Волны солитонного типа в дискретных системах в физике конденсированного состояния тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

\

ДМИТРИЕВ СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

ВОЛНЫ СОЛИТОННОГО ТИПА В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ В ФИЗИКЕ КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Авторефера! диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Специальность 01 04 07 - физика конденсированного состояния

□ □3 158747'

Барнаул - 2007

003158747

Работа выполнена в Алтайском государственном техническом университете, а также в двух университетах Японии- университете Электросвязи (г Токио) и Токийском государственном университете

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

Мулюков P.P. доктор физико-математических наук,

профессор Безносюк С А. доктор физико-математических наук, профессор Колупаева С Н Ведущая организация Сибирский физико-технический институт

при Томском госуниверситете, г Томск

Зашита состоится OiCP, 2007 г в ? 2— час. на заседании

диссертационного совета Д212.004 04 при Алтайском государственном техническом университете по адресу. 656038, г Барнаул, пр. Ленина, 46.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Алтайского государственного технического университета

Автореферат разослан " ^ " ^-^^^¿007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, /у! ,

кандидат физико-математических наук ' JbA^-f Романенко В.В.

Примечание: отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организаций, просим присылать в 2-х экз на адрес университета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Изучение соотношений между континуальными и дискретными системами является классической, давно рассматриваемой проблемой физики конденсированного состояния и прикладной математики, например, в задаче гомогенизации, то есть при построении континуального аналога для дискретной физической системы, а также в численных методах решения континуальных уравнений В течение двух последних десятилетий интерес к дискретным задачам необычайно возрос в различных разделах физики, рассматривающих нелинейные системы [1-3]. Задачи подобного типа возникают в физике фазовых превращений, физике пластической деформации, в нелинейной оптике, в физике Бозе-Эйнштейновского конденсата, при исследовании волн кальция в живых клетках, сверхпроводящих Джозефсоновских контактов, и в целом ряде других областей Дискретность матери на молекулярном и атомарном уровне становится все более заметной для нанотехнологий

Среди объектов нелинейной физики одним из наиболее интересных и важных для практических применений являются волны солитонного типа (уединенные волны) Эти волны, как в континуальных, так и в дискретных физических системах, могут переносить энергию, импульс, массу, электрический и топологический заряд, другие физические величины, а также информацию Уникальным свойством уединенных волн является их живучесть и устойчивость по отношению к возмущениям Для теоретической физики солитоны представляют огромный интерес как точные решения некоторых нелинейных уравнений, среди которых особое положение занимают полностью интегрируемые уравнения, такие, как уравнение синус-Гордона, Кортевега-де-Фриза (КДФ), или нелинейное уравнение Шредин-гера (НУШ) Интересно, что существует и ограниченное число полностью интегрируемых дискретных систем, например, цепочка Тоды, сводящаяся в континуальном пределе к уравнению КДФ, а также интегрируемая дискретизация НУШ, цепочка Абловица-Ладика

Однако, известные точно решаемые нелинейные уравнения, как правило, описывают грубо идеализированные модели, в то время как более точные модели включают дополнительные (возмущающие) члены, разрушающие интегрируемость. Изучение влияния возмущающих членов представляется важной задачей.

С другой стороны, очень важным является отыскание новых интегрируемых уравнений, что открывает новые перспективы в исследовании нелинейных систем

В настоящей работе

- для некоторых весьма популярных нелинейных уравнений строятся дискретные аналоги, обладающие рядом замечательных свойств, таких, как

полная интегрируемость соответствующей статической (стационарной) задачи, а также сохранение трансляционной инвариантности (ТИ), то есть отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро,

- исследуется взаимодействие волн солитонного типа в интегрируемых уравнениях, возмущенных слабой дискретностью,

- предлагается и исследуется дискретная модель с частицами конечных размеров, которая позволяет описывать, например, несоразмерную фазу в некоторых кристаллах диэлектриков,

- решается несколько прикладных задач, среди которых- дислокации несоответствия на границе металл/керамика, зарождение дислокаций в двумерном (2Э) бездефектном кристаллите при его наноиндентировании, зарождение дислокаций на открытой поверхности 20 бездефектного кристалла, подверженного растяжению или сжатию, статика и динамика топологических солитонов в кристаллах с частицами конечных размеров, и другие

Решение этих задач представляется весьма актуальным для физики конденсированного состояния в свете вышесказанного

Целью работы является построение и анализ свойств нелинейных дискретных моделей различных размерностей, пригодных для описания определенных физических процессов и явлений в конденсированных средах. Акцент делается на поведении топологических солитонов в нелинейных дискретных системах, описании их структуры, энергетики, подвижности и взаимодействия В качестве приложений рассматриваются модели дислокаций и доменных стенок в кристаллах, дислокаций несоответствия на межфазной границе, несоразмерные фазы, а также другие проблемы, изучаемые в физике конденсированного состояния

Научная новизна.

1 Построен широкий класс одномерных нелинейных дискретных моделей, обладающих свойством трансляционной симметрии Статические (стационарные) задачи для таких дискретных систем являются точно решаемыми Трансляционная инвариантность означает, что равновесные решения могут располагаться произвольно относительно узлов решетки, что, в свою очередь, означает отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро Метод построения ТИ дискретных моделей основан на использовании дискрети-зированного первого интеграла (ДПИ) исходного континуального уравнения, взятого в статической (стационарной) форме

2 Для солитонов в системах близких к интегрируемым показана возможность безрадиационного обмена энергией и/или импульсом при их столкновении Физическая интерпретация данного эффекта состоит в обнаружении канала обмена энергиями/импульсами между сталкивающимися солитонами в системах близких к интегрируемым, где, как было принято считать, солитоны взаимодействуют практически упруго На основе данно-

го эффекта нам удалось объяснить фрактальные структуры, наблюдаемые при рассеянии солитонов друг на друге, а также существование короткожи-вущих многосолитонных квазичастиц

3 Получены новые результаты по статике и динамике топологических солитонов в 10 и 20 моделях кристаллов, а также в реальных материалах

Практическая и научная ценность работы.

1 Предложен достаточно общий метод дискретизации таких классических уравнений теоретической физики, как уравнение Клейн-Гордона и НУШ, сохраняющий трансляционную инвариантность, присущую исходным континуальным уравнениям Построенные модели в статическом (стационарном) варианте являются интегрируемыми Отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро в этих дискретных моделях приводит к высокой подвижности топологических солитонов, что означает повышенные транспортные свойства таких моделей Доказательство существования весьма широкого класса дискретных одномерных моделей без потенциала Пайерлса-Набарро позволяет сформулировать новые задачи, например, поиск аналогичных моделей в задачах более высокой размерности Следует отметить, что совсем недавно была описана дискретная физическая модель без потенциала Пайерлса-Набарро [4], и есть все основания полагать, что в будущем подобные модели будут находить все новые применения.

2 Открытие нетривиального канала безрадиационного обмена энергией и/или импульсом при столкновении солитонов в системах близких к интегрируемым показывает, что волны солитонного типа не всегда сохраняют свои свойства при взаимодействии друг с другом, а также свидетельствует о необходимости вероятностного подхода к описанию результатов взаимодействия волн солитонного типа Степень неупругости столкновения растет линейно с ростом параметра возмущения интегрируемого уравнения Для сравнения, потери на радиацию и на возбуждение колебательных мод, локализованных на солитонах, растут квадратично с ростом параметра возмущения, а это значит, что при малых значениях этого параметра, предложенный механизм безрадиационного обмена энергией/импульсом является доминирующим

3 К практически важным результатам работы относятся также результаты численного моделирования зарождения, свойств и динамики топологических солитонов в приложении к описанию несоразмерной фазы в кварце и других кристаллах с микроскопическими частицами конечных размеров, к поведению дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир, к возникновению дислокаций в объеме бездефектного зерна при его нано-индентировании, и к ряду других прикладных задач

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработан метод построения дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера, обладающих трансляционной симметрией и свободных от потенциала Пайерлса-Набарро

2 Указан метод нахождения всех точных статических (стационарных) решений для ТИ дискретных уравнений

3 Объяснен механизм безрадиационного обмена энергиями и/или импульсами между солитонами, взаимодействующими в системах, близких к интегрируемым

4 Предложена модель кристалла с частицами конечных размеров и изучены особенности топологических солитонов в этой модели с целью описания несоразмерной фазы в некоторых кристаллах диэлектриков

5 Решен ряд прикладных задач, например, показана нерегулярность сетки дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир, исследовано зарождение дислокаций в объеме бездефектного 2D кристалла при его на-ноиндентировании, и на поверхности 2D кристалла, подверженного сжатию или растяжению, исследована несоразмерная фаза в кварце

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных форумах Всесоюзная конференция "Физика прочности и пластичности металлов и сплавов", СПИ, Самара, 1992, Всесоюзная конференция "Эволюция дефектных структур в металлах и сплавах", АПИ, Барнаул, 1992, VI международный семинар "Структура дислокаций и механические свойства металлов и сплавов", Екатеринбург, 1993, XXIX межреспубликанский семинар "Актуальные проблемы прочности", С.Петербург, С -ПГТУ, 1993; "Прочность и пластичность материалов в условиях внешних энергетических воздействий", III Международная конференция, Новокузнецк, 1993, II семинар России и стран СНГ "Структурно-морфологические основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий", Обнинск, 1993, Всесоюзная конференция "Эволюция дефектных структур в металлах и сплавах" Барнаул, 1994, Всесоюзная конференция "Актуальные проблемы прочности" Новгород, 1994; Международная конференция "Математическое моделирование процессов обработки материалов", Пермь, 1994; XIV Международная конференция "Физика прочности и пластичности материалов", Самара 1995, III Международная школа-семинар "Эволюция дефектных структур в конденсированных средах", Барнаул, 1996, 5 Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах", МГУ, Москва, 1996, Международная конференция "Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений", Тамбов, 1996, XXXII Межреспубликанский семинар "Актуальные проблемы прочности" памяти В.А Лихачева, С -Петербург, 1996, Symposia of the Material Research Society of Japan, Tokyo, Japan, May 1996, Spring Meeting of the Physical Society ot Japan, Meiji University, Tenpaku, March 1997, IV Межгосударственный семинар "Структурные основы мо-

дификации материалов методами нетрадиционных технологий", Обнинск, 1997; Sixth Japan-CIS/Baltic Symposium on Ferroelectncity (JCBSF-6) Noda, Japan, March 1998, Spring Meeting of the Physical Society of Japan, Toho University, March-April 1998; IV Международная школа-семинар "Эволюция дефектных структур в конденсированных средах", Барнаул, 1998; Spring Meeting of the Physical Society of Japan, Hiroshima, March 1999; 9th European Meeting on Ferroelectncity, Czech Republic, Praha, July 1999, Fall Meeting of the Physical Society of Japan, Monoka, September 1999; 5lh International Conference on Computational Physics, Japan, Kanazawa, October 1999, Spring Meeting of the Physical Society of Japan, Osaka, March 2000, XVII International Conference on Raman Spectroscopy (ICORS 2000) Beijing, China, August 2000, 3rd Asian Meeting on Ferroelectrics, Hong-Kong, China, December 2000, Материалы V международного научного симпозиума "Современные проблемы прочности, пластичности и устойчивости" Тверь, декабрь 2000, V Международная школа-семинар "Эволюция дефектных структур в конденсированных средах", Барнаул, 2000; 10lh International Conference on Pho-non Scattering in Condensed Matter (PHONONS 2001), Dartmouth College, Hanover, USA, August 2001,10lh International Meeting on Ferroelectncity, Madrid, Spain, September 2001, International Workshop "Nonlinear Lattice Structure and Dynamics", Dresden, Germany, September 2001; Fall Meeting of the Physical Society of Japan, Okinawa, September 2001; Spring Meeting of the Physical Society of Japan, Biwako-Kusatsu, March 2002, 7 Russia/CIS/Baltic/Japan Symposium on Ferroelectncity (RCBJSF-7) St. Petersburg, Russia, June 2002, Second International Workshop "Nucleation and Non—linear Problems in First-Order Phase Transitions" St Petersburg, Russia, July 2002, Fall Meeting of the Physical Society of Japan, Chubu University, September 2002, RIAM Symposium "Recent Topics on Nonlinear Waves and Nonlinear Dynamics" No 14ME-S7, Kyushu University, Japan, April 2003 (приглашенный доклад), IUTAM Symposium on Mesoscopic Dynamics in Fracture Process and Materials Strength, Osaka, Japan, July 2003 (приглашенный доклад), 16lh Computational Mechanics Conference, Kobe, Japan, November 2003, 5lh International Conference for Mesomechanics "Mesomechanics of Computation and Design of Use-Specific Materials", Tokyo, Japan, August 2003; 28lh Cocoa Beach Conference and Exposition on Advanced Ceramics and Composites, Florida, USA, January 2004, Workshop on Auxetics and Related Systems, Bedlewo, Poland, June 2004 (приглашенный доклад), Annual Meeting of the Japanese Society of Mechanical Engineering, Akita, Japan, July 2004, Mechanical Engineering Congress (MECJ-04), Sapporo, Japan, September 2004, RIAM Symposium "Mathematical Aspects and Applications of Nonlinear Wave Phenomena", Kyushu University, Japan, October 2004 (приглашенный доклад), 17lh Computational Mechanics Conference, Sendai, Japan, November 2004, Iм Asia-Oceania Ceramic Federation (AOCF) Conference and 18lh Fall Meeting of the

Ceramics Society of Japan, Osaka, September 2005; 5lh Asian Meeting on Ferro-electrics, Nöda, Japan, September 2006 (приглашенный доклад), XVII Петербургские чтения по проблемам прочности, Санкт-Петербург, апрель 2007, The 4'h International Workshop on Functional Materials, Gdansk, Poland, September 2007 (приглашенный доклад)

Публикации. Результаты работы опубликованы в 101 статьях в центральных российских и зарубежных изданиях

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы из 279 наименований Работа изложена на 236 страницах машинописного текста, содержит 64 рисунка

Во введении обосновывается актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель диссертационной работы, описаны научная новизна, практическая ценность, основные защищаемые положения Дается краткое содержание работы по главам

В первой главе приведен обзор теоретических представлений о волнах солитонного типа в дискретных системах в сопоставлении с солитон-ными волнами в континуальных нелинейных уравнениях Формулируется ряд открытых проблем теории Кроме того, обсуждаются всевозможные физические модели, описываемые нелинейными дискретными уравнениями и широко используемые в физике конденсированных сред

Вторая глава диссертации посвящена изложению оригинальной методики построения дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона, наследующих трансляционную инвариантность континуального уравнения и не имеющих потенциала Пайерлса-Набарро Наш подход основан на использовании ДПИ статического континуального уравнения Здесь же даются точные решения статической задачи для построенных дискретных моделей Опишем существо нашего метода Континуальный Гамильтониан

Клейн-Гордона, Н = Ек + , задается следующими функционалами кинетической и потенциальной энергий

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(21)

где ф(х^) есть неизвестная функция пространственной и временной координат, а V есть заданный потенциал Соответствующее уравнение движения имеет вид

i)), (2 3)

где У'(ф) = <1У1<1ф

Уравнение (2 3) будет дискретизировано на решетке х = nh , где « = 0, ±1, ±2, .. и h > 0 это параметр решетки

Следуя подходу, основанному на использовании ДПИ, мы выписываем первый интеграл статического уравнения (2 3)

и(х) = ф]-2У(ф) + С = Ъ, (24)

с константой интегрирования С Первый интеграл может быть взят и в модифицированной форме, например,

v(x)^[g(/)-g(2K-C)] = 0, (2.5)

где р и g это некоторые непрерывные функции и, кроме того, /?(о) = О Будем рассматривать случай р(С) = С > = £, то есть ^модифицированный первый интеграл, а также случай р(С) = С > g (£) = \f¿j , для которого имеем

v(x) = ±^i->/2K(^)-C =0 (26)

Построим ДПИ, соответствующие уравнениям (2 4) и (2 6).

и (*> Ф„-Л ) * ~г(ф„ - ф„, У - W (it,, Л ) + С = о, (2 7)

я"

V(Л,,) » ±"Г(Л -«t,)- \12У(Ф.-1*Ф.)~С = 0. (2.8)

п

где мы предполагаем, что в континуальном пределе У(ф11Х,фп} У(ф)

Для построения дискретизаций сохраняющих импульс, посчитаем dU/ dx и умножим результат на (dx/ ¿ф)/2, что даст

1 dü / / чч

(2 9)

Дискретизируя левую часть (2 9) приходим к дискретизации уравнения Клейн-Гордона (2 3) вида

ф =—-L(2 10)

Ф -Ф

для которой статические решения, очевидно, могут быть найдены из двухточечного уравнения (2 7) Поскольку статическая разностная задача (2 10) сводится к разностному уравнению первого порядка (2 7), то ее точные ре-

шения могут быть получены рекуррентно, решая алгебраическое уравнение (2 7), начиная с любого допустимого начального значения ф0 . Произвольность в выборе начального значения ф0 как раз и означает возможность

размещения равновесных когерентных структур произвольно относительно решетки или, иными словами, означает отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро Важно заметить, что обычно дискретные системы обладают потенциалом Пайерлса-Набарро и допускают лишь дискретный набор равновесных состояний, отвечающих экстремумам этого потенциала В отличие от этого, в ТИ дискретизациях имеется континуальное множество равновесных состояний Важно отметить, что константа интегрирования С, входящая в (2 7), сокращается в итоговой трехточечной дискретизации (2 10) Следовательно, все статические решения уравнения (2 7), полученные для различных значений С (кинк соответствует выбору С = 0 ), будут решениями одного и того же трехточечного уравнения (2 10), поскольку оно не зависит от С Наконец, отметим, что дискретизация типа (2 10) была впервые построена Кеврекидисом [5] с использованием другого, менее общего подхода, и им же было показано, что модель (2 10) сохраняет импульс

Р = ЦФЛФ„,-Ф„-,) (211)

п

Для построения дискретизаций, обладающих Гамильтонианом, будем дискретизировать не уравнение движения (2 3), а Гамильтониан (2 1), (2 2) Для этого будет использован модифицированный первый интеграл в форме (2 8), где мы возьмем верхний знак Перепишем функционал потенциальной энергии (2 2) с учетом (2.8) в виде

£/> (212)

где мы отбросили несущественный постоянный член Дискретизируя кинетическую энергию (2 1) и потенциальную энергию (2 12), получим дискретный Гамильтониан

Н ^¿ф + КМ. ,>Ф„)]2+^(Ф„-Ф„,)№(Ф„-гФ„)-с} (2-13) Если потенциал дискретизировать, как предложено Шпейтом [4],

= (2.14)

Ф„ ~ Ф„-А

то последний член Гамильтониана (2 13) сводится к (2 /А) [С ,)] и он исчезает при телескопическом суммирова-

нии С учетом (2 14), ДПИ (2 8) приобретает вид

и

Гамильтониан (2 13) сводится к виду

л, I,

а соответствующие уравнения движения приобретают форму

Ф. = Ф„Л,О-Ф,ф^,Ф„)-Ф,Ф„,ф^)-«( А,ф.,)> (2 17)

откуда видно, что статические решения модели (2 17) могут быть найдены из двухточечного ДПИ (2 15), а значит, эта модель свободна от потенциала Пайерлса-Набарро

В отличие от моделей (2.10), сохраняющих импульс, Гамильтоновская модель (2 17) включает константу интегрирования С через функцию С Модель Шпейта [6] соответствует частному случаю нашей модели при С = 0, которая имеет решение в виде кинка Модели с С ф 0 имеют решения отличные от кинка

Обсудим некоторые возможные обобщения построенных моделей свободных от потенциала Пайерлса-Набарро. Предположим, что одна и та же функция V |, фп) использовалась в ДПИ (2 7) и (2 8) для построения

различных ТИ моделей Тогда линейная комбинация таких моделей тоже будет ТИ моделью Такая ТИ модель может быть обобщена и далее Например, к ней можно добавить члены, которые исчезают в континуальном

пределе ( И -> 0) и исчезают при подстановке в них I! (/г, ф1:1, ^ ) = 0 Более того, любой ТИ член может быть умножен на непрерывную функцию е(/г,фа %,ф, которая никогда не обращается в нуль и чей континуальный предел равен 1 Такое умножение не изменит континуального предела модели и не изменит ее статических решений

В частности, мы будем рассматривать трансляционно-инвариантную модель вйда

Ф...-Ф-,

где модель(2 10) модифицирована множителем е(И,фп)

Применим теорию дискретизации, описанную выше, к весьма популярному частному виду уравнения Клейн-Гордона, а именно, к уравнению

фА, имеющему двухъямный потенциал в виде полинома четвертой степени,

У(Ф) = -(1~Ф1)\ (219)

где Л - ±1 Таким образом, уравнение ф* это

фк=фп+*(ф-?) (220) Простейший дискретный аналог уравнения (2 20) имеет вид

Ф„ = 4-2Ф,: + ) + л{Ф„~Ф1)> (221)

п

и он имеет потенциал Пайерлса-Набарро

Эг

2 ■

Фв О

fi,

по

по

sndn

admissible

-6 -5 -4 -3 -2 -1 О 1 2

Г

Рис 2 I Области допустимых значений начального значения фи отображения (2.27) для Л = 1 (левая панель) и Л = — 1 (правая панель), для различных значений константы интегрирования С Области недопустимых значений отмечены как "по" Границы допустимых областей определяются функциями (2 28)

Для построения ТИ дискретизации уравнения (2 20) мы дискретизируем потенциал (2 19) следующим образом

(222)

4

Тогда ДПИ (2 7) приобретает вид,

,Ф.У +С=° (223)

п 2

Для краткости записи введем обозначения

А = ЛИ\ С = С/Г (2 24)

Подставляя (2 23) в (2 18) с е{И,фа) = 1, получим дискретную модель уравнения ф4 не имеющую потенциала Пайерлса-Набарро

Ф„ = - Ч, + ) + М (ф„_, + фп1 ) . (2 25) п 2

Эта модель сохраняет импульс (2 11), но не имеет Гамильтониана

Другой тип ТИ дискретизации получается, если (2 23) подставить в

(2 18)с е(Мж) =1/(1-^/2)

1 -ЙГ)

I = тг(*-. " 2 " (226)

я 1- /2

Особенностью этой ТИ модели является то, что нелинейный член выражен только через фп, так же, как и в классической дискретизации (2 21) Вторым важным свойством модели является наличие для нее Гамильтониана Получим точные статические решения трансляционно-инвариантных

дискретных уравнений ф*, построенных выше Все возможные статические решения уравнений (2 25) и (2 26) могут быть найдены рекуррентно из ДЛИ (2 23), которое перепишем в виде нелинейного отображения

Ф = (2-ЛН,„±Тв 5 о = 2Л (1 - Ф1, )2 + 2 С (Аф*, - 2), (2.27) 2 -

где и | могут быть взаимно заменены ввиду симметрии уравнения (2 23) Если Б 0, то на каждом шаге отображения мы имеем два корня Выбирать следует тот из них, который дает тройку (Ф„_ГФ„,Ф„+,), удовлетворяющую трехточечные уравнения (2 25) и (2 26), для чего достаточно брать фи^л отличным от фи ! В качестве начального значения отображения

фп можно брать любое допустимое число, то есть такое, при котором

Б > 0 и 2 - Аф^ * 0 Поскольку отображение (2 27) используется для нахождения как последующих, так и предыдущих членов последовательности, то, начав итерации с допустимого значения, мы никогда не получим недопустимого, и. тем самым, статическое решение может быть построено для всей бесконечной цепочки. Границы области допустимых значений фи показаны на Рис. 2 I Они могут быть найдены из условия 0=0, которое

дает четыре корня ) = 1 - (С / 2) ± л/(С/4)(С-4 + 8/л)

1 3

, ДЛЯ КОТО'

рых введем обозначения

(2 28)

Нам удалось построить целый ряд статических решений уравнений (2 25) и (2 26) в замкнутой форме, в виде

фн г=±А5п" (г,т)сп (г,т)дп (г,т), г = /ЗИ(п + ;с0), (2 29) где бп, сп и с!п это эллиптические функции Якоби, 0 < т < 1 - модуль эллиптических функций Якоби, А и /} - параметры решения и х0 - произвольный сдвиг, свидетельствующий о трансляционной инвариантности модели и, наконец, целые числа ц, г, и 5 определяют конкретную форму

решений Например, для решения вп, (д,г, = (1,0,0), имеем

Аналогичные выражения были найдены для параметров таких решений, как сп, (<?,А-,5) = (0,1,0), с1п, = (0,0,1) , 1/зп, = (-1,0,0),

1/сп, (д, = (0,-1,0), и впёп/сп, (<7,г,5) = ( 1,-1,1) Выражения, связывающие С и т в (2 30) и аналогичных выражениях для других типов решений, устанавливают связь между решениями в виде эллиптических функций Якоби и решениями, получаемыми из нелинейного отображения (2.27) Каждое из решений в виде функций Якоби занимает определенную область плоскости параметров (С, фп), как показано на Рис 2 1 Заметим, что мы не смогли найти решение в замкнутой форме для области, отмеченной знаком вопроса на левой панели Рис 2 1, для С<4-8/Л,ноив этой области параметров точное решение может быть построено рекуррентно из нелинейного отображения (2 27). как описано выше

В третьей главе, метод ДПИ. развитый в предыдущей главе на примере уравнения Клейн-Гордона, распространяется на случай НУШ для построения дискретизаций этого уравнения свободных от потенциала Пайер-лса-Набарро В диссертации рассмотрено НУШ с нелинейностью общего вида, но здесь ограничимся случаем Керровской (кубической) нелинейности, то есть рассмотрим НУШ вида

~ А А'

С = — 1--. (2 30)

2 V т )

'У, +~~v/„ + л 1И~ v = о >

(3 1)

где ¡ - мнимая единица, Л = ±1 , a y/(x,t) - комплексная функция пространственной и временной координат Будем искать стационарные решения уравнения (3 1) вида y/(x,t) = f(x) е", что приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению f"-2тf + 2Л- 0, имеющему вид статического уравнения Клейн-Гордона (2 3), к которому можно приложить разработанный метод В диссертации подробно изучается следующая двух-параметрическая ТИ дискретизация уравнения (3 1)

1 Я

'V',, + ттт- 2v/„ + )+- {sx4'„ | + |)

2 h~ 2 (3 2)

(w, + íOkf + (vC, + vC, V»} = o,

с коэффициентами, связанными соотношением, <5, + + S% = 1. Отметим, что в частном случае <5, = 1 и St = = 0 уравнение (3 2) приобретает вид

знаменитой интегрируемой цепочки Абловица-Ладика В общем случае уравнение (3 2) неинтегрируемо, но соответствующая ему стационарная задача является точно решаемой В работе обсуждаются законы сохранения уравнения (3 2), исследуются его стационарные решения, кроме того, найдены некоторые точные движущиеся решения

В четвертой главе обсуждаются физические свойства дискретной

модели ф1, и сравниваются три типа ее дискретизации: (а) классическая дискретизация (2 21), (Ь) ТИ дискретизация, сохраняющая полную энергию (2.26) и (с) негамильтоновская ТИ дискретизация, сохраняющая импульс (2 25) Во всех случаях полагается Л = 1 и исследуется поведение простейшего топологического солитона, а именно кинка. Точное решение для движущегося кинка в этих моделях не известно, но для не слишком большого h можно воспользоваться кинковым решением континуального уравнения (2 20), чтобы выписать приближенное решение для дискретных моделей

вида 0;(/) = tanh[/?(n/7-ví)], где /? = 1/у2(l-v2) Статический кинк в

классической дискретной модели может быть построен численно, а в ТИ моделях точное статическое решение может быть найдено итерационно из

(2 27) при С = 0 и -1 < фп < 1 или представлено в явной форме

фп = tanh[/0/j(« + .r,1)], где tanh= /2 . Наличие в решении произвольного сдвига хи свидетельствует о трансляционной инвариантности этих моделей Важно заметить, что статические решения двух рассматри-

ваемых ТИ моделей, (2 25) и (2 26), совпадают, но их динамические свойства различны

08

°8о 02 04 06 08 1 0 00 02 04 06 08 1 0 00 02 04 06 08 1 0

е [хю5] I [хю5] f [хЮ5]

Рис 4 1 На верхних панелях представлены колебательные спектры цепочек из N = 200 част иц с кинком посередине Линиями показаны границы фононного спектра цепочки без кинка, а точками частоты колебательных мод, локализованных на кинке На нижних панелях показано изменение скорости кинка во времени при различных начальных значениях скорости Сравниваются три дискретные модели (а) классическая дискретизация (2 21), (Ь) трансляционно-инвариантная дискретизация, сохраняющая полную энергию (2 26) и (с) негамильтоновская трансляционно-инвариантная дискретизация, сохраняющая импульс (2 25)

На Рис 4 1 сравниваются три вышеупомянутые дискретные модели На верхних панелях представлены колебательные спектры цепочек из N = 200 частиц со статическим кинком посередине Линиями показаны границы фононного спектра цепочки без кинка, а точками - частоты колебательных мод, локализованных на кинке Фононные спектры трех моделей (а) аГ =2 + (4//081П2(£/2) , (Ь) оУ = 4/(2-) + (4//г2)81п2 (к/2)

и (с) а' =2 + (4//Г -2)8ш" (¿/2) На нижних панелях показано изменение скорости кинка во времени при различных начальных значениях его скорости

Принципиальным отличием спектра кинка в ТИ моделях является наличие моды с нулевой частотой (Голдстоновской моды), см. верхние панели на Рис 4 1 (Ь) и (с) В классической дискретной модели эта мода наблюдается только при весьма малых к, то есть она наследуется от континуальной модели, но исчезает с ростом И, см верхнюю панель на Рис. 4 1 (а) Сопоставление нижних панелей Рис 4 1 показывает, что кинки в ТИ моделях, при сравнительно небольших скоростях движения, тормозятся медленнее, что объясняется меньшим излучением энергии за счет взаимодействия с решеткой Наиболее неожиданным, на первый взгляд, может показаться увеличение скорости кинка во времени для ТИ модели (с). Причина кроется в том, что в данной модели силы межчастичного взаимодействия непотенциальны, и в определенных режимах движения возможен прирост полной энергии системы за счет работы совершаемой непотенциальными силами Более подробное исследование этого интересного эффекта приводится в диссертации В целом отметим более высокую мобильность кинков в ТИ моделях по сравнению с классической моделью.

В пятой главе исследуются необычные свойства солитонов в ТИ дискретизациях НУШ

Рис 5 2 Пространственно-временная эволюция функции (7)( , показывающая

для ТИ модели (3 2) (а) весьма медленное движение светлого солит она в режиме сильной дискретности и (Ь) практически упругое столкновение двух синфазных темных солитонов также имеющих весьма малые скорости

Колебательный спектр цепочки, содержащей солитон, для классического дискретного НУШ, имеет пару нулевых значений, отвечающих за инвариантность относительно сдвига фазы, а в ТИ моделях появляется дополнительная пара нулевых собственных значений, отражающих трансляционную инвариантность

На Рис 5 2 показано, что солитоны в ТИ дискретном НУШ могут двигаться с весьма малыми скоростями и в режиме сильной дискретности На

рисунке приводится пространственно-временная эволюция ¡^ (г))", показывающая (а) весьма медленное движение светлого солитона в режиме сильной дискретности в ТИ модели (3 2) при И = 2 , Я = 1 , = б2 - <5, = 1/3 и со = 1/2 , и (Ь) практически упругое столкновение двух синфазных темных солитонов, также имеющих весьма малые скорости Параметры ТИ модели (3 2) И = \ , Л = -1 , <5,=0 , Зг-дг= 1/2 и со = -0.9 . Как хорошо известно, в дискретных системах с потенциалом Пайерлса-Набарро при заметной степени дискретности, волны солитонного типа теряют свою подвижность и могут перемещаться только под действием достаточно сильных внешних полей Напротив, при отсутствии потенциала Пайерлса-Набарро, как это видно из приведенных примеров, солитоны могут двигаться со сколь угодно малыми скоростями и, как следствие, могут быть ускорены сколь угодно слабыми внешними полями

В шестой главе изучаются столкновения солитонов в уравнении синус-Гордона и в НУШ при наличии малых возмущений.

Дискретное уравнение синус-Гордона (т е модель Френкеля-Конторовой), описывается Гамильтонианом

где /? это параметр решетки, а ип перемещение п -ой частицы из решеточного положения Соответствующее уравнение движения имеет вид

1 / ч

и„--Г Iм,, 1 ~~ 2м„ + «„.,) + эт ип =0 (6 2)

к'

Для параметра решетки предполагается И <к 1, что и означает близость данной дискретной системы к континуальному уравнению синус-Гордона,

которое является полностью интегрируемым, а значит, предсказывает идеально упругое взаимодействие солитонов Точное решение, описывающее многосолитонные взаимодействия в невозмущенном уравнении синус-Гордона, хорошо известно Рассмотрим влияние слабой дискретности

(6.1)

и„ - + вш и = 0,

(6 3)

(А = 0 2) на четырехсолитонное решение Уравнение (6 2) интегрировалось численно с использованием метода Штормера шестого порядка с шагом М = 10"4 Начальные условия задавались с использованием точного

Рис 6 1 Сравнение динамики двух взаимодействующих бризеров в (а) слабо-дискретной системе с (Ь) точным решением невозмущенного уравнения Начальное расстояние между бризерами

определяется параметром £>" = —О 96 , бризеры имеют нулевые начальные скорости, Ут = У1п = 0 , и соотношение

частот со1П =(4/5)<йй1 X X

На Рис 6.1 сравнивается (а) динамика слабо-возмущенного движения в модели (6.2) с (Ь) точным решением невозмущенного уравнения (6.3) для пары бризеров, имеющих нулевые скорости Точное решение имеет период Т = 5Тт = 47^,, где Тт и Т11г периоды отдельных бризеров Заметим, что

когда фазы колебаний двух бризеров совпадают, они притягиваются, а бризеры, колеблющиеся в противофазе, отталкиваются, так что расстояние между ними меняется с периодом Т В возмущенной системе, притяжение бризеров не полностью компенсируется их отталкиванием, так что среднее расстояние между ними постепенно уменьшается, и в определенный момент они сталкиваются

Взаимное притяжение бризеров - это лишь одно проявление наличия слабого возмущения в системе Другое, еще более яркое проявление, состоит в возможности безрадиационного обмена энергиями и/или импульсами сталкивающихся солитонов Типичные сценарии столкновения двух бризеров представлены на Рис 6 2 Столкновения (а) и (<!) практически упруги, то есть не сопровождаются заметным изменением свойств бризеров, в то время, как все остальные столкновения неупруги Столкновение (а) упруго потому, что в момент наибольшего сближения бризеры колеблются в противофазе и, значит, взаимно отталкиваются Столкновение (с!) упруго несмотря на то, что бризеры колеблются почти в фазе Это произошло потому, что в данном случае все столкновения являются парными, то есть без слияния трех или четырех кинков. В отличие от этого, в столкновениях (Ь)

решения невозмущенного уравнения

и (с) наблюдаются слияния трех, а в столкновениях (е)-(0 принимают участие все четыре кинка Как йидно из Рис 6 2, один или даже оба бризера могут распасться на составляющие их кинки, то есть возможны качественные изменения типов квазичастиц в результате взаимодействия

Рис 6 2 Примеры рассеяния бризеров в слабо-дискретном уравнении синус-Гордона с начальными скоростями

V = -У1П = -0.2 , и частотами

сот =0.1 и сов, =(4/5)й>в1 Варьировалось начальное расстояние между бризерами

(а) О" = 20.0, (Ь) О" =4 3, (с) £>" =8 1,(ф £>" =100 0, (е) £>" =104 1,(0 й" =104.13, (8) £>" = 104 26, (Ь) О" = 104 285, (1) й" = 104.33

В слабо-возмущенной системе сохраняется два закона сохранения, выполняющихся с большой точностью — сохранение энергии и импульса Этим объясняется тот факт, что двухсолитонные столкновения всегда упруги каждый солитон (кинк) имеет одну степень свободы и, при наличии двух ограничений, накладываемых двумя законами сохранения, обмен энергиями невозможен Но он становится возможным, если взаимодействуют более двух кинков Важно отметить, что во всех случаях, представленных на Рис 6 2. потери на радиацию при столкновении бризеров пренебрежимо малы по сравнению с максимальной величиной обменной энергии

Рассмотрим более детально процесс распада четырех-солитонной квазичастицы (двух близко расположенных бризеров с нулевой относительной скоростью) на отдельные бризеры Пример такого распада показан на Рис

6 1 (а). Будем варьировать начальное расстояние между бризерами О" После распада, два независимых бризера двигаются в противоположных направлениях с практически одинаковыми абсолютными значениями скоростей Обозначим скорость бризеров после распада через к* и построим

ее на Рис 6 3 как функцию £>° Оказывается, что функция Кя*(£)°) обладает свойством самоподобия на различных масштабах Четыре масштаба такого самоподобия показаны на Рис 6.3, где каждый последующий график показывает фрагмент предыдущего в увеличенном масштабе для участка, обозначенного буквой /

005

о

0 05

I05

ГйГТ

Д I Jl.ll 117771

штат¿яш и.и в.ю.1

(а)

0 02 04 06 08 1

#

г Г/». К

0«».

I :

ЗА

0176 0178 018

0 051

■ л

и

ч. IV«

0*1774

(Ь)

(с)

(«О

01776

01778

и

,0

Рис 6 3 Фрактальная структура (показаны четыре масштабных уровня) рассеяния бризеров, представленная функцией , где У'в это скорость разлета бризеров после распада двух-

бризерной системы а это начальное расстояние между бризерами Каждый последующий график показывает фрагмент предыдущего в увеличенном масштабе для участка, обозначенного буквой 1

Фрактальная структура рассеяния бризеров имеет простое физическое объяснение Как было показано выше, в слабовозмущенной системе бризе-ры взаимно притягиваются, поскольку их притяжение при колебании почти в фазе не вполне компенсируется отталкиванием при колебании почти в противофазе Как видно из Рис 6 3, хаотические области наблюдаются там, где экстраполяция гладких участков дает практически нулевую скорость

разлета V",. В этой области, в результате столкновения бризеры приобретают весьма низкую кинетическую энергию, не достаточную для преодоления взаимного притяжения и через какое-то время они сталкиваются снова В повторном столкновении бризеры могут получить достаточный импульс, чтобы разлететься, но есть вероятность, что бризеры опять не смогут преодолеть взаимное притяжение и столкнутся уже в третий раз, и так далее Каждое последующее столкновение образует очередной масштабный уровень функции ГЛ*(£)°)

Безрадиационный обмен энергиями и фрактальное рассеяние солито-нов, как показано в диссертации, явления универсальные для слабовозмущенных систем Например, оно также имеет место в слабовозмущенном НУШ, причем, уже для двухсолитонных столкновений, по-

скольку в системе выполняется три закона сохранения, но каждый солитон в НУШ имеет две степени свободы

В работе показано, что безрадиационный обмен наблюдается вблизи сепаратрисы многосолитонного решения невозмущенного уравнения

В седьмой главе изучаются топологические солитоны в одномерной цепочке частиц конечных размеров, показанной на Рис 7 1 (а) Модель предложена автором для описания основных эффектов, наблюдаемых при фазовых переходах в кристаллах с несоразмерной фазой Частицы связаны упругими шарнирами жесткости ^ , кроме того, шарниры испытывают действие внешнего потенциала с кубической нелинейностью (показано вертикальными пружинками). Упругие шарниры и внешний потенциал стремятся поддерживать прямолинейную форму цепочки, но сжимающая осевая нагрузка Р играет дестабилизирующую роль Взаимодействие этих факторов может приводить к возникновению весьма разнообразных статических и динамических структур При малых углах поворота частиц, модель описывается следующим уравнением движения

*„ + Г («„-2 ~ 4и + 6«„ - 4м„+, + +2) + Р(и.~ 2и + «„,) + «,, + и] = О,

(7 1)

где ип (/)- это вертикальное перемещение «-го шарнира Уравнение (7 1)

может быть классифицировано, как дискретное уравнение ф4, учитывающее не только ближайшие, но и следующие к ближайшим взаимодействия Уравнение неинтегрируемо, и допускает лишь весьма ограниченное число точных решений простой формы, поэтому стоит задача построения его приближенных решений

Это уравнение, а также уравнения, имеющие другую форму записи, но эквивалентные ему в математическом плане, рассматривалось многими авторами Нами получен ряд новых существенных результатов для уравнения (7 1), а также ряд результатов, уточняющих известные В частности, получена подробная фазовая диаграмма модели (7 1) на плоскости параметров (Г, Р), описаны периодические равновесные решения в синусоидальном режиме, описан переход от синусоидального режима к режиму с периодическими доменными стенками, получены решения для доменных стенок (топологических солитонов) как с использованием САА аппроксимации, так и с позиций многополевого подхода Точность построенных приближенных решений исследуется численно Также численно исследуется достаточно нетривиальная динамика топологических солитонов и динамика автоволн Пример распространяющейся автоволны, инициированной неустойчивым топологическим солитоном, показан на Рис 7 1 (Ь) Процесс качественно схож с мартенситным превращением, наблюдаемым в металлах

-

,0 у^-----------

:£=з@е==

п

(а) (Ь)

Рис 7 1 (а) Одномерная модель, представляющая собой цепочку частиц конечных размеров, связанных упругими шарнирами жесткости F, во внешнем потенциале с кубической нелинейностью (показано вертикальными пружинками) и под действием сжимающей осевой нагрузки Р (Ь) Распространение автоволн в модели (7 1), возникших в результате неустойчивости топологического солитона Линии че1ырех различных типов соединяют каждый четвертый узел со сдвигом на единицу

В восьмой главе изучаются топологические солитоны в двумерных задачах и решается ряд прикладных проблем

В первом параграфе моделируется сетка дислокаций несоответствия на границе металлокерамического соединения медь/сапфир, имеющей наиболее когерентное ориентационное соотношение, (111)Си(Т01}Си||(0001) А1,О,(1Т00}А1,О,, в том смысле, что плотноупа-

кованные плоскости и плотноупакованные направления в обоих полукристаллах параллельны Такая граница раздела возникает при молекулярной эпитаксии Электронная микроскопия высокого разрешения не выявила корреляции в относительном положении атомов меди и сапфира вблизи границы раздела, и на основе этого был сделан вывод о некогерентности границы Такой результат не может не вызывать удивления, поскольку, в присутствии достаточно сильного взаимодействия через границу раздела, естественно ожидать упорядочение вследствие релаксации атомов Мы исследуем данную проблему с использованием трехмерной молекулярной квазистатики, а также модельных расчетов в рамках двумерной модели Френкеля-Конторовой и предлагаем объяснение кажущейся некогерентности рассматриваемой границы раздела. В трехмерном моделировании, меж-

атомные взаимодействия в объеме меди описывались известным многочастичным ЖЗЬ потенциалом, в объеме сапфира известными парными потенциалами, а взаимодействия через границу раздела парными потенциалами, калиброванными автором данной работы по результатам первопринципных расчетов, полученных группой проф Кояма

Двумерная модель Френкеля-Конторовой представляет собой атомную плоскость гексагональной симметрии (плоскость (1 И) г ц к кристалла) взаимодействующую с внешним периодическим потенциалом вида

2уГ 3 (2тгх 2яу 4яЛ (4яу 2яЛ (2жх 2пу 2яЛ

и(х,у)=- —+С05 -+ —=- +- +С08 —т=-+— +оов--—т=- +— ,

9 |_2 V Ь «¡ЪЬ 3 ) \МъЬ ЗУ V Ь л/36 3 )_

(8 1)

где у определяет глубину потенциала, а Ъ параметр решетки Атомы плоскости взаимодействуют между собой посредством потенциала Лен-нарда-Джонса

где г — это расстояние между атомами и, без потери общности, мы полагаем е = 1 / 4 и а = 1 Масса атома тоже полагается равной единице Для радиуса обрезки равной 11, равновесный параметр решетки равен а = 1.11146206 и он, вообще говоря, не совпадает с параметром решетки внешнего потенциала, что и может приводить к формированию сетки дислокаций несоответствия

На рисунках 8 1 и 8 2 представлены этапы атомной релаксации на границе раздела медь/сапфир и в двумерной модели Френкеля-Конторовой, соответственно На обоих рисунках показаны (а) нерелаксированное состояние, (Ь) ранний этап релаксации, когда формируется сетка краевых дислокаций несоответствия, (с) следующий этап релаксации, приводящий к закручиванию дислокационных сегментов и появлению у них винтовой компоненты, (<3) последний этап, когда исчезают пересечения дислокаций несоответствия и формируется система замкнутых дислокационных петель Важно заметить, что результат представленный на Рис 8 2 получен при относительно большой глубине внешнего потенциала, у = 6 При весьма малом у релаксация останавливается на стадии (Ь), при большему на стадии (с), и лишь при достаточно большом у доходит до стадии (с1) Поскольку на границе медь/сапфир релаксация заканчивается стадией (с1), можно сделать вывод о том, что атомы сапфира создают для приграничных атомов меди достаточно глубокий потенциальный рельеф Исследование влияния температуры на различные дислокационные сетки в рамках модели Френкеля-Конторовой показало, что структуры (Ь) и (с) (получаемые при не очень больших /) устойчивы по отношению к тепловым колебани-

(8 2)

ям, а структура ((1) неустойчива. Во всех случаях, в присутствии тепловых колебаний, дислокационные сегменты осуществляют случайные перемещения, но в случаях (Ь) и (с) последующие перемещения компенсируют предшествующие так, что регулярная структура сетки сохраняется, а & случае (<3) скачки носят необратимый характер и дислокационная сетка становится нерегулярной, как на Рис. 8.1

Рис. 8.1. Этапы атомной релаксации на границе раздела мель/сапфир. Атомы мели покачаны свешыми кружками, а потенциальный рельеф, созданный атомами сапфира, темными. (а) — н ер елакснро ванное состояние, (Ь) — ранний этап релаксации когда формируется сетка краевых дислокаций несоответствия, (с) - следующий этап релаксации, приводящий к закручиванию дислокационных сегментов и появлению у них винтовой компоненты, (с1) — последний этап, когда исчезают пересечения дислокаций несоответствия и формируется система замкнутых дислокационных петель.

Наши результаты дают естественное объяснение отсутствию когерентной модуляции вблизи границы медь/сапфир, наблюдаемой в высокоразрешающей электронной микроскопии, несмотря на значительную энергию взаимодействия на данной границе. Причиной служит трансформация сетки дислокаций несоответствия к апериодической, что возможно при достаточно глубоком потенциальном рельефе, созданном атомами сапфира для атомов меди.

Рис. 8.2.

Этапы атомной релаксации в двумерной модели Френке-ля-Конторовой при у = 6 . Атомы показаны светлыми кружками, а потенциальный рельеф — темными.

Во втором параграфе рассматриваются вопросы теоретической прочности бездефектных кристаллов при однородной деформации. Строится и анализируется поверхность в трехмерном пространстве однородной деформации, отделяющей области устойчивости и неустойчивости кристаллической решетки.

В третьем параграфе изучается возникновение дислокаций в объеме бездефектного двумерного кристаллита, при его наноиндентироваиии. Предложен метод, позволяющий предсказывать точку возникновения дислокационной петли и направление скольжения дислокаций. В основу моделирования положен потенциал Леннарда-Джонса (8.2). Сравниваются результаты индентирования вдоль двух кристаллографических направлений, <1 12> и <1 10>, при диаметре индентора 56« (см. Рис. 8.3 и Рис. 8.4, соответственно). Трение между индентором и материалом отсутствует.

При индентировании вдоль <112> упругая деформация продолжалась до глубины 2.60, а вдоль <1 10> до глубины 3.17. Деформированные кристаллиты непосредственно перед наступлением неустойчивости показаны на панелях (а) рисунков 8.3 и 8,4. Там же светлыми кружечками отмечены те элементарные ячейки, где уровень и компоненты локальной деформации таковы, что в бесконечном, однородно деформированном кристалле при данной деформации в спектре появляются мнимые собственные значения, то есть кристалл становится неустойчивым, В этом и состоит существо нашего метода по предсказанию положения точки зарождения дислокаций и направлении их скольжения. В самом деле, две пары дислокационных петель возникли именно в предсказанных областях и двигались в предсказан-

ных направлениях, см. панели (Ь) рисунков 8.3 и 8,4, где возникшие и разбежавшиеся дислокации показаны занумерованными кружками. Дислокации 1 и 2 представляют одну петлю, а 3 и 4 другую. Интересно отметить, что дислокации в обоих случаях возникают не на границе контакта с ин-дентором, а в объеме кристаллита, свободном от топологических дефектов.

60 х

У 4С

"•V. V. V-V-г. \ 'Л'Л V

шициш

20

40

Л'.у.у.у.

60 X

(а) (Ь)

Рис. 8.3. На н о и ндент ир о ва н и е двумерного кристалла вдоль направления <112>.

(а) (Ь)

Рис. К.4. Наноиндентироаание двумерного кристалла вдоль направления <112>.

В четвертом параграфе исследуется влияние поверхности на теоретическую прочность двумерных кристаллов. Решается задача устойчивости двумерного волокна и двумерной полуплоскости при однородном растяжении или сжатии параллельно поверхности. В качестве критерия неустойчивости выступает появление в колебательном спектре чисто мнимых собственных частот. При формулировке задачи на собственные значения для однородно деформированного кристаллита, использовалось наличие транс-

ляционной симметрии в направлении параллельном поверхности, что позволяло представить все возможные моды колебаний в виде

11(7) = и" ехр[/(Ад./ - ф{)] , где I - это мнимая единица; кх - компонента

волнового вектора в обратном пространстве, / — целое число, определяющее периодическую ячейку, й) - собственная частота колебательной моды,

и" - соответствующий собственный вектор, включающий компоненты смещений всех атомов периодической ячейки

Рис 8 5 Сравнение дисперсионных кривых для (а) - волокна и (б) - полупространства, сжатых в направлении параллельно поверхности с ориентацией [112] Нижняя часть рисунка показывает низкочастотные части спектра

В качестве примера, на Рис 8 5 сравниваются дисперсионные кривые для (а) - волокна и (Ь) - полупространства, сжатых в направлении параллельно поверхности с ориентацией [112] Величина деформации, ^ш) ~ -0.0524 , лишь немного меньше критической, £j*1P| = -0 05245 . когда самая низкочастотная мода становится неустойчивой на границе зоны Бриллюэна, при кх = ж Ячейка периодичности волокна (полупространства) содержит 40 (20) подвижных атомов и соответственно, 80 (40) степеней свободы Количество ветвей дисперсионных кривых равно числу степеней свободы Нижняя часть рисунка показывает низкочастотные части спектра Волокно при сжатии всегда неустойчиво относительно попе-

речного изгиба, как это видно на (а') (для со' < 0 мы строим -(-ю2)1/2) Максимальный волновой вектор с мнимой частотой обозначается как к*к

В диссертации подробно анализируются собственные вектора, соответствующие неустойчивым модам и показано, что они, как правило, локализованы вблизи поверхности. Кроме того, методом молекулярной квазистатики исследуется послекритическое состояние кристалла, показаны механизмы приповерхностного зарождения и эволюции дислокаций и микротрещин Сравниваются атомарно гладкие поверхности и поверхности со ступеньками Делается вывод о том, что наличие свободной поверхности, особенно поверхности со ступеньками, понижает теоретическую прочность кристаллов. Однако, понижение это незначительно- критическая деформация для кристалла со свободной поверхностью понижается не более чем на десяток процентов по сравнению с бесконечным однородно деформированным кристаллом, что не может объяснить отличие на несколько порядков теоретической прочности идеальных кристаллов от экспериментально наблюдаемой прочности. По-видимому, объемные дефекты кристаллической структуры играют более важную роль при формировании прочностных свойств поликристаллов, чем свободная поверхность

В пятом параграфе, в рамках предложенной автором двумерной модели кристалла с частицами конечных размеров, моделируется несоразмерная фаза, возникающая в модели под действием внешнего давления Модель содержит два нелинейных члена, которые, в зависимости от соотношения параметров, допускают устойчивость 2q или Зц модулированных фаз Численно изучается переход между Ц и Зц фазами, характерный для кристаллов с гексагональной симметрией Модель в деталях воспроизводит последовательность фазовых переходов, наблюдаемых в кварце (5Ю2) при охлаждении и объясняет экспериментально наблюдаемое увеличение температурного интервала 1 я фазы при одноосном внешнем давлении

В шестом параграфе предлагается оригинальная методика оценки когерентности границы раздела двух кристаллических тел, в общем случае, имеющих различную структуру

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Центральный теоретический результат диссертации - это разработка нового, достаточно общего метода построения дискретных моделей нелинейных континуальных уравнений, обладающих свойством трансляционной инвариантности Метод основан на использовании дискрети-зированного первого интеграла статического (стационарного) аналога континуального уравнения Статические (стационарные) задачи в таких дискретных моделях являются точно решаемыми

2 Разработанный метод применен к двум популярным нелинейным уравнениям, Клейн-Гордона и НУШ. Для их ТИ дискретизаций построен ряд точных статических (стационарных) и движущихся решений Исследованы свойства волн солитонного типа в ТИ дискретизациях ТИ модели не имеют потенциала Пайерлса-Набарро, а значит, солитоны в них не связаны решеткой, и могут быть ускорены сколь угодно малым внешним полем

3 Численно показана высокая мобильность солитонов в ТИ моделях, как при малых, так и при больших скоростях движения

4 Теоретически и численно исследовались столкновения солитонов в системах близких к интегрируемым Обнаружен и объяснен эффект безрадиационного обмена энергиями, наблюдаемый вблизи сепаратрисы многосолитонного решения невозмущенного уравнения Степень неупругости столкновения растет линейно, а потери на радиацию и на возбуждение колебательных мод, локализованных на солитонах, растут квадратично с ростом параметра возмущения Следовательно, при малых значениях этого параметра, безрадиационный обмен является доминирующим фактором, определяющим неупругость солитонных столкновений в слабовозмущенных интегрируемых уравнениях Безрадиационный обмен энергиями возможен только при условии, что число степеней свободы сталкивающихся солитонов превышает число законов сохранения, выполняющихся с большой точностью в слабовозмущенной системе Например, в уравнении синус-Гордона, имеющем два закона сохранения (энергии и импульса), эффект проявляется только при трех-кинковых столкновениях, поскольку кинк имеет одну степень свободы Солитоны в НУШ имеют по две степени свободы и, при наличии трех законов сохранения (нормы, энергии и импулься), эффект возможен уже в простейших двухсолитонных столкновениях

5. Безрадиационный обмен энергиями объясняет фрактальные структуры, наблюдаемые при рассеянии солитонов друг на друге, а также предсказывает существование короткоживущих многосолитонных квазичастиц

6. Фазовые переходы в кристаллах, построенных из частиц конечных размеров, изучались в рамках Ю и 20 моделей, предложенных автором Получены фазовые диаграммы моделей, найдены условия модуляционной неустойчивости, описаны соразмерные и несоразмерные фазы в синусоидальном режиме, переход от синусоидального режима к режиму доменных стенок, получены приближенные аналитические решения для доменных стенок, а также численно изучены особенности динамики устойчивых и неустойчивых доменных стенок

7 Показано, что при формировании несоразмерной фазы в Ш и 20 моделях существенную роль играют взаимные повороты жестких частиц Фазовая диаграмма моделей имеет топологическую структуру, иден-

тичную фазовой диаграмме кварца, построенной методом молекулярной динамики в 3D расчетах

8 Посредством численного моделирования описаны особенности сетки дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир, что позволило объяснить результаты электронной микроскопии высокого разрешения

9 Исследованы зарождение дислокаций в объеме бездефектного зерна при его наноиндентировании, а также влияние открытой поверхности на теоретическую прочность кристалла, свободного от дефектов в его объеме Делается вывод о весьма незначительном понижении теоретической прочности (порядка 10-20%) за счет наличия свободной поверхности. Наличие только поверхности не может объяснить различие в несколько порядков, наблюдаемое для теоретической прочности бездефектных кристаллов и прочности реальных (поли-)кристаллических тел По-видимому, объемные дефекты играют существенную роль при формировании прочностных свойств последних С другой стороны, наши результаты подтверждают высокую прочность нитевидных кристаллов, где основным дефектом кристаллической структуры является наличие открытой поверхности

ЛИТЕРАТУРА

1. Encyclopedia of nonlinear science / Edited by A. Scott. - New York Routledge, 2005 -1053P

2. Белова T И , Кудрявцев A E Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля//УФН -1997 -Т 167 -№4 -С 377-406

3 Braun О.М , Kivshar Y S The Frenkel-Kontorova model concepts, methods, and applications. - Berlin: Springer, 2004. - 472 P

4 Speight J.M., Zolotaryuk Y. Kinks m dipole chains // Nonhneanty - 2006 -V 19 -P. 1365-1382

5. Kevrekidis P G On a class of discretizations of Hamiltonian nonlinear partial differential equations // Physica D - 2003 - V. 183. - P 68-86 6 Speight J.M. Topological discrete kinks // Nonlmearity - 1999 - V 12 - P 1373-1387.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Кудинов А.Н., Дмитриев С В, Савченко К И , Синицын Е А Методика определения аналогов упругих постоянных дисперсных сред // Заводская лаборатория, Москва -1989 -Т 55 -№10 - С 62-64

2. Старостенков М Д, Дмитриев С В Оценка энергии образования антифазных доменов в кристалле интерметаллида Н Кристаллография, РАН, Москва - 1992. - Т 37 -вып 6 -С 1372-1378

3 Старостенков М Д, Дмитриев С В Энергия образования антифазной границы {001} в сверхструктуре с произвольной примитивной ячейкой // Физика твердого тела, РАН, С -Петербург - 1992 - Т 34 -№7 - С 20872093

4 Старостенков М Д, Дмитриев С В , Голобокова С И Метод определения энергии антифазной границы в плоскостях {hOl} в сверхструктуре с произвольной примитивной ячейкой // Известия ВУЗов Физика, Томск -1992 - №5 - С 73-77

5. Старостенков М Д, Дмитриев С В , Голобокова С И Определение энергии сдвиговых антифазных границ в упорядоченном сплаве // Металлофизика, РАН, Киев - 1992. -т 14 - №9. - С 61-68.

6. Старостенков М Д, Дмитриев С В., Волкова С М. Энергия образования трубки антифазных траниц в упорядоченном сплаве // Физика твердого тела, РАН, С-Петербург -1993 -т.35 -№1 -С 31-37

7. Старостенков М Д, Дмитриев С.В Распределение пространственных многогранников по координационным сферам в ОЦК решетке // Журнал структурной химии, СО РАН, Новорсибирск -1993 -Т34 -№4 -С 107111

8. Старостенков М Д , Дмитриев С В., Бакалдин А В Энергии образования антифазных границ в сверхструктурах Ll0 и Llj// Известия ВУЗов Физика, Томск - 1993. - №3. - С. 68-72.

9. Старостенков М Д, Дмитриев С.В , Голобокова С И Поверхностная энергия упорядоченного сплава в модели твердых сфер // Поверхность Физика, химия, механика, РАН, Москва -1994 -№2 -С 108-113

10.Старостенков М Д, Дмитриев С.В , Бразовская О В Исследование геометрического строения и энергетики границ зерен или фаз в многокомпонентных структурах // Физика твердого тела, РАН, С-Петербург-1994 -Т 36, № 11. - С 3414-3423

11.Старостенков М Д, Дмитриев С В , Фролов А.М , Волкова С М Энергия образования планарных сверхструктурных дефектов в упорядоченных сплавах на основе ГЦК- и ОЦК-решеток // Известия ВУЗов Физика, Томск-1994 -№11 -С 57-61

12.Старостенков М Д, Дмитриев С В , Волкова С М. Классификация планарных сверхструктурных дефектов в упорядоченных сплавах с ГЦК- и ОЦК- решеткой // Кристаллография, РАН, Москва -1994 - Т 39, №3 - С 508-513

13. Дмитриев С В , Старостенков М Д , Волкова С М Классификация планарных сверхструктурных дефектов // Металлофизика и новейшие технологии, НАН Украины, Киев -1994 -Т 16 -№8 -С 67-72

14.Старостенков М Д, Дмитриев С В , Герман В Г Моделирование энергетики образования дефектов различных размерностей в кристалле интерме-таллида // Кристаллография, РАН, Москва -1994. -Т 39 - №5. -С 798-802

15.Старостенков М Д, Дмитриев С В , Волкова С М , Фролов А М Классификация планарных сверхструктурных дефектов в упорядоченных ОЦК и ГЦК сплавах на примере сверхструктуры L1q// Физика металлов и металловедение, РАН, Екатеринбург -1994 -Т 77, выпб -С 28-35.

16.Дмитриев СВ, Старостенков МД, Жданов АН Основы кристаллографического анализа дефектов в металлах и сплавах Учебное пособие для вузов / Алт гос техн ун-т им И И Ползунова - Барнаул Изд-во АлтГТУ,

1995 - 256с

17. Дмитриев С В , Фролов А М , Голобокова С И Старостенков М Д Пленарные сверхструктурные дефекты в упорядоченных сплавах с гексагональной плотной упаковкой // Кристаллография, РАН, Москва - 1995 -Т40.-№2 -С 223-227.

18.Старостенков М Д, Дмитриев С.В , Андрухова О В Статистические характеристики системы антифазных границ, образующихся при кристаллизации расплава//Расплавы, Екатеринбург - 1995 вып2 -С 87-94

19.Дмитриев С В , Науман J1 В , Старостенков М Д, Васильев А А Сдвиговая неустойчивость ГПУ-кристалла при растяжении перпендикулярно плот-ноупакованным атомным слоям // Металлофизика и новейшие технологии, НАН Украины, Киев -1995 -Т17,№4,С 56-60

20.Dmitriev S V, Abe К, Shigenan Т. One-dimensional crystal model for incommensurate phase. I Small displacements limit // J Phys. Soc. Jpn - 1996. -V 65 -P. 3938-3944

21. Дмитриев С.В , Овчаров A A , Старостенков M Д, Козлов Э.В Компьютерное моделирование зарождения дислокаций в однородно деформированном г.ц к кристалле // Физика твердого тела, РАН, С -Петербург —

1996 -Т.38 -№6 -С 1805-1811

22. Дмитриев С В., Науман J1 В , Овчаров А А , Старостенков М Д Механизм зарождения дислокаций в одномерной модели кристалла Френкеля-Конторовой//Известия ВУЗов Физика, Томск -1996.-№2 -С 72-76

23.Dmitnev S V., Nauman L V , Wusatowska-Sarnek A.M., Starostenkov M D Generation and annihilation of dislocations in the discrete Frenkel-Kontorova model // phys. stat sol - 1997 - V 201 - P 89-96

24 Dmitriev S V, Shigenari T, Abe К One-dimensional crystal model for incommensurate phase II Compressible molecules // J Phys Soc Jpn - 1997. -V66 -P 2732-2736

25.Dmitriev S V, Shigenan Т., Vasiliev A A, Abe К Dynamics of domain walls in an incommensurate phase near the lock-in transition One-dimensional crystal model//Phys Rev В -1997.-55 -P 8155-8164

26.Shigenari T, Vasihev A A, Dmitriev S V , Abe K. Domain walls m one-dimensional 3-periodic structure // Ferroelectrics — 1997.- V.203 - 335-347

27.Старостенков M Д, Дмитриев С В , Старостеикова О.Х. Правила заполнения координационных сфер в кристаллах кубической симметрии с междоузлиями // Журнал структурной химии, СО РАН, Новосибирск — 1997 -Т 38 - № 6 -С 1110-1116

28.Андрухова О В., Козлов Э В., Дмитриев С В , Старостенков М Д О возможных механизмах атомного разупорядочения в бинарных сплавах // Физика твердого тела, РАН, С -Петербург - 1997 - Т 39 - № 8 - С 14561460

29.Андрухова О В , Дмитриев С В , Козлов Э В., Старостенков М Д Влияние температуры на структуру двухмерного двойного сплава в равновесном состоянии II Металлы, РАН, Москва. -1997 - № 6 - С 83-89

30.Дмитриев С В , Козлов Э В , Ломских Н В , Старостенков М Д Изучение кинетики разупорядочения в рамках двумерной модели сплава // Известия ВУЗов Физика, Томск - 1997 - № 3 - С 73-80

31.A A Ovcharov, Dmitriev S V , Starostenkov M D The atomic displacement static waves inside a zone of elastic to plastic transformation // Comp Mater Sci - 1998. -V.9 -P. 325-328

32.Dmitriev S V, Shigenan Т., Vasihev A A., Miroshnichenko A E Effect of discreteness on a sme-Gordon three-soliton solution // Phys Lett. A. - 1998 -V 246. - P 129-134

33.Dmitriev S.V, Wusatowska-Sarnek A. M., Starostenkov M D , Belyakov A. N, Shigenari T, Sakai T Crystallogeometrical approach to stacking fault analysis in ordered alloys // Acta Crystallographica A. -1998 - V 54 - P 430-437

34.Dmitnev S V., Kumata Т., Shigenan Т., Abe K. Computer simulation for the incommensurate phase near the lock-in transition // J Korean Phys. Soc - 1998 - V.32 - P. 907-909

35.Dmitriev S V., Shigenan T, Abe К Thermally activated motion of domain wall m a crystal with a small degree of discreteness // Comp Mater Sci - 1998 -Vll -P. 227-232

36.Dmitriev S V , Shigenan Т.. Abe К Mechanisms of transition between lq and 2q incommensurate phases in two-dimensional crystal model // Phys Rev B. - 1998. - V 58 - P 2513-2522

37.Dmitriev S V , Shigenari T, Abe K. Mechanism of'transition between lq and 3q incommensurate phases in two-dimensional crystal model /7 Ferroelectrics -1998 -V217 -P 179-187.

38.Dmitriev S V , Shigenan T . S M Volkova, Vasihev A A, Abe К Dynamics of autowaves in a one-dimensional crystal model // Comp. Mater Sci -1999.-V. 13 -P 227-231

39.Shigenan T, Dmitriev S V, Vasihev A A, Abe К Domain wall solutions for EHM model of crystal//J Phys. Soc Jpn -1999 -V.68 -P 117-125

40.Dmitriev S V., Abe К , Shigenarr Т.

-2000. - V 55. -P.l 13-117 (на японском

языке)

41. Dmitriev S V, Abe К, Shigenan T Elastically hmged molecule model for computer simulation of incommensurate phase m crystals // Ferroelectncs — 2000 -V.237.-P 17-24

42.Shigenari T, Dmitriev S V, Abe К , Makita Y, Yajima M, Aslanyan T A new interpretation of incommensurate phase of quartz // Ferroelectncs — 2000. — V.240.-P 147-154

43.Dmitnev S V., Yajima M, Makita Y, Abe K., Shigenari T. Simulation of pressure induced phase transition and modulated structures of quartz // Progress in Theoretical Physics. Supplement - 2000.-V 138 -P 243-244

44. Dmitriev S V , Itoh M , Shmohara M., Abe К, Shigenan T Thermally activated generation, motion and annihilation of kmks m the Frenkel-Kontorova chain // Progress in Theoretical Physics Supplement -2000 -V138 -P 574575.

45.Dmitriev S V, Miyauchi T, Abe К , Shigenari T Kink-breather solutions m the weakly discrete Frenkel-Kontorova model // Phys Rev E - 2000. - V 61. -P 5880-5885.

46.Miroshmchenko A E , Dmitriev S V , Vasiliev A A, Shigenan T Inelastic three-soliton collisions in a weakly discrete sine-Gordon system // Nonlineanty. - 2000. - V 13. - P 837-848

47. Dmitriev S.V., Shigenari T, Abe K, Vasihev A A., Miroshnichenko AE. Phonon emission from a discrete sine-Gordon breather // Comp Mater. Sci. -

2000 -V 18.-P 303-307

48. Dmitriev S V., Abe К, Shigenari T. Domain wall solutions for EHM model of crystal Structures with period multiple of four // Physica D - 2000 - V147. -P 122-134.

49.Dmitriev SV, Yajima M , Makita Y. Semagin D.. Abe K, Shigenan T. Simulation of modulated structures in quartz // J Phys Soc. Jpn. - 2001. - V.70 -P 428-436

50 Dmitriev S V, Shigenan T, Abe К Poisson ratio beyond the limits of the elasticity theory//J Phys. Soc Jpn -2001.-V 70 -P 1431-1432. 51. Dmitriev S V , Jimbo H , Abe К . Shigenari T Periodic metastable structures m the discrete <f? model // Phys Rev E -2001 -V.64 -P 36202-36210. 52 Dmitriev S V., Semagin D A , Abe K., Vasihev A A. Shigenan T. Elastically hinged molecule model in physics of ferroelectric materials // Ferroelectncs -

2001 - V 262 - P 53-58

53.Shigenan T, Abe К., Dmitriev S.V, Yajima M, Nagamine M , Semagin D , Aslanyan T A, Raman spectrum and the origin of phase transitions in quartz // Ferroelectrics.-2001 -V.259 -P. 103-108.

54.Dmitriev S.V., Kivshar Yu S , Shigenari T Fractal structures and multiparti-cle effects in soliton scattering // Phys Rev E - 2001 - V 64 - P 56613-56616 55.Semagin D A, Dmitriev S V, Abe К, Shigenari T , Aslanyan T MD calculations for modulated phase in quartz // Ferroelectrics. - 2002 - V 268 - P. 227232.

56.Vasiliev A.A, Dmitriev S V., Ishibashi Y, Shigenari T Elastic properties of a two-dimensional model of crystals containing particles with rotational degrees of freedom//Phys. Rev В -2002 -V65 - P. 094101-094107.

57.Dmitriev S V., Shigenari T. Short-lived two-soliton bound states in weakly perturbed nonlinear Schrodinger equation // Chaos — 2002. — V 12 - P 324-331

58.Dmitriev S.V , Kivshar Yu S , Shigenan T Fractal structures in multi-soliton collisions//Physica В -2002 -V 316-317 - P. 139-142

59.Semagm D A., Dmitriev S.V , Shigenari T, Kivshar Yu.S , Sukhorukov A. A. Effect of weak discreteness on two-soliton collisions m nonlinear Schrodinger equation // Physica В - 2002. - V.316-317 - P. 136-138

60.Dmitriev S V , Shigenari T. Thermally activated generation, motion, and annihilation of localized modes m the Frenkel-Kontorova model // Physica В -2002. - V 316-317. - P. 129-131

61.Dmitriev S.V , Semagin D. A, Sukhorukov A A, Shigenari T. Chaotic character of two-soliton collisions in the weakly perturbed nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev E - 2002 - V 66. - P. 46609-46616

62.Dmitriev S.V., Jimbo H., Abe К, Shigenari T. Elastically hinged molecule model Discrete medium and continuum // Ferroelectrics - 2002. - V 267 - P 361-366

63.Дмитриев С В Механизм перехода между 1-q и З-q фазами в двумерной модели кристалла // Физика твердого тела, 2003 -Т 45 - №2 - С 334338

64.Dmitriev S V , Liu Y , Kagawa Y A method for crystal coherency analysis // Scripta Mater. - 2003 - V 48 - 797-802.

65.Dmitriev S V., Vasiliev A.A, Miroshnichenko A E., Shigenari Т., Kagawa Y, Ishibashi Y. Many-field theory for crystals containing particles with rotational degrees of freedom // Ferroelectrics. - 2003. - V.283 - P 127-139 66.Semagm D. A. Dmitriev S V, Abe К, Shigenari T. Stable modulated and homogeneous structures of quartz (Si02) Analysis of eigen-modes near phase transition points // Ferroelectrics - 2003. - V 283 - P. 141 -147

67 Semagin D A, Dmitriev S V., Abe К, Shigenari T Second-order type symmetry breaking preceding the first order mcommensurate-to-a phase transition m quartz // Журнал физической химии - 2003.- T 77 - С 30-33

68.Dmitriev S V , Semagin D A, Shigenan T, Abe K.. Nagamine M., Aslan-yan T A Molecular and lattice dynamical study on modulated structures in quartz // Phys. Rev В - 2003 - V.68 - P 052101-052104

69.Dmitriev S V , Yoshikawa N. , Kagawa Y , Kohyama M Coherency of copper/sapphire interface studied by atomistic simulation and geometrical analysis // Surf. Scl-2003 -V.542 -P 45-55

70.Dmitnev S.V, Kevrekidis PG, Malomed В A, Frantzeskakis DJ Two-soliton collisions in the Salerno model // Phys Rev E. - 2003. - V 68 - P 056603-056609

71.Dmitriev S.V., Vasiliev A A. Yoshikawa N. Microscopic rotational degrees of freedom m solid state physics // Recent Res Devel Physics - 2003. - V 4 — P 267-286 (обзор)

72.Dmitriev S V, Yoshikawa N, Kagawa Y Misfit accommodation at the Cu(l 1 lya-AUO^OOOl) interface studied by atomistic simulation // Comp Mater Sci - 2004. - V 29 - P 95-102

73.Dmitnev S V , Yoshikawa N , Kohyama M , Tanaka S , Yang R, Kagawa Y. Atomistic structure of the Cu(lll)/a-Al201(0001) interface in terms ot interatomic potentials fitted to ab initio results // Acta Mater. - 2004. - V 52. - 19591970

74.Semagin D.A, Shigenan T, Dmitriev S.V, Abe К Numerical analysis of atomic motion in the incommensurate phase of quartz (Si02) in the vicinity nf phase transition // phys stat sol (c) -2004.-V1.-P 3057-3060

75.Dmitriev S.V, Yoshikawa N., Vasiliev A.A Topological soliton dynamics in media with microscopic rotations // Proceeding of IUTAM Symposium on Mesoscopic Dynamics of Fracture Process and Materials Strength, edited by H Kitagawa and Y. Shibutam. - Kluwer Academic Publishers — Dordrecht. -2004 -P 279-288

76. Kevrekidis P G , Dmitriev S.V . Takeno S , Bishop A R . Aifantis E C. Rich example of geometrically induced nonlinearity From rotobreathers and kinks to moving localized modes and resonant energy transfer // Phys Rev E - 2004 -V.70.-P 066627-066632

77 Dmitriev S.V, Li J , Yoshikawa N . Shibutam Y Theoretical strength of 2D hexagonal crystals application to bubble rait indentation // Phil Mag. - 2005 -V 85 -P. 2177-2195

78 Dmitriev S.V, Vasiliev A A. Yoshikawa N , Shigenan T, Ishibashi Y Multi-cell continuum approximation for discrete medium with microscopic rotations // ph\s stat. sol (b) - 2005 - V 242 - P 528-537

79 Dmitriev S.V , Li J , Yoshikawa N . Tanaka Y , Kagawa Y , Kitamura T. Yip S Breaking atomic bonds through vibrational mode localization // in Defect and Diffusion Forum, edited by D J Fisher - Trans Tech Publications - Switzerland - 2004 - V 233-234 '- P 49-f>0

80 Dmitriev S V , Yoshikawa N , Vasiliev A A, Kagawa Y Models for crystals with microscopic rotations Discrete models and continuum approximations // m Proc of the 51 Int Conf foi Mesomechanics "Mesomechanics of Computation and Design of Use-Specific Materials" edited by G С Sih, S Sakai, V. E. Panin.-Tokyo - Japan -2003. -P 143-148

81 .Hangai Y, Yoshikawa N , Dmitnev S V. Kohyama M, Tanaka S Large scale atomistic simulation of Си/А12Оз interface via quasicontinuum analysis // J Japan Inst. Metals. - 2005. - V 69 - P. 90-95 (на японском языке)

82 Dmitnev S V., Kitamura T, Li J . Umeno Y, Yashiro К, Yoshikawa N Near-surface lattice instability in 2D fiber and half-space // Acta Mater. - 2005

- V53 -P 1215-1224.

83.Takeno S., Dmitnev S V, Kevrekidis P.G , Bishop A.R Nonlinear lattices generated from harmonic lattices with geometric constraints // Phys Rev В -2005 - V 71 -P. 014304-014312.

84. Hangai Y , Yoshikawa N, Dmitnev S V, Kohyama M , Tanaka S. Quasicontinuum analysis of alumina/copper interlace // J Japan Inst Metals — 2005 — V.69 - P 194-197 (на японском языке).

85 Vasiliev A.A., Dmitnev S V., Miroshnichenko A E, Multi-field continuum theory for medium with microscopic rotations // Int. J Solids Struct - 2005 -V 42 — P 6245-6260

86. Dmitnev S V , Kevrekidis P G , Yoshikawa N Discrete Klein-Gordon models with static kinks free of the Peierls-Nabarro potential // J Phys A: Math Gen -2005 -V38 -P 7617-7627

87.Kevrekidis P.G, Dmitnev S V Soliton collisions // in Encyclopedia of Nonlinear Science, edited by Alwyn Scott - Routledge Taylor & Francis Group

- New York - 2005. - P. 148-150 (статья в энциклопедии)

88.Dmitnev S V, Yoshikawa N. , Tanaka Y. Kagawa Y Plasticity at а Си /a-AbO, interface with nanovoids // Mater Sci. Eng. A -2006 -V 418 -P 36-44

89.Dmitriev S V., Yoshikawa N, Kohyama M , Tanaka S.. Yang R , Tanaka Y , Kagawa Y. Modeling interatomic interactions across Cu /а-АЬО-j interface // Сотр. Mater. Sci. - 2006. - V 36 - P 281-291

90 Dmitnev SV, Keviekidis PG, Yoshikawa N Standard nearest neighbor discretizations of Klein-Gordon models cannot preserve both energy and linear momentum //J Phys. A Math. Gen -2006 -V39 -P 7217-7226.

91 Dmitnev S V , Kevrekidis P.G , Sukhorukov A A , Yoshikawa N Takeno S Discrete nonlinear Schrodinger equations tree of the Peierls-Nabarro potential // Phys Lett A -2006 -V.356. - P 324-332

92 Dmitnev S V , Kevrekidis P.G , Yoshikawa N . Frantzeskakis D J . Exact static solutions for discrete ft models free ot the Peierls-Nabarro barrier Discre-lizcd first-integral approach //Phys Rev E-2006-V74-P 046609-046623

93.Dmitriev S.V., Yoshikawa N, Pirouz P Optimal orientation relation for interfaces between dissimilar crystals // in: Trends in Surface Science Research, edited by Norns C.P. - Nova Science Publishers. - New York - 2006. - P. 209232 (обзор).

94.Dmitriev S.V., Pirouz P., Starostenkov M.D., Chernykh E.V. Optimal orientation relation for interfaces between dissimilar crystals // Фундаментальные проблемы современного материаловедения - 2006 - Т.34, №3 - С. 69-83.

95.Дмитриев СВ., Старостенков М.Д, Черных Е.В. Нестабильность решетки вблизи поверхности в 2D волокне II Фундаментальные проблемы современного материаловедения. - 2006. - Т 34, №3. - С 107-117.

96.Dmitnev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N., Frantzeskakis D.J., Exact stationary solutions for the translationally invariant discrete nonlinear SchrOd-inger equations // J. Phys. A: Math. Theor - 2007.- V.40 -1727-1746.

97.Dmitriev S.V., Auxetic behavior of crystals from rotational degrees of freedom // Ferroelectncs. - 2007. - V.349. - P 33-44 (обзор).

98.Kevrekidis P.G., Dmitriev S.V, Sukhorukov A.A., On a class of spatial discretizations of equations of the nonlinear SchrOdinger type // Mathematics and Computers in Simulation. - 2007. - V.74. - P. 343-351.

99.Dmitriev S.V, Kevrekidis P.G., Khare A., Saxena A., Exact static solutions to a translationally invariant discrete / model // J Phys. A: Math. Theor. -2007 -V.40 - P 6267-6286.

100. Roy I., Dmitriev S V, Kevrekidis P.G., Saxena A. Comparative study of different discretizations of the $ model // Phys. Rev. E - 2007 - V 76. - P. 026601-026615.

101. Khare A., Dmitnev S.V , Saxena A., Exact moving and stationary solutions of a generalized discrete nonlinear SchrOdinger equation // J. Phys. A: Math. Theor -2007.-V.40-P. 11301-11317

Подписано в печать 24.09.07 г. Формат 60x84 1/16 Печать - ризография. Усл.п.л 2,0 Тираж 100 экз Заказ 2007-90

Отпечатано в типографии АлтГТУ 656038, г Барнаул, пр-т Ленина, 46 Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД № 28-35 от 15.07.1997 г.

ВВЕДЕНИЕ.

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ В ФИЗИКЕ КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ.

1.1. Соотношение между континуальными уравнениями и их дискретными аналогами.

1.1.1. Некоторые нелинейные эффекты в дискретных уравнениях.

1.1.2. Гомогенизация и дискретизация.

1.1.3. Свойства, приобретаемые и теряемые при дискретизации нелинейных уравнений в частных производных.

1.2. Обзор литературы.

1.2.1. Трансляционно-инвариантные дискретизации.

1.2.2. Столкновения солитонов в системах, близких к интегрируемым

1.2.3. Дискретная модель с частицами конечных размеров.

1.2.4. Дислокации несоответствия на границе медь/сапфир.-.

1.2.5. Теоретическая прочность и наноиндентирование.

1.2.6. Несоразмерная фаза в двумерном кристалле.

1.2.7. Оценка когерентности двух кристаллических решеток.

Выводы.

2. ПОСТРОЕНИЕ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ ДИСКРЕТИЗАЦИЙ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙН-ГОРДОНА И ТОЧНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПОСТРОЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ

МОДЕЛЕЙ.

2.1. Дискретизация, использующая ДЛИ.

2.2. Возможные обобщения.

2.3. ТИ дискретизация уравнения ф4.

2.4. Точные статические решения для ТИ дискретизации уравнения ф4.

2.5. Нахождение ДЛИ для известной ТИ дискретизации уравнения фА.

Выводы.

3. ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА.

3.1. ТИ дискретизации для нелинейности общего вида.

3.2. ТИ дискретизации для кубической нелинейности.

3.3. ТИ модель с кубической нелинейностью, допускающая решения в явном виде.

Выводы.

4. СВОЙСТВА ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ ф\ РЕЗУЛЬТАТЫ

ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРО-ВАНИЯ.

4.1. Пять дискретных моделей фА.

4.1.1. Модель 1: Классическая модель с потенциалом Пайерлса-Набарро.

4.1.2. Модель 2: ТИ модель Шиейта, сохраняющая энергию.

4.1.3. Модель 3: ТИ модель СКМБ, сохраняющая энергию.

4.1.4. Модель 4: ТИ модель, сохраняющая импульс.

4.1.5. Модель 5: ТИ модель, сохраняющая импульс.

4.2. Колебательные спектры кинков.

4.3. Сравнение формы статических кинков.

4.4. Степень упругости столкновения кинков.

4.5. Мобильность кинков.

Выводы.

5. СВОЙСТВА ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАШТПЛХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ НУШ. РЕЗУЛЬТАТЫ

ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

5.1. Спектры малых колебаний солитонных решений.

5.2. Мобильность солитонных решений в ТИ дискретизациях.

Выводы.

6. НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ СТОЛКНОВЕНИЯ СОЛИТОНОВ

В СИСТЕМАХ БЛИЗКИХ К ИНТЕГРИРУЕМЫМ.

6.1. Многосолитонные эффекты в модели Френкеля-Конторовой при слабой дискретности.

6.2. Сильно неупругие двухсолитонные столкновения в слабовозмущенном НУШ.

Выводы.

7. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В ОДНОМЕРНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ С ЧАСТИЦАМИ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ.

7.1. Одномерная модель кристалла с частицами конечных размеров.

7.2. Равновесные решения модели и ее фазовая диаграмма.

7.2.1. Преобразование Ищибащи.

7.2.2. Точные равновесные решения.

7.2.3. Равновесные решения в синусоидальном режиме.

7.2.4. Устойчивость некоторых равновесных решений.

7.2.5. Фазовая диаграмма.

7.3. Солитоны и автоволны в четырех-периодической структуре.

7.4. CAA подход для равновесных структур с нечетным периодом.

Выводы.

8. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ В ДВУМЕРНЫХ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ.

8.1. Сетка дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир.

8.2. Устойчивость идеального двумерного кристалла при однородной деформации.

8.3 Наноиндентирование двумерного кристалла.

8.4 Влияние поверхности на теоретическую прочность двумерного кристалла.

8.5 Моделирование несоразмерной фазы в 2D модели с частицами конечных размеров.

8.6 Метод оценки когерентности кристаллов, обобщающий РСУ метод.

Выводы.

Изучение соотношений между континуальными и дискретными системами является классической, давно рассматриваемой проблемой физики конденсированного состояния и прикладной математики, например, в задаче гомогенизации, то есть при построении континуального аналога для дискретной физической системы, а также в численных методах решения континуальных уравнений. В течение двух последних десятилетий интерес к дискретным задачам необычайно возрос в различных разделах физики, рассматривающих нелинейные системы [1-5]. Задачи подобного типа возникают в физике фазовых превращений [6,7], физике пластической деформации [8-27], в нелинейной оптике [4,5], в физике Бозе-Эйнштейновского конденсата [28], при исследовании волн кальция в живых клетках [29], сверхпроводящих Джозефсоновских контактов [30], при изучении денатурации белка [31] и цепочек химических реакций [32], и в целом ряде других областей. Дискретность материи на молекулярном и атомарном уровне становится все более заметной для нанотехноло-гий.

Среди объектов нелинейной физики одним из наиболее интересных и важных для практических применений являются волны солитонного типа (уединенные волны) [4,6,33-35]. Эти волны, как в континуальных, так и в дискретных физических системах, могут переносить энергию, импульс, массу, электрический и топологический заряд, другие физические величины, а также информацию. Уникальным свойством уединенных волн является их живучесть и устойчивость по отношению к возмущениям. Для математической физики со-литоны представляют огромный интерес как точные решения некоторых нелинейных уравнений, среди которых особое положение занимают полностью интегрируемые уравнения, такие, как уравнение синус-Гордона, Кортевега-де-Фриза (КДФ), или нелинейное уравнение Шредингера (НУШ). Интересно, что существует и ограниченное число полностью интегрируемых дискретных систем, например, цепочка Тоды, сводящаяся в континуальном пределе к уравнению КДФ, а также интегрируемая дискретизация НУШ, цепочка Абловица-Ладика.

Однако, известные точно решаемые нелинейные уравнения, как правило, описывают грубо идеализированные модели, в то время как более точные модели включают дополнительные (возмущающие) члены, разрушающие интегрируемость. Изучение влияния возмущающих членов представляется важной задачей.

С другой стороны, очень важным является отыскание новых интегрируемых уравнений, что открывает новые перспективы в исследовании нелинейных систем.

В настоящей работе:

- для некоторых весьма популярных нелинейных уравнений строятся дискретные аналоги, обладающие рядом замечательных свойств, таких, как полная интегрируемость соответствующей статической (стационарной) задачи, а также сохранение трансляционной инвариантности (ТИ);

- исследуется взаимодействие волн солитонного типа в интегрируемых уравнениях, возмущенных слабой дискретностью;

- решается несколько прикладных задач, среди которых: дислокации несоответствия на границе металл/керамика; зарождение дислокаций в двумерном (2Э) бездефектном кристаллите при его наноиндентировании; зарождение дислокаций на открытой поверхности 2П бездефектного кристалла, подверженного растяжению или сжатию; статика и динамика топологических солитонов в кристаллах с частицами конечных размеров, и другие.

Решение этих задач представляется весьма актуальным для физики конденсированного состояния в свете вышесказанного.

Целью работы является построение и анализ свойств нелинейных дискретных моделей различных размерностей, пригодных для описания определенных физических процессов и явлений в конденсированных средах. Акцент делается на поведении топологических солитонов в нелинейных дискретных системах, описании их структуры, энергетики, подвижности и взаимодействия. В качестве приложений рассматриваются модели дислокаций и доменных стенок в кристаллах, дислокаций несоответствия на межфазной границе, несоразмерные фазы, а также другие проблемы, изучаемые в физике конденсированного состояния.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Построен широкий класс одномерных нелинейных дискретных моделей, обладающих свойством трансляционной симметрии. Статические (стационарные) задачи для таких дискретных систем являются точно решаемыми. Трансляционная инвариантность означает, что равновесные решения могут располагаться произвольно относительно узлов решетки, что означает отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро. Метод построения ТИ дискретных моделей основан на использовании дискретизированного первого интеграла (ДНИ) исходного континуального уравнения, взятого в статической (стационарной) форме.

2. Для солитонов в системах близких к интегрируемым показана возможность безрадиационного обмена энергией и/или импульсом при их столкновении. Физическая интерпретация данного эффекта состоит в обнаружении канала обмена энергиями/импульсами между сталкивающимися солитонами в системах близких к интегрируемым, где, как было принято считать, солитоны взаимодействуют практически упруго. На основе данного эффекта нам удалось объяснить фрактальные структуры наблюдаемые при рассеянии солитонов друг на друге, а также существование короткоживущих многосолитонных квазичастиц.

3. Получены новые результаты по статике и динамике топологических со-литонов в Ш и 2Б моделях кристаллов, а также в реальных материалах.

Практическая и научная ценность работы заключается в следующем.

1. Предложен достаточно общий метод дискретизации таких классических уравнений теоретической физики как уравнение Клейн-Гордона и НУШ, сохраняющий трансляционную инвариантность, присущую исходным континуальным уравнениям. Построенные модели в статическом (стационарном) варианте являются интегрируемыми. Отсутствие потенциала Пайерлса-Набарро в этих дискретных моделях приводит к высокой подвижности топологических солитонов, что, в свою очередь, означает повышенные транспортные свойства таких моделей.

2. Открытие нетривиального канала безрадиационного обмена энергией и/или импульсом при столкновении солитонов в системах близким к интегрируемым показывает, что волны солитонного типа не всегда сохраняют свои свойства при взаимодействии друг с другом, а также свидетельствует о необходимости вероятностного подхода к описанию результатов взаимодействия волн солитонного типа. Степень неупругости столкновения растет линейно с ростом параметра возмущения интегрируемого уравнения. Для сравнения, потери на радиацию и на возбуждение колебательных мод, локализованных на солитонах, растут квадратично с ростом параметра возмущения, а это значит, что при малых значениях этого параметра, предложенный механизм безрадиационного обмена энергией/импульсом является доминирующим.

3. К практически важным результатам работы относятся также результаты численного моделирования зарождения, свойств и динамики топологических солитонов в приложении к: описанию несоразмерной фазы в кварце и других кристаллов с микроскопическими частицами конечных размеров, поведению дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир, возникновению дислокаций в объеме бездефектного зерна при его наноиндентировании, и ряду других прикладных задач.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработан метод построения дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера, обладающих трансляционной симметрией и свободных от потенциала Пайерлса-Набарро.

2. Указан метод нахождения всех точных статических (стационарных) решений для ТИ дискретных уравнений.

3. Объяснен механизм безрадиационного обмена энергиями и/или импульсами между солитонами, взаимодействующими в системах близких к интегрируемым.

4. Предложена модель кристалла с частицами конечных размеров и изучены особенности топологических солитонов в этой модели.

5. Решен ряд прикладных задач, например, показана нерегулярность сетки дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир; исследовано зарождение дислокаций в объеме бездефектного ТО кристалла при его наноиндентировании, и на поверхности 2Б кристалла, подверженного сжатию или растяжению; исследована несоразмерная фаза в кварце.

Охарактеризуем работу по главам.

В первой главе приведен обзор теоретических представлений о волнах со-литонного типа в дискретных системах в сопоставлении с солитонными волнами в континуальных нелинейных уравнениях. Дается обзор литературы по главам диссертации. Формулируется ряд открытых проблем теории и практики волн солитонного типа в дискретных системах.

Вторая глава диссертации посвящена изложению оригинальной методики построения дискретных аналогов уравнения Клейн-Гордона, наследующих трансляционную инвариантность (ТИ) континуальных уравнений и не имеющих потенциала Пайерлса-Набарро. Наш подход основан на использовании ДНИ статического континуального уравнения. Здесь же даются точные решения статической задачи для построенных дискретных моделей.

В третьей главе, метод ДНИ, развитый в предыдущей главе на примере уравнения Клейн-Гордона, распространяется на случай НУШ для построения дискретизаций этого уравнения свободных от потенциала Пайерлса-Набарро. В диссертации сначала рассматривается НУШ с нелинейностью общего вида, а затем подробно изучается случай Керровской (кубической) нелинейности. Для этого случая обсуждаются законы сохранения ТИ модели, исследуются ее стационарные решения, кроме того, найдены некоторые точные движущиеся решения.

В четвертой главе обсуждаются физические свойства дискретной модели ф4 и сравниваются три типа дискретизации: классическая дискретизация, трансляционно-инвариантная дискретизация, сохраняющая полную энергию и негамильтоновская трансляционно-инвариантная дискретизация, сохраняющая импульс. Во всех случаях исследуется поведение простейшего топологического солитона, а именно кинка. Сравниваются колебательные спектры различных цепочек, включающих одиночный статический кинк. Исследуется мобильность кинков в ТИ моделях по сравнению с классической моделью.

В пятой главе исследуются необычные свойства солитонов в ТИ дискретизациях НУШ. Получен колебательный спектр цепочки, содержащей солитон в классическом дискретном НУШ и в ТИ моделях. Показано, что солитоны в ТИ дискретном НУШ могут двигаться с весьма малыми скоростями, и могут быть ускорены сколь угодно слабыми внешними полями, даже п режиме сильной дискретности.

В шестой главе изучаются столкновения солитонов в уравнении синус-Гордона и в НУШ при наличии малых возмущений. Обсуждается степень неупругости столкновения как функция параметра возмущения и параметров сталкивающихся солитонов. Анализируется точность выполнения основных законов сохранения в слабо-возмущенных уравнениях. Демонстрируется механизм безрадиационного обмена энергиями и/или импульсами сталкивающихся солитонов. Дается объяснение фрактальному рассеянию солитонов и возникновению короткоживущих связанных многосолитонных квазичастиц.

В седьмой главе изучаются топологические солитоны в одномерной цепочке частиц конечных размеров, предложенной для описания основных эффектов, наблюдаемых при фазовых переходах в кристаллах с несоразмерной фазой. Получена подробная фазовая диаграмма модели, описаны периодические равновесные решения в синусоидальном режиме, описан переход от синусоидального режима к режиму с периодическими доменными стенками, получены решения для доменных стенок (топологических солитонов) как с использованием САА аппроксимации, так и с позиций многонолевого подхода. Численно исследуется точность построенных приближенных решений. Также численно изучается динамика топологических солитонов и динамика автоволн.

В восьмой главе изучаются топологические солитоны в двумерных задачах и решается ряд прикладных проблем. В первом параграфе моделируется сетка дислокаций несоответствия на границе металлокерамического соединения медь/сапфир. Во втором параграфе рассматриваются вопросы теоретической прочности бездефектных кристаллов при однородной деформации. Строится и анализируется поверхность в трехмерном пространстве однородной деформации, отделяющей области устойчивости и неустойчивости кристаллической решетки. В третьем параграфе изучается возникновение дислокаций в объеме бездефектного двумерного кристаллита, при его наноиндентировании. Предложен метод, позволяющий предсказывать точку возникновения дислокационной петли и направление скольжения дислокаций. В четвертом параграфе исследуется влияние поверхности на теоретическую прочность двумерных кристаллов. Решается задача устойчивости двумерного волокна и двумерной полуплоскости при однородном растяжении или сжатии параллельно поверхности. В пятом параграфе моделируется несоразмерная фаза, возникающая в модели с частицами конечных размеров под действием внешнего давления. Численно изучается переход между Ц и Зq фазами, характерный для кристаллов с гексагональной симметрией. В шестом параграфе предлагается оригинальная методика оценки когерентности границы раздела двух кристаллических тел, в общем случае, имеющих различную структуру.

Выводы

В главе изучены топологические солитоны в двумерных нелинейных дискретных системах и решен ряд прикладных проблем.

В первом параграфе моделировалась сетка дислокаций несоответствия на границе металлокерамического соединения мсдь/сапфир, результаты сравнивались с экспериментальными данными и результатами моделирования, полученными другими авторами. Дано объяснение отсутствия периодической модуляции интенсивности снимков высокоразрешающей электронной микроскопии для изучаемой границы раздела. Причиной оказывается нерегулярная структура сетки дислокаций несоответствия, образующаяся при значительном потенциальном рельефе, созданном атомами сапфира для приграничных атомов меди. Моделирование кинетики атомной релаксации вблизи границы раздела в рамках двумерной модели Френкеля-Конторовой дает прекрасное качественное совпадение с результатами трехмерного моделирования но методу молекулярной квазистатики. Последний метод использует межатомные потенциалы, с параметрами, подобранными автором для данной границы так, чтобы воспроизвести экспериментально наблюдаемые положения приграничных атомов и результаты превопринцип-ных расчетов но энергии связи кристаллитов в зависимости от расстояния между ними, полученных группой проф. Кояма.

Во втором параграфе рассмотрены вопросы теоретической прочности двумерных бездефектных кристаллов при однородной деформации общего вида. Построена и проанализирована поверхность в трехмерном пространстве однородной деформации, отделяющая области устойчивости и неустойчивости кристаллической решетки.

В третьем параграфе изучено возникновение дислокаций в объеме бездефектного двумерного кристаллита, при его наноиндентировании. Предложен мегод, позволяющий предсказывать точку возникновения дислокационной петли и направление скольжения дислокаций.

В четвертом параграфе исследовано влияние поверхности на теоретическую прочность двумерных кристаллов. Решена задача устойчивости двумерного волокна и двумерной полуплоскости при однородном растяжении или сжатии параллельно поверхности. Делается вывод о незначительном понижении теоретической прочности бездефектного кристалла за счет наличия открытой поверхности. Высокоиндексные поверхности с атомными ступеньками приводят к более заметному снижению прочности кристаллов, чем низкоиндексные.

В пятом параграфе рассмотрена несоразмерная фаза, возникающая в модели с частицами конечных размеров под действием внешнего давления. Численно изучен переход между и Зц фазами, характерный для кристаллов с гексагональной симметрией. Полученная цепочка фазовых превращений качественно идентична той, что наблюдается в кварце. Проведенные модельные расчеты объясняют экспериментально установленный факт об увеличении температурного интервала существования Ц фазы в кварце при наличии одноосного растяжения.

В шестом параграфе предлагается оригинальная методика оценки когерентности границы раздела двух кристаллических тел, в общем случае, имеющих различную структуру. Метод предполагает возможность малой однородной деформации двух взаимопроникающих решеток. На классическом примере поворотной границы в кубическом кристалле вокруг оси <001> показано, что малой деформации решетки может быть достаточно для создания границ с высокой плотностью совпадающих узлов. Нами также проводились расчеты анализа когерентности кристаллов меди и сапфира [175] применительно к исследованию дислокаций несоответствия на эпитаксиальной границе, изученной в параграфе 8.1.

Заключение

В диссертационной работе теоретически и с использованием численных методов исследованы волны солитонного типа в хорошо известных дискретных моделях, а также в дискретных моделях, предложенных автором. Рассмотрен целый ряд важных для практики приложений.

Перечислим основные результаты и выводы.

1. Центральный теоретический результат диссертации - это разработка нового, достаточно общего метода построения дискретных моделей нелинейных континуальных уравнений, обладающих свойством трансляционной инвариантности. Метод основан на использовании дискретизированного первого интеграла статического (стационарного) аналога континуального уравнения. Статические (стационарные) задачи в таких дискретных моделях являются точно решаемыми.

2. Разработанный метод применен к двум популярным нелинейным уравнениям, Клейн-Гордона и НУШ. Для их ТИ дискретизаций построен ряд точных статических (стационарных) и движущихся решений. Исследованы свойства волн солитонного типа в ТИ дискретизациях. ТИ модели не имеют потенциала Пайерлса-Набарро, а значит, солитоны в них не связаны решеткой, и могут быть ускорены сколь угодно малым внешним полем.

3. Численно показана высокая мобильность солитонов в ТИ моделях, как при малых, так и при больших скоростях движения.

4. Теоретически и численно исследовались столкновения солитонов в системах близких к интегрируемым. Обнаружен и объяснен эффект безрадиационного обмена энергиями, наблюдаемый вблизи сепаратрисы многосолитонного решения невозмущенного уравнения. Степень неунругости столкновения растет линейно, а потери на радиацию и на возбуждение колебательных мод, локализованных на солитонах, растут квадратично с ростом параметра возмущения. Следовательно, при малых значениях этого параметра, безрадиационный обмен является доминирующим фактором, определяющим неупругость солитонных столкновений в слабовозмущенных интегрируемых уравнениях. Безрадиациоиный обмен энергиями возможен только при условии, что число степеней свободы сталкивающихся солитонов превышает число законов сохранения, выполняющихся с большой точностью в слабовозмущенной системе. Например, в уравнении синус-Гордона, имеющем два закона сохранения (энергии и импульса), эффект проявляется только при трех-кинковых столкновениях, поскольку кинк имеет одну степень свободы. Солитоны в НУШ имеют по две степени свободы и, при наличии трех законов сохранения (нормы, энергии и импулься), эффект возможен уже в простейших двухсолитонных столкновениях.

5. Безрадиационный обмен энергиями объясняет фрактальные структуры, наблюдаемые при рассеянии солитонов друг на друге, а также предсказывает существование короткоживущих многосолитонных квазичастиц.

6. Фазовые переходы в кристаллах, построенных из частиц конечных размеров, изучались в рамках Ш и 20 моделей, предложенных автором. Получены фазовые диаграммы моделей, найдены условия модуляционной неустойчивости, описаны соразмерные и несоразмерные фазы в синусоидальном режиме, переход от синусоидального режима к режиму доменных стенок, получены приближенные аналитические решения для доменных стенок, а также численно изучены особенности динамики устойчивых и неустойчивых доменных стенок.

7. Показано, что при формировании несоразмерной фазы в Ш и 2Э моделях существенную роль играют взаимные повороты жестких частиц. Фазовая диаграмма моделей имеет топологическую структуру, идентичную фазовой диаграмме кварца, построенной методом молекулярной динамики в 31) расчетах.

8. Посредством численного моделирования описаны особенности сетки дислокаций несоответствия на границе медь/сапфир, что позволило объяснить результаты электронной микроскопии высокого разрешения.

9. Исследованы зарождение дислокаций в объеме бездефектного зерна при его наноиндентировании, а также влияние открытой поверхности на теоретическую прочность кристалла, свободного от дефектов в его объеме. Делается вывод о весьма незначительном понижении теоретической прочности (порядка 10-20%) за счет наличия свободной поверхности. Наличие только поверхности не может объяснить различие в несколько порядков, наблюдаемое для теоретической прочности бездефектных кристаллов и прочности реальных (поли-)кристаллических тел. По-видимому, объемные дефекты играют существенную роль при формировании прочностных свойств последних. С другой стороны, наши результаты подтверждают высокую прочность нитевидных кристаллов, где основным дефектом кристаллической структуры является наличие открытой поверхности.

1. Flach S„ Willis С. R. Discrete breathers // Phys. Rep. -1998.-V.295. -P.181-264.

2. Hennig D., Tsironis G. Wave transmission in nonlinear lattices // Phys. Rep. -1999.-V.307.-P. 333-432.

3. Kevrekidis P.G., Rasmussen K.O., Bishop A.R. Pattern forming dynamical instabilities of Bose-Einstein condensates // Int. J. Mod. Phys. B. 2001. -V.15.-P. 2833-2862.

4. Kivshar Yu. S., Agrawal G. P. Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals. San Diego: Academic Press, 2003. - 540 p.

5. Christodoulides D.N., Lederer F., Silberberg Y. Discretizing light behaviour in linear and nonlinear waveguide lattices // Nature. 2003. - V.424. - P. 817-823.

6. Braun O.M., Kivshar Yu. S. The Frenkel-Kontorova Model: Concepts, Methods, and Applications. Berlin: Springer, 2004. - 472 p.

7. Incommensurate Phases in Dielectrics: Part 1, Fundamentals, Eds. R. Blinc and A.P. Levanyuk, V.14.1, Amsterdam: North-Holland, 1986. 417 p.

8. Фридель Ж. Дислокации. M: Мир, 1967. - 440 с.

9. Nova Publishers. 2006. - P. 23-36.

10. Koneva N.A. Internal Long-range Stress Fields in Ultrafine Grained Materials / In: Severe Plastic Deformation: Towards Bulk Production of Nanos-tructured Materials / Ed. Burhanettin. New York: Nova Publishers. - 2006. -P. 249-274.

11. Kozlov E.V. Structure and Resistance to Deformation of UFG Metals and Alloys /In: Severe Plastic Deformation: Towards Bulk Production of Nanostructured Materials / Ed. Burhanettin. New York: Nova Publishers. -2006.-P. 295-332.

12. Кайбышев О.А., Валиев Р.З. Границы зерен и свойства металлов. М: Металлургия, 1987. - 216 с.

13. Дударев Е.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести поликристаллов. Томск: изд. ТГУ, 1988. - 256 с.

14. Гуткин М.Ю., Овидько И.А. Предел текучести и пластическая деформация нанокристаллических материалов // Успехи механики. 2003. -№1. - С. 68-125.

15. Кирсанов В.В., Суворов A.JL, Трушин Ю.В. Процессы радиационного дефектообразования в металлах. М.: Энергоатомиздат, 1985. 272 с.

16. Валиев Р.З., Корзников А.В., Мулюков P.P. Структура и свойства металлических материалов с субмикрокристаллической структурой // ФММ. 1992. - №4. - С. 70-86.

17. Орлов А.Н., Перевезенцев В.II., Рыбин В.В. Границы зерен в металлах. -М.: Металлургия, 1980. 156 с.

18. Мак Лин Д. Механические свойства металлов,- М.: Металлургия, 1965. -432 с.

19. Глейтер Г., ЧалмерсБ. Болынеугловые границы зерен. М.: Метал-лургиздат, 1975. - 375 с.

20. Бокштейн Б.С., Копецкий Ч.В., Швиндлерман Л.С. Термодинамика и кинетика границ зерен в металлах. М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

21. Копецкий Ч.В., Орлов А.Н., ФионоваЛ.К. Границы зерен в чистых материалах. -М.: Наука, 1987. 160 с.

22. Конева Н.А., Козлов Э.В. Природа субструктурного упрочнения // Изв. вузов. Физика. 1982. - №8. - С. 3-14.

23. Смирнов А.А. Молекулярно-кинетическая теория металлов. М.: Наука, 1966.-488 с.

24. Козлов Э.В., Старостенков М.Д., Попов Л.Е. Применение потенциалов парного взаимодействия в теории атомного дальнего порядка / В кн.: Строение, свойства и применение металлов. М.: Наука, 1974. - С. 3539.

25. Конева Н.А., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пластической деформации //Изв. вузов. Физика. 1990. - №2. - С. 89-106.

26. Trombettoni A., Smerzi A. Discrete solitons and breathers with dilute Bose-Einstein condensates // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. -P. 2353-2356.

27. Dawson S.P., Keizer J., Pearson J.E. Fire-diffuse-fire model of dynamics of intracellular calcium waves // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 1999. - V. 96. -p. 6060-6063.

28. Ustinov A.V., Doderer Т., Vernik I.V., Pedersen N.F., Huebener R.P., Oboznov V.A. Experiments with solitons in annular Josephson junctions // Physica D. 1993 V.68. - p.41-44.

29. Peyrard M., Bishop A.R. Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation // Phys. Rev. Lett. 1989. - V. 62. - p. 2755-2758.

30. Laplante J.P., Erneux T. Propagation failure in arrays of coupled bistable chemical reactors // J. Phys. Chem. 1992. -V. 96. - p. 4931-4934.

31. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во МГУ,1988.-177 с.

32. Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Morris H.C. Solitons and Nonlinear Wave Equations. London: Academic Press, 1982. - 640p.35.1nfeld E., Rowlands G. Nonlinear Waves, Solitons and Chaos. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - 423p.

33. Toda M. Theory of nonlinear lattices. Berlin: Springer-Verlag, 1981, 203p.

34. Ablowitz M. J., Ladik J. F. Nonlinear differential-difference equations // J. Math. Phys. 1975. -V. 16. - 598-603.

35. En cyclopedia of nonlinear science / Edited by A. Scott. New York: Routledge, 2005. - 1053 P.

36. Campbell D.K., Rosenau P., Zaslavsky G.M. Introduction: The Fermi-Pasta-Ulam problem The first fifty years // Chaos, Vol. 15, No. 1. (2005) P. 015101-015104

37. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic localized modes in anharmonic crystals // Phys. Rev. Lett. 61, (1988) P. 970-973.

38. Dauxois Т., Khomeriki R., Piazza F., Ruffo S., The Anti-FPU problem // Chaos 15, 2005. P. 015110 -01520.

39. Кунин И. А. Теория упругих сред с микроструктурой: Нелокальная теория упругости. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 1975. - 416 с.

40. Maugin G.A. On the Structure of the Theory of Polar Elasticity // Phil.Trans.Roy.Soc.Lond. A.- 1998,-V.356. P. 1367-1395.

41. Васильев A.A. Континуальное моделирование двухрядной конечной дискретной системы с учетом краевых эффектов // Вестник МГУ, Сер.

42. Математика и механика. 1996. - № 5. - С. 66-68.

43. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М: Наука, 1973,416с.

44. Bender С. M., Tovbis A. Continuum limit of lattice approximation schemes // J. Math. Phys. 1997. - V. 38. - P. 3700-3717.

45. Quispel G.R.W., Roberts J.A.G., Thompson C.J. Integrable mappings and soliton equations II // Physica D. -1989. -V. 34. -P. 183-192.

46. Speight J.M., Ward R.S. Kink dynamics in a novel discrete sine-Gordon system // Nonlinearity. 1994. - V. 7. - P. 475-484.

47. Speight J.M. A discrete phi4 system without a Peierls-Nabarro potential // Nonlinearity. 1997. -V. 10. -P. 1615-1625.

48. Speight J.M. Topological discrete kinks // Nonlinearity. 1999. - V. 12. - P. 1373-1387.

49. Kevrekidis P.G. On a class of discretizations of Hamiltonian nonlinear partial differential equations // Physica D. 2003. - V. 183. - P. 68-86.

50. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N. Discrete Klein-Gordon models with static kinks free of the Peierls-Nabarro potential // J. Phys. A: Math. Gen. 2005. - V. 38. - P. 7617-7627.

51. Barashenkov I.V., Oxtoby O.F., Pelinovsky D.E. Translationally invariant discrete kinks from one-dimensional maps // Phys. Rev. E. 2005. - V. 72. - P. 35602R-4.

52. Cooper F., Khare A., Mihaila В., Saxena A. Exact solitary wave solutions for a discrete lambda-phi4 field theory in 1+1 dimensions // Phys. Rev. E. -2005. V. 72. -P. 36605-36615.

53. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N. Standard nearest neighbor discretizations of Klein-Gordon models cannot preserve both energy and linear momentum // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - V.39. - P. 7217-7226.

54. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N., Frantzeskakis D.J. Exact static solutions for discrete 4 models free of the Peierls-Nabarro barrier: Discretized first-integral approach // Phys. Rev. E.-2006.-V.74- P. 046609-046623.

55. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Khare A., Saxena A. Exact static solutions to a translationally invariant discrete 4 model // J. Phys. A: Math. Theor. -2007.-V.40,-P. 6267-6286.

56. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Sukhorukov A.A., Yoshikawa N., Takeno S. Discrete nonlinear Schrodinger equations free of the Peierls-Nabarro potential // Phys. Lett. A. 2006. - V.356. - P. 324-332.

57. Pelinovsky D. E. Translationally invariant nonlinear Schrodinger lattices // Nonlinearity.- 2006.-V.19.-P. 2695-2716.

58. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Yoshikawa N., Frantzeskakis D.J. Exact stationary solutions for the translationally invariant discrete nonlinear Schrodinger equations // J. Phys. A: Math. Theor.- 2007,- V.40.- 1727-1746.

59. Kevrekidis P.G., Dmitriev S.V., Sukhorukov A.A. On a class of spatial discretizations of equations of the nonlinear Schrodinger type // Mathematics and Computers in Simulation. 2007. - V.74. - P. 343-351.

60. Khare A., Dmitriev S.V., Saxena A., Exact moving and stationary solutions of a generalized discrete nonlinear Schrodinger equation // J. Phys. A: Math. Theor. 2007.-V.40,-P. 11301-11317.

61. Khare A., Rasmussen K., Samuelsen M.R., Saxena A. J. Exact solutions ofthe saturable discrete nonlinear Schrodinger equation // Phys. A 2005-V.38.-P. 807-814.

62. Khare A., Rasmussen K., Salerno M., Samuelsen M.R., Saxena A. Discrete nonlinear Schrodinger equations with arbitrarily high-order nonlinearities // Phys. Rev. E- 2006.-V.74,- P. 016607-016617.

63. Bogomol'nyi E.B. The stability of classical solutions // J. Nucl. Phys. 1976. -V. 24.-P. 449-455.

64. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems //Rev. Mod. Phys. 1989. -V. 61. -P. 763-915.

65. Besley J. A., Miller P. D., Akhmediev N. N. Soliton interactions in perturbed nonlinear Schrodinger equations // Phys. Rev. E. 2000. - V. 61. - P. 7121-7133.

66. Etrich C., Peschel U., Lederer F., Malomed B. Collision of solitary waves in media with a second-order nonlinearity // Phys. Rev. A. 1995. - V. 52. - P. R3444-R3447.

67. Braun O.M., Kivshar Yu.S., Peyrard M. Kink's internal modes in the Fren-kel-Kontorova model // Phys. Rev. E. 1997. - V. 56. - P. 6050-6064.

68. Kivshar Yu.S., Pelinovsky D.E., Cretegny T., Peyrard M. Internal modes of solitary waves // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 80. - P. 5032-5035.

69. Kevrekidis P.G., Jones C.K.R.T. Bifurcation of internal solitary wave modes from the essential spectnim // Phys. Rev. E. 2000. - V. 61. - P. 3114-3121.

70. Campbell D.K., Schonfeld J.F., Wingate C.A. Resonance structure in kinkantikink interactions in phi4 field theory // Physica D- 1983 V. 9 - P. 132.

71. Kivshar Yu.S., Zhang F., Vazquez L. Resonant soliton-impurity interactions // Phys. Rev. Lett. 1991. - V. 67. - P. 1177-1180.

72. Zhang F., Kivshar Yu.S., Vazquez L. Resonant kink-impurity interactions in the phi4 model // Phys. Rev. A 1992. - V. 46. - P. 5214-5220.

73. Anninos P., Oliveira S., Matzner R.A. Fractal structure in the scalar lambda(phi2-l)2 theory // Phys. Rev. D. 1991. - V. 44. - P. 1147-1160.

74. Goodman R. H., Haberman R. Chaotic scattering and the n-bounce resonance in solitary-wave interactions // Phys. Rev. Lett. 2007. - V. 98. - P. 104103-104106.

75. Kevrekidis P.G., Dmitriev S.V. Soliton collisions // in: Encyclopedia of Nonlinear Science, edited by Alwyn Scott. Routledge Taylor & Francis Group. - New York. -2005. - P. 148-150.

76. Дмитриев С.В., Науман Л.В., Овчаров А.А., Старостенков М.Д. Механизм зарождения дислокаций в одномерной модели кристалла Френке-ля-Конторовой // Известия ВУЗов. Физика, Томск. 1996. - № 2. - С. 72-76.

77. Dmitriev S.V., Nauman L.V., Wusatowska-Sarnek A.M., Starostenkov M.D. Generation and annihilation of dislocations in the discrete Frenkel-Kontorova model // phys. stat sol. 1997. - V.201. - P. 89-96.

78. Frauenkron H., Kivshar Yu.S., Malomed B.A. Multisoliton collisions in nearly integrable systems // Phys. Rev. E. 1996. - V. 54. - P. 2244-2247.

79. Yang J., Tan Yu. Fractal Stmcture in the Collision of Vector Solitons // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 85. - P. 3624-3627.

80. Dmitriev S.V., Shigenari Т., Vasiliev A.A., Miroshnichenko A.E. Effect of discreteness on a sine-Gordon three-soliton solution // Phys. Lett. A.1998.-V.246.-P. 129-134.

81. Dmitriev S.V., Miyauchi T., Abe K., Shigenari T. Kink-breather solutions in the weakly discrete Frenkel-Kontorova model // Phys. Rev. E. 2000. -V.61.-P. 5880-5885.

82. Miroshnichenko A.E. , Dmitriev S.V., Vasiliev A.A., Shigenari T. Inelastic three-soliton collisions in a weakly discrete sine-Gordon system // Nonlin-earity. 2000. - V. 13. - P. 837-848.

83. Dmitriev S.V., Kivshar Yu.S., Shigenari T. Fractal structures and multiparti-cle effects in soliton scattering // Phys. Rev. E.- 2001,- V.64.- P. 5661356616.

84. Dmitriev S.V., Shigenari T. Short-lived two-soliton bound states in weakly perturbed nonlinear Schrodinger equation // Chaos. 2002. - V.12. - P. 324331.

85. Dmitriev S.V., Kivshar Yu.S., Shigenari T. Fractal structures in multi-soliton collisions // Physica B. 2002. - V.316-317. - P. 139-142.

86. Semagin D. A., Dmitriev S.V., Shigenari T., Kivshar Yu.S., Sukhorukov A. A. Effect of wreak discreteness on two-soliton collisions in nonlinear Schrodinger equation // Physica B. 2002. - V.316-317. - P. 136-138.

87. Dmitriev S.V., Semagin D. A., Sukhorukov A. A., Shigenari T. Chaotic character of two-soliton collisions in the weakly perturbed nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev. E. 2002. - V.66. - P. 46609-46616.

88. Campbell D.K., Peyrard M., Sodano P. Kink-antikink interactions in the double sine-Gordon equation // Physica D 1986,- V.19 P. 165-205.

89. Gorshkov K.A., Lomov A.S., Rabinovich M.I. Chaotic scattering of two-dimensional solitons //Nonlinearity.- 1992 .-V.5.-P. 1343-1353.

90. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Malomed B.A., Frantzeskakis D.J. Two-soliton collisions in the Salerno model // Phys. Rev. E. 2003. - V.68. - P.056603-056609.

91. Papacharalampous I.E., Kevrekidis P.G., Malomed B.A., Frantzeskakis D.J. Soliton collisions in the discrete nonlinear Schrodinger equation // Phys. Rev. E. 2003. - V.68. - P. 046604-046612.

92. Gauthier R.D. Experimental investigations on micropolar media / in: O. Brulin, R.K.T. Hsieh (Eds.), Mechanics of micropolar media, Singapore: World Scientific, 1982. P. 395-463.

93. Felippa C.A. Parametrized variational principles for micropolar elasticity // Int. J. Solids Struct. 1992. -V.29. - P. 2709-2721.

94. Shahinpoor M. Ahmadi G. Uniqueness in elastodynamics of Cosserat and micropolar media//Quart. Appl. Math. -1973. -V. 31. P. 257-261.

95. Capriz G. Continua with microstructure. New York: Springer-Verlag, 1989.-92p.

96. Kunin I.A., Elastic Media with microstructure, vol. 1: One-dimensional models. Springer-Verlag: New York, 1982-1983. - 291p.

97. Kunin I.A., Elastic Media with microstructure, vol. 2: Three-dimensional models. Springer-Verlag: New York, 1982-1983. - 272p.

98. Chen Y. Lee J.D. Determining material constants in micromorphic theory through phonon dispersion relations // Int. J. Eng. Sci. 2003. - V.41. - P. 871-886.

99. Liu X. H., Satoh N., Kudo G„ Abe K., Shigenari T. // J. Korean Phys. Soc. 1998. - V. 32.-P. 584-586.

100. Shigenari T., Kojima E., Ino Y., Abe K. Detection of a precursor in a strong first-order structural phase transition by a fluorescence-lifetime measurement//Phys. Rev. Lett. 1991. -V. 66. - P. 2112-2115.

101. Watanabe S., Koyama Y. Features of the incommensurate phase in Pb(Zrl-xTix)03 //Phys. Rev. B. -2002. -V. 66. P. 134102-134109.

102. Matzdorf R., Ismail, Kimura T., Tokura Y., Plummer E. W. Surface structural analysis of the layered perovskite Sr2Ru04 by LEED I(V) // Phys. Rev. B. 2002. - V. 65. - P. 085404-085409.

103. Chmaissem O., et al. Structural phase transition and the electronic and magnetic properties of Sr2FeMo06 // Phys. Rev. B. 2000. - V. 62. - P. 14197-14206.

104. Ichikawa M., Amasaki D., Gustafsson T., Olovsson I. Structural parameters determining the transition temperature of tetragonal KH2P04-type crystals // Phys. Rev. B. 2001. - V. 64. - P. 100101-100104.

105. Alderson A., Evans K. E. Molecular Origin of Auxetic Behavior in Tetra-hedral Framework Silicates // Phys. Rev. Lett. 2002. - V. 89. - P. 225503225506.

106. Smirnov M. B. Lattice dynamics and thermal expansion of quartz // Phys. Rev. B. 1999. - V. 59. - P. 4036-4043.

107. Smirnov M. B., Mirgorodsky A. P. Lattice-Dynamical Study of the a- p Phase Transition of Quartz: Soft-Mode Behavior and Elastic Anomalies // Phys. Rev. Lett. 1997. - V. 78. - P. 2413-2416.

108. Kimizuka H., Kaburaki H., Kogure Y. Mechanism for negative poisson ratios over the alpha-beta transition of cristobalite, Si02: a molecular-dynamics study // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 84. - P. 5548-5551.

109. Dove, M. T. et al. Floppy Modes in Crystalline and Amorphous Silicates // Phys. Rev. Lett. 1997. -V. 78. - P. 1070-1073.

110. Swainson I. P., Dove M. T. Low-frequency floppy modes in beta-cristobalite //Phys. Rev. Lett. 1993. - V. 71. - P. 193-196.

111. Chen Z. Y., Walker M. B. Symmetry modes, competing interactions, and universal description for modulated phases in the dielectric A2BX\ family I I Phys. Rev. B. -1991. V. 43. - P. 5634-5648.

112. Dmitriev S.V., Vasiliev A.A., Yoshikawa N. Microscopic rotational degrees of freedom in solid state physics // Recent Res. Devel. Physics. 2003. -V.4.-P. 267-286.

113. Shigenari T., Dmitriev S.V., Abe K., Makita Y., Yajima M., Aslanyan T. A new interpretation of incommensurate phase of quartz // Ferroelectrics. -2000.-V.240.-P. 147-154.

114. Dmitriev S.V., Yajima M., Makita Y., Abe K., Shigenari T. Simulation of pressure induced phase transition and modulated structures of quartz // Progress in Theoretical Physics. Supplement. 2000. - V.138. - P. 243-244.

115. Dmitriev S.V., Yajima M., Makita Y., Semagin D., Abe K., Shigenari T. Simulation of modulated structures in quartz // J. Phys. Soc. Jpn. 2001. -V.70.-P. 428-436.

116. Shigenari T., Abe K., Dmitriev S.V., Yajima M., Nagamine M., Semagin D., Aslanyan T. A. Raman spectrum and the origin of phase transitions in quartz // Ferroelectrics. 2001. - V.259. - P. 103-108.

117. Semagin D. A., Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T., Aslanyan T. MD calculations for modulated phase in quartz // Ferroelectrics. 2002. - V.268. -P. 227-232.

118. Dmitriev S.V., Vasiliev A.A., Miroshnichenko A.E., Shigenari T., Kagawa Y., Ishibashi Y. Many-field theory for crystals containing particles with rotational degrees of freedom // Ferroelectrics. 2003. - V.283. - P. 127-139.

119. Semagin D. A., Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T. Stable modulated and homogeneous structures of quartz (Si02): Analysis of eigen-modes near phase transition points // Ferroelectrics. 2003. - V.283. - P. 141-147.

120. Semagin D. A., Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T. Second-order type symmetry breaking preceding the first order incommensurate-to- phase transition in quartz // Журнал физической химии 2003,- T.77.- С. 30-33.

121. Dmitriev S.V., Semagin D. A., Shigenari T., Abe K., Nagamine M., Aslan-yan T. A. Molecular and lattice dynamical study on modulated structures in quartz //Phys. Rev. B. 2003. - V.68. - P. 052101-052104.

122. Semagin D.A., Shigenari T., Dmitriev S.V., Abe K. Numerical analysis of atomic motion in the incommensurate phase of quartz (SiOi) in the vicinity of phase transition // phys. stat. sol. (c). 2004. - V.l. - P. 3057-3060.

123. Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T. One-dimensional crystal model for incommensurate phase. I. Small displacements limit // J Phys. Soc. Jpn.1996.-V.65.-P. 3938-3944.

124. Dmitriev S.V., Shigenari T., Abe K. One-dimensional crystal model for incommensurate phase. II. Compressible molecules // J Phys. Soc. Jpn.1997.-V.66.-P. 2732-2736.

125. Dmitriev S.V., Shigenari T., Vasiliev A.A., Abe K. Dynamics of domain walls in an incommensurate phase near the lock-in transition: One-dimensional crystal model // Phys. Rev. B. 1997. - 55. - P. 8155-8164.

126. Shigenari T., Vasiliev A. A., Dmitriev S.V., Abe K. Domain walls in one-dimensional 3-periodic structure // Ferroelectrics.- 1997.- V.203. 335-347.

127. Dmitriev S.V., Kumata T., Shigenari T., Abe K. Computer simulation for the incommensurate phase near the lock-in transition // J. Korean Phys. Soc. 1998.-V.32.-P. 907-909.

128. Dmitriev S.V., Shigenari T., Abe K. Thermally activated motion of domain wall in a crystal with a small degree of discreteness // Comp. Mater. Sci.1998. V.l 1.-P. 227-232.

129. Dmitriev S.V., Shigenari T., S. M. Volkova, Vasiliev A.A., Abe K. Dynamics of autowaves in a one-dimensional crystal model // Comp. Mater. Sci. 1999. - V. 13 . - P. 227-231.

130. Shigenari T., Dmitriev S.V., Vasiliev A.A., Abe K. Domain wall solutionsfor EHM model of crystal //J Phys. Soc. Jpn. 1999. - V.68. - P. 117-125.

131. Dmitriev S.V, Abe K., Shigenari T. У «t ЪЪШ ^ШЧШ^ШL // 2000. - V.55. - P.l 13-117 (на японском языке).

132. Dmitriev S.V., Abe К., Shigenari Т. Elastically hinged molecule model for computer simulation of incommensurate phase in crystals // Ferroelectrics. -2000.-V.237.-P. 17-24.

133. Dmitriev S.V., Abe K., Shigenari T. Domain wall solutions for EHM model of crystal. Structures with period multiple of four // Physica D. 2000. -V.147.-P. 122-134.

134. Dmitriev S.V., Jimbo H., Abe K., Shigenari T. Periodic metastable structures in the discrete ф4 model 11 Phys. Rev. E. 2001. - V.64. - P. 3620236210.

135. Dmitriev S.V., Semagin D.A., Abe K., Vasiliev A.A., Shigenari T. Elastically hinged molecule model in physics of ferroelectric materials // Ferroelectrics. 2001. -V.262. - P. 53-58.

136. Dmitriev S.V., Shigenari T. Thermally activated generation, motion, and annihilation of localized modes in the Frenkel-Kontorova model // Physica B. 2002. - V.316-317. - P. 129-131.

137. Dmitriev S.V., Jimbo H., Abe K., Shigenari T. Elastically hinged molecule model: Discrete medium and continuum // Ferroelectrics. 2002. - V.267. -P. 361-366.

138. Dmitriev S.V., Itoh M., Shinohara M., Abe K., Shigenari T. Thermally activated generation, motion and annihilation of kinks in the Frenkel-Kontorova chain // Progress in Theoretical Physics. Supplement. 2000. -V.138.-P. 574-575.

139. Dmitriev S.V., Vasiliev A.A., Yoshikawa N. , Shigenari T., Ishibashi Y. Multi-cell continuum approximation for discrete medium with microscopic rotations // phys. stat. sol. (b). 2005. - V.242. - P. 528-537.

140. Ishibashi Y. Commensurate Structures and Pinning Energy Based on an Atomic Model//J. Phys. Soc. Jpn. 1991. -V. 60. - P. 212-218.

141. Hlinka J., Orihara H., Ishibashi Y. Rippled Commensurate Phases in DIFFOUR Model: Continuum Approximation // J. Phys. Soc. Jpn. 1998. -V. 67.-P. 3488-3492.

142. Ishibashi Y., Hlinka J. A Discrete Model of the Transition between Phases with the Same Modulation Period // J. Phys. Soc. Jpn. 1998. - V. 67. - P. 27-28.

143. Hlinka J., Iwata M., Ishibashi Y. J. Phenomenological Description of the Sevenfold Phase of Betaine Calcium Chloride Dihydrate. I. Coupling to the Electric Field // Phys. Soc. Jpn. 1999. - V. 68. - P. 126-133.

144. Hlinka J., Orihara H., Nagaya T., Ishibashi Y. Ferroelectrics. 1998. - V. 219.-P. 251-257.

145. Hlinka J., Ishibashi Y. Potential Barriers between Two Commensurate

146. Phases with the Quadruple Lattice Periods // J. Phys. Soc. Jpn. 1998. - V. 67.-P. 2327-2329.

147. Zhong C., Jiang Q. The study of the coupling mechanism between anti-ferromagnetic and ferroelectric ordering and thermodynamic properties in ferroelectromagnets J. Phys.: Condens. Matter. 2002. - V. 14. - P. 86058612.

148. Archilla J. F. R., Christiansen P. L., Gaididei Yu. B. Interplay of nonlinear-ity and geometry in a DNA-related, Klein-Gordon model with long-range dipole-dipole interaction //Phys. Rev. E. -2002. -V. 65. P. 16609-16614.

149. Janssen T., Tjon J. A. Microscopic model for incommensurate crystal phases // Phys. Rev. B. -1982. V. 25. - P. 3767-3785.

150. Ernst F. Metal-oxide interfaces // Mater. Sci. Engng. 1995. -V. R14. -P.97-156.

151. Finnis MW. The theory of metal ceramic interfaces // J Phys: Condens. Matter. - 1996. - V. 8. - P. 5811-5836.

152. Suganuma K, Miyamoto Y, Koizumi M. Joining of Ceramics and Metals //Ann. Rev. Mater. Sci. 1988. - V. 18. - P. 47-73.

153. Dehm G., Scheu C., Ruhle M., Raj R. Growth and structure of internal Cu/A1203 and Cu/Ti/A1203 interfaces // Acta Mater. 1998. - V.46. -P.759-772.

154. Scheu C., Dehm G., Ruhle M, Brydson R. Electron-energy-loss spectroscopy studies of Cu-agr-A1203 interfaces grown by molecular beam epitaxy // Philos. Mag. A. 1998. - V. 78. - P.439-465.

155. Dehm G., Ruhle M., Ding D., Raj R. Growth and structure of copper thin films deposited on (0001) sapphire by molecular beam epitaxy // Philos. Mag. B. 1995. - V.71. — P.l 111-1124.

156. Mobus G., Schumann E., Dehm G., Ruhle M. Measurement of coherencystates of metal ceramic interfaces by HREM image processing // Phys. Stat. Sol. (a). - 1995. - V. 150. - P.77-87.

157. Dehm G., Scheu C., Mobus G., Brydson R., Ruhle M. Synthesis of analytical and high-resolution transmission electron microscopy to determine the interface structure of Cu/Al203 // Ultramicroscopy. 1997. - V. 67. - P.207-217.

158. Sasaki T., Mizoguchi T., Matsunaga K., Tanaka S., Yamamoto T., Ko-hyama M., Ikuhara Y. HRTEM and EELS characterization of atomic and electronic structures in Cu/alpha-A1203 interfaces // Applied Surface Science. 2005. - V. 241. - P. 87-90.

159. Smith J.R., Raynolds J. E., Roddick E. R., Srolovitz D. J. An atomistic view of adhesion // Journal of Computer-Aided Materials Design. 1996. -V.3.-P. 169-172.

160. Batyrev I.G., Kleinman L. In-plane relaxation of Cu(lll) and Al(lll)/alpha-Al203 (0001) interfaces // Phys. Rev. B. 2001. - V.64. -P.033410-033413.

161. Zhang W., Smith J.R., Evans A.G. The connection between ab initio calculations and interface adhesion measurements on metal/oxide systems: Ni/A1203 and Cu/AI203 // Acta Mater. 2002. - V.50. - P.3803-3816.

162. Rosato V., Guillope M., Legrand B. Thermodynamical and structural properties of f.c.c. transition metals using a simple tight-binding model // Philos. Mag. 1989. - V. 59. - P. 321-336.

163. Hecquet P., Salanon B., Legrand B. Energetics of surface defects: towards a simplified model // Surf. Sci. 2000. - V. 459. - P. 23-32.

164. Wunderlich W., Awaji H. Molecular dynamics simulations of the fracture toughness of sapphire //Mater. Design. - 2001. - V. 22. - P. 53-57.

165. Dmitriev S.V., Yoshikawa N. , Kagawa Y., Kohyama M. Coherency ofcopper/sapphire interface studied by atomistic simulation and geometrical analysis // Surf. Sei. 2003. - V.542. - P. 45-55.

166. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Kagavva Y. Misfit accommodation at the Cu(lll)/ ог-А12Оз(0001) interface studied by atomistic simulation // Comp. Mater. Sei. -2004. V.29. - P. 95-102.

167. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Kohyama M., Tanaka S., Yang R., Kagawa Y. Atomistic structure of the Cu(lll)/ «-А120з(0001) interface in tenus of interatomic potentials fitted to ab initio results // Acta Mater. 2004. - V.52. -1959-1970.

168. Hangai Y., Yoshikawa N., Dmitriev S.V., Kohyama M., Tanaka S. Large scale atomistic simulation of Си/А1203 interface via quasicontinuum analysis // J. Japan Inst. Metals. 2005. - V.69 - P. 90-95 (на японском языке).

169. Hangai Y., Yoshikawa N., Dmitriev S.V., Kohyama M., Tanaka S. Quasicontinuum analysis of alumina/copper interface // J. Japan Inst. Metals. -2005. V.69. - P. 194-197 (на японском языке).

170. Dmitriev S.V., Yoshikawa N. , Tanaka Y., Kagawa Y. Plasticity at a Cu /a-AI2O3 interface with nanovoids // Mater. Sei. Eng. A.-2006.-V.418-P.36-44.

171. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Kohyama M., Tanaka S., Yang R., Tanaka Y., Kagawa Y. Modeling interatomic interactions across Си /сг-АЬОз interface // Comp. Mater. Sei. 2006. - V.36. - P. 281-291.

172. Snyman J.A., Snyman U.C. Computed epitaxial monolayer structures III. Two-dimensional model: zero average strain monolayer structures in the case of hexagonal interfacial symmetry // Surf. Sei. 1981. - V.105. -P. 35 7-3 76.

173. Binnig G., Rohrer H. In touch with atoms // Rev. Mod. Phys. 1999. -V.71.-P. S324-330.

174. Gouldstone A., Koh H.J., Zeng K.Y. Giannakopoulos A.E., Suresh S. Discrete and continuous deformation during nanoindentation of thin films // Acta Mater. 2000. - V. 48. - P.2277-2295.

175. Lorenz D., Zeckzer A., Hilpert U., Grau P., Johansen H., Leipner H.S. Pop-in effect as homogeneous nucleation of dislocations during nanoindentation //Phys. Rev. B. 2003. - V.67. - P. 172101-172104.

176. Li J., Ngan A.H.W., Gumbsch P. Atomistic modeling of mechanical behavior // Acta Mater. 2003. - V. 51. - P.5711-5742.

177. Lupis C.H.P. Chemical thermodynamics of materials. New York: North-Holland, 1983. - 602p.

178. Frenkel J. // Z. Phys. 1926. -V. 37. - P.572.

179. Rose J.H., Ferrante J., Smith J.R. Universal Binding Energy Curves for Metals and Bimetallic Interfaces // Phys. Rev. Lett. 1981. - V.47. - 675678.

180. Rose J.I L, Smith J.R., Ferrante J. Universal features of bonding in metals // Phys. Rev. B. 1983. -V.28. - P. 1835-1845.

181. Peierls R. E. The size of a dislocation // Proc. Phys. Soc. 1940. - V.52. -P.34-37.

182. Hong S.S., Kim K.S. Extraction of cohesive-zone laws from elastic far-fields of a cohesive crack tip: a field projection method // J. Mech. Phys. Solids. 2003. - V.51.- P.1267-1286.

183. Ogata S., Li J., Yip S. Ideal Pure Shear Strength of Aluminum and Copper // Science. 2002. - V.298. - P.807-811.

184. Ogata S., Li J., Hirosaki N., Shibutani Y., Yip S. Ideal shear strain of metals and ceramics //Phys. Rev. B. -2004. V.70. — P. 104104-104110.

185. Li J., Van Vliet K.J., Zhu T., Yip S., Suresh S. Atomistic mechanisms governing elastic limit and incipient plasticity in crystals // Nature. 2002.1. V.418. -Р.307-310.

186. Zhu Т., Li J., Van Vliet K.J., Ogata S., Yip S., Suresh S. Predictive modeling of nanoindentation-induced homogeneous dislocation nucleation in copper // J. Mech. Phys. Solids. 2004. - V.52. - P.691-724.

187. Umeno Y., Kitamura T. Ab Initio Simulation on Ideal Shear Strength of Silicon //Mater. Sci. Eng. B. 2002. - V.88. - P.79-84.

188. Dmitriev S.V., Li J., Yoshikawa N., Shibutani Y. Theoretical strength of 2D hexagonal crystals: application to bubble raft indentation // Phil. Mag. -2005.-V.85.-P. 2177-2195.

189. Dmitriev S.V., Kitamura Т., Li J., Umeno Y., Yashiro K., Yoshikawa N. Near-surface lattice instability in 2D fiber and half-space // Acta Mater. -2005.-V.53.-P. 1215-1224.

190. Дмитриев С.В., Старостеиков М.Д., Черных Е.В. Нестабильность решетки вблизи поверхности в 2D волокне // Фундаментальные проблемы современного материаловедения. 2006. - Т.34, №3. - С. 107-117.

191. Cammarata R.C. Surface and interface stress effects in thin films // Prog. Surf. Sci. 1994. - V.46. -P.l-38.

192. Juan Y.M., Sun Y.M., Kaxiras E. Ledge effects on dislocation emission from a crack tip: a first-principles study for silicon // Phil. Mag. Lett. 1996. -V.73.-P.233-240.

193. Kitamura Т., Umeno Y., Fushino R. Instability Criterion of Inhomogene-ous Atomic System // Mater. Sci. Eng. A. 2004. - V.379. - P.229-233.

194. Kitamura Т., Umeno Y., Tsuji N. Analytical evaluation of unstable deformation criterion of atomic structure and its application to nanostructure // Сотр. Mater. Sci. 2004. - V.29. - P.499-510.

195. Rayleigh J.W.S., Lindsay R.B. The theory of sound. Vol. 2. New York: Dover Publications Inc, 1976. - 504p.

196. Stoneley R. Elastic waves at the surface of separation of two solids // Proc. R. Soc. London. 1924. - V.106. -P.416-420.

197. Needleman A., Ortiz M. Effect of boundaries and interfaces on shear-band localization // Int. J. Solids. Struct. 1991. - V.28. -P.859-877.

198. Suo Z., Ortiz M., Needleman A. Stability of solids with interfaces // J. Mech. Phys. Solids. 1992. - V.40. - P.613-640.

199. Umeno Y., Kitamura Т., Tagawa M. Mechanical instability in non-uniform atomic structure: Application to amorphous metal // Mater. Sci. Eng. A. -2007. V.462. - P450-455.

200. Дмитриев C.B., Овчаров А.А., Старостеиков М.Д., Козлов Э.В. Компьютерное моделирование зарождения дислокаций в однородно деформированном г.ц.к. кристалле // Физика твердого тела, РАН, С.Петербург. 1996. - Т.38. - № 6. - С. 1805-1811.

201. A. A. Ovcharov, Dmitriev S.V., Starostenkov M.D. The atomic displacement static waves inside a zone of elastic to plastic transformation // Сотр. Mater. Sci. -1998. V.9. - P. 325-328.

202. Cummins H.Z. Experimental studies of structurally incommensurate crystal phases //Phys. Rep. 1990. - V. 185. -P.211-409.

203. Abe K., Kawasaki K., Kowada K., Shigenari T. Effect of Uniaxial Stress on Central Peaks in the lq and 3q Incommensurate Phase of Quartz // J. Phys. Soc. Jpn. 1991. - V.60. - P.404-407.

204. Barre S., Mutka H., Roucau C., Litzler A., Schneck J., Toledano J.C., Bouffard S., Ruller-Albenque F. Influence of defects on the incommensuratemodulation in irradiated Ba2NaNb5015 // Phys. Rev. B. 1991. - V.43. -P.11154-11161.

205. Yamada Y., Hamaya N. A Unified View of Incommensurate-Commensurate Phase Transitions in A2BX4 Type Crystals // J. Phys. Soc. Jpn. 1983. - V.52. - P.3466-3474.

206. Parlinski K., Chapuis G. Mechanisms of phase transitions in a hexagonal model with lq and 3q incommensurate phases // Phys. Rev. B. -1993. -V.47. -P.13983-13991.

207. Parlinski K., Chapuis G. Phase-transition mechanisms between hexagonal commensurate and incommensurate structures // Phys. Rev. B. -1994. -V.49. — P. 11643-11651.

208. Parlinski K. Phase diagram of the square-lattice model with lq and 2q incommensurate modulations //Phys. Rev. B. -1993. V.48. -P.3016-3021.

209. Parlinski K., Kwiecinski S., Urbanski A. Phase diagram of a hexagonal model with incommensurate phases // Phys. Rev. B. -1992. V.46. -P.5110-5115.

210. Dmitriev S.V., Shigenari T., Abe K. Mechanisms of transition between lq and 2q incommensurate phases in two-dimensional crystal model // Phys. Rev. B. 1998. - V.58. - P. 2513-2522.

211. Dmitriev S.V., Shigenari T., Abe K. Mechanism of transition between lq and 3q incommensurate phases in two-dimensional crystal model // Ferro-electrics. 1998. - V.217. - P. 179-187.

212. Дмитриев C.B. Механизм перехода между 1-q и З-q фазами в двумерной модели кристалла // Физика твердого тела, 2003.-Т.45.- №2.-С.334-338.

213. Vasiliev А.А., Dmitriev S.V., Miroshnichenko А.Е., Multi-field continuum theory for medium with microscopic rotations // Int. J Solids Struct.2005.-V.42.-P. 6245-6260.

214. Dmitriev S.V., Auxetic behavior of crystals from rotational degrees of freedom I I Ferroelectrics. 2007. - V.349. - P. 33-44.

215. Vasiliev A.A., Dmitriev S.V., Ishibashi Y., Shigenari T. Elastic properties of a tvvo-dimensional model of crystals containing particles with rotational degrees of freedom //Phys. Rev. B. -2002. V.65. - P. 094101-094107.

216. Takeno S., Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Bishop A.R. Nonlinear lattices generated from harmonic lattices with geometric constraints //Phys. Rev. B. -2005.-V.71.-P. 014304-014312.

217. Кудинов A.H., Дмитриев C.B., Савченко К.И., Синицын Е.А. Методика определения аналогов упругих постоянных дисперсных сред // Заводская лаборатория, Москва. 1989. - Т. 55. - № 10. - С. 62-64.

218. Дмитриев С.В., Науман JI.B., Старостенков М.Д., Васильев А.А. Сдвиговая неустойчивость ГПУ-кристалла при растяжении перпендикулярно плотноупакованным атомным слоям // Металлофизика и новейшие технологии, НАН Украины, Киев. 1995. - Т. 17, №4, С. 56-60.

219. Dmitriev S.V., Shigenari Т., Abe К., Vasiliev A.A., Miroshnichenko А.Е. Phonon emission from a discrete sine-Gordon breather // Сотр. Mater. Sci.-2000.-V. 18.-P. 303-307.

220. Dmitriev S.V., Shigenari T., Abe K. Poisson ratio beyond the limits of the elasticity theory // J. Phys. Soc. Jpn. 2001. - V.70. - P. 1431-1432.

221. Старостенков M.Д., Дмитриев C.B. Оценка энергии образования антифазных доменов в кристалле интерметаллида // Кристаллография, РАН, Москва. 1992. - Т. 37. - вып. 6. - С. 1372-1378.

222. Старостенков М.Д., Дмитриев C.B. Энергия образования антифазной границы {001} в сверхструктуре с произвольной примитивной ячейкой // Физика твердого тела, РАН, С.-Петербург,- 1992.- Т.34.-№7- С. 2087-2093.

223. Старостенков М.Д., Дмитриев C.B., Голобокова С.И. Метод определения энергии антифазной границы в плоскостях {hOl} в сверхструктуре с произвольной примитивной ячейкой // Известия ВУЗов. Физика, Томск. 1992. - №5. - С. 73-77.

224. Старостенков М.Д., Дмитриев C.B., Старостенкова О.Х. Правила заполнения координационных сфер в кристаллах кубической симметрии с междоузлиями // Журнал структурной химии, СО РАН, Новосибирск. 1997. - Т.38. - № 6. - С. 1110-1116.

225. Старостенков М.Д., Дмитриев C.B., Голобокова С.И. Определение энергии сдвиговых антифазных границ в упорядоченном сплаве // Металлофизика, РАН, Киев. 1992. - т. 14. - №9. - С. 61-68.

226. Старостенков М.Д., Дмитриев C.B., Волкова С.М. Энергия образования трубки антифазных траниц в упорядоченном сплаве // Физика твердого тела, РАН, С.-Петербург. 1993. - т.35. - №1. - С. 31-37.

227. Старостенков М.Д., Дмитриев C.B. Распределение пространственных многогранников по координационным сферам в ОЦК решетке // Журнал структурной химии, СО РАН, Новорсибирск. 1993. - Т.34. - №4.-С. 107-111.

228. Старостенков M.Д., Дмитриев C.B., Бакалдии A.B. Энергии образования антифазных границ в сверхструктурах Lio и Lli // Известия ВУЗов. Физика, Томск. 1993. - №3. - С. 68-72.

229. Старостенков М.Д., Дмитриев C.B., Голобокова С.И. Поверхностная энергия упорядоченного сплава в модели твердых сфер // Поверхность. Физика, химия, механика, РАН, Москва. 1994. - №2. - С. 108-113.

230. Старостенков М.Д, Дмитриев C.B., Бразовская О.В. Исследование геометрического строения и энергетики границ зерен или фаз в многокомпонентных структурах // Физика твердого тела, РАН, С.-Петербург.-^. Т.36, № 11. - С. 3414-3423.

231. Старостенков М.Д., Дмитриев C.B., Фролов A.M., Волкова С.М. Энергия образования планарных сверхструктурных дефектов в упорядоченных сплавах на основе ГЦК- и ОЦК-решеток // Известия ВУЗов. Физика, Томск-1994. № 11. - С. 57-61.

232. Старостенков М.Д., Дмитриев C.B., Волкова С.М. Классификация планарных сверхструктурных дефектов в упорядоченных сплавах с ГЦК- и ОЦК- решеткой // Кристаллография, РАН, Москва.-1994. -Т.39, №3. С. 508-513.

233. Дмитриев C.B., Старостенков М.Д, Волкова С.М. Классификация планарных сверхструктурных дефектов // Металлофизика и новейшие технологии, HAH Украины, Киев. 1994. - Т. 16. - №8. - С. 67 -72.

234. Старостенков М.Д, Дмитриев C.B., Герман В.Г. Моделирование энергетики образования дефектов различных размерностей в кристалле интерметаллида // Кристаллография, РАН, Москва. -1994. -Т.39. №5. -С.798-802.

235. Дмитриев C.B., Старостенков М.Д., Жданов А.Н. Основы кристаллографического анализа дефектов в металлах и сплавах: Учебное пособие для вузов / Алт. гос. техн. ун-т им. И.И.Ползунова,- Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1995. 256с.

236. Дмитриев C.B., Фролов A.M., Голобокова С.И. Старостенков М.Д. Планарные сверхструктурные дефекты в упорядоченных сплавах с гексагональной плотной упаковкой // Кристаллография, РАН, Москва. -1995. Т.40. - №2. - С. 223-227.

237. Dmitriev S.V., Wusatowska-Sarnek A. M., Starostenkov M.D., Belyakov A. N., Shigenari T., Sakai T. Crystallogeometrical approach to stacking fault analysis in ordered alloys // Acta Crystallographica A. 1998. - V.54. - P. 430-437.

238. Старостенков M.Д., Дмитриев C.B., Андрухова O.B. Статистические характеристики системы антифазных границ, образующихся при кристаллизации расплава // Расплавы, Екатеринбург. 1995. вып.2. - С. 8794.

239. Андрухова О.В., Козлов Э.В., Дмитриев C.B., Старостенков М.Д. О возможных механизмах атомного разупорядочения в бинарных сплавах // Физика твердого тела, РАН, С.-Петербург. 1997. - Т.39. - № 8. - С. 1456-1460.

240. Андрухова О.В., Дмитриев C.B., Козлов Э.В., Старостенков М.Д. Влияние температуры на структуру двухмерного двойного сплава в равновесном состоянии // Металлы, РАН, Москва. 1997. - № 6. - С.83.89.

241. Дмитриев С.В., Козлов Э.В., Ломеких Н.В., Староетеиков М.Д. Изучение кинетики разупорядочения в рамках двумерной модели сплава // Известия ВУЗов. Физика, Томск. 1997. - № 3. - С. 73-80.

242. Dmitriev S.V., Liu Y., Kagawa Y. A method for crystal coherency analysis // Scripta Mater. 2003. - V.48. - 797-802.

243. Dmitriev S.V., Yoshikawa N., Pirouz P. Optimal orientation relation for interfaces between dissimilar crystals // in: Trends in Surface Science Research, edited by Norris C.P. Nova Science Publishers. - New York. -2006.-P. 209-232.

244. Dmitriev S.V., Pirouz P., Starostenkov M.D., Chernykh E.V. Optimal orientation relation for interfaces between dissimilar crystals // Фундаментальные проблемы современного материаловедения.- 2006 Т.34, №3. - С. 69-83.

245. Валиев Р.З., Вергазов А.И., Герцман В.Ю. Кристаллогеометрический анализ межкристаллитных границ в практике электронной микроскопии,- М.: Наука, 1991. 232с.

246. Потапов Л.П., Потапова О.А. Автоионная микроскопия сплавов.- М.: Металлургия, 1987.- 192с.

247. Мильбурн Г. Рентгеновская кристаллография.- М: Мир, 1975.- 256с.

248. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы.- М.: Мир, 1990.-Т.1.-415с.

249. Андреева А.В. Кристаллография межкристаллитных поверхностей раздела//Поверхность. Физика, химия, механика.- 1983.- №1.- С. 5-18.

250. Орлов А.Н., Перевезенцув В.Н., Рыбин В.В. Границы зерен в металлах,- М.: Металлургия, 1980.- 156с.

251. Голубенко Т.Я., Козлов Э.В. Ориентационная зависимость энергии

252. АФГ и симметрия атомных положений // Изв. Вузов. Физика.- 1988.-№5,- С. 98-100.

253. Андреева A.B. Симметрия структуры и ее проявление в свойствах го-мо- и гетерофазных границ раздела кристаллов // Препринт ИПТМ АН СССР, Черноголовка, 1987, 73с.

254. Андреева A.B. Анализ симметрии границ предварительный этап технологического проектирования гетероэпитаксиальных композиций // Препринт ИПТМ АН СССР, Черноголовка, 1989, 25с.

255. Инденбом B.JL, Логинов Е В. Об условиях возникновения антифазных доменов при фазовых превращениях // Кристаллография.- 1987.-Т.32.-ВЫН. 6,-С. 1520-1522.

256. Попов JI.E., Конева H.A., Терешко И.В. Деформационное упрочнение упорядоченных сплавов.- М.: Металлургия, 1979.- 256с.

257. Гринберг Б.А., Сюткина В.И. Новые методы упрочнения упорядоченных сплавов,- М.: Металлургия, 1985.- 176с.

258. Попов Л.Е., Козлов Э.В. Механические свойства упорядоченных растворов,- М.: Металлургия, 1970,- 216с.

259. Потекаев А.И., Наумов И.И., Кулагина В.В., Удодов В.Н., Великохат-ный О.И., Еремеев C.B. Естественные длиннонериодические наноструктуры.- Томск: Изд-во HTJI, 2002,- 260с.

260. Глезер A.M., Мологилов Б.В. Упорядочение и деформация сплавов железа,- М.: Металлургия, 1984,- 168.

261. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики,- М.: Наука, 1975.- 680с.

262. Bollmann W. Crystal defects and crystalline interfaces.- Berlin: Springer Verlag, 1970,- 254c.

263. Старостенков M. Д. Пространственное распределение атомов по координационным сферам в кристаллах кубической симметрии // Кристаллография.- 1992,- Т.37.- Выи. 3,- С. 717-723.

264. Старостенков М.Д., Старостенкова О.Х. Энергия образования с-доменов в упорядоченных сплавах с тетрагональной симметрией // Изв. Вузов. Физика,- 1988,- №1,- С. 110-112.

265. Мину М. Математическое программирование. М.: Наука, 1990.- 488с.

266. Родосский К.А. Алгоритм Евклида.- М.: Наука, 1988.- 240с.1. Благодарности

267. Автор признателен своей судьбе за то, что свела со столькими прекрасными людьми.