φ-структура на симплектических и ортогональных конечных группах в нечетной характеристике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. ф - группы и леводистрибутивные квазигруппы.

Глава 2. Конечные (р - группы и леводистрибутивные квазигруппы.

Глава 3. Сведения о группах Шевалле и их приложения.

Глава 4. Вспомогательные утверждения.

Глава 5. Доказательство гипотезы для симплектических групп в нечетной характеристике.

Глава 6. Доказательство гипотезы для ортогональных групп в нечетной характеристике.

Группой называется система G(°) (множество G с бинарной операцией =), для которой выполняются следующие аксиомы:

1) уравнения а°х = Ьих°а = Ь однозначно разрешимы при V a,beG;

2) а ° (b °с) = (a °b) ° с для V a,b,c е G.

Исключение ассоциативного закона превращает G(°) в квазигруппу, замена же его на тождество левой дистрибутивности а ° (b°c) = (а°Ь)»(а°с) дает новый объект - леводистрибутивную квазигруппу. Привлекательность тождества левой дистрибутивности состоит в том, что в бинарной системе G(°) с ним отображение La = (х а • х) есть, очевидно, эндоморфизм, а если G(°) квазигруппа, то даже и автоморфизм.

Родоначальниками теории конечных леводистрибутивных квазигрупп можно считать Бурстина и Майера [27], занимавшихся в 20-е годы нашего столетия дистрибутивными квазигруппами, где наряду с тождеством левой дистрибутивности выполняется тождество правой дистрибутивности. Они поняли, что изучение леводистрибутивных квазигрупп требует больших усилий, чем в элементарной теории групп, по-видимому, это обстоятельство вынудило их потребовать выполнение и правой дистрибутивности. Первое отмеченное ими фундаментальное отличие от групп состоит в том, что все элементы равноправны по своим свойствам.

Второе наблюдение: не для всех порядков дистрибутивные квазигруппы существуют. Бурстин и Майер показали отсутствие таких квазигрупп порядков 2 и (без доказательства) б. Наконец, Бурстин и Майер рассмотрели свойства подстановок La = (х -» а°х) и Ra = (х —» х=а). Их замечания по этому поводу оказываются полезными при построении квазигрупп небольших порядков.

Далее развитие теории прослеживается в работах Тойоды [34], Медоча [30], Брака [28], которые изучали определенный тип квазигрупп, характеризующихся тождеством медиальности (a°b)°(c°d) = (a°c)°(b°d).

В конце 50-х годов появляются работы Стейна. Он доказал (совместно с Нортоном [31]), что квазигрупп порядка 4ш+2 не существует. Другой результат, полученный Стейном, связан с выяснением независимости правой дистрибутивности от левой: удалось построить пример лево- , но не праводистрибутивной квазигруппы. Вот соответствующая конструкция: в группе G(°) с выделенным автоморфизмом ср полагаем х°у = хср(хлу), причем на ср налагается следующее условие: лишь единица является неподвижным элементом автоморфизма. Такой автоморфиз называется регуларным.

В 1962 году выходит замечательная работа Фишера [28] по конечным дистрибутивным квазигруппам. Ее центральным результатом является доказательство разрешимости группы правых трансляций R(G) = <Ra = (х -> х о а) | а,х е G(°)>. Разумеется, этим же свойством обладает и группа левых трансляций L(G), порожденная отображениями La = (х а=х). Работа Фишера впервые продемонстрировала эффективность теоретико-групповых методов при изучении леводистрибутивных квазигрупп. Именно в ней появилась известная теорема Фишера о группах, порожденных классом р-инволюций. В конечном счете разработка круга идей, связанных с этой теоремой, впоследствии привела Фишера к открытию спорадических простых групп его имени.

В это же время происходит значительное расширение исследований в области простых конечных групп. Главным толчком к этому послужила знаменитая теорема Фейта и Томпсона, согласно которой любая конечная группа нечетного порядка разрешима [5].

Много работ посвящено группам с регулярными автоморфизмами.

Интерес к этим группам связан с известной гипотезой о разрешимости их в случае конечного порядка. Томпсон доказал эту гипотезу для группы с автоморфизмом простого порядка [33]. Но полностью вопрос не был решен.

В начале 80-х годов В.М.Галкин выдвинул гипотезу о разрешимости групп левых траансляций конечных леводистрибутивных квазигрупп [12]. В дальнейшем она была сведена к чисто теоретико-групповой гипотезе о непростоте так называемых ф - групп. Привлекательность данной гипотезы заключается в том, что она включает в себя такие на первый взгляд далекие друг от друга утверждения, как упомянутые выше теоремы Фишера, Фейта-Томпсона, а также гипотезу о разрешимости групп с регулярными автоморфизмами.

Одним из крупнейших достижений XX века в теории групп является классификация простых конечных групп [5]. Чтобы доказать нашу гипотезу необходимо исследовать все известные простые конечные группы на предмет не существования в них нетривиальной ф - структуры. Будем говорить, что на простой конечной группе П существует нетривиальная (р - структура, если в группе П есть нетривиальный автоморфизм ф, удовлетворяющий условию: хф(х1)е sTs"1 => хеТ = {уеП | ф(у) = у}

В.М.Галкин проверил все спорадические группы, серии знакопеременных и проективных групп [12]. Оказалось, что нетривиальной ф -структуры там нет. С.В.Лещева и О.В.Суворова получили аналогичный результат для проективной группы Ln(q), унитарной группы Un(q), симплектической группы Sp2n(q) в четной характеристике и групп Sp4(q), Sp6(q) в нечетной характеристике, а так же проверили группы F4 (q), 2F4(q), G2(q), 2G2(q), 3D4(q) [17], [19].

Цель данной диссертационной работы - проверка ортогональных и симплектических групп в нечетной характеристике. Основным инструментом в исследовании являются методы теории групп в сочетании с теорией леводистрибутивных казигрупп. Это связано с возможностью представления квазигруппы G(°) однородным пространством П/Т левых смежных классов группы П по подгруппе Т, где Т определяется как подгруппа неподвижных элементов некоторого автоморфизма ср группы П, а квазигрупповая операция выглядит тогда следующим образом: х°у = x(p(x"1v)(modT).

Неисследованными на данную гипотезу остались ортогональные группы в четной характеристике и группы Еб, 2Еб, Е7, Е8. Однако, уже получены некоторые положительные результаты [23].

Диссертация насчитывает 6 глав. В ГЛАВЕ 1 собраны сведения о леводистрибутивных квазигруппах и их свойствах, которые необходимы для постановки проблемы и ее решения. Вводится понятие ср - группы, т.е. группы П с выделенным автоморфизмом ср, удовлетворяющим некоторым условиям. Условия, налагающиеся на автоморфизм (р, позволяют гарантировать квазигрупповую структуру на однородном пространстве П/Т (Т - подгруппа ср - неподвижных элементов) относительно операции x=y=x(p(y"'x)(modT). Представление G=n/T заданной квазигруппы G неоднозначно, однако, каждое представление может быть редуцировано к так называемому " минимальному ".

Непосредственно задача ставится в ГЛАВЕ 2. В ней рассматриваются конечные леводистрибутивные квазигруппы и ср -группы. Формулируется гипотеза о разрешимости конечных квазигрупп и проводится сведение ее к чисто теоретико-групповой гипотезе о не простоте ф - групп. В конце главы приведены арифметические свойства подгруппы Т, а также теорема о том, что в случае (р2 = 1 группа разрешима. Эта теорема используется на заключительном этапе в главе 5.

Интерпретация простых классических групп в терминах групп Шевалле облегчает их исследование и придает наглядность изложению материала, поэтому ГЛАВА 3 содержит основные моменты теории групп Шевалле.

При разработке методов исследования и применения их к конкретным группам проведено доказательство ряда вспомогательных утверждений. Для удобства изложения эти сведения выделены в отдельную ГЛАВУ 4.

В ГЛАВЕ 5 предложены результаты исследования гипотезы для симплектических групп Sp2n(q) в нечетной характеристике. Доказательство гипотезы ведется методом от противного. Сначала рассматривается подгруппа Т - ср - неподвижных элементов, и доказывается, что TV(1). Затем выводится заключение о четности порядка подгруппы Т, что свидетельствует о наличии инволюции в Т. Индуктивные рассуждения относительно централизаторов инволюций приводят к случаю ср2=1, а это возможно лишь для разрешимых групп. Исключение из общей схемы доказательства составляет группа Sp4(3), которая рассматривается отдельно.

В ГЛАВЕ 6 приведено доказательство гипотезы для ортогональных групп в нечетной характеристике. Доказательство гипотезы ведется методом от противного. Каждая из серий: 02n+i(q), 04m+2±(q), 04m±(q) рассматривается отдельно. Сначала исключается случай Т=(1). Далее ход доказательства для групп 04m+2±(q) предусматривает деление элементов подгруппы Т на полупростые и унипотентные, а для групп 02n+i(q) и 04nf(q) устанавливается, что Т содержит полупростые элементы. В каждом из этих случаев выводится заключение о наличии в Т инволюции. Затем рассматривается централизатор инволюции, с помощью индуктивных рассуждений устанавливается его ср-тривиальность и сртривиальность всей группы. Объем вычислений представляется достаточно большим из-за необходимости рассмотрения многих частных случаев.

Результаты предлагаемой диссертации опубликованы в работах [15, 16, 18, 20-24, 26]; докладывались на IV и V Нижегородских сессиях молодых ученых (Саров, 1999-2000), на конференции, посвященной дню науки в Нижегородском Государственном педагогическом университете (2000), на алгебраических семинарах в Нижегородском Государственном университете и в Нижегородском Государственном техническом университете (1997-2000).

1. Артин Э. Геометрическая алгебра. - М.:Наука,1969.

2. Бурбаки Н. Алгебра (Многочлены и поля. Упорядоченные группы). М. :Наука, 1965.

3. Бусаркин В.М., Горчаков Ю.М. Конечные расщепляемые группы. М.: Наука, 1968.

4. Ван-дер-Варден Б.Л. Современная алгебра. ОГИЗ, 1947.

5. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в классификацию. -М.:Мир, 1985.

6. Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. М.:Мир, 1974.

7. Мазуров В.Д. Конечные группы.// Итоги науки и техники. Алгебра, топология, геометрия. Т. 14. М., 1976.

8. Семинар по алгебраическим группам. М.:Мир, 1973.

9. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.:Мир, 1969.

10. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.:Мир, 1975.

11. Холл М. Теория групп. М.:ИЛ, 1962

12. Галкин В.М. Леводистрибутивные квазигруппы./ Докторская диссертация. Горький, 1986.

13. Галкин В.М. Леводистрибутивные квазигруппы конечного порядка.// Квазигруппы и лупы,- Кишинев, 1979.

14. Галкин В.М. О симметрических квазигруппах.// Успехи математических наук, т.39, 6 выпуск, 1984.

15. Галкин В.М., Мохнина Н.В. О некоторых автоморфизмах на ортогональных группах в нечетной характеристике. Деп. В ВИНИТИ 17.01.00. №68-В00.

16. Галкин В.М., Мохнина Н.В. О ф структуре на группах E7(q), Eg(q), q - нечетно. IV Международная алгебраическая конференция,посвященная 60-летию профессора Ю. И. Мерзлякова. Тезисы докладов. -Новосибирск, ин-т математики, 2000.

17. Лещева С.В. Специальные автоморфизмы простых конечных групп./ Кандидатская диссертация. Санкт-Петербург, 1998.

18. Лещева С.В., Мохнина Н.В. О ф структуре на ортогональных группах 02n+i(q), 02n(q)±, q - нечетно. - Международный алгебраический семинар, посвященный 70 - летию кафедры Высшей алгебры МГУ. Тезисы докладов. - МГУ, 1999.

19. Суворова О.В. ф-структура на лиевских конечных группах./ Кандидатская диссертация. Санкт-Петербург, 1998.

20. Мохнина Н.В. О ф структуре на группе Sp2n(q), q - нечетно. -Деп. в ВИНИТИ 30.12.98. № 3933 - В98.

21. Мохнина Н.В. К разрешимости конечных ф-групп. IV Нижегородская сессия молодых чёных. (Математика и математическое моделирование.) - СарФТИ, 1999.

22. Мохнина Н.В. О некоторых автоморфизмах на ортогональных группах в нечетной характеристике. Деп. В ВИНИТИ 17.01.00. № 68 -В00.

23. Мохнина Н.В.О ф структуре на группах E7(q), E8(q), q -нечетно. IV Международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию профессора Ю. И. Мерзлякова. Тезисы докладов. - Новосибирск, ин-т математики, 2000.

24. Мохнина Н.В. О ф гипотезе на ортогональных группах в нечетной характеристике. - V Нижегородская сессия молодых чёных. (Математика и математическое моделирование.) - СарФТИ, 2000г.

25. Atlas of finit groups (J.H.Conway, R.T.Curtis, S.P.Norton). Oxford,1985.

26. Galkin V.M., Mochnina N.V. On the cp structure on the group Sp2n(q), q - odd. International Conference dedicated to the 90 th Anniversary of L. S. Pontryagin, p.28, August, 31 - September, 6. Moscow, 1998.

27. Burstin C., Mayer W. Distributive Gruppen von sndlicher Ordnung. -J. Reine und angew. Math.,1929,160,111-130.

28. Ficher B. Distributive Quasigruppen endlicher Ordnung. Math. Zeitschr, 1964, 83, s.267-303.

29. Ken-ichi Shinoda. The conjugacy classes of the finite Ree groups of type(F4).// Journal of the faculty of science, vol.XVI, part 3, Tokyo,1970.

30. Murdoch D.C. Structure of abelian quasi-qroups. Trans. Amer. Math. Soc., 49(1941)392-409.

31. Norton D.A. and Stein S.K. An integer associated with latin squares. Proc. Amer. Math. Soc., V.7 (1956), 331-334.

32. Smith J.D.H. Finite distributive quasigroups Proc. Cambridge Phil.Soc.,80, N1 (1976), 37-41.

33. Tompson J. Finite groups witn fixed-point-Free automorphisms of prime order. Proc.Nat. Amer. Sei USA,1959,45,578-581.

34. Toyoda K. On axioms of linear functions. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 17 (1941),221-227.

35. Wall G.E. On the conjugacy classes in the unitary, symplectic and orthogonal groups, J.Austr. Math. Soc., 3(1963), 1-62.госсткпл* fГОСУДАГСТРД»^ I3.0/