Об одном классе линейных представлений луп Муфанг тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

■ т ш

Специализированный совет К 053.01.02

(- !

и 1.1

На правах рукописи

¿- Д и

ЛОГИНОВ Евгений Константинович

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЛУП МУФАНГ

01.01.00—Математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степсми кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина.

Научный руководи тел ь—

доктор физико-математических паук, профессор С. В. ПЧЕЛИНЦЕВ. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор М. М. ГЛУХОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент П. О. МИХЕЕВ.

Веду ща я организация —

Ивановский государственный университет.

в ____ ____ _ ________ _____,___________г____________ ________

К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата паук в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В. И. Ленина (адрес университета: Москва, 119435, Малая Пироговская, 1, МПГУ имени В. И. Ленина).

Автореферат разослан « Я » Н-^Я^аЛ 1993 г.

Ученый секретарь

специализированного сов

Г. Л. КЛРАСЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОГН

Актуальность теш.

Луш Муфанг возникли при исследовании в 30-х годах недезарговых плоскостей. Сама Муфанг тогда жз доказала основную теорему о таких лупах: в луда Муфанг любые два элемента порождают ассоциативную подлупу (т.е. грушу). В 40-х годах подверглись интенсивному изучению коммутативные лупы Муфанг, строение которых оказалось близким к строению абеловнх груш. Итоги 50-летнего развития теории коммутативных луп Муфанг подведены в обзоре Смита1.

В некоммутативном случав положение гораздо более сложное. Уке выяснение строения конечных луп небольших порядков требует значительных усилий. Чейн и Щшюгфэльдер2 нашли наименьшую неассоциативную лупу Муфанг. Эта лупа порядка 12 с тремя образующими. Чейн3 перечислил все лупы Муфанг порядков <64. Обнаружено, что в них справедлива теорема Лагранжа и существуют сшювские подлупы.

В последние года активно изучались лупы, обладающие не ассоциативными альтернативными луповыми кольцам над некоторым кольцом коэффициентов Я характеристики "2 (так называемые Я/1-лупы Муфанг). Чейн и Гудер4 показали, что если ял-лупа Муфанг периодическая, то 'она представила в виде прямого произведения абелевой группы и неразложимой (т.е. не прэдставимой в виде прямого произведения собственных подлуп) ЯИ-лупы Муфанг, а любая неразложимая периодическая ял-лупа Муфанг является ¿-лупой.

Основополагающей работой теории аналитических луп Муфанг

1. Smith J.D.H. Conmutative Houfang loops: the firat Б0 years // Algebras, Groups and Gcom. 1985. V.2, N3. P.209-234.

2. Chein 0., Pflugfelder H.O. The smallest Mouiang loop // Aroh. Math. 1971. V.22, N6. P.573-57S.

3. Chein 0. Moufang loops of email ordor. II // tëemoirs of the

Amer. Math. Soo. 1978. V.13, N197. P.1-131.

4. Choiu 0., Goortaire E.G. Loopa whoeo loop ringe are alternative // Commun. Algebra. 1986. V.14, N2. P.293-310.

является статья Мальцева5. В ней показано, что касательная алгебра аналитической лупы Муфанг не обязана быть алгеброй Ли: вместо тождества Якоби в касательной алебре аналитической лупы Муфанг имеет место, более общее тождество, называемое теперь тождеством Мальцева.

Кузьмин6 доказал, построив формальную лупу Муфанг» что любая конечномерная алгебра Мальцева над К может служить касательной алгеброй некоторой локальной лупы Муфанг. •

Результат Кузьмина был усилен Кердманом7. Любая локальная аналитическая лупа Муфанг оказывается локально изоморфной некоторой односвязной аналитической лупе Муфанг в целом. Последняя разлагатся в полупрямое произведение односвязной полупростой подлупы и односвязного разрешимого нормального делителя.

Общее понятие представления линейной алгебры восходит к С.Эйленбергу8. Введенное понятие окйзалось весьма полезным при изучении строения альтернативных, йордановых и мальцевских алгебр. Достаточно вспомнить работы Шафера, Джекобсона, Маккриммона, Ямагути, Жевлакова, Кузьмина, Филиппова, Карлсон, Гришкова, Элдуке9.

Напротив, теория представлений квазигрупп по существу не разработана. Известные автору попытки построения такой теории

5. Мальцев А.И. Аналитические лупы // Матем. сб. 1955. Т.36, N3. С.569-576.

6. Кузьмин E.H. О связи между алгебрами Мальцева и аналитическими лупами Муфанг // Алгебра и логика. 1971. Т.10, N1. С.3-22.

7. Кердман Ф.С. Об аналитических лупах Муфанг в целом // ДАН СССР. 1979. Т.249, N3. С;533-Б36.

8. Ellenbarg S. Extensions of general algebras // Ann. Soo. Polon. Mat. 1948. V.21, N1. P.125-134.

9. Кузьмин E.H., Шестаков И.П. Неассоциативнш структуры // Итоги науки и техн. Совр. пробл. .матем.. / ВИНИТИ 1990. V.57. С.179-271.

(Баталии10, Нестеров и Степаненко11, Паал12) предпринимались, в значительной мере, в связи-с возможностью применения квазигрупп в геометрии и физике, и не затрагивали вопросов строения квазигрупп.

Поэтому введение понятия линейного представления квазигруппы, аналогичное понятию представления линейной алгебры, и применение теории представлений к изучению строения луп Муфанг, естественно и актуально.

Цель работы: изучение линейных представлений луп Муфанг.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Описаны все точно представимые (т.е. обладающие точным представлением) лупы Муфанг. Доказано, что неассоциативная лупа Муфанг в вкладывается в лупу обратимых элементов алгебры Кэли-Диксона тогда и только тогда, когда лупа в обладает точным конечномерным неприводимым представлением.

2. Проведена классификация неассоциативных ^-регулярных луп Муфанг (т.е. неассоциотивных луп Муфанг, обладающих г-регулярным представлением в классе всех луп Муфанг).'

3. Для конечных р-регулярных луп Муфанг построена теория, содержащая в себе основные положения теории представлений конечных групп. Описаны формальные линейные оболочки таких луп.

4. Найдена связь между линейными представлениями локальной аналитической лупы Муфанг и ее касательной алгебры Мальцева. Доказано, что всякая компактная разрешимая аналитическая лупа Муфанг является абелевой группой.

Диссертация имзет теоретическое значение. В ней

10. Еа":р;Ип I.A. Quasigroup oonstruotion and lirst olasB ccnstraintu // .Т. Uath.Fhys. 1981. V.22, НЭ. P.1837-1850.

11. Нестеров А.И., Степаненко в.А. О методах не ассоциативной алгобры в геог,!<зтр:га п физике // Институт физики СО АН СССР.

Препринт N4001*. Красноярск, 1936. 48с.

13. Паол ЭЛ. Введение и Нуфанг-симмэтрию // Институт физики АН Эстонской СССР. Препринт Т-42. Тарту, 1987. 69с.

определяется понятиз линейного представления лупи Муфанг, которое оказывается полезным при изучении строения луп Муфанг и их формальных линейных оболочек. Все теоремы в диссертации новые, доказаны впервые.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались:

1) на Третьей Международной конференции по алгебре памяти М.И.Каргаполова в Красноярске (23-28 августа 1993 г.);

2) на конференции "Гравитация и электромагнетизм" в Минске (25-27 июня 1991 года);

3) на заседании математического общества г.Иваново (1993 г.);

4) на семинаре "Избранные вопроси алгебры" в МГУ (1992 г.);

5) на семинаре "Геометрия и физика" в МГУ (1991 г.);

6) на семинаре "Нелинейная геометрическая алгебра" в институте Дружбы народов (1991 г.),

7) на алгебраическом семинаре в МИГУ (1990, 1993 гг.).

Публикации.

Содержание диссертации опубликовано в пяти статьях, список которых находится в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация . состоит из введения, пяти параграфов, приложения и списка литературы. Текст изложен на 75 страницах. Список литаратурц включает 61 наименование.

В §1 вводится понятно линейного представления группоида в классе группоидов. Пусть в - группоид, 'х - некоторый класс группоидов и и - линейное пространство над полем Р. Пусть на к заданы обратимые линейные преобразования р :х*ха. \ :х*ах для всех аеб. На множестве 0=01! определим умножение (а,х)(Ь,у)=(аЪ,хЪ+ау) ■ полагая хЬ=грь и ау=1;\ . Полученный группоид Ъ будем называть расщетияетл пулевш расширение* в с помощью и. Если отображения р и X. сопоставляющие элементу аей операторы ра и \ соответственно, таковы, что группоид в принадлежит классу ж, то и назовем й-яодулея в классе х, а упорядоченную пару отображений группоида С в группу

автоморфизмов линейного пространства К - машОния представлениел группоида а в классе группоидов х. Это представление называется конечномерным, если пространство и конечномерно. Далее рассматриваются примеры линейных представлений квазигрупп, луп, луп Бола и луп Муфанг.

В 52 описываются все точно представшие (т.е. обладающие точным представлением) лупы Муфанг. Доказано, что лупа Муфанг является точно предстовимой тогда и только тогда, когда она вкладывается в лупу обратимых элементов некоторой альтернативной алгебры. Доказано, что неассоциативнал лупа Муфанг в вкладывается в лупу обратимых ;лементов алгебры Кэли-Дшссона тогда и только тогда, когда лупа в обладает точным конечномерным неприводимым представлением.

В §3 классифицируются неассоциативные /'-регулярные лупы Муфанг (т.е. неассоциативные лупы Муфанг, обладанию ^-регулярным представлением в классе всех луп Муфанг). ?.'ы называем такие лупы регулярными лупами Муфанг. Класс регулярных луп Муфанг совпадает с классом НЛ-луп (т.е. луп, обладающих неассоциатившми альтернативными луповнми кольцами над некоторым кольцом коэффициентов [{ характеристики *2).

Для произвольной аболевой группы содержащей элемент е порядка 2, определяется регулярная лупа Муфанг Ь=КА,е,а,Ь,с),

где a,b,c - произвольные элементы из А, задаваемая множеством порождающих элементов и определяющих соотношений вида L=<<4f/,g,hin,9,2>, где П - множество определяющих соотношений группы /1, 0 - множество единичных коммутаторов и ассоциаторов, связывающих элементы f,g,h с элементами группы /1 и Z={f=a,i=b,hz=c,[f,gl=[g,M=lh,f]=(f,g,h)=e}. Доказано, что произвольная регулярная лупа Муфанг изоморфна подходящей лупе вида L=L(A,e,a,b,c) ■ При этом, лупы Ш^е^а^Ь^с, J и КАг,е2,аг,Ъ2,сг) изоморфны тогда и только тогда, когда существует изоморфизм <р:А1*Аг, такой, что е,Ф=ег и тройка С^ф.г^ф.сд; сравнима по модулю а\ (по подгруппе группы А2, порожденной квадратами элементов Аг ) с одной из троек (а,Ь,с), где символы а,Ъ,с различны и обозначают элементы аг,Ъг,сг,аг Ъг ег, Ьг сг ег, сг аг е?, аг Ъг сг •

В 54 исследуются линейные представления конечных регулярных луп Муфанг. Для таких луп построена теория, содержащая в себе основные положения теории представлений конечных групп. Доквзано, что всякий ¿-модуль конечной неассоциативной регулярной лупы Муфанг L порядка 111=2пр, где пЛ4 и р>1, вполне приводим над полем F, характеристика которого не делит |Ы. Всякий неприводимый L-модуль или одномерен или является регулярным t)(a,p,^-модулем. Число неизоморфных одномерных ¿-модулей лупы ¿ не более 2п~1р. Число неизоморфных регулярных ®fa, р,7.)-модулей лупы L не более 2п~*р. Над шлем характеристики 2 конечная неразложимая регулярная лупа Муфанг обладает единственным неприводимым представлением - одномерным.

Отсюда получаем описание формальных линейшх оболочек коночных неассоциативных регулярных луп Муфанг: формальная линейная оболочка Till конечной нэассоциативной■регулярной лупы Муфанг ¿ порядка \Ы=2пр, где г£4 и р>1, над полем F, характеристика которого не делит ILI, разлагается в прямую сумму 2п~1р одномерных вдоалов и 2п~'р идеалов, изоморфных алгебре Кода-Диксона нпд F; формальная линейная оболочка коночной нэассоциатиЕной регулярной иеразлоатаой лупи Муфанг над алгебраически замкнутым полом характеристики г разлагается в полупрямую сушу радикала и одномерного векторного пространства.

В 55 изучаются лилейные представления аналитических луп Муфэнг. Доказано, что всякий С-модуль локальной аналитической

лупы Муфанг G является ^-модулем своей касательной алгебры Аа. Наоборот, всякий Ла-модуль конечномерной алгебры Мальцева Аа над полем 03 или С является G-модулем локальной аналитической лупы Муфанг в. Указанная связь между линейными представлениями аналитической лупы Муфанг и ее касательной алгеброй Мальцева позволяет усилить известное утвервдеше о компактной разрешимой груше Ли: всякая компактная разрешимая аналитическая лупа Муфанг является абелевой группой.

В приложении понятие представления простой аналитической лупы Муфанг используется для описания релятивистских эффектов. Доказывается влокимость группы Лоренца в мультипликативную группу обратимых элементов расщепляемой алгебры Кэли-Диксона над полем действительных чисел. Найденный изоморфизм позволяет эффективно вычислять произведения конечных непараллельных бустов. Простота и естественность полученных формул показывают, что использование представлений аналитических луп Муфанг в релятивистской кинематике в отдельных случаях предпочтительней обычно используемого теоретико-группового подхода.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С.В.Пчелинцеву за постановку задачи и внимание к работе. Автор благодарит Д.И.Молдаванского и Б.Н.Фролова за полезные обсуждения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Логинов Е.К. Методы альтернативной алгебры в специальной теории относительности // ТМФ. 1991. Т.86, N2. С.294-299.

2. Логинов Е.К. Точное произведете п бустов // ТМФ. 1991. Т.86, N3. С.334-337.

3. Логинов Е.К. Линейные представления луп Муфанг // Москва, 1991. 45с. Деп. в ВИНИТИ 21.06.91, N2619-B91.

4. boginov Е.К. On linear representations of Mouíang loops // Comm. Algebra. 1993.

5. Loginov E.K. About one olasa of linear representations // Int. Algebraic Conf., Theses of reports. Krasnoyarsk. Aug. 23-28, 1993.