Ядра, линейность и уравновешенные тождества в квазигруппах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА Институт математики

На правах рукописи

ТАБАРОВ

Абдулло Хабибуллоевич

УДК 512.548

ЯДРА, ЛИНЕЙНОСТЬ И УРАВНОВЕШЕННЫЕ ТОЖДЕСТВА В КВАЗИГРУППАХ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Кишинев — 1992

Работа выполнена в секторе алгебры Института математики Академии наув Республики Молдова.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Бслявская Галина Борисовна.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Глухое Михаил Михайлович кандидат физико-математических .наук, доцент

Щукин Красарм Константинович

Ведущая организация: Университет Дружбы народов им. П. Лумумбы.

Защита диссертации состоится » ф&Х&ЁР^ 1992 год; в/^^часов на заседании специализированного совета К.012.03.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математически; наук в Институте математики Академии наук Республики Молдо ва по адресу: г. Кишинев, ул. Академией, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Аксдемш наук Республики Молдова.

Автореферат разослан « № » МйЯ^^ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Г. Б. Белявска:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории квазигрупп особую роль играют квазигруппы так или иначе "близкие" к группам. К таким квазигруппам, в частности, относятся квазигруппы, изотопные группам. Как известно [I], псе примитивные квазигруппы, изотопные группам, составляют многообразие, которое характеризуется тождеством от пяти переменных. Многообразие составляет такие все квазигруппы, изотопные абелевым группам. Оно характеризуется тождеством от четырех переменных [I] .

Этому многообразие принадлежат хорошо известные медиальные квазигруппы (их иногда называют абелевыми), т.е. квазигруппы, определяете тождеством хуиУ = хи-уУ. Согласно теореме Брака-То йоды [2]- -медиальная квазигруппа - это квазигруппа (0,-) вида ху-= ^х+с+уу , где - абелева группа, у - автоморфизмы этой группы, причем

а С - некоторый фиксированный элемент из (3 . Начиная с 1940 года медиальные квазигруппы всесторонне изучали многие известные алгебраисты (Д.Мёдоч, К.Тойода, Р.Брак, Г.Гриффин, М.Эттеринг-тон, А.Сад, Я.Ацель, С.Стейн, Т.Кепка, П.Немец, К.К.Щукин и др.). Эти квазигруппы близки по свойствам к абелевым группам, возникают при исследовании других классов квазигрупп и функциональных уравнений на квазигруппах.

Медиальные квазигруппы были обобщены Т.Кепкой и П.Немцем, которые ввели понятие Т-квазигруппы и детально их исследовали в работах^, 4]. Т-кваэигруппы имеют тот те вид, что и медиальные, но автоморфизмы «р и у не обязаны коммутировать между собой. Изучение Т-квазигрупп продолжила Г.Б.Белявская, которая, в частности, показала, что Т-квазигруппы в классе всех квазигрупп играют роль, аналогичную роли абелевых групп в классе всех групп. А именно, согласно теореме 5 из [б], квазигруппа совпадает с ее центром тогда и только тогда, когда она является Т-квазигруппой. Т-квазигруппой является и любой подквазигрупповой класс конгруэнции центра квазигруппы. В [б] также дана характеризация (примитивных) Т-квазигрупп двумя тоздествами, обобщающими* тождество медиальности.

Естественным обобщением Т-кпазигрупп (отказ от абелевости соответствующей группы) являются линейные квазигруппы. Впервые эти квазигруппы были введены в 1966 году В.Д.Белоусовым [I] в связи с исследованием уравновешенных тождеств в квазигруппах. При этом возникли такяе квазигруппы, изотопные группа!', и близкие г, линеЯнь-м. Однако детальное исследование таких квазигрупп не проводилось. Целесообразность изучения линейных квазигрупп с точки зрения и:< ео з-

можной характеризации тождествами, отмечены в обзоре Е.Н.Кузьмина к И.П.Иестакова [93.

Специфическими понятиями для квазигрупп и луп являптся понятна левого, правого и среднего ядер квазигрупп. Все они в какой-то мере отражают "близость" квазигруппы (лупы) к группе, т.е. "степень" ее ассоциативности. Известны разные подходы к определение ядер квазигрупп. В монографии В.Д.Белоусова [2] ядра в квазигруппе введены по аналогии с ядрами в лупах, при этом в основу их определения положены понятия регулярных подстановок в лупах. Однако, как показано Т.Кепкой |б] , в квазигруппах существует более общие понятия регулярных подстановок. Учитывая этот факт, Г.В.Белявская в [7] ввела более общие понятия едер квазигруппы, точнее отражающие специфику квазигруппы и тесно связанные с понятием центра квазигруппы.

Цель работы. Исследовать линейные и близкие к ним квазигруппы, установить связь между ядрами Г.Б.Белявской и линейностьл квазигрупп, описать многообразия различного типа линейных квазигрупп, продолжить изучение связи между линейными квазигруппами и уравновешенными тождествами, начатое В.Д.Белоусовым.

Методы исследования. Применяются методы современной алгебры и, в частности, теории квазигрупп и груш.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новы?®. В диссертации введено понятие алинейной квазигруппы, рассмотрены различные типы линейных (алинейных) квазигрупп, установлена их связь с ядрами, описаны многообразия примитивных линейных (алинейных) и близких к ним квазигрупп. Углублены некоторые известные результаты относительно связи линейности (алинейности) с уравновешенными тождествами. Описаны рад подмногообразий в классе Т-квазигрупп которые задаются уравновешенными несократимыми тождествами определенного вида. Исследованы свойства линейных (алинейных) квазигрупп дан критерий простоты линейных (алинейных) квазигрупп и построен свободные линейные квазигруппы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретичес кий характер. Ее результаты и методы могут найти применение -в теори квазигрупп и смежных областях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Цех дународнэй конференции по алгебре памяти А.И.Ширпова (Барнаул,1991] Международной конференции по теории групп (Румыния, 1992), VI Ыеждз народном симпозиуме по топологии (Кишинев, 1991), конференции моле дых ученых УДН им. П.Лумумбы (Москва, 1991-1992), семинаре по алге! рз и математической логике (Кишинев, 1992), семинарах по теории кш

лигрупп в Институте математики АЯ Республики Молдора.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работ;;. Диссертация состоит из введения, четырех параграфов (включая 5 0), разделенных на 14 пунктов, и списка литературы, вклпчач^его 27 названий. Работа изложена на 92 страницах машинописного текста.

Краткое содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы, определяется цели и задачи исследования,приводятся основные результаты работы.

В § 0 приведены некоторое определения и результаты, необходимые в дальнейшем. В § I показано, как связаны между собой ядра, центр и линейность квазигруппы, вводятся различные типы линейных, алинейных и смеланных линейных квазигрупп. Дается описание многообразий различного типа, линейных квазигрупп и изучается их группы регулярных подстановок.

В 5 2 изучается связь между уравновешенными несократимыми тождествами I и И рода в квазигруппе и ее линейность»), впервые замеченная В.Д.Белоусовым [i] .

В ? 3 исследуется линейные и алинейные квазигруппы, в частности, дается характеризация линейных (алинейных) квазигрупп единственны?/ тождеством, приводится критерий простоты линейных (алинейных) квазигрупп, устанавливается связь мезду конгрупнцилми линейной (алинейной) квазигруппы и конгруэнциями соответствующей группы, изучаются свойства линейных (алинейных) квазигрупп, строится свободная линейная квазигруппа.

Приведем краткое изложение каядого параграфа.

§ I. Дцра, центр и линейность

В п.1.1 рассматривается различные типы линейных, алинейных и смешанных линейных квазигрупп. Квазигруппа (Q,-) называется линейной слева (справа) над группой (Q,+), если

Xy = (fX + C + p,y ( xy = oCX + C+Y9), (I)

где (i (соответственно d ) - подстановка множества Q , ifeklM

/Lt(Q/0) . В случае, когда антиавтоморфизм группы (Q+),

квазигруппа вида (I) называется левой (правой) алинейной квазигруппой. Если же Ху = ^Х+С+фу , to(Q/) называется алинейной квазигруппой. В случае, когда группа (Q,+) - абелева, квазигруппа вида (I) называется левой (правой) Т-квазигруппой. Квазигруппа (Q)•) названа квазигруппой смешанного типа линейности, если она имеет вид

ухч-с + уу ИЛИ ху^ук+с+уу,

где у, 1\Л(0.,+), </, 9 - антиавтоморфизмы группы

Устанавливается связь между некоторыми типа:.-.! линейности.

Группы леш.тх, правых и средних регулярных подстановок для названных квазигрупп изучаются в п.1.2. В частности, устанавливается связь между группами регулярных подстановок линейкой(алинейной) квазигруппы и соответствующей ей группы.

В п.1.3 изучается левое, правое, среднее К-ядра и Ь-центр линейных (алинейных) квазигрупп (теорема 1.1), а также леводистри-бутивннх квазигрупп, изотопных группам (теорема 1,3).

В п.1.4 устанавливается глубокая связь между ядрами и линейностью. А именно, доказаны следующие угверздения.

Теорема 1.4. Пусть №е(Ь) (ИДИ))- левое (правое) Ь-яд-ро квазигруппы (0,-). тогда (Мг(Ь)=0)» если и только если(<?,•)-

линейная слева (справа) квазигруппа, а ^(Ь) = 0 — НГ(И) , если и только если (О,-)- линейная квазигруппа.

Теорема 1.5. Среднее К-ядро квазигруппы (О,*) совпадает со всеП квазигруппой (0/) тогда и только тогда, когда(0>-)-квазигруппа а к да . где. ^ - антиавтоморфизм груп-

пы , - подстановка множества б , СбО .

Теорема 1.6. Пусть МгО^ДО1), - левое, правое и

среднее Ь-ядра квазигруппы (б,-) соответственно. Тогда N».00 = ^МДЬ^-О (>!{01)=11„(1Г>')-(5) , если и только если квазигруппа (О,-)

5ШееТ ВВД = + ( >^у>Х+С+?у),

где Ч^ у, 9 - антиавтоморфизмы группы

Теорема 1.7. В квазигруппе (.Ь) =• - ~ © • если и только если (С?,') - Т-квазигруппа.

В п.1.5 доказывается, что все (примитивные) линейные слева (справа) квазигруппы составляя? многообразие, характеризуемое одним тоздеством (1.17) ((1.18)):

[х(и\у)]г«[х(ы\и)](.и\уг)

(х[СУ/и)г]=(ху/и)[(а/и)2] )

(теорема 1.8). Примитивные линейные квазигруппы характеризуете* двумя тождествами (1.17) и (1.18) (следствие 1.7). Выделя-зта другие многообразия квазигрупп, близкие к линейным, в частности многообразие квазигрупп вида . Ху = , соответствуя'

;;;ее тождеству (1.19):

[и\((х/ы)у)]у = у[и\((и\%)у)]

(теорема 1.9) и многообразия квап-лгрупп смешанного типа линейности Ху = ^Л+с^-^^, ху = + • Согласно теоремам 1.П и 1.12 они определяется двумя тождествами (1.18), (1.19) и (1.17), (1.19) соответственно. Примитивные Т-квазигруппы характеризуется тремя тождества».;« (1.17), (1.18) и (1.19) (теорема 1.10).

§ 2. Уравновешенные тоядества и линейность

Пусть (О,-) - квазигруппа. Согласно [I] тождество VI, п

(О,-) называется уравновешенным, если выполняется следующее условие: если X входит в одну часть тоздества, то X входит и в другу*) часть, причем только один раз. Тождества ассоциативности и коммутативности является примерами ураьновешенннх тождеств. .Уравновешенные тоядества разделяпт на два рода: I рода, когда элементы в V/, и V, упорядочены одинаково (например,тождество ассоциативности) и И рода в противном случае (например, коммутативность).

Уравновешенное тождество Н-^г в квазигруппе (¡2^) сократимо (см. f8] ), если:

- из включения следует /у или ухе^, ;

- V/, имеет вид хи или их , то \ч'г имеет вид XV или УХ , где X - свободный элемент.

В п.2.1 приводятся некоторые известные результаты В.Д.Бело-усоза о связи уравновешенных несократимых тождеств с линейностья, в частности, теорема 5 [I] : пусть в квазигруппе (<2,-) выполняется несократимое уравновешенное тождество (I или 11 рода). Тогда (О,-) изотопна некоторой группе , причем изотопия имеет вид:

хд=огх+ру,

где, по крайней мере, одна из подстановок или является либо автоморфизмом, либо антиавтоморфизмом.

В.Д.Белоусов также показал, что обращение этой теоремы не всегда имеет место.

Теоремы 4 и 7 из [I] утверждает, что в квазигруппе выполняется уравновешенное несократимое тождество I рода конечной длины тогда и только тогда, когда она линейна над группой, а определяющие автоморфизмы имеют конечный порядок.

Результаты В.Д.Белоусова анализируется с точки зрения введенных типов линейности, связанных с уравновешенными несократимыми тождествами. Априори их можно выделить II типов(следствие 2.1). Показано, что часть из них ц? может вообще привести к уравнове-

шенным несократтла: тождествам, часть приводит только к тоядест- • пак I (11) рода.

В гг.2.2 исследуются левые (правые) Т-квазигруппы к Т-квази-группы и их связь с уравновешенный несократимыми тождествами. В частности, доказывается следующее утверждение для правых Т-квазигрупп, являющееся аналого;.' соответствующего утверждения (теорема 2.3) для левых Т-:сзазигрулп из [1} :

Т е о р з м а 2.4. Пусть (0,') — правая Т-квазигруппа: ху ~ = , V - автоморфизм порядка к , ¡л - подстановка гно-

•^еотва М={0,1,г,.... , где ? кратно к , такая, что:

I) (ЧСФО,

з)

для любого ^ N . Тогда з (О,-) выполняется следующее уравновешенное несократимое тождество И рода (2.5):

[«с Ум - У. «.*] = [ V V» • •• V V]

Обратно, если в квазигруппе (0,-) выполняется тождество (2.5) для некоторой подстановки /л кнохества N = {0,1, 2,б}- , то ((3,-)- правая Т-квазигруппа: ху = йх+^у , автоморфизм у имеет конечный порядок к , делящий р.)-] для каждого 0,1,2,...,£, а подстановка р удовлетворяет условиям I), 2) и 3).

Следствие 2.2 из теоремы 2.3 и теорем 2.4 устанавливает связь кезду Т-квазигруппаш и ураЕКоаеоенными несократимыми тождествами Ирода (2.4) и (2.5):

(х УД • •• !/н-. У*) = (:* УмУо, ■ ■ • ), [УД-, ••• УД*]

где (Мг...х«)= ((■•• ((х,хг)Х1)...)Хи>,:, [V,-М = X,(^(...(Х^СХ^Х,)...})

В п.2.3 на основании результатов п.2.2 выделяется ряд многообразий левых (правых) Т-квазигрупп Т-квазигрупп, характеризуемых уравновешенными несократимыми тождествами II рода и зависящими от порядка определяющих автоморфизмов.

Пусть р , - простые числа. Введем следующие обозначения: Ое (аг) - класс всех левых (правых) Т-квазигрупп вида

СХр1(С1, класс всех левых (правых) Т-квазигрупп вида

класс всех Т-квазигрупп вида

Теорема 2.5. С1г (О,)-

многообразие, характеризуемо.. тождеством (ХУД) = (х У, У.) ( С У. & *] = [У о У, * 3 ).

Теорема 2.6. (Зрд- многообразие, характеризуй-1 тождеством (2.12) ((2.13)): '

Схид...^дг)в(х9,«,...днУе) - VI;

Теорема 2.7. С1ргц, - многообразие, характеризуя двумя тождсстпт'и (2.12) и (2.13).

В п.2.4 дается характеризация некоторых Т-квазигрупп с и»-равновешенными тождествами, в частности, доказана

Теорема 2.8. Для квазигруппы (0,-) следующие условия вивалентны:

1) (в,-) - Т-квазигруппа: ху = ^с+^У, причем у = ууГ'^

2) в примитивной квазигруппе (Д.'.Л4) выполняется тождеств

[х (У/и)] 1г[х (и/и)](г у/и);

3) в примитивной квазигруппе (О,-, I выполняется тождеств

Описываются Т-кваз«группы с тождеством полусимметркчностп — х-ух = у. (предложение 2.2), с II тождеством Стейна - х-ух = ух-у (предложение 2.3), с Ш тождеством Стейна - ху'ух-у (предложение 2.4), с I (II) тождеством Шредера - х-ху=ху-у £ху.ух-.= к) (предложение 2.5), с тождеством х (х-*у) = у (предложе-

ние 2.6).

§ 3. Линейные и алинейные квазигруппы

В п.3.1 устанавливается ряд свойств линейных (алинейных) квазигрупп, в частности, описываются порождающие группы внутренних подстановок (предложения 3.1, 3.2), устанавливается вид парастро-фов линейкь'С (алинейных) квазигрупп. В отличие от линейных квазигрупп, алинейные.квазигруппы оказались, как и Т-кзазигруппы, инвариантными относительно парастрофии (лемма 3 2).

В п.3.2 дается характеризация линейных (алинейных) кгазг.групп единственны;.? тождеством:

Теорема 3.1. Квазигруппа (О,-) является линейной тог;;;1 и только тогда, когда в сыполняется тождество (3.3);

хд.иV = хи-у• V) , где (и\((и/и)у• и))/('и\и).

Теорема 3.2. Квазигруппа (Q,-) является алинейной тогда и только тогда, когда в (Qвыполняется тождество (3.4):

xy.av= (fev.y> их,

где ^V=C(X((X/X)V))/X)/(X\X).

Из этих теорем следует, что тождества (3.3) и (3.4) (как показала Г.Б.Белявская [б] , характеризующие Т-квазигруппы) независимы, а многообразие Т-квазигрупп есть пересечение многообразий линейных и алинейньгх квазигрупп.

В п.3.3 устанавливается связь конгруэнций линейной (алинейной) квазигруппы и конгруэнций соответствующей группы (предложение 3.4) и описываются простые линейные (алинейные) квазигруппы (следствие 3.3).

В п.3.4 исследуются некоторые свойства линейных квазигрупп, зависящие от ее Л-формы (леммы 3.3 - 3.II, теорема 3.3) и необходимые для построения свободной линейной квазигруппы.

Если (Q,-)-линейная квазигруппа = то четверка

((Q,+), ¥>yv с) называется . А-формой квазигруппы (Q, ) и обозначается следующим образом: Л= ((Q,+), с).

В п.3.5 строится свободная линейная квазигруппа F[X,X,J , имеющая Л-форму А= ((F,+), <f, (j.*^)). где (fr,+) -свободная группа, свободно порожденная множеством (г - свободная группа ранга два, X - непустое множество,

£ Aut(F,+) , j - единица группы & , Хс6 X . Доказывается, что G- =A(F[X,x3,A)= ¿ЪЧ^ (лемма 3.12) и F[X,x/] -свободная квазигруппа, свободно порожденная множеством С(Х) = = {(j,x)jxtX,xHj[U{Oj , где 0 - ноль группы (f,+) (теорема 3.4).

Цитированная литература

1. Белоусов В.Д. Уравновешенные тождества в квазигруппах // Мат. сб. - 1966. - 70 (112), В I. - С. 55 - 97.

2. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. - М.: Наука, 1967. - 223 с.

3. Корка Т., Истой P. T-quaoicroupo. X // Acta Univ.Carol.math, et phys. - 1971. - Vol. 12, II 1. -P. 39 - 49.

4. Kcpka Т., Hems8 P. T-quuaigroupa. II// Acta Univ. Carol, math, et phys. - 1971. - Vol. 12, II 2. - P. 31 - 49.

5. Белявская Г.Б. Т-кваэигруппы и центр квазигруппы // Мат. исслед., вып.III. - Кишинев: Штиинца, 1989. - С. 24 - 43.

6. Керка Т. RoguIu.1- riappin/jn оГ crounoida // Acta Univ. Carol, nath. .¿t phy.i. - 1971. - Vol.12, H 1. - P. 25 - 37.

7. Белявская Г.Б. Левое, правое, среднее ядра и центр квазигруппы // ИМ с ВЦ АН CCFH. Препринт. Кишинев, 1908. - 43 с.

8. Белоусов В.Д. Квазигруппы с вполне сократимыми уравновешенными тождествами // Мат. исслед., вып.83. - Кишинев: Штиинца, 1965. - С.II - 25.

9. Кузьмин E.H., Шестаков И.П. Неассоциативные структуры // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.57. - М.: ВИНИТИ, 1990. - С.179 - 267.

Работы автора по теме диссертации

1. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Характеристика линейных и али-нейных квазигрупп // Дискретная математика. - 1992. - Т. 4., вып.2. - С.142 - 147.

2. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Ядра и центр линейных квазигрупп // Изв. АН га. Математика. - 1991, !? 3(6). - С.37 - 42.

3. Табаров А.Х. Т-квазигруппы с дополнительными тождествами.-Кишинев, ИМ с ВЦ АН МССР, 1991. - 12 с. Депонировано в ВИНИТИ 09.01.91, № 163-В91.

4. Табаров А.Х. Группы регулярных подстановок и ядра линейных и близких к ним квазигрупп // Изв. АН РМ. Математика,- 1992, № 3(9). - С.30-36.

5. Табаров А.Х. Характеристика некоторых многообразий квазигрупп, изотопных группам // Тезисы докладов ХХУП научной конференции факультета физико-математических и естественных наук, 13-18 мая 1991. Москва, УДН. - С.157.

6. Табаров А.Х. О конгруэнции центра некоторых квазигрупп, изотопных группам // Тезисы ХХУ1П конференции молодых ушных УДН. Москва, 1992. С.17.

7. Tabarov Л. Regular mapping groups of linear and alinear qua-aigroups // International Cernieren ce on Group Th-эогу. Timi;;o-arcv, 1992. Abstracta, 1992. - 85 - 86.

8. Tabarov A. Nuclei and centre of зоае quaoigroups // Vlth Tiraspol sinposium on general topology and its applications. Kishinev, 1991. - ?. 192.

9. Belyavsicnya G., Tabarov A. Ciiaract oris tic of 3inecr and alinear quacicroups // Международная конференция по алгебре,посвященная памяти - А.И.Ширтова (1921 - 1981). Тезисы докладов по логике и универсальным алгебрам, прикладной алгебре.- Бар-

наул, 1991. - С.15.