Взаимодействие разрывных акустических волн в средах с частотно-зависимым поглощением тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

Введение

Глава I. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД ОПИСАНИЯ

МОЩНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ПУЧКОВ

§1.1. Численное моделирование нелинейных акустических волн. Обзор литературы.

§ 1.2. Обобщение модифицированного спектрального подхода к описанию дифрагирующих фокусированных пучков большой интенсивности.

Выводы

Глава 2. НЕЛИНЕЙНОЕ ИСКАЖЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ МОЩНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СРЕДАХ СО СТЕПЕННЫМ ЧАСТОТНЫМ ЗАКОНОМ ПОГЛОЩЕНИЯ.

§2.1. Математические модели описания акустических волн в средах со степенным частотным законом поглощения. Обзор литературы.

§2.2. Поглощение и дисперсия скорости звука в биологических тканях.

§2.3. Нелинейная эволюция гармонического сигнала.

§2.4. Нелинейная эволюция одиночного импульса с ударным фронтом.

§2.5. Устойчивость разрывной структуры ударного фронта волны.

Выводы

Глава 3. ВЛИЯНИЕ СЕЛЕКТИВНОГО ПО ЧАСТОТЕ ПОГЛОЩЕНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В МОЩНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ ПОЛЯХ.

§3.1. Нелинейные акустические волны в средах с селективным поглощением. Обзор литературы.

§3.2. Влияние селективного поглощения второй гармоники на распространение плоской волны в режиме развитых разрывов.

§3.3. Влияние селективного поглощения на эволюцию мощного сфокусированного пучка.

Выводы

Глава 4. ЭФФЕКТЫ НЕЛИНЕЙНОГО НАСЫЩЕНИЯ ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СРЕДЕ С ЧАСТОТНО - ЗАВИСИМЫМ УСИЛЕНИЕМ

§4.1. Нелинейные волны в активных недиспергирующих средах. Обзор литературы.

§4.2. Теоретическая модель и численный алгоритм для описания нелинейных волн в средах с частотно - зависимым усилением.

§4.3. Влияние частотного закона усиления на процесс нелинейной стабилизации акустического поля.

§4.4. Влияние частотного закона усиления на характеристики установившегося акустического поля.

Выводы

В последнее время задачи о распространении нелинейных волн в средах с частотно - зависимым поглощением являются все более актуальными в связи с развитием многих современных практических приложений нелинейной акустики в области медицинского ультразвука [1 - 4], термоакустики [5 - 7], гидроакустики [8], а также для других областей физики, например, физике плазмы [9-10] и физике полупроводников [11 - 12]. Исследование влияния вида закона поглощения на протекание нелинейных волновых взаимодействий безусловно представляет также общефизический интерес. Особую значимость имеют задачи распространения сильно искаженных сигналов, содержащих разрывы.

Интерес к задаче о распространении нелинейных волн в средах со степенным по частоте законом поглощения связан во многом с современными приложениями мощного ультразвука в медицине, такими, как разрушение почечных камней сфокусированными ударными импульсами [13 - 16] (экстракорпоральная литотрипсия), ультразвуковая высокотемпературная гипертермия [2-4], нелинейная диагностика мягких тканей по второй гармонике [17-19], а также с задачами подводной акустики. Как известно, многие среды (например, морские осадки [20], биологические ткани [1]) имеют степенную зависимость коэффициента поглощения от частоты, близкую к линейной в диапазоне частот от одного до десятков мегагерц.

В области теории нелинейных волн в недиспергирующих средах детально изучены особенности нелинейных взаимодействий как в классических жидкостях с квадратичной зависимостью поглощения от частоты [21 - 22], так и цля сред с одним временем релаксации [23 - 24]. Для случая же иной (произвольной) частотной зависимости коэффициента поглощения от частоты эти явления изучены гораздо менее полно. Однако ясно, что вид закона поглощения может оказывать существенное влияние на протекание нелинейных процессов в интенсивных звуковых полях, изменяя каскадный процесс перехода энергии в высшие гармоники. Поэтому фундаментальный аспект данной проблемы представляет безусловный интерес, особенно в случае исследования волн, содержащих крутые участки - ударные фронты.

С развитием идеи о возможности управления нелинейными взаимодействиями путем введения селективного поглощения как способа подавления процесса перетекания энергии в высшие гармоники связана задача о взаимодействии нелинейных волн в средах с селективным поглощением на второй гармонике. Использование селективного поглощения в нелинейной акустике широко обсуждалась в 80-х годах [25-31], были получены теоретические результаты, проводились эксперименты в акустических резонаторах с селективными зеркалами [32]. Однако в основном изучался доразрывный режим распространения волн. При рассмотрении сильно искаженных волн, а также ограниченных пучков, когда эффекты дифракции и нелинейности рассматриваются одновременно, задача сильно усложняется и ее решение представляет собой отдельную проблему.

Активно развивается в последние годы такая сравнительно новая область физики как термоакустика [5 - 7], привлекая все большее внимание к решению задач, связанных с распространением нелинейных акустических волн в активных средах, т.е. в средах с усилением. Известно, что в среде с градиентом температур акустическая волна может усиливаться, следовательно, усиливаться будут и нелинейные эффекты, приводящие к образованию разрывов и эффективному поглощению энергии волны. Совместное действие усиления волны и нелинейного поглощения на ударных фронтах приводит к стабилизации профиля волны. Интересной задачей, в связи с этим, является исследование влияния частотной зависимости коэффициента усиления на установившиеся характеристики разрывной волны.

Аналитическое решение подобных задач удается найти лишь в исключительных случаях, и возникает необходимость в численном моделировании. В последнее время были созданы различные алгоритмы таких расчетов применительно к разным практическим областям: мощные шумы в гидроакустике, медицинские приложения мощного ультразвука, проблема звукового удара в сверхзвуковой авиации. Существующие численные алгоритмы прямого моделирования подобных задач в спектральном [33 - 39], во временном представлении [40 -45] или смешанном подходе [16, 46-49] требуют больших затрат машинного времени. Описание волн, содержащих разрывы, требует, в спектральном подходе, учета большого числа гармоник, или очень мелкой сетки во временном. Эта проблема становится еще более серьезной, если исследуются не обладающие аксиальной симметрией пучки [50,51]. Развитие в диссертационной работе оригинальных асимптотических методов численного описания разрывных волн, позволяющих решать описанные выше задачи при относительно небольшом затраченном машинном времени, является самостоятельной проблемой, актуальной для многих современных приложений.

Структура и содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и трех приложений.

ВЫВОДЫ

1. Показано, что в среде с усилением (отрицательным поглощением) образование разрывов и нелинейное поглощение на них приводит к стабилизации параметров волны. Установившиеся значения параметров поля зависят от вида зависимости коэффициента усиления от частоты.

2. Исследованы эффекты нелинейной стабилизации акустической волны в среде с усилением постоянным по частоте и пропорциональным корню из частоты, характерным для термоакустических установок.

3. Показано, что эффективность усиления волны ухудшается при усилении и повышается при поглощении высших гармоник. Поглощение высоких частот, а также дисперсия скорости звука являются механизмами предотвращения нелинейного поглощения. Установившаяся амплитуда волны может быть повышена поглощением высоких частот ее спектра.

Заключение

1. Развит новый асимптотический метод частотного описания мощных дифрагирующих акустических пучков в средах с произвольной зависимостью коэффициента поглощения от частоты. Метод позволяет моделировать распространение разрывных возмущений, используя относительно небольшое число гармоник. Разработаны соответствующие численные алгоритмы и пакеты программ. Проведена дополнительная оптимизация алгоритма для фокусированных пучков за счет введения неоднородной пространственной сетки, позволяющая существенно ускорить численный алгоритм. Используя развитый метод, исследовано влияние частотно - зависимого поглощения на распространение сильно искаженных волн с разрывами.

2. Исследованы особенности нелинейной эволюции периодического и импульсного акустических возмущений в средах со степенной зависимостью коэффициента поглощения от частоты.

3. Установлено, что нелинейное искажение и поглощение исходно гармонической волны в среде с частотным законом поглощения близким к линейному отличается от классического случая среды с квадратичным законом: меняется ширина и время образования разрыва, амплитуда пикового давления. В среде с линейным законом разрыв образуется раньше, является более узким и сохраняет ударную структуру дольше. Более длительная фаза эффективного нелинейного поглощения энергии волны на ударном фронте в среде с линейным законом приводит к тому, что на больших расстояниях амплитуда сигнала становится даже меньше, чем в среде с квадратичным законом поглощения.

4. Показано, что параметры степенного закона поглощения по-разному влияют на форму профиля ударного импульса, что обеспечивает принципиальную возможность использования нелинейных импульсных сигналов с ударным фронтом для диагностики параметров степенного закона поглощения среды.

5. Впервые исследована устойчивость бесконечно узкой структуры ударного фронта (математического разрыва) для нелинейных волн в средах с различными степенными законами поглощения. Показано, что разрыв является математическим, если коэффициент поглощения на высоких частотах растет не быстрее, чем по линейному закону.

6. Исследовано влияние селективного поглощения на второй гармонике на протекание нелинейных эффектов при распространении плоских волн и, впервые, для фокусированных пучков в режиме развитых ударных фронтов. Показано, что в доразрывном режиме распространения введение селективного поглощения проявляется в характерном искажении формы волны и в дополнительном поглощении энергии волны. Селективное поглощение не предотвращает, но задерживает образование ударного фронта, его амплитуда меньше, чем в отсутствии селективного поглощения, что приводит к меньшему нелинейному поглощению энергии волны и обеспечивает большие амплитуды и интенсивности.

7. Показано, что в среде с усилением (отрицательным поглощением) образование разрывов и нелинейное поглощение на них приводит к стабилизации параметров волны. Установившиеся значения параметров поля зависят от вида зависимости коэффициента усиления от частоты. Показано, что эффективность усиления волны ухудшается при усилении и повышается при поглощении высших гармоник. Поглощение высоких частот, а также дисперсия скорости звука являются механизмами предотвращения нелинейного поглощения. Установившаяся амплитуда волны может быть повышена путем введения поглощения высоких частот ее спектра.

1. К. Хилл. Применение ультразвука в медицине. Физические основы. М.: Мир, (1989).

2. J. Y. Chapelon, D. Cathignol. High energy ultrasound therapy: Part 1 High intensity focused ultrasound (HIFU). - In: Advances in Nonlinear Acoustics. (Proc. 13th ISNA, Bergen, Norway, 1993), ed. H. Hobaek, World Scientific, Singapure, 21 -29, (1993).

3. G. R. Ter Haar, I. H. Rivers, E. Moscovic, R. Huddurt, A. G. Yisioly. Phase 1 clinical trail of the use of focused ultrasound surgery for the treatment of soft tissue tumors. SPIE. V. 3249, 270 - 276, (1998).

4. N. Rott. The heating effect connected with non-linear oscillations in a resonance tube. Z. Angew. Math. Phys., V. 25, 619 - 634, (1974).

5. G. W. Swift. Thermoacoustic engines. J. Acoust. Soc. Am., V. 84, N4, 1145 -1180,(1988).

6. G. W. Swift. Analysis and performance of a large thermoacoustic engine. J. Acoust. Soc. Am., V. 92, N 3, 1551 - 1563, (1992).

7. Б. К. Новиков, О. В. Руденко, В. И. Тимошенко. Нелинейная гидроакустика. JL: Судостроение, (1981).

8. N. Е. Molevich. About some possible mechanisms of intensive whirl excitation in nonequilibrium media. In proc. of The 3rd Workshop on magneto - plasma Aerodynamics in aerospace application, Moscow, IVTAN, 343 - 346, (2001).

9. Г. А. Галечан. Акустические волны в плазме. Успехи Физич. Наук, Т. 165, N 12, 1357- 1379, (1995).

10. Ю. В. Гуляев, П. Е. Зильберман. К теории параметрического взаимодействия акустических волн в пьезополупроводнике. Физика и техника полупроводников, Т. 5, 126 - 133, (1971).

11. S. Zemon, J. Zucker, J. H. Wasko, E. M. Conwell, A. K. Ganguly. Parametric amplification of ultrasonic waves in CdS. Appl. Phys. Lett., V. 12, 378, (1968).

12. С. Chaussy, G. J. Fuchs. Current state and future developments of noninvasive treatment of human urinary stones with extracorporeal shock wave lithotripsy. J. Endourology, V. 141, 782 - 789, (1989).

13. M.Bailey. Control of Acoustic cavitation with application to lithotripsy. -Technical Report under Grant N00014-89-J-1109, Applied Research Lab, UT Austin, (1997).

14. A. J. Coleman and J. E. Sanders. A survey of the acoustic output of commercial extracorporial Shockwave lithotripters. Ultrasound in Med. & Biol., V. 15, N3, 213 - 227, (1989).

15. P. T. Christopher. Modeling the Dornier HM3 lithotripter. J. Acoust. Soc. Am., V. 96,3088 -3095, (1994).

16. Peter N. Burns, David Hope Simpson and Michalakis A. Averkiou. Nonlinear Imaging. Ultrasound in Med. & Biol., V. 26, Supplement 1, 19 - 22, (2000).

17. Francis A. Duck. Nonlinear acoustics in diagnostic ultrasound. Ultrasound in Med. & Biol., V. 28, N 1, 1 - 18, (2002).

18. Michalakis A. Averkiou. Tissue Harmonic Imaging. in Proc. Of IEEE International Ultrasonics Symposium, (2000).

19. C. W. Horton Sr. Dispersion relationships in sediments and sea water. J. Acoust. Soc. Am., V. 55, N 3, 547 - 549, (1974).

20. О. В. Руденко, С. И. Солуян. Теоретические основы нелинейной акустики. -М.: Наука, (1975).

21. М.Б.Виноградова, О. В. Руденко, А. П. Сухорукое. Теория волн. М.: Наука, (1990).

22. А.Л.Полякова, С. И. Солуян, Р. В. Хохлов. К вопросу о распространении конечных возмущений в релаксирующей среде. Акуст. журн., Т. 8, N 1, 107- 112,(1962).

23. В. Г. Андреев, Р. О. Кливлэнд, Ю. А. Пищальников, О. А. Сапожников, В. А. Хохлова. Диагностика релаксирующей среды акустическим импульсом с ударным фронтом. Акуст. журн., Т. 45, N 1, 13 - 19, (1999).

24. Н. С. Woodsum. Enhancement of parametric efficiency by saturation suppression. J. Sound and Vibration, V. 69, N 1,27 - 33, (1980).

25. M. B. Moffet, R. H. Mellen. On absorption as a means of saturation suppression. -J. Sound and Vibration, V 76, N 2, 295 298, (1981).

26. D. H. Trivett, A. L. Van Buren. Propagation of plane, cylindrical, and spherical finite amplitude waves. J. Acoust. Soc. Am., V. 69, N 4, 943 - 949, (1981).

27. О. В. Руденко. К проблеме искусственных нелинейных сред с резонансным поглотителем. Акуст. Журн., Т. 29, N 3, 398 - 402, (1983).

28. В. Г. Андреев, О. В. Руденко. Об одном способе подавления нелинейных искажений и эффективного удвоения частоты интенсивной звуковой волны. 10 Всесоюзная Акустич. Конф., Москва, 24 - 27, (1983).

29. В. Г. Андреев, О. А. Васильева, О. В. Руденко, Е. А. Лапшин. Процессы генерации второй гармоники и вынужденного параметрического усиления в среде с селективным поглощением. Акуст. Журн., V. 31, N1, 12-16, (1985).

30. В. Г. Андреев, В. Э. Гусев, А. А. Карабутов, О. В. Руденко, О. А. Сапожников. Повышение добротности нелинейного акустического резонатора с помощью селективного поглощающего зеркала. Акуст. Журн., Т. 31, N2, 162 - 163,(1985).

31. A. Korpel. Frequency approach to nonlinear dispersive waves. J.Acoust. Soc. Am., V. 67, N 6, 1954 - 1958, (1980).

32. S. I. Aanonsen, T. Barkve, J. Naze Tjotta, and S Tjotta. Distortion and harmonic generation in the nearfield of a finite amplitude sound beam. J. Acoust. Soc. Am., V. 75, N 3, 749 - 768, (1984).

33. A. C. Baker, K. Anastasiadis, and V. F. Humphrey. The nonlinear pressure field of a plane circular piston: Theory and experiment. J. Acoust. Soc. Am., V. 84, 1483 - 1487,(1988).

34. T. Kamakura, N. Hamada, K. Aoki, and Yu. Kumamoto. Nonlinearity generated spectral components in the nearfield of a directive sound source. J. Acoust. Soc. Am., V. 85, 2331 -2337,(1989).

35. J. Naze Tjotta, S. Tjotta, and E. H. Vefring. Propagation and interaction of two collimated finite amplitude sound beams. J. Acoust. Soc. Am., V. 88, 2859 -2870, (1990).

36. P. Т. Christopher and Kevin J. Parker. New approaches to nonlinear diffractive field propagation. J. Acoust. Soc. Аш., V. 90, N 1, 488 - 499, (1991).

37. H. С. Бахвалов, Я. M. Жилейкин, Е. А. Заболотская. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука, (1982).

38. О. А. Васильева, А. А. Карабутов, Е. А. Лапшин, О. В. Руденко. Взаимодействие одномерных волн в средах без дисперсии. М.: МГУ, (1983).

39. Y. S. Lee, М. F. Hamilton. Time-domain modeling of pulsed finite amplitude sound beams. J. Acoust. Soc. Am., V. 97, N 2, 906 - 917, (1995).

40. R. O. Cleveland, J. P. Chambers, H. E. Bass, R. Raspet, D. T. Blackstock, and M. F. Hamilton. Comparison of computer codes for the propagation of sonic boom waveforms through isothermal atmospheres. J. Acoust. Soc. Am., V. 100, 3017-3027, (1996).

41. R. O. Cleveland, M. F. Hamilton, and D. T. Blackstock. Time-domain modeling of finite-amplitude sound in relaxing fluids. J. Acoust. Soc. Am., V. 99, N 6, 3312- 3318,(1996).

42. M. A. Averkiou and M. F. Hamilton. Nonlinear distortion of short pulses radiated buy plane and focused circular pistons. J. Acoust. Soc. Am., V. 102, N 5, 2539 -2548,(1997).

43. J. Tavakkolly, D. Cathignol, R. Souchon, and O. A. Sapozhnikov. Modeling of pulsed finite amplitude focused sound beams in time domain. - J. Acoust. Soc. Am., V. 104, N 4, 2061 - 2072, (1998).

44. F. M. Pestorius. Propagation of plane acoustic noise of finite amplitude. Tech. Rep. ARL-TR-7323 , Applied Research Laboratory, The University of Texas at Austin, AD 778 868,(1973).

45. F. S. McKedree. A numerical solution of the second order - nonlinear acoustic equation in one and three dimensions. - PhD thesis, the Pennsilvania State University, (1981)

46. P. T. Christopher. A nonlinear plane-wave algorithm for diffractive propagation involving shock waves. J. Comput. Acost., V. 1, 371 - 393, (1993).

47. Т. Kamakura, М. Tani, У. Kumamoto, and К. Ueda. Harmonic generation in finite amplitude sound beams from rectangular aperture source. J. Acoust. Soc. Am., V. 91,3144-3151,(1992).

48. A.C.Baker, A. M. Berg, A. Sahin, and J. Nase Tjotta. The nonlinear pressure field of plane rectangular apertures: Experimental and theoretical results. J. Acoust. Soc. Am., V. 97, 3510 - 3517, (1995).

49. F. M. Pestorius, D. T. Blackstock. A computer algorithm for predicting propagation of intensive acoustic signals of arbitrary wave form. J. Acoust. Soc. Am., V. 53,383,(1973).

50. A. N. Dubrovsky, V. A. Khokhlova, O. A. Sapozhnikov. Nonlinear and diffraction effects in a beam of weak shocks. In: Advances in Nonlinear Acoustics. (Proc. 13th ISNA, Bergen, Norway, 1993), ed. H. НоЬжк, World Scientific, Singapure, 227-232,(1993).

51. О. В. Руденко, В. А. Хохлова. Кинетика одномерных пилообразных волн -Акуст. журн., Т. 37, N 1, 182- 188,(1991).

52. V. A. Khokhlova, О. A. Sapozhnikov. Modification of the spectral method for describing nonlinear acoustic waves containing shocks. J. Acoust. Soc. Am., V. 96, N 11, Pt. 2, 105,(1994).

53. Ю. А. Пищальников, О. А. Сапожников, В. А. Хохлова. Модификация спектрального подхода к описанию нелинейных акустических волн с разрывами. Акуст. Журн., Т. 42, N 3, 412 - 417, (1996).

54. M. F. Hamilton, V. A. Khokhlova, О. V. Rudenko. Analytical method for describing the paraxial region of finite amplitude sound beams. J. Acoust. Soc. Am., V. 101, N 3, 1298 - 1308, (1997).

55. M. Ф. Гамильтон, О. В. Руденко, В. А. Хохлова. Новый метод расчета параксиальной области интенсивных звуковых пучков. Акуст. Журн., Т. 43, N 1,48-53,(1997).

56. М. O'Donnell, Е. Т. Janes, J. G. Miller. General relationships between ultrasonic attenuation and dispersion. J. Acoust. Soc. Am., V. 63, N 6, 1935 - 1937, (1978).

57. M. O'Donnell, E.T.Janes, J.G.Miller. Kramers-Kronig relationship between ultrasonic attenuation and phase velocity. J. Acoust. Soc. Am., V. 69, N 3, 696 -701,(1981).

58. А. И. Осипов, А. В. Уваров. Кинетические и газодинамические процессы в неравновесной молекулярной физике. Успехи Физ. Наук, Т. 162, N 11, 1 -42, (1992).

59. V. Gusev, H. Bailliet, P. Lotton, M. Bruneau. Asymptotic Theory of Nonlinear Acoustic Waves in a Thermoacoustic Prime-Mover. ACUSTICA, acta acústica, V. 85, 1 - 14, (1999).

60. С. С. Кащеева, В. А. Хохлова. Нелинейная эволюция импульса с ударным фронтом в среде со степенным частотным законом поглощения. Изв. Акад. Наук, сер. физическая, Т. 62, N 12, 2375-2378, (1998).

61. С. С. Кащеева, О. А. Сапожников, В. А. Хохлова, М. А. Аверкью, JI. А. Крам. Нелинейное искажение и поглощение мощных акустических волн в среде со степенной зависимостью коэффициента поглощения от частоты. Акуст. журн., Т. 46, N 2,211 - 219, (2000).

62. С. С. Кащеева, В. А. Хохлова. Эффекты акустической нелинейности при фокусировке мощного ультразвукового пучка в неоднородной среде. Труды X сессии Российского Акустического Общества, 357 - 360, (2000).

63. С. С. Кащеева и В. А. Хохлова. Влияние селективного по частоте поглощения на нелинейные эффекты в мощных акустических полях. -Материалы 2-й Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики» (9-14 октября 2000 г., Саратов), 96, (2000).

64. V. A. Khokhlova, О. A. Sapozhnikov, S. S. Kashcheeva, P. Lotion, V. E. Gusev, S. Job, and M. Bruneau. Nonlinear acoustic waves in quasi-adiabatic thermoacoustic prime-movers. In: Proc. of 5th French Congress on Acoustics, Lousanna, 242 - 245, (2000).

65. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. Под ред. А. Б. Шабата, М.: Мир, (1977).

66. О. В. Руденко, О. А. Сапожников. Мощные акустические пучки: самовоздействие разрывных волн, фокусировка импульсов и экстракорпоральная литотрипсия. Вестн. Моск. Ун-та, сер. 3. Физика, астрономия, N1,3-17, (1991).

67. Е.А.Заболотская и Р. В. Хохлов. Квази-плоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков. Акуст. Журн., Т. 15, 35 - 40, (1969).

68. В.П.Кузнецов. Уравнения нелинейной акустики. Акуст. Журн., Т. 16, 467-470, (1971).

69. J. Naze Tj0tta, S Tjotta, and E. H. Vefring. Effects of focusing on the nonlinear interaction of two collimated finite amplitude sound beams. J. Acoust. Soc. Am., Y. 89, N 3, 1017- 1027, (1991).

70. T. Kamakura, T. Ishivata, K. Matsuda. Model equation for strongly focused finite-amplitude sound beams. J. Acoust. Soc. Am., V. 107, N 6, 3035 - 3045, (2000).

71. B. Ystad and J. Bernsten. Numerical solution of parabolic equations for strongly curved focusing sources. Acta Acustica, V. 82, 698 - 706, (1996).

72. J. Naze Tjotta, and S. Tjotta. Model equation and boundary condition for the sound field from a high-frequency, strongly curved and highly intense transducer. Acta Acustica, V. 1, 69 - 87, (1993).

73. W. H Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery. Numerical Recipes in Fortran. 2nd ed. Cambridge U. P., New York, (1992).

74. В. M. Пасконов, В. И. Полежаев, Jl. А. Чудов. Численное моделирование тепло и масоообмена. - М.: Наука, (1984).

75. Е. А. Филоненко, В. А. Хохлова. Эффекты акустической нелинейности при терапевтическом воздействии мощного фокусированного ультразвука на биологическую ткань. Акуст. Журн., Т. 47, N 4, 541 - 549, (2001).

76. V. A. Khokhlova, R. Souchon, J. Tavakkoly, О. A. Sapozhnikov, D. Cathignol. Numerical modeling of finite amplitude sound beams: Shock formation in the near field of a cw plane piston source. - J. Acoust. Soc. Am., V. 110, N 1, 95108,(2001).

77. Halvor Hobaek, Bj0rnar Ystad. Experimental and numerical investigation of shock wave propagation in the post focal region of a focused sound field. ACUSTICA. acta acustica, V. 83, 978 - 986, (1997).

78. S. Nachef, D. Cathignol, J. N. Tjeitta, A. M. Berg, S. Tjotta. Investigation of a high intensity sound beam from a plane transduser. Experimental and theoretical results. J. Acoust. Soc. Am., V. 98, N 4,2303 - 2322, (2001).

79. T. S. Hart and M. F. Hamilton. Nonlinear effects in focused sound beams. J. Acoust. Soc. Am., V. 84, N 4, 1488 - 1496, (1988).

80. J. A. Fleck Jr., J. R. Morris, and M. D. Feit. Time-dependent Propagation of High- Energy Laser Beams through the atmosphere: 11*. - Appl. Phys., V. 14, 99115,(1977).

81. E. А. Волкова, В. П. Кандидов. Математическое моделирование явления обращения волнового фронта при ВРМБ в сфокусированных пучках. -5158, (1988).

82. В.И.Таланов. О фокусировке волновых пучков в нелинейных средах. -Письма в ЖЭТФ, Т. 2, 218-222, (1965).

83. В. И. Таланов. О самофокусировке электромагнитных волн в нелинейных средах. Изв. Вузов, Радиофизика, Т. 7, 564 - 569, (1964).

84. В. И. Таланов. О фокусировке света в кубических средах. Письма в ЖЭТФ, Т. 2,303,(1970).

85. Ping Wah Li. Modeling of one-dimensional weakly nonlinear waves that propagate in a media with arbitrary dissipation and dispertion mechanisms. - Phys. Rev. E., V. 50, N 6, 4728 - 4734, (1994).

86. D. R. Bacon, E. L. Carstensen. Increased heating by diagnostic ultrasound due to nonlinear propagation. J. Acoust. Soc. Am., V. 88, N 1, 26 - 34, (1990).

87. T. Christofer and E. L. Carstensen. Finite amplitude distortion and its relationship to linear derating formulae for diagnostic ultrasound systems. Ultrasound in Medicine and Biology, V. 22, N 8, 1103 - 1116, (1996).

88. W. Cai, D. Gottlieb, and C. W. Shu, Essentially nonoscillatory spectral Fourier methods for shock wave calculations. Math. Сотр., V. 52, 389 - 410, (1989).

89. M. Абрамович и др. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.: Наука, (1979).

90. Thomas L. Szabo. Time domain wave equations for lossy media obeying a frequency power law. J. Acoust. Soc. Am., V. 96, N 1, 491 - 500, (1994).

91. Thomas L. Szabo. Causal theories and data for acoustic attenuation obeying a frequency power law. J. Acoust. Soc. Am., V. 97, N 1, 14 - 24, (1995).

92. D. R. Bacon. Finite amplitude propagation in acoustic beams. Ph.D.thesis, Bath University, UK, (1986).

93. M. D. Collins. The time-domain solution of the wide-angle parabolic equation including the effects of sediment dispersion. J. Acoust. Soc. Am., V. 84, 2114 -2125,(1988).

94. J. Tavakkoli, O. Sapozhnikov, R. Souchon, A. Birer, D. Cathignol. A numerical model for propagation of focused finite-amplitude acoustic waves in pulsed regime. Ultrasonics International 97, 1-4 July, Delft, Netherland, (1997).

95. Chin C. Lee, Mike Lahham, B.G.Martin. Experimental verification of the Kramers Kronig relationship for acoustic waves. - IEEE Transactions on ultrasonics. Ferroelectrics and frequency control. V. 37, N 4, 286 - 294, (1990).

96. B. Cranz. Measurement of shock wave properties after the passage through a tissue mimicking material. Ultrasonic Symposium, (1994).

97. P. Ted Christopher, Kevin J. Parker. Absorption of finite amplitude focused ultrasound. J. Acoust. Soc. Am., V. 89, N 5, 2435 -2447, (1991).

98. G. W. Gaitan and A. A. Atchley. Finite amplitude standing waves in harmonic and anharmonic tubes. J. Acoust. Soc. Am., V. 93, N 5,2489 - 2495, (1993).

99. Yu. A. Ilinskii, B. Lipkens, T. S. Lucas, T. W. Van Doren, and E. A. Zabolotskaya. Nonlinear standing waves in an acoustical resonator. J. Acoust. Soc. Am., V. 104, N 5, 2664 - 2674, (1998).

100. А. И. Осипов, А. В.Уваров. Кинетические и газодинамические процессы в неравновесной молекулярной физике. Успехи Физич. Наук, Т. 162, N 11, 1 -42, (1992).

101. Е. Ott, W. М. Manheimer, D. L. Book. Model equations for mode coupling saturation in unstable plasmas. Phys. Fluids., V. 16, N 6, 855- 862, (1973).

102. V. G. Makarian, N. E. Molevich. Stationary high-frequency structures in vibrationally excited gas. V Int. School - Seminar Nonequilibrium Processes and their Applications, Contrib. Papers. Minsk, Belarus, 20-23, (2000).

103. T. Kawahara. Formation of Saturated Solitons in a Nonlinear Dispersive System with Instability and Dissipation. Phys. Rev. Lett., V. 51, N 5, 381 - 383, (1983).

104. P. Merkli, H. Thomaim. Thermoacoustic effects in a resonance tube. J. Fluid Mech., V. 70 (part 1), 161 - 177, (1975).

105. A. Atchley, H.E.Bass, T. J. Hofler. Development of Nonlinear Waves in a Thermoacoustic Prime mover. In: Frontiers of Nonlinear Acoustics. (Proc. 12th ISNA, ed. M. F. Hamilton and D. T. Blackstock, Elsevier, London), 603 - 609, (1990).

106. T. Yazaki, S. Takashima, F. Mizutani. Complex quasiperiodic and chaotic states observed in thermally induced oscillations of gas columns. Phys. Rev. Lett., V.58,N 1 1, 1108 - 1111,(1987).

107. E. Ya. Kogan, N. E. Molevich. Sound wave propagation in a nonequilibrium fluid. Acoustical Physics, V. 41, N 4, (1995).

108. JI. Д. Цендин. Влияние разогрева электронов на акустическую неустойчивость плазмы в электрическом поле. ЖТФ, Т. 35, N 11, 1972-1977,(1965).

109. U. Ingard. Acoustic wave generation and amplification in a plasma. Phys. Rev., V. 145, N 1,41 -46,(1966).

110. E. Я. Коган, В. H. Мальнев. Распространение звука в колебательно -возбужденном газе. ЖТФ, Т. 47, N 3, 653 - 656, (1977).

111. Е. Я. Коган, С. С. Моисеев, Н. Е. Молевич, А. В. Тур. Возбуждение вихревых структур в неравновесном молекулярном газе. ЖТФ, Т. 55, N 10, 2036 -2038,(1985).

112. Е. Я. Коган, Н. Е. Молевич. Возбуждение волн в неравновесном газе с VRT -механизмом релаксации. ЖТФ, Т. 55, N 4, 754 - 755, (1985).

113. Е. Я. Коган, Н. Е. Молевич. Звуковые волны в неравновесном молекулярном газе. Изв. Вузов, сер. физическая, Т. 29, N 7, 53 - 58, (1986).

114. В. И. Демидов, С. К. Рытенков, В. Н. Скребов. Акустическая неустойчивость рекомбинирующей плазмы инертных тазов. ЖТФ, Т. 58, N 7, 1413 - 1415, (1988).

115. S. D. Strickler, А. В. Stewart. Radial and azimuthal standing sound waves in a glow discharge. Phys. Rev. Lett., V. 11, 527 - 529, (1963).

116. I. Alexeff, R. V. Neidigh. Observations of Ionic Sound Waves in Plasmas: Their properties and Applications. Phys. Rev., V. 129, N 2, 516 - 527, (1963).

117. Н.Л.Александров, А. П. Напартович, А. Ф. Паль, А.О.Серов, А. Н. Старостин. Усиление звуковых волн в плазме газового разряда. Физ. Плазмы, Т. 16, N 7, 862 - 870, (1990).

118. А.И.Осипов, А.В.Уваров. Распространение нелинейных гидродинамических возмущений в колебательно неравновесном газе. -Хим. Физика, Т. 6, N 3, 385 - 389, (1987).131. .Лорд Релей. Теория звука. М.: Технико-теоретическая литратура, Т. 2, сек. 322,(1955).

119. К. Т. Feldman. A study of heat generated pressure oscillations in a closed end pipe. Bur. Eng. Res. Rep. ME-18, (1966).

120. K. W. Taconis. Vapor liquid equilibrium of solutions of 3He in 4He. - Physica, V. 15,738,(1949).

121. T. Yazaki, A. Tominaga, and Y. Narahara. Experiments on thermally driven acoustic oscillations of gaseous helium. J. Low Temp. Phys., V. 41, 45 -60, (1980).

122. N. Rott. Thermoacoustics. Adv. Appl. Mech., V. 20, 135, (1980).

123. N. Rott. Thermally driven acoustic oscillations, part II: Stability limit for helium. -Z. Angew. Math. Phys., V. 24, 54, (1973).

124. N. Rott. Thermally driven acoustic oscillations, part III: Second order heat flux. -Z. Angew. Math. Phys., V. 26, 43, (1975).

125. N. Rott. Thermally driven acoustic oscillations, part VI: Excitation and power. Z. Angew. Math. Phys., V. 34, 609, (1983).

126. J. S. Wheatley, T. Hofler, G.W.Swift, and A. Migliori. Understanding some simple phenomeha in thermoacoustics with applications to acoustical heat engines. Am. J. Phys., V. 53, 147, (1985).

127. T. Hofler. Concepts for thermoacoustic refrigeration and a practical device. Proc. Of the 5th International Cryocooler Conference, Monterey, CA, 93, (1998).

128. N. Gao, J. R. Olson and G. W. Swift, S.Chen. Energy flux density in a thermoacoustic couple. J. Acoust. Soc. Am., V. 92, N 3, 1551 - 1563, (1992).

129. A. Atchley, H.E.Bass, T. J. Hofler and Hsiao-Tseng Lin. Study of a thermoacoustic prime mover below onset of self-oscillation. J. Acoust. Soc. Am., V. 91, N. 2, 734 - 743, (1992).

130. A. Atchley. Standing wave analysis of a thermoacoustic prime mover below onset of self-oscillation. J. Acoust. Soc. Am., V. 92, N 5, 2907-2914, (1992).

131. S. Job, V. Gusev, P. Lotton, M. Bruneau. Influence of acoustic streaming on temperature distribution in annular thermoacoustic prime mover. Book-abstracts First Int. Workshop on Thermoacoustics, Hertogenbosch, The Netherlands, 15, (2001).

132. T. Yazaki, A. Iwata, T. Maekawa, and A. Tominaga. Travelling Wave thermoacoustic Engine in a Lopped Tube. Phys. Rev. Lett., V. 81,N15,3128-3131, (1998).

133. S. Backhaus and G. W. Swift. A thermoacoustic Stirling heat engine: Detailed study. - J. Acoust. Soc. Am., V. 107, N 6, 3148 - 3166, (2000).

134. V. E. Gusev, H. Bailliet, P. Lotton, S. Job, and M. Bruneau. Enhancement of the Q of a nonlinear acoustic resonator by active suppression of harmonics. J. Acoust. Soc. Am., V. 103, N6, 3717-3719, (1998).