Анализ эволюции ядерной намагниченности в многоэховых ЯМР и МРТ импульсных последовательностях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

На правах рукописи

005049886

ПЕТРОВА МАРИНА ВЛАДИМИРОВНА

АНАЛИЗ ЭВОЛЮЦИИ ЯДЕРНОЙ НАМАГНИЧЕННОСТИ В МНОГОЭХОВЫХ ЯМР И МРТ ИМПУЛЬСНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ

01.04.17 — химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных

состояний вещества

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

\ i фев т

Новосибирск-2013

005049886

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте «Международный томографический центр» Сибирского отделения Российской академии наук

Научные руководители:

доктор физико-математических наук Лукзен Никита Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Пуртов Петр Александрович

кандидат физико-математических наук Толстой Петр Михайлович

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт катализа им. Г.К. Борескова Сибирского отделения Российской академии наук

Защита диссертации состоится «13» марта 2013 г. в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 003.014.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте химической кинетики и горения им. В.В. Воеводского Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск 90, ул. Институтская 3, ИХКГ СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института химической кинетики и горения им. В.В. Воеводского Сибирского отделения Российской академии наук

Автореферат разослан февраля 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор химических наук

А.А. Онищук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В основе современных методов ЯМР (ЯМР - ядерный магнитный резонанс) томографии лежат специальные последовательности радиочастотных (РЧ) импульсов, в т.ч. методы, в которых некоторая комбинация РЧ импульсов повторяется периодическим образом; примером последних могут служить широко используемые мультиэховые последовательности. При этом большинство существующих методов основаны, как правило, на использовании простого для анализа отклика спиновой системы на цепочку 90°- или 180°- резонансных РЧ импульсов. В то же время известно, что спиновое эхо может формироваться при любом угле поворота намагниченности под действием РЧ поля. Более того, использование меньших углов поворота оказывается более предпочтительным, например, в высокополевых МРТ-томографах (МРТ - магнитно-резонансная томография), где цепочка РЧ 180°-импульсов может вызвать нежелательную радиационную и тепловую нагрузку на пациента. Использование произвольных углов поворота актуально еще и потому, что не требует тщательной предварительной калибровки образца, что позволяет уменьшить общее время сканирования. Понимание поведения спинового эха при произвольном угле поворота особенно важно для ЯМР-каротажа и при исследовании материалов портативными ЯМР-анализаторами, где используются слабые магнитные поля со значительной неоднородностью, так что реальные углы поворота существенно отличаются от своих номинальных значений. Между тем недостаток большинства современных подходов для вычисления эволюции матрицы плотности системы с периодическим гамильтонианом состоит в том, что, в конечном счете, они основаны на численных методах и не дают какого-либо общего аналитического результата. Всегда, однако, предпочтительнее работать с явными аналитическими выражениями, поскольку они позволяют прояснить природу изучаемого явления.

В связи с этим интерес представляет работа [1], авторы которой получили аналитические результаты для подобного рода задачи, применив метод производящих функций (ПФ), хорошо известный в дискретной математике. Одно из важных преимуществ данного подхода состоит в том, что ПФ для эхо-сигналов песет в себе всю информацию о соответствующей импульсной последовательности: построение ПФ аналогично дискретному преобразованию Фурье. В частности, в работе [1] была рассмотрена последовательность Карра-Парселла-Мейбума-Гилла (CPMG) с резонансными 90° возбуждающим и произвольным рефокусирующим импульсами, для которой в случае невзаимодействующих спинов 1/2 при отсутствии спиновой релаксации и диффузии авторами была получена не только ПФ, но также точные п асимптотические явные аналитические выражения

для самих эхо-амплитуд. Для случая наличия спиновой релаксации также была получена соответствующая ПФ, однако какие-либо аналитические результаты непосредственно для спинового эха получены не были; нерезонансный случай также не был рассмотрен. Между тем, хотя из ПФ возможно получить величину эхо-сигнала с любым порядковым номером численно или аналитически [1], целесообразно иметь именно аналитическое выражение, поскольку оно может дать представление о зависимости поведения спинового эха от параметров задачи.

Основной целью настоящей работы является дальнейшее развитие формализма производящих функций для описания многоэховых ЯМР и МРТ импульсных последовательностей. Для достижения данной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Развитие формализма ПФ для описания эволюции матрицы плотности системы с периодическим гамильтонианом.

2. Получение ПФ для эхо-амплитуд для основных типов МРТ периодических импульс-пых последовательностей в предположении невзаимодействующих спинов 1/2 и отсутствия диффузии.

3. Нахождение точных и приближенных выражений для CPMG эхо-амплитуд в предположении невзаимодействующих спинов и отсутствия диффузии. Анализ точности приближенных выражений.

4. Рассмотрение случая связанных спинов. Нахождение ПФ для CPMG эхо-амплитуд в случае двух скалярно связанных спинов 1/2.

Научная новизна работы. В работе впервые получены ПФ для амплитуд намагниченности для основных типов ЯМР и МРТ импульсных последовательностей с произвольными углами возбуждения, рефокусирования, отстройкой от резонанса, а также скоростями продольной и поперечной спиновой релаксаций; при этом рассматривается случай несвязанных спинов 1/2 в отсутствие спиновой диффузии.

Исходя из полученной для CPMG последовательности ПФ впервые найдены как точные, так и приближенные (асимптотические и аппроксимационные) явные аналитические выражения для соответствующего спинового эха. Показано, что форма асимптотических уравнений существенно зависит от параметров задачи. Впервые ясно сформулированы условия, при которых в поведении спинового эха присутствуют затухающие осцилляции.

Рассмотрена эволюция АХ-системы двух скалярно связанных спинов 1 /2 под действием CPMG последовательности неселективных 180° рефокусирующих РЧ импульсов и несе-лективпого возбуждающего импульса с произвольным углом поворота в пренебрежении релаксационными процессами. Впервые получены соответствующая ПФ и явные анали-

тические выражения для спинового эха. Показано, что при наличии скалярного спин-спипового взаимодействия в поведении эхо-сигналов проявляются осцилляции, отсутствующие в случае невзаимодействующих спинов. Впервые установлено, что вклады в сигнал эха от интегральной и мультиплетной поляризаций имеют разную фазу и могут быть разделены, что может найти применение в МРТ экспериментах с использованием неравновесной поляризации.

Научим и практическая значимость работы. Полученные в работе результаты важны для понимания поведения спинового эха в режиме произвольного угла поворота РЧ импульсом, что крайне актуально для ЯМР-каротажа и использования портативных ЯМР-сканеров, а также может найти применение в МРТ. Полученные результаты могут быть полезны при интерпретации экспериментальных данных, полученных существующими методами, а также при разработке новых экспериментальных методов на основе мпогоимпульспых последовательностей.

Личный вклад соискателя. Автор диссертации принимал непосредственное участие в постановке и решении задач, рассматриваемых в работе, интерпретации и обсуждении полученных результатов, организации и проведении экспериментов. Вывод подавляющей части аналитических выражений, проведение численных расчетов, обработка данных и графическое представление результатов было выполнено диссертантом самостоятельно.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены и обсуждались на российских и международных конференциях: International conference «Modern developments in Magnetic Resonance Imaging and Spectroscopy in medicine» (Казань, Россия, 2007); XLVI Международная Научная Студенческая конференция (Новосибирск, Россия, 2008); V Зимняя молодежная школа-конференция "Магнитный резонанс и его приложения" (Санкт-Петербург, Россия, 2008); EUROMAR - 2008 Symposium (Санкт-Петербург, Россия, 2008); International Symposium and Summer School "Nuclear Magnetic Resonance in Condensed Matter" (Санкт-Петербург, Россия, 2009); EUROMAR - 2009 Symposium (Гетеборг, Швеция, 2009); XXII Симпозиум "Современная химическая физика" (Туапсе, Россия, 2010); EUROMAR- 2011 Symposium (Франкфурт-на-Майне, Германия, 2011); the 4th International Conference on Magneto-Science (Шанхай, Китай, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в 3 статьях в рецензируемых научных журналах из списка ВАК, а также в тезисах докладов 9 конференций.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, выводов и списка цитируемой литературы, включающего 113 наименований.

Работа изложена на 112 страницах, содержит 2 таблицы и 14 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы основные цели работы и дано описание структуры диссертации.

Первая глава диссертационной работы представляет собой состоящий из шести разделов обзор литературы. В первом разделе кратко рассмотрены основные типы периодических ЯМР и МРТ импульсных последовательностей. Во втором разделе обсуждается применимость феноменологических уравнений Блоха к описанию импульсных экспериментов, приводится решение данных уравнений для случая прямоугольного РЧ импульса в отсутствие диффузии и показывается, что при данных условиях использование их ведет к простой рекурсивной процедуре для вычисления намагниченности некоторого изохро-мата (изохромат - совокупность спинов с одинаковой ларморовской частотой). В третьем разделе рассматривается влияние параметров РЧ импульса на регистрируемый сигнал. В четвертом разделе обсуждаются существующие методы расчета величин эхо-сигналов, там же рассмотрены основные положения теории конфигураций, применяемой в диссертационной работе. В пятом и шестом разделах рассмотрены влияние диффузии и взаимодействия спинов на величину формирующихся сигналов спинового эха соответственно.

Вторая глава диссертационной работы включает шесть разделов.

В первом разделе вводится понятие ПФ и обсуждается вопрос применимости метода для описания поведения систем с периодическим гамильтонианом. ПФ для набора величин Мо, Aíi, • • ■ i Af„,... определяется как функция комплексного переменного z (|z| < 1) следующим образом: / (г) = Mnzn. Полагая г = е,в (0 < д < 2-к), можно видеть, что ПФ в действительности представляет собой дискретное преобразование Фурье, так что любой элемент Мп может быть легко вычислен путем стандартного Фурье-преобразования ПФ, а также путем разложения ПФ в ряд Тейлора в точке z = 0, что следует из самого определения ПФ. В качестве величины Мп может выступать, например, матрица плотности (МП) некоторой системы, на которую оказывается периодическое воздействие. Зачастую при этом удается составить линейную рекурсию вида рп+\ = Арп + В, где р„ - МП после п-го периода гамильтониана (вектор в пространстве Лиувилля), а А и В не зависят от п. Тогда соответствующая вектор-ПФ находится как /(z) = (Е — г А)-1 ^ро + ут^-В)] Е -единичный оператор.

Под величиной Мп также можно понимать намагниченность в момент регистрации п-го ЯМР-сигнала. Оказывается, что в пренебрежении диффузионными процессами для

многих периодических MPT и ЯМР импульсных последовательностей имеют место линейные рекуррентные соотношения упомянутого выше типа, так что соответствующие ПФ могут быть получены аналитически. Подобная ПФ для отдельного изохромата для CPMG последовательности ае*у - ТЕ/2 - (а™1 - ТЕ-)м с номинальными углами возбуждения и рефокусирования аех и атс! соответственно (индексы «-у» и «х» обозначают соответствующую фазу импульсов) и межимпульсным интервалом (временем эха) ТЕ в случае несвязанных спинов 1/2 и коротких прямоугольных РЧ импульсов вычисляется во втором разделе. Полученное выражение достаточно громоздко. Однако усреднение по неоднородной ширине (частотным изохроматам), в случае МРТ индуцируемой градиентом магнитного поля, включаемым между импульсами, может быть проведено непосредственно в соответствующей ПФ, форма ПФ при этом существенно упрощается. Такое усреднение для полученной выше ПФ выполнено в третьем разделе. Соответствующая усредненная ПФ (ПФ для MPT CPMG эхо-амплитуд) имеет следующий вид:

ОО ■ Г

п м - =

Чу

Муо + г 2

1 + 4

2

п=и

X = (1 + гЫ[1-2(£1 + Ы(созасо82(/> + 8т2<^)+22£1е2], (1)

У = (1 [1 -г (6 -6) (созасов^ + вш2^ - ,

где £1,2 = ехр {—ТЕ/Тхр), Т\ и Т2 - времена продольной и поперечной спиновой релаксации соответственно, а = аге/у1 + (Дш/ш-у)2, 1ап<^ = Аи/^, Дш - отстройка от резонанса во время импульса (одинакова для всех изохроматов, поскольку во время импульса градиент магнитного поля выключен), о>1 = 7В1, В\ - амплитуда РЧ поля, 7 - гиромагнитное отношение, Мх0 и Му0 - соответственно х- и ¡/-компоненты начальной намагниченности (сразу после возбуждающего импульса) во вращающейся с частотой РЧ поля системе координат, М+ = Мхп + гМу„. Данная ПФ описывает как СРМй, так и СР (СР - последовательность Карра-Парселла) импульсные последовательности, равно как и последовательности с произвольной фазой возбуждающего импульса - нужно лишь выбрать соответствующие начальные условия. Данная ПФ также применима и для составных импульсов, представляющих собой комбинацию прямоугольных импульсов, если под а и <р понимать угол поворота вокруг результирующей оси поворота и угол наклона ее к поперечной плоскости соответственно. Полученные результаты применимы и к последовательностям с цик-лировапием фазы рефокусирующих импульсов, когда фаза рефокусирующего импульса линейно зависит от его порядкового номера. Также можно видеть, что если определить

эффективный угол рефокусирования ае как

( an¡ \

cos ае = cos a cos2 ip + sin2 ip = cos I -.-г ) cos2 tp + sin2 tp ,

\ |cos 95] /

то ПФ (1) принимает форму, аналогичную той, которая имела бы место в резонансе (Аи = 0, т.е. уз = 0). Таким образом, нерезонансный случай (Дш ф 0) полностью аналогичен резонансному (Аи = 0) с переопределенным углом рефокусирования ае. Данный результат был впервые получен в работе [2] и естественно следует из формы ПФ (1).

В третьем оке разделе показано, что подход на основе ПФ может быть применен для вычисления послеимпульсных эхо-сигналов, возникающих в «оборванных» последовательностях с конечным числом импульсов, если при этом продолжается временная схема для градиента магнитного поля. Кроме того, установлено, что при достаточной неоднородной ширине полученный результат (1) применим и для случая ЯМР-каротажа, где градиенты магнитного поля не используются, по имеются только локальные неоднородности магнитного поля, так что отдельный изохромат имеет одну и ту же отстройку от резонанса в течение всей импульсной последовательности. В этом случае необходимо работать с полной (не усредненной) ПФ /+ (г, а^, Аш), взвешивая ее с функцией и>х- и Дш-распределения я (и>1, Дш) и интегрируя:

(индекс «echo» означает, что полученная ПФ относится к эхо-амплитудам).

В четвертом разделе приведены усредненные ПФ для другого важного типа последовательностей РЧ импульсов - градиентного эха, состоящего из цепочки эквидистантных РЧ импульсов. Рассмотрены случаи как некомпенсированного градиента (с ненулевой площадью под градиентом между импульсами), так и скомпенсированного градиента между импульсами (с нулевой площадью под градиентом между импульсами).

Пятый раздел содержит проверку теоретических результатов двумя ЯМР экспериментами. Первый эксперимент состоял в вычислении времен спиновой релаксации образца (водного раствора CuSOi) и сравнении их с соответствующими значениями, найденными стандартным методом. Согласие времен спиновой релаксации, найденных двумя способами, оказалось хорошим (рис. 1). Второй эксперимент заключался в сравнении теоретических (вычисленных из ПФ) и экспериментальных CPMG эхо-амплитуд при всех известных параметрах задачи: углах возбуждения и рефокусирования, отстройки от резонанса, времени эха, временах спиновой релаксации; образцом выступала водопроводная вода. Наблюдаемое соответствие также оказалось весьма хорошим (рис. 2).

(3)

1 2 S 4 5 в 7 в

п (номер эха)

1.1 (а)

1.0- 8°о

09- а08" i »

Ео.7-s 0.5. 1 ? 1 1

0.4 0.3- 1 2

15 20 25 30 35

1.00.9-

Jo,

J О -в 0.5'

(6)

Л00«,

^eS^SgooeeossSeseSSS

п (номер эха)

Рис. 1: Экспериментальные (пустые кружки) и теоретически рассчитанные (закрашенные кружки и пунктирная линия) зависимости амплитуды эха от его номера. Возбуждение и рефокусирование в резонансе (Дш = 0 рад/с), амплитуда РЧ поля u>i = 27V х 500 рад/с, углы возбуждения и рефокусирова-ния равны ж/2. Tfnd = 273 мс, TfF = T2GF = 268 мс (индексы «stand» и <GF> обозначают «стандартный метод» и «метод ПФ» соответственно).

Рис. 2: Экспериментальные (пустые кружки) и теоретически рассчитанные (закрашенные кружки и пунктирная линия) зависимости амплитуды эха от его номера. Амплитуда РЧ поля и>1 = 22430 рад/с, номинальные углы возбуждения и рефоку-сирования равны 7г/4, Т\, Т2 ^ 3 ( » ТВ — 780 мкс; (а) возбуждение и рефокусирование в резонансе (Дш = 0 рад/с); (б) отстройка от резонанса Ды = 37700 рад/с.

В шестом разделе второй главы перечислены основные преимущества формализма ПФ. В действительности ПФ представляет собой аналог Фурье- или Лаплас-образа дискретной величины М„ и содержит полную информацию сразу обо всех величинах Мп. В то время как выражение для Мп может быть весьма громоздким или не может быть получено вообще, зачастую ПФ может быть получена аналитически и имеет при этом достаточно простой вид. В свою очередь, величина Мп с произвольным номером п может быть рассчитана из ПФ численно или аналитически разложением ее в ряд Тейлора в точке г = 0 либо путем стандартного преобразования Фурье. Стационарное значение величины М„ при п —> оо также может быть легко получено из ПФ / (г) как МЛ = Итг_»1 [(1 — г) / (г)]. Следующее преимущество данного подхода заключается в том, что усреднение по частотным изохроматам может быть проведено единожды непосредственно в самой ПФ. Наконец, наличие ПФ существенно упрощает решение обратной задачи по извлечению параметров

системы из экспериментальных данных.

В третьей главе диссертационной работы, включающей четыре раздела, приведены аналитические результаты непосредственно для самих эхо-сигналов. Поскольку выше сделано замечание об эквивалентности случаев резонансных и нерезонансных рефокуси-рующих импульсов (уравнение (2)), далее рассмотрен только резонансный случай с углом рефокусирования аге^ = а в пределах от 0 до 7г; результаты для а в диапазоне от 7Г до 27Г могут быть получены путем замены а на 2п — а в соответствующих уравнениях, что следует непосредственно из вида ПФ (1).

Первый раздел третьей главы посвящен выводу точных выражений для MPT CPMG эхо-амплитуд. Показано, что в общем случае произвольного угла рефокусирования и скоростей спиновой релаксации величина эхо-сигпалов может быть представлена в виде двойной суммы произведений полиномов Лежандра Рь (i):

~ = [5п0 + {Sn + xSn-i) - (х-1 + х) (5„-1 + xSn-2) COS

мх о ^

+ (Sn-2+\Sn-з)],

» = iil^IL [¿n0 + (5n _ Х5п_,) - (х"1 - х) (5„_1 - Х5„_2) cos а- (4)

My о л

- (Sn-2 - Х^п-з)] ,

где

= Е рк (^Г1 cos а) (^Р cos а) С^П'к У ^. (5)

X — VWÏîi Ср = РЧ{Ф{р~ - биномиальный коэффициент. Можно выделить некоторые частные случаи, когда уравнения (4) несколько упрощаются: 1) равные времена спиновой релаксации 7\ = 7Ь (х = 1); 2) 90° угол рефокусирования; 3) 0° угол рефокусирования (сигнал отсутствует); 4) 180° угол рефокусирования (моноэкспоненциальный Тг-спад). В общем же случае выражения (4) достаточно громоздки (число слагаемых растет с номером эха как п2) и неудобны для численного расчета эхо-сигналов с большим порядковым номером, а также не дают представления о зависимости поведения эхо-амплитуд от параметров последовательности.

Ясную зависимость от основных параметров задачи демонстрируют асимптотические уравнения для MPT CPMG эхо-амплитуд с большим порядковым номером п, приведенные во втором разделе третьей главы диссертации. Показано, что форма асимптотик существенно зависит от эффективного угла рефокусирования (2) и соотношения продольной и поперечной скоростей спиновой релаксации. При этом можно выделить следующие

случаи и подслучаи. Первый и второй случаи - соответственно а = 0 (эхо не формируется вовсе) и а = 7Г (моноэкспоненциальный Тг-спад), когда существуют известные точные результаты. При а ф О, 7Г точное выражение для эхо-амплитуд (4) весьма громоздко, по асимптотические уравнения очень просты, при этом форма их зависит от соотношения времен спиновой релаксации Т1 и Xj. Таким образом, третий случай - = Г2, а ф О, 7Г, и соответствующая асимптотика имеет вид a cos (па -

М„+ и Г { Мх о

. ,, , tan § / 7Г

+ г М„о\/-- cos (па + —

" v тп \ 4

2 2ует1ап| и работает при а в диапазоне (0,7г) и пета 3> 1; см. рис. 3.

Следующий, четвертый случай - Ту > Т2, а ф О, 7Г. Здесь необходимо отдельно выделять два подслучая: а = 7г/2 и а ф 7г/2. При а = 7г/2 (первый подслучай) асимптотика эхо-амплитуд

(б)

Мго (! - X2)

М„п и _ («1?2)п/2

уп My о

О 7ГП . П 7Г7П

5 т+Х81П tJ •

Г ТТП . 7ГП1

[cos—-хSin—j (7)

> 8 10 12 14 16 18 20 п (номер эха)

у'тг П(1 + Х2) 1 2 2

определяется эффективным временем релаксации 2Т1Т2/ (Ту + Т2) и не является чисто экспоненциальной. Согласно уравнениям (7) имеет место подразделение на четные и нечетные сигналы (рис. 4). Более того, можно

записать следующие соотношения ДЛЯ ЭХО- Рис. 3: Точные (пустые квадраты) и приближенные (сплошная линия) эхо-амплитуды {х-амплитуд: компонента), нормированные на максимальное

точное эхо (МПт„, птах = 4); Т\ = Т2 (х = 1), = е-ТЕ/т2^ а = тг/З, ^ = 6 = 0.98.

мх2к+1 Му2к+1

Мх2к Му2к

Мх2к+2 Му2к+2

Мх2к+1 Му2к+1

-ТЕ/Т1

(8)

(знак равенства в первом уравнении следует из точных выражений для эхо-амплитуд (4)), так что СРМС импульсная последовательность с 90° рефокусирующим импульсом дает весьма простой способ одновременного измерения Ту и Т2 путем вычисления отношения четного сигнала к предыдущему нечетному и нечетного сигнала к предыдущему четному соответственно. В то же время стандартный СРМв метод с а = тт позволяет определить только Т2-

При а ф 7г/2 (второй подслучай, рис. 5 и б) асимптотическое поведение эхо-сигналов определяется уравнением

мхп „/2 6" / (Ь + х)(Ь-х~1 cosa)

ilí.0 ~ (b-x){b-í(x-1-x)cosa)'

Myn „ (rrr/2 Ь" l(b-x)(b-í2(x-i-x) cosa)

M„o ~ (Ь + x) (Ь — X-1 eos a) ' Ы

где

Ь =

X ' * cosa

(r±ix)!cos2a + 1 (10)

4 / cosa

Наконец, пятый случай - теоретически возможный, по редко реализующийся вариант Тх < Т2 [3], аф 0, тг:

мхп X" 1 а'1 |tan — | j /х + х-1

Мх0 х/2тгп Vx-x"1

Myп My о » (Íi6)n/2 (-х)" 1 а\ tan — j 1 21 /х-х-1 Vx + x"1

(11)

т.е. в данном случае асимптотика спинового эха определяется фактором (xVíIíi)" = fj (Тг-релаксацией) и не является чисто экспоненциальной (рис. 7 и 8).

В третьем разделе третьей главы приведены сравнительно простые аналитические аппроксимационные выражения, адекватно описывающие поведение MPT CPMG эхо-амплитуд в широком диапазоне параметров. При выводе данных аппроксимаций непосредственно используется полученная во второй главе диссертационной работы ПФ для MPT CPMG эхо-амплитуд (1). Показано, что форма найденных уравнений зависит от того, больше или меньше параметр х некоторого критического значения хо = (1 — sin a) / |cos a| (данное подразделение сделано для более высокой точности аппроксимаций, в то время как в точном выражении (4) для эхо-амплитуд никакого подразделения нет); при этом можно выделить следующие четыре случая.

Первый случай - Th < Tí и |lnx| < lnxo1 (a 7г). Соответствующая аналитическая аппроксимация для эхо-амплитуд имеет следующий вид:

£ - Л,

W-yV {/. m + (2. -1)[=*]}«"»"

n/2

' 2

/v_1 4- л/3 = arceos

4А2Ь" n2

Здесь /о М и h й - модифицированные функции Бесселя 1-го рода, и

л = / (> + X) (Ь ~ Х~' cosa) fl4)

1 Ч (b-x){b-k(x~1-x) cosa)'

. _ I (1 -xb)(b + x cosa) . .

2 ^ ^+Xb){b-Ux-1-X.Icos a)'

(l-Kx^+X^cos2«)174

^з = ^----(16)

V2sin |

(17)

. l + i(x"1 + x)2cosa p = arctan- . , (lo)

5 Ix-1 — xl y 1 — j (x_1 + x)2 c°s2 a к = {(х-1 - x) cosasin/3 [(х-1 + x) eos/3 - 2]+

+2г[(х_1 + х) (cos2/3-2sin4|)cos/3-2]}/[8(x"1 + x)sm2asin/3] , (19) P! = x-1 |b| — 1, P2 = (x |Ь|)-1 — 1 и f = 0.75 + 0.25 |cosa| /cosa. Данный случай включает в себя частные случаи = Т2, а ф 0, 7Г (рис. 3) и Т\ ф Т2, а = 7г/2 (рис. 4). При соответствующем выборе параметров указанная аппроксимация приводит к асимптотикам (6), (7) и (9) для эхо-амплитуд; см также рис. 3, 4 и 5.

Второй случай - Т2 < 7j и [1пх[ > •"Хо' (а Ф Соответствующая аналитическая

аппроксимация для эхо-амплитуд имеет следующий вид:

М,

1ХП

мх о

W2

{/0 + (2е - 1) Л [Щ } е-/2 {(* - 1) /о [=*] - h [=*] } е-/2, (20)

{/о [Щ + (2е - 1) Л } е—/2 , (21)

п (номер эха)

> 12 16 20 24 2В 32 п (номер эха)

Рис. 4: Точные (пустые квадраты), асимптотические (пунктирная линия) и аналитически аппроксимированные (сплошная линия) эхо-амплитуды (х-компонента); х = 0.75, угол рефокусирования а = 7г/2, Т: = оо = 1). (а) Л/п, нормированные на максимальное точное эхо (МПтпах, птах = 2); (б) для лучшей демонстрации последних эхо-сигналов показаны величины Мп = (^х^)-"7'2 нормированные на точное значение МПтлх.

Рис. 5: Точные (пустые квадраты), асимптотические (пунктирная линия) и аналитически аппроксимированные (сплошная линия) эхо-амплитуды (х-компонента); \ ~ 0-80» Угол рефокусирования а = 27г/9, Т\ = оо (^1 = 1). (а) Мп, нормированные на максимальное точное эхо (МПтах> птах = 4); (б) для лучшей демонстрации последних эхо-сигналов показаны величины Мп = (Сх^)-"^2 Мт нормированные на точное значение МПтая •

= /(С + Х)(1(^ + Х)С03 а-с) V (с-х)(х 1 сое а-с)

(х"1 + х)2 ео52 а _ г ■ ^ (23)

Рз = Ъс— 1ир4= х-1 |с| — 1. Данный случай включает в себя частные случаи > Тг, а = 0 и 7Г. При соответствующем выборе параметров указанная аппроксимация приводит к точным результатам для а = 0 и 7Г и асимптотике (9) при а ф 0, 7г; см. также рис. 6. Третий случай - Тг > Т^ и |1пх| < (а Ф 0, 7г). Соответствующая аналитическая

аппроксимация для эхо-амплитуд имеет следующий вид:

п/2

Мхп

Мх о

М,

пр 5/2

1/0

2га3/2 ^/тг

4j4I n l ^ J

{/о р*.] + Л [Щ-]} е-пРе/2

n/2j

4l2

А, =

х-х 1 2

Х + Х"1 1

г cot

Х-Х-1 2 2'

Ъ =

X -х

cos а + \1^Х 1 л ^ cos2 а + 1 ,

(25)

(26)

(27)

(28)

р5 = хЬ — 1 и р6 = хЬ-1 — 1- Указанная аппроксимация соответствует асимптотике (11); см. также рис. 7.

Наконец, четвертый случай - Г2 > Т1 и |1пх| > ^Хо"1 (а Ф 7Г/2)- Соответствующая аналитическая аппроксимация для эхо-амплитуд имеет следующий вид:

Мхп

мх0

^(ььрс^ {/о p|i] + (2е _ 1} Л [Щ} e-npi/2

{<* - m -71 iti} е~пр8/2

(29)

Mjl М,

у о

(Ш"/2х" 2,-1 4lj П2"2£ 7

Р7/2

{Ша^хТрТ {/0Frl+ (2f"71Рг1} e""W2

~ = cos ct l(x + c) (í (у-1 + х) cos а ^с) |cosa| у (х — с) (xcosq — с) '

р7 = 2 (1 - б) х + (2е - 1) х |с| - 1 и р8 = (2е - 1) х |Ь|-1 + 2 (1 - е) X N - 1. Данный случай включает в себя частные случаи Tí < T¿, а = 0 и 7Г. При соответствующем выборе параметров указанная аппроксимация приводит к точным результатам для а = 0 и тг и асимптотикам (11) при а ^ 0, 7г; см. также рис. 8.

Анализ точности полученных приближенных уравнений (асимптотик и аналитических аппроксимаций), проведенный в четвертом разделе, свидетельствует о хорошем соответствии их точному выражению (4) в широком диапазоне параметров, которое также демонстрируют рис. 3-8.

Четвертая глава посвящена анализу спинового эха при наличии скалярного спин-спипового взаимодействия. Для АХ системы двух взаимодействующих гомоядерных спинов Ii = 1/2 (г = 1,2) в сильном магнитном поле в пренебрежении релаксационными процессами получена ПФ для MPT CP и CPMG эхо-амплитуд для частного случая 180°-угла рефокусировапия и произвольного угла возбуждения аех:

rcPMG{z) = {Kl + K2) \-ZC0SJ sin ctex — i n nzsini sin 2aex($2)

1 w v 1 ;1-22C0Sф + z2 2 l + 2zcosф + z2 v '

f+cp (z) = sin 2otcx + i (Ki + K2) \+ZC0S/ 2 sino" (33)

1 w 2 l-2zcosф + z2 K 'l + 2zcosф + z2 * '

где ф = J x TE/2, J - константа спин-спинового взаимодействия, Ki = Тг|<7/*г| (i = 1,2) и K12 = 4Tr <7 - спиновая матрица плотности до воздействия РЧ им-

пульсами. Таким образом, в отличие от случая невзаимодействующих спинов, в рассматриваемом случае поведение эхо-сигналов модулируется синусоидой с периодом 2ж/ф = 4тг (J х ТЕ)'1:

С—11"

м+срма = (K1 + K2)sma'xcos^ + iK12^-sm2aexsm^ , (34)

М+Ср = s'n 2аех sin пф + i (K¡ + K2) (—l)nsinaea: cosn<^ . (35)

Из приведенных уравнений непосредственно следует, что в рассмотренном случае вклады в сигнал эха от интегральной («эхо в фазе», действительная часть уравнений (34) и (35)) и мультиплетной («эхо вне фазы», мнимая часть уравнений (34) и (35)) поляризаций имеют разную фазу и, следовательно, могут быть разделены. Это дает возможность использовать сигналы «эха вне фазы» для проведения экспериментов по ЯМР - томографии с использованием неравновесно поляризованных молекул. Данный вывод

12 16 20 24 23 32

(б)

может иметь практическую значимость еще и потому, что, во-первых, во многих случаях неравновесная поляризация ядер имеет только мультиплетную компоненту, и, во-вторых, для систем, находящихся в термодинамическом равновесии, мультиплетная поляризация равна нулю. Следовательно, сигнал «эха вне фазы» не содержит каких-либо фоновых вкладов от равновесной поляризации и обусловлен только неравновесно поляризованными молекулами. Например, в случае протонов сигнал «эха вне фазы» свободен от вкладов воды, часто используемой в качестве растворителя, а также присутствующей в живых тканях. В связи с этим использование неравновесно поляризованных ^^ систем может решить важную в ЯМР - томографию проблему устранения вкладов во-

эяое.

ды в изображении. Можно ожидать, что восстановление изображений по сигналам 2ЯСС

«эха вне фазы» увеличит как чувствительность, так и контраст изображений ввиду 0И1С отсутствия сигналов от равновесно поляризованных молекул.

Также отметим, что для двух компо- Р"С- б: Точные (пустые квадраты), асимптотические (пунктирная линия) и аналитически аппрок-нент эхо-сигнала различны оптимальные симировапные (сплошная линия) эхо-амплитуды (х-

компонента); X = 0.30, а = 2тг/9, 2\ = оо = 1). для увеличения амплитуды сигналов углы (а) мп, нормированные на максимальное точное эхо

(МПт„, пта1 = 2); (6) для лучшей демонстрации возбуждения: а" = тг/2 для «эха в фазе» и послед„их эхо.СИП1алов „оказаны величины Мп =

асх = тг/4 для «эха вне фазы», в то время ^ нормированные на точное значение

как при аех = тг/2 сигнал вне фазы отсутствует, что является известным фактом в ЯМР неравновесных систем [4].

Пятая глава диссертационной работы включает шесть приложений, содержащих вывод приведенных в третьей главе асимптотических и аппроксимационпых выражений.

ВЫВОДЫ

1. Обобщен метод анализа спиновых систем с периодическим гамильтонианом, основанный на формализме произодящих функций. Для невзаимодействующих спинов в отсутствие диффузии получены производящие функции для импульсных последовательностей типа спинового эха и градиентного эха с произвольными отстройкой от резонанса

12 1в 20 24 28

п (номер эха)

Рис. 7: Точные (пустые квадраты), асимптотические (пуиктириая линия) и аналитически аппроксимированные (сплошная линия) эхо-амплитуды (х-компонента); х = 0.8-1, а = 2тг/9, Тг = оо — 1). (а) Мп, нормированные на максимальное точное эхо птах = 3); (б) для лучшей демонстрации последних эхо-сигналов показаны величины Мп = нормированные на точное значение

л?-...

Рис. 8: Точные (пустые квадраты), асимптотические (пунктирная линия) и аналитически аппроксимированные (сплошная линия) эхо-амплитуды (х-компонента); х = 0.3" а = 27г/9, Тг = оо = 1)» (а) Мп, нормированные на максимальное точное эхо (МПпа,, птах = 1); (б) для лучшей демонстрации последних эхо-сигналов показаны величины Мп — нормированные на точное значение

и углами поворота РЧ импульсов. Установлено, что нерезонансный случай эквивалентен резонансному с переопределенным углом рефокусирования.

2. Проведено сравнение теории с результатами двух экспериментов по спиновому эху с углами поворота РЧ импульсов -к/2 и 7г/4. Во втором случае сравнение проведено как для резонансного, так и для нерезопансного случаев. Показано, что теоретические эхо-амплитуды хорошо соответствуют экспериментальным.

3. Для СРМв эхо-амплитуд получены как точные, так и асимптотические явные аналитические выражения. Показано, что форма асимптотических выражений определяется разностью скоростей и Тг-релаксации и эффективным углом рефокусирования.

4. Получены аналитические аппроксимации, с высокой точностью описывающие СРМС эхо-сигналы в широком диапазоне параметров. Установлены условия осцилляционного затухания спинового эха и затухания эхо-сигналов без осцилляций.

5. Рассмотрена эволюция АХ-системы двух гомоядерных скалярно связанных спинов 1/2 в CPMG последовательности неселективных РЧ импульсов с углом рефокусирования 180° и произвольным углом возбуждения в пренебрежении релаксацией. Показано, что в этом случае вклады интегральной и мультиплетной поляризаций в эхо-сигнал имеют разную фазу и могут быть разделены, что может найти применение в МРТ с использованием неравновесной поляризации.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Lukzen, N.N., Petrova, M.V., Koptyug, I.V., Savelov, A.A., Sagdeev, R.Z. The generating functions formalism for the analysis of spin response to the periodic trains of RF pulses. Echo sequences with arbitrary refocusing angles and resonance offsets // J. Magn. Reson. - 2009. -V. 196. - P. 164-169.

2. Petrova, M.V., Doktorov, A.B., Lukzen, N.N. CPMG echo amplitudes with arbitrary refocusing angle: explicit expressions, asymptotic behavior, approximations // J. Magn. Reson. - 2011. - V. 212. - P. 330-343.

3. Иванов, K.JI., Петрова, M.B., Лукзен, H.H., Сагдеев, Р.З. Разделение интегральной и мультиплетной ядерной поляризации с помощью анализа фазы намагниченности спинового эха // Доклады АН, Физическая химия. - 2009. - Т. 427. - С. 211-214.

Список литературы

[1] Lukzen, N.N., Savelov, А.А. Analytical derivation of multiple spin echo amplitudes with arbitrary refocusing angle // J. Magn. Reson. - 2007. - V. 185. - P. 71-76.

[2] Freed, D.E., Hiirlimann, M.D., Scheven, U.M. The equivalence between off-resonance and on-resonance pulse sequences and its application to steady-state free precession with diffusion in inhomogeneous fields // J. Magn. Reson. - 2003. - V.162. - P. 328-335.

[3] M.H. Levitt, Spin dynamics: basics of Nuclear Magnetic Resonance, 2nd ed. - Wiley, 2008.

- 744 p.

[4] Salikhov, K.M., Kandrashkin, Yu.E., Salikhov, A.K. Peculiarities of free induction and primary spin echo signals for spin correlated radical pairs // Appl. Magn. Reson. - 1992.

- V. 3. - P. 199-216.

Подписано к печати 1 февраля 2013г. Тираж 100 экз. Заказ № 025. Отпечатано "Документ-Сервис", 630090, Новосибирск, Институтская 4/1, тел. 335-66-00

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

НАУКИ

ИНСТИТУТ «МЕЖДУНАРОДНЫЙ ТОМОГРАФИЧЕСКИЙ ЦЕНТР» СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ПЕТРОВА МАРИНА ВЛАДИМИРОВНА

АНАЛИЗ ЭВОЛЮЦИИ ЯДЕРНОЙ НАМАГНИЧЕННОСТИ В МНОГОЭХОВЫХ ЯМР И МРТ ИМПУЛЬСНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ

Tf

СО

СМ °>

01.04.17 — химическая физика, горение и взрыв, физика экстремального

состояния вещества

К2 СО ДИССЕРТАЦИЯ

Ю тг

фф о на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

в О

Научный руководитель: д.ф.-м.н., проф. Н.Н. Лукзен

НОВОСИБИРСК - 2012

Оглавление

Список используемых сокращений 5

Введение 6

1 Обзор литературы 10

1.1 Основные типы импульсных последовательностей............................10

1.2 Феноменологические уравнения Блоха........................................14

1.3 РЧ импульсы в MP и ЯМР томографии......................................1С

1.4 Методы расчета амплитуды спинового эха....................................20

1.5 Влияние диффузии..............................................................26

1.6 Влияние взаимодействия спинов................................................29

2 Эволюция намагниченности в длинных периодических РЧ импульсных последовательностях: формализм производящих функций 33

2.1 Формализм производящих функций............................................33

2.1.1 Понятие производящей функции ......................................33

2.1.2 Общий случай периодического гамильтониана........................34

2.2 Расчет ПФ для одного изохромата ............................................35

2.3 ПФ для эхо-амплитуд............................................................38

2.3.1 Применение теории конфигураций для анализа эхо-сигналов ... 38

2.3.2 ПФ для MPT CPMG эхо-амплитуд....................................39

2.3.3 Циклирование фазы РЧ импульсов в MPT CPMG последовательности ......................................................................42

2.3.4 MPT CPMG последовательности с конечным числом импульсов. Послеимпульсное спиновое эхо..........................................43

2.3.5 Учет фазокодирующего градиента в МРТ............................45

2.3.6 ПФ для CPMG эхо-амплитуд в ЯМР каротаже......................47

2.4 МРТ последовательности FE типа..............................................49

2.4.1 Некомпенсированный градиент (/0ТЯ G (t) ф 0)......................49

2.4.2 Скомпенсированный градиент (f™ G (t) = 0)........................50

2.5 Сравнение с экспериментом ....................................................51

2.6 Основные преимущества формализма ПФ....................................54

3 Вывод точных, асимптотических и аппроксимационных выражений для эхо-амплитуд на примере MPT CPMG спинового эха 55

3.1 Точные выражения для MPT CPMG спинового эха..........................56

3.1.1 Общий случай: произвольные а, Т\ и Т2..............................56

3.1.2 Частный случай: равные времена спиновой релаксации 7\ = Т2 . . 57

3.1.3 Частный случай: 0° и 180° углы рефокусирования..................58

3.1.4 Частный случай: 90° угол рефокусирования..........................58

3.2 Асимптотическое поведение MPT CPMG эхо-амплитуд......................59

3.2.1 Равные времена спиновой релаксации Тх = Т2, угол рефокусирования а ф 0, 7г............................................................60

3.2.2 Т\ > Тг, угол рефокусирования а ф 0, 7г..............................61

3.2.3 Т\ < Т2, угол рефокусирования а ф 0, тх..............................65

3.3 Аналитические аппроксимации для MPT CPMG эхо-амплитуд............67

3.3.1 Случай 1: Т2 < Т\, наличие осцилляций ..............................71

3.3.2 Случай 2: Т2 <Т\, отсутствие осцилляций............................73

3.3.3 Случай 3: Т2 > Т\, наличие осцилляций................................74

3.3.4 Случай 4: Т2 > Ть отсутствие осцилляций............................76

3.4 Анализ точности приближенных уравнений..................................77

4 Анализ эволюции неравновесной намагниченности. Разделение интегральной и мультиплетной ядерной поляризации при помощи анализа фазы намагниченности спинового эха 83

5 Приложения 88

5.1 Приложение А. Вывод уравнения (3.13) ......................................88

5.2 Приложение Б. Вывод уравнения (3.14) ......................................90

5.3 Приложение В. Вывод уравнения (3.17) ......................................91

5.4 Приложение Г. Вывод уравнения (3.20)........................................93

5.5 Приложение Д. Вывод уравнения (3.25) ......................................94

5.6 Приложение Е. Вывод уравнения (3.42)........................................97

Основные результаты и выводы 101

Благодарности 102

Список используемых сокращений

ЯМР - ядерный магнитный резонанс

МП - матрица плотности

МРТ - магнитно-резонансная томография

ПФ - производящая функция

РЧ - радиочастотный

СВ - собственный вектор

СЗ - собственное значение

CP - последовательность Карра-Парселла (от англ. Carr-Purcell) CPMG - последовательность Карра-Парселла-Мейбума-Гилла (от англ. Carr-Pur-cell-Meiboom-Gill)

FID - спад свободной индукции (от англ. Free Induction Decay) FE - градиентное эхо (от англ. Field Echo) FFE - быстрое градиентное эхо (от англ. Fast Field Echo) SE - спиновое эхо (от англ. Spin Echo)

Введение

Томография ядерного магнитного резонанса, или магнитно-резонансная томография, широко применяется для медицинских и биологических исследований. В то же время этот метод является перспективным и для исследования химических реакций in situ [1], потоков, процессов массопереноса [2], структуры и свойств различных веществ и материалов [1, 2, 3]. В основе современных методов ЯМР томографии лежат специальные последовательности РЧ импульсов, в т.ч. методы, в которых некоторая комбинация РЧ импульсов повторяется периодическим образом; примером последних могут служить широко используемые мультиэховые последовательности. При этом большинство существующих методов основаны, как правило, на использовании простого для анализа отклика спиновой системы на цепочку 90°- или 180°- резонансных РЧ импульсов [4, 5, б, 7, 8]. В то же время известно, что спиновое эхо может формироваться при любом угле поворота намагниченности под действием РЧ поля [9, 10, 11]. Более того, использование меньших углов поворота оказывается более целесообразным, например, в высокополевых MP томографах, где цепочка РЧ 180°-импульсов может вызвать нежелательную радиационную и тепловую нагрузку на пациента. Использование произвольных углов поворота актуально еще и потому, что не требует тщательной предварительной калибровки образца, что позволяет уменьшить общее время сканирования [12, 13]. Понимание поведения спинового эха при произвольном угле поворота особенно важно для ЯМР-каротажа [14, 15] и при исследовании материалов мобильными ЯМР-анализаторами [16, 17], где используются слабые магнитные поля со значительной неоднородностью, так что реальные углы поворота существенно отличаются от своих номинальных значений.

Теория отклика спиновой системы на импульсные методы хорошо развита [18, 19, 20], а доступные экспериментальные результаты весьма обширны. Между тем поведение намагниченности в периодических последовательностях РЧ импульсов предсгавля-

ет собой лишь частный случай эволюции системы с зависящим от времени спиновым гамильтонианом. Вычисление же эволюции МП системы, описываемой периодическим гамильтонианом, в общем случае может оказаться достаточно сложной задачей. Некоторые из имеющихся теоретических подходов основаны на анализе собственных значений соответствующих операторов эволюции вектора намагниченности [21, 22]. другие предполагают непосредственное вычисление МП рекурсивными методами [23, 24, 25, 26] либо применимы только в асимптотическом режиме [22]. Недостаток большинства данных подходов состоит в том, что, в конечном счете, они используют численные методы и не дают какого-либо общего аналитического результата. Всегда, однако, предпочтительнее работать с явными аналитическими выражениями, поскольку они позволяют прояснить природу изучаемого явления.

В связи с этим интерес представляет работа [27], авторы которой получили некоторые общие аналитические результаты, применив метод ПФ, хорошо известный в комбинаторике и теории вероятностей [28, 29]; так например, данный подход широко используется для разрешения рекуррентных соотношений. Одно из важных преимуществ данного подхода состоит в том, что ПФ для эхо-сигналов несет в себе всю информацию об импульсной последовательности и соответствующих ей сигналах (можно показать, что построение соответствующей ПФ аналогично дискретному преобразованию Фурье) В частности, в работе [27] бьпа рассмотрена MPT CPMG последовательность с резонансными 90° и а возбуждающим и рефокусирующими импульсами соответственно, для которой в случае невзаимодействующих спинов 1/2 при отсутствии спиновой релаксации и диффузии авторами была получена не только ПФ, но также точные и асимптотические выражения для самих эхо-амплитуд. Для случая наличия спиновой релаксации также была получена соответствующая ПФ, однако ни точные, ни асимптотические результаты непосредственно для спинового эха получены не были; нерезонансный случай также не был рассмотрен. Между тем, хотя из ПФ возможно получить величину эхо-сигнала с любым порядковым номером как численно, так и аналитически [27], желательно иметь аналитическое выражение для самих эхо-амплитуд в явном виде, поскольку оно может дать представление о зависимости поведения спинового эха от параметров импульсной последовательности.

Целью настоящей работы являлось дальнейшее развитие формализма производящих функций для описания многоэховых ЯМР и МРТ - импульсных последовательно-

стей.

В первой главе диссертации дан обзор литературы по современным теоретическим подходам к описанию поведения намагниченности в периодических РЧ импульсных последовательностях. В начале главы кратко рассмотрены основные типы импульсных последовательностей, применяемые в ЯМР и MP томографии, затем приводятся общие теоретические положения и методы описания подобных экспериментов, а также обсуждается влияние различных факторов (параметров РЧ импульса, диффузии и взаимодействия спинов) на формирование эхо-сигналов.

Вторая глава посвящена вопросу применения метода ПФ для описания поведения систем, описываемых периодическим гамильтонианом. В частности, данный подход использован для описания эволюции ядерной намагниченности в периодических многоэ-ховых последовательностях РЧ импульсов с произвольными углом рефокусирования и отстройкой от резонанса. В предположении прямоугольных РЧ импульсов, невзаимодействующих спинов и отсутствия спиновой диффузии рассчитана ПФ для отдельного изохромата в MPT CPMG импульсной последовательности. ПФ для самих MPT CPMG эхо-амплитуд находится с помощью последующего усреднения по частотным изохрома-там. Соответствующая ПФ получена и для другого важного типа МРТ импульсной последовательности - FE. В этой же главе показано, как полученные результаты могут быть применены для анализа данных, получаемых в ЯМР-каротаже и при исследовании материалов портативными ЯМР-анализаторами. В заключении главы проводится сравнение теории с экспериментом.

В третьей главе результаты предыдущей главы применяются для получения явных аналитических результатов для амплитуд спинового эха. На примере бесконечной периодической MPT CPMG импульсной последовательности производится вывод точных выражений для эхо-сигналов, а также уравнений, описывающих асимптотическое поведение спинового эха. Показано, что эхо-амплитуды могут быть выражены через хорошо известные аналитические функции - полиномы Лежаидра. В то же время оказывается, что форма асимптотических выражений существенно зависит от параметров задачи. В той же главе получены аналитические аппроксимации, описывающие доасимптотиче-ские (т.е. лежащие вне области асимптотического режима) эхо-сшпалы. вид которых свидетельствует о том, что в зависимости от параметров последовательности в поведении эхо-амплитуд могут проявляться осцилляции. В заключении раздела будет прове-

ден анализ всех приближенных уравнений и сравнение их с точными выражениями.

Четвертая глава диссертации затрагивает вопросы анализа 'эволюции неравновесной ядерной намагниченности в периодических импульсных последовательностях. В часпю-с1и, па примере двух спинов 1/2 (гомоядерпый случай), связанных слабым скалярным взаимодействием, под действием CPMG последовательности со 180° неселективными рефокусирующими импульсами показано, что мультиплешая и интегральная поляризации способны продуцировать сигналы в разных фазах, и таким образом, разделены.

В конце диссертации приведены приложения, основные результаты и выводы , а также список цитируемой литературы.

Глава 1

Обзор литературы

1.1 Основные типы импульсных последовательностей

Основные идеи получения пространственной информации методами современной MP томографии состоят в применении градиента магнитного поля для создания разброса частот ЯМР в различных элементах объема [30], реконструкции изображения с помощью Фурье-преобразования [31, 32, 33, 34], а также использования периодических последовательностей РЧ импульсов [4, 5, 6, 7, 8].

В первых импульсных ЯМР экспериментах использовался только один РЧ импульс, после которого детектировался сигнал FID. Однако такой метод обладает существенным недостатком, связанным с тем, что регистрация FID непосредственно после импульса невозможна ввиду наличия у детектора мертвого времени. Этот недостаток отсутствует в методах спинового эха, в которых эхо-сигнал следует спустя некоторое время после двух РЧ импульсов [35]. Существует два способа измерения скоростей спиновой релаксации методами спинового эха. Первый метод предполагает измерение времени поперечной спиновой релаксации Тг с помощью регистрации одиночного эхо-сигнала, следующего спустя некоторое время после двух РЧ импульсов, промежуток времени между которыми варьируется (эхо Хана) [35]. Хотя данный метод весьма прост, в настоящее время широкое распространение получил второй способ, использующий многоимпульсные периодические последовательности с фиксированными параметрами, при этом в одной импульсной цепочке регистрируются несколько эхо-сигналов [4, 5].

В основе всего многообразия миогоимпульсных периодических методов [G, 7, 8] лежат два основных типа последовательностей: SE и FE. Наибольшей популярностью пользуются методы первого типа, поскольку, во-первых, эхо-сигнал следует не непосредственно за импульсом, и во-вторых, они менее чувствительны к локальным неод-

нородностям магнитного поля [4, 5, 6, 7].

В последовательностях SE-тппа используется цепочка одинаковых эквидистантных РЧ импульсов (рефокусирующие импульсы), которым предшествует возбуждающий импульс. Временной промежуток между рефокусирующими импульсами ТЕ в два раза больше времени между возбуждающим и первым рефокусирующим импульсом. Спиновое эхо формируется в середине периода между импульсами (рис. 1.1а). В методах МРТ формирование эхо-сигналов происходит за счет включенного между импульсами градиента магнитного поля, де/рефазирующего поперечную намагниченность (дефазирова-ние - «расхождение», рефазирование - «схождение» различных изохромат). В методах ЯМР-каротажа [14, 15] и при исследовании материалов портативными ЯМР-сканерами [16, 17] градиент не используется, а де/рефазирование намагниченности происходит за счет локальных неоднородносгей магнитного поля.

В стандартной последовательности SE-типа - CP последовательности

(а - угол поворота импульса, верхние индексы «ех» и «ref» обозначают «возбуждающий» (от англ. excitation) и «рефокусирующий» (от англ. refocusiag) импульсы соответственно, нижние индексы указывают фазу импульса) - фазы возбуждающего и рефокусирующих импульсов совпадают [4]. Как правило, используются резонансные рефокусирующие импульсы с углом поворота arei = 180°, поскольку анализ поведения намагниченности в этом случае особенно прост. Неидеальности импульсов (возникающие, например, из погрешностей калибровки и локальных неодиородностей магнитного поля), а также диффузия в неоднородном магнитном поле усложняют анализ и вносят ошибки в определяемые из эксперимента параметры. Было, однако, показано [5], что модифицированная последовательность - CPMG последовательность

в которой рефокусирующие импульсы приложены под 90° к возбуждающему, позволяет существенно снизить чувствительность формирующихся сигналов к влиянию случайных факторов. В то же время известно, что спиновое эхо может формироваться при любом угле поворота намагниченности под действием РЧ поля [9, 10, 11]. Кроме того, по причинам, отмеченным во введении, использование произвольных углов рефокуси-рования иногда оказывается более предпочтительным.

otf - ТЕ/2 - arxei -ТЕ- arxei - ТЕ- ..

(1.1)

ТЕ/2 - arxe) - ТЕ- arxef -ТЕ- ..

(1.2)

<*> а« anf

(ol

(В)

(Г)

I

щ 1

G ш

I |

а

rtf

А

ТЕ/2 1 ТЕ

„ех

а а

А

о

i

I TR i

а" а'

Щ

еГ

TR

А

а'

а

21

а

а

А

TR

Рис. 1.1: Основные типы импульсных последовательностей: SE (a), ECHO-FE (б), FID-FE (в), rephased FFE (г). К спиновой системе прикладывается цепочка зквидистантных РЧ импульсов (номинальный угол поворота areJ или аех для SE и FE типов последовательностей соответственно), между которыми включен градиент магнитного поля G. В случае последовательности SE-типа имеется также предварительный возбуждающий импульс (номинальный угол поворота a'J) Подробнее в тексте

В последовагельностях другого, FE-тииа, используется цепочка эквидистантных РЧ импульсов, а сигналы регистрируются либо непос�