Аналитический и численный методы исследования динамики пучков заряженных частиц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГ6 од

САНКТ-ШЛЕРВУИЛЮИ ГОСУДАРСТВЕШШЙ УНИВЕРСИТЕТ '

ГАЛОЧША МАРИЯ ФЕДОРОВНА

АНАЛИТИЧЕСКИМ.И ЧИСЛЕШЙШ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

динамики пучков закженных чХстиц

Специальности: 01.01.09 - математическая кибернетика, .

СВ.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в области физико-математических наук)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1933

Работа выполнена на факультете прикладной математики -процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор ЗУБОВ Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук • ВОРОШЕН Михаил .Феофанович

кандидат физико-математических наук АЦЦН1АН0В Сергей Николаевич

Ведущая организация: Объединенный институт ядерных исследований (г. Дубна)

Защита состоится "2Л" 1933 г. Л к час. на

заседании специализированного совета X-063.57.I6 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургской университете по адресу: 199004, С.-Петербург, 10-я линия В.О., д.'33, ауд. 88.

С диссертацией мояно ознакомиться в библиотеке им. А.М.Горького С.-Петербургского университета.

Автореферат разослан "X/" ьС£.е.-ц 1993 г.

1

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

Горьковой В.Ф.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследованием оптических свойств пучков заряженных частиц, управлением пучками и вопросами их применения занимается ионная оптика. За последние десять-пятнад-цать лет сильно возросло использование пучков заряженных частиц для элементного анализа веществ. Преимущество ионных пучков в качестве и разнообразии аналитической информации, которую можно получить с их помошью, а также высокой чувствительности методов, их использующих. Сфокусированный пучок частиц (ядер или ионов атомов) энергией в несколько Мэв, дающий на мишени размер пятна в несколько микрон, т.е. ядерный, или ионный, микрозонд, становится сейчас обычным инструментом в исследовательских ускорительных лабораториях во всем мире. Благодаря новой информации, которая обеспечивается ионньми микрозондами и которая ке может быть получена никакими другими способами, вызывается интерес к ним в разных областях науки и производи.во. Ионные-микрозонды применяются сейчас в биологии и медицине, металлургии и геологии, в криминалистике и кристаллографии, в археологии и искусстве. Успешным примзнением ионных пучков микронных размеров в самых разных областях науки, техники и производства объясняется интенсивное развитие этой отрасли ионной оптики. Б настоящее время актуальным является вопрос о получении ибнных пучков субмикронных размеров на мишени.

При проектировании ионно-оптических систем управления пучками заряженных частиц высоких энергий существенную роль играют экономические соображения. Высокопрецизионные ионно-оптические системы являются сложными и дорогостоящими установками. Физический эксперимент чрезвычайно дорог. Поэтому математическое моделирование является важным методом при расчете и проектировании ионно-оптических систем.

Физические процессы в ионной оптике сложны и зависят от многих параметров. Математическое моделирование дает возможность исследовать влияние отдельных параметров на характеристики пучка и в соответствии с результатами оптимизировать ионно-оптиче-скую систему.

Быстрый прогресс в области ионной оптики связан прежде всего с развитием плодотворных компьютерных методов расчета и анализа. Так как эксперименты сложны и дороги, а теоретическое изучение связано с решением очень сложных математических задач, то ЭВМ становятся важным средством решения задач ионной оптики.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. I. Построение математической модели динамики пучков заряженных частиц в ионно-оптических системах с учетом нелинейных членов третьего и пятого.порядков и с учетом краевых эффектов осевого распределения поля.

2. Создание алгоритмов и программы для ЭВМ согласно построенной модели.

3. Проведение численных расчетов для некоторых микрозондовых систем с целью исследования влияния нелинейных членов и краевых полей.

4. Компенсация нелинейных аберраций третьего порядка с помощью сктупольных линз.

ОЩАЯ 1ЖТ0ДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе применяются аналитические и численные методы теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений для решения задач динамики заряженннх частиц во внешних электромагнитных полях.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Аналитические и численные методы исследования динамики пучков заряженных частиц применяются с учетом нелиней ностей вплоть до пятого порядка. Исследуется влияние краевых полей на выходные характеристики пучка. Для численного интегрирования уравнения движения применяется консервативный метод, при котором строго сохраняется фазовый объем цучка.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Для рассматриваемой в диссертации математической модели разработаны численные апгоритмы решения практических задач ионной оптики. Программа ТЯЛг/£ > написанная на алгоритмическом языке Фортран ( версия Фортран-Дубна), дает возможность расчета ионно-оптических систем транспортировки и фокусировки пучков и исследования динамики заряженных частиц с целью определения ортимальных параметров системы управления цучком.

АШТРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на семинарах факультета прикладной математики-проиессов управления Санкт-Петербургского университета. По материалам диссертации был сделан доклад на Международной летней ШКОЛе: 5и.п\т*л. £сА-оо£ оп. МаЛД^пю^бссс.^ Маи-Мич-у. си^сС ¡¿¡илл^О- Сои^/зч 1а -ЬСоп, ( МЪгь-а., Ьи1уым,1&, -1990).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы три научные статьи.

СГРЖГУРА И ОВЬЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и приложения. Объем работы составляет 130 страниц машинописного текста. Библиография содержит 60 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечается актуальность проблемы, рассматриваемой в диссертации, и описывается состояние проблемы на данный момент. Обосновывается необходимость' математического моделирования и применения численных методов прг исследовании динамики цучков заряженных частиц и расчете и анализе систем управления цучками. Формулируются основные пели проведенных исследований и дается краткое содержание глав и параграфов диссертационной работы.

Первая глава диссертации посвящена построения математической модели динамики цучков заряженных частиц в ионно-оптических системах, состоящих из магнитных квадругольных и квадруполыго-октупольных линз. Рассматриваемая модель учитывает, 'во-первкх, нелинейные члены в уравнениях движения с точностью до пятого порядка малости вклвчительно, во-вторых, краевые эффекты распределения магнитного поля вдоль оптической оси.

Для исследования динамики цучков применяется консервативный метод численного интегрирования уравнений движения, при котором при каждом шаге строго сохраняется фазовый объем цучка.

При построении математической модели в данной работе используется матричный подход к исследовании свойств ионно-оптических систем, при котором фазовые координаты на выходе системы выражаятся через начальные фазовые координаты с помощью матрицы перехода. Матричный подход, во-первых, удобен для исследования фокусирующих свойств сложных многоэлементных ионно-оп-ткческих систем..Во-вторых, аппарат матричной алгебры хорошо приспособлен для расчетов на ЭВМ. В-третьих, при матричном подходе решение уравнения движения частицы ищется в виде, не зависящей от начальных значений фазовых координат, в то время как обычно уравнение интегрируется при одном начальном значе-

нии (задача Коши).

Из общего уравнения движения заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле выводятся нелинейные уравнения траектории частицы в стационарном магнитном поле квадрупольно-октупольной линзы с точностью до членов пятого порядка малости.

Используя систему фундаментальных уравнений электродинамики - систему уравнений Максвелла и уравнение Лапласа, находим разложение в ряда скалярного магнитного потенциала квадрупольно-го магнитного поля с двумя плоскостями антисимметрии и двумя плоскостями симметрии и октупольного магнитного поля с четырьмя плоскостями антисимметрии. Движение заряженной частицы в комбинированном магнитном поле квадрупольно-октупольной линзы описывается в плоскости С*,1 ) уравнением:

V, ("х.х'^.у^+уу, у', ¡О* у, ^ ¡О

гае -

К-*; у,/ [^¿"ю-угф х'г, [л 1Ъ)-ЦаЦку1 +

-1 *(2> * *- ¡^ +ЮШ]х'у% + [т - 4^(гЦхху. 6Ъ) + ц Ъ)]х\у' --[¿кЪ)* ЦЬ)]?1*^' + ' +

+ { Шх'^'-г Ц-ч к'СО + { -

- 4/ Шхх'У* + [-4

ч- £ к'ы+ ^+ + [- * у* >] ъ'уУ^ба^'м'1.

Уравнение движения а плоскости ( ц., г ) получается заменой ■х на у , у на -к , функций ■ЬсгЛ, , ¿Ш на функции ~к(1), -<\п) , -/Гг; соответственно. В о(з) входят все члеш более высокого, чем пятый, порядка малости. Функция -{сС» есть приведенный градиент поперечного квадрупольного магнитного поля на оси. Функция ц характеризует распределение вдоль оси % октупольного магнитного поля. Функция £«> определяет додекапольную составляющую распределения магнитного квадрупольного поля.

Если в уравнении движения частицы (I) отбросить в правой части все члены выше пятого порядка малости, то мы получим приближенное уравнение двииения заряженной частицы в плоскости ) :

-х" - Чл <- о. (2)

Введем понятие вектора фазовых моментов. Для четырехмерного вектора чг ^(^Ч"')''*!*)?,!/) фазовым моментом порядка л назовем величину, равную произведению

и.,*'О и Г' *

где К: принимает одно из значений О, I, ..., К. и •

В пространстве фазовых моментов введем вектор X размерности 40, компонентами которого являются фазоЕые моменты первого, третьего и пятого порядков. Тогда приближенное дифференциальное уравнение движения частицы (2) можно записать в виде системы линейных дифференциальных уравнений, которая в векторной форме имеет вид: (

X = РООХ . (3)

Это линейное дифференциальное уравнение в'пространстве фазовых моментов относительно вектора X . Матрица Р(-г> - квадратная, порядка 40, матрица, имеющая блочную, верхнетреугольнуго структуру. Вид блоков матрицы РГг) дан в приложении. В состав элементов матрицы Рч*) входят функции ■кСг), ,¿[1) и их производные. Мы предполагаем, что эти функции являются непрерывными функциями в интервале, равном длине оптической системы.Предполагаем, что -&К) имеет производные до четвертого порядка включительно, функция имеет производные до второго порядка вклкь

чительно, и эти производные являются непрерывными функциями, кроме конечного числа точек, где они могут иметь разрывы I рода.

Уравнения (2) и (3) являются эквивалентными уравнениями. Сведение нелинейного дифференциального уравнения (2) к линейному уравнению (3) называется погружением в пространство фазовых моментов.

В случае, когда в приближенном уравнении движения частицы (2) мы учитываем нелинейные члены до третьего порядка включительно, вектор фазовых моментов X имеет размерность, равную 12, и компоненты вектора являются фазовыми моментами первого и третьего порядков. Матрица Роо является частью уже определенной матрицы Р(г> : это левый верхний блок размерности 12x12.

Если рассматривать приближенное уравнение движения с точностью до членов первого порядка, то уравнение движения частицы в плоскости имеет вид:

■зс "= - к.(г) и .

Это линейное дифференциальное уравнение описывает так называемое параксиальное (или Гауссово) приближение и называется уравнением параксиального луча.

Фокусирующие свойства квадрупольной линзы в значительной степени определяется зависимостью магнитного поля от продольной координаты % . В идеальной квадрупольной линзе Лункция

, определяющая квадрупольнув составляющую магнитного квадрупольного поля, постоянна по всей длине линзы и обращается в нуль вне линзы. Однако реальное квадрупольное поле не имеет разрыва на краях, а меняется непрерывно. Поэтому важное значение имеет аппроксимация функции распределения осевого поля на краях линзы, т.е. аппроксимация краевых полей. При расчетах прецизионных ионно-оптических систем необходимо исследовать влияние краевых полей.

Профиль продольного поля квадрупольной линзы определяется функцией формы .-/(О. Это нормированная функция, имрющая максимальное значение, равное единице, и такая что

] '(ил- I ,

где ^ - так называемая эффективная длина линзы, которая вводится вместо геометрической длины при моделировании ионно-оптических систем. Функция распределения поля вдоль оси опре-ляется через функцию формы таким образом:

где £ " - величина градиента магнитного поля на

оси (х = 0, у = 0) в середине линзы.

В данной работе предлагается следующая модель аппроксимации распределения магнитного поля вдоль оптической оси. Мы полагаем, что

г О (ввиду отсутствия информации о додекэполь-ной составляющей кввдрупольного магнитного поля). Функции

-/с Ст) и <] (л) , характеризующие распределение магнитного поня квадрупольно-октупольной линзы, определяются следующим об разом;

,ксг)^я »С*) , ,

■ ОЫ-Я^Ш), ,

где В^, ВоаЛ: - величины магнитной индукции на полюсах квадеупольной и октупольной линз соответственно, 8 у магнитная жесткость частииы, и - радиусы апер-

тур квадрупольной и октупольной линз. Величина -coii.it есть приведенный градиент поперечного магнитного поля в середине (по оси 1 ) линзы, величина - con.it есть фокусирующая сила октупольного поля в середине линзы.

141 полагаем, что функции Цг(г) и Иг} тождественно совпадают: 042) . & рассматриваем следующую аппро-

ксимацию осегого распределения магнитного поля, описываемого функцией ичг) . Исходными величина являются ¿. и ¿е. -эффективная длина линзы и длина интервала постоянства градиента поля. Введем величину Л^ - . Назовем ее длиной интервала спада функции . Точки и обозначают начало и конец интервала постоянства. Точки й = ^и. - Сч,- и ?-= ск + ¿„V являются точками входа в линзу и выхода из линзы соответственно.

Положив и-вне интервала Е.*«,*«-'! , аппро-

ксимируем Цг(2} таким образом: {

1С Он, О (

? с ьч мл ,

Се*,**! ,

Длицу интервала постоянства ¿с. можно менять от значения, равного нуля, до значения, близкого к эффективной длине Л , так, чтобы величина -¿^ не обращалась в нуль. При 1с-=0 мы получаем колоколообразную модель поля. При и рассматриваемая модель стремится к прямоугольной модели, функция формы ' (Ж) имеет всего один варьируемый параметр , изменяя который можно получать различные модели распределения поля, 01' колоколсобразной до прямоугольной.

Сведение приближенного нелинейного дифференциального уравнения движения заряженной частицы к линейному дифференциальному уравнению в пространстве фазовых моментов дает возможность искать решение уравнения движения в виде матринанта. Решение дифференциального уравнения (3), удовлетворявшего начальному условию X(7„)= , определяется через матрицант с помо-

щью равенства:

где матрицант £С%Сг(Л удовлетворяет дифференциальному уравнению

й'^Ю^РГЙЙГяг.) (4)

и начальному условию:

КЙ.иО-Е. (5)

Таким образом, для получения решения дифференциального уравнения (3) необходимо численно- интегрировать дифференциальное уравнение (4) с начальным условием (5).

иг (г) - «/ ^

Найдя решение дифференциального уравнения движения частицы в виде матрицанта, мы имеем возможность определить фазовое множество на выходе оптической системы (или в любой точке оптической оси) для всей совокупности точек (частиц пучка), т.е. начального фазового множества.

Численное интегрирование дифференциального уравнения движения (4) с начальным условием (5) проводится методом обобщенного аналога скобок Гаусса, предложенного Дымникоеым А.Д. Достоинство метода в том, что на каждом шаге интегрирования определитель матрицанта строго равен единице, так как след матрицы РСъ) равен нулю: . Следовательно, фазовый объем пучка строго сохраняется постоянным на каждом шаге вычислений. Таким образом, этот метод интегрирования дифференциального уравнения движения является консервативны*, тем самым обеспечивая консервативность физической системы.

Яри расчетах высокопрецизионных ионно-оптических систем необходимо исследовать влияние различных факторов, вызывающих аберрации, т.е. отклонения фокусирующих свойств системы от свойств, даваемых линейной (параксиальной) теорией. Задачей теории аберрации в кокноЯ оптике является расчет зтих аберраций и устранение или уменьшение их. Компенсация аберрапий является одной из самых важных и трудных проблем ионной оптики.

Геометрические аберрации - это аберрации, обусловленные нелинейными членами в уравнениях траектории частицы. Суаеству-ют различные способы расчета коэффициентов геометрических аберраций. Аналитические методы расчета коэффициентов геометрической аберрации для квадрупольных линз связаны со сложными и громоздкими вычислениями я применимы только для некоторых моделей осевого распределения поля, когда функция форма имеет такой аналитический вид, когда коэффициенты аберраций можно вычислить. Кроме того, аналитические методы трудно обобщить для произвольной оптической системы, состоящей из нескольких квадрупольных линз. Вычисления геометрических аберраций более еысского, чем третий,порядка аналитическим способом становится крайне сложной задачей.

В рассматриваемой нами модели, используя матричный подход и находя решенье дифференциального уравнения движения части™ в виде матрицанта линейной системы дифференциальных уравнений, дается быстрый и прямой способ вычисления аберраций. Коэффици-

енты геометрических аберраций являются элементами матрицанта. Фазовые координаты частицы и у; на выходе оптической

системы в нелинейном приближении третьего порядка выражаются через начальные фазовые координаты 'х*. , ^ , х»' , с помошью равенств:

- v я»' ""'у.' - • - • + *,*«. ,

где , ^лю (к=1,..., 12) - элементы матрицантов системы в плоскостях () и ( у, ). Геометрическая аберрация третьего порядка в реальном пространстве определяется выражени ями:

¿У»-1*^ * ■ -

где , - значения координат х и у на выходе системы в параксиальном приближении. Геометрические аберрации третьего порядка в реальном пространстве определяются двадцатью аббера-ционными коэффициентами. Иэ геометрических аберраций наиболее важной является сферическая аберрация, которая определяется коэффициентами ^ , -чТ», "г,* , :

Аналогично определяются коэффициенты геометрической аберрации пятого порядка в реальней пространстве и коэффициенты геометри ческой аберрации третьего и пятого порядков в импульсном пространстве, т.е. для координат х и.у.'

Во второй главе давтея результаты теоретического анализа и численных расчетов для линейных и нелинейных систем управления пучками заряженных частиц. Численные расчеты проводились по программе тйдк/б. , составленной в соответствии с рассматриваемой математической моделью. Дается краткое описание этой программы.

В первом параграфе данной главы рассматриваются линейные ионно-оптические системы. Определяются основные оптические характеристики первого порядка квадеупольных магнитостатических

систем и даются их выражения через элементы матрицанта. Для микрозонда и углового микрозонда дается физическая и математическая постановка задачи. Определяется нагрузочные характеристики квадруплета врадения и приводятся результаты численных расчетов для разных ионно-оптических систем. Даны графики нагрузочных кривых для систем с различными значениями варьируемых параметров (длина линз, длины свободных промежутков).

Для линейного протонного микрозонда на 3 &в, расчет которого проводился для Лаборатории нейтронной физики Объединенного института ядерных исследований, получены оптимальные параметры (возбуждения линз и рабочее расстояние) при ограничениях на некоторые параметры (длина линз, расстояние до первой линзы системы и др.), которые определялись некоторыми физическими и технологическими возможностями. В качестве объектива микрозонда рассматривался квадруплет вращения. Начальное фазовое множество определяется двумя диафрагмами с радиусами т-( и и расстоянием между ним», т.е. начальное фазовое множество задается неравенствами:

г 1

Для идеального микрозонда получено уменьшение пучка на мишени ,

У5" • Для линейного микрозонда с колоколообразным распределением поля уменьшение . Влияние краевых полей на выходные характеристики цучка л и исследовалось для четырех моделей осевого распределения поля:

I) и=о , 2) и-^ , ^ ,4) и*

Получены параметры оптимального линейного микрозонда, для которого пучок на мишени для идеального микрозонда имеет размеры менее 4 мкм.

Для линейного углового микрозонда-октуплета и для линейного углового микрозонда квадруплета получены оптимальные значения параметров для указанных выше четырех моделей осевого распределения поля. Численные расчеты проводились для цучка с заданным эммитансом £• = 2,588'м.рад и заданными начальными фазовыми координатами = у. = Ю м. В качестве начального фазового множиства рассматривался эллипсоид, проекция которого на плоскости и (у-, у') имеют вид:

В параграфе 2 отражены результаты численных расчетов для протонного микрозонда, углового микрозонда октуплета и углового микрозонда квадруплета в нелинейном приближении третьего и пятого порядков. Влияние краевых полей на выходные характеристики пучка исследовалось, как и в линейном приближении, для четырех моделей осевого распределения поля. Результаты численных расчетов отражены в графиках и таблицах.

В параграфе 3 предлагается и описывается метод компенсации (устранения или уменьшения) нелинейных аберраций третьего порядка с помопыо октупольных линз. Приведены результаты расчетов по определению возбуждений октуполей - корректоров и результаты чиглишых расчетов для системы углового микрозонда-октупле-та с октупольными линзами, во-первых, приближение третьего и пятого порядков, во-вторых, для разных рассматриваемых нами моделей осевого распределения магнитного поля.

В параграфе 4 дается краткое описание программы тв/шс. . Программа предназначена для расчета ионно-оптических систем, состоящих из любого числа квадрупольных и октупольных линз. С помощью этой программы можно изучать свойства систем в линейном приближении и в нелинейном приближении третьего и пятого порядков с учетом краевых эффектов осевого распределения поля. Программа тй1\>/г> представляет собой пакет подпрограмм. Программа отличается большой гибкостью. Ее можно использовать не только для магнитостатических систем, но и для электростатических и комбинированных систем. Достаточно только изменить задание исходной матрицы коэффициентов системы уравнений. В то время, как многие из известных программ жестко связаны с выбором порядка уравнения, эта программа может быть использована в трех случаях: линейном и нелинейном третьего и пятого порядков, либо сразу для трех вариантов. Другие программы жестки к выбору модели поля,,т.е. их можно использовать только для одной конкретной модели. В данной же программе, изменяя всего лишь один исходный параметр, можно получить различные модели поля. Кроме того, программа может быть использована для любой другой модели поля, отличающейся от нашей. Для этого достаточно только

включить в пакет программ такподпрограмму аппроксимации поля любой другой функцией.Таким образом, изменяя только параметры исходной модели, можно учитывать влияние различных факторов.

В заключение дается краткое изложение полученных результатов.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. М.З.Галочкина, А.Д.Дымников, Г.М.Осетинский. Влияние формы осевого распределения поля в квадеутальном микроэонде на размеры выходного кроссовера пучка. Дубна, ОИЯИ 9-85-847, 1985.

2. М.Ф.Галочкина, А.Д.Дкмниксв. Математическое моделирование краевых эффектов ионно-оптических систем с учетом нелинейно-стэй третьего, и пятого порядков. ВИНИТИ Ш67-В88,1988.

о| л-ои- ерЫ'еоЛ - Гн+е/ылС/ЬоксЛ ^^ро^л*.

(ХА&ьла,

цд. ^990, р. га?-г го.

Подписано к печати 19.05.93. Заказ 167 Тираж 100 Объем 0 75 ГШ СПГУ . .104034, Санкт-Петербург, наб. Макарова,, б.