Задачи оптимального управления и существование сильных решений начально-краевых задач моделей движения вязкоупругой среды Джеффриса

Кузнецов, Александр Владимирович

Задачи оптимального управления и существование сильных решений начально-краевых задач моделей движения вязкоупругой среды Джеффриса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Кузнецов, Александр Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Задачи оптимального управления и существование сильных решений начально-краевых задач моделей движения вязкоупругой среды Джеффриса»

Автореферат диссертации на тему "Задачи оптимального управления и существование сильных решений начально-краевых задач моделей движения вязкоупругой среды Джеффриса"

На правах рукописи

Кузнецов Александр Владимирович

Задачи оптимального управления и существование сильных решений начально-краевых задач моделей движения вязкоупругой среды Джеффриса

ии^4Б1748

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж 2009

003461748

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических паук, профессор Звягин Виктор Григорьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук, профессор Фурсиков Андрей Владимирович

Ведущая организация - Российский университет дружбы народов (факультет физико-математических и естественных наук).

Защита состоится "17" февраля 2009 г. в 15.10 на заседании диссер-тационого совета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан января 2009 г. Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, профессор Орлов Владимир Петрович

диссертационного совета

Гликлих Ю.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В окружающем миро повсеместно наблюдается движение разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям (газов, гелей, золей и других). Математическое описание этого движения является интересной и трудной задачей. Уже при исследовании самых простых уравнений движения жидкостей и сред, близких к жидкостям, возникло множество нерешенных до настоящего момента м атом ати ч еских п роблом.

Начала гидродинамики (науки о движении жидкостей) были заложены Влезом Паскалем, Даниилом Берпуллн и Леонардом Эйлером. Развитие эта наука получила в трудах Лагранжа, Даламбера, Лапласа, Наш,с, Стокса и других. Обычной гидродинамической проблемой является вычисление различных характеристик жидкости (таких, как скорость, давление, плотность) как функций от времени и точки пространства.

Объектом изучения классической гидродинамики являются идеальные жидкости (жидкости, у которых отсутствуют сдвиговые напряжения) и ньютоновские жидкости (у которых сдвиговые напряжения пропорциональны скорости деформации). Основное математическое уравнение, описывающее движение идеальной жидкости, называется уравнением Эйлера, а основное математическое уравнение для ньютоновской жидкости называется уравнением Навье-Стокса.

Различные начальные, краевые и начально-краевые задачи для уравнений Навье-Стокса и Эйлера исследовались очень многими авторами. Наиболее известны работы Ж. Лере, O.A. Ладыженской, Т. Като, Р. Темама, Ж. Лионса и др. Тем не менее основной вопрос: проблема глобального по времени существования гладкого решения начально-краевой задачи при гладких начальных данных остается открытым. Пока существование такого решения доказано только для случая плоскопараллельных течений. В трехмерном случае для уравнения Навьс-Стокса доказано существование решения при малых данных задачи.

Одним из возможных выходов из сложившейся ситуации стало применение обобщенной постановки начально-краевой задачи с использованием некоторого равенства функционалов. Решения такой задачи называют слабыми решениями, и любое обычное решение всегда является и слабым. Для уравнения Навье-Стокса доказано глобальное

но времени существование слабого решения начально-краевой задачи. Однако проблема единственности этого решения остается открытой.

С другой стороны, давно было замечено, что многие реальные среды (битумы, кровь, полимеры, тесто, земная кора, бетон и другие) не описываются моделями классической гидродинамики, хотя но многим признакам близки к жидкостям. Такие объекты получили название "неньютоновские жидкости". Имеется большое число моделей, описывающих разные классы таких сред. Следует отметить, что эти объекты не столь подробно изучены с точки зрения математических постановок задач, в первую очередь из-за того, что они являются еще более сложными, чем задачи, порождаемые классической гидродинамикой. Тем не менее, и здесь имеются десятки работ таких авторов, как O.A. Ладыженская, К. Гильопс, Ж. Со, М. Рснарди, В.Г. Литвинов, А.П. Осколков, П.Е. Соболевский, В.Г. Звягин, Ю.Я. Агранович, В.Т. Дмит-риенко, Д.А. Воротников, М.В. Турбин и многих других.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию вопросов существования и некоторых свойств решений начально-краевых задач и связанных с ними задач оптимального управления, описывающих движение различных несжимаемых жидкостей и сред, близких к жидкостям.

Вообще говоря, движение несжимаемой среды с постоянной плотностью р = const определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши

+ Е Л) = Diw + Pf о, (*> е [о, т] х n (1)

¿=1 1

divv = 0, (t,x) 6 [0,Т] х SX (2)

Здесь ilcR"- область, v = (v1,..., vn) - вектор скорости точек среды, /о - плотность внешних сил, а - девиатор тензора напряжений (все они зависят от точки пространствах и момента времени t). Дивергенция div берется по переменной х. Дивергенция Div от тензора а - это

п д^

вектор с координатами (Divcr)j = £ .

t=i

Тип рассматриваемой среды определяется выбором определяющего соотношения между а и тензором скоростей деформации £{v) — {£ij(v))T=C?v £ij(v) = Нщ + • Так> °дип класс сред связан с

постулатом Стокса о том, что дсвиатор тензора напряжения (т.е. тензор напряжений минус его изотропная компонента) б точке и данный момент времени полностью определяется тензором скоростей деформации в этой же точке в этот момент времени. Это концепция линейпо-и нелинейно-вязкой жидкости. Примерами моделей нелинейно-вязких жидкостей являются модели Прандтля и Эйринга. Частным случаем этой концепции является также линейно-вязкая жидкость с определяющим соотношением

Здесь p(t, х) — скалярная функция давления, а коэффициенту называется вязкостью. При Г] > 0 соотношение (3) определяет ньютоновскую жидкость, и, подставляя (3) в (1), можно получить уравнение Навье-Сгокса. При г/ = 0 соотношение (3) задает идеальную жидкость, и, подставляя (3) в (1), можно получить уравнение Эйлера.

Однако концепция нелинейно-вязкой жидкости не является удовлетворительной для всех сред. В частности, она не подходит для сред "с памятью": битумов, бетонов, разнообразных полимеров и растворов полимеров, земной коры и др. Один из способов учесть эффекты памяти - ввести в определяющее соотношение производные по времени. На этом пути возникли модели Максвелла, Джеффриса, Олдройда, Jlap-сона, Гизекуса, Фан-Тиена-Таннера, Сприггса и другие. Особый интерес представляют модели движения вязкоупругих сред, в которых определяющее отношение удовлетворяет требованию объективности, т.е. является инвариантным при изменении системы отсчета. Примером таких моделей может служить модель с производной Олдройта

где а € [-1,1], а = (а^С^ М") = (W(«))j=C£ - тензор за-

вихренпости, = ¿(^п - г,з = 1,...,п. Частный случай

производной Олдройта при а = 0 называется производной Яуманна.

а = -pi + 2г)£.

(3)

o + o\V{v)-W{v)o+a{a£{v)+£{v)o), (4)

тических моделей движения вязкоупругих сред типа Джсффриса с полной производной и объективной производной Яуманпа.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного нелинейного анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, методы теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, аипроксима-ционно-топологический метод исследования задач гидродинамики, разработанный В.Г. Звягиным и его учениками, методы теории топологической степени, априорных оценок и др. Также использовались методы, предложенные A.B. Фурсиковым для исследования задач оптимального управления и установления плотности множества правых частей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Доказана плотность множества правых частей для модели движения вязкоуиругой среды с производной Яуманпа в некоторых специально выбранных топологиях.

2. Доказано существование решения задачи управления правыми частями в модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманпа для определенного класса функционалов цены.

3. Доказано существование решения задачи граничного управления в модели движения вязкоупругой среды с полной производной.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании различных течений нелинейно-вязких, вязкоупругих и нелинейных вязкоупругих жидкостей и сред.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах (2005, 2008), научной сессии ВГУ (2008), семинаре под руководством профессора М. И. Вишика (МГУ, 2008), семинаре иод руководством проф. А.Л. Скубачевского (РУДН, 2008).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантами РФФИ № 07-01-00137, № 08-01-00192.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах |1] - |5]. Из совместной работы [5] в диссертацию вошли только принадлежащие Кузнецову A.B. результаты.

Работа [5] издана в журнале, входящем в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состои т из введения, трех глав, разбитых на девятнадцать пунктов, и списка литературы, включающего 42 источника. Окончания доказательств отмечены знаком □. Общий объём диссертации 130 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении приводятся краткие исторические и библиографические сведения о предмете исследования, кратко характеризуется тема работы, сё цели и задачи. Дано общее описание изучаемых проблем, основные направления и методы исследования. Характеризуются полученные в диссертации результаты.

Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с нумерацией в диссертации.

В первой главе исследуются решения задачи оптимального управления правыми частями, связанной со следующей системой уравнений, описывающей модель движения вязкоупругой несжимаемой среды с производной Яуманна:

с1т; = 0, и|[0,т]хОП = = Щ, / р(^,х)йх = 0, (7)

где Г2 - фиксированная ограниченная область в К", п = 2,3, Ах -время релаксации, А2 - время ретардации, 0 < Аг < А1, р - функция давления, и - управленце (внешняя сила). Далее во всей диссертации область П предполагается односвязной, но все полученные результаты легко обобщаются и па случай многоезязпых областей.

Данная модель применяется для описания движения вязкоупругих сред типа жидких растворов полимеров, битумов, бетона, земной коры. На настоящий момент существование глобальных по времени сильных

решений для начально-краевой задачи модели Джсффриса с объективной производной даже в плоском случае является открытой проблемой. В этой главе рассмотрена задача оптимального управления этой системой и наличие функционала позволило доказать существование сильного решения как в двумерном, так и в трехмерном случае. Для системы Навье-Стокса аналогичный результат получен ранее в работах A.B. Фурсикова.

В первом и втором пунктах рассматриваются: задача оптимального управления правыми частями, связанная с моделью вязкоупругой несжимаемой среды с производной Яуманна - системой (5)-(7), необходимые обозначения и теоремы.

В третьем пункте вводятся понятия обобщенного решения для задачи (9), (11), обобщенного решения для задачи оптимального управления системой (8)-( 11), обозначения W = W(V2, Н), ¡Х\ = r/(А2/А1), ti2 = {ri-tn)/\ь ga(r,Vv) = rW(v) -W{v)t, veW,re L^T-Xi). Используя разложения девиатора тензора напряжений <т па ньютоновскую и чисто упругую части a = т + 2ß\S(v), делается переход от задачи (5)-(7) к задаче

dv . ; dv _ _.

— - /i! Д„ + ^и'+ Vp - и = Divr, (8)

Ö7* ^ Qt 1

^ + + = ^£{v), (9)

v\t=0 = l>0, (10)

t\i=ü = To. (11)

Определение 2.3.0.4. Пусть v € у0 £ V Г) Н3{П)п, т() £ Н2. Назовем обобщенным решением задачи (9), (11) такое т = т(у) € ¿со(0,Т;£2) ПСш([0,Т];£2), что для любого Ф € Н%, ф е Ях(0,Т), ^(Т) = 0 выполнено равенство

- Ф- (то, Ф)^(О) - ¿; М Ja J о

= 2/Х2 Г(£(у),Ф)фт (12)

J о

и выполнено начальное условие (11).

Пусть Ф(z,v,u) - выпуклый по совокупности переменных функционал на Я х V2 х Я, удовлетворяющий условиям:

V(R> 0) sup Ф(г,и,и) <оо, (13)

M//+IMI«2((i)»+MI«s3

3(C,Ci > 0)V((z,v,u) 6 Н х V2 X Я) Ф(г,и,и) ^

Определение 2.3.0.5. Пусть vn € V П Я3(Г2)". Назовем обобщенным решением задачи оптимального управления системой (8)-(11) с функционалом стоимости J такую тройку (v, г, и) G WxLoo(0, Т; £г)П С,„([0, Т];£2) х ¿2(0, Т; Я), что для всех £ Lz(Q,T;V) выполнены равенства:

J(v,v,u)= [ V(v{t,-),v(t,-),u(t,-))dt->mi, (15)

rT Qy rT 11 ^ rT Qy гТ

J0 J0 (Av'f)dt+Y, Jo (u'^dt =

= - f (t, V<p)dt, (16) J 0

y|i=o = vn, (17)

где т = t(v) является обобщенным решением задачи (9), (11).

Во четвертом пункте с помощью теории степени Лере-Шаудера доказывается существование решений задачи (9)-(11), для чего вводится семейство аппроксимационных задач

"ifeДт +1+ + v»> + YJ = (18)

г|*=о = то, (19)

где v £ IV, то € ЪС2 и 0 ^ £ ^ 1, О < £ ^ 1 - параметры. Обозначим Ц/дг = {т е £2(0, т\ н\), т' £ ь2(0,т;н~1)}. Обобщенным решением задачи (18)-(19) при фиксированных значениях параметров £ и £ назовем такое т £ \Ущ, что для любых Ф £ выполнено равенство

|(г, Ф)Ч¿(«V, УФ)+£Ыт, Чь), Ф) =

г=1

= (20)

и г удовлетворяет начальному условию (19). Вводятся операторы Ае, : И^д/ ¿г(0, Т\И~1) х £2, определяемые равенствами (Ает, Ф) =

(К^ ф) + тМ' ф) + УФ), г|(=„), (ВД, Ф) = - £),

Ф £ г £ 1'Кд/, V £ Ж. Доказывается, что оператор обратим и Лг1 непрерывен, оператор Кк : И7^/ —> ¿2(0,Т;'И""1) вполне непрерывен. Равенства (20), (19) могут быть интерпретированы в операторном виде как

Аеь + £К„(т) + &ь(г, V«) = т0).

Получены априорные оценки для аппроксимационной задачи и доказаны существование и единственность в \Ум обобщенного решения аппроксимационной задачи (18)-(19) при фиксированных 0 < £ ^ 1, 0 ^ £ ^ 1. Доказано существование и получена оценка обобщенного решения задачи (9), (11) в 1^(0, Т; С2) П С,„([0, Т}; С2). Теорема 2.4.0.5. Пусть V; —в IV к V* £ Ш при I —> оо и 7} £ ьоо{0,т;С2) - обобщенное решение задачи (9), (11) су = щ. Тогда существует т, - одно из обобщенных решений задачи (9), (11) си = V,, и существует такая подпоследовательность {т^}^ С {"пШр что {тгЛё=1 сходится *-слабо в ^00 (О, Т; С2) к т* при к —> оо.

В пятом пункте доказывается существование оптимального решения. Доказаны теоремы

Теорема 2.5.0.6. Пусть ио £ V П Нг(£1)п, то € Н2. Тогда задача оптимального управления системой (8)-(11) с функционалом стоимости J имеет обобщенное решение (г»», г», и») £ 1У х ¿^(О, Т; £2) П Сш([0,Г];£2) хЬ2(0,Г;Я).

Теорема 2.5.0.7. Полученное в теореме 2.6.0.6 обобщенное решение (г/„ г*, и*) £ Й/ х ¿^(0, Т; С2) Л С№([0, Г]; С2) х ¿2(0, Г; Я) задачи оптимального управления системой (8)-(11) является сильным, в том

смысле, что PDivr, 6 Ь-2(0,Т;Н) и

^-(4PAvt+P^i^-PDivTt=:u* (21)

почти всюду па [ü, Т\ х fi, т, является обобщенным решением задачи (9), (11) cv = v<f.

Во второй главе исследуется начально-краевая задача

Div„ + /, ,22)

div v = 0, г)|[0,Г]хда = 0, = 4h J p{t,x)dx = 0, (24)

где / - внешняя сила.

Существование глобальных но времени сильных решений для этой задачи в общем случае (как и для системы Навье-Стокса) является открытой проблемой. Для рассматриваемой начально-краевой задачи (22)-(24) имеется еще меньше фактов о нелокальной разрешимости, чем для системы Навье-Стокса, в частности, ист теоремы существования сильных нелокальных решений для п = 2. В настоящей работе устанавливается плотность множества правых частей уравнения (22) задачи (22)-(24) при п = 2, 3 в некоторых специальных топологиях. Соответствующий результат для системы Навье-Стокса получен в работах A.B. Фурсикова.

Отмстим, что К. Гильопе и Ж. Со доказали локальное по времени существование и глобальное существование при малых данных решений начально-краевой задачи для системы уравнений движения вяз-коупругой среды в ограниченной области.

В первом пункте приведена исследуемая система уравнений, описывающая модель движения вязкоупругой несжимаемой среды типа Джеффриса.

Во втором пункте введены используемые обозначения, и приведены необходимые факты (теоремы вложения и т.п.). В частности, обозначается, что если Х\, X-i ~ банаховы пространства, то

W(a,b-,pi,p2;XЬХ2) = {и € LPi(a, 6; Хг), и' € LP2(a, Ь; Х2)},

\¥(ХиХ2) = {и € ¿2(01Г;Х1),и' € ¿2(0, Г; Х2)}, IV = И^3,^-3).

Также вводятся обозначения На = Н"(П, Мц(п)), £2 = М8(п)), аеК.

В третьем пункте делается постановка задачи. Используется априорное разложение тензора <т:

(т = т + тлг, Тлг = г + = 27? - ^

В дайной работе будет полагаться без ограничения общности, что С/ = 1, Ь — 1, р = 1, следовательно, Де = 1, Же = А1 и использоваться обозначения = А2/А1, /¿2 = (1 — /Л1. Будем предполагать, что v Е IV, т 6 \¥{0,Т-,оо,оо\Н\'Н1), ад € У3, / € 12(0,Т;Н), т0 € П2, р € Ь2(0, Т; Н2(П)). После замены переменных и исключения давления с помощью проектора Лере Р уравнения (22), (23) принимают вид:

+ -щРАУ = РШТ + /, (25)

(20)

«(0,-) = «о, т(0,-) = то. (27)

Приводится аппроксимационная задача для задачи (25)-(27):

г/ + цхАь + 5А\ + Р ^ ■¿др - Р{В1У т + /) = 0, (28)

(29)

1 п

т' + —т+ УУ'о^г + г>У(и) - И>(и)т - 2д2£(г;) = 0, (30) А1

г(0, •) = го, (31)

где 5 > 0 - некоторый параметр. При 6 = 0 задача (28)-(31) совпадает с задачей (25)-(27). Формулируется основной результат главы. В четвертом пункте вводится обозначение

СЬ(П) = : П П г\т = 1, г £ СЩп,Ч{х € П) ск* ~{х) = 11,

дается операторная трактовка задачи и исследуются свойства соответствующих операторов г : IV -* С([0,Т] х [0, Т], С1Р(Щ), С6,1С, 2 :

IV —> ¿2(0, Т; V 3)х Vй, определяющихся равенствами: [¿Г(г/)](£, £; х) =

х + £; 6 [0,Т};х 6 С6у = {и' + /лЛи +

<5АЧ4=„}, £(«) = (РЕн^^.О). = (-Р01уд(г;,2(у)),0), г = (¿(у, Я (у)) - решение задачи (26)-(27).

Доказывается, что при 5 > 0 оператор непрерывен и имеет обратный, операторы /С, 2 вполне непрерывны. Доказывается Теорема 1.4.4.3. Оператор (2 является - уплотняющим по мере пекомпактности Куратовского.

В пятом пункте исследуется разрешимость семейства аипрокси-мационных уравнений, 5 > 0

£«(«) + А(АС(и) + - (/, г/о)) = 0. (32)

Получены априорные оценки, с помощью методов теории топологической степени ^¿-уплотняющих операторов доказана Теорема 1.5.0.4. Задача (32) имеет решение в IV для всех 6 > 0.

В шестом пункте исследуется разрешимость задачи (25)-(27) для плотного множества правых частей. Показано, что для любой правой части / € Ь2(0,Т;#) задачи (25)-(27) существует "близкая" к ней / = с которой задача (25)-(27) имеет решение. Обозначим че-

рез Тц) множество правых частей задачи (25)-(27) /, для которых существует единственное решение {у;т) € ИVго) х \¥00,00{'Н-2 ,Т1}) (25)-(27). Доказана

Теорема 1.6.0.5. Пусть зд € Vх, То 6 Л1. Множество ^(зд, то), Л/чи подмножеством пространства £г(0, Г; Я), всюду плотно от-носшпелъио топологии пространства Ьр(0, Т\ V'1), где I ир удовлетворяют следующим условиям

1^6, р = оо или б > I > 3, р = 2.

В третьей главе рассматривается задача граничного оптимального управления, связанная с системой уравнений, описывающей модель движения вязкоунругой несжимаемой среды типа Джеффриса с полной производной.

В первом пункте рассматривается система уравнений, описывающей модель движения вязкоупругой несжимаемой среды типа Джеф-

фриса.

ду , ди „

у((г,х) 6 [О, Г] х дП) у(Ь,х) = и{г,х) Ч«=о = г?0, с|(=о = <т<ъ

сНто = 0, I р{Ь, х)дх = 0.

(34)

(35)

(36)

(37)

Здесь и - управляющий параметр. Плотность среды предполагается постоянной и равной единице.

Во втором пункте делается переход к эквивалентной задаче и даются определения слабых решений исходной и эквивалентной задач. Пусть 1ци - некоторое продолжение управления и внутрь области причем с1 \vIqu = 0, а = т + 2р,\£{у), ^ = Иг = {ц ~ мОЛь

IV = V — 1ци.

Определение 3.2.0.7. Слабым решением задачи (33)-(37) называется пара функций {у, а),

и€£2(01Г;Я1(П)в)Р)Си,([0,П;адв). сИто = 0,

(38)

—(и, у) + (а, Чу) - ^(г/'и, -¡&) = </> ^)12(о,г;у>)хь2(о,Г;У). =

(40)

¡=1 '

/У " . Лф

= —2т](У, Б1уФ) - 2г]\2(—(у, Б1УФ) + (41)

¡=1

1=1

для всех <р G V и Ф G С™ в смысле распределений ни (О, Т). Формулируются основные результаты работы.

В третьем пункте описывается конструкция оператора продолжения 1п : L2(0,T; Н1'2{дП)п) -* {v е L2{0,T-Н1{й)п) : divu = 0} и исследуются его свойства.

В четвертом пункте рассмотрены две вспомогательные задачи. Доказаны существование и оценка решений вспомогательных задач.

В пятом пункте доказано существование слабого решения (w, т) эквивалентной задачи при / € ¿2(0, Т; V*), Wq G Н, r() S £2 и получена его оценка.

В шестом пункте доказано существование слабого оптимального решения задачи (33)-(37) с функционалом цепы

J : L2{0, Т; Я^П)") х L2{0, Г; Нх'2(дЩ1) К. (42)

Доказана

Теорема 3.6.0.12. Пусть

IHkio.r.-C'iyn)«) < Ml или (43)

и и . 1Г ^ min(i /ii)

!М1с(0,Г:Я'/*(ШУ') ^ М2 < --— (44)

и, кроме того,

^ М3. (45)

L2{(I,T:L2{0Ü)")

Тогда существует слабое, решение (и», <т»), и, задачи (33)-(37), (42). Публикации автора по теме диссертации

1. Кузнецов A.B. Оптимальное управление правыми частями в начально краевой задаче модели Олдройта вязкоуиругой среды // Семинар по глобальному и стохастическому анализу / A.B. Кузнецов / Сборник статей под редакцией Ю.Е. Гликлиха и Ю.И. Сапронова. Вып. 2. Воронеж: ВорГУ, 2007. - С. 59-80.

2. Кузнецов A.B. Оптимальное управление правыми частями в начально-краевой задаче для модели вязкоуиругой среды с полной производной / A.B. Кузнецов // Вестник Воронежского Государственного Университета. Серия: Физика. Математика, 2007. - jY52. - С. 116-127.

ди

3. Кузнецов A.B. Граничное оптимальное управление в начально-краевой задаче для модели вязкоунругой среды с полной производной / A.B. Кузнецов // Вестник Воронежского Государственного Университета. Серия: Физика. Математика, 2008. - №1. - С. 232-248.'

4. Кузнецов A.B. Задача оптимального управления правыми частями для модели вязкоунругой среды / A.B. Кузнецов // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 95-96.

5. Кузнецов A.B. О плотности множества правых частей начально-краевой задачи модели Джеффриса с объективной производной Яуманна / В.Г. Звягин, A.B. Кузнецов // Успехи матемаических наук, 2008. - Т. G3. - №6. - С. 165-1С6.

Подписано в печать 13.01.09. Формат 60x84 '/ц. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 12

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кузнецов, Александр Владимирович

Введение

1 Оптимальное управление правыми частями в начально-краевой задаче для модели движения вязкоупругой среды с производной Яу манна

1.1 Введение.

1.2 Обозначения и необходимые факты.

1.2.1 Вспомогательные обозначения

1.2.2 Определения используемых пространств.

1.3 Постановка задачи для случая с производной Яуманна.

1.4 Существование решений задачи (1.3.17)-(1.3.19)

1.5 Существование оптимального решения для случая с производной Яуманна.

2 О плотности множества правых частей начально-краевой задачи для модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманна

2.1 Введение.

2.2 Постановка задачи.

2.2.1 Исходная задача и формулировка основного результата работы.

2.2.2 Аппроксимационная задача.

2.3 Операторная трактовка задачи.

2.3.1 Линейный оператор С&.

2.3.2 Операторы К и /С.

2.3.3 Оператор Z.

2.3.4 Оператор <3.

2.4 Аппрокимационные уравнения. Априорные оценки.

2.5 Разрешимость для плотного множества правых частей.

3 Граничное оптимальное управление в начально-краевой задаче для модели движения вязкоупругой среды с полной производной

3.1 Введение.

3.2 Постановка задачи и формулировка основных результатов

3.3 О продолжении управления внутрь области.

3.4 Вспомогательные задачи.

3.5 Существование слабого решения для модели Джеффриса и его оценка.

3.6 Существование оптимального решения

Введение диссертация по математике, на тему "Задачи оптимального управления и существование сильных решений начально-краевых задач моделей движения вязкоупругой среды Джеффриса"

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В окружающем мире повсеместно наблюдается движение разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям (газов, гелей, золей и других). Математическое описание этого движения является интересной и трудной задачей. Уже при исследовании самых простых уравнений движения жидкостей и сред, близких к жидкостям, возникло множество нерешенных до настоящего момента математических проблем.

Начала гидродинамики (науки о движении жидкостей) были заложены Блезом Паскалем, Даниилом Бернулли и Леонардом Эйлером. Развитие эта наука получила в трудах Лагранжа, Даламбера, Лапласа, Навье, Стокса и других. Обычной гидродинамической проблемой является вычисление различных характеристик жидкости (таких, как скорость, давление, плотность) как функций от времени и точки пространства.

Различные начальные, краевые и начально-краевые задачи для уравнений Навье-Стокса и Эйлера исследовались очень многими авторами. Наиболее известны работы Ж. Лере, O.A. Ладыженской, Т. Като, Р. Темама, Ж. Лионса и др. Тем не менее основной вопрос: проблема глобального по времени существования гладкого решения начально-краевой задачи при гладких начальных данных остается открытым. Пока существование такого решения доказано только для случая плоскопараллельных течений. В трехмерном случае для уравнения Навье-Стокса доказано существование решения при малых данных задачи.

Следует отметить, что эти объекты не столь подробно изучены с точки зрения математических постановок задач, в первую очередь из-за того, что они являются еще более сложными, чем задачи, порождаемые классической гидродинамикой. Тем не менее, и здесь имеются десятки работ таких авторов, как O.A. Ладыженская, К. Гильопе, Ж. Со, М. Ренарди, В.Г. Литвинов, А.П. Осколков, П.Е. Соболевский, В.Г. Звягин, Ю.Я. Агранович, В.Т. Дмитриен-ко, ДА. Воротников, М.В. Турбин (например, [1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 17, 18, 20, 26, 28]) и многих других.

Вообще говоря, движение несжимаемой среды с постоянной плотностью р = const определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши ть + = + (í,z)£[0,T]xQ (0.0.1) i=1 divi> = 0, (t, x) e [0, T] x Q. (0.0.2)

Здесь ficf- область, v = (v1,. ,vn) - вектор скорости точек среды, /о - плотность внешних сил, а - девиатор тензора напряжений (все они зависят от точки пространства х и момента времени t). Дивергенция div берется по переменной х. Дивергенция Div от тензора а - это вектор с координатами

Diva), = £ Щ. 1

Тип рассматриваемой среды определяется выбором определяющего соотношения между сг и тензором скоростей деформации £(v) = (£ij(v))ljl £ij{v) — + §f~) • Так, один класс сред связан с постулатом Стокса о том, что девиатор тензора напряжения (т.е. тензор напряжений минус его изотропная компонента) в точке в данный момент времени полностью определяется тензором скоростей деформации в этой же точке в этот момент времени. Это концепция линейно- и нелинейно-вязкой жидкости. Примерами моделей нелинейно-вязких жидкостей являются модели Прандтля и Эйринга. Частным случаем этой концепции является также линейно-вязкая жидкость с определяющим соотношением a = -pI + 2riS. (0.0.3)

Здесь p(t, ж) — скалярная функция давления, а коэффициент r¡ называется вязкостью. При г] > 0 соотношение (0.0.3) определяет ньютоновскую жидкость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Навье-Стокса. При г) = 0 соотношение (0.0.3) задает идеальную жидкость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Эйлера.

Однако концепция нелинейно-вязкой жидкости не является удовлетворительной для всех сред. В частности, она не подходит для сред "с памятью": битумов, бетонов, разнообразных полимеров и растворов полимеров, земной коры и др. Один из способов учесть эффекты памяти - ввести в определяющее соотношение производные по времени. На этом пути возникли модели Максвелла, Джеффриса, Олдройда, Ларсона, Гизекуса, Фан-Тиена-Таннера, Сприггса и другие ([33]). Особый интерес представляют модели движения вязкоупругих сред, в которых определяющее отношение удовлетворяет требованию объективности, т.е. является инвариантным при изменении системы отсчета. Примером таких моделей может служить модель с производной Ол-дройта где а е [-1,1], а = (^)}=1,"'.',п) — (И7^))*- - тензор завихренности, при а = 0 называется производной Яуманна.

Целью работы является исследование вопросов существования и некоторых свойств решений задач оптимального управления правыми частями, задач граничного оптимального управления, а также исследование задачи о плотности множества правых частей для математических моделей движения вязкоупругих сред типа Джеффриса с полной производной и объективной производной Яуманна.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного нелинейного анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, методы теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, аппроксимационно-топологический метод а + аУУ(у) - №(у)а + а(а£{у) + £{и)а), (0.0.4) — = 1,., п. Частный случай производной Олдройта исследования задач гидродинамики, разработанный В.Г. Звягиным и его учениками (см. [10], [16]), методы теории топологической степени, априорных оценок и др. Также использовались методы, предложенные A.B. Фурсиковым для исследования задач оптимального управления и установления плотности множества правых частей.

1. Доказана плотность множества правых частей для модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманна в некоторых специально выбранных топологиях.

2. Доказано существование решения задачи управления правыми частями в модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманна для определенного класса функционалов цены.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах (2005, 2008), научной сессии ВГУ (2008), семинаре под руководством проф. М.И. Вишика (МГУ, 2008), семинаре под руководством проф. A.JI. Скубачевского (РУДН, 2008).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантами РФФИ № 07-01-00137, № 08-01-00192.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21] - [25]. Из совместной работы [25] в диссертацию вошли только принадлежащие Кузнецову A.B. результаты. Работа [25] издана в журнале, входящем в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на девятнадцать пунктов, и списка литературы, включающего 42 источника. Окончания доказательств отмечены знаком □. Общий объём диссертации 130 страниц.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Кузнецов, Александр Владимирович, Воронеж

1. Agranovich Yu.Ya. Motion of nonlinear viscoelastic fluid / Yu.Ya. Agranovich, P.E. Sobolevskii// Nonlinear Anal. TMA. - 1998. - V. 32, №. - P. 755-760.

2. Dmitrienko, V.T. The topological degree method for equations of the Navier-Stokes type/ V.T. Dmitrienko, V.G. Zvyagin // Abstract and Applied Analysis, 1997. V.l/2. - P. 1-45.

3. Guilliopé, C. Existence results for the flow of viscoelastic fluids with differential constitutive law / C. Guilliopé, J.-C. Saut // Nonlinear Anal. , 1990. V. 15, № 9. - P. 849-869. .

4. Guillopé C. Mathematical problems arising in differential models for viscoelastic fluids / C. Guillopé, J.C. Saut // Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Longman, Harlow, 1993. - P. 64-92.

5. Renardy M. Existence of slow steady flows of viscoelastic fluids with differential constitutive equations/ M. Renardy// Z. angew. Math. Mech.-1985,- V. 65, P. 449-451.

6. Simon J. Compact sets in Lp(0, T; B) / J. Simon // Ann. Mat. Pura Appl. ser. IV, 1987. V. CXLVI. - P. 65-96.

7. Talhouk R. Existence locale et unicité d'écoulements de fluides viscoélastiques dans des domaines non bornés/ R. Talhouk// C.R. Acad. Sci. Paris. Serie I. 1999. - T.328. - P. 87-92.

8. Turbin M.V. Research of a mathematical model of low-concentrated aqueous polymer solutions / M.V. Turbin // Abstract and Applied Analysis, 2006. -V. 2006. P. 1-27.

9. Vorotnikov, D.A. On the existence of weak solutions for the initial-boundary value problem in the Jeffreys model of motion of a viscoelastic medium / D.A. Vorotnikov, V.G. Zvyagin // Abstract and Applied Analysis, 2004 . -m 10 (2004). P. 815-829.

10. Zvyagin, Victor G. Topological approximation methods for evolutionary problems of nonlinear hydrodynamics / Victor G. Zvyagin, Dmitry A.Vorotnikov Berlin ; New York : Walter de Gruyter, 2008 . XII, 230 P

11. Агранович Ю.Я. Движение нелинейной вязкоупругой жидкости/ Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский // ДАН СССР. 1990. - Т. 314, № 3. - С. 521-525.

12. Бесов О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский. М. : Наука, 1975. - 480 с.

13. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грёгер, К. М. Захарис. М. : Мир, 1978. - 336 с.

14. Гольдштейн Р.В. Механика сплошных сред / Гольдштейн Р.В., Город-цов В.А. 4.1: Основы и классические модели жидкостей. М.: Наука. Физматлит, 2000. - 256 с.

15. Джусти, Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации / Э. Джусти. М. : , 1989. - 240 с.

16. Звягин В.Г. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию задач гидродинамики. Система Навье-Стокса / В.Г. Звягин, В.Т. Дмит-риенко. М. : Едиториал УРСС, 2004. - 112 с.

17. Звягин В.Г. О разрешимости некоторых начально-краевых задач для математических моделей движения нелинейно-вязких и вязкоупругих жидкостей/ В.Г. Звягин// Современная математика. Фундаментальные направления. 2003. - Т. 2. - С. 57-69.

18. Звягин В.Г. О слабых решениях регуляризованной модели вязкоупругой жидкости / В.Г. Звягин, В.Т. Дмитриенко // Дифференциальные уравнения, 2002. Т. 38, №12. - С. 1633-1645.

19. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин М. : Наука, 1972. - 496 с.

20. Котсиолис A.A. О разрешимости фундаментальной начально-краевой задачи для уравнений движения жидкости Олдройда/ A.A. Котсиолис, А.П. Осколков// Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1986. - Т. 150, № 6. - С. 48-52.

21. Кузнецов A.B. Оптимальное управление правыми частями в начально-краевой задаче для модели вязкоупругой среды с полной производной /A.B. Кузнецов // Вестник Воронежского Государственного Университета. Серия: Физика. Математика, 2007. №2. - С. 116-127.

22. Кузнецов A.B. Граничное оптимальное управление в начально-краевой задаче для модели вязкоупругой среды с полной производной / A.B. Кузнецов // Вестник Воронежского Государственного Университета. Серия: Физика. Математика, 2008. №1. - С. 232-248.

23. Кузнецов A.B. Задача оптимального управления правыми частями для модели вязкоупругой среды / A.B. Кузнецов // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 95-96.

24. Кузнецов A.B. О плотности множества правых частей начально-краевой задачи модели Джеффриса с объективной производной Яуманна / В.Г. Звягин, A.B. Кузнецов // Успехи матемаических наук, 2008. Т. 63. -Вып. 6. - С. 165-166.

25. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости/ O.A. Ладыженская.- М.: ГИФМЛ, 1961. -204с.

26. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э.М. Мадженес. М. : Мир, 1971. - 372 с.

27. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости/ В.Г. Литвинов.-М.: Наука, 1982 376 с.

28. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / Ахмеров P.P., Каменский В.И., Потапов A.C. и др.] Новосибирск : Наука, 1986. - 264, 1. с.

29. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С.М. Никольский. М. : Наука, 1969. - 480 с.

30. Орлов В.П. Исследование математических моделей многомерных вязко-упругих сред / В.П. Орлов, П.Е. Соболевский Львов, 1989 (Препринт / Ин-т прикл. проблем механики и математики АН УССР: 27-29).

31. Осмоловский В.Г. Линейные и нелинейные возмущения оператора div /B.Г. Осмоловский. СПб. : Издательство С.-Петербургского университета, 1995. - 144 с.

32. Рейнер М. Реология/ М. Рейнер.- М.: Физматгиз, 1965. 224 с.

33. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 5 / В.И. Смирнов М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.- 656 с.

34. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / C.JI. Соболев. М. : Наука, 1988. - 333 с.

35. Солонников В.А. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического типа / A.B. Солонников // Труды мат. инст. Стеклова, 1964. Т. 70. - С. 133-212.

36. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. М. : Мир, 1987. - 408 с.

37. Функциональный анализ / сост. Н.Я. Виленкин и др.] ; под ред. С.Г. Крейна. М. : Наука,' 1964. - 424 с.

38. Фурсиков A.B. Задачи управления и теоремы, касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса и Эйлера / A.B. Фурсиков // Математический сборник, 1981. Т. 115(157) : 2(6). - С. 281-306.

39. Фурсиков A.B. Оптимальное управление распределительными системами: Теория и приложения: Учеб. пособие / A.B. Фурсиков. Новосибирск: Научная книга, 1999. - 352 с. - (Университетская сер. ; Т. 5).

40. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман.- М.: Мир, 1970. 720 с.

41. Экланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. М. : Мир, 1979. - 339 с.