Гармонический анализ на базе дискретного преобразования Ахмеда-Рао тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Коровкин Александр Владимирович

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НА БАЗЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АХМЕДА-РАО

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена на кафедре исследования операций матемагико-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, профессор МАЛОЗЕМОВ Василий Николаевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор ДЕМЬЯНОВИЧ Юрий Казимирович,

кандидат физико-математических наук ТРЕТЬЯКОВ Алексей Андреевич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Санкт-Петербургский Государственный Университет им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Защита состоится « 2005 г. в / 3 часов на заседа-

нии диссертационного совета Д 212.232.49 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 198504, Санкт-Петер-бург, Старый Петергоф, Университетский пр, д.28, математико-механический факультет, ауд. 4526

С диссертацией можно знакомиться в Научной библиотеке им М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « ^ » .х^уА 200->г. Ученый секретарь

диссертационного совета

А.А. Архипова

2.006-42774

Общая характеристика работы

Актуальность темы. До 1970-х годов основным инструментом дискретного гармонического анализа являлось дискретное преобразование Фурье. В 1970-х годах стали больше внимания уделять другим ортогональным преобразованиям, таким как преобразование Уолша. Хаара, Виленкина Крестенсона, дискретное косинусное и т.н. Для всех указанных преобразований были разработаны быстрые алгоритмы.

Одним из источников быстрых алгоритмов является матричная факторизация - представление матрицы ортогонального преобразования в виде произведения слабозаполненных матриц. Эффективные расчётные формулы получаются путем использования индексной техники, когда при умножении разреженной матрицы на вектор убираются все операции с нулевыми элементами матриц В конце девяностых годов В.Н. Малоземовым и A.A. Третьяковым был разработан новый подход к быстрым ортогональным преобразованиям, при котором результаты промежуточных вычислений интерпретируются как коэффициенты разложения по некоторым ортогональным базисам. В пространстве дискретных периодических сигналов при длине периода, равной степени двойки, были построены рекуррентные последовательности ортогональных базисов, имеющих блочную структуру. В каждом блоке сигналы различаются лить сдвигом аргумента. Из блоков принадлежащим разным базисам рекуррентной последовательности, формируются обобщённые вейвлстные базисы. Это значительно расширяет возможности цифровой обработки сигналов. В работах1,2 с аналогичных позиций проанализировано дискретное преобразование Уолша и дискретное преобразование Виленкина Крестенсона.

В диссертационной работе рассматривается дискретное преобразование Ахмеда Рао. В отличие от традиционной ситуации, когда

1 Малоумок В Н , Третьяков А А Секционирование, ортогональность и перестановки // Вестн С-Петербург ун-та Сер 1 1999 Вып 1 (№1) С 16-21

гМалоземов В Н . Машарсквй С М Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с дискретным преобразованием Виленкина-Крестенсона// Алгебра и анализ 2001 Т 13 Вып 1 С 111-

для получения быстрого алгоритма разложения сигнала факторизу-ется известная матрица ортогонального преобразования., а базисные функции определены явно, в монографии3 реализован обратный подход. Дискретное преобразование Ахмеда Pao задаётся в виде произведения разреженных матриц, а свойства базисных сигналов нужно вывести из свойств матриц сомножителей.

Цель работы.

1) Изучить структуру и фундаментальные свойства базисов Ахмеда-Pao.

2) Построить быстрые алгоритмы декомпозиции и реконструкции сигналов и изображений по базисам Ахмеда-Рао.

3) Разработать соответствующее программное обеспечение.

Методика исследования. В диссертационной работе использовались методы дискретного гармонического анализа, матричной алгебры и вейвлетной теории.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.

1) В пространстве дискретных N-периодических сигналов построены рекуррентные последовательности ортогональных базисов, приводящих к обобщенному базису Ахмеда Pao.

2) Получен явный вид функций из обобщенного базиса и указаны условия их ортогональности.

3) Для функций из серии дискретных базисов Ахмеда Pao, включающей базисы Фурье и Уолша, получено более простое явное представление и изучен вопрос об их частоте.

4) Реализован алгоритм сжатия изображений на основе преобразования Ахмеда-Рао.

3Ахмед Н., Pao К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов М.: Связь, 1980.

Практическая ценность. По полученным результатам составлены программы на языке Java для обработки и сжатия изображений.

Апробация работы и публикации. По результатам диссертации сделан доклад на семинаре кафедры исследования операций мат-мех факультета СПбГУ и на международной конференции "Wavelets and splines"(CaHKT-neTep6ypr, 3-8 июля, 200.3г.). По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести параграфов и списка литературы. Объем диссертации — 93 страницы. Список литературы насчитывает 46 наименований.

Во введении дан краткий исторический обзор и сформулированы основные результаты диссертации.

В первом параграфе вводится терминология и описываются основные объекты дискретного гармонического анализа. Приводятся необходимые свойства кронекерова произведения матриц.

Пусть k,j€ 0 : N-1, N = 2s, s € N. Если к = кя_2,..., к0)2, j = (je_i, ja-2, ■ ■ ■, jo)2 — двоичные коды чисел к и j, то

Дается определение и основные свойства перестановки reverse. Вводится обозначение

Операция теу„ сопоставляет числу ] число геу„(_?), двоичный код которого равен перевернутому двоичному коду числа ].

Положим ЛГ„ = N/2", Д„ = 2"-1. Будут использоваться следующие обозначения: шц = ехр(27гг/Дг) — корень Л^-ой степени из 1, [а] — целая часть вещественного числа а, {к)п = к — \_к/п\п — остаток от деления целого числа к на натуральное п.

Содержание работы

8-1

rev„(j) = (jo, ji, ■ • -, j^ib-

Во втором параграфе вводится определение функций Ахмеда Pao:

w{r)(k■ л ~ ir - N ь> V С 1(\ 1 2r — 1}; (1)

k = Np+l(2k'+l), fc' € {0,1,.. - 1}, pe{r.....s-1}, (2)

r € {l,...,s}.

Теорема 1. При каждом г £ {1,..., s} функции w^(k-,j), k — 0,1,..., N — 1, ортогональны. При этом -)||2 = N.

Показано, что при г = 1 базис Ахмеда Pao совпадает с базисом Уолша, а при г — s с экспоненциальным базисом. В общем случае, значения функций Ахмеда Pao с индексом г принадлежат множеству ПГ = {1, ш\г, wf,,..., í^-1}.

Теорема 2. Частота функций w^(k;j) при г б {1 ...,s}, к € {0,1,..., N — 1} равна к.

В третьем параграфе предъявляется факторизация матрицы преобразования Ахмеда-Pao:

D« = diag [4rU5r),..., ® и el :s: (4)

Е8-„ - единичная матрица порядка 23~". На матрица реверсных перестановок порядка 2®. символ ® означает тензорное умножение матриц.

j) = Vl^ev.«.},--,

= R,D^D{¡\ ■ ■ ■ D{{\

(3)

где

На основе факторизации (3) при фиксированном г в пространстве С/у строится рекуррентная последовательность ортогональных базисов {дР(к] V = 0,1,..., в, так. чтобы д$\к\]) = 6у(.) - к) и </«г'(гсу8(&); ]) = Здесь ¿лгО) единичный ^—периодический импульс Сдвиги — к), к = 0,1,..., N — 1 образуют естественный ортонормированный базис в Су •

Онисаны в явном виде быстрые алгоритмы разложения сигналов

(г) „

по всем промежуточным базисам д\, . Любой сигнал х € Сдг можно разложить по базису <7^(0), ... ,д1г\М - 1) при каждом и =

0,1,...,*:

N-1

X

к=0

Тогда

= Т,4Чк)д1г\к).

х%\к) = х(к), к £0 \ N — 1; х^(2 Ш„+р) =

= \ +р)+ТЩ^т^ + к+р)},

хУ((21+1 Ж + р) =

= \ +р)~ Щ) + N. + р)},

!е0:Д„-1, р 60:^-1, 1/=1,...,в, (6)

9(г)(/) = / если /е0:Дг-1,

1 1, если I 6 Дг : Д6 — 1-

При V = й получаем разложение сигнала £ по дискретным функциям Ахмеда Рао.

к=0 к-0 7

Вычислительная схема (6) названа быстрым преобразованием Ахмеда Pao, связанным с прореживанием по частоте.

Для базисных сигналов д^ получено явное представление Для этого вводится система матриц {Т^

*-(! Л).

TÍT][2l + а,2т + т} = г] T^l, m], l,m 6 0 : Д„ - 1, а,те{ 0,1}, u = 2,...,s.

Теорема 3. Справедливо равенство

Д„+1-1

j=о

/ е 0 : Д„+1 - 1, р € 0 : - 1, v € 1 : s.

(7)

(8)

Формула (8) дает полное представление о структуре базисных сигналов, однако коэффициенты в этом разложении не определены явно, а вычисляются рекуррентно по формуле (7).

Теорема 4. Пусть V € 1 : в, ] € 0 : Д„+1 - 1. Справедливо равенство

' если le 0 : Дг+1 - 1;

т<г)М = -

если I = Дк+1 + /', /' £ 0 : Д«+1 - 1, к G г : v — 1.

В четвертом параграфе вводится новая факторизация матрицы преобразования Ахмеда Pao:

где

HP = R.DPR., у el: а.

Это позволяет построить ещё одну последовательность ортогональных базисов {fir\k] з)}%=о , v — 0, l,...,s. так. что fo\k-,j) = <5jv(j - rcv„(A;)) и fíT'(k;j) = Описаны в явном виде фор-

мулы декомпозиции сигнала.

х(0г\к) =х(к), к € 0 : N — 1; x(;Hi+PA¡/+1) =

= \ + 2рД„) + + (2р + 1) Д„)],

хР(1 + Аи+РА„+г) =

= \ + 2PAV) -Щ)х[;\{1 + (2р + 1)Д„)],

/еО:Д„-1, peO:Nv-l, v-1 (9)

Ь(г)щ _ í ' если rev"-i(0 е 0 : Дг - 1, " 1 1, если rev„_i(/) € Ат : А„ - 1.

При v = s получаем разложение сигнала х rio функциям Ахмеда Pao. Попутно вычисляются коэффициенты разложений по всем промежуточным базисам Вычислительная схема (9) названа быстрым преобразованием Ахмеда Pao, связанным с прореживанием по времени.

Для базисных сигналов получено явное представление. Для этого вводится система матриц {U„}l=l :

TI - í1 \

Ul ~ Vi -?(0)J '

UU[l + <тА„, m + тД„] = U{;lAl, rn] T3>

l,m € O : Д„ - 1, а,те {0,1}, и = 2, ...,s.

Теорема 5. Справедливо представление

Д„+1~1

flr\l+PAv+1)= Y, Vlr){l,j}for)(j+pK+i),

3—0

le 0 : Д„+1 - 1, р € 0 : ЛГ„ - 1, I/ € 1 : з,

Теорема 6. Пусть и е 1 : 1,3 е 0 : Д„+1 — 1. Справедливы следующие утверждения:

а) если V < г, то

= / € 0 : А„+1 - 1;

б) если и > г — 1, то

/геу„

"Д.+1

а)д v"ü), если I = ДI' € 0 : Дг+1 - 1;

<4Г)М =

írev,

если г = Д*-к(2V + 1), l'e О : AK+i - 1, к е г : и — 1.

В пятом параграфе введено понятие обобщенного дискретного преобразования Ахмеда-Pao и обобщенных функций Ахмеда Pao.

Обобщенное дискретное преобразование Ахмеда Pao задается следующей матрице? :

где

G = RgDgDg-1 ■ . . . ■ D1,

А/ = diag[A0, Ль ..., Лд„_1] ® и el : s;

10

л<=(! 4(1))' q{l)eC' 'е0:Д„-1.

Сигналы

m(j) = G[k,j], л = о, i.....лг -1, (ю)

названы обобщёнными дискретными функциями Ахмеда Pao. Формулой (10) сигналы Wk{j) определены на основном периоде j € 0 : N — 1. Далее они продолжаются /^-периодически на все j 6 Ъ.

Лемма 1. Система сигналов wo(j), wi(j),..., wy-i(j) является базисом в пространстве Су тогда и только тогда, когда q(l) ф 0 для любого I 6 0 : Д4 — 1.

Лемма 2. Если |g(Z)| = 1 для любого I б 0 : Д, — 1, то система сигналов n>o{j),wi(j),..., u;jv-i(i) образует ортогональный базис в пространстве Су.

В дальнейшем изложении предполагается, что условие леммы 2 выполнено.

В пространстве сигналов Су строятся две рекуррентные последовательности ортогональных базисов /„ и д„, приводящие к обобщенному базису Ахмеда Pao. Выводятся формулы декомпозиции и реконструкции сигналов. Получено явное представление обобщенных базисов Ахмеда-Pao:

Теорема 7. Справедливо представление

Д„+,-1

gv(lN„ + p)= Y, Tv[l,j]go(JN„ + p),

3=0

le 0 : Д i/j-i - 1, р 6 0 : ЛГ„ - 1, v €: 1 : s,

где

Q=0

Теорема 8. Справедливо представление

Д„+1-1

Ml + pAv+i) = Y, u»[l, 3\ fo(j + pbu+i),

J—0

1еО:Д„ц-1, p£0:Nv-l, v € 1 : s,

где

Uv = RUTVR„.

В шестом параграфе результаты параграфов 3-4 перенесены на двумерный случай. Описаны двумерные варианты быстрого преобразования Ахмеда-Рао, связанного с прореживанием по времени и с прореживанием по частоте. Описан алгоритм обработки как черно-белых, так и цветных изображений, являющийся алгоритмом сжатия с потерями. Приведены примеры такой обработки.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Коровкин А.В. Обобщённое дискретное преобразование Ахмеда-Рао // Вестник молодых учёных. Сер "Прикладная математика и механика". 2003. №2. С. 33-41

2. Коровкин А.В., Малозёмов В.Н. Базисы Ахмеда-Рао // Мат. заметки. 2004. Т.75. Вып. 6. С. 834-840.

3. Коровкин А.В., Машарский С.М. О быстром преобразовании Ахмеда-Рао с прореживанием по частоте // Журнал выч. мат. и матем. физики. 2004. Т.44. №6. С. 986-996

4. Коровкин А.В., Машарский С.М О быстром преобразовании Ахмеда-Рао с прореживанием по времени // Вестник С-Петер-бург. ун-та. Сер.1. 2004. Вып.2. С. 38-47.

5. Korovkin A.V., Malozemov V.N., Masharsky S.M. Ahmed-Rao bases and wavelet expansions // International conférence Wavelets and Splines, Abstracts. SPb, 2003. P. 56-57.

Подписано в печать 15.12.04. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. Печ. л. 0,7. Тираж 100 экз.Заказ № 6'?.

ЦОП типографии Издательства СПбГУ. 199061, С-Петербург, Средний пр., 41.

РНБ Русский фонд

2006-4 2774

»"1128

¡

i

Введение

§1. Предварительные сведения.

§2. Базисы Ахмеда-Рао.

§3. Быстрое преобразование Ахмеда-Рао, связанное с прореживанием по частоте.

§4. Быстрое преобразование Ахмеда-Рао, связанное с ирореживанием но времени.

§5. Обобщенное преобразование Ахмеда-Рао.

§G. Примеры сжатия изображений на основе преобразования

Ахмеда-Рао.

До 1970-х годов основным инструментом дискретного гармонического анализа являлось дискретное преобразование Фурье [2, 7, 18, 38]. В 1980-х годах стали больше уделять внимания другим ортогональным преобразованиям, таким как преобразование Уолша, Хаара, Виленкина—Крестенсона, дискретное косинусное и т.п. [1, G, 8, 11, 35]. Для всех указанных преобразовании были разработаны быстрые алгоритмы.

Одним из источников быстрых ортогональных преобразований является матричная факторизация — представление матрицы ортогонального преобразования в виде произведения слабозанолненных матриц. Эффективные расчётные формулы получаются путем использования индексной техники, когда при умножении разреженной матрицы на вектор убираются все операции с нулевыми элементами матриц. В последние годы был разработан новый подход к быстрым ортогональным преобразованиям. В работах [19, 20, 25, 2G] результаты промежуточных вычислений интерпретируются как коэффициенты разложения по некоторым ортогональным базисам. В пространстве дискретных периодических сигналов при длине периода, равной степени двойки, построены рекуррентные последовательности ортогональных базисов, имеющих блочную структуру. В каждом блоке сигналы различаются лишь сдвигом аргумента. Из блоков, принадлежащим разным базисам рекуррентной последовательности, формируются обобщённые вейвлетные базисы. Это значительно расширяет возможности цифровой обработки сигналов. В работе [27] с аналогичных позиций проанализировано дискретное преобразование Уолша, а в [21, 28] — дискретное преобразование Виленкина—Крес-тенсона.

В диссертационной работе рассматривается дискретное преобразование Ахмеда-Рао. В отличии от традиционной ситуации, когда для получения быстрого алгоритма разложения сигнала фактори-зуется известная матрица ортогонального преобразования, а базисные функции выражены явно, в монографии [1] реализован обратный подход. Дискретное преобразование Ахмеда-Рао задаётся в виде произведения разреженных матриц, а свойства базисных сигналов нужно вывести из свойств матриц, входящих в факторизацию.

Целыо диссертационной работы является:

§1. Изучить структуру и фундаментальные свойства базисов Ахмеда-Рао.

§2. Построить быстрые алгоритмы декомпозиции и реконструкции сигналов и изображений по базисам Ахмеда-Рао.

§3. Разработать соответствующее программное обеспечение.

Приведем краткий обзор содержания диссертации. Работа состоит из шести параграфов, содержит 5 рисунков, одну таблицу и список литературы, состоящий из 4G наименований.

В первом параграфе вводится терминология и описываются основные объекты дискретного гармонического анализа. Дается определение и основные свойства перестановки reverse. Приводятся необходимые свойства кронекерова произведения матриц.

Во втором параграфе вводится определение функций Ахмеда-Рао и базисов Ахмеда-Рао как параметризованного семейства. Показано, что функции Уолша и экспоненциальный базис принадлежат семейству функций Ахмеда-Рао. Доказывается, что при каждом значении параметра функции Ахмеда-Рао образуют ортогональный базис в пространстве iV-нериодических сигналов. Рассмотрен ряд свойств функций Ахмеда-Рао, изучен вопрос об их частоте.

В третьем параграфе приводится факторизация матрицы преобразования Ахмеда-Рао, исследуются свойства матриц, входящих в факторизацию. Описывается быстрый алгоритм разложения сигнала но фиксированному базису из семейства базисов Ахмеда-Рао, связанный с прореживанием но частоте. Согласно подходу, описанному выше, строится рекуррентная последовательность ортогональных базисов, выводятся формулы декомпозиции и реконструкции сигнала. Приводится явный вид промежуточных базисов, формируется вейвлет-пакет.

В четвертом параграфе описывается быстрый алгоритм разложения сигнала но фиксированному базису из семейства базисов Ахмеда-Рао, связанный с прореживанием но времени. Получены результаты, аналогичные результатам третьего параграфа.

В пятом параграфе вводится понятие обобщенных функции Лх-меда-Рао. Устанавливается критерий ортогональности обобщенных функций Лхмеда-Рао. Описываются быстрые алгоритмы разложения сигнала — с прореживанием по частоте и с прореживанием по времени. Для обоих случаев строятся рекуррентные последовательности базисов, при этом финальным базисом являются обобщенные функции Лхмеда-Рао. Получен явный вид функций, входящих в базис. Показано, как из обобщенных функций Лхмеда-Рао получить дискретные функции Лхмеда-Рао, в том числе базисы Фурье и Уо-лша.

В шестом параграфе результаты параграфов 3-4 перенесены на двумерный случай. Описаны двумерные варианты быстрого преобразования Лхмеда-Рао, связанного с прореживанием но времени и с прореживанием но частоте. Описан алгоритм обработки как черно-белых, так и цветных изображений, являющийся алгоритмом сжатия с потерями. Приведены примеры такой обработки. Этот параграф диссертации во многом аналогичен работе [13], где в основе алгоритма сжатия лежит быстрое преобразование Хаара. Следует отметить также большое количество литературы по сжатию и обработке изображений [3, 33, 41, 42].

На защиту выносятся следующие основные результаты:

§1. В пространстве дискретных N-периодических сигналов построены рекуррентные последовательности ортогональных базисов; приводящих к обобщенному базису Ахмеда-Рао.

§2. Получен явный вид функций из обобщенного базиса и указаны условия их ортогональности.

§3. Для функций из серии дискретных базисов Ахмеда-Рао, включающей базисы Фурье и Уолша, получено более простое явное представление и рассмотрен вопрос об их частоте.

§4. Реализован алгоритм сжатия изображений па основе преобразования Ахмеда-Рао.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14, 16, 15, 17, 39].

Лктор приносит искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору В. Н. Малоземову за помощь в постановке задач и анализе результатов, а также за постоянное внимание в течение всего периода работы над диссертацией.

1. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Снизь, 1980.

2. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989.

3. Ватолин Д., Ратушняк А., Смирнов М., Юкин В. Методы сжатия данных. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2002.

4. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления, М.: Наука, 1984.

5. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб: ВУС, 1999.G. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды м преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

6. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1985.

7. Дагман Э. Е., Кухарев Г.А. Быстрые дискретные ортогональные преобразования. Новосибирск: Наука, 1983.

8. Добепш И. Десять лекций по вейвлетам. М.: РХД, 2001.

9. Дьяконов В.П. Всйвлсты. От теории к практике. М.: COJIOH-Р, 2002.

10. Залманзон J1.A. Преобразования Фурье, Уолта, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989.

11. Зеленков А.В. Быстрое преобразование спектра сигнала из базиса функций Уолиш в базис дискретных экспоненциальных функции // Радиотехника и электроника. 1977. JV93. С. 552-5G5.

12. Кирушев В.А. Быстрый алгоритм сжатия изобраэ/сспий // Вестник молодых учёных. Сер. "Прикладная математика и механика". 1997. С. 4-10.

13. Коровкин А.В., Малозёмов В.II. Базисы Ахмсда-Рао // Мат. заметки. 2004. Т.75. Вып. 6. С. 834-840.

14. Коровкин Л.В. Обобщённое дискретное преобразование Ахмеда-Рао // Вестник молодых учёных. Сер. "Прикладная математика и механика". 2003. Л"«2. С. 33-41.

15. Макклеллан Дж.Х., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. М.: Радио и связь, 1983.

16. Малоземов В.П., Машарский С.М. Основы дискретного гармонического анализа. СПб.: НИИММ, 2003.

17. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Формула Глассмапа, быстрое преобразование Фурье и вейвлетные разлоо1сения // Труды Санкт-Петербургского математического общества. Т.9. 2001. С. 97-119.

18. Малоземов В.П., Машарский С.М. Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с дискретным преобразованием Виленкина-Крсстенсона // Алгебра и анализ. 2001. Т.13. Вып.1. С. 111-157.

19. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Сравнительное изучение двух вейвлетных базисов // Проблемы передачи информации. 2000. Т. 30. Выи. 2. С. 27-37. •

20. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Хааровскис спектры дискретных сверток j/ Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 2000. Т. 40. jV6. С. 954-9G0.

21. Малоземов В.Н., Певный А.Б., Третьяков А.А. Быстрое всй-влетиос преобразование дискретных периодических сигналов и изображений // Проблемы передачи информации. 1998. Т. 34. Вып. 2. С. 77-85.

22. Малоземов В.Н., Третьяков А.А. Секционирование, ортогональность и перестановки // Вестн. С-Петербург. ун-та. Сер.1. 1999. Вын.1 (Ш). С. 16-21.

23. Машарский С. М. Гармонический анализ па базе дискретного преобразования Вилснкина-Крсстснсона Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. СПбГУ, 2001.

24. Новиков JI. В. Спектральный анализ сигналов в базисе всйвле-тов II Научное приборостроение. 2000. Т. 10. № 3. С. 57-64.

25. Meyer Y. Wavelets: Algorithms and Applications. SIAM, Philadelphia, 1993.

26. Smith S. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. Califirnia Technical Publ., 1999.