Адиабатическое замораживание воды холодом гранул льда как задача Стефана тема автореферата и диссертации по химии, 02.00.04 ВАК РФ

На правах рукописи

АЩЕУЛОВА Алена Сергеевна

АДИАБАТИЧЕСКОЕ ЗАМОРАЖИВАНИЕ ВОДЫ ХОЛОДОМ ГРАНУЛ ЛЬДА КАК ЗАДАЧА СТЕФАНА

Специальность 02 00.04 «Физическая химия»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Кемерово 2007

02035335684702

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Кемеровский государственный сельскохозяйственный институт» на кафедре прикладной механики

Научный руководитель:

Официальные оппоненты

д т н, профессор

Полтавцев Владимир Иванович

д ф -м. н , профессор Полыгалов Юрий Иванович

д т н., профессор

Попов Анатолий Михайлович

Ведущая организация:

Кузбасский государственный технический университет

Защита диссертации состоится <<£5у> МС} £1 2007 г. часов на заседании совета по защите диссертаций Д 212.088.03 в ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет» (650043, г. Кемерово, ул. Красная, 6)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Автореферат разослан " <ЭПр 2007г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 088 03 доктор химических наук, профессор

Кагакин Е.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. На территории России находится значительное количество рек Ежегодно с наступлением зимы они уходят под лед, по которому прокладываются зимние дороги и строятся ледовые переправы путем намораживания искусственного льда. Ледовые переправы запускают в эксплуатацию в декабре, а закрывают весной Стоимость строительства ледовых переправ высока трасса в Юрге через реку Томь в этом году составили 2,7млн рублей Экономически выгоден более ранний ввод переправ в эксплуатацию за счет сокращения сроков строительства путем применения искусственного гранулированного льда, получаемого в кипящем слое холодом атмосферного воздуха Поэтому ускорение строительства переправ является актуальной задачей

Для ее решения требуется метод расчета намораживания воды на поверхности гранул Пленка воды на поверхности гранул в кипящем слое замерзает снизу от холода самой гранулы (адиабатический процесс), а сверху - за счет холода конвективного потока ожижающего агента Движение границы слоя льда в адиабатическом процессе соответствует задаче Стефана, которая характеризуется существенной нелинейностью, исключающей получение аналитического решения. Общих аналитических методов ее решения при произвольной форме области и любом характере изменения температуры на ее границах до сих пор не найдено

Работа выполнялась в соответствии с планом НИР Выполнение научно-исследовательских работ по приоритетным направлениям программы и поисковых исследований фундаментального характера молодыми учеными и преподавателями, проходящими стажировку в крупном (научно-исследовательском) центре - Кемеровском государственном сельскохозяйственном институте Шифр 2006-РИ-111.0/001/017

Государственный контракт от 24 марта 2006г №02 444 11 7324 Цель работы. Постановка, исследование и решение модели адиабатического намораживания льда на гранулах в виде задачи Стефана

В соответствии с поставленной целью необходимо решить следующие задачи

1 Поставить математическую модель адиабатического процесса намораживания воды на поверхности сферической гранулы льда

2 Провести анализ устойчивости модели в заданных границах изменения параметров.

3 Разработать метод численного расчета математической модели

4 Экспериментально исследовать процесс намораживания воды на одной и группе гранул в статических условиях.

5 Экспериментально проверить кинетику роста льда в динамике на поверхности гранул в условиях кипящего слоя

Научная новизна работы заключается в следующем.

1 Поставлена математическая модель адиабатического намораживания льда на гранулах сферической формы в виде задачи Стефана

2 Создан метод численного расчета задачи Стефана для адиабатического процесса льдообразования

3 Созданы методы экспериментального исследования процесса намораживания воды на сферических гранулах льда в статических и динамических условиях.

4 Получены экспериментальные характеристики области самозамораживания ледяных блоков с применением гранулированного льда

Практическая ценность работы

1 На основе поставленной математической модели предложен метод расчета адиабатического процесса намораживания воды на поверхности гранул.

2 Разработана экспериментальная методика определения кинетики роста льда на гранулах в статических и динамических условиях

3 Предложены технические решения использования снежной массы /и холода снега для ускорения смерзания ледяных блоков

Автор защищает:

1. Математическую модель адиабатического процесса намораживания льда на гранулах сферической формы.

2. Результаты теоретического исследования процесса намораживания льда на сферических гранулах

3. Результаты экспериментального исследования льдообразования на затравке льда

4. Обоснование области самозамораживания водо-снего-ледяных смесей и пределы ее существования.

Личный вклад автора в работы, выполненные в соавторстве и включенные в диссертацию, состоял в общей постановке задачи, активном участии в проведении экспериментальных исследований, анализе и интерпретации полученных данных, написании статей.

Апробация работы: основные положения и результаты исследований, проведенных в работе, докладывались и обсуждались на Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 75-летию Чувашской государственной сельскохозяйственной академии (Чувашская государственная с/х академия), Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирская с/х академия), на региональных научно - практических конференциях «Тенденции и факторы развития агропромышленного комплекса Сибири» (Кемеровский государственный сельскохозяйственный институт в 2005 и 2006 годах), а так же на международной школе -конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Проблемы рационального природопользования техногенного региона» (Кемеровский государственный сельскохозяйственный институт).

Публикации Полный список публикаций включает 13наименований и приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы из 138 наименований и 5приложений. Общий объем диссертации составляет 121 страницу основного текста, 43 рисунка, 35 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цели и задачи исследования, показана научная новизна и практическая ценность работы, изложены основные положения диссертации, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации и публикациях основных результатов

В первой главе проводится обзор современных литературных данных по физической сущности задачи Стефана, физическим основам теории фазового превращения вода-лед, существующих математических моделей задачи Стефана с фазовым переходом, методов численного решения.

Во второй главе рассматривается математическая модель фазового превращения с участием фаз. твердое тело - жидкость. Примером таких систем являются процессы затвердевания и плавления Соответствующие математические модели характеризуются наличием подвижных, заранее неизвестных границ фазового перехода - задач со свободными (неизвестными) границами Основная предпосылка при моделировании фазовых превращений состоит в том, что фазовый переход происходит при заданной постоянной температуре фазового перехода Т* Фазовый переход происходит на границе раздела фаз, которую мы обозначаем 8=5(0 Эта граница разделяет расчётную область п на две подобласти Область П'О), занята твердой фазой, где температура превышает

температуру фазового перехода: = у,у,г,о>т*}

Соответственно, область занята жидкой

фаЗОЙ. (,) = 6 Т(х,у,1,1) <г*}

Имеется гранула льда сферической формы радиуса /г,, с температурой и„ = сопи < о. Такую сферу помещаем в воду, температура которой близка к 0°С.

Пусть и(гД) - функция описывающая изменения радиуса распределение температуры в грануле в любой гранулы льда

момент времени. Таким образом, получаем начальные условия:

| ио, если |г|<Л0,

и (Г,0) =

10, если |г[ > Л0

Максимально возможный радиус гранулы в результате ее погружения в воду можно получить из общего баланса тепла, исходя из условия, что весь лёд нагрелся до температуры 0°С, и температура воды не изменилась

[0, если И < - лед,

Щг,Т)-- ,

10, если |г| > - вода

Уравнение теплового баланса имеет вид-

= (1)

где

р,, с - плотность и теплопроводность льда, рг - плотность воды;

ц - энергия фазового перехода, потраченная на единицу массы воды.

С помощью преобразований из (1) выводим максимальный радиус гранулы при использовании ее холода:

. у

= = Г (2)

I ЧРг )

Рассмотрим процесс намораживания льда за некоторый промежуток времени м:

|£/(Л,0, \г\=Я<Н(1)-лед, [¿/(Я,О, |г|> то-вода

Всегда должно выполняться уравнение баланса внутри гранулы:

г+ЛЛ 1+А1

г /

9 = -^гайи = -хиг - поток тепла по закону Фурье. Сделаем замену:

У(в,1) = ви(в,о=> и(в,1) = У(0,1}, тогда

о

Ув=Щ0,Ъ + 0ио(в,1)=> и„(9,1)

в в в2

Следовательно, подынтегральное выражение равно 0. Таким образом, приходим к следующему уравнению:

У.= — Ут. 0<г<Л(Г), />о. (3)

од

Уравнение (3) описывает закон, по которому меняется температура внутри гранулы льда

Для завершения построения математической модели процесса намораживания воды на гранулу льда сферической формы необходимо рассмотреть процессы, протекающие на неизвестной (свободной) границе |г| = /?(/).

Рассмотрим уравнение баланса на границе:

т= {\\щсвУ{в, мв,

О Э

Л(|+Л/) .

б(/ + Д/) = | -пр£вУ(в,г+Ы)с10 О 3

&() = <2(1+ы)-(2(1)- тепло, которое израсходуется на процесс кристаллизации, то есть:

гт*т «о .

Л(? = АлрЛ \0У(в,1 + М)с10- \вУ(0,1)с10\ = -длр2 + А/) - Л'(1)}

или

-¡о-Л«»4')

ЯР2

'■ —~—~~ к у I г>о (4)

¡0У(0,1 + А1)с10- \вУ(в,1)(1 в

V о о

Преобразовав разность интегралов и воспользовавшись уравнением (3), учитывая условие = о на разделе границе фаз.

Разделим на д/, и д/->0, получим:

ж

Ж ,=*(!>

Уравнение (4) связывает скорость движения свободной границы и источник тепла на ней.

Таким образом, мы пришли к следующей краевой задаче.

У,= — Ут, о<г<Я(0, />0, ср,

иог, 0 <г<Л0,

[0, г>1(0

^Цо =°> <>°>

"Я(0

'>0 (5)

Аппроксимируем уравнение

^о^. (6)

е< дгг к '

Для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, то есть множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциальной задачи (6). Сначала введем пространственную сетку по переменной г с шагом Ь и временную сетку по переменной I с шагом т Точки г^гк и 7 = 0,//, 1 = 0,М образуют узлы пространственно -временной сетки

дУ У/*'-У/

81 т аУ у/*-2У,'* дг2 И2

тогда

К - К' _ д Уы - 2У/+'+У;Х г Н2 '

В результате получим следующую систему разностных уравнений на (/+/)-ом слое по времени:

а,У/-*'-Ь,У/*'+с,У,^=/„ ; = ~ <7)

здесь

-£> . -1 20 °-=-ГГ' Ь,=---гг»

л г п

-Р У[_

С! ~ , 2 ' // —

л г

Разностная схема (7) аппроксимирует исходное уравнение (4) с первым порядком точности по ^ и вторым по г

Реализацию конечно-разностной схемы проведем методом прогонки. Суть этого метода заключается в том, что решение разностного уравнения второго порядка ищется как решение разностного уравнения первого порядка с неизвестными коэффициентами и правой частью

Неизвестные величины вычисляются по рекуррентным формулам с помощью одного из условий. После, с помощью

другого краевого условия, решается разностное уравнение первого порядка с вычисленными коэффициентами и, таким образом, находится решение исходной задачи.

В соответствии с методом прогонки будем искать решение разностных уравнений (7) в виде:

/ = (8)

Отсюда найдем

К-!' = V!* + рГ, /=оДТ^Т

и подставим в (7):

аГ{а№' +РГ')~ЬУГ' К'Х +ДЛ' = . (9)

Сравнивая (8) и (9), получаем

* г

—6,+в(0г/41"

Из граничных условий и условия К/ = сг,К/ +Д находим = о и

д =о.

Радиус в узлах данной сетки вычисляем по следующей формуле:

' i ярл я i )}

В третьей главе изложена методика экспериментальной работы.

Экспериментальное определение скорости движения границы намерзающего слоя льда на поверхности гранул требовало создания сфер изо льда с приемлемыми для опытов размерами в пределах 40-50 мм. Нами были проверены два широко известных способа формования сферических тел, в частности, изо льда:

Н Замораживание (отливка) сферических гранул.

• »

\

Т

В П ' г з

Рнс.2. Колпачок для получения полусфер

2. Оплавление колотых частиц льда. После их детального анализа создан и апробирован следующий способ получения сферических гранул льда в виде шара.

Мы использовали цилиндро-сферические колпачки (рис 2) из-под медицинских бахил

Колпачок выполнен прозрачным из полистирола и имеет идеальную по сферичности нижнюю часть. Для крепления колпачков использованы отработанные доски лабораторных столов, в которых сверлились отверстия конической формы с конусностью несколько процентов, что было достаточно для надежной установки колпачков в вертикальном положении

С помощью таких колпачков замораживалась вода в виде полусфер, которые в последствии шлифовались по плоскости и смораживались вместе, образуя идеальную по форме шарообразную частицу льда, пригодную для экспериментов по определению скорости продвижения границы новообразовавшегося льда На плоской грани одной из полусфер (для потая) при помощи паяльника с заостренным наконечником проплавлялся криволинейный паз, в который, с целью фиксации, укладывался фигурный конец проволоки, повторяющий форму паза, паз накрывался второй полусферой, образуя систему гранула-стержень

Рис 3 Конструкция подвеса в виде рамки с 16 гранулами 1-основание, 2 - стержень, 3 - гранула, 2 и 3 образуют систему гранула - стержень С целью удобства проведения и уменьшения погрешности эксперимента, нами сконструирована система подвеса, в которой гранулы с помощью стержней (отрезки медной проволоки)

(рис 3).

крепились к прямоугольной деревянной рамке - основанию подвеса (рис.3).

Стык полусфер подобной гранулы с проволокой поливался водой, полусферы схватывались первоначально, окунались в воду и на морозе превращались в шары, подвешенные на медных проволочках. Подобные модельные тела были удовлетворительными по всем параметрам- точности шарообразной формы, простоте вспомогательных устройств для изготовления полусфер, малом времени доводки полусфер, небольших затрат труда для укладки медных проволок, малого

А-всасываемый поток, Б-нагнетаемый поток, В - регулировочный поток, Г- выхлоп, Д-затравка, 1- всасывающий трубопровод, 2-регулировочная заслонка, 3- тройник, 4- гибкий рукав, 5- рама, 6-рукав ввода в камеру, 7- распределительная решетка, 8- камера кипящего слоя, 9- рычаг уплотнительного устройства, 10- выпускной трубопровод, 11- перепускной трубопровод, 12- вентилятор высокого

давления, 13-электродвигатель Основными требованиями, предъявляемыми к льдогенераторам, как и к другим теплообменным устройствам, является простота конструкции, низкая стоимость материалов для их изготовления и высокая интенсивность процессов теплообмена При определённых

условиях эксплуатации этим требованиям в достаточной степени отвечает аппарат, экспериментальная модель которого была разработана и создана для определения режимных параметров процесса льдообразования в кипящем слое. Схема установки показана на рисунке 4

Экспериментальное устройство относится к аппаратам для контактирования в двухфазных системах твёрдое тело - газ (воздух) и может быть использовано для проведения технологического процесса получения искусственного гранулированного льда, используемого в промышленных целях и для охлаждения пищевых и молочных продуктов

Работа установки осуществлялась следующим образом- по всасывающему трубопроводу 1 и гибкому рукаву 4 вентилятором 12 засасывался холодный атмосферный воздух Поток этого воздуха через тройник 3 по патрубку 6 подавался через решетку 7 в камеру кипящего слоя 8 Привод вентилятора осуществлялся электродвигателем 13, причем его крепление, как и крепление вентилятора 12 с патрубком 4, самым жестким образом осуществлено на раме 5.

Загрузка камеры 8 ледяной затравкой осуществлялась через верхний фланец выпускного трубопровода 10 с уплотнительным устройством рычага 9.

С помощью регулировочной заслонки 2 нагнетательный поток воздуха Б регулируется по своей величине: от режима начала кипения - до режима устойчивого псевдоожижения при максимальных размерах гранул льда. Избыток воздуха сбрасывается по патрубку В

Во время кипения гранул через отверстие в выпускном трубопроводе 10 циклически впрыскивалась вода, размер капель которой можно оценить как 0,4-1,8 мм. Оценка производилась с помощью фотосъемки. Цель экспериментов на установке -определение удельной скорости намораживания воды в интервале слабого мороза с температурой от -5°С до -15°С, что соответствует погодным условиям начала зимы Можно с уверенностью говорить, что при этих температурах кипящий слой в промышленном варианте может дать удельную

производительность порядка 9-11 т льда в час с 1 куб м рабочего объема кипящего слоя

Полученные в таких условиях гранулы можно характеризовать следующим образом.

1. Температура выходящих из кипящего слоя гранул от-3°С до -б°С, н соответственно они имеют низкую механическую прочность

2. Хранение такого льда в условиях недостаточного холода атмосферного воздуха требует мер против рсжсляции гранул, например пересыпкой гранулированной массы льда небольшим количеством древесных опилок

Достоинством установки кипящего слоя, кроме высокой производительности, является низкий уровень энергетических затрат, поскольку гидравлическое сопротивление слоя невелико-100-120 мм вод ст

В четвертой главе исследована кинетика адиабатического намораживания льда

Кинетика роста гранул льда исследовалась в статических условиях и условиях кипящего слоя

Статические условия:

Целью эксперимента являлся сбор данных, характеризующих процесс льдообразования на поверхности гранул за счет их внутреннего холода в статических условиях, а сам эксперимент осуществлялся по следующей схеме

1 Измерение начальных диаметров охлажденных гранул.

2 Измерение начальной массы охлажденного набора.

3. Опускание гранул в предварительно охлажденную до 0°С воду на некоторый промежуток времени

4. Измерение диаметров гранул после опускания в холодную воду

5 Измерение массы набора после опускания в холодную воду

6. Обработка данных, заключающаяся в подсчете изменений диаметров и масс гранул.

Эксперименты проводились в широком температурном диапазоне от -5°С до -42°С, при различном времени погружения

гранул в соду от одной до 50 сек (результаты все\ измерений вносились в рабочий журнал от 27 10 05г)

40 30 £20 10

гЛ и>

/ 1

У

0 10 20 30 40 50 1С

Рис 5 Экспериментальная зависимое!ь прироста льда от запаса холода 1 ранулы Ы = -25°С, 2-1 = -42°С

Результаты эксперимента обобщены в виде графика зависимости прироста массы (Дш, г) от времени (I, с) опускания льда в воду с температурой 0°С (рис 5).

Условия кипящего слоя

Схема эксперимента в кипящем слое-

1 Взвешивание пустой камеры кипящего слоя

2 Охлаждение воды для подачи в камеру кипящего слоя, до 0°С и ее взвешивание.

3 Охлаждение камеры вместе с установкой (прогонка вхолостую)

4. Охлажденные гранулы засыпаются в камеру кипящего слоя .1 взвешиваются Получаем чистый вес льда

5 Процесс наморозки.

6 Взвешивание камеры вместе с гранулами после намораживания

7 Обработка полученных результатов

Предложен новый способ получения моноблока льда Приготовление водно-спеговой суспензии и применение ее для

заливки порозиого пространства слоя гранул приводит к уменьшению доли жидкости в снежно-гранульном континууме. Подвижность водно-снеговой суспензии всецело зависит от соотношения содержания снега и воды и при некотором его значении суспензия не перемешивается мешалкой и не перекачивается насосом. Рассчитано соотношение - лед: вода: снег (рис.8).

Рис.6. Начальные размер гранул

Рис.7. Размер гранул после эксперимента

Рис.8. Соотношение лед:вода:снег в зависимости от температуры

В пятой главе предложено практическое использование гранулированного льда

Рис.5 Наращивание ледовой переправы 1-вода реки, 2,4 - бурты, 3-гранулированная масса, 5 - ледяное полотно реки

Ледовые переправы, построенные с применением гранулированного льда, могут иметь следующие преимущества:

- повышение несущей способности,

- сокращение сроков строительства;

- применение простейшего оборудования без ледорезной техники;

- усиление монолитности ледяного покрова,

- сокращение сроков и стоимости подготовки переправы;

- увеличение сроков эксплуатации переправы;

- удешевление сооружения

ВЫВОДЫ

1. При помощи математического моделирования поставлена математическая модель адиабатического намораживания воды для сферических частиц, а также найдена функция зависимости максимально возможного радиуса гранулы льда от его начальной температуры. Найден закон изменения температуры внутри гранулы в процессе намораживания льда

2. Предложен и реализован алгоритм численного решения поставленной модели.

3 Разработана методика экспериментального измерения кинетики намораживания льда в статике и условиях кипящего слоя Экспериментально получена кинетика роста льда при различных температурных режимах

4. Показано, что предложенный метод использования гранулированного льда в строительстве ледовых переправ значительно ускоряет процесс.

5. Выявлена область самозамораживания ледяных моноблоков при использовании гранулированного льда

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Тихонов, А Н Уравнения математической физики /АН Тихонов, А А Самарский — М Наука, 1977 —736 с

2 Гольдман, Н Л Обратные задачи Стефана Теория и методы решения / Н Л Гольдман -М Изд-воМГУ, 1999

3 Лыков, А В Теория теплопроводности / А В Лыков — М Высшая школа, 1967 -599 с

4 Майрманов, А М Задача Стефана / А М Майрманов — Новосибирск Наука, 1986

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ

1 Ащеулова, А. С. Математическая модель намораживания гранул льда для ледовых переправ в виде задачи Стефана / А. С. Ащеулова, А А. Храпов, В В. Рагулин, В. И. Полтавцев // Бурение и нефть. - 2007. - №4-. С 17-19

2 Ащеулова, А. С Задача Стефана для адиабатического намораживания воды холодом гранул / А. С. Ащеулова, А. А. Храпов, В. В. Рагулин, В И Полтавцев // Вестник КрасГАУ. -2007 - №1 - С.26-30

3 Ащеулова, А С Моделирование процесса послойного намораживания льда / А. Г. Селедков, В. И. Полтавцев, С. Ю. Гончаров, А С. Ащеулова // Доклады научно-практической конференции «Тенденции и факторы развития агропромышленного комплекса Сибири». -Кемерово, 2005. -С. 185-187.

4. Ащеулова, А. С. Моделирование задачи Стефана при намораживании воды на поверхности гранул льда / А А. Храпов, А. С. Ащеулова// Материалы VI Региональной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых 10 апреля, 2006 г. - Новокузнецк. НФИ КемГУ, 2006. - С. 10-12.

5. Ащеулова, А С Задача Стефана как модель адиабатического процесса намораживания воды на гранулах льда / А. А. Храпов, В И. Полтавцев, А. С. Ащеулова // Вестник Кемеровского государственного сельскохозяйственного института - №2. -Кемерово. Кузбассвузиздат, 2006 - С. 193-199.

6 Ащеулова, А С. Алгоритм расчета задачи фазового перехода методом сеток / В В Рагулин, В И Полтавцев, А С Ащеулова //

Вестник Кемеровского государственного сельскохозяйственного института №2 - Кемерово- Кузбассвузиздат, 2006. -С 199-202

7. Ащеулова А С Гранулированный лед в строительстве ледовых переправ и зимников/ А.А Храпов, В.И Полтавцев, А С Ащеулова// Вестник Кемеровского государственного сельскохозяйственного института - №2 - Кемерово Кузбассвузиздат, 2006 -С.235-242

8 Ащеулова, А. С. Использование холода в адиабатическом процессе получения ледяных гранул / А А Храпов, В И. Полтавцев, Ащеулова А. С. // Доклады научно-практической конференции «Тенденции и факторы развития агропромышленного комплекса Сибири». - Кемерово, 2006 - С. 233-236.

9. Ащеулова, А С Кондуктор для получения ледяной затравки /

A. А Храпов, В. И. Полтавцев, А. С. Ащеулова // Доклады научно-практической конференции «Тенденции и факторы развития агропромышленного комплекса Сибири». - Кемерово, 2006 - С 256-258

10 Ащеулова, АС Моделирование задачи Стефана в адиабатическом процессе намораживания гранул льда / А С Ащеулова // Материалы Всероссийской научной конференции молодых учёных «НАУКА. ТЕХНОЛОГИИ. ИННОВАЦИИ» В 7 частях . - Новосибирск: НГТУ, 2006. - Часть.2 - С 259-260

11 Ащеулова, А С. Намораживание льда на поверхности гранул в условиях адиабатического процесса / А. А Храпов, В И Полтавцев, А С Ащеулова // Актуальные вопросы совершенствования технологии производства и переработки продукции сельского хозяйства: Мосоловские чтения / Материалы межрегиональной научно-практической конференции. - Йошкар-Ола -2006 -Вып. 8.-С.257-259.

12 Ащеулова, А. С. Операционный метод решения задачи адиабатического процесса намораживания льда / А А. Храпов,

B. И Полтавцев, А. С. Ащеулова // «Проблемы рационального природопользования техногенного региона»: сборник научных трудов Международной школы - конференции молодых ученых, аспирантов и студентов 15-17 декабря, 2005, КГСХИ - Кемерово Кемеровский ГСХИ, 2006. - С.261-264.

13 Ащеулова, А. С. Ледовые переправы, необходимость, стоимость, опасность / В. И. Полтавцев, Л. А. Полтавцева, А. С. Ащеулова // «Роль науки и образования в инновационных процессах регионов»' материалы Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 50-летию образованию кафедры «Общеинженерные дисциплины» - Улан-Удэ: Изд-во БСХА им. В. Р. Филиппова, 2007 - С.153-155.

Принятые обозначения

начальный радиус и0 начальная температура

I время

11(1:) радиус в момент времени I

ЩгД) функция описывающая распределение температуры в грануле в любой момент времени Р\ плотность льда

с теплопроводность льда

Рг ПЛОТНОСТЬ ВОДЫ

Я энергия фазового перехода, потраченная на

единицу массы воды лтач максимальный радиус гранулы при

использовании ее холода дя изменение радиуса за время м

Подписано к печати 13 04.2007г. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная № 1 Печать офсетная Уел печ л 1,5. Тираж 100 экз Заказ № 37/261

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет» 650043, г. Кемерово, ул Красная, 6.

Отпечатано в типографии издательства «Кузбассвузиздат» 650043, г Кемерово, ул Ермака, 7

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ СИСТЕМ С ПОДВИЖНОЙ ГРАНИЦЕЙ

1.1 Физическая сущность задачи Стефана

1.1,1 Формула Р. Планка

1.2 Физические основы теории фазовых превращений вещества.

1.3 Математические модели задачи Стефана с фазовыми переходами

1.3.1 Модель с образованием границы раздела фаз.

1.3.2 Задача Стефана как обратная коэффициентная задача.

1.3.3 Задача формирования пленки электролита на ледяном 18 электроде

1.3.4 Задача о промерзании грунта.

1.4 Лед и вода - аномалии фазового состояния

1.5 Кристаллизация льда.

1.6 Физико-химические свойства льда.

1.7 Физико-механические свойства льда.

1.8 Лед и человек.

1.9 Зимники и ледовые переправы.

1.9.1 Аварии и трагедии на ледовых переправах.

Выводы.эд

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

2.1 Задача Стефана.

2.2 Математическая модель процесса намораживания воды на поверхности гранул льда.

2.3 Переход к новым переменным.

2.4 Задача о фазовом переходе на поверхности гранулы льда.

2.5 Численное решение модели движения границы раздела фаз.

2.6 Вывод зависимости изменения объема гранулы.

2.7 Определение коэффициентов фазового перехода.

Выводы.

ГЛАВА 3. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.1 Получение сферических гранул льда.

3.2 Блоки для получения ледяных полусфер.

3.3 Получение сферических гранул на подвесах.

3.4 Схема установки с кипящем слоем.

3.5 Измерительная лабораторная техника.

Выводы.

ГЛАВА 4. Кинетика адиабатического намораживания льда

4.1 Статистические условия намораживания.

4.2 Динамические условия намораживания в кипящем слое.

4.3 Явление самозамораживания и его использование.

Выводы.

ГЛАВА 5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАНУЛИРОВАННОГО ЛЬДА

5.1 Технология наращивания ледовой переправы.

5.2 Применения льда для хранения морепродуктов.

5.2.1 Охлаждение рыбы.

5.2.2 Замораживание рыбы и рыбного филе.

5.2.3 Хранение рыбы и рыбных продуктов.

5.2.4 Улучшение качества сохранности морепродуктов.

Выводы.

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ.

Актуальность работы. На территории России находится значительное количество рек. Ежегодно с наступлением зимы они уходят под лед, по которому прокладываются зимние дороги и строятся ледовые переправы путем намораживания искусственного льда. Ледовые переправы запускают в эксплуатацию в декабре, а закрывают весной. Стоимость строительства ледовых переправ высока: трасса в Юрге через реку Томь в этом году составили 2,7млн рублей. Экономически выгоден более ранний ввод переправ в эксплуатацию за счет сокращения сроков строительства путем применения искусственного гранулированного льда, получаемого в кипящем слое холодом атмосферного воздуха. Поэтому ускорение строительства переправ является актуальной задачей.

Для ее решения требуется метод расчета намораживания воды на поверхности гранул. Пленка воды на поверхности гранул в кипящем слое замерзает снизу от холода самой гранулы (адиабатический процесс), а сверху - за счет холода конвективного потока ожижающего агента. Движение границы слоя льда в адиабатическом процессе соответствует задаче Стефана, которая характеризуется существенной нелинейностью, исключающей получение аналитического решения. Общих аналитических методов ее решения при произвольной форме области и любом характере изменения температуры на ее границах до сих пор не найдено.

Работа выполнялась в соответствии с планом НИР: Выполнение научно-исследовательских работ по приоритетным направлениям программы и поисковых исследований фундаментального характера молодыми учеными и преподавателями, проходящими стажировку в крупном (научно-исследовательском) центре - Кемеровском государственном сельскохозяйственном институте

Шифр 2006-РИ-111.0/001/017

Государственный контракт от 24 марта 2006г. №02.444.11.7324

Цель работы. Постановка, исследование и решение модели адиабатического намораживания льда на гранулах в виде задачи Стефана.

В соответствии с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:

1. Поставить математическую модель адиабатического процесса намораживания воды на поверхности сферической гранулы льда.

2. Провести анализ устойчивости модели в заданных границах изменения параметров.

3. Разработать метод численного расчета математической модели.

4. Экспериментально исследовать процесс намораживания воды на одной и группе гранул в статических условиях.

5. Экспериментально проверить кинетику роста льда в динамике на поверхности гранул в условиях кипящего слоя.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Поставлена математическая модель адиабатического намораживания льда на гранулах сферической формы в виде задачи Стефана.

2. Создан метод численного расчета задачи Стефана для адиабатического процесса льдообразования.

3. Созданы методы экспериментального исследования процесса намораживания воды на сферических гранулах льда в статических и динамических условиях.

4. Получены экспериментальные характеристики области самозамораживания ледяных блоков с применением гранулированного льда.

Практическая ценность работы:

1. На основе поставленной математической модели предложен метод расчета адиабатического процесса намораживания воды на поверхности гранул.

2. Разработана экспериментальная методика определения кинетики роста льда на гранулах в статических и динамических условиях.

3. Предложены технические решения использования снежной массы и холода снега для ускорения смерзания ледяных блоков.

Автор защищает:

1. Математическую модель адиабатического процесса намораживания льда на гранулах сферической формы.

2. Результаты теоретического исследования процесса намораживания льда на сферических гранулах.

3. Результаты экспериментального исследования льдообразования на затравке льда.

4. Обоснование области самозамораживания водо-снего-ледяных смесей и пределы ее существования.

Личный вклад автора в работы, выполненные в соавторстве и включенные в диссертацию, состоял в общей постановке задачи, активном участии в проведении экспериментальных исследований, анализе и интерпретации полученных данных, написании статей.

Апробация работы: основные положения и результаты исследований, проведенных в работе, докладывались и обсуждались на Всероссийской научно-практической конференции, посвященной 75-летию Чувашской государственной сельскохозяйственной академии (Чувашская государственная с/х академия), Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирская с/х академия), на региональных научно - практических конференциях «Тенденции и факторы развития агропромышленного комплекса Сибири» (Кемеровский государственный сельскохозяйственный институт в 2005 и 2006 годах), а так же на международной школе - конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Проблемы рационального природопользования техногенного региона» (Кемеровский государственный сельскохозяйственный институт).

Публикации. Полный список публикаций включает 13 наименований.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы из 138 наименований и 5приложений. Общий объем диссертации составляет 121 страницу основного текста, 43 рисунка, 35 таблиц.

Выводы по диссертации

1. При помощи математического моделирования поставлена математическая модель адиабатического намораживания воды для сферических частиц, а также найдена функция зависимости максимально возможного радиуса гранулы льда от его начальной температуры. Найден закон изменения температуры внутри гранулы в процессе намораживания льда.

2. Предложен и реализован алгоритм численного решения поставленной модели.

3. Разработана методика экспериментального измерения кинетики намораживания льда в статике и условиях кипящего слоя. Экспериментально получена кинетика роста льда при различных температурных режимах.

4. Показано, что предложенный метод использования гранулированного льда в строительстве ледовых переправ значительно ускоряет процесс.

5. Выявлена область самозамораживания ледяных моноблоков при использовании гранулированного льда.

103

1. Аверин, Г. Д. Физико-химические основы холодильной обработки пищевых продуктов / Г. Д. Аверин, Н. К. Журавская. М.: 1986. -250с.

2. Адамсон, А. Физическая химия поверхностей / А. Адамсон. М.: Мир, 1979.-568с., Пер. с англ.

3. Алифанов, О. М. Обратные задачи теплообмена/ О. М. Алифанов. М: Мир, 1988.-279с.

4. Альтберг, В. Я. Подводный лёд/ В. Я. Альтберг. М.-Л.: ГОНТИ, 1939. -195с.

5. Алямовский, И. Г. Теплофизические характеристики пищевых продуктов при замораживании/ И. Г. Алямовский // Холодильная техника. 1986. - №5 - С. 86-94.

6. Антонченко, В. Я. Физика воды / В. Я. Антонченко. Киев: Наукова думка, 1986. - 128с.

7. Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции / В. Я. Арсенин. М.: Наука, 1974.

8. Арабаджи, В. И. Загадки простой воды / В. И. Арабаджи. М.: Знание, 1973. -96с.

9. Аршанский, С. Льдозаводы / С. Аршанский, С. Э. Синкевич. М.: Пищевая промышленность, 1968. -268с.

10. Атраментов, А. Г. Совершенствование первичной обработке молока / А. Г. Атраментов. М.: ВО Агропромиздат, 1990. - 63с.

11. Ащеулова, А. С. Математическая модель намораживания гранул льда для ледовых переправ в виде задачи Стефана / А. С. Ащеулова, А.

12. A. Храпов, В. В. Рагулин, В. И. Полтавцев // Бурение и нефть. 2007. -№4- С. 17-19.

13. Ащеулова, А. С. Задача Стефана для адиабатического намораживания воды холодом гранул / А. С. Ащеулова, А. А. Храпов, В. В. Рагулин,

14. B. И. Полтавцев // Вестник КрасГАУ. 2007. - №1. -С.26-30

15. Ащеулова, А. С. Алгоритм расчета задачи фазового перехода методом сеток / В. В. Рагулин, В. И. Полтавцев, А. С. Ащеулова // Вестник Кемеровского государственного сельскохозяйственного института №2.-Кемерово: Кузбассвузиздат, 2006. -С. 199-202.

16. Ащеулова, А. С. Первичное охлаждение парного молока / С. Ю. Гончаров, А. С. Ащеулова, А. А. Храпов, В. И. Полтавцев // Вестник Кемеровского государственного сельскохозяйственного института №2.-Кемерово: Кузбассвузиздат, 2006. -С. 210-216.

17. Ащеулова A.C. Гранулированный лед в строительстве ледовых переправ и зимников/ A.A. Храпов, В.И. Полтавцев, A.C. Ащеулова // Вестник Кемеровского государственного сельскохозяйственного института. -№2. Кемерово: Кузбассвузиздат, 2006. - С.235-242.

18. Ащеулова, А. С. Кондуктор для получения ледяной затравки / А. А. Храпов, В. И. Полтавцев, А. С. Ащеулова // Доклады научно-практической конференции «Тенденции и факторы развития агропромышленного комплекса Сибири». Кемерово, 2006. - С. 256258

19. Бицадзе, А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе. М.: Наука, 1976.

20. Белая, М. Л. Молекулярная структура воды / М. Л. Белая, В. Г. Левадный. М.: Знание 1987. -64с.

21. Беляев, М. М. Основы теплопередачи / М. М. Беляев. Киев: Высшая школа, 1989-343с.

22. Беляев, Н. М. Методы теории теплопроводности: в 2-х ч. / Н. М. Беляев, А. А. Рядко.- М.: Высш. школа, 1982. 304,4.2.

23. Бобков, В. А. Рекомендации по применению холодильной техники для сохранения продовольствия на Севере / В. А. Бобков.- М.: ВНИХИ, 1971-56с.

24. Бобков, В. А. Производство и применение водного льда / В.А. Бобков. -М.: Госторгиздат, 1961. -168с.

25. Бобков, В. А. Производство и применение льда / В. А. Бобков. М: Госторгиздат, 1977-232с.

26. Богословский, В. Н. Строительная теплофизика / В. Н. Богословский — М.: Высшая школа, 1982. -416с.

27. Браут, Р Фазовые переходы / Р. Браут М.: Мир, 1967.

28. Быкова, В. М. Справочник по холодильной обработке рыбы / В. М. Быкова, 3. И. Белова. М.: 1986.

29. Вейник, А. И. Приближенный расчет процессов теплопроводности / А. И. Вейник. Москва-Ленинград: 1959.

30. Власичев, Г. Н. Метод численного решения одномерных задач Стефана двух типов / Г. Н. Власичев // Инженерно физический журнал, №65- С. 332

31. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. М.: Наука, 1981.

32. Вода в пищевых продуктах / Под ред. Р. Б. Дакуорта; пер. с английского. М.: Пищевая промышленность, 1980. - 376с

33. Войтковский, К. Ф. Механические свойства льда / К. Ф. Войтковский.-М.: АН СССР, 1954- 121с.

34. Гельперин, Н. И. Псевдоожижение / Н. И. Гельперин, В. Г. Айнштейн. -М.: Знание, 1968.

35. Головкин, Н. А. Холодильная технология пищевых продуктов / Н. А. Головкин.-М.: 1984

36. Головкин, Н. А. Определение времени промерзания пластины при несимметричных условиях отвода тепла / Н. А. Головкин, Л. А. Степанов // Холодильная обработка и хранения пищевых продуктов. -Л., 1974.-Вып. 2.-С. 132-136

37. Гольдман, Н. Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения / Н. Л. Гольдман -М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1999.

38. Гольдштейн, М. Н. Механические свойства грунтов / М. Н. Гольдштейн -М.: Стройиздат, 1979. -304 с.

39. Гончаров, С. Ю. Влияние изменения граничного разбиения на точность определения поля температур / С. Ю. Гончаров, В. И. Полтавцев // Продукты питания и рациональное использование сырьевых ресурсов: Сборник научных работ Кемерово, 2002. - С. 130.

40. Горбатов, А. В. Реология мясных и молочных продуктов / А. В. Горбатов -М.: Пищевая промышленность, 1979. 384с.

41. Горбатов, A.B. Структурно-механические характеристики пищевых продуктов / А. В. Горбатов, Ю. А. Мачихин М.: Легкая пищевая промышленность, 1982г.-296с.

42. Григорьев, А. И. О формировании и диспергировании пленки электролита на оплавляющемся в результате джоулева тепловыделения ледяном электроде / А. И. Григорьев, В. В. Морозов, С. О. Ширяева // Журнал технической физики, 2002, том72, вып. 10

43. Гуфан, Ю. М. Фазовые переходы второго рода / Гуфан, Ю. М. // Соровский образовательный журнал, №7, 1997 -С. 109-115.

44. Данилов, В. И. Строение и кристаллизация жидкости / В. И. Данилов -Киев; 1956.

45. Дерпгольц, В. Ф. Вода во вселенной / В. Ф. Дерпгольц Л.: "Недра", 1971

46. Ерофеенко, В. Т. Основы математического моделирования / В. Т. Ерофеенко, И. С. Козловская Мн.: Изд-во БГУ, 2002.

47. Забродский, С. С. Гидродинамика и теплообмен в псевдоожиженном слое / С. С. Забродский М.; Л., 1963 - 488 с.

48. Закинян, Р. Г. К теории образования слоистой структуры льда на поверхности пластины, помещенной в поток переохлажденного водного аэрозоля / Р. Г. Закинян // Журнал технической физики. 2004. - Т. 74, N9.-С. 9-14

49. Зубков, П. Т. Стационарные решения задачи естественной конвекции замерзающей жидкости в квадратной ячейке / П. Т. Зубков, В. А. Кравченко // Механика жидкости и газа, 1999, №6 С.180-184

50. Зацепина, Г. Н. Свойство и структура воды / Г. Н. Зацепина М.: МГУ, 1974-161с.

51. Ионов, А. Г. Автоматизированные роторные морозильные агрегаты для замораживания пищевых продуктов / А. Г. Ионов, С. Я. Мекеницкий -М.: Пищевая промышленность, 1981 176с.

52. Ионов, А. Г. Роторные морозильные агрегаты для замораживания пищевых продуктов / А. Г. Ионов, С. Я. Мекеницкий М.: Пищевая промышленность, 1973 - 176с.

53. Исаченко, В. П. Теплопередача / В. П. Исаченко, В. А.Осипова, А. С. Сукомел М: Энергия - 1968.

54. Использование снега, льда и мерзлых грунтов в дорожном строительстве -Чита, 1972.

55. Карапетьянц, М. X. Строение вещества / М. X. Карапетьянц, С. И. Дракин М.: Высшая школа, 1978 - 304с.

56. Карташов, Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э. М. Карташов 2001 - 550с.

57. Карюхина, Т. А. Химия воды и микробиология / Т. А. Карюхина, И. Н. Чурбанова-М.: Стройиздат, 1983-168с.

58. Комаров, Н. С. Холод / Н. С. Комаров М.: Гизлегпищепром, 1953 -704с.

59. Комаровский, А. Н. Структура и физические свойства ледяного покрова пресных вод / А. Н. Комаровский М.: ГЭИ, 1937 -49с.

60. Конокотин, Г. С. Льдогенераторы для судов рыбной промышленности / Г. С. Конокотин //Холодильная техника. 1968, №10. - С.32-36.

61. Корунов, М. М. Методическое пособие по расчету ледяных переправ / М. М. Корунов Красноярск, 1972

62. Кочубей, А. А. Применение метода граничных элементов для решения задачи межфазового взаимодействия с неизвестными границами раздела фаз / А. А. Кочубей, Э. К. Бевза, Д. В. Евдокимов Вестник Днепропетровского университета, Вып. 3, Т. 1. - С. 109-116

63. Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов М.: Высшая школа, 1970.

64. Краснощеков, П. С. Принципы построения моделей / П. С. Краснощеков, А. А. Петров М.: МГУ, 1983.

65. Краснокутский, Ю. В. Механизация первичной обработки молока / Ю. В. Краснокутский. М.: Агропромиздат, 1988. - 335с.

66. Крестов, Г. А. От кристалла к раствору / Г. А. Крестов Л.: Химия, 1977.

67. Крылов, В. И. Вычислительные методы высшей математики / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Манастырский Минск, 1972

68. Куни, Ф. М. Физические основы теории фазовых превращений вещества / Ф. М. Куни // Соросовский образовательный журнал, №1,1996 С. 106111

69. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена М.: Атомиздат 1979-416с

70. Лавров В. В. Деформация и прочность льда. Л., Гидрометеоиздат, 1969. 205с.

71. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000

72. Лебедев В.И., Косова Е.Н. Модель структурного фазового перехода первого рода / Сб. науч. тр. СевКавГТУ, сер. «Физ.-хим.». Ставрополь. -2001.-Вып. 5.- С. 111-120

73. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков -М.: Высшая школа, 1967

74. Лыков, А. В. Теплообмен. Справочник / А. В. Лыков М.: Энергия, 1972

75. Лонцин, М. Основные процессы пищевых производств / М. Лонцин, Р. Мерсон М.: Легкая и пищевая промышленность, 1983 - 384с

76. Майрманов, А. М. Задача Стефана / А. М. Майрманов Новосибирск: Наука, 1986

77. Мазуренко, А. Г. Замораживание пищевых продуктов в блоках / А. Г. Мазуренко, В. Г. Федоров М.: Агропромиздат, 1986 - 207с.

78. Мартынов, Г. А. О решении обратной задачи Стефана в случае сферической симметрии / Г. А. Мартынов // Журнал технической физики, т. 30, №2,1960.

79. Математическое моделирование // Под ред. Дж. Эндрюса и Р. МакЛоуна М.: Мир, 1979.

80. Монахов, В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений / В. Н. Монахов Новосибирск: Наука, 1977-424с.

81. Морс, Ф. Теплофизика / Морс Ф. М.: Наука, 1968.

82. Мышкис, А. Д. Элементы теории математических моделей / А.Д. Мышкис-М.: Наука, 1994.

83. Орочко, Д. И. Некоторые вопросы теории суспендирования и псевдоожижения порошкообразных материалов / Д. И. Орочко, А. А. Войтехов, А. П. Зиновьева // Химия и технология иск. жидкого топлива и газа. Труды ВНИТИ М.; Л., 1951, вып.З - С. 190-212.

84. Павлюкевич, Н. В. Физическая кинетика и процессы переноса при фазовых превращениях / Н. В. Павлюкевич, Г. Е. Горелик, В. В. Левданский, В. Г. Лейцина, Г. И. Рудин -Мн.: Наука и техника, 1980.

85. Панов, Б. П. Зимний режим рек / Б.П. Панов -Л.: Гидрометеоиздат, 1960.

86. Петров, И. К. Технология измерения и приборы в пищевой промышленности / И. К. Петров М.: Агропромиздат, 1985 - 233с.

87. Петрянов, И. В. Самое необыкновенное вещество в мире / И. В. Петрянов М.: Педагогика, 1975 -96с.

88. Плотников, В. Т. Разделительные вымораживающие установки / В. Т. Плотников, В. Н. Филаткин -М.: Агропромиздат, 1987 -352с.

89. Применение холода в пищевой промышленности М.: Пищевая промышленность, 1979

90. Применение холода для хранения сельскохозяйственных продуктов -М.: 1963

91. Савно, Н. Ф. Расчет и конструирование зимних автомобильных дорог / Н. Ф. Савно Транспорт, 1969 -128с.

92. Рогов, И. А. Консервирование пищевых продуктов холодом / И. А. Рогов, В. Е. Куцакова, В. И. Филиппов, С. В. Фролова М.: КолосС, 2002-184с.

93. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский — 1977

94. Самарский, А. А. Разностные схемы с операторными множителями / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, П. П. Матус — 1998

95. Самарский, A.A. Устойчивость разностных схем / А. А. Самарский, А. В. Гулин —1975

96. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский -М.: Наука, 1971 -552с.

97. Скурлатов, Ю. И. Химия и жизнь воды / Ю. И. Скурлатов Г. Г Дина -Кишинев, 1989-128с.

98. Скворцов, А. М. Обычные и необычные фазовые переходы / А. М.Скворцов // Соровский образовательный журнал, №8, 1996 -С. 102108

99. Смирнов, М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / М. М. Смирнов- М.: Наука, 1964

100. Сморыгин, Г. И. Теории и методы получения искусственного льда / Г. И. Сморыгин Новосибирск: Наука, 1988

101. Степанов, В. Опыт заготовки льда намораживанием на дорогах Юга / В. Степанов М.: Трансжелдориздат, 1954 -68с

102. Ш.Телов, В. И. Наплавные мосты, паромные и ледяные переправы / В. И. Телов, И. М. Кануков -М.: Транспорт, 1978 -384с.

103. Теории тепломассообмена /Под ред. А.И.Леонтьева М.: МВТУ, 1997 -684с.

104. ПЗ.Теплофизические основы получения искусственного холода М.: Пищевая промышленность, 1980

105. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский-М.: Наука, 1966

106. Флауменбаум, Б. Л. Основы консервирования пищевых продуктов / Б. Л. Флауменбаум, С. С. Танчев, М. А. Гришин М.: Агропромиздат, 1986, -494 с.

107. Фомин, В. А.Оценка влияния различия теплофизических характеристик льда и мерзлого грунта / В. А. Фомин // Электронный научный журнал «Исследовано в России» http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/050.pdf

108. Фомин, В. А. Об одном методе решения задачи Стефана / В. А. Фомин // Электронный научный журнал «Исследовано в России» http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2006/049.pdf

109. Шелопаев, Е. И. Строительство и эксплуатация автомобильных дорог в районах вечной мерзлоты / Е. И. Шелопаев, Ф. X. Юрков 1977

110. Шлихтинг Теория пограничного слоя / Шлихтинг -М.: Наука,1969. 120.Эйзенберг, Д. Структура и свойства воды / Д. Эйзенберг, В. Кауцман

111. Пер. с англ. Л.: Гидрометеоиздат, 1975 280с.

112. Эккерт Е. Введение в теорию тепло- и массообмена / Е. Эккерт, Т. Дрейк -М.: 1962

113. Brout, R. Phase transitions University of Brussels / R. Brout New-York-Amsterdam, 1965

114. Bjerrum, N. Structure and Properties of Ice / N. Bjerrum // Dan. Mat. Fys. Med., 27,1,1951

115. Caginalp, G. An analysis of a phase field model of a free boundary / G. Caginalp, Arch. Rational Mech. Anal. 92 (1986), 205-245.

116. Cohen-Mantel, E. Granulation: tont unsavoir-faire / Cohen-Mantel E. // Process Mag.-1994,-1095.-c/62-65.

117. Cowley, R. A. Dynamics and phase transitions of strontium titanate / Cowley R. AM Phys. Rev. 1964. - 134, №4. -P. 981-998.

118. Eisenberg, D. The structure and properties of water / Eisenberg D., Kauzmann W.// Oxford University Press, 1969.

119. Ehrenfeld, E. Water for ice / Ehrenfeld E., Gibls R. // Making and Refrigeration, Chicago, 1929, p. 229.

120. Grace, J. R. The behavior of freely bubliny fluidized beds / Grace, J. R. // Chem. Eng. Sci., 1969, vol. 24, №3, p. 497 508

121. Handlovicova, A. Error estimates of a fully discrete linear approximation scheme for Stefan problem / Handlovicova, A. // Acta Math. Univ. Comenianae Vol. LXV, 1(1996), pp. 65-85

122. Luckhaus, S. Solutions of the two-phase Stefan problem with the Gibbs -Thomson law for the melting temperature / Luckhaus, S. // European J/ Appl. Math. 1990. V.1,N2. P. 101-111.

123. Meyer, G. H. Multidimensional Stefan problems / Meyer, G. H. // J. Numer.Anal. 10 (1973), 522-538.

124. Mickiey, H. S. Mechanism of heat transfer to fluidized beds / Mickiey H. S., Fairbanks D. F // AIChE J., 1955, vol. 1, №3, p. 374 - 384

125. Nishiyama, H. Transformations / Nishiyama H. // Academic, New-York. -1986.- 389 p

126. Plotnikov, P.I. The Stefan problem with surface tension as the limit of phase field model / Plotnikov P.I., Starovoitov V.N. // Differential Equations. 1993. V. 29, N3. P. 395-404.

127. Visintin, A. Models of phase transitions / Visintin, A. Boston: Birkhauser -Verl., 1996

128. Xiao, R. F. Morphological evolution of growing crystals / Xiao R. F., Alexander J. I. D., Rosenberger F. // A Monte Carlo simulation, Phys. Rev. A 38 (1988), 2447-2456.

129. Zettlennoyer, A. C. Hydrophobic Surface / Zettlennoyer A. C. // New-York-London, 1969, p. 1-27