С-эквивалентности в некоторых классах квазигрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГБ ОД

О ^ Г5Щ ¿. и Ы»1>

На правах рукописи

РАСУЛОВ Худойберди Сотиволдиевич

С-ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ КВАЗИГРУПП

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете им В.И. Ленина на кафедре алгебры.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ГЛУХОВ М.М.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор АНАШИН B.C.

кандидат физико-математических наук, доцент МАТВЕЕВ O.A.

Ведущая организация - Российский государственный университет дружбы народов.

Зашита диссертации состоится "[^/.."^^.^^..^.^^....ХШЬ г.

в.....(Л^л...час.....г.ТТТТ......мин. на заседании Диссертационного Совета К

053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете им. В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, МПГУ, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В.И. Ленина (адрес университета: Москва, 119435, ул. Малая Пироговская, д. 1, МПГУ им. В.И. Ленина).

Автореферат разослан «... 199- С

года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета КАРАСЕВ Г.А.

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТВЯКТт РАБОТЫ

Поставовка задачи. Актуальность теш. Роль конгруэнций в алгебре хорошо известна. Большую роль они играют и в теории квазигруш я луп. Квазигруппу можно рассматривать как множество Я с одной бинарной операцией умножения (•), а также, как множество с тремя бинарными операциями (♦), (/), (\), где (/) и (\) соответственно левая и правая обратные операции к (•). в соответствии с этими двумя точками зрения различаются в конгруэнции квазигрупп. Конгруэнции квазигруппа Я как алгебры о тремя операциями называются нормальными конгруэнциями квазигруппы Я. В общем случае нормальные конгруэнции более интересны, поскольку факторквазигруппы го ним являются квазигрушами, тогда как факторквазигрутша по обычной конгруэнции может не быть квазигруппой. Однако для конечных квазигрупп понятия конгруэнции и нормальной конгруэнции совпадают. Нормальные конгруэнции в квазигруппах изучались многими авторши, Ф.Кнокамействром, С163, Г.Н.Гарри-соном.ИЗ], Е.Бвек,115Ь Г.Б.Белявской, 153, В^А.Бегларянш, 12-4], Я другими.

Для конгруэнции в квавигрупш <? выполняется равенство

где 1а1& - класс по конгруэнции в (Э-класс) с представителем а.

Для конечной квазигруппы ато означает, что ее таблица Кэли ври определенных расположениях элементов входной строки и входного столбца распадается на более мелете латинские квадраты из элементов в-классов.

В работе 171 это свойство конгруэнции положено в основу нового понятия, обобщавдего понятие конгруэнции, я названного автор«« Т-рэзбиениам квазигруппы. Яз всех Т-разбиений особо выделяются правильные слева (справа), правильные и однородные Т-разбиения. В работе [8] указанные свойства Т-разбиений используются для классификации квазигрупп и ставится задача изучения соответствующих классов квазигруш. В частности, ставится задача описания квазигрупп, в которых все Т-разбиения того или иного типа являются конгруэнциями.

В диссертации из всех Т-разбиений рассматриваются правильные и однородные Т-разбиения,как наиболее близкие к контру энциям.

Как указано в С73» любое правильное Т-разбиание квазигруппы <} определяется двумя отношениями эквивалентности 6 и £

6 на Я, связанными условиями:

!а)в-Ъ » а-[Ъ)в*. (1)

Такие отношения эквивалентности были ранее введены и рассмотрены в работе [б]. При этом отношение е было названо С-эквивалентносты> квазигруппы £¡,0 6*- сопряженным с ним отношением зквивалентности. Однородному Т-разбиению соответствует случай, когда в условии (1) отношения вив совпадают. В работе [63 в этом случае 6 названо особой С-эк-вивалентностьй.

Заметим, что хотя понятие Т-разбиевяя квазигруппы и является обобщением конгруэнции, вместе с тем о понятиях С-эквивадентнсюти и особой С-зквивалевтностн в общем случае этого сказать нельзя. Конгруэнция бесконечной квазигруппы может и не быть особой С-эквивалентностью. Однако каждая конгруэнция конечной квазигруппы является особой С-аквивалвнтностью и значит можно сказать, что для конечных квазигруш понятия С-эквивалэнтности и особой (¡-эквивалентности являются обобщениями понятия конгруэнции.

В диссертации, в основном рассмотрены С-аквивалентности и особые _ С-аквивалентности конечных квазигрупп. В этих терминах задачи поставленные в [83 заключаются в описании тех классов квазигрупп, в которых множество всех конгрувнций совпадает с множеством С-эквивалентностей или с множеством особых С-эквивалентностей, а также класса квазигруш, в которых множество С-эквивалентностей совпадает с множеством всех особых С-эквивалентностей.

В общем случае эти задачи сложны и остаются пока окфытими. Однако для некоторых классов квазигрупп те ми иные из указанных вопросов удается решить. Так, например, в группах особые С-аквивалентности совпадают с контруэнциями, в условие совпадения С-эквивалентностей и особах С-эквивалентностей выделяет класс всех абелевых и гамильтоновых групп

t8J. Известно там», что в коммутативных квазигрушах все С-эквивалентности являются особыми С61.

В теории квазигруш зачастую та ели иные классы квазигруш выделяются ш некоторой своей близости к группам. Одним из таких популярных классов квазигруш является класс левых (правых) обратимых квазигруш, или короче, левых (правых) ХР-квазигруш.Класс левых IP-квазигруш выделяется тождеством

h^xHxyhy, (Z)

где ftj - некоторая подстановка основного множества. Аналогично тождеством

(Ц})Пг(у)^г (3)

выделяется класс правых ГР-квазигрупп. Квавигрушы, в которых выполняются оба тождества (2), (3), называются обратимыми квазигруппами или ГР-квазигруппами [11.

Класс обратимых квазигрупп содержит такие интересные классы, как квазигруппы Муфанг, 25-квазигруппы, квазигруппа Штейнера, лупы Бола (1), СЯ-квазигрулпн 1103.

В tSl доказано, что в левых (правых) IP-лупах все особые С-эквивалентности являются нормальными кангруаяцияни, хотя для левых (правых) IP-квазигруш »то неверно.

Диссертация посвящена изучению С-эквивалеятностей и особых С-эквивалентностей односторонне обратимых квазигруш, ВА-щи Муфанг и одного класса эластичных квазигруш.

Отношения С-вквнвалентности и особой С-эквивалентности, как и конгруэнции, могут оыть использованы для изучения строения квазигруш, а также для решения различных алгоритмических задач, например, для решения уравнений в заданной квазигруше гп. В овязи с этим рассматриваемые в диссертации задачи являются актуальными.

Цель диссертации - исследование С-эквивалентностей и особых С-эквивалентностей конечных квазигрупп из некоторых, часто встречающихся классов квазигруш; в частности: описание С-эквивалентностей и особых С-эквивалентностей, нахождение условий на рассматриваемый класс квазигруш, при которых все С-эквивалентности или все особые С-эквивалентвости являются контрузнциями.

Метода исследования. в диссертации использовались метода теории квазигруш и комбинаторного анализа.

Основные результата. 6 диссертации:

1. Найдены условия на подстановку Ьг при которых квазигруппа (Я,-) порядка о тождеством Лг(х)(а

имеет С-вквивалентность в с 6-классами порядка

2. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых особая С-акшюалентность 6 конечной квазигруппы (Я,-) с тождеством Н1{х)(ху)=у ((ху)Ъг(у)=х) является конгруэнцией.

3. Найдены условия ва число п и подстановки 1гг, ори которых все особые С-еквивадентности квазигрупп порядка я с тождествами (2) в (3) являются контруэнциями.

4. Дано полное описание С-аквивалентнастей и особых С-эквивалентностей любой конечной НД-лупы Муфанг

5. Доказана, что в квазигруппах с тождеством

где 7г - подстановка основного множества, все особые С-эквивалентности являются конгруэнциями, а в левых лупах с этим тождеством конгруэнциями являются и все С-эквивалентности.

6. Исследованы теоретико-множественные соотношения между в-классами и 9*-классами нетривиальных о-еквивалентностей эластичных квазигрупп с тождеством

Ц}>£=у.

которые могут быть использованы как для построения таких квазигруш с заданными С-эквивалентностяыи, так и для нахождения С-аквивалентностей в указанных квазигруппах.

Научная новизна, все результаты которые приводятся в диссертации, являются новыми.

Теоретическое я практическое значение. Полученные результаты имеют теоретический характер и могут быть использованы в дальнейших научных исследованиях связанных с изучением строения отдельных классов квазигрупп и их свойств,

_ 7 -

а также, в комбинаторном анализе.

Апробация работ. Результата диссертации докладывались на Третьей международной ковфереяции по алгебре памяти М.И.Каргаголова в Красноярске (23-28 августа 1993 г.), на Пятом межгосударственном семинаре по дискретной математики и ее приложениям в МГУ (февраль 1995 г.), на Республиканской научной конференции "Извне теорема молодых матвматиков-94" в Наманганском Госуниверситете (1994 г.), на алгебраических семинарах в Московском Госпедунивврситете (1992-1995 гг.).

Публикации, по теме исследований опубликовано пять работ. В диссертацию включены результата четырех работ, дав в соавторстве о М.М.Глуховым.

Объем я структура работ. Диссертационная работа изложена на 81 страницах, состоит из введения и четырех параграфов включая нулевой параграф, где приводятся основные определения и необходимые общеизвестные факты, касающихся- темы диссертационного исследования. Список литератур! содержит 37 источников.

В диссертации прията нумерация определений, теорем и формул по параграфам, начиная с первого параграфа.

Содержание работы.

В §0 приводятся необходимые определения и результаты из теории квазигрупп.

В §1 изучаются О-эквивалентности и особые С-эквивалент-ности конечных квазигрупп с тождеством (2) или (3). Заметим, что подстановки Иг, Лг всегда являются инволюциями [1].

Оказывается, что 0-классы любой О-эквивалентности конечной ГР-квавигрушы с тождеством (хуЩу)*х определенным образом связаны с их образами при действии подстановки 7г. В связи с этим вводятся понятия 6-равномерной и 6-павуравюмерной подстановки множества.

Пусть в - отношение эквивалентности на конечном множестве 0 с равноыощными классами эквивалентности. Эти классы мы назовем 8-классами и обозначим через ,...,Ая-Пусть Л - подстановка-инволвдия на в. Обозначим: |С?|=л, А^а]^, при любом аеА(, и А^^^А^ для всех

Определение 2.1. Подстановку И множества С назовем Ъ-равномернай, на подмножестве ОсЦ, если П есть объединение Э~класоов, Н(х)=х для всех яефЛ, |=<3 для любых А^А,сЯ, и в-полуравномерной на ОаЗ, если 0=Я,Шг, П,,Пг -

объединения 9-кдассоб, бдя всех хсОЧО, Оля

бсег и 4^=0 Зля всех иш А(,А^г.

При том параметры й и Х^к/б. в обоих случаях будем называть соответственно индексом и степенью ^-равномерности подстановки п.

Доказывается основная теорема о О-вквивакактаостях конечных односторонне обратимых квазигрупп.

Теореиа 1.1, Пусть В - С-экви&алентость квазигруппы (Я,-) порядка п=Щ с в-классами порядка кис тождеством (2). Тогда

1) Подстановка л разлагается в произведете независимых в~равномерных и д-полуравномерных подстановок на подходящих подмножествах из <3, примем подмножество в-равномеркых сомножителей не пуст;

2) Если - все в-равномерные сомножители подстановки Н соответственно на подмножествах П,,... ,Пт, та все в-классы хотя бы одного из множеств (21, 1=1 содержат неподвижные почки подстановки Н.

В качестве следствия от этой теоремы в лемм, доказанных по ходу доказательства теоремы, получаются следующие утверя-ния.

Следствие 1. Пусть 6 - особая С-эквивалентость квазигруппы (0,-; порядка с е-классами порядка кис тождеством (2). Тогда

1) Подстановка К разлагается, в произведение невависижоа О-равномврных и Ъ-полуравномеркых подстановок на подходащх подмножествах г^з 0, примем подмножество ^-равномерных

сожкожииэлей не пусто;

2) Бели - все В-равнояерные сомножители

подстановки Ь соответственно на подмножествах , по

I п

все В~кюссы хат бы одного из множеств П{, .....т,

содержат неподвижные почти, подстановки 1ъ.

Следствие 2« Особая С-экв/ивалетност в конечной квазигруппы (Я,-) с вшвеаявоин Г?; является конгруэнцией тогда и жоиыю тогба, когда Л - произведение ^-равномерных и в-полуравнамерных подстановок степени инцидентности 1,

Следетше 3. Особая С-эквивалентость В конечной квазигруппа (Я,-) о тождеством (2) является конгруэнцией тогда и только тогда, когда подстановка Ъ сохраняет отношение 9.

Следствие 4. В любой квазигруппе о тождеством х-ху-у (ху'у*а) каждая особая С-эквивалетнасть является конгруэнцией.

Следствие 5. В любой ТВ-квазигруппе каждая особая С-эквивалентость является конгруэнцией.

Следствие 6. В любой СВ-квазиеруппе каждая особая С-эквивалетность является конгруэщией.

Следствие 7. Если конечная 1Р-квазигруппа с тождествами (2) и (3) имеет особую С-эквивалентость 9, по каждая из подстановок Лг, представляется в виде произведения независимых в-равномертх и в-полуравномерных подстановок одного и того же индекса.

Следствие 8. Яусть (Я,-} - конечная ТВ-квазигруппа порядка п с тождествами (2) и (3) и й минимальный собственный делитель числа п. Если хотя бы одна из подстановок 7гг, 7гг имеет менее й или более п/й неподвижных точек, то любая особая С-эквиВалентость квазигруппы, ГЯ, ■) является ее конгруэнцией.

В связи с поиском нетривиальных С-эквивалентностей в квазигруппе с тождеством (2) или (3) естественно возникает задача о возможности разложения подстановки Н в произведение независимых 9-равномершх и Э-полуравномершх подстановок для подходящего отношения эквивалентности в с равномощными классами. На этот вопрос отвечает

Теорема 1,2. Пусть Я конечное множество порядка п и П -

подстановка-инволюция на Q. Тогда на Q ложно ааОшь оттенив эквивалентности 6 с в-классажи порядна к, так чтобы h представлялась в Виде h»?iJ...?WiiB+J...hm+e о в-равналерныли и в-полуравнолершли .,hÄ+e соответственно

индекса üt и степеней tt, t=},...,m+a, в пол и только в пол случае, когда выполнятся соотношения

п. в

п - И «v*+ г Цч»tCi -

ist i=1

tt +...+t, *3!(1х)*3т,

где dt ,... ,<2{ суть все нечетные числа среди d1,...,dm.

Рассматривается вопрос существования квазигруппы (Q,*), на конечном множестве Q с заданным на нем подстановкой-инволюцией h и отношением эквивалентности е, с тождеством (2) для которой 6 является особой О-эквивалентностью я доказывается

Теорема 1.3. Пусть на конечная множестве Q заданы подстноЗка-инволхщш h и отношение эквивалентности 6 с равнолощныш в-нлассали, причел h представляется в виде h=h... .hh_,... .h_,_t где

1 да mf í mf в *

1) все сомножители i=i,...fma, имеют одну и ту же отпет в-равнолерност.

2) подстновка h имеет неподвижные почни в каждом б -классе из лножества nt, 1=*,...,к.

Тогда существует левая 1Р~квагигруппа (Q,•) о таждестВол (2) и с особой С-эквивалентостыо 8.

По ходу доказательства описывается алгоритм построения такой квазигруппы.

Заметим, что все утверждения данного параграфа

сформулируются для случая обратима слева квазигрупп. Исходя из симметричных соображений нетрудно видеть, что все они верны и для обратимых справа квазигрупп.

В §2 изучаются ЯА-луш Муфанг. Доказывается, что множество С-эквивалентностей Я4-дуп Муфанг совпадает о множеством ее особых С-эквавалентностей и множеством ее контруэнций. Описывается все подлупа и нормальные подлупы Н4-луп Муфанг.

Hi-лупы Муфанг - это лупы Муфанг, формальные линейные оболочки которых над ассоциативным и коммутативным кольцом характеристики отличной 2, с единицей являются неассоциативными альтернативными алгебрами [121.

Как доказано в [143, произвольная RA-лупа Муфанг L представляется в виде объединения GUGh, где h - формальный символ, a G - неабелевая группа, обладающая следующими свойствами:

1) для любой пары элементов х,у из G равенство ху=ух верно тогда и только тогда, когда x<iZ(G), или yzZ(G), или xyeZ(G), где Z(G) - центр группы в.

2) кошутант G' - циклическая груша порядка 2.

Операция в I определяется равенствами

x>yh*(yx)h, )h,

xh-yh=cy*x,

в которых х,у&, о - произвольный фиксированный элемент из 1(0),

„ Г у, если yeZ(G)

у

I уе, если y£Z(G).

при этом гт^гсв), 0/2(0)&кг*хг, зУ2(Ъ)2кг*кг«хг, где

Кг - циклическая груша порядка 2, коммутант .

Группа С со свойствами 1)-3) имеет центр А индекса 4 и фактор груша О/А изоморфна четверной группе Клейна, т.е.

а,Ь,еи и ег=1, 1 -

единичный элемент группы С?, 193.

Известно, что И 1в, класс С-эквивалентности 6 в лупе <3

- 12 - ':■•.. содержащий ее единицу, является подлупой лупы <3, [61.- Легко видет, что все 9-классы и 6*-классы С-эквивалентности в дуле I исчерпываются левыми и правыми смежными классами по подлупе

соответственно.

Заметам, что обратное утверждение неверно. В дашом случав, не каждая подлупа иццуцирует С-эйяталентность..

В диссертации приводится соответствующий пример.

В связи с этим возникает необходимость описания всех подлуп ЗД-лупы Ыуфанг, которые индуцируют С-эквивалентности или особые О-еквивалентноси.

Следупдами утверждениями описываются все подлупы. ЯА-луп Ыуфанг.

Утверждение 2.1. Любая подлупа 3 М-лут Муфанг I, являвддося подгруппой в группе в, представляется в одном из оледущих видов:В-В, В^Ща^, Н=Шва^В, Я^Щдх^, Я-ВЦГа4ВЦ§ОдВи/§абВ, где В=НГЫ и асА. причем

а%есГ% арг'з, ф(аЬГ1еВ, а%есГ% а|еЪ~1В, ф(аЬГ'еВ,

Утвершщенае г.2. Любая подлупа В М-лут Муфанг Ъ, нв являющаяся подгруппой группа С, представляется в однол из следующих биЗов; Я=В1)аЛ-В, Я=ВЦГа,вииЛ*ВииЛ',Га,В, Ш^т^г^Мг-ВШ-^з^, Е^т^^юП • ЕШх • /еа^,

• ВШ • /а4ВШ • • ¡^¿В, где В=ЯГЪ4,

шеС?, при этом (иЯх)гёШУ} и элемент а},...,аб удовлетворят условиям утверждения 2.1.

Описываются все нормальные подлупы ЯА-луп Ну фанг.

Теорема 2.1. Иарлшькнли подлупами М-лут Ыуфанг Ъ являются те ев подлупи В, которое лежат в центре или содержат элемент е, и только они.

Следующей теоремой и следствиями от нее описываются все С-эквивалентности к особые С-эквивалентности ДА-луп Ыуфанг.

Теорема 2.2. Подлупа В М-лут Муфанг Ъ индуцирут в I С-эививалентоапь в том и только в том случае, когда она нормальна в Ъ.

Следствие 1. Иоаая С-эквивалентность М-лут Муфанг является особой. С-эквивалентностью.

Следствие 2. Любая С-эквиВалетношз М-лут Муфанг

- 13 -

является нормальней конгруэнцией'

53 состоит из двух частей. В части I изучаются особые С-еквивалентиости квазигруш с тождествами х(Н(у)-х)~у1 (х-Ь(у)}х=у% где Л - подстановка основного множества квазигруппы. Доказываются

Теорема 3,1. В квазигруппе (Я,-) с тождествам х(Н(у)-х)=у любая особая С-экВи&иентост является конгруэнцией.

Теорема 3.2. В левой лупе (Я,-) о тождеством х(П(у)-х)=у любая С-эквивалентость является конгруэнцией.

Теорема 3.3. б квазигруппе (Я,<) с тождество* (Х'К(у))х=у любая особая С-эквивалентост является конгруэнцией.

Теорема 3.4. В правой лупе (Я,-) с тождеством (х-Ь(у))х=у любая С-эквивалештость является конгруэнцией.

В части II рассматривается случай, когда в квазигруппе выполняются оба тождества х(Ыу)-х)-у и (х-1г(у))х=у одновременно. Доказывается

Теорема 3.5. Вола в квазигруппе (Я,') при некоторой подстановке И выполнятся одновременно тождества х(Ь(у)-х}=у и (х-Н(у))х=у , № ?г=е, где е - единичная подстановка.

Следовательно, в этом случае тождества хО\(у)>х)=у, (х-Ъ(у))х=у принимают вид х-ух=у, ху-х=у соответственно. Для последних тождеств имеет место

Теорема 3.6. В квазигруппах тождества ху-х=у и х-ух=у эквивалентны.

Отсюда получается, что каждое из тождеств ху-х=у, х>ух=у является частным случаем хорошо известного тождества эластичности ху-х=<с-ух и квазигруша с тождествами ху-х=у и х-ух=у -это есть квазигруша с одним из тождеств ху-х=у, х-ух=у.

Исследуются С-эквивалентнооти квазигруш с тождеством ху-з>у, вводится понятие инцидентных классов эквивалентности, а именно, е-класо А и 9*-класс В называются инцидентными, если Ж)В^0. Множество 9*~классов, инцидентных с 9-классом А,

обозначается через К А), а множество 0-классов, инцидентных с 9*-классом В, через 1*(В).

Выясняется, что если конечная квазигруша (Я,-) с тождеством х-ух=у имеет С-вквивалентностъ 6, то множество Я разбивается на системы различных подмножеств где

П, - объединение всех 6-классов инцидентных с одним и тем же е -классом. Объединение всех Э*-классов, инцидентных с классами, включающимися в П{, обозначается через Для случая доказывается

Теорема 3,7. Пусть (Я, ■) - конечная квазигруппа с тождеством ху-х*у% в - С-эквивалентост этой квазигруппы и - суть все 8-классы, - суть бее

в-классы, причем , 1СА1)=ГВ1,...,вь}, ом всех (=<,...

Тогда

1) I*(В,)-(А1,...,ЛЬ}, при всех

2) б, при Всех

3) СА1ПВ^ \ 1,4*1 - суть классы конгруэнции, на Я. Для втого случая дается метод построения рассматриваемой квазигруппы

Теорема 3.8. Ва хобоя конечном множестве Я, \Я\=&г, можно построить квазигруппу с тождеством ху>х*у с С-эквивалентностью 6 индекса б о В-классат лощост Ш,

Автор выражаеть глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору М.М.Глухову за постоянную поддержку,заботу и помощь в работе.

- 15 -ЦЯТИРШАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Белоусов В.Д. Основы теории квазигруш и луп. -Москва, Наука. 1967.

2. Бегларян В.А. О нормальности подквазигруппы // Вопросы теории квазигрупп и луп.: Кишинев, 1973. с.19-32.

3. Бегларян В.А. Нормальные делители в квазигрушах I. -Уч. зап. Боевая, гос. ун-т. Сер.естеств.н. 19ТЗ, *1, с.12-21.

4. Бегларян В.А. Нормальные делители в квазигруппах II.

- Уч. зап. Бфеван. гос. ун-т. Сер.естеств.н. 19ТЗ, ЛВ, с.12-21.

5. Белявская Г.Б. Левое, правое, среднее ядра и центр квазигруппы // ИМ с ВЦ АН ССРЫ. Препринт. Кишинев, 1988.

6. Белявская Г.Б. .Лумпов А.Д. Об одной эквивалентности в квазигруппах // Математические исследования. Вып. 120: Бинар-рые и n-арные квазигруппы. - Кишинев, Штиинца, 1991.

7. Глухов М.М. Т-разбиения квазигрупп и групп //Дискретная математика. - 1992. - т.4. вш.З. - с.47-56.

8. Глухов М.М. О классификации квазигруш по свойствам их Т-разбиений // Дискретная математика. - 1992.- т.4. вып 4.

- 0.3-11.

9. Логинов Е.К. Линейные представления луп Муфанг // Москва, 1991. 45с. Деп. В ВИНИТИ 21.06.91. J£619 - В 91.

10. Манин Ю.И. Кубические формы. М.: Наука, 1972 , 304с.

11. Bruck H.H. A servey oí binary systems. Berlin-Heidelberg. Springer-Verlag. 1958.

12. Cheto 0. ,Goodalre E.G. Loops whoose loop ringe are alternative // Communication in algebra. 1986. V. 14, *12. p. 293-310.

13. Garrison G.N. Note on invariant complexes of a quasigroup. - Arm. of Math., 1946, (2 ) 47, p.50-55.

14. Goodaire E.G.,Pannenter K.M. Semi-simplicity of alternative loop rings // Acta. liath. Hung. 1987. V. 50, *3,4. p.241-247.

15. JeEek J. Noncal subsets of quazlgroups. Comment. Hath. Halvers. Carolinae, 1975, 16, #1, p.77-85.

16. Kiokemeister A. A theory of normaliti for quazigroups. Trans. Amer. Math. Soc., v.9, 1947, p.99-105.

РАБОТЫ АВТОРА, ОПУШЯКОВАННЫЕ ПО ДЙССЕРТАЦИ!

1. Глухов М.М., Раоулов Х.С. Особые С-эквивалентности конечных односторонне обратимых квазигруш // Дискретная математика. - 1994. - т.4. шп.З. - с.3-1 Т.

2. Глухов М.М., Раоулов Х.С. Особые С-эквивалентности конечных односторонне обратимых квазигруш У/ тезисы докладов Третьей Международной конференции по алгебре памяти Ц.И.Каргаполова. - Красноярск, 1993.

- 3. Расулов Х.С. О С-эквивалентностях в некоторых классах квазигруш // Республиканская научная конференция "Новые теоремы молодо математиков-94": Тезисы докладов. Наманган, 1994. с.бЗ.

4. Раоулов Х.С. С-эквивалентности Я4-луп Нуфанг // Москва, 1995. 16с. Деп. в ВИНИТИ 06.12.95, JS3261-B95.

5. Расулов Х.С. О С-эквивалентностях одного класса эластичных квазигруш // Москва, 1995. 19с. Деп. в ВИНИТИ 06.12.95, JB260-B95.