Фи-структура на симплектических и ортогональных конечных группах в нечетной характеристике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 512.54

РГБ ОД

МОХНИНА НАТАЛЬЯ ВЯЧЕСЛАВОВНА | 3 ДЕК ?1

ф - СТРУКТУРА НА СИМПЛЕКТИЧЕСКИХИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ В НЕЧЕТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ

(01.01.06) - математическая логика, алгебра н теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени Кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Диссертация выполнена на кафедре «Высшая математика» Нижегородског о

государственного технического университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.М. Галкин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор М.И. Кузнецов; кандидат физико-математических наук, доцент А А Семенов.

Ведущая организация - Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

Защита состоится «2h> (¿есдфл 2000 г. в ■/? часов на заседании диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, 2, махематико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета).

Защита будет проводиться по адресу: 191011 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд. (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета

Автореферат разослан «2£>» н^М^Я- 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного

Совета К 063.57.45 Р.А Шмидт

В SJTJL, 3F 03

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблематика диссертации вытекает из теории конечных леводистрибутивных квазигрупп. Первой работой по леводистрибутивным (конечным) квазигруппам следует считать работу Бурстина и Майера [3], появившуюся в 1929 году. Они поняли, что изучение таких объектов требует больших усилий, чем в элементарной теории групп, по-видимому, это обстоятельство вынудило их потребовать выполнение и правой дистрибутивности, т.е. они изучали так называемые дистрибутивные квазигруппы. Отмеченное ими фундаментальное отличие от групп состоит в том, что все элементы равноправны по своим свойствам.

В 1962 году появилась замечательная работа Б.Фишера [4], центральным результатом которой является доказательство разрешимости групп трансляций дистрибутивной квазигруппы. Работы Фишера впервые продемонстрировали эффективность теоретико-групповых методов при изучении леводистрибутивных квазигрупп.

В начале 80-х В.М.Галкиным была выдвинута гипотеза о разрешимости конечных леводистрибутивных квазигрупп [1]. Там же она была сведена к чисто теоретико-групповой гипотезе о непростоте так называемых ср-групп, т.е. групп П с выделенным автоморфизмом <р, удовлетворяющим некоторым условиям.

Привлекательность данной гипотезы заключается в том, что она включает в себя такие на первый взгляд далекие друг от друга утверждения, как помянутая выше теорема Фишера, теорема Фейта-Томпсона о разрешимости групп нечетного порядка, а также гипотезу о разрешимости групп с регулярными автоморфизмами.

Одним из крупнейших достижений XX века в теории групп является классификация простых конечных групп. [2] Чтобы доказать нашу гипотезу необходимо исследовать все известные простые конечные группы. В.М. Галкин привел доказательство гипотезы для всех спорадических групп, серий знакопеременных групп. C.B. Лещева и О.В. Суворова исследовали группы F4(q), 2F4(q), G2(q)> 2G2(q), 3D„(q), проективную L„(q), унитарную Un(q), симплекгическую Sp2n(q) в четной характеристике и группы Sp4(q), Sp$(q) в нечетной характеристике.

Цель работы. Исследовать ср - структуру ортогональных On(q) и симплекгических Sp2n(q) групп в нечетной характеристике, то есть исследовать на предмет не существования в них нетривиального автоморфизма <р со свойством:

хф(х-1) е sTs'1 => х е Т = {у е П | ф(у) = у} (1)

Общая методика исследования. Основным инструментом в исследовании являются методы теории групп, в частности, подход Шевалле, а также методы теории квазигрупп. Это связано с возможностью представления квазигруппы 0(°) однородным пространством П/Т левых смежных классов группы П по подгруппе Т, где Т определяется как подгруппа неподвижных этементов некоторого автоморфизма ф группы П, а квазигрупповая операция выглядит следующим образом: х°у=ху"'х(тос1Т). Эта связь обратима

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Утверждения, доказанные в ходе разработки аппарата исследования, имеют самостоятельное значение и могут найти применение в теории групп, а также в квазигрупповой теории.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

IV Нижегородской сессии молодых ученых (Саров, 1999); конференции, посвященной дню науки в НГПУ (Нижний

Новгород, 2000);

V Нижегородской сессии молодых ученых (Саров, 2000); алгебраических семинарах ННГУ, НГТУ (Нижний Новгород,

1997-2000)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 64 страницах, состоит из введения и шести глав. Список литературы состоит из 35 публикаций, в том числе, и работ автора.

Содержание работы Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность выбранного направления исследования, приводится краткий исторический обзор решаемой проблемы, а также коротко излагаются полученные в диссертации результаты.

ГЛАВА 1 является вводной. В ней собраны сведения о леводистрибутивных квазигруппах и их свойствах, которые необходимы для постановки проблемы и ее решения. Вводится понятие ср-группы, т.е. группы П с выделенным автоморфизмом ср, удовлетворяющим некоторым условиям. Условия, налагающиеся на автоморфизм ф, позволяют гарантировать квазигрупповую структуру на однородном пространстве ПУТ (Т - подгруппа <р-неподвижных этементов) относительно операции х»у=ху"'х(шо(1Т). Представление 0=П/Т заданной квазигруппы б неоднозначно, однако, каждое представление может быть редуцировано к так называемому "минимальному". В конце главы приведены арифметические свойства подгруппы Т, а также теорема, используемая в гл.5 переформулированная для ф-групп следующим образом: в случае ф2=1 группа разрешима.

Непосредственно задача ставится в ГЛАВЕ 2. В ней рассматриваются

конечные леводистрибутивные квазигруппы и конечные ф - группы. Формулируется гипотеза о разрешимости конечных леводистрибутивных квазигрупп Проводится сведение ее к чисто теоретико-групповой гипотезе о непростоте <р-групп [1]. Таким образом, для решения проблемы необходимо исследовать все известные простые группы на предмет несуществования в них нетривиального автоморфизма ф, со свойством (1).

Интерпретация простых классических групп в терминах групп Шевалле облегчает их исследование и придает наглядность изложению материала, поэтому ГЛАВА 3 содержит необходимые сведения из теории групп Шевалле.

При разработке методов исследования и применения их к конкретным группам проведено доказательство ряда вспомогательных утверждений. Для удобства изложения эти сведения выделены в отдельную ГЛАВУ 4.

В ГЛАВЕ 5 предложены результаты исследования гипотезы для симплектических групп 8р2„(я) в нечетной характеристике. Доказательство гипотезы ведется методом от противного. Сначала рассматривается подгруппа Т - ф - неподвижных этементов, и доказывается, что Т*(1). Затем выводится заключение о четности порядка подгруппы Т, что свидетельствует о наличии инволюции в Т. Индуктивные рассуждения. относительно централизаторов инволюций приводят к случаю ф2=1, а это возможно лишь для разрешимых групп. [1]. Исключение из общей схемы доказательства составляет группа 5р.((3), которая рассматривается отдельно.

В ГЛАВЕ 6 приведено доказательство гипотезы для ортогональных групп On(q) в нечетной характеристике. Доказательство гипотезы ведется методом от противного. Каждая из серий: 02n+i(q), 04m+2±(q), 04m±(q) рассматривается отдельно. Сначала исключается случай Т=(1). Далее ход доказательства для групп 04m+2±(q) предусматривает деление элементов подгруппы Т на полупростые и унипотентные, а для групп 02n+i(q) и 04m±(q) устанавливается, что Т содержит полупростые элементы. В каждом из этих случаев выводится заключение о наличии в Т инволюции. Затем рассматривается централизатор инволюции, с помощью индуктивных рассуждений устанавливается его <р-тривиальность и ср-тривиальность всей группы. Объем вычислений представляется достаточно большим из-за необходимости рассмотрения многих частных случаев.

Цитированная литература

1. Галкин В.М. Леводистрибутивные квазигруппы./ Докторская диссертация. - Горький,1986.

2. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в классификацию. - М.:Мир, 1985.

3. Burstin С., Mayer W. Distributive Gruppen von endlicher Ordnung.-J.

Reine und angew. Math., 1929, 160, s. 111-130.

4. Ficher В. Distributive Quasigruppen endlicher Ordnung. Math.

Zeitschr., 1964,83,s.267-303.

Работы автора по теме диссертации

1. Галкин В.М., Мохнина Н.В. О некоторых автоморфизмах на ортогональных группах в нечетной характеристике. - Деп. В ВИНИТИ 17.01.00. № 68 - В00.

2. Галкин В.М., Мохнина Н.В. О (р - структуре на группах E-^q), Es(q), q -нечетно. IV Международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию профессора Ю. И. Мерзлякова. Тезисы докладов. - Новосибирск, ин-т математики, 2000.

3. Лещева C.B., Мохнина Н.В. О ф - структуре на ортогональных группах 02n+i(q), ОгпСя)4, Я - нечетно. - Международный алгебраический семинар, посвященный 70 - летаю кафедры Высшей алгебры МГУ. Тезисы докладов. -МГУ, 1999.

4. Мохнина Н.В. О ф - структуре на группе Sp2„(q)> q - нечетно. - Деп. в ВИНИТИ 30.12.98. № 3933 - В98.

5. Мохнина Н.В. К разрешимости конечных ф-групп. - IV Нижегородская сессия молодых чёных. (Математика и математическое моделирование.) -СарФТИ, 1999.

6. Мохнина Н.В. О ф - гипотезе на ортогональных группах в нечетной

характеристике. - V Нижегородская сессия молодых чёных. (Математика и математическое моделирование.) - СарФТИ, 2000г.

7. Galkin V.M., Mochnina N.V. On the ф - structure on the group Sp2„(q), q -odd. Internationa] Conference dedicated to the 90 th Anniversary of L. S. Pontryagin, p.28, August, 31 - September, 6. Moscow, 1998.