Соотношение равновесий Нэша и конкурентного равновесия в математических моделях обмена тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

На правах рукописи

Дуракович Небойша

СООТНОШЕНИЕ РАВНОВЕСИИ НЭША И КОНКУРЕНТНОГО РАВНОВЕСИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ОБМЕНА

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004 Я 3 АТ ЕЛ Ь Г: _ I /.

| БЕСПЛЛ1НЫМ

зкземп;^

Работа выполнена на кафедре исследования операций факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Васин Александр Алексеевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Лотов Александр Владимирович, профессор

кафедры высшей математики факультета

экономики ГУ ВШЭ, д.ф.-м.н.;

Меньшиков Иван Станиславович, старший научный сотрудник ВЦ РАН, к.ф.-м.н.

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН

Защита диссертации состоится "_9_" апреля 2004 г. в П. часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиКМГУ.

Автореферат разослан "_"_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор ¿¡/¡зьит Н.П. Трифонов

РТТ

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Согласно экономической теории, конкурентное равновесие является оптимальным состоянием экономики, и отклонение от него связано со снижением ее эффективности. Одна из возможных причин отклонения -изменение цены товара в результате действий экономического агента (производителя или потребителя товара), контролирующего значительную долю в общем объеме продаж. Большая часть реальных рьшков относится к олигополиям: в то время, как любой отдельный потребитель не обладает рыночной властью и его доля в общем объеме продаж составляет доли процента, наиболее крупный производитель на таких рыпках обеспечивает не менее 10% от общего потребления. Исследование математических моделей и оценка ожидаемого отклонения от состояния конкурентного равновесия для различных типов олигополии представляют большой интерес. Типичным подходом к количественной характеристике условий совершенной конкуренции и к оценке ожидаемого отклонения является сравнение конкурентного равновесия с решением игры, описывающей олигополистическую конкуренцию.

Соответствующие математические модели рассмотрены в работах ряда российских и зарубежных исследователей (А.А. Васин, Н.С. Кукушкин, И.Г. Поспелов, В. Allen, R. Amir, M. Lambson и др.). Однако, полученные результаты являются далеко не полными и не дают ответа на ряд важных вопросов. Так, для олигополии Курно условия существования единственного равновесия по Нэшу установлены лишь для вогнутых функций спроса. Оценки отклонений от конкурентного равновесия получены только для симметричных олигополии. Для аукциона функций предложения не исследован практически важный случай, когда множество стратегий продавца ограничено ступенчатыми неубывающими

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

функциями, как на реальных рынках электроэнергии и газа (см. Hogan, 1998 ). Для моделей ценовой конкуренции был большой разрыв между достаточными условиями существования равновесия Нэша (Эджворт, 1925, Васин, 1993) и необходимыми условиями (Allen, Hellwis, 1986).

Вторая актуальная проблема касается исследования децентрированных механизмов взаимодействия. Этот тип обмена соответствует неорганизованному рынку, и здесь рассматриваются различные модели повторяющихся парных и групповых сделок в форме динамических игр. Вопрос, можно ли ожидать формирования конкурентного равновесия, в литературе сводится к его сравнению с совершенным подыгровым равновесием или последовательным равновесием соответствующей динамической игры. Этой проблеме посвящены работы Gale D. (1986) [16,17], Rubinstein A., Wolinskiy A. (1984) Относительно моделей повторяющихся парных сделок в литературе не выяснено, какие особенности моделей Рубинштейна-Волынского и Гейла определяют различные исходы обмена в этих моделях. Кроме того, обе модели относятся к открытым рынкам с постоянным притоком участников, обеспечивающим фиксированную структуру. Представляет интерес исследование данной проблемы для замкнутого рынка, на котором повторяющиеся сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами.

Цель работы; построение и исследование теоретико-игровых моделей олигополистической конкуренции и повторяющихся парных сделок, оценка ожидаемого отклонения решений соответствующих игр от конкурентного равновесия.

Задачи работы;

1) исследование вопроса существования равновесий Нэша и изучение их свойства для игр в нормальной форме, соответствующих трем различным механизмам взаимодействия производителей товаров и покупателей:

олигополии Курно, аукциона функций предложения и ценовой конкуренции типа Бертрана-Эджворта;

2) исследование теоретико-игровых моделей повторяющихся парных сделок и свойств решений соответствующих, динамических игр с континуумом игроков и неполной информацией.

Методы исследования базируются на теории игр, математическом аппарате исследования операций, теории оптимизации и микроэкономике.

Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертаций сформулированы в виде утверждений и теорем и строго доказаны.

Научная новизна работы определяется следующим.

Для модели Курно получена верхняя оценка отклонения равновесия по. Курно от конкурентного равновесия в зависимости от двух характеристик рынка: минимальной эластичности спроса по ценам, превышающим цену конкурентного равновесия, и максимальной доли отдельного производителя в общем объеме продажи товара по указанной цене.

Для модели конкуренции функций предложения описано множество равновесий Нэша и проведено их сравнение с равновесиями по Вальрасу и по Курно.

Для модели ценовой конкуренции получены новые достаточные условия существования равновесия Нэша." Доказано, что в общем случае равновесие Нэша (если оно существует) соответствует конкурентному равновесию. В то же время показано, что при довольно общих предположениях равновесия Нэша в этой модели не существует. В этом случае оценка отклонения ожидаемых цен от конкурентного равновесия получена на основе последовательного исключения, доминируемых стратегий.

Решена также задача регулирования аукциона первой цены путем введения фиктивного игрока, действующего в интересах продавца -организатора аукциона.

Показано, что для сходимости последовательных равновесии модели повторяющихся парных сделок к конкурентному равновесию в общем случае необходима возможность многократного участия в обмене для агентов всех типов. Построена и исследована модель, описывающая проблему формирования конкурентного равновесия» для замкнутого рынка, на котором повторяющиеся сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами. Показано, что в определенных предположениях исход, отвечающий последовательному равновесию такой модели, стремится к равновесию Вальраса, когда время торгов стремится к бесконечности, и дана оценка скорости сходимости.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач экономического регулирования олигополистических рынков.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 работы

[1-3].

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, ЦЭМИ РАН, на 2-ой Международной конференции по исследованию операций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 50 наименований. Общий объем работы составляет 104 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована проблематика диссертации и обсуждены основные известные результаты в

области теоретико-игрового моделирования олигополистической конкуренции.

В первой главе настоящей работы исследуется вопрос существования равновесий Нэша (в чистых стратегиях) и изучаются их свойства, прежде всего их соотношение с конкурентным равновесием, для игр в нормальной форме, соответствующих трем различным механизмам взаимодействия производителей товаров и покупателей: олигополии Курно, аукциона функций предложения и ценовой конкуренции типа Бертрана-Эджворта.

В разделе 1.2. рассмотрена модель конкуренции по Курно для рынка однородного товара с конечным множеством производителей А. Каждый производитель характеризуется постоянными предельными затратами с*>0 и производственной мощностью. Функция спроса Б(р) непрерывно-дифференцируема и убывает по цене р. Цена р в конкурентном равновесии определяется из условия

где А*(_р) ={а:с° £р},А~(р) ={а:с° <р},А(р)={а:с" =р}. Стратегией каждого производителя а является его объем производства у'еСО.Р"]. Производители устанавливают эти значения одновременно. Обозначим через $=(у',аеА) набор стратегий (комбинацию). Рыночная цена р$) балансирует спрос и фактическое предложение: Функция

выигрыша производителя определяет его прибыль Таким образом, взаимодействие в модели Курно соответствует игре в нормальной форме где для

любого аеА.

Обозначим через равновесные по Нэшу объемы

производства и через соответствующую цену. Необходимое

и достаточное условие того, что этот набор является равновесием по Нэшу, следующее: для любого а,

р' е Атц г # шах # Д^-Г^'^у'Хр-с*)}

Тогда условие (на экстремум) первого порядка для равновесия пс Нэшу формулируется как

V** = 1™!!*'-'',^' -<ф'(р)|], если < р' (11)

Следующее утверждение показывает единственность такого равновесия Нэша при определенных ограничениях на спрос. Утверждение 1.1. Пусть D(p) удовлетворяет одному из следующих условий: a) Б(р)>0 и эластичность спроса е(р) не убывает по-ре(р,М), £)(р) = 0 для р^М; Ъ) Б(р)>0 и е(р) не убывает по р при р2р, 1ппе(р) = Ь>Мт, гдет общее число производителей нарынке.

Тогда существует единственное равновесие по Нэшу в игре Гс. Следующее утверждение дает оценку отклонения исхода по Курно от равновесия по Вальрасу в зависимости от минимальной эластичности спроса при р£р и максимальной доли одной фирмы в общем производстве в равновесии по Вальрасу. Предлагаемая оценка не требует монотонности е(р) и выполнена также при неединственности равновесия Курно.

Утверждение 1.2. Пусть е(р)^е при р>р, причем для некоторого натурального п тах V/ и еп>\.

Тогда для любого равновесия Нэша

р!р* * 1-1/(ел), / Др) * (1-1/(ел))*. (1.4.)

В разделе 1.3. рассматривается следующий закрытый аукцион заявок: каждый производитель одновременно посылает аукционеру

свою заявку - функцию г-предложения Д°(р), определяющую объем товара, который производитель готов продать по цене р,р> 0. Ниже предполагается, что Л°(р) является неубывающей ступенчатой функцией с ограниченным числом ступеней. Такую функцию можно задать набором где - объем производства в интервале

с° <,р-£.<„«' = 0.....п; предполагается, что с1 = = О.с",., = оо для любого а.

Поведение покупателей характеризуется функцией спроса В(р), которая общеизвестна. Набор функций г-предложения определяет общее г-предложение и цену отсечения которая

удовлетворяет условию £>(с)е.й(с). Исходя из свойств функции спроса, цена отсечения определяется однозначно для любого ненулевого предложения:

Чтобы определить функции выигрыша, следует рассмотреть два

случая. Обозначим Л+(р)^5ирЛ(р),Л"(р) = шТЦр). Если Л+(с) = £(с), то

каждый производитель продает заявленный объем по цене

отсечения. Иначе, сначала каждый производитель продает а затем

остаточный спрос . распределяется среди производителей, у

которых согласно некоторому правилу рационирования,

которое удовлетворяет следующему техническому условию: остаточный спрос сначала распределяется (согласно этому правилу) среди игроков, у которых с' < с .Если они его не покрывают, тогда остаток распределяется среди игроков, у которых

При заданном правиле рационирования прибыль производителя определяется как где

у*(Л",а еЛ)е [Л,"(сг),Л'"'(с)] - конечный спрос на его товар. Таким образом, определена нормальная форма игры которая соответствует закрытому аукциону заявок. Для этой игры существует два типа возможных

равновесий по Нэшу: 1) такие равновесия по Нэшу, что 11*(с) = В(с) (равновесия по Нэшу без рационирования), 2) такие, что (равновесия по Нэшу с рационированием). Рассмотрим равновесия по Нэшу первого типа. Заметим, что в этом случае для любого ЬеА еЛ) = ^4(4),с,(4) <.с<с,^, для некоторого ЦЬ). Вектор (у',а е А)

объемов производства называется локальным равновесием по Нэшу для игры по Курно- Гс, если он удовлетворяет необходимым условиям (1.1., 1.2.) для равновесия по Нэшу.

Утверждение 1.3. Для любого равновесия по Нэшу без рационирования объемы производства соответствуют локальному равновесию по Нэшу в игре по Курно Гс. В частности, если функция спроса удовлетворяет Утверждению 1.1., то любое равновесие по Нэшу без рационирования соответствует единственному равновесному по Нэшу исходу игры Гс. Если (у°,аеА) является равновесием по Нэшу в и^рето существует соответствующее равновесие в .

Далее в ряде случаев вводится предположение А: Я'{р)^8°[р)для любого

Утверждение 1.4. Если (Л'.аеА) - равновесие по Нэшу. такое, что то оно удовлетворяет одному из следующих двух

условий

1) существует один производитель ЬеА такой, что сь <с и V* <У1 (таким образом, для любоготакого, что для

любого а такого, что цена отсечения превышает и при

выполнении Предположения А удовлетворяет условию:

(1.7.)

2) с=р; при выполнении Предположения А для любого Ь такого, что с' <р, цена конкурентного равновесия доставляет максимум (1.7.);

(18)

Следующее утверждение также показывает, что для любого игрока Ь цена рь не превышает цену Курно.

Утверждение 1.5. Для любого Ь такого, что съ £ р, цена ръ удовлетворяет неравенству рь £ р . Если рь <р', то при Л"(рь) = 0 для любого а такого, что с° '¿рь,К°{рь) = \° =У° для аеЛ~(р*)\Ь, и Л>(p') = vi =В(р*)~ , существует ае.А'{р) такое, что

ЗГ"(Г,аеЛ)/0у" <0.

Рассмотрим непрерывный во времени процесс адаптации, где для каждого а скорость изменения V® пропорциональна производной платежной функции:

ЛЧО/^йф-ХО)/^" если V4 <У или <0, иначе Л"(0/Л = 0. (1.10.)

Утверждение 1.6. Если эластичность спроса не убывает и существует

равновесие Курно (то. есть, решение уравнения

„. * V тш[Г,(р-с°)|Д'0>)|] ,, д б й й

Пр) = -¿>(.Р)- '/» то для любой начальной точки

(у',аеА)\° е |о,Ирешение (1.10.) сходится к исходу по Курно (Vе*,аеА).

В разделе 1.4. рассмотрена модель ценовой конкуренции в форме аукциона первой цены. Производители-продавцы одновременно и независимо назначают цены на свой товар. Пусть на рынке имеется континуум потребителей, каждый из которых характеризуется своей резервной ценой, они выстраиваются в очередь и покупают предложенный товар в порядке возрастания цены с учетом их резервных цен. Потребитель приобретает единицу товара или нет в зависимости от того меньше ли цена на товар его резервной цены или больше. Распределение потребителей с

резервной ценой г характеризуется плотностью распределения р(г), которая положительна и сосредоточена в диапазоне (0,А/): р(г)>0,ге(0,М), р(г) = 0, г>М. Тогда функция спроса имеет вид

D(p) = \р(г)^г » она непрерывна и строго убывает по р в интервале (О, М) и D(p) = 0,VpZM.

Обозначим через цену на товар, устанавливаемую

производителем а. Будем предполагать, что для любого a s'>c'. Набор определяет вектор фактического предложения товара: - количество товара, предложенное

по цене - множество назначенных цен.

Функция остаточного спроса D(p,V) зависит от фактического предложения товара и показывает, каков остаточный спрос по цене р после продажи всех объемов- Vf. по ценам. р'<р. В литературе

рассматривается, три конкретных вида функций остаточного спроса, связанных с правилами рационирования, то есть с порядком потребителей в очереди:

1. Приоритет потребителей с высокой резервной ценой:

При любом порядке потребителей в очереди справедливо

соотношение то есть остаточный спрос убывает

быстрее всего в случае 1 и медленнее всего - в случае 3.

Далее рассмотрим произвольный порядок потребителей в очереди, считая, что остаточный спрос характеризуется, функцией удовлетворяющей свойствам:

й(р,У) £ Д(р)- , й(р,У) а тах{д{р,к)- £?,,()}, Чр < р. (1-14.)

По функции остаточного спроса для любых стратегий производителей однозначно определяется максимальная продажная цена

- максимальная цена, при которой остаточный спрос еще положительный. В качестве выигрышей производителей рассмотрим их прибыли:

Значение выигрыша производителя при s' = p(s) показывает, что остаточный спрос по цене р = p(s) распределяется между фирмами пропорционально объемам их предложения, причем приоритетом пользуются фирмы, у которых предельные издержки ниже максимальной продажной цены. Последнее условие вводится для технического удобства, поскольку функции выигрыша разрывны, и данная формула позволяет избежать необходимости исследования е-равновесий Нэша.

Таким образом, данный механизм продажи описан в виде игры в нормальной форме где игроки - фирмы, множества

стратегий - множества цен, которые они могут назначить, а функции выигрыша определяют прибыли фирм.

Утверждение L 7. (Необходимые условия • существования равновесия

Нэша). Пусть s - равновесие Нэша. Тогда либо р(а) = р и для любого а такого, что с" йр , выполнено s' = p(s), либо p(s) >р и существует единственный игрок а такой, что с' <p(s), при этом с' йр.

Известно следующее достаточное условие существования равновесия Нэша (Васин, 1991). Рассмотрим игроков, у которых предельные издержки не превышают Вальрасовскои цены < р. Пусть после исключения игрока с максимальным объемом выпуска среди игроков а с издержками с* й р, оставшиеся игроки покроют равновесный спрос D{p). Формально это можно описать следующим неравенством:

Тогда набор стратегий в котором для любого такого что

является равновесием Нэша независимо от стратегий игроков у

которых с' >р.

При этом на функцию спроса не накладывается никаких ограничений, кроме ее невозрастания.

Продолжая анализ случая, когда и существуют хотя бы

два игрока такие, что укажем близкое по смыслу

необходимое условие существования равновесия Нэша. Утверждение 1.9. В данных предположениях для существования равновесия Нэша необходимо, чтобы для любого игрока а такого, что с' =р, было выполненоусловие

Рассмотрим другой типичный случай, когда 5'"'(р)=5*(р)=.С)(р) и существуют хотя бы два игрока такие, что с"' <р, с°* <р . Очевидно, что условие (1.16.) не выполнено. Однако, равновесие Нэша существует, если исходный и остаточный спрос убывают достаточно быстро. Выше были рассмотрены различные виды функций остаточного спроса,

(1.16.)

V £S*(j>)-D(J>).

(1.18)

соответствующие различным порядкам потребителей в очереди. Отметим ситуацию, когда потребители с низкими резервными ценами не имеют приоритета, то есть их доля в каждой группе покупателей, приходящей на рынок, не превышает их доли среди всех оставшихся потребителей. Тогда функция остаточного спроса удовлетворяет неравенству

(1.19.)

то есть остаточный спрос по любой цене р не больше, чем при пропорциональном правиле. Если нет приоритета у покупателей с высокими резервными ценами, то справедливо обратное неравенство. Обозначим с = шах с' .

Утверждение 1.10. Пусть вуказанныхусловиях для любого р>р верно, что

0.20.)

то есть оптимальная монопольная цена при предельных издержках сне превышает р, а функция остаточного спроса .о(р,к) при р>рудовлетворяетусловию (1.19.). Тогда набор стратегий s, в котором =р для любого а, такого что с' £р, и з'^с' для игроков а с издержками с" > р„ является равновесием Нэиш. Если же в некоторой окрестности (р,р+е) для функции спроса выполнены обратные неравенства и хотя бы одно из них строгое, то равновесия Нэша не существует.

Следствие. Бели на рынке нет приоритета покупателей с низкими резервными ценами (то есть, выполнено условие (1.19.)), эластичность спроса при не меньше 1, и для любого игрока такого что

верно, что с*=0, то существует равновесие Нэша, соответствующее Вальрасовскому равновесию. Если же нет приоритета покупателей с

высокими резервными ценами, эластичность спроса в некоторой окрестности р не больше 1 и с > 0, то равновесия Нэша не существует.

Возвращаясь к рассмотрению случая отметим, что

если барьер В удовлетворяет необходимому условию (1.18.), но не обеспечивает выполнения неравенства (1.16.), то по аналогии с Утверждением 1.10. можно сформулировать достаточное условие существования равновесия Нэша, если нет приоритета «бедных» покупателей, и условие отсутствия равновесия Нэша, если нет приоритета «богатых» покупателей.

Утверждение 1.11. Пусть выполнены условия (1.18.) и (1.19.) и для любого а, такого что с' < р, верноусловие

Ур>р:(к'-в)о(р)(р-с^Г(р-сф(?) (1.21.)

Тогда набор стратегий з, в котором =р для любого а, такого что с'<,р, и х" ¿с' для игроков а с издержками с" >р, является равновесием Нэша. Если же в некоторой окрестности (р,р+е) выполняются неравенства, противоположные неравенствам (1.19.) и (1.21.), то равновесия Нэша не существует.

Рассмотрим случай квазимонополии, когда существует единственный производитель, у которого издержки не превышают Вальрасовской цены. Пусть производители упорядочены так, что величины их предельных издержек не убывают, то есть

Утверждение 1,12. Если в указанныхусловиях пт(р-с')д(р) достигается

при ри <,сг (то есть, монопольная цена для первой фирмы не превышает величины с2), то набор стратегий в котором 51 = ри и для

игроков а = 2,...т является равновесием Нэша. Если же п^охр} - с1)й(р)

достигается при рм=с2, то равновесие Нэша существует в том и только в том случае, когда

= -с1), (122.)

при этом з1 - с1 и =с' для игроков а = 2,..т.

Если равновесия Нэша не существует, то для исследования модели ценовой конкуренции используются другие подходы.. В разделе 1.5. рассматривается адаптивная динамика цен и решение по доминированию. Цена меняется дискретно от 0 до М с малым шагом 5, то есть Р - {0,8,28 ,К ,М} - множество возможных цен. В дальнейшем 5 является переменным параметром модели. Обозначим р(8) = тах{ре Рг | р<р). Определим ¡>. Для модели с дискретными ценами справедлив следующий аналог Утверждения 1.7. Если = то для достаточно малых 5 в модели существует равновесие Нэша 5*, в котором ■г"* равняется р(8) для любого равняется если . Если же то равновесий

Нэша в общих предположениях не существует, так же как в моделях с непрерывным множеством цен. Для этого случая доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. 1) Для всякого игрока а, у которого с' <р(8), для любой цены

<р(8) выполнено: р{8) строго доминирует 2) Для любого р>& и любого игрока а: с' <р существует 5 '.48 <6 любая цена х' >р из множества допустимых цен отбрасывается в результате последовательного исключения слабо доминируемых стратегий.

Таким образом, ]> является верхней оценкой возможного отклонения цены от р при малых 8. (Подобная теорема была доказана другим способом в работе Васин, 1991).

В разделе 1.6. решены некоторые задачи экономического регулирования: Описаны рациональные стратегии участников одностороннего аукциона, на котором цены предлагают покупатели товара. Исследована задача, когда активными игроками являются покупатели, а

единственный продавец (аукционер) стремится максимизировать собственную прибыль путем внедрения фиктивного покупателя, разделяющего его интересы. Указана стратегия фиктивного игрока, позволяющего аукционеру получать монопольную прибыль.

В главе 2 рассматриваются модели некооперативного обоснования концепции экономического равновесия.

В разделе 2.2. рассматривается модель повторяющихся парных сделок, исследованная в работе Rubinstein A., Wolinsky A. (1984). В каждый период агенты второго типа, находящиеся на рынке, случайным образом, объединяются в пары с агентами первого типа. В каждой паре агент второго типа продает партнеру единицу товара, потребление которого дает агенту первого типа выигрыш равный 1. Один из пары оказывается в роли лидера и предлагает условия сделки, другой агент соглашается либо нет. В первом случае сделка реализуется, и агенты покидают рынок. Во втором случае агенты остаются на рынке до следующего периода. Соотношение групп л'(/):тг2(/) = 1/А>1 поддерживается постоянным (за счет притока новых агентов). Дисконт для агентов типа равен Стратегия агента типа 1 задается

последовательностью - цена, предлагаемая этим

агентом в роли лидера партнеру в период - максимальная цена, на

которую агент соглашается в подчиненной роли в этот период. Аналогично s2 = {p2(t),P2 (f)}*0c той лишь разницей, что P2(t) -минимальная приемлемая цена для агента второго типа.

Выясняется, какие пары стратегий образуют последовательное равновесие (ПР).

Определение, В данной модели пара sl,s2 является ПР, если для любого t выбор каждого игрока максимизирует его выигрыш при условии, что

последующее поведение остальных игроков определено согласно этим стратегиям.

Для данной пары стратегий (Ал1) обозначим <р) ожидаемый выигрыш агента типа ^ находящегося на рынке в период /.

Лемма 2.1. Если з - ПР, то

<р] = Я/2шах(1 - ё2^,^) + (1 - Я/2)ЗУП„

(2.1.)

<?] = 1 /2 тах(1 - ЗУ.^З2^)+3^/2,

Р\о = 1 -¿у1+1,р\0 = тт(1 - ¿У^.З2^), р2(0 = тах(1 - +1) =

Теорема 2.2. В данной модели существует единственное ПР, согласно

которому все агенты, вошедшие в пары, сразу обмениваются товаром,

причем средние выигрыши не зависят от времени иудовлетворяют

системе

<р2 =(1-<УУ + <?У)/2

(2.2.)

Рассматривается модель повторяющихся сделок с конечным временем. Пусть время торгов ограничено Г периодами, а остальные условия не меняются. Тогда для последнего периода значения определяются, исходя из (2.1.), где т.е.

<р\ =(*')гЛ/2,^=(,52)г/2. (2.3.)

Утверждение 2.1: В данной модели существует единственное ПР, соответствующие значения ч>" удовлетворяют системе (2.1.) с граничным условием (2.3.), причем максимум в (2.1.) всегда достигается на первых компонентах, так что во всех образующихся парах происходит обмен. При Т —> оо значение }рт стремится к )р, указанному в Теореме 2.2.

Далее рассматривается закрытый рынок с фиксированным составом участников. В остальном модель аналогична предыдущей. Тогда значения <Рт удовлетворяют системе (2.1.) с тем лишь отличием, что Я(/)1"< меняется со временем, отражая текущее соотношение численностей

агентов второго и первого типов, оставшихся на рынке. Легко проверить, что при всех поэтому все агенты второго типа поменяются

на первом же шаге. Точнее, справедливо

Утверждение 2.2. Для закрытого рынка при любом значении Т в состоянии ПР все агенты типа 2 обмениваются при 1 = 0, причем <р1 = (\+Зг)П,<р\ = Х{\-5г)12,ф) = О при /2:1.

В разделе 2.3. рассмотрена модель обмена с конечным числом периодов заключения сделок и делимым товаром. В обмене участвуют агенты двух типов. Индивидуумы первого типа в качестве начального запаса обладают единицами первого товара и совсем не обладают вторым товаром. Игроки второго типа, наоборот, не имеют первого товара и владеют л единицами второго. Численности обоих типов одинаковы и равны N. Функции полезности всех игроков одинаковы и обладают свойствами монотонности, вогнутости и непрерывности. Полезность начальных запасов полагается равной нулю. В качестве итога взаимодействия • для каждого агента рассматривается среднее значение полезности.

Предполагается, что игроки располагают также деньгами и могут осуществлять побочные платежи. Полная функция полезности линейна по этому аргументу: пусть - запас товаров игрока, -поступивший ему

платеж, тогда полная функция полезности Ф связана с исходной функцией и соотношением

Указывается состояние конкурентного равновесия для данного рынка. Обозначим =(я,0) и и»2 =(0,л) начальные запасы товаров агентов соответствующего типа. Согласно определению, состоянием равновесия данного рынка является набор цен и

конечных запасов товаров, удовлетворяющих условиям: и

(х', г') -> шах{а(х)+г | (р, х)+г 5 (р, V)}

Таким образом, каждый агент максимизирует значение полезности приобретенного товара и побочного платежа в рамках бюджетного ограничения. Согласно результату Розенмюллера (1974), в состоянии конкурентного равновесия данной модели запас товаров у каждого агента равен а значения полезности для типов 1 и 2 определяются

из соотношений: Фи При этом вектор цен (р,,р2)

колинеарен градиенту функции полезности в точке

соответствующей оптимальному распределению товаров. Отметим,

что в этой точке достигается максимум суммарной полезности для всех участников обмена.

Рассмотрим Г-шаговую модель парных сделок на описанном рынке двух товаров. Игроками являются описанные участники обмена с теми же начальными запасами товаров. На каждом шаге агенты первого типа случайным образом объединяются в пары с игроками второго типа, при этом каждый из них с вероятностью оказывается в роли лидера, а другой - в роли подчиненного. Как и в модели Рубинштейна-Волынского, лидер предлагает некоторый вариант обмена товарами, и величину побочного платежа, а подчиненный волен принять или отклонить предложение лидера. Если он примет предложение, то сделка состоится, и ее участники придут на следующий шаг с некоторыми, отличающимися от начальных, запасами товаров. Если же индивидуум в роли подчиненного отвергнет предложение лидера на данном шаге, то сделка не состоится и игроки придут на следующий шаг с прежними запасами. Предполагается, что на каждом шаге любой игрок знает своё состояние и запас товаров партнера. Таким образом, стратегию каждого игрока можно задать последовательностью отображений

запасы игрока и его партнера в начале шага - предложение

в роли лидера, включающее конечные запасы игрока и его партнёра и платёж подчинённого лидеру, причём на этом

шаге. Вторая функция описывает поведение в подчиненной роли, с' е {0,1}, причём с' =1, если предложение 5' при данных состояниях партнёров принимается, с' =0, если предложение отвергается.

Пусть для каждого типа агентов =1,2 задано распределение

- доля агентов, использующих стратегию . Для упрощения обозначений ограничимся распределениями с конечными носителями. Данная пара распределений определяет для каждой стратегии вероятностное распределение на множестве финальных состояний, каждое из которых характеризуется финальным запасом и значением побочного платежа 2Г + 1. Таким образом, для каждой стратегии определяется среднее значение функции полезности которое

рассматривается в качестве выигрыша в данной игре.

Как и выше, в качестве решения игры рассмотрим понятие последовательного равновесия. Для описанной модели оно формализуется следующим образом. Для данного набора я = {я1,яг) рассмотрим шаг /, некоторую стратегию из этого набора и возможные состояния использующего её игрока в подчиненной роли на этом шаге. Состояние характеризуется начальными запасами игрока и партнёра, его

запасом денег к этому шагу и предложением которое внес

партнер. Множество возможных состояний определяется с учетом того, что данный партнер игрока или некоторые его партнеры в предыдущие периоды могли использовать стратегии, отличные от входящих в распределение . Пусть последующее поведение всех игроков с шага и распределение запасов прочих игроков к этому шагу определяется

набором я. Тогда выбор с' определяет значения запаса и платежа для игрока и его партнера и, как следствие, средние значения их функций полезности. Выбор с* назовем последовательно равновесным, если для любых х',У,$', возможных при данном наборе,

-+МАХй(<?\ ЛГ.У.У,«'), (2.4.)

где а(с' | я) - индуцированная функция выигрыша, показывающая среднее значение полезности для игрока в зависимости от при заданном распределении. Рассмотрим теперь игрока со стратегией Ц в роли лидера на шаге /. Если поведение партнера задано согласно набору я,- то можно определить аналогичным образом индуцированную функцию выигрыша и($',я) в зависимости от поведения *' в данной роли. Выбор назовём последовательно равновесным, если >

Чх',у' *'(х',у)-»тахи(.г'|*,;с',У). (2.5.)

Определение. Набор стратегий А называется последовательным, равновесием, если соотношения (2.4.), (2.5.) выполнены для всех

для всех возможных состояний. Рассмотрим одношаговое взаимодействие.

Утверждение 2.4. Единственное последовательное равновесие в данной модели при Т=1 задается условиями: х'1 = у1 = 2 ~

Аналогичным образом получим, что при любых начальных запасах и любом Т всякая стратегия, входящая в последовательное равновесие удовлетворяет условиям

Рассмотрим двушаговую игру (Г = 2).

Теорема 2.3. Всякое последовательноеравновесиеудовлетворяет условию

/1 т 1 .1 |1 1П 1 3 !П П\ 3 ,

(2.6) при 1 = 2 и соотношениям х =/ =(—,—), г =—*и(—,—)-и(—,—п),

2 2'

2 2

4 4

если лидер типа 1, г2 = —»и(—,-)-«(—л,-), если лидер типа 2.

4 '4'

л п.

Рассмотрим теперь Т-шаговую игру. Обозначим »V запас

каждого агента в состоянии конкурентного равновесия. Теорема 2.4. В Т-шаговой игре обмена существует последовательное равновесие, в котором агенты каждого типа используют одну и ту о/се стратегию, причём, согласно этой стратегии, в любой период времени в каждой паре с различными исходными запасами в результате обмена суммарный запас делится пополам. Выигрыш /'Т для игрока типа а стремится при к значению которое

равно выигрышу такого игрока в состоянии конкурентного равновесия, и справедлива следующая оценка скорости сходимости:

, где и' и и'-

соответственно градиент и матрица вторых производных функции полезности

Основные результаты работы, выносимые на защиту

Для модели Курно получена верхняя оценка отклонения равновесия по Курно от конкурентного равновесия в зависимости от двух характеристик рынка. Эта оценка обратно пропорциональна минимальной эластичности спроса по ценам, превышающим цену конкурентного равновесия, и прямо пропорциональна максимальной доле отдельного производителя в общем объеме продажи товара по указанной цене.

Для модели конкуренции функций предложения показано, что может существовать несколько равновесий по Нэшу, и одно из них

соответствует равновесию по Курно. Для всякого равновесия Нэша соответствующая цена лежит между Вальрасовской ценой и ценой Курно. Более того, для некоторого класса моделей адаптивного поведения показано, что стратегии игроков с течением времени сходятся к равновесию Курно.

Для модели ценовой конкуренции получены новые достаточные условия существования равновесия Нэша, касающиеся скорости сходимости исходной и остаточной функций спроса. Доказано, что в общем случае равновесие Нэша (если оно существует) соответствует конкурентному равновесию. В то же время показано, что при довольно общих предположениях равновесия Нэша в этой модели не существует.

Решена также задача регулирования аукциона первой цены путем введения фиктивного игрока, действующего в интересах продавца -организатора аукциона. Показано, что продавец, может таким путем обеспечить себе монопольную прибыль.

Для модели повторяющихся парных сделок в случае, когда каждый агент может совершить лишь одну сделку, найдено последовательное равновесие и показано, что оно не всегда соответствует конкурентному равновесию.

Получены достаточные условия сходимости последовательного равновесия к конкурентному равновесию для замкнутого рынка, на котором сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами. Показано, что в определенных предположениях исход, отвечающий последовательному равновесию такой модели, стремится к равновесию Вальраса, когда время торгов стремится к бесконечности, и дана оценка скорости сходимости.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Durakovitch N.f Somov S.V. (1998) "A First-Price Auction Model with a Fictitious Buyer", Тезисы докладов 2-ой Московской Международной Конференции по Исследованию Операций. М.: ВЦ РАН. Стр. 12.

2. Н. Дуракович, Модель аукциона первой цены с фиктивным участником, Вести. Моск. ун-та Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000 №1. С.40-44.

3. A. Vasin, N. Durakovich, P. Vasina, Cournot equilibrium and competition via supply functions, Game Theory and Applications, Nova Science Publishers, vol.9, New York, 2003, p.181 -191.

Примечание. В- работе [1] H. Дураковичу принадлежат формулировки и доказательства всех утверждений, относящихся к аукциону покупателей. В работе [3J Н. Дураковичу принадлежат оценка отклонения равновесия Курно от конкурентного равновесия и все утверждения о равновесиях Нэша в модели аукциопа функций предложения.

Издательство ООО "МАКС Пресс". Лицензия ИД № 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 03.03.2004 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1Д5. Тираж 100 экз. Заказ 236. Тел. 939-3890, 939-3891,928-1042. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М В.Ломоносова.

*

Введение.

Глава I. Теоретико - игровые модели олигополий

1.1. Постановка проблемы.

1.2. Основной рынок и модель Курно.

1.3. Конкуренция функций предложения.

1.4. Модель Бертрана - Эджворта.

1.5. Решение по доминированию и адаптивная динамика цен.

1.6. Некоторые задачи экономического регулирования.

Глава II. Модели некооперативного обоснования концепции экономического равновесия.

2.1. Постановка проблемы.

2.2. Рынок обмена. Модель Рубинштейна -Волынского. 2.3. Модель обмена с конечным числом периодов заключения сделок и делимым товаром.

В современной экономической теории важную роль играет понятие конкурентного равновесия. Конкурентное равновесие - это такое состояние экономики, когда цены устанавливаются на уровне, который балансирует предложение и спрос, причем каждый агент - производитель товара принимает решение о выпуске продукции, максимизируя свою прибыль. Согласно известным «теоремам о благосостоянии» (см. Debreu R. (1954) [12]), конкурентное равновесие является оптимальным состоянием экономики, и отклонение от него связано со снижением ее эффективности. Основное предположение теории экономического равновесия состоит в том, что в условиях совершенной конкуренции экономический рынок приходит в состояние конкурентного равновесия. Условия совершенной конкуренции включают:

1) наличие большого числа экономических агентов с близкими характеристиками; большое число означает, что отдельный агент не может повлиять на агрегированные показатели рынка, не «имеет власти» на рынке;

2) отсутствие транзакционных издержек при осуществлении обмена;

3) наличие у всех агентов полной информации относительно состояния рынка и возможность свободно выбирать партнеров с рынка.

Удовлетворяющие этим условиям рынки D. Gale (1986) [16, 17] назвал рынками без трения. Данное качественное описание условий совершенной конкуренции (см. также Walras (1874) [37]) не является конструктивным в том смысле, что не позволяет определить для конкретного рынка, выполнены ли эти условия, и если нет, то на сколько могут отклоняться цены от равновесных по Вальрасу. В частности, по поводу этих условий возникают два вопроса:

1. Что значит: отдельный агент не имеет рыночной власти, не может влиять на цены?

2. Что означает возможность свободно выбирать партнеров, для каких механизмов выбора партнеров справедливо указанное предположение?

Для ответа на эти вопросы в литературе используются теоретико-игровые модели. В частности, по первому вопросу рассматриваются различные модели олигополий (см. Gale D. (1986) [16, 17]; Rubinstein A., Wolinskiy А. (1984) [30]). Значительная доля реальных рынков относится к олигополиям: в то время, как любой отдельный потребитель, по-видимому, не обладает рыночной властью и его доля в общем объеме продаж составляет доли процента, наиболее крупный производитель на таких рынках обеспечивает не менее 10% от общего потребления. Поэтому исследования математических моделей и оценки ожидаемого отклонения от состояния конкурентного равновесия для различных типов олигополии представляют большой интерес.

Типичным подходом к количественной характеристике условий совершенной конкуренции и к оценке ожидаемого отклонения является сравнение конкурентного равновесия с решением игры, описывающей олигополистическую конкуренцию. При этом предполагается, что рынок функционирует как некоторый аукцион. В модели Курно (см. Amir R. (1996) [4], KukushkinN. (1994) [21], Novshek W. (1985) [26]) производители выбирают объемы, в модели конкуренции функций предложения (см. Klemperer P. Meyer М. (1989) [19]) они указывают функции предложения, в модели Бертрана и ее обобщениях (см. Edgeworth E.Y. (1925) [13]) они назначают цены на товар. В каждом случае аукцион можно описать как игру в нормальной форме, в которой игроками являются производители, а функции выигрыша определяют их прибыли в зависимости от стратегий. Рассматриваются также динамические модели принятия решений для аукциона, и исследуется сходимость его состояний к конкурентному равновесию.

В литературе получены результаты о существовании равновесия по Нэшу в чистых стратегиях в модели олигополии по Курно (см. Amir R., Lambson М. (2000) [3]); доказано, что для нескольких типов рынков с ценовой конкуренцией или с конкуренцией функций предложения исходы, соответствующие совершенному подыгровому равновесию, совпадают с исходом по Курно (см. Kreps D., Sheinkman J. (1983) [20], Moreno D., Ubeda L. (2002) [24]). Рассматривались вопросы существования и единственности равновесия Нэша в модели Курно (см. Amir R. (1996) [4]). Исследовались модели конкуренции с произвольными функциями предложения, назначаемыми производителями (Klemperer P., Meyer М. (1989) [19]).

Вторая проблема касается децентрированных механизмов взаимодействия. Этот тип обмена соответствует неорганизованному рынку и здесь рассматриваются различные модели повторяющихся парных и групповых сделок в форме динамических игр.

Важный теоретический вопрос заключается в том, на любых ли рынках, удовлетворяющим условиям «рынков без трения» по Гейлу, обмен осуществляется согласно принципу конкурентного равновесия. Другая интересная проблема — более точная формулировка условий «рынков без трения».

Вопрос, можно ли ожидать формирование конкурентного равновесия, в литературе сводится к его сравнению с совершенным подыгровым равновесием или последовательным равновесием соответствующей динамической игры.

Этой проблеме посвящены работы Gale D. (1986) [16,17], Rubinstein А., Wolinskiy А. (1984) [30]. В них рассматривается рынок с большим числом агентов, каждый из которых располагает начальным запасом товаров и характеризуется функцией полезности. Агенты случайным образом объединяются в пары, один из агентов (случайным образом) оказывается в роли лидера и делает предложение относительно условий обмена. Другой агент может лишь согласиться, либо отказаться от предложения. В последнем случае агенты встречаются с новыми партнерами в следующий период времени. Полезность либо не дисконтируется, либо дисконт стремится к 1. Все три условия совершенной конкуренции кажутся выполненными. В то же время, исследованные модели различаются в том, могут ли агенты неоднократно заключать сделки, являются ли делимыми обмениваемые товары и как меняется состав состав агентов от периода к периоду. Оказалось, что указанные особенности рынков существенно влияют на исход обмена. В модели Rubinstein A., Wolinskiy А. (1984) [30] два типа агентов: у каждого агента первого типа единицы неделимого товара, потребление которой приносит агенту второго типа единицу трансферабельной полезности. Агенты, договорившись об обмене покидают рынок. За счет притока новых агентов все время поддерживается фиксированное отношение численностей. Если агентов первого типа больше, то в состоянии конкурентного равновесия агенты первого типа получают 0, а второго - 1. В то же время последовательное равновесие в соответствующей игре двух групп агентов соответствует арбитражному решению Нэша для задачи о парной сделке, при этом выигрыши обоих типов положительны. В работе Gale D. (1986) [16] 1) агенты обмениваются фиксированным числом делимых товаров; 2) каждый агент может неоднократно вступать в сделки. Всякое последовательное равновесие этой модели соответствует конкурентному равновесию рынка с заданным распределением агентов по начальным запасам и полезностям.

Вместе с тем, полученные результаты далеко не являются исчерпывающими и не дают ответа на ряд важных вопросов. Так, для олигополии Курно условия существования единственного равновесия по Нэшу установлены лишь для вогнутых функций спроса. Оценки отклонений от конкурентного равновесия получены только для симметричных олигополии. Для аукциона функций предложения не исследован практически важный случай, когда множество стратегий продавца ограничено ступенчатыми неубывающими функциями, как на реальных рынках электроэнергии и газа (см. Hogan, 1998, [18]). Для моделей ценовой конкуренции существовал большой разрыв между достаточными условиями существования равновесия Нэша (Эджворт, 1925, [13], Васин, 1993, [38]) и необходимыми условиями (Allen, Hellwig, 1986 [1]).

Относительно моделей повторяющихся парных сделок в литературе не выяснено, какие особенности моделей Рубинштейна-Волынского и Гейла определяют различные исходы обмена в этих моделях. Кроме того, обе модели относятся к открытым рынкам с постоянным притоком участников, обеспечивающим фиксированную структуру. Представляет интерес исследование данной проблемы для замкнутого рынка, на котором повторяющиеся сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами.

В 1-ой главе настоящей диссертации рассматриваются математические модели конкуренции для трех различных механизмов взаимодействия производителей товаров и покупателей: олигополии Курно, аукциона функций предложения и ценовой конкуренции типа Бертрана-Эджворта. В каждом случае рассматривается игра в нормальной форме, соответствующая изучаемому механизму, и исследуется ее равновесие Нэша (в чистых стратегиях): выясняется существование и свойства равновесий, прежде всего их соотношение с конкурентным равновесием.

Новизна полученных результатов состоит в следующем. Для модели Курно получена верхняя оценка отклонения равновесия по Курно от конкурентного равновесия в зависимости от двух характеристик рынка: минимальной эластичности спроса по ценам, превышающим цену конкурентного равновесия, и максимальной доли отдельного производителя в общем объеме продажи товара по указанной цене. Для модели конкуренции функций предложения показано, что может существовать несколько равновесий по Нэшу, и одно из них соответствует равновесию по Курно. Для модели ценовой конкуренции получены новые достаточные условия существования равновесия Нэша. Доказано, что в общем случае равновесие Нэша (если оно существует) соответствует конкурентному равновесию. В то же время показано, что при довольно общих предположениях равновесия Нэша в этой модели не существует. В этом случае оценка отклонения ожидаемых цен от конкурентного равновесия получена на основе последовательного исключения доминируемых стратегий. Решена также задача регулирования аукциона первой цены путем введения фиктивного игрока, действующего в интересах продавца — организатора аукциона.

Во 2-ой главе рассматривается реализация конкурентного равновесия для неорганизованного рынка (повторяющихся случайных парных сделок), исследуются динамические игры с континуумом игроков и неполной информацией, описывающие указанный механизм обмена. Принимая решение в очередной период, каждый игрок знает состояние партнера, но не знает его предшествующих действий, как, и действий остальных игроков.

Рассматриваются промежуточные стратегии между программными (зависящими лишь от времени) и позиционными (зависящими от текущего состояния игры). Для таких игр наиболее подходящим уточнением понятия равновесия Нэша является последовательное равновесие. Распределение по стратегиям будет последовательным равновесием, если в подыгре, соответствующей состоянию, которое может реализоваться при отклонении малой доли игроков от данных стратегий в предшествующих состояниях, усеченные стратегии образуют равновесие Нэша.

Также во второй главе анализируются и сравниваются результаты Rubinstein A., Wolinsky А. (1984) [30] и Gale D. (1986) [16, 17]. Обе указанные модели относятся к открытым рынкам с постоянным притоком участников, обеспечивающим фиксированную структуру. В главе 2 построена и исследована модель, описывающая данную проблему для замкнутого рынка, на котором повторяющиеся сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами. Показано, что в определенных предположениях исход, отвечающий последовательному равновесию такой модели, стремится к равновесию Вальраса, когда время торгов стремится к бесконечности, и дана оценка скорости сходимости.

Новизна полученных результатов главы 2 состоит также в следующем. Показано, что для сходимости последовательных равновесий модели повторяющихся парных сделок к конкурентному равновесию в общем случае необходима возможность многократного участия в обмене для агентов всех типов. Предложенная схема доказательства годится для любого рынка, на котором агенты могут за один шаг поменяться так, чтобы достичь оптимального (с точки зрения суммарной полезности) распределения ресурсов.

Построена и исследована модель, описывающая проблему формирования конкурентного равновесия для замкнутого рынка, на котором повторяющиеся сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами. Показано, что в определенных предположениях исход, отвечающий последовательному равновесию такой модели, стремится к равновесию Вальраса, когда время торгов стремится к бесконечности, и дана оценка скорости сходимости.

Заключение

В первой главе настоящей работы для модели Курно получена верхняя оценка отклонения равновесия по Курно от конкурентного равновесия в зависимости от двух характеристик рынка. Эта оценка обратно пропорциональна минимальной эластичности спроса по ценам, превышающим цену конкурентного равновесия, и прямо пропорциональна максимальной доле отдельного производителя в общем объеме продажи товара по указанной цене.

Для модели конкуренции функций предложения показано, что может существовать несколько равновесий по Нэшу, и одно из них соответствует равновесию по Курно. Для всякого равновесия Нэша соответствующая цена лежит между Вальрасовской ценой и ценой Курно. Более того, для некоторого класса моделей адаптивного поведения показано, что стратегии игроков с течением времени сходятся к равновесию Курно.

Для модели ценовой конкуренции получены новые достаточные условия существования равновесия Нэша, касающиеся скорости сходимости исходной и остаточной функций спроса. Доказано, что в общем случае равновесие Нэша (если оно существует) соответствует конкурентному равновесию. В то же время показано, что при довольно общих предположениях равновесия Нэша в этой модели не существует.

Решена также задача регулирования аукциона первой цены путем введения фиктивного игрока, действующего в интересах продавца - организатора аукциона. Показано, что продавец может таким путем обеспечить себе монопольную прибыль.

В главе 2 настоящей работы для модели повторяющихся парных сделок в случае, когда каждый агент может совершить лишь одну сделку, найдено последовательное равновесие и показано, что оно не всегда соответствует конкурентному равновесию.

Получены достаточные условия сходимости последовательного равновесия к конкурентному равновесию для замкнутого рынка, на котором сделки заключаются в течение длительного времени между одними и теми же агентами. Показано, что в определенных предположениях исход, отвечающий последовательному равновесию такой модели, стремится к равновесию Вальраса, когда время торгов стремится к бесконечности, и дана оценка скорости сходимости. Предложенная схема доказательства годится для любого рынка, на котором агенты могут за один шаг поменяться так, чтобы достичь оптимального (с точки зрения суммарной полезности) распределения ресурсов. В этом случае утверждение теоремы 2.4. остается справедливым с очевидными изменениями.

Отметим важное отличие рассматриваемой модели от модели Gale D. (1986) [17]. В последней агенты на каждом шаге объединяются в пары случайно, независимо от их типов. В этом случае изложенная схема доказательства требует изменения. Хотя утверждение о сходимости к конкурентному равновесию, по видимому, справедливо, скорость сходимости снижается, поскольку часть агентов неправильно объединяются в пары.

Выбор типа агента-партнера можно включить в стратегию, предполагая, что на каждом шаге агент в роли лидера выбирает, с агентом какого типа он хотел бы встретиться. Множество типов меняется от периода к периоду в соответствии с множеством возможных начальных запасов агентов. Полученные нами результаты сохраняются в случае такой модификации: в состоянии последовательного равновесия на первом шаге агенты типа 1 будут встречаться с агентами типа 2, и наоборот.

1. Allen, В., Hellwig, М. (1986) "Bertrand-Edgeworth Oligopoly in Large Markets", Review of Economic Studies, 53,175-204.

2. Allen, В., Thisse, J.-F. (1990) "Price Equilibria in Pure Strategies for Homogeneous Oligopoly", Center for Operations Research and Econometrics discussion paper N9034, Universite Catholique de Louvain.

3. Amir R. and Lambson M. (2000) "On the Effects of Entry in Cournot Markets, Review of Economic Studies 67,235-254.

4. Amir R. (1996) "Cournot Oligopoly and the Theory of Super modular Games", Games and Economic Behavior 15,132-148.

5. Arrow, K.J., Debreu, G. (1954) "Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy", Econometrica, 22,265-290.

6. Arrow, K.J., Hurwicz, L. (1960) "Competitive Stability under Weak Gross Substitutability: The "Euclidian distance" approach", Internat.Econ.Rev., 1, N1.

7. Bertrand, J. (1883), "Review of Theorie mathematique de la richesse sociale" and "Recherches sur les principes mathematiques de la theorie des richesses", Journal des Savants, 499-508.

8. Binmore, K., and Herrero, M. (1984) "Frictionless Non-Walrasian Markets", ICERD Discussion paper, 84/103, London School of Economics.

9. Borgers, Т. (1992) "Iterated Elimination of Dominated Strategies in a Bertrand-Edgeworth model", Review of Economic Studies, 59, 163-176.

10. Brown, G.W. (1951) "Iterative Solutions of Games by Fictitious Play", in Activity Analysis of Production and Allocation (T.C.Koopmans, Ed), 374376, New York, Wiley.

11. Corchon, Ritzberger, (1992) Discussion paper, WP-AD 902-06 Instituto Valenciano de Investigaciones Económicas.

12. Debreu R. (1954) "Valuation Equilibrium and Pareto Optimum" , Proc of the National Academy of Sciences of the USA, 40, 588-92.

13. Edge worth, E.Y. (1925) "The Pure Theory of Monopoly" in Edgeworth, Papers Relating to Political Economy, VI, 111-142, New York, Brut Franklin.

14. Friedman, J. (1986) "On the Strategic Importance of Prices Versus Quantities" Rand Journal of Economics, №4, 607-622.

15. Fundenberg, D., Mashin, E. (1986) "The Folk Theorem in Repeated Game with Discounting and with Incomplete Information", Econometrica, 54, 533554.

16. Gale, D. (1986) "Bargaining and competition I" Econometrica, Vol. 54, 785806.

17. Gale, D. (1986) "Bargaining and competition II, Existence" Econometrica, 54, 807-818.

18. Hogan W. (1998) "Competitive Electricity Market Design: A Wholesale Primer", Harvard University, WP.

19. Klemperer P. and Meyer M. (1989) "Supply Function Equilibrium in Oligopoly under Uncertainty", Econometrica 57(6), 1243 1277.

20. Kreps D. and Scheinkman J. (1983) "Quantity Recommitment and Bertrand Competition Yield Cournot Outcomes", The Bell Journal of Economics 14, 326-337.

21. Kukushkin N. (1994) "A Fixed Point Theorem for Decreasing Mappings", Economic Letters 46,23-26.

22. Mas-Colell, A., Wainston, M.,D., Green, J.,R., (1995) "Microeconomic theory", Oxford University Press, Inc.

23. Milgrom, P., Roberts, J. (1990) "Rationalizability, Learning and Equilibrium in Games with Strategic complementarities", Econometrica, 58, N6.

24. Moreno D. and Ubeda L. (2001) "Capacity Recommitment and Price Competition Yield Cournot Outcomes", Universudad Carlos 3 de Madrid, Economic Series 08 WP 01-44.

25. Moulin, H. (1984) "Dominance-solvability and Cournot-stability", Mathematical social sciences, 7, 83-102.

26. Novchek W. (1985) "On the Existence of Cournot Equilibrium", Review of Economic Studies 52, 85-98.

27. Robinsone, J. (1951) "Expectations and Stability in Oligopoly Models", Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 138, Berlin New York, Springer-Verlag.

28. Rothwell G. and Gomez T. (2002) "Electricity Economics: Regulation and Deregulation", to be published by IEEE Press.

29. Rubinstein, A. (1982) "Perfect Equilibrium in a Bargaining Model", Econometrica, 50,97-108.

30. Rubinstein, A. and Wolinsky, A. (1984) "Equilibrium in a Market with Sequential Bargaining" ICERD Discussion paper, 83/91, London School of Economics.

31. Selten, R. (1975) "Reexamination of Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Games", Int. J. of Game Theory, 4,25-55.

32. Sharpe, W.F. (1985) "Investments", N.-Y., Prentice-Hall, (3-rd edit.)

33. Thorlund-Petersen, L. (1990) "Iterative Computation of Cournot Equilibrium", Games and Economic Behavior, 2, 61-75.

34. Usawa, H. (1961), "The Stability of Dynamic Processes", Economenteca, 29, N4.

35. Vasin, A. (1992) "On the convergence to competitive equilibrium and the conditions of pure competition."

36. Vives, X. (1986) "Rationning rules and Bertrand-Edgeworth equilibria in Large markets", Economics Letters, 21,113-116.

37. Walras, L. (1874) "Elements d'Economie Politique Pure". Lausanne.

38. Васин A.A., (1992) «О Моделировании коллективного поведения в экологических и социальных системах» Вестник Московского Университета. Сер. 15, Вычисл. Матем. и Киберн. N1.

39. Васин, А.А. (1990) "Модели динамики коллективного поведения", МГУ, Москва.

40. Васин, А.А. (1990) "Эволюционная модель поведения в СУПЕР ИГРЕ", МГУ ВМиК, Москва.

41. Васин, А.А., Сомов, С.В. (1996) «Теоретико-игровая модель одностороннего аукциона».

42. Вурос, А., Розанова, Н. (2000) "Экономика отраслевых рынков", МГУ Экономический факультет, Москва.

43. Гермейер Ю.Б. (1971) «Введение в теорию исследования операций», М.:Наука.

44. Мулен Э. (1997) "Теория игр с примерами из экономики" М: Мир.

45. Павловская Е.Я. Поспелов И.Г. Скрипкин И.Г. (1988) «Точка Нэша и общественно необходимые затраты труда в хозяйстве» М, ВЦ АН СССР, 64с.

46. Полтерович В.М. (1970) «Об Одной Модели Перераспределения Ресурсов» М, Экономика и Математические Методы, том VI, вып. 4.

47. Розенмюллер М.Т. (1974) "Кооперативные игры и рынки' М: Мир.

48. Durakovitch N., Somov S.V. (1998) "A First-Price Auction Model with a Fictitious Buyer", Тезисы докладов 2-ой Московской Международной Конференции по Исследованию Операций. М.: ВЦ РАН. Стр. 12.

49. Н. Дуракович, Модель аукциона первой цены с фиктивным участником, Вестн. Моск. ун-та Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000 №1. С.40-44.

50. Vasin, N. Durakovich, P. Vasina, Cournot equilibrium and competition via supply functions, Game Theory and Applications, Nova Science Publishers, vol.9, New York, 2003, p.181 191.