Аналитические методы решения задач быстродействия и синтеза позиционного управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

^ .л 4 1 * ¿М]

АКДЦЕЖЯ НАУК УКРАИНЫ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

На правах рукописи

СКЛЯР Григорий Михайлович

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ШС1РОДЕЙСТВИЯ И СИНТЕЗА ПОЗИЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Харьков 19 9 1

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и управления Харьковского ордена рудового Красного Знамени и ордена Дружбы Народов государственного университета им,А.М.Горького

Официальные оппоненты: доктор физико-математических нау

профессор В.И.Елагодатских

доктор физико-математических нау профессор А.Д.Мышкис

доктор физико-математических нау профессор В.А.Щербина

Ведущая организация - Институт математики и механики

Ур.О АН СССР

Защита состоится "9" д^гко^ул 1991 г. в на заседании специализированного совета Д 016.27.02 в Физико-техническом институте низких температур АН Украины по адресу: 310164, г.Харьков, проспект Ленина,47. Тел. 32-11-42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института низких температур АН Украины.

Автореферат разослан "Л" ¿д 1991 г.

Ученый сегфетарь специализщюванного совета, профессор

В.А.Ткаченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной теории оптимального уловления одно из центральных мест занимает проблема быстродей-:твия. Поскольку время движения - весьма естественный критерий штимальности, задачи на быстродействие стали одним из наибо -¡ее распространенных объектов применения различных методов оп-•имального управления, в первую очередь, принципа максимума [.С.Понтрягина. Эти вопросы нашли отражение в работах Л.С.Пон-рягина, Н.Н.Красовского, Р.Беллмана и многих других известных [атематиков. Впервые систематическое исследование линейной про-¡лемы быстродействия дано Р.В.Гамкрелидзе : с помощью изучения властей управляемости доказан в этом случае принцип максиму -1а, получены теоремы существования, единственности оптимально-о управления, о характере этого управления и числе его пере -лечений. Исходя из этого, дана качественная картина оптималь-юго синтеза. Указанные результаты лежат в основе сформ^овав-ейся в начале 60-х годов теории линейного быстродействия. При-енение методов этой теории приводит к постановкам новых мате-атических задач, к которым сводится кошфетное нахождение вре-ени быстродействия и моментов переключения оптимального управ-ения. Такие задачи носят индивидуальный (в зависимости от сис-емы) характер и значительно усложняются с увеличением порядка истемы. В случае же систем произвольного порядка точное реше-ие линейной задачи быстродействия представляет сложную мате -этическую проблему, которая не получила серьезного аналити -

^ Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Изв.АН СССР, сер.математи -ческая. - 1958. - 22, М. - С.449-474

ческого исследования. Вместе с тем, необходимость конкретного решения задач быстродействия привела к возникновению цело го направления, посвященного разнообразным приближенным и численный методам ее решения.

М.Г.Крейн , рассматривая обобщенную (Y/f) - проблему A.A.Маркова, установил, что область ее разрешимости представляет выпуклое тело, а также нашел общий вид решений проблемы в том случае, когда моментная последовательность принадлежит границе этого тела. Эти результата по сущзству аналогичны некоторым положениям линейной теории быстродействия.

Впервые идею изучения линейных задач управления с помо • щыо их интерпретации в виде проблемы моментов выдвинул H.H.. Красовский. Он инициировал применение метода исследования основанного на сведении L - проблемы моментов в абстрактных банаховых пространствах к двойственное экстремальной задаче. Достоинством указанного подхода является его применимость к широкому классу задач оптимального управления. Вместе с тем, если, например, для задач с квадратичным функционалом качества (иди с квадратичными ограничениями) метод L. - щзоблемы моментов позволяет аналитически получить решение, то конкретно для задачи быстродействия с ограничением на модуль управ ления применение этого метода приводит к сложным задачам о наилучшем приближении в пространстве L,i » решать которые предлагается с помощь» тех иди иных численных методов.

фейн М.Г. Идеи П.Д.Чебышева и А.А.Маркова в теории предельных величин интегралов и их дальнейшее развитие и У пехи кат.наук. - 1951; - У1, М. - С.3-120

Н.Н.Красовский. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 465 с.

Предлагаемый в диссертации подход к проблеме линейного :тродействия основан на ее эквивалентности некоторой новой |блеые из теории моментов, названной в работе проблемой мо~ itob А.А.Маркова на минимально возможном отрезке -

>блемой моментов). Проводимое в работе исследование указан-i гроблемы и ее приложений в теории управления ошфается на (влечение и развитие идей классической теории моментов A.A. !Кова, значительный вклад в которую внесли М.Г.Ирейн, Н.И. юзер и другие известные математики.

Вторая задача, изучаемая в диссертации, - задача синтеза [устимого позиционного управления - относится к современной [ественной теории дифференциальных уравнений. Дня решения >й задачи В.И.Коробов предложил метод функции управляемое -

. Идея метода состоит во введении вспомогательной функ -[, удовлетворяющей вместе с управлением некоторому диффе -[циальному неравенству, с одной стороны, заменяющему урав-ме Р.Бедлыана в оптимальном синтезе, а с другой, аналогич-iy неравенству для функции А.М.Ляпунова в задачах устойчи-:ти. Вторая идея В.И.Коробова относится к котфетным мето-1 построения функции угравляемости - в виде неявной функ -i с помощью решения некоторых алгебраических уравнений спе-тьного вида.

В диссертационной работе дается дальнейшее развитие ме-ia функции управляемости, принципиальный характер которого [зан с использованием некоторых результатов теории момен -> и теории операторов. На этой основе предлагается единый

Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости // Мат.сборник. -1979. - 109 (151), М Г8). 1 £.582-606

подход к построению решающих задач синтеза позиционных упраЕ лений для различных классов дифференциальных уравнений.

Цель работы. Исследование проблемы моментов А.А.Марков на минимально возможном отрезке, разработка на этой основе аналитических методов решения задач быстродействия и синтеза позиционного управления.

Общая методика исследования. В работе используются ме тоды классического и современного анализа, а также дифферен циальных уравнений и математической физики.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации предложена новая концепция теории линейного быстродействия. Центральное место в ней занимает mía - проблема моментов А.А.Маркова.

- В результате исследования конкретных fniia. - проблем (степенной, тригонометрической и др.) дано точное решение за дачи быстродействия для ряда систем произвольной размерности В частности, решена задача об оптимальном в смысле быстродей' ствия управлении колебанием струны.

- Дан метод решения в локальном смысле задач быстродей ■ ствия для систем с аналитическими матрицами, опирающийся на установленную их локальную эквивалентность.

- Дан подход к нелокальному решению mt^- - проблемы моментов и задачи быстродействия, основанный на предложенном методе порождающей функции.

Дано развитие метода функции управляемости.

- Предложен единый подход к построению позиционных уп -равлений, решающих задачу локального и глобального синтеза для различных классов обыкновенных дифференциальных уравнени!

- Получено решение задачи синтеза позиционного управде-

для уравнений с неограниченным оператором и для уравне-гиперболического типа.

Все основные результаты диссертации носят конструктив-характер. Предложенные в ней аналитические методы опре-гния оптимальных и допустимых управления могут служить овой для дальнейшего исследования и решения конкретных ач в области оптимального управления, дифференциальных внений, математической физики.

Апробация работа. Результаты диссертации докладывались Всесоюзной конффенции "Метод функций Ляпунова в современ-математике" (Харьков, 1986), республиканской конференции фференциальные и интегральные уравнений и их приложения" .есеа, 1987), Седьмом семинаре ИЗДК (Тбилиси, 1988), П Се~ о-Кавказской региональной конференции по функционально-)ференциальным уравнениям и их приложениям (Махачкала,1988), ;,цу нар одной научной школе "Метод функций Ляпунове и его ихожения" (Иркутск, 1989), республиканской конференции "Лишке твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, 1990), ¡сесоюзной школе "Понтрягинские чтения. Оптимальное управ -1ие, геометрия и анализ" (Кемерово, 1990), на семинарах здемика В.А.Марченко, кафедры дифференциальных уравнений и >авления в Харьковском государственном университете, кафед-оптимального управления факультета ВМК Московского госу -эственного университета, в МИ АН СССР им.В.А.Стеклова,

а Ур.о ан ссср.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликовав [I - 15] .

Объем и структура работы. Диссертация состоит иг введе-я, четырех глав и списка цитированной литературы. Общий

объем 293 страницы машинописного текста. Список литературы содержит 115 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор современного состояния вопросов, изучаемых в диссертации, и приведены основные ре зультаты работы.

В первой главе дается общий подход к решению задачи бы стродействия на основе степенной проблемы моментов. Рассмот рим задачу наибыстрейаего перехода из X°£lIR. в О в силу системы

* =A(t)x+ luutrd), (I

где A(-t) , - кусочно-непрерывные на отрезке £а, а + матрицы размеров (П.*п)и(Пх1 ), соответственно,tÖH)-непрерывная положительная на Са?а+-Т"1 функция, У€ , U.e К. • Обозначим через ^(Л) фундаментальную матрицу системы тавдгю, что Ф^еО^ I , и пусть

--Vc (компоненты соответствующих векторов), = i,,П. . Задача быстродействия до -пускает следующую эквивалентную постановку, которую назовем проблемой моментов Маркова на минимально возможном отрезке (mm - проблемой моментов); для вектора моментов S (с компонентами S ^ ) указать минимальный отрезок £а3а + 0«Л а. f C(,?Q.+ Т 3. (если он существует) такой, что при © = 0г возможно представление й+6

S ^t^f^a-fc « S*. (2)

а функцию = ^¿("t) » соответствующую этому представле-

нию. При этом оптимальное время в задаче быстродействия рав-ío Gs , а оптимальное управление - Utt) —

Рассматривая fVUft - проблему моментов, будем предполагать, что фикции образуют систему Чебышева

» некотором отрезке Ca;>Q Ca^Q+t 1 • Если эти

функции к тому же (ft-i ) раз непрерывно дифференцируемы, тагов требование обеспечивается обратимостью матрицы Gt(g.) =

= "j ^(a^t £ • Дри сделанных предположениях

(дя любого вектора S из множества CG>a + Í" 3 (облаа-■и разрешимости классической (-1, I) - проблемы Пскова на

Л.

трезке [[Gja + Tl решение haín. - проблемы супрствует, динственно, щ>ичеы функция » "t в [a?a4-6s"| пон-

имает значения ±1 и имеет не более <rt-i > точки разрыва, ерно и обратное: если число 0 и функция ^ ("Ь) , ~Ь G i [a^G + Ol 1 удовлетасряют равенством (2),

ричем прииимаот значения ±1 и ннавт не более (n.-¿)

очки разрыва, то 0=@s и .

Перепишем меаентныэ соотношения (2) в виде

СН-6

ъ = С (a) S - Cr (a) $ U&) ftbdt,

а

№ Ret) - вектор с координатами

—^ Q , а вектор с координатами, удоадатворявщими сте-

знным моментшм соотношениям

Тогда для Б £ [аэа+Ч:1 пара ( 65 , ) будет реше-

нием 1чиа - проблемы (£) в том и только в том случае, если она будет решением степенной т.1п_ - проблемы (3). Данные соображения приводят к следующему подходу в исследовании tru.fi - проблемы моментов.

Пусть - оператор, сопоставляющий вектору К. пару ( б , ¿-(."Ь) ), - решение степенной Гп1п_ - проблемы

(3), Р - оператор, действующий по правилу _Р (б^Нг)) ^ ^ сн-9

Тогда для £ & £ Г^З*^! решение

а

Паш. - проблемы моментов (2) равно > где

^ = <3н:а> Б +• Р Ч) = Ф, (4)

т.е. 1Г - неподвижная точка оператора Р^ . Дальнейший путь исследования состоит в точном решении т£п. - проблемы (3) (нахождении оператора

) и сведении к ней проблемы (2 Степенная 1тип - проблема моментов (3) эквивалентна задаче быстродействия из точки в точку О для системы

х^ьщи!^!, = к-2,...Л-

В работе (§§ 2-Ъ) решена более общая задача быстродействия

о 1. о I (К"

из Х° в У в силу системы (5) для произвольных X & ю Известно, что оптимальное управление иД"Ь") для этой за -дачи имеет вид:

, либо =

1 некотором , П-^ . В первом случае управление

ювем управлением 1-го рода, а во втором - П-го рода, име-1М переключений в точках ,• Про-

регр|фовав систему (5) с управлением 1-го или П-го рода, [учим соотношения

I * е- 1=1

О I

= , где >(fc , У^ компоненты соответствующих е-зк -

ов, верхний знак соответствует управлению 1-го рода, а нкй - второго. Правые части этих равенств в случае ssœs-знака обозначим С-уКХ°,У 6) , а в случае ннаиего -, у1" 0 ) • Введем две последовательности многочленов

конические переменные) 0 ") , $)»

1,10. по рекуррентным формулам

^ = t*", х1, в), =А

ос. определители вида

оЦ .. (K-iVk-i kl с^к.

-i

0 О - ... - i odi

î)^ - определители аналогичного вида из переменных р> . ;енные многочлены удовлетворяют определенным свойствам их дифференцирования в силу системы (5), дополненной шением ©=-1 , с управлением II ~±[ .А кыанно, ка -сческке перекеккые oi^ удовлетворяя? соотношениям

= (при Ц. = -1 ),

а канонические переменные ^ - аналогичным соотношениям с заменой Ц.=-1 на и =4-1 , и наоборот. С помощыз этих соотношений установлены "правила дифференцирования" опре -делителей ганкелевых матриц, элементами которых являются канонические переменные. Рассмотрим бесконечную матрицу Р вида

/...О О ....О 1 ^Уа.--.^-..

Г=

0 0 ••-•-i-Yi ^

... о С-ГГ . . ^ - . - ■ ¡С*«*--^ -..ufc-i)^...^Н—- У—I

Столбцы этой матрицы будем нумеровать целыми числами от - о до 4- £х=> , причем столбец с первым элементом, равным y¿ , имеет номер i . Через будем обозначать маори

цу К -го^порядка, образованную пересечением первых К -cipo матрицы Р со столбцами этой матрицы с номерами ti^

а <"

, а через ~ определитель этой матри

цы. Если элементами матрицы Р являются канонические пере менные о^СУ**1, б) , р^Сч^У* 6) , то во всех обозначе ниях вместо Р будем писать А или &> , соответственн Введем в рассмотрение последовательность матриц и определи телей Маркова из переменных о^Сх'х^©) :

^9)= . дУ,*; ъ^К^л

[А^ОЗДпри к=2р,

< аналогичные последовательности

из переменных ^(.Х^Х*9) . В работе установлены формулы, выражающие производные ифеделителей А X1, 9) , б)

з силу системы (5), дополненной уравнением ©=-! » с улрав-иением Ц = ±.[ » через определители такого ке вида. Г. их помощью получены условия попадания из Х° з Х^ за Е^вчя О в силу системы (5) с управлением 1-го или П-го рода, выранз-ощиеся, в частности, в равенства нулю оцределитеявй А^ СХ°, б) (в случае управления 1-го рода) и

Ё> I

д^СХ^Х 0) (в случае уцравлония П-го рода). Итогом цакного подхода является точное решение задачи программного быстродействия для снсгеш (5):

Георема I. Оптимальное упраалэнне, решающее задачу наибыстрейшего перехода ю в X1 ( г силу системы (5) существует к определяется следующем образом.

I. Время быстродействия @ = 0(Х°5 Х^"") явлкэтся кан -меньшим из множества пел ожигал ышх корней 0О уравнения

С*0, х1,9> С Xе,у* 9) = О, (?)

л-

ддя которых ДАп (Х°, X*, 90*) 3» О . ¿Vс

2. Ксшгчэство переключений ) оптимального управ-

ления однозначно определяется условиями

aV,yJ e^ • л* i*;*} eV°

д i ^

При этом, если Д-^СХ^Х,© « то оптимальное управле-

ё> i *

ние является убавлением 1-го рода,если же Х^Х^б )-0,

то П-го рода. __

3. Точки переключения оптимального уп-

равления LLt£) рекуррентно определяются как минимальные вещественные корни уравнений

¿c-tf А*л uO,*1,e-ti-O^-ti

¿=° . d г

при 4-1=2}?-i , <i_0

при S -I = 2 р , "fco=0 - случае, если LlCi) - управление 1-го рода,или аналогичных уравнений (с заменой А на В ) - в случае, если Utt)

- управление П-го рода, удов -летворяющие неравенству "t* .

Бели же

, то У - максимальный вещественный

корень уравнения (7).

Этот результат позволяет явно указать для системы (5) оптимальное позиционное управление, вид которого приводится в § 5. В § 6 получено описание областей управляемости и достижимости для системы (5) в терминах алгебраических нера -венств, исследована их связь с областью разрешимости степенной проблемы моментов. Получено точное решение задачи быст -родействия для системы

У - А у uа, tant¿ (l, A i, -> А"'= 1, »'«il

п.

1

со спектром <^сА") (-«А, (X

на основе сведения к задаче быстродействия для системы (5).

Точное решение степенной ГЛ1П - проблемы позволяет вернуться к начатому рассмотрении общей Пип - проблемы моментов. В §7 в предположении аналитичности функций (

доказана сжимаемость оператора из формулы (4). Отсю-

да следует теорема о локальном решении Пи П. - проблеет моментов.

Теорема 2. Пусть С^к М;) сналитичес:::^ т

Са,й+П функция, Сг<а) ф О . Тогда для х-^зк

К-"" из некоторой окрестности цуля репейке (

А

Пип. - гроблены (2) может быть тйдено с помочью последовательного решения степенной - проблемы (3) по формулам

, = &пг РДо).

Из этого результата вытекает метод локального рак?кия задачи быстродействия дая системы (I).

Теорема 3. Пусть для системы (I) с аналитическими на матрицами и аналитической функ-

цией гС>сЬ) выподкено достаточнее условие полной управляв -мости

Тогда для начальных векторов = у0 из некоторой ок-

рестности нуля решение ( © задачи быстродействия

в 0 в силу системы (I) моает быть найдено как предел

е = и , = <014)

где ( , ^Н)) решение степенной тСгч. - цроблемы моментов

а последовательность \ ^^ ^ ш-о определяется рекуррент-но из соотношений

а+6

В §8 для системы вида

х=Аф* + 8 ^ичТсЬ), у & К"'

при оцределенных предположениях доказано существование убавлений, принимающих граничные значения, имеющих не более ) переключений и переводящих начальные векторы из некого -рой окрестности нуля в О > Исследован вопрос об экстремальности этих управлений в смысле быстродействия. Полученные результаты распространены на некоторый подкласс систем "квази -треугольного вида".

Во второй главе работы изучается задача оптимального по быстродействию управления колебательной системой. Для ее ис -следования применяется иная, по сравнению с главой I, техни -ка, основанная на использовании свойств рациональных функций комплексного переменного с нулями и полюсами на единичной окружности. Такой подход характерен для тригонометрической проблемы моментов, с которой тесно связана эта задача. Рассыот -рим систему

.„«и, =

= 1,..., р , Д>-0 . Пусть управление 1-го или П-го да, имеющее переключения в точках "Ь^ , ^ ^ ,

реводит в Х1^- за время в .

,гда

и

I 2.

це У^, ' 1 ~ ~ Р*' Р компоненты векторов У , У , верх-ий знак соответствует убавлению 1-го рода, а нижний - П-го ода. Правые части этих равенетв при в случае

ерхнего знака обозначим С^СУ"*^ 0) » а 3 случае ниж -

его -через с! т (УХ^ б). Пусть о£ СХ°ХА,-(У о" Хо>)),р>СХ0/Х^б):= ^(бН^гК))' Зведеи канонические переменные сУ^ (У ° X1"., б) ,1т=0.,|р по формулам

- 4-

о10 - 1€ *

- 18 -

^л/о^о ¿-о^^/осс, , Иго/^ /с/о

1 - - - ^т-хмо

О О . . 1

Ь\=17р и переменные ,т=0.,р по аналог»

ным формулам с заменой с>£ на и С на с{ . Введенные переменные являются тригонометрическими полиномами от 6 щ фиксированных Х° , У*' . В §9 получены; необходимые и достат< ные условия попадания из X в X за время терминах канонических переменных. На основе этого в §10 дан< точное решение задачи быстродействия для системы (8) за вре мя, меньшее

25ГА . Обозначим через Гп=0?р тр<

угольную матрицу

П.-

а через Г^ -

/ Ус О .....

& х>.....

V ^ У-*-1 - - -

теплицеву матрицу

0 \ о 1

Г у./

П+Ги

*

т

Если ^ =

= с^ (ус; У ^ 6) или ^ - » то в этих обозначе-

ниях будем вместо Г7 писать А. или В , соответственно.

Каждому вектору

и+1

с компонентами

т.

т.

сопоставим полином

Теорема 4. Задача быстродействия в силу системы (8) и: точки в точку X1 разрешила за время, меньшее 2.5т/1 тог да и только тогда, если существует число ^

такое, что

х1, б^ О , ^ > V, <Ь ^ О,

>и этом:

1. Время быстродействия © = X11) является ми-шальным на отрезке 9 ] корнем уравнения

Ар (Xе, ХА, О У Вр Су:Уа, б) = О,

ховлетворяющим условию (9).

2. Количество переключений и род оптимального уп -авления иС"Ь) определяются следующими условиями.

Пусть рх - х1, 8*)-С],

= (пс оп-

зделенио считаем ЛвЬ Ар-и.

(.Xе, У1,0*)=сМ 0 )=О.

огда:

если рх^р^. то = 2 Пгиа^рДэрг^ , причем управление

(.4:) - 1-го рода, если ^ = , и П-го рода, если ^=2р£

если то , причем управление 11(4:) -

-го рода,если из

следует

ГА К = о

наче управление и.(4) - П-го рода. 'Д-{;'

3. При ^ = или числа в1 ,

, где О -сЪ^ ^ течки переключе-

ия управления иДт) являются корнями и полисами рацио -

»ч.

альной функции

'У — (в случае управления 1-го рода) и

^9*) V = О В^Х^е'*)Ч7 (в случае П-го ро-

,а).

На основании приведенной теоремы в работе получен явь вид оптимального в смысле быстродействия позиционного упра дения для системы (8).

Далее (§§11-12) исследуется связь области управляемое для системы (8) с область» разрешимости тригонометрической проблемы моментов, получено точное описание областей управ емости за время, меньшее 25Т/Л и кратное 2.^/X . В §13 . тановдена локальная эквивалентность задач быстродействия о рая систем с одномерным управлением

Результаты этого параграфа дополняет теорему 3. Показано, > решение задачи быстродействия для какой-то из систем видг (10) позволяет локально решить задачу для любой другой из этих систем, причем величина окрестности, в которой возмож* такое решение, определяется "близостью" спектров систем.

В заключительной части главы П рассмотрено приложение полученных результатов в задачах гашения колебаний струны. Отметим, что сведение к проблеме моментов является одним « основных методов исследования управляемых систем с распреде ленными параметрами. Специфика изучаемых в диссертационной работе постановок состоит в наличии ограничений на управляю щее воздействие, приводящих к тригонометрической проблеме Маркова. Для таких задач подучено точное описание множества разрешимости и дан метод решения на основе аппроксимации за дачами гашения конечного числа собственных частот.

В главе Ш дается развитие подхода к тСп. - проблеме моментов, отдэаюяфгося на аппарат разложения рациональных функций, на случай степенной проблемы с периодическими пропус ■

ками.

Рассмотрим задачу быстродействия из в О для системы

К", АН,..АИ'Ч)=П,

предполагая, что спектр (А") матрицы А имеет вид бСА^С-ЪдХ-ТД ? - » гДе ^ положительное

вещественное число, О^ ^...^ 1 о. - рациональные числа, = т^/т0 ( тк.>° » ^=0,... , - целые). Показано, что решение этой задачи сводится (при (Х- 1) к решенкг .¡тип -проблемы моментов вида

о.

Далее изучается Ьа1Л - проблема (II) при произвольном в предположении, что для некоторого натурального р последовательность

, задаваемая равенством

2, ес/ш

О, если е^Л (12>

является периодической с периодом р , т.е. У- У

Такую проблему назовем р - периодической. Параллельно рас -смотрим бесконечную проблему моментов на нефиксщюванном отрезке

а+в т -1

1±К (13) которую также назовем р - периодической, если последова -

- на

тельность , задаваемая равенством (12) (с

заменой П, на ) будет периодической с периодом р .

функцию Р(\х/) комплексного переменного \х/ , аналитическую в ыфестности нуля, назовем порождающей для р - периодической цроблемы моментов (II) или (13), если Р(0)=1 »

и^п РС\х/*)1 & тогда и только.тогда, когда

¿ = при некотором к и некотором *т = 0^1,2,....

Основные дальнейшие результаты относятся к классу проб -лем, имеющих рациональную порождающую функцию. Описание этого класса дает следующая теорема (§16).

Теорема 5. Для того чтобы р - периодическая проблема моментов имела рациональную порождающую функцию Р(\х/), необходимо и достаточно, чтобы множество {<=?р \ '. ^ р! совпадало с множеством корнай некоторого многочлена, являющегося делителем многочлена \х/ над полем . При этом, если такой многочлен имеет вид ЧГСКхЛ« р-1 __

■^Ц^кАх/* , где^ё^? . , то Рсчк/^

Р'1 К

= ПС1-<2р (здесь О-ь - примитивный корень степени

р из единицы).

В §17 исследуется разрешимость бесконечной проблемы моментов (13) (решение этой проблемы единственно, если оно существует) . Будем говорить, что. номентная последовательность

о ^

9= З^^Г^ принадлежит классу £ , »>1=1,2,..- ,

если для нее существует решение проблемы (13), пред-

ставляющее кусочно-постоянную на отрезке в.] фунн-

% т.

цию, имеющую (Уп-1 ) точку разрыва. Если Б & Ъ , то

V-a-' (I4)

¿-1з2?... > где *bj - точки разрыва функции ^tt) (a ^ "t j ^ > _ ^ ■fcm.i^.a+6). Правые части равенств (14) будем обозначать CnvK.CS-,0) в случае верхнего знака, что соответствует значению + = , и

в случае нижнего знака ( ^f (a-t-8) = . Положим также по определению Cj(s,Q) =

cJj(S?$) =0 щ>и всех натуральных J, ....

Будем далее предполагать, что проблема (13) имеет рациональную порождающую функцию PCv^*) — Ц' С (w). гдз 4tw), - полиномы степени dj. и d^ , ссответствошю. В силу определения порождающей функции разложение функции Р(\х/) в ряд Маклорена имеет вид

. Оо

u Pew) = 21 5>kwK9

гдо^/О при \с=т^ , О при к^гуц , ¿ = 1,2,... Введем канонические переменные c^CS., в ) , jfV^Q) . k=i,2,... по рекуррентным формулам

которые следует сравнить с (6), учитывая, что обычная степенная проблема моментов ( СП.* = к ) является 1-периодической и допускает порождающую функцию РСиС) чу/ • Тогда ра -циональная функция вида

ЙСВЕ) = Д^РС^/ггуР^/г))

при нечетном

т=2т+1 «ли

¿=1 а а

при четном (41 = 21 будет иметь разложение в ряд Лорана

Сх=>

Кое) =1+11

К = 1

где -с^к.^,9) иди в зави-

симости от знака в равенствах (14). Отсюда и из равенства нулю ганкелевых определителей из коэффициентов разложения рациональной функции вытекают условия принадлежности Б 6= в терминах канонических переменных. Изложенные соображения лежа в основе полученной в работе теоремы о точном описании класса

¿> и определении для & функции » достав

ляющей равенства (13). Общее множество ра^ешимости проблемы (13) описывается как замыкание множества и & в неко

торой норме.

Предлагаемый в §18 подход к решению конечной теп - проб лемы (XI) существенно опирается на результаты предыдущего па раграфа, поскольку решение (II) эквивалентно дополнению момен

тной последовательности 3 = до последователь ■

ности £ = {Эк^-ц так, чтобы в 6= V & . При эт

Пп =1

если справедливо неравенство

то фактическое введение дополнительных моментов не требуется,

п о

так как условия принадлежности множеству и позво-

ни!

ляют найти решение mi.it. - проблемы непосредственно в термина: известных моментов , к. - 1,11. . Если же неравенство (16) не имеет места, то задача сводится к предварительному решению некоторой системы алгебраических уравнений (относительно ко -

чного числа дополнительных моментов) и последующему применив результатов §17. Отметим, что неравенство (16) справед-во, прежде всего, для обычной степенной проблемы моментов VIк = к: , =1-\х/, 1 )• При этом получен -

:е результаты аналогичны соответствующим результатам главы I. угой случай произвольного порядка, в котором справедливо равенство (16), - Г^Ч-П - проблема моментов с четными степе-

ша+е

| 1^)1*1 (17)

десь = 2. >-

дробно рассмотрен в §19. Приведем окончательный результат. ^ А . 1 ^ Ь

Пусть = , =

^ииД^^С.Ь 1 ' • причем щ>и определении

<5 о А, ь

ионических переменных, составляющих матрицу Д^ (5., 0) »

пагаем в (14) гн= , а в формулах (15) считаем

сть также А^ 9) = АЛ А*0), Д^ (<5,6) = ¿ек А^(5,0).

Теорема 6. I. Число ©с, , равное наименьшей длине отрез, на котсром может быть разрешима проблема моментов (17), создает с единственным положительным корнем 9 уравнения

А* 9). = О (18)

ким, что С5,9*)^о (этот

эень является максимальным вещественным корнем уравнения (18))

2. Число Гл. - ! , равное количеству разрывов функции (;) = (_4;) , 9s.il , удовлетворяющей моментным

зенствам (17) на минимально возможном отрезке, однозначно

определяется из условий

д! с%е#) . Л! 9 V О Д lai (.%$*))% (

причем, если AufKCSJIG)=0, то ^(й+0 )—-1 , а если 3. Точки разрыва Си * .

m-i^^ + G фуНКЦИИ

-£s(4r) совпадают с положительными корнями и полюсами функции

m-1 < m-i-

где

k:

к

, У^ 1 В случае +

и > = в случае ( ог!; , В»; - канонические переменные, из которых составлены

матрицы ¿Л ^ , ).

Заключительная глава 1У работы посвящена проблеме допустимого синтеза. Рассмотрим автономную систем

множество О предполагается ограниченным, содержащим точку О в качестве внутренней.

Под локальным позиционным синтезом гладкого управления

1Я системы (19) будем понимать задачу нахождения функции U. -

: , заданной в некоторой окрестности цуля Q ,

¡прерывно дифференцируемой при X -ф. О и такой, что для любого

ястора *X°€bQ решение xct) задачи Коти X (."X., Utx^) ,

(О) = Xе оканчивается в точке О в конечный момент

1емени ТСХ°) , т.е. У(.Ь)-0 • Если Q= IR,^, то синтез

-fc — Tcx°) дем называть глобальным.

Проводимое в главе исследование сфсрцулированной задачи

¡дается на метод функции управляемости, некоторые основные

дожения которого приводятся в §20. Далее (§§21,22) рассмат -

вается задача синтеза для линейной системы

x=Av+E>a,x& u&q^u* (20)

предположении *Ганк(Е>, ^U ; Hull^ol^Q

сть класс невозрастасщих неотрицательных на полуоси

функций £ , имеющих, по крайней мере, Пя. точек ывания (среди которых хотя бы одна отлична от О ) и таких,

, при О ^ G ^ &: Т$2т+1еГ:zXoSG-i Сд> {m .

7 о

зпень минимального полинома матрицы А , - минимальная цественная часть собственных значений матрицы А ). Сопоста-< каждой функции позиционное убавление U (х) еле-

зщим образом. Пусть

/4 (6) =т f ф л'е'ч о^е .

[кцию управляемости 0(.х) определим в некоторой области

S Ск? как едино-

твенное положительное решение уравнения ^ -1

= (21) Наконец, зададим в убавление и. (.у) формулой

и (.У) <22)

Теорема 7. Для любой функции ^ &

Г при достаточно

малых значениях коэффициента ОсО^ С»с (Х^ управление (22) решает для системы (20) задачу локального позиционного синтеза гладкого управления.

Уравнение (21), из которого определяется функция управляемости для канонической системы (5), совпадает с уравнением Коробова и, в этом смысле, является его обобщением. Вместе с тем, управление (22) не содержит линейного слгаемого. Это позволяет рассмотреть вопрос о глобальном синтезе.

Пусть

подкласс финитных функций таких,что

при .

Теорема 8. Пусть все собственные числа матрицы

А

имеют неположительную вещественную часть. Тогда для любой функции е ^ при достаточно малых значениях коэффициента <2о'. О-1-ас ¿г и при 1 управление (22) решает для систе-

мы (20) задачу глобального позиционного синтеза гладкого уп -равления.

Основная трудность доказательства тесрем 7-8 (как и ранее известных теорем о конструктивном синтезе с помощью метода функции управляемости) связана с проверкой дифференциального неравенства для функции управляемости и ограниченности управ -ления. Решение этих вопросов, в сущэственно более общих по

1ненио с известными работами предположениях, основано на

¡енении новых оценок, использующих положительную определен-

п,

/ Р -Uu "*V< ~А (1 . , I „ 1

РЬ

«-f U J. Tu

моментных матриц вида f г =j_ , где

k) - неубывающая функция с достаточным числом точек роста В §§ 22,23 показана распространимость полученных резуль-эв о локальном синтезе на системы с течкой покоя О вида

к = ЧЧХ;>и)= А Х + (23)

определенных ограничениях на , а также на "ква-

зеугольные" системы, приводимые к виду (23). При этом наря-s гладким предлагается выбор разрывного управления U(.x) 9 эщью соотношения

1 ~А - г\

4 Сем)х, niax (8(х))Х? У(о>Ц

u&Q

ванного допустимым принципом максимума. Такой выбор у правил приводит к дифференциальному включению, решения которого ни они существуют) попадают в ноль за конечное время.

В §§ 25,26 рассматривается задача синтеза в бесконечного

ном случае для уравнения

у м

- гильбертовы пространства, оператор

А пррож-

т сильно непрерывную группу G.^^э -с^^'Ь-^оо( с (Tlf j У} • Точная управляемость этого уравнения равносиль-положительной определенности оператора

ма) ,

Ее постановка аналогична вышеприведенной для конечномерного случая

> 2 и>с С- А) =2 ( Ь\ II е МИ/4; ) , задаваемо.

при каждом у & X соотношением

В этом предположении определим в области

= <(у ; М -£ схз функционал управляемости

как единственное положительное решение уравнения

а позиционное управление Ц(х) , X &

очм

зададим

формулой

и^сх^-^ьЧ/Л^У. (г

Известно, что такое управление решает задачу синтеза в слух ограниченного оператора в уравнении (24). В работе полученс следующее обобщение этого результата.

Теорема 9. Пусть уравнение (24) точно управляемо и $ некоторого натурального СП , некоторого У>0 и доста точно больших ¿X : справедливо неравенство

Тогда при достаточно малых значениях коэффициента О.0\ 0<-

/к

■^0.о О. управление (25) ретает для уравнения (24) задачу локального позиционного синтеза. Если, к тому же, оператор

А

- косо^аиосопряженный, го этот синтез будет глобальным Данный результат цриыенш для решения задачи синтеза у равления в некоторых уравнениях с частными производными ги перболического типа (§27).

Основные результата диссертации опубликованы в работах:

1. Скляр Г.М. Один метод построения функции управляемос-i U В кн. Тезисы Всесовзн.конференции "Метод функций A.M. шунова в современной математике". - Харьков, 1986. - С.64.

2. Коробов В.И., Ciaifp Г.М. Оптимальное быстродействие степенная проблема моментов // Мат.сборник. - 1987. -

34 (176), №2 (10). - С.186-206.

3. Коробов В.И., Скляр Г.М. Точное решение одной гг -ерной задачи быстродействия // Докл.АН СССР. - 1988. - 296, 6. - С.1304-1308.

4. Коробов В.И., Скляр Г.М. Оптимальное быстродействие тригонометрическая проблема моментов // Изв.АН СССР, сер.

атематическая. - 1989. - 53, №4. - С.868-885.

5. Коробов В.И., Скляр Г.М. Проблема моментов Маркова на инимально возможном отрезке // Докл.АН СССР. - 1989. - 308, 3, с.525-528.

6. Скляр Г.М. Аналитический подход к задаче быстродейст-ия // В кн. Тезисы докл. П Северо-Кавказской регио.конферен-[ии по функц.-дифференц. уравнениям и их приложениям. - Ма -:ачкала, 1989. - C.I90.

7. Коробов В.И., Скл.ф Г.М. О множестве позиционных ог-аниченных управлений, решающих задачу синтеза // Докл. АН :ССР. - 1990. - 312, »6. - С.1304-1308.

8. Скляр Г.М. Граничные управления для некоторых нелинейна систем // В кн. Тезисы Всесоюзной школы "Пон1рягинские гтения. Оптимальное управление, геометрия и анализ". - Кеме -icbo, 1990. - С.201.

9. Скляр Г.М. Оптимальное управление колебанием струны// 1 кн. Тезисы докл.республ. конференции "Динамика твердого тега и устойчивость движения". - Донецк, 1990. - С.46.

10. Скляр Г.М. О точной управляемости линейного уравне -мя с неограниченным оператором // Вестник Харьк. ун-та. 1рикл.математ. и механика. - 1990, р 361. - С.20-27.

11. Коробов В.И., Скляр Г.М. Методы построения позицион-•шх управлений и допустимый принцип максимума // Дифференц. /равнения. - 1990. - 26, »11. - C.I9I4-I924.

12. Коробов В.И., Сющэ Г.М. тог - проблема моментов Маркова и быстродействие // Сиб.мат.журнал. - 1991. - 32, №1. - С.60-71.

13. Скляр Г.М. 0 распространимости одного метода построения позиционного синтезирующего управления на уравнения с неограниченным оператором // Вестник Харьк. ун-та. Прикл. математ. и механика. - 1991, шво с. 17-28.

14. Скляр Г.М. Точное описание областей управляемости и достижимости для канонической системы // В кн. Развитие » применение метода функций Ляпунова. - Новосибирск: Наука, 1991.

15. Коробов В.П., Скляр Г.М. Метод порождающей функцш в проблеме моментов с периодическими пропусками // Докл. А! СССР. - 1991. - 318, »1. - С.32-35.

Идеи от, выполненных совместно с В.И.Коробовым, пр» надлежащ в р ой степени обоим соавторам. Вместе с тем, I диссертационную работу включены лишь те результаты, доказательство которых получено ее автором.

Ответственный за выпуск Котляров В. П.

Подписано к печати 14.10.91. $из. п. л. 2 Уч. -изд. л. 2. Заказ * 206. Тираж 100 экз.

Ротапринт ФШНТ АН Украины, 3I0I64, Харьков, просп. Ленина, ■