Аксиоматические определения функций выбора тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

. , ^1 > о 1

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕИЛ ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАЬЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 519.8

1 МОРКЯЛШАС АЛЬШС Ю030ВИЧ

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ОПРЕДЕЛШИЯ ФУНКЦИИ ВЫБОРА 01.01.09 - матоматичеокая клберяетпка

Автореферат диссертации н"а соискание ученой степенл доктора физико - математических наук

Ленинград - 1989

' Работа выполнена в Институте экономики АН Литовской ССР

Официальные оппоненты - доктор фиэико-натематичсеких н ук,

профессор Н.Н.Воробьев

- доктор технических наук, профессор В.В.Подинобский,

- доктор физико-иатеяатических наук, А.Г.Еилинскао

Ведущая организация - ВЦ АН СССР (Москва)

Защита состоится " 17- " ^Щй^Ь'ЛЛ 19 г. в 4 Ь часов на заседании специализированного совета Д-053.57.ЭЭ по защите учаноП степени доктора физико-математических наук при Ленинградском государственном университете по адресу: 199С04, Ленинград, В.О., 10-я линия, д.33, ауд.88.

С диссертацией цояно ознакомиться в библиотеке ЛГУ (Ленинград, Университетская наб., д. 7/9).-

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета канд. физ.-ыат. наук

Й.Ф. ГорькоиоП

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Как индивиды, так и их группы, в том числе и все общество, постоянно встречаются с необходимостью выбора альтернатив из некоторого их множества. Если оценка желательности альтернатив известна в виде некоторой функции, то задача выбора превращается в обычную оптимизационную задачу и, кроме, возможно, вычислительных трудностей,других не возникает. Существует вирокий спектр проблем выбора, когда такой функции нет и надо лхбо ее построить, либо сделать выбор, основываясь на каких-то других соображениях. В настоящей диссертации дается формальный анализ этих проблем.

Б виду чрезвычайной разнообразности объекта исследования (как модели, тах и правила выбора весьма разнообразны; каждая модель и тем более каждое правило имеют многочисленные интерпретации) , выбор правила принятия реаения весьма затруднен. Чтобы этот выбор облегчить и сделать его логически обоснованный, в теории принятия решений применяется аксиоматический метод.

Аксиоматическое описание правил принятия решений в последние два десятилетия стало основным содержанием теории принятия решений. Литература по аксиоматическому определению различных правил оптимальности выбора довольно обаирна. Десятки названий насчитывает только лить монографическая и обзорная литература. Однако, положение, фигурально выражаясь, можно охарактеризовать, как аксиоматический хаос, так как разные авторы применяют, вообще говоря, разди* ¿10 аксиомы и сравнивать правила по ж аксиоматическим определениям почти невозможно.

Поль риботы — описать практически все изьестные в литературе привила клбора при помочи нескольких наиболее известных аксиом

причем сделать это так, чтобы выявить роль каждой аксиомы в определении того или иного правила. В качестве конечного результата работы можно представить некую таблицу "аксиоыы-правила выбора". Наша "таблица" среди возможных других "таблиц" вццелястся теы, что в пай используится лкпь наиболее "признанные" аксиомы и одноврэиенно ими описываются все классические правила оптимального выбора.

Научная новизна. Стремясь к наиболее пирокоиу охвату atrcin-иагически определенных правил выбора, ш аксиоматически описывали ях классы, показывал вдобавок, как эти классы сужаэтся вплоть 50 единичных критериев при добавлении все новях аксиом. Полнйо того, что даны единообразные характеристики известных правил вы-$ора, охарактеризованы такае новые, по встречавшиеся в литературе правила. По аксиоматическим определениям этих правил не видно гричин, почему они (например, правила выбора, зависящие от дис-icpcmi, э 5 б или правило, двойственное к критерии Сэввдаа, в § 0) не могут применяться наравне с классическими правилами kj5o-а. Впервые аксиоматически определен сбобцешшЯ иаксюшксиЯ еркй Ю.Б.Гернейора.

Длл того, чтобы провести требующиеся доказательства, правила кбора подаеняззтся, исходя из характерных свойств выбора, некото-1ыи упорядочоиптли предпочтения альтернатив с последующий нонст-уироватен для нжг функций полезности. Таким образец, в диссор-щии разработано новое направление, заключающееся в списании завил выбора и их классов при помощи фиксированного набора ак~ ¡ом и систематического применения теор;ш полезности. Такой сис-:;-^Т!!чзск!!П подход ш не скогли полностьо реализовать дизъ для дач группового выбора (причины этого указаны в диссертации).

Общая ггзтодика. исследований. Основным иатеиатичесяпи алпара-

той служит Быпуклий анализ и теория полезности. Многие доказательства опираются также на соображения комбинаторного типа, особенно в последней глава о групповых решениях.

Практическое значение. Работа носит теоретический характер, фактически ее смысл состоит в том, что упрощается выбор правила, обогащается их арсенал. Вопросы выбора оптимальных вариантов, зависящих от многих факторов, актуальны сейчас не только в технике или в военном деле, ко и в социально-экономической сфере.

Апробация работы. Результаты подробно докладывались на семинаре по исследовании операций в Институте математики и кибернетики АН ДитССР и Институте экономики АН ДитССР. Отдельные теш докладывались на республиканских конференциях Литовского иатематпча-окого общества (1960-2965), на Вильнюсском симпозиуме по современный проблемам математической экономики (Вильнюс, 1984), на 1У Ереванской входе по теории игр (Ереван, 1984), на симпозиуме по теории игр (Ленинград, 1985), на III Новосибирской юколе по математической экономике (Новосибирск, 1986), на семинаре по принятия решения Института проблем управления (Ыосква, 1987).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах £l-I2 Структура'и объем диссертации. Диссертация состоит нз введения и трех глав. Объем работы-284 страниц включающих 283 машинописного текста. Библиография содержит 81 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ ДОССЕРТАЩИ Приведем сначала основные определения.

Оункцией выбора ^ на множества X называется такое отображение

Излагается, что j. определено длд хотя бы одно-, двух- и тр°хэле-мснпилс шюхеств. Аксиома независимости от посторонних (неопти-

мальных) альтернатив ;

позволяет строить бинарное отношение (рефлексивное, транзитивное и полное) предпочтения на X такое, что

В этой случае все другие аксиомы мояно формулировать как на языке функции выбора ^ , так и отношения .

В первых двух главах мы на выходим за рамки следующих аксиом, определяемых ч&^е всего на обычном векторной пространстве Д или его выпуклом конусе К . Аксиомы линейности

Аддитивность: ХЬ^ + +

а . Аддитивность по единичному направлению: X ^ у X + £ ^ ^ + <Я для любого а =(<*«О

¿.•¿.Покоординатная однородность: X ^ ^ Т ■ X = = = ^ «ля ЗС9Х

т.е.

¡_ X. Однородность: * Ц для любого числа

^ > О.

СоотБЭтственно обозначаются объединения условий аддитивности и однородности. Например:

/.лТ .Аддитивность и однородность: * £^ X <Я у У-Л для любых ХфА С-^ и ^ > О.

Последняя аксиона в случае, когда - линейное пространство, совпадает со следукзей аксиомой. Д Р. Аксиома Рубина:

х ¿-д X ^ и -А) й

для любых а И )(■ ^ 4 ) .

Из условия - аддитивности по единичному направлению

а покоординатной однородности следует такая аксиома.

т. Независимость предпочтении от положительно монотонных трансформаций: * ^ если упорядочение кошонент

векторов х и ^ по их величине такое же, как н компонент векторов х' , ^ , т.е. х^ ^ • <Ц> > й'- для всех ки £ ^ и

Более слабым является такое условие.

Т . Независимость предпочтения от монотонных по направлению трансформаций: существует такой О. - О*^/0^• что

если ¿¿¡^

для всех ¿1 ^'ё/К

Заметим, что Т*0 ^Ту если а = (¿.) {., ...) £ J ,

В последующих аксиомах выпуклости, являющиеся следствиями аддитивности и однородности, достаточно предполагать лишь одностороннюю импликацию.

Б В • Строгая выпуклость-вогнутость: X у

/3 Выпуклость-вогнутость: X +

+ РАЯ [0,1).

Ь ■ Строгая выпуклость: X

5. Выпуклость: X & ^ =$>Хх + £ ^ \ £ (о, 1).

Заметим, что на /% имеют место соотношения:

Т^т*

ц, V и, 1г Ыь б

Аксиом» Парето, непрерывности и стпгетрни ¡Сак обычно * означает неотрицательный 'ортглгг пространства Ц , а - пояожитольтй ортант. Кроив того, обозначения X ^ ^ или х ^ употребляется, -если х^ ^ или, соответственно, Х^' > ^ для вссх ^ е N •

Р. Сильное условие Парето: X ^ ^ X ^ X . Р. Слг.боо условие Парето: X г*^ •

Условие Р иокно прздставить в виде

Гакое предстар-гние позволяет обобщить услопиэ Р слгдусзгч сб-зазои. Пусть К - открытое штество в $ , т содсргаг;ео катала координат, к тшгоо, что АV6 К для некоторого V£ т всех

>6(0,0- Заменяя в аксиоме Р тпвсгсо «а К

талутаец условие, слабее, позади Р : V -услопиэ Парето: %-уеК Егследкзо условие, связанное с паротопостьп, является тако-

К КлСоягещиальность 5« конфинальность: сугосгвуог счетное иокество ^ такое, •ето для хабого X . найдутся тазгдэ

что х'ькьг".

Очевидно, что па писем

_ у

Гри некоторых слабых услоуттх непрерывности получаем и г ¡¿К. В работе используется такие всрс;г.; непрерывности пргд^стго-

:яя.

С. Архимедовость: X => суз.ествузт такие

<*,/3 * (ci ¿), что «x + ^ ^ /Зх + (d.-fi)z.

С . Нестрогая архимедовость: X^)jJ M существуют

такие ы/рб(011)/ vio oiX +U-*)z fry fSx +U'ftjz,.

Далее, пусть /( - множество вида, указанного при формулировке V-условия Парего Р.

\Д/С. Непрерывность по множеству: X сущест-

вуют a t i- (z к. что Xу +

\Д/ Слабая непрерывность по множеству: х ^Н для

любого í. 0 существуют такие еС е К ||Л*"|f< ¿-Í ZZ.4

4 } * U 1 / .'/'/

что «Г ^-(j +« , X-íT?-«J-a.

Дри условии имеем С"^.WC . Последнее условие,

связанное с непрерывностью, таково

Окрестностная отделимость двух точек: существуют такие X*, R f í>0} что когда 2 принадлежит

пару г £ •

5. Симметрия: X ^ Чл)&(Ци>

для любой подстановки *С на Д/ .

Значительно слабее сладуюцае условна, напоминающее отсутствие "болвана".

3 Существенность. Для любого j е f°J найдутся такие X

и X; . wo X х//х'- •

Во введении приводится краткий обзор результатов, п&лучотшх другими авторами касательно вше сформулированных аксиом или их непосредственных следствий, а также результатов по групповому вы- ' бору. Попутно излагаются и собственные результаты;

Ь первой рлаве "Функции полезности — выбор при независимости" строятся аксиоматические определения функций выбора, удовлетворяющих аксиоме независимости , что позволяет заменить функцию выбора соответствующим отношением предпочтения ¡J^ . £сли обла-

Hito

дает функцией полезности и. , т.е. такой функцией, что

Lt(x) > О Х^ ij , то задача выбора сводится к

максимизации te в иногестве А . Заметим, что аксиомы, пьлагао-уыо на J- или на (что при Cf тохо самоо), иногда достаточны лкяь для определения функции иадполезности U- :

D этой случав имеем слодувцео вклвчо-

j-(A) <=-£xé/4 : иЫ)

Б 5 I указывается, что функции полезности и надполозностп могу? быть соЕорсснно непохожими. Приводится пример того, что на fl^ существует нетривиальная я непрерывная функция надподэзкости к в то rte самоа время существует функция полезности, терпящая разрыв d кездой точка пространства /? . Поэтому нужны какие-то условия, чтобы упомянутые функции совпадали. Такие условия формулируются d слодутлом утверждения.

JILJ'A. Пусть ¿z пл R удовлетворяет условна слабой архимедовости С м обладает функцией педполезкостя U. . Пусть, кро-мо того, для любой точзи ъ е ¡I найдется '/£ ^ ) что U.(z)< u(z + \v) j \ é (of i). Тогда и. является футпгцппИ полезности.

Кстати, последнему условия леммы удовлетворяет всо нами рас-сматриваемыэ (¿угосции надполозности.

В § 2 приведены следствия аддитивности Lñ » существенно облегчавшие дальнейшие аксиоматические построения. Доказано, что из Lei и С следует существование на нетривиальной линейной функции надполезности, что является обобщением довольно известной теоремы Блекуэлла-Гиршгаа.

3 5 3 даны аксиомат'.гчселнс характеристики предпочтений, удовлетворяющих условта выпуклости-вогнутости

. Покапано, что

ко уже одно обеспечивает существование нетривиальной

линейной функции надполезности. В связи с тем, что В$,

здесь доказана и такая

ТЕОРЕМА 3.3. Если на удовлетворяет аксиоме 1.0/1) то существуют числа ^ ^ {-¿¡0, £ ^ н подстановка X на /V такие, что для люб их имеет место

где ^^ - знак лексикографического порядка.

Здесь и далее первое число в нумерации утверждений соответствует параграфу диссертации, а второе — его номеру в данном параграфе.

Утверждения $ 4 относятся к условиям, часто входящим в различные системы аксиом и'достаточным для существования непрерыв- -них функций полезности. В частности, если Р и \Д/С определяются посредством того ке множества К , то верна ^

ТЕОРЕМА 4.1. Если на Я . удовлетворяет условиям Р и \Л/С° то на /? существует непрерывная функция надполезности такая, что

^(Ху) =Х

для любого действительного числа ^

Замена в теореме \Д/С на \\/ С- обеспечивает существование функции полезности.

В { 5 основное утверждение такое:

ТВОРЕЫА 5.1. Если £ на /? " удовлетворяет условиям Т и Р ) то существует такая нетривиальная, непрерывная функция надполезности;

и

Dv грЛ

Здесь вектор V в определении г зависит от Л в I

следующим образом

(± , если oi¿ С)

произвольное, если «¿~0. Из теорзш сравнителыга легко получалтся часткие утверждения для га ЦП . Налрш,'эр,

Следствие 5.1. Критерии Герузйера. Пусть c<¿ 0 для всех С С- А/. Тогда из

следует существования футлсц!!1£ полезности U- ЕВДа

tt(x) = kvt¿il{o(¿ x¿ i

Властности, в случяо с\ ~ -.-¡i-') получаои определенно wohcicíkü, т.о. из Т^ Р^ q / S^ и \tfCs следует СУХОСТИ-Езппо функции полезности еядд

К,(х) = = '

Такое определен;» ьгашмета интересно тсн, что но опирается на условно сиынзтат S . Если саконить Р ка Р , то потно с-т-казаться дазо от намека ка сютзтрет в виде услогигт С'1влствич 5.3. Из услопий

Т р

/5 и

WC слздуот,

что 'J-Cx) -^pf яезлотся функцией полезности. Шцо одно следствие тоорзия I тпкоэ:

TS0PSÍA 5.3. Пусть на fl" удоплзтворяот уело вист Т*, Р a -S . Тогда суцзегзуот функция иэдполезнретн веда t-t(x) -= где J Д/ определяется такоЯ перестановкой компонент вектора X , что X? ^ ■ ' • Хгг '

3 5 S япспонгкп ляясйгости, еимкэтряз :: паротовости опродо-лязтея функция полезности, зависшая о? дисперсия, lia здесь поль-

ауемся слабый условием линейности, Еытекагциы из аксиомы Laъ : и°. Слабая аддитивность. Цусть X ~ [-*) t (-¡j) ■ Тогда х + (-х - ^ ) и, если, кроме того, X ~ ^ ) то К X -tpij ~ + <х ij для £0, и + р>•

Цусть Я ■= . Иыези утверздение; п.

ТЕОРЕЫА 6.1. Цусть fc ив. d удовлетворяет условиям L&l t и Р . Тогда иа И существует функция над-

полезиости

= £ )/± (к,-*/ + 1 .

W Jf} ^ ■ - •

Если

R'ЧГ / то аксиоиы и S мокно опустить.

Конкретно, КМЭ8Ы

TE0PEÎA 6.2. Если на удовлетворяет условиям /.йХ и Р , то существует функция надполозности

i-

гдо О

Зшотиы, что, говоря о принятии рьшения цря неопределенности, Льве и РаКфа в "Играх и решениях" высказались, что аксиош L&1 м Р "совершенно безвредны в том смысле, что если кто-ни будь серьезно их оспаривает, то иы утверждаем, ч.о он по существу не понимает задачи, которую ш имооы в 'гиду".

В 5 7 рассматриваются условия вотуклости, архимедовости и иоиотошюсти предпочтения. Показано, что в случае линейного про-стрзлстпа акслога Нейнага-ЗЛэргоншторна — Ь Р) и С доста-очнн для суцэствэвашм лняейпой фуахц'.т полезности. 5алтичесяи полу-чон более ейциЯ результат, для фориул1:роЕки которого обозначим через 3 = [хц^] и и. • - объедтг5Ш!9 попарно непере-

секающихся сапгентов, а через 1_ - линейное пространство. И.мосм теперь

ТЕС?Е1\ 7.2. Ц/сть для каждого х £ найдутся такие У1 , " £ , что * а предпочтена па I, удогло?-

геряет акс!:о1»1и /3 й Ь . Тогда существует яккейотй функционал ^ кя я клокество 5 такие, что

■ иГ-йсЛ-Ь' ^^--^ 'есля

Ч ' /36О

яезяотся функцией полезности на /. .

1Т-п отаэжгнкя порядка (стаоЕепко пр?лпочтгяря * усгов'*а яптя-с!'.гг!3трячгюстг1) кмеоген ®еорс;,*а Нэйггпа-^ргекзторна, я которой ут-Есрздавгся, что п га множества с;всоЯ (болеэ слабой структуре,'»?» /. 5 существо кжэ функции полезности, дркчеа дмнэЯлоа» •гбосяетл-за«?ая условияма ББ я С. Касательно только суцвст-ог-зш« фуия- •

ДОНЙ-'о

ТЕС-РЕМА 7.3, Если предпочтение на шюжеств-з снзсэЯ X з^пэ-злэтворязз услос;«^ 5 > 6 п ¡^К (конфинальность я коггатщталь-носгьТ,?о г?а X суз.зсгЕузт функция полезности.

Сформулируем такое условие»

/\{. Монотонность* 3 глгогествз счесе Я X суцостзуе? с! таго!!, чтое^^Х для габогс о=>) с< о',' -у г< г! У' г/ •

б) для любого х £ /\ найдзтея X ^ о , что —

С кш сеязэно последнее уггзрлдэкнз параграфа-

- 15 -

ТЕОРЕМА 7.4 Если ¿3, на множество смесей X удовлетворяет условиям С и М , то на X существует функция полезности.

Обратим внимание на то, что слабее аксиомы гЛ , ко-

торую на Я перекрывает условие Парето Р .

В $ 8 вводится условие экстремальности:

В выпуклом множестве X с Я существуют точки (X и £ такие, что Л £ X ^ для любого )( £ X .

В параграфе доказана единственная теорема, в формулировке которой влементы выпуклого множества Л С- считаются векторами-столбцами, через ()• - • X/1//обозначается матрица, столбцы которой } ■ -и через -определитель соответствующей матрицы.

ТЕОРЕМ. Цусть £ на X удовлетворяет аксиомам б Б и ^ а также условию Э . Тогда существуют ...^"е X и непрерывные возрастающие функции

^•(О-о, #>¿(4) ¿-¿А-,";

такие, что решение и.(х)б]] уравнения такого: иди, осли .

- 16 -

то резение м_(х) 6 4.) такого уравнения:

является непрерывной функцией на Сп^ X и по непрерывности монет быть продолжена на все X • При этом и(х) = 0 для х&Х^ ={х£Х: и ДЛЯ хбХ^. -

= X ®то непрерывное продолжение является функцией

полезности на X •

1

Не трудно было бы показать и то, что для любого X -= Л -+ £ - я) / 0 ^ будем имоть Ю(х)=:Су т.е. функция полезности ка этом отрезке линейна. Однако в других няправге-ниях в общем случае она таковой на будет.

В глава 2 "Выбор по эталону" рассматриваются функции вьЛора, удовлетворявшие ослабленным версиям аксиомы независимости или для которых условия линейности выполняется лигзь ка некотором конусе пространства (I .

Пус|ь — вектор, получаемый из X = С*ч_) • -, )

подс-^рэкой ^Г на /V такой, что Х^ ^ •• • • В § 9 осно-

вополагающим является следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 9.1. Пусть ^ на 0." удовлетворяет уел вил симметрии 3 I? условно /. й 1 на конусе | X >. • - * ^ } . Тогда

существуют такие числа Х^ • что

! ' 1

1

т всех X, Ч ^ ^ •

Присоединяя к .Ь и дополнительные аксиом, получаем

более узкие классы '-рктсриев, шлоть до единичных. Класс вектор-функций полезности, определенный тоореыой, достаточно обаирек. В качество частных случаев в нсы содергатся болызинство класснчо-ских принципов выбора, удовлетворяющих аксиоме независимости. Приравнивая Х^зХ^ , Х^ = 0 при 1-1,... ,/1) 5 /п-

по теореие получаем функцию полезности IX(Х_) X J . По-

лагая здесь ХА ^••• = Х„- 1 , получаем критерий Лапласа и.(х) - .2. Хс, • Если пологнть = А „ „^ — О и

> - то получается критерий Еильда Ыаксюетка), т.е.

Щх) - >ллп Х5 =■• Хя . Если Аа = • • • = ~0/

я является функцией

полезности, прздлоЕешой Гурвицзи. Цри Х^-А,,^, Х^-"- = = \п- 1. получаем фуккц;л полоЕнастп и.Сх_) = ^г" Х-г I

по которой оцениваагся выступления слоргскенов-в фигуркой катании. Если в утвзрздсяши тсореиы полокигь А ^ =1 А^ ¿-ф ) то получим принцип лексиаакса,

Если ке + ^ = £/ а -0 яри (1 ^ то имеем

локсиуин,

В 5 Ю аксиому независимости Л мы заменяем на более слабое предположение. Для этого определяется отображение :л:ог:есть А (I. 8 Й 5 образ — ¿^{А ) этого отображения называется эталоном. Предполагается, что отображение ^ удовлетворяет следующим ограничениям:

1Ьно-гснно„ть: если А взаимооднозначно отобракается

А А у'* Д'

в А' , так, чтобы Х^х' при ХбА х'£ /А

^А)^^(А').

Согласованность: (^¿А =*)•=> •

Нянкыалыгасть: X для всех

Тройка аксиом ~ £ + обеспечивав? единственность

эталона

О (А) = ( ^ , • • - У Х„ ), г кеА хеА

при помощи которого следующим образом сугается понятие ноаявиек-ыости:1

; Независимость по эталону:

Заметим, что 3 Р получается из введение« равенства ~ ^СА') и поэтому Л В контексте принятия реаеняй по

эталону я другие ах ело ¡.'и требуют переформулировки, в частности, апекош!

и «Т,

- Аддитивность по эталону. Пусть (^.(А)-^/1)/ где

= Тогда, если

то :.

для любых Х^^б^- {и/: ^ ;>..-^И/, >0$.

Т^, НезависимоСТ1 от монотонных трансформация ло :--блег,у. Пусть ~ лонотсниая трансформация !гоорД'.!наг г-ехго^з А , т.е.

Тогда

Пусть Хс-/4. Обозначим через = (л^ , у ) вектор о координатами

у кьА .

а через х*" = (х^ .X—) ~ перестановку компонент воктора такую, что

Обозначим чзрзз пяторпу аксиом ^ В

параграфе, наряду с другими утверждениями, доказаны следующие теоремы, характеризующие фудации выбора на ^

ТЕ0Р£ЫА 10.2. Из 21 ^ /. рй слодуст существование чиссл ^ 0 не всех Р^в*11^ пуло, что

ТЕОРЕМА 10.3. Из ¿.^а, / Р следует сущоетвоваяко чаких чисел Х^ 5 0 , что

Среди критериев, определяемых последней тоореиой, содержится как критерий Лапласа, та:; и критерий

являвшийся в некотором смысле двойственным к критерии Совидига.

ТЕОРЕМА 10.4. Из следует существований чи-

сел ^ такта, что о < / и

Отсяда когно получить и такое утверндение: Следствие. 2., Ц Я , 6°, , Ц

Т^Х/РЕМА 10.6. Из 2, /Л

и существования такого

х'ьА,

что х' А); следует равенство

В § II эталон определяется тройкой аксиом

- 9~, _ где & й те яе> ,ГР0 и в"ро'

двдуцеи параграфе, а ^ таково:

ыаксшлальность: р(А) Для всех .

Если, отображение ^ удовлетюряет тройке 0 , то

; К X' е /I ХбД '

Пусть Х~= X - ^(А) - )■■ Х^. Обозначал через перестановку компонент вектора такуи, что

I

получаем,' в частности, утверждение, симметрическое теориме М.'З.

ТЕОРЕМА II.3. Если у на удовлетворяет условиям , 10 , $ /Р/ ¿Г, ТО су^зстзувт 'игла Х^ > ^ :т.;:-<г,

7(

о

Х(А, {) = ¡«Л: ^Кн )?(,

В отличие от предыдущего параграфа здесь выполняется

относительно ынохвства К -{иЛ" 0 ^ Ч/^ •• • V-И/и}. Заметим, что среди критериев, определяемых теоремой, содержится как критерий Лапласа, так и критерий Совидка:

Надо заметить ещо, что но все утверждения, базирусщкзся в предыдущем параграфа на 0* , икзат аналоги, базирующиеся на .

'V

В § 12 аксиома независимости J ослабляется не введением эталона ^ , а в синтеза ез с паретовостью. Так, например, вместо аксиом 9/^ почти достаточна следующая

"\°Рш Цусть ф ^ ^ с. [\ и для лабого 1| е (\ \ А найдется такой х € А' / что х ^ . Тогда и, если^ =. тч"* для всех з с Д/ то ')-М)^ к .

2 £- Д ' '

Ка основе аксиом независимости такого типа полезны определения правил выбор- усе охарактеризованных в §5 9 и ОД, а также не-коюрмэ правила, Е..оине схояиз с нэповскими. К примеру имеем такое утверждение.

ТЕОРЕНА. 12.10. Пусть | на П удовлетворяет условиям 3 Р, ( /-Й и 5 . Тогда, если О для какого-то Х& А /

то

А

Здесь означают то не, что и в § 10, а ^Т 7 является такой модификацией аксиомы покоординатной однородности: . Цусть

где пв* , А'= (ЛЧ^ЗМг-х^-^ т->о.

Если теперь

пллл Ъ - гпдл

! 2М'

ДЛЯ любого % е ^) 70

Преимущество модификаций аксиомы и в виде, подогнем

л г,

видится в возыонности плавного перехода от аксиоматизации правил, удовлетворяющих собственно аксиоме независимости ^ к аксиоматизации правил, заведомо ей не удовлетворяющих, как в §§ 1.0 и II,

В § ¡13 даны аксиоматические определения правил выбора кпшов-

: О* . ского типа на д ^ •о Л. /М) = М: п Х^/У/., У^А],

не предполагая, по сравнению с классической схемой Нлг ни существования внутренней точки, ни условия симметрии. Кстглм, последнее правило следует из 5 . ¡-Ъ Р и слабой чероич аксио-Г

мы С - архимедовости.

В глаце 3 "Групповой выбор" рассматриваются грушюп.'й прагм-

-я 5Ыбора: ИЛИ уПОрЗДОЧеУЧЯ.

В 5 14 приведена одна вариация известной творог.!* Эрроу, которая, по-видимому, наиболее юзг.ьзгр'о покАзим?? зил у ¿ко;!-"!".' ¡¡с-

аксиома независимости совместно с условием: "если отношение эквивалентности относительно пари альтернатив имеет место для каждого индивид, то при групповом выборе эти две альтернат ми такнэ экБивалентны" — влечет лексикографическое правило выбора диктаторского-антидиктаторского вида.

В § 15 яри аксиоме независимости и некоторых более слабых ее модификациях показана ¡эквивалентность условий симметрии альтернатив и обра тимости, в котором постулируется, что обратный КНДИВВДУ&ЛЫЕЯ2 упорядочениям соответствует обратное групповое предпочтение. Кроме того, рассматривается следствия аксиомы независимости, когда кндкв'.щуьлъныз упорядочения более общие, чвл предпочтения.

В §5 16 и 17 рассмотрены правила групповых решений (упорядочиваний), являющиеся продолжениями простого большинства. Ясно, что такио правила аксиоме иез .висжости но удовлетворязт. Более того, оказывается, что некоторые из них по удовлетворяют дажо условию коготонности (положительной реакции).

В §5 16 и 19 рассматривается акспоиа сепарабельности. Дкя ео

,— (—I „_//

определения обозначим через л = объединение наборов

и

Цусть й - правило группового выбора.

О , в других случаях,

известно следующее утверждение, доказанное еце в 1973 году:

Если групповое правило выбора $ удовлетворяет услозте сл-м~ С

метрии как относительно индивидов, так и альтернатив и аксиоме Ь Е , то существуют числа . такие, что для любого ЗГ = <( & л \ М/ = си( имэе^г место

ц-о

\

Числа и к иногда назызапт, соответственно, баллами и позициями альтернатив, а само, так определяемое праЕило — позиционным правилом. Мы показываем, что при ^ и 5 Е правило ^ является

позиционным и в общем случае, когда - §

да А1-А ,

| с--раз

Очевидно |, что Д^ & имеющие такой вид^могут быть просто подмножествами мнояества ¡\ , строгими предпочтениями, предпочтениями, лвб^ми к -арными отношениями (к йр ) и смесями отноаэний различных арностей.

В { 20 на основе аксиомы сепарабельности даны акч..ю?.:агические характеристики нескольких правил типа Борда и соответствующее утверждение для индивидуальных предпочтений, записываема: в виде подмножества множества /4 , т.е. для

о

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Ьэоркелюнас А. Групповой выбор из множеств подмножеств // В сб.: Математические методы в социальных науках. Вильнюс, IS8I. - Выл.14. - С. 19-32.

2. Моркелюнас А. О выборе- из наборов множеств // В сб.: Математические методы в социальных науках. Вильнюс, 1981. — Вып. 14. - С. 33-50.

3. Моркеяанас А. О двух правилах выбора, схожих с плюралистическим' и Борды // В сб.: Мате*итичзские методы в социальных науках. Вильнюс, 1982. - Вып.15. - С. 27-36.

4. Коркялюнас А. Архимедово предпочтение я функции полезности // В сб.: йатеыатические методы о социальных науках. Влльнэс, IS83. - Вып. 16. - С, 77-80.

5. Моркллюнас А., Еимяяис Ч. Аксиомы НоГ.мана-Цэргензторна и функции полезности // В сб.: Математические методы п социальных науках. Вильнюс, 1984. - Вып. 17. - С 29-50.

6. Коркялвнас А. Групповой выбор при независимости к слабой скм-истрии альтернатив // В сб.: Матеиатичзсхиэ цетоды в социальных науках. Вильнюс, 1985. — Вып. 18. — С. 57-60.

7. Моркялянас А. 0 представимости некоторых упорядочений симметричными функция..,i¡ полезности // Lict „ r¡atem. rtnli. 1985. — Т. ХХУ. - ¡í I. - С. 119-127.

8. Коркялзопас А. Выбор при зависимости альтернатив // liet.noten, rir.u. 1985. - Т. ХХУ. - № 4. - С. 85-100.

)ркяггкгс А. 0 сущзствозании непрерывной фикции надполезно-сти /у Lict. Mtcm. riny.. I98r. - Т. ХХУ1. - P I. - С. 99-103.

10. Иоркя.ТЕ.чьс А. &ушцкя полезности, зависящая от дисперсии // Ziot. г.'-tc-;. Г. .:. 1986. - Т. ХХУ1. - 3. - С. 463-494.