Устойчивые решения в теоретико-игровых моделях аукционов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ - : " Г УНИВЕРСИТЕТ

2 4 МАР 10Я7

' на правах руколиси

ВОЗНЮК Сергей Николаевич

УСТОЙЧИВЫЕ РЕШЕНИЯ В ТЕОРЕТИКО-ИГРОВЫХ МОДЕЛЯХ АУКЦИОНОВ

(01.01.09 - математическая кибернетика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена па кафедре Математической статистики, теории надежности и массового обслуживания факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского Государственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент H.A. Зенкевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

паук, профессор М.М. Луценко кандидат физико-математических наук Г.Ю. Гарнаева

Ведущая организация: Санкт-Петербургский экономико-математический институт Российской Академии Наук.

7 С od.

Защита состоится " > J 1997г. в 10 часов на заседании

специализированного совета К- 063.57.16 по защите диссертации

па соискание ученой степени кандидата физико-математических

наук в Санкт-Петербургском Государственном университете по

адресу: 190004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д. 33, ауд. 41.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ им. A.M. Горького по адресу: С. Петербург, Университетская наб.,

7/9.

Автореферат разослан MV,Сч 1997

года.

Ученый секретарь Диссертацион] совета, д. ф.-м. п.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предметом исследований в диссертационной работе является построение устойчивых (сильно равновесных или парето-опти-мальных на множестве равновесных) решений в теоретико-игровых моделях аукционов, относящихся к классу закрытых многообъектных с дискриминирующим ценообразованием и асимметричными участниками.

Исследования в области теоретико-игрового моделирования аукционов активно ведутся и ряде стран в виду их практической значимости. Однако такие модели рассматриваются как частные примеры приложения различных теоретико-игровых методов для решения практических задач, а не как самостоятельная теория.

Исторически сложилось так, что модельная часть этой теории развивалась в основном за рубежом, в то время как в нашей стране получили достаточно большое развитие методы, применимые для решения соответствующих классов игр. Свой вклад в этой области теории игр сделали Н.II.Воробьев, Л.А.Петросян, Е.В.Яновская, Н.А.Зенкевич и др. За рубежом разработкой и исследованием теоретико-игровых моделей аукционов занимались П.Милгром, Р.Вебер, Р.Вильсон, В.Викри, Дж.Харшаньи и др.

Аукционы имеют специфику, которая требует особых подходов к их моделировапиго. Дело в том, что в теоретико-игровых моделях аукционов функции выигрышей разрывны, что ставит вопрос о самом существовании решений даже в смешанных стратегиях. Оптимальные решения чаще всего неединственны, что затрудняет использование моделей на практике.

Зарубежная теория концентрируется в основном на исследовании способов оценки реальной стоимости объекта аукциона, (продаваемого товара) для игрока на основе поступивших сигналов, а не на стратегических аспектах поведения участников, поэтому

большую часть решенных игр-аукционогз составляют симметричные модели.

Целью настоящей работы является нахождение устойчивых решений в теоретико-игровых моделях аукционов, удовлетворяющих свойству единственности.

Актуальность тематики диссертационной работы объясняется с одной стороны необходимостью исследования новых классов игр, а с другой — складывающейся потребностью в формальном анализе стратегических аспектов аукционов, как одной из составляющих частей современной экономической теории.

Научная новизна. В работе впервые предложено формальное описание класса асимметричных аукционов, исследованы свойства решений соответствующих игровых моделей и предложена концепция получения единственного (устойчивого) решения для выбранного класса бескоалиционных неаптагонистических игр двух лиц, включая многошаговые модели.

Практическое значение работы. Интересными для практики являются предложенные подходы к моделированию аукционов. Результаты моделирования позволяют строить устойчивое решение и оценку ожидаемой прибыли участников в случаях полной и неполной информированности.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертации опубликованы в работах [1]-[11]. Результаты исследований, представленные в работе, прошли апробацию на международных конференциях: International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics (С.-Петербург, 1993), International Conference of Interval and Computer-Algebraic Methods (С.-Петербург, 1994), 6th International Symposium on Dynamic Games and Applications (Канада, 1994), II Международная Кондратьев скал конференции (С.-Петербург, 1995), Международный научный конгресс "Народы содружества

независимых государств накануне третьего тысячелетия: реалии и перспективы" (С.-Петербург, 1996), 7th International Symposium on Dynamic Games and Applications (Япония, 1996), Game theory and economics — N.N.Vorob'ev Memorial Conference (С.-Петербург, 1996). Кроме того, основные результаты работы докладывались на городском семинаре по теории игр под руководством проф. J7. А. Пе-тросяна (С.-Петербург) и на семинарах кафедры математической статистики, теории надежности и массового обслуживания факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета..

Структура.. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 64 наименований и имеет общий объем 113 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор научной проблематики и направлений теоретико-игрового моделирования аукционов на основе работ зарубежных и отечественных авторов, сложившаяся на сегодняшний день классификация аукционов, указаны цель и структура, краткое изложение содержания работы и основные результаты.

В первой главе дана формализация, построены и исследованы модели аукционов, которые моделируются бескоалиционной игрой п лиц в нормальной форме специального вида. Построены множества равновесий по Нэшу в соответствующих играх, исследованы их свойства и обоснована концепция устойчивого решения. Введено понятие сопряженного аукциона, построен изоморфизм соответствующих игр для прямой и сонрлжениой задач. Полученные результаты использованы для решения задачи двойного аукциона..

В §1.1 приведена содержательная постановка задачи.

Продавец выставляет на аукцион до единиц однородного товара со начальной ценой ро > 0. В аукционе участвуют п покупателей. Известен вектор спроса покупателей д = (^ ,..., 5„), компоненты которого удовлетворяют следующим условиям

О < з,- < до, г = 1 ,п, (1)

П

(2)

{=1

Покупатели одновременно и независимо представляют продавцу свои заявки, т.е. формируют вектор ценовых заявок р — (Рь

Ро < Р," < Р;, г =

После этого, согласно правилам торгов, ьый покупатель получает <у;(р) единиц товара по заявленной цене р,-.

Данная задача математически формализована в виде бескоалиционной игры п лиц, в которой стратегией игрока г является его * ценовая заявка р,-, а функция выигрыша равна Я,(р) = (р, — р>)з;(р)-

Основные результаты работы получены для игр двух лиц. Сначала (§1.2) исходная задача рассмотрена в предположении, что стратегии игроков (ценовые заявки) могут принимать только целочисленные значения. Исследованы свойства соответствующей биматричной игры, получено единственное равновесие по Нашу в смешанных стратегиях на множестве недоминируемых чистых стратегий игроков. Указаны условия, при выполнении которых существует единственное равновесие по Нашу в чистых стратегиях и показано, что при этих условиях данное равновесие единственно и в классе смешанных стратегий.

В §1.3 рассмотрена бесконечная игра двух лиц в нормальной форме

Г= (Л',У,ЯЬЯ2), (3)

где множества стратегий игроков

А' = {Р1|Р1 € [po.pi]}, У = {Р2|Р2 € [ро.й]}, ('1)

а функции выигрышей равны

и < \ / (Л-Р^ь Р1>Р2,

Я1(рьр2) = < (5)

1(Р1 -Р1)(?о-92), Р1<Р2,

Я2(Р1,Р2) = < ,, . _ (6)

I \Рг -Рг)(?о - Р1>Р2-

Данная игра не имеет ситуации равновесия но Нэшу в чистых стратегиях. Предполагается, что смешанные стратегии Р' ь „:(х) игрока г имеют следующий вид:

^я.д.оД1)' Ро < а>' < ^ £ Р; — функция распределения на [ро,р,], имеющая скачок величины а,- 6 [0,1] в точке ро и непрерывно дифференцируемую плотность распределения на промежутке [а,-,6,-].

Доказан следующий результат.

Теорема 1. Л игре Г аукциона делимого товара, описываемого бескоалиционной игрой двух лиц в нормальной форме (1)~(6), множество ситуаций равновесия по Нэшу в классе рассматриваемых смешанных стратегий имеет вид

(0, х < ро,

+ ро < х < к, (7)

'■-ро '

х > /г,

где ро < к < р = тш^.р.,}, р. = р, - {р{ - ро)22-^, г = 1,2,

а,- = а,-(Л) = 1----г-. (8)

71 + 72 - доРз-; - Ро

Равновесные выигрыши игроков вычисляются по формулам ,,(/г) = Л',(^0,,11а1, = (р, - Л)д„ г = 1,2,

где А';(.Р1,.Р2) — ожидаемый выигрыш игрока г в ситуации (Г1,Р2).

Рассмотрена вспомогательная игра Г, в которой игроки 1 и 2 выбирают свои чистые стратегии Ьу и ¿2 соответственно из интервала (ро,р] и получают выигрыши , г = 1,2, где ^ , ^ вычисляются по формулам (7),(8) при «1 = 01(61), с*2 = 02(62). Доказан следующий результат.

Теорема 2. В игре Г существует единственная ситуация равновесия, парето-оптимальная на множестве равновесных ситуаций, определяемая параметром И*

ЬАРО + Рз), 2р} > Ро + Р2,

1 ~ < Р° + Р.!'

Обоснованная в теореме 2 концепция устойчивого решения игры (парето-оптимальиого на множестве равновесных) названа РО^тЕ-решением.

В п. 1.3.6 получено единственное РОМЕ-решение для аукциона с двумя участниками при наличии дополнительных выигрышей.

В п. 1.3.7 построено множество равновесий по Нэшу для игры п лиц, когда условие (1) имеет вид

О < 9-, <9о, г = Т~п, (1')

где <7_, =

В параграфе (§1.4) исследована сопряженная задача (модель аукциона п продавцов и одного покупателя). Здесь предполагается выполнение условий (1),(2), та же схема торгов, за исключением того, что верхняя цена р задана покупателем. Продавец г выбирает цену р,- между р и себестоимостью р^ и продает свой товар, если его цена меньше других заявленных. Приведена формализация данной задачи в виде бескоалиционной игры п лиц.

Стратегией игрока i является величина p¡, а функция выигрыша равна Н{(р) = (p¡ — p.)(ji(p), где q¡(p) — количество товара проданное игроком г.

При гс = 2 построены: единственное решение для биматричной игры (п. 1.4.3) и единственное PONE-решение для непрерывной игры двух лиц (п. 1.4.4).

Одним из результатов работы является доказанный в §1.5 из-морфизм прямой и сопряженной задач.

В качестве иллюстрации применения полученных результатов, в §1.6 исследована модель двойного аукциона с участием двух покупателей и двух продавцов, делающих целочисленные ценовые заявки. Построено решение игры.

Во второй главе построены модели аукционов в предположении неполноты информации у игроков, найдены решения в смешанных стратегиях поведения в играх с дискретными типами игроков (единственное PONE для игры двух лиц и множество равновесий для игры п лиц), получен общий вид множеств наилучших ответов игроков в игре двух лиц с непрерывными типами игроков и найдено решение для игры с равномерно независимо распределенными типами и чистыми стратегиями игроков из класса линейных функций.

В §2.1 рассмотрен аукцион, отличающийся от ранее рассмотренных моделей тем, что игрокам известны не все параметры игры. Введено понятие типа игрока — параметра, в котором заключена априорная информация игрока. В изучаемых моделях аукционов под типом игрока i понимается величина 0; G Qi — оценка ценности единицы товара выставленного на аукцион (аналог р- из §1.1). Предполагается, что 0; — случайные величины, распределенные на множестве Э,- возможных типов в соответствии с заданным совместным вероятностным распределе-

нием Л((?1,..., вп). Каждый игрок г знает свой тип 0{, выбранный согласно А(01, ... ,0п) перед началом аукциона. Во время аукциона игроки одновременно и независимо назначают цены р,- так, что Ро < Р; < где £ ©,-, г = 1,гг. Далее аукцион проходит по правилам, описанным в §1.1, в результате чего игрок г получает выигрыш Я;(р, 0) = (0{ - р;)?;(р)-

Рассматриваемый аукцион описан в виде игры с неполной информацией в нормальной форме

Тв = {Я,(-)}.-€Ж,А(-)), (9)

где Р, = [ро,Р,-], г £ N.

Под байесовской чистой стратегией р,(-) игрока г в данной игре понимается отображение

р,(-) : 9, - Р{, (10)

а под выигрышем — его ожидаемый выигрыш

1ф(-)) = Ее[Нг(Р,в)}, ¿=М, (11)

Под решением данной игры понимается равновесие по Нашу в байесовских стратегиях (10).

В §2.2 рассмотрена игра (9) с дискретными типами игроков, т.е. ©.- = {0,1, ■ ■ •, О. РО < 9} < ... < С = р,-, г- = Т77Г.

Равновесия в чистых стратегиях в данной игре не существует. Под байесовскими смешанными стратегиями игрока г понимаются отображения

Fi:í!i-Fí•(4í,e01, (12)

где

' о, Ж; < Ро,

О/в,: Ро < < ае,,

Р =

п ,в , ч , , г = 1, п. (13)

«в, + Га / '(О^- ав1<х{<Ь91,

1, > Ье,,

Данная игра рассмотрена при п = 2и доказана Теорема 3. В игре (9)-(11) множество байесовских равновесий по Нашу Л 6 (ро,р] в классе рассматриваемых смешанных

стратегий (12)-(13) имеет вид

(О, х,- < ро,

+ РО<*.-<Л, ¿ = 1,2,

1, х, > /г,

(14)

гс)е ро < Л < р, р — шт^,^} и

р. = тт{ВД|03_;} - (ЕЩв3_,-} - ро)Ч°~ Чз~{},

, 7з-; /г-ро_ . „

а« = ад (Л) = 1-----;—;-г = 1.2.

1 Л ^ ?1+ 72-9о ад-; 19.-}-Ро

Равновесные выигрыши игроков вычисляются по формулам

«¿(Л) = = - А)?,-, 1 = 1,2,

где — ожидаемый выигрыш игрока г в ситуации (Г1, Г2).

На множестве равновесий по Нашу (14) в игре Гв аналогично п. 1.3.5 построено единственное РСЖЕ-решение, определяемое параметром

ЕЦв2)(е2-ро)(д1+д2-т) н -Ро +-ГГЦ-Шл-• I15)

о V ХЩ

4 ¿^вг Е{в,\в,}-Р

Теорема 4. В игре Г^ существует единственная парето-оптимальная на множестве байесовских равновесий по Нэшу ситуация вида (14), для которой Ъ' определяется равенством (15) при Л* < р и Л* = р в остальных случаях.

Рассмотрена игра отличная от игры (9)-(11) наличием у игроков дополнительных выигрышей (см. п. 1.3.6). Лля нее также найдено единственное РСЖЕ-решение.

Исследована игра п лиц из п. 1.3.7 с неполной информацией. Здесь построено множество байесовских равновесий по Нэшу в классе рассматриваемых смешанных стратегий.

В §2.3 изучается игра двух лиц с непрерывными типами игроков. т.е. предполагается в,- = [6^,0;], г — 1 ,п. При п = 2 найдены множества наилучших ответов игроков в байесовских чистых стратегиях. Лля получения в этой игре множества всех равновесий требуется найти пересечение этих множеств. В качестве примера построена игра (п. 2.3.2), где типы игроков распределены па множествах типов равномерно и независимо, а чистыми стратегиями игроков являются линейные функции. Найдено равновесие по Нэшу.

Третья глава диссертационной работы посвящена исследованию многошаговых моделей аукционов с двумя участниками, формализованных позиционными играми с полной и неполной информацией и построению динамически устойчивых РСШЕ-решений.

В §3.1 рассмотрена игра в которой заданы: ро — начальная цена единицы товара.; 9о(0 — количество товара; 91.(0, <Ы0 — спрос; М\{1), Мг(<) — бюджеты покупателей 1 и 2 соответственно на шаге

г (1 = 17Т).

Предполагается, что при каждом I = 1,Т выполнены неравенства: 1) (1),(2) для 9о(0, 91(0, «2(0; 2) ЛШ > Poqi{t), i= 1,2.

Каждый шаг процесса многошаговых торгов аналогичен игре

(3). При переходе от шага t к шагу £ + 1 игроки изменяют свои бюджеты Mi(t + 1) на Mi(t + 1) так, что

t t

Mi(t + 1) = Mi(t + 1) X) 9i(r)/ E г' = ! - 2- (16)

T=1 r=l

Поэтому максимальная пена единицы товара для игрока г на шаге t равна Pi(t) = Мт/qiit), ¿=1,2 (Щ1) = М,(1)).

Предполагается, что после каждого шага игрокам известны лишь итоги аукциона, т.е. кто из игроков купил заявленное количество товара.

Описанный процесс формализован посредством многошаговой игры Гг. Предполагается, что игроки используют на шаге t смешанные стратегии F/ из класса (7). Под стратегией поведения игрока г в игре Гг понимается набор смешанных стратегий F}(Mi(t), M2(t)), определенных для всех возможных позиций (Mi(t), M2(t)), t = 1 ,Т; i = 1,2. Выигрыш игрока г в игре Гт равен сумме выигрышей за все шаги.

Рассмотрена система функциональных уравнений

vf(Ml(l),M2(l)) = vall

(P,(l)-Pi(l))?i(l)+

+üf-1(A/i(2),M2(2)), Pi(l)>P2(l), (P,(l)-Pi(l))(?0(l)-92(1))+

+vf-l(Ml(2),M?(2)), Pi(l)<P2(l),

v¿(Ml(l),M2(l)) = val2

f(P2(l)-P2(l))92(l)+

+v¡~í(M1(2),M2(2)), Pi( 1) < p2(l),

(p2(l)-p2(l))(90(l)-?i(l))+ +v^l(Ml(2),M2(2)), Pi(l)>P2(l),

(17)

где через val¡(Hi) обозначено i-значение v¡(li') одношаговой игры с выигрышами Hi, i — 1,2, т.е. при использовании игроками PONE стратегий F¡{M\_(t), Aí2(¿)), построенных в §.1.3. Под решением

данной системы понимаются наборы таких стратегий поиедения игроков. Решение системы (17) названо PONE-рсшением игры. Здесь vf~l — ¿-значение в подыгре Гг_1, v° = 0.

Теорема 5. В рассматриваемой многошаговой игре ГГ существует единственное PONE решение в стратегиях поведения, определяемых из системы (17). PONE решение динамически устойчиво.

В §3.2 рассмотрен многошаговый процесс продажи однородного товара посредством аукционов с неполной информацией (§2.2) при заданных значениях следующих величин: 5о(0 ~ предложение товара; ро - начальная цена единицы товара; </i(£),<Z2(0 ~~ спрос игроков; 0' = {#¿(0> • ■ ■ ~ множества типов игроков;

Ai = A((?i(]), ^г(1)) _ априорное распределение типов игроков в начале процесса, 0,(1) £ 0-, i — 1,2, í = 1 ,Т.

Игра происходит следующим образом. На каждом шаге t игроки узнают свои типы 0¡(t), реализуемые случайно в соответствии с известным распределением A¡. Затем оба игрока одновременно и независимо назначают свои цены p\(t), p-¿(t) так, что Pi(t) Е [po,ö,'(f)]. Далее аукцион проводится rio правилам описанным в §1.1. Зная итоги аукциона, игроки обновляют свои предположения о типах противника и формируют распределение типов Aí+1 для следующего шага. При этом изменение предположений происходит по правилу:

Ai = A(#i(l),#2(1)), A(+i(0,-(* + 1) - 0¡(i + 1 ),0¡-i(t + 1)) = Aí+1(,(, +1) = + U,*-* + D) =

с,- (ÍJ3-í(t-\- í))

для всех 03-i(t + ]) £ i = 1,2, i = 1,T - 1, где 7,í+1 =

c,f+1(03-,(¿ + 1)) = 7,1+1 + (1 - 7'+1)Ш-(0 = С(01^з-,(0)-

Предполагается, что игроки используют на каждом шаге смешанные байесовские стратегии F¡(-).

Под стратегией поведения игрока i в многошаговой игре Гг понимается отображение, которое ставит в соответствие каждому А() байесовскую смешанную стратегию F¡(-). Выигрыш игрока i в игре Гг равен сумме выигрышей за Т шагов.

Под решением игры Гг понимается равновесие по Нэшу в стратегиях поведения.

Теорема 6. В многошаговой игре Гт существует единственное PONE решение в смешанных стратегиях поведения. PONE решение динамически устойчиво и находится из системы функциональных уравнений

г,п Г(01(1)-р1(1))?1(1) + г)[-1(^), PiU) > Р2(1),

v, (Ai) = valí < „

l (^l(l) -Pl(l))(?o(l) - 92(1)) + ^Г-Ч^'), Ы1)<Р2(1),

vT(\ ) = val + Pi(l)<P2(l).

4 ' ba7l(02(l)-P2(mqo(l)-qi(l)) + v¡-\\'2), pi(l)>p2(l),

где vf — i-значение в Гг, a vali(H{, А) — i-значение одношаговой игры с функциями выигрыша Я; и распределением А.

В п. 3.2.2 для иллюстрации результата теоремы 6 приведен численный пример полного решения двухшаговой игры.

На защиту выносятся следующие результаты диссертационной работы:

— формализация модели многообъектного закрытого аукциона с дискриминирующим ценообразованием и асимметричными участниками в виде бескоалиционных игр п лиц в нормальной форме с полной и неполной информацией;

— исследование свойств и решение биматричной игры;

— исследование свойств и нахождение решения в смешанных стратегиях, построение множества всех равновесий по Нэшу, концепция и нахождение единствеиого PONE решения для непрерывных игр двух лиц с полной и неполной информацией;

— модель сопряженной задачи, доказательство изоморфизма прямой и сопряженной задач и их решений, устойчивое решение сопряженной задачи;

— - исследование свойств модели аукциона с неполной информацией и непрерывными типами игроков для игры двух лиц и решение данной игры для случая равномерно и независимо распределенных типов и чистых стратегий игроков из класса линейных функций;

— модели многошаговых аукционов с полной и неполной информацией и их устойчивые решения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Теоретико-игровая модель прогнозирования рыночной цены готовой продукции. Обогащение руд, 1993, N1-2, с. 64-08. (в соавторстве с Н.А.Зенкевичем)

2. Теоретико-игровая модель формирования устойчивого спроса в условиях несовершенной конкуренции. Обогащение руд, 1994, N2, с. 44-45. (в соавторстве с Н.А.Зенкевичем)

3. Теоретико-игровая модель торгов двух лиц. в сб. "Управляемые системы и приложения", изд. ЯГУ, Якутск, 1994. (в соавторстве с Н.А.Зенкевичем)

4. Теоретико-игровая модель размещения государственных заказов. Тезисы Международного научного конгресса "Народы

содружества независимых государств накануне третьего тысячелетия: реалии и перспективы", т. 2. СПб, 1996.

5. Множество ситуаций равновесия по Нэшу в игре типа аукциона. Вестник Санкт-Петербургского университета, сер. 1, вып. 3 (N15) 1996. стр. 12-18. (в соавторстве с Н.А.Зенкевичем)

6. Л game-theoretic approach to duopolistic market. Abstracts, International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics CSAM'93, St.-Petersburg, 1993. (в соавторстве с Н.А.Зенкевичем)

7. A game-theoretic model of the stable demand establishment. Abstracts, International Conference on Interval and Computer-Algebraic Methods in Science and Engineering "Interval'94", St.-Petersburg, 1994. (в соавторстве с H.А.Зенкевичем)

8. A game-theoretic model of multistage bargaining. Preprint volume, 6th International Symposium on Dynamic Games and Applications. St.-Jovite, Canada, 1994. (в соавторстве с Н.А.Зенкевичем)

9. A game-theoretic, model of bargaining of the divisible good. International Yearbook of Game Theory and Applications, vol.2, Nova Science Publ. N.Y. 1995. (в соавторстве с Н.А.Зенкевичем)

10. Game-theoretic model of an auction with incomplete information. Game theory and economics — N. N. Vorob'ev memorial conferencc. Abstracts. St.-Petersburg, 1996. (в соавторстве с Н.А.Зенкевичем)

11. A game-theoretic model of multistage auction with incomplete information. Preprint volume, 7th International Symposium on Dynamic Games and Applications. Japan, 1996. (в соавторстве с П.Л.Зенкевичем)