Влияние дискретности и ангармонизма на пиннинг солитонов в кристаллическом поле тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Л.Я. КАРПОВА

На правах рукописи

БЕКЛЕМИШЕВ Сергей Андреевич

УДК 539.2: 537.6

ВЛИЯНИЕ ДИСКРЕТНОСТИ И АНГАРМОНИЗМА НА ПИННИНГ СОЛИТОНОВ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ ПОЛЕ

(01.04.07 - Физика конденсированного состояния)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва -2004

Работа выполнена в ордена Трудового Красного Знамени Научно-исследовательском физико-химическом институте имени Л.Я. Карпова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Клочихин Владимир Леонидович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук ТовбинЮрий Константинович

доктор физико-математических наук Кудряшов Николай Алексеевич

Ведущая организация: Институт химической физики им. Н.Н. Семенова РАН

диссертационного совета Д.217.024.01 при Научно-исследовательском физико-химическом институте им. ЛЛ.Карпова по адресу: 105064, Москва, ул Воронцово поле, д. 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Научно-исследовательского физико-химического института имени Л.Я.Карпова (105064, Москва, ул Воронцово поле, д. 10)

Защита состоится [/6 . £/3 . 2004г. в Ж

часов на заседании

Автореферат разослан

О? . 2004г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы.

Актуальность проблемы.

Уединенные волны - солитоны являются ключевым понятием при описании большого числа явлений физики конденсированного состояния, они переносят массу, заряд, магнитный момент или энергию, теоретически без дисперсии, присущей обычным волновым импульсам.

Солитоны играют решающую роль в формировании пластических и прочностных свойств кристаллов, неоднородных сверхпроводящих состояний, а также структурных, жидкокристаллических и магнитных явлений в физике конденсированного состояния.

Для описания этих явлений широко используется модель Френкеля-Конторовой (ФК), представляющая собой одномерную бесконечную цепочку атомов, связанных гармоническим взаимодействием и помещенных в периодический рельеф кристаллического поля. Модель имеет множество приложений, среди которых модель дислокаций в кристалле, солитоны в Джозефсоновских контактах, перенос ионов в биологических системах, солитоны в магнетиках и многие другие приложения.

В континуальном пределе динамика возбуждений в этой модели описывается уравнением Синус-Гордона (СГ). Исследования последних лет связаны, в основном, с анализом поправок к этому уравнению, вызванных реальной дискретностью системы. Проявлением ее является, в частности, пиннинг солитонов (барьер при смещении), определяемый разностью энергий конфигураций с атомом и связью в центре симметрии солитона. Наряду с учетом дискретности, рассматривается также влияние ангармонизма межатомного взаимодействия. Показано, что он существенно влияет на структурные, кинетические и термодинамические свойства перечисленных выше систем. Существующие теоретические подходы основаны на континуальных приближениях, которые и

ангармонизм как малые поправки к решениям модели ФК. Поэтому с помощью данных подходов нет возможности корректно оценить энергию пиннинга, зависящую от параметров уединенной волны экспоненциально.

Следовательно, нужен новый подход, не основанный на малых ангармонических поправках к известным решениям континуальной модели. В диссертационной работе поставлена актуальная задача описания солитонов, в модели ФК с цепочкой ангармонически связанных частиц, для корректной оценки энергии пиннинга (локализации) солитонов в решетке.

Целью данной работы является разработка метода математического описания дискретности и энгармонизма нелинейных явлений в конденсированной фазе с помощью высших порядков континуальных приближений для расчета основных параметров уединенной волны: амплитуды, ширины и энергии пиннинга солитона.

Основные задачи исследования:

1. Получить аналитические выражения для оценки энергии пиннинга солитонов в ангармонических и дискретных моделях нелинейных возбуждений в физике конденсированного состояния. Проверить их в численном эксперименте.

2. Получить решения уравнения движения для волн постоянного профиля в модели ФК с учетом энгармонизма взаимодействия в цепочке, которые существенно отличаются от известных решений, учитывающих лишь малые ангармонические поправки. Исследовать фазовые портреты найденных решений.

3. Отработать методику численного экспериментального определения энергии пиннинга солитонов с учетом ангармонического взаимодействия в цепочке атомов и в системе спинов ферромагнетика Гейзенберга.

4. Дать аналитическую оценку энергии пиннинга солитонов в ферромагнетике Гейзенберга. Аналитические расчеты проверить в численном эксперименте. Исследовать роль энгармонизма взаимодействия спинов.

5. Разработать методику аналитического учета дискретности с помощью высших порядков континуальных приближений. Применить ее к одномерной дискретной цепочке модели Ферми, Пасты, Улама (ФПУ) для определения ширины и амплитуды уединенных волн, а также для оценки энергии пиннинга солитонов как растяжения, так и сжатия в цепочке дискретных частиц, связанных ангармоническим взаимодействием, в модели ФК.

Научная новизна и достоверность результатов работы.

Впервые получено простое аналитическое выражение для энергии пиннинга солитонов в ангармонических дискретных системах. Аналитические расчеты проверены с помощью численных экспериментов, которые демонстрируют хорошее совпадение с теорией. Впервые количественно определено, как, в отличие от классической теории ФК, ангармонизм приводит к радикальному отличию в поведении солитонов сжатия и растяжения. На основе полученных аналитических выражений, можно проводить расчеты спектра элементарных нелинейных возбуждений и их вклада в термодинамические свойства нелинейных систем. В рамках этого подхода рассмотрена спиновая динамика ферромагнетика Гейзенберга, для которого взаимодействие спинов существенно отличается от гармонического в цепочке ФК. Получены новые типы решений в виде уединенных волн и построены их фазовые портреты.

Достоверность полученных результатов подтверждается также литературными экспериментальными данными о нейтронном рассеянии и теплоемкости ферромагнетика Гейзенберга CsNiF3.

Защищаемые научные положения.,

1. Аналитические выражения для оценки энергии пиннинга солитонов в ангармонических и дискретных системах физики конденсированного состояния.

2. Решения уравнения движения для волн постоянного профиля в модели ФК с учетом энгармонизма взаимодействия в цепочке, существенно более точные в области сильных полей, чем известные решения, учитывающие лишь малые ангармонические поправки.

3. Фазовые портреты найденных решений модели ФК с ангармонической цепочкой и новые типы решений.

4. Результаты, численного эксперимента по определению величины энергии пиннинга в ангармонической цепочке модели ФК и цепочки спинов ферромагнетика Гейзенберга:

5. Аналитическая оценка энергии пиннинга солитонов в ферромагнетике Гейзенберга. Результаты численного эксперимента. Учет энгармонизма взаимодействия спинов способен существенно изменить свойства модели.

6. Метод аналитического учета дискретности и энгармонизма с помощью высших порядков континуальных приближений в приложении к одномерной дискретной цепочке модели Ферми, Пасты, Улама и ангармонической цепочке модели ФК.

Практическая значимость работы. Учет дискретности и

энгармонизма в рассмотренных моделях позволяет более адекватно описывать явления переноса локальных возбуждений в конденсированных средах в связи с процессами пластической деформации, магнитодинамики, адсорбции, и катализа и др. Дэнный подход позволяет повысить точность описания нелинейных явлений в твердом теле, таких, как движение дислокаций, спиновые волны в магнетиках, перенос возбуждений в биологических макромолекулах, структурные переходы, топохимических реакции и др. На основе полученных результатов можно более точно проводить расчеты спектра

элементарных нелинейных возбуждений и термодинамических свойств нелинейных систем.

Полученные результаты, новизна положений, развиваемых в диссертации, и ее научная и практическая значимость позволяют утверждать, что в работе решена практически важная задача описания динамики нелинейных возбуждений в конденсированных средах с учетом их дискретности и ангармонизма, имеющая существенное значение для корректного описания многих нелинейных явлений физики конденсированного состояния.

Апробация работы.

Основные положения работы докладывались на Седьмой всесоюзной конференции по радиационной физике и химии неорганических материалов (Рига, 1989); на Втором всесоюзном семинаре молодых ученых по радиационной физике и химии твердых тел (Рига, 1991); на XVIII всероссийском симпозиуме по химической кинетике (Москва, 2000); на Международном симпозиуме по спиновым волнам (Санкт-Петербург, 2002); на 10 всероссийской конференции "Структура и динамика молекулярных систем" (Казань, 2003).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 научных работ и 5 тезисов докладов.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения, содержит ..ОО страниц машинописного текста, <12. рисунков, 6 таблиц, библиографию из . наименований.

Содержание работы

Во введении обосновываются актуальность, новизна, цель и задачи работы.

Глава 1. Литературный обзор. Уединенные волны в одномерных, дискретных моделях физики конденсированного состояния..

В главе излагается современное состояние теории и методов численного описания динамики нелинейных волн в кристаллах.

§1.1. Непрерывные модели солитонов в дискретных одномерных системах.

Важной проблемой физики конденсированного состояния является • распространение нелинейных волн в одномерных периодических структурах. Распространение таких волн в ангармонических цепочках рассматривалось для простых межатомных потенциалов полиномиальной формы. Динамика ангармонических кристаллов с реалистическими потенциалами типа Морзе и Леннард—Джонса изучалась главным образом численно, при этом анализировались как пологие, так и узкие солитоноподобные волны с большой амплитудой. Применяемое обычно при теоретическом анализе континуальное приближение оправдано для пологих волн. Одной из центральных задач в теоретических исследованиях было расширение области аналитического рассмотрения на узкие высокоамплитудные солитоны и определение условий применения континуального приближения. В работах М. Коллинза и Ф. Розенау развито более мощное квазиконтинуальное приближение.

В нелинейной динамике ангармонической цепочки искомой функцией являются смещения атомов ип из положения равновесия в уравнении

т(с12ип/си2) = Тп -Тп+|

(1.1)

где m — масса; Т„ и Тп+1 - силы, действующие на п-ый атом со стороны соседних атомов. Смещения ^ выражены в единицах равновесной длины атом-атомной связи. Она принята за единицу длины. Деформация п-й связи равна

где производная берется по координате z=n. Разложение (1.2) как аргумент функции Тп = ТСИ^) в (1.1)., аппроксимируемой полиномом, при учете ангармонической поправки до 4 -ой степени к потенциалу межатомного взаимодействия дает модель ФПУ.

Квазиконтинуальные подходы М. Коллинза и Ф. Розенау связаны с переходом от уравнения (1.1) к уравнению для величины Я^и,, -и„.1.

(1.3)

Уравнения (1.3) решают для любых ангармонических потенциалов, включая реалистические потенциалы и потенциал Тоды, а не только для их аппроксимаций в виде полиномов. Непрерывное приближение к (1.3) есть

т(с12К;/<1^) = -(Т<2)+ Т<4)/12 + Тс6)/360+....) (1.4)

Уравнение (1.4) наиболее полно учитывает дискретность и позволяет получить аналитические уравнения движения ангармонической дискретной цепочки в различных высших порядках континуального приблиближения. Это приближение позволяет анализировать узкие уединенные волны с большой амплитудой, которые характерны для сверхзвуковых ударных процессов в физике конденсированного состояния.

§1.2. Барьер при смещении уединенной волны в дискретной среде.

В этом параграфе излагается литературный обзор по теории уединенных волн в кристаллах, в которых воздействие кристаллического поля на отдельную цепочку атомов моделируется средним синусоидальным полем (модель ФК).

Гамильтониан дискретной цепочки в модели ФК с учетом энгармонизма атом-атомного взаимодействия имеет вид

#1=2 [(т/2)(с1иа/Ж)2 + (*/2)( ып+,-ип)2+(у/3)( мп+г«п)3+Ло(1-соб(27СМ1/Ь)) ], (1.5)

Первые три слагаемых выражения (1.5) есть кинетическая и потенциальная энергии частиц цепочки, т- масса частицы, и„- ее координата, ? - время, - жесткость связи между соседними частицами. - амплитуда периодического потенциала, в поле которого находится цепочка, Ь — период потенциала, у - постоянная ангармонизма. Суммирование ведется по всей бесконечной цепочке. Введем обозначения: а = Лт^А^/кЬ2 - безразмерная амплитуда кристаллического потенциала, Фа=2лив/Ь -фаза смещения п-го атома цепочки относительно п-го минимума кристаллического потенциала,

-безразмерное время, - перенормированный гамильтониан

цепочки, безразмерная постоянная ангармонизма.

Вычисление энергии пиннинга требует расчета энергии дискретного солитона при различных фазах смещения. Теоретический метод расчета энергии дискретного солитона был разработан П. Баком и В. Л. Покровским. Энергия солитона ищется при ЛЮ в виде ряда Фурье для удвоенной суммы упругих энергий всех атомов цепочки модели ФК.

ад=2Ф(,)2п=8а"'2+Ц16я21/5Ь(я21 / а,/2))со5(27гЬ:) =8а1/2+32тс2ехр(-л2/а1/2)со5(2тсг>|

где - дискретные значения профиля солитона уравнения под

знаком суммы квадрат первой производной функции этого профиля. Величина

первого слагаемого есть энергия солитона уравнения СГ. Амплитуда следующего (1=1) слагаемого равна половине от Ер = 64 я2 ехр(-7С2/а1/2)-энергии пиннинга. Формула (1.6) практически точно совпадает с результатами численного расчета (кривая 4 на рис. 3.2). Остальными слагаемыми ряда Фурье в (1.6) можно пренебречь, так как они экспоненциально убывают с ростом 1.

Этот подход был развит далее, в частности, в работах О.М. Брауна и Ю.С. Кившаря. Эти и другие исследования показали, что учет в рамках теории возмущений дисперсионной составляющей, связанной с дискретностью и энгармонизмом взаимодействия, дает не вполне корректную оценку энергии пиннинга. Следовательно, необходимо полнее учесть ангармонизм атом-атомных взаимодействий в модели ФК, например, для практически важной задачи описания солитонов в ферромагнетике Гейзенберга. Ангармонизм взаимодействия в цепочке спинов ферромагнетика Гейзенберга существенно больше, чем тот, который может быть учтен с помощью известных поправок.

Экспериментальными методами было показано, что в ферромагнетике Гейзенберга солитоны исчезают при увеличении внешнего магнитного поля сверх критической величины. Этот результат не следовал из применявшегося для описания магнетика континуального уравнения СГ.

Следовательно, нужен подход, не основанный на малых ангармонических поправках к известным решениям континуальной модели.

Глава 2. Моделирование эффектов дискретности и энгармонизма в одномерных системах. Постановка задачи.

§2.1 Модель ФК с ангармоническим взаимодействием частиц цепочки.

Рассмотрим статическую задачу, в которой гамильтониан (1.5) имеет вид

00

я=! [(Фп+г Фп?/2 • ДФп+г ф„)3/3+2а 5т2(Ф„/2)]. (2.1)

П=-а>

Из (2.1) следуют дискретные уравнения для профиля солитона

((Фп+1 -Фп) - (Фп -Ф„-1» (1-ДФп+1-Фп-1)) = а эшФ

п •

(2.2)

Переходя в континуальный предел с точностью до слагаемых разложения фазы Ф(г) по непрерывной лагранжевой координате 2=п, содержащих третий порядок производных, получим для волнового профиля уравнение [7]

Если энгармонизм отсутствует, (Л=0), то (2.3) переходит в уравнение СГ. С учетом высших порядков континуального приближения дискретные уравнения (2.2) сводятся в континуальном пределе к следующему уравнению:

§2.2 Высшие порядки континуального приближения при описании нелинейных возбуждений большой амплитуды.

В этом параграфе аналитически исследованы решения уравнения движения в виде уединенных волн постоянного профиля в одномерной решетке модели ФПУ с произвольными ангармоническими потенциалами межатомного взаимодействия, в том числе типа Морзе, Леннард—Джонса, Тоды и др. Проведено сравнение различных приближенных решений с точным решением для решетки Тоды. Справедливость найденного приближения для других межатомных потенциалов проверена с помощью расчета динамики на ЭВМ. Показана невозможность существования солитона растяжения в ангармонической цепочке с реалистическим потенциалом взаимодействия. В различных приближениях найдены зависимости амплитуды и ширины солитона от его скорости, а при действии внешней нагрузки найдена зависимость

Ф® (1—2ГФ(1)) = а бшФ.

(2.3)

(Ф(2) + Ф(4)/12 + Ф(6)/360+...)(1-2ГФ(1) +...) = а вшФ.

(2.4)

ширины солитона от равномерной статической деформации цепи. Найдено решение уравнения динамики (1.4) для случая бегущих волн. В цепочке с кубическим ангармонизмом

(2.5)

где у - безразмерная постоянная энгармонизма. Решая уравнение (1.4) с учетом (2.5) можно получить следующее выражение для амплитуды солитона

(2.6)

где V >1- квадрат отношения скорости волны к скорости звука в цепочке. Ширина Ь солитона на его полувысоте, соответственно, равна

(2.7)

Эти результаты были проверены для случая цепочки Тоды, которая решается аналитически. Амплитуда и ширина солитона цепочки Тоды вычислены в найденном приближении в зависимости от скорости волны. Их значения совпали с точными значениями, найденными Тодой для его точно интегрируемой модели.

Таким образом, амплитуда и ширина волнового профиля уединенной волны оказались теми параметрами, которые могут быть достоверно получены с помощью высших порядков континуальных приближений в простейшей модели одномерного ангармонического кристалла.

и (г) = г2/2 -у г3/3

г2 = [ 1 - 4у/9 - (70у2 - 45у)!/2 /9] /у,

Ь = я{[8/5+1/(у-1)]/12}1Л

(опте** / а#га/г//о#и7ескЛТ ммомег ^ели Р/С

нелинейных волн намагниченности в одномерном ферромагнетике. Эти явления сводятся к модели ФК для ангармонической цепочки.

§3.1. Пиннинг солитонов в ангармонической цепочке модели Френкеля-Конторовой.

Проинтегрировав уравнение (2.3) по <1Ф, получим

(3.1)

Где С -константа интегрирования, для уединенных волн С =0. Кубическое относительно переменной Ф^ уравнение имеет три ветви решений:

4ГФ(и =1+2соБ((27у'+агссо8(1 - 48аГг(1-созФ)))/3) ), ] = +1,0, -1. (3.2)

Найденные решения позволяют рассчитать амплитуды деформаций связей Ф^тах(при Ф =я) для солитонов сжатия (/=1 ) и растяжения (У=-1 ).

(3.3)

Из сравнения теоретической зависимости (3.3) с точным численным расчетом дискретной задачи (2.2) следует, что континуальное уравнение (2.3) для случая

справедливо с точностью до 5% при а при меньших величинах

энгармонизма Г= 0.2 формула (3.3) полностью согласуется с результатами численного расчета (см. рис. 3.1).

Ф(,)2/2 -2ГФ(,)3/3 =С+2 а зт2(Ф/2);

4ГФ( 1' „м*=1 +2со5((2ту'+агссо8( 1 -96аГ2))/3 ).

Рис. 3.1. Амплитуды (3.3) максимальных деформаций атом-атомных связей для солитонов ангармонической цепочки с постоянной энгармонизма: а) Л=1/5, б) Г= 1/я. 1- для солитонов растяжения, 2- для солитонов модели Френкеля- Коиторовой с Г=0. 3- для солитонов сжатия. Точки -расчет итерационной процедурой уравнения (2.2). Точность расчета 1Е-16.

В области максимума солитона из уравнения (2.3) следует эффективное уравнение СГ вида

Ф(2> = а'ьтФ ,где я'= а!{\-2ГФт) « а/(1-2ГФт(3.4)

Тогда энергия пиннинга солитонов (1.6) в нашем случае, учитывая (3.4), есть

Ер =64к2 ехр(-я2((1 -2ГФ(1> ^/а)"2). (3.5)

Результат расчета по формуле (3.5) сравнивается с точными значениями энергии пиннинга для различных величин поля а (см. рис. 3.2).

I 1

ч

О.П _ о.о» т % 1Е-31 1Е-4 1 1Е-51 1Е-8 ] 16-7] 1Е-»1 1Е-91 1Е-101 1Е-1Л 1Е-12] 1Е-131 1Е-14 1Е-151 1Е-16 1Е-17 +

Рис.3.2. Зависимость энергии пиннинга от величины внешнего поля: 1- теоретическая кривая (3.5) для солитона растяжения в цепочке с постоянной энгармонизма Г=\1п. 2- • результаты итерационной процедуры решения дискретного уравнения (2.2) при Гж 1/я, отмечены светлыми треугольниками. Квадратами отмечены результаты итерационной процедуры решения уравнения (3.9) для солитонов в магнитном поле. 3- при Г =0.2 результаты итерационной процедуры решения дискретного уравнения (2.2) отмечены светлыми треугольниками, сплошной линией показана зависимость (3.5). 4- сплошной линией показана зависимость (3.5) при -ТН), квадратами на ней отмечены результаты численного расчета по уравнению (2.2) при ГИ). 5-теоретическая кривая (3.5) для солитона сжатия в цепочке с

постоянной энгармонизма Л=0.2 и результаты итерационной процедуры решения уравнения (2.2) при Л=0.2 отмечены на кривой светлыми кругами. 6- теоретическая кривая (3.5) для солитона сжатия в цепочке с постоянной энгармонизма /И/я, результаты итерационной процедуры решения дискретного уравнения (2.2) при Г=11п, отмечены на кривой темными треугольниками. Точность вычислений 1Е-16 превышает масштаб рисунка.

Формула (3.5) описывает экспериментальную зависимость Ер от а даже при больших величинах ангармонизма (/"'=1/7:). Для солитонов растяжения для случая Г=У% область применимости формулы (3.5) (см. рис. 3.2) согласуется с областью применимости формулы (3.3) {а <0.15) (см. рис. 3.1). При меньших величинах ангармонизма формула (3.5) полностью согласуется с

результатами численного расчета (см. для солитонов сжатия кривая 5 и для растяжения кривая 3 на рис. 3.2).

Энергия пиннинга для солитона растяжения в ангармонической цепочке значительно больше, чем, в гармонической, а для солитона сжатия, соответственно, — меньше. Из рис. 3.2 следует, что при Г=\1п разница величин Ер может достигать 6 порядков.

При критическом значении поля я=1/4&Г2 из уравнения сепаратрис (3.2), следуют точно найденные профиль кинка

Ф(г)=6 агаё[ 1/(3'1/2 +ехр(Зш г/12Г)],

(3.6)

и профиль антикинка, который, согласно (3.2), имеет топологический заряд 2:

Ф(2)=б ал%[31/2 Ът 2/240],

(3.7)

Энергия солитона (2.1) в ангармонической цепочке определяется в виде:

п-1

(3.8)

Суммирование в выражении (3.8), аналогичное суммированию (1.6), дает вклад в энергию солитона, который периодическим образом зависит от координаты центра солитона. Амплитуда этой зависимости дает для солитона сжатия (3.6) величину энергии пиннинга одного порядка с численным значением которое найдено из численного эксперимента по уравнению

(2.2). Оценка энергии пиннинга (3.5) дает в этой точке существенно более точное, чем выражение (3.8), совпадение с численным значением (отмеченный стрелкой треугольник на кривой 6 рис.3.2).

Таким образом, в данном параграфе работы найдены новые решения для дислокаций модели ФК с ангармоническим взаимодействием частиц и оценка их энергии пиннинга, которая подтверждается численным расчетом.

§3.2. Пиннинг солитонов в цепочке спинов модели Гейзенберга с плоскостью легкого намагничивания.

Конфигурация цепочки спинов в модели Гейзенберга с плоскостью легкого намагничивания описывается уравнением вида

sin(<Pn+i -tfj-sin^n -0„.i)=ai sin0„+( v2/c2) Ф„(2) , (3.9)

здесь a\-(msgBVJS) величина нормированного внешнего магнитного поля, где /мв-магнетон Бора и л-гиромагнитное отношение, c2=2AJS2/h2. ./-энергия обменного взаимодействия между соседними спинами S. А-энергия анизотропии. Плоскость легкого намагничивания ху перпендикулярна оси z цепочки спинов. Внешнее магнитное поле В", направленное вдоль оси х, разрушает симметрию в плоскости ху. Спин S -классический вектор, направление которого в плоскости "ху"отсчитывается от оси абсцисс и определяется углом Фа, v -фазовая скорость. Будем интерполировать в уравнении (3.9) функцию sin параболой

5Ш(Фп+1 -Ф„)= 1- (Ф^, -Ф„ -71/2)2/(71/2)2,

(ЗЛО)

тогда уравнение (3.9) примет вид, совпадающий с (2.2) при /М/л, а=а1(я/4),

Это позволит нам свести реальный энгармонизм спин-спинового взаимодействия к ангармонической модели ФК. Приближение (3.10) позволяет аналитически проанализировать решения во всем интервале значений разностей фаз

Расчет энергии пиннинга, соответствующий формулам итерационных процедур (3.9) и (2.2), приведен на рис. 3.2 (Квадраты - уравнение (3.9), треугольники - уравнение (2.2)). Можно отметить хорошее совпадение этих моделей при расчете величины энергии пиннинга. Критическим параметром уравнения (3.9) (помимо параметра поля а=1/4&Г2 ), является квадрат скорости бегущей волны.

(3.11)

Скорость солитона ограничена предельной величиной. Это объясняет характер распределения солитонов по скоростям при рассеянии нейтронов в магнетике Ранее модель ФК в приближении гармонических спин-

спиновых взаимодействий давала вдвое более высокий солитонный вклад в рассеяние, чем предполагалось по экспериментальным данным.

Таким образом, предложенный метод оценки энергии пиннинга (3.5) может быть использован для описания поведения ферромагнетика Гейзенберга и последующего расчета его термодинамических свойств с учетом локализации солитонов.

Среди новых решений, обусловленных учетом ангармонизма, найден солитон (3.7) с топологическим зарядом, равным двум. Это неизвестное ранее решение, являющееся 4л -импульсом не для двойного уравнения СГ, а для обычной модели ФК с ангармонической цепочкой.

V2 =(4 с2) (1-(48дГг)"3)/ 7Г,

Глава 4. Сопоставление численных расчетов нелинейной динамики ангармонической цепочки Френкеля-Конторовой с ее аналитическими

решениями.

§4.1 Описание численного моделирования солитонов.

Моделировались два типа статических дискретных солитоноподобных возбуждений, соответственно, «А» и «В». «В» - с центром в середине связи между двумя атомами цепочки. Центр связи находится на вершине кристаллического потенциала в устойчивом положении равновесия связи. «А» -с центром на атоме цепочки, расположенном точно на вершине внешнего потенциала, соответственно, в неустойчивом положении равновесия. Для солитона типа «В» определяли первоначальную длину связи, которая располагалась в центре кинка симметрично относительно вершины внешнего гармонического потенциала. Подбирались такие значения длин центральной связи, при которой получалось решение в виде уединенной волны на длине не менее 150 атомов. Подставляя величину центральной связи в уравнение (2.2), с помощью итерационной процедуры вычисляли все остальные длины связей и положения атомов цепочки. По значениям координат частиц определялась сумма энергий всех атомов и связей цепочки, являющаяся полной энергией волны (2.1).

Солитон «А» моделировался аналогично из точки где центральный атом солитона расположен на вершине потенциала поля. Рразница в энергии неустойчивого и устойчивого солитонов есть их энергия пиннинга. При движении центра солитона относительно внешнего потенциала солитон проходит эти две установленные конфигурации, преодолевая барьер в виде энергии пиннинга. Численно решены уравнения (2.2) и (3.9).

Итак, в данном параграфе был отработан алгоритм численного расчета с двойной точностью длин связей, полных энергий и энергий пиннинга солитонов.

§4.2. Фазовый портрет модели ФК с ангармоническим взаимодействием атомов цепочки.

Решения уравнения (3.1) в виде фазовых траекторий для разных значений константы интегрирования С представлены на рисунке 4.1. Различные типы фазовых траекторий разделены сепаратрисами (кривые 1 и 2 на рис. 4.1).

На известные в модели Френкеля- Конторовой решения 1,3 (рис. 4.1) влияет ангармонизм. При С=0и4ГФ^ « 1 из (3.2) следует

Ф(1) = ±[2а(1-соз(Ф))]1/2 +4аГ(1-соз(Ф))/3 , (4.1)

где знак плюс отвечает растяжению, а минус - сжатию. Учет первого слагаемого дает профиль волны в модели ФК. Второе слагаемое - ангармоническая поправка модели ФК. Оно пропорционально константе Г.

Ангармоническая цепочка является более жесткой при сжатии и более мягкой при растяжении по сравнению с гармонической. Более жесткая цепочка образует более протяженный кинк, потому что добавление атома в более жесткую при сжатии ангармоническую цепочку приводит к более протяженному распространению области сжатия по длине цепочки. Если возникает дефект с исчезновением одного атома, то ангармоническая цепочка, будучи мягче гармонической в растянутом состоянии, на меньшей длине цепи придет в соответствие с синусоидальным полем. Поэтому для данной величины поля а солитон растяжения обладает меньшей шириной, чем солитон сжатия. А чем уже солитон, тем больше влияет на него дискретность, и следовательно, тем больше его энергия пиннинга.

На рисунке 4.1 можно проследить, как при критическом значении поля кривые 1 и 2 сливаются в одну сепаратрису, которая описывает антикинк с топологическим зарядом, равным 2. Это новое решение (3.7) для модели ФК с ангармоническим взаимодействием частиц.

Таким образом, расчеты данной главы подтверждают, найденные решения.

2ГФ(,) 2

I_I_1-

-1 О /I

Ф/2тг

Рис. 4.1. Фазовые траектории при а <1/48Г2 и следующих значениях константы С: 1) С = О, 2) С =9баГ3- 2, 3) (ЭбаГ2- 2) < С < 0 -растяжение, 4) 0 < С < 9баГ2, 5) С <0 - сжатие, 7) (96аГ2- 2) >С >- 2.

Основные результаты диссертации.

1. Предложены простые аналитические выражения для оценки энергии пиннинга солитонов в ангармонических и дискретных системах физики конденсированного состояния, которые проверены в численном эксперименте.

2. Впервые получены решения уравнения движения для волн постоянного профиля в модели Френкеля-Конторовой - (ФК) с учетом ангармонизма взаимодействия в цепочке, которые существенно отличаются от известных решений, учитывающих лишь малые ангармонические поправки. Исследованы фазовые портреты найденных решений.

3. Отработана методика численного экспериментального определения энергии пиннинга солитонов с учетом ангармонического взаимодействия в цепочке атомов и в системе спинов ферромагнетика Гейзенберга.

4. Дана аналитическая оценка энергии пиннинга солитонов в ферромагнетике Гейзенберга. Аналитические расчеты подтверждены в численном эксперименте. Показано, что учет ангармонизма взаимодействия спинов способен существенно изменить свойства моделиг

5. Найден аналитический вид возможного профиля 4я- кинка в континуальном пределе.

6. Разработан метод аналитического учета дискретности и ангармонизма цепочки для модели ФПУ и модели ФК при оценке ширины, амплитуды и энергии пиннинга солитонов. Результаты подтверждаются компьютерными расчетами и литературными данными о рассеянии нейтронов в ферромагнетике Гейзенберга СзМР3-

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Беклемишев С.А., Григорьев Е.И., Михейкин И.Д., Трахтенберг Л.И. Влияние соизмеримости структур на их адгезионное взаимодействие // Поверхность. Физика.Химия.Механика. 1989. № 2. С. 19-24.

2. Беклемишев С.А., Клочихин В.Л. Солитонный механизм радиационно-акустического разрушения твердых тел // Седьмая всесоюзная конференция по радиационной физике и химии неорганических материалов. Рига, 1989. С.107-108.

3. Беклемишев С.А., Клочихин В.Л. Солитоны и дилатоны в цепочке Морзе // Физика твердого тела. 1990. Т. 32. № 9. С. 2728-2734.

4. Беклемишев С.А., Григорьев Е.И., Трахтенберг Л.И. Роль соизмеримости упругих взаимодействующих поверхностей при адгезии и деформации решетки//Поверхность. Физика.Химия.Механика. 1991. №6. С. 10-14.

5. Беклемишев С.А., Клочихин В.Л. Высшие порядки континуального приближения при описании сверхзвуковых акустических солитонов большой амплитуды // Физика твердого тела. 1992. Т. 34. № 11. С. 3357-3365.

6. Беклемишев С.А., Воронцов П.С., Григорьев Е.И., Трахтенберг Л.И. Связь упругих свойств контактирующих твердых тел с их адгезионной • прочностью // Композиционные полимерные материалы. 1992. Т. 51. С. 15-20.

7. Беклемишев С.А., Клочихин В.Л. Солитоны в ангармонической цепочке модели Френкеля-Конторовой // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1994. Т. 60. № 2. С. 99-103.

8. Беклемишев С.А., Клочихин В.Л. Динамика ангармонической цепочки в модели Френкеля-Конторовой // Физика твердого тела. 1995. Т. 37. № 1. С. 150159.

9. Беклемишев С.А., Клочихин В.Л., Первое B.C., Абронин И.А., Михейкин И.Д. Влияние несоразмерности взаимодействующих подрешеток на фрагментацию гармонической конечной цепочки в модели Френкеля-Конторовой //XVIII всероссийский симпозиум по химической кинетике, Москва, 2000. С.60-61.

10. Беклемишев С.А., Клочихин В.Л. Пиннинг солитонов в ангармонической цепочке модели Френкеля-Конторовой // Сборник "Структура и динамика молекулярных систем", Казань, 2003 г. вып. X. часть 3. С. 1.283 — 1.286.

Подписано в печать 3.02.2004 г. Формат 60x90, 1/16. Объем 1,5 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 26

Отпечатано в ООО "Фирма Блок" 107140, г. Москва, ул. Русаковская, д.1. т. 264-30-73 www.blok01centre.narod.ru Изготовление брошюр, авторефератов, переплет диссертаций.

ü-збЮ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ. ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Литературный обзор. Уединенные волны в одномерных, дискретных моделях физики конденсированного состояния.

§1.1 Непрерывные модели солитонов в дискретных одномерных системах.

§1.2 Барьер при смещении уединенной волны в дискретной среде.

Глава 2. Моделирование эффектов дискретности и энгармонизма в одномерных системах. Постановка задачи.

§2.1 Модель ФК с ангармоническим взаимодействием частиц цепочки.

§2.2 Высшие порядки континуального приближения при описании нелинейных возбуждений большой амплитуды.

Глава 3. Солитоны в ангармонической цепочке модели Френкеля-Конторовой.

§3.1. Пиннинг солитонов в ангармонической цепочке модели Френкеля-Конторовой.

§3.2. Пиннинг солитонов в цепочке спинов модели Гейзенберга с плоскостью легкого ^ намагничивания.

Глава 4. Сопоставление численных расчетов нелинейной динамики ангармонической цепочки Френкеля-Конторовой с ее аналитическими решениями.

§4.1 Описание численного моделирования солитонов.

§4.2. Фазовый портрет модели Френкеля-Конторовой с ангармоническим взаимодействием атомов цепочки.

ВЫВОДЫ.

Глава 1. Литературный обзор. Уединенные волны в одномерных, дискретных моделях физики конденсированного состояния.8

§1.1 Непрерывные модели солитонов в дискретных одномерных системах.8

§1.2 Барьер при смещении уединенной волны в дискретной среде.14

Глава 2. Моделирование эффектов дискретности и ангармонизма в одномерных системах. Постановка задачи.31

§2.1 Модель ФК с ангармоническим взаимодействием частиц цепочки.31

§2.2 Высшие порядки континуального приближения при описании нелинейных возбуждений большой амплитуды.32

Глава 3. Солитоны в ангармонической цепочке модели Френкеля-Конторовой.44

§3.1. Пиннинг солитонов в ангармонической цепочке модели Френкеля-Конторовой.44

§3.2. Пиннинг солитонов в цепочке спинов модели Гейзенберга с плоскостью легкого намагничивания.49

Глава 4. Сопоставление численных расчетов нелинейной динамики ангармонической цепочки Френкеля-Конторовой с ее аналитическими решениями.54

§4.1 Описание численного моделирования солитонов.54

§4.2. Фазовый портрет модели Френкеля-Конторовой с ангармоническим взаимодействием атомов цепочки.62

ВЫВОДЫ.79

ЛИТЕРАТУРА.80

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ m — масса атома,

Тп и Т|1+| - силы, действующие на n-ый атом со стороны соседних атомов, п - номер атома в цепи, z=n - координата атома по длине цепочки, un - смещение атома, выраженное в единицах равновесной длины атом-атомной связи, Н - Гамильтониан, t - время, к - жесткость связи между соседними частицами.

2А о - амплитуда периодического потенциала, в поле которого находится цепочка, b - период потенциала, у - постоянная энгармонизма, 2 2 а = 4л Aq/kb - безразмерная амплитуда кристаллического потенциала, Фп- 2пи п /Ь -фаза смещения n-го атома цепочки относительно n-го минимума потенциала, Фп - угол между направлением проекции вектора спина в плоскости "ху"и осью абсцисс, т=t(k/m)U2 -безразмерное время.

Н=Н\а/А о - перенормированный гамильтониан цепочки,

Г=уЬ/(2пк) - безразмерная постоянная энгармонизма, g=\/a - безразмерная жесткость упругих атом-атомных связей в цепочке,

E(z) - энергия уединенной волны ,

Ер - энергия пиннинга уединенной волны - барьер при смещении солитона, Р - импульс центра масс солитона, М - масса солитона,

Qn=qn+<t>n(z) - каноническая координата уединенной волны, рп - импульс отдельного атома цепочки модели ФК,

V(qn+ Фп) - потенциальная энергия отдельного атома цепочки модели ФК,

L - ширина солитона на половине высоты, для солитона уравнения Синус-Гордона - 1/а|/2, wo - частота колебаний малой амплитуды солитона в потенциальной яме Пайерлса-Набарро,

В|/2л) - амплитуду потенциала Пайерлса-Набарро, равна Ер/2,

U0- постоянный член в выражении для энергии уединенной волны £(z), req - деформация, обусловленная постоянной внешней нагрузкой; (1 + rcq) = h|/h0i hi- равновесная длина атом-атомной связи, ho - постоянная решетки без влияния нагрузки, р = (-dU/dr)/(kho) - безразмерная сила, действующая на атом в модели Ферми, Пасты, Улома. v = (v / [С0 (1 + icq)])2, где С0= h0 (k/m)l/2 - скорость звука, v - скорость волны,

F - внешняя нагрузка на концы цепочки модели Ферми, Пасты, Улома (ФПУ). 0 — -безразмерная постоянная потенциала Тоды взаимодействия атомов в цепочке Тоды, ц в -магнетон Бора, g-гиромагнитное отношение,

J-энергия обменного взаимодействия между соседними спинами S, Вх - внешнее магнитное поле, направленное вдоль оси х, S - вектор спина, А - энергия анизотропии спинов, h - постоянная Планка.

3i=(nBgB7 JS) - величина нормированного внешнего магнитного поля,

I /9 9 e=8ai JS - энергия покоя магнитного солитона, Z - статсумма солитона, Т-температура. В= l-v2/c2, со - скорость длинноволновых «спиновых» возбуждений - магнонов.

Введение.

Уединенные волны - солитоны являются ключевым понятием при описании большого числа явлений физики конденсированного состояния, структурных фазовых переходов, молекулярной подвижности в наноструктурах, взаимодействия несоизмеримых фаз, кинетики дислокаций. Солитоны переносят массу, заряд, магнитный момент или энергию какого-либо иного возбуждения среды, теоретически, без дисперсии, присущей обычным волновым импульсам [1,2].

Для описания этих явлений широко используется модель Френкеля-Конторовой (ФК), представляющая собой одномерную бесконечную цепочку атомов, связанных гармоническим взаимодействием и помещенных в периодический рельеф кристаллического поля. Модель имеет множество приложений, среди которых солитоны в Джозефсоновских контактах [3], перенос ионов в биологических системах [4], солитоны в магнетиках [5-7] и многие другие приложения, из которых модель дислокации в дискретном кристалле остается наиболее изучаемой [8,9].

Солитоны стабильны при взаимодействии друг с другом и с малоамплитудными волнами, несут важную информацию о структуре и динамике нелинейной среды, определяют процессы энергообмена, кинетические, термодинамические, механические и другие свойства твердого тела. В условиях сильного внешнего воздействия на систему без предсказания и анализа солитонных состояний невозможна успешная интерпретация экспериментальных данных. Они играют решающую роль в формировании пластических и прочностных свойств кристаллов, магнитных, структурных, неоднородных сверхпроводящих состояний, состояний жидких кристаллов, источников катастроф и фазовых переходов в физике конденсированного состояния.

В континуальном пределе динамика возбуждений в этой модели, описывается уравнением Синус-Гордона (СГ) [1,2]. Исследования последних лет связаны, в основном, с анализом поправок к этому уравнению, вызванных реальной дискретностью системы [9]. Проявлением ее является, в частности, пиннинг солитонов (барьер при смещении), определяемый разностью энергий конфигураций с атомом и связью в центре симметрии солитона. Наряду с учетом дискретности, рассматривается также важнейшая роль, которую играет реальный энгармонизм межатомного взаимодействия. Показано, что он обычно определяет отклонения от классических решений ФК, что существенно влияет на структурные, кинетические и термодинамические свойства перечисленных выше систем [1]. Существующие теоретические подходы основаны на континуальных приближениях, которые позволяют учесть дискретность и энгармонизм как малые поправки к решениям модели ФК. Поэтому с помощью данных подходов невозможно корректно оценить энергию пиннинга солитонов в цепочке дискретных частиц кристалла, связанны: ангармоническим взаимодействием [9]. ф Следовательно, нужен новый подход, основанный не на малых ангармонических поправках к известным решениям. В данной диссертационной работе поставлена актуальная задача, состоящая в создании такого подхода при описании нелинейных возбуждений физики конденсированного состояния в рамках одномерных дискретных моделей среды с учетом энгармонизма межатомного взаимодействия.

Целью данной работы является разработка метода матемэтического описания дискретности и энгармонизма нелинейных явлений в конденсированной фазе с помощью высших порядков континуальных приближений для расчетэ основных параметров уединенной * волны: амплитуды, ширины и энергии пиннинга солитона.

Основные задачи исследования:

1. Получить аналитические вырзжения для оценки энергии пиннинга солитонов в ангармонических и дискретных моделях нелинейных возбуждений в физике конденсированного состояния. Проверить их в численном эксперименте.

2. Получить решения уравнения движения для волн постоянного профиля в модели ФК с учетом энгармонизма взаимодействия в цепочке, которые существенно отличаются от известных решений, учитывающих лишь малые ангармонические поправки. Исследовать фазовые портреты найденных решений.

3. Отрэботэть методику численного экспериментального определения энергии 4 пиннинга солитонов с учетом ангэрмонического взаимодействия в цепочке атомов и в системе спинов ферромагнетика Гейзенберга.

4. Дать эналитическую оценку энергии пиннинга солитонов в ферромагнетике Гейзенберга. Аналитические расчеты проверить в численном эксперименте. Исследовать роль энгармонизма взаимодействия спинов.

5. Разработать методику аналитического учета дискретности с помощью высших порядков континуальных приближений. Применить ее к одномерной дискретной цепочке модели Ферми, Пасты, Улама (ФПУ) для определения ширины и эмплитуды уединенных волн, а также для оценки энергии пиннинга солитонов как растяжения, гак и сжатия в цепочке fti дискретных частиц, связанных ангармоническим взаимодействием, в модели ФК.

Научная новизна и достоверность результатов работы.

Впервые получено простое аналитическое выражение для энергии пиннинга солитонов в ангармонических дискретных системах. Аналитические расчеты проверены с помощью численных экспериментов, которые демонстрируют хорошее совпадение с теорией. Впервые количественно определено, как, в отличие от классической теории ФК, энгармонизм приводит к радикальному отличию в поведении солитонов сжатия и растяжения. На основе полученных аналитических выражений можно проводить расчеты спектра элементарных нелинейных возбуждений и их вклада в термодинамические свойства нелинейных систем. В рамках этого подхода рассмотрена спиновая динамика ферромагнетика Гейзенберга, для которого взаимодействие спинов существенно отличается от гармонического в цепочке ФК. Получены новые типы решений в виде уединенных волн и построены их фазовые портреты.

Достоверность полученных результатов подтверждается также литературными экспериментальными данными о нейтронном рассеянии и теплоемкости ферромагнетика Гейзенберга CsNiF3.

Защищаемые научные положения.

1. Аналитические выражения для оценки энергии пиннинга солитонов в ангармонических и дискретных системах физики конденсированного состояния, которые проверены в численном эксперименте.

2. Решения уравнения движения для волн постоянного профиля в модели ФК с учетом энгармонизма взаимодействия в цепочке, которые существенно отличаются от известных решений, учитывающих лишь малые ангармонические поправки.

3. Фазовый портрет найденных решений модели ФК с ангармонической цепочкой, который претерпевает качественное изменение при найденном в работе критическом значении параметра поля и новые типы решений модели.

4. Результаты численного эксперимента по определению величины энергии пиннинга солитонов цепочки дискретных частиц кристалла, связанных ангармоническим взаимодействием и цепочки спинов ферромагнетика.

5. Аналитическая оценка энергии пиннинга солитонов в ферромагнетике Гейзенберга. Результаты численного эксперимента. Учет энгармонизма взаимодействия спинов способен существенно изменить свойства модели.

6. Метод аналитического учета дискретности с помощью высших порядков континуальных приближений в приложении к одномерной дискретной цепочке модели Ферми, Пасты, Улама (ФПУ) и ангармонической цепочке модели ФК.

Практическая значимость работы. Учет дискретности и энгармонизма в рассмотренных моделях позволяют более адекватно описывать явления переноса локальных возбуждений в конденсированных средах в связи с процессами пластической деформации, магнитодинэмики, адсобции и катализа и др. Данный подход позволяет повысить точность описания нелинейных явлений в твердом теле, таких, как движение дислокаций, спиновые волны в магнетиках, перенос возбуждений в биологических макромолекулах, структурные переходы, топохимических реакции и др. На основе полученных результатов можно более точно проводить расчеты спектра элементарных нелинейных возбуждений и термодинамических свойств нелинейных систем.

Полученные результаты, новизна положений, развиваемых в диссертации, и ее научная и практическая значимость позволяют утверждать, что в работе решена практически важная задача описания динамики нелинейных возбуждений в конденсированных средах с учетом их дискретности и энгармонизма, имеющая существенное значение для корректного описания многих нелинейных явлений физики конденсированного состояния.

Структура работы

В 1- ой главе работы - литературном обзоре имеются 2 параграфа. В 1-ом параграфе даны уравнения, которые описывают в континуальном виде свойства дискретности и энгармонизма атом-атомных связей одномерной цепочки атомов. Второй параграф дает представление о высоте возникающего из-за дискретности потенциального барьера при смещении уединенной волны в модели ФК и показывает, что необходим учет энгэрмонизма связей не в виде малых поправок к модели ФК, а с помощью решения следующих уравнений. Во второй главе в первом параграфе сформулированы эти дискретные и непрерывные уравнения, которые передают дискретные и ангармонические свойства реальных систем физики конденсированного состояния. Во втором параграфе рассмотрены высшие порядки континуальных приближений при описании солитонов в дискретной цепочке модели ФПУ, с произвольным атом-этомным взаимодействиям. Два параграфа третьей главы посвящены, соответственно дислокациям ФК и динэмике спиновых волн нэмагниченности. Результаты 3-ей главы сопоставлены с численным экспериментом в 4-ой главе, во втором параграфе которой построен фазовый портрет модели, обсуждается влияние различных порядков континуальных приближений дискретности и энгармонизма на решения модели ФК.

Выводы

В работе описано влияние дискретности и энгармонизма на нелинейные явления в конденсированной фазе с помощью моделирования высших порядков континуальных приближений, сохраняющих физический смысл учета дисперсии в поведении солитонов дискретной ангармонической системы, для получения таких практически необходимых и важных параметров уединенных волн, как амплитуда, ширина и энергия пиннинга.

В результате решения данной задачи

1. Предложены простые аналитические выражения для оценки энергии пиннинга солитонов в ангармонических и дискретных системах физики конденсированного состояния, которые проверены в численном эксперименте.

2. Впервые получены решения уравнения движения для волн постоянного профиля в модели Френкеля-Конторовой (ФК) с учетом энгармонизма взаимодействия в цепочке, которые существенно отличаются от известных решений, учитывающих лишь малые ангармонические поправки. Исследованы фазовые портреты найденных решений.

3. Отработана методика численного экспериментального определения энергии пиннинга солитонов с учетом ангармонического взаимодействия в цепочке атомов и в системе спинов ферромагнетика Гейзенберга.

4. Дана аналитическая оценка энергии пиннинга солитонов в ферромагнетике Гейзенберга. Аналитические расчеты подтверждены в численном эксперименте. И показано, что учет энгармонизма взаимодействия спинов способен существенно изменить свойства модели.

5. Найден аналитический вид возможного профиля 4л- кинка в континуальном пределе.

6. Разработана методика аналитического учета дискретности с помощью высших порядков континуальных приближений. Она применена к одномерной дискретной цепочке модели Ферми, Пэсты, Улэма для определения ширины и амплитуды сверхзвуковых солитонов, э также для оценки энергии пиннинга солитонов как растяжения, так и сжатия в цепочке дискретных частиц, связанных ангармоническим взаимодействием, в модели ФК.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается данными о цепочке спинов ферромагнетика Гейзенберга CsNiF3, которые известны из литературы, и их сопоставлением с результатами численного моделирования итерационной процедуры решения дискретной модели на вычислительной машине.

Учет дискретности и энгармонизма в рассмотренных моделях позволяют более адекватно описывать явления переноса локальных возбуждений в конденсированных средах в связи с процессами пластической деформации, магнитодинамики, адсорбции и катализа и др. Данный подход позволяет повысить точность описания нелинейных явлений в твердом теле, таких, как движение дислокаций, спиновые волны в магнетиках, перенос возбуждений в биологических макромолекулах, структурные переходы, топохимических реакции и др. На основе полученных результатов можно более точно проводить расчеты спектра элементарных нелинейных возбуждений и термодинамических свойств нелинейных систем.

Полученные результаты, новизна положений, развиваемых в диссертации, и ее научная и практическая значимость позволяют утверждать, что в работе решена практически важная задача описания динамики нелинейных возбуждений в конденсированных средах с учетом их дискретности и энгармонизма, имеющая существенное значение для корректного описэния многих нелинейных явлений физики конденсированного состояния.

1. Вгаип О.М., Kivshar Yu.S. Nonlinear dynamics of the Frenkel-Kontorova model.// Physics Reports. 1998. V. 306, № 1-2, P. 1-108.

2. Ustinov А.V., Doderer Т., Vernik I.V., Pedersen N.F., Huebener R.P., Oboznov V.A. Experiments with solitons in annular Josephson junctions. // Physica D.1993. V.68, № 1, P. 41-44.

3. Dawson Silvina Ponce, Keizer Joel, and Pearson John E. Fire-diffuse-fire model of dynamics of intracellular calcium waves.// Biochemistry. 1999. V. 96, № 11, P. 6060-6063.

4. Mikeska H. J. Solitons in one-dimensional magnets. // J. Appl. Physics. 1981. V. 52, № 3, P. 1950-1955.

5. Изюмов Ю.А. Солитоны в квазиодномерных магнетиках и их исследование с помощью рассеяния нейтронов. // Успехи физических наук, 1988 Т. 155, С.553-592.

6. Gerling R. W., Landau D.P. Spin-dynamics study of the classical ferromagnetic XY chain.// Physical Review B. 1990. V. 41, № 10, P. 7139-7149.

7. Balabaev N.K., Gendelman O.V., Manevitch L.I. Supersonic motion of vacancies in polyethylene crystal.// Physical Review E. 2001 V. 64, P. 036702.

8. Kevrekidis P. G., Kevrekidis I. G., Bishop A. R., Titi E. S. Continuum approach to discreteness.// Physical Review E. 2002 V. 65, P. 046613.

9. Давыдов А. С. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Наукова думка, 1984. 288 с.

10. Солитоны / Под ред. Р. Буллаф, Ф. Кодри. М.: Мир, 1983. 408 с.

11. Fermi Е., Pasta J., Ulam S. // Collected Papers of Enrico Fermi (Chicago: Universityof Chicago Press). 1965. Paper 226. P. 978-988.

12. Бетгер X. Принципы динамической теории решетки. Москва. Мир. 1986 г. 392 С.

13. Мелькер А. И., Иванов А. В. О двух типах дилатонов. //ФТТ. 1986. Т. 28. № 11. С. 33963402.

14. Мелькер А. И. Разрывные флуктуации и уединенные волны. // ФТТ. 1988. Т. 30. №11. С. 3407-3412.

15. Сабиров P. X. О разрыве нагруженной одномерной атомной цепочки. //ФТТ. 1984. Т. 26. №5. С. 1358-1361.

16. Сабиров P. X. Солитоны в нагруженной атомной цепочке с кубическим и квартетным энгармонизмом.//ФТТ. 1989. Т. 31. №4. С. 167-171.

17. W3dati М. W3ve propagation in nonlinear lattice I-II. //Phys.Soc. Jap. 1975. V. 38. P. 673-686

18. Гиляров В.JI., Пахомов А.Б. Анализ механизмов потери устойчивости в модели одномерного кристалла//ФТТ. 1981. Т. 23. №6. С. 1569-1580.

19. Гиляров B.JI. Ангармоническая модель Френкеля-Конторовой для температурной несоизмеримости в кристаллах. // ФТТ. 1987. Т. 29. №4. С. 1055-1059.

20. Rolf Т. J., Rice S. A., Dancz J. A numerical study of large amplitude motion on a chain of coupled nonlinear oscillators. Hi. Chem. Phys. 1970. V. 70. P. 26-33.

21. Михайлин А. И., Слуцкер И. А. Динамика флуктуаций энергии и плотности в одномерных кристаллах. // ФТТ. 1989. Т. 31. №2. С. 80-86.

22. Koscevich Yuriy A. Nonlinear Sin-waves and their superposition in anharmonic lattices.//Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71, № 13, p. 2058-2061

23. Machnikowski P., Magnuszewski P., Radosz A. Nontopological solitary waves in continuous and discrete one component molecular chains // Phys. Rev. E .2001. V. 63. P. 016601-016611.

24. Flytzanis N„ Pnevmatikos St., Peyrard M. Discrete lattice solitons// J. Phys. A: Math. Gen. 1989. V. 22. P. 783-801.

25. Collins M.A. A quasicontinuum approximation for solitons in an atomic chain. //Chem. Phys. Letters. 1981. V. 77. N 2. P. 342-347.

26. Collins M.A., Rice S.A. Some properties of large amplitude motion in an anharmonic chain with nearest neighbor interactions. Hi. Chem. Phys. 1982. V. 77. N 5. P. 2607-2622.

27. Collins Michael A. Solitons in chemical physics// Adv. in Chem. Phys. 1983. V. 53. P. 225341.

28. Toda Morikazi //Ark. fys. semin. Trondheim. 1974. N 2. 196 p.

29. Toda M., Okada Y., Watanabe S. Nonlinear dual lattice // Phys.Soc. Jap. 1990. V. 59. № 12. P. 4279-4285.31. 28. Тода M. Теория нелинейных решеток Москва. Мир. 262 С.

30. Rosenau Ph. Dynamics of nonlinear mass-spring chains near the continuum limit. // Physics letters A. 1986. V. 118, N 5, P. 222-227.

31. Маневич JI.И., Савин А.В., Смирнов В.В., Волков С.Н. Солитны в невырожденных бистабильных системах. //Успехи Физических Наук. 1994. Т. 164. № 9. С. 937-958.

32. Бишоп А.В. Солитны в действии. Москва. Мир. 1981. 72 С.

33. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. Москва. Мир. 1988. 694 С.

34. Косевич A.M. Теория кристаллической решетки (физическая механика кристаллов). Харьков. Вища школа. 1988. 94 С.

35. Krumhansl J.A., Schriffer J.R. Dynamics and statistical mechanics of a one-dimensional model Hamiltonian for structural phase transitions. // Physical Review B. 1975. V. 11, N 9, P. 3535-3545.

36. Брус А., Каули P. Структурные фазовые переходы. Москва. Мир. 1984. 137 С.

37. Flytzanis N„ Pnevmatikos St., Remoissenet M. Kink, breather and asymmetric envelope or solitons in nonlinear chains: I Monoatomic chain // J. Phys. C: Solid State Phys. 1985. V. 24. P. 4603-4629.

38. Kryachko E.S., Sokhan V.P. Soliton model for collective proton transfer in extended realistic hidrogen-bonded systems// Proc. Roy. Soc. London. 1992. V. 439 A. № 1906. P. 211-226.

39. Pnevmatikos St., Savin A.V., Stilianou I., Velgacis M.J., Zolotoryuk A.V. Proton transport by solitons // Physica. D. 1991. V. 51. P. 316-332.

40. Collins M.A., Blumen A., Currie J.F. and Ross J. Dynamics of domain walls in ferrodistortive materials. I. Theory // Physical Review B. 1979. V. 19, N 7, P. 3630-3655.

41. Ениколопян H.C., Маневич Л.И., Смирнов В.В., Влияние упорядоченности элементарных возбуждений на химические процессы в твердых телах. //Химическая Физика. 1991. Т. 10. № 3. С. 389-398.

42. Громов JT.А., Смирнов В.В., Маневич Л.И., Ениколопян Н.С. О механизме детонации в твердых телах. //Докл. АН СССР. 1989. Т. 309. № 2. С. 350-378.

43. Савин Е.С. Волны в нелинейной решетке с дальнодействующим взаимодействием. //Украинский Физический Журнал. 1986. Т. 31. №8. С. 1145-1149.

44. Маневич Л.И., Смирнов В.В. Распространение экзотермических реакций в твердых телах. //Химическая Физика. 1992. Т. 11. № 9. С. 1269-1285.

45. Астахова Т.10., Виноградов Г.А., Маневич Л.И., Смирнов В.В. Твердофазная полимеризация диацетелена: динамика фронта реакций. // Высокомолек. соединения. Сер. А. 1992. Т. 34. № 10. С. 114-126.

46. Маневич Л.И., Смирнов В.В. Нелинейные волны и элементарные акты твердофазных химических реакций. // Высокомолек. соединения. Сер. А. 1994. Т. 36. № 4. С. 552-568.

47. Manevitch L.I., Smirnov V.V. Propogation of exothermic reactions in condensed matter. // Phys. Lett. 1992. V. A165, P. 459-475.

48. Manevitch L.I., Smirnov V.V. New elementary mechanism of sructural transitions in the bistable non-degenerate systems. Hi. Phys.: Condensed Matter. 1995. V. 6, P. 255-275.

49. Savin A. V., Tsironis G. P., and Zolotaryuk A. V. Reversal effects in stochastic kink dynamics // Phys. Rev. E, 1997. V. 56, № 3, P. 2457-2466.

50. Karpan V. M., Zolotaryuk Y., Christiansen P. L. and Zolotaryuk A. V. Discrete kink dynamics in hydrogen-bonded chains: The one-component model.// Physical Review E, 2002, V.66,P.066603.

51. Zolotaryuk A. V., M. Peyrard M., Spatschek К. H. Collective proton transport with weak proton-proton coupling // Physical Review E, 2000, V. 62, № 4, P. 5706 -5710.

52. Zolotaryuk Y., Eilbeck J.C., Savin A. V. Bound states of lattice solitons and their bifurcations. //Physica. D. 1997. V. 108. № 1-2. P. 81-91.

53. Kitchenside P.W., Caudrey P.J., Bullough R.K. Soliton-like spin waves in HeB. // Physica Scripta. 1979. V. 20. P. 673-680.

54. Condat C. A., Guyer R. A., and Miller M. D. Double sine-Gordon chain. // Phys. Rev. В 1983. V. 27. №1. P. 474-494.

55. Aubry S. A unified approach to the interpretation of displacive and order-disorder systems. I. Thermodinamical aspect. // The journal of Chem. Phys. 1976. V. 62. № 8. P. 3217-3229.

56. Dinda P. Tchofo, Boesch R., Coquet E., Willis C. R. Discreteness effects on the double-quadratic kink // Phys. Rev. В. 1992. V. 46. № 6. P. 3311-3325.

57. Claude Ch., Kivshar Yu.S., Kluth O., Spatschek K.H. Moving localized modes in nonlinear lattices // Phys. Rev. B. 1993. V. 47. № 21. P. 14228-14232.

58. Sievers A. J., Takeno S. Intrinsic Localized Modes in Anharmonic Crystals // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61, №8. P. 970-973.

59. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. Solitons in nearly integrable systems.// Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61. №4. P. 763-915.

60. Theodorou G., Rice T.M. Statics and dynamics of incommensurate lattices.// Phys. Rev. B. 1978. V. 18. №6. P. 2840-2856.

61. Ying S.C. Structure and dynamics of a submonolayer film absorbed on solid surfaces.11 Phys. Rev. B. 1971. V. 3. № 12. P. 4160-4171.

62. Sacco J.E., Sokoloff J.B. Free sliding in lattices with two incommensurate periodicities.// Phys. Rev. B. 1978. V. 18. № 12. P. 6549-6559.

63. Sacco J.E., Sokoloff J.В., Widom A. Dynamical friction in sliding condensed-matter systems.// Phys. Rev. B. 1979. V. 20. № 12. P. 5071-5083.

64. Sokoloff J.В., Sacco J.E., Weisz J.F. Undamped lattice vibrations in system with two incommensurate periodicities // Phys. Rev. Lett. 1978. V. 41. № 22. P. 1561-1564.

65. Frank F.C., Van-der-Merve J.H. One-dimensional dislocations. I. Static theory. // Proc. Roy. Soc. 1949. V. A 198. № 1053. P. 205-216.

66. Sokoloff J.В., Sacco J.E., Weisz J.F. Undamped lattice vibrations in system with two incommensurate periodicities//Phys. Rev. Lett. 1978. V. 41. № 22. P. 1561-1564.

67. Ninomiya T. A theory of dislocation motion in crystal. I. General and application to one-dimensional lattice. // Journal of the Physical Society of Japan. 1972. V. 33. № 4. P. 921-928.

68. Инденбом В.JI. Подвижность дислокаций в модели Френкеля-Конторовой. // Кристаллография. 1958. Т.З. вып. 2. С. 197-205.

69. Lai R.; Sivers A.J. Nonlinear nanoscale localization of magnetic excitations in atomic lattices.// Physics Reports. 1999. V. 314. №3. p. 147-236.

70. Косевич A.M., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев: Наукова думка. 1983. 190 С.

71. Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г., Славин А.Н. Солитоны огибающей и модуляционная неустойчивость дипольно-обменных волн намагниченности в пленках железоиггриевого граната. //ЖЭТФ.1988. Т.94. № 2. С. 159-176.

72. Борисов А.Б., Киселев В.В., Талуц Г.Г. Дислокации в несоизмеримых структурах. В кн. Вопросы теории дефектов в кристаллах. Под ред. Вонсовского С.В., Кривоглаза М.А. Л.: Наука. 1987. С. 58-67

73. Pokrovsky V.L., Talapov A.L. Theory of incommensurate crystals. Hardwood etc.: Acad. Publ. 1984. 161 P.

74. Borisov А.В., Kiseliev V.V. Vortices in incommensurate structures. // Sol. St. Commun. 1986. V. 59. №7. C. 445-448.

75. Витебский И.М. Об индуцировании несоразмерных структур внешним полем.// ЖЭТФ. 1982. Т.82. № 2. С. 357-361.

76. Широбоков М. К теории механизма намагничивания ферромагнетиков. // ЖЭТФ. 1945. Т. 15.№ 1-2. С. 57-76.

77. Gershenzon N.I. Interaction of a group of dislocations within the framework of the continuum Frenkel-Kontorova model.//Physical Review B. 1994. V. 50. № 18. P. 13308-13314.

78. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение. Пер. с англ. М.: Мир. 1990. 344 С.

79. Nguenang J.P., Kenfack A.J., Kofane Т.С. Dipolar effects on soliton dynamics on discrete ferromagnetic chain.// Physical Review E. 2002. V. 66, P.056613.

80. Sodano P., El- Batanouny M., Willis C. R. Eigenfunctions of the small oscillations about the double-sine-Gordon kink.// Physical Review B. 1986. V. 34. № 7. P.4936-4939.

81. Flach S., Kladko K., and Willis C. R. Localized excitations in two-dimensional Hamiltonian lattices. // Physical Review E. 1994. V. 50. № 1. P.2293-2303.

82. Flach S., Willis C. R., Olbrich E. Integrabiliti and localized excitations in nonlinear discrete systems. // Physical Review E. 1994. V. 49. № 1. P.836-850.

83. Willis C. R., El-Batanouny M., Burdick S., Boesch R. Hamiltonian dynamics of the double Sine-Gordon kink.//Physical Review B. 1987. V. 35. № 7. P.3496-3505.

84. Boesch R., Willis C. R. Exact determination of the Peierls-Nabarro frequency. // Physical Review B. 1989. V. 39. № 1. P.361-368.

85. Willis C. R., Boesch R. Effect of lattice discreteness on the statistical mechanics of a dilute gas of kinks. //Physical Review B. 1990. V. 41. № 7. P.4570-4578.

86. Flach S., Willis C. R. Discrete breathers.//Phys. Rep. 1998. V. 295. № 5. P. 181-264.

87. Sasaki K. Soliton-breather approach to classical sine-Gordon thermodynamics.// Phys. Rev. B, 1986, V. 33, №4, 2214-2220.

88. Braun O.M., Ни В., Zeltser A. Driven kink in the Frenkel-Kontorova model // Phys. Rev. E . 2000. V. 62. № 3. P. 4235-4245.

89. Braun O.M., Kivshar Y.S., Peyrard M. Kink's internal modes in the Frenkel-Kontorova model // Phys. Rev. E . 1997. V. 56.,№ 5. P. 6050-6064.

90. Boesch R., Standoff P., Willis C. R. Hameltonian equations for multiple-collective-veriable theories of nonlinear Klein-Gordon equations: A projection-operator approach // Physical Review B. 1988. V. 38. № 10. P.6713-6735.

91. Willis C. R., El- Batanouny M., Boesch R., Sodano P. Nonlinear internal-mode influence on the statistical mechanics of a dilute gas of kinks: The double-sine-Gordon model.// Physical Review B. 1989. V. 40. № 1. P.686-697.

92. Boesch R., Willis C. R., El- Batanouny M. Spontaneous emission of radiation from a discrete sine-Gordon kink. // Physical Review B. 1989. V. 40. № 4. P. 2284-2296.

93. Braun O.M., Kivshar Y.S. Nonlinear dynamics of the Frenkel-Kontorova model with impurities//Phys. Rev. В . 1991. V. 43. № 1. P. 1060-1073.

94. Braun O.M., Bishop A.R., Roder J. Hysteresis in the under dumped driven Frenkel-Kontorova model.// Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79., № 19, P. 3692-3695.

95. Alfimov G.L., Korolev V.G. On multikink states described by the nonlocal Sine-Gordon equation.// Phys. Lett. A 1998. V. 246. № 5. P. 429-435.

96. Савин E.C. Солитоны в деформированной атомной цепочке // ФТТ. 1994. Т.36. № 3. С. 631-637.

97. Kapitula Т. and Kevrekidis P. Stability of waves in discrete systems //Nonlinearity. 2001. V.14. P. 533-566.

98. Balmforth N.J., Craster R.V., Kevrekidis P.G. Being stable and discrete // Physica D. 2000. V.135. P. 212-232.

99. Kapitula Т., Kevrekidis P.G., Jones C.K.R.T. Soliton internal mode bifurcation: Pure power law ? // Physical Review E. 2000. V. 63. P. 036602.

100. Bak P., Pokrovsky V.L. Theory of metal-insulator transition in Peierls systems with nearly half-filled bands.//Physical Review Letters. 1981. V.47. N 13, P. 958-961.

101. Willis C., Boesch R. Effect of lattice discreteness on the statistical mechanics of a dilute gas of kinks.//Physical Review B. 1990. V. 41. № 7. P. 4570-4578.

102. Flach S. and Kladko K. Perturbation analysis of weakly discrete kinks. // Physical Review E. 1996. V. 54. №3. P. 2912-2916.

103. Speight J.M. and Ward R.S. Kink dynamics in a novel discrete Sine-Gordon system.

104. Nonlinearity. 1994. V. 7. P. 475-484.

105. Bak P. Commensurate and incommensurate phases. // Rep. Progr. Phys. 1982. V.45. P. 589- 629.

106. Люксютов И.Ф., А.Г. Наумовец А.Г., Покровский В.Л. // Двумерные кристаллы. 1988. Киев. Изд-во «Наукова Думка». 290 С.

107. Aubry S. The new concept of transitions by breaking of analyticity in a crystallographic model.// In Solitons and condensed matter physics. 1978. V. 8 of Solid State Sciences. Edited by A.R. Bishop and T. Shneider. NY: Springe. P. 264-277.

108. Joos В., Bergersen В., Gooding R.J., Plischke M. Commensurate and incommensurate ground states in a one-dimensional model. // Physical Review B. 1983. V.27. N° 1. P. 467-473.

109. Currie J. F. Trullinger S. E., Bishop A. R. and Krumhansl J. A. Numerical simulationof sine-Gordon soliton dynamics in the presence of perturbations. // Phys. Rev. В 1977. V. 15.12. P. 5567-5580.

110. Ishimori Y. and Munakata T. Kink dynamics in the discrete sine-Gordon System. A perturbational app. oach// Journal of the Physical Society of Japan 1982. V. 51. Jsfe 10. P. 3367-3374.

111. Combs J.A., Yip S. Single-Kink dynamics in one-dimensional atomic chain. A nonlinear atomic theory and numerical simulation. // Physical Review B. 1983. V.28. N 12. P. 68736885.

112. Willis C., El-Batanouny M., and Stancioff P. Sine-Gordon kinks on a discrete lattice. I. Hamiltonian formalism.//Physical Review B. 1986. V. 33. № 3. P. 1904-1911.

113. Willis C., El-Batanouny M., and Stancioff P. Sine-Gordon kinks on a discrete lattice. II. Static properties.//Physical Review B. 1986. V. 33. № 3. P. 1912-1920.

114. Flach S. and Willis C. R. Asymptotic behavior of one-dimensional nonlinear discrete kink-bearing systems in the continuum limit: Problems of nonuniform convergence. // Physical Review E. 1993. V. 47. № 6. P.4447-4456.

115. Braun О. M. Supersonic and multiple topological excitations in the driven Freakel-Kontorova model with exponential interaction.// Physical Review E. 2000. V. 62. № 5. P. 7315-7319.

116. Нейштадт А.И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой. // Прикладная математика и механика, 1984 Т.48. вып. 2. С. 197- 204.

117. Лазуткин В.Ф. Аналитические интегралы полустандартного отображения и расщепление сепаратрис.//Алгебра и Анализ. 1989. Т. 1. В.2. С. 116-131.1 19. Greene J.M., Percival I.С. Hamiltonian maps in the complex plane.// Physica D. 1981. V3. P. 530-548.

118. Percival I.C. Chaotic boundary of a Hamiltonian map.// Physica D. 1982. V6. P. 67-77.

119. Lazutkin V.F., Schachmannski I.G. and Tabanov M.B. Splitting of separatrices for standard and semistandard mappings.// Physica D. 1989. V40. P. 235-248.

120. Peyrard M., Kruskal M. D. Kink dynamics in the highly discrete Sine-Gordon system. // Physica D 1984. V.14,№1,P. 88-101

121. Pnevmatikos St., Flytzanis N., Bishop A.R. Soliton dynamics of an extended fi-4 model with dissipation and an external field. // J. Phys. C: Solid State Phys. 1987. V. 20. №19. P. 2829-2851.

122. Kosevich A.M., Kovalev A.S. The supersonic motion of a crowdion. The one-dimensional model with nonlinear interaction between the nearest neighbors. // Solid State Communications. 1973. V.12. P. 763-765.

123. Milchev A., Fraggis Th., and Pnevmatikos St. Formation of cracks from kinks in a Frenkel-Kontorova model with anhamionic interactions.// Phys. Rev. В 1992. V.45. №1 8. P. 10348-10355.

124. Markov P., Trayanov A. Epitaxial interfaces with realistic inter-atomic forces. // J. Phys. C: Solid State Physics. 1988. V. 21. P. 2475-2493.

125. Milchev P. Solitary waves in a Frenkel-Kontorova model with non-convex interactions. // PhysicaD. 1989. V41. №2. P. 262-274.

126. Munakata T. Kink dynamics and kink-pair nucleation in the discrete Frenkel-Kontorova model. // Phys. Rev. A 1992. V45. № 2. P. 1230-1237.

127. Braun O.M., Kivshar Yu. S., Zelenskaya I.I. Kinks in the discrete Frenkel-Kontorova model with long-rang interact. IIII Phys. Rev. В 1990. V. 41, № 10, P. 7118-7138

128. Braun O.M., Kivshar Yu. S. Kinks in a system of adatomic chains.// J. Phys. Condens. Matter 1990. V. 2, № 27, P. 5961-5970.

129. Beklemishev S.A., Klochikhin V.L. Solitons in an anharmonic chain of the Frenkel'-Kontorova model. // Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1994. V. 64. № 2. P. 99-103.

130. Беклемишев С.А., Клочихин В.Л. Солитоны и дилатоны в цепочке Морзе.//Физика твердого тела 1990, Т.32. № 9, С.2728-2733.

131. Беклемишев С.А., Клочихин В.Л. Высшие порядки континуального приближения при описании сверхзвуковых акустических солитонов большой амплитуды. //Физика твердого тела, 1992, Т.34, №11, с.3357-3365.