Алгоритмические аспекты метода конечных элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

НАДЮадЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ШСТИТУ,дЖЩР>НЕТИКИ ІМЕНІ В.М. ГЛУШКОВА

На правах рукопису

Сбродова Галина Олександрівна

УДК 519.6

АЛГОРИТМІЧНІ АСПЕКТИ МЕТОДУ СКІНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

01.01.07 - обчислювальна математика

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1998

Дисертація є рукопис.

Робота виконана на кафедрі чисельних методів математичної фізики Київського університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор МАКАРОВ Володимир Леонідович,

Київський університет імені Тараса Шевченка,

. факультет кібернетики, завідувач кафедрою

чисельних методів математичної фізики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор ПРИКАЗЧИКОВ Віктор Георгійович,

Київський університет імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики, кафедра обчислювальної математики

кандидат фізико-математичних наук,

ЯКОВЛЄВ Михайло Федорович, старший науковий співробітник Інституту кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України

Провідна установа - Львівський державний університет імені

Івана Франка, факультет прикладної математики, кафедра обчислювальної математики

Захист відбудеться "25 " грудня 1998 р. о 11й8 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.194.01 при Інститут:

кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України за адресою 252022, Київ-22, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитись в науково-технічном) архіві Інституту кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України.

Автореферат розісланий "25і1 листопада 1998 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради (

з

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬНІСТЬ ТЕМИ

Одним із найбільш поширених методів розв’язування задач математичної фізики є метод скінченних елементів. Розвиток теорії цього методу зв’язаний з іменами таких відомих математиків, як Р. Курант, К. Фрідріхс, О.А. Самарській, Г.Стрег, Дж. Оден, І. Бабушка, Г.І. Марчук, С.Г. Міхлін, Ю.К. Дем’янович,

О.Зиккевич, В.Г. Корнєєв та багатьох інших. Разом з тим ряд алгоритмічних аспектів скінченноелементних методів лишилися відкритими, хоча вони й становлять значний інтерес для практики. Серед них особливу роль відіграють питання про ефективну оцінку сталих стійкості в різних нормах, бо від них залежить вибір стратегії триангуляції області, обумовленість відповідних алгебраїчних систем, а також величина сталих, що входять в апріорні оцінки точності скінченноелементннх апроксимацій. Запропонована дисертація і присвячена дослідженню вищевказаних питань. Крім цього, в ній обгрунтовано комбінований метод для розв’язування скінченноелементної апроксимації задачі про згин пластин, який базується на маршовому методі та методі блочної верхньої релаксації, з оцінкою алгоритмічної складності (трудомісткості), а також знайдені сталі в теоремах про продовження кусково-полікоміальних функцій. Все це ■обумовлює актуальність дисертаційної роботи.

МЕТОЮ РОБОТИ є:

- ефективна алгоритмічна реалізація схем методу скінченних елементів для задач теорії пружності і маршевого методу;

- побудова предобумовлювача в ітераційних методах для знаходження розв’язку систем скінченноелементних рівнянь, що апроксимують задачу Діріхле для рівняння Пуассона в областях складної форми;

- отримання ефективних оцінок сталих стійкості курантовських апроксимацій в метриках просторів 1,2, а також асимптотичного представлення сталих стійкості у випадку виродження трикутників;

- побудова близької до оптимальної триангуляції (а - триангуляції) для областей з границею, шо належить до різних класів гладкості (неперервно-диференцйована.

кусково-гладка границя з ненулевими кутами, а також кусково-гладка границя з внутрішніми нульовими кутами степеневих порядків);

- доведення теореми про продовження кусково-лінійних сіткових функцій.

ЗАГАЛЬНА МЕТОДИКА ДОСЛІДЖЕННЯ.

В роботі застосовуються методи математичної фізики, функціонального аналізу і обчислювальної математики.

НАУКОВА НОВИЗНА

Запропонована нова стратегія побудови триангуляцій в залежності від гладкості границі, знайдені ефективні оцінки параметрів триангуляції і власних чисел квадратичних форм у випадку курантовських скінчених елементів. Одержані ефективні оцінки сталих стійкості курантовських апроксимацій в \У2*. Отримано асимптотичне представлення сталих стійкості у випадку виродження трикутників. Дано теоретичне обгрунтування маршевого методу для знаходження розв’язку різницевої схеми, зв’язаної з задачею про згин пластинки, знайдені оцінки обчислювальної складності відповідного алгоритму.

ПРАКТИЧНА ЦІННІСТЬ

Результати, отримані в дисертації, можуть знайти застосування в теоретичних дослідженнях, пов’язаних з методом скінчених елементів для задач математичної фізики, а також для практичного розв’язування деяких задач механіки твердого деформованого тіла.

АПРОБАЦІЯ РОБОТИ

Результати дисертації опубліковані в 1 монографії та 5 статтях, а також доповідалися на кафедрі чисельних методів математичної фізики факультету кібернетики Київського університету імені Тараса Шевченка і на науковому семінарі лабораторії методів обчислень Науково-дослідного інституту математики і механіки імені академіка В.І. Смірнова Санкт-Петербургського університету.

ОБ'ЄМ І СТРУКТУРА РОБОТИ

Дисертація складається із вступу, трьох глав, трьох додатків, заключения та списку літератури. Дисертація написана на 157 сторінках машинописного тексту, містить 5 малюнків і 12 таблиць.

ЗМІСТ РОБОТИ

В главі І розглянутий комбінований метод для розв’язування скінченоелементної апроксимації задачі про згин пластинки, що базується на маршевому методі і методі блочної верхньої релаксації та с більш ефективним у порівнянні з іншими методами.

Розглянемо задачу зі ина пластики в прямокутнику ДДи*0' = !'(х)

Зи‘01

Ди,0’ = УЭ2и,07йсІ х є Сі, и(0’ =

и р І5 дп

= 0

Для розв'язання цієї задачі скористуємось наступною різницевою схемою В.Г.Корнєєва.

6/Ь3 [(2/И (-иі.,./0) + ги,/01 - її*,.] №)-(им.і"> + и*,./0) +

2/Ь(-и^.|<0) + 2и,;<9> - ии+| (0)) - и^.,,2) + ии+1 (2))] = ^х*).

1/Ь2 [(6Лі (и,.м<0,'и„,.і,0>) + 2(им.і0) + 4и,,і<|) + и*,.;"1) +

+ (-и1.і.,(,| + 2ии(1)-иі.і+,,,>)] = 0. ■

1/Ь2 [(6Лі (и,.^<0) - и,н <°>) + 2(иі.н{2) + 4иі. і (2) + и,;+1 (21) +

+ (-и1.и(2' + 2ииа,-иі+1.ііг>)]=0.

Тут и^0’, иь’1 \ Ці <2> - сіткові функції, які відповідають значенням ш,'01. (1и(0)ЛІХі, <Зи<0’Ліх2, що задані в вузлах х' прямокутної сітки, причому и' = 0, якщо х1 Є О, І= (І|, 12, із). Систему різницевих рівнянь запишемо у вигляді

Му = £

де '

М =

А -В 0 0 0 - 0

-С А -в 0 0 - 0

0 -С А -в 0 - 0

0 - - 0 -с А -в

0 - - - 0 -с А

с = вт,

Р 0 0 0 Б 0 0 0 .

рт Б Р 0 0 0 • В = 0 в 0 О О

0 Р1 О Р 0 0 0 0 0 Б 0 0

0 0 о" рт Б 0 0 б Г .'о

12/Ь4 6/Ь3 0 48/Ь4 0 0

А = -б/її3 -2ІЬ2 0 • р = 0 10/Ьг 0

0 0 1/Кг 0 0 10/Ь2

-12/Ь* 0 -6/Ь

0 -1/Ь2 0

6/Ь5 0 2/Ь!

“і

У = «2 •II V- Іі

ип І,

, де и, =

< < 0

«•!” -Г*> II 0

< Ґп1

и"1 МПІ и<2) “ш 0 0

Введемо наступне сімейство матриць: Р-і = 0, Ро= 1,

В Рі= А Рц -С Рк.2> к = і,

К.І = 0,Р0= 1,

С Я, = А їіи - В ІЇ-і-2 і=1,п,

цн = Ір^вХ..

1=1

^=ІГнСЛ-м> .

1-1

Н^ва^у'

(1)

(2)

(3)

ОТ'(я) = А - (Р,.,)-' рк.,.,с - (К,.н)-' (4)

Теорема І. Нехай у - розв’язок системи рівнянь М у = ґ, тоді для будь-яких

І, ц, к три вектори уу уя, уі, 0 < j < q 2 к й п. уо = у„+і = 0, задовольняють співвідношенню:

-С (Rq-.i i)'1 Уі + Ок^‘ (Я) Уч - В (Ри)-'' Уь+і =

. (5)

= С (і^-і-і)'1 У<н + В (Ри)-' и441 И

Нехай існують цілі позитивні числа в і р такі, що(р + 1) в = п + І, де п -блочний порядок матриці М. Тоді для побудови редукованої системи виберемо індекси ^ слідуючим чином:і*=0, в, 2з,..., (р + 1) з. Введемо позначення хі = у8і, 0<1 <р + 1, дехо = уо“0, хр+і, = у„+і =0. Використовуючи теорему 1 з 3 = (ї -1)-Б. Я = їв, к = (1 + 1 )8 = і, одержуємо редуковану систему відносно невідомих Х|....ХР:

- хц + <3і хі - Н, хі+і = Рі, 1=1, ...,р. (6)

Отриману систему (6) будемо розв’язувати блочними ітераційними

методами (метод Якобі або блочний метод верхньої релаксації). Розглянемо блочний ітераційний метод:

-•д1хГ"=о1хїї+нІх!:| + р1, і = іГр. V=о,і.... (7)

де

о, Н1=В(РМ)Л

Р,=С,Уз5ЧН,и^, І = ГІ. ■

= і у'1*”5-'

1-І |«| ,

Теорема 2. Ітераційний процес (7) для системи М у = ґзбігається.

Для оцінки алгоритмічної складності обчислень при розв'язуванні даної задачі в § 1.4 розглядається достатньо загальний оціночний функціонал, що дозволяє отримати оцінку різноманітних характеристик обчислювального

процесу: числа арифметичних дій, числа макрооперацій, об’єму необхідної пам’яті тощо. При певній інтерпретації цього функціоналу можлива також оцінка помилок закруглення. За допомогою цього функціоналу тут отримані оцінки стійкості обчислень в маршевому методі розв’язування задачі про згин пластинки. Отримані результати можуть бути використані для оцінки часу обчислень в реальних ситуаціях в залежності від типу процесора і від варіанту програми, що використовується для обчислень.

Якщо границя області має складну форму, виникає проблема побудови оптимальної в деякому сенсі, триангуляції. Хоча задача про згин пластинки зв’язана з рівнянням 4 порядку, її можна розглядати як систему двох рівнянь Пуассона. Тому проблему побудови оптимальної триангуляції слід вирішувати, виходячи з оператора Лапласа. Засобам побудови триангуляції присвячене багато робіт, але сталі залишаються в більшості випадків необчисленими. Беручи до уваги, що від цих сталих залежить вибір стратегії триангуляції області, обумовленість відповідних алгебраїчних систем, оцінки швидкості збіжності, стійкості і числа операцій обчислювального алгоритму, стає зрозуміло, що ці сталі представляють достатній інтерес. В методі скінчених елементів на етапі, пов’язаному з триангуляціею області. Значну роль відіграє ступінь виродженості трикутників. Тому важливо значення кутів цих трикутників ввести в число параметрів класу сіток, що розглядаються. В окремих випадках (для областей з кутами та загостреннями) необхідно розширювати клас таких сіток, замінюючи згадані параметри асимптотикою поведінки кутів в залежності від кроку.

В главі II розглянуті сталі стійкості в метриках просторів І.і та МЛ1 в класах трикутних сіток з рівномірно обмеженими кутами, а також з кутами, що прямують до нуля. В § 2.1 вказана роль сталих стійкості і побудований передобумовлювач. Він має просту структуру (блочно-трьохдіагональна матриця) і його можна економічно обертати. В § 2.2 і § 2.3 вивчені класи сіток з рівномірно обмеженими кутами в метриках просторів Ь?, \Уг' відповідно. В цих випадках наведені достатньо точні чисельні оцінки сталих. В § 2.4 вказані асимптотики поведінки границь відповідних квадратичних форм при вироджені трикутників.

Сформулюємо деякі з доведених в главі II тверджень.

Нехай О - деяка область в Я2, розглянемо правильно триангульований багатокутник ОсО. Перенумеруємо всі вершини нашої триангуляції натураіьними числами. Нехай £,\ = (х^ у,) -)-а вершина триангуляції, і = 1, ..., N. Множину трикутників, у яких ^-а вершина загальна, назвемо барицентричною зіркою і позначимо 2^ На задаємо кусково-лінійну і неперервну функцію <оД). що лінійна на кожному трикутнику, перетворюється в 1 в вершинах ^ і в 0 в інших вершинах. В області ОІХ1 будемо вважати цю функцію рівною 0. Розглянемо лінійну комбінацію курантовських функцій

й(х) = £о^(х), ^єЯ1.

н

Очевидно

іСй, = ІХчч-

ч

де

а,, = ^и^х.

п

Лема 1. Справедливі нерівності

< |ії^х < 1 , (8)

і й і

де ті) - площа багатокутника 7,у Права оцінка в нерівності (8) є точною.

Для кожного трикутника триангуляції введемо позначення: Бт - площа трикутнику, Ьі - висота, проведена з і-ої вершини на протилежну- сторону, П| -одинична нормаль до сторони, протилежній вершині і, ||п>|| = 1. г, - звуження функції со, на трикутник Т,

[г^] = ||[&,/(3х ді!!д\-¥дт.і Іду с^/дуїііхііу,!,] = 0,1,2 . (9)

т

При введених вище позначеннях інтеграли (9) обчислюються за формулами

[z„ z,] = (ST cos (пі, nj)) / (hi, hj) (10)

позначимо через Oo сіткову функцію, що рівна 1 в усіх розглядуваних вузлах, o0(§j) = 1, j=l, ...,N.

Нехай Vo - одновимірний підпростір сіткових функцій - сталих, V0={Cu0:CeR'}.

Лема 2. Для сіткових функцій о, що е ортогональні підпростору V0, справедливі нерівності

(11)

Н й ішІ

. Де

Л = тіпА.Т, к =тах АІ. (12)

т-.й ‘ тсй 1

Хти = ST/2(l/hJ + l/h*+l/h2,)±l/2(ST0/h;j-t-l/h; +l/hJ2)J -з/2. (13)

Лема 3. Для довільних сіткових функцій и справедливі нерівності 4./9Х X(uj -u,j(Vu)2dx < 4/ЗІ£(о,-и,),2 (14)

• Ч п '.І

де ХД - ті ж статі, що і в лемі 2, а сума ]Г означає підсумовування

'.І

по всіх ребрах lj,j триангуляції з кінцями у вершинах .

Лема 4. Нехай Х{ і Х^ визначаються формулою (ІЗ), а, р, у - кути трикутника Т.

1) Якщо a -» 0, р~> Ро, у -» уо, Ро + уо =я Ро > 0 Yo > 0, то для власних чисел Х{ і Хт2 справедливі асимптотичні представлення:

X] = 3/4 a + 0(a3), Х2Т = 1/a + 0(a). (15)

2) Якщо р = су, у -> 0, с = const > 0, a ~» я, то для Х{ і Хт, вірні асимптотичні представлення:

3/4 с(с + Ще2 + с+1)у + 0(у3),

Xі, = (с2 + с + 1)/(с(с + 1)) 1/у + 0(у).

В главі III запропоновані різні способи побудови триангуляції в залежності від гладкості граииці. На підставі результатів другої глави тут отримані ефективні оцінки сталих стійкості для згаданих способів триангуляції.

На площині II2 вводиться триакгульована квадратна або прямокутна сітка і будується триангуляція в приграничній смузі в залежності від гладкості границі. § 3.1 і § 3.2 дана ефективна оцінка знизу сталих при запропонованому способі триангуляції в залежності від ширини вибраної приграничної смуги для двічі неперервно-диференційованої границі і від куту ф, що містить кусково-гладку границю. Чисельні результати наведені в таблицях 1-12 додатку 2. В § 3.3 пропонуються способи побудови триангуляції для кусково-гладкої границі з внутрішніми нульовими кутами степеневих порядків. В § 3.4 запропонований алгоритм побудови а - триангуляції, в деякому сенсі близької до оптимальної.

. 03НА ЧЕННЯ. Серед всіляких триангуляцій, побудованих для заданої

області, а-триангуляцією назвемо таку, для якої відношення шахХ.і.2/ тіпХі 2 є мінімальним.

Сформулюємо деякі з доведених в главі III тверджень.

Як і раніше, нехай Уо - одномірний підпростір сіткових функцій-сталих, О - правильно триангульований багатокутник.

Теорема 3. (Випадок двічі неперервно диференційованої границі). Нехай Гє С2. Тоді для сіткових функцій о, ортогональних до підпростору V», справедливі нерівності.

1 N. . м

тіп/.‘і* - |(Уи)2с1х ^тахЯІ]^0?- ('7)

н п 1=1

де Х.(|), і = 1. 8 - сталі стійкості, що обчислені в дисертації (див. гл. III, §

3.1),атакож в таблицях 1-4додатку II.

Теорема 4. (Кусково-гладка границя з ненульовим кутом).

Нехай Г належить до кусково-гладкої границі з ненульовим кутом, тоді для сіткових функцій и, що ортогональні підпростору Уо, справедливі нерівності

шіпрі'1 < |(Уи)2сіх < тахцУ’^Ор (18)

й и

де ц(|,и. і = 1. 8 - сталі стійкості, що наведені в главі III, § 3.2, а також в

таблицях 5-12 додатку 2. Далі розглядається границя з нульовим кутом - зі ступеневими загостреннями вигляду у = ха, а > І.

Лема 5. Швидкість зменшення кутів а нормальної триангуляції в околі нульового кута ступеня а характеризується асимптотикою

а = с 1ім,“+ (19)

де

2ас0|'1'а<с<2асі1'|/а,

Со, сі - деякі сталі.

Лема 6. Нехай Г - кусково-гладка границя з нульовим кутом, тоді справедливі нерівності

Х,(Ь)(і^ + Ц + «з) < ^>.2(Ь)(и2 + и2 + о,),

т •

Я|(Ь) = 3/4 с Ь''|/а + 0( Ьм,а),

%г(Ь) = 1/с іі 3/4 сЬи/, + 0(Ьм/*).

Теорема 5. (Кусково-гладка границя з нульовим кутом). Для сіткових функцій и, що ортогональні підпростору Уо, справедливі нерівності

с,ь-2-2„-,;.|^тТ < |(уїї)Мх 2с2Ь-2 £тТ (20)

ТсЙ г,сГ„ й Тсй 2,сТ„ .

Додаток І присвячений дослідженню слідів кусково-лнійних сіткових функцій і їх продовжень, заданий на триангуляціях кусково-гладких областей. Ряд відомих теорем про продовження сіткових кусково-полікоміальних функцій встановлені в зв’язку з побудовою і дослідженням ітераційних процесів методу скінчених елементів. Мета даного додатку - спростити доведення цих теорем і явно обчислити сталі, що зустрічаються там.

‘ Додаток II містить таблиці сталих стійкості, отриманих в роботі, та малюнки. Обговорення чисельних результатів і структури таблиць міститься в § 3.1, § 3.2 глави III.

Додаток III містить ведення дійсності власних чисел квадратичних форм, що зустрічаються в главі III.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬ ТА ТИ

В дисертації отримані наступні основні результати:

- ефективна алгоритмічна реалізація схем методу скінчених елементів для задач теорії пружності і маршевого методу;

- побудова передобумовлювача в ітераційних методах для знаходження розв'язку

систем скінченоелеметних рівнянь, що апроксимують задачу Діріхле для рівняння Пуассона в областях складної форми; .

- ефективні оцінки сталих стійкості курантовських апроксимацій в метриках просторів 1,2, \Уг';

- асимптотичне представлення вказаних сталих стійкості у випадку виродження трикутників;

- метод побудови а-триангуляції, в певному сенсі близької до оптимальної, для областей з границею, що належить до різних класів гладкості (неперервно диференційована, кусково-гладка границя з ненульовими кутами, а також кусково-гладка границя з внутрішніми нульовими кутами ступеневих порядків); -доведзшя теореми про продовження кусково-лінійних сіткових функцій.

ОСНОВНІ ПУБЛІКАЦІЇ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ:

1. Сбродова Г.А. Алгоритмические аспекты некоторых конечноэлементных методов. - К, 1997. -155 с.

2. Сбродова Г.А. Маршевый метод для сеточной задачи изгиба пластинки в прямоугольнике // Вестник СПбГУ, серия математика, механика, астронмия. Санкт-Петербург: 1992 ,деп. ВИНИТИ, № 32343-В92.

3. Сбродова Г.А. Теорема о продолжении сеточных функций // Вестник СПбГУ, серия математика, механика, астрономия. Санкт-Петербург: 1994, деп. ВИНИТИ, № 446-В94.

4. Сбродова Г.А. О трудоемкости вычислений при приближенном решении задачи об изгибе пластинки // Вестник СПбГУ, серия математика, механика, астрономия. Санкт-Петербург: 1994, деп.

ВИНИТИ, № 1069-В9.

5. Макаров В.Л., Сбродова Г.А. Константы устойчивости аппроксимаций

Куранта// Обчислювальна та прикладна математика. - 1997. - N 82.

-С. 55-68.

6. Макаров В.Л., Сбродова Г.О. Оцінки сталих стійкості вметриках просторів Ьг, И Вісник Державного університету “Львівська політехніка”, 1998. -N337.-С. 350-353.

Сбродова Г.О. Алгоритмічні аспекти методу скінченних елементів. -Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика. - Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1998.

Захищається алгоритмічна реалізація схем методу скінченних елементів для задач математичної фізики, зв’язаних з оператором Лапласа. Побудований передобумовлювач в ітераційних методах для знаходження рішення систем скінченно-елементних рівнянь, апроксимуючих задачу Дирихле для рівняння Пуассона в областях складної форми. Отримані ефективні оцінки констант тривалості курантовських апроксимацій в метриках просторів Ц, IV£, а також асимптотичне подання означених констант тривалості у випадку виродження трикутників. Побудована близька до оптимальної триакгуляції (а-триангуляція) для областей з кордоном, що належить до різних класів гладкості. Доведена теорема про продовження кусково-лінійних сіткових функцій.

Ключові слова: константа тривалості, курантовська апроксимація, триангуляція, передобумовлювач.

Сбродова Г.А. Алгоритмические аспекты метода конечных элементов. -Рукопись.

‘ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук со специальности 01.01.07 - вычислительная математика. Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1998 г.

Защищается алгоритмическая реализация схем метода конечных элементов для задач математической физики, связанных с оператором Лапласа. Построен

предобуславливатель в итерационных методах для нахождения решения систем конечноэлементных уравнений, аппроксимирующих задачу Дирихле для уравнения Пуассона в областях сложной формы. Получены эффективные оценки констант устойчивости курантовских аппроксимаций в метриках пространств , W2, а также асимптотическое представление указанных констант устойчивости в случае вырождения треугольников. Построена близкая к оптимальной триангуляция (а-триангуляция) для областей с границей, принадлежащей к разным классам гладкости. Доказана теорема о продолжении кусочно-линейных сеточных функций.

Ключевые слова: константа устойчивости, курантовская аппроксимация, триангуляция, предобуславливатель.

Sbrodova G.A. The algorithmic aspects of the method of finite elements. -Manuscript.

Thesis for the scientific degree of the candidate of physico-mathematical sciences on the speciality 01.01.07- calculus mathematics. Taras Shevchenko Kiev University, Kiev, 1998.

The algorithmic realization of schemes of the method of finite elements for problems of the mathematical physics connected with the Laplace operator is presented. The predefinder in iterative methods for the determination of a solution for systems of fmite-elements equations is proposed which approximates the Dirichlet problem for the Poisson equation in areas of the complicated form. The effective valuations of the stability constants for the Curant approximations in the metrics of spaces L2, W2 as well as the asymptotic representation of the indicated constants of stability in the case of the degeneration of triangles are obtained. The triangulation close to an optimum (a-triangulation) is constructed for areas with the boundaries belong to different classes of smoothness. The theorem of the prolongation of piecewise linear grid functions is proved.

Key words: constant of stability, Curant approximation, triangulation, predefmder.

Шдп. до друку' формат бОХб^Ае-

Пашр друк. К1 . СпоЫб друку офсетний. Умовн. друк. арк. jJ/ .

Умовн. фарбо-в'ядб. 1,0 . Обл.-вид. арк.,^ .

Тираж <00 . Зам. ЗЪвЗ^/бО '

' Ф|рмасВ1ПОЛ»

252151, Ки1в, вул. Волинська, 60.