Алгебраическая теория квазимногообразий коммутативных луп Муфанг тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГБ ОД

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ^ " СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С.Л. СОБОЛЕВА Специализированный совет Д 002.23.01

На правах рукописи УДК 512.548

УРСУ ВАСИЛИЙ ИВАНОВИЧ

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ КВАЗИМНОГООБРАЗИЙ КОММУТАТИВНЫХ ЛУП МУФАНГ

(01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2000

Рабо.л Ыкшо^пена в Ноиш;и«5и{»еком государск-енном университете". ' и Техническом университет Модд'-'ьы

Официальные оплопспш: * * "

физико-математических ааук просЬсосор М.М. Глухоз.

доктор ф:1пикс-матс:.-=.ти"сс:чих нау::.

профессор Е.А. Палютж,

. доктор фияико-чатемао!"«* ких .нлук, профессор М М. Чооак.

Ведущая организации - Красноярский государственный университет

Защи га дй'.тирсации гогтоатся- " 8 " 2000 г. в " 14 " . часов на заседании спецчяя.чзирога^ного совета Д 002.23.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте'мат'.м«у»;ки СО РАН »к> адресу. 630050 Новосибирск, пр. Академика Коптк-га, 4.

С д;;ссергоцлсй кож-;о ознакомится р библиотеке Института математики СО РАН.

.Автореферат разослан "_" ______. 20г>0 г.

Ученый секретарь

специализированного совета

по защите диссертаций кандадат фкз.-мат. наук

А.И. Ряскин

£ /гх. 31 03

Общая характеристика работы

Актуально«** темы. Основы теории квазимногообразни алгебраических систем были заложены А.И. Мальцевым [1, 2, 3, 4, 5, б. 7, 8$, который неоднократно подчеркивал важность изучения свойств квазимногообразий. Первый этап развития теории квазимногообразий отражен в известной монографин А.И. Мальцева [9], см. также обзор . Д.М. Смирнова (10]. Особое положение квазимногообразий и, в частности, многообразий объясняется многими причинами; укажем некоторые из них.

Во-первых, активный интерес к языку тождеств и квазитождсств возник в результате решения конкретных задач алгебраических систем. Например, яг 1939; г. А.И. Мальцев [1} выписал условия погружаемости полугруттаг в1 группы на языке квазитождеств. В свою очередь, в 1948 г. Маккинсй? Ц?11 связал некоторые алгоритмические проблемы логик» с финитной аппроксимируемостью в многообразиях и квазтлигообраэйн». Здесь же отметим и знаменитую теорему П.С. Новиков» рР2Т' о*неразрешимости проблемы равенства слов.

ВЬчпорых, значительную роль в становлении теории многообразий Я' квазимногообразий сыграли доклад Гаретта Биркгофа на* Канадском математическом конгрессе [13] и доклад А.И. Мальцева на- Международной" конгрессе математиков [8], поднявшие ряд важных проблем- этой" теории, в; частности, проблему описания решеток (квази) многообразна.

В-третьих, как било замечено А.И. Мальцевым [3] и как было показано совсем5 недавно В:А. Горбуновым [14], многие вопросы теории квазимногообразни находят свое наиболее естественное выражение в рамках теории определяющих соотношений. Это отражает точку зрения на теорию квазимногообразий как теорию конечно определенных систем, в то время как теория многообразии есть теория свободных систем.

Отметим теперь тс направления исследовании, которым

носинщсиа настоящая работа, и укажем некоторые результаты, достигнутые в этих направлениях.

1. Проблема базируемссти. Это направление имеет целью исследование базисов тождеств и базисов квазитождеств в различных классах алгебраических систем. К нему относится вопрос о конечности базиса (киази)тождеств, который имеет особую роль при изучении (кнази)эквационной теории для конкретных классов алгебр. Как известно, конечный базис тождеств имеют следующие алгебры: всякая двухэлементная алгебра конечной сигнатуры (Линдон, [1951]), всякая нильиотентная группа (Линдон, [1952]), всякая конечная группа (Оутс и Науэлл, [1964]), всякое конечное ассоциативное кольцо (Кразе, [10791; Львов, [1973]), всякая конечная коммутативная полугруппа Шеркинсон, [1969]), всякая нильпотенгная коммутативная лупа Муфанг (Эаанс, [1974]). Другие примеры конечно базируемых многообразий можно найти в обзоре Тейлора [15]. Там же собраны известные примеры алгебр конечного типа, тождества которых не имеют конечного базиса (см. также [16], 117]).

Другим классическим вопросом в алгебре является вопрос о неприводимости базиса (квази)тождеств (квази)многообразия. Широко известны' результаты, касающиеся неприводимости базиса тождеств. Отметим лишь некоторые из них. Существование бесконечных неприводимых базисов тождеств доказывалось С.И. Адамом [18], Ю.Г. Клейманом [19,20], Воэн-Ли [21], А.Ю. Ольшанским [22]. Аналогичный результат для коммутативных луп Муфанг доказан в работе Н.И. Санду [23]. Многообразия групп, не имеющие неприводимого базиса тождеств, построил Ю.Г. Клейман [24].

В последнее время теория квазнмногообразий характеризуется ке только интенсивным развитием, но и приложением своих идей и не годов в других областях математики. Поэтому вопросы о конечности и неприводимости базисов квазитождестч привлекают многих мутемагикоп. Важность этого вопроса, как самого но себе, так и для теоретического программирования отмечает Р. Маккензй в обзоре [25].

3

К настоящему времени проблема конечной базируемое™ полностью решена для конечных групп (A.IO. Ольшанский [26]) и конечных ассоциативных колец (В.П. Белкин [27]). Последний результат В. Дзебяк [28] обобщил на конечные неассоциативные кольца, но только в одну сторону. В [23] В.А. Горбунов доказал, что любая двухэлементная алгебра имеет конечный базис квазнтождеств. Д. Пигоцци [30] показал, что любая конечная алгебра, порождающая относительно конгрузнц-дистрибутивное квазимногообразие, нмеег конечный базис квазитождеств. Интересные результаты о конечной (неприводимой) базируемое™ квазимногообразий получили также в работах А.К. Румянцева, И.К. Карташов, М.В. Сапир, А.И. Будкин, И.П. Бесценный, A.M. Нуракунов и др. Первый пример конечной алгебры, квазитождества которой не имеют независимого базиса, был построен В.А. Горбуновым [31]. Позже появились работы, в которых подобные конечные алгебры строились в естественных классах, например, такие примеры известны в классе групп (А.Н. Федоров [32]), решеток (В.И* Туманов [33]), дистрибутивных р-алгебр и псевдобулевых алгебр (М.П. Тропик [34]).

2. Проблема Биркгофа-Малъцева об описании класса всех решеток подквазимногообразий. Проблема Биркгофа-Мальцева имеет большое значение в теории квазимногообразий, потому что многие вопросы квазимногообразий сводятся к рассмотрению решеток квазимногообразий. Отметим, что в последнее время появился значительный интерес к этой проблеме (см., например, [14], [35], [361, [37]). Это объясняется тем фактом, что теория квазимногообразий алгебраических систем как интенсивно развивающаяся область универсальной алгебры имеет тесные связи с теорией решеток, алгебраической логикой, теорией моделей, логическим программированием и абстрактными типами данных. Например, в случае квазимногообразий удалось решить ряд проблем стоящих в теории моделей. Это в первую очередь катается описания категоричных квазимногообразнн, данного Е.А.. Палкпмным [33]. Найдены также

тесные связи теории квазимногообразий с теорией нормнроэашшх и банаховых алгебр (Диксон [39]), теорией алгебраических пространств (Насини [40]), теорией допустимых правил вывода и неклассических логик (В.В. Рыбаков [41,42]), а совсем недавно - с теорией графов (В.А. Горбунов и A.B. Кравченко [43]), теорией метрических и топологических пространств (Бар и Педиккн [44]). Наконец, мощный нмнульс в развитии теории квазимногообразий дало приложение универсальной хорновой логики в логическом программировании И теории 6as данных (см., например, {45, 46J).

3. Алгоритмические проблемы. Одним из важных вопросов, возникающих в этом исследовании, является вопрос об алгоритмической разрешимости или неразрешимости того или иного теории класса. Теория называется разрешимой, если множество формул этой теории рекурсивно, и неразрешимой в противном случае.

Вопросами разрешимости и неразрешимости различных конкретных теорий занималось довольно большое число математиков (В. Шмелева, А. Тарский, А.И. Мальцев, Б.А. Трахтенброт, Ю.Л. Ершов, М.А. Тайцлин, И.А. Лавров, А.Д. Тайманов, А.П. Замятин и другие) и для многих интересных теорий вопрос был решен. Например, неразрешима теория групп, теория конечных моделей, теория коммутативных полугрупп, теория ассоциативных коммутативных колец. Разрешима теория абелевых групп, теория булевых алгебр и т.д.

Из других алгоритмических вопросов, которые затрагиваются в диссертации, упомянем еще проблему равенства слов, проблему вхождения, проблему сопряженности, а также проблему распознавания разрешимости уравнений.

В настоящей диссертации эти проблемы исследуются в классе коммутативных луп Муфанг и нильпотентных луп Муфанг.

Цель работы. Диссертация посвящена изучению элементарных свойств коммутативных луп Муфанг и нильпотентных луп Муфанг. Наибольшее внимание в ней уделяется исследованию решеток

квазимногообразий коммутативных луп Муфанг, независимой и конечной аксиоматизируемости.

Основные результаты работы.

1. Доказано, что ннльпотентная лупа Муфанг I. удовлетворяет следующим свойствам: (0 если £. конечно порождена, то в /„ выполняется условие максимальности для подлуп и Ь финитно аппроксимируема; (И) все тождества, истинные в £, имеют конечны!! базис (решен вопрос Т. Эваиса); (¡у) квазиэквациональная теория многообразия, порожденного лупой разрешима; (у) если Ь конечно представима, то в Ь разрешима проблема равенства слов. Показано также, что в любом многообразии КЛМ любое его собственное подмногообразие покрывается и имеет независимый базис тождеств. В частности, положительно решена задача о существовании независимого базиса эквациональной теории многообразия КЛМ.

2. Доказано, что конечно порожденная КЛМ I имеет конечный базис квазнтождеств тогда и только тогда, когда Ь — конечная группа. Наряду с проблемок существования конечного базиса квазнтождестп решен также вопрос о нахождении аксиоматических рангов квазиэква-циональноп теории нсассоцнативной конечно порожденной КЛМ. Оказалось, что каждая теория имеет бесконечный аксиоматически¡1 ранг.

Найдена мощность решетки подквазимногообразий данного многообразия . КЛМ Ш. Оказалось, что решетка ЬдШ, подквазимногообразий многообразия Ш, или конечна или континуальна; причем конечна тогда и только тогда, когда Ш порождается

конечной группой.

3. Доказано, что квазимногообразие, порожденное свободной лупой ранга "я, и > 3, (наибольшего! наименьшего многообразия КЛМ | им«.ч| не имеет независимого базиса квазитождеств. (Отрицательно | положительно] решена задача о существовании независимого базиса

квазитождеств для конечной (свободной) КЛМ).

4. Показано, что в решетке всех подквазимногообразий [любого многообразия 9Я] КЛМ существует единственное покрытие для классов всех групп [из ЙЯ] и доказано, что квазиэквациональная теория этого покрытия ие имеет независимого базиса квазитождеств [в некотором подквазимногообразии любого многообразия 94 с ОТ]. В частности, получено бесконечное множество квазимногообразий КЛМ в каждом из которых свободная лупа ранга 3 не имеет независимого базиса квазитождеств.

5. Описаны все квазимногообразия КЛМ ступени нильпотентности й 2, имеющие конечное число подквазимногообразий. Доказано, что если решетка подквазимногообразий квазимногообразия, порожденного 2-ступенно ннльпотентной КЛМ с конечным числом образующих, не конечна, то она континуальна.

6. Доказано, что множество квазкмногообразий 3-КЛМ с конечными базисными рангами не является подрешеткой в решетке квазимногообразий. Установлено, что максимальное квазнмногообразие в решетке подквазимногообразий квазимногообразня с конечным базисным рангом может не обладать конечным базисным рангом.

7. Решены положительно алгоритмические проблемы: о вхождении для конечно порожденной ннльпотентной лупы Муфанг, о сопряженности для конечно порожденной КЛМ, о неразрешимости элементарной теории неассоциативного многообразия КЛМ. Для ряда многообразий квазигрупп доказана неразрешимость элементарной теории.

Оспсвдсые методы. Методы, используемые при доказательстве результатов, опираются на абстрактную теорию лун Муфанг, универсальную алгебру и теорию определяющих соотношений. Кроме юго, используются также методы из теории решеток и теории групп, а также идеи и методы, развитые в работах Р. Ляндона, А.И. Мальцева, А.Ю. Ольшанского, В.А. Горбунова, М.В. Сшшра, А.И. Будкина, А.II. Федорова и др.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они значительно расширяют и дополняют ряд результатов по теории луп Муфанг, полученных ранее другими авторами.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты' работы представляют теоретический интерес, являясь вкладом в теорию луп Муфанг. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях, а также при подготовке монографий и чтении специальных курсов.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались автором' на Международных конференциях по алгебре и логике в Новосибирске (1989, 1994, 1996, 1997) и Барнауле (1991), математических конференциях в Яссах (1991) и Бухаресте (1990, 1997), на VII Тираспольском симпозиуме по обшей топологии и ее приложениям и на республиканской научной конференции в Кишиневе (1989, 1996).

Результаты диссертации излагались автором в докладах на Международной конференции по дискретной математике н общей алгебре (Дармштадт, 1995), на Международной конференции по универсальной алгебре и теории решеток (Сегед, 1996), на Международной конференции по теории групп (Тимишоара, 1992), на Всесоюзной конференции по математической лотке (Алма-Ата, 1990), на II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996), на конференции по алгебре (Клуж-Напока, 1997), на Международной конференции по теории луп (Прага, 1999), на республиканских научных конференциях (Кишинев, 1989. 1996; Тирасполь, 1990). '

Автор докладывал результаты диссертации на семинарах "Алгебра н логика", "Теория нумерации", "Алгоритмические системы" п "Теория решеток" яри Новосибирском госуннверситете и ИМ СО РАН, на семинарах по алгебре и логике при ИМ АН РМ, на семинарах в Институте Математики в Бухаресте, на семинарах

математики Кишиневского технического университета.

Публикации. Все основные результаты диссертации получены автором лично, без соавторов, и опубликованы в [66-88].

Объем и структура диссертация. Диссертация состоит из 5 глав, разбитых на 15 параграфов, и библиографии. Нумерация параграфов, соотношения и формулы - по порядку, теоремы и утверждения нумеруются тремя числами: первая - номер главы, вторая — номер параграфа, третья - номер утверждения в параграфе. Список цитируемой литературы включает 147 наименований. Общий объем работы 207 страниц.

Содержание диссертации

Перейдем к изложению результатов и укажем те конкретные вопросы, которые решаются в диссертации.

Предлагаемая диссертация состой г из пяти глав. Первая глава -вводная. В §1 этой главы говорится о содержании диссертации, а в §2 приводятся общие определения, обозначения и предварительные результаты.

Цель главы 2 - изучение эквациональной теории нильпотентных луп Муфанг, исследование вопроса о конечности и независимости базисов тождеств.

Глубокий результат в теории многообразий получили Р. Фриз и Р.Макензи [47]. А именно, они доказали, что если конечная нилыюгентная алгебра А разложима в прямое произведение алгебр порядков степеней простых чисел, то она имеет конечный базис тождеств. В предположении, что многообразие, порождешюе Л, имеет эквационально определимую константу, это утверждение впервые было доказано Воэн-Ли [48]. Воэн-Ли построил также многообразие трсхступенно нильпотентных луп, которое не имеет конечного базиса

трехступешю ннльпотснтных луп, которое не имеет конечного базиса для своих тождеств, но в котором все конечно порожденные лупы конечны и имеют порядки степеней двух. Ясно, что это многообразие не порождается никакой конечной лупой. В [49] Т.Эванс показал, что кг^тдая нильпотентная коммутативная лупа Муфанг имеет конечны!) бптс тождеств, и поставил вопрос, верно ли это для нильпотентной лупы Муфанг. Согласно Г. Глауберману и Вригхту [50,51] конечная нильпотентная лупа Муфанг разлагается в прямое произведение подлуп порядков степенен простых чисел. Поэтому в силу результата Р. Фриза и Р. Макензн [47] тождества этой лупы имеют конечный базис. Следовательно, для нильпотентной лупы Муфанг проблема существования конечного базиса тождеств безусловно представляет особый интерес и и общем случае. §3 посвящен решению этой проблемы. Здесь доказаны следующие свойства нильпотентной лупы Муфанг: каждая подлупа конечно порожденной лупы Муфанг конечно порождена (теорема 2.3.3); каждая конечно порожденная нильпотентная лупа Муфанг финитно аппроксимируема (теорема 2.3.8); тождества любой нильпотентной лупы Муфанг имеет конечный базис (теорема 2.3.14); (квази)эквациональная теория нильпотентного многообразия луп Муфанг разрешима (теорема 2.3.15). Таким образом, получен положительный ответ на вопрос Т. Еванса и, в частности, также положительное решение проблемы равенства слов для . конечно определенной нильпотентной лупы Муфанг.

Вопрос о независимой аксиоматизируемости широко изучался п различных классах алгебраических систем, в §4 он рассматривается применительно к многообразиям КЛМ. Согласно Т. Евансу [49], любое нильпотентноё многообразие КЛМ конечно базируемо, а в [23] II.И. Сайду построил пример многообразия КЛМ с бесконечным независимым базисом тождеств. В связи с этими результатами проблема существования независимого базиса тождеств для многообразий КЛМ представляет особый интерес. В направлении решения :>гой проблемы п §4 доказано (теорема 2.4.1), что для любого

многообразия 91 коммутативных луп Муфанг справедливы следующие утверждения: а) любой неединичный элемент решетки всех подквазимногообразий из ОТ имеет покрытие; Ь) любое подмногообразие в ОТ имеет независимый базис тождеств; с) в частности, любое многообразие коммутативных луп Муфанг имеет независимый базис тождеств.

Одним из основных направлений исследования многообразий алгебр является вопрос о финитной аппроксимируемости. Это связано с классической теоремой Биркгофа, утверждающей, что многообразие порождается конечными системами тогда и только тогда, когда все его свободные системы финитно аппроксимируемы. Оказалось, что свободные системы многих многообразий финитно аппроксимируемы. В §5 рассматриваются аналогичные вопросы для многообразия КЛМ. Доказывается, что все лупы многообразия КЛМ финитно аппроксимируемы тогда и только тогда, когда многообразия порождаются конечной группой (теорема 2.5.4).

Третья глава посвящена исследованию решетки квазимногообразий КЛМ. В §6 изучается вопрос о существовании конечного базиса квазитождеств конечно порожденной КЛМ- Как было замечено, любая конечно порожденная КЛМ имеет конечный базис тождеств. Для квазитождеств ситуация является почти противоположной.

Теорема 3.6.6. Если фактор-лупа шассоцштивной коммутативной лупы Муфанг Ь по ее центру Ж(Ь) конечна, то Ь не имеет конечного базиса квазитождеапв. ;

Отсюда выводится следующий основной'результат §6.

Теорема 3.6.7. Конечно порожденная коммутаг,питая лущ Муфанг Ь имеет конечный базис квазитождеств тогда и только тогда, когда Ь - конечная группа.

Согласно теореме 3.6.7 и результату А.Ю. Ольшанского 125}, утверждающему, что квазитождества конечной группы имеют конечный

базис тогда и только тогда, когда все ее силовские подгруппы абслевы, получаем, что если конечная лупа Муфанг £. содержит неассоциативную либо некоммутативную р-подлупу, то квазитождества I не имеют базиса от конечного числа переменных (теорема 3.6.9). Далее доказывается следующее предложение.

Теорема 3.6.10. Пусть Ш — многообразие КЛМ и -

решетка всех подквазимногообразий в Ш. Тогда решетка ¿^от конечна или континуальна; причём конечна тогда и только

тогда, когда Ш порождается конечной группой.

• у

Из теорем 2.5.4, 3.6.7 и 3.6.10 непосредственно вытекает (следствие 3.6.11), что для конечно порожденной КЛМ £ равносильны следующие условия: (I) I имеет конечный базис квазитождеств; (и) квазимногообразие 0(1.), порожденное совпадает с многообразием У(£), порожденным I/, (111) решетка всех подквазимногообразий многообразия У(1) конечна; 0у) все лупы многообразия У(£) финитно аппроксимируемы; (у) Ь - конечная группа.

В §7 главы 3 доказано, что если некоторое бесконечное семейство циклических групп i б /} лежит в квазимногообразии 9Т луп

Муфанг и подквазимиогообразие Ш с не имеет независимого базиса квазитождеств в №, то либо 1 г Ш1, либо множество (1 е /: 2р. е Ш) ~

конечно (теорема 3.7.4). В качестве следствия получаем, что любая • относительно свободная КЛМ нулевой экспоненты (в частности, абсолютно свободная КЛМ) имеет бесконечный независимый базис квазитождеств (следствие 3.7.5).

Согласно теореме 3.6.6 из §6, квазитождества конечной нсассониатнвлпи КЛМ не имеют конечного базиса. Тогда естественно возникает вопрос, обладают ли квазитождества конечной неассо-цпатннной КЛМ хотя бы независимым базисом?

В §8 в многообразии порожденном всеми нильпотентными КЛМ класса 2, .экспоненты. 3, рассматриваются к пази тождества свобод-

noir неассоциативной КЛМ F (наименьшего) порядка 81. Заметим, что 'Л23 является минимальным неассоциативным многообразием, а

квазимиогообразие порожденное лупой F, является минимальным неассоциативным квазимцогообраэием. Здесь же доказываются некоторые леммы, описывающие свойства на основе которых получены следующие результаты.

Теорема 3.8.12. Квазимногообразие $ не имеет покрытий в решетке всех подквазимногообразий в .

Теорема 3.8.19. Квазимногообразие $ не имеет независимого базиса квазитождеств в любом квазимногообразии, содержащем 9lj •

Пусть 2t - класс всех абелевых групп, Lq - решетка всех квазимногообразий КЛМ и Щ ~ многообразие всех 2-иильпотентных KJIM. Согласно теореме Брака-Слэби [52], каждая КЛМ локально ннльпотентна. Поэтому единственное покрытие для класса % в Lq

является конечно (а значит, и независимо) базируемым многообразием В связи с этим возникает особый интерес к.естественному вопросу о существовании независимого базиса квазитождеств квазимногообразий, покрывающих в решетке Lq квазимногообразие 21. §9

посвящен решению 'этой задачи. Здесь доказано, что в решетке Lq существует единственное подквазимногообразие, покрывающее 21 и

это подквазимногообразие не имеет покрытий и, следовательно, не имеет независимого базиса квазиГождеств (теорема 3.9.10). Кроме того, в §9 рассматривается аналогичный вопрос для класса всех групп любого заданного многообразия КЛМ. Показано, что любое многообразие Ш е Lq содержит такое квазимногообразие 9t, что все £DÎ-

грулпы лежат в 91 и класс всех Ш1-групп покрывается в решетке всех подквазимногообразий кз 91 единственным квазимногообразием, которое не имеет независимого базиса квазитождеств относительно

(теорема 3.9.6). В частности, получено бесконечное семейство таких квазимногообразий Л, что Я-свсбодная лупа ранга 3 не имеет независимого базиса квазитождеств относительно Л.

Наряду с проблемой Биркгофа-Мальцева об описании всех решеток квазнмногообразнй в алгебре естественно возникает локальная проблема описания решеток подквазимногообразий конкретных квазимногообразий. В частности, эта проблема была поставлена Г. Гретцером [53] для многообразия дистрибутивных решеток с псевдодополнениями, М.И. Каргаполовым [54] для многообразия нильнотент-ных групп класса два, М. Петрич [55] для многообразия идемпотен-тных полугрупп. Хотя общая и локальная проблема тесно связаны между собой, подходы к их решению достаточно разнообразны. Аналогичная проблема может быть поставлена и для КЛМ.

§10 главы 3 посвящен проблеме описания решетки квазнмногообразнй нильпотентных КЛМ класса 5 2. В данном параграфе п классе всех 2-нильпотентных КЛМ описаны все квазимногообразия, имеющие конечное число подквазимногообразий. В явном виде • указан список йсех таких луп (циклических и 3-порожденных неассоциативных луп), что квазимногообразие Й £ имеет конечное число подквазимногообразий в том н только в том случае, когда Л порождается множеством луп из упомянутого списка (теорема 3.10.26). Более того, если квазимногообразие не порождается лупами из указанного списка, то оно содержит континуум различных подквазимногообразий. В частности, дается исчерпывающий ответ на вопрос о числе -»дквазимногообразпй квазимногообразия порожденного конечно порожденной лупой из 9Т2 (следствие 3.10.27). Описаны также конечные решетки квазнмиогообразий, а к некоторым из них приведены иллюстрации. Заметим, что даже в простых случаях эти решетки немодулярны (замечания 3.10.33, 3.10.34).

В §11 исследуется вопрос о конечности базисного ранга квази- . многообразий. Базисным рангом квазимногообразия Д называется такое наименьшее число л, если оно существует, что Л порождается

«-порожденной лупой. Сначала для произвольного к > 2 строится 2-нильпотентная КЛМ В экспоненты 3* такая, что В подпрямо неразложима в квазимногообразии 0(В), порожденном лупой В. Описанный в [86] метод построения максимальных квазимногообразий, позволяет убедиться, что в решетке всех подквазимногообразий О(В) имеется единственное максимальное собственное подквазиМногообразие Ш. Показано, что квазимногообразне 'Ш не имеет конечный базисный, ранг (теорема 1.11.6). Кроме того, пересечение квазимногообразий с конечными базисными рангами не всегда является квазимногообразием с конечным базисным рангом (теорема 3.11.7). Последний вопрос возник в связи с тем, что любое подмногообразие многообразия, порожденного конечной КЛМ, содержит конечное число подквазимногообразий, каждое из которых имеет конечный базисный ранг [49].

Под формулой будем понимать замкнутую формулу языка первого порядка. Пусть Л - какой-либо класс моделей сигнатуры о. Элементарной теорией класса Я называется совокупность всех формул сигнатуры о, истинных на всех системах из Я. Следуя [57], формула <р называется тождественно истинной на Л, если она принадлежит элементарной теории класса Л. <р называется конечно опровержимой на Я, если ->ср истинна на некоторой конечной модели из Л. В работе А.И. Мальцева [58] установлено одно соответствие между кольцами с единицей и метабелевыми группами и на его основе в [591 показана неразрешимость элементарной теории класса всех конечных групп. Однако в [57] доказывается более сильное утверждение. А именно, множество тождественно истинных формул и 'множество конечно опровержимых формул рекурсивно неотделимы в классе .всех групп. Видимо в связи с этим А. Тарским был поставлен (¡опрос: имеет ли любое некоммутативное многообразие групп, содержащее нее «болевые группы, неразрешимую элементарную теорию. Положительный ответ на этот вопрос в случае многообразий, содержащих конечную некоммутативную группу, был получен Ю,Л. 'Ершовым'[60]. Он также высказал гипотезу, что любое некоммутативное миогообрллпе групп

имеет неразрешимую элементарную теорию. Гипотеза Ю.Л. Ершопа, как известно, была доказана А.П. Замятиным [61]. Целью главы 4 является рассмотрение аналогичных вопросов в классе КЛМ.

В §12 главы 3 установлено одно соответствие между тернарными кольцами с единицей и 2-нильпотентными КЛМ, принадлежащими некоторому аксиоматизируемому классу. При этом соответствии классу тернарных колец с единицей простой характеристики р отвечает конечно аксиоматизируемый подкласс класса всех коммутативных 2-нкльпотентных луп, удовлетворяющих тождеству х? = 1. Как и в [58] указан эффективный способ, позволяющий для каждой формулы» относящейся к тернарным кольцам с единицей, получить формулу для коммутативных луп такую, что истинность первой формулы на тернарном кольце равносильна истинности второй формулы на соответствующей коммутативной лупе.

В §13 с помощью установленного соответствия доказана неотделимость множества тождественно истинных формул и множества конечно опровержимых формул в классе всех 2-ступенно нильпотентных коммутативных луп с тождествами [ху,гЛ] = [х,г,<Нг/,.г,£], = 1 (р -фиксированное простое' числа). Далее доказаны заключительные важные предложения о том, что множества формул, тождественно истинных и конечно опровержимых в произвольном неассониатнвном . (соотв., немедиалыгом) многообразии КЛМ (соотв., дистрибутивных квазигрупп или СН-квазигрупп), рекурсивно неотделимы и тем самым в указанных классах квазигрупп получено решение общей задачи, родстг шой упомянутой задаче Тарского. Данный результат позволяет получить также ряд многообразий, для которых указанные множества рекурсивно неотделимы. Среди них можно выделить, например, многообразие всех я-ступенно медиально нильпотентных Т$-квазнгрупп н многообразие всех п-ступенно медиально нильпотентных квазигрупп Штейнера при п 2 2.

Говорят, что уравнение алгоритмически разрешимо в лупе, если существует алгоритм, определяющий, имеет ли это уравнение решение

в данной лупе или не имеет. Известно, что не все уравнения алгоритмически разрешимы в конечно порожденной нильпотентной группе. В [62] Н.Блакбурн указал некоторые типы уравнений, алгоритмически разрешимых в таких группах, и, в частности, решил проблему сопряженности. В §14 показано, что любое уравнение алгоритмически разрешимо в конечно определенной КЛМ, откуда также следует решение проблемы сопряженности в такой лупе.

В §15 доказана финитная аппроксимируемость некоторых луп. Например, финитно аппроксимируемой является полициклическая луна Муфанг. Также изучено строение разрешимых луп Муфанг, обладающих свойством финитной отделимости. В частности, доказано, что разрешимая лупа Муфанг с условием максимальности для подлуп финитно отделима и, тем самым, доказано существование алгоритма для решения вопроса о вхождении элемента в подлупу для нильпотентных луп Муфанг данной ступени нильпотентности.

Литература

[1] Мальцев А.И. О включении ассоциативных систем в группы, I. Матем., сб., 1939, б, N2, 331-336.

[2] Мальцев А.И. О включении ассоциативных систем в группы, И. Матем., сб., 1940, 8, N2, 251-263.

[3] Мальцев А.И. Квазинримитивные классы абстрактных алгебр.

- Докл. АН СССР, 1956, 108, N2, 187-189.

{41 Мальцев А.И. Подпрямые произведения моделей. - Докл. АН СССР, 1956, 109, N2, с. 264-266.

[5] Мальцев А.И. Несколько замечаний о квазимногообразийх алгебраических систем. - Алгебра и логика, 1966, 5, N3, с. 3-9.

[6] Мальцев А.И. Об умножении классов алгебраических систем.

- Снб. матем. ж., 1967, 8, N2, с. 346-365.

[7] Мальцев А.И. Универсально аксиоматизируемые подклассы локально конечных классов моделей. - Сиб. мат. ж., 1967, Т5, с. 10051014.

[8] Мальцев- А.И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логики. - Тр. междунар. конгресса математиков (Москва, 1966), М.: Мир, 1968, с. 217-231.

[9] Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

[10] Smirnov D.M. Varieties and quasivarietles of Algebras. -Colloquia Math. Soc. J. Bolyai (Universal Algebra), 1977, 29, p. 745751.

Ml] McKinsey G.C.C. The decesion problem for some classes of sentences without quantifiers. - J. Symbol Logic, 1943, 8, 61-76.

[12] Новиков П.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп. - Труды Мат. нп-та АН СССР, 1955, 44, с. 1-143.

[13] Birkhoff G. Universal Algebra. - Proc. Firs Canadian Math. Congress (Monreal, 1945), 1946, The Univers, of Toronto Press, p.310-326.

[14] Горбунов В.А. Строение решеток многообразий и решеток кназимногообразин: сходство и различие, I, II, III. - Алгебра и лотка, 1995, 34, N2, с. 142-168; 1995, 34, Т 4, с.369-397; 1995, 34, N6, с.646-666.

[15] Taylor W. Equational Logic. - Houston J. Math. Special survey issue, 1979, 83 p.

[16] McNuIty G.F., Shallon C.R. Inherently nonfinitely bases finite algebras. - Universal Algebra and Lattice Theory: Lecture Notes in Math.

- Berlin: Springer, 1982, N1004, p. 206-231.

[17] Пинус А.Г. Конгруэнц-модулярные многообразия алгебр. -Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1986, 131 с.

[181 Адян С.М. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975.

[19] Клейман Ю.Г. G тождествах в группах. - Труды Моск. матем. об-ва, 1982, т. 44, с. 37-74.

(201 Клейман Ю.Г. О порождаемости многообразий групп некоторыми классами групп. - Сиб. матем. ж., 1982, 23, N6, с. 117-132.

[21] Vaughan-Lee M.R. Uncontably many varieties of groups. -Bull. London, Math. Soc, 1970, 2, p. 280-286.

[22] Ольшанский А.Ю. Условные тождества в конечных группах.

- Сиб. матем., 1974, 15, N6, с. 1409-1413.

[23J Санду Н И. Бесконечно неприводимые системы тождеств коммутативных луп Муфанг и дистрибутивных квазигрупп. Штепнера.

- Изв. АН СССР, сер. мат., 1987, т. 51, N1,171-188.

[24] Клейман Ю.Г. О некоторых вопросах теории многообразии групп. - Изв. АН СССР, сер. матем., 1983, 47, N'1, с. 37-74.

[25] McKennie R. Some interactions between group theory and the general theory of algebras. - Springer Verlag, 1990. - (Lecture Notes in Mathematics, 1456).

[26] Ольшанский Л.Ю. О некоторых бесконечных системах тож-дестп. - труды семинара им. И Г. Петровского,' 1978.-N3, с. 139-146.

[27] Белкин В.П. Квазитождества конечных колец и решетки. -Алгебра и логига, 1978, 17, N3, с. 247-259.

[281 Dziobiak W. Three questions on finitely based quasivarieties. -Torun, 1990 (Preprint).

[29} Горбунов B.A. Квазнтождества двухэлементных алгебр. -Алгебра и логика, 1983, 22, N2, 121-127.

[30J Pigozzi D. Finite bases theorems for relatively congruence distributive quasivarieties. - Trans. Amer. Math. Soc., 1988, 310, N2, p. 499-533.

[31] Горбунов B.A. Покрытия в решетках квазимногообразпй к незавнсимогоая аксиоматизируемость. - Алгебра и логика, 1977, ¡0, N5, 340-369,

[32] Федоров А.Н. О подквазимногообразиях нильпотентных минимальных неабелевых многообразий групп. - Снб. матем. ж., 1980, 21, N6, с. 117-131.

[33] Туманов В.И. О конечных решетках, не имеющих независимого базиса квазитождеств. - Матем. заметки, 1984, 36, N1,

' с.625-634.

[34] Тропик М.П. О конечных псевдобулевых и тонобулевых алгебрахб не имеющих независимого базиса квазитождеств. - Алгебра и логика, 1988, 27, N1, с. 79-99.

[35] Горбунов В.А., Туманов В.И. Строение решеток квазимногообразий. - Труды Ин-тамат. СО АН СССР, 1982, 2, 12-44.

[36] Адаричева К.В. и Гобунов В.А. Оператор эквационального замык- тня и запрещенные полудистрибутивные решетки. - Сиб. мат. ж., 1989, т.ЗО, N6, с.7-25.

[37] Адаричева К.В. и Гобунов В.А. Строение конечных решеток квазимногообразпй. - ДАН СССР, 1990, 310, N3, с.525-528'.

[38] Палютнн Е.А. Описание категоричных квазимногообразий. -Алгебра и логика, 1975, 14, N.2, с. 145-185.

[39] Dixon P.G. Classes of algebraic systems defined by universal Horn sentences. - Algebra Universalis, 1977, 7, N.3, p. 315-339.

[40] Pasini A. On the l°-order translations of the theory of the geometrical closure structures. - Bulletino U.M.I., 1981, 18-B, N,5, p.217-230.

[411 Рыбаков Б.В. Разрешимость no допустимости модальной системы Grz и интуиционистской логики. — Матем. сб., 1985, 128, N3, с.321-339.

[42] Рыбаков Б.В. Разрешимость по допустимости модальной системы Grz и интуиционистской логики. - Изв. АН СССР, 1986, 50, N3, с. 98-616.

[43] Gorbunov V.A., Kravcenko A.V. Universal Horn logic, colourfamilies and formal languages. - General Algebra and Discrete Mathematics, Heldermann-Verlag, to appear.

[44] Barr M. and Pedicchio C. Toppop is a quasivariety. - Cahiers de topologie et geometrie differentiele catégoriques, 1995, 36, N1, p.3-10.

[45] Клоксин У. и Меллиш К. Программирование на языке Пролог. М.: Мир, 1987.

[46] Ковальски Р. Логика и решении проблем. М.: Наука, 1990.

147] Freese R. McKenzie R. Comutator theory for congruence

modular varieties: London Math. Soc., Lecture Notes Ser., N125. -Cambridge a.o.: Cambridge Univers. Press, 1987, 227 p.

[48] Vaughan-Lee M.R. Nilpotence in permutable varieties. -Universal Algebra and Lattice Theory: Lecture Notes in Math. - Berlin: Springer, 1983, ЛИ004, p. 293-308.

[49] Evans T. Identities and Relations in Comutative Moufang Loops. - Jornal of Algebra, 1974, 31, p. 508-513.

[50] Glauberman G. On Loops of Odd order. - Jornal of Algebra, 1968, 8, 393-414.

[51] Glauberman G. and Wright C.R.B. Nilpotence• of ' Finite Moufang 2-loops, J. Algebra, 1968, 8, 415-417.

[52] Bruck R.H. A survey of binary systems. - Berlin - Heidelberg - New York: Springer Verlag, 1958.

[53] Gratzer G, Lattice Theory. First Concepts and Distributive Lattices. - Freeman and Co, San Francisco, 1971.

[54] Куровская тетрадь (неразрешенные вопросы теории vpymi), Новосибирск, 1990.

[55] Petrich M. Certain varities and quasivarieties of completely regular semigroups. - Can. J. Math., 1977, 29, p. 1171-1197.

[56] Будкин А,И. и Горбунов B.A. К теории кна.чимиокюбрн.пш алгебраических систем. - Алгебра и логика, 1975, т. 14, N2, 373-392.

[57] Мальцев А.И. Эффективная неотделимость множества тождественно истинных и множества конечно опровержимых формул некоторых элементарных теорий. - Докл. АН СССР, 1!Ж1, Ш, с.802-805.

[58] Мальцев А.И, Об одном соответствии между кольцами и группами. - Матем. сб., 1960, 50, с. 257-266.

[59] Мальцев А.И. Неразрешимость элементарной теории конечных групп. - Докл. АН СССР, 1961, 138, с. 1009-1012.

[60] Ершов Ю.Л. Об элементарных теориях групп. - ДЛИ 1 СССР, 1972, 203, N6, 1240-1243.

[61] Замятин А.П. Неабелево многообразие групп имеет неразрешимую элементарную теорию. - Алгебра и логика, 1978, г. IV, N1, 20-27.

[62] Blakburn N. Conjugacy in nilpotent groups. - Proc. Amer. Math. Soc. 16(1965), 143-148.

[63] Birghoff G., Bartee T.C. Современная прикладная алгебр.! (пер. на русском). - М:, Наука, 1976, 400с.

[64] Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и лун. М.: Мир,

1967.

[65] Кон П. Универсальная алгебра. - Пер. с англ. - М.: Мир,

1968, 351 с.

Статьи автора по теме диссертации.

{661 Урсу В.И. О киазимногообразии коммутативных луп Муфанг. - Сб. "Исследования по теории бинарных и «-арных квазигрупп". Кишинев: Штииица, 1985, с. 110-122.

(67] Урсу В.И. О лунах Муфанг. - Республиканская научно техническая конференция, посвященная 25-летию образования КПИ им. С. Лазо. Тез. докл., Кишинев, 1989, с. 108.

|68] Урсу В.И. О минимальных квазимногообразиях коммутативных лун Муфанг и дистрибутивных квазигрупп Штейнера. -Международная конференция но алгебре и математической логике, посвященная памяти А.И. Ширшова (Барнаул, 20-25 августа 1991г.). Тез. докл., Новосибирск, 1991, с. 149.

{69] Урсу В.И. Некоторые свойства квазимногообразий коммутативных луп Муфанг. - Республиканская конференция. Тез. докл., Тирасполь, 1990, с. 146.

[70] Урсу В.И. О независимой аксиоматизируемости квазимногообразий коммутативных луп Муфанг. - X Всессоюзная конференция но математической логике. Тез. докл., Алма-Ата, 1990, с.154.

[71] Урсу В.И. О квазнтождествах конечно-порожденных коммутативных луп Муфанг. - Алгебра и логика, 1991, 30, N6, с.726-734.

[72] Ursu V.I. On a criterion of independent axiomatizability of cuasivarieties of Moufang loops. - In the booc: International Conference on Group Theori, Timisoara, 1992, p. 90-95.

[73] Ursu V.I. On equations algoritmically solvable in commutative Moufang loops. - Revue Roumaine de mathematiques purcs et appliquees, 1996, XLI, N7-8, p. 531-534.

[74] Ursu V.I. On some lattices of quasivarieties of commutative Moufang's loops. - Bui. Academy of Science of Moldova, Matem., 1997, N1(23), p. 106-112.

[75] Ursu V.I. Quasivarieties of commutative Moufang loops without independen basis of quasi-indentities. - Bui. Academy of Science of Moldova, Matem., 1998, N2(27), p. 3-15.

[76] Ursu V.l. On finite separability of decitlable Moufang loops. -Syposiura septimum Tiraspolense generalis topologiae et suae applicationum, Chisinau, 1996, p. 224-226.

[77] Ursu V.l. The variety of commutatives Moufang's loops has an independent basis of identities. — Buletin mathématique de la société des sciences mathématiques de Roumanie, 1997, 40(88), N3-4, p. 193-202.

[78] Ursu V.l. On some varieties of locally nilpotent Moufang loops. - 50. Arbeitstagung Allgemeine Algebra (Darmstadt, Germany, 1995), p. 51

[79] Урсу В.И. Об элементарных теориях многообразиях коммутативных луп Муфанг. Второй Сибирский конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике. Тез. докл., Новосибирск, 1996, с. 196.

[80] Урсу В.И. О решетке квазимногообразий коммутативных луп Муфанг. - Алгебра и логика, 1998, N6, с. 700-720.

[81] Урсу В.И. О решетке квазимногообразий коммутативных 3-луп Муфанг. -Республиканская конференция. Тез. докл., Кишинсп, 1996, с. 83.

[82] Ursu V.l. On the lattice of quasivarieties of commutative Moufang loops with the nilpoterce class < 2, 1-Ш. - Деп. n МолдНИИТЭИ 30 декабря 1998, N1631 - M98, N1632 - M98, N1633 -M98, Звс.

[83] Ursu V.l. Qvasiidentities of free commutativ Moufang loop of rang 3. — Congresul al ХШ al Academiei Romane de stiinte çi aria. Tez. rap., Chisinsu, 1993.

[84] Ursu V.l. On identities of nilpotent Moufang loops. - Revue Roumaine de mathématiques pures et appli quees, 2000, XLV, N2. c.

[85] Урсу В.И. Рекурсивная неотделимость множества тождественно истинных и конечно опровержимых формул некоторых элементарных теорий многообразий. - Деп. в МолдНИИТЭИ 23 июня 1998, N1565-M98,31с.

[86] Урсу В.И. Рекурсивная неотделимость множества тождественно истинных и конечно опровержимых формул некоторых элементарных теорий многообразий. - Сиб. матем. ж. (в печать).

(87) Ursu V.I. On varieties of commutative Moufang loops. -International Conference on Universal Algebra and Lattice Theory. Abstracts. Szegeol (Hungary), 19%, p.68.

(881 Crsu V.I. On the lattice of quasivarieties of commutative Moufang loops with the nilpotence class S 2. - International Conference on I.oops'99.Submitted Abstracts. Praha (Cehia), 1999, p.44-45.

Урсу Василий Исакович Алгебраическая . теырип киазз'мпсгообрг.г!;*4. ;:олмутатгашыл луп Муфанг

Автореферат диссертации на соискание ученей степени до::тора ф::зшсо-математических наук

Подписано в печать 10.02.2000. Формат 60x84 J/16. Печать офсетная. Усл. п«ч. ji. 1;5.- Уч.-изд. л. i,0. Тираж 70 ?кг. Закйч № 11.

.U.T.M., Chi^au, bd. § telan ce,i M?re si Sfaní, 16G. Sec{ia de redactare, editare gi multiplicare a U.T.M. Chijinüu. str. Síudenplor 11.

I. ВВЕДЕНИЕ

§1. Общая характеристика .работы . —.Л.,.,.,,.

§2, Необходимые понятия, замечания, обозначения ж предварительные результаты п. вкштшощшшт- -теорий ;;

§3.' Тождества нил&по^еншой' лупы Муфанг. :

§4, Многообразие Клм:ш4еет;11езав11сш*.£ьш-6азжс тождеств

§5. Многообразия финитвр"ашцюксжзжруемых КЛМ ш. ■ квазимшационалы^ вз

•;§б. •-Квазишждества.конечношрождещык■жошзутшшвш^. луп;Муфавг г;;.,>:,.,-.,,.:,:,.и,. Л. Л .-.л.63 ;

§7. Квазитождества абсолютно свободной.кшшутаигБной лупы

Муфанг .;ЛЛ!.

§8, Решетка квазимйогообразий наименьшего неассоцнативного многообразия коммутативщ^.дфп Муфанг.

§9. Квазимногообразня коммутативных' луп Муфанг, не имеющих независимого базиса квазитождеств •.

§10. Решетка квазшчногсюбразнй 2-яшшлотшгпшх коммутативных луп Муфанг .109

§11. О некоторых решетках квазнмногообразнй: коммутативных 3-луп Муфанг-".".".7.Л.,.,.Л,,,.,,,.,,,,.,.,,.

IV.ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРИЙV,.,,.

§12, Об одном соответствии между тернарными кольцами и коммутативными-лупами

§13. Рекурсивная неотделимость множества тождественно истинных ж множества конечно опровержимых формул некоторых:элементарных: теоржй.мнозжйрйзш. ,Л',. „. Л 65.

V. ДОПОЛНЕНИЕ"::". АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ й ФИНИТНАЯ ОВДЕЛЙМОСТЬ:' РАЗРЕШИМЫХ:. ДУН 1Л'

МУФАНГ.Л.Л.179.

§14. Разрешимость у равнений в КЛМ- .V.',. .V.'. '.".-,,„. Л.Л. •

§15. О финитной отделимости разрешимых луп Муфанг