Затухание и рассеяние акустических волн в мелководных волноводах

Григорьев, Валерий Анатольевич

Затухание и рассеяние акустических волн в мелководных волноводах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

Григорьев, Валерий Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

1999 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Затухание и рассеяние акустических волн в мелководных волноводах»

Автореферат диссертации на тему "Затухание и рассеяние акустических волн в мелководных волноводах"

, «г

у 4 ШЮЙГГУТ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

на правах рукописи УДК 534.23

Григорьев Валерий Анатольевич

ЗАТУХАНИЕ И РАССЕЯНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В МЕЛКОВОДНЫХ ВОЛНОВОДАХ

01.04.06 - акустика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1999

Работа выполнена на кафедре математической физики Воронежского государственного университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

Б.Г. Каунельсон

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

И.А. Маслов

кандидат физико-математических наук ^ Н.В. Студеничник

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

морской технический университет

Защита состоится: ",26" ЪнЪЪр'А 2000 г. в час.

на заседании Диссертационного совета Д-003.49.02 в Институте общей физики РАН по адресу: 117942, ГСП-1, Москва, В-333, ул. Вавилова, 38

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИОФ РАН

Автореферат разослан " /7 - ьекаеръ 1999 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д-003.49.02 доктор физико-математических наук,

профессор В.П. Быков

О) 22/ 7- .П

Актуальность работы.

Активное освоение шельфовой зоны Мирового океана (поиск и разработка полезных ископаемых, интенсивные судоходство и рыболовство на шельфе и т.д.) ставит перед современной гидроакустикой проблемы дистанционного исследования, дальней локации и мониторинга мелких морей. В рамках этих проблем весьма актуальны вопросы влияния морского дна и локальных подводных объектов на характеристики дальнего акустического поля в мелководном волноводе.

Основными факторами влияния морских осадков служат их поглощающие и рассеивающие свойства, что в совокупности приводит к затуханию энергии акустических волн. В связи с этим, для ряда прикладных задач (например, для задач томографии) необходимо использование таких геоакустических моделей дна, которые при минимальном числе параметров адекватно описывали бы процесс затухания звука в определенных диапазонах частот. При этом особое внимание следует уделять моделям, которые позволяют не только верно описывать экспериментальный материал, но и заключают в себе параметры грунта, имеющие физический смысл, такие, как пористость, коэффициенты поглощения и объемного рассеяния, которые могут быть определены в результате сопоставления теории и эксперимента. /

Влияние пространственно локализованных неоднородностей (объектов), расположенных в водном слое волновода, проявляется в возмущении излученного источником акустического поля и связано с процессом рассеяния (дифракции) звука на них. Для задач гидролокации и мониторинга водной среды чрезвычайно важно знание характеристик рассеянного поля и их связь с параметрами объекта. Например, в последнее время широко обсуждается дифракционно-теневая (просветная) методика локации, когда движущийся объект пересекает линию источник-приемник. По этой схеме можно фиксировать прохождение айсбергов (наблюдая акустическую дифракцию от подводной части) и по их перемещению судить о скорости течения.

Задача дифракции звукового поля на локальном теле в волноводе, поставленная в общем виде, является достаточно сложной. Единичные примеры прямого численного решения этой проблемы не дают к настоящему времени полной картины процесса рассеяния. Теоретические работы, в частности, по теневой локации, проведенные в рамках упрощенной модели, когда движение объекта в волноводе рассматривается как перемещение точки (или отрезка) по горизонтальной плоскости, также остаются в большой степени неподтвержденными. Таким образом, существует необходимость в создании эффективного комплекса программ, позволяющего осуществить широкомасштабный вычисчительный эксперимент по волноводной дифракции в условиях реальной акустической трассы. В частности, представляет интерес моделирование дифракции звука на объектах с известной амплитудой рассеяния в неограниченном пространстве (например, на жестком вытянутом сфероиде при любой частоте излучения и произвольных ориентациях сфероида в волноводе).

Цель работы.

Целью настоящей работы является исследование вопросов влияния морского дна и локализованных пространственных неоднородностей (объектов) на характеристики дальнего акустического поля в мелководном волноводе.

Метод исследования.

Поставленные задачи решаются в рамках единого математического аппарата, основанного на модовом представлении поля. Рассмотрение волноводной дифракции проведено с использованием понятий функции Грина и плотности источника.

Научная новизна работы.

1. Предложена методика определения частотной зависимости донных потерь, в также поглощающих и рассеивающих свойств дна по спектрам широкополосных сигналов. При этом использовано новое представление коэффициента затухания звука в дне, в котором явно разделены эффекты поглощения и объемного рассеяния.

3. В рамках решения задачи дифракции звука на локальных объектах в мелководном волноводе получены общие формулы для рассеянного поля в дальней зоне, основанные на модовом подходе и понятиях функции Грина и плотности источника. Полученные выражения адаптированы для численных расчетов.

4. Разработан комплекс программ, позволяющий при заданной амплитуде рассеяния в неограниченной среде рассчитывать дифракцию звука на любых пространственно локализованных объектах в волноводе. Отдельно отлажен пакет программ, моделирующий рассеяние на жестком вытянутом сфероиде в волноводе при любых длинах волн и произвольных ориентациях сфероида.

5. Проведены численные расчеты для движущегося сфероида в условиях реальной акустической трассы. Проанализированы важнейшие характеристики полученных дифракционных сигналов: амплитуда, длительность, частота заполнения. На основе результатов вычислительного эксперимента проведена оценка пределов применимости некоторых упрощенных моделей волноводной дифракции.

Положения, выносимые на защиту.

1. Выражение для коэффициента затухания звука в дне мелководных акваторий, в котором явно разделены эффекты поглощения и объемного рассеяния звука по частотному принципу.

2. Методика определения частотной зависимости полных потерь в дне, а также эффективных параметров грунта: пористости, коэффициентов поглощения и объемного рассеяния по спектрам широкополосных сигналов.

3. Результаты апробации методики по данным эксперимента в Баренцевом море.

4. Выражения для рассеянного поля в дальней зоне, полученные в результате решения задачи дифракции звука на локализованном объекте в волноводе при использовании модового подхода и аппарата функции Грина.

5. Формулы для расчета дифракции звука на жестком вытянутом сферои-

де в волноводе, справедливые при любой частоте излучения и-произвольных ориентациях сфероида.

6. Результаты численного моделирования для движущегося сфероида в условиях реальной акустической трассы. Анализ полученных дифракционных сигналов, оценка пределов применимости упрощенных моделей дифракции.

Практическая ценность работы. Результаты диссертации могут быть использованы:

• при дистанционном исследовании дна мелководных акваторий;

• при решении обратных задач мониторинга мелких морей;

• в задачах обнаружения и гидролокации.

Апробация работы и публикации.

Материалы, положенные в основу диссертации, опубликованы в работах [1-6], докладывались на 2-й сессии Российского акустического общества {Москва, 1993), на 2-м международном симпозиуме по гидроакустике (Гданьск, Польша, 1999), на 138-й сессии Американского акустического общества (Колумбу с, Огайо, США, 1999), на научных семинарах ИОФ РАН, на научной сессии ВГУ (Воронеж, 1999).

Структура и объем диссертации. *

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 82 наименования. Объем диссертации составляет 119 страниц, в том числе 91 страница текста, б таблиц, 23 рисунка и 7 страниц списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении определены цели и решаемые в диссертационной работе задачи, сформулированы новые научные положения, нашедшие отражение в работе, коротко изложено содержание диссертации.

В Главе 1 проведен обзор литературы, посвященной геоакустическим свойствам морского дна, и подробно проанализированы физические причины донных потерь. На основе этого сформулирована модель дна мелкого моря, которая используется в дальнейшем при расчетах.

В первом параграфе рассмотрены представления о грунте как о двухком-понентной среде (вода плюс минеральные частицы) с использованием понятия пористости' грунта. Приведены из литературы и обсуждены эмпирические связи пористости со скоростью С[ распространения продольных волн в дне и плотностью Р[ осадка:

где сн, рн - скорость звука в воде и плотность воды у поверхности дна; к -пористость осадка. Рассмотрен вопрос о необходимости учета сдвиговых волн. Поскольку верхний слой морских осадков мелководных акваторий, как правило, представлен рыхлыми породами, то энергия возбуждаемых поперечных волн в дне составляет менее 5% энергии продольных волн. В связи с этим, сдвиговой упругостью грунта часто можно пренебречь.

Потери акустической энергии в морских осадках разделены на потери при поглощении (превращение энергии звука в тепло из-за трения между частицами) и при рассеянии (уход энергии волны в сторону из-за неоднородностей

1 Пористость - физическая величина, численно равная объемной доле воды в исследуемом образце грунта. Согласно определению сплошной твердый мошшгт обладает пористостью 0, чистой воде соответствует пористость равная 1.

С1 = СН (1.631 - 1.78л: + 12Л:2) ,

(1)

(2)

донной среды). В качестве основополагающего экспериментального факта принята прямая пропорциональность коэффициента поглощения р„ от частоты / в грунтах мелких морей:

£„=&//> (3)

где Рп{ — удельный коэффициент поглощения. Из формулы (3) следует, что

любое отклонение от линейности в частотной зависимости полных потерь в дне может быть истолковано только наличием рассеяния. На низких частотах (<100 Гц) можно пренебречь поверхностным (от шероховатостей дна) рассеянием, но остается рассеяние от объемных неоднородностей грунта. В работе приведены конкретные примеры твердотельных неоднородностей, наблюдающихся в морских осадках: породы ледового разноса, конкреции, вулканогенный материал, обсуждаются их размеры (от мм до м) и концентрация. Наряду с твердыми включениями, в качестве объектов объемного рассеяния, рассмотрены неоднородности вмещающей среды (песка, алеврита, глины). Приведены данные о горизонтальной анизотропии и величине флуктуаций этих неоднородностей.

Во втором параграфе исследован вопрос о рассеянии звука на объемных неоднородностях донной толщи, для чего использовано понятие полного коэффициента объемного рассеяния2 Рр. При распространении волны в грунте под углами близкими к горизонтали получена степенная частотная зависимость

Рр=РрГ/\ (4)

где Р- удельный коэффициент объемного рассеянря; Ь — 2.5 -=- 4. Показатель

степени 2.5 соответствует рассеянию на существенно анизотропных неоднородностях дна (горизонтальные размеры во много раз больше длины волны, вертикальные размеры во много раз меньше длины волны), показатель степе-

2 Отношение звуковой мощности, рассеянной единичным объемом по всем направлениям, к интенсивности падающей плоской волны.

ни 4 соответствует рассеянию на мелкомасштабных неоднородностях (все размеры во много раз меньше длины волны). На основе формул (3) и (4) может быть выведен коэффициент затухания звука Р в дне мелководных акваторий, включающий в себя оба фактора потерь: поглощение и рассеяние

j3 = j3r/f + 05j3p/fb. . (5)

В заключение главы предложена модель статистически однородного дна, описывающаяся эффективным коэффициентом затухания в виде (5) и эффективной пористостью грунта, по которой согласно (2) и (1) определяются плотность осадка и скорость звука в нем.

Во Главе 2 рассмотрено математическое описание поля в волноводе (мо-довый подход), и апробирована методика определения поглощающих и рассеивающих характеристик дна по спектрам широкополосных сигналов.

В первом параграфе решение краевой задачи на дальних дистанциях для плоскослоистого волновода постоянной глубины представлено в виде суммы мод:

/)=(6)

где u(R,f) - комплексная амплитуда акустического сигнала в точке R ; -параметр, характеризующий мощность излучения на частоте /; уm(z) и -нормированные собственные функции и собственные значения волновода (находятся путем численного решения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля с учетом модели дна, предложенной в Главе 1); zQ и Zj - глубины излучателя и приемника; г - горизонтальное расстояние излучатель-приемник. В простейшем случае, когда Л(/) = А0 = const (в некотором частотном диапазоне), поле (б), рассматриваемое, как функция частоты, представляет собой теоретический спектр ЛЧМ-сигнала.

Во втором параграфе изложена методика подбора параметров модели дна (пористость и параметры коэффициента затухания) с целью наилучшего совпадения теоретических спектров с экспериментальными. Оптимально подобранные характеристики дна интерпретируются затем, как отвечающие реальности. В качестве экспериментальных данных были использованы результаты зондирования одного из районов Баренцева моря частотно модулированными сигналами в полосе 25-95 Гц. Протяженность трассы при этом составляла 13.82 км, глубина «170 м. Исследовались 11 последовательно излученных ЛЧМ-импульсов (с периодом повторения 1 минута), каждый из которых фиксировался приемным гидрофоном и подвергался обработке Фурье. Учитывая тонкую структуру полученных экспериментальных спектров и свойственную им гидродинамическую неустойчивость, количественное сравнение теории и эксперимента проводилось для спектров, сглаженных скользящим окном 5 Гц.

В качестве критерия близости теоретического спектра Т - к экспери-

ментальному Е = рассматривался минимум среднеквадратической не-

вязки

<7= Я-Г

= Л(Н ГР-НГ)2. (7)

где М — количество частотных отсчетов в спектрах.

Процедура поиска оптимальных параметров теории (в том числе характеристик поглощения и объемного рассеяния в дне) заключалась в следующем. Рассматривался полный список параметров Р, от которых зависит теоретический спектр Т = Т(Р):

Р = |г0, г„ г, с0(г), сн, к, Я, /?и/, РрГ, Ъ, Л0}, (8)

где Сд(г) - профиль скорости звука в водном слое волновода; Я - глубина канала. Значения первых пяти параметров брались из эксперимента. Далее, из

реалистичного диапазона пористости для данного района (к > 0.3 ) при эффективной глубине около Н » 170 м подбирались пары соответствия к , при которых наблюдается совпадение экстремумов теоретического и экспериментального спектров по частоте. (Параметры затухания при этом выбирались произвольными, т.к. они не приводят к частотному смещению экстремумов.) Затем, для каждой пары к <-> Н осуществлялся поиск оптимальных параметров затухания и выбор среди них единственной комбинации, отвечающей наилучшему совпадению теории и эксперимента с точки зрения минимума невязки о. Масштабный коэффициент А0 при'каждой комбинации параметров выбирался также из условия минимума а, что вызвано недостаточной калибровкой приемопередающего тракта по мощности.

Как показали расчеты, наилучшее совпадение теории и эксперимента в полосе 25-70 Гц наблюдается при к= 0.3 (^ =1765 м/с; рх/ри =2.1) и Ь = 4, что указывает на достаточно сильное влияние мелкомасштабных неоднородно-стей в процессе объемного рассеяния звука (вероятно, это породы ледового разноса или компоненты ледниковых морен). Удельные коэффициенты поглощения ри объемного рассеяния /5^-, определенные по различным реализациям экспериментальных спектров, дают некоторый разброс значений (см. рис. 1). Средние величины при этом равны: {Рп/} ~ 0-08 дБ/км/Гц;

(Рр/) = 3.3 • Ю-10 1/м/Гц4. Полученные данные соответствуют характеристикам

дна Баренцева моря, измеренным другими методами в исследуемом районе.

На рис. 2 приведены усредненный по 11 реализациям экспериментальный спектр и теоретический спектр, рассчитанный при оптимальном наборе параметров для полосы 25-70 Гц. Заметим, что для более широкого диапазона частот 25-95 Гц, в котором проводился эксперимент, удовлетворительного согласия теории и эксперимента получить не удается, что, вероятно, объясняется более сложной по сравнению с (5) частотной зависимостью затухания во всей указанной полосе.

м-'Пг1 1 1 1 1 1 11111 1

2-Ю-5 - ■ ■ ■ ■ -

1.5-10-5 - м -

мо-5 * о ■ -

0.5-10-5 | 1 ■ 1 1 4 ■ 1 > 1 1 1 | |

О МО"10 2-10-10 5-Ю-10 4-Ю-10 5-10-10 м-'Пг4

Рис. 1. Разброс оптимальных параметров затухания, полученных для разных экспериментальных спектров. Перекрестье показывает среднее арифметическое.

Рис. 2. Усредненный по 11 реализациям экспериментальный спектр (сплошная линия) и теоретический спектр (пунктир), рассчитанный при оптимальном наборе параметров для полосы 25-70 Гц. Оба спектра сглажены скользящим окном I Гц.

Рассмотренная методика определения параметров донного затухания была применена также для модели дна, характеризующейся известными сх, р^ и неизвестным коэффициентом затухания в виде, не разделяющем поглощение и рассеяние:

/? = /?//*• (9)

В итоге, в полосе 25-70 Гц получена близкая к предыдущим результатам частотная зависимость коэффициента затухания, но предложенная в диссертации новая модель дна более содержательна, т.к. помимо определения полных потерь дифференцирует их на поглощение и объемное рассеяние.

В Главе 3 рассмотрена важная для гидроакустики задача рассеяния (дифракции) звука на локализованном объекте в волноводе.

В первом параграфе, после математической постановки задачи и краткого литературного обзора путей ее решения, проведен вывод общих формул для рассеянного поля в дальней зоне, основанный на модовом подходе и понятиях функции Грина и плотности источника. Основным допущением при этом являлось приближенное равенство функции Грина волновода £?(./?, Л') и функции Грина бесконечного однородного пространства С70(Л, Л') в области V , занимаемой рассеивателем:

<?(Д, Я') * С0(Я, /?') Я, Д' е V . (10)

Приведены условия, при которых это допущение справедливо:

<и>2£««. (Па)

6 V <1, (11Ь)

где с!тт — минимальное расстояние от поверхности объекта до ближайшей границы волновода; Ьтах - максимальный горизонтальный размер рассеивате-ля; Дс0 — изменение скорости звука в волноводе на вертикальном размере £>

объекта (Acq = d\cIcq{z)/); X, = ib(zi)// _ длина звуковой волны на глубине zs расположения центра объекта. В частном случае, когда рассеиватель вытянут вдоль одной горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости падения волны, в (11а,Ъ) необходимо заменить Lmax на D. Выполнение неравенства (11а) позволяет пренебречь полями, отраженными от границ волновода (в

пределах объема V интенсивность отраженных полей не превышает 10%). Нео

равенство (lib) позволяет считать водную среду однородной в объеме V (при этом в пределах объема V дополнительный набег фазы, вызванный вертикальной неоднородностью среды, менее я/16).

В результате, дифрагированное поле us[R) в волноводе выражено через собственные функции и собственные значения волновода и через амплитуды рассеяния объекта в неограниченном пространстве:

wApM. (12)

(13)

где Жт(1 — матрица рассеяния:

= -Ат^а+та*р(к+т, к^ + а^а^к', к~) + + к^ + ата^[к-т, Л;)].

В приведенных выражениях щт(Я,) = {г^ц/^х^^Ый- _ П0Ле

» V ЬтЧ

т -й моды излучателя в точке где располагается центр объекта; г, и г2 -горизонтальные расстояния излучатель-объект * и объект-приемник;

' , У. /71 г/» ± I ±\

ат,м = Г ± —-;-Т~\' Я™." = V** ~ ; к I - амплитуда рассеяния

объекта в бесконечном однородном пространстве в направлении локального волнового вектора А* при падении на объект плоской волны единичной ам-

плитуды в направлении локального волнового вектора А*; \кт,/\ .

Геометрия векторов к* ^ изображена на рис. 3.

На основе выражений (12), (13) автором диссертации был разработан комплекс программ, позволяющий при заданной амплитуде рассеяния в неограниченной среде моделировать дифракцию звука на любых пространственно локализованных объектах в волноводе.

Во втором параграфе общие формулы дифрагированного поля применены для случая жесткого вытянутого сфероида, ориентированного в волноводе большей осью горизонтально. В качестве амплитуды рассеяния сфероида в неограниченном пространстве взято точное аналитическое выражение, справедливое для любых длин волн и произвольных ориентаций сфероида:

С0<)ф> (14)

• 4} и Ф)

где еп = | ^_ ^; >">„/, - вытянутые угловые и радиальные сферои-

дальные функции первого и третьего рода (штрих у символа радиальных функций означает производную по параметру ф)\ % = —л/1.2 - .О2 ; ф = -

2 ' ^Ж-И2 '

И п Ь - малая и большая оси сфероида. Выражения для углов, входящих в (14), имеют вид

«"^т,/, = -Уо^)зтг\, (15а)

КЛ,2 1 1

(Рт,и=±агЫап —---- ■' " ■" -\ZZ1Z1-----, (15Ь)

где у — угол между большей осью сфероида и направлением излучатель-приемник; {х^у, ) - горизонтальные координаты излучателя, приемника и центра объекта.

Расчет спецфункций Бп[ проводился численно на основе решения соответствующей сингулярной задачи Штурма-Лиувидля; для использовались асимптотические выражения при ^»1. Суммирование бесконечного двойного ряда ограничивалось номерами: и-- 0... ЛГ1Ю, I = п ... , где

Ьт = |-0.5и2 + , — максимальное число, при котором справедливо неравенство {-0.5 ЛГ* > (при этом достигается точность 0.1-1%).

На основе разработанного комплекса вычислительных программ проведены численные расчеты характеристик рассеянного поля для движущегося сфероида в условиях реальной акустической трассы океанического шельфа. Движение сфероида предполагалось медленным (эффект Доплера отсутствовал) со скоростью V, направленной вдоль большей оси (рис.4). В результате, на приемниках наблюдалось изменение поля с течением времени. Проанализированы важнейшие характеристики полученных дифракционных сигналов: амплитуда, длительность, частота заполнения. Показано, что несмотря на сложность дифракционной задачи основные закономерности рассеянного поля могут быть качественно объяснены и приближенно описаны на основе простых физических представлений. Данные вычислений согласуются с работами, рассматривающими упрощенные модели волноводной дифракции, в области применимости последних. На основании проведенных расчетов получены оценки пределов применимости этих моделей.

„У

Рис. 3. Геометрия локальных волновых векторов Л* , соответствующих падающему и рассеянному полям, и их горизонтальные /»„ и и вертикальные ±gm „ компоненты.

Рис. 4. Геометрия движения сфероида (вид сверху).

Ниже приведены выборочные результаты проведенных расчетов.

Максимальная амплитуда 8итах рассеянного поля, принимаемого достаточно длинной и частой вертикальной цепочкой гидрофонов, хорошо описывается обобщенной зависимостью

Зитах~Юи2/^2. (16)

При этом конкретные значения показателей степени "плавают" и зависят от соотношений размеров объекта и длины волны. В частности, при частоте 107.83 Гц (длина волны 13.6 м) для сфероидов больших, чем (30x4 м), имеем пропорциональность площади теневого контура объекта: дитах ~ ЬО (при боковом облучении). При 50 Гц (длина волны 29.4 м) для сфероидов меньших (90x10 м) получаем зависимость амплитуды от объема тела: 8итах ~ ЬО7. Для сфероидов (60x7 м)-н(90х10 м) в диапазоне 50-100 Гц показано дитах ~ /2. В полосе 110-240 Гц для сфероида (75x7.5 м) имеем 8итах ~ /0 5+1.

Дня сфероида (30x4 м) при 107.83 Гц в исследованном диапазоне у = 60° -г- 90° величина Зитах не зависит от угла прохода, что согласуется с аналогичной зависимостью амплитуды рассеяния в неограниченном пространстве. Интересным результатом вычислений является неизменность среднего уровня 8итах от расстояния г01 между излучателем и сфероидом в момент пересечения последним линии излучатель-приемник. При этом для 107.83 Гц величина осципляций относительно среднего уровня составляет -30%, а размер осцилляций по пространству равняется ~160 м, что соответствует горизонтальному размеру интерференционных максимумов в волноводе.

Длительность Т и частота заполнения /ц(г) дифракционных сигналов хорошо описываются формулами:

Г*^», при у = 90°, (17)

Ьуг

^„=0.036 Па (а) )СГи}(1) 0.048 Па (Ь)

Л=0

'¡¡'/^лЧНИ

'Цй?«»™»-

I_I_|_I_I I_I 1_и

"хаПНИ

3 дазд

I I_I_I

-А -3 О

а Г, мин

-6 -4 -2 О

4 6 в I, иик

Рис. 5. Изменение поля со временем на горизонтах г, = Параметры: £ = 30 м, £> = 4 м; / = 107.83 Гц; г0, =

84.4 +12у м, у =0, 1, ..., 9 (глубина волновода 167 м). = г02 = 69Юм; у = 3 м/с; а-г=90°; Ь-у=80°.

л«"^'. (18)

где А = гя^Ле"1 ч-Ле"1 {¿^ }| - длина волны, в двумерном (в горизонтальной плоскости) аналоге многомодового волновода; г — расстояние излучатель-приемник; г01 и г02 — из рис. 4; < — время. При этом, как показывает численный

анализ сигналов, для у Ф 90° при сохранении общей тенденции линейной частотной модуляции (по крайней мере до у » 70°) наблюдается постепенное ее разрушение.

Для иллюстрации на рис. 5 приведены примеры дифракционных сигналов.

В Приложении 1 получена зависимость Рр ~ /5/2, описывающая объемное рассеяние звука на существенно анизотропных неоднородностях дна.

В Приложении 2 получены условия (11а,Ь).

В Заключении диссертации перечислены новые научные результаты, полученные в работе.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложена методика определения частотной зависимости донных потерь, в также поглощающих и рассеивающих свойств дна по спектрам широкополосных сигналов. Реализация методики проведена для двух моделей: а) модели жидкого однородного дна с феноменологической частотной зависимостью коэффициента затухания без разделения механизмов потерь; Ь) модели грунта как двухкомпонентной среды, использующей понятие пористости и новое представление коэффициента затухания, в котором явно разделены эффекты поглощения и объемного рассеяния.

2. Эффективность предложенной методики продемонстрирована на экспериментальном материале, полученном в результате зондирования одного из районов Баренцева моря: Показана возможность использования спектров сигналов для определения параметров грунта: эффективной пористости, коэффициентов поглощения и объемного рассеяния. В частности, для исследуемого района получены согласующиеся с геологическими данными малые значения пористости и поглощения на фоне сильного объемного рассеяния, что отвечает каменистому типу грунта в глинистом заполнителе.

4. Разработан комплекс программ, позволяющий при заданной амплитуде рассеяния в неограниченной среде моделировать дифракцию звука на любых пространственно локализованных объектах в волноводе. Отдельно отлажен пакет программ, моделирующий рассеяние на жестком вытянутом сфероиде в волноводе при любых длинах волн и произвольных ориентациях сфероида.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Григорьев В.А., Кацнельсон Б.Г., Шевырев Л.Т. Акустические характеристики водного слоя в районах месторождений природных углеводородов на шельфе и их восстановление по данным акустического зондирования // Акустический мониторинг сред. II сессия Российского акустического общества: Сб. науч. тр. - М.: Акустический институт имени академика Н.Н.Андреева, 1993.-С. 34-36.

2. Григорьев В.А., Кузькин В.М. Дифракция акустических волн на жестком вытянутом сфероиде в подводном звуковом канале// Акуст. жури. 1995. Т. 41(3). С. 410-414.

3. Григорьев В.А., Кацнельсон Б.Г., Петников В.Г. Частотная зависимость эффективного коэффициента поглощения звука в дне Баренцева моря // Акуст. журн. 1996. Т. 42(5). С. 712-714.

4. Григорьев В.А. Определение поглощающих и рассеивающих свойств дна мелководных акваторий // Экономика и естественные науки: Сб. науч. работ аспирантов Воронежского государственного университета. - Воронеж: ВГУ, 1999.-С. 89-100.

5. Katsnelson B.G., Grigoryev V.A., Petnikov V.G. Estimation of hydroacoustic parameters of bottom in shallow water using low-frequency FM signals // 2nd EAA International Symposium on Hydroacoustics. Gdansk-Jurata, 24-27 May 1999, POLAND.-http://www.hydro.eti.pg.gda.pl/KONFERENCJE/SH99EAA/ramki.html.

6. Katsnelson B.G., Grigoryev V.A., Petnikov V.G. Estimation of bottom parameters in shallow water using interfirence pattern in frequency domain // 138th Meeting of ASA. Columbus, OH, 1-5 November 1999, USA. - J. Acocst. Soc. Amer. 1999. Vol. 106(4). Pt. 2. P. 2134.

Заказ 438. Тираж 100. Объем 1,5 п.л.

Типография ВГУ. 394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Григорьев, Валерий Анатольевич

Введение.

Глава 1. Обзор экспериментальных данных и построение модели дна.

1.1. Геоакустические свойства морских осадков в мелководных районах Мирового океана.

1.2. Построение модели дна.

Глава 2. Определение поглощающих и рассеивающих свойств дна по спектрам широкополосных сигналов.

2.1. Математическое описание звукового поля в мелководном волноводе.

2.2. Методика определения дошшх потерь *ю спектрам широкополосных сигналов.*. Т'. Г.

Глава 3. Рассеяние звука на локальных объектах, расположенных в водном слое мелководных волноводов.

3.1. Вывод общих формул.

3.2. Рассеяние на жестком вытянутом сфероиде.

A. Теоретическая часть.

B. Параметры расчетной задачи.

C. Результаты расчетов.

Введение диссертация по физике, на тему "Затухание и рассеяние акустических волн в мелководных волноводах"

Актуальность, цель и основные задачи диссертации. Активное освоение шельфовой зоны Мирового океана (поиск и разработка полезных ископаемых, интенсивные судоходство и рыболовство на шельфе и т.д.) ставит перед современной гидроакустикой проблемы дистанционного исследования, дальней локации и мониторинга мелких морей. В рамках этих проблем весьма актуальны вопросы влияния морского дна и локальных подводных объектов на характеристики дальнего акустического поля в мелководном волноводе. Исследование этих вопросов является целью диссертации.

Основными факторами влияния морских осадков служат их поглощающие и рассеивающие свойства, что в совокупности приводит к затуханию энергии акустических волн. В связи с этим, для ряда прикладных задач (например, для задач томографии) необходимо использование таких геоакустических моделей дна, которые были бы одновременно и простыми, и адекватно описывали бы процесс затухания звука в определенных диапазонах частот. При этом особую ценность представляют содержательные модели, которые позволяют не только верно описывать экспериментальный материал, но и заключают в себе физически ясные параметры грунта, такие, как пористость, коэффициенты поглощения и объемного рассеяния, которые могут быть определены в результате сопоставления теории и эксперимента.

Влияние пространственно локализованных объектов, расположенных в водном слое волновода, проявляется в возмущении излученного источником акустического поля и связано с процессом рассеяния (дифракции) звука на объекте. Для задач гидролокации и мониторинга водной среды чрезвычайно важно знание характеристик рассеянного поля и их связь с параметрами объекта. Например, в последнее время широко обсуждается дифракционно-теневая (просветная) методика локации, когда движущийся объект пересекает линию источник-приемник. По этой схеме можно фиксировать прохождение айсбергов (наблюдая акустическую дифракцию от подводной части) и по их перемещению судить о скорости течения.

Задача дифракции звукового поля на локальном теле в волноводе, поставленная в общем виде, является достаточно сложной. Единичные примеры прямого численного решения этой проблемы не дают к настоящему времени полной картины процесса рассеяния. Теоретические работы, в частности, по теневой локации, проведенные в рамках упрощенной модели, когда движение объекта в волноводе рассматривается как перемещение точки (или отрезка) по горизонтальной плоскости, также остаются в большой степени неподтвержденными. Таким образом, назрела необходимость в создании эффективного комплекса программ, позволяющего осуществить широкомасштабный вычислительный эксперимент по волноводной дифракции в условиях реальной акустической трассы. Поставленная задача может быть решена при использовании подходящих приближенных методов решения волновых уравнений и в полной мере может быть промоделирована для объектов с известной амплитудой рассеяния в неограниченном пространстве. В частности, представляет интерес моделирование рассеяния звука на жестком вытянутом сфероиде в волноводе при любой частоте излучения и произвольных ориентациях сфероида.

Оба класса задач: исследование влияния морского дна и локальных подводных объектов на дальнее акустическое поле, - рассматриваются в работе в рамках единого математического аппарата, основанного на модовом представлении поля.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

2. Эффективность предложенной методики продемонстрирована на экспериментальном материале, полученном в результате зондирования одного из районов Баренцева моря. Показана возможность использования спектров сигналов для определения параметров грунта: эффективной пористости, коэффициентов поглощения и объемного рассеяния. В частности, для исследуемого района получены согласующиеся с геологическими данными малые значения пористости и поглощения на фоне сильного объемного рассеяния, что отвечает каменистому типу грунта в глинистом заполнителе.

5. Проведены численные расчеты для движущегося сфероида в условиях реальной акустической трассы в Баренцевом море. Проанализированы важнейшие характеристики полученных дифракционных сигналов: амплитуда, длительность, частота заполнения. На основе результатов вычислительного эксперимента проведена оценка пределов применимости некоторых упрощенных моделей волноводной дифракции.

Содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 82 наименования. Глава 1 и глава 2 посвящены выяснению поглощающих и рассеивающих характеристик дна. В главе 3 решается задача дифракции звука на объекте в волноводе.

Заключение диссертации по теме "Акустика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим новые результаты, полученные в диссертационной работе:

3. В рамках решения задачи дифракции звука на локальных объектах в волноводе получены общие формулы для рассеянного поля в дальней зоне, основанные на модовом подходе и понятиях функции Грина и плотности источника. Полученные выражения адаптированы для численных расчетов.

5. Проведены численные расчеты для движущегося сфероида в условиях реальной акустической трассы Проанализированы важнейшие характеристики полученных дифракционных сигналов: амплитуда, длительность, частота заполнения. На основе результатов вычислительного эксперимента проведена оценка пределов применимости некоторых упрощенных моделей волноводной дифракции.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Григорьев, Валерий Анатольевич, Воронеж

1. Григорьев В.А., Кузькин В.М. Дифракция акустических волн на жестком вытянутом сфероиде в подводном звуковом канале// Акуст. журн. 1995. Т. 41(3). С. 410-414.

2. Григорьев В.А., Кацнельсон Б.Г., Петников В.Г. Частотная зависимость эффективного коэффициента поглощения звука в дне Баренцева моря // Акуст. журн. 1996. Т. 42(5). С. 712-714.

3. Григорьев В.А. Определение поглощающих и рассеивающих свойств дна мелководных акваторий // Экономика и естественные науки: Сб. науч. работ аспирантов Воронежского государственного университета. Воронеж: ВГУ, 1999.-С. 89-100.

4. Список приведен в порядке упоминания в тексте.

5. Акустика морских осадков: Пер. с англ. / Под ред. Л.Хэмптона. М.: Мир, 1977.-536 с.

6. Акустика дна океана: Пер. с англ. / Под ред. У.Купермана и Ф.Енсена. М.: Мир, 1984.-454 с.

7. Воловов В.И. Отражение звука от дна океана. М.: Наука, 1993. - 272 с.

8. Бунчук A.B., Житковский Ю.Ю. Рассеяние звука дном океана в мелководных районах // Акуст. журн. 1980. Т. 26(5). С. 641-654.

9. Эйкал Т. Акустические характеристики морского дна // Акустика морских осадков: Пер. с англ. / Под ред. Л.Хэмптона. М.: Мир, 1977. - С. 407-437.

10. Hamilton E.L. Sound attenuation as a function of depth in the sea floor// J. Acoust. Soc. Amer. 1976. Vol. 59(3). P. 528-535.

11. Исакович M.А. Общая акустика. M.: Наука, 1973. - 496 с.

12. Biot M.A. Theory of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range // J. Acoust. Soc. Amer. 1956. Vol. 28(1). P. 168-178.

13. Смит Д.Т. Акустические и механические свойства морских осадков // Акустика морских осадков: Пер. с англ. / Под ред. Л.Хэмптона. М.: Мир, 1977.-С. 47-65.

14. Hamilton E.L. VpjVs and Poisson ratios in marine sediments and rocks // Ibid.1979. Vol. 66(4). P. 1093-1101.

15. Hamilton E.L. Geoacoustic modeling of the sea floor// Ibid. 1980. Vol. 68(5). P. 1313-1340.

16. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана.-Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 264 с.

17. Ильин A.B. Характеристики дна океана, важные для акустики // Акустика океана. Современное состояние / Ответств. ред. Л.М.Бреховских, И.Б.Андреева. М.: Наука, 1982. - С. 227-242.

18. Большой энциклопедический словарь. М.: Большая Российская энциклопедия; СПб.: Норинт, 1997. - 1456 с.

19. Ильин A.B., Минеев В.А., Шурко И.И. Новые данные о геологическом строении дна Бразильской котловины // Докл. АН СССР. 1965. Т. 164(6). С. 1366-1369.

20. Нешиба С. Океанология. Современные представления о жидкой оболочке Земли: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. -414 с.

21. Геологический словарь. (В 2-х томах) / Отв. ред. К.Н.Паффенгольц. М.: Недра, 1973. - Т. 1. (Конкреции). - 487 с.

22. Павлидис Ю.А. Шельф Мирового океана в позднечетвертичное время. М.: Наука, 1992.-272 с.

23. Мурдмаа И.О. Фации океанов. М.: Наука, 1987. - 304 с.

24. Лысанов Ю.П. О геоакустической модели верхнего слоя осадков в мелких морях // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251(3). С. 714-716.

25. Ивакин А.Н., Лысанов Ю.П. Определение некоторых параметров морских осадков по данным акустического зондирования // Акуст. журн. 1985. Т. 31(6). С. 807-809.

26. Сизов И.И. О неоднородностях морского грунта, влияющих на характеристики объемного рассеяния звука // Тр. Акуст. инст. 1967. №2. С. 131-140.

27. Горная энциклопедия. (В 5-ти томах) / Гл. ред. Е.А.Козловский. М.: Сов. энциклопедия, 1989. - Т. 4. (Соляная тектоника). - 623 с.

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. (В 10-ти томах). Т. 4. Гидродинамика. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -736 с.

29. Чернов Л.А. Волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1975. -172 с.

30. Доддс Д.Дж. Оценки поглощения по разрезам дна, полученным профило-графом с высоким разрешением // Акустика дна океана: Пер. с англ. / Под ред. У.Купермана и Ф.Енсена. М.: Мир, 1984. - С. 131-147.

31. Кацнельсон Б.Г., Петников В.Г. Акустика мелкого моря, М.: Наука, 1997.- 191 с.

32. Владимиров B.C. Уравнения математической физики: Учебник. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 512 с.

33. Baggeroer А.В., Kuperman W.A. Matched field processing in ocean acoustics // Acoustic signal processing for ocean exploration / Ed. J.M.F.Moura, I.M.G.Lourtie. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 1992.-P. 79-114.

34. Кузькин B.M., Огурцов A.B., Петников В.Г. Влияние гидродинамической изменчивости на частотные смещения интерференционной структуры звукового поля в мелком море // Акуст. журн. 1998. Т. 44(1). С. 94-100.

35. Бункин Ф.В., Кацнельсон Б.Г., Кравцов Ю.А., Кулапин Л.Г., Петников В.Г., Ривелис Е.А., Резников В.М., Сабиров О.И., Сиденко А.В. Усредненные оценки поглощения звука в океанических волноводах малой глубины // Акуст. журн. 1989. Т. 35(1). С. 1-7.

36. Hall M.V. Inversion of explosive shallow water transmission loss data to obtain acoustic seabed models //ICA/ASA'98, Seattle, 1998. P. 1635-1636.

37. Кравцов Ю.А., Кузькин B.M., Петников В.Г. Приближенный подход к задаче о дифракции волн в многомодовом волноводе с плавно меняющимися параметрами // Изв. вузов. Радиофизика. 1983. Т. 26(4). С. 440-446.

38. Кравцов Ю.А., Кузькин В.М., Петников В.Г. Дифракция волн на регулярных рассеивателях в многомодовых волноводах// Акуст. журн. 1984. Т. 30(3). С. 339-343.

39. Kravtsov Y.A., Kuz'kin V.M., Petnikov V.G. Wave diffraction by regular scatterers in multimode waveguides // Sov. Phys. Acoust. 1984. V. 30(3). P. 199202.

40. Кузькин B.M. Характеристики акустического дифрагированного сигнала в океаническом волноводе // Акуст. журн. 1997. Т. 43(4). С. 514-520.

41. Хёнл X., Мауэ А., Вестфалль К. Теория дифракции: Пер. с нем. / Под ред. Г.Д.Малюженца. М.: Мир, 1964. - 428 с.

42. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 207 с.

43. Шендеров E.JI. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989.

44. Waterman Р.С. New formulation of acoustic scattering // J. Acoust. Soc. Amer. 1969. V. 45(6). P. 1417-1430.

45. Bostrom A. Transmission and reflection of acoustic waves by an obstacle in a waveguide // Wave motion. 1980. V. 2. P. 167-184.

46. Bostrom A. The T-matrix method for scattering by an obstacle in a waveguide // Acoustic, electromagnetic and elastic wave scattering / Edited by V.V.Varadan, V.K.Varadan. Pergamon, New York, 1980. P. 221-224.

47. Tobocman W. Comparison of the T-matrix and Helmkoltz integral methods for wave scattering calculation // J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 77(2). P. 369-374.

48. Hackman R.H., Sammelmann G.S. Acoustic scattering in an inhomogeneous waveguide: Theory // J. Acoust. Soc. Amer. 1986. V. 80(5). P. 1447-1458.

49. Hackman R.H., Sammelmann G.S. Long-range scattering in a deep oceanic waveguide// J. Acoust. Soc. Amer. 1988. V. 83(5). P. 1776-1793.

50. Hackman R.H., Sammelmann G.S. Multiple-scattering analysis for a target in an oceanic waveguide 11 J. Acoust. Soc. Amer. 1988. V. 84(5). P. 1813-1825.

51. Квятковский С.О. Применение метода Т-матриц к задаче о дифракции волн на рассеивателях в многомодовых волноводах // Волны и дифракция-85. IX Всесоюз. симп. по дифракции и распространению волн. Тбилиси: Изд-во Тбилисск. гос. ун-та. 1985. Т. 2. С. 240.

52. Квятковский С.О. Дифракция звуковых волн на рассеивателе в волноводе // Акуст. журн. 1988. Т. 34(4). С. 743-745.

53. Немцов В.Н., Федорюк М.В. Дифракция звуковых волн на тонком теле вращения в двуслойной жидкости //Акуст. журн. 1986. Т. 32(1). С. 131-134.

54. Горская Н.В., Горский С.М., Зверев В.А., Николаев Г.Н., Курин В.В., Хиль-ко А.И. Коротковолновая дифракция в многомодовом слоистом волноводе // Акуст. журн. 1988. Т. 34(1). С. 55-59.

55. Горская Н.В., Горский С.М., Зверев В.А. и др. Особенности коротковолновой дифракции звука в многомодовых слоистонеоднородных волноводах// Акустика океана / Под ред. И.Б.Андреевой, Л.М.Бреховских. М.: Наука, 1991. С. 97-110.

56. Елисеевнин B.A., Тужилкин Ю.И. Дифракция звукового поля на плоском прямоугольном вертикальном экране в волноводе // Акуст. журн. 1995. Т. 41(2). С. 249-253.

57. Вдовичева Н.К., Сазонтов А.Г., Хилько А.И. Дифракция акустического поля на рассеивателе в случайно-неоднородном океане// Акуст. журн. 1998. Т. 44(2). С. 181-191.

58. Вдовичева Н.К., Сазонтов А.Г., Хилько А.И. Коротковолновая дифракция акустического поля на жестком рассеивателе в волноводе со взволнованной поверхностью // Акуст. журн. 1998. Т. 44(4). С. 443-450.

59. Sakissian A. Method of superposition applied to scattering from a target in shallow water // J. Acoust. Soc. Amer. 1994. V. 95(5). P. 2340-2345.

60. Кузькин В.M. Об отражающей способности тела в океаническом волноводе // Формирование акустических полей в океанических волноводах / От-ветств. ред. В.А.Зверев. Н.Новгород: ИПФ АН СССР, 1991. - С. 130-139.

61. Горский С.М., Зверев В.А., Матвеев A.JL, Митюгов В.В. Некогерентное накопление сигналов акустической дифракции // Акуст. журн. 1995. Т. 41(2). С. 223-231.

62. Зверев В.А., Матвеев A.JL, Митюгов В.В. Согласованная фильтрация откликов акустической дифракции при некогерентном накоплении на вертикальной антенне // Акуст. журн. 1995. Т. 41(4). С. 591-595.

63. Матвеев A.JL, Митюгов В.В., Салин Б.М. Экспериментальное наблюдение акустической дифракции // Акустика океана / Сб. трудов школы-семинара акад. Л.М.Бреховских. М.: ГЕОС, 1998. - С. 151-156.

64. Кулапин Л.Г. Распространение звука в многомодовых гидроакустических волноводах с поглощающей границей: Дис. . канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1986. - 128 с.

65. Белов В.Е., Горский С.М., Хилько А.И. Дифракция акустических волн на упругом циллиндре в многомодовом слоистом волноводе // Волны и дифракция 90. - М.: Физическое общество, 1990. - Т. 1. - С. 378-382.

66. Гринблат Г.А., Клещев A.A., Смирнов К.В. Звуковые поля сфероидальных рассеивателей и излучателей в плоском волноводе // Акуст. журн. 1993. Т. 39(1). С. 72-76.

67. Клещев A.A. Гидроакустические рассеиватели. СПб.: Судостроение, 1992.

68. Конюхова Н.Б., Пак T.B. Дифракция плоской звуковой волны на жестком вытянутом сфероиде // Сообщения по прикладной математике. М.: Вычислительный центр АН СССР, 1985. - 61 с.

69. Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и кулонов-ские сфероидальные функции. М.: Наука, 1976. - 319 с.

70. Дышко A.JI. Численное нахождение вытянутых угловых сфероидальных функций и соответствующих им собственных значений, а также первых производных этих функций. Информ. бюлл. ВНТИЦентра "Алгоритмы и программы". 1983. №6. 11006572.

71. Абрамов A.A., Дышко A.JL, Конюхова Н.Б., Пак Т.В., Парийский Б.С. Вычисление вытянутых сфероидальных функций решением соответствующих дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. Т. 24(1). С. 3-19.

72. Физика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. A.M. Прохоров. 4-е изд. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1999. - 944 с.

73. Федорюк М.В. Рассеяние звуковых волн тонким акустически жестким телом вращения // Акуст. журн. 1981. Т. 27(4). С. 605-609.

74. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 800 с.

75. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 832 с.

76. Uzunoglu N.K., Fikioris J.G. Scattering from an inhomogeneity inside a dielectric-slad waveguide// J. Opt. Soc. Amer. 1982. V. 72(5). P. 628-637.

77. Кузькин В.M., Фролова Т.А. Усредненный закон спадания звукового поля протяженной вертикальной антенны в мелком море// Акуст. журн. 1988. Т. 34(5). С. 891-897.