынке монопольной цены и цены конкурентного равновесия. Как и в модели, рассмотренной в [21], приоритетом при продаже является меньший запас товара у фирм.

В §4 рассмотрена модель олигополии с разными себестоимостями. В Теореме 2.4.1 получена верхняя оценка отклонения возможных цен от цены конкурентного равновесия. Хотя рассматриваемая модель использует переменные цены, полученная оценка совпадает с оценкой, сделанной в работе [35] для олигополии с одновременным назначением цен.

Глава 3 посвящена поиску оптимальных стратегий, позволяющих обеспечить некоторый фиксированный уровень потребления для людей, основной доход которых представляют выплаты из бюджета (зарплата, стипендии, пенсии и т.п.). Рассматриваются стратегии, сочетающие такие подходы, как повышение номинальных доходов населения и дотирование производства более дешевых товаров, и определяется оптимальное их сочетание. При этом решается задача минимизации общих расходов бюджета.

В §1 дается обзор результатов, относящихся к моделям бюджетного финансирования и рассмотренных в [4], [3]. В этих работах предложена следующая модель рынка с одним товаром. Предполагается, что рынок удовлетворяет условиям совершенной конкуренции, т.е. цена на товар определяется из условия равенства спроса и предложения. Оптимальная стратегия администрации сводится к формированию новой равновесной цены: выплаты из бюджета потребителям обеспечивают желательный уровень спроса при этой цене; одновременно за счет товарной интервенции или инвестиций устанавливается такой же уровень предложения. Теорема 3.1.1 указывает оптимальное (с точки зрения минимизации расходов бюджета) значение новой равновесной цены в различных случаях. В частности, при постоянном спросе населения, относящегося к небюджетной сфере, оптимальная цена совпадает с равновесием исходного рынка при нулевом спросе " бюджетников".

§2 представляет собственный результат и исследует задачу оптимального финансирования бюджетной сферы в условиях монополизированного рынка. Взаимодействие администрации и монополии описывается иерархической игрой с правом первого хода у администрации. Ее оптимальная стратегия включает товарную интервенцию в таком объеме, что монополия вынуждена снизить цену до значения, установленного администрацией. Теорема 3.2.1 указывает метод расчета оптимальной цены. В определенных предположениях основная роль интервенции сводится к давлению на рынок с целью снижения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе исследованы математические модели ценовой конкуренции для односторонних аукционов, дуополий и олигополий, а также модели оптимизации финансирования бюджетной сферы. Получены следующие основные результаты.

1. Построены и исследованы математические модели односторонних аукционов: американского и голландского. Для таких аукционов найдены рациональные стратегии поведения их участников, исходя из теоретико-игрового принципа оптимальности, такого как исключение доминируемых стратегий. В результате получены верхние и нижние оценки отклонения возможных цен от цены конкурентного равновесия по Вальрасу.

2. Исследована модель дуополии с разными себестоимостями, в которой фирмы могут менять цены в процессе продажи. Найдено совершенное подыгровое равновесие для этой модели в зависимости от параметров рынка.

3. Построена двухэтапная модель дуополии с переменными ценами, в которой на первом этапе фирмы имеют возможность выбора объемов производства, а на втором этапе происходит непосредственная продажа товара. Модель рассмотрена для случая одинаковых себестоимостей фирм-дуополистов и случая, когда их себестоимости сильно различаются. Для всех случаев найдены точки равновесия Нэша. Определены условия на параметры рынка, при которых указанные равновесия соответствуют состоянию конкурентного равновесия и монопольному выбору цены.

4. Построена и исследована модель олигополии с одинаковыми себестоимостями, в которой фирмы могут менять цены в процессе продажи. Найдено оптимальное поведение фирм, отвечающее совершенному подыгровому равновесию. Получены довольно простые условия на параметры модели, при которых данное равновесие соответствует состоянию конкурентного равновесия и монопольному выбору цены.

5. Построена модель олигополии с переменными ценами, в которой фирмы имеют разные себестоимости. Для этой модели найдена оценка отклонения возможных цен от цены конкурентного равновесия.

6. Построена и исследована модель оптимального финансирования бюджетной сферы при монополизированном рынке. Найдены оптимальные стратегии, позволяющие обеспечить некоторый фиксированный уровень потребления и сочетающие в себе повышение номинальных доходов и дотирование продажи более дешевых товаров.

Данные результаты могут быть использованы при создании и анализе моделей рыночной экономики, а также при разработке теоретических основ государственной антимонопольной политики и политики финансирования бюджетной сферы.

1. Аргументы и факты, 1994, N48, С.5.

2. Васин А.А., Крохина JI.B. О регулировании центром деятельности монополии в условиях смешанного рынка.-Вычислительные комплексы и моделироварие сложных систем.- М.: Изд.-во МГУ, 1989, С.96-98.

3. Васин А.А. Об одной модели оптимального финансирования// Вестник МГУ. Сер.15, Вычислительная математика и кибернетика. 1994. N 4. С.21-28.

4. Васин А.А., Самойлова И.А., Сомов С.В. Модели оптимизации финансирования бюджетной сферы// Математическое моделирование. 1997. Т.9. N 4. С.53-67.

5. Васин А.А. Эволюционные модели и принципы оптимальности коллективного поведения. Дис. . докт. физ.-мат. наук. М., 1990.

6. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами.- М.: Наука, 1976.

7. Кейнс Дж.М. Общая теория занятости, процента и денег.- М., 1978.

8. Макконелл К.Р., Брю СЛ. Экономикс. М., 1992.

9. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики.-М.: Мир, 1985.

10. Павловская Е.Я., Поспелов И.Г., Скрипкин К.Г. Точка Нэша и общественно необходимые затраты труда в хозяйстве М.:ВЦ АН СССР, 1988.

11. Allen В., Hellwig М. Bertrand-Edgeworth Oligopoly in Large Markets// Rev.of Econ.Studies, 1986, v.53, P. 175-204.

12. Allen B., Thisse J.-F. Price equilibria in pure strategies for homogeneous oligopoly// Center for Operations Research and Econometrics, discussion paper n9034, Université Catholique de Louvain, 1990.

13. Arrow K.J., Debreu G. Existance of an equilibrium for a competitive economy// Econometrica. 1954. v.22. P.265-290.

14. Beckman M. Operations Research-Verfahren.- Meisenheim, Germany: Verlag Anton Hein, 1965.

15. Bertrand J. Review of Walras's theorie mathématique de la richesse sociale and Cournot's recherches sur les principes mathématiques de la theorie des richesses// Journal des Savants. 1883. v.67. P.499-508.

16. Borgers T. Iterated elimination of dominated strategies in a Bertrand-Edgeworth model// Review of Economic Studies. 1992. v.59. P. 163176.

17. Che Y.-K. Design competition through multidemensional auctions// RAND Journal of Economics. 1993. v.24. N 4. P.668-680.

18. Dasgupta P., Maskin E. The existence of equilibrium in discontinuous economic games, 2: Applications// Review of Economic Studies. 1986. v.53. P.27-41.

19. Debreu G. On the theorem of Scarf// Review of Economic Studies. 1963. v.30. N 3.

20. Dickhaut J., Gjerstad S. Price formation in double auctions. Preprint of University of Minnesota. 1994.

21. Dudey M. Dynamic Edgeworth-Bertrand competition// Quarterly Journal of Economics. 1992. P.1461-1477.

22. Easley D., Ledyard J. Theories of price formation and exchange in double oral auctions. In The Double Auction Market: Institutions, Theories, and Evidence, Addison-Wesley, 1993.

23. Edgeworth F. La teoria pura del monopolio// Giornale degli Economisti. 1897. v.40. P.13-31.

24. Edgeworth F. Papers Relating to Political Economy.- NY.: Macmil-lan, 1925.

25. Friedman J. The New Palgrave: A Dictionary of Economics.- NY.: W.W.Norton, 1989.

26. Ketcham J., Smith V., Williams A. A comparison of posted-offer and double-auction pricing institutions// Review of Economic Studies. 1984. v.51. P.595-614.

27. Levitan R., Shubik M. Price duopoly and capacity constraints// International Economic Review. 1972. v.13. P.lll-122.

28. Moulin H. Dominance-solvability and Cournot-stability// Mathematical Social Sciences. 1984. v.7. P.83-102.

29. Nash J. Equilibrium points in n-person games// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1951. v.36. P.48-49.

30. Piccione M., Tan G. A simple model of expert and non-expert bidding in first-price auctions// Journal of Economic Theory. 1996. v.70. P.501-515.

31. Scarf H. Some examples of global instability of the competitive equilibrium// Intern. Econ. Rev., 1960. v.55. N 3.

32. Selten R. Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games// International Journal of Game Theory. 1975. v.4. P.25-55.

33. Sharpe W.F. Investments. N.-Y., 1985 (3-rd edit.).

34. Stiglitz J.E. Rethinking the economic role of the state: publicly provided private goods. Preprint of Stanford University. 1992.

35. Vasin A. On the convergence to competitive equilibrium and the conditions of pure competition// The IX World Congress of IEA. 1992.

36. Vives X. Rationing rules end Bertrand-Edgeworth equilibria in large markets// Economic Letters. 1986. v.21. P.113-116.