Моноквазигруппы и квазигруппы с дистрибутивной решеткой подквазигрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

я/; • : -

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА Институт математики

На правах рукописи УДК 512.548

ИЗБАШ Владимир Иванович

МОНОКВАЗИГРУППЫ И КВАЗИГРУППЫ С ДИСТРИБУТИВНОЙ РЕШЕТКОЙ ПОДКВАЗИГРУПП 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Кишинев — 1992

Работа выполнена в секторе алгебры Института математики Академии Наук Республики Молдова

Научные руководители: член - корреспондент АПН СССР, доктор физико - математических

наук, профессор Белоусов Валентин Данилович член - корреспондент АН РМ, доктор физико - математических наук, профессор РяОухин Юрий Михайлович

В ЧНииь £1£Э ивдидошш оиицисышои^ллзаппихи \j\jauia а1и>с.«ии<и1

по присуждению ученой степени кандидата физико - математических наук в Институте математики Академии наук Республики Молдова по адресу: г. Кишинев, ул. Академией, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Академии наук Республики Молдова.

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук, Филиппов Валерий Терентьевич, кандидат физико - математических наук," профессор Валуцэ Иван Иванович.

Ведущая организация: Киевский университет им Т.Г. Шевченко

Автореферат разослан « Ученый секретарь Специализированного совета

1992 года

Белявская Г.Б.

I. ОБЩАЯ-ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тем. Среди различных производных объектов, определяемых по заданной алгебраической системы А, видное место занимает решетка (структура) ЦА) всех ее подсистем. Такое положение L(A) объясняется значительной информацией, которую во многих случаях несет эта решетка о самой системе А. Выявление и изучение связей между свойствами алгебраической ' системы и свойствами их решеток подсистем представляют одно из важных направлений в современной алгебре. Возникнув впервые в теории групп, а затем в теории полугрупп, это направление достигло своего наибольшего развития именно в этих областях алгебры. В это направление внесли свой вклад авторы: Бэр P., Ope 0., Суд-зуки М., Ивасава К., Ионе А., Канторович П.Г., Плоткин Б.И., Садовский Л.Е., Пекелис A.C., Петропавловская Р.В., Аршинов М.И., Яковлев Б.В., Шеврин Л.Н., Овсянников А.Я. и др.. Позднее решеточные свойства алгебраических систем стали изучаться и в других областях алгебры: в теории топологических групп, в теории модулей, в теорий колец и алгебр.

В последние десятилетия все больший интерес представляют изучение, класификация алгебраических систем по свойствам решетки их подсистем. Наиболее глубокие результаты в этом направлении получены для алгебраических систем с модулярными, в частности с дистрибутивными решетками подсистем. Известно, например, что груша обладает дистрибутивной решеткой подгрупп тогда и только тогда, когда она является локально-циклической группой. Описаны также полугруппы, решетки подполугрупп которых принадлежат модулярным многообразиям. Кольца с дистрибутивной решеткой подколец являются локально-циклическими кольцами.

В настоящей работе изучаются квазигрупйы с дистрибутивной решеткой подквазигруш (СЬ-квазигруппы;, в -основном изучаются моноквазигруппы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Моноквазигрупма - зто квазигруппа с одноэлелен-той решетной подквазигрупп.

Моноквазигруппы не имеют собственных подквазигрупп и порождаются любым своим элементом. На необходимость описания квазигрупп с дистрибутивной решеткой подквазигрупп указывал еще Биркгоф Г. В своей книго "Теория решеток" он сформулировал следующую проблему (проблема 62, стр.234): для каких эк^азигрупп ( т. е. примитивных

квазигруш) решетка всех подэквазигрупп дистрибутивна? модулярна? полумодулярна? Эта проблема до сих пор не решена. Полученные в этой работе результаты во многом выясняют ситуацию вокруг этой проблемы. • (

В необходимых случаях ( и только тогда) для того, чтобы можно было говорить о решетке подквазигруш, пустое множество а будет считаться подквазигруппой.

Решетки подквазигрупп изучены сравнительно мало. Известные результаты в этом направлении относятся в основном к ассоциативным квазигруппам (т. е. к группам). Неассоциативные квазигруппы ведут себя специфически, что приводит к большим трудностям при исследовании. Например, в большинстве неассоциативных квазигрупп уже не выполняется свойство Лагранжа: порядок подквазигруппы не. всегда делит порядок квазигруппы. Порядок же нормальной подквазигруппы (т. е. класса нормальной конгруэнции, который является подквазигруппой ) всегда делит порядок квазигруппы. Если в группах нормальные подгруппы образуют подрешетку решетки подгрупп, то в неассоциативных квазигруппах нормальные подквазигруппы не всегда образуют решетку. Соответствующий пример, найденный автором, приводится в нулевом параграфе. Может оказаться, что нормальные подквазигруппы образуют подрешетку (если необходимо, пустое множестзо считается нормальной подквазигруппой' ), которая, однако, не является модулярной. Пример квазигруппы, иллюстрирующий эту ситуацию, построен автором. Если же квазигруппа содержит один и тот же идемпо-' .ент во всякой своей подквазигруппе (например, в случае луп), 'то ее нормальные подквазигруппы образуют модулярную решетку. Некоторый класс луп с модулярной решеткой подлуп указан Нортоном в работе (111. В этой работе дается описание лупы, у которой все подлупы нормальны. Конечные йеассоциативные лупы с модулярными и дистрибутивными решетками подлуп рассматриваются Лауш X. в работах [9,101. В 191 доказывается, что лупа с конечной дистрибутивной решеткой подлуп - моногенна (т. е. порождается одним эленментом) и любая ее подлупа моногенна. В работе (101 дается полное описание конечных луп с булевой решеткой подлуп, а также доказано, что конечная коммутативная лупа Муфанг имеет шдулярную решетку подлуп тогда и только тогда, когда все ее подлупы квазинормальны.

Цель работы: Выяснить строение квазигруппы с конечной дистрибутивной решёткой псдквазигрупп. Исследовать моноквазигруппы (существование, спектр, гомоморфные образы, прямые произведения).

Описать решетку подквазигрупп прямого произведения двух' моноквази-груш без конгруэнций (двух луп без собственных подлуп). Выяснить, когда решетка нормальных подлуп лупы является дистрибутивной.

Научная новизна. Результата, изложенные в диссертации, являются новыми и некоторые из ранее известных результатов.являются их . следствием.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы при изучении строения квазигрупп, групп автоморфизмов квазигрупп, решеток подквазигрупп и решеток конгруэнций квазигрупп.

Методы исследования. В работе используется общий подход к исследованию алгебраических систем с условиями на решетку подсистем. Кроме того, в работе развиваются специальные методы, основанные на анализе свойств изотопии.

Апробация работ. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по универсальным алгебрам, квазигруппам и их приложениями ( Ядвизин, Польша, 1989 г.); Международной алгебраической конференции памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, 1989 г.); Национальной конференции по алгебре С Румыния, Клуж, 1991 г.); XVIII - XIX-x Всесоюзных алгебраических конференциях ( Кишинев 1985 г., Львов 1987 г.); VI-ом Тирасгольском симпозиуме по общей топологии и ее приложениям ( Вадул луй Водэ, 1991 г. ); семинарах "Алгебра и математическая логика" и "Теория квазигрупп" ( Институт математики АН РМ ).

Публикации. Основные результаты диссертанта опубликованы в 12 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объел диссертации. Днссертацшгсостоит из введения, пяти параграфах и списка литературы, включающего 63 названия. Работа изложена на 108 страницах машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нулевой параграф носит вспомогательный характер. Для облегчения чтения работы, в этом параграфе приводятся основные необходимые обозначения, понятия и результаты.

В параграфе 1 исследуется строение М-квазигрупп с конечной решеткой подквазигрупп. Доказывается (Теорема 1.1), что ДБ-квази-группа с конечной решеткой.подквазигрупп - моногенна и все ее под-квазигруппы моногенны. Этот результат уточняет и обобщает аналогичное утверждение, доказанное для луп Лаут в (9J. Отметим, что в

[9] содержится неточность. Сформулированное там утвервдение, что DL-лупа с конечно?, решеткой подлуп - конечна, не является верной* Так, в работе 16) построено счетное множество неизоморфных счетных луп без собственных подлуп.

В связи с теоремой 1.1 естественно возникает вопрос, не будет ли всякая квазигруппа, у которой все подквазигруппы моногенны, ДЬ-квазигругаюй с конечной решеткой подквазигрупп. Отрицательный ответ на него дается примером конечной квазигруппы, у которой йсе подквазигруппы моногенны (пример 1.1), но которая не является DL-квазигруппой. Из теоремы 1.1 следует, что моноассоциативная Di-лупа с конечной решеткой подлуп является конечной циклической группой. Является ли любая моноассоциативная DL-лупа группой Или нет, пока не известно. Однако оказывается, что диассоциативная DL-лупа всегда является локально-циклической группой (Теорема 1.2) В конце 'паяаграфа строится пример бесконечной неассоциативной коммутативной локально-моногенной, но не моногенной, Ш>лупой (Предложение 1.4).

Параграф 2 разделен на три части (пункты 2.1 - 2.3). В пункте 2.1 строится континуальный класс моноквазигрупп без конгруэнций и без автоморфизмов. Квазигруппа без конгруэнций - это квазигруппа, единственными конгруэнциями которой являются диагональ и ее декартов квадрат. Квазигруппа без автоморфизмов - это квазигруппа с единичной группой автоморфизмов. В построенном классе решается задача изоморфизма двух квазигрупп и показывается континуальность множества неизоморфных квазигрупп этого класса. С использованием модификации метода Кепки Т. из [8], доказывается следующая

ТЕОРЕМА 2.1.1.а) Любая квазигруппа (Q,-), для которой |Q|$ ко, изотопна некоторой лоноквазигруппе без конгруэнций; О) Любая квазигруппа (Q, ), для которой изотопна неко-

торой лоноквазигруппе без конгруэнций и без автолорфизлов.

Эта теорема обобщает анонсированный результат Кузнецова A.B. и Данильченко А.Ф. из [3] (1964) о том, что для любого натурального числа ПН существует моноквазигруппа без конгруэнций, а также результат Кепки Т. из [81 (1974), где доказано, что любая квазигруппа (Q,»), для которой изотопна некоторой моно-

квазигруппе. Заметим, что моноквазигруппы не могут иметь более чем счетную мощность, поскольку конечно-поровденные свободные универсальные алгебры конечной сигнатуры имеют не более счетной мощности ( [43,стр.39-40).

Насыщенность класса моноквазигрупп без контруэнций и без автоморфизмов позволяет утверждать, что едва ли можно описать моноквазигруппы, а тем более моногенные квазигруппы. Поэтому при описании моноквазигрупп следует ограничиться отдельными класвми квазигрупп. В таких классах крк класс всех идем-потентных квазигрупп , класс всех луп единственной моноквгзигруп-пой является одноэлементная группа. Другим известным классом квазигруш является класс квазигрупп, изотопных группам. В пункте 2.2 находятся необходимые и достаточные условия , которым должна удовлетворять изотопия, чтобы соответствующий ей изотоп группы был: 1) моногенной квазигруппой (Лемма 2.2.6.); 2) моноквазигруппой (Теорема 2.2.1.). В пункте 2.3 находятся необходимые и достаточные условия (Теорема 2.3.2.) при выполнении которых изоморфны две квазигруппы, изотопные одной и той же группе. Описывается (Следствие 2.3.1) вид автоморфизмов изотопа группы. Используя следствие 2.3.1, удается описать (Предложение 2.3.4) группу автоморфизмов ^-квазигруппы, которая содержит хотя бы один идемпотентный элемент.

Очевидно, что класс моноквазигрупп замкнут относительно операции взятия подквазигрупп (в каждой моноквазигруппе единственной подквазигруппой является сама квазигруппа).

В декартовом квадрате моноквазигруппы диагональ образует собственную подквазигруппу, отличную от самого декартого квадрата и, таким образом, декартов квадрат моноквазигруппы не является моноквазигруппой. Следовательно, класс моноквазигрупп не замкнут отно-, сительно прямого прои-ведения квазигрупп и не образует многообра-I зие. Возникает вопрос, может ли вообще прямое" произведение моноквазигрупп быть моноквазигруппой. Если - да, то - когда. Ответы на эти вопросы даются в пунктах 3.1-3.3 третьего параграфа.

В пункте 3.1 исследуются нормальные конгруэнции и нормальные подмножества прямых произведений квазигрупп. Нормальным подмножеством в квазигруппе называется любое подмножество, которое является классом конгруэнтных элементов некоторой нормальной конгруэнции. Показывается (теорема 3.1.1), как известным способом можно построить (нормальные) конгруэнции на прямом произведении квазигрупп из (нормальных) конгруэнций сомножителей, а также устанавливается . связь между классами конгруэнтных элементов построенных конгруэнций прямого произведения и классами конгруэнтных элементов конгруэнций сомножителей,из которых строится конгр"энция. Дальше показы-

вается, как с помощью (нормальной) конгруэнции прямого произведения квазигрупп можно определить некоторую систему (нормальных) конгруэнций на компонентах прямого произведения (теорема 3.1.2). В этом случае также устанавливается связь между классами конгруэнтных элементов заданной (нормальной) конгруэнции прямого прои:педет ния квазигрупп и классами конгруэнтных элементов определенной системы конгруэнций.

В пункте 3.2 исследуются подквазигруппы прямого произведения квазигрупп. Оказывается, что с кавдой подквазигруппой (Н,•) прямого произведения квазигрупп М31.:), , определенным

образом связана система нормальных конгруэнций г^, (еГ.на проекциях (Н1,-) подквазигруппы (Н,-) на компоненты прямого

произведения (1Ц1Я1>-)- Описываются (лемма 3.2.1) и^-нормальчые подмножества, Ы1 ( т. е. классы конгруэнтных элементов нормальных

конгруэнций V®, 1е1). в дальнейшем изучаются соотношения между

подквазигруппой (Н,•) и г^-нормальными подмножествами. В случае \1\=2 имеет место следующая

Л-ММА 3.2.3. Пусть (Н,•) - подквазигруппа прялого произведения (ЯГЯ2..) квазигрупп (<3},-) и (Яг,-). Тогда илеел-

(Н/у.-МН/

и существует изолорфизл аЕ: •)----) такой, что

ан(К(а1,ун1))=К(аг,1^), если со, ,агЖЯ, •).

Через V обозначается нормальная конгруэнция на (Н,•) такая, что для (а1,а.2), (Ъ1,Ъ2мн, •) (а1 ,аг)у(Ь),Ъг) тогда й только тогда, когда и аг^Ь2. К(а1,г^) - это класс нормальной конгруэнции ■}>н1, содержащий элемент а{. (Н./у^) - это фактор кзазигруппа по гР. ' • .'

В пункте 3.3 исследуются прямые произведения и гомоморфные оорззы моноквазигрупп. Доказывается обратное для леммы 3.2.3 утверждение (лемма 3.3.1). Теоремы 3.1.1-3.1.2 и леммы 3.2.3-3.3.1 являются рабочими и оказываются очень эффективными при исследовании, решеток подквазигрупп прямого произведения двух квазигрупп. Следующая теорема определяет необходимые и 'достаточные условия, при выполнении которых прямое произведение двух моноквазигрупп является моноквазигруппой. • _

ТЕОРЕМА 3.3.1. .Пусть (Я. ■ )=(Я1'Я2, • ) - прямое произведение квазигрупп (Яг-) и (Я2,-)- Квазигруппа (Я,-) является моноквазигруппой тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

a) (Я1, •) и (Я2, ■) являются моноквазигруппахи;

b) не существуют нормальные конгруэнции в1 и в2 на (Я,,-) и (Я2,■)

соответственно ттсие, что либо в1/Я1хЯ1, либо и

(Я/в,,-) = (Я/в2,-). В случае прямого произведения двух конечных квазигрупп аналогичная теорема была доказана Ераком Р. в 1944 в работе [7].

Условия теоремы 3.3.1 выполняются, например, в случае прямого произведения двух конечных моноквазигрупп взаимно простых порядаов (Следствие 3.3.1), поэтому прямое произведение этих моноквазигрупп всегда является моноквазигруппой. В конце этого пункта строится пример ( Пример 3.3.1 ) бесконечной моноквазигруппы, гомоморфный образ которой не является квазигруппой, а является группоидом с делением.

В пункте 3.4 исследуются решетки подквазигрупп прямого произведения двух квазигрупп. Находится критерий разложения каждой под-квазигруппы прямого произведения двух квазигрупп в прямое произведение своих проекций на компоненты прямого произведения (предложение 3.4.1).Используя этот критерий, удается доказать, что верна

ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть квазигруппа ■) содержит идемпотент р вс всех своих подквазигруплах, квазигруппа (Я2, ■) содержит иделпотент <? во всех своих подквазигруплах и ЫЯ^-) и ,•) конечны.

Тогда следующие условия эквивалентны:

1) Ш,*Я2, •) в ШГ-)*Ш2,-).

2) каковы бы не были подквазигруплы (Р,,-) в (Я^-) и (Р2,-) в

(Я2.-) для нормальных конгруэнций Э1<=пСоп£(Р1,-) и д2enCong(P^,•)

(Р/в% (Р2/в2,-) энвиЗаиеншо 9,=Р,*Р, и 92=Рг*Р2-

Через пСоп£(Я,-) обозначается решетка нормальных конгруэнций квазигруппы (Я,•).

Как следствие,из этой теоремы, получаем известный факт (Следствие 3.4.2 ), что решетка подгрупп прямого произведения двух групп взаимо простых порядков изоморфна прямому произведению ре-•шеток подгрупп компонент прямого произведения. Другим следствием теоремы 3.4.1 является следующее утверждение

- ю -

СЛЕДСТВИЕ 3.4.1. Пусть квазигруппы (Яг-) и (Я2,-) неизоморф-кы, (О,,-) содержит идехпотет'р, (Я2,-) содержит идемпотент д,

т:1,-)={<р>,(я1,.)), ъ(я2,-)=«я>,(я2,-)},

поопвг<г,.-мвв1,в,«о,}, псопвг<з2,-;=(есг2,д2«(з2}. 'Тогда решетка ЫЯ1*Я2, ■) поднвазигрупп прялого произведения (Я,*Я2,') имеет следующий вид:

(Я1*{д).-)

((р)*Я2,-)

(Р>4)

Следующая теорема описывает решетку подквазитруш ■декартого квадрата моноквазигруппы без нетривиальных нормальных конгруэнций.

ТЕОРЕМА 3-.4.2. Пусть (Я,-) - моноквазигруппа без нетривиальных нормальных конгруэнций. Тогда решетка ЦЯ*Я,•) поднвазигрупп прялого произведения(Я«Я, •) имеет следущий вид:

(Я*Я.-)

где Я£ р := {(х,ц>{(х))\х*гЯ) и <р{ пробегает все автоморфизмы (Я,-)

Имеют место также следующие утверждения:

СЛЕДСТВИЕ 3.4.7. Вели (Я,-)И(Р,-) и (Я, •) и (Т, •) - моноквазигруппы без нормальных конгруэнций, то (Я*Р,•) - лоноквазигруппа.

ТЕОРЕМА. 3.4.3. Пусть квазигруппа (Я,-) не имеет нетривиальных нормальных конгруэнций, имеет единственный идемпотент а и не имеет других подквазигрупп кроме (Ча),-; и (Я,-). Тогда решетка Ь(Я'Я,-) поднвазигрупп прямого произведенш(Я*Я, ■) имеет вид

(Я'Я,-)

<{а,а)>

где ф, пробегает все автоморфизм* (Я,-), а

Q1,a:= <-(X,a)eQ'Q'\ №Q} = Q.fdJ, Q2\a:= ira.xJeQ.Q I = {a)*Q.

Qjtf> := l(x,<çt(x)) | ,ieQ j.

Так как в лупе решетка нормальных конгруэнций изоморфна решетке нормальных подлуп, то любая лупа беа собственных подлуп удовлетворяет,теоремам 3.4.3 и 3.4.1. Поскольку для квазигрупп (Q,-) и Т, изочорфизм (Q.-)sCP,.) влечет (Q-P,■)z(Q-Q,•; и L(Q*P,•)aL(Q*Q,•), то в действительности,теорема 3.4.2 и следствие 3.4.7 описывают решетку прямого произведения двух моноквазигрупп без нормальных конгруэнций, а следствие 3.4.1 и теорема 3.4.3 описывают решетку подлуп прямого произведения двух луп без собственных подлуп.

В параграфе 4 исследуются нормальные подлупы и решетки нормальных подлуп лупы. Основной результат этого параграфа -

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть Q - лупа и А, В, С - норлалъные подлупы в Q. Тогда фактор лупа

((AUB)n(WC№(CUA))/((AnB)[}(BnC)U(C(U)) ябдяшся абелевой группой.

В случае груш эта теорема была доказана Ope 0. И2, стр.173 Теорема 4 ].

Как и для груш,' верно следующее утверждение:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Если в лупе Q илеются только совершенные нормальные подлупи, то решетка, или составленная, дистрибутивна.

Под совершенной понимается лупа, которая совпадает со своей коммутаторно-ассоциаторной подлупой. Примером совершенной лупы может служить любая лупа без. собственных подлуп.Следующая теорема показывает,' как практически можно строить лупы с дистрибутивными решетками нормальных подлуп.

ТЕОРЕМА 4.5. Пусть U,N - лупы,у которых все норлалькые подлупы совершенны. Тогда все нормальные подлупы в Т = М-Н совершенны.

« ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Белоусов В.Д. Основы теории квазигруш и луш. М.:Наука.

1967.

2. Еиркгоф Г. Теория решеток. М.:Наука, 1984.

3. Кузнецов A.B., Данильченко А.Ф. Функционально полные квазигруппы //Первый Всесоюзный симпозиум по теории квазигруш и ее приложениям. Сухуми, 17-20 мая 1968 г. Резюме сообщений и докладов. С. 17-19.

4. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.гНаука, 1983.

5. Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп. М.гИЛ, 1960.

6. Artzy R. On loops with a. special property //Proo. Amer. Math. Soc. 1955. V. 6. P. 448-453.

7. Bruok R.H. Some results in the theory of quasigroups' // Trans. Amer. Math. Soc. 1944. V. 55. P. 19-52.

8. Kepka T. A note on simple Quasigroups //Aota Univ. Carol.-Math, et Phys. 1978. V. 19, * 2. P. 59-60.

9. Laush H. Loops mit distributiven und geometrischen unterloopverbanden //J. of Geometry. 1986. V. 26. P. 62-76.

10. Laush H. Endliche loops und ihre Unterloopverbanden //Acta See. Math. 1989. V. 53. P. 207-216. ' .

11. Norton D.A. Hamiltonian loops //Proc. Amer. Math. Soc. 1952. V. 3. P'. 56-65.

12. Ore 0. Structures and group theory. I //Duke Math. Journ. 1937. V. 3. P. 149-173. •

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

•

1. Избаш В.И. Квазигруппы с дистрибутивной решеткой подква-зигрупп //Квазигруппы и их сист.Матем. исслед. Вып. 113. Кишинев, 1990. С. 42-51.

2. Избаш В.И. Моноквазигруппы -без конгруэнций и без автоморфизмов //Известия АН РМ. Математика. 1992. * 4.

3. Избаш В.И. О квазигруппах, изотопных группам //Ин-т математики с ВЦ АН МССР, Кишинев, 1939. 21 С. /Деп. ВИНИТИ 29.06.89, JÉ 4298-В89.

4. Избаш В.И. О прямом произведении квазигруш //Ин-т математики с ВЦ АН РМ. Кишинев, 1992.. 28 0. /Деп. ВИНИТИ 1Г.10.92, J6 3003-В92.

5. Избаш В.И. Прямое произведение моноквазигрупп //Ин-т математики с ВЦ АН HI. Кишинев, 1991. 18 С. /Деп. ВИНИТИ 04 07.91

Jé 2861-В91.

6. Избаш .В.И. Дистрибутивность решетки нормальных, подлуп лупы, все нормальные подлупы которой совершенны //Ин-т математики с ВЦ АН РМ. Кишинев, 1991. 15 С. /Деп. ВИНИТИ 27.08.91, » 3589-В91.

7. Избаш В.И. О лупах с дистрибутивной решеткой подлуп // Международная конф. по алгебре, поев, памяти А.И.Мальцева. Тезисы докладов по теории моделей и алгебраических систем /Новосибирск,

1989. С. 49.

8. Избаш В.И. Квазигруппы без собственных подкгазигрупп, изотопных группе простого порядка //Тезисы докл. второй Респ. конф. молодых исслед. (14-15 декабря 1989) /Кишинев, 1988. С. 15.

9. Избаш В.И. О свойствах нормальных подлуп //Тезисы докл. 27-ой научной конф. факультета физ.-матем. и естеств. наук УДН им. П. Лумумбы. 13-18 мая 1991 г. /Москва,' 1991. С. 15.

10. Izbas V.I. A generalization of one Bruk's theorems. 6-ой Тираспольский Симпозиум по общей топологии и ее приложениям. Вадул луй Водэ, 11-16 сентября 1991 г. //Тезисы докл. Кишинев, 1991. С. 107-108.

11. Izbas V.I.' Distributivity of the lattice of normal subloops of the perfect loops //Межд. конф. по алгебре, поев, памяти А.И. Ширшова (1921-1981). Барнаул, 20-25 августа 1991 г. /Тезисы докл. Новосибирск, 1991. С. 50.

12. Izbas V.I. About D-Quasigroups //Intern. Conf. "Universal algebra, quasigroups and related systems". Abstracts of Talks /Jadwiein, Poland, May 23-28, 1989. P. 19.

CPC al DSS al KM,с./765 ■ »t•/00:\/ож9гс