Закономерности развития газовой пористости в конструкционных материалах ядерных реакторов

Овчаренко, Алексей Михайлович

Закономерности развития газовой пористости в конструкционных материалах ядерных реакторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Овчаренко, Алексей Михайлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Закономерности развития газовой пористости в конструкционных материалах ядерных реакторов»

Автореферат диссертации на тему "Закономерности развития газовой пористости в конструкционных материалах ядерных реакторов"

На правах рукописи

Овчаренко Алексей Михайлович

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ ГАЗОВОЙ ПОРИСТОСТИ В КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

Специальность 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 ФЕВ 2014

Москва-2014

005545461

Работа выполнена в Национальном исследовательском ядерном университете «Московский инженерно-физический институт»

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОПОНЕНТЫ:

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Доктор физико-математических наук, профессор Чернов И.И., НИЯУ МИФИ

Доктор физико-математических наук Заболотный В.Т,

зам. директора по научной работе, ИМЕТ РАН им. A.A. Байкова

Доктор физико-математических наук, профессор Рязанов А.И., начальник лаборатории, НИЦ «Курчатовский институт»

ГНЦ-РФ ФЭИ им. А.И. Лейпунского

Защита состоится «26» марта 2014 г. в 15 час 00 мин, на заседании диссертационного совета Д 212.130.04 НИЯУ МИФИ по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ.

Автореферат разослан «JM» февраля 2014 г.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенном печатью организации, по адресу НИЯУ МИФИ.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор И.И. Чернов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Накопление инертных газов в материалах ядерных энергетических установок (ЯЭУ), например, путем (и, а)-реакций, а также в результате прямой имплантации го плазмы и за счет распада трития в термоядерных реакторах (ТЯР), оказывают влияние на эволюцию микроструетуры материала, прежде всего, на эволюцию трехмерных вакапсионных скоплений - пор. Известно, что атомы инертных газов способствуют зарождению и росту пор в облучаемых материалах, оказывая влияние на такие явления, как, например, распухание, и усиливая высокстсмперэтурное радиационное охрупчивание. Эти явления приводят к нежелательным изменениям форм изделий активной зоны реакторов на быстрых нейтронах и механических свойств конструкционных материалов, что необходимо учшывагъ при разработке материалов для перспективных ядерных и термоядерных установок. Для этого необходимы теоретические знания основных механизмов диффузии газа в металлах, механизмов радиационного и термического растворения газа из газовакансионных пор. Кроме того, требуется понимание особенностей протекания характерных процессов эволюции газовакансионных скоплений - зарождения, роста, коалесценции газовых пузырьков в металлах как в условиях облучения, так и высокотемпературных отжигов для выявления их механизмов.

В основе ЭВ0ЛЮ1ЩИ газовакансионных пор лежит общее явление распада пересыщенных растворов частиц с образованием их скоплений. Наиболее общие качественные термодинамические основы этого явления известны давно. Однако его количественное изучение возможно лишь путем решения основного кинетического уравнения (ОКУ), что представляет известную сложность, которая состоит в том, что, с одной стороны, это уравнение не имеет точного аналитического решения дня широкого круга практически значимых задач, за исключением нескольких частных случаев, а с другой стороны - его численное решение затруднено из-за неприемлемо затратных по времени вычислений.

Решение ОКУ, которое наиболее полно и последовательно описывает эволюцию кластеров при облучении и отжиге, является нетривиальной вычислительной проблемой. Она состоит в том, что ОКУ, по-существу, представляет собой систему большого числа дифференциальных уравнений, каждое из которых описывает эволюцию кластера определенного размера. Число таких уравнений даже в случае однокомпонентного раствора дефектов, как правило - вакансий, достигает ~106 и более, а в случае двухкомпоненгного раствора - вакансий и атомов газа, - до 10'2. Поэтому численное решение такого количества уравнений дня моделирования практически значимого времени эволюции кластеров является невыполнимым.

ниях и являются асимптотическими. Создание реалистичной математической модели, описывающей все стадии эволюции пузырьков, предсказывающей изменения физических и механических свойств металлов вследствие накопления газовой пористости, остается актуальной проблемой. В связи с этим, настоящая работа является вкладом в решение этой проблемы, что и определяет ее актуальность.

Цель работы. Целью настоящей работы явилось выявление с применением компьютерного моделирования физических закономерностей развития газовакансионной пористости в конструкционных материалах ЯЭУ и перспективных ТЯР.

Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи.

• Разработан новый метод группирования кластеров ближайших размеров на основе известного метода моментов для численного решения больших систем линейных дифференциальных уравнений.

• Проведен сравнительный анализ нового метода численного решения больших систем кинетических уравнений с известными методами, а также его верификация путем сравнения численных и аналитических решений.

• С применением разработанного метода проведены расчеты эволюции однокомпоненг-ных скоплений точечных дефектов в металлах.

• Предложено обобщение нового метода для решения задачи эволюции газовых пор в металлах и конструкционной стали.

• Проведено компьютерное моделирование коалесценции газовых пор за счет механизмов броуновской миграции и перерастворения газа и его переноса в условиях высокотемпературного отжига.

Научная новизна и практическая значимость работы

1. Впервые сформулированы необходимые условия корректности метода группирования размеров ближайших кластеров, на основе которых проведен анализ корректности известных методов группирования, позволяющий сократить число интегрируемых уравнений кинетики.

2. С учетом сформулированных условий разработан новый метод группирования кластеров по размерам с использованием формализма метода моментов функции распределения. Проведена верификация разработанного метода путем численного решения известных модельных задач, имеющих аналитическое решение.

3. Путем численного моделирования впервые показано, что стохастические флуктуации концентраций точечных дефектов, инициированные каскадами смещений, не становятся дополнительным источником избыточных вакансий, влияющих на распухание.

4. Разработанный метод группирования позволяет получить уравнения для моделирования эволюции вторичных частиц, состоящих из произвольного числа компонентов. Используя эту особенность впервые получены кинетические уравнения в групповом

приближении для моделирования эволюции вторичных частиц - пновых пузырьков.

5. Полученные двухкомпонешные кинетические уравнения в групповом приближении позволили впервые провести численное моделирование коалесценции газопакансион-ных скоплений как в случае броуновской миграции пузырьков, так и в случае перс-раеггворения атомов газа из них при отжиге с учетом реалистичных модельных предположений.

6. Впервые численным моделированием коалесценции ансамбля мигрирующих пузырьков подтверждены асимптотические зависимости концентрации пузырьков и их среднего радиуса, полученные в рамках приближения средних величин, а также рассчитана эволюция двухкомпоненгной функции распределения неподвижных газовакансион-ных скоплений по размерам, которая сопоставлена с известной асимптотической универсальной функцией распределения, полученной для жестких модельных условий.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанный универсальный метод компьютерного моделирования позволяет решать сложные задачи в области физики радиационных повреждений конструкционных и топливных материалов ядерных и термоядерных реакторов. В частности, это касается задач, где требуется затратный по времени расчет эволюции функции распределения скоплений точечных дефектов, газовых пузырьков, многокомпонентных частиц выделений вторичных фаз. Важным практическим приложением является возможность прогнозирования интенсивности развития вакансионного и газового распухания конструкционных и топливных материалов ядерных энергетических установок, в том числе, результаты решенных задач могут быть использованы для прогнозирования процессов зарождения и эволюции газовакансионной пористости в реакторной конструкционной стали.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработанный на основе формализма метода моментов функции распределения кластеров по размерам новый метод группирования для численного решения больших систем кинетических уравнений, позволяющий существенно сократить их число, и доказательство корректности метода на примерах решения простых модельных задач с известными аналитическими решениями.

2. Результаты численного моделирования зарождения вакансионных кластеров, показывающие, что выражение для стационарной скорости зарождения 3, справедливо также для нестационарных (квазистационарных) условий, когда вакансионное пересыщение уменьшается с накоплением повреждающей дозы.

3. Результаты численного моделирования эволюции вакансионных кластеров, показывающие, что стохастические флуктуации, инициированные каскадами смещений, не становятся источником избыточных вакансий, однако способны существенно менять соотношение сил стоков точечных дефектов, изменяя скорость распухания материала.

4. Результаты численного моделирования коалесценции подвижных пузырьков по меха-

низму броуновской миграции в сравнении с экспериментальными данными накопления газовой пористости в аустенитной коррозионно-стойкой стали Р7 в течение часового отжига в диапазоне температур 600-900 "С и данными асимптотической модели в приближении средних величин. 5. Результаты проведенного численного моделирования коалесценции неподвижных пузырьков в бинарном растворе атомов газа и вакансий в сравнении с данными асимптотической модели коалесценции.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, выводов и библиографии. Работа изложена на 119 страницах, содержит 23 рисунка, 4 таблицы и список цитируемой литературы из 127 наименовании.

Достоверность научных положений, результатов и выводов

Достоверность научных положений, результатов и выводов подтверждаются использованием опубликованной (Ovcharenko А.М. et al, Comp. Phys. Comm., 2003, v. 152, p. 208) верифицированной ЭВМ-программы расчета эволюции пузырьков, непротиворечивостью полученных результатов расчетов известным из литературы данным.

Личный вклад автора

Личный вклад автора заключается в том, что он принимал участие в постановке задач исследования; разработке численного метода группирования и методики компьютерного моделирования коалесценции газовых пор за счет механизмов броуновской миграции и перерастворения газа и его переноса в условиях высокотемпературного отжига; провел верификацию нового метода группирования; разработал специальный вычислительный комплекс -ЭВМ программу для решения больших систем кинетических уравнений; внес определяющий вклад в анализ результатов расчетов, их интерпретацию и разработку физической модели коалесценции газовых пор; лично участвовал в апробациях работы и написании основных публикаций по теме диссертации.

Апробация работы

Основные положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах, совещаниях и конференциях: Отраслевой семинар «Физика радиационных повреждений материалов атомной техники» (г. Обнинск, 2005—2011 гг.); Научная сессия МИФИ-2008 (г. Москва, 2008 г.); Научная сессия НИЯУ МИФИ-2012 (г. Москва, 2012 г.); 4-th International Conference on Multiscale Materials Modeling (Tallahassee, FL, USA, 2008 г.); MRS Fall Meeting (Boston, MA, USA, 2010 г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них 6 в отечественных и зарубежных рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК РФ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РЛЕОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы се цель и решаемые задачи, указаны новизна и практическая значимость, изложены основные положении, выносимые на защиту.

В первой главе приведен обзор литературы по теоретическим исследованиям формирования пористости в материалах ЯЭУ и ТЯР и методам численного моделирования этого явления.

Возникновение пористости в конструкционных материалах, в сущности, представляет собой физическое явление распада пересыщенного твердого раствора вакансий с образованием вакансионных скоплений, наиболее общие термодинамические основы которого изложены в работах Дж. Гиббса, У. Томсона и Р. Гельмгольца. Приведены основные результаты термодинамики равновесных (уравнение Томсона-Гельмгольца) и неравновесных систем. М. Фольмер и А. Вебер показали, что скорость гомогенного зарождения новой фазы должна быть пропорциональна exp(-AG(fi*)/iB7"), где AG - свободная энергия Гиббса, R* - радиус критического кластера, &G(R*) - высота акгивационного барьера зарождения. Позднее Я.И. Френкель обобщил эту теорию на случай ненасыщенного пара и других фазовых превращений.

Начало обсуждения кинетической модели зарождения частиц вторичной фазы было положено Л. Фаркашем, который впервые применил кинетический подход для определения стационарной скорости зарождения и разработал количественную кинетическую теорию зарождения. Особенное значение имеет работа Я. Б. Зельдовича, в которой ОКУ записано в дискретном пространстве размеров кластеров:

£^=-(P(n)+Q(n)\f(nj)+P(n-l)f(n-\,t)+Q(n+l)f(r,+U) , (1)

В этом уравнении предполагается, что все скопления дискретно распределены по размерам, по узлам на оси л, отстоящим друг от друга на расстоянии 1. Изменение числа скоплений J{n,í) в момент времени / в узле п зависит от вероятностей перехода скопления в соседние узлы п-1 и я+1 и перехода из них в узел п. Здесь Р(п) и Q(n) - скорости реакций прихода и ухода (испарения) мономеров, соответственно. Такой подход позволил устранить неопределенность в выражении стационарной скорости зарождения вторичных частиц и придать теории Фаркаша современный математический вид. Переходя от узлов к непрерывному распределению с плотностью.Дх, /) показано, что стационарная скорость зарождения вторичных частиц J, является произведением концентрации критических кластеров N(x *), скорости захвата мономеров критическими кластерами Р*, и т.н. «неравновесного фактора Зельдовича», учитывающего флуктуационный характер зарождения в окрестности критического размера х*. Зельдович также получил выражение для коэффициента диффузии, являющееся аналогом известного соотношения Эйнштейна-Смолуховского для мигрирующей броуновской частицы, обобщенное применительно к случаю зарождения вторичных частиц, которое связывает скорость изменения размера зародыша V, происходящего под действием силы -ükGlox в не-

прерывном пространстве размеров х, с коэффициентом диффузии О и температурой Т. Это показало, что гомогенное зарождение частиц новой фазы имеет тепловую диффузионную природу сходную с природой миграции растворенного вещества в жидкости.

В дальнейшем этот кинетический подход был применен Дж. Кацем и X. Видерзихом для построения теории гомогенного зарождения скоплений точечных дефектов (ТД) в металлах под облучением применительно к условиям неизменного вакансионного пересыщения. Это позволило найти стационарную скорость зарождения У, и, впервые, соответствующую ей стационарную функцию распределения £(лг) вакансионных кластеров, что явилось главным результатом теории. Однако этот результат неприменим для количественного решения практических задач накопления пористости, сформулированных для реалистичных нестационарных условий облучения. Хорошо известна также классическая модель коалесценции Лиф-шица-Слезова, описывающая процесс Оствальда, в рамках которой найдено универсальное асимптотическое распределение вторичных частиц <р(/?//?ч,), когда число первичных частиц фиксировано, что подтверждено многочисленными экспериментами. Эти два результата исчерпывают круг известных аналитических решений в простейшем случае эволюции одно-компонентных (например, вакансионных) скоплений, актуальных для физики радиационных повреждений.

Практически значимые задачи эволюции скоплений точечных дефектов формулируются для существенно нестационарных условий, и когда вторичные частицы не являются одно-компонентными, представляя собой «смесь» двух компонент - вакансий и атомов газа. В общем случае аналитическое решение таких задач получить не удается, однако существуют приближенные асимптотические решения, полученные с учетом жестких упрощающих модельных предположений, а именно, что газ в пузырьках идеальный и все они механически равновесные. Модель, разработанная Дж. Гринвудом и М. Спайтом, описывает коалесценцию пузырьков газа, мигрирующих в кристаллической решетке подобно броуновским частицам. Особенность этой модели в том, что она не предусматривает нахождения функции распределения пузырьков по размерам. Выведенные зависимости концентрации пузырьков N и их среднего радиуса Я от времени г получены в рамках так называемого приближения средних величин. Такое приближение позволило статистическую задачу эволюции ансамбля пузырьков свести к задаче эволюции одного усредненного пузырька. С другой стороны, еще один ключевой механизм коалесценции пузырьков газа при отжиге рассмотрен в работах Л. Семенова и А. Маркворта, в которых предложена модель роста неподвижных пузырьков за счет перерастворения газа из пузырьков. Эта модель (аналогично модели Лифшица-Слезова) позволила рассчитать универсальное асимптотическое распределение пузырьков по размеру и, кроме того, ряд зависящих от времени характеристик процесса, в частности, концентрацию пузырьков N и их средний радиус Л. Количественная проверка корректности указанных моделей коалесценции для реалистичных условий путем численного решения уравнений кинетики ранее не проводилась.

Уравнение (1) - диффузионное уравнение, полностью описывающее эволюцию скоплений точечных дефектов в дискретном пространстве размеров. Однако Френкель предложил воспользоваться преимуществами уравнения Фоккер-Планка (ФП) в непрерывном про-

странстве размеров х, используя его в качестве приемлемой аппроксимации уравнения (I) удобной для аналитического изучения кинетики зарождения новой фазы. В то же время, уравнение ФП часто использовалось для получения численного решения, которое проводилось в основном путем дискретизации, что позволяет существенно сократить число решаемых уравнений. Такой метод выглядит эффективным, однако его точность не проверялась. Можно предположить, однако, что в случае дискретизации система уравнений оказывается эквивалентна той, что получена простым суммированием уравнения (1) внутри группы кластеров близких по размеру, в предположении, что функция распределения в такой группе аппроксимируется константой. Это означает, что метод численного решения уравнения ФП с дискретизацией является, в сущности, одним из эквивалентных методов группирования кластеров по размерам, среди которых самым известным является метод, предложенный М Ки-ритани. Для решения уравнения (1) он предложил описывать группы кластеров близких размеров усредненным кинетическим уравнением (уравнение Киритани), сократив число решаемых уравнений, что позволило моделировать эволюцию кластеров при отжиге размером до 105 вакансий. Сомнения о пюсительно корректности этого метода были выдвинуты в работе М. Койвы. Несмотря на то, что уравнение Киритани внешне напоминает уравнение (1), оно не является его строгим математическим следствием, что приводит к накоплению неконтролируемых ошибок решения. Напротив, уравнение ФП с дискретизацией является следствием уравнения (1), однако позволяет контролировать лишь суммарное число кластеров, тогда как накопление в них полного числа первичных частиц описывается некорректно. В целом, возражения относительно корректности метода группирования Киритани, выдвинутые Койвой, применимы также и к методу численного решения уравнения ФП.

Математический аппарат, применяемый обычно для решения задач статистической и квантовой физики, можно применить для решения задач зарождения и эволюции вторичных частиц благодаря существующей аналогии между уравнением ФП и уравнением Шрединге-ра. М. Вэнер и В. Вольфер показали, что решение уравнения с учетом соответствующих начальных и граничных условий можно построить методом суммирования по путям с использованием функции Грина. Учитывая начальные и граничные условия, метод позволяет получить эволюцию функции распределения г). Верификация разработанной процедуры численного интегрирования проведена авторами на примере нескольких простых модельных задач, имеющих точные аналитические решения. Обобщение этого метода применительно к описанию эволюции пузырьков газа не проводилось.

Еще один метод решения уравнений ОКУ/ФП основан на вычислении моментов функции распределения. Идея состоит в том, чтобы ОКУ/ФП заменить эквивалентными уравнениями для моментов функции распределения. Задача впервые рассматривалась П.Л. Чебышевым в связи с исследованиями по теории вероятностей и предполагает нахождение функции распределения через последовательность ее центральных или начальных моментов. Действительно, вычисление моментов ц, позволяет определить функцию распределения в пространстве размеров, например, при помощи степенного ряда, где коэффициенты Ьг алгебраически выражаются через известные моменты рг. К. Клемент и М. Вуд применили метод моментов для аппроксимации стационарных решений уравнений

кинетики. Н. Гоним воспользовался методом моментов с целью сократить число решаемых уравнений и применил этот метод для моделирования эволюции междоузельных петель, однако дальнейшего развития такой подход не получил.

Методы решения уравнений кинетики, описанные выше, справедливы в рамках приближения с использованием усреднения пространственных и временных составляющих источников радиационных повреждений материала, а также замены пространственных элементов микроструктуры эффективной поглощающей средой. Наоборот, кинетические модели Монте-Карло позволяют учитывать такие пространственные и временные взаимосвязи, однако их основное ограничение зависит от размера расчетной ячейки. При этом максимальная достигаемая в расчетах доза облучения обычно не превышает 1 сна, тогда как численное решение уравнений кинетики позволяет моделировать эволюцию микроструктуры вплоть до доз в 100 сна и более.

Таким образом, анализ литературных источников показал, что задача эволюции газова-кансионных скоплений имеет известные асимптотические решения, полученные, однако, в рамках жестких модельных допущений. Такие решения требуют подтверждения для более реалистичных модельных условий с применением методов численного моделирования. Показано также, что такое моделирование является нетривиальной вычислительной проблемой, которое по тем или иным причинам нельзя осуществить с использованием уже существующих методов численного интегрирования ОКУ/ФП. Последнее обстоятельство сделало необходимым разработку нового метода его численного решения.

Во второй главе изложен новый метод группирования кластеров по размерам для нахождения численного решения ОКУ. Эволюция функции распределения подчиняется основному кинетическому уравнению (1). В дискретном пространстве размеров п с шагом 1 его можно записать в виде уравнения непрерывности:

<V^l=j[n-\)-j{nl ПЪ2 , (2)

где J(n) - поток кластеров из размера и в размер и+1. Было показано, что основная идея метода группирования состоит в том, чтобы переГгти к описанию эволюции группы близких по размеру кластеров в диапазопе от «м+1 до л, усредненным кинетическим уравнением. Такое описание эквивалентно предположению о независимости функции распределения кластеров внутри группы от их размера, т.е. группа кластеров но размерам, например, в методе Кирита-ни или методе числеьшого решения уравнения ФП, характеризуется лишь одним числом -числом кластеров. Показано, что одновременное корректное описание накопленного числа кластеров и числа дефектов в рамках такой аппроксимации невозможно. Показано также, что требуется сформулировать систему не менее чем из двух уравнений, контролирующих сохранение как числа кластеров, так и числа накопленных дефектов в группе.

Исходную систему уравнений (2) удалось переформулировать, используя формализм метода моментов функции распределения. Если придать младшим начальным моментам физический смысл интегралов числа кластеров и числа запасенных частиц в группе, то простейший алгоритм обязан предусматривать решение уравнений для двух первых начальных моментов функции распределения в группе. В этом случае функция распределения внутри груп-

пы вместо константы аппроксимируется линейной функцией

/(п)=£;+Г,(л-(«>,) , (3)

где коэффициенты /V и Ц выражаются через пулевой и первый начальные моменты функции распределения в группе и вычисляются путем решения уравнений

дь\ ~дГ

А л,— 1

2 а

А и,

(4)

где Л/1, - ширина 1-й группы, а,2 - дисперсия размеров кластеров в группе, равная

п и'

оНЛ-(п)^

Е ^

Ал,

£ ч

(5)

где <п>,- средний размер кластера в ¿-й группе. Уравнение (4) описывает эволюцию функции распределения в групповом приближении, будучи аналогом исходного уравнения (2).

Эволюция газовакансионных скоплений описывается кинетическим уравнением для двумерного пространства размеров п и т (я и т - число вакансий и атомов газа, соответственно):

^^=Jn(n-\,m)-J„(n,^n)*JЛn■^n-l)-Jm(n,n^) , (б)

где Дп, т, <) — функция распределения; Л(п,/п) и Jm(x¡ т) — потоки кластеров из л в лг+1 и га т в т+1, соответственно.

Чтобы получить обобщенный метод группирования для двумерного пространства размеров необходимо перейти к описанию пространства через последовательности групп по размерам кластеров Лн~и,-им и Ат,=тгт1А. Здесь индекс / - номер группы в пространстве размеров я, а индекс у - номер группы в пространстве размеров т. Каждая у-я группа включает кластеры в диапазонах размеров от ям+1 до л, и от т,. 1+1 до т1, а функция распределения аппроксимируется линейной функцией внутри группы:

. (7)

где <п>,,<т>1- средние размеры кластера в у-й группе. Требуется рассчитать значения всего трех коэффициентов ¿о", Ь^ для каждой группы размеров кластеров вместо системы из Дп.хДт; уравнений (6). В этом случае, уравнения для коэффициентов ¿о", ¿¡„'', Ьы* имеют следующий вид

дй;1 _ дI

(8)

А/!;—1 | 1 2а! I Ал/

2a,

где с," и с/ - дисперсии размеров кластеров в ij-ii группе:

' А п.

" V

1 Z 2 1 о ,=-

А и, ^^ 1 1 А т/

i t х

(И)

Уравнения f8)—(10) получены в рамках предположения, что скорости реакций взаимодействия с подвижными точечными дефектами и атомами газа для всех размеров кластеров внутри группы одинаковы.

Помимо уравнений (8)-(10) в групповом приближении нами получен подобный набор уравнений, соответствующий кинетическому уравнению агрегации броуновских частиц. Эволюция газовакансионных скоплений за счет коалесценции кластеров, претерпевающих броуновскую миграцию, подчиняется кинетическому уравнению агрегации Смолуховского:

df (п т..г) = (и t m} £ А {п, _ и, ,)+ ах ц*>1

m'iO

+ Z £ Л„.„.л,.„../(п',1я')/(я".'»")8(п-и'-х")8(т-п1'-«"),

n'S.и-2 я—2 т'¿т т"£м

(12)

где 5(х) - дельта Кронекера, контролирующая консервативность системы при объединении двух пузырьков с размерами п\т' и п",т"\ Л,?и - ядро кинетического уравнения, соответствующее вероятности столкновения агрегатов, и является сечением взаимодействия между кластерами, состоящими из п',т' и п",т" вакансий и атомов газа, соответственно. Полученные нами интегральные уравнения коалесценции в групповом приближении для коэффициентов LaJ, LJJ и Li„'J имеют вид

I iJЛntЛт,-2(¿J,')2Л:/:;Ли,A+

к, I k*i,l*j

' / Р-Я р'-ч'

at iin^AntjO! p.q p'.q'

dL'i 7-il I Лр,''«m>f+<«>t.-(M>y)An,AmfAi.,.AJ»f.

(13)

(14)

(15)

Уравнения (13)—(15) получены с учетом того, что скорости коалесценции кластеров всех размеров, принадлежащих одной группе, одинаковы; коалесценция любых двух кластеров, относящихся к одной и той же или разным группам, например рд илир'д', приводит к образованию кластера большего размера, попадающего в /у-га группу.

Приведенные уравнения (8)—(10) вместе с уравнениями (13)-(15) составляют систему

интегро-дифференциальных уравнений, совместное решение которых позволяет моделировать все стадии эволюции газовакансионных скоплений, т.е. их зарождение, рост и коалсс-ценцию. Моделирование эволюции пузырьков с использованием этих уравнений проводилось путем численного интегрирования уравнений с использованием специально разработанного вычислительного комплекса ЭВМ программ. Такое моделирование необходимо для решения сложных задач в области физики радиационных повреждений конструкционных и топливных материалов ядерных и термоядерных реакторов, где требуется затратный по времени расчет эволюции функции распределения скоплений точечных дефектов, пузырьков газа, многокомпонентных частиц выделений вторичных фаз. Одной из таких задач является изучение коалесценции пузырьков газа в металлах при отжиге, что позволит в дальнейшем прогнозировать величину вакансионного и газового распухания, интенсивность газовыделения в конструкционных материалах и топливных композициях ЯЭУ.

В третьей главе приведены результаты верификации нового метода группирования. Прежде всего, для проверки точности метода использована модельная задача М. Койвы, имеющая точное аналитическое решение. В ней предполагается, что кластеры вакансий термически стабильны и не растворяются, внешние стоки и источники вакансий отсутствуют (к?=О, Гг^-О). Решается кинетическое уравнение (2) вместе с уравнением баланса вакансий:

^L=-J{U)-tJJ{n,t) , (16)

я» 1

где о/(«)=СД"(п)Дп) - поток кластеров в пространстве размеров, С, - текущая концентрация вакансий. Коэффициент скорости реакций к(п)=к, за исключением к(1)~ак, где а<1, что замедляет скорость зарождения дивакансий. Такая искусственная диспропорция в скоростях реакций позволяет получить распределение кластеров с широкой дисперсией за счет искусственного увеличения времени протекания кластеризации, ограниченной быстрым исчерпанием числа свободных вакансий. Система уравнений (2) и (16) имеет точное аналитическое решение с учетом начальных и граничных условий /(л,Г=0)=С,б(и-1),

с.('=0)=с„

/(».=1,0=с,(0. (17)

/(«=■»,0=о,

где С, - исходная концентрация вакансий, 6(п-1) - дельта-функция Дирака, обозначающая начальную конценграцию вакансий в точке л= 1 аналогично физическим понятиям точечной массы или точечного заряда.

На рис. 1 представлена терминальная функция распределения вакансиошшх кластеров^«, I) на момент времени /, когда все вакансии в системе исчерпаны. Сплошная линия соответствует точному аналитическому решению, в то время как закрашенные и незакрашенные символы обозначают результаты, полученные по методу группирования Киритани и по новому методу (см. уравнения (3) и (4)), соответственно. Как видно го рисунка, функция распределения, полученная по методу Киритани, зависит от ширины групп Ли, и явно отклоняется от точного аналитического решения. Видно, что расположение максимума рассчитанной функции распределения смещается в сторону кластеров меньшего размера с увеличением Ап„

а дисперсия увеличивается. В свою очередь, результаты, полученные с применением нового метода группирования, не зависят от величины А и, и находятся в хорошем согласии с точным решением для всех трех значений Дл„

■ " ■ ■— ■ ■

* /24 и — Тонкое решение

Метод Кирнтанн .

Е * Д • ДгрЗ

я 4 ■ А Дп=5 ДгвЭ

Новый метод

1 о Дп=3

& а

С. А Дп=9

группы

2 50 100 1 50 200 250 РАЗМЕР КЛАСТЕРОВ

ад..

Рисунок 1 - Конечная функция распределе- Рисунок 2 - Рассчитанная эволюция функция кластеров (-), с использованием ме- ции распределения Ды,I) вакансиониых кла-

тода Киритани (•, и, Ж) и предложенного стеров в пространстве приведенная

нами нового метода (о, □, Д) для разных Дл в сравнении с асимптотической ф(м), для

10', 105 и 107 с отжига при 823К Модельная задача Койвы не имеет физического аналога, в отличие от модели Лиф-шица-Слезова, которая дает асимптотическое описание процесса Оствальда, например, в случае кластеризации вакансий при термической выдержке предварительно закаленного металла Численное решение системы уравнений (2) и (16), проведено с применением нового метода группирования (см. уравнения (3) и (4)). В нашей простой модели для численного расчета предполагается, что внешние стоки и источники вакансий отсутствуют (1ф=0, (?"=0), начальное число вакансий С„ запасенных после закалки, фиксировано. Поток кластеров в пространстве размеров равен Лп)=Р(п)/{п)-0(п+1 +1X где Р(п) и <2(п) - скорости реакций захвата и испарения вакансий. Начальные и граничные условия аналогичны принятым в модели Койвы (см. уравнение (17)). Считается, что кластеры всех размеров я имеют сферическую форму радиуса Д. Переходя к непрерывному распределению по радиусам результат численного расчета ДК/Я«^/) сравнивается с универсальным асимптотическим решением ф(Д//?,р). Из рис.2 видно, что численное решение с увеличением времени отжига / приближается к асимптотическому решению, что свидетельствует о хорошей точности нового метода группирования.

Кроме того, проверка нового метода проведена на примере решения задачи зарождения вакансионных кластеров в условиях генерации пар Френкеля для разных температур облучения. В простейшем случае этот процесс подчиняется уравнению (2), которое дополнено уравнениями баланса вакансий и собственных междоузельных атомов (СМА). Полученная замкнутая система уравнений интегрируется численным методом с учетом начальных и гра-

ничных условии:

с.и=о)=с

С,(1=0)=0, /(я = 1,»)=С,(г),

/(п=оо,/)=0.

где Со - начальная концентрация вакансий, эквивалентная концентрации термически равновесных вакансий, С» и С, - концентрация вакансий и СМА.

На рис. 3 соответствующая указанной температуре облучения стационарная скорость зарождения </,=1/2„-|[/>(и)Л'Ти)]'1 (X. Крамере), известная из теории гомогенного зарождения вторичных частиц, сопоставлена со скоростью накопления кластеров У(1), полученной путем численного расчета с применением нового метода группирования (см. уравнения (3) и (4)). Показано, что стационарная скорость Js корректно описывает зарождение кластеров даже в случае, когда она протекает одновременно с их ростом, что сопровождается уменьшением концентрации вакансий (область на рисунке, где скорость зарождения уменьшается). Последнее обстоятельство следует отметить как неожиданное, поскольку в теории скорость X определена только для условий облучения при неизменном вакансионном пересыщении.

0,5

0,4

О ' В

5 од

а о ье

10"! 10"4 10'1 10"7 10~' 10° ю'

6У, сна

0,0

| ■■ Точное решение / Си;

/ \ 10 сна/с ;

■-Новый метод ' \ 250Чс"

...У \ Ко,1спй

у0,05сту

Ил\ \ / \ I \

У \У?0,01сна -, \ "

........... ............

1 2 3 4 5 6 7 ДИАМЕТР ПОР (нм)

Рисунок 3 - Сравнение скорости Д1), полу- Рисунок 4 - Эволюция функции распределе-ченной путем численного решения ОКУ (—), ния вакансионных кластеров ДА.')- Сгацио-и стационарной скорости зарождения Л (—) нарное распределение в сравнении с для разных температур облучения численным решением: по новому методу

(—) и по методу Киритани (—)

На рис. 4 показан результат сравнения решений для простой модельной задачи, являющейся радиационным аналогом модели Койвы. В такой модели рекомбинация точечных дефектов пренебрежимо мала, вакансионные кластеры термически стабильны, т.е. испарение вакансий из кластеров отсутствует, а плотность дислокаций р^ превышает интенсивность стока кV вакансионных кластеров, растущих в рассматриваемом диапазоне доз облучения

до 0,1 сна (т.е. рг1>>к<2). Для указанных условий облучения стационарная скорость зарождения равна J,=wC^DvC-D,Ci) и соответствует стационарной функции распределения g(n)=CJnm, которая на рис. 4 представлена как функция диаметра вакансионного кластера d,. Показано, что численное решение J[dv, t), полученное с применением нового метода группирования, хорошо воспроизводит аналитическое стационарное решение g(cL). На этом же рисунке показано, что результат численного расчета, полученный методом Киритани, наоборот, сильно отличается от стационарного решения.

Таким образом, проверка разработанного нового метода группирования (см. уравнения (3) и (4)) на примере ряда модельных задач показала эффективность этого метода для численного решения больших систем кинетических уравнений. Показано также, что этот метод не нарушает физическую сущность явления кластеризации точечных дефектов, которая подчиняется кинетическому уравнению (2).

В четвертой главе делается крэткий обзор общей теории, объясняющей наблюдаемые явления в металлах и сплавах под облучением, таких как распухание, радиационно-индуцированное упрочнение, ползучесть, радиационно-индуцированная сегрегация и возникновение частиц вторичных фаз. Замечено, что ряд наблюдаемых явлений не имеет объяснения в рамках общей теории, например, так называемый зернограничный эффект и эффект формирования сверхрешетки пор и пузырьков. Есть свидетельства, что эти явления не связаны с влиянием атомов примесей и не зависят от особенностей кристаллической структуры материала. Главным недостатком общей теории является отсутствие в ней учета последствий кластеризации точечных дефектов в области каскада смещений атомов решетки. Внутрикаскадная кластеризация вакансий и СМА влияет на распухание за счет существующей разницы в термической устойчивости вакансионных и СМА кластеров, приводящей к возникновению так называемого каскадного фактора предпочтения (cascade production bias) (Ч. Ву, Б. Сингх). Ключевым усовершенствованием этой модели, учитывающей каскадный фактор предпочтения, стало предположение об интенсивной анизотропной диффузии мельчайших кластеров СМА (петель, состоящих из -10 СМА) вдоль плотноупакованных кристаллографических направлений, т.е. одномерномигрирующих кластеров СМА. Подтверждения этого предположения были получены экспериментально (К. Аракава и др.) и методом машинного моделирования (Ю. Осецкий и др.). Теоретическое изучение особешгостей кинетики развития пористости с учетом одномерномигрирующих кластеров СМА позволило дать объяснение зерно-граничному эффекту и приблизиться к пониманию механизмов образования решетки пор и пузырьков (А. Барашев, С. Голубов).

Наблюдаемая интенсивная внутрикаскадная кластеризация точечных дефектов является важной, но не единственной особенностью накопления повреждений при каскадообразу-щем облучении. Помимо кластеров точечных дефектов в каскадах смещений генерируется большое число одиночных дефектов - вакансий и СМА, посредством которых каскады смещений влияют на процесс кластеризации точечных дефектов. Локальные пространственные концентрации точечных дефектов, генерируемых при каскадообразующем облучении, претерпевают существенные флуктуации, влияющие на скорости поглощения точечных дефектов стоками разного типа. Таким образом, пространственные флуктуации локальных концен-

траций точечных дефектов происходят за счет термически обусловленных миграционных скачков и, кроме того, скачков, инициированных каскадами, что оказывает влияние на зарождение и рост пор. Влияние этих двух типов флукзуаций на кинетику зарождения и роста пор имеет аддитивный характер (А. Семенов, Ч. Ву):

д/(х.()_ аI

(19)

где 1У{х,1) - коэффициент, учитывающий пространственную диффузию точечных дефектов за счет термически обусловленных случайных скачков, Щх,1) - коэффициент, учитывающий миграцию точечных дефектов, инициированных каскадами смещений, который равен:

з ХМС(Ы1)

4(3£2/4л ГЛГА(')

1 +

М')

(20)

Ее

Здесь О - скорость генерации точечных дефектов; ЛО и {М<г) - среднее число и средний квадрат числа точечных дефектов, генерируемых в одиночном каскаде смещений, соответственно; к/ - полная интенсивность стока точечных дефектов ./-типа.

Влияние локальных флуктуаций концентраций точечных дефектов, индуцированных каскадами смещений, на распухание численными методами ранее не изучалось. Решение этой задачи для случая облучения молибдена получено нами путем численного интегрирования уравнения (2) совместно с уравнениями баланса точечных дефектов и с учетом начальных и граничных условий (18). Сначала, уравнение (19), записанное в непрерывном пространстве размеров х, было преобразовано к уравнению (2), записанному в исходном пространстве с дискретным распределением кластеров по узлам п, где поток Жп, /)==[/',,(«, I +&(п, 1)У{п, 1)-Шп+1 )+(2,(«+1 /) +/У(л-И,/)1Д"+и) определяет переход кластера из размера п в размер л+1. Заметим, что сравнение решения с данными из эксперимента не проводилось, из-за очевидной неполноты нашей модели, в которой отсутствует учет последствий внутрикаскадной кластеризации.

Суммирование уравнения (2) в пространстве размеров х позволяет найти выражение для скорости накопления полного числа вакансий в кластерах 5=£,,=2и/[п,0:

б 9 12 15 18 21 24 27 ;

ДОЗА ОБЛУЧЕНИЯ (ККГ сна) Рисунок 5 - Распухание как функция дозы при фиксированной плотности дислокаций р^ и различных числах точечных дефектов Л^ в одиночном каскаде

(21)

где (У(2,1)=£),(2,0+Щ2,0+0.(2) - скорость распада дивакансии. Из уравнения (21) видно, что

коэффициент 1У(п,1) не входит в сумму в правой части уравнения и, следовательно, миграция точечных дефектов, инициированная каскадами смещений, не увеличивает и не сокращает накопление вакансий в порах. Иными словами, флуктуации концентраций точечных дефектов за счет каскадов смещений, не являются источником избыточных вакансий, однако, изменяют баланс стоков и, тем самым, как показано на рис.5, влияют на скорость распухания.

Обнаруженное более интенсивное распухание при 0, в сравнении со случаем А0=О, объясняется в рамках общей теории радиационных повреждений. Такое различие скоростей распухания происходит из-за разницы в балансе между силами стоков дислокаций и вакан-сионных скоплений. Чем меньше разница между силами этих стоков, тем выше скорость распухания, приближаясь к максимальной при их равенстве. Если поры являются преобладающим стоком точечных дефектов тогда известное выражение для скорости распухания имеет вцд:

^ОкЦо.С.-й^Д-вВ^- , (22)

м кс

где В={7.—7„)1& - дислокационный фактор предпочтения, позволяющий оценить скорость распухания, который считается равным 4%. На рис. 5 видно, что в терминальной точке для дозы облучения 30 сна интенсивности стока пор кс' с учетом разных А^ имеют следующие значения ¿Д-.и-«=5,4-1015, ¿,2|^«=4,2 ■ 1015 и 1 м=3,6 ■ 101Их подстановка в уравнение (22), если плотность дислокаций р,(=10н м'2, позволила оценить распухание. Учитывая начальное значение - 0,5%, величины распухания имеют следующие значения 5]дач,=2,7%, 5|ли=яг=3,3% и 5]»а-юо-3,8%. Из рисунка видно, что численные значе1ия находятся в хорошем согласии с приведенной аналитической оценкой.

Таким образом, разработанный новый метод группирования успешно применен для решения модельной задачи о влиянии стохастических флуктуации, инициированных каскадами смещений, на распухание конструкционных материалов. Ниже обсуждаются результата применения этого метода для решения более сложных, для проведения численного моделирования, задач эволюции ансамбля газовакансионных скоплений при отжиге.

Известны два общих процесса коалесценции пузырьков газа: по механизму броуновской миграции пузырьков (модель Гринвуда-Спайта) и за счет перерастворения атомов газа (модель Семенова-Маркворта). Эти два процесса являются наиболее общими предельными случаями, которые, по-видимому, протекают одновременно и можно говорить о преобладании какого-либо из них в данных физических условиях. Эти два процесса были изучены нами методом численного моделирования.

Один из них - коалесценция пузырьков, когда процесс контролируется броуновской миграцией пузырьков, исследован нами путем численного интегрирования системы уравнений (6) и (12) совместно с уравнениями баланса точечных дефектов с учетом начальных и граничных условий. Механизм миграции пузырьков соответствует представлениям о кинетике поверхностной диффузии (Ф. Николе), где А=£>жехр(-£У£В7)- Энергия активации поверхностной диффузии пузырьков Ев и предэкспоненщгальный множитель йю были взяты как варьируемые параметры. Интегрирование проведено с применением разработанного метода группирован™ (см. уравнения (7)-(11) и (13)—(15)). Расчеты показали, что эволюция функ-

ции распределения по размерам /(п,т,¡), полученная для температур в диапазоне 700-900°С, демонстрирует сходное поведение. Распределение пузырьков лежит в широком диапазоне размеров пространства п,т, которые концентрируются преимущественно вдоль траектории, соответствующей равновесным пузырькам. Отмечается, что эволюция распределения пузырьков вдоль траектории равновесия сохраняется на протяжении всего времени отжига.

Полученные результаты расчета сравнивались с данными эксперимента по 1 ч отжигу при температурах 600-900 "С для модельной стали Р7 (Ре-17Сг-16,7№-2,5Мо), предварительно насыщенной гелием £=38МэВ при комнатной температуре в концентрации 40 аррт (Р. Столдер, Дж. Одетт). Чувствительность расчетов к количеству имплантированного гелия показана на рис. 6, где помимо случаев имплантации 40 аррт Не + отжиг I ч приведены также результаты расчета для случаев имплантации 20 аррт Не + отжиг 1 ч при 700 °С и имплантации 80 аррт Не + отжиг 1 ч при 800 °С. Если энергию Е.ч принять равной энергии объемной миграции вакансий 1,40 эВ, а коэффициент Оя>=4,65-10* м2/с, то, в целом, из рис 6. видно, что результаты численного моделирования хорошо согласуются с данными экспериментальных измерений.

Г, "с

Рисунок 6 - Температурная зависимость концентрации (а) и среднего радиуса (б) пузырьков, рассчитанная в диапазоне температур 700-900 "С после отжига в течение 1 ч в коррозионно-стойкой стали, облученной а-частицами при 20 "С, в сравнении с данными из эксперимента

Из рис. 7 видно, что рассчитанная (а) и экспериментальная (б) функции распределения хорошо согласуются между собой при низких температурах отжига 700 и 750 "С, тогда как при более высоких температурах экспериментально измеренные функции распределения обладают несколько более широким профилем, хотя эти различия и незначительные. Предполагается, что перерастворение атомов гелия из пузырьков, которое не учитывалось в этих расчетах, должно несколько увеличивать дисперсию распределения при более высоких температурах. Отмечено, что ломанный характер функции распределения на рис. 7 возникает в результате действия механизма броуновской миграции и агрегации пузырьков. Напротив, функ-

ция распределения имеет гладкий профиль в случае, когда ее эволюция контролируется эмиссией и захватом одиночных дефектов.

2,5г 2,0 ■ v 1,5

§,1,0-

0,5 •

4»*1 Лр[1!11 Н-.'

температуре (°С)

/'"г ■■ \\\ ■■..

2,5

2,0

, 1,5 ¡2 я

0,5

1 час отжига при температуре (°С)

700, 44 аррт Не---

750, 37арртНе -

1 800,47 аррт Не ..........

1 900, 41 аррт Не ......

j /д*6'

4 "0 1 2 3 4

Я, 1ш Я, нм

Рисунок 7 - Функция распределения/Д/)=1„ДД,т,/) (а) и экспериментально наблюдаемая функция распределения (б) в диапазоне температур 700-900 "С после отжига в течение 1 ч (коррозионно-стойкая сталь)

Из рис. 8 (а) видно, что плотность пузырьков, рассчитанная для случая реального газа, пролегает выше, чем рассчитанная в случае идеального газа, за исключением начальной стадии эволюции. Видно также, что на большом времени отжига (>10' с), временная зависимость плотности пузырьков, рассчитанная для случая идеального газа, асимптотически приближается к той, что предсказана законом Л''(/)~(Д5/)

Рисунок 8 - Зависимость концентрации пузырьков (а) и их среднего радиуса (б) от времени при отжиге в течение 1 ч при 800 "С (коррозионно-стойкая сталь)

Из рис. 8 (б) видно, что кривая среднего радиуса пузырьков в случае реального газа пролегает выше рассчитанной для идеального газа. В свою очередь, рассчитанная временная зависимость среднего радиуса для идеального газа асимптотически приближается к предсказанному закону К(г)~(Ш)"5. Видно также, что временная зависимость: либо Л'(Г), либ° рассчитанная на большом времени отжига, подчиняется одинаковому закону, как в случае идеального, так и реального газа. Анализируя рис. 8 делается вывод также, что объемная

доля пузырьков, рассчитанная для реального газа, больше, чем в случае идеального газа.

Другой случай, когда коалесцеиция протекает за счет перерастяорения газа, изучен нами путем сравнения результатов численного расчета с данными асимптотической модели Семенова-Маркворта, разработанной в рамках жестких предположений. В этой модели считается, что при высокой температуре благодаря активной диффузии вакансий давление газа p(R,m) внутри пузырька в каждый момент времени уравновешивается давлением поверхностного натяжения 2y/R. С другой стороны, захват атомов газа пузырьками компенсируется обратной реакцией перерастворения газа, если выполняется закон Генри: Cgq-Kp(R,m), где коэффициент растворимости К=ехр(-\у/квТ)/квТ. Предполагается, таким образом, что вакан-сионная и газовая подсистемы мгновенно адаптируются друг относительно друга. Эти модельные допущения позволяют перейти от рассмотрения двухкомпонентной функции распределения пузырьков J[R,m) к псевдооднокомпонентной функции ДЛ), зависящей только от радиуса пузырька R. Считается, что верно _/[/?, т)=ДЙ)5(/л-тя), где 5(х) - дельта-функция Дирака, 1пя - число атомов газа в механически равновесном пузырьке радиуса R. Заметим, однако, что уравнение диффузии не имеет 8-образных решений, поэтому справедливость модели сформулированной для таких жестких предположений требует проверки путем прямого численного расчета эволюции функции распределения пузырьков по размерам j[R,m,t).

Рисунок 9 - Эволюция ДК, т, 1) в моменты времени 10, 10\ 10', и 104 с отжига при 700 °С и траектория роста равновесных пузырьков (сплошная линия ) в фазовом пространстве R, т.

Расчет проводился с учетом параметров, соответствующих коррозионно-стойкой модельной стали Р7, предварительно насыщенной гелием в количестве 40 аррт. Проведено моделирование режима отжига пузырьков при 700 °С в течение 10*' с. Предполагалось, что ато-

мы газа перерастворяются из пузырьков и мигрируют до поглощения газовакансионными скоплениями и одиночными вакансиями. Считалось также, что скопления неподвижны и не взаимодействуют между собой. Эволюция газовых пузырьков описывается кинетическим уравнением (б), точным решением которого является функция Лп,т,() в дискретном пространстве размеров п,т, наиболее удобном для проведения численных расчетов. Для полноты численного описания процесса в модель добавлены уравнения баланса вакансий С, и газа С,, а также начальные и граничные условия. Предполагается, что источником вакансий служат краевые дислокации, поскольку для коапесценции пузырьков требуется источник вакансий, т.к. в процессе эволюции пузырьков их суммарный объем возрастает. В этом состоит принципиальное отличие коалесценции газовых пор от коалесценции, рассмотренной в модели Лиф-шица-Слезова, где количество мономеров (вакансий) фиксировано, а их внешние источники и стоки отсутствуют. Аналогично модели Семенова -Маркворта в нашей модели не учитывается поглощение атомов газа стоками в виде краевых дислокаций, границ зерен и т. д., и, кроме того, предполагается, что газ идеальный и он мигрирует по междоузелыюму (диссоциативному) механизму, а не вакансионному. Энтальпия растворимости на атом газа использовалась как варьируемый параметр и принята равной 2,3 зВ. Перечисленные модельные предположения необходимы для корректного сравнения с асимптотическим результатом модели Семенова-Маркворта.

л2.5-10'с

/ \ „4-10!

/ V \ л6.3-1»>

ни

/, - '/^¡г^У/Х

N \ а

Г-г~ 1МЦ—А Ч Ч 1 V.. V

Я, ни

Рисунок 10 - Численный расчет роста пузырька критического радиуса Й,Р для идеального (•) и реального (о) газов в сравнении с траекторией роста равновесного пузырька

идеального (---) и реального (-■-•-) газов,

соответственно (коррозионно-стойкая сталь)

Рисунок 11 - Эволюция функции распределения у^О.-А'". О (—) в сравнении с асимптотическим решением ^(Я), т) (---) при

температуре отжига 700 "С в коррозионно-стойкой стали, насыщенной гелием до концентрации 40 аррт

Результаты расчетов (см. рис. 9) показали, что с увеличением времени отжига двух-компонентная функция распределения]{Я,т,С) приобретает форму, характерную для преобладающей коалесценции, однако, в отличие от случая броуновской миграции отклоняется от равновесной траектории в область размеров пузырьков с повышенной плотностью газа, что свидетельствует в пользу модельного предположения об их неподвижности.

В модели Семенова-Маркворта критический радиус /?кр - необходимый параметр для нахождения асимптотического решения, который определяется из условия равенства скоростей прихода и ухода атомов газа с1т!с1г-={). Численное решение кинетического уравнения (6) позволяет оценить параметр Я,,,, анализируя потоки Л и Л,. Критический размер скопления Пц, и соответствующее ему количество атомов газа т,р находится в точке, где все частные производные функции У(п,т) обращаются в нуль, т.е. когда одновременно выполняются оба условия: =0 и \7„У„(л,га). Из рис. 10 видно, что критический

радиус растет вдоль траектории механически равновесных пузырьков в полном согласии с предположением асимптотической модели Семенова-Маркворта. Это нетривиальный результат, поскольку эволюция критического радиуса получена из анализа кинетики взаимодействия вакансий, газа и пузырьков, тогда как равновесная траектория определяется из уравнения состояния газа, связывающего макроскопические параметры среды.

Коалесценция пузырьков в бинарном растворе подвижных вакансий и атомов газа протекает одновременно с зарождением пузырьков, которое не учитывается в асимптотической модели Семенова-Маркворта. Поэтому, например, временная зависимость концентрации пузырьков в исследуемом интервале времен отжига близка к Л'~(')2л в случае численного моделирования, а не к согласно оценке из асимптотической модели, или для временной зависимости среднего радиуса, которая приближается к (К)~(1)"4 вместо (Н}~(1)"2. Таким образом, согласование численного и асимптотического решений затруднительно. Разумно предположить, однако, что сами решения согласуются если асимптотическую функцию рассчитать с использованием критического радиуса полученного из анализа данных численного моделирования. Из рис. 11 (б) видно, что в этом случае функции становятся сопоставимыми и численное решение.Дт, () приближается к асимптотической функции Однако несмотря на это ожидаемая одновременная сходимость ДД, /) к р(К) на рис. 11 (а) не наблюдается. Такое рассогласование решений объясняется, кроме прочего, тем, что взаимная диффузионная адаптация газовой и вакансионной подсистем происходит не мгновенно, как предполагается в модели Семенова-Маркворта, а постепенно. Уточняется, что происходит постепенная адаптация вакансионной подсистемы к эволюции газовой подсистемы, а не наоборот.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработан новый метод численного решения основного кинетического уравнения в групповом приближении, позволяющий моделировать эволюцию как однокомпонентных ва-кансионных кластеров, так и двухкомпонентных частиц - газовакансионных скоплений.

2. Установлено, что локальные флуктуации концентраций точечных дефектов, инициированные каскадами смещений, не добавляют избыточных вакансий, однако меняют соотношение сил стоков точечных дефектов, оказывая влияние на скорость распухания материала.

3. Показано, что результаты моделирования эволюции пузырьков гелия в аустенитной коррозионно-стойкой стали, облученной альфа частицами при комнатной температуре и отожженной в течение 1 ч в диапазоне температур 600-900 °С, хорошо коррелируют / находятся в хорошем согласии с данными из эксперимента и подтверждают, что броуновская миграция

пузырьков и их коалесценция, в целом, объясняют эволюцию пузырьков в течение отжига во всем рассмотренном диапазоне температур.

4. Путем численного моделирования установлено, что простая модель коалесценции мигрирующих пузырьков, основанная на приближении средних величин, справедлива только для крупных газовакансионных пор на больших временах отжига.

5. Численное моделирование коалесценции неподвижных пузырьков в коррозионно-стойкой стали, насыщенной гелием, протекающей в бинарном растворе мигрирующих атомов газа и вакансий, показало, что радиус пузырьков критического размера увеличивается строго вдоль траектории механического равновесия, а пузырьки большего радиуса обладают повышенной плотностью газа

6. Установлено, что численное и асимптотическое распределения пузырьков по размеру согласуются лишь для подсистемы газа и, одновременно, не могут бьпъ согласованы для подсистемы вакансий.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Golubov S.L, Ovcharenko А.М., Barashev A.V, Singh В. Grouping method for the approximate solution of a kinetic equation describing the evolution of point-defect clusters. - Philos. Mag., A, 2001, v. 81(3), p. 643-658.

2. Ovcharenko A.M., Golubov S.I., Woo СЛ., Ilanchen H. GMIC++: Grouping method in С++: an efficient method to solve large number of master equations. - Сотр. Phys. Comm., 2003, v.152, p. 208-226.

3. Ovcharenko A.M., Woo C., Semenov AA. Master-equation for cascade damage modeling - J. Nucl. Mater., 2005, v. 341, p. 201-208.

4. Golubov S.I., Stollcr R., Zinkle S., Ovcharenko A.M. Kinetics of coarsening of helium bubbles during implantation and post-implantation annealing. - J. Nucl. Mater., 2007, v. 361, p. 149-159.

5. Овчаренко A.M. Моделирование эволюции пузырьков гелия при высоких скоростях генерации атомов гелия и высокотемпературном отжиге. - В сб.: Аннотации докладов науч. сессии НИЯУ МИФИ-2008 т. 1. Реакторные материалы, с. 157-158.

6. Golubov S.I., Singh В., Eldrup М., Ovcharenko А.М., Stoller R. Study of cavity evolution in Iron under Neutron and a-Particle Irradiations. - Proceedings of 4-th International Conference on Multiscale Materials Modeling, 2008, p. 607.

7. Овчаренко A.M., Чернов И.И., Голубов С.И. Моделирование коалесценции газовых пор при отжиге. - Атомная энергия, 2010, т. 109, вып. 6, с. 315—324.

8. Чжи Зип У, Ауиг Чжо Зо, Черпов И.И., Сгальцов М.С., Калин Б.А., Овчаренко А.М.

Термодесорбции гелия из реакторных аустенитной и ферритно-мартенситных сталей. - В сб.: Аннотации докладов науч. сессии НИЯУ МИФИ-2012, т. 1. Инновциопные ядерные технологии, с. 147.

9. Овчаренко A.M., Чернов И.И. Изучение кинетики развития газовой пористости при отжиге. - Атомная энергия, 2012, т. 112, вып. 5, с. 291-297.

Подписано в печать:

13.02.2014

Заказ № 9329 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autorcferat.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Овчаренко, Алексей Михайлович, Москва

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ «МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

На правах рукописи

0420145951 6

Овчаренко Алексей Михайлович

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВИТИЯ ГАЗОВОЙ ПОРИСТОСТИ В КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛАХ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

Специальность 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор:

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ доктор физико-математических наук, профессор И.И. Чернов

Москва-2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ 4

1. МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗВИТИЯ ПОРИСТОСТИ В МАТЕРИАЛАХ ЯЭУ И ТЯР 10

1.1. Общая теория конденсации пересыщенных растворов 10

1.2. Общая кинетическая теория гомогенного зарождения 13

1.3. Модель Катца-Видерзиха 16

1.4. Модель Лифшица-Слезова 19

1.5. Модель коалесценции газовых пор по механизму броуновской миграции 20

1.6. Модель коалесценции газовых пор за счет перерастворения газа 22

1.7. Проблема численного решения основного кинетического уравнения 25

1.8. Уравнение Фоккер-Планка 25

1.9. Метод группирования кластеров по размерам 28

1.10. Метод суммирования по путям 30

1.11. Метод моментов 31

1.12. Метод Монте-Карло 34 Заключение по разделу 1 34

2. НОВЫЙ МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ БОЛЬШИХ СИСТЕМ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 3 6

2.1. Идея метода группирования кластеров по размерам 36

2.2. Метод группирования Киритани 38

2.3. Уравнение Фоккер-Планка с дискретизацией 39

2.4. Анализ и критика метода Киритани 40

2.5. Группирование на основе метода моментов 42

2.5.1. Основное кинетическое уравнение в групповом приближении

для случая однокомпонентных частиц вторичных фаз 43

2.5.2. Основное кинетическое уравнение в групповом приближении

для случая двухкомпонентных частиц вторичных фаз 44

2.5.3. Уравнение агрегации в групповом приближении 46

2.6. ЭВМ-программа 47 Заключение по разделу 2 48

3. ВЕРИФИКАЦИЯ ПРЕДЛОЖЕННОГО МЕТОДА 50

3.1. Численное решение модельной задачи Койвы 50

3.2. Моделирование процесса Оствальда и сравнение результатов

с асимптотическим решением задачи Лифшица-Слезова 53

3.3. Моделирование зарождения вакансионных скоплений под облучением и сравнение с результатами теории гомогенного зарождения Катца-Видерзиха 56

Заключение по разделу 3 60

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАРОЖДЕНИЯ И РОСТА ПОР И ПУЗЫРЬКОВ ГАЗА С ПРИМЕНЕНИЕМ

ПРЕДЛОЖЕННОГО МЕТОДА 62

4.1. Развитие вакансионной пористости под облучением 62

4.1.1. Общая теория 62

4.1.2. Обобщение теории с учетом влияния каскадообразующего облучения 63

4.1.3. Моделирование эволюции вакансионных пор с учетом стохастических флуктуаций концентраций точечных дефектов, инициированных в каскадах смещений 68

4.2. Газовая пористость при отжиге 77

4.2.1. Моделирование коалесценции газовых пор, протекающей по механизму броуновской миграции 78

4.2.2. Моделирование коалесценции газовых пор, происходящей

за счет термического перерастворения газа 92

Заключение по разделу 4 107

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ 109

ЛИТЕРАТУРА 110

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы

Накопление инертных газов в материалах ядерных энергетических установок (ЯЭУ), например, путем (п, а)-реакций, а также в результате прямой имплантации из плазмы и за счет распада трития в термоядерных реакторах (ТЯР), оказывают влияние на эволюцию микроструктуры материала, прежде всего, на эволюцию трехмерных вакансионных скоплений - пор. Известно, что атомы инертных газов способствуют зарождению и росту пор в облучаемых материалах, оказывая влияние на такие явления, как, например, распухание, и усиливая высокотемпературное радиационное охрупчивание. Эти явления приводят к нежелательным изменениям форм изделий активной зоны реакторов на быстрых нейтронах и механических свойств конструкционных материалов, что необходимо учитывать при разработке материалов для перспективных ядерных и термоядерных установок. Для этого необходимы теоретические знания основных механизмов диффузии газа в металлах, механизмов радиационного и термического растворения газа из газовакан-сионных пор. Кроме того, требуется понимание особенностей протекания характерных процессов эволюции газовакансионных скоплений - зарождения, роста, коалесценции газовых пузырьков в металлах как в условиях облучения, так и высокотемпературных отжигов для выявления их механизмов.

В основе эволюции газовакансионных пор лежит общее явление распада пересыщенных растворов частиц с образованием их скоплений. Наиболее общие качественные термодинамические основы этого явления известны давно. Однако его количественное изучение возможно лишь путем решения основного кинетического уравнения (ОКУ), что представляет известную сложность, которая состоит в том, что, с одной стороны, это уравнение не имеет точного аналитического решения для широкого круга практически значимых задач, за исключением нескольких частных случаев, а с другой стороны - его численное решение затруднено из-за неприемлемо затратных по времени вычислений.

Решение ОКУ, которое наиболее полно и последовательно описывает эволюцию кластеров при облучении и отжиге, является нетривиальной вычислительной

проблемой. Она состоит в том, что ОКУ, по-существу, представляет собой систему большого числа дифференциальных уравнений, каждое из которых описывает эволюцию кластера определенного размера. Число таких уравнений даже в случае од-нокомпонентного раствора дефектов, как правило - вакансий, достигает ~106 и более, а в случае двухкомпонентного раствора - вакансий и атомов газа, - до 1012. Поэтому численное решение такого количества уравнений для моделирования практически значимого времени эволюции кластеров является невыполнимым.

Несмотря на указанные сложности изучения эволюции газовых пор, тем не менее, исследователями-теоретиками был получен ряд важных результатов, в основном, позволяющих выяснить наиболее общие качественные основы развития газовакансионной пористости. Однако основные количественные закономерности, связанные с эволюцией распределения газовых пор по размерам, изучены недостаточно. Например, для случая газовакансионных кластеров точное аналитическое решение ОКУ получить не удается. Все известные приближенные аналитические решения получены при некоторых упрощающих модельных предположениях и являются асимптотическими. Создание реалистичной математической модели, описывающей все стадии эволюции пузырьков, предсказывающей изменения физических и механических свойств металлов вследствие накопления газовой пористости, остается актуальной проблемой. В связи с этим, настоящая работа является вкладом в решение этой проблемы, что и определяет ее актуальность.

Цель работы

Целью настоящей работы явилось выявление с применением компьютерного моделирования физических закономерностей развития газовакансионной пористости в конструкционных материалах ЯЭУ и перспективных ТЯР.

Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи.

• С применением разработанного метода проведены расчеты эволюции одно-компонентных скоплений точечных дефектов в металлах.

Научная новизна и практическая значимость работы

5. Полученные двухкомпонентные кинетические уравнения в групповом приближении позволили впервые провести численное моделирование коалес-ценции газовакансионных скоплений как в случае броуновской миграции пузырьков, так и в случае перерастворения атомов газа из них при отжиге с учетом реалистичных модельных предположений.

6. Впервые численным моделированием коалесценции ансамбля мигрирующих пузырьков подтверждены асимптотические зависимости концентрации пузырьков и их среднего радиуса, полученные в рамках приближения средних величин, а также рассчитана эволюция двухкомпонентной функции распределения неподвижных газовакансионных скоплений по размерам, которая сопоставлена с известной асимптотической универсальной функцией распределения, полученной для жестких модельных условий.

Основные положения, выносимые на защиту

ственно сократить их число, и доказательство корректности метода на примерах решения простых модельных задач с известными аналитическими решениями.

2. Результаты численного моделирования зарождения вакансионных кластеров, показывающие, что выражение для стационарной скорости зарождения Js справедливо также для нестационарных (квазистационарных) условий, когда вакансионное пересыщение уменьшается с накоплением повреждающей дозы.

4. Результаты численного моделирования коалесценции подвижных пузырьков по механизму броуновской миграции в сравнении с экспериментальными данными накопления газовой пористости в аустенитной коррозионно-стойкой стали Р7 в течение часового отжига в диапазоне температур 600-900 °С и данными асимптотической модели в приближении средних величин.

5. Результаты проведенного численного моделирования коалесценции неподвижных пузырьков в бинарном растворе атомов газа и вакансий в сравнении с данными асимптотической модели коалесценции.

Объем и структура работы

Достоверность научных положений, результатов и выводов

Достоверность научных положений, результатов и выводов подтверждаются использованием опубликованной (Ovcharenko A.M. et al, Сотр. Phys. Comm., 2003, v. 152, p. 208) верифицированной ЭВМ-программы расчета эволюции пузырьков,

непротиворечивостью полученных результатов расчетов известным из литературы данным.

Личный вклад автора

Личный вклад автора заключается в том, что он принимал участие в постановке задач исследования; разработке численного метода группирования и методики компьютерного моделирования коалесценции газовых пор за счет механизмов броуновской миграции и перерастворения газа и его переноса в условиях высокотемпературного отжига; провел верификацию нового метода группирования; разработал специальный вычислительный комплекс - ЭВМ программу для решения больших систем кинетических уравнений; внес определяющий вклад в анализ результатов расчетов, их интерпретацию и разработку физической модели коалесценции газовых пор; лично участвовал в апробациях работы и написании основных публикаций по теме диссертации.

Апробация работы

Основные положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах, совещаниях и конференциях: Отраслевой семинар «Физика радиационных повреждений материалов атомной техники» (г. Обнинск, 2005-2011 гг.); Научная сессия МИФИ-2008 (г. Москва, 2008 г.); Научная сессия НИЯУ МИФИ-2012 (г. Москва, 2012 г.); 4-th International Conference on Multiscale Materials Modeling (Tallahassee, FL, USA, 2008 г.); MRS Fall Meeting (Boston, MA, USA, 2010r.).

Публикации

1. МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗВИТИЯ ПОРИСТОСТИ В МАТЕРИАЛАХ ЯЭУ И ТЯР

1.1. Общая теория конденсации пересыщенных растворов

Общие термодинамические основы явления образования вторичных частиц новой фазы в однокомпонентном растворе изложены в работах Дж. Гиббса [1], У. Томсона [2] и Р. Гельмгольца [3]. Первые исследования касались в основном конденсации пересыщенного водяного пара. В частности, У. Томсон впервые показал, что давление пара, находящегося в равновесии с каплей жидкости при заданной температуре Т, тем больше, чем меньше радиус В этой капли. Это соотношение можно получить, если рассмотреть полный термодинамический потенциал Ф системы пар (А) — жидкая капля (В), который равен

где Хл и хв - числа частиц в фазах А и В; \1А и - химические потенциалы соответствующих фаз (без учета поверхностных эффектов, т.е. при В—>оо) при заданной температуре Т и внешнем давлении р, равном давлению пара; у - энергия поверхностного натяжения; 2 - площадь сферической поверхности капли, которая выражается через ее радиус: 2=4пВ2. Устойчивое термодинамическое равновесие системы определяется условием 8Ф=0. Считается, что число частиц постоянно, т.е. ^л+лв-сопэ^ а также, что Хв=4лВ3/3£1, где П - объем, приходящийся на одну молекулу жидкости. Исходя из этих условий уравнение (1.1) преобразуется в уравнение

Из уравнения (1.2) можно определить значение критического радиуса капли В=В*, при котором достигается минимальное значение термодинамического потенциала Ф. Если предположить, что пар ведет себя как идеальный газ при условии

(1.1)

(1.2)

Г=соп81:, то разность потенциалов выражается формулой \1в-\ЬА=\(&-{квТ/р))с1р'^-квТ1п(р/ра), а уравнение (1.2) преобразуется в уравнение Томсона для термодинамически равновесной системы

(1.3)

где р/рм - отношение давления пара р на изогнутую поверхность к давлению на плоскую поверхность рх, квТ - произведение постоянной Больцмана на абсолютную температуру. Уравнение, подобное уравнению (1.3), может быть записано также для отношения концентраций частиц (мономеров) с/с«,, где с - равновесная концентрация частиц у сферической поверхности капли, а с» - концентрация насыщенного раствора на плоской поверхности.

Неустойчивость равновесия между пересыщенным паром и каплей выражается в том, что термодинамический потенциал такой системы имеет не минимальное значение как при устойчивом термодинамическом равновесии, когда 1Хл<Цв, а наоборот, максимальное (при \ía>\Lb ):

^G=\iAxA+\iBxB+yl-nA(xA+xB) . (1.4)

Учитывая уравнение (1.2) для критического радиуса R* уравнение (1.4) может быть

преобразовано следующим образом:

ЛС = 4лу(д2-!^) . (1.5)

•Í К I

Важно отметить, что поскольку зарождение новой фазы затрудне