Алгебраические модели турбулентности для некоторых канонических пристенных течений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

п (

д

(/

Ч /1 ,Г-

т Ь о

Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

На правах рукописи УДК 536.516

Лабусов Алексей Николаевич

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ и КАНОНИЧЕСКИХ ПРИСТЕННЫХ ТЕЧЕНИИ

Специальность 01.02.05 - "Механика жидкости, газа и плазмы"

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.В. Лапин

Санкт-Петербург 1999

Оглавление

Условные обозначения........................................3

Введение 5

0.1 Об основных подходах к моделированию турбулентных

пристенных течений............................................5

0.2 О структуре турбулентных пограничных слоев..........10

0.3 Цели работы. Базовые модели..............................12

0.4 Краткое содержание работы................................16

1 Алгебраическая модель переходного пограничного слоя на плоской пластине 20

1.1 Введение........................................................20

1.2 Модификация модели ПЛК-3 для переходного пограничного слоя........................................................27

1.3 Тестирование модели..........................................30

1.4 Выводы..........................................................38

2 Алгебраические модели переходного и турбулентного пограничного слоя на плоской пластине для течений сжимаемого газа с теплообменом 40

2.1 Введение........................................................40

2.2 Уравнения сжимаемого турбулентного пограничного слоя

на плоской пластине..........................................41

2.2.1 Вычисление коэффициентов молекулярного переноса для воздуха......................................43

2.3 Модификация моделей ПЛК-3 и ГЛС для сжимаемых течений ............................................................46

2.4 Тестирование модифицированных моделей ГЛС и ПЛК-3

для случая сжимаемого течения............................49

2.4.1 Теплоизолированная стенка, Tw/Taw — 1............50

2.4.2 Теплопроводная стенка, Tw/Taw = 0.2 -f 0.5 .... 57

2.5 Тестирование модели переходного пограничного слоя для случая сжимаемого течения..................................66

2.6 Выводы..........................................................71

3 Алгебраическая модель турбулентного пограничного слоя

на выпуклой криволинейной поверхности 74

3.1 Введение........................................................74

3.2 Уравнения пограничного слоя на криволинейной поверхности ............................................................80

3.3 Модель турбулентности ......................................82

3.3.1 Баланс сил в пограничном слое на криволинейной поверхности............................................82

3.3.2 Формулировка модели............... . 84

3.4 Тестирование модели..........................................92

3.5 Замечания о законе стенки ..................................115

3.6 Выводы..........................................................121

Заключение 124

Список литературы 128

Условные обозначения

х, у, г- оси координат;

и, V, IV- проекции вектора полной скорости на оси координат;

ир- скорость потенциального потока;

11ри)- скорость потенциального потока на стенке;

р- давление;

р- плотность;

Т- температура;

Я- газовая постоянная;

Иш- радиус кривизны поверхности;

Ме- число Маха внешнего потока;

г- коэффициент восстановления;

ср- удельная теплоемкость газа при постоянном давлении;

¡л- динамическая вязкость;

V- кинематическая вязкость;

Л- коэффициент теплопроводности;

/г- энтальпия;

с/- коэффициент трения;

г- напряжение трения;

Vскорость трения;

Ъ8С- масштаб скорости;

I- линейный масштаб;

д- тепловой поток;

5- толщина пограничного слоя; 5*- толщина вытеснения; S**- толщина потери импульса; Н = 5*/5**- формпараметр;

7- параметр перемежаемости, показатель адиабаты; D- демпфирующий множитель; (р, г/- переменные закона стенки; Hs- коэффициент Ламэ; Рг- число Прандтля; Rex- число Рейнольдса,Деж = Uxfv, Re**~ число Рейнольдса,Ле** = US**/и; Ri- число Ричардсона; е- степень турбулентности потока; Нижние индексы:

е- условия на внешней границе; w- условия на стенке;

aw- условия на теплоизолированной стенке; Т- параметры в турбулентном потоке; eff- эффективные параметры; г- внутренняя область; о~ внешняя область;

т- граница между внутренней и внешней областями;

995- условная толщина пограничного слоя в которой значение скорости составляет величину 0,995Ue;

Введение

1. Об основных подходах к моделированию турбулентных пристенных течений

Проблема турбулентности в механике жидкости и газа была и до настоящего времени остается одной из наиболее актуальных и практически значимых. Говоря об основных тенденциях в развитии исследований в этой области, нужно отметить отчетливо проявившееся в последние два-три десятилетия смещение центра тяжести указанных исследований от экспериментального изучения процессов переноса в турбулентных потоках к их численному моделированию. Важнейшей предпосылкой для развития этой тенденции стал быстрый рост ресурсов памяти и быстродействия ЭВМ, а также разработка и внедрение в практику высокоэффективных вычислительных технологий. Немаловажную роль сыграл и экономический фактор: высокая стоимость экспериментальных исследований.

Рассмотрим несколько подробнее ситуацию, складывающуюся в настоящее время, в области моделирования турбулентных пристенных течений. Традиционный подход к расчету таких течений основывается на осредненных по тому или иному правилу уравнениях Навье-Стокса. Полученные таким образом уравнения Рейнольдса вследствие нелинейности уравнений Навье-Стокса оказываются незамкнутыми; замыкание уравнений Рейнольдса проводится с помощью тех или иных полуэмпирических гипотез турбулентности.

Принципиальный недостаток такого подхода заключается в том, что осреднение осуществляется сразу по всем масштабам турбулентности и, следовательно, моделирование на основе полу эмпирических гипотез необходимо проводить с учетом разномасштабности структур, участву-

ющих в процессах переноса в тех или иных областях течения. В рамках простейших алгебраических моделей турбулентности учет многомас-штабности турбулентности как явления выразился в создании многослойных схем течений, в частности пограничных слоев (более подробно ситуация с алгебраическими моделями будет проанализирована ниже).

На рубеже 60-70-х годов потенциальные возможности алгебраических моделей, предназначенных для замыкания уравнений для первых моментов, представлялись в большей степени исчерпанными. Констатация этого факта была зафиксирована в выводах 1-ой Стэнфордской конференции 1968г. [1].

70-е годы и начало 80-х годов прошли под знаком интенсивного развития полу эмпирических моделей турбулентности, основывающихся на уравнении для старших, прежде всего вторых моментов. В настоящее время спектр этих моделей необычайно широк и включает модели разного уровня. Классификация по уровням [2] базируется на оценке характера уравнений, используемых в модели:

1. Алгебраические модели (нулевой уровень).

2. Модели турбулентности, основанные на использовании, помимо уравнений для первых моментов, одного обыкновенного дифференциального уравнения для описания того или иного параметра (полудифференциальные модели).

3. Дифференциальные модели с одним уравнением (например, для кинетической энергии турбулентности) и алгебраическим соотношением для линейного масштаба турбулентности (первый уровень). Сюда же относятся модели с одним уравнением для турбулентной вязкости.

4. Дифференциальные модели с двумя уравнениями к — £", к — а;, к — Ь (второй уровень).

5. Модели Рейнольдсовых напряжений.

Оценивая итоги развития дифференциальных моделей, основанных на использовании уравнений для вторых моментов (модели групп 3 и

4), в 70-е годы 2-ая Стэнфордская конференция 1980г. [3] отметила, что в рамках этого подхода, существенно расширившего возможности моделирования особенно течений со сложной геометрией, не удалось решить проблемы пристенной турбулентности: предсказание точки отрыва пограничных слоев при неблагоприятных перепадах давления, описания переходных режимов течений от ламинарного к турбулентному, течений в отрывных областях и т.д.

В качестве альтернативного методу Рейнольдса направления в конце 70-х начале 80-х годов стало рассматриваться прямое численное моделирование турбулентных течений (в зарубежной литературе DNS-Direct Numerical Simulation) на основе трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса [4]. В рамках этого направления, не нуждающегося в использовании какой-либо эмпирической информации, были получены многие важные для теории турбулентности результаты. Однако, высокая стоимость подобных численных расчетов и ограниченность вычислительных ресурсов даже современных суперкомпьютерных систем, позволили до сих пор осуществить моделирование лишь сравнительно простых канонических течений с умеренными числами Рейнольдса.

В качестве компромиссного в определенном смысле подхода к моделированию турбулентных течений в конце 70-х годов стал рассматриваться метод моделирования крупных вихрей (в зарубежной литературе LES - Large Eddy Simulation) [5]. Суть данного подхода состоит в математическом разделении описания крупных и мелкомасштабных структур посредством той или иной операции фильтрации. При этом расчет осредненных характеристик крупномасштабных вихревых структур, размер которых определяется полосой пропускания фильтра, проводится на основе детерминированных уравнений. Мелкомасштабные вихри необходимо моделировать. Для моделирования мелкомасштабной турбулентности обычно используются приемы, во многом адекватные приемам построения полуэмпирических моделей для замыкания уравнений Рейнольдса. В рамках этого направления так же, как и в рамках прямого моделирования турбулентности, были получены важные для понимания поведения крупномасштабных структур результаты. При этом, однако, выяснилось, что качество моделирова-

ния мелкомасштабной турбулентности во многом определяется шириной фильтра. Стремление к снижению ширины фильтра ведет к росту вычислительных ресурсов, необходимых для моделирования. Оценки вычислительных затрат в рамках метода моделирования крупных вихрей показывают [6], что они соизмеримы с затратами при прямом численном моделировании. По прогнозу, приведенному в работе Ф. Спа-ларта [6], прямое моделирование может стать инструментом практического решения прикладных задач примерно к 2080г., а метод моделирования крупных вихрей - к 2045г. Из приведенных оценок следует, что практической основой моделирования турбулентных течений в ближайшей и среднесрочной перспективе останется подход, основанный на уравнениях Рейнольдса, замкнутых с помощью тех или иных моделей турбулентности.

Возможно, не слишком оптимистичный прогноз относительно перспектив DNS и LES, сделанный в работе [6], в определенной степени обусловлен существенными результатами, полученными в рамках традиционного моделирования. В последние годы появились модели с достаточно широким диапазоном применимости, подтвердившие свою эффективность при решении многих прикладных задач. В связи с этим укажем на две дифференциальные модели с одним уравнением для турбулентной вязкости- модель {vt — 92) А.H. Секундова с соавторами [7] и модель Спаларта-Аллмараса [8], а также дифференциальную модель с двумя уравнениями (к — uj) Ментера [9].

В заключение коснемся проблем и роли алгебраических моделей турбулентности в контексте высказанных выше соображений о ситуации в области моделирования турбулентных пристенных течений.

Алгебраические модели турбулентных пристенных течений, т.е. модели, основанные на уравнениях для первых моментов, а также на некоторых представлениях о структуре течения и простейших полуэмпирических теориях турбулентности (Прандтля, Кармана, Клаузера и др.) в течение длительного времени были основным средством решения многочисленных прикладных проблем гидрогазодинамики. Ограниченные возможности этих моделей хорошо известны. Сфера их применимости- турбулентные пограничные слои, течения с ясно выраженным сдвигом; однако, эти модели трудно применить к течениям со слож-

ной геометрией. Последнее обстоятельство, по-видимому, было одной из главных причин достаточно длительной по времени утраты интереса к алгебраическим моделям, наступившей в начале 70-х годов после 1-ой Стэнфордской конференции. Несомненно, негативную роль сыграла также известная переоценка возможностей полуэмпирических моделей турбулентности, основанных на уравнениях для вторых моментов, имевшая место в 70-е годы. Выводы 2-ой Стэнфордской конференции 1980-1981 гг. подтвердили существование чрезмерного оптимизма в оценке указанных моделей.

Анализ ситуации, касающейся проблем моделирования турбулентных течений, сложившейся в середине 80-х годов [10], привел, в частности, к выводу о том, что потенциальные возможности алгебраических моделей далеко не исчерпаны. При этом отмечалось, что основное внимание при разработке алгебраических моделей должно быть сосредоточено на простейших канонических течениях. Как правило, такие течения хорошо изучены экспериментально и широко используются как тестовые для "настройки" более сложных моделей турбулентности. Следует подчеркнуть, что с точки зрения понимания и осмысления структуры канонических течений алгебраические модели представляются наиболее развитым инструментом анализа. Более глубокий анализ канонических течений [11] показал, что некоторые фундаментальные закономерности таких течений остаются не изученными до сих пор. Это относиться, в частности, к проблеме многообразия форм закона стенки, реализующихся в тех или иных канонических течениях. Лишь для некоторых канонических течений, например, течения на плоской пластине и течений с продольным перепадом давления, можно с определенностью указать на форму закона стенки, определяющего профиль скоростей в пристенной области. В ряде других случаев такая определенность отсутствует. Следует отметить, что вопрос о форме закона стенки является принципиальным для моделей турбулентности всех уровней. "Неудачи" многочисленного семейства к — е-моделей в предсказании характеристик пограничных слоев в предо-трывных областях, как свидетельствует анализ [11], непосредственно связан с характерной для этих моделей формой закона стенки, существенно отличающейся от канонической.

Последние годы отмечены возрождающимся интересом к алгебраическим моделям для пристенных турбулентных течений [11], [12], [13].

На кафедре гидроаэродинамики Санкт-Петербургского государственного технического университета в последние годы разработан ряд алгебраических моделей для некоторых типов канонических пристенных течений - турбулентного пограничного слоя на плоской пластине [14]; переходного и турбулентного установившегося течения в трубе с гладкими стенками [15], [16] и шероховатыми [17]; турбулентного пограничного слоя на плоской пластине с неблагоприятным градиентом давления [18].

Настоящая работа [19], [20] лежит в русле этих исследований и является обобщением ранее предложенных алгебраических гипотез турбулентности для описания двух типов пристенных канонических течений: в переходном пограничном слое плоской пластины и течения в турбулентном пограничном слое на выпуклой криволинейной поверхности. Прежде чем будут сформулированы дели, поставленные в диссертационной работе, коротко коснемся вопроса о структуре турбулентных пограничных слоев.

2. О структуре турбулентных пограничных слоев

Современные представления о структуре турбулентного пограничного слоя базируются на опытных данных [21]. Согласно этим представлениям в турбулентном пограничном слое можно выделить по меньшей мере пять подобластей: вязкий подслой, переходная или буферная область, область логарифмического профиля скоростей, область закона следа и область перемежаемости. Первые три области (вязкий подслой, буферная область и область логарифмического профиля скоростей) принято объединять в одну внутреннюю область или область закона стенки. Внутренняя область пограничного слоя на плоской пластине занимает ~ 15 — 20% от толщины всего слоя. Согласно измерениям в ней генерируется до 80% энергии турбулентности, причем первые 5% толщины дают более половины вклада в полное производство турбулентной энергии. Область закона следа и область перемежаемости обычно объединяют во внешнюю область пограничного слоя, которая занимает « 80% от толщины всего слоя.

Внешняя область турбулентного пограничного слоя с характерной для нее крупномасштабной турбулентностью обладает "долгой памятью" по Клаузеру [22]. Полное затухание возмущений в данной области происходит на расстоянии, во много раз превышающем линейный масштаб турбулентности. Следовательно, свойства течения во внешней области могут зависеть в большей степени от предыстории потока.

Как уже отмечалось выше, различные области пограничного слоя отличаются друг от друга разномасштабностью вихревых (когерентных) структур.

Цепочка вращающихся в противоположных направлениях продольных вихрей плотно покрывает всю гладкую стенку. Эти вихри подвержены колебаниям вблизи