Вопросы теории дискретных сигналов в произвольном конечном базисе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

1. ВВЕДЕНИЕ

2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР

3. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ В ПРОИЗВОЛЬНОМ КОНЕЧНОМ БАЗИСЕ

3.1. Конечномерные пространства дискретных сигналов

3.2. Алгебры сигналов

3.3. А - сдвиг, и его свойства.

3.4. Параметризованные матрицы

3.5. Матрицы сдвига и фазовые матрицы

3.6. Конечные разности и А- разностные уравнения.

4. СПЕКТРАЛЬНЫЕ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

4.1. Свойства А - преобразований дискретных сигналов

4.2. Теоремы растяжения и удлинения сигналов

4.3. А - свертка и ее свойства.

4.4. Автокорреляционная и взаимокорреляционная функция

5. ДИСКРЕТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ В ПРОИЗВОЛЬНОМ БАЗИСЕ

5.1. А - стационарные дискретные линейные системы

5.2. Импульсная характеристика и передаточная функция

А- стационарной дискретной линейной системы.

5.3. Связь между параметрами А - стационарной дискретной линейной системы и обычной нестационарной линейной системы

6. КОНЪЮНКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ

6.1. Конъюнктивное преобразование дискретных сигналов

6.2. Критерий монотонности функций алгебры логики

6.3. Применение конъюнктивных преобразований для построения тестов

Широкое внедрение в различные отрасли народного хозяйства вычислительной техники и автоматизированных систем управления, проведение сложных экспериментов во многих областях науки и техники привели к необходимости передачи и анализа большого числа данных различного происхождения. В связи с этим важное значение имеет проблема разработки рациональных методов переработки информации, что в свою очередь требует создания соответствующего математического аппарата.

На необходимость дальнейшего развития кибернетики,теоретической и прикладной математики с целью более широкого внедрения в народное хозяйство страны средств и систем передачи и обработки информации, электронно-вычислительной техники обращалось внимание и в материалах ХХУ1 съезда КПСС.

Проблемы получения, передачи, запоминания и анализа информации являются основными для многих различных отраслей науки и техники, в частности таких, как связь, автоматическое управление и регулирование, радиолокация и радионавигация, обработка изображений, распознавание образов и т.д. Во всех этих областях одним из основных первичных понятий является понятие сигнала -основного средства для получения и передачи информации.

С математической точки зрения сигнал - это некоторая функция, принимающая значения в некотором поле Р , при этом чаще всего в качестве поля Р принимается поле комплексных чисел С. Тогда сигналы и результаты их преобразований удобно трактовать как элементы некоторого функционального пространства. Одним из основных способов представления сигналов в заданном пространстве сигналов является их представление с помощью спектров - наборов коэффициентов разложения сигнала по системе базисных функций пространства. Спектр сигнала, если известна система базисных функций, полностью определяет сигнал, в то же время спектры одного и того же сигнала в различных базисах, как правило,имеют различные спектральные свойства.

В настоящее время анализ спектра сигнала является одним из основных этапов большинства алгоритмов обработки сигналов. Существует ряд задач, при решении которых спектральный анализ нашел самое широкое применение. Это, например, задача сжатия информации - сокращение избыточности информации при ее передаче по каналам связи, обработка изображений и речевых сигналов, распознавание образов, теория логических функций и т.д.

До недавнего времени обработка сигналов выполнялась в основном с помощью аналоговых устройств. По этой причине и была наиболее полно разработана теория непрерывных сигналов. В качестве системы базисных функций при этом чаще всего применялась система комплексных экспоненциальных функций, спектр сигнала в этой системе определялся преобразованием Фурье. Использование при обработке сигналов других систем базисных функций привело к обобщению понятий интеграла Фурье и преобразования Фурье.

Успехи в развитии цифровой вычислительной техники привели к разработке и созданию цифровых систем сбора, передачи и обработки информации. Вначале цифровые методы обработки сигналов использовались лишь для аппроксимации или моделирования аналоговых систем и методов. Но к настоящему времени вопросы построения устройств и методов цифровой обработки сигналов разработаны настолько, что эти устройства и методы нельзя уже рассматривать лишь с точки зрения аппроксимации или моделирования аналоговых методов и устройств. Это стало особенно очевидным тогда, когда в обработке сигналов начал применяться такой мощный аппарат, как быстрое преобразование Фурье.

Следует отметить, что методы цифровой обработки применимы лишь к дискретным сигналам. Вначале при обработке дискретных сигналов в качестве системы базисных функций в основном применялась система дискретных экспоненциальных функций - дискретный аналог системы непрерывных комплексных экспоненциальных функций.

Со временем при обработке дискретных сигналов начали применяться и другие, отличные от системы ДЗФ, базисные системы функций. Среди них следует отметить базисы дискретных функций Уолша, Хаара, Виленкина-Крестенсона, К-функций Хаара и другие. В связи с этим весьма важной в теории дискретных сигналов оказалась проблема нахождения оптимального базиса для представления и обработки сигналов.

Поэтому к настоящему времени созрела необходимость создания общей спектральной теории, приспособленной к задачам передачи и обработки дискретных сигналов, теории, которая раскрывала бы основные закономерности спектрального анализа, общие для всех систем базисных функций и давала бы возможность выбора наиболее оптимального в каждом конкретном случае базиса.

Целью данной диссертационной работы, которая является продолжением исследований А.Ы.Трахтмана, 0.Н.Ситникова, В.Г.Лабун-ца, Н.Н.Айзенберга и др., и является создание такой обобщенной спектральной теории сигналов для случая конечномерного пространства сигналов над полем С .

Основные задачи, решаемые в диссертации:

I. Исследование свойств введенного в работе оператора А-сдвига сигналов - сдвига, порождаемого заданным базисом конечномерного пространства сигналов.

2. Рассмотрение свойств спектральных преобразований дискретных сигналов в произвольном конечном базисе.

3. Исследование свойств операторов свертки и корреляционных функций дискретных сигналов в произвольном базисе.

4. Разработка основ теории дискретных линейных систем на основании операции А-сдвига.

5. Исследование свойств конъюнктивного преобразования дискретных сигналов и построение критерия монотонности функций алгебры логики.

Работа состоит из аналитического обзора, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

В аналитическом обзоре рассматриваются основные этапы и направления развития теории дискретных сигналов.

Первая глава посвящена рассмотрению основных понятий и определений, используемых в работе. Вводится понятие пространства V/v дискретных сигналов с конечной областью определения и базисом, задаваемым множеством столбцов произвольной обратимой матрицы над С . Показывается, что пространство V/у/ образует алгебру V(A,°) с операцией адамаровского (покомпонентного) умножения сигналов из \/N и изоморфную алгебре V(A,°) сверточную алгебру\/(А,*) . Описываются матричные операторы, собственными векторами которых являются строки и столбцы заданной матрицы А , а также столбцы матрицы А . Определяется понятие А-сдвига сигналов из \ZN - сдвига, индуцированного множеством столбцов матрицы спектрального преобразования сигналов, строится матрица А-сдвига. Вводится понятие разностного уравнения конечного порядка, соответствующее введенному сдвигу.

Во второй главе работы рассматриваются основные теоремы спектрального анализа в произвольном базисе, определяются на

- 8 основании введенного в работе сдвига понятия свертки, энергетического спектра, автокорреляционной и взаимокорреляционной функций сигналов, исследуются основные свойства этих понятий.

В третьей главе разрабатываются основы теории дискретных линейных систем с использованием оператора А -сдвига. Доказывается инвариантность дискретной линейной системы, заданной А-разностным уравнением с постоянными коэффициентами, относительно операции А-сдвига. Определяются понятия испульсной характеристики и передаточной функции А-стационарной линейной системы, рассматривается связь между коэффициентами не стационарной относительно обычно временного сдвига линейной системы и эквивалентной ей А-стационарной системы.

Четвертая глава работы посвящена рассмотрению свойств конъюнктивного преобразования сигналов и построению на основании введенного в работе понятия энергетического спектра и свойств конъюнктивного преобразования сигналов эффективного критерия монотонности функций алгебры логики, здесь же рассмотрен основанный на применении конъюнктивного преобразования дискретных сигналов алгоритм построения множества тестов для заданой пары подмножеств множества п- арных бинарных векторов.

В заключении подводятся итоги исследований, выполненных при работе над диссертацией.

В приложении описываются некоторые основные, чаще всего применяемые при 'Цифровой обработке сигналов, системы базисных функ-циф, рассматриваются некоторые основные свойства этих систем, а также приводится составленная на алгоритмическом языке PL/4 в операционной системе ДОС ЕС программа алгоритма распознавания монотонности функций алгебры логики.

Основные результаты выполненной работы:

- введено понятие /4-сдвига дискретных сигналов с конечной областью определения - сдЕига, порождаемого произвольным базисом конечномерного пространства сигналов;

- рассмотрены свойства оператора Д-сдвига;

- разработан метод построения классов матриц, собственными векторами которых являются строки и столбцы заданной матрицы А , а также столбцы матрицы А ;

- указан способ построения матриц сдвига и фазовых матриц для оператора А-сдвига;

- рассмотрены основные теоремы спектрального анализа для случая произвольного спектрального преобразования сигналов с конечной областью определения;

- введено понятие свертки дискретных сигналов в произвольном базисе, доказана теорема о спектре свертки;

- введены понятия энергетического спектра, автокорреляционной и взаимокорреляционной функций дискретных сигналов в произвольном базисе, рассмотрены основные свойства этих понятий;

- найдены матричные представления операторов свертки, энергетического спектра, автокорреляционной и взаимокорреляционной функций;

- на основании введенного понятия сдвига разработаны основы теории дискретных линейных систем в произвольном конечном базисе, доказана инвариантность систем, задаваемых введенными в работе разностными уравнениями с постоянными коэффициентами, относительно операции А-сдвига. Введены понятия импульсной характеристики и передаточной функции такой системы, указан способ определения этих функций по параметрам системы;

- найдена зависимость между параметрами А -стационарной дискретной линейной системы и, эквивалентной ей, нестационарной относительно обычного временного сдвига системы;

- рассмотрены некоторые основные свойства конъюнктивного преобразования сигналов - примера неортогонального преобразовак »

- получен эффективный легко реализуемый на ЭВМ критерий монотонности функций алгебры логики.

Все полученные в работе результаты согласуются с известными спектральными и операционными свойствами дискретных сигналов в базисах дискретных экспоненциальных функций, дискретных функций Уолша, функций Виленкина-Крестенсона, К-функций Хаара. В то же время предположение о том, что система базисных функций заданного пространства дискретных сигналов не обязательно должна быть ортогональной, позволило взглянуть на некоторые понятия с новой точки зрения, что в свою очередь дало возможность найти некоторые неизвестные ранее свойства привычных понятий.

Следует также отметить, что все рассмотренные в работе понятия и результаты с незначительной модификацией, в основном связанной с понятием комплексного сопряжения, переносятся на случай дискретных сигналов над произвольным полем Р .

ЗАКЛЮЧЕН И Е

Основой данной диссертационной работы является предположение о том, что каждый базис конечномерного пространства дискретных сигналов порождает соответствующий этому базису оператор сдвига в заданном пространстве. Это предположение и дало возможность осуществить построение общей спектральной теории дискретных сигналов в произвольном конечном базисе.

1. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов.радио, 1979. - 312 с.

2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Сов. радио, 1977. - 605 с.

3. Харкевич А.А. Теоретические основы радиосвязи. М.: Гостех-издат, 1957. - 347 с.

4. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Физматгиз, 1962.- 236 с.

5. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его применения. Вып.1. Ы.: Мир, 1971. - 316 с.

6. Дженкинс Г.,Ватте Д. Спектральный анализ и его применение. Вып.2. М.: Мир, 1972. - 287 с.

7. Трахтман A.M. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. М.: Сов.радио, 1972. - 352 с.

8. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. М.: Связь, 1980. - 288 с.

9. BfacJiman R. В. f Ти&гу \л/. т*>иьшн>т*п{ oi роигел speotza. Ntu) Уогк : JDoo-ez, 1958.р. 115-li 9.

10. Bopit fi. Rt Heal/ TuJtey J. W. "the феуиепсу ancc&jiib о*/ time iexiei ^ог echo-1*>\cepit?u/r? / раяиЫоаи^осо&агсапсеt сгон czphtzum and $ap& - blacking. - ^ 'time Stzte-i Clua-ly*-*" Neu) Чогк: Wily, 1963. - p

11. Coo&y IWЪиАеу J. W. an Ccicjozithm </oz machinecomputation o*f cotnp-tzcc ?o«zie? зегсез

12. OTlcithemQtici o*f Computation ' fS&S, oc£. /9. ~ p. &9?-30i.

13. Special issue-*, ort *fast Чоинег t'lans^ozm and Нь application io di<ji~t<*£anot spectzo€ anatydi* . IEEE Oiuotio S&icUooccouit we,p. 43-/S3.

14. Special issues on 4ou?iez tzam^ozm .

15. EE 7 ions. Ctuotio Biecttoexcoc/st. t 19G9J " Oct. ail'ip. 65 i86.

16. Кокрен, Кули и др. Что такое "быстрое преобразование Фурье"? "ТИИЭР", 1967, т.55, № 10, с.7-17.

17. Кули, Льюен, Уэлч. Исторические замечания относительно быстрого преобразования Фурье. "ТИИЭР", 1967, т.55, № 10,с.18-21.

18. Бричхэм, Морроу. Быстрое преобразование Фурье. "ТИИЭР", 1967, т.55, № 10, с.21-29.

19. Ctppfc G.G., P. CL. Culcuioiion of buziei t*ans°/ozM on ctfiniie Median moups . (IEEE

20. Covput." 197t, ovt. C-S6 /vl,-p £33"-£39.

21. Catzi 4. W. От Уosi ^ouziet t^an^ozyyr on cj-inite CC&e&ian Cjtoup* . n I EE E %qhs. Со/и put.,

22. Wi, m>e. C-£0/ NS.- p.5b9-571.

23. Co2iyithioz 710. J. OL ^ost %ос*г1еъ tzcms'fotMс^ог hi<jh speed sLc^ba? pzocessing ~ ^ It EE Ъап*. Compvt" 1971, ot>i. C-&OtN8t p. $59 - 865,

24. NicboLon P. J. Gttcjefca'tc iheozy 0*f Чоигсеъ {.ъапз^огуи . ^ ^Joum. Com^ut. Sybi*™sciencei91 i , N5 . p. 5ZL! - 5Ll7.

25. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973. - 367 с.

26. Бергланд. Руководство к быстрому преобразованию Фурье. Зарубежная радиоэлектроника, 1971, 1й 3, с.52-72.

27. Н. JD. JDesiijning a speiioPpuzpose diyitaB imaye ргосвыог. „ Comput. JDeti^n. " J9?2/ 11, NZ.~ p. 13-19.

28. Неймарк Ю.Г., Попова Г.П., Пранчишвили И.В. Реализация задачи быстрого преобразования Фурье в однородном ассоциативном процессоре. Автоматика и телемеханика, 1972, Ш 4, с.136-144.

29. Гусев В.Д. Процедуры быстрого преобразования Фурье и Уолша. -В сб.: Вычислительные системы, вып.45. Новосибирск: 1971, с.61-73.

30. Лоховский B.C. Программы спектрального анализа в частотной и временной областях. В сб.: Вычислительные системы, вы.45. -Новосибирск, 1971, с.85-91.

31. Солодовников А.И., Канатов И.К., Спиваковский A.M. Методы быстрых спектральных преобразований в задачах оперативной обработки информации. В сб.: Вопросы кибернетики, вып.62. - М.; 1979, с.19-35.

32. Viotiih . L . Ct cZoieo! iet o*f г>огта£ cziko^onotC сJunctions. n Clrnez. J. TJOaih. " f 1923, охзб. 95.-p.

33. Haaz Oi. Zuz ^beozle о/ег Oil bog ona fe* 4unciLonensystem . n TWcciheyn. (Хнп. " i9iO,1. N 69 . p. 33J - 374 .

34. Качмарж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958. - 607 с.

35. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара.- М.: Наука, 1969. 288 с.

36. Поляк Б.Т., Шрейдер Ю.А. Применение полиномое Уолша в приближенных вычислениях. В кн.: Вопросы теории математических машин. Т.2. - М.: Физматгиз, 1962, с.174-190.

37. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов.радио, 1975.- 207 с.

38. Карповский М.Г., Москалев Э.С. Спектральные методы анализаи синтеза дискретных устройств. Ji.: Энергия, 1973. - 141 с.

39. Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах. Минск: Наука и техника, 1978. - 136 с.

40. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980. - 248 с.

41. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов. М.: Связь, 1979. - 416 с.

42. Зеленков А.В. Свойства преобразования Уолша дискретных экспоненциальных функций. Известия вузов, сер."Радиоэлектроника", 1977, Ш 7, -с.73-80.

43. Kiiai R.t Si emens, И. H. J&esczeie 4ouzt9z {.гапрочуюn!a W аЫг 12апфгуп.- н IEEE ASS Р -2 7", 1919, N3.- p. 288.

44. RumAnov&fii H. Non lecuzsioe d;<jitci£ *fi£ieziyiq usin W&Psh and H<*QZ iiQns*fezyyis. - . Fo и о!at. conizot engine* z * 197G, A/3. - p. 1f9~i95. Waicfzi С. (X CjenezQEizQiiorf o*f Hooz functions.-,f 4ohoku Wat. J. ~ 1965, iss. 8, N3. - p. 286 -2 90.

45. Haimuih H. (X cjeneiQ&i zeot concept oj jz^uenc^ and some appticai-lon . n IEEE Tzans. Jnf. clheozy 1968, ax>e. IT-j 't/f N3,- p. 215 - 38Z.

46. Хармут. Асинхронные фильтры и подвижная радиосвязь при использовании сигналов на функциях Уолша. Зарубежная радиоэлектроника, 1972, й б,-с.25-38.

47. Робинзон, Греджер. Расчет нерекурсивных цифровых фильтров Уолша. Зарубежная радиоэлектроника, 1973, to 4, с.26-35.

48. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. - 848 с.

49. Ефимов А.В., Каракулин А.Ф., Поспелоб А.С. Общий подход к описанию быстрых алгоритмов преобразований Уолша, Фурье и Хаара. В сб.: Моделирующие системы с многозначным и гибридным кодированием. - Киев: Наукова думка, 1980.-с.38-46.

50. Манц. Быстрое преобразование Уолша с упорядочиванием по частотам следования. Зарубежная радиоэлектроника, 1973, 1й 5,-с.77-80.

51. Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем.- Изв. АН СССР, сер.матем., 1947, т.II, № 4,-с.363-398.

52. Cbzesienson Н.Е. СС c£ass о/ geneza&ted WaCsh junctions t н PaC4 ■flc J. Waih. t i955j we. 5 NJ - p. 8? -95.

53. Трахтман A.M. Основы линейной теории сигналов и систем, определенных на конечном множестве точек. Автоматика и телемеханика, 1974, й 4.-с.81-92.

54. Зеленков А.В. О связи спектров мощности и автокорреляционных функций дискретных сигналов в базисах ВКФ и ДЗФ. Радиотехника и электроника, 1978, кн 2,-с.315-325.

55. Трахтман В.А. Быстрое преобразование Фурье для широкого класса систем ортогональных функций. Радиотехника и электроныка, 1976, 112 5,-с. 1034-1041.

56. Айзенберг Н.Н., Рудько В.II., Сысуев Е.В. Функции и дискретное преобразование Хаара. Изв.АН СССР, "Техническая кибернетика", 1975, й 6,-с.86-93.

57. Бойко 31 .Л. Обобщенное преобразование Фурье-Хаара на конечной абелевой группе. В сб.: Цифровая обработка сигналов и ее применения. - М.: Наука, 1981, с.12-22.

58. Агарвал, Баррас. Теоретико-числовые преобразования для быстрого вычисления цифровой свертки. "ТИИЭР", 1975, т.63,й 4,-с.6-20.

59. Лабунец В.Г., Ситников О.П. Гармонический анализ булевых функций и функций к-значной логики над конечными полями. -Изв. АН СССР, сер.Техническая кибернетика, 1975, fa I,-c.I42~: 149.

60. Лабунец В.Г., Ситников О.П. Обобщение понятия пороговой функции к-значной логики над конечным полем Галуа. Изв. АН СССР, сер. Техническая кибернетика, 1975, 1й 5,-с.137-141.

61. Лабунец В.Г., Ситников О.П. Обобщенные и быстрые преобразования Фурье на произвольной конечной абелевой группе. В сб.:- 126

62. Гармонический анализ на группах в абстрактной теории систем. Межвузовский сборник.- Свердловск: Изд.УПИ, 1976, с.34-43.

63. Белоглазова О.В., Лабунец В.Г. Теория и применение преобразований Гауса. В сб.: Синтез управляющих и вычислительных машин. Межвузовский сборник. - Свердловск: Изд. УДИ, 1980, с.25-39.

64. Белоглазова О.В. Теоретико-числовые преобразования, использующие тригонометрию в конечных полях. В сб.: Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем. Межвузовский сборник. - Свердловск: Изд. УПИ, 1980,с. 29-33.

65. Лабунец В.Г. Единый подход к алгоритмам быстрых преобразований. В сб.: Многозначные элементы, структуры, системы. -Киев: Наукова думка, 1983, с.71-78.

66. Лабунец В.Г. Обобщенные преобразования Хаара. В сб.: Многозначные элементы, структуры, системы. - Киев: Наукова думка, 1983, с.78-85.

67. Обработка изображений и цифровая фильтрация / Под редакцией Т.Хуанга. М.: Мир, 1979. - 226 с.

68. Ярославский Л.П., Мерзляков Н.С. Методы цифровой голографии.- М.: Наука, 1977. 192 с.

69. Обработка изображений при помощи цифровых вычислительных машин. Сб.: переводов с англ. /Под редакцией Д.С.Лебедева.- М.: Мир, 1973. 204 с.

70. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.:1. Мир,1978. -411 с.

71. Рабинер Л.Р., Шафер Р.В. Цифровая обработка речевых сигналов.- М.: Радио и связь, 1981. 495 с.

72. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. Книга I. М.: Мир, 1983. - 307 с.

73. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. Книга 2. М.: Мир, 1983. - 790 с.

74. Кренкель Т.Э., Скотников А.П. Процессор для обработки двумерных полей на основе преобразований Уолша. В сб.: Синтез управляющих и вычислительных систем. Межвузовский сборник. -Свердловск: Изд. УПИ, 1980, с.59-63.

75. Колмогоров Г.С. Быстродействующий специализированный процессор сжатия данных. В сб.: Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем. Межвузовский сборник. - Свердловск: Изд. УПИ, 1980, с.55-65.

76. Айзенберг Н.Н.,Трофимлюк О.Т. Конъюнктивные преобразования дискретных сигналов и их применение для отыскания тестов и распознавания монотонности функций алгебры логики.- Кибернетика, 1981, № 5, с.138-139.

77. Глухов Ю.К., Бойков Д.П. Спектральные представления булевых функций. Известия ЛЗТИ, вып.91, 1969, с.57-60.

78. Горбунов Г.В., Москалев Э.С. Применения спектральных методов при минимизации комбинационных схем. Автоматика и вычислительная техника, 1971, № 3, с.1-8.

79. Карповский М.Г., Москалев Э.С. Реализация частично определенных функций алгебры логики с помощью разложений в ортогональные ряды. Автоматика и телемеханика, 1970, № 8, с.89-99.

80. Маркова В.П. Логический анализ при помощи Фурье-преобразования булевых функций. В сб.: Вычислительные системы,вып.73.- Новосибирск, 1978, с.80-92.- 128

81. Вариченко JI.В., Раков М.А. К исследованию изоморфизмов спектральных разложений функций алгебры логики. В сб.: Моделирующие системы с многозначным и гибридным кодированием.- Киев: Наукова думка, 1980, с.34-38.

82. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 400 с.

83. Драган Я.П. Модели сигналов в линейных системах. Киев: Наукова думка, 1972. - 302 с.

84. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. - 703 с.

85. Хармут Х.Ф. Передача информации ортогональными функциями. -М.: Связь, 1975. 272 с.

86. Вунш Г. Теория систем. М.: Сов.радио, 1978. - 285 с.

87. Задирака В.К. Теория вычисления преобразования Фурье. -Киев: Наукова думка, 1983. 214 с.

88. Гармонический анализ на группах в абстрактной теории систем. Межвузовский сборник.- Свердловск: Изд.УПИ, 1976. 155 с.

89. Синтез управляющих и вычислительных систем. Межвузовский сборник. Свердловск: Изд.УПИ, 1980. - 160 с.

90. Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем. Межвузовский сборник.- Свердловск: Изд. УПИ, 1980. 128 с.

91. Цифровая обработка сигналов и ее применения. М.: Наука, 1981. - 221 с.- 129

92. Цифровая обработка сигналов. Тематический выпуск. ТИИЭР, 1975, т.63, № 4. - 195 с.

93. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физмат-гиз, 1963. - 968 с.

94. Гольденберг Л.М., Левчук Ю.П., Поляк М.Н. Цифровые фильтры. -М.: Связь, 1974. 160 с.

95. Pichiez F. Walsh functions, and Einiaz systemitieozy ti Ргос. applications о/ A

96. Functions,"t /970. p. 175-J82.

97. Лабунец В.Г. Обобщенный гармонический анализ ВП-инвариантных линейных последовательных машин. В сб.: Гармонический анализ на группах в абстрактной теории систем. Межвузовский сборник. - Свердловск: Изд. УПИ, 1976, с.67-83.

98. Лабунец В.Г. Принципы симметрии в теории сигналов и систем. -В сб.: Синтез управляющих и вычислительных систем. Межвузовский сборник. Свердловск: Изд. УПИ, 1980, с.4-13.

99. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973. - 312 с.

100. Айзенберг Н.Н. Спектр свертки дискретных сигналов в произвольном базисе. ДАН СССР, 1978, т.241, № 3, с.551-554.

101. Айзенберг Н.Н., Трофимлюк О.Т. Алгебра сигналов в произвольном базисе и свертка в базисе Хаара. В сб.: Синтез управляющих и вычислительных систем. Межвузовский сборник. - Свердловск: Изд. УПИ, 1980, с.14-25.

102. Айзенберг Н.Н., Трофимлюк О.Т. Сдвиг, свертка и корреляционная функция дискретных сигналов в произвольном базисе. -ДАН СССР, 1980, т.250, № I, с.47-51.

103. Кострыкин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука,1977.- 496 с.

104. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра.- М.: Наука, 1976.- 623 с.

105. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. -367 с.

106. Кухарев Г.А., Дагман Э.Е. Способы формирования матриц сдвига и фазовых матриц для задач обработки сигналов в базисах функций Виленкина. Новосибирск: Препринт 54-80 ИФП СО

107. АН СССР, 1981. 45 с. НО. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука,1973. - 631 с.

108. Пирл. Обработка случайных сигналов функциями Уолша. Зарубежная радиоэлектроника, 1972, № 8.

109. Яблонский С.В. Функциональные построения в К-значной логике. Труды матем.ин-та им.Стеклова, 1958, т.51. - 142 с.

110. Q-ood J. J. The. iniezaction aEgozlthm andpzciciiccci %ouziez <xncc£,yдез . „ J. Royai

111. Stat. $oc."f 19581 v. 3-гО.- p.3Gl-372

112. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. T.I. М.: Наука, 1974. - 311 с.

113. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и асоциативных алгебр. М.: Наука, 1969. - 668 с.

114. Яблонский С.В. О тестах для электрических схем. Успехи- 131 математических наук, 1955, т.10, вып.4(66), с.182-184.

115. Чегис И.А., Яблонский С.В. Логические способы контроля электрических схем. Труды Матем.ин-та АН СССР им. В.А.Стеклова, 1958, т.51, с.226-269.

116. Дмитриев А.Н., Журавлев Ю.И., Кренделев Ф.П. О математических принципах классификации предметов и явлений. Дискретный анализ. Новосибирск, 1966, вып.7, с.3-15.

117. Соловьев Н.А. Тесты. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1978. - 190 с.