Методы расчета равновесий Нэша для некоторых аукционов однородного товара

Шаманаев, Антон Сергеевич

Методы расчета равновесий Нэша для некоторых аукционов однородного товара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Шаманаев, Антон Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.09 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Методы расчета равновесий Нэша для некоторых аукционов однородного товара»

Автореферат диссертации на тему "Методы расчета равновесий Нэша для некоторых аукционов однородного товара"

004604043

Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова

На правах рукописи

Шаманаев Антон Сергеевич

Методы расчета равновесий Нэша для некоторых аукционов однородного товара

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 ИЮН 2010

Москва-2010

004604043

Работа выполнена на кафедре исследования операций факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научные руководители:

академик РАН

Краснощеков Павел Сергеевич,

доктор физико-математических наук, профессор Васин Александр Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ Потапов Михаил Михайлович,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ВЦ РАН Меньшиков Иван Станиславович

Ведущая организация:

Институт проблем управления РАН

Защита диссертации состоится " 18 " июня 2010 г. в 11:00 на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМиК МГУ http://cs.msu.su в разделе «Наука» - «Работа диссертационных советов» - «Д 501.001.44».

Автореферат разослан " 17 " мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

Н.П. Трифонов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Рынки однородных товаров, к которым относятся металлы, энергоресурсы, электроэнергия и др., играют важнейшую роль в современной экономике. Интерес к их исследованию связан с тем, что в течение последних 30 лет в разных странах активно развиваются рынки электроэнергии и газа. Оптовые рынки упомянутых товаров, как правило, являются олигополиями, т.е. рынками, на которых действует небольшое количество фирм - продавцов. Каждая из фирм на таком рынке обладает рыночной властью, т.е. способна своими действиями влиять на рыночную цену. Важная практическая задача - организовать рынок таким образом, чтобы не допустить большого отклонения цены от значения, оптимального с точки зрения суммарного выигрыша участников рынка. Такое значение реализуется в состоянии конкурентного равновесия. В связи с этим особый интерес представляет изучение моделей аукционов однородного товара, то есть возможных форм организации такого рынка. В каждом случае аукцион описывают как игру в нормальной форме, в которой игроками являются производители, а функции выигрыша определяют их прибыли в зависимости от стратегий. В качестве модели поведения участников аукциона обычно рассматривают равновесие по Нэшу соответствующей игры.

В существующей литературе (Amir, Ausubel, Cramton, Allen, Hellwig, Васин и др. авторы) исследованы свойства различных аукционов (Курно, Викри, Бертрана-Эджворта, единой цены) и получены методы расчета равновесий Нэша в соответствующих теоретико-игровых моделях. Однако для многих рынков однородных товаров важную роль играет сетевая структура связей производителей и потребителей, ограничения пропускной способности линий и потери или затраты при транспортировке. Для сетевых рынков в условиях совершенной конкуренции получены1,2 достаточно полные результаты относительно расчета состояния конкурентного

' См. Н о g a n, W. Electricity Transmission and Merging Competition: Why the FERC's Mega-NOPR Falls Short // Public Utilities Fortnightly, v. 133, no. 13,1995, pp. 32-36.

2Давидсон M. P. и др. Математическая модель конкурентного оптового рынка электроэнергии в России // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2004. N2 3. С. 72-83.

равновесия. Однако задача расчета равновесий Нэша и анализа их свойств для сетевых рынков - олигополии не решена даже в простейшем случае: для рынка с двумя узлами. Простейший вариант аукциона однородного товара -аукцион Курно. Для этого аукциона установлена3 связь с аукционом единой цены, который широко используется на практике. Для модели двухузлового аукциона Курно в общем виде сформулированы3 методы расчета равновесий Нэша, однако они предполагают ряд существенных допущений, а также неудобны для анализа конкретных рынков, поскольку их использование связано с решением сложных экстремальных задач. Кроме того, не исследован вопрос существования и единственности равновесий. В диссертации рассматривается двухузловой аукцион Курно в предположении одинаковых предельных издержек производителей в каждом из узлов. Для этого аукциона в диссертации решаются вопросы о существовании и структуре множества равновесий Нэша, разрабатываются методы расчета равновесий.

Другая актуальная проблема - изучение возможных альтернатив аукциону единой цены. Недостатком аукциона единой цены является то, что на нем создаются благоприятные условия для реализации продавцами рыночной власти. В результате отклонение исхода Курно от конкурентного равновесия (по Вальрасу) может быть довольно велико, что неблагоприятно для конечных потребителей. В качестве альтернативы аукциону Курно в диссертации рассматривается аукцион Викри4. На таком аукционе цена и объемы выпуска определяются так же, как на стандартном аукционе единой цены, однако оплата товара, приобретаемого у некоторого производителя, происходит по резервным ценам, рассчитываемым на основе функции спроса и заявок других компаний. Преимуществом этого аукциона является достижение максимального суммарного выигрыша участников (производителей и потребителей) при индивидуально рациональном поведении, соответствующем равновесию Нэша в доминирующих стратегиях.

3 В а с и н А. А. Некооперативные игры в природе и обществе // М.: МАКС пресс, 2005.

4Ausubel, М., Cramton, P. Vickrey Auctions with Reserve Pricing // Economic Theory, 2004, v. 23, pp. 493-505.

Преимущество аукциона Викри не абсолютно, и существуют ситуации, в которых аукцион Курно дает лучшую цену с точки зрения конечных потребителей, нежели аукцион Викри. Проведение сравнительного анализа этих аукционов позволяет определить оптимальную форму аукциона в зависимости от параметров реального рынка.

Цель работы - разработка методов расчета равновесий Нэша для теоретико-игровых моделей некоторых рынков однородного товара; изучение вопросов существования и эффективности этих равновесий в смысле цен для конечных потребителей.

Задачи работы:

1. Уточнить и упростить имеющиеся критерии существования равновесия Нэша и методы его расчета для некоторых типичных вариантов структуры двухузлового аукциона Курно.

2. Рассмотреть вопросы сосуществования равновесий различных типов и описать структуру множества равновесий Нэша для двухузлового аукциона Курно в зависимости от параметров.

3. Аналитически решить задачу сравнения исходов аукционов Курно и Викри для ряда типичных вариантов структуры одноузлового рынка.

Методы исследования базируются на теории игр, математическом аппарате исследования операций, теории оптимизации и микроэкономике.

Обоснованность научных положений. Теоретические положения и выводы диссертаций сформулированы в виде утверждений и теорем и строго доказаны.

Научная новизна работы определяется следующим.

Для двухузлового аукциона Курно в общем виде получены необходимые и достаточные условия существования равновесий Нэша всех типов.

Для двухузлового аукциона Курно, на котором в каждом из узлов действуют одинаковые фирмы (т.н. симметричная олигополия) с постоянными предельными издержками, удалось свести задачу расчета равновесия Нэша к простой системе линейных и квадратичных уравнений и неравенств, допускающей наглядную геометрическую интерпретацию.

В дополнительном предположении малых потерь товара при передаче изучена структура множества равновесий Курно и определены все возможные комбинации сосуществования равновесий различных типов в этой модели.

Для одноузлового рынка аналитически решена задача расчета и сравнения исходов аукционов Курно и Викри для типичных вариантов структуры рынка:

1) симметричная олигополия;

2) рынок с одной крупной компанией и группой мелких;

3) рынок с двумя группами однородных производителей.

Практическая ценность

Полученные результаты могут быть использованы для выработки рекомендаций относительно конкретной формы аукциона и оптимальных значений параметров рынка при решении задач экономического проектирования. В рамках работы над диссертацией был разработан программный пакет, позволяющий рассчитывать равновесные цены и объемы для одно- и двухузловых аукционов Курно и Викри и сравнивать их между собой, а также с ценами и объемами равновесий по Вальрасу. Применение данного программного пакета может быть полезно для дальнейших научных исследований различных моделей сетевых аукционов, а также в качестве пособия для студентов математических и экономических специальностей.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 работ [1-6], в том числе [1] и [3] - статьи в реферируемых журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации научных результатов кандидатских диссертаций.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 4-й международной конференции по исследованию операций (ORM2004), выездных научных конференциях факультета ВМиК МГУ (2006, 2008 гг.), на международной конференции «Ломоносов-2008».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 37 наименований. Общий объем работы составляет 108 страниц.

Основные результаты работы, выносимые на защиту

1. Для модели двухузлового аукциона Курно в общем виде получены необходимые и достаточные условия существования равновесий Нэша всех типов.

2. Критерии существования равновесий Нэша всех типов для ситуации двух симметричных олигополий Курно, соединенных линией передачи, получены в виде систем линейных и квадратичных уравнений и неравенств.

3. Для модели двухузлового аукциона Курно в предположении малых потерь изучена структура множества равновесий Нэша: модель параметризована через 3 переменные, в множестве параметров выделены области существования равновесий различных типов и область отсутствия равновесий.

4. Задача сравнения цен исходов аукционов Курно и Викри решена аналитически для ряда типичных случаев структуры одноузлового рынка.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована проблематика диссертации, обсуждены известные результаты в области теоретико-игрового моделирования олигополистической конкуренции на рынках однородного товара.

Необходимые определения и предшествующие результаты. В диссертации рассматривается основная модель рынка однородного товара с конечным множеством производителей А. Каждый производитель а е. А характеризуется функцией затрат С" (у) с неубывающими предельными издержками С"'(у) для ve[0,Va]. Поведение потребителей характеризуется общеизвестной функцией спроса 1>(р), которая непрерывно дифференцируема и убывает по р.

В стандартной модели Курно (1838) стратегией производителя а является его объем производства v° e[0,V]. Производители устанавливают свои объемы одновременно. Обозначим через v = (v°,a <=Л) набор стратегий всех производителей. Рыночная цена p(v) уравнивает спрос и фактическое предложение: p(v) = D~l(£v°). Функция выигрыша производителя а

авА

определяет его прибыль: /" (v) = v"p(v) - С" (v°). Таким образом, взаимодействие в модели Курно соответствует игре в нормальной форме Гс - (а, [О, V], fiy), у б ®[0, V], aeAj, где игроками являются

производители, и [0,V] - множество стратегий производителя а е. А.

Вектор (v"',aeA) объемов производства - равновесие Курно, если он является равновесием Нзша в игре Гс. Обозначим через (va',aeA) равновесные по Нэшу производственные объемы, а через р' = D"'(]>V*)

asA

соответствующую цену.

Вектор (у",аеЛ) объемов производства называется конкурентным

равновесием, ар- ценой Валъраса, если для любого а верно: v" £ S" [р) - Arg max | v°p - С" , -D[p). В этом состоянии

ve aeA

максимизируется суммарный выигрыш производителей и потребителей. Получено5 следующее условие первого порядка для равновесия Курно:

v"' = 0, если C°'(0)zp'. (2)

Набор (p',v°',a е Aj называется локальным равновесием Курно, если удовлетворяет условиям первого порядка (1}-(2). Функция предложения Курно S°(p) производителя а при р> 0 определяется как решение системы (1)—(2). Значением этой функции является локально равновесный по Курно объем выпуска производителя а при заданной цене р.

5 См. Васин A.A. «Некооперативные игры в природе и обществе» //М.: МАКС пресс, 2005.

ЦенаКурно р' определяется из уравнения: ^S¡t(p') = D(p'). (3)

Простейший вариант сетевого аукциона Курно - два локальных рынка (узла), соединенных линией передачи. Каждый отдельный рынок / = 1,2 характеризуется конечным множеством А, производителей, | A, \=n¡, их функциями затрат C"(v), аеА1, и функцией спроса Dt (р) так же, как локальный рынок, рассмотренный ранее. Пусть ке (0,1) - коэффициент

áef.

потерь товара при передаче с одного узла на другой, A=(l-A)_1, Q -пропускная способность линии передачи. Стратегией производителя а является его объем производства v" е [o,F°]. Обозначим через v, = (уа,а е A¡}

набор стратегий производителей узла Z; v = (v",ae/{,A2) - набор стратегий всех производителей в обоих узлах рынка.

Объем q товара, переброшенного с рынка 1 на рынок 2, и итоговые узловые цены pf", i-1,2, определяются в зависимости от v следующим

( ^

образом. Обозначим через р'°* (v,) = D'] , / = 1,2, цены на

изолированных рынках. Если Я"1 < р'£с (v2)/р[ос (v,) S А, то q- 0 и pf"(v) = p¡°e(vl), i = 1,2, т.е. рынки остаются изолированными. Если Рг° (Л)/рТ (vj > А, то pf" и q - решение следующей системы:

A(pf)= 2>* + 9/А, (4)

аеЛ2

Ц(Р?) (5)

<?еЛ|

р{" - Xpf", если найденное значение q<Q. (6)

В противном случае ограничение на максимальный объем переброски становится активным: q = Q, а цены определяются из уравнений (4), (5), р{" > Xpf". Случай p'°c(vl)/pl¡e(v1)> А трактуется симметричным образом.

По этому правилу осуществляется переброска товара администратором торговой системы на оптовом рынке электроэнергии. Выигрышем производителя ае A¡ является его прибыль: f(v) = v"pf"(v)-Ca(v°).

Существует 5 возможных типов локальных равновесий Курно для данного двухузлового рынка.

Тип а): цены Курно для изолированных рынков р\, р\ удовлетворяют условию: А"1 < рг\рх < Я, д = 0; узлы рьшка остаются разделенными.

В этом случае ограничение на пропускную способность несущественно, и можно формально считать 2 = да.

Полученные в указанной работе Васина А. А. условия 1-го порядка аналогичны условиям (1)-(2) для локального рынка:

V0' = {р] - С"' (V0')) | Ц' {р]) | для любого а е А, такого, что С"'(0) = с? < р],

V0* =0 при с," > р].

Условия первого порядка являются необходимыми, но не достаточными для существования равновесий Курно на двухузловом рынке. При достаточно большом увеличении объема у"' для некоторого а, е А1 цена на рынке 1 может уменьшиться до уровня /'¡/Я, и между рынками появится переток товара. Дальнейшее увеличение объема позволит производителю а продавать продукцию и на 2-м узле рынка.

Пусть уй|" - оптимальный объем производителя а, при его отклонении от локально равновесной стратегии, определяемый из условия 1-го порядка: У0'" е (рГ - С0'' (у""))|д' (д ) - Я2А' (Ад* )|, а р" - соответствующая оптимальная цена, получаемая из условия баланса:

А (л )- I (К) + А А (Ал )-Ъ3"с{Рг)

ие^Ц у

= у"'" (функция спроса в данном

случае соответствует объединенному рынку). Симметричным образом определяются величины у°!" и р" для некоторого производителя а2еА2,

Отметим, что при достаточно малом значении 2 производитель я,, отклоняясь, может не достичь оптимального объема у"'", поскольку ограничение пропускной способности начнет действовать. В этом случае выгодным может оказаться увеличение объема производства до пограничного уровня у"1"2 =А(рГе)~ £ у"* + б<уа', при котором объем

переброски товара достигает значения Q. Соответствующая этому объему

цена рх и > р1 определяется из уравнения: Я

=е-

Симметричные рассуждения справедливы и для производителя аг е Л2.

Утверждение 1.1. Точка локального равновесия типа а является равновесием Нэша тогда и только тогда, когда:

1) ни для какого производителя а, е. А, выигрыш при спросе

по оптимальной цене р", если р" £ р"2; либо выигрыш при объеме производства Vа'"в по цене р"в, если р" < р"й — не превышает его выигрыш в локальном равновесии а по оптимальной цене д*;

2) и ни для какого производителя а1еА1 выигрыш при спросе

+ по оптимальной цене р",

если р" £ р"а; либо выигрыш при объеме производства у""в по цене р"в, если р" < р"в — не превышает его выигрыш в локальном равновесии а по оптимальной цене р\. Тип Пусть д и рг - цены Курно в узлах 1 и 2 в случае объединенного рынка; у" - равновесный объем фирмы а. В данном случае переток с узла 1 в узел 2 происходит при неактивном ограничении пропускной способности: Яд = р2, 0 < # < .

Для любого а е 4 выполнены следующие условия первого порядка: V0 = (д - С"(Г)) IД *(д) +Л%'(Лд) | при с," < д, у" = 0 при с," > д .

Аналогично, для любого аеА1 выполнено: V" =(Ад -С"'(Г))|А'(Ад) + Д '(Д)/Я2| при с,0 <р2, V"' = 0 при с" > рг.

Тип с,^2. Пусть р1 и р2 - цены Курно в узлах 1 й 2 в случае объединенного рынка с активным ограничением пропускной способности; V0 - равновесный объем фирмы а. В данном случае цены Курно в узлах рынка связаны неравенством: ЯД < р2, ? = 2.

Условия первого порядка имеют вид:

Vй = {р, - С" (у0)) |£>/(р,)| для любого аеА, такого, что с" < р,,

у" = О при с°= 1,2.

Типы ¿2^, и с^, аналогичны двум предыдущим типам равновесий и определяются симметричным образом с перетоком из узла 2 в узел 1.

Условия существования равновесий Курно формулировались в той же работе Васина А. А. для равновесий всех типов. Однако их формулировки предполагали ряд существенных допущений (в частности, в равновесии типа а предполагалось, что ограничение пропускной способности является несущественным: б = °°). В диссертации эти допущения сняты и необходимые и достаточные условия получены в более общем виде.

Первая глава настоящей диссертационной работы посвящена вопросу существования и задаче поиска равновесий Нэша для двухузлового аукциона Курно. Рассматривается модель двухузлового рынка, в каждом из узлов » = 1,2 которого т. производителей с постоянными и одинаковыми предельными издержками с,. Максимальный объем выработки товара каждым производителем не ограничен. Функции спроса в узлах имеют вид 0,(р) = тах{Ц . В общем случае предполагается, что объемы

производства и потребления товара в каждом узле положительны:

р'>с1г Д.(^)>0,где г = 1,2.

Для данной модели в главе 1 в упрощенном виде получены необходимые и достаточные условия существования локальных и глобальных равновесий Курно всех типов.

Тип а. Цена Курно на изолированном рынке ¡ = 1,2 может быть найдена * Б +тс!с

из (1)-(2) и (3) по формуле: р' =——Обозначим /„ = с1, + ¿V,.

да+1) 10

Утверждение 1.4. Необходимым и достаточным условием существования локального равновесия типа а является выполнение неравенства

д-1

^(«2+1)/

Цены отклонения р" и р"а в данном случае вычисляются по формулам:

' '¡/Ц+1) 2/Дт;+1) '

Р,

'С _

_1_

- О т,

, где ¡' = 1,2, у' = 3 - г.

; Л т,+1 \ 1

Теорема 1.1. Локальное равновесие типа а является равновесием Нэгиа в том и только том случае, если для < = 1,2 выполнена совокупность:

" - "в Р, <Р,,

"2 ^ I * *'2\г ' '

Тип Цена Курно в узле 1, как и ранее, рассчитывается из условий 1-го порядка с учетом баланса спроса и предложения по следующей

Д + Л5г + (с,т, + с2т2/Я)(^, + Я2^)

формуле: Л =--- , . --

(«,+/«2+1)^,+Я й2|

Утверждение 1.5. Необходимым и достаточным условием существования локального равновесия является выполнение

неравенства:

О<Щ (т2(4 + ЛЦ)+.ЛЦ)д <2.

Условие существования локального равновесия описывается

симметричным неравенством.

В работах Васина А.А. с соавторами показано, что при типичных малых значениях коэффициента потерь (менее 10%) равновесия Нэша на рынке с

потерями могут быть аппроксимированы равновесиями аналогичного рынка без потерь. Далее необходимые и достаточные условия существования равновесий Курно типов бис приводятся в предположении Я = 1.

Теорема 1.2. Локальные равновесия Ь^2 и Ъ2.

являются

равновесиями Нэгиа в том и только том случае, если выполнена система:

(27^7+/12 (т2 -1)) - Рг+¿2с2 {гЩ'г + ¿12 (т, -1)) - Ц + б/,с, + 2 > 0.

*12(т, + тг + 1)

'Д + Р2+112(с2т2 -с,(т2 +1))^ ¡п(т, + т2 +1)

Тип Цены Курно в узлах рынка в данном случае рассчитываются

, „ Д + О + тАс, » Д-б/Я + т2Лс,

по формулам: д = '.Г , = г , Д 1 2 •

<7, (от, +1) а2 (т2 +1)

Утверждение 1.6. Локальное равновесие см существует тогда и

только тогда, когда выполнено:

Р2 -6/Я + тДс2 Д +6 + «Дс, ¿2(т2+1) ¿/,(«,+1)

Условие существования локального равновесия с2_>, описывается

симметричным неравенством.

Теорема 1.3. Пусть Я = 1. Тогда локальное равновесие с,_>2 является

равновесием Нэша в том и только том случае, если выполнено следующее:

~ + 26

2(4+4) Л _

.((А +2(А -сг)а2)ф^К<2(р2 +4),

. 26

2(4+4) Л 4'

.26 . 4

» —г--с, 5 —

' 4 2 26

Л-Д +

26 4

Необходимое и достаточное условие существования равновесия с2_,, описывается совокупностью систем симметричных неравенств.

Теоремы 1.1-1.3 и утверждения 1.4-1.6 в работе обобщены и для случая неодинаковых постоянных предельных издержек производителей (см. утв. 1.7-1.9 и теоремы 1.4-1.6).

Глава 2 диссертации посвящена изучению структуры равновесий Курно различных типов для двухузлового аукциона Курно в зависимости от параметров модели.

Рассматривается описанная ранее модель двухузлового аукциона с одинаковыми предельными издержками производителей в каждом из узлов. Дополнительно делается предположение о незначительном уровне потерь в линии передачи (Я = 1). В такой модели структура равновесий Курно различных типов полностью описывается теоремой 2.1.

Теорема 2.1 .В данных предположениях утверждается следующее.

1. Равновесия Курно типа а не существует.

2. Сосуществование равновесий 2 и невозможно.

3. Сосуществование равновесий и с^, невозможно.

Таким образом, в каждой точке фазового множества параметров модели могут одновременно существовать не более 2 равновесий Курно. Сосуществовать могут следующие пары равновесий:

Кг и А-2 И С2-+1> V»! и с1-*2> К* и с2->1-

Отметим, что сосуществование равновесий с противоположным

направлением переброски товара действительно возможно (см. рис. 1).

л/. _

Пусть далее с?, = с/2 = с10. Введем 3 новые переменные: А, = Д-с/0с,,

А/. _ Л/.

/¡2 =£>2-^0с,, Я = ¿/0(с2 -с,). Экономический смысл переменных А, и -уровень спроса в узлах 1 и 2 по цене, соответствующей предельным издержкам производителей узла 1. Н обозначает изменение спроса при переходе от цены с, к цене с2.

В новых переменных необходимые и достаточные условия существования локальных равновесий Ь и с, следуя утверждениям 1.4-1.6, будут выглядеть следующим образом:

0<Й2- т:

+ 2 пиН

2) от, + от2 +1 й, + 4 + 2шгН > О, Й1+А2-2Ц+1)Я>0, {2(тх + тг) + 1)к1-к1-2т1Н>0, (2{щ+тг) + \)к1-\-2т1Н >0.

от, + и2 +1 А,+А2-2(от1+1)Я>0, кх+к1+ 2тгН > О, (2(?и1 +от2) + 1)/!2-/!1 -2от2Я >0, (2(т, + т2)+1)/г, - ^ - 2от2Я > О.

+ 2 т2Н<£),

0<М«. + 2

+ 2Я

<б,

(8)

'(а, - е++1) - (а,+е)(/я2+1) > о,

с^г-Ьч-а-НХ*. (9)

мл-б> о,

«2(Аг-Я) + б>0.

'(/г1-2-(от1+1)я)(от2+1)-(А2+е-Я)(т1+1)>0, л2+е-я>о,

(10)

от2(л2-я)-е>о, + 2 > 0.

Согласно теоремам 1.1-1.3, в новых переменных необходимыми и достаточными условиями «глобальности» локальных равновесий являются следующие неравенства:

т, + т2 +1 2 I 2

ЪН, дл +1 ^ '

(Н)

т^+1 т2 +1 « / .

ь+ы^+а^мь-о-я)**2^-1-™* о,

ш, +1 /п2 + 1

А, + + Зет,

А,+6 (/г2-2-Я)(^-1) от2+1

-2Я-4(А,-2-Я)<0,

от, +1

т2 +1

/и, +1

1 ^ 2 тг +1 nij + l

т2 +1 ш, + X

1 * 2 т2 + 1 щ + 1

(13)

т2 +1

тг +1

2 е

Для иллюстрации теоремы 2.1 на конкретном числовом примере, возьмем следующие исходные данные. Рассмотрим оптовый рынок электроэнергии, состоящий из двух узлов - симметричных олигополий, число производителей на которых щ= 10 и т2= 25. Предельные издержки производителей установим на уровне с, =600, с2 =800, таким образом, чтобы цены (в руб. за МВт-ч) конкурентного равновесия в узлах рынка округленно соответствовали вальрасовским ценам для объединенных энергетических систем (ОЭС) Урала и Средней Волги, согласно данным об издержках производителей на 2008 г. Пропускную способность £) линии передачи примем равной 2600 МВт-ч, что соответствует пропускной способности линии между ОЭС Урала и Средней Волги6.

Скорость убывания спроса зафиксируем на уровне =1.5, а величины

Д и Д будем варьировать в промежутках Д е [19500; 49500],

6 По данным работы Аболмасова А., Коло дина Д. «Конкурентный рынок или создание монополий: структурные проблемы российского оптового рынка электроэнергии» // EERC final report. 2002.

П2 5 [26000; 66000], что соответствует типичным характеристикам спроса на электроэнергию в указанных регионах. В указанных предположениях параметр # = 1500, а /г, и \ варьируются в промежутках А, е [15000;45000], кг е [21500; 61500].

Изобразим на плоскости (\,Ьг) области существования равновесий всех 4 типов (см. рис. 1), согласно (7)—(10) и (11)-(13). Можно видеть, что почти на всей области существования локальные равновесия типа Ъ являются настоящими равновесиями Нэша. Области существования равновесий и с2-и гораздо больше по площади, нежели равновесий типа Ь, и составляют соответственно 40% и 9.8% от общей площади прямоугольника. Область, в которой не существует ни одного настоящего равновесия Нэша, весьма велика и составляет 50% площади всего рассматриваемого прямоугольника. Одной из причин столь больших размеров этой области является тот факт, что почти все равновесия типа Ъ в данном примере существуют только совместно с с, ,.

Рис. 1. Области существования равновесий типов Ъ и с.

В рассматриваемом примере имеет место сосуществование равновесий с противоположными направлениями перетока: площадь области У сосуществования равновесий и с^, составляет 5% от общей площади прямоугольника.

Глава 3 посвящена сравнительному анализу аукционов Курно и Викри с точки зрения цен для конечных потребителей товара.

В теоретико-игровой модели аукциона Викри с резервными ценами7, которая является обобщением классической модели аукциона Викри (1961), игроками являются производители, их стратегиями - функции предложения R°{p). Функция выигрыша производителя на аукционе Викри учитывает не только собственный объем и издержки производителя, но и издержки других производителей, а также резервные цены, которые потребители готовы заплатить за товар:

f°(R", а е А) = J min {(Д'Т1 (с) + v), D'x {RA'° (с) + v)}dv-C° (Д* (с)).

Первая функция под знаком min указывает предельную цену за дополнительный объем dv, которую пришлось бы заплатить, если исключить участника а из аукциона. Эта цена определяется, исходя из заявленных функций предложения остальных игроков: RAy° (р) = ^ R" (р). Вторая

иеА\а

функция характеризует резервную цену, которую потребители готовы заплатить за этот объем. Цена с определяется из условия D(c)e^TR"(c).

меЛ

Поскольку функция спроса D(p) является суммой функций спроса Db(p) отдельных потребителей b е В, каждый из них получает объем товара Dh{c).

Следующий вариант распределения суммарной выплаты между потребителями учитывает их резервные цены и при этом минимизирует максимальную цену, которую они платят за товар. Потребитель Ь покупает товар по максимальной цене рг до тех пор, пока закупаемый объем не

7 Модель аукциона Викри с резервными ценами описана в работе В а с и н А. А., Васина П. А., Рулева Т. Ю. Об организации рынков однородных товаров // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 1. С. 98-112.

превысит В6(рг). Остаток товара он покупает по резервным ценам. Таким образом, общие затраты потребителя Ъ составляют:

С\ру) = рув\рг)+ 7'

Максимальная цена ру (далее называемая ценой Викри) уравнивает общие затраты потребителей и суммарный платеж производителям за товар: ПСЫ = (*' >« е А) + С° (Л' (с))).

ЬеВ аиЛ

Поскольку каждая функция Сь(р) монотонно возрастает по р, единственное решение последнего уравнения может быть получено стандартным вычислительным методом.

Данная процедура определяет условия игры в нормальной форме соответствующей аукциону Викри с резервными ценами. Игроками являются производители аеЛ. В данной игре стратегия Я"(р) = 5"(р) (где £а(р) -вальрасовская функция предложения фирмы а, определяющая оптимальный объем выпуска при фиксированной цене р) является слабо доминирующей. Главным преимуществом выбора аукциона Викри является максимизация суммарного выигрыша производителей и потребителей.

В третьей главе диссертации рассматривается модель локального (одноузлового) рынка в трех типичных конфигурациях:

1) симметричная олигополия,

2) рынок с одним крупным производителей и группой мелких,

3) рынок с двумя группами однородных производителей.

Поведение потребителей описывается аффинной функцией спроса:

В(р) = тах {0;5-с10р}. Предполагается, что зафиксированы все параметры

модели, кроме Б. Для каждой из трех вышеописанных конфигураций рынка найдено множество значений Б, для которых цена Викри ниже цены Курно.

В пункте 3.1 рассматривается симметричная олигополия с п производителями. Каждый производитель характеризуется максимальным объемом выработки V и предельными издержками с.

Теорема 3.1. В данных условиях цена Викри ру не превышает цену Курно р', если и только если Б £ И', где Б' = К(л + 1)^1-1/и -<1ас.

В пункте 3.2 рассматривается рынок, на котором присутствует один крупный производитель а (с неограниченным объемом выработки) с предельными издержками с,, а также группа из п производителей Ь,,1 = \,п, которые однородны по своим производственным характеристикам. Предельные издержки каждого равны с2, максимальный объем выработки -V. Предполагается, что сг > с,.

Определим следующие критические значения параметра Б:

_ А/- _ */. _

Д =с/0(2с2-с,), В„ = П1+У(п + 2),

^.У(п + 2)[п2+2П + ^(2п1+Зг,-2с10(с2-сг)(П + 1)/у))

(л + 1)2 + и + 1 '

Д* = ЗУп- 2^Уп(Уп -2¿0 (с2 - с,)) + ^с,, ^ = ЗГп + - 2с10 (с2 - с,)) + ¿„с,.

Теорема 3.2. Если выполнено 2<?0(с2-с,) <Уп и й'0 < ОИ, /ко ру<,р' о5€[54;Х)*]и[д*;Д*]. £сли 2^0(с2-с,)<Кп к Д' >5Я, то ру<р'<^> Б е^Б^Б^. Еслиже 2с10(с1-с1)>Уп, то ру < р* <=> Л е[Д;£>0"].

Иллюстрация теоремы 3.2 для ¿/0 = 7.5, с, = 200, с2 =800, К = 500 и и = 25 приведена на рис. 2.

Рис. 2. Оптимальная форма аукциона в зависимости от значений Б.

¿„с, =1500

шшттттттт**,

£>0 = 22230

4=52229 £>

б, =10500 4=25771

На рис. 2 штриховкой обозначены интервалы значений Б, в которых цена Викри ниже цены Курно; штриховкой ШШ - интервалы, в которых цена Курно ниже цены Викри.

В пункте 3.3 рассматривается рынок с двумя группами однородных производителей. В каждой группе имеется п, производителей с одинаковыми

предельными издержками с, и максимальными объемами Уп I = 1,2. Для определенности считается, что сг > с,. Введем следующие обозначения:

£>3 =-2-+ =-2-+ а0с2>

«I «2

<у. (и, 1)-¡(УХЩ + Угпг У - - + (дс, + я2с2) ¿л — ,

тц+щ

Л/.

Р*п = тт{с1+У1/с10;с2+У2/^}, ртах = {с,+Р|/с?0;с2+

' "2 ° " 12.еот«рт1п=с2+К2/^0.

Теорема 3.3. с2>сх+У^/с10, то

5 случае с, < с2 < с, + ^ /¿/0, еслм выполнено неравенство:

УЛ+УЛ +с!0с2<5< с10((РшЫ -с,)и, +(ртт-сг)п2) + с1оРтт, (14) то ру < р' Б < £>*. Если же «е выполнено, то ру <р' о В <0'6.

В третьей главе диссертации также представлены результаты численного сравнения исходов аукционов Курно и Викри на основе модельных данных по оптовому рынку электроэнергии России. В подавляющем большинстве рассмотренных примеров аукцион Викри дает более низкую цену, нежели аукцион Курно.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Шаманаев А. С. «Сравнительный анализ аукционов Курно и Викри для рынков однородного товара» II Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем, 2008, т. 32 (2), с. 262-278. -М.: Издательство ЛКИ, 2008.

2. Васин А. А., Шаманаев А. С. «Равновесия Курно в модели двухузлового рынка однородного товара» II Труды факультета ВМиК МГУ им.

Ломоносова. Прикладная математика и информатика, 2009, № 32, с. 46-66. - М.: МАКС Пресс, 2009.

3. Vasin, A. A. and Shamanaev, A. S. Cournot Equilibria in a Model of Two-Hub Homogeneous Commodity Market // Computational Mathematics and Modeling, vol. 21, no. 1, pp. 51-69. - Springer New York, NY, 2010.

4. Vasin, A., Sazanov, A., Alefirenko, M. and Shamanaev, A. Simulation of the Russian Electricity Market II Труды 4-й Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2004), с. 223-226. - М.: МАКС Пресс, 2004.

5. Шаманаев А. С. «Моделирование аукционов Курно и Викри для двухточечного сетевого рынка» /I Материалы XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2008», с. 90. - М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2008.

6. Шаманаев А. С. «Анализ устойчивости равновесий Курно для двухузлового рынка» // Сборник тезисов лучших дипломных работ 2006 года, с. 26-28. - М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ, 2006.

В работах [2] и [3] Шаманаеву А. С. принадлежат формулировки и доказательства критериев существования локальных и глобальных равновесий Курно на двухузловом рынке с одинаковыми предельными издержками производителей и аффинными функциями спроса, а также построение областей существования равновесий Курно различных типов для случая двухузлового рынка с малыми потерями.

В работе [4] Шаманаеву А. С. принадлежит численное сравнение цен исходов аукционов Курно и Викри для ряда модельных вариантов рынка.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 14.05.2010 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 222. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шаманаев, Антон Сергеевич

Введение.

Обзор литературы.

Глава 1. Существование равновесий Нэша на сетевом рынке из двух симметричных олигополии: Курно.

1.1 Общая модель рынка

1.2. Модель двухузлового рынка с аффинными функциями спроса.

1 3. Модель рынка с неодинаковыми издержками производителей

Глава 2 Структура множества равновесий Нэша на двухузловом аукционе Курно в зависимости от параметров модели.

2 1. Случай с щ левыми потерями и одинаковой скоростью \ бывания спроса на рынках.

Глава 3 Сравнительный анализ аукционов Курно и Викри.

3.1. Необходимые определения и предшествующие результаты.

3.2. Симметричная олигополия.

3 3. Рынок с одним крупным производителем и группой мелких.

3 4. Рынок с двумя группами однородных производителей.

3.5. Численное сравнение исходов аукционов Курно и Викри.

Введение диссертация по математике, на тему "Методы расчета равновесий Нэша для некоторых аукционов однородного товара"

Оптовые рынки упомянутых товаров, как правило, являются олигополиями, т.е. рынками, на которых действует небольшое количество фирм — продавцов. Каждая из фирм на таком рынке обладает рыночной властью, т.е. способна своими действиями влиять на рыночную цену. Важная практическая задача — организовать рынок таким образом, чтобы не допустить большого отклонения цены от значения, оптимального с точки зрения суммарного выигрыша участников рынка. Такое значение реализуется в состоянии конкурентного равновесия (см. (Walras, 1874), (Debreu, 1954)). В связи с этим особый интерес представляет изучение моделей аукционов однородного товара, то есть возможных форм организации такого рынка. В каждом случае аукцион описывают как игру в нормальной форме, в которой игроками являются производители, а функции выигрыша определяют их прибыли в зависимости от стратегий. В качестве модели поведения участников аукциона обычно рассматривают равновесие по Нэшу соответствующей игры.

В существующей литературе ((Amir, 1996), (Amir, Lambson, 2000), (Ausubel, Cramton,

2004), (Bertrand, 1883), (Edgeworth, 1925), (Allen, Hellwig, 1986), (Vives, 1986), (Васин,

2005) и др.) исследованы свойства различных аукционов (Курно, Викри, Бертрана-Эджворта, единой цены) и получены методы расчета равновесий Нэша в соответствующих теоретико-игровых моделях. Однако для многих рынков однородных товаров важную роль играет сетевая структура связей производителей, и потребителей, ограничения пропускной способности линий и потери или затраты при транспортировке. Для сетевых рынков в условиях совершенной конкуренции получены достаточно полные результаты относительно расчета состояния конкурентного равновесия (см. (Но§ап, 1995), (Давидсон и др., 2004)). Однако задача расчета равновесий Нэша и анализа их свойств для сетевых рынков — олигополий не решена даже в простейшем случае: для рынка с двумя узлами.

Простейший вариант аукциона однородного товара — аукцион Кур но. Для этого аукциона в (Васин, 2005) установлена связь с аукционом единой цены, который широко используется на практике. В общем виде модель двухузлового аукциона Курно рассмотрена в (Васин, 2005). Предполагается, что два рынка соединены линией передачи, по которой с одного рынка на другой можно перебросить объем д товара, не превышающий О. Линия передачи имеет заданный коэффициент Я потерь товара при переброске. Выявлены 3 возможных типа равновесий Нэша для данной модели:

Тип а) — равновесие с нулевым перетоком (</ = 0), в котором рынки остаются разделенными и переброска товара оказывается невыгодной с учетом потерь;

Тип Ь) — равновесие с положительным перетоком товара между рынками при неактивном ограничении пропускной способности линии передачи (0 < с/ < О);

Тип с) — равновесие с максимально допустимым перетоком товара между рынками (4 = 0 ).

Для модели двухузлового аукциона Курно в (Васин, 2005) в общем виде сформулированы методы расчета равновесий Нэша, однако они предполагают ряд существенных допущений, а также неудобны для анализа конкретных рынков, поскольку их использование связано с решением сложных экстремальных задач. Кроме того, не исследован вопрос существования и единственности равновесий. В диссертации рассматривается двухузловой аукцион Курно в предположении одинаковых предельных издержек производителей в каждом из узлов. Для этого аукциона в диссертации решаются вопросы о существовании и структуре множества равновесий Нэша, разрабатываются методы расчета равновесий.

Другая актуальная проблема -— изучение возможных альтернатив аукциону единой цены. Недостатком аукциона единой цены является то, что на нем создаются благоприятные условия для реализации продавцами рыночной власти. В результате отклонение исхода Курно от конкурентного равновесия (по Вальрасу) может быть довольно велико, что неблагоприятно для конечных потребителей.

Эмпирические исследования показывают, что производители с целью поднять рыночные цены подают заявки, не соответствующие истинным затратам. (Вогепз1ет, Вш1те11, 1999) изучали границы изменения цен в Калифорнии и оценивали предельные издержки, исходя из объемов производства, загрузки производственных мощностей и объема импорта. Они показали, что в 1998 году цены превышали конкуретные на 15%. На российском оптовом рынке электроэнергии в последние годы средняя оптовая цена превышает цену конкурентного равновесия на 50-70% (по оценкам экспертов).

В качестве альтернативы аукциону Курно в диссертации рассматривается аукцион Викри с резервными ценами (Уюкгеу, 1961; АшиЬе!, Сгапйоп, 2004). На таком аукционе цена и объемы выпуска определяются так же, как на стандартном аукционе единой цены, однако оплата товара, приобретаемого у некоторого производителя, происходит по резервным ценам, рассчитываемым на основе функции спроса и заявок других компаний. Преимуществом этого аукциона является достижение максимального суммарного выигрыша участников (производителей и потребителей) при индивидуально рациональном поведении, соответствующем равновесию Нэша в доминирующих стратегиях.

Цель настоящей диссертационной работы — разработка методов расчета равновесий Нэша для теоретико-игровых моделей некоторых рынков однородного товара; изучение вопросов существования и эффективности этих равновесий в смысле цен для конечных потребителей.

Задачи работы:

Новизна полученных результатов состоит в следующем.

1) симметричная олигополия;

2) рынок с одной крупной компанией и группой мелких;

3) рынок с двумя группами однородных производителей.

Обзор литературы

Одно из направлений в литературе, относящейся к теме моделирования рынков однородного товара, посвящено проблеме расчета конкурентного равновесия для сетевого рынка по заданным функциям спроса и предложения участников (McCabe et al., 1989; Hogan, 1995). Для газового сетевого аукциона задача максимизации суммарного благосостояния сводится к задаче линейного программирования, при этом решение двойственной задачи определяет балансовые цены во всех узлах сети. Для рынка электроэнергии задача оптимизации общего благосостояния оказывается в общем случае нелинейной из-за особенностей сетевых ограничений. (Hogan, 1995) не учитывает этих особенностей. Корректная формализация задачи приводится в (Кулиш, 2002) и (Давидсон и др., 2004).

В работах первого направления не рассматривается проблема несовершенной конкуренции и использования рыночной силы на сетевых рынках. Эмпирическое исследование этого вопроса проводили (Sykes, Robinson, 1987). Соответствующие теоретические модели рассматривают локальный рынок без учета сетевой структуры. Статические однопериодные модели (Baidick et al., 2000; Green, 1992; Klemperer, Meyer, 1989) описывают закрытый аукцион функций предложения как игру в нормальной форме и характеризуют точки равновесия Нэша такого аукциона. (Klemper, Meyer, 1989) исследовали модель конкуренции с произвольными функциями предложения, назначаемыми производителями. Для заданных функций спроса они получили множество равновесий по Нэшу, соответствующих всем ценам, большим цены Вальраса. (Green, Newbery, 1992) рассмотрели симметричную дуополию с линейными функциями предложения и спроса и получили формулы для расчета равновесия Нэша. (Baidick et al., 2000) обобщают их результат для несимметричной олигополии. (Аболмасов, Колодин, 2002) и (Дьякова, 2003) применяют этот подход для изучения рынков электроэнергии в двух российских регионах. Они используют аффинную аппроксимацию истинных функций предложения.

В применении к рынку электроэнергии предположение об аффинной структуре функций предложения не соответствует ни реальной структуре издержек энергетических компаний, ни практике проведения аукционов функций предложения. В действительности каждый производитель может подать заявку, соответствующую ступенчатой неубывающей функции предложения. Ступенчатая структура функций предложения типична для генерирующих компаний и соответствует су-ществующим правилам и проектам рынков в различных странах (см. (Hogan, 1998)). Проект российского оптового рынка электроэнергии предусматривает до 4 ступеней в заявке одной фирмы на каждый час следующих суток (см. Регламент подачи ценовых заявок Участниками оптового рынка, ред. от 26.02.2010). Ступенчатая структура заявки соответствует в первом приближении реальной структуре переменных издержек компаний-производителей электроэнергии. Обычно каждая такая компания владеет несколькими электрогенераторами с ограниченной мощностью, каждый из которых характеризуется примерно постоянными предельными издержками. Главная составляющая этих издержек — затраты на топливо.

Vasin et al., 2003) исследуют свойства равновесий Нэша для аукциона функций предложения, на котором заявка — это ступенчатая неубывающая функция. Предполагается, что реальные предельные издержки каждого производителя являются постоянными в границах производственной мощности. Функция спроса известна и монотонно убывает по цене. Найдены и исследованы два типа равновесий Нэша, один из которых соответствует равновесиям Курно. Для второго типа равновесные по Нэшу цены лежат между ценой конкурентного равновесия (ценой Вальраса) и ценой Курно для данного рынка. В последующей работе (Васин, 2005) показано, что все равновесия 2-го типа являются неустойчивыми. В то же время равновесие, соответствующее исходу Курно, является устойчивым исходом, к которому в общих предположениях сходятся все траектории адаптивной динамики некоторого класса. В (Moreno, Ubeda, 2002) получен похожий результат для двухшаговой модели, в которой на первом шаге производители выбирают производственные мощности, а на втором шаге они конкурируют, устанавливая резервные цены. Разница заключается в том, что в модели (Васин, 2005) равновесие по Курно всегда существует при фиксированных производственных мощностях.

В работе (Vasin, Vasina, 2006) получена также оценка отклонения исхода Курно от конкурентного равновесия. Эта оценка позволяет оценить возможное снижение общественного благосостояния, исходя из нижней оценки эластичности спроса и максимальной доли отдельного производителя в равновесном по Вальрасу выпуске продукта. В некоторых работах по рынку электроэнергии (см. напр. (Rothwell, Gomez, 2002)) предлагается разрешить прямые сделки между продавцами и покупателями в дополнение к закрытому аукциону заявок. В (Васин, 2005) показано, что в такой модификации рынка нарушается устойчивость равновесия Нэша в модели Курно и увеличивается отклонение от равновесия по Вальрасу.

Изучению вопросов существования равновесия Нэша и его свойств для модели олигополии Курно (1838) посвящено множество работ (см. (Novshek, 1985), (Corchon,

Ritzberger, 1992), (Kukushkin, 1994) и др.). Показано, что в довольно общих предположениях в модели существует единственное равновесие Нэша. Для симметричной олигополии Курно отклонение равновесного исхода по Нэшу от исхода по Вальрасу убывает при возрастании числа производителей.

Amir, 1996) и (Amir, Lambson, 2000) исследовали существование и единственность равновесия по Нэшу в модели Курно для лог-выпуклых и лог-вогнутых обратных функций спроса. (Отметим, что ¡У1 (\>) вогнута (выпукла) тогда и только тогда, когда р | D'(p) | возрастает (убывает) по р.) Таким образом, первое свойство сильнее, чем возрастание эластичности функции спроса, в то время как второе свойство может как выполняться, так и не выполняться в нашем случае. Типичным примером функции спроса с возрастающей эластичностью, которая не удовлетворяет обоим условиям, является спрос на товар первой необходимости с низкой эластичностью при низких ценах и высокой эластичностью при высоких ценах, таких, что потребители предпочитают какой-то заменяющий товар.

В (Васин, 2005) рассматривается в общем виде модель двухузлового аукциона Курно. Предполагается, что два рынка соединены линией передачи с заданным уровнем потерь, по которой с одного рынка на другой можно перебросить объем товара, не превышающий пропускной способности линии. С рядом допущений сформулированы и доказаны критерии существования истинных (устойчивых к большим отклонениям) равновесий Нэша всех возможных типов. Однако полученные критерии полезны, в основном, с точки зрения численного анализа конкретных рынков. Их непосредственное аналитическое применение для исследования рынков различных конфигураций затруднительно, поскольку связано с решением сложных экстремальных задач. Кроме того, не исследован вопрос единственности равновесий Нэша в зависимости от параметров модели. В общем случае множественность равновесий не исключается.

Альтернативной стандартному аукциону функций предложения является аукцион Викри с резервными ценами. Первоначально этот тип аукциона был предложен Уильямом Викри (1961) и исследован для продажи неделимого товара в форме аукциона второй цены. Его достоинство — существование равновесия в доминирующих стратегиях, соответствующих объявлению истинных резервных цен покупателей. В результате товар достается тому, кто его больше ценит, то есть суммарный выигрыш участников достигает максимума. Недостаток — доход продавца может оказаться очень низким, кроме того условия аукциона способствуют сговору покупателей.

Попытка избавить модель от этих недостатков была предпринята в (АшиЬе!, Сгапйоп, 2004). Авторы разработали вариант аукциона Викри с резервными ценами для продажи делимого товара. Наличие резервной цены ограничивает возможность сговора и обеспечивает некоторый гарантированный выигрыш продавцу.

Дальнейшая разработка этой модели и ее применение к рынкам однородного товара проведена в работе (Васин, 2005). Описываемый в этой работе аукцион Викри для покупки однородного товара с резервными ценами отражает интересы потребителей, однако игроками являются производители товара. Аукцион обладает вышеуказанными положительными свойствами и позволяет получить лучший результат по сравнению с обычным аукционом функций предложения как в смысле суммарного благосостояния, так и в смысле цены товара для потребителей. Кроме того, исследуется взаимосвязь этого аукциона с аукционом меню, предложенным в работе (ВегпЬе1т, \Vhinston, 1986). Применительно к продаже однородного делимого товара условия аукциона состоят в следующем. Каждый игрок-покупатель назначает функцию спроса, указывающую, сколько товара он готов купить в зависимости от цен, назначенных аукционером для него и других покупателей. Аукционер определяет эти цены, максимизируя свою прибыль, представляющую разность между суммой платежей покупателей и затратами на производство товара. Каждый покупатель стремится максимизировать разность полезности купленного товара и платежа за него. Среди множества совершенных подыгровых равновесий этой игры Бернхейм и Уинстон выделяют «правдивое равновесие» (truthful equilibrium), устроенное следующим образом. Каждый игрок соглашается на предложенные аукционером цены, если при этом получает заданную величину выигрыша, в противном случае его спрос равен нулю. (Bolle, 2004) отмечает, что только такие равновесия сохраняются при наличии редких случайных ошибок (trembling-hand perfect). Автор доказывает, что значение выигрыша данного покупателя в «правдивом равновесии» равно его вкладу в суммарное благосостояние, то есть разности значений характеристической функции для коалиции всех участников аукциона и коалиции всех за исключением данного покупателя, если эта функция является субаддитивной.

Аналогичный результат для исследуемого аукциона функций предложения приведен в (Васин, 2005). Более того, исход, отвечающий «правдивому равновесию», совпадает с исходом решения аукциона Викри с резервными ценами. В отличие от конструкций Бернхейма и Уинстона последнее решение не требует информации об издержках производителей.

В работе (Rothkopf et al., 1990) рассматриваются теоретические вопросы и практика проведения аукционов Викри. Отмечается, что анализ аукциона как однократной игры не адекватен реальным ситуациям, в которых аукцион обычно повторяется. При этом раскрытие информации о реальных издержках участника дает возможность аукционеру в дальнейшем снизить его выигрыш, например, путем введения специально подобранной фиктивной заявки. Модификация аукциона Викри, в которой предельные издержки и максимальные мощности отдельных генераторов общеизвестны, а неопределенность связана со снижением мощностей в результате аварий и ремонтов, рассматривается в (Васин, 2005). В этом случае аргументы против сообщения реальных параметров представляются более слабыми.

Однако если сравнивать исходы аукционов Курно и Викри, преимущество последнего с точки зрения конечных потребителей не всегда имеет место. Сравнение исходов этих аукционов до настоящего момента проводилось лишь в форме численного эксперимента в (Васин и др., 2006) с использованием модельных данных по рынку.

Заключение диссертации по теме "Дискретная математика и математическая кибернетика"

Заключение

В настоящей диссертации были рассмотрены вопросы существования равновесий Курно различных типов для сетевого рынка, состоящего из двух симметричных олигополий. Были получены необходимые и достаточные условия существования равновесий Курно каждого типа: а, Ь и с. Критерии существования равновесий Нэша всех типов для ситуации двух симметричных олигополий Курно, соединенных линией передачи, получены в виде систем линейных и квадратичных уравнений и неравенств.

В главе 2 было выявлено, что существуют области параметров модели, в которых не существует ни одного равновесия, а также области, в которых существуют два равновесия различных типов. Для модели двухузлового аукциона Курно в предположении малых потерь изучена структура множества равновесий Нэша: модель параметризована через 3 переменные, и в множестве параметров выделены области существования равновесий различных типов и область отсутствия равновесий.

Области, в которых равновесия не существует, соответствуют хаотичному рынку, где цены постоянно меняются и не стремятся прийти к какому-либо устойчивому значению. Кроме того, отсутствие равновесия и хаос на рынке - побудительный мотив к заключению картельных соглашений участниками рынка, что также негативно отражается на общем благосостоянии. Множественные равновесия Нэша являются плохой новостью в смысле изучения многоузловых сетевых рынков, поскольку с ростом числа узлов рынка количество сосуществующих равновесий возрастает экспоненциально.

Было показано, что размер области сосуществования двух равновесий напрямую зависит от разности предельных издержек производителей на рынках 1 и 2. Таким образом, на реальных рынках целесообразна деятельность органов власти по регулированию состава участников торгов для поддержания «оптимального баланса» предельных издержек.

В главе 3 был представлен обзор моделей аукционов Курно и Викри и рассмотрен ряд практически важных частных случаев устройства локального рынка, таких как:

• симметричная олигополия,

• рынок с одной крупной компанией и множеством мелких,

• рынок с двумя группами однородных производителей.

Для каждого случая задача сравнения цен исходов аукционов Курно и Викри была решена аналитически. Были охвачен весь спектр частных ситуаций взаиморасположения функций спроса и предложения, характерных для данной модели рынка.

Если смотреть на результаты главы 3 с качественной точки зрения, то можно выявить следующие тенденции, общие для большинства частных ситуаций, рассмотренных в рамках анализа трех вышеописанных моделей рынков.

Цена Курно обычно более выгодна для конечных потребителей (ниже цены Викри), если выполняется одно из следующих условий:

• часть производителей вообще не участвуют в продажах, а у остальных мощности загружены полностью;

• спрос в точке равновесия сильно превышает предложение в этой точке (т.е. равновесная цена устанавливается на достаточно низком уровне).

В свою очередь, цена Викри более выгодна для конечных потребителей, если:

• в продажах задействованы все или подавляющее большинство производителей;

• у некоторых из производителей, которые активно участвуют в продажах, есть запас производственной мощности (т.е. они могут увеличить выработку на величину, соответствующую непокрытому остаточному спросу, если таковой возникнет).

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Шаманаев, Антон Сергеевич, Москва

1. Allen, В., Hellwig, M. (1986) "Bertrand-Edgeworth Oligopoly in Large Markets", Review of Economic Studies, 53, 175-204.

2. Amir, R. and Lambson, M. (2000) "On the Effects of Entry in Cournot Markets, Review of Economic Studies 67, 235-254.

3. Amir, R. (1996) "Cournot Oligopoly and the Theory of Super modular Games", Games and Economic Behavior 15, 132-148.

4. Lawrence M. Ausubel, Peter Cramton, "Vickrey Auctions with Reserve Princing", unpublished manuscript, 2004. Economic Theory. V. 23. P. 493-505.

5. Baldick, Grant, and Kahn. "Linear Supply Function Equilibrium: Generalizations, Application, and Limitations", POWER Working Paper PWP-078. University of California Energy Institute, August 2000.

6. Berheim, B.D., Whinston, M.D., "Menu Auctions, Resource Allocation, and Economic Influence", Quarterly Journal of Economics, 1986, pp. 1-31.

7. Bertrand, J. (1883), "Review of Theorie mathématique de la richesse sociale" and "Recherches sur les principes mathématiques de la theorie des richesses", Journal des Savants, 499-508.

8. Corchon, L. C., Ritzberger, K. "On the Non-Cooperative Foundations of Cooperative Bargaining". // Discussion paper, WP-AD 92-06. Instituto Valenciano de Investigaciones Económicas, 1992.

9. Cournot, A. Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses // Paris, 1838. Ch. VII.

10. Friedel Bolle, "On Unique Equilibria of Menu Auction", unpublished manuscript, 2004

11. U.S. Borenstein and J. Bushnell, "An Empirical Analysis of the Potential for Market Power in California's Electricity Industry" // The Journal of Industrial Economics, 47. September, 1999.

12. Debreu, R. (1954) "Valuation Equilibrium and Pareto Optimum" , Proc of the National Academy of Sciences of the USA, 40, 588-92.

13. Edgeworth, E.Y. (1925) "The Pure Theory of Monopoly" in Edgeworth, Papers Relating to Political Economy, VI, 111-142, New York, Brut Franklin.

14. Green, R., "Increasing Competition in the British Electricity Spot Market", Journal of Industrial Economics, 44(2), 205-216, 1996

15. Green, R and D. Newbery (1992), "Competition in the British Electricity Spot Market ", Journal of Political Economy, 100(5), 929-953, 1992.

16. Hogan, W. (1998) "Competitive Electricity Market Design: A Wholesale Primer", Harvard University, WP.

17. Hogan, YV., "Electricity Transmission and Merging Competition: Why the FERC's Mega-NOPR Falls Short", Public Utilities Fortnightly, v.133, no.13 (1995) 32-36.

18. Klemperer, P. and Meyer, M. (1989) "Supply Function Equilibrium in Oligopoly under Uncertainty", Econometrica 57(6), 1243 1277.

19. Kukushkin, N. (1994) "A Fixed Point Theorem for Decreasing Mappings", Economic Letters 46, 23-26.

20. McCabe, K.A., Rassenti, S.J. and V.L. Smith, "Desighning 'Smart' Computer-Assisted Markets (an Experimental Auction for Gas Networks)", Journal of Political Economy 5, 259-283 (North-Holland), 1989

21. Moreno, D. and Ubeda, L. (2001) "Capacity Recommitment and Price Competition Yield Cournot Outcomes", Universudad Carlos 3 de Madrid, Economic Series 08 WP 01-44.

22. Novshek, W. (1985) "On the Existence of Cournot Equilibrium", Review of Economic Studies 52, 85-98.

23. Rothkopf, M., Teisberg, Т., Kahn, E. (1990) "Why are Vickrey Auctions Rate?", Journal of Political Economy, 98, 94-109.

24. Rothwell, G. and Gomez, T. (2002) "Electricity Economics: Regulation and Deregulation" // IEEE Press Series on Power Engineering. New York, 2003.

25. Sykes, Allen and Robinson, Colin. Current Choices: Good Ways and Bad to Privatize Electricity. Policy Study no 87. London: Centre Policy Studies, 1987.

26. Vasin, A., Durakovich, N., Vasina, P., Cournot equilibrium and competition via supply functions, Game Theory and Applications, Nova Science Publishers, vol.9, New York, 2003, p. 181 191.

27. Vasin, A., Vasina, P. Electricity Markets Analysis and Design // Working Paper #2006/053. Moscow, New Economic School, 2006.

28. Vives, X. (1986) "Rationning rules and Bertrand-Edgeworth equilibria in Large markets", Economics Letters, 21, 113-116.

29. Walras, L. (1874) "Elements d'Economie Politique Pure". Lausanne.

30. Аболмасов А., Колодин Д., Конкурентный рынок или создание монополий: структурные проблемы российского оптового рынка электроэнергии. ERRC final report. 2002.

31. Васин А. А. Некооперативные игры в природе и обществе // М.: МАКС пресс, 2005.

32. Васин А. А., Васина П. А., Рулева Т. Ю. Об организации рынков однородных товаров // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 1. С. 98 112.

33. Давидсон М. Р. и др. Математическая модель конкурентного оптового рынка электроэнергии в России // Известия Академии наук. Теория и системы управления. 2004. № 3. С. 72-83.

34. Imp www nn-si m ido icLplft'?IdcSonice~GF,T FIU-.&d.>ocName-SR 0\00724o£RevisionSelectionMethod4.jlo4t