Влияние электрон-электронного взаимодействия на транспорт в низкоразмерных электронных системах и наноструктурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

005045179

На правах рукописи и- /

БУРМИСТРОВ Игорь Сергеевич

Влияние электрон-электронного взаимодействия на транспорт в низкоразмерных электронных системах и наноструктурах

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

О Л Г —

0 1 иіАГї 2072

Черноголовка - 2012

005045179

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук С. Н. Артёменко,

доктор физико-математических наук В. Ю. Качоровский,

доктор физико-математических наук А. М. Финкелыитейн.

Ведущая организация Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук.

Защита состоится 28 июня 2012 г. в 11 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д.002.207.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук по адресу: 142432, Московская обл., г. Черноголовка, просп. Академика Семенова, д. 1-А, Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук.

Автореферат разослан_мая 2012 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

П. Г. Гриневич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время имеется большой экспериментальный и теоретический интерес к электронному транспорту к пизкоразмсриых системах (двумерный электронный газ, квантовые проволоки, поверхность трехмерных топологических изоляторов, графеп, металлические одноэлсктроппые транзисторы) и наноструктурах (квантовые тсічс!Ч1ІЬ1(! контакты, кнаптоные точки, углеродны« напотрубки, молекулярные одночлоктроїшьіе транзисторы). Во всех перечисленных системах электроп-электронное взаимодействие оказывает сущ(х:твепное іілпяшіс на электронный транспорт. Межэлектроппое взаимодействие ответственно за янлепие дробного квантового эффекта Холла, определяет температурную зависимость ширины переходов между плато н холлонской проводимости для целочисленного квантового эффекта Холла, приводит к переходу металл-изолятор в двумерных неупо]>ядочеііііь[Х Электре.......

системах и к переходу сверхпроводник-изолятор н тонких неупорядоченных пленках, а также ведёт к появлению па поверхности трёхмерного топологического изолятора критического металлического состояния, ii котором проводимость при нуле; температур остается конечной. Оно же ответственно за нелинейную при малых напряжениях вольт-амперную характеристику н квантовых проволоках и углеродных панотруб-ках, кулоповскую блокаду электронного транспорта в одпоэлектроппых транзисторах и квантовых точках, и явлепне мсзоскоиичеекоп стоуперовекой неустойчивости в квантовых точках нч почти ферромагнитных материалов. Существенную роль межэлек-

трошюе взаимодействие играет и в неравновесном элсктре.....ом транспорте, приводя к

возможности релаксации неравновесной функции распределения.

Несмотря на то, что влияние электрон-электронного взаимодействия на электронный транспорт в пизкоразмсриых системах и наноструктурах интенсивно исследуется с 70-х годов прошлого века, существует большой круг задач, нерешённых до настоящего времени. Это связано как со сложностью теоретического учёта влияния электрон-электронного взаимодействия на транспорт, так и с появлением новых объектов для экспериментальных и теоретических исследований.

Цель работы. Настоящая диссертационная работа преследует следующие цели: 1) построение теоретического описания влияния спиновых и пзосшшовых степеней свободы па переход металл-изолятор в двумерной еилыю-коррелировапмой неупорядоченной электронной системе; 2) исследование влияния электрон-электронного взаимодействия па целочисленный квантовый эффект Холла в двумерной енлыю-коррелпровапиой неупорядоченной электронной системе в сильном магнитном поле, полностью поляризующем электронный спин; 3) построение теории макроскопического зарядового квантования н одноэ.тсктроппом транзисторе; 4) исследование влияния (■ильных спиновых корреляции, связанных с явлением мезоскопичеекой стоуперовекой неустойчивости, па термодинамические и транспортные свойства электронов в кваппь вых точках.

При всём разнообразии, рассмотренных н диссертационной работе задач, нес они связаны между собой тем, что на физику явлений и рассматриваемых электронных системах окапывает сильное влияние электрон-электронное взаимодействие. Именно оно приводит к тем физическим явлениям, которые исследуются в диссертации.

Основные результаты диссертации, выносимые па защиту, сводятся к следующему:

1. Построена теория электронного транспорта в двумерной сильно-коррелироваппой неупорядоченной электронной системе со спиновыми и изоснииовыми степенями свободы, не предполагающая равенство амплитуд взаимодействия между электронами с разными проекциями спина и изоспипа. Показано, что рассмотренный рапсе случай, когда амплитуды взаимодействия совпадают, является неустойчивым относительно малых нарушений этого условия.

2. Построена теории транспорта в двумерной взаимодействующей диухдолиппой неупорядоченной электронной системе I) присутствии междолипного и зееманов-ского расщеплений. Объяснена экспериментально наблюдаемая эволюция темно ратурпой зависимости сопротивления от металлического типа к диэлектрическому типу при увеличении параллельного магнитного поля. Предсказана возможность существования днух максимумов в температурной зависимости сопротивления вблизи перехода металл-изолятор.

3. Построена теория транспортами двумерной взаимодействующей неупорядоченной электронной системы в структурах с двойной квантовой ямой и общими рассей вателями. Объяснено наблюдаемое; Is эксперименте слабое изменение температурной зависимости сопротивления и времени сбоя фазы при сильном уменьшении концентрации электронов в одной из квантовых ям.

4. В двухпетлевом приближении исследован переход металл-изолятор в системе взаимодействующих электронов с полностью поляризованными спинами. Показано, что в случае размерности пространства d — 2 переход металл-изолятор отсутствует.

5. Для случая спип-поляризоваипых электронов построена теории целочисленного квантового эффекта Холла с учетом электрои-э.чектроппого взаимодействия. Проведённые аналитические вычисления подтверждают тот факт, что а) паличне межэлсктропнош взаимодействия не меняет хорошо известное для модели невзаимодействующих электронов объяснение целочисленного квантования хол-ловской проводимости, б) переход между плато в случае короткодействующего электроп-электропиого взаимодействия попадает в тот же класс универсальности, что п модель невзаимодействующих электронов, тогда как в случае кулопов-ского взаимодействия этот квантовый фазовый переход находится в новом классе универсальности по сравнению с моделью невзаимодействующих электронов.

G. С помощью подхода нелинейной сигма-модели исследована температурная зависимость времени сбоя фазы н критической области перехода между плато в режиме целом и ('.леи по го квантового эффекта Холла в спип-поляри ¡она.....>й электронной неупорядоченной системе с короткодействующим межэлектрониым взаимодействием. Показано, что критический индекс, характеризующий степенную зависимость времени сбоя фазы от температуры в критической области нсрехіь да между плато, определяется значением аномальной размерности амплитуды электроп-электроппого взаимодействия в критической точке, соответствующей невзаимодействующим электронам.

7. Для двумерной неупорядоченной электронной системы с кулоповским взаимодействием в пер неї іди кул яр пом магнитном поле, полностью поляризующем спин электрона, построена теория квантовых холловских осцилляции магпетосопро-тивлеипя и теплоёмкости в магнитном поло, связанных с наличием делокализіь ванных состояний. Показано, что при низких температурах зависимость амплитуды квантовых холловских осцилляций от температуры отличается от температурной зависимости амплитуды осцилляций Шубпикова-де Гааза.

8. Для решения проблемы кулоповской блокады в одпоэлсктронпом транзисторе предложена п исследована новая физнчгекая величина, определяющая затво))-пую ёмкость одноэлектронного транзистора, которая отличается от геометрической ёмкости затвора из-за перенормировок, связанных с наличием кулоповского взаимодействия. Показано, что диаграмма диухпарамсггрическот потока (в координатах: иеропормироваииые копдактанс и затворная ёмкость) имеет топологию аналогичную диаграмме потока (в координатах: продольная и холловская проводимости) для целочисленного квантового эффекта Холла. Предсказано целочисленное квантование заряда, соответствующего (иерепормировапной) затворной ёмкости, при нулевой температуре.

9. В рамках нульмерного приближения (модель универсалыют гамильтониана) дія квантовой точки с прямым и ферромагнитным обменным взаимодействиями аналитически решена задача об одновременном учете в спиновой восприимчивости и туннельной плотности состояний зарядовых и спиновых кордх'ляций, зеема-повского расщепления и флуктуаций одночастинних уровнен энергии. Вблизи порога стоуперовской неустойчивости найден широкий интервал температур, в котором явление мсзоскопической стоуперовской неустойчивости проявляется в законе Кюри д ія спиновой восприимчивости с квадратом эффективного спина, логарифмически зависящем от температуры, п в дополнительном немонотонном поведении туннельной плотности состояний как функции энергии.

Научная новизна и достоверность. Все результаты диссертационной работы получены впервые, её выводы обоснованы надежностью применявшихся апалптичгекнх

методов, согласием с: теоретическими результатами, полученными и других работах, и согласием сданными физических и численных экспериментом, ныполпсппых другим» авторами.

Научная и практическая ценность. Развитые в диссертационной работе методы могут быть использованы для описания широкого круга явлений в электронном транспорте в пизкоразмерпых электронных системах и наноструктурах.

Полученные в диссертационной работе одпопстлевые уравнения ренормализациоп-иой группы, описывающие зависимость физических величин (проводимости, спиновой восприимчивости, изосиииовой восприимчивости) от размера системы при пулевой температуре в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе со спиновыми и изосниновыми степенями свободы и не предполагающие равенство амплитуд мсжэлектропного взаимодействия, существенно оботщают теорию переходов металл-изолятор. Применение полученных уравнений ренормализациоипой группы к конкретным двумерным электронным системам с дополнительными изосниновыми степенями свободы позволяет объяснить ряд экспериментальных наблюдении в электронном транспорте и сделать предсказание о новом интересном поведении сопротивления при понижении температуры, требующее экспериментальной проверки.

Развитый в диссертационной работа метод получения пенертурбативпых уравнений реиормализациоппой группы, описывающих д.'!я случая взаимодействующих спии-поляризоваипых электронов зависимость диссипативпои и холл опекой проводимости, а также амплитуды взаимодействии от размера систем и и магнитного поля при нулевой температуре, является в настоящее время единственным способом учесть одновременно перенормировку проводимости за счёт электрон-электронного взаимодействия и орбитального влияния магнитного поля. В дальнейшем этот метод может быть применён для изучения вопроса о наблюдаемом экспериментально «существовании перехода металл-изолятор в пулевом магнитном поле и целочисленного квантового эффекта Холла. Развитый в диссертационной работе метод вычисления пепертурбативных уравнений репормализационной группы может быть применён и для вычисления пенертурбативпых поправок к физическим наблюдаемым в иеабелевых калибровочных теориях поля.

Построенная в диссертационной работе теория квантовых холловскнх осцилляции магпетопронодимости и теплоёмкости, учитывающая влияние мсжэлектропного взаимодействия, будет способствовать постановке экспериментов по изучению всплывапия делокализованных состояний над уровнем химического потенциала и квантования хол-ловской проводимости в слабых магнитных полях.

Предсказываемое в диссертационной работе; целочисленное квантование в пределе нулевой температуры новой физической величины, соответствующей затворной ёмкости одноэлектроииого транзиеггора с большим числом туннельных каналов, имеет фундаментальное значение; и существенно обогащает теорию кулоновской блокады в

одшн.'юктршшых устройствах. Полученным результат покачивает сущмггвешннне тесном свячи между теорией целичисле........ кпамтоного эффежта Холла м тее>рией эле'к-

т])оммого транспорта п одиоэлектронпых уетрешствах.

Полученные н диссертационном рабепе; результаты для темнещтурнон зависимости сминоной восприимчивости и туннельной плотности состояний, учитывающие наличие зарядовых м спиновых корреляций. чсомаповского расщепления и флуктуации одпоча-стпчпых уровней энергии, показывают, что в квантовых точках ич почти ферромагнитных материален янление мсчосконической стоумеровской Ме\стойчш!остм можно 4kcmcv риментально исследовать при достаточно высоких температурах.

Апробация работы. Основные результаты, представленные и диссертации, докладывались п обсуждались на международных конференциях ''Flux, Char»', Topology, and Statistics" (Амстердам, Нидерланды, 2003), "Mesoscopic and Strongly Correlated Electron Systems" (Черноголовка, 2003, 2009), "Strongly Correlated Phenomena in Quantum Field Theory, Nanophysies and Hydrodynamics" (Триест, Итачия, 200C), ''Symposium oil Theoretical and Mathematical Physics" (Санкт-Петербург, 2007, 2009, 2011), "Correlated Electron Systems in High Magnetic Fields" (Дрезден, Германия, 2008), "Fundamentals of Electronic Nanosystems" (Санкт-Петербург, 2008, 2010), ''Landau-Wi'izmann Workshop on Theoretical Physics" (Реховот, Израиль, 2008). "Localization Phenomena in Novel Phases of Condensed Matter" (Триест. Италия, 2010), "XLVI Pramtres de Moriond" (Ла Туилль, Италия, 2011), ''Fundamental Problems of High Temperature Superconductivity" (Звенигород, 2011), международной конференции н честь 100-летия Л. Д. Лаида.у "Advances ill Theoretical Physics" (Черноголовка, 2008), на конференциях "Landau Days" (Черноголовка, 2003, 2005, 2000, 2009, 2010. 2011), "34-е Всероссийское совещание по физике! шпкнх температур"' (Сочи, 2000), "Сильно коррелированные электронные системы и квантовые критические явления" (Троицк, 200G, 2008, 2009, 2010, 2011), "VIII всероссийская конференция по физике полупроводников' (Екатеринбург, 2007), "Всероссийская школа молодых учёных Микро-, паиотехпологип и их применения" (Черноголовка, 2008, 2010), "35-е Всероссийское совещание по физике шпких температур"' (Черноголовка, 2009), "Уральская зимняя школа по физике полупроводников" (Екатеринбург, 2010, 2012), па семинарах в ИТФ РАН. ФИАН РАН, ИФТТ РАН, ИЯИ РАН, ИФВД РАН, ФТИ РАН, ИТЭФ, НИЦ "Курчатовский Иисч итут", НИТУ МИСиС, в упив('1>-

сптстах Mi........... (США), Карлсруэ (Германия), Кёльна (Германия), в университете

Беп-Гурнона (Беер-Шсва, Израиль), в университете Ба]>-11лан (Тель-Авив, Ичрапль), в университете Аалто (Хельсинки, Финляндия), в исследовательском центре Карлсруэ (Германия) и в международном центре теоретичечжой физики (Триест, Италия).

Представленные в диссертационной работе результаты были получены при финансеь вон ш>;1де-ржке: РФФИ (гранты 0Э-02-92474-МНКС_а, 11-02-92470-МНТИ_а), совета по грантам при Президенте РФ (гранты MK-1G17.2005.2, МК-4445.2007.2, МК-125.2009.2, MK-29G.2011.2), ФЦП "Научные и педагогические^ кадры Ре>сеии"(ге>е-кештракт TO2G от

20 мая 2010 г.), РАН (программы ''Квантовая физика копдеиещюваппых срсд"и "Основы напотехпологий и наноматериалов") и фонда Династия.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 2002 -2011 годах в 14 научных работах, список которых приводится в конце реферата.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, четырёх приложений, заключения, списка публикаций и списка литературы.

Содержание работы

Во введении обрисовано современное состояние финики электронного транспорта в пнзкоразмерных электронных системах и наноструктурах, обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы, обоснованы повинна и практическая ценность полученных результатов. Здесь же раскрыто содержание диссертации но главам.

Первая глава посвящена изучению влияния спиновых и изосшшовых степеней свободы па переход моталл-ичолитор в двумерной силыю-коррелировапной неупорядоченной электронной системе.

Во введении к первой главе (раздел 1.1) делается обзор основных теоретических и экспериментальных результатов о переходе металл-изолятор и электронном транспорте! в двумерной неупорядоченной электронной системе и формулируются задачи, решаемые в первой главе.

В разделе 1.2 рассматривается нелинейная сигма-модель для взаимодействующей электронной системы со спиновыми и изоспиповыми степеням и свободы и в рамках однопетлевого приближения выводятся уравнения репормализациопной группы, описывающие зависимость физических наблюдаемых (проводимости, спиновой и изоспи-повой восприимчивости) от размера системы при пулевой температуре Т = 0. Хорошо известно [1, 2, 3|, что при низких температурах ТУ,,- -С 1, где; т(1 транспортное время упрутго рассеяния, эффективное описание неупорядоченной электронной жидкости производится с помощью нелинейной сш ын-ыпдслп. которая учитывает взаимеь действие низкоэнсргетическнх мод (диффузопов и куперопов) с энергиями |е| < 1/г|г. Нелинейная сигма-модель является теорией матричного ноля (¿"¡¡¡(г), подчиняющегося условиям (/2(г) = 1 и (¿(г) = <7ЧГ)- Целые числа а,/1 = 1,2,..., -/V,. обозначают репличные индексы, а целые числа 7/1, п соответствуют мацубаровским энергиям еи = 7гТ(2л + 1). Так как в одшшетленом приближении к.уперопы и диффузопы не взаимодействуют, то в разделе 1.2 нелинейная сигма-модель сформулирована для случая, когда купероны и взаимодействие в куперовском канале можно не учитывать, а является матрицей 4x4, действующей в спиновом и изоспиповом пространствах.

Действие нелинейной сигма-модели имеет [¡ид (неч: ранен ехр(—S)) S = -f<lr ^ niVQ)'2 + ~ r„„tr/;;/„,,Q(r)tr /:•„/„,,СЛг)-47г7Мг7,(д-|\)

Здесь (Т.„ = 47Г (!) кочффициепт диффузии) представляет еоГ)(|Й ДруДО|!СКую проводимость н (единицах г'2/Ь и предполагается большой но сранненпю с едипнцей: <т,,с » 1. Термодинамическая плотность состояний = »н,/тг определяется чффек-тивпой массой гл., которая учитывает ферми-жндкостиые перенормировки. Симиол (г обозначает след по репличным, мацубаровским, спишшым и изоепнповым индексам. Матрицы !„/, = Та®<ть («, 1> = о, 1,2,3) янляютея генераторами группы Д7/(4). Матрицы Паули т"„, и = 0,1,2,3, действуют в изосниповом пространстве, а матрицы Паули <т(,, Ь = 0,1,2,3, действуют п спиновом пространствен Величины Г„,, обозначают амплитуды члектрон-члектропного взаимодействия и предполагаются ¡шличиьши. Параметр г определяется термодинамической плотностью состояний: г = ти'„Ц. Хорошо известно |2|, что физический смысл параметра г состоит в том, что его перепормированпое значение определяет температурную зависимость тенлоёмкехггн. Амлитуды взаимодействия Г„|, связаны со стандартными ферми-жидкостпьн*.....араметрами взаимодействия

I7,,!,- г„,, = —гР„1,/( 1 + Г„1,). Матрицы Л. 7/ и определены следующим образом:

(12): =

С помощью процедуры фонового ноля и вычисления одпопстлевых поправок к физическим наблюдаемым в размерности <1 = 2 найдены следующие одионетлевые уравнения ренормализацшшпоп группы, определяющие поведение! физических наблюдаемых с изменением масштаба при Т = 0:

<1<Гхх

2+]Т/(Г„„/;)

/(■'О

1 ' ' Ч'П • •'•>

£ = ..... еЙ=г/ = 7«1> (UlW,/]). ,y = lu L/1

+ Г„, + Г„,

(2)

Здсчъ I длппа свободного пробега, а значения величин <тгг, Г,,;, и г при ц = 0 определяются соответствующими параметрами действия (1). Символ кр обозначает след по спиновым и изоспиловым степеням свободы. Уравнения (2) обобщают известные результаты |4| для случая члектроппой системы со спиновыми и пзоспиновымп степенями свободы на случай разных параметров взаимодействия Г,,/,. Согласно этим уравнениям рассматриваемая ранее ситуация, когда совпадают все Г„(, кроме Г|ю, оказывается неустойчивой. Ситуации, когда значения амплитуд Г„,, различны, действительно реализуются в члектронпых системах со спиновыми и изосниповыми степенями свободы.

При этом но сравнению со стандартной ситуацией, ко ['да всю Г„ь кроме Гц» одинаковы, возникает ряд новых эффектов. Температурное поведение физических наблюдаемых может быть найдено из интегрировании репормгруииоиых уравнений (2) до масштаба, определяемого температурой.

В разделе 1.3 общие результаты (2) применены к описанию зависимости сопротивлении, спиновой и долинной восприимчивости от температуры в двумерной электронной системе в кремниевых металл-оксид-полупроводник структурах |5| с высокой подвижностью носителей в параллельном магнитном поле И, создающим зееманов-ское расщепление Д., = уц1цН. Здесь щ, и /,,( обозначают ,/-фактор и магнетон Бора, соответственно. Хорошо извести» |С, 7|, что в рассматриваемой двухдолшшой электронной системе существуют конечное меж долинное расщепление Д„ и конечное время рассеяния между долинами т„, при этом выполняются следующие соотношения т-\т~1 <?. Д„ <С Г,;1, где т,„ - время спиновой релаксации за счет епип-орбиталыюго взаимодействия. В дальнейшем предполагается, что зсемапоиское расщепление и температура удовлетворяют аналогичным неравенствам: т~,1,т~1 -С Д,,Т -С г,7', причём для определённости считается, что Д„ Да.

На малых масштабах L < /,, < L,„ где L.,„ = i/rr.„/(lGz(l + 7,)Д.,,„) рассмат-рпваемаи двумерная система описывается действием (1), в котором Гш = —г (как следствие наличия кулоповского взаимодействия), а все остальные амплитуды одинаковы: Г„,, = 7iZ. На промежуточных масштабах L, <К L <С //„, во-первых, моды Q„b = 4>[/„bQ]/4 е Ь = 1,2 становятся массивными и не приводит к логарифмическим расходимостям, а во-вторых, амплитуды взаимодействия могут быть различными, так как наличие сильного зеемаиовского расщепления даёт возможность различать взаимодействие электронов с одной и той же проекцией спина и электронен с разными проекциям и спина. В частности, амплитуда Г0:! — 7 ,2 может отличаться от амплитуд Г„, = Г„:( = 7tz, где íi. = 1,2,3. Для этого случая, из общих уравнений (2) получаются следующие одиопетелеиые уравнении ренормализацпопной группы на промежуточных масштабах Ls -С L -< L„\

^ = -I [2 + 1 + 0/(7,) + /(7,)], ^ = ^(1 + 2Tl - 7i)i «У к <1Ц /о-,

<lñ, 1 + 7, /1 r - > 'Пнг 1 U

~Г = -(1-07,-7,). —Г" =--(1-07,-7,).

ац 7ггг,.,. IIIJ 7ггт,.

Здесь с логарифмической точностью у = hiL/L,. Естественно считать, что в начале значения 7', и 7, одинаковы: 7,(0) — 7,(0). Как видно из Рис. 1а, на котором предепшлен репормгрупповой поток в координатах (7,, 7,), линия 7, = 7, оказывается неустойчивой. При больших значениях у параметр 7, растёт, тогда как 7, стремится к —1. Как показано па Рис. 16, возможно два различных типа поведении сопротивлении /, = \¡ixaxx как функции масштаба /,. Вдоль кривой а (см. Рис. 1а), которая не пересекает кривую отвечающую уравнению 2 + 1 + 0/(7,) + /(7,) = 0, сопротивлением имеет зависимость металлического типа: /> монотонно уменьшается п])и увеличении у. Если двигаться

Рис. 1: а) Проекция рсвормгруппового потока (3) к трёхмерном просіранстве (<t„,7i>7í) "а плоскость (7,, 7,). Пунктирная кривая d определяется уріпшеїшем 2 + 1 + (jf(fi) + f(ji) = (). Штриховая линия е. соответствует уііанпеввіо 7, = 7,. f>) Зависимость сопротивления р = <"• У- Начальные условия соответствуют пересечению кривых я, I/, и с с линией с (точки А') на Рис. 1а. в) Проекция репормгрушювого потока (4) в трёхмерном пространстве (<b.r,7í,7i) па плоскость (71,7,). Примам линия а чадпетея уравнением 27, + 7, = 1.

вдоль кривых Ь или с, которые нсрсч-скают кривую іі один раз, сон1)отив.чєннс lipoxo-дит через максимум. Во всех случаях поведение сопротивления па больших масштабах имеет металлический тин. В продело у —> ОС электроны с разными проекциями спина становятся соверше.....> независимыми, и уравнении (3) превращаются в уравнении

для однодолшшой электронной системы с проводимостью равной arrJ2. Хорошо известно [1|, что в такой ситуации однопетлевыс уравнении ренормгруппы приводят к металлическому поведению сопротивления.

Из восьми мод Q„i, с а = 0, 1. 2,3 и h = 0, 3, которые были безмассовымн на промежуточных масштабах І,, <К I, -С Л„, па больших масштабах L, -С í,„ < L безмассовыми остаются только четырем Qm,Qm,Q:m и Q:и- Таким обрачом, на этих масштабах действие нелинейной сигма-модели определяется выражением (1) с матрицей Q, имеющей вид Q = t,_u ^l„i,(¿ii,- Наличие сильных зеемановского и междолинного расщеплений даёт возможность различать взаимодействие электронов с одинаковыми и разными проекциями спина и изоспипа. При этом, амплитуда Г(>й = —z, а три другие амплитуды Ги:1,Г:|(| и Г-и, могут быть нее различные. Однако, так как амплитуды Гц» и совпадающие на масштабах /, < L„, на больших масштабах нерснормируются одинаковым образом, то естественно считать их равными: Гщ, = Г3:! = 7,г. Таким образом, па масштабах L 3> L„ 3> общие выражения (2) приводят к следующим одпопстелсвым уравнениям реиорма.чизационной группы (// = 1п L/Ij„):

^ = [2 + 1 + 2/(71) + /(7,)], ^ = - 27í - 7,),

її И л ііц л<т.гг

<'77 1+71^ „ .. dhiz 1

~7~ = —:—(! - 27Í - 7í). —J— =--1-27,-7,.

".'/ ІІЦ 7Г(Тгг

(4)

Ренормгрушювой поток, соответствующий уравнениям (4), на плоскости (7,, 7,) псь казан па Рис. їв. Существует липня фиксированных точек, описываемая уравнением

Рис. 2: Схематическая заиисимек-ть сешротиилепии р от Т в случае а) пулевого зеемаповского рапцеплснин, б) As < Д„. в) гилг.ппго магнитного ноля: Д,м rJ'm.!x < Д.ч, iyi.c 1'пИх - наибольшая из температур, при которой сопротивление в случае Д, = 0 имесг максимум.

27i + 7i = 1. Линии ренормгруппового потока в плоскости (jt,ji) представляют собой прямые, описываемые уравнениями: (1 + 7t)/(l + 71) — const. Если мри у = 0 значение параметров 7, и -yt не велико, то сопротивление будет монотонно увеличиваться при увеличении у, т.е. зависимость р(у) будет диэлектрического типа.

При наличии междолнпного и зеемаиовского расщеплений разнообразные случаи зависимости сопротивления от температуры, следующие из уравнений (3) и (4), приведены па Рис. 2. В частности, наличие как междолиппого так и зеемаиовского расщеплений приводит к изменению температурной зависимости сощютивления при низких температурах (больших 1 /г„) с металлической па диэлектрическую в полном согласии с имеющимися экспериментальными данными. Также учёт того, что амплитуды 7, и 7; перенормируются по-разному, приводит к возможности существования двух максимумов в температурной зависимости сощютивления.

В разделе 1.4 общие; результаты (2) пепользовапы для описания зависимости сопротивления от температуры в двумерной электронной системе с двумя почти идентичными квантовыми ямами и с общими расееивателямн. Такая система была недавно реализована и подробно исследована экспериментально ¡8, 9]. Наиболее интересен случай баланса, когда концентрации и подвижности электронов в обоих квантовых ямах совпадают. Этот случай сравнивается со (мучаем, когда одна из квантовых ям полностью обеднена электронами. Предполагается, что выполнены следующие соотношения 1/г|-_, Д.,, As,\s СТС 1/т"1г, где 1/г| _ время упругого рассеянии между симметричным и антисимметричным состояниями в структуре: е: ш>чти идентичными кваптешы-ми ямами, a A.s-.i.s- ~ расщепление между энергиями этих сеютояпий. В рассматриваемом случае электронная система ешпсываеггсн ислипе:йне)й сигма-моделью (1), в кегго-реш амплитуды взаимодействии устроены следующим образом (Ь = 1,2,3): Гц» = —г, Ги,1 = Г,,,, = 7,2, Га,» = Г27, = Г;1,о = Г.,,/, = 7,,z и Гц) = 7,2. Значения этих амплитуд па маетитабе; порядка длины свободного пробега онре^делнютсн расстоянием между ямами, эле'ктренпюй концентрацией и длиной статическом экранировки.

Из общих уравнений (2) получаются следующие одпопстелсиыс уравнения peneip-малнзациошюй группы, ешпеъшающие поведение двумерной элсктреиптй системы с

днуми почти идентичными квантовыми ямами и с общими расссинателями: ^ = - ^ [2 + 1 + /(,,) + 0/Ы + 8/(7.)]■ ^ = ^ [1 - 7. + + ,

<1ц 7гет.„ I " " 1 + 7„.

С7, - 7, + 8т„ + Ю7„ 7*~7"1, (5)

» А « ¡1 т и I, Т 1и /„ —-

(¡я 7Т(7.,,Г I 1+7.»

= ¿Г,11 + 7' + 7" - + + • ^ = ^ [V+ 07, + 87,, - :] •

Согласно уравнениям (5) двумерная поверхность 7, = 7„ = 7, является инвариантной относительно ренормализацие.....ой группы. Эта поверхшхпъ соответствует случаю совпадающих квантовых ям, а уравнения (5) полностью эквивалентны уравнениям для электронной жидкости с двумя долинами. Однако, эта поверхность неустойчива: небольшое различие в начальных значениях амплитуд взаимодействии, например, из-за конечного расстояния между ямами, увеличивается в процессе потока репормализаци-онной группы. Во-вторых, ренормгрупповой поток сохраняет двумерную поверхность 7" = "1 7» = —1, которая является устойчивой. Эта поверхность реализуется в пределе двух бесконечно удалённых квантовых ям. Кроме этого, имеются ещё интересные дополнительные особенности потока. Например, сохраняется двумерная поверхность 7/ — 7« = —1- Также в рамках одпопетлевого приближения сохраняется линия 7, = —1, 7» = —1/2, 7! = —1/3. К сожалению, последние две особенности потока нельзя наблюдать в двойной квантовой яме. Действительно, начальные значения параметров 7,, 7,, и 7, удовлетворяют неравенствам 7,(0) > 7„(0) ^ 0 и 7,(0) > 7,(0). В п1>оцессе потока ренормализациоппой группы эти условия сохраняются, причём 7, возрастает. В про дело !/ —> оо амплитуда 7,, обращается в нуль, у, стремится к —1, а 7, неограниченно возрастает, т.с;, система становится эквивалентна двум независимым квантовым ямам. Зависимость агж от температуры всегда пмсегг металлический характер. Наличие трёх разных амплитуд электрон-электронного взаимодействия 7у, 7,, и 7, позволило объяснить наблюдаемое! в эксперименте; [8. 9] слабое; изменение температурной зависимости сопротивления и времени сбоя фазы при сильном обеднении электронами одной из квантовых ям.

В разделе 1.5 изучается переход Андерсона в беч-спниовой неупорядоченной электронной системе;. Физичееки такая ситуация реализуеггея в однодо.-п.....ой электронной

системе в присутствии достаточно сильных магнитных примеегй или сильного магнитного поля, полностью поляризующего спины электронов. В размерности с/ = 2, хорошо известные; одпопет.юные; уравнения ренормализациоипой группы |2| предсказывают в случае; ку.топовскот взаимодействия температурную зависимость сопротивлении диэлектрического типа. Этот факт' указывает па вероятное отсутствие перехода металл-изолятор в бесспиповон электронной системе;. Для п]>ове;ркн этой гипотезы в диссертации с помощью нелинейной сигма-модели вычисляется поправка к проводимое;™ бее;е:питговых электронов в следующем порядке по малому безразмерному параметру 1 /кр1. Найделпюе в двухнотлевом приближении уравпе;пие; ренормалпзацшшной

группы для проводимости имеет вид:

<1л,,г 2 ч.

(Іу 7Г 47Г2(Т.г.г '

где у = І11 IJ/l, а чиелеппая константа а-2 раина

«2 = 50 + і-37г2 + уС(3) + Ю1п22-441н2 + у1іі2 + ЮС +

+ ^ + у I»2 2 - ^ I"4 2 - 7С(3) 1п2 — 811,(1/2) « 1.64.

Здесь Є « 0.910 - постоянная Каталапа, £(:і:) дзета-функция Римана, и 1і„(.т) = ^А'"- Также как в случае! невзаимодействующих электронов, для электронов с кулоповским взаимодействием петлевые поправки в уравнение ренормализациоиной группы отрицательные. Это даёт основание считать, что для взаимодействующих бес-спиповых электронов переход металл-изолятор в размерности (I = 2 отсутствует и электронная система становится локализованной на больших масштабах. При этом, кулоновскоо взаимодействие усиливает локализацию.

Ве> второй главе исследуется влияние; электрон-электронного взаимодействии па це> ле>чне:лечшый кваптеншіп эфе^е'К'Г Хе>лла.

Ве> введении ко второй главе! (раздел 2.1) делаїітея оґізо]» основных теоретических и экспс]>нмепталы1ых результатов дли электреннюго транспорта в режиме целеічислеп-пе)ге) кваптеївоге) эффе!кта Холла и ставится задачи, решаемые ве> второй главе!.

В разделе 2.2 рассматривается нелинейная сигма-модель с тешо.юпеюским членом, котораи описывает двумерную взанмодейсп'вующую электронную систему в сильном, нолиризующем СІІИІІ, НСрпСНДИКуЛярНОМ магнитном ІЮЛЄ!. С уЧСТОМ наличия МСЖЧЛЄК-тронного взаимодействии вычисляются пепе'ртурбатпнпые: (инстантонные) вклады в завиечімекть диеччпіативіюй и хе)лле)ве"ке)и проводимости е>т разме!ра е:исте!мы при пулевой температуре.

В рассматривае'меш случае нелинейная е:игма-ме>де!ль имемт вид ¡1()|:

§ = І ,Єг »г(уд)2 + 2тгтгуе[(1] - ттТГт | <12г П' Г'С^г) И Г„д(г)+

+4тгТг J і[2гіт7І(}-СітТЇ ^ і/2гПг/Л. (7)

В от.шчпн е)Т действия (1) коэффпцпе!нт в члене с <т„ бе)лыпе! в 2 х 2 = 4 раза, где: одна двойка соответствуем ечпшу, а другая две>йка изоспипу. Символ їг е>бе)зпачае!т е:;к;д ію речілпчиьім и мацубаре>ве:ким ипде!ке-ам, а эле:ме:нт матрицы (¿'¡ї'и1 не! нмечїт деню.і-ІІНТЄ!ЛЬПЄ)Й МатрИЧІЮЙ еірукгурьі. Хороню известно |11|, ЧТО ИМЄ!ПНЄ) паличне: сильного

перпендикулярного магнитного поля приводит к появлению в (7) слагаемого, пропорционального холловской проводимости <т,„ и топологическому заряду

e[Q] = i'2rti E„,,gv„gv(,g = ^ глтуд-

Q = 7~lA.7. (8)

Здесь c„i, = —€i,„ - антисимметричный тензор второго ранга, ají = :г,/у. Можно показать, что если матрица Q па границе принимает одно и то же значение, например, ^Iп[до~ то равно целому числу. Вообще i-опори, граничные условия на матрицу Q в действии (7) не требуют постоянства Q на границе. Однако известно |12|, что для вычисления зависимости физических наблюдаемых от размера системы нужно рассматривать матрицы Q, ............. вдоль 1'1)аппцы. Тогда автоматически они зависят

только от дробной части 0 холловской проводимости, определённой как а„, = к + 0/2тт, где к целое число и — 7г < 0 ^ тт.

Хорошо известно (11|, '[Т(> су[Iк'■("II'.укri' решения классических уравнении движения для действия (7) с ненулевым значением топологич<ч'кого за]ыда C[Q], Эти решения являются ппстаптопамн Белавппа-Полякова для (7(3) пелнпейпой сш'ма-модели, помещенными в матрицу большего размера. Проведённый в диссертации нпстннтонпый анализ в регуляризации Паули-Вилларса для корреляционных функций, определяющих физические наблюдаемые, показывает, что при гтгг » 1 зависимость продольной {"'.,■,) 11 холловской (гг'п1) проводнмоетей, а также фпзичссжой наблюдаемой z', опро-деляющей теп/юёмкость, от размера системы L при Т = 0 описывается следующими уравнениями [ц = 1и L/1):

<1ц

ъ

-»eos«, = .

di/

'cosfl

'sin О,

(9)

Здесь 7, = Г,к,/г, а функции Dft.) и 1)1(7,) определены как

П(Ъ) = Юттехр jl - 47K[l - (1 + 7,"1) 1н(1 + 7,)] + 2(1 + 7;1)

2Ц 1н 2 " 1 + 27,

+

+ [Ф (3 + 7.Г1) + Ф (-7.Г1) " 1] lu(l + 7.) + И ("1 - 7Г') " !) (-7Г1)

27»

--1н(1 + 7,)

7»

./о

(1-х)-2-"',

где </(г) = 2 .ffi-ti)- «7м 0.577 обозначает носп»....... Эйле])а. Зависимость

функций 1)(у,) и !).,(7,) от 7., показана па Рис. За. Подчеркнём, что в правых частях уравнений (9) зависимость ít.„, 7, и 2 от ц определяется пертурбативпыми уравнениями ренормализационпой группы, которые обсуждались в ]>азделе 1.5, а 0 от ц не зависит.

а

-1.0

5

•0Л~ -ОН -0.4 -оУ -Г.

0.0

Г.)

"1

Рис. 3: а) Функции -/.,) (сплошная кривая) и £>7(7.,) (пунктирная кривая). Г>) Схематическая диаграмма, иллюстрирующая зависимость фнзичеч-ких наблюдаемых (т'гг, а'гу — к \ II'/2к и 73 от размера систсмел Ь. Стрелки указывают направление увеличения масиггаба Ь.

Начальные условия дтя уравнений (9) имеют вид: гг'.г(0) = гт,.г(0) = (т.гг, 0'(О) = (К и

У1>авнепия (9) показывают, что механизм появления зависим«:-™ физических наблюдаемых от 0-угла в нелинейной сигма-модели с топологическим членом не зависит от наличия межэ.тсктроппот взаимодействия, несмотря па то, что взаимодействие меняет поведение наблюдаемых п])!! увеличении размера системы. Как видно из уравнении (9), при всех значениях гг„ и 7., , <ч:ть дна выделенных значения 0-уг.ча: 0 = 0 и 0 = 7Г, при которых 0' пе зависит от ІJ и равна 0. При —ж < 0 < к физическая наблюдаемая (У уменьшается, стремясь к пулевому значению. Это согласуется с общими ожиданиями, что в пределе Л —» ос физическая наблюдаемая (У стремится к пулю, а холловская проводимость & стремится к целому значению.

В разделе 2.3 результаты ипстаитониого анализа предыдущего раздела применяются для изучения влияния электрон-электронного взаимодействия па ширину критической области (при конечном размере системы или непулевой температуре?) при переходе между плато в режиме целочисленного квантового эффекта Холла. Для того, чтобы использовать стандартные методы анализа уравнений реиормалпзациоппой группы, величины <тгх, 0, г и 7, в правых частях уравнений (9), заменены па физические наблюдаемые <т'.г,й', г' и 7^ = Г[,„/г'. Получившиеся уравнения

имеют вид характерный для уравнений рспормализационной группы. Несмотря на то,

У(0) = 2(0) = г.

/¡гг' ">

-У* =/«"',.,.,'Л 7.:) = --/(7',) - Щ7>?,Х'-2д'т"

(ii/ 7г

'Ш- =()„(„'„,(/, 7',) = /Г2""'" ыиО', "У

(У, 71) = -(1+7:ь: (-V-+<™ 'Л,

ац \ 7Г а'ГС /

2 л-ст[

(10)

что сделанная замена arrJ),z п 7, на <т'„, 0'. и 7^ в правых частях уравнений (9) справедлива с той точностью, с которой они были получены, уравнения (10) и (9) принципиально отличаются. При значении 0' = тг инстантопиый вклад в первом из уравнений (10) является антплокализующим. Это указывает на то, что при (У — п непертурбатшшыо вклады могут привести к тому, что при /. —► эо диссипатшшая проводимость гт'.г будет стремиться к конечному значению при нолуцелом значении холловской проводимости гт'.,(. Для проверки того, насколько оправдано включение непертурбатиипых (инстаптоппых) вкладов в уравнения рспормализационной группы требуется вычисление двухиистаптоппых вкладов в фнзнчгекие наблюдаемые.

Уравнения (10) имеют две фиксированные точки: устойчивую (относительно направления 7J) при 7^ = 0, что соответствует случаю невзаимодействующих электронов, и неустойчивую при — —1, соответствующую случаю кулоновского взаимодействия. Интервал —1 < 7^ ^ 0 контролируется фикси1)оватпюй точкой при 7^ = 0. При 7^ = О 11 7Î = —1 вдоль линии (У = 0 сшятат при А, —» оо стремится к локализации: <т'гг уменьшается 111>• 1 .увеличении L. Поэтому можно ожидать существовании фиксированной точки при (У — п'гг = 0, которая описывает локализованную электронную систему с целочислсппо квантованной холловской проводимостью. На .'пиши (У — тт псрт.урба-тивный (с учётом следующих порядков петлевого разложения) и ипстаитоиный вклады имеют разные знаки, что может привести к появлению неустойчивой критической точки при конечном значении гт'гг = ст*г. При —я < (У < п физичечжая наблюдаемая (У уменьшается, ст]>емисъ к нулевому значению. Неустойчивая критическая точка при 0 = тг и (т'гг = <т*х отвечает квантовому фазовому переходу между двумя состояниями с целочислепно-кнантовапными значениями холловской проводимости. Ширина квантовой критической области (перехода между плато) определяется критическими индексами, которые вычисляются стандартным образом по значениям бета-функций (правых частей уравнений (10)) и их производных в критической точке.

Таким образом, учёт неиертурбативпых вкладов в физические наблюдаемые показывает, что для электронов, с полностью поляризованными спинами, взаимодействие не меняет топологию диаграммы потока, как показано па Рис. 36.

В разделе 2.4 изучается температурная зависимость времени сбоя фазы па переходе между плато в случае короткодействующего межэлектронпого взаимодействия. Несмотря па то, что основной целью этого раздела является изучение целочисленного кнаптоиош эффекта Холла, большая часть результатов относится и к переходам Андерсона с нарушенной симметрией относительно обращения вымени в размерностях il > 2. Рассматривается межэлектронпое взаимодействие, которое имеет следующее поведение па малых и больших расстояниях (А > </):

■С-

"(«) = ".. Г' х И<<"' (11)

Вычисление н духе золотого правила Ферми показывает, что температурное поведение

Таблица 1: Выражении дня индексом 0 и С2 в уравнении (13). Здесь = иии{2/(2-(/, 2А-3(/}.

(/ < А <(1 + 11-2 А = (1 + /12 + /'2 < А

а > ас С, = -1 + 2А/Л .0 = 1 + 2/»г/</ 0 = 1 + 2/(2/<1 (2 = 0 С2 = 2 = 0

!У = (Уг 0 = -1 + 2А/г/ 0 = 1 + 2/<2 /Л 0 = 1 + 2/'2/'/ Са = 1 С2 = 3 С, = 1

—(1 < п < (\г 0 = 2 + г*/(г 0=2 + (>/(/ 0 = 2 + ч/Л С2 = () 0 = 0 С2 = 0

времени сбоя фаны Тф зависит от двух индексов /;2 и а, определяющих скейлииговое поведение усреднённых по беспорядку корреляционных функций с четырьмя (ЗС1) и восьмью (ЭС2) волновыми функциями, соответствен но:

ЭС^Гь^, Е,и) = ^ £ + Ш - .„М(Я - ,.,<)) ,

„ц

Х,({г,Ь = ®,^(г1,г2)3л7(г1,г2)В;л(»-з,г-4)2^(гз,г4)х

X Л(/7 - („)Л'(с' + и - - (у)6(£ + ш-(6)У

(12)

Здсчгь, Л' — 1/ ]>,I,'1 среднее расстояние; между точными уровнями энергии е,, для невзаимодействующих чле'ктршюв в данном случайном потенциале, Ъ„р(г1, Гг) = Фп(г1)Ф^{г2) ~ Фч(г2)^(^1)1 ['Де Ф<ЛГ) обозначают точные; волновые; функции, е:ое>т-веггетвующие энергиям <„. В случае; « > —е/, темп сбоя фазы име;ет вид

- ос Т1:

Тф

(13)

где и(а) = и^и^а!1, ультрафиолет! ты и масштаб энергий 7п — а значения индек-

сом £1 к £2 приведены и таблице 1. Для —<1 нахождение Тф должно производиться самосогласовано, что приводит к следующему выражению

1 ГТа'2((0|1и»(")|,

Ч * \Г0 [Ги2(а)/7;Г'/" , г* < -г/.

(14)

В подходе нелинейной сигма-модели корреляционные функции И ОС-2 могут быть представлены в виде средних от линейной комбинации собственных относительно ре-пормаличациопной группы операторов /'[У], являющихся полиномами четвертой и вто-

рой степени от матрицы Q: ЭС[ = {К?>2/ 1){I\,\[Q\) и

IG

4/V2 __AN'1 + 8N + 3 ,

4N2(N2 — l)'2 2l GN*(N + 1 )->(/V'2 + /V - 2)<P2'u[Q1>+

4ЛГ2 + IG/V + 15 2N*(N + l)-(iV + 2)(N + 3) ^ l'1'1'1

(15)

Здесь число N определяет размер матрицы Q и реиличиом и мацубаронском пространствах. Из-за наличия хартрн-фоковского сокращения корреляционная функция Х-2 выражается только череч три наименее релевантных из семи возможных собственных операторов /'[Q].

В инфракрасном пределе, L ос, скейлинговое поведение корреляционной функции ЗС[ определяется аномальной размерностью собственного оператора ЛдЙ], равной для перехода между плато, /<2 = —тг, Ui-о- Численные расчёты для по-

рехода между плато |14| дают значение индекса /|2 и O.G. Скейлинговое поведение корреляционной функции 30, определяется аномальной размерностью « собственного оператора /'¿.-¿[Q], который является наиболее релевантным из трёх собственных операторов в уравнении (15). Известно |13|, что пертурбативпые вычисления дают нулевое значение для аномальной размерности п. Ипетаптонный анализ, аналогичный вычислениям раздела 2.2, показывает, что непертурбатпвпып вклад в а так же равен пулю. Таким образом, можно ожидать, что аномальная размерность « тождественно раина пулю. Численные! расчёты для перехода между плато, проведенные недавно в группе F. Event (Технологический Институт Карлсруэ, Германия), находятся в согласии с предположением, что п = 0.

В разделе 2.5 изучается зависимость физических наблюдаемых (диссипатнвпоП и холловской прешоднмости, а также: теп.тоёмк(и:ти) е>т температу1)ы и магнитного поля в области, где; n[rr » 1. Согласно предсказанию Д. Е. Хмельницкого |15| для невзаимодействующих электронов, в этой области магпетопроводимоеть должна испытывать осцилляции в магнитном пол«!, связанные: с наличие:м дслежализоваппых состояний. В диссертации показано, что дтя случая кулопопскот взаимодействия (■у' = —1) эти, так называемые квантовые! холлешские, оечшлляции испытывает не только магнетопроно-димеють, но и теплоёмкость. Амплитуда квантовых холловекпх осцилляции определяется иистантоппым вкладом в сеютветствующие: физические: наблюдаемые, и как следствие, растёт е: понижением температуры. Интегрирование уравнений (0) с учётом того, что при f. » Irr = \fn.rr!{zT) логарифмическая расходимость об1К!зает«:я масштаГюм

Lt, даст следующую зависимость физических наблюдаемых от температуры: <Г.(Т) = (Т.Г.Г(Т) - [/„(<Г„(Т)) - ./»К*)] COs2Trrr,,„

<,СП = - [./"/Кг(Т)) - /«К*)] si" 2™,,,, (Ю)

где

-r&'-fr-^"™1

Здесь /„(г) = л„(г) = /„(г) = ОгМ-г) = [/;(-1)/4]г2сжр(-2тгг). Заинсимость физических наблюдаемых от магнитного ноля п выражениях (1G) определяется зависимостью <т„ и а„, от поля В. Выражения (1G) справедливы при но слишком низких температурах, таких что а.Г.„(Т) S> 1.

Величины а'хт(Т), а'т„(Т) и z'(T) представляют собой физические наблюдаемые усредненные по ансамблю. Хорошо известно ]1G, 17], что в макроскопическом образце размера L, большего длины сбоя фазы, соответствующие измеряемые! наблюдаемые CTZ, C„j, и Z(T) могут сильно отличаться от усредненных по ансамблю. Используя уравнения Каллана-Симанчика [18], которые предполагают, что измеряемая физическая величина пс зависит от микроскопической длины дпины свободного пробега I, находим

(>\ЛТ) = и(Х) - [/„(у(Л')) - /оо(<т„)^Л'.г/(Л')] COS2TT<т„„

С;у{Т) = <т:гу - [л„(а(л')) - /ос(<Т.„)] ки127г(тг!/, (17)

Z(T) = -ф= {/i(fl(A')) + [M.v(A')) + hU^MlÁX)) + /осК^а'"'^^] cos27T(T,,,|,

где теперь /„(я). 1ту{ц), Ни) " lh(r¡) - произвольные фупкцнн своего аргумента. Функция у(Х) - произвольная функция скейлнпговой переменной X = TzP СХр(7Г<7„)/JSZ. Уравнения (17) описывают зависимость измеряемых величин от температуры и магнитного поля. Они, в отличии от уравнений (1G), не ограничены условием гт'гх{Т) 3> 1, а справедливы даже при таких температурах, что ц(Х) ~ 1, если при этом амплитуда осцилляций с изменением а„, всё еще мала по сравнению с плавной частью. При этом, конечно, предполагается, что етгх 3> 1. Сравнение уравнений (1G) и (17) показывает, что при температурах таких, что А' » 1, <у(А') ка (1/тг) 1п А', а /„('/) = /г,,(.</) = /<х>(.'/), ''(у) = \/У " hz(X)/h(X) = —hao(g). Первые из двух уравнений (17) находятся в качественном согласии с результатами экспериментов |19| по магпетотранепорту.

Третья глава посвящена изучению явления макроскопического зарядового квантования в од1юэлсктрешных устройствах.

/'осКх(Т)) - М<т„) (^Г^у)

1/2

e:os 2тггтг

Во введении к третьем главе (раздел 3.1) делается обзор основных теоретических и экспериментальных результатов но электронному транспорту и одпоэлектрониых устройствах и изуче.....о явления кулоиовской блокады, а также формулируется задача, решаемая в третьем"! главе;.

В разделе 3.2 приводятся необходимые дія дальнейшего рае:сме>тре;иия сведения о действии Амбе:гаокара-Экке>рпа-Шопа, описывающего одноэлоктреншый транзистор е; большим числом туннельных каналов. Для теоретического описания этой системы (см. Риє;. 4а) иетюльзуется модель, в которой ме;жэле'ктроппех; взаимодействие па островке одпоэлектропиого трапзисте)і)а учитывается с помощью ёмкостного взаимодействия. Хорошо известно |20], что такое нульмерное приближение оправдано в пределе Л'//?тіі -С 1, где; ЕТи - эне;ргия Таулеее:а, а Я обозначает е;ре;диее ])асстоянис между одно частичными уровнями энергии на островке;. Взаимодействием электронов в резервуарах препеїбрегается. Связь островка с резервуарами описывается в рамках туннельного гамильтониана. Таким образом, гамильтониан рас;с:ыатривае;мой модс;ли име;с;т вид

+ + +Е('і*М5Н'/, + Ь.с.). (18)

Зде;сь первые; два члена описывают свободные эле;кт1)оны в левом (I) и правом (?•) резервуарах и на островке;. Нижний индекс к обозначает электронные; состояния в резеч>-вуарах, а с» - состоянии на островке;. Величины 4"', е„ обозначают энергии электронов, отсчитанных от уровня Ферми. Третий член в (18) описывает ёмкостное взаимодействие между электронами па островке;. Зарядовая энергия Е„ = <г/(2С) определяется полной емкостью (.', которая складывается из ёмкостей тушильных контактов (С1г) и затвора ((',,): С = (', + (',. + (',,. Вели'.....а ц = СдУ„1е представляет собой дополнительный заряд (в единицах заряда электрона с), наведённый на островке; при приложении напряжения затвора V,,. После;дпий член в (18) описывает тупнелнроваппе электронен» между резервуарами и островком. Матрица /[*' содержит амплитуды туннелирования между электронными состояниями в резервуаре и па островке;.

Эффективный безразмерный (в единицах с2///) кондактаис па однії канал (д^') и число каналов (Л^,"') в контакте;:

■>"" <1,„,'!!,,',, ^

определяют безразмерный копдактанс контакта между островком и резервуаром с/, = .'Л-|, Л'.І, • Дельта-функции, входящие в определение величин <12/ подразумеваются сглаженными на масштаГх) І)Е гаком, что шах{еі", Л"('-г)} <С НЕ < Т, где; обозначают средние расстояния между одночастпчпыми уровнями энергии в резервуарах.

При выполнении условий lyj",'«1«ЛГ,'"' и йшах{1,/у}«7\ где .'/ = !Н + Иг, гамильтониан (18) сводится к действию Амбсгаокара-Эккериа-Шопа в мнимом времени [21]:

8,([Ф] = | JP dndr,«(г, - г2) - ^ + I* ,1т Ф2. (10)

Здесь ß = 1 /Т, абслева фаза Ф(г), связанная с флуктуирующим электрическим потенциалом па островке соотношением V(t) = 'Ф(г), удовлетворяет граничному условию: Ф(Р) = Ф(0) + 2ж\\', где И' - целое число. Ядро п{т) = -Т2/ я\и2(ттТт).

В разделе 3.3 определяются физические наблюдаемые для одпоэлсктроппош транзистора. С помощью стандартной процедуры отклика па изменение граничного условия для фазы Ф(т) в действии (10) найдены две физические наблюдаемые:

оо °°

G = g I ± I,n /,»(0, Q = Q + , / А ^ Re !)"(<). (20)

Здесь запаздывающая функция !)"(,) соответствует мацубаровскому коррелятору фаз U(t) = (е-'ФМі''Фрі)^ ¡„(с) = [ехр(/7с) — I]-1 обозначает функцию распределения Бозе-Эппштсйпа, а Q = ,/ + І(Ф)/(2ЕС) - сі>едний заряд па островке. Новизна результата (20) состоит в том, что кроме физической наблюдаемой G, определяющей хорошо известную величину - кондактанс одпоэлектронпого транзистора С = (<!2/іі)(</і<іг/ц2)&, найдена физическая наблюдаемая Q, которая в задачах о транспорті! через однозлектровный транзистор до сих пор не рассматривалась. С точки зрения отклика на изменение граничных условий величины G и Q оказываются аналогичны диссипативиой и холловской проводимости в целочисленном квантовом эффекте Холла.

Физическая наблюдаемая Q связана с нссилшстуилованпым коррелятором токов:

Q = Q + — lim А/ fobWl .S'/ (и>, V) = Г dl.(3(03(0)). (21) 'M/r (>VJ 2тг ы ./_„

Здесь 3 - оператор тока через одноэлсктроппый т])аизистор, а V - напряжение, приложенное между левым и правым резервуарами. Также Q определяет затворную ёмкость одноэлектроппого транзистора: С, = C„0Q/i)q, которая отличается от геометрической ёмкости затвора (',, из-за квантовых флуктуация фазы Ф, связанных с наличием к.у-лоновского взаимодействия на островке. Связь величины Q со средним зарядом Q и ко])рслятором токов Sj(uj, V), а также с затворной ёмкостью С,, может быть использован для определения зависимости Q от Т и Vg в эксперименте.

В разделе 3.4 исследуется поведение физических наблюдаемых (20) в режиме слабой связи в действии Амбсгаокара-Эккериа-Шопа, ц '» 1, что соответствует сильному туппелировапию между ост])овком и резервуарами. В этом режиме, теория возмущений по 1 /у приводит к тривиальному ответу Q(T,q) = (/. Температурная зависимость

физической наблюдаемой ИЗ появляется только при учёте решений классических уравнений движения для действия (19) с ненулевым значением И' (инстаптопов). Учёт ипстаптонпых решений с И' = ±1, достаточный при не слишком низких температурах, цЕ,. 3> Т у' Е, с-"/'2, приводит к следующему выражению

'/) = '/ - ''' Е'

24тг Т

1 24Т , ^

(Г'->12 кш 2тгг/. (22)

Вы1)ажеиие (22) аналогично выражению дли квантовых холловских осцилляции проводимости из раздела 2.5. Осцилляции ИЗ при изменении наведённого заряда (/ являются проявлением кул о по веко й блокады в режиме сильной связи островка с резервуарами, когда и » 1. Как видно из выражении (22), инстаптоппая поправка отсутствует при целых и полуцелых значениях наведённого заряда г/. При этом физическая наблюдаемая <5 оказывается также равна целому или полуцелому значению, соответственно. Как и в случае квантового эффекта Холла, для значений наведённого заряда в интервале к — 1/2 < ц < к + 1/2 можно ожидать, что при понижении температуры физическая наблюдаемая ф стремится к целому значению к.

В разделе 3.5 рассматривается режим сильной связи дтн действии Амбегаокара-Эккерна-Шона, когда у < 1, что соответствует слабому тунпелированию между островком и резервуарами. В области кулоновеких пиков, т. е. при значениях наведённого заряда (/ близкого к полуцелому значению к + 1/2, т. е. |г/ — к — 1/2| <С 1, с помощью известного отображения |22| действия (19) на более простое действие для модели Бозе-Коидо |23| вычислена зависимость физической наблюдаемой И} от температуры и напряжения затвора:

+ 1 1 + ^ 1,1 ■„1,х(|д|,т|

Здесь, хорошо известная величина А имеет смысл перепормиронанной (за счёт виртуальных переходов электронов с островка в резервуары и обратно) щели между основным и возбужденным состояниями и вычислена в главном логарифмическом приближении. Параметр Л высокоэнергетическая обрезка порядка Ес.

Согласно (23) наблюдаемая <15 имеет такую же температурную зависимость, как средний заряд <7 в случае изолированного островка с щелью равной Д. При Т —» 0 и неравном нулю значении у физическая наблюдаемая <2, в отличие от среднего заряда па островке, стремится к к + 0(2,/ - 2к - 1), где в(:г) обозначает функцию Хевисайда (В(0) = 1/2). Таким образом, при Т —» 0 физическая наблюдаемая (} становится независимой от у и целочнеле...... квантуется при всех значениях напряжения затвора кроме

значений <! = к + 1/2, соответствующих кулоновеким пикам. Используя известные из литературы |24, 2Е>| результаты для физической наблюдаемой С, можно схематически представить зависимости С((/, Т) и 0>(</, Т) в виде диаграммы, аналогичной диаграмме репормгру.....тот потока (Рис. 46). Для фиксированных значений затравочных параметров у, г/ и Е,. зависимость СиО от температуры представляется некоторой кривой.

9, 9г

Є

металлический резервуар

металлически и резервуар

А

к к+1/2 к+1 С

а)

г.)

Рис. 4: а) Схема одшплектрошюго транзистора. б) Схематическая диаграмма, иллюстрирующая зависимость физических наблюдаемых С и О от температуры при разных значениях параметров ц, </ и Ег. Стрелки указывают направление, (чютвотстиующее новижепшо температуры.

На этой диаграмме область сильной связи. С 1, вблизи точки 0> = к + 1/2 и область слабой связи, С » 1, никак не связаны, так как отсутствуют аналитические результаты дня температурной зависимости физических наблюдаемых в промежуточной области С ~ 1. На данный момент эта область может быть исследована только численно. Однако, так как согласно (20) физические наблюдаемые С и определены во всей области параметров, то можно ожидать гладкую интерполяцию между результатами в слабой и сильной связи. Особенностью диаграммы на Рпс. 46 является точка (¡2 = А; + 1/2 и С = 0, которую естественно назвать квантовой критической точкой, разделяющей состояния с целочисленными значениями наблюдаемой 0> и С = 0 при Т = 0. Таким образом, одпочлектроппый транзистор с большим числом туннельных каналов при Т —» 0 оказывается эквивалентным изолированному островку.

В четвёртой главе исследуются спиновые корреляции в квантовых точках вблизи стоуперовского перехода.

Во введении к четвёртой главе; (раздел 4.1) делается обзор основных те;е>ре;тиче:ских и экспериментальных результатов по межэлектренпюму взаимодействию в квантовых тачках и ставится проблема, которая решается в четвёртой главе.

В разделе 4-2 содержатся необходимые сведения е>б универсальном гамильтониане, описывающем взаимодействующие электроны в квантовой точке; в нульмерном пре;де;-ле;, и точный аналитический результат для туннельной плотности состояний.

Хоренно известие), чте) при выполнении условия гТ/1 ^ 1, квантовая точка может описываться в нульмерном приближении в рамках у.......................гамильтониана |2С|:

Здесь („:„ = („ + цціцИа/2 обозначают одпоэлектроппые уіювцн зморгни, расщеплеп-ны(! по спину ((т = ±1) магнитным полем В. В зависимости от реализации квантовой точки статистика одночлектропных уровней энергии (,, может описываться ортогональным или унитарным классами симметрии по классификации Вигисра-Дайсопа. Величина ./ > 0 характеризует ферромагнитное обменное взаимодействие электронов в квантовой точке.

Для гамильтониана (24) с помощью метода Вея-Нормапа-Колоколова [27, 28| в диссертации найдено следующее точное аналитическое выражении для туннельной плотности состояний, определяющей ток через квантовую точку в приближении последовательного тунпелпроваппя:

>Ф) =

1 + V-

2Z

■shf

x S

+ £„,.«і ,»i[ і Xє „ + £„„„, -£„ltl,„

■ ■О-

.......{

Zn,(cn)

Z,4(<„)

Zn¡ (2m + 1 )Z,

Z„

* = £

(2m + 1 )Z„ slÄ

1 + tfm (amßb)} 1 -/?-,„_! (<r(m + 1)/%)1

8l. Ä

-z„.zn

-ßU

(25)

Здесь h = ijijinli, Jit(?i|) число электронов с проекцией спина вверх (вниз), полное число электронов равно и = hj + hj, а т = (н, -пj)/2. В случае т ^ 0 (т < 0) полный спин S = ni (S = -т-1). Величина £„,,„, = Ec{n-i¡)2- Jm(m+1) представляет вклад от взаимодействия в энергию состояний с nt и ti i электронами с проекциями спина вверх и вниз. Множитель sh[W2:;l"]//sh [gj имеет смысл статистической суммы дня спина S = m в присутствии зеемановского расщеплении Ь, а И„,(х) = etil (2"'1 'дЛ —

j 4 ' 2т \ 2т 1

5771 ¿777 обозначает функцию Брнллюэна. Множители Zn((„)/%„, где

учитывают вероятность того, что состояние (V свободно. Выражение (25) позволяет вычислить туннельную плотность состояний при заданном наборе одночлектропных уровней энергии {(„}. Согласно (25) туннельная плотность состояний представляет сумму дельта-функций, соответствующих всем возможным процессам тупнелировапия электрона с энергией є и сні...... гт па или с одпоэлектронпого уровня энергии („„..

В разделе 4-3 вычисляется продольная спиновая восприимчивость, усреднённая по реализациям одпоэлектропных уровней энергии, в зависимости от магнитного поля и

температуры в интервале Л €Т< /7ТПоведение! средней о.....овой восприимчивости

\(Т, /і) зависит от значений безразмерных параметров и -К/Т, где = ./Л"/(Л - .]) обозначает псрспормпрованпую обменную энергию, обращение в бесконечность которой сигнализирует о стоупсровской неустойчивости. Найденные выражения дія \{Т, Ь)

Таблица 2: Зависимость сродней спиновой восприимчивости от магнитного поля и температуры в интерпале (5 « Т < ЕтЧисленная константа с = ¿г ¡^[д - ~ и.02. Параметр /3=1 или 2 для ортогонального или унитарного класса симметрии.

Область Средняя восприимчивость х(Т, Ь)

I: ¿шах{1,$}«1 + # + + +

п ■ I'2 т ^ 1 7- Г-, 1, Т ;р Г ./д. ..и, _ ./;^|1н(2././т)п| ]

И». 72 «к -¡2 I ^.^г^яЬ^ЛЬ/а./Г)] + а/Чл-2 [,/Г 1,11 2Т.1 Ъ.Г'Г*

И,: £ « & « 1 М1- + ^Н "

вблизи стоуперовской неустойчивости, Л —./ Л, в разных областях параметров представлены в Таблице 2.

Хорошо известно |2С|, что наличие ферромагнитного обменного взаимодействия и ненулевого среднего расстояния между одночаетичиыми уровнями энергии приводит' к явлению мезоскопичсской стоуперонской неустойчивости, которое проявляется в появлении в основном состоянии квантовой точки ненулевого полного спина. Его значение вблизи стоуперовской неустойчивости, <5 — .! <К Л", оказывается порядка Л/26. В области I мсзоскопичсская стоуперовская неустойчивость проявляется в виде малых поправок, зависящих от температуры и магнитного поля, к усиленной обменным взаимодействием спиновой восприимчивости Паули, Л/2.16. Поправки, связанные с флуктуациями одпочастичпых уровней энергии, оказываются малы. В областях П(,, III и в части области Н„ (./Г/./, <<С Ь <<:. ./у'Т/Л) мсзоскопичсская стоуперовская нсустой-чивость подавляется магнитным полем. Средняя спиновая восприимчивость имеет вид восприимчивости Паули, усиленной обменным взаимодействием, с малыми поправками из-за наличия флуктуаций одпочастичпых уровней энергии. Дчя того чтобы подавить проявление мезоскопичсской стоуперовской неустойчивости требуется слабое магнитное поле Ь ~ (7/./.)Т -С J, Т. Это связано с тем, что по аналогии с обменным усилением (/-фактора в ферми-жидкостн характерная величина зесмановского расщепления определяется величиной Л/)/./, а не просто Ь как в одночастичной задаче. В части области II,, (I) -С .УТ/Л) зависимость спиновой восприимчивости от магнитного поля слабая, а мсзоскопичсская стоуперовская неустойчивость проявляется в том, что средняя спиновая восприимчивость н пулевом поле ведёт себя согласно закону Кюри:

Флуктуации одпочастичпых уровней энергии приводят к логарифмической зависим(ь сти от температуры квадрата эффективного спина в законе Кюри (20). Этот результат справедлив, строго говоря, при температурах, удовлетворяющих условию 1 <С Л/71 -С /Зл"2. Однако, приведённые в приложении к главе 4 вычисления вместе с качественными

(20)

Рис. 5: Туннельная плотность состоянии дли случаи кулоповской долины (значение <] близко к ц<лом.у) (а) и кулошшскот инка (значение q близко к полуцелому) (б) в пулевом магнитном поле. Сплошная (пунктирная) кривая соответствует значениям параметров J/S = 0.92, S/T = 0.35, и J,/T = 3.U5 {J/S = 0.1)2, S/T = 0.95, и J,/T = 10.70). в) Полная туннельная плотность состояний v{e) = І/1 (г) +i/j(e) н случае кулопонской долины для значений магнитного поля Ii = 0 (сплошная кривая), Ь = 2.75J (штриховая кривая) и b = 3.257 (пунктирная кривая). Значения остальных параметров: J/S = 0.92, S/T = 0.95, и J„/T = 10.7.

соображениями ])аздела 4.3.3 указывают на то, что логарифмическое поведение с температурой квадрата эффективного спина в (2G) может иметь место в более широкой области температур: i<T< Jt.

В разделе 4-4 рассматривается поведение туннельной плотности состояний, усреднённой по реализациям одноэлсктронпых уровнен энергии, с изменением магнитного ноля и температуры в интервале J < Т « и вблизи стоупсровской неустойчивости, S — J <С Л'. Найденное без учёта влияния флуктуаций одпочастичпых уровней энергии выражение для туннельной плотности состояний ;[дя электрона с энергией є и проекцией спина а имеет вид

"" & S^cMfi.shi^iMH 2 J )

xfr(рє - 2/ii!~!' + y) - f(,v[яе - 2,,»-" + ¿Щ] }/£ (27)

ti£Z

Здсчъ 1'n = 1/ii обозначает среднюю плотность состояний невзаимодействующих электронов па одну проекцию с......a, М;; = Е,.{п - ц + р/2), распределение Феі>мн-Дпрака:

If(() = l/[oxp(/ii) + 1], erfi(z) = JJ <U с' -функция ошибок от мнимого аргумента, и

Проведённый анализ общего выражения (27) показывает, что в области температур i « Iі « •/* явление мезоскопичсской стоупсровской неустойчивости появляется в появлении максимумов в туннельной плотности состояний. В нулевом магнитном иоле высота максимума оценивается как [^^I,,,,«—1 ~ а ширина оказывается порядка J„. Магнитное поле b S> ./уменьшает высоту максимума, — 1 ~ jj, но приводит к

линейному росту ширины максимума при увеличении магнитною поля (~ -ЛЬ/./). Для Т -С Ес немонотонное поведение туннельной плотности состояний покапано на Рис. 5.

В разделе 4.4.3 влияние флуктуаций одночастичпых уровней энергии па поведение туннельной плотности состояний учитывается, исходя из качественных соображений. В пулевом магнитном поле флуктуации одночастичпых уровней энергии приводят к увеличению высоты максимума, - 1 ~ [1 + ¿¿г 1 " ум™ыпспию его

ширины, которая становится порядка ,/,/[1 + Таким образом, в противопо-

ложность обычной ситуации флуктуации одночастичпых уровней энергии приводят к более резкому максимуму в туннельной плотности состояний. Магнитное поле Ь ./ заметно подавляет влияние флуктуаций одночастичпых уровней энергии и, поэтому, приводит к малым относительным поправкам порядка (й/Ь) 1н(./,Ь/./Д) •< 1.

В заключении сформулированы основные результаты п выводы диссертационной работы, выносимые на защиту.

В приложения вынесен ряд громоздких вычислений.

Выводы

1. Поведение сильно-коррелированных неупорядоченных электронных систем со спиновыми и нзоспиповыми степенями свободы, в которых амплитуды взаимодействия между электронами с разными проекциями спина и нзоспина имеют различные значения, качественно отличается от случая однщолипной системы.

2. В двухдолишюй сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе металлическое поведение сопротивления изменяется на диэлектрическое поведение при достаточно низких температурах только при наличии как зеемаиовского, так и междолипиого расщеплений.

3. В двухдолишюй сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе при низких температурах возможно существование двух максимумов в температурной зависимости сопротивления вблизи перехода металл-изолятор.

4. В двумерной взаимодействующей неупорядоченной электронной системе в структурах с двойной квантовой ямой и общими раесенвателями электронный транспорт при достаточно низких температурах оказывается таким же как в двух независимых квантовых ямах.

5. В двухпетлевом приближении переход металл-изолятор в системе двумерных взаимодействующих электронов с полностью поляризованными спинами отсутствует.

0. В системе электронов с полностью поляризованными спинами наличие межэлек-троппого взаимодействия оставляет в силе хорошо известное для модели невзаимодействующих электронов качественное объяснение целочисленного квантования холловской проводимости.

7. Температурная зависимость времени сбоя фазы в критической области перехода между плато в режиме целочисленного квантового эффекта Холла в спип-

поляризова...... электронной неупорядоченной системе с ко]Х)ткодсйствующим

межэлектронпым взаимодействием определяется критическим индексом, зависящим только от аномальной размерности амплитуды электрон-электронного взаимодействия в критической точке для невзаимодействующих электронов.

8. В двумерной неупорядоченной спип-иолярпзовапной электронной системе с ку-лоновским взаимодействием в перпендикулярном магнитном поле предсказаны осцилляции теплоёмкости с магнитным полем, которые отличны от осцилляции де Гааза и связаны с наличием делокалнзованпых состояний.

9. В одноэлектроппом транзисторе, наряду с появлением температурной зависимости копдактапса, перенормировки приводят также к возникновению температу1>-ной зависимости у затворной ёмкости, делая её отличной от гмшетрической ёмкости затвора. Заряд, соответствующий затворной ёмкости одноэлектроппого транзистора, нелочпеленно квантуется при пулевой температуре.

10. Вблизи порога стоуиеровекой неустойчивости явление мгаоскопической стоуие-ровской неустойчивости в квантовых точках можно наблюдать в широком интервале температур, изучая логарифмическую температурную зависимость квадрата эффективного спина в законе Кюри дли спиновой восприимчивости и дополнительное немонотонное поведение дифференциального копдактапса в зависимости от приложенного напряжения.

Список публикаций по теме диссертации

1. М. A. Baranov, I. S. Burmistrov, А. М. М. Pruisken, Non-Fenni-liquid therm/ for disordered metals near two dimensions, Phys. Rev. В 66, 075317 (2002).

2. A. M. M. Pruisken, I. S. Burmistrov, Th-e instanton тенит of generalized С'/'"-1 models, Ann. of Pliys. (N.Y.) 316, 285 (2005).

3. A. M. M. Pruisken, M. A. Baranov, I. S. Burmistrov, Non-Fenni liquid theory of the. quantum Hall effects, Письма к ЖЭТФ 82, 1GG (2005).

4. A. M. M. Pruisken, I. S. Burmistrov, Comment on "Topological oscillations of the mafinetocondueta7i.ee in disordered GaAs layers", Phys. Rev. Lett. 95, 189701 (2005).

5. I. S. Burmistrov, N. M. Chtchelkateliev, Crossover behavior of disordered intcrncting two-dimensional electron systems in a jmmllel magnetic field. Письма в ЖЭТФ 79, 775 (200G).

G. A. M. M. Pruisken,I. S. Burmistrov,0renonnalization,electron-electron internet-urns and superuniversality in the quantum Hall rcyimc, Ann. of Phys. (N.Y.) 322,12G5 (2007).

7. A. M. M. Pruisken, I. S. Burmistrov, Non-Fenni liquid eri.tiadi.ty and super universality in the quantum Hall ngimc, Письма в ЖЭТФ 87, 252 (2008).

8. I. S. Burmistrov, N. M. Chtchelkatchcv, Electronic properties in a two-dimensional disordered electron liquid: Spin-valley int.ciplay, Phys. Rev. В 77, 195319 (2008).

9. I. S. Burmistrov, A. M. M. Pruisken, Coulomb blockade and super universality of the, 0-angle, Phys. Rev. Lett. 101, 05G801 (2008).

10. I. S. Burmistrov, A. M. M. Pruisken, The problem of macrosi:opi.e charge quantization in the Coulomb blockade, AIP Conference Proceedings 1134, 101 (2009).

11. I. S. Burmistrov, A. M. M. Pruisken, The problem of macroscopic charge quantization in single electron devices, Phys. Rev. В 81, 085428 (2010).

12. I.S. Burmistrov, Y.Gefen, M.N. Kiselev, Spin and charge coiTclations in quantum dots: An exact, solution, Письма » ЖЭТФ 92, 202 (2010).

13. I. S. Burmistrov, S.Bera, F.Evers, I.V. Gornyi, A.D. Mirlin, Wave function multifmct.ality and dephasing at metal-insulator and quantum Hall transitions, Ann. of Phys. (N.Y) 326, 1457 (2011).

14. I. S. Burmistrov, I.V. Gornyi, K. S. Tikhonov, Disordered electron liquid in double, quantum well heterosfractures: Renonnalization group analysis and dephasing rate, Phys. Rev. В 84, 075338 (2011).

Цитируемая литература:

|1| A. M. Finkolstein, Electron, liquid in disordered conductors, vol. 14 of Soviet Scientific Reviews, ed. by I. M. Khalatnikov, Hanvood Academic Publishers, London, (1990).

I—I D. Belitz, T. R. Kirkpatrick, The Ariderson-Mott transition, Rev. Mod. Pliys. 66, 2G1 (1994).

|3| A. Kanienev, A. Levchenko, Kehlysh technique, and non-linear a-model: basic principles and applications, Adv. Pliys. 58, 197 (2009).

|4| A. Punnoose, A. M. Finkiistcin, Dilute electron gas near the metal-insulator transition: Role of valleys in silicon inversion layers, Pliys. Rev. Lett. 88, 01G802 (2001).

|5| T. Auclo, A. B. Fowler, F. Stern, Electronic pmpert.ies of two-dimensional system», Rev. Mod. Pliys. 54, 437 (1982).

|G| A. Yu. Knntsevieli, N. N. Klimov, S. A. Tarasenko, N. S. Avrakiev, V. M. Pudalov, H. Kojima, M. E. Gershenson, Intenialley scattering and weak localization in Si-based two-dimensional structures, Pliys. Rev. B 75, 195330 (2007).

|7| N. N. Klimov, D. A. Knyazev, O. E. Omelyanovskii, V. M. Pudalov, H. Kojima, M. E. Gersluaisou, Interaction effects in conductivity of a two-valley electron system in high-mobility Si inversion layers, Pliys. Rev. B 78, 195308 (2008).

[8| G. M. Minkov, A. V. Gcrnianenko, O. E. Rut, A. A. Sherstobitov, A. K. Bakarov, D. V.

Dmitriov, Dephasing and intennell tiunsitions in do-able quantum well heterostnict.ui-es, Pliys. Rev. B 82, 1C5325 (2010).

|9| G. M. Minkov, A. V. Germanenko, O. E. Rut, A. A. Sherstobitov, A. K. Bakarov, D. V. Dmitriev, Interaction collection to conductivity of Al^Ga^As/GaAs double quantum well hcterostructurcs near the balance, Pliys. Rev. B 84, 075337 (2011).

|1()| A. M. M. Pruiskcn, M. A. Baranov, Clucking Coulomb interactions in the quantum Hall regime, Europliys. Lett. 31, 543 (1995).

|11| A. M. M. Pruiskcn, in The Quantum Hall Effect, eds. R. E. Praiige and S. M. Girvin (Springer, 1987), p. 117.

|12| A. M. M. Pruiskcn, M. A. Baranov, M. Voropacv, The large N theory exactly reveals the quantum Hall effect and theta-renonnalization, http://arxiv.oiK/abs/cond-niat/0101003.

|13| F. Wegner, Anomalous dimensions for the nonlinear sigma-model, in 2 + t dimensions (II), Nucl. Pliys. B 280, 210 (1987).

|14] D-H. Leo, Z. Wang, Effects of election-electron interactions on the integer quantum Hall transitions, Pliys. Rev. Lett. 76, 4014 (199G).

|15| D. E. Khiuehiitskii, (Quantum Hall effect, and additional oscillations of conductivity in weak magnetic fields, Pliys. Lett . A 106, 182 (1984).

[1G] Б. Jl. Альтшулер, Флуктуации остаточпоЛ проводимости неупорядоченных проводников, Письма в ЖЭТФ 41, 530 (1985).

|17| P. A. Lee, A. D. Stone, Universal conductance fluctuations in metals, Pliys. Rev. Lett. 55, 1G22 (1985).

|18| D. .1. Aiuit, Field theory, icnonnalizat.mri group, anil critical phenomena, (World Scientific, 1984).

|19| S. S. Murzill, A. G. M. Jansen, I. Claus, Topological oscillations of the magnetocon-ductance in disordered GaAs layers, Pliys. Rev. Lett. 92, 01G802 (2004); S. S. Murzill, A. G. M. Jansen, Murzin and Janssen reply, Pliys. Rev. Lett. 95, 189702 (2005).

|20| I. L. Aleiner, P.w. Bronwer, L. I. Glazman, Quantum effects in Coulomb blockade., Pliys. Rep. 358, 309 (2002).

|21] V. Ambcgaokar, U. Eckern, G. Schön, Quantum dynamics of tunneling between superconductors, Pliys. Rev. Lett. 48, 1745 (1982).

|22| К. А. Матвеев, Квантовые флуктуации заряда .металлической частицы, а условиях кулоповской блокады., ЖЭТФ 99, 1598 (1991).

|23| А. И. Ларкин, В. И. Мельников, Магнитные примеси в почти магнитном металле, ЖЭТФ 61, 1232 (1971).

[24] Н. Scluiller, G. Schön, Mesoscopic quantum tmnxjioii: Resonant tunneling in the. prc.scn.ce of a strong Coulomb blockade, Pliys. Rev. В 50, 1843G (1994).

|25] A. Altland, L. I. Glazman, A. Kainenev, J. S. Meyer, Inelastic electron transpoii in granular arrays, Анн. Pliys. (N.Y.) 321, 25GG (200G).

|2G| I. L. Kurland, I. L. Aleiner, B. L. Altshuler, Mesoscopic magnetization fluctuations for metallic grains close to the St.oner instability, Pliys. Rev. В 62, 1488G (2000).

|27| J. Wei, E. Norman, Lie. algebraic solution of linear differential equations, .1. Math. Pliys. 4, 575 (19G3).

|28] I. V. Kolokolov, A functional integration method for quantum spin systems ami one-dimensional localization, Int. J. Mod. Pliys. В 10, 2189 (199G).

Введение

1 Влияние спиновых и изоспиновых степеней свободы на переход металл-изолятор в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе

1.1 Введение

1.1.1 Переход металл-изолятор в неупорядоченной электронной системе

1.1.2 Постановка задачи.

1.2 Нелинейная сигма-модель.

1.2.1 Введение.

1.2.2 Действие нелинейной сигма-модели.

1.2.3 Физические наблюдаемые.

1.2.4 Однопетлевая перенормировка.

1.2.5 Уравнения репормализационной группы в одиопетлевом приближении

1.3 Взаимное влияние спина и долинного изоспина в двумерной неупорядоченной электронной жидкости.

1.3.1 Введение.

1.3.2 Микроскопический гамильтониан.

1.3.3 Уравнения реиормгруппы в одиопетлевом приближении: ££/(4) симметричный случай

1.3.4 Уравнения реиормгруппы в одиопетлевом приближении: случай симметрии 5С/( 2) х в и (2)

1.3.5 Уравнения реиормгруппы в одиопетлевом приближении: полностью несимметричный случай

1.3.6 Обсуждение результатов.

1.4 Двумерная неупорядоченная электронная жидкость в двойной квантовой

1.4.1 Введение.

1.4.2 Микроскопический гамильтониан.

1.4.3 Уравнения реиормализациоипой группы в однопетлевом приближении

1.4.4 Время сбоя фазы

1.4.5 Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом.

1.5 Переход Андерсона в неупорядоченной бесспиновой электронной жидкости

1.5.1 Введение.

1.5.2 Уравнения реиормализационной группы в однопетлевом приближении

1.5.3 Вычисление проводимости в двухпетлевом приближении

1.5.4 Обсуждение результатов.

2.1.1 Целочисленный квантовый эффект Холла.66

2.1.2 Постановка задачи.71

2.2 Нелинейная сигма-модель с топологическим членом.74

2.2.1 Введение.74

2.2.2 Топологический член и холловская проводимость.74

2.2.3 Инстантоны.78

2.2.4 Квантовая теория: флуктуации около инстаптопа.79

2.2.5 Физические наблюдаемые .84

2.2.6 Обсуждение результатов.88

2.3 Роль электрон-электронного взаимодействия для переходов между плато . . 89

2.3.1 Введение.89

2.3.2 Зависимость физических наблюдаемых от размера системы .89

2.3.3 Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом.93

2.4 Время сбоя фазы па переходе между плато в случае короткодействующего межэлектронного взаимодействия.95

2.4.1 Введение.95

2.4.2 Выражение для времени сбоя фазы через точные волновые функции 96

2.4.3 Корреляционные функции и ЗСо в подходе нелинейной сигма-модели 100

2.4.4 Температурная зависимость времени сбоя фазы в критической областиЮЗ

2.4.5 Обсуждение результатов.105

2.5 Осцилляции магнитосопротивления и теплоёмкости, связанные с наличием делокализоваииых состояний .106

2.5.1 Введение.106

2.5.2 Зависимость диссипативной и холловской проводимости от температуры и магнитного поля .107

2.5.3 Зависимость теплоёмкости от температуры и магнитного поля . 109

2.5.4 Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом.110

2.6 Заключение.112

3 Макроскопическое зарядовое квантование в одноэлектронных устройствах 114

3.1 Введение .114

3.1.1 Одноэлектронпый транспорт и кулоновская блокада.114

3.1.2 Постановка задачи.120

3.2 Модель Амбегаокара-Эккерпа-Шона.122

3.2.1 Введение.122

3.2.2 Гамильтониан одноэлектроиного транзистора.122

3.2.3 Действие Амбегаокара-Эккерна-Шона.125

3.2.4 Инстаптоны .126

3.3 Физические наблюдаемые .128

3.3.1 Введение.128

3.3.2 Фоновые поля .129

3.3.3 Линейный отклик.132

3.3.4 Обсуждение результатов.134

3.4 Режим слабой связи, g > 1 .136

3.4.1 Введение.136

3.4.2 Теория возмущений.~.136

3.4.3 Инстантонный вклад.137

3.4.4 Зависимость физических наблюдаемых от температуры.138

3.4.5 Вольт-амперная характеристика .139

3.4.6 Обсуждение результатов.140

3.5 Режим сильной связи. g -С 1.141

3.5.1 Введение.141

3.5.2 Эффективное действие в окрестности точки вырождения.141

3.5.3 Главное логарифмическое приближение .143

3.5.4 Зависимость физических наблюдаемых от температуры.145

3.5.5 Обсуждение результатов.147

3.6 Заключение.149

4 Спиновые корреляции в квантовых точках 150

4.1 Введение .150

4.1.1 Межэлектронное взаимодействие в квантовых точках: универсальный гамильтониан .150

4.1.2 Постановка задачи.154

4.2 Универсальный гамильтониан.157

4.2.1 Введение.157

4.2.2 Универсальный гамильтониан.157

4.2.3 Почти полное разделение спиновых и зарядовых корреляций.158

4.2.4 Преобразование Вея-Нормана-Колоколова .160

4.2.5 Точное аналитическое выражение для спиновой восприимчивости . . 163

4.2.6 Точное выражение для туннельной плотности состояний .164

4.3 Продольная спиновая восприимчивость .167

4.3.1 Введение.167

4.3.2 Влияние флуктуаций одночастичиых уровней энергии на продольную спиновую восприимчивость.167

4.3.3 Качественное объяснение влияния флуктуаций одночастичиых уровней энергии на спиновую восприимчивость .173

4.3.4 Обсуждение результатов.175

4.4 Туннельная плотность состояний.177

4.4.1 Введение.177

4.4.2 Туннельная плотность состояний в магнитном поле без учёта флуктуаций одночастичиых уровней энергии .177

4.4.3 Влияние флуктуаций одночастичиых уровней энергии на туннельную плотность состояний.181

4.4.4 Обсуждение результатов.184

4.5 Заключение .186

Заключение 187

Приложения 189

А Приложения к главе 1 .189

А.1 Перенормировка члена с помощью процедуры фонового поля . . . 189 А.2 Связь физических наблюдаемых с перенормированными величинами 191 А.З Анализ однопетлевых уравнений реиормализациоиной группы . 192

A.4 Вычисление средних в уравнении (1.112) .192

Б Приложения к главе 2 .199

Б.1 Нулевые моды.199

Б.2 Детали вычисления отношения Z+\/Za.199

Б.З Одиопетлевые поправки в регуляризации Паули-Вилларса .207

Б.4 Вычисление величины (§/-.1П5,,)б>" в уравнении (2.50). 209

Б.5 Усреднение операторов и Х2 по £/(Лг) х [/(Л^-вращениям.209

Б.6 Собственные операторы .212

В Приложения к главе 3 .214

B.1 Аналитическое продолжение функции К(гшп) .214

В.2 Вычисление физических наблюдаемых до второго порядка по д включительно .214

Г Приложения к главе 4 .216

Г.1 Преобразование Вея-Нормана-Колоколова.216

Г.2 Вывод точных выражений для статистической суммы и туннельной плотности состояний .217

Г.З Корреляционная функция С(Н^, Н2) .222

Г.4 Вычисление средней спиновой восприимчивости 0) в области Па 224 Г.5 Асимптотическое выражение для функции 1(х. у) при у > 1.226

Список публикаций 228

Литература 230

Введение

В настоящее время имеется большой экспериментальный и теоретический интерес к электронному транспорту в низкоразмерных системах (двумерный электронный газ, квантовые проволоки, поверхность трехмерных топологических изоляторов, графен, металлические одноэлектронные транзисторы) и наноструктурах (квантовые точечные контакты, квантовые точки, углеродные нанотрубки, молекулярные одноэлектронные транзисторы). Во всех перечисленных системах электрон-электронное взаимодействие оказывает существенное влияние на электронный транспорт. Межэлектронпое взаимодействие ответственно за явление дробного квантового эффекта Холла, определяет температурную зависимость ширины переходов между плато в холловской проводимости для целочисленного квантового эффекта Холла, приводит к переходу металл-изолятор в двумерных неупорядоченных электронных системах и к переходу сверхпроводник-изолятор в топких неупорядоченных пленках, а также ведёт к появлению на поверхности трёхмерного топологического изолятора критического металлического состояния, в котором проводимость при нуле температур остаётся конечной. Оно же ответственно за нелинейную при малых напряжениях вольт-амперную характеристику в квантовых проволоках и углеродных ианотрз'бках, кулоновскую блокаду электронного транспорта в одноэлектронных транзисторах и квантовых точках, и явление мезоскопической стоуиеровской неустойчивости в квантовых точках из почти ферромагнитных материалов. Существенную роль межэлектронпое взаимодействие играет и в неравновесном электронном транспорте, приводя к возможности релаксации неравновесной функции распределения.

Несмотря на то, что влияние электрон-электронного взаимодействия на электронный транспорт в низкоразмерпых системах и наноструктурах интенсивно исследуется с 70-х годов прошлого века, существует большой круг задач, нерешённых до настоящего времени. Это связано как со сложностью теоретического учёта влияния электрон-электронного взаимодействия на транспорт, так и с появлением новых объектов для экспериментальных и теоретических исследований.

Настоящая диссертационная работа преследует следующие цели: 1) построение теоретического описания влияния спиновых и изоспиновых степеней свободы на переход металл-изолятор в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе; 2) исследование влияния электрон-электронного взаимодействия на целочисленный квантовый эффект Холла в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе в сильном магнитном поле, полностью поляризующем электронный спин: 3) построение теории макроскопического зарядового квантования в одноэлектрон-ном транзисторе: 4) исследование влияния сильных спиновых корреляций, связанных с явлением мезоскопической стоунеровской неустойчивости, на термодинамические и транспортные свойства электронов в квантовых точках.

При всём разнообразии рассмотренных в диссертационной работе задач, все они связаны между собой тем, что на физику явлений в рассматриваемых электронных системах оказывает сильное влияние электрон-электронное взаимодействие. Именно оно приводит к тем физическим явлениям, которые исследуются в диссертации.

Каждая глава диссертационной работы имеет своё собственное введение, в котором представлен детальный обзор теоретических и экспериментальных результатов, связанных с задачами, решаемыми в данной главе.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, сводятся к следующему:

1. Построена теория электронного транспорта в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе со спиновыми и изоспиновыми степенями свободы, не предполагающая равенство амплитуд взаимодействия между электронами с разными проекциями спина и изоегшна. Показано, что рассмотренный ранее случай, когда амплитуды взаимодействия совпадают, является неустойчивым относительно малых нарушений этого условия.

2. Построена теория транспорта в двумерной взаимодействующей двухдолинной неупорядоченной электронной системе в присутствии междолиниого и зеемановского расщеплений. Объяснена экспериментально наблюдаемая эволюция температурной зависимости сопротивления от металлического типа к диэлектрическому типу при увеличении параллельного магнитного поля. Предсказана возможность существования двух максимумов в температурной зависимости сопротивления вблизи перехода металл- изолятор.

3. Построена теория транспорта для двумерной взаимодействующей неупорядоченной электронной системы в структурах с двойной квантовой ямой и общими рассеива-телями. Объяснено наблюдаемое в эксперименте слабое изменение температурной зависимости сопротивления и времени сбоя фазы при сильном уменьшении концентрации электронов в одной из квантовых ям.

4. В двухпетлевом приближении исследован переход металл-изолятор в системе взаимодействующих электронов с полностью поляризованными спинами. Показано, что в случае размерности пространства а! = 2 переход металл-изолятор отсутствует.

5. Для случая сгшн-поляризовапиых электронов построена теория целочисленного квантового эффекта Холла с учетом электрон-электронного взаимодействия. Проведённые аналитические вычисления подтверждают тот факт, что а) наличие межэлек-тропиого взаимодействия не меняет хорошо известное для модели невзаимодействующих электронов объяснение целочисленного квантования холловской проводимости, б) переход между плато в случае короткодействующего электрон-электронного взаимодействия попадает в тот же класс универсальности, что и модель невзаимодействующих электронов, тогда как в случае кулоновского взаимодействия этот квантовый фазовый переход находится в новом классе универсальности по сравнению с моделью невзаимодействующих электронов.

6. С помощью подхода нелинейной сигма-модели исследована температурная зависимость времени сбоя фазы в критической области перехода между плато в режиме целочисленного квантового эффекта Холла в спин-поляризоваппой электронной неупорядоченной системе с короткодействующим межэлектроиным взаимодействием. Показано, что критический индекс, характеризующий степенную зависимость времени сбоя фазы от температуры в критической области перехода между плато, определяется значением аномальной размерности амплитуды электрон-электронного взаимодействия в критической точке, соответствующей невзаимодействующим электронам.

7. Для двумерной неупорядоченной электронной системы с кулоновским взаимодействием в перпендикулярном магнитном поле, полностью поляризующем спин электрона, построена теория квантовых холловских осцилляций магнетосопротивления и теплоёмкости в магнитном поле, связанных с наличием делокализованных состояний. Показано, что при низких температурах зависимость амплитуды квантовых холловских осцилляций от температуры отличается от температурной зависимости амплитуды осцилляций Шубиикова-де Гааза.

8. Для решения проблемы кулоповской блокады в одноэлектропном транзисторе предложена и исследована новая физическая величина, определяющая затворную ёмкость одиоэлектронпого транзистора, которая отличается от геометрической ёмкости затвора из-за перенормировок, связанных с наличием кулоновского взаимодействия. Показано, что диаграмма двухпараметрического потока (в координатах: перенормироваппые кондактанс и затворная ёмкость) имеет топологию аналогичную диаграмме потока (в координатах: продольная и холловская проводимости) для целочисленного квантового эффекта Холла. Предсказано целочисленное квантование заряда, соответствующего (перенормированной) затворной ёмкости, при нулевой температуре.

9. В рамках нульмерного приближения (модель универсального гамильтониана) для квантовой точки с прямым и ферромагнитным обменным взаимодействиями аналитически решена задача об одновременном учете в спиновой восприимчивости и туннельной плотности состояний зарядовых и спиновых корреляций, зеемановского расщепления и флуктуаций одночастичных уровней энергии. Вблизи порога сто-уперовской неустойчивости найден широкий интервал температур, в котором явление мезоскопической стоуперовской неустойчивости проявляется в законе Кюри для спиновой восприимчивости с квадратом эффективного спина, логарифмически зависящим от температуры, и в дополнительном немонотонном поведении туннельной плотности состояний как функции энергии.

Все результаты диссертационной работы получены впервые, её выводы обоснованы надежностью применявшихся аналитических методов, согласием с теоретическими результатами, полученными в других работах, и согласием с данными физических и численных экспериментов, выполненных другими авторами.

Развитые в диссертационной работе методы могут быть использованы для описания широкого круга явлений в электронном транспорте в пизкоразмерных электронных системах и наноструктурах.

Полученные в диссертационной работе однопетлевые уравнения ренормализационной группы, описывающие зависимость физических величии (проводимости, спиновой восприимчивости, изоспиновой восприимчивости) от размера системы при нулевой температуре в двумерной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе со спиновыми и изоспиповыми степенями свободы и не предполагающие равенство амплитуд межэлектронного взаимодействия, существенно обогощают теорию переходов металл-изолятор. Применение полученных уравнений ренормализационной группы к конкретным двумерным электронным системам с дополнительными изоспиповыми степенями свободы позволяет объяснить ряд экспериментальных наблюдений в электронном транспорте и сделать предсказание о новом интересном поведении сопротивления при понижении температуры, требующее экспериментальной проверки.

Развитый в диссертационной работе метод получения непертурбативных уравнений ренормализациониой группы, описывающих для случая взаимодействующих спин-поляризовапных электронов зависимость диссипативной и холловской проводимости, а также амплитуды взаимодействия от размера системы и магнитного поля при нулевой температуре, является в настоящее время единственным способом учесть одновременно перенормировку проводимости за счёт электрон-электронного взаимодействия и орбитального влияния магнитного поля. В дальнейшем этот метод может быть применён для изучения вопроса о наблюдаемом экспериментально сосуществовании перехода металл-изолятор в нулевом магнитном поле и целочисленного квантового эффекта Холла. Развитый в диссертационной работе метод вычисления непертурбативных уравнений ренормализациониой группы может быть применён и для вычисления непертурбативных поправок к физическим наблюдаемым в неабелевых калибровочных теориях поля.

Построенная в диссертационной работе теория квантовых холловских осцилляций маг-нетопроводимости и теплоёмкости, учитывающая влияние межэлектронного взаимодействия, будет способствовать постановке экспериментов по изучению всплывапия делока-лизовапиых состояний над уровнем химического потенциала и квантования холловской проводимости в слабых магнитных полях.

Предсказываемое в диссертационной работе целочисленное квантование в пределе нулевой температуры новой физической величины, соответствующей затворной ёмкости од-ноэлектронного транзистора с большим числом туннельных каналов, имеет фундаментальное значение и существенно обогащает теорию кулоновской блокады в одноэлектрон-ных устройствах. Полученный результат показывает существование тесной связи между теорией целочисленного квантового эффекта Холла и теорией электронного транспорта в одноэлектронных устройствах.

Полученные в диссертационной работе результаты для температурной зависимости спиновой восприимчивости и туннельной плотности состояний, учитывающие наличие зарядовых и спиновых корреляций, зеемановского расщепления и флуктуаций одпочастич-иых уровней энергии, показывают, что в квантовых точках из почти ферромагнитных материалов явление мезоскопической стоунеровской неустойчивости можно экспериментально исследовать при достаточно высоких температурах.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 2002 - 2011 годах в 14 научных работах, список которых приводится в конце диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, четырёх приложений, списка публикаций и списка литературы.

Результаты работы [245] позволяют учесть в аномальных размерностях (2.91)-(2.93) ин-стантонные вклады, так что они примут вид:

7р2 2(ахх> > 0) = 7р2 2 ia'xx) 1 (2.94)

7Р2., Кх, 0'- 0) = 7ft . 1 Ю - ~~^~a'xxe~2n<J'xx cos в', (2.95)

7ft ^ , (<4, 0) = 7Pi 111 Ю - cos 0'. (2.96)

Заметим, что ипстантопный вклад в аномальную размерность собственного оператора Р2<2 равен точно нулю. Критический индекс а определяется минимальным значением, взятых с обратным знаком, аномальных размерностей операторов 2, Р2,1.1 и А,1,1,1 в критической точке: а = тт{-7р22(сг*х,7г,0),-7р211(а*х,7г,0),-7Л111(с7*х,7г,0)}. (2.97)

Результаты пертурбативных и иистантонных вычислений указывают на то, что аномальная размерность собственного оператора Р2^2 точно равна нулю при всех значениях сг'хх. С учётом того, что аномальные размерности собственных операторов Р2Лд и Pi,1,1,1 отрицательны при больших значениях а'хх, естественно предположить, что значение критического индекса а равно нулю: а = 0. Это предположение согласуется с результатом а — —0.05 ±0.1, полученным с помощью численного моделирования [256] в модели Чалкера-Коддингтоиа 30.

Таким образом, установив, что значение индекса а равно нулю, из уравнения (2.78) и таблицы 2.2 находим температурную зависимость времени сбоя фазы на переходе между плато в режиме целочисленного квантового эффекта Холла в случае короткодействующего межэлектронного взаимодействия: ос Т0и2(а) <

Тф

Т/То)1+М21п2(То/Т), А = Ас, (2.98)

Т/Т0)-1+А, 2 < А < Ас, где Ас = 2 + ~ 2.62 ± 0.05. В случае А > Ас. в согласии с обсуждением в конце раздела (2.3) получаем, что 1/т^ ос Тр причём р — 1 + Отсюда находим, что критический индекс

35Гипотеза о том. что значение критического индекса а равно нулю впервые была высказана в работе [236], в которой это значение определялось с помощью численного моделирования в модели Чалкера-Коддингтона. Однако, из-за малого размера моделируемой системы в работе [236] не удалось достичь скейлингового предела и действительно определить значение а. Использование в [256] сетки размера 1024x1024. что на порядок больше чем в работе [236]. позволило достичь скейлингового предела и извлечь значение а. гт = 2/р = 2/(1 + Отметим, что впервые этот результат был получен в работе [242], в которой предполагалось, что индекс а равен нулю.

Используя значения индексов и ~ 2.35 [210] и ¡и,2 ~ 0.62 [236, 256]. найденные из численного моделирования, получаем оценку 0.35 для значения критического индекса к = 1 /(игт), характеризующего зависимость ширины критической области от температуры для критической точки, соответствующей невзаимодействующим электронам [242, 256].

2.4.5 Обсуждение результатов

При анализе температурной зависимости частоты сбоя фазы были сделаны два предположения: о критическом поведении волновых функций, которые определяли температурную зависимость частоты сбоя фазы, и о том, что имеет смысл усреднённая частота сбоя фазы.

При вычислении частоты сбоя фазы как мнимой части собственно энергетической части, значение энергии Е = 0 в точности соответствовало критической точке (см. (2.73)). Предположим теперь, что химический потенциал // отстоит от критического значения ¡хс на величину порядка ширины перехода при данной температуре: — цс\ ос Ты. Корреляционная длина ^ ос — определяющая характерный пространственный масштаб электронных состояний, в этом случае будет равна длине Ьф ос Характерный масштаб интегрирования по И в выражении (2.77) определяется длиной Ьт ~ Г-1/2, которая в силу неравенства гт < г = й, (р > 1) много меньше Ьф: Ьт Ьф. Последнее неравенство оправдывает сделанное предположение о критическом поведении волновых функций.

Другое предположение, которое было сделано, - это усреднение частоты сбоя фазы по реализациям случайного потенциала. Как известно, в диэлектрической фазе при низких температурах усреднение не имеет смысла [48, 49, 50] так, как расстояние между уровнями энергии, соответствующим состояниям, с которыми данное состояние связано ненулевыми матричными элементами взаимодействия, становится больше средней частоты сбоя фазы, а значит золотое правило Ферми, на котором основано стандартное вычисление частоты сбоя фазы, теряет применимость. Однако, в критической области ситуация существенно другая. При данной температуре число состояний, дающих вклад в частоту сбоя фазы данного состояния, т.е. число состояний в полосе энергий порядка Т ив объёме порядка Ьф, оказывается пропорционально т. е. растёт по мере понижения температуры.

Таким образом, неравенство гт < (I (р > 1) оправдывает усреднение частоты сбоя фазы.

В этом разделе была вычислена частота сбоя фазы в низшем приближении по межэлектронному взаимодействию (золотое правило Ферми). Строго говоря, такое вычисление даёт только оценку сверху на значение Ьф, т. е. нижную оценку для критического индекса гт (или верхнюю оценку для критического индекса к). В принципе, нельзя исключить ситуации, когда вклады старших порядков по межэлектронпому взаимодействию будут доминировать из-за сильной мультифракталыюсти волновых функций. Для перехода между плато в режиме квантового эффекта Холла такая ситуация кажется маловероятной из-за наличия только слабой мультифрактальности. Однако, такая ситуация может реализовы-ваться, например, в переходе Андерсона в й = 3 (как с магнитным полем, так и без него), где мультифракталыюсть достаточно сильная. Отметим, что в настоящее время значения критических индексов и а для переходов Андерсона в й = 3 неизвестны.

Полученные в этом разделе результаты о связи критических индексов, определяющих температурное поведение частоты сбоя фазы, с аномальными размерностями операторов, не влияющих на лидирующее мультифрактальное поведение, указывают иа важность более детального исследования этих операторов. Их аномальные размерности численно могут быть найдены из изучения статистики волновых функций в критической области за рамками лидирующего мультифрактального поведения.

Результаты этого и предыдущего разделов демонстрируют, что значение критического индекса к = 0.42 ± 0.01, найденное из транспортных измерений в работе [191], не соответствует сделанным в пей выводам о том, что переход между плато в экспериментальной системе соответствует критической точке для невзаимодействующих электронов. В таком случае, значение критического индекса к должно быть меньше: к ~ 0.35 [242, 256]. Для окончательного подтверждения этого заключения, необходимы эксперименты по изучению переходов между плато в режиме целочисленного квантового эффекта Холла в ситуации, когда электрон-электронное взаимодействие короткодействующее. Потенциально, это можно было бы реализовать с помощью дополнительного затвора, экранирующего электрон-электронное взаимодействие в двумерной системе [262].

2.5 Осцилляции магнитосопротивления и теплоёмкости, связанные с наличием делокализованных состояний

2.5.1 Введение

В этом разделе будет изучаться зависимость физических наблюдаемых (диссипативной и холловской проводимости, теплоёмкости) от температуры и магнитного поля в области, где а'хх 1. Ниже будет показано, что физические наблюдаемые испытывают осцилляции с магнитным полем, амплитуда которых определяется инстаптонным вкладом, и как следствие, растёт с понижением температуры. Для упрощения вычислений и, имея в виду сравнение с экспериментом, будем рассматривать случай кулоповского взаимодействия,

У. = -1.

2.5.2 Зависимость диссипативной и холловской проводимости от температуры и магнитного поля

Зависимость диссипативной и холловской проводимости от размера системы Ь при Т = О может быть найдена из решения уравнений (2.45)-(2.46). Решая их для 75 = —1, получаем а'ххЩ = °хх{Ь) - /хх(сГХхЩ) - /оо(сгхх) а'хуШ = аху ~ 1ху((ГххШ) ~ /оо(^хх)

СОЭ 27ГС7 ху, эш 2тта.

2.99) ху

Здесь функции /хх{г), /ху(г) и }оа{г) совпадают и равны: /хх(г) = /ху{г) = ./^(г) = [1)(—1)/4]г2 ехр(—27гг). Напомним, что ахх(Ь) = ахх — (2/тт)\пЬ/1, а сгхх = ахх(1) и аху = оху{1). Заметим, что величины ахх и аху зависят от магнитного поля. Зависимость холловской и диссипативной проводимости от температуры можно найти из уравнений

2.99), если учесть, что при конечной температуре и Ь Ьт = у/ахх/(гТ) логарифмическая расходимость обрезается масштабом Ьт (см. обсуждение в разделе 1.2.5). Тогда, получаем ахх(т) = °хх{Т) - /хх(охх{Т)) - /оо (<Ухх) соэ 2-ка, а'ху{Т) = (Уху - 1ху{(?хх(Т)) — /оо{<7хх) ът2жаху.

2.100)

Аккуратное вычисление однопетлевой поправки к проводимости (1.21) при конечной температуре даёт 1 с2= I ах - [[1-хсЬЪх]~ «0.43. (2.101) г\ 2 1 с*Ьт

УххЦ ) = °хх--ш ~п=7>

7Г 4\/7Г1 зЬ2х

1 о

Выражения (2.100) описывают осцилляции диссипативной и холловской проводимости с магнитным полем (точнее с аху) с амплитудой, определяемой инстантонным вкладом и увеличивающейся при понижении температуры. В дальнейшем будем называть эти осцилляции квантовыми холловскими осцилляциями. Выражения (2.100) справедливы при не слишком низких температурах таких, что ахх(Т) 1.

Величины сгхх(Т) и сг' (Т) представляют собой усредненные по ансамблю диссипатив-ную и холловскую проводимости. В макроскопическом образце размера Ь Ьф измеряемые проводимости Схх И С.ху (т£1КЖ6 как и другие физические наблюдаемые) могут сильно отличаться от усредненных по ансамблю. Это связано с тем, что образец размера Ьф эффективно разделён на независимые области с характерным размером порядка Ьф. В каждой такой области тензор проводимости испытывает мезоскопические флуктуации [263, 264, 265]. Из-за этого измеряемые физические наблюдаемые зависят от функций распределения физических наблюдаемых в области с размером порядка Ьф [266]. Поэтому, для сравнения с экспериментом полезно обобщить выражения (2.100) таким образом, чтобы, с одной стороны, они описывали зависимость измеряемой проводимости от температуры, а, с другой стороны, не зависели от конкретного вида функций распределения.

Для того, чтобы найти зависимость Схх и Сху от температуры, применим хорошо известный метод уравнения Каллана-Симанчика [10]. В нём предполагается, что измеряемая физическая наблюдаемая, которая, вообще говоря, есть функция переменых 1,дхх,аху, и Тг не зависит от длины свободного пробега, на которой определены величины ахх = ст'хх(1) и &ху = &ху(1) 36- Заметим, что, как видно из уравнения (2.99), ахх = ахх, аху = аху и 2 = г. Тогда, измеряемые проводимости удовлетворяют уравнению Каллана-Симанчика: где теперь /хх и /ху произвольные функции своего аргумента д(Х), который есть произвольная функция скейлинговой переменной X — Тг12 ехр(7гстхх)/у/ахх. Последняя, как легко проверить, не зависит от I. Уравнения (2.103) описывают зависимость измеряемой диссипативной и холловской проводимости от температуры и магнитного поля. Они, в отличие от уравнений (2.100), не ограничены условием а'хх(Т) 1, а справедливы даже при таких температурах, что д(Х) ~ 1, если выполнены условия, что амплитуда осцил-ляций при изменении аху мала: /хх(<?(Х)) <С д{Х) и fxy(g(X)) <§; 1. При этом, конечно, предполагается, что ахх 1. Сравнение уравнений (2.100) и (2.103) показывает, что при

36Такая гипотеза о независимости физических наблюдаемых от микроскопического масштаба находится в основе скейлинговой теории.

СаЬ = 0. (2.102)

Решая эти уравнения с помощью выражений (2.56)-(2.57) и (2.59), найдём вхх{Т) = д(Х) - [/хх{д(Х)) - и{ёхх)тгХд'(ХЦ соз2 Сху(Т) = аху- }ху(д{Х)) - }00{ахх) $т2ждху,

2.103) температурах таких, что X » 1, д(Х) « (1/тт)\пХ, а ¡хх{д) = /ху{д) = /00(5)- Выражения (2.103). описывающие квантовые холловские осцилляции проводимости, были впервые получены в работе [267].

2.5.3 Зависимость теплоёмкости от температуры и магнитного поля

Физическая наблюдаемая г' определяет температурное поведение теплоёмкости (на единицу площади). Как следует из определения (1.10). теплоёмкость можно оценить как 37 у7У(Г).

2.104)

Здесь численный коэффициент выбран так, чтобы с учётом того, что 2 = то*/4, выражение (2.104) без учёта квантовых поправок, т. е. при г вместо г'(Т). переходило в известный ответ для ферми-жидкости.

Решая уравнение (2.55) для г'(Т) при 7,, = —1, получаем при ахх > 1 и не слишком низких температурах, таких что ахх(Т) 2> 1, следующее выражение г'(Т) = хх{Т)

1/2 1

•оо ( &ХХ (Г)) - /1оо(сГхх)

7.7

Г \ !/2'

XX \

Ж))

СОЭ 2пОху

2.105)

Здесь 2 = г(1) и функция ко0(г) = [£>(—1)/24]гехр(—2ттг). Выражение (2.105) описывает квантовые холловские осцилляции теплоёмкости.

Как обсуждалось выше, физическая наблюдаемая г'(Т) определяет усреднённую по ансамблю теплоёмкость, которая может отличаться от измеряемой теплоёмкости, равной (2я/3)Т2,(Т). В предположении, что %>(Т) удовлетворяет уравнению Каллана-Симапчика (2.102), находим, что

Ъ(Т) =

Цд(х)) +

Ъ{д(Х)) + коо {ахх)к(д(Х)) + (ахх)

ЛНд(Х))

ЫХ

СОЭ 27Г(7т ху Г ; (2.106) где Н(д) и кг(д) произвольные функции своего аргумента д{Х). Заметим, что, как следует из уравнения (2.105), 2 = 2 = г(1). Выражение (2.106) впервые было получено в работе

З70тметим. что, если делать более аккуратно [109], то имеет место следующее соотношение: д(13Г1)/д/3 = 1<^п|Т(гшп). причём наблюдаемая г' определяется функцией Т(гшп) как г' = Нтп^о Теплоёмкость су = (д/дТ) ско(ш/п) сЙ1 (ш/2Т) ЯеТя(а;). где Тк(ш) - это запаздывающая функция, соответствующая мацубаровской функции Т(гип). В случае, когда интеграл определяется частотами и ~ Т. получаем выражение (2.104).

268]. Сравнение температурной зависимости выражений (2.105) и (2.106) показывает, что при не слишком низких температурах, таких что 1 > 1 и д()С) = (1/-7г)1пХ, функция ^(э) = \[9 и ^г(Х)/к(Х) = —/1оо(д)- В этом режиме выражение (2.106) принимает вид

Отметим, что выражения (2.106) и (2.107) различаются только членами порядка ехр(—2-похх). Такое различие возникает из-за того, что при выводе выражения (2.106) решалось уравнение (2.55), а выражение (2.107) соответствует решению уравнений (2.56)-(2.57) и (2.59). Таким образом, в квантовых холловских осцилляциях теплоёмкости (в отличие от осцилляций проводимости) можно проверить гипотезу о том, что уравнения (2.45)-(2.46) и (2.55) переходят в (2.56)-(2.57) и (2.59).

2.5.4 Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом

Квантовые холловские осцилляции в таких физических наблюдаемых, как диссипативная и холловская проводимости, теплоёмкость, и (в случае неполной спиновой поляризации) спиновая восприимчивость, имеют совершенно другую физическую природу, чем хорошо известные осцилляции Шубпикова-де Гааза и де Гааза-ван Альфена. Существование последних связано с наличием периодической структуры в плотности состояний, в частности, с наличием уровней Ландау. Размытие уровней Ландау приводит к исчезновению осцилляций Шубникова-де Гааза и де Гааза-ван Альфена в режиме слабых магнитных полей т"1 и>с = еВ/т±с, где тя - время рассеяния на все углы. В тоже время, в этом случае квантовые холловские осцилляции могут иметь заметную амплитуду при низких температурах, так как они связаны только с существованием периодической (в переменных аху) структуры делокализованиых состояний [170, 211, 212]. Отметим, что существование квантовых холловских осцилляций в теплоёмкости является специфическим явлением для взаимодействующих электронов. В невзаимодействующей электронной системе они отсутствуют в отличие от квантовых холловских осцилляций проводимости, которые впервые обсуждались в работе [212].

В двумерных электронных системах, изучаемых экспериментально, всегда присутствует длинноволновая компонента случайного потенциала. Поэтому, необходимо различать транспортное время рассеяния (т4г) и время рассеяния на все углы (тд), которое определяет уширение уровней Ландау из-за беспорядка. В области классически слабых магнитных полей, шс <С 1 /т1г, при низких температурах таких, что ахх(Т) > 1, должны наблюдаться

2.107) осцилляции физических наблюдаемых с магнитным полем, которые являются квантовыми холловскими осцилляциями. При этом положение экстремумов определяется условием дху = к + 1/2 и не совпадает с положением экстремумов у осцилляций Шубникова-де Гааза и де Гааза-ван Альфена, которые в этом режиме полностью подавлены беспорядком. В области магнитных полей l/rtr €шсС 1/тд при низких температурах опять должны наблюдаться квантовые холловские осцилляции. Но, в этом режиме положение экстремумов совпадает с положениями экстремумов у осцилляций Шубникова-де Гааза и де Гааза-ван Альфена, которые всё ещё подавлены рассеянием на случайном потенциале. В области сильных магнитных нолей, 1/тд шс, когда уровни Ландау хорошо разделены, осцилляции Шубникова-де Гааза и де Гааза-ван Альфена преобладают над квантовыми холловскими осцилляциями. Поэтому, для наблюдения квантовых холловских осцилляций нужно выполнение следующих условий: а) слабое магнитное поле, шс <С т"1, б) не очень большие значения схх для того, чтобы были достижимы низкие температуры такие, что &хх{Т) > 1, в) холловская проводимость должна меняться на несколько единиц при изменении магнитного поля, ограниченного условием шс <С т-1. Вообще говоря, совместить все эти три условия в одном эксперименте достаточно сложно.

Недавно осцилляции магнитопроводимости изучались экспериментально на тонком трёхмерном образце из слоёв GaAs, дотированных Si [243]. При низких температурах транспорт в образце имел характер двумерного с эффективной концентрацией электронов около 1012 см-2. Значение диссипативпой проводимости в нулевом магнитном поле было GXX(B — 0) « 14, несмотря на низкую подвижность (около 2500 см2/В-с). В работе [243] в области промежуточных магнитных полей, т^1 < юс < т~1. было найдено, что осцилляции магнитопроводимости при температурах от 0.1 К до Т0 = 4.2 К описываются следующими формулами

GXX(T) « GS™(T) - [fxx(Gsxmx(T)) - fxx(GTx(T0))} cos[2nGxy(T0)},

GXx(T) « Gxy(T0) - [fxy(G™(T)) - fxy(GTx(T0))} sin[27rGxy(T0)}; где GS™(T) - это иеосциллирующая часть диссипативной проводимости, которая в эксперименте [243] менялась в достаточно узком интервале от 0.7 до 0.9 38. При этом оказалось, что G%(T) и (1/тг) ЬаХ, а fxx(G™) = fxy(Gs™) « 7.6ехр(-2тгС-). Как легко видеть, выражения (2.108), описывающие экспериментальные зависимости, следуют из общих уравнений (2.103) для зависимости измеряемых диссипативной и холловской проводимости от

38В эксперименте [243] магнитное поле было недостаточным для поляризации спина электронов. Для сравнения с теорией результаты эксперимента [243] пересчитаны на одну проекцию спина. температуры и аху при условии д(Х) = (1/7г) 1пХ 39.

Таким образом можно сказать, что результаты экспериментов [243] находятся в качественном согласии с представленной в этом разделе теорией квантовых холловских осцил-ляций проводимости. Для более детального сравнения теории и эксперимента необходимы измерения осцилляций магнитосопротивления в более широком интервале температур так, чтобы С®™(Г) изменялось в широком диапозоне. Также, было бы полезно измерить квантовые холловские осцилляции проводимости иа других системах с двумерными электронами. Интересной представляется задача измерения квантовых холловских осцилляций теплоёмкости и спиновой восприимчивости в случае неполной поляризации.

Заключение

Из представленного цикла исследований, основные результаты которого изложены в 14 научных работах, список которых приводится в приложении, могут быть сделаны следующие выводы:

1. Поведение сильно-коррелированных неупорядоченных электронных систем со спиновыми и изоспииовыми степенями свободы, в которых амплитуды взаимодействия между электронами с разными проекциями спина и изоспина имеют различные значения, качественно отличается от случая однодолинной системы.

2. В двухдолинной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе металлическое поведение сопротивления изменяется на диэлектрическое поведение при достаточно низких температурах только при наличии как зеемановского, так и меж-долипного расщеплений.

3. В двухдолинной сильно-коррелированной неупорядоченной электронной системе при низких температурах возможно существование двух максимумов в температурной зависимости сопротивления вблизи перехода металл-изолятор.

4. В двумерной взаимодействующей неупорядоченной электронной системе в структурах с двойной квантовой ямой и общими рассеивателями электронный транспорт при достаточно низких температурах оказывается таким же как в двух независимых квантовых ямах.

5. В двухпетлевом приближении переход металл-изолятор в системе двумерных взаимодействующих электронов с полностью поляризованными спинами отсутствует.

6. В системе электронов с полностью поляризованными спинами наличие межэлектронного взаимодействия оставляет в силе хорошо известное для модели невзаимодействующих электронов качественное объяснение целочисленного квантования холловской проводимости.

7. Температурная зависимость времени сбоя фазы в критической области перехода между плато в режиме целочисленного квантового эффекта Холла в спин-поляризованпой электронной неупорядоченной системе с короткодействующим межэлектронным взаимодействием определяется критическим индексом, зависящим только от аномальной размерности амплитуды электрон-электронного взаимодействия в критической точке для невзаимодействующих электронов.

8. В двумерной неупорядоченной спин-поляризоваиной электронной системе с кулоиов-ским взаимодействием в перпендикулярном магнитном поле предсказаны осцилляции теплоёмкости с магнитным полем, которые отличны от осцилляций де Гааза и связаны с наличием делокализовапных состояний.

9. В одноэлектронном транзисторе, наряду с появлением температурной зависимости коидактанса. перенормировки приводят также к возникновению температурной зависимости у затворной ёмкости, делая её отличной от геометрической ёмкости затвора. Заряд, соответствующий затворной ёмкости одноэлектронпого транзистора, целочислепио квантуется при нулевой температуре.

10. Вблизи порога стоунеровской неустойчивости явление мезоскопической стоунеров-ской неустойчивости в квантовых точках можно наблюдать в широком интервале температур, изучая логарифмическую температурную зависимость квадрата эффективного спина в законе Кюри для спиновой восприимчивости и дополнительное немонотонное поведение дифференциального коидактанса в зависимости от приложенного напряжения.

1. P. W. Anderson, Absence of diffusion in certain random lattices, Phys. Rev. 109, 1492 (1958).

2. N. F. Mott, W. D. Twose. The theory of impurity conduction. Adv. in Phys. 10, 107 (1961).

3. J. Fröhlich. F. Martineiii, E. Scoppola, Т. Spencer, Constructive proof of localization in the Anderson tight binding model, Commun. Math. Phys. 101, 21 (1985).

4. D. J. Thouless, Electrons in disordered systems and the theory of localization, Phys. Rep. 13, 93 (1974).

5. E. Abrahams. P. W. Anderson, D. C. Licciardello, Т. V. Ramakrishnan, Scaling theory of localization: Absence of quantum diffusion in two dimensions, Phys. Rev. Lett. 42. 673 (1979).

6. Jl. П. Горьков, А. И. Ларкин, Д. E. Хмельницкий, Проводимость частицы в двумерном случайном потенциале. Письма в ЖЭТФ 30, 248 (1979).

7. Е. Abrahams, Т. V. Ramakrishnan, Scaling theory of localization and non-ohmic effects in two-dimensions. J. Non-Cryst. Solids 35, 15 (1980).

8. F. Wegner, Electrons in disordered systems. Scaling near the mobility edge, Z. Phys. В 25. 327 (1976).

9. A. 3. Паташинский, В. Л. Покровский, Флуктуационная теория фазовых переходов, Наука, Москва, 1975.

10. D. J. Amit, Field theory, renormahzation group, and critical phenomena, (World Scientific, 1984).

11. J. Zinn-Justin, Quantum field theory and critical phenomena. (University Press, 1989).

12. F. Wegner, The mobility edge problem: continuous symmetry and a conjecture, Z. Phys. В 35. 207 (1979).

13. L. Schäfer. F. Wegner, Disordered system withn orbitale per site. Lagrange formulation, hyperbolic symmetry, and goldstone modes, Z. Phys. В 38, 113 (1980).

14. К. Б. Эфетов, А. И. Ларкин, Д. Е. Хмельницкий, Взаимодействие диффузионных мод в теории локализации, ЖЭТФ 79, 1120 (1980).

15. К. Jiingling, R. Oppermann, Effects of spin interactions in disordered electronic systems: Loop expansions and exact relations among local gauge invariant models, Z. Phys. В 38, 93 (1980).

16. A. J. McKane, M. Stone. Localization as an alternative to Goldstone's theorem, Ann. Phys. (N.Y.) 131, 36 (1981).

17. К. Б. Эфетов, Метод суперсимметрии в теории локализации, ЖЭТФ 82, 872 (1982).

18. В. JI Березинский, Кинетика квантовой частицы в одномерном случайном потенциале, ЖЭТФ 65. 1251 (1973).

19. P. A. Lee, Т. V. Ramakrishnan. Disordered electronic systems. Rev Mod. Phys. 57, 287 (1985).

20. К. B. Efetov, Supersymmetry and theory of disordered metals, Adv. Phys. 32. 53 (1983): Supersymmetry in Disorder and Chaos, (Cambridge University Press. 1997).

21. E. P. Wigner. On a Class of Analytic Functions from the Quantum Theory of Collisions. Ann. Math. 53. 36 (1951).

22. F. J. Dyson, Statistical Theory of the Energy Levels of Complex Systems. I, J. Math. Phys. 3, 140 (1962).

23. F. J. Dyson, The Threefold Way. Algebraic Structure of Symmetry Groups and Ensembles in Quantum Mechanics, J. Math. Phys. 3, 1199 (1962).

24. M. R. Zirnbauer. Riemannian symmetric superspaces and their origin in random-matrix theory, J. Math. Phys. 37, 4986 (1996).

25. A. Altland, M. R. Zirnbauer, Nonstandard symmetry classes in mesoscopic normal-superconducting hybrid structures. Phys. Rev. В 55, 1142 (1997).

26. P. Heinzner, A. Huckleberry, M. R. Zirnbauer, Symmetry Classes of Disordered Fermions, Commun. Math. Phys. 257, 725 (2005).

27. E. Brezin, S. Hikami. J. Zinn-Justin, Generalized non-linear o-models with gauge mvariance, Nucl. Phys. В 165, 528 (1980)

28. H. Levine, S.В. Libby, A.M.M. Pruisken, Electron delocalization by a magnetic field in two dimensions, Phys. Rev. Lett. 51, 1915 (1983).

29. A. M. M. Pruisken, On localization in the theory of the quantized Hall effect: a two-dimensional realization of the в-vacuum, Nucl. Phys. В 235, 277 (1984).

30. A. M. M. Pruisken, in The Quantum Hall Effect, eds. R. E. Prange and S. M. Girvin (Springer, 1987), p. 117.

31. A. P. Schnyder, S. Ryu, A. Furusaki, A. W. W. Ludwig, Classification of topological insulators and superconductors in three spatial dimensions, Phys. Rev. В 78, 195125 (2008).

32. A. P. Schnyder, S. Ryu, A. Furusaki, A. W. W. Ludwig, Classification of Topological Insulators and Superconductors, AIP Conf. Proc. 1134, 10 (2009).

33. A. Yu. Kitaev, Periodic table for topological insulators and superconductors, AIP Conf. Proc. 1134, 22 (2009).

34. F. Wegner, Inverse participation ratio in 2 + e dimensions, Z. Phys. В 36, 209 (1980).

35. С. Castellani, L. Peliti, Multifractal wavefunction at the localisation threshold, J. Phys. A 19, L429 (1986).

36. В. E. Кравцов, И. В. Лериер, Неустойчивость однопараметрической ренормализа-ционной группы в задаче локализации, ЖЭТФ 88 1281 (1985).

37. A. D. Mirlin, Statistics of energy levels and eigenfunctions in disordered systems, Phys. Rep. 326, 259 (2000).

38. A. D. Mirlin, F. Evers, Anderson Transitions, Rev. Mod. Phys. 80, 1355 (2008).

39. Special issue: 50 years of Anderson localization, Int. J. Mod. Phys. В 24, Nos. 12&13 (2010).

40. M. Lopez, J.-F. Clément, P. Szriftgiser, J. C. Garreau, D. Delande. Experimental Test of Universality of the Anderson Transition, Phys. Rev. Lett. 108, 095701 (2012).

41. D. J. Thouless, Maximum metallic resistance in thin wires, Phys. Rev. Lett. 39. 1167 (1977).

42. E. Abrahams, P. W. Anderson, Т. V. Ramakrishnan, Possible explanation of non-linear conductivity in thm-film metal wires, Phys. Rev. Lett. 43, 718 (1979).

43. B. L. Altshuler, A. G. Aronov, D. E. Khmelnitsky, Effects of electron-electron collisions with small energy transfers on quantum localisation, J. Phys. С 15, 7367 (1982).

44. A. Schmid, On the dynamics of electrons in an impure metal, Z. Phys. В 271, 251 (1974).

45. Б Л. Альтшулер. А. Г. Аронов, Затухание одноэлектронных возбуждений в металлах, Письма в ЖЭТФ 30, 514 (1979).

46. Ya. М. Blanter. Electron-electron scattering rate in disordered mesoscopic systems, 54. 12807 (1996).

47. L. Fleishman, P. W. Anderson. Interactions and the Anderson transition, Phys. Rev. В 21, 2366 (1980).

48. I. V. Gornyi, A. D. Mirlin. D. G. Polyakov. Interacting electrons in disordered wires: Anderson localization and low-T transport, Phys. Rev. Lett. 95, 206603 (2005).

49. D. M. Basko, I. L. Aleiner. B. L. Altshuler, Metal-insulator transition in a weakly interacting many-electron system with localized single-particle states. Ann. Phys. (N.Y.) 321. 1126 (2006).

50. Б. Jl. Альтшулер, А. Г. Аронов, К теории неупорядоченных металлов и сильнолегированных полупроводников, ЖЭТФ 77, 2028 (1979).

51. В. L. Altshuler. A. G. Aronov. P. A. Lee. Interaction effects in disordered Fermi systems in two dimensions. Phys. Rev. Lett. 44, 1288 (1980).

52. G Zala, B. N. Narozhny, I. L. Aleiner, Interaction corrections at intermediate temperatures: Longitudinal conductivity and kinetic equation, Phys. Rev. В 64 214204 (2001).

53. В. L. Altshuler, A. G. Aronov. in Electron-Electron Interactions in Disordered Conductors, ed. A.J. Efros and M. Pollack. Elsevier Science Publishers. North-Holland. 1985.

54. W. L. McMillan. Scaling theory of the metal-insulator transition in amorphous materials, Phys. Rev. В 24, 2739 (1981).

55. A. M. Финкельштейи, Влияние кулоновского взаимодействия на свойства неупорядоченных металлов, ЖЭТФ 84, 168 (1983).

56. А. М. Финкельштейи, О частотной и температурной зависимости проводимости вблизи перехода металл-изолятор, Письма в ЖЭТФ 37, 436 (1983).

57. А. М. Финкельштейи, Спиновые флуктуации в неупорядоченных системах вблизи перехода металл-изолятор, Письма в ЖЭТФ 40, 63 (1984).

58. А. М. Финкельштейи, О переходе металл-изолятор в неупорядоченной системе, ЖЭТФ 86, 367 (1984).

59. С. Castellani, С. Di Castro, P. A. Lee, M. Ma, Interaction-driven metal-insulator transitions in disordered fermion systems, Phys. Rev. В 30, 527 (1984).

60. С. Castellani, С. Di Castro, P. A. Lee, M. Ma, S. Sorella, E. Tabet, Spin fluctuations m disordered interacting electrons, Phys. Rev. В 30, 1596 (1984).

61. A. M. Finkelstein. Weak localization and Coulomb interaction m disordered systems, Z. Phys. В 56, 189 (1984).

62. A. M. Finkelstein, Electron liquid in disordered conductors, vol. 14 of Soviet Scientific Reviews, ed. by I. M. Khalatnikov, Harwood Academic Publishers, London, (1990).

63. D. Belitz, T. R. Kirkpatrick, The Anderson-Mott transition, Rev. Mod. Phys. 66, 261 (1994).

64. L. Dell'Anna. Disordered d-wave superconductors with interactions, Nucl. Phys. В 758, /255 (2006).

65. T. Ando, A. B. Fowler, F. Stern, Electronic properties of two-dimensional systems, Rev. Mod. Phys. 54, 437 (1982).

66. S. V. Kravchenko, G. V. Kravchenko, J. E. Furneaux. V. M. Pudalov, M. D'lorio, Possible metal-insulator transition at B=0 in two dimensions, Phys. Rev. В 50, 8039 (1994).

67. S.V. Kravchenko, W.E. Mason, G.E. Bowker, J.E. Furneaux, V.M. Pudalov, M.D'Iorio, Scaling of an anomalous metal-insulator transition in a two-dimensional system in silicon at B=0, Phys. Rev. В 51, 7038 (1995).

68. D.A. Knyazev, O.E. OmeFyanovskii, V.M. Pudalov, I.S. Burmistrov, Metal-insulator transition in two dimensions: Experimental test of the two-parameter scaling, Phys. Rev. Lett. 100. 046405 (2008).

69. E. Abrahams. S. V. Kravchenko, M. P. Sarachik, Metallic behavior and related phenomena m two dimensions, Rev. Mod. Phys. 73. 251 (2001).

70. E.Jl. Шаигина, В.Т. Долгополов, Квантовые фазовые переходы в двумерных системах, УФН 173. 801 (2003).

71. S.V. Kravchenko, М. P. Sarachik, Metal-insulator transition in two-dimensional electron systems, Rep. Prog. Phys 67, 1 (2004).

72. А. А. Шашкин. Переходы металл-диэлектрик и эффекты электрон-электронного взаимодействия в двумерных электронных системах, УФН 175, 139 (2005).

73. В.Ф. Гантмахер. В.Т. Долгополов. Квантовые фазовые переходы ''локализованные-делокализованные электроны", УФН 178, 3 (2008).

74. D. Simoman, S. V. Kravchenko, М. P. Sarachik, and V. М. Pudalov, Magnetic field suppression of the conducting phase in two dimensions, Phys. Rev. Lett. 79, 2304 (1997).

75. S. A. Vitkalov, K. James, B. N. Narozhny. M. P. Sarachik. Т. M. Klapwijk, Inplane magnetoconductivity of Si MOSFETs: A quantitative comparison of theory and experiment, Phys. Rev. В 67. 113310 (2003).

76. V.M. Pudalov, M.E. Gershenson, H. Kojima. G. Brunthaler, A. Prinz. G. Bauer.1.teraction effects in conductivity of Si inversion layers at intermediate temperatures, Phys. Rev. Lett. 91. 126403 (2003).

77. D. A. Knyazev, О. E. Omel'yanovskii, V. M. Pudalov, I. S. Burmistrov. Critical behavior of transport and magnetotransport in 2D electron system in Si in the vicinity of the metal-insulator transtion, Письма в ЖЭТФ 84, 780 (2006).

78. J. Yoon, С. С. Li. D. Shahar, D. C. Tsui, M. Shayegan, Parallel magnetic field induced transition in transport in the dilute two-dimensional hole system m GaAs, Phys. Rev. Lett. 84, 4421 (2000).

79. A. Punnoose, A. M. Finkelstein, Metal-insulator transition in disordered two-dimensional electron systems, Science 310, 289 (2005).

80. A. Punnoose, A. M. Finkelstein, Dilute electron gas near the metal-insulator transition: Role of valleys in silicon inversion layers, Phys. Rev. Lett. 88, 016802 (2001).

81. S. Anissimova, S. V. Kravchenko, A. Punnoose, A. M. Finkel'stein, Т. M. Klapwijk, Flow diagram of the metal-insulator transition in two dimensions, Nature Phys. 3, 707 (2007).

82. A. Yu. Kuntsevich, N. N. Klimov, S. A. Tarasenko, N. S. Averkiev, V. M. Pudalov. H. Kojima, M. E. Gershenson, Intervalley scattering and weak localization m Si-based two-dimensional structures, Phys. Rev. В 75, 195330 (2007).

83. N. N. Klimov, D. A. Knyazev, О. E. Omelyanovskii, V. M. Pudalov, H. Kojima, M. E. Gershenson, Interaction effects in conductivity of a two-valley electron system in high-mobihty Si inversion layers, Phys. Rev. В 78, 195308 (2008).

84. M. Shayegan, E. P. De Poortere, O. Gunawan, Y. P. Shkolnikov, E. Tutuc, and K. Vakili, Two-dimensional electrons occupying multiple valleys in AlAs, Phys. Stat. Sol.(b) 243, 3629 (2006).

85. O. Gunawan, Y. P. Shkolnikov, K. Vakili, T. Gokmen, E. P. De Poortere, M. Shayegan, Valley susceptibility of an interacting two-dimensional electron system, Phys. Rev. Lett. 97, 186404 (2006).

86. O. Gunawan, T. Gokmen, K. Vakili, M. Padmanabhan, E. P. De Poortere, M. Shayegan, Spm-valley phase diagram of the two-dimensional metal-insulator transition, Nature Phys. 3, 388 (2007).

87. I. S. Burmistrov, N. M. Chtchelkatchev, Cross-over behavior of disordered interacting two-dimensional electron systems in a parallel magnetic field, Письма в ЖЭТФ 84, 775 (2006).

88. T. J. Gramila, J. P. Eisenstein, A. H. MacDonald, L. N. Pfeiffer, K. W. West, Mutual friction between parallel two-dimensional electron systems, Phys. Rev. Lett. 66, 1216 (1991).

89. U. Sivan, P. M. Solomon, H. Shtrikman, Coupled electron-hole transport, Phys. Rev. Lett. 68, 1196 (1992).

90. M. P. Lilly, J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, K. W. West, Coulomb drag in the extreme quantum limit, Phys. Rev. Lett. 80, 1714 (1998).

91. R. Pillarisetty, Hwayong Noh, D. C. Tsui, E. P. De Poortere, E. Tutuc, M. Shayegan, Frictional drag between two dilute two-dimensional hole layers, Phys. Rev. Lett. 89, 016805 (2002).

92. M. Kellog, J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, K. W. West, Vanishing Hall resistance at high magnetic field in a double-layer two-dimensional electron system, Phys. Rev. Lett. 93, 036801 (2004).

93. E. Tutuc, M. Shayegan, D. A. Huse, Counterflow measurements in strongly correlated GaAs hole bilayers: Evidence for electron-hole pairing, Phys. Rev. Lett. 93, 036802 (2004).

94. J. P. Eisenstein, A. H. MacDonald, Bose-Einstein condensation of excitons in bilayer electron systems, Nature 432, 691 (2004).

95. G. S. Boebinger, H. W. Jiang, L. N. Pfeiffer, K. W. West, Magnetic-field-driven destruction of quantum Hall states in a double quantum well, Phys. Rev. Lett. 64, 1793 (1990).

96. A. Sawada, Z. F. Ezawa, H. Ohno, Y. Horikoshi, Y. Ohno, S. Kishimoto, F. Matsukura, M. Yasumoto, A. Urayama, Phase transition in the v = 2 bilayer quantum Hall state, Phys. Rev. Lett. 80, 4534 (1999).

97. V. S. Khrapai, E. V. Deviatov, A. A. Shashkin, V. T. Dolgopolov, F. Hastreiter, A. Wixforth, K. L. Campman, A. C. Gossard, Canted antiferromagnetic phase in a double quantum well in a tilted quantizing magnetic field, Phys. Rev. Lett. 84, 725 (2000).

98. G. M. Minkov, A. V. Germanenko, O. E. Rut, O. I. Khrykin, V. I. Shashkin, V. M. Daniltsev, Inter-well transitions and negative magnetoresistance in double-quantum-well heterostructures, Nanotechnology 11, 406 (2000).

99. I. R. Pagnossin, A. K. Meikap, T. E. Lamas, G. M. Gusev, J. C. Portal, Anomalous dephasmg scattering rate of two-dimensional electrons m double quantum well structures, Phys. Rev. В 78, 115311 (2008).

100. G. M. Minkov, A. V. Germanenko, 0. E. Rut, A. A. Sherstobitov, A. K. Bakarov, D. V. Dmitriev. Dephasmg and mterwell transitions m double quantum well heterostructures, Phys. Rev. В 82, 165325 (2010).

101. G. M. Minkov, A. V. Germanenko, О. E. Rut, A. A. Sherstobitov, A. K. Bakarov, D. V. Dmitriev, Interaction correction to conductivity of AlxGa\-xAs/GaAs double quantum well heterostructures near the balance, Phys. Rev. В 84, 07-5337 (2011) .

102. A. Kamenev, A. Levchenko, Keldysh technique and non-linear a-model: basic principles and applications, Adv. Phys. 58, 197 (2009).

103. A. M. M. Pruisken, M. A. Baranov, B. Skoric, (Mis-)handling gauge invariance in the theory of the quantum Hall effect. I. Unifying action and the и = 1/2 state, Phys. Rev. В 60, 16807 (1999).

104. С. Castellani, С. Di Castro, Effective Landau theory for disordered interacting electron systems: Specific-heat behavior, Phys. Rev. В 34, 5935 (1986).

105. A. Kamenev, A. Andreev. Electron-electron interactions in disordered metals: Keldysh formalism, Phys. Rev. В 60, 2218 (1999).

106. A. M. M. Pruisken, M. A. Baranov, I. S. Burmistrov, Non-Fermi liquid theory of the quantum Hall effects, Письма в ЖЭТФ 82, 166 (2005).

107. M. A. Baranov, A. M. M. Pruisken, B. Skoric, (Mis-)handling gauge invariance m the theory of the quantum Hall effect. II. Perturbative results, Phys. Rev. В 60, 16821 (1999).

108. A.M. Polyakov, Interaction of goldstone particles in two dimensions. Applications to ferromagnets and massive Yang-Mills fields, Phys. Lett. В 59, 79 (1975).

109. Б. Jl. Альтшулер, А. Г. Аронов, А. И. Ларкин, Д. E. Хмельницкий, Аномальное магнитосопротивление в полупроводниках, ЖЭТФ 81, 768 (1981).

110. Б. Л. Альтшулер, А. Г. Аронов, Магнетосопротивление тонких пленок в продольном магнитном поле и проволок, Письма в ЖЭТФ 33, 515 (1981).

111. B. L. Altshuler, D. E. Khmel'nitzkii, A. I. Larkin, P. A. Lee. Magnetoresistance and Hall effect in a disordered two-dimensional electron gas, Phys. Rev. B 22, 5142 (1982).

112. I.S. Burmistrov, I.V. Gornyi, K.S. Tikhonov, Disordered electron liquid in double quantum well heterostructures: Renormalization group analysis and dephasmg rate, Phys.Rev.B 84, 075338 (2011).

113. S. Brener, S. V. Iordanski, A. Kashuba, Possible Jahn-Teller effect m Si inverse layers. Phys. Rev. B 67, 125309 (2003).

114. M. O. Nestoklon, L. E. Golub, E. I. Ivchenko, Spin and valley-orbit splittings m SiGe/Si heterostructures, Phys. Rev. B 73, 235334 (2006).

115. I.S. Burmistrov. N.M. Chtchelkatchev. Spin-valley interplay m two-dimensional disordered electron liquid, Phys. Rev. B 77, 195319 (2008).

116. A. Punnoose. A. M. Finkel'stein, A. Mokashi, S. V. Kravchenko, Test of scaling theory in two dimensions in the presence of valley splitting and mtervalley scattering in Si-MOSFETs, Phys. Rev. B 82, 201308(R) (2010).

117. A. Punnoose, Renormalization group study of mtervalley scattering and valley splitting in a two-valley system. Phys. Rev. B 81. 035306 (2010).

118. A. Punnoose. Renormalization group study of a two-valley system with spin-splitting. Phys. Rev. B 82. 115310 (2010).

119. L.D. Landau. E.M. Lifshitz, Quantum mechanics, Course of Theoretical Physics, vol 3. Pergamon, 1991.

120. Lian Zheng. A. H. MacDonald. Coulomb drag between disordered two-dimensional electron-gas layers. Phys. Rev. B 48, 8203 (1993).

121. A. Kamenev, Y. Oreg, Coulomb drag m normal metals and superconductors. Diagrammatic approach, Phys. Rev. B 52, 7516 (1995).

122. K. Flensberg, B. Yu-Kuang-Hu, A.-P. Jauho, J.M. Kinaret, Linear-response theory of Coulomb drag in coupled electron systems, Phys. Rev. B 52, 14761 (1995).

123. I. V. Gornyi, A. G Yashenkin, D. V. Khveshchenko, Coulomb drag m double layers with correlated disorder, Phys. Rev. Lett. 83, 152 (1999).

124. В. N. Narozhny, G. Zala, I. L. Aleiner, Interaction corrections at intermediate temperatures: Dephasmg time, Phys. Rev. В 65, 180202 (2002).

125. M. A. Baranov, I. S. Burmistrov, A. M. M. Pruisken, Non-Fermi-hquid theory for disordered metals near two dimensions, Phys. Rev. В 66, 075317 (2002).

126. S. Hikami. , Phys. Lett. В 98, 208 (1981).

127. S. Hikami, Isomorphism and the (3-function of the non-linear a model in symmetric spaces, Nucl. Phys. В 215, 555 (1983).

128. W. Bernreuther. F. J. Wegner, Four-loop-order ¡3-function for two-dimensional nonlinear sigma models. Phys. Rev. Lett. 57, 1383 (1986).

129. Ю. А. Бычков. Квантовая теория электропроводности металлов в сильных магнитных полях, ЖЭТФ, 39. 689 (1960).

130. Т. Ando. Y. Uemura, Theory of quantum transport in a two-dimensional electron system under magnetic fields. I. Characteristics of level broadening and transport under strong fields. J. Phys. Soc. Japan 36, 959 (1974).

131. T. Ando, Theory of quantum transport in a two-dimensional electron system under magnetic fields. II. Single site approximation under strong fields. J. Phys. Soc. Japan 36. 1521 (1974).

132. T. Ando. Theory of quantum transport in a two-dimensional electron system under magnetic fields. III. Many-site approximation, J. Phys. Soc. Japan 37, 622 (1974).

133. T. Ando, Theory of quantum transport in a two-dimensional electron system under magnetic fields. IV. Oscillatory conductivity, J. Phys. Soc. Japan 37. 1233 (1974).

134. T. Ando, Y. Matsumoto. Y. Uemura, Theory of Hall effect in a two-dimensional electron system, J. Phys. Soc. Japan 39. 279 (1975).

135. L. Smrcka, P. Streda, Transport coefficients in strong magnetic field, J. Phys. C: Solid State Phys. 10, 2153 (1977).

136. Э. M. Баскии, JI. И. Магрилл. М. В. Эитин, Двумерная электрон-примесная система в сильном магнитном поле, ЖЭТФ 75. 723 (1978)

137. K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance, Phys. Rev. Lett. 45, 4941980).

138. D. C. Tsui, A. C. Gossard, Resistance standard using qunatization of the Hall resistance of GaAs-AlcGai-xAs heterostructures, Appl. Phys. Lett. 38, 550 (1981).

139. D. C. Tsui, H.L. Stormer, A. C. Gossard, Two-dimensional magnetotransport in the extreme quantum limit, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).

140. J. P. Eisenstein, H. L. Stormer, The fractional quantum Hall effect, Science 248, 1510 (1990).

141. R. B. Laughlin, Quantized motion of three two-dimensional electrons in a strong magnetic field, Phys. Rev. B 27, 3383(1983).

142. R. B. Laughlin, Anomalous quantum Hall effect: An incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations, Phys. Rev. Lett. 50. 1395 (1983).

143. The Quantum Hall Effect, eds. R. E. Prange and S. M. Girvin (Springer, 1987).

144. T. Chakraborty, P. Pietilainen, The Fractional Quantum Hall Effect: Properties of an Incompressible Quantum Fluid (Springer Series in Solid-State Sciences), (Springer, 1988).

145. O. Heinonen (Ed.), Composite Fermions, (World Scientific,1998).

146. H. Aoki, T. Ando, Effect of localization on the hall conductivity in the two-dimensional system in strong magnetic fields, Solid State Commun. 38, 1079 (1981).

147. R. E. Prange, Quantized Hall resistance and the measurement of the fine-structure constant, Phys. Rev. B 23, 4802 (1981).

148. R. B. Laughlin, Quantized Hall conductivity in two dimensions, Phys. Rev. B 23, 56321981).

149. D. J. Thouless, Localisation and the two-dimensional Hall effect, J. Phys. C: Solid State Phys. 14, 3475 (1981).

150. B. I. Halperin, Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential, Phys. Rev. B 25, 2185 (1982).

151. D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, M. den Nijs, Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential, Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982).

152. J. E. Avron, R. Seiler, B. Simon, Homotopy and Quantization in Condensed Matter Physics, Phys. Rev. Lett. 51, 51 (1983).

153. А. А. Белавии, A. M. Поляков, Метастабилъные состояний двумерного изотропного ферромагнетика, Письма в ЖЭТФ 22, 503 (1975).

154. И. Б. Хригшович, Функции Грина в теориях с неабелевой калибровочной группой, Ядер. Физ. 10, 409 (1969).

155. D. J. Gross, F. Wilczek, Ultraviolet behavior of non-Abelian gauge theories, Phys. Rev. Lett. 30, 1343 (1973).

156. H. D. Politzer, Reliable perturbative results for strong interactions, Phys. Rev. Lett. 30, 1346 (1973).

157. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Schwartz, Yu. S. Tyupkin, Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations, Phys. Lett. В 59, 85 (1975).

158. С. G. Callan, Jr., R. Dashen, D. J. Gross, The structure of the gauge theory vacuum, Phys. Lett. В 63, 334 (1976).

159. R. Jackiw, C. Rebbi, Vacuum, periodicity in a Yang-Mills quantum theory, Phys. Rev. Lett. 37, 8 (1976).

160. G. 't Hooft, Symmetry breaking through Bell-Jackiw anomalies, Phys. Rev. Lett. 37, 8 (1976).

161. G. :t Hooft, Computation of the quantum effects due to a four-dimensional pseudoparticle, Phys. Rev. D 14, 3432 (1976).

162. C. G. Callan, Jr., R. Dashen, D. J. Gross, Towards a theory of the strong interactions, Phys. Rev. D 17, 2717 (1978).

163. D. J. Gross, R. D. Pisarski, L. G. Yaffe, QCD and instantons at finite temperature, Rev. Mod. Phys. 53, 43 (1981).

164. А. И. Вайнштейн, В. И. Захаров, В. А. Новиков, М. А. Шифмаи, Инстантонная азбука, УФН 136, 553 (1982).

165. D. Diakonov, Topology and confinement, Nucl.Phys. Proc.Suppl. 195, 5 (2009).

166. E. Vicari, H. Panagopolous, в dependence of SU(N) gauge theories m the presence of topological term, Phys. Rep. 470, 93150 (2009).

167. S. Coleman, Aspects of Symmetry, University Press, (Cambridge, 1989).

168. Д. E. Хмельницкий, О квантовании холловской проводимости, Письма в ЖЭТФ 38, 454 (1983).

169. Н. Levine, S. В. Libby, А. М. М. Pruisken, Theory of the quantized Hall effect (I), Nucl. Phys. В 240, 30 (1984).

170. H. Levine, S. B. Libby, A. M. M. Pruisken, Theory of the quantized Hall effect (II), Nucl. Phys. В 240, 49 (1984).

171. H. Levine, S. B. Libby, A. M. M. Pruisken, Theory of the quantized Hall effect (III), Nucl. Phys. В 240, 71 (1984).

172. H. Levine, S. B. Libby, Renormalization of the в angle, the quantum Hall effect and the strong CP problem, Phys. Lett. В 150, 182 (1985).

173. A.M.M. Pruisken, Dilute mstanton gas as the precursor of the integer quantum Hall effect, Phys. Rev. В 32, 2636 (1985).

174. A. M. M. Pruisken, Quasiparticles in the theory of the integral quantum Hall effect (I), Nucl. Phys. В 285, 719 (1987).

175. A. M. M. Pruisken, Quasiparticles m the theory of the integral quantum Hall effect (II). Renormalization of the Hall conductance or mstanton angle theta, Nucl. Phys. В 290, 61 (1987).

176. В. Г. Книжник, А. Ю. Морозов, О перенормировке топологического заряда, Письма в ЖЭТФ 39, 202 (1984).

177. А. М. М. Pruisken, М. A. Baranov, М. Voropaev, The large N theory exactly reveals the quantum Hall effect and theta-renormalization, http://arxiv.org/abs/cond-mat/0101003.

178. Wan Li, Transport study on two-dimensional electrons with controlled short-range alloy disorder, PhD Thesis, Princeton University 2007.

179. A. M. M. Pruisken, Universal singularities in the integral quantum Hall effect, Phys. Rev. Lett. 61, 1297 (1988).

180. H. P. Wei, D. C. Tsui, M. A. Palaanen, A. M. M. Pruisken, Experiments on derealization and universality in the integral quantum Hall effect. Phys. Rev. Lett. 61, 1294 (1988).

181. H. P. Wei, S. W. Hwang. D. C. Tsui, A.M.M. Pruisken, New results on scaling in the integral quantum Hall effect, Surf. Science 229, 34 (1990).

182. L. W. Engel, D. Shahar, Q. Kurdak, D. C. Tsui, Microwave frequency dependence of integer quantum Hall effect: Evidence for finite-frequency scaling, Phys. Rev. Lett. 71, 2638 (1993).

183. L. W. Engel, D. Shahar, Q. Kurdak, D. C. Tsui, Observation of finite-frequency scaling in the integer quantum Hall effect, Surf. Science 305, 124 (1994).

184. F. Hohls, U. Zeitler,R. J. Haug, R. Meisels, K. Dybko. F. Kuchar, Dynamical Scaling of the Quantum Hall Plateau Transition, Phys. Rev. Lett. 89, 036802 (2002).

185. F. Hohls, G. Sukhodub, R. J. Haug, Dynamics of electronic transport in the integer quantum Hall regime, Phys. Stat. Sol. B 245, 309 (2008).

186. S. Koch, R. J. Haug, I\. v. Klitzing, I\. Ploog, Size-dependent analysis of the metal-insulator transition in the integral quantum Hall effect, Phys. Rev. Lett. 67, 883 (1991).

187. S. Koch, R. J. Haug, K. v. Klitzing, K. Ploog, Direct measurement of critical exponents m the quantum Hall regime, Surf. Science 263, 108 (1992).

188. S. Koch, R. J. Haug, K. v. Klitzing, K. Ploog, Experimental studies of the localization transition in the quantum Hall regime, Phys. Rev. B 46, 1596 (1992).

189. W. Li, C. L. Vicente, J. S. Xia, W. Pan, D. C. Tsui, L. N. Pfeiffer, K. W. West, Scaling in plateau-to-plateau transition: A direct connection of quantum Hall systems with the Anderson localization model, Phys. Rev. Lett. 102, 216801 (2009).

190. H. P. Wei, L. W. Engel, D. C. Tsui, Current scaling in the integer quantum Hall effect, Phys. Rev. B 50, 14609 (1994).

191. Ed. Chow, H. P. Wei, Experiments on inelastic scattering in the integer quantum Hall effect, Phys. Rev. B 52, 13749 (1995).

192. H. Scherer, L. Schweitzer, F. J. Ahlers, L. Bliek, R. Losch W. Schlapp, Current scaling and electron heating between integer quantum Hall plateaus in GaAs/AlxGaixAs heterostructures, Semicond. Sci. Technol. 10, 959 (1995).

193. S. Koch, R. J. Haug, K. v. Klitzing, K. Ploog, Experiments on scaling in AlxGa\-xAs/GaAs hetero structures under quantum Hall conditions, Phys. Rev. B 43, 6828 (1991).

194. H. P. Wei, S. Y. Lin, D. C. Tsui, A.M.M. Pruisken, Effect of long-range potential fluctuations on scaling in the integer quantum Hall effect, Phys. Rev. B 45, 3926 (1992).

195. L. A. Ponomarenko, D. T. N. de Lang, A. de Visser, V. A. Kubalchinskii, G. B. Galiev. H. Kiïnzel, A. M. M. Pruisken, The effect of carrier density gradients on magnetotransport data measured in Hall bar geometry, Solid State Commun. 130, 705 (2004).

196. A. M. M. Pruisken, D. T. N. de Lang, L. A. Ponomarenko, A. de Visser, Universal scaling results for the plateau-insulator transition in the quantum Hall regime, Sol. State Commun. 137, -540 (2006).

197. W. Li, G. A. Csathy, D. C. Tsui, L. N. Pfeiffer, K. W. West, Scaling and universality of integer quantum Hall plateau-to-plateau transitions, Phys. Rev. Lett. 94, 206807 (2005).

198. W. Li, J. S. Xia, C. Vicente, N. S. Sullivan, W. Pan D. C. Tsui, L. N. Pfeiffer, K. W. West, Crossover from the nonuniversal scaling regime to the universal scaling regime in quantum Hall plateau transitions, Phys. Rev. B 81, 033305 (2010).

199. M. Tsukada, On the tail states of the Landau subbands in MOS structures under strong magnetic field, J. Phys. Soc. Jpn. 41, 1466 (1976).

200. S. V. Iordansky, On the conductivity of two-dimensional electron m a strong magnetic field, Solid State Commun. 43, 1 (1982).

201. R. F. Kazarinov, S. Luryi, Quantum percolation and quantization of Hall resistance in two-dimensional electron gas, Phys. Rev. B 25, 7626 (1982).

202. R. E. Prange, R. Joynt, Conduction m a strong field m two dimensions: The quantum Hall effect, Phys. Rev. В 25. 2943 (1982).

203. S. A.Trugman, Localization, percolation, and the quantum Hall effect. Phys. Rev. В 27. 7539 (1983).

204. H. A. Fertig, Semiclassical description of a two-dimensional electron in a strong magnetic field and an external potential. Phys. Rev. В 38, 996 (1988).

205. Г. В. Милышков, И. M. Соколов, О квазиклассической локализации в магнитном поле, Письма в ЖЭТФ, 48, 494 (1988).

206. J. Т. Chalker, P. D. Coddington, Percolation, quantum tunneling and the integer quantum Hall effect, J. Phys. C: Solid State Phys. 21, 2665 (1988).

207. B. Huckestein. Scaling theory of the integer quantum Hall effect, Rev. Mod. Phys. 67, 357 (1995).

208. R. B. Laughlin. Lévitation of extended-state bands m a strong magnetic field, Phys. Rev. Lett. 52. 2304 (1984).

209. D. E. Khmelnitskii. Quantum Hall effect and additional oscillations of conductivity m weak magnetic fields. Phys. Lett. A 106, 182 (1984).

210. A. D. Mirlin, D. G. Polyakov. P. Wolfe, Composite Fermions m a Long-Range Random Magnetic Field■ Quantum Hall Effect versus Shubnikov-de Haas Oscillations, Phys. Rev. Lett. 80. 2429 (1998).

211. F. Evers, A. D. Mirlin, D. G. Polyakov. P. Wolfe. Semiclassical theory of transport m a random magnetic field, Phys. Rev. В 60. 8951 (1999).

212. T. Ando. Electron Localization m a Two-Dimensional System in Strong Magnetic Fields. III. Impurity-Concentration Dependence and Level-Mixing Effects, J. Phys. Soc. Jpn. 53, 3126 (1984).

213. T. V. Shahbazyan, M. E. Raikh, Weak Lévitation of 2D Delocalized States in a Magnetic Field, Phys. Rev. Lett. 75, 304 (1995).

214. V Kagalovsky, B. Horovitz, Y. Avishai, Landau-level mixing and extended states m the quantum Hall effect, Phys. Rev. В 52. 17044 (1995).

215. F. D. M. Haldane, K. Yang, Landau Level Mixing and Levitation of Extended States in Two Dimensions, Phys. Rev. Lett. 78, 298 (1997).

216. M. M. Fogler, Quasiclassical approach to the weak levitation of extended states in the quantum Hall effect, Phys. Rev. В 57, 11947 (1998).

217. Th. Koschny, L. Schweitzer, Levitation of quantum Hall critical states in a lattice model with spatially correlated disorder, Phys. Rev. В 67, 195307 (2003).

218. Th. Koschny, L. Schweitzer, Levitation of the quantum Hall extended states in the В —> 0 limit, Phys. Rev. В 70, 165301 (2004).

219. V. V. Mkhitaryan, V. Kagalovsky, M. E. Raikh, Weakly chiral networks and two-dimensional delocalized states in a weak magnetic field, Phys. Rev. В 81, 165426 (2010).

220. M. D'lorio, V. M. Pudalov, S. G. Semenchinsky, Magnetic field induced transitions between quantized hall and insulator states in a dilute 2D electron gas, Phys. Lett. A 150, 422 (1990).

221. V. T. Dolgopolov, G. V. Kravchenko, A. A. Shashkin, S. V. Kravchenko, Metal-insulator transition in Si inversion layers in the extreme quantum limit, Phys. Rev. В 46, 13303 (1992).

222. A. A. Shashkin, G. V. Kravchenko, V. T. Dolgopolov, Floating up of the extended states of Landau levels in a two-dimensional electron gas in silicon MOSFET's, Письма в ЖЭТФ 58, 215 (1993).

223. A. A. Shashkin, V. T. Dolgopolov, G. V. Kravchenko, Insulating phases in a two-dimensional electron system of high-mobility Si MOSFET's, Phys. Rev. В 49, 14486 (1994).

224. S. V. Kravchenko, W. Mason, J. E. Furneaux, V. M. Pudalov, Global Phase Diagram for the Quantum Hall Effect: An Experimental Picture, Phys. Rev. Lett. 75, 910 (1995).

225. S. C. Dultz, H. W. Jiang, W. J. Schaff, Absence of floating delocalized states in a two-dimensional hole gas, Phys. Rev. В 58, R7532 (1998).

226. M. Hilke, D. Shahar, S. H. Song, D. C. Tsui, Y. H. Xie, Phase diagram of the integer quantum Hall effect in p-type germanium, Phys. Rev. В 62, 6940 (2000).

227. M. Schneider, D. A. Bagrets, A. D. Mirlin, Theory of the nonequihbrium electronic Mach-Zehnder mterferom, Phys. Rev. B 84, 075401 (2011).

228. S. N. Dinh, D. A. Bagrets, Influence of Coulomb interaction on the Aharonov-Bohm effect in an electronic Fabry-Perot interferometer, Phys. Rev. B 85, 073403 (2012).

229. I. P. Levkivskyi, E. V. Sukhorukov, Energy relaxation at quantum Hall edge, Phys. Rev. B 85, 075309 (2012).

230. A. M. M. Pruisken, M. A. Baranov, Cracking Coulomb interactions in the quantum Hall regime, Europhys. Lett. 31, 543 (1995).

231. A. M. M. Pruisken, B. Skoric. M. A. Baranov, (Mis-)handling gauge mvariance in the theory of the quantum Hall effect. III. The mstanton vacuum and chiral-edge physics, Phys. Rev. B 60, 16838 (1999).

232. B. Skoric, A. M. M. Pruisken, The fractional quantum Hall effect: Chern-Simons mapping, duality. Luttmger liquids and the mstanton vacuum, Nucl. Phys. B 559, 637 (1999).

233. D-H. Lee. Z. Wang, Effects of electron-electron interactions on the integer quantum Hall transitions, Phys. Rev. Lett. 76, 4014 (1996).

234. S.-R. E. Yang, A. H. MacDonald, Coulomb gaps in a strong magnetic field, Phys. Rev. Lett. 70, 4110 (1993).

235. Ch. Sohrmann, Interactions in the integer quantum Hall effect, PhD Thesis, University of Warwick, 2007.

236. R. A. Römer, Ch. Sohrmann, Hartree-Fock interactions in the integer quantum Hall effect, Phys. Stat. Sol. (b) 245, 336 (2008).

237. S.-R. E. Yang, A. H. MacDoanld, B. Huckestein, Interactions, localization, and the integer quantum Hall effect, Phys. Rev. Lett. 74, 3229 (1995).

238. V. M. Apalkov, M. E. Raikh, Interplay of short-range interactions and quantum interference near the integer quantum Hall transition, Phys. Rev. B 68, 195312 (2003).

239. Z. Wang, M. P. A. Fisher, S. M. Girvin, J. T. Chalker, Short-range interactions and scaling near integer quantum Hall transitions, Phys. Rev. B 61, 8326 (2000).

240. S. S. Murzin, A. G. M. Jansen, I. Claus, Topological oscillations of the magnetoconductance m disordered GaAs layers, Phys. Rev. Lett. 92, 016802 (2004); S. S. Murzin, A. G. M. Jansen, Murzin and Janssen reply, Phys. Rev. Lett. 95, 189702 (2005).

241. M. И. Монастырский. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. Москва: ПАИМС. 1995.

242. А. М. М. Pruisken, I. S. Burmistrov, The mstanton vacuum of generalized СpN~l models. Ann. of Phys. (N.Y.) 316. 285 (2005).

243. W. Pauli, F. Villars, On the invariant regularization in relatwistic quantum theory, Rev. Mod. Phys. 21. 434 (1949).

244. A. M. M. Pruisken, I. S. Burmistrov, в renormalization. electron-electron interactions and super universality m the quantum Hall regime, Ann. of Phys. (N.Y.) 322, 1265 (2007).

245. T. R. Morris, D. A. Ross, С. T. Sachrajda, Higher-order quantum corrections in the presence of an mstanton background field, Nucl Phys. В 255. 115 (1985).

246. Т. R. Morris, D. A. Ross, С. T. Sachrajda, Instanton calculus and the (3- function in super symmetric Yang-Mills theories, Phys. Lett В 158, 223 (1985).

247. Т. R. Morris. D. A. Ross, С. T. Sachrajda. Instantons and the renormahsation group in supersymmetric Yang-Mills theories, Nucl. Phys. В 264, 111 (1986).

248. T. R. Morris, D. A. Ross, С. T. Sachrajda, Instantons. the beta-function and renormahsation scheme dependence, Phys. Lett. В 172, 40 (1986).

249. A. M. M. Pruisken, I. S. Burmistrov. Non-Fermi liquid criticahty and super universality in the quantum Hall regime, Письма в ЖЭТФ 87, 252 (2008).

250. К. Slevin, Т. Ohtsuki, Critical exponent for the quantum Hall transition, Phys. Rev. В 80, 041304 (2009).

251. A. M. M. Pruisken, I. S. Burmistrov, Comment on ''Scaling m plateau-plateau transition: A direct connection of quantum Hall systems with Anderson localization model", http://arxiv.org/abs/0907.0356 .

252. E. Abrahams. P.W. Anderson, P.A. Lee, T.V. Ramakrishnan. Quasiparticle lifetime in disordered two-dimensional metals, Phys. Rev. В 24. 6783 (1981).

253. I. S. Burmistrov, S. Bera, F. Evers, I. V. Gornyi, A. D. Mirlin, Wave function multifractahty and dephasmg at metal-insulator and quantum Hall transitions, Ann. of Phys. (N.Y) 326, 1457 (2011).

254. S. Helgason, Groups and geometric analysis (Integral Geometry. Invariant Differential Operators and Spherical Functions), (American Mathematical Society. 2000).

255. D. Hof, F. Wegner, Calculation of anomalous dimensions for the nonlinear sigma model, Nucl. Phys. В 275, 561 (1986).

256. F. Wegner, Anomalous dimensions for the nonlinear sigma-model. in 2 + e dimensions1., Nucl. Phys. В 280, 193 (1987).

257. F. Wegner, Anomalous dimensions for the nonlinear sigma-model, in 2 + e dimensions1.), Nucl. Phys. В 280, 210 (1987).

258. A.M.M. Pruisken, Participation ratio in the nonlinear a-model representation of localization, Phys. Rev. В 31, 416 (1985).

259. F. W. Van Keuls, X. L. Ни. H. W. Jiang. A. J. Dahm, Screening of the Coulomb interaction in two-dimensional variable-range hopping, Phys. Rev. В 56, 1161 (1997).

260. Б. JI. Альтшулер, Флуктуации остаточной проводимости неупорядоченных проводников, Письма в ЖЭТФ 41, 530 (1985).

261. P. A. Lee, A. D. Stone, Universal conductance fluctuations in metals, Phys. Rev. Lett. 55, 1622 (1985).

262. Б. Л. Альтшулер, В. E. Кравцов, И. В. Лериер. Статистика мезоскопических флуктуаций и неустойчивость однопараметрического скейлинга, ЖЭТФ 91, 2276 (1986).

263. М. Н. Cohen, A.M.M. Pruisken, Mesoscopic block models for macroscopic conductances, Phys. Rev. В 49, 4593 (1994).

264. A. M. M. Pruisken, I. S. Burmistrov, Comment on "Topological oscillations of the magnetoconductance in disordered GaAs layersPhys. Rev. Lett. 95, 189701 (2005).

265. I. S. Burmistrov, в-renormalization. superunwersahty. and electron-electron interactions in the theory of the quantum Hall effect, PhD Thesis, University of Amsterdam, (PrintPartners Ipskamp, Enschede 2006).

266. J. M. Rowell, L. Y. L. Shen, Zero-bias anomalies in normal metal tunnel junstions, Phys. Rev. Lett. 17, 15 (1966).

267. I. Giaever, H. R. Zeller, Superconductivity of small tin particles measured by tunneling, Phys. Rev. Lett. 20, 1504 (1968).

268. H. R. Zeller, I. Giaever, Tunneling, zero-bias anomalies, and small superconductors, Phys. Rev. 181, 789 (1969).

269. J. Larnbe, R. C. Jaklevic, Charge-quantization studies using a tunnel capacitor, Phys. Rev. Lett. 22, 1371 (1969).

270. F. Mezei, Theory of electron tunneling via real intermediate states, Phys. Rev. В 4, 3775 (1971).

271. P. И. Шехтер, Нулевые аномалии сопротивления туннельного контакта, содержащего металлические включения в оксидном слое, ЖЭТФ 63, 1410 (1972).

272. И. О. Кулик, Р. И. Шехтер, Кинетические явления и эффекты дискретности заряда в гранулированных средах, ЖЭТФ 68, 623 (1975).

273. Т. A. Fulton, G. J. Dolan, Observation of single-electron charging effects in small tunnel junctions, Phys. Rev. Lett. 59, 109 (1987).

274. P. Lafarge, H. Pothier, E. R. Williams, D. Esteve, C. Urbina, M. H. Devoret, Direct observation of macroscopic charge quantization, Z. Phys. В 85, 327 (1991).

275. L. J. Geerligs, V. F. Anderegg, P. Holweg, J.E. Mooij, H. Pothier, D. Esteve, C. Urbina, M. H. Devoret, Frequency-locked turnstile device for single electrons, Phys. Rev. Lett. 64, 2691 (1990).

276. H. Pothier, P. Lafarge, P. F. Orfila, C. Urbina, D. Esteve, M. H. Devoret, Single electron pump fabricated with ultrasmall normal tunnel junctions, Physica В 169, 573 (1991).

277. The special issue on "Single charge tunneling Z. Phys. В 85, 317 (1991).

278. Single Charge Tunneling, ed. by H. Grabert, M.H. Devoret (Plenum, New York, 1992).

279. M. Bockrath, D. H. Cobden, P. L. McEuen, N. G. Chopra, A. Zettl, A. Thess, R. E. Smalley, Single-electron transport in ropes of carbon nanotubes, Science 275, 1922 (1997).

280. S. J. Tans, M. H. Devoret, H. Dai, A. Thess, R. E. Smalley, L. J. Geerligs, C. Dekker, Individual single-wall carbon nanotubes as quantum wires, Nature 386, 474 (1997).

281. E. С. Солдатов, В. В. Ханин, А. С. Трифонов, С. П. Губин, В. В. Колесов, Д. Е. Преснов, С. А. Яковенко, Г. Б. Хомутов, А. Н. Коротков, Молекулярный одноэлек-тронный транзистор, работающий при комнатной температуре, УФН 168, 217 (1998).

282. P. L. McEuen, Е. В. Foxman, U. Meirav, М. А. Kastner, Y. Meir, N. S. Wingreen, S. J. Wind, Transport spectroscopy of a Coulomb island in the quantum Hall regime, Phys. Rev. Lett. 66, 1926 (1991).

283. A. T. Johnson, L. P. Kouwenhoven, W. de Jöng, N. C. van der Vaart, C. J. P. M. Harmans, С. T. Foxon, Zero-dimensional states and single electron charging in quantum dots, Phys. Rev. Lett. 69, 1592 (1992).

284. C. Stampfer, J. Guettinger, F. Molitor, D. Graf, T. Ihn, К. Ensslin, Tunable Coulomb blockade in nanostructured graphene, Appl. Phys. Lett. 92, 012102, (2008).

285. L. Kouwenhoven, С. M. Marcus, Quantum Dots, Phys. World 11, 35 (1998).

286. L. P. Kouwenhoven, С. M. Marcus, P.L. McEuen, S. Tarucha, R.M. Westervelt, N.S. Wingreen, Electron transport in quantum dots in Nato ASI conference proceedings, ed. by L. P. Kouwenhoven, G. Schon, and L.L. Sohn (Kluwer, Dordrecht, 1997).

287. W. G. van der Wiel, S. De Franceschi, J. M. Elzerman, T. Fujisawa, S. Tarucha, L. P. Kouwenhoven, Electron transport through double quantum dots, Rev. Mod. Phys. 75, 1 (2002).

288. R. Hanson, L. P. Kouwenhoven, J. R. Petta, S. Tarucha, L. M. K. Vandersypen, Spins in few-electron quantum dots, Rev. Mod. Phys. 79, 1217 (2007).

289. D. V. Averin, A. A. Odintsov, Macroscopic quantum tunneling of the electric charge in small tunnel junctions, Phys. Lett. A 140, 251(1989).

290. D. V. Averin, Yu.V. Nazarov, Virtual electron diffusion during quantum tunneling of the electric charge, Phys. Rev. Lett. 65, 2446 (1990).

291. L. I. Glazman, M. Pustilnik, Coulomb blockade and Kondo effect in quantum dots in New Directions in Mesoscopic Physics (Towards to Nanoscience, eds. R. Fazio, G. F. Gantmakher and Y. Imry (Kluwer, Dordrecht, 2003).

292. C. Pasquier, Y. Meirav, F. I. B. Williams, D.C. Glattli, Y. Jin, and B. Etienne, Quantum limitation on Coulomb blockade observedin a 2D electron system, Phys. Rev. Lett. 70, 69 (1993).

293. P. Joyez, V. Bouchiat, D. Esteve, C. Urbina, M.H. Devoret, Strong tunneling in single-electron transistor, Phys. Rev. Lett. 79, 1349 (1997).

294. V. Ambegaokar, U. Eckern, G. Schön, Quantum dynamics of tunneling between superconductors, Phys. Rev. Lett. 48, 1745 (1982).

295. T.-L. Ho, Effect of quantum voltage fluctuations on the resistance of normal junction, Phys. Rev. Lett. 51, 2060 (1983).

296. E. Ben-Jacob, E. Mottola, G. Schön, Quantum shot noise in tunnel junctions, Phys. Rev. Lett. 51, 2064 (1983).

297. G. Schön, Quantum shot noise in tunnel junctions, Phys. Rev. В 32, 4469 (1985).

298. G. Schön, A.D. Zaikin, Quantum coherent effects, phase transitions, and the dissipative dynamics of ultra small tunnel junctions, Phys. Rep. 198, 237 (1990).

299. К. А. Матвеев, Квантовые флуктуации заряда металлической частицы в условиях кулоновской блокады, ЖЭТФ 99, 1598 (1991).

300. G. Göppert, Н. Grabert, Charge fluctutions in the single electron box, Phys. Rev. В 63, 125307 (2001).

301. H. Schöller, G. Schön, Mesoscopic quantum transport: Resonant tunneling in the presence of a strong Coulomb blockade, Phys. Rev. В 50, 18436 (1994).

302. D. S. Golubev, J. König, H. Schoeller, G. Schön, A. D. Zaikin, Strong electron tunneling through mesoscopic metallic grains, Phys. Rev. В 56, 15782 (1997).

303. G. Falci, G. Schön, G. T. Zimanyi, Tunneling in the electron box in the nonperturbative regime, Physica В 203, 409 (1994).

304. G. Falci, G. Schon, G. T. Zimanyi, Unified scaling theory of the electron box for arbitrary tunneling strength, Phys. Rev. Lett. 74, 3257 (1995).

305. С. E. Коршунов, Когерентное и некогерентное туннелирование в джозефсоновском контакте с "периодической "диссипацией, Письма в ЖЭТФ 45, 342 (1987).

306. С. А. Булгадаев, О фазовой диаграмме джозефсоновского контакта с "периодической "диссипацией, Письма в ЖЭТФ 45, 486 (1987).

307. S. A. Bulgadaev, The influence of the anisotropy on the phase diagram of the one-dimensional N-vector model with a long-range interaction, Phys. Lett. A 125, 299 (1987).

308. F. Guinea, G. Schon, Dynamics and phase transitions of josephson junctions with dissipation due to quasiparticle tunneling, J. Low Temp. Phys. 69, 219 (1987).

309. S. V. Panyukov. A. D. Zaikin, Coulomb blockade and nonperturbatwe ground-state properties of ultrasmall tunnel junctions, Phys. Rev. Lett. 67, 3168 (1991).

310. X. Wang, H. Grabert, Coulomb charging at large conduction, Phys. Rev. В 53, 12621 (1996).

311. A. Altland. L. I. Glazman, A. Kamenev, J. S. Meyer, Inelastic electron transport in granular arrays, Ann. Phys. (N.Y.) 321, 2566 (2006).

312. I. S. Beloborodov, К. B. Efetov, A. Altland, F. W. J. Hekking, Quantum interference and Coulomb interaction in arrays of tunnel junctions, Phys. Rev. В 63, 115109 (2001).

313. К. В. Efetov, A. Tschersich, Coulomb effects in granular materials at not very low temperatures, Phys. Rev. В 67, 174205 (2003).

314. I. S. Beloborodov, A. V. Lopatin, V. M. Vinokur, К. B. Efetov, Granular electronic systems, Rev. Mod. Phys. 79, 469 (2007).

315. Yu. V. Nazarov, Coulomb blockade without tunnel junctions, Phys. Rev. Lett. 82, 1245 (1999).

316. M. V. Feigelman, A. Kamenev, A. I. Larkin, M. A. Skvortsov, Weak charge quantization on a superconducting island, Phys. Rev. В 66, 054502 (2002).

317. S. L. Lukyanov, A. M. Tsvelik, A. B. Zamolodchikov, Paperclip at в = тг, Nucl. Phys. В 719, 103 (2005).

318. S. L. Lukyanov, Ph. Werner, Universal scaling behavior of the single electron box in the strong tunneling limit, J. Stat. Mech. P11002 (2006).

319. M. H. Devoret, D. Esteve. H. Grabert, G.-L. Ingold, H. Pothier, C. Urbina, Effect of the electromagnetic environment on the Coulomb blockade in ultrasmall tunnel junctions, Phys. Rev. Lett. 64, 1824 (1990).

320. P. Joyez, D. Esteve, M. H. Devoret, Hou> is the Coulomb blockade suppressed in high-conductance tunnel junctions?, Phys. Rev. Lett. 80, 1956 (1998).

321. S. M. Girvin, L. I. Glazman, M. Jonson, D. R. Penn, M. D. Stiles, Quantum fluctuations and the single-junction Coulomb blockade, Phys. Rev. Lett. 64, 3183 (1990).

322. G.-L. Ingold, Yu. V. Nazarov, Charge tunneling rates in ultrasmall junctions, in Single Charge Tunneling, ed. by H. Grabert and M. H. Devoret (Plenum, New York, 1992)

323. S. A. Bulgadaev, Topological quantization of current in quantum tunnel contacts, Письма в ЖЭТФ 83, 659 (2006).

324. A. Kamenev, Yu. Gefen, Differences between statistical mechanics and thermodynamics on the mesoscopic scale, Phys. Rev. В 56, 1025 (1997).

325. I. L. Kurland, I. L. Aleiner, B. L. Altshuler, Mesoscopic magnetization fluctuations for metallic grains close to the Stoner instability, Phys. Rev. В 62, 14886 (2000).

326. I. L. Aleiner, P.W. Brouwer, L. I. Glazman, Quantum effects in Coulomb blockade, Phys. Rep. 358, 309 (2002).

327. W. Hofstetter, W. Zwerger, Single-electron box and the helicity modulus of an inverse square XY model, Phys. Rev. Lett. 78, 3737 (1997):

328. I. S. Beloborodov, A. V. Andreev, A. I. Larkin, Two-loop approximation in the Coulomb blockade problem, Phys. Rev. В 68, 024204 (2003).

329. D. J. Thouless in: R.Balian, R.Maynard, G.Toulouse (Eds), Ill-condensed Matter, North-Holland/World Scientific, 1978, p.l.

330. G. :t Hooft, Topology of the gauge condition and new confinement phases in non-abehan gauge theories, Nucl. Phys. В 190, 455 (1981).

331. S. Drewes, D. P. Arovas, S. Renn, Quantum phase transitions in dissipative tunnel junctions, Phys. Rev. B 68, 165345 (2003).

332. I. S. Burmistrov, A. M. M. Pruisken, The problem of "macroscopic charge quantization" in single electron devices, Phys. Rev. B 81, 085428 (2010).

333. I. S. Burmistrov, A. M.M. Pruisken, Coulomb blockade and super universality of the theta-angle, Phys. Rev. Lett. 101, 056801 (2008).

334. G. D. Mahan, Many-particle physics, Plenum Press, N.Y. (1990).

335. Ya. M. Blanter, Recent advances of studies of current noise, in CFN lectures on functional nanostructures, vol. 2 (eds. M. Vojta, Ch. Rothig, G. Schon), Springer (2011).

336. Y. Imry, Introduction to Mesoscopic Physics (Oxford University. New York, 1997).

337. G. B. Lesovik, R. Loosen, On the detection of finite frequency current fluctuations, rhicbMa b >K3TO 65, 280 (1997).

338. R. Deblock, E. Onac, L. Gurevich, L. P. Kouwenhoven, Detection of quantum noise from an electrically driven two-level system, Science 301, 203 (2003).

339. E. Onac, F. Balestro, B. Trauzettel, C. F. J. Lodewijk, L. P. Kouwenhoven, Shot-noise detection in a carbon nanotube quantum dot, Phys. Rev. Lett. 96, 026803 (2006).

340. W. W. Xue, Z. Ji, F. Pan, J. Stettenheim, M. P. Blencowe, A. J. Rimberg, Measurement of quantum noise in a single-electron transistor near the quantum limit, Nature Phys. 5, 660 (2009).

341. Ya. I. Rodionov, I. S. Burmistrov, A. S. Ioselevich, Charge relaxation resistance in the Coulomb blockade problem, Phys. Rev. B 80, 035332 (2009).

342. I. S. Burmistrov, A. M. M. Pruisken, The problem of macroscopic charge quantization in the Coulomb blockade, AIP Conference Proceedings 1134, 101 (2009).

343. D. Chouvaev, L. S. Kuzmin, D. S. Golubev, A. D. Zaikin, Strong tunneling and Coulomb blockade in a single-electron transistor, Phys. Rev. B 59, 10599 (1999).

344. L. Bitton, D. B. Gutman, R. Berkovits, A. Frydman, Coexistence of Coulomb blockade and zero bias anomaly in a strongly coupled nanodot, Phys. Rev. Lett. 106, 016803 (2011).

345. А. А. Абрикосов, О рассеянии электронов в металле на магнитных примесных атомах и особенностях поведения сопротивления, Physics 2, 21 (1965).

346. Ю. А. Изюмов, Ю. Н. Скрябин, Статистическая механика магнитноупорядочен-ных систем, Москва, Наука, (1987).

347. А. И. Ларкип, В. И. Мельников, Магнитные примеси в почти магнитном металле, ЖЭТФ 61, 1232 (1971).

348. L. Zhu, Q. Si, Critical local-moment fluctuations in the Bose-Fermi Kondo model, Phys. Rev. В 66, 024426 (2002).

349. G. Zarând, E. Dernier, Quantum phase transitions in the Bose-Fermi Kondo model, Phys. Rev. В 66, 024427 (2002).

350. P. Nozières, A. Blandin, Kondo effect in real metals, J. Phys. (Paris) 41, 193 (1980).

351. A. M. Tsvelik, P. B. Wiegmann, Solution of the n-channel Kondo problem (scaling and integrability), Z. Phys. В 54, 201 (1984).

352. N. Andrei, C. Destri, Solution of the multichannel Kondo problem, Phys. Rev. Lett. 52, 364 (1984).

353. A. M. Chang, H. U. Baranger, L. N. Pfeiffer, K. W. West, T. Y. Chang, Non-Gaussian Distribution of Coulomb Blockade Peak Heights in Quantum Dots, Phys. Rev. Lett. 76, 1695 (1996).

354. J. A. Folk, S. R. Patel, S. F. Godijn, A. G. Huibers, S. M. Cronemvett, С. M. Marcus, K. Campman, A. C. Gossard Statistics and Parametric Correlations of Coulomb Blockade Peak Fluctuations in Quantum Dots, Phys. Rev. Lett. 76, 1699 (1996).

355. U. Sivan, R. Berkovits, Y. Aloni, O. Prus, A. Auerbach, G. Ben-Yoseph, Mesoscopic Fluctuations in the Ground State Energy of Disordered Quantum Dots, Phys. Rev. Lett. 77, 1123, (1996).

356. F. Simmel, T. Heinzel, D. A. Wharam, Statistics of conductance oscillations of a quantum dot in the Coulomb-blockade regime, Europhys. Lett. 38, 123 (1997).

357. S. R. Patel, S. M. Cronenwett, D. R. Stewart, A. G. Huibers, С. M. Marcus, С. I. Duruôz, J. S. Harris, Jr., K. Campman, A. C. Gossard, Statistics of Coulomb Blockade Peak Spacings, Phys. Rev. Lett. 80, 4522 (1998).

358. S. R. Patel, D. R. Stewart, C. M. Marcus, M. Gökgedag, Y. Alhassid, A. D. Stone, C. I. Duruöz, J. S. Harris, Jr., Changing the Electronic Spectrum of a Quantum Dot by Adding Electrons, Phys. Rev. Lett. 81, 5900 (1998).

359. F. Simmel, D. Abusch-Magder, D. A. Wharam, M. A. Kastner. J. P. Kotthaus, Statistics of the Coulomb-blockade peak spacings of a silicon quantum dot, Phys. Rev. B 59, R10441 (1999).

360. S. Lüscher, T. Heinzel, K. Ensslin, W. Wegscheider, M. Bichler, Signatures of Spin Pairing in Chaotic Quantum Dots, Phys. Rev. Lett. 86, 2118 (2001).

361. R. A. Jalabert, A. D. Stone, Y. Alhassid, Statistical theory of Coulomb blockade oscillations: Quantum chaos in quantum dots, Phys. Rev. Lett. 68, 3468 (1992).

362. S. M. Reimann, M. Manninen, Electronic structure of quantum dots, Rev. Mod. Phys. 74, 1283 (2002).

363. Ya. M. Blanter, A. D. Mirlin, B. A. Muzykantskii, Fluctuations of Conductance Peak Spacings in the Coulomb Blockade Regime: Role of Electron-Electron Interaction, Phys. Rev. Lett. 78, 2449 (1997).

364. L. P. Rokhinson, L. J. Guo, S. Y. Chou, D. C. Tsui, Spin transitions in a small Si quantum dot, Phys. Rev. B 63, 035321 (2001).

365. S. Lindemann, T. Ihn, T. Heinzel, W. Zwerger, K. Ensslin, K. Maranowski A. C. Gossard, Stability of spin states in quantum dots, Phys. Rev. B 66, 195314 (2002).

366. P. W. Brouwer, Y. Oreg, B. I. Halperin, Mesoscopic fluctuations of the ground-state spin of a small metal particle, Phys. Rev. B 60, 13977 (1999).

367. H. U. Baranger, D. Ullmo, L. I. Glazman, Interactions and interference in quantum dots: Kinks in Coulomb-blockade peak positions, Phys. Rev. B 61. 2425 (2000).

368. L. Amico, A. Di Lorenzo, A. Osterloh Integrable Model for Interacting Electrons in Metallic Grains, Phys. Rev. Lett. 86, 5759 (2001).

369. J. A. Folk, C. M. Marcus, R. Berkovits, I. L. Kurland, I. L. Aleiner, B. L. Altshuler, Ground state spin and Coulomb blockade peak motion in chaotic quantum dots, Phys. Script. T90, 26 (2001).

370. G. Usaj, H. Baranager, Exchange and the Coulomb blockade: Peak height statistics in quantum dots, Phys. Rev. B 67, 121308 (2003).

371. Y. Alhassid, T. Rupp, Effects of Spin and Exchange Interaction on the Coulomb-Blockade Peak Statistics m Quantum Dots, Phys. Rev. Lett. 91, 056801 (2003).

372. Y. Alhassid, T. Rupp, A. Kaminski, L. I. Glazman, Linear conductance in Coulombblockade quantum dots in the presence of interactions and spin, Phys. Rev. B 69, 115331 (2004).

373. M. Schechter, Spin magnetization of small metallic grains, Phys. Rev. B 70, 024521 (2004).

374. Zu-Jian Ying, M. Cuoco, C. Noce, Huan-Qiang Zhou, Coexistence of spin polarization and pairing correlations in metallic grains, Phys. Rev. B 74, 012503 (2006).

375. Zu-Jian Ying, M. Cuoco, C. Noce, Huan-Qiang Zhou. Field response of metallic grains with magnetic and pairing correlations, Phys. Rev. B 74, 214506 (2006).

376. S. Schmidt, Y. Alhassid, K. van Houcke, Effect of a Zeeman field on the transition from superconductivity to ferromagnetism in metallic grains, Europhys. Lett. 80, 47004 (2007).

377. S. Schmidt, Y. Alhassid, Mesoscopic Competition of Superconductivity and Ferromagnetism: Conductance Peak Statistics for Metallic Grains, Phys. Rev. Lett. 101. 207003 (2008).

378. K. Van Houcke. Y. Alhassid, S. Schmidt, S. M. A. Rombouts, The competition between superconductivity and ferromagnetism in small metallic grains: thermodynamic properties, arxiv.1011.5421

379. B. L. Altshuler, Y. Gefen, A. Kamenev, L. S. Levitov. Quasiparticle Lifetime in a Finite System: A Nonperturbatwe Approach, Phys. Rev. Lett. 78, 2803 (1997).

380. D. Ullmo, H. U. Baranger, Interactions in chaotic nanoparticles: Fluctuations in Coulomb blockade peak spacmgs, Phys. Rev. B 64, 245324 (2001).

381. G. Usaj, H. U. Baranger, Spin and e-e interactions in quantum dots: Leading order corrections to universality and temperature effects, Phys. Rev. B 66, 155333 (2002).

382. Y. Alhassid, S. Malhotra, Spin and interaction effects in quantum dots: A Hartree-Fock-Koopmans approach, Phys. Rev. B 66, 245313 (2002).

383. Y. Alhassid, Т. Rupp, A universal Hamiltonian for a quantum dot in the presence of spin-orbit interaction, http://arxiv.org/abs/cond-mat/0312691.

384. H.E. Türeci, Y. Alhassid, Spin-orbit interaction in quantum dots in the presence of exchange correlations: An approach based on a good-spin basis of the universal Hamiltonian, Phys. Rev. В 74, 165333 (2006).

385. G. Murthy, A Universal Interacting Crossover Regime in Two-Dimensional Quantum Dots, Phys. Rev. В 77. 073309 (2008).

386. O. Zelyak, G. Murthy, Quantum criticahty near the Stoner transition in a two-dot with spin-orbit coupling. Phys. Rev. В 80, 205310 (2009).

387. Y. Alhassid, The statistical theory of quantum dots. Rev. Mod. Phys. 72, 895 (2000).

388. D. Ullmo. Many-body physics and quantum chaos, Rep. Prog. Phys. 71. 026001 (2008).

389. D. Huertas-Hernando, Y. Alhassid. Extracting the ground-state spin of a quantum dot from the conductance peaks in a parallel magnetic field at a finite temperature, Phys. Rev. В 75. 153312 (2007).

390. G. Brillmgs. A. D. Stone. Y. Alhassid. Signatures of exchange correlations in the thermopower of quantum dots, Phys. Rev В 81, 205303 (2010).

391. И. Я. Коренблит, Е. Ф. Шепдер, Ферромагнетизм упорядоченных систем, УФН 126, 233 (1978).

392. S. Jia. S. L. Bud'ko. G. D. Samolyuk, P. C. Canfield, Nearly ferromagnetic Fermi-liquid behaviour m YFe2Zn20 and high-temperature ferromagnetism of GdFe2Zn20. Nature Phys 3. 334 (2007).

393. Ph. Jacquod, A. D. Stone. Suppression of ground-state magnetization in finite-size systems due to off-diagonal interaction fluctuations. Phys. Rev. Lett. 84, 3938 (2000).

394. Ph. Jacquod. A. D. Stone. Ground-state magnetization for interacting fermions in a disordered potential Kinetic energy, exchange interaction, and off-diagonal fluctuations, Phys. Rev. В 64, 214416 (2001).

395. С. Kittel. H. Shore. Development of a phase transition for a rigorously solvable many-body system, Phys. Rev. 138, A1165 (1965).

396. Th. Niemeijer, On the high-density limit of Heisenberg and I sing ferromagnets, Physica (Utr.) 48, 467 (1970).

397. G. Vertogen, A. S. DeVries, On the thermodynamic equivalence of Van der Waals spin systems, Physica (Utr.) 59, 634 (1972).

398. R. Dekeyser, M. H. Lee, Time-dependent correlations for spin Van der Waals systems, Phys. Rev. В 19, 265 (1979).

399. A. Kamenev, Y. Gefen, Zero-bias anomaly in finite-size systems, Phys. Rev. В 54. 5428 (1996).

400. M. N. Kiselev, Y. Gefen, Interplay of spin and charge channels in zero-dimensional systems, Phys. Rev. Lett. 96, 066805 (2006).

401. N. Sedlmayr, I. V. Yurkevich, I. V. Lerner, Tunnelling density of states at Coulombblockade peaks, Europhys. Lett. 76, 109 (2006).

402. B. Nissan-Cohen, Y. Gefen, M. N. Kiselev, I. V. Lerner, Interplay of charge and spin in quantum dots: The Ising case, Phys. Rev. В 84, 075307 (2011).

403. J. Wei, E. Norman, Lie algebraic solution of linear differential equations, J. Math. Phys. 4, 575 (1963).

404. I. V. Kolokolov, Functional representation for the partition function of the quantum Heisenberg ferromagnet, Phys. Lett. A 114, 99 (1986).

405. И. В. Колоколов, E. В. Подивилов, Функциональный метод для квантовых ферромагнетиков и немагнонная динамика при низких температурах, ЖЭТФ 95, 211 (1989).

406. М. Chertkov, I. V. Kolokolov, Equilibrium and nonequilibrium mean-field dynamics of quantum spin cluster, ЖЭТФ 106, 1525 (1994).

407. M. Chertkov, I. V. Kolokolov, Equilibrium dynamics of a paramagnetic cluster, Phys. Rev. В 51, 3974 (1995).

408. I. V. Kolokolov, A functional integration method for quantum spin systems and one-dimensional localization, Int. J. Mod. Phys. В 10, 2189 (1996).

409. A. Saha, Y. Gefen, I.S. Burmistrov, A. Shnirman. A. Altland, A quantum dot close to Stoner instability. The role of the Berry's phase, http://arxiv.org/abs/1203.4929.413414415416417418419420421422423

410. К. Хуаиг, Статистическая механика, МИР, Москва, 1966.

411. S. Burmistrov, Y. Gefen, M. N. Kiselev, Spin and charge correlations in quantum dots: An exact solution, Письма в ЖЭТФ 92, 202 (2010).

412. К.A. Matveev. A.V. Andreev. Thermopower of a single-electron transistor in the regime of strong inelastic cotunnehng, Phys. Rev. В 66. 045301 (2002).

413. S. Burmistrov, Y. Gefen. M. N. Kiselev, An exact solution for spin and charge correlations in quantum dots: The effect of level fluctuations and Zeeman splitting. http://arxiv.org/abs/1201.4641.

414. M. L. Mehta. Random Matrices (Boston: Academic) (1991).

415. Y. V. Fyodorov, Multifractahty and freezing phenomena in random energy landscapes: An introduction. Physica A 389, 4229 (2010).

416. D. Graham, D. S. Schreiber, Conduction-electron polarization in the paramagnetic state of a :'giant-moment'! dilute alloy, Phys. Rev. Lett. 17. 650 (1966).

417. Shen, D. S. Schreiber, A. J.Arko. Low-temperature resisitwity of a "giant'' magnetic alloy, Phys. Rev. 179, 512 (1969).

418. J. W. Loram, K. A. Mirza. Dilute PdNi-a homogeneous magnetic system of fluctuating moments, J. Phys. F: Met. Phys. 15, 2213 (1985).

419. A. M. Clogston. В. T. Matthias, M. Peter. H. J. Williams. E. Corenzwit, R. C. Sherwood, Local magnetic moment associated with an iron atom dissolved in various transition metal alloys. Phys. Rev. 125, 541 (1962).

420. D. Shaltiel, J. H. Wrenick, H. J. Williams, M. Peter, Paramagnetic resonance of S-state ions in metals of high paramagnetic susceptibility. Phys. Rev. 135, A1346. (1964).

421. G. Mpourmpakis, G.E. Froudakis, A.N. Andriotis, M. Menon, Role of Co in enhancing the magnetism of small Fe clusters, Phys. Rev. В 72, 104417 (2005).

422. A. Hernando, B. Sampedro, R. Litrán, T. C. Rojas, J. C. Sánchez-López, A. Fernández, Room temperature permanent magnetism m thiol-capped Pd-rich nanoparticles, Nanotechnology 17, 1449 (2006).

423. E. Coronado, A. Ribera, J. Garcia-Martinez, N. Linares, L. M. Liz-Marzán, Synthesis, characterization and magnetism of monodispersed water soluble palladium nanoparticles, J. Mater. Chem. 18, 5682 (2008).

424. G. Usaj, H. U. Baranger, Anisotropy in ferromagnetic nanoparticles: Level-to-level fluctuations of a collective effect, Europhys. Lett. 72, 110 (2005).

425. I. S. Gradsteyn, I. M. Ryzhik, Table of integrals, series, and products, Academic Press (2000).

426. P. A. Mello. Averages on the unitary group and applications to the problem of disordered conductors, J. Phys. A 23, 4061 (1990).

427. P. W. Brouwer, C. W. J. Beenakker, Diagrammatic method of integration over the unitary group, with applications to quantum transport in mesoscopic systems, J. Math. Phys. 37, 4904 (1996).