Алгебраическая L-теория и расщепление вдоль односторонних подмногообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОРДЕНА ЛЕНША И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕЖГОЧБСКИИ ИНСТИТУТ им. В. А.СГЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 513.83

МУРАШВ Крий Владимирович

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ Ь - ТЕОРИЯ И РАСЩЕПЛЕН® ВДОЛЬ ОДЮСТОРОННЙХ ГОДМРЮГООЕРАЗШ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат '-диссертауш на-соискание ученой степени доктора фюшсо-математичэских наук

Мэскеэ - 1995

Работа выполнена в Математическом институте имен;; Б. А, Стекяова Российской Академии Наук.

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук,

профессор В. М. Бухаггабер;

доктор физико-математических наук,

профессор !0. П.' Соловьев;

доктор физико-математических наук,

профессор В. И. ЯнчевскиА

Ведущая организация - Московский педагогический государственный университет,

Заздта состоится " "года в часов на заседании Специализированного Совета Д.002.38.02 но защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Математическом институте имени В, А, Стекяова РАН по адресу: Москва, уя. Вавилова, 42.

С диссертацией могло ознакомиться в Зийяиотеке _ Математического института ям. В. А. Стекяова РАН.

Автореферат разослан " года-

Ученкй секретарь сяеясовета,

доктор физико-математических наук М.П. Минеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Техника теории перестроек, развитая в начале 60-х годов в работах Браудера, Новикова и Уолла, положила начало современному периоду в геометрической топологии. Развитые для решения геометрических задач методы эрмитовой к - теории (и - теории) оказались тесно связанными с гамильто-новым формализмом, топологической К - теорией и классическими алгебраическими областями исследований, включающими К - теорию и классификацию квадратичных форм [1] .

Точная последовательность Сулливана [2] стала одним из эффективных средств для вычисления множества гомотопических сглаживаний ьб(у) многообразия У (в кусочно-линейном случае рассматриваются гомотопические триангуляции ьт(у)). Для вычисления множества (ЬТ(у)) необходимо знать группы Нови-кова-Уолла и п (я 1 (У)), множество гомотопических классов отображений [у, б/о] ([у, б/Р!.]), а также отображения в точной последовательности Сулливана. Каждая го этих задач является достаточно трудной, и они далеки от полного решения.

[1] Новиков С. П. Алгебраическое построение и свойства эрмитовых аналогов К-теории над кольцами с инволюцией с точки зрения гамильтонова формализма. Некоторые применения к дифференциальной топологии и теории характеристических классов. I, п. Изв. АН ОХР, сер. матем. , Т. 34, С. 253-288 , 475-500.

[2] Sullivan D. Triangulating homotopy equivalences. Thesis, Princeton Univ., 1965,

с задачей вычисления множества гошгопических сглаживаний ьэ(У) (гомотопических триакгуяяций ьт(у)) многообразия у тесно связана задача растепления. В самой обшэй ситуации, группы препятствий к расщеплению ьб +(§), где

(д о) -► л (У \ х>

'I ч

S =

П г(Х) -» Я ! {Y>

X С Y,

были определены Уоллом [3], как группы кобордизмов, а затем Раницким на языке алгебраических комплексов Пуанкаре. Один из аспектов применения техники расщепления состоит в том очевидном факте, что если отображение г гомотопно диффеоморфизму, соответственно кусочно-линейному гомеоморфизму , то оно расщепляется вдоль любого подмногообразия.

№ существует единого подхода к задаче расщепления, и алгебраические методы различны в трех случаях [41:

а) коразмерность равна 2;

б) коразмерность 1, двустороннее подмногообразие;

в) коразмерность 1, одностороннее подмногообразие.

В случае в),когда вложение многообразий х с У индуцирует изоморфизм фундаментальных груш, группы ьэ % совпадают с группами Браудера-Ливси 1И % (я 1(у \ и) —> я ¡(у)), применявшимися для исследования свободных инволюций на гомотопи-

[3] W&ll C.T.C. Surgery on Compact Manifolds, Ac.Press,1970.

[4] Ranicki A. Exact sequences in the algebraic theory of surgery. Princeton University Press, 1981.

ческих сферах. Алгебраически группы ьи являются группами Уол ла для кольца с антиструктурой и в случае прямого слагаемого изоморфяы группам Уолла группы п [5]. Если, в случае в), условие изоморфизма горизонтальных отображений в квадрате $ заменить условием эпиморфизма, то получится геометрическая диаграмма [б], естественно возникающая в приложениях.

Наиболее эффективна в вычислении ь - групп конечных трупп техника Уолла. Однако даже в некоторых случаях конечных 2-групп небольшого порядка общий ответ не получен. Что касается групп Браудера-Ливси, то, исключая случай прямого слагаемого, здесь имеются только отдельные результаты. Так Кэппел и Шейнсон П) вычислили труппы ья л(гг —» в), для циклической группы п.

Вычисление отображений в точной последовательности Сул-ливана тесно связано с вопросом о реализуемости элементов груш Уолла нормальными отображениями замкнутых многообразий. В настоящее время существуют несколько подходов к этой проб-

[5] Wall С.Т.С. Classification of hermitian forms, VI. Group rings. Ann. of Math., 1976, V. 103, P. 1-80.

16 ] Ахметьев П. M. Расщепление гомотопических эквивалентное-тей вдоль односторонего;подмногообразия коразмерности 1. Изв. АН СССР, сер. мат., 1987, Т. 51, С. 211-241.

[7] Cappel S.E., Shaneson J.L. Pseudo-free actions, II. LN in math., 1979, V. 763, P. 167-176.

леме 18], [9]. Эти методы требуют знания естественных отображении® групп Нэвикова-Уолла (трансфер, скрученный трансфер, индуцирование), с поммщыэ которых удалось подучить полные результаты в раде конкретных случаев. Законченна результата вычисления естественных отображений ь-грулп получены только для проективных групп Новисова-Уолла конечных 2-групп [ю].

Цель работы. Диссертация посаяш/эна исследованип групп препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий в следующих аспектах:

а) вычисление групп Браудера-Ливси для широкого класса конечных 2-групп;

б) вычисление естественных отображений групп Нэвикова-Уолла и Браудера-Ливси, возникашда при владении подгруппы индекса 2 в конечную 2-группу;

в) решение вопроса о реализуемости элементов групп Нэвикова-Уолла нормальными отображениями замкнутых многообразий;

г) исследование групп препятствий к расщеплении ьэШ)

t8] XapiiBuiafflse A. $> Ifepecipoitaa MHoroodpa3H& c KOHe^HHMH ; 4yHflaNfôHTani>HbiMH: rpynnaMH. yMH, 1987, T. 42, C. 36-85

[9] I. Hambleton, R.J. Milgram, L. Taylor, and B. Williams. Surgery with finite fundamental group. Proc. London Math. Soc., 1988, V, 56. P. .349-379-

[10] I. Hambleton, -k. Taylor, B. Williams. An introduction to the maps between surgery obstruction groups. LN 'in Math., 1985, V. 1051, P. 49-127,

вдоль односторонних подмногообразий.

Научная новизна. Новыми являются все основные результата диссертации.

1. Вычислены группы Браудера-Ливси и* (л я) во всех размерностях в следующих случаях:

тг, о - конечные абелевы 2-группы, гомоморфизм ориентации нетривиален на группе гт;

л - произвольная подгруппа индекса 2 в диэдральной группе о восьмого порядка с произвольной ориентацией;

л = 2/2 г - циклическая подгруппа индекса 2 с нетривиальной ориентацией в диздральной 2 - груше.

Получен также ряд других результате® о труппах т в . случаях диэдральных и кватернионных групп.

Вычислены точно группы Уолла ь 0 и ь 3 кватернионкой группы восьмого порядка с нетривиальной ориентацией.

2. Для вложения индекса 2 конечных 2-групп вычислены отображения трансфера, скрученного трансфера и индуцирования в случае конечных абелевых 2-групп и в ряде случаев кватернионных и диэдральных групп, доказана тривиальность второш дифференциала в спектральной последовательности хирургии для конечных абелевых 2 - групп, описаны индуцированные автоморфизмы группы ъ ^ ^ ДОЯ элементарной 2~группы п.

3. Получены результата о нереализуемости некоторых элементов групп Новикова-Уолла нормальными отображениями замкнутых многообразий для случая конечных абелевых 2-групп.

4. Исследованы группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий в случае, когда горизон-

тальные отображения в квадрате Ф являются в пиморфиз мами:

построены новые диаграммы и точные последовательности, связывающие группы 13 с группами Уолла и Браудера-Ливси;

определены группы ья с декорациями, естественно обобщающие группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий и исследованы их свойства.

4. Построена коса Левина, связывающая когомологии Тейта для антиструктуры и когомологии Тейта для ее квадратичного расширения, а также описаны условия на декорации необходимые для существования аналогичной косы Левина групп Уолла с декорациями (без учета декораций этот результат получен Раницким 1Ш).

Все основные . результаты диссертации являются новыми и изложены с подробными доказательствами.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в алгебраической к - теории, 1.- теории и в задачах геометрической топологии, связанных с классификацией гладких и кусочно-линейных структур на многообразиях.

Апробация работы. Результаты диссертации регулярно докладывались автором на Всесоюзной конференции по топологии им. П. С. Александрова в 1988 - 1992гг. и на семинаре по алгебраической топологии в МГУ, а также на Бакинской международной топологической конференции в 1987 г., на Советско-Японском

[11] A. Ranicki. The L-theory of twisted quadratic extensions'. Caned. J. Math., 1987, V. 39, P. 345-364.

симпозиуме в Хабаровске в 1989 г. , на IX международной конференции по топологии в Киеве в 1992 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в девяти работах автора, указанных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, подразделяемых в свою очередь на параграфы. Всего параграфов 14 со сквозной нумерацией, Общий объем диссертации - 200 страниц, из них Б страниц занимает список литературы, содержащий 46 наименований. . , СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении кратко излагаются результаты диссертации. В первой главе доказывается существование косы Левина (двустрочной диаграммы) для относительных групп Уолла с декорациями в случае квадратичных расширений антиструктур.

Наиболее естественным алгебраическим объектом, для которого определены группы Ковшова -Уолла, является антиструктура

(я» о(, и), т. е. кольцо и с антиавтоморфизмом с( и обратимым

-12 -1 элементом и, так что а(( и) = и , о( (х) = и х и ,ухей.

V

Группы Уолла ь * (я) определены при этом для любой инвариантной относительно индуцированной Ы подгруппы х, лежащей в к . (к) или к . (Ю(1 = о,1) и называемой декорацией. Для антиструктур естественно определены морфизмы и квадратичные расширения.

Пусть г ■ (к,оС,ч) —» (б,о!,и) -квадратичное расширение антиструктур, х с к 1 (Ю, У с к 1 (5) инвариантные подгруппы. В первом параграфе описаны условия на декорации необходимые для существования следующей двустрочной диаграммы

X 1 * Г ~ " 11 * у

i -> i. (8,ос,и) —► ь (я.й.и) —» ь (б.сг.и)

П I п

П-2

п-2

x " " 11 * у 1 ' x * « у

—+ Ь (И,о(,и) -<8,уо(,и)'-► I, (Й,с(,и)-- Ь <Б,аГ, и),

п-1 п-1 п-1 п-1

в которой обе последовательности являются цепными комплексами с изоморфными в соответствующих членах гомологиями, 1 , -индуцирование, 1 ! - трансфер, I - скейлинг. Без учета декораций данная диаграмма была построена Раницким, однако современная техника вычислений групп Уояпа и естественных отображений существенно использует различные декорации, поэтому необходимо аккуратное их использование.

Пусть i : <н, а, и) —* (к', , и') - морфизм антиструк-

туи, тогда при условии г).{х) с х' (х с к. (я), х' с к, (к')>

х,х' 1

определены относительные труплы Уолла ЦШ = ь (с). Во

втором параграфе определяется квадратичное расширение g мор-физма антиструтур Г и доказывается теорема о существовании двустрочной диаграммы, связывающей группы и ь41(г) > ана-

логичной абсолютному случаю. Значительный интерес представляет следствие 2.1 из указанной теоремы, применимое к исследованию функторов к 0 и к у . Если задана антиструктура (я, Ы, и) к две инвариантные относительно индуцированной о! инволюции подгруппы х с V с к1(Ю, то когомологии Тейта н " (У/х)' естественно изоморфны относительным группам

I (1<3), где ш - тождественное отображение. Таким образом

п , ,

для квадратичного расширения антиструктур имеет место двуст-

рочная диаграмма, связывакцая их когомологий Тейта.

В третьем параграфе дано прямое, то есть использующее только свойства к-функторов квадратичных расширений и гомологические методы, построение двустрочной диаграммы (косы Левина) когомологий Тейта. Это построение особенно эффективно при вычислении групп Браудера-Ливси и естественных отображений методами Усшла, когда когомологии Тейта зачастую имеют явные описания через образующие и соотношения. Так, например, обстоит дело с когомологиями Тейта группы к 1(2 2 я) равной (2 2 я)* в случае конечных абелевых 2-групп.

Для конечной 2-группы я техника вычисления групп Уолла и Браудера-Ливси базируется на вычислении когомологий Тейта

А у Л

н 1 (к 1 (2 2 Я)/ у) и групп ь о. я —» 2 2 я).

Вторая глава посвящена исследованию когомологий Тейта и

двустрочных диаграмм относительных групп для конечных 2-

групп. В четвертом параграфе исследуется двустрочная диаграм-

у л

ма относительных групп ь Л (2 л —♦ 2 2 л) для квадратичных

расширений, индуцированных вложением индекса 2 конечных 2-

групп. Значительная часть групп, участвующих в диаграммах,

вычислена в этом случае Уоллом. В теореме 4.1 описаны все

у л

возможные слагаемые групп ь х (2 тг —» 2 2 я) для произвольной антиструктуры, а диаграммы (Ш)-Ш9) дают полный список возможных прямых слагаемых ссогаеггствующих двустрочных диаграмм относительных групп. Для проективных груш Новикова-Уолла аналогичные результаты получены в работе [ю].

В пятом параграфе выписаны двустрочные диаграммы когомо-логии Тейта в некоторых случаях конечных 2-групп, в

частности, полностью описаны диаграммы во всех возможных случаях подгруппы индекса 2 конечной абелевой 2-группы.

В шестом параграфе результаты о когомологиях Тейта применяются для описания индуцированных автоморфизмов группы l 3 (л), где п - элементарная 2-груша. Группы Уолла в результате вычислений обычно описаны на языке расширений, которые не функториальны, В данном случае тесная связь с когомо-логиями Тейта позволяет преодолеть указанную трудность.

Третья глава содержит вычисление групп Браудера - Ливси и естественных отображений между ниш и грушами Уолла, такими как трансфер, скрученный трансфер и индуцирование. Полученные результата применяются для доказательства нереализуе-ыости элементов групп Уолла нормальными отображениями замкнутых многообразий.

В 7 параграфе рассматривается только конечные абелевы 2-группы, снабженные ориентацией. Пусть neo- подгруппа индекса 2, тогда двустрочная диаграмма имеет следующей вид:

! i ti —* t (G ) -Í-» L ( IT) -U L (G ) i-U LN --------

п п п п-2

I I I I

! -1 !

—» I, (О ) ^—Ц г N -♦ ь (о ) -!—► ь Ш)

П+1 П+1 Г.-1 п-1

Здесь через ьи п обозначены группы ьы п(я —» в), а группа в" обозначает группу в с измененной вне группы п ориентацией.

Напомним геометрический смысл некоторых отображений, входящих в эту диаграмму. Пусть у п - произвольное многообразие (п > 6) с фундаментальной группой в и первым классом

и

Шгифеля-Уитни, совпадающим с Пусть (у, х) - пара Браудера-Ливси, в частности, вложение х с у индуцирует изоморфизм фундаментальных групп, и х является односторонним подмногообра зием коразмерности 1. Произвольный элемент у е 1. п+1мы можем реализовать нормальным отображением —» г х [о,Ц, где да = 5 0 I и 3 ] » и ! 9 0 * —♦ у * {0} - изомор-

физм соответствующей категории, —»Ух

{1} - простая гомотопическая эквивалентность. Полученная гомотопическая триангуляция (сглаживание в гладком случае) является образом элемента у при отображении в точной последовательности Сулдивана и определяет элемент ьт(у). Получения гомотопическая триангуляция расщепляется вдоль х тогда и только тогда, когда при отображении скрученного трансфера

Г I "1 : Ь п+1(0) П_1 (П О)

элемент у переходит в ноль. Здесь гг = \ х). Отображение и , соответствует переходу от препятствия к внутренней перестройке подмногообразия х к абстрактной перестройке многообразия х.

Все группы Уолла, входящие в эту диаграмму, вычислены Уоллом в работе [5].

Будем различать следушде случаи задания гомоморфизма ориентации * на группе о.

1. Исююччительный случай, п тривиален.

2

2. Случай тривиальной ориентации, кет л = л.

3. Случай нетривиальной ориентации кег * я. _ = 1.

2

В начале седьмого параграфа вычисляются отображения двустроч-

ной диаграммы, основные результаты od отображениях даны в теоремах 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7. В. Приведем один из результатов этого типа.

Теорема 7.3. В неисключительном случае, когда w|л2 =1, отображение i » : l j (я) —» l ¡ (g 1 ) - мономорфизм, а отображение i l ^ (о ~ ) —» L ^ (л) тривиально. Если кроме того »ijjS i, то i , ¡ i g (я) —+ L j (G ) - мономорфизм,

когда л - прямое слагаемое в G и имеет ядро 2/2 в противном

i

случае, а отображение i ': L g (g " ) —»lg (я) имеет образ Z/2, когда я не является прямым слагаемым в G, и образ i ! является элементарной 2-гругшой ранга s (л), где s(л) - число прямых слагаемых в группе я, когда п - прямое слагаемое в группе G.

Затем вычисляются группы Браудера- Ливси. Случай прямого слагаемого очевиден и не рассматривается. Пусть г- ранг группы G, s - число прямых слагаемых в группе G.

Теорема 7.5. (i) В 1 случае группа ln 2п+1(я —* g) является элементарной г-групшй ранга 2 г~1 - s - i, a ln 2п (п

т—1

—♦О) - элементарная 2-группа ранга 2 - s.

(ii) Во 2 случае груша ln 2п+1(л —+ g) является элементарной 2-группой ранга 2 Г-1 - г - l - (|), ; кручение группы ln 2п(л —» g) - элементарная 2-группа ранга 2 г-1 -

S

г - ( , >, а свободная часть группы IN 2п(я —» G) имеет ранг rang S(G) - rang £(ti).

(iii) В з случае груша ln 2п+1(л —► G) является элементарной 2-группой ранга 2 г+ 2 г~2 - г - i - ( | ), a ln

г—Г' s

2п (л —»о) - элементарная 2-группа ранга 2 - г - ( 2 ).

Результаты пункта (Ш получены Харшиладзе с использова нием результатов автора од отображениях из этого параграфа и при помощи сигнатурного отображения . Отметим только, что полученные автором результаты § 4 позволяют получить указанные группы непосредственно.

В восьмом параграфе результата о группах Браудера-Ливси и естественных отображениях в1- теории применяются для изу- . чения типов элементов конечных абелевых 2 - груш и для доказательства ряда теорем нереализуемости.

Используя двустрочную диаграмму, Харшиладзе 18 ] ввел понятие элемента I. и и ш типа для элементов групп Уолла и доказал, что элементы I и п типа не реализуются нормальными отображениями замкнутых многообразий. Для ответа на вопрос о типе конкретных элементов недостаточно знания отображений в двустрочных диаграммах, а зачастую необходима более тонкая информация о взаимном расположении образов различных отображений в группах Уолла. Приведем один из результатов о типах элементов абелевой 2-группы с исключительным характером ориентации.

Теорема 8.3. (О Пусть группа о снабжена исключительным характером ориентации (имеется прямое слагаемое 2/2, на котором ориентация не тривиальна). Тогда все элементы группы 1-2 (о), не леяащие в образе отображения 1 ь 2( 1) ь 2 с о), равного 2/2, являются элементами второго типа относительно прямого слагаемого группы о, а нетривиальный элемент лежащий в этом образе, является элементом третьего типа,

(И) Все элементы группы ь 0 (а), не лежащие в образе

отображения и „ : ь 2 (1) —* ь 0 (о)> равного 2/2, являют ся элементами второго типа относительно прямого слагаемого группы в, а нетривиальный элемент лежащий в этом образе, является элементом третьего типа.

(Ш) Пусть в = 2/2 "ее 1 © о 2 ' где ПОДГРУ11113 0 2 не имеет прямых слагаемых 2/2, а а ^ - элементарная 2-группа.

Обозначим через ^ естественное вложение 2/2 © О г -- э,

а через л - отображение групп Уолла, индуцированное ^. Элементы, не лежащие в подгруппе 1т ] „ группы 1 2п + 1 > являются элементами второго типа относительно некоторой подгруппы-индекса 2, а элементы, лежащие в указанием образе, имеют третий тип.

Следует отметить, что из этой теоремы и нереализуемости элементов I и II типов, выводится результат о нереализуемости соответствующих элементов групп Уолла.

Понятие типа элемента является алгебраическим и имеет место для групп НЬвикова-Уолла с произвольными декорациями, включая относительные группы. Поэтому интерес представляет следующая

Теорема 8. 6. Пусть я - конечная 2-группа. Тогда в отно-

■ - У

ситвльных группах Уолла I * (2л —* 2 2 л) нет элементов второго типа.

Она объясняет отсутствие элементов XI типа в проективной

ь-теории, поскольку группы ьр "почти" совпадают с относитель-р

ными группами ь % {Ъх —»2 2 л).

В работе [12] построена спектральная последовательность в теории перестроек и описаны все первые дифференциалы в случае конечных абелевых 2 групп. Девятый параграф содержит доказательство следующей теоремы.

Теорема 9.1. В случае конечных абелевых 2- групп второй дифференциал в спектральной последовательности перестроек всегда тривиален.

В своей работе Хэмблетон и Харшиладзе привели этот результат со ссылкой на автора.

В десятом параграфе вычисляется группы Браудера-Ливси и естественные отображения в случае группы кватернионов

2Г+1 2 2Г -1 -1 О г+2 ={х.У | X = 1»У = X .У х у = х ), г>1

и в случае диэдральной группы

2 1 2 -1 -1 о г+1 ={т,г I т =1 =1,1 т I = т }, т>2.

Некоторые результата получаются лишь с точностью до расширений. Использование двустрочной диаграммы позволяет уточнить результата о труппах Уолла труппы кватернионов восьмого порядка.

Теорема 10.2. Цусть 1 : я = 2/2г —> Б

Г+1

вложение

подгруппы индекса 2 в диэдральную 2 - группу. Тогда, в зависимости от ориентации , группы Браудера-Ливси определяются следующим образом.

[12] Хэмблтон И., Харшиладзе А. Ф. Спектральная последовательность в теории перестроек, Мат. сб. ,1992, Т. 183, С. 3-14.

{i) В ориентируемом случае группа ln п (я —+ d 1) изоморфна 2/2 при л = 2, а в других размерностях имеют место следующие точные последовательности

О -» (2/2) 1-1 -» LN з (я Е г+1> (2/2) 21-1 -f О

и

О LN 1 (я -» D ~+1) —» (Z/2)2f -» (2/2)^ 1+ ГФ2 2 -i

-► IN 0 (Я —+ d ;+1) -► 0.

(i i) В неориентируемом случае группы Браудера-Ливси 2-периодичны и

± , г-2

LH 2п (я —» Dr+1) = (42) © (2/2)

4 2 Г"2 -1 LN 2п+1(я Dr+1) ^ (2/2)

Следствие 10.1. В ориентируемом случае при г < з имеют

место изоморфизмы:

2Г-1 - ? IN J (я —> D r + 1) = (2/2)£ - I, LN 0 (я —» D r+1) = 2 _

В случае подгруппы я = 2/2 © 2/2 индекса 2 в диэдральной груше d g восьмого порядка пусть t 1( t 2 - образующие группы я. Различаются два вложения i группы п, в зависимости от ориентации:

Л) i(t j ) = г 2, i(t 2) = t, w(t) = ± 1, w(t) = 1;

В) i(t j ) = г 2, i(t 2) = t, w(t) = ± 1, wtt> = - 1. Теорема 10.3. В случае А) группа LN п (я —» D 3) изоморфна 2/2, 2/2, 2 2, 0 при п = О, 1, 2, 3 mod 4 соответственно. йлеет место изоморфизм

ln п (2/2 ® 2/2 —» d 3) s LN п+2 (2/2 ® 2/2" —♦ d ^ ) групп Браудера-Ливси в случаях а) и в).

В следствии 10.2 описаны основные естественные отображе-

гош в двустрочной диаграмме для вложения п —♦ п 3 .

В теоремах 10.5, 10.6, 10.7 приведены результаты о группах Браудера-Ливси для вложения 2/2 1+1 —► о г+2 .

Используя результаты о группах Браудера-Ливси и естественных отображениях, в конце параграфа находятся группы ь 0 <<3 3 ) и ь 3 (о3 ), изоморфные 1/2 © 2/2. Эти группы были ранее вычислены Уоллом 15) с точностью до расширений.

Четвертая глава содержит исследование групп препятствий к расщеплению „) для геометрических диаграмм, т.е. квадратов групп в которых вертикальные отображения являются вложениями индекса 2, а горизонтальные отображения - эпиморфизмы.

В параграфе 11 преведены предварительные сведения, о группах препятствий к расщеплению ьв ^ (§).

В параграфе 12 исследуется связь между группами ьб геометрической диа1раммы $ и 1 - спектрами Квинна-Раницкого. Вводятся коммутативные квадраты антиструктур, естественно обещающие геометрические диаграммы групп. Для этих квадратов определяются А - спектры (Ш), так что имеет место

Георема 12.2. Бели геометрическая диаграмма антиструктур получена переходом к групповым кольцам со стандартной инволюцией над кольцом 2 из геометрической диаграммы групп, то имеет место изоморфизм

п 1 (1Б($)) 2- ьэ . (§). В теоремах 12.3 и 12.4 описаны различные связи спектра 1з(Ф) с П. - спектрами для групп Уолла и Браудера-Ливси из квадрата антиструтур В качестве следствия этих теорем получаются

как известные ранее точные последовательности: и коса Левина для груш ьб , так и новые.

В 13 параграфе определяются группы ьэ для геометрических диаграмм антиструктур, снабженных декорациями, и исследуется зависимость этих групп от декораций. В частности для вводимых групп ьб сохраняются связи с группами Уолла и Браудера-Ливси (теперь конечно также с декорациями) аналогично предыдущему параграфу. В этом параграфе получены также формулы для вычисления когомолгий Тейта, входящих в точные последовательности типа Ротенберга для групп ьэ и рассмотрен ряд примеров групп ьб с декорациями.

В параграфе 14 вычисляются группы ьб для геометрических

о

диаграмм групп, соответствующих паре многообразий (м х Кр , м х Б 1), где м - многообразие, у которого фундаментальная группа л является элементарной 2-1руппой с различными ориен-тациями. Группы 1.Э + (Ф) вычислены во всех размерностях для группы п ранга 1 и 2 с нетривиальной ориентацией и для ранга О и 1 с тривиальной ориентацией.

СПИСОК НАУЧНЫХ РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДОСЕРТАЦИИ

1. Муранов Ю. В. Отображения групп Уолла, индуцированные вложением, УМН, 1986, № 3, С. 195-196.

2. Муранов Ю. В. Препятствия к перестройкам двулистных накрытий, Мат. сборник, 1986, Т. 131(173), С. 347-356.

3. Муранов Ю. В. Типы элементов групп Уолла для кольца 2 2 я, Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. , 1991, № 5, С. 33-37.

4. Муранов Ю. В. Естественные отображения относительных групп Уолла, Мат. сборник, 1992, Т. 183, С. 39-52.

5. Муранов Ю. В. Индуцированные автоморфизмы группы ), Мат. заметки, 1992, Т. 51, С. 66-71.

6. Муранов Ю. В. Группы Браудера-Ливси диэдральной группы, УМН, 1992, Т. 47, С. 203-204.

7. Муранов Ю. В. Когомологии Тейта и группы Браудера-Ливси диэдральных групп, Мат. заметки, 1993, Т. 54, С. 44-55.

8. Муранов Ю. В, Относительные группы Уолла и декорации, Мат. сборник, 1994, Т. 185, № 12, С. 79-100.

9. Муранов Ю. В. Группы препятствий к расщеплению вдоль односторонних подмногообразий, УМН, 1995, Т. 50, В. 1, С. 205-206.