Анализ и коррекция ошибок магнитных полей в токамаках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.13 ВАК РФ
|
Мингалев, Борис Степанович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.13
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Научно-исследовательский институт электрофизической аппаратуры им. Д.В.Ефремова
На правах рукописи
Мингалев Борис Степанович
Анализ и коррекция ошибок магнитных полей в токамаках
01.04.13 - электрофизика, электрофизические установки
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико - математических, наук
С.-Петербург, 2004
Работа выполнена в Научно-исследовательском институте электрофизической аппаратуры им. Д.В.Ефремова, г. Санкт-Петербург.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Беляков Валерий Аркадьевич.
Официальные оппоненты: доктор физико- математических наук
старший научный сотрудник Лебедев Сергей Владимирович,
Ведущее научно-исследовательское учреждение - ТРИИНТИ (Троицкий инновационный институт термоядерных исследований)
заседании диссертационного совета Д201.006.01 при ФГУП «Научно-исследовательский институт электрофизической аппаратуры им. Д.В.Ефремова» по адресу: 196641, С.-Петербург, п. Металлострой, ул. Полевая, д. 12.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЭФА им. Д. В. Ефремова.
Автореферат разослан -19 - 03 2004 г. Учёный секретарь
кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник Цаун Сергей Владимирович.
Защита диссертации состоится " 1Л " ич 2004 г. в
часов на
диссертационного совета,
доктор технических наук, профессор
Шукейло И.А.
Актуальность темы диссертации. Реальные перспективы создания реактора управляемого термоядерного синтеза связаны с замкнутыми магнитными ловушками типа ТОКАМАК. Накопленный опыт проектирования и эксплуатации экспериментальных установок типа ТОКАМАК позволил перейти к стадии инженерного проектирования Международного термоядерного экспериментального реактора (ИТЭР), разработка которою была завершена 2001 году. Сегодня на повестке дня стоит вопрос о строительстве ИТЭР. Сверхпроводниковая электромагнитная система (ЭМС), создающая тороидальное и полоидальное магнитные поля, является основной и самой дорогостоящей во всей установке.
Малые асимметричные отклонения полоидального и тороидального магнитных полей токамака от их идеального распределения именуются в дальнейшем ошибками магнитного поля, и влияние их на физические процессы в плазме хорошо изучены теоретически и экспериментально на действующих токамаках. Результаты исследований показали, что существуют жесткие ограничения на допустимые величины ошибок магнитного поля, превышение которых приводит к возбуждению так называемых запертых мод неустойчивости плазмы, ведущих к нарушению условий удержания энергии и частиц в плазме, а также к срыву тока плазмы. Источниками ошибок магнитного поля токамака могут быть геометрические отклонения при изготовлении и монтаже магнитных катушек, создающих полоидальное и тороидальное магнитные поля, и другие источники нерегулярности, например, выводные концы и соединения, присущие магнитным катушкам, ферромагнитные элементы конструкции бланкета и инжекторов нейтралов.
Сравнение допустимых пределов на ошибки магнитного поля для действующих токамаков показало ужесточение допустимых пределов на ошибки магнитного поля с увеличением размеров установки. Поэтому решение проблемы снижения ошибок магнитного поля - это одна из принципиальных задач при проектировании ИТЭР. В связи с этим анализ возникновения ошибок магнитного поля в токамаках (разработка соответствующих математических моделей, создание расчетных методик и алгоритмов и программного обеспечения для комплексного анализа источников асимметричных отклонений магнитных полей), определение допусков на точность изготовления и монтажа магнитной системы, выбор и обоснование системы активной коррекции ошибок магнитного поля определяют актуальность этой проблемы. Диссертация посвящена решению проблемы анализа регулярных и нерегулярных источников ошибок магнитного поля и обоснованию системы активной коррекции этих ошибок в токамаках. Результаты численных исследований проведены для .международного термоядерного экспериментального реактора ИТЭР. Работа выполнена в соответствии с планами НИОКР:
Федеральная целевая программа "Международный термоядерный реактор ИТЭР" на 2002-2005 годы (Постановление Правительства РФ № 604 от 21 августа 2001г.).
Федеральная целевая научно-техническая программа . "Международный термоядерный реактор ИТЭР и научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в его поддержку" на 1999-2001 годы (Постановление Правительства РФ № 1417 от 1 декабря 1998 г.).
Федеральная целевая научно-техническая программа "Международный термоядерный реактор ИТЭР и научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в его поддержку" на 1996-1998 годы (Постановление Правительства РФ № 1119 от 19 сентября 1996 г.).
Цель работы.
Целью "работы является создание математического аппарата для анализа ошибок магнитного поля в токамаках и проведение численных исследований для обоснования систем коррекции ошибок поля в ИТЭР. Для достижения этой цели в диссертации были решены следующие задачи:
1) разработка математических моделей, создание расчетных методик и алгоритмов и реализующего их эффективного программного обеспечения для комплексного анализа ожидаемых и систематических ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака;
2) разработка алгоритмов и программного обеспечения для гармонического анализа ожидаемых и систематических ошибок магнитных полей токамака; анализ выполняется на равновесных рациональных поверхностях внутри плазменного шнура; цель исследования данного этапа — выявление резонансных гармоник ошибок поля, ведущих к возникновению запертых мод неустойчивости плазмы;
3) разработка алгоритмов и программного обеспечения для статистического анализа ожидаемых ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака;
4) проведение на базе предложенных методик многовариантных оптимизационных расчетов ошибок магнитного поля ИТЭР на основе предложенной международной группой ИТЭР системы допусков при изготовлении и монтаже электромагнитной системы;
5) проведение на базе предложенных методик многовариантных оптимизационных расчетов и выбор системы корректирующих катушек для коррекции ожидаемых и систематических ошибок поля ИТЭР;
6) обоснование выбора геометрических и электрическихъ параметров системы коррекции ошибок магнитного поля токамака.
Научная новизна работы. Для исследования асимметричных отклонений магнитной системы ИТЭР на основе предложенной математической модели разработан оригинальный расчетный инструмент - алгоритмы и реализующий их программный комплекс "PRORCODE". Создание комплекса программ и возможность его использования для исследования магнитной системы токамака масштаба ИТЭР потребовало решения ряда новых задач:
разработки алгоритмов и программного обеспечения для численного исследования ожидаемых полей ошибок; разработки алгоритмов и
программного обеспечения для численного исследования систематических полей ошибок; разработки алгоритмов и программного обеспечения для гармонического анализа ожидаемых и систематических ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака; разработки алгоритмов и программного обеспечения для статистического анализа ожидаемых ошибок тороидального и полоидального магнитных полей; разработки алгоритмов и программного обеспечения для расчета параметров и синтеза системы корректирующих катушек.
Научная новизна алгоритмов и оригинальность созданного программного обеспечения подтверждается свидетельством о регистрации программного комплекса PRORCODE" #2003612490 российского агентства по патентам. Впервые был проведен комплексный анализ ошибок магнитного поля и систем их коррекции применительно к токамаку-реактору ИТЭР.
Достоверность результатов. Результаты исследований, представленных в диссертации и выполненных для токамака ИТЭР, неоднократно докладывались на технических совещаниях ИТЭР, прошли соответствующую международную экспертизу путем сравнения с результатами, полученными европейской и американской домашними командами ИТЭР. Разработанный специализированный комплекс программ "PRORCODE", ориентированный на решение проблемы ошибок поля: расчеты магнитостатических полей, их гармонический и статистический анализ верифицировался с помощью программного комплекса "KLONDIKE", ориентированного на расчеты магнитных полей, создаваемых системами, содержащими магнитотвердые, магнитомягкие и токонесущие элементы конструкции сложной геометрической формы (свидетельство о регистрации программного комплекса "KLONDIKE" #2003612487 российского агенства по патентам).
Практическая ценность работы. На основе развитых в работе методик разработаны вычислительные программы, позволяющие:
1) проводить расчеты ожидаемых и систематических ошибок магнитных полей токамака на рациональных равновесных магнитных поверхностях,
2) выполнять гармонический анализ ошибок магнитного поля, выявляющий резонансные гармоники, представляющие опасность для удержания плазмы,
3) классифицировать выявленные источники ошибок магнитных полей по степени их значимости,
4) проводить статистический анализ суперпозиции ожидаемых ошибок магнитных полей от выявленного набора источников, чтобы путем сравнения с допустимыми пределами на ошибки поля фиксировать величины ошибок поля, подлежащие коррекции,
5) синтезировать систему коррекции ошибок магнитного поля токамака, позволяющую снизить ошибки поля до допустимого уровня.
Предложенный математический аппарат для анализа и коррекции ошибок поля и выполненные исследования позволили сформулировать технические
требования к точности изготовления и сборки электромагнитной системы и определить параметры системы корректирующих катушек и их электропитания в ИТЭР.
Разработанные программы могут быть использованы для анализа ошибок поля в токамаках, а также для анализа прецизионных магнитных систем различного назначения.
Апробация работы. Положенные в основу диссертации результаты докладывались на:
1) совещаниях рабочих групп ИТЭР,
2) семинарах НИИЭФА им. Д.В.Ефремова, ИАЭ им. И.В.Курчатова, ФТИ им. А.Ф.Иоффе, СПбГПУ,
3) на Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР, Санкт-Петербург, 2002 г.),
4) на Симпозиуме по технологии синтеза (SOFT-20, Марсель, Франция, 1998 г.),
5) на 24-ой конференции европейского физического общества по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (EPS-24, Берсгаден, Германия, 1997 г.),
6) на 19-м Симпозиуме по технологии ядерного синтеза ^№Г-19, Lisbon,PortugalД996,(North-HoИand)),
7) на 5-ой Международной конференции по математическому моделированию" (Дубна, 2002 г.),
8) а также опубликованы в 24-х печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура диссертации. Работа изложена на 165 машинописных
листах, состоит из введения, трех глав и заключения, а также содержит 57 рисунков и 41 таблицу. Список цитируемой литературы состоит из 137 наименований.
Содержание работы.
Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы и направления исследований, приводятся исходные данные, приведена краткая аннотация диссертационной работы по главам и положения, выносимые на защиту.
В первой главе описан математический аппарат для анализа ожидаемых ошибок полоидального и тороидального магнитных полей в токамаках, реализованный в программном комплексе "PRORCODE". Во введении первой главы излагаются общие принципы построения программного комплекса и делается акцент на модульной структуре выстраиваемой общей математической модели анализируемого объекта.
Во втором разделе первой главы составлена номенклатура -источников ожидаемых ошибок поля — номенклатура геометрических отклонений в
катушках полоидального и тороидального магнитного поля от их идеального положения и размеров.
В качестве исходных данных по отклонениям от осесимметричности использовались допуски, предложенные международной группой ИТЭР с учетом особенностей проекта магнитной системы и предполагаемых технологических процессов для ее изготовления. При этом были использованы данные НИОКР по изготовлению крупномасштабных прототипов центрального соленоида, испытательных катушек и катушки тороидального магнитного поля, а также имеющийся опыт промышленного производства сверхпроводниковых магнитных систем в странах-участниках проекта (в том числе и России). При определении допусков принимались во внимание технологические процессы изготовления катушек, включая изготовление проводника, процесс намотки (прогиб, скручивание, трапецеидальность), наложение изоляции (витковой и корпусной) и окончательная сборка в составе магнитной системы. В качестве источников ожидаемых ошибок поля рассматривались погрешности в изготовлении и отклонения от идеального положения в собранном состоянии системы тороидальных и полоидальных катушек и центрального соленоида. В результате, с точки зрения анализа ошибок магнитного поля, магнитная система в токамаке ИТЭР имеет 228 степеней свободы: (шесть секций центрального соленоида + шесть полоидальных катушек) х четыре степени свободы + 18 тороидальных катушек х 10 степеней свободы. В третьем разделе первой главы описаны математические модели геометрических отклонений полоидальных и тороидальных катушек и алгоритмы вычисления соответствующих магнитных полей: трехкратные интегралы Био-Савара, описывающие магнитные поля и векторные магнитные потенциалы, вызываемые отклонениями в тороидальных и полоидальных катушках, проинтегрированы аналитически или сведены к однократным. Опираясь на принятые проекты систем катушек полоидального и тороидального магнитных полей и рассчитанные сценарии токового разряда в плазме ИТЭР, с помощью комплекса программ "PRORCODE" и программного комплекса "KLONDIKE" на равновесных рациональных поверхностях внутри плазменного шнура (рис. 1) проведены расчеты ошибок магнитного поля. При расчетах магнитных полей, создаваемых токовыми катушками, необходимо учитывать точный профиль поперечного сечения катушки, если точки наблюдения V^fay,) находятся вблизи (или внутри) катушек. Это требуется и при расчетах электромагнитных сил, действующих на катушки или при расчетах индуктивностей катушек. Программный комплекс "PRORCODE" позволяет производить подобные вычисления без потери точности. Комплекс программ "PRORCODE" состоит из нескольких программ и подпрограмм, позволяющих с требуемой точностью учитывать все особенности геометрической формы полоидальных и тороидальных катушек токамака, состоящих из криволинейных (прямолинейных) токовых блоков; поперечное сечение катушек представляется прямоугольником или совокупностью прямоугольников. Соответствующие математические модели базируются на
точных аналитических решениях уравнений Максвелла. Анализ ожидаемых ошибок полоидального и тороидального магнитных полей в токамаке ИТЭР вследствие отклонений при изготовлении и монтаже полоидальных и тороидальных катушек - основная область-приложений, где использовался комплекс программ "PRORCODE".
В четвертом разделе первой главы описан алгоритм гармонического анализа асимметричных отклонений магнитного поля на равновесных рациональных поверхностях — алгоритм разложения ошибок магнитного поля в двойные ряды Фурье по тороидальным и полоидальным углам, связанным линейным соотношением на невозмущенных магнитных силовых линиях. Математическая процедура определения величин ошибок поля состоит из двух последовательных этапов:
1) опираясь на результаты расчетов сценария разряда, распадающегося на серию равновесных состояний плазменного шнура, описываемых уравнением Грэда-Шафранова, производятся расчеты распределения нормальной компоненты ошибок магнитного поля на рациональных магнитных поверхностях (коэффициент запаса устойчивости q= 1,2,3);
2) производится гармонический анализ асимметричных отклонений магнитного поля на равновесных рациональных поверхностях: выполняется разложение этой нормальной компоненты поля ошибок в двойной ряд Фурье по полоидальным (т) и тороидальным (п) гармоникам согласно процедуре, описанной ниже.
При разложении в двойные ряды Фурье по тороидальным и полоидальным углам, связанным линейным соотношением на невозмущенных магнитных поверхностях, вычисляются амплитуды и фазы трех низших мод (m,n)=(l,l),(2,l),(3,l) ошибок поля в силу их наибольшей значимости. На первом этапе проводится расчет распределения нормальной компоненты поля ошибок B1 на равновесных рациональных магнитных поверхностях:
СОПБ!, (1)
Ч=(ш/п)=( 1 /1 ),(2/1 ),(3/1), где ¥(х,у,г)- магнитный поток, создаваемый полоидальной магнитной системой и током плазмы. Величину можно определить, решив уравнение Грэда
- Шафранова.
Коэффициент запаса устойчивости q определяется следующим образом:
^Г'Щ^У <2>
где Л — полоидальная проекция приращения длины магнитной силовой линии; В (I) и В, (!) -полоидальная и тороидальная компоненты магнитного поля на поверхности У(Х(1), Г(1),2(1))=соп%1:
Щ1)- расстояние между точкой равновесной магнитной поверхности Ч'(Х(1),У(1),2(1))=сопА и осью токамака (см. рис. 1).
На невозмущенных магнитных силовых линиях (Х(1),У(1),Ц1)) тороидальный угол ф и полоидальный угол в связаны линейным соотношением: Фо=Ф(1Н-в(Г)=СОПБТ, Х(1) =Щ1)-со% ф(1), У(1)=Щ1)%Ы фф: (6)
полоидальный угол в{1) определяется через коэффициент запаса устойчивости д следующим образом:
1 'г <И-В,(1)
е(П=-[
Ч?Л(1)ВР(1)
(7)
-компонента перпендикулярная к поверхности определяется следующим образом:
ошибок магнитного поля В, ЩХО). У(1),г(1))=сог&1, ч=(т/п) =сопб1,
На втором этапе производится разложение нормальной компоненты поля ошибок В± (/?(/),Z(/),^(/)) на равновесных рациональных магнитных поверхностях в ряды Фурье в винтовых координатах в,ф.
Комплексные амплитуды гармоники Втп ошибок поля на невозмущенных магнитных силовых линиях определяются следующим образом :
Bmn - «<?(/))), (10) Ы0> rmnW1 П (2,1),(3,1),
При этом амплитуда £>ш „ и фаза Vтп резонансной гармоники определяются через величины синусных и косинусных амплитуд :
Vm.n=arctg(Bl:i/B<mc>). (12)
С помощью разработанных программ HARMAN1 и HARMAN2, реализующих описанный выше алгоритм и входящих в комплекс PRORCODE, производится гармонический анализ ошибок магнитного поля на равновесных рациональных поверхностям: внутри плазменного шнура: вычисляются низшие гармоники ошибок поля (m,n)=(l,l),(2,l),(3,l),..., именуемые (т,п)-ошибками поля (m-номер полоидальной гармоники, n-номер тороидальной гармоники). Основные источники ожидаемых ошибок поля в существующих токамаках - это отклонения при изготовлении и установке тороидальных и полоидальных катушек.
В пятом разделе первой главы приведены результаты расчетов ошибок поля от каждого из возможных ожидаемых источников, связанных с магнитной системой ИТЭР, на основе алгоритмов анализа, приведенных в разд. 1.4. Расчеты и табулирование ожидаемых ошибок поля по каждому из возможных отклонений, описанных в разделе 1.3, выполняются для единичных отклонений и для единичных токов каждой катушки ИТЭР. Таким образом, для составленной номенклатуры ожидаемых ошибок поля, вызываемых отклонениями в полоидальных и тороидальных катушках ИТЭР от идеального их положения (разд. 1.2), опираясь на принятую систему технологических допусков ИТЭР, выявляется значимость каждого отклонения для каждой катушки по вносимому им вкладу в суммарную ошибку поля. Согласно DIII-D LMT-скейлингу (предельно допустимые значения (m,n) ошибок поля, полученные из экспериментальных данных на установках COMPASS-C, DIII-D и JET) допустимые значения (m,n) ошибок поля должны удовлетворять критерию, полученному обобщением экспериментальных данных: усредненная
в квадратичном смысле амплитуда трех первых гармоник Вз ^ не должна превосходить верхнего предела; интерполяция на размеры ИТЭР дает величину предела 5 10 • Бю:
где весовые коэффициенты соответственно равны W11=0.2,W21=1.0,W31=0.8 . Вторая глава посвящена статистическому анализу суперпозиций ожидаемых ошибок поля от электромагнитной системы ИТЭР. Статистический подход был использован для расчетов ожидаемых ошибок поля, создаваемых комбинациями различных источников. С помощью разработанной программы "МОССО", являющейся частью комплекса программ "PRORCODE, выполняется статистический анализ (т,п) ошибок поля, создаваемых суперпозицией различных источников ожидаемых ошибок поля. Для синтеза системы корректирующих катушек и ее системы питания, способной создавать требуемые токи в катушках для снижения ожидаемых остаточных ошибок поля ИТЭР ниже допустимого предела, используется метод регуляризации, реализуемый с помощью программы "REGUL", входящей в программный комплекс "PRORCODE".
В рамках работ, по проекту ИТЭР изучались ошибки поля, вызываемые сдвигами и поворотами катушек тороидального и полоидального магнитных полей (в данном случае 228 степеней свободы). Разложение ошибок поля в ряды Фурье на равновесных рациональных поверхностях плазменного шнура показало, что основной вклад в ошибки поля вносят три первых гармоники ((m,n)=(l,l),(2,l),(3,l)) (первая глава). Используются вероятностные методы для изучения ожидаемых (т,п) ошибок поля, вызываемых отклонениями в пределах принятых допусков при изготовлении и установке, полоидальных и тороидальных катушек и секций центрального соленоида. Статистическая обработка с помощью метода Монте-Карло продемонстрировала, что усредненная трехмодовая амплитуда ВзтЛ, суперпозиции ошибок поля превосходит допустимый предел в два - три раза. Выполнена оценка параметров системы корректирующих катушек. Во ВТОРОМ разделе второй главы описываются разработанные алгоритмы статистического анализа.
Математические алгоритмы реализуются с помощью программы "МОССО", входящей в программный комплекс "PRORCODE". Рассматривается равномерное и нормальное распределение вероятностей величин отклонений. Поскольку моды полей ошибок В^ линейно зависят от геометрических отклонений в силу их малости (от смешений и поворотов катушек или частей), коэффициентами в этой линейной зависимости являются предварительно вычисленные моды полей ошибок от единичных
смещений и поворотов; они представлены в первой главе (ампер-витки полоидальных катушек с единичными отклонениями приняты равными 10 МА,
ампер-витки тороидальных катушек с единичными отклонениями приняты равными 9.128 МА согласно сценарию разряда в плазме ИТЭР). Вводя общее обозначение для геометрических случайных отклонений катушек Х|. и для единичных ошибок поля
= 0А»,Д),. (14)
где ьэто номер катушки, ]-это номер отклонения, получаем выражение для случайных ошибок поля
Dlf.il/; _ rn.tr
(15)
Для расчета статистических распределений ошибок поля используется метод Монте-Карло, основанный на генерации случайных чисел. Этот метод был использован для расчетов ошибок поля от суперпозиции отклонений при изготовлении и установке магнитных катушек ИТЭР. Вероятность Р (0<Р.<1) того, что мода поля ошибок ' лежит между величинами В^ и Втах ,можно выразить в терминах функции распределения плотности вероятности /(Вт „)
Р(В(Х} < в< в™) = \ г<в%> хш%>. (16)
Для любой токовой стадии разряда в плазме, комбинируя ожидаемые ошибки поля от всех независимых источников с помощью метода Монте - Карло, . можно определить функцию распределения плотности вероятности для каждой
(т,п)моды В™ (ш,п)=(1,1);(2г1);(3,1)
(17)
и для мультимоды Вз1тхк (т = (1 + 2 + 3)/и), определяемой из соотношения (13).
Метод Монте-Карло был использован для расчета равномерного распределения и нормального распределения ошибок поля*.
Равномерное распределение является статистической моделью, описывающей появление ошибки поля любой величины в пределах допуска с равной вероятностью. Плотность вероятности равномерного распределения возмущений х равна:
1
Л-Л)
О, в остальных случаях
(18)
Нормальное (гауссово) распределение плотности вероятностей возмущений х для каждой степени свободы магнитной системы имеет вид
* Хан Г, Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.: Мир, 1969
, -00<х<00
(19)
где параметр // (математическое ожидание, в данном случае Ц=0) и параметр а (дисперсия, О">0) характеризуют соответственно центр распределения и его масштаб. Линейная зависимость между ошибками поля и смешениями катушек позволяет использовать в качестве функции плотности распределения вероятности распределение Релея. Распределение Релея используется для описания радиальной ошибки на плоскости, когда ошибки по каждой оси координат распределены по нормальному закону с одинаковой дисперсией 0>_и нулевым математическим ожиданием:
где Од # — это корень квадратный из суммы квадратов дисперсий
индивидуальных компонент. Для каждой степени свободы
индивидуальная. ^,п) ошибка поля пропорциональна произведению соответствующего технологического допуска на единичную ^,п) ошибку поля. В соответствии с центральной предельной теоремой находится связь среднеквадратичного отклонения (дисперсии) и технологических допусков (Т,у
В третьем разделе второй главы приводятся результаты статистического анализа ЭМС ИТЭР. Получен вероятностный спектр амплитуд и фаз ^,п) ошибок поля: суммарные ^,п) ошибки поля, имеющие трехмодовую амплитуду Вз ^^^=11.9410^ , соответствуют вероятности 99.9% (см. рис. 2).
Полученные методом Монте-Карло результаты расчетов для нормального (гауссового) и равномерного распределений вероятностей возмущений совпадают с приемлемой точностью, что свидетельствует о достоверности результатов.
В четвертом разделе второй главы приведены результаты статистического анализа фазовой структуры ожидаемых ошибок поля, вызываемых суперпозицией отклонений при изготовлении и сборке электромагнитной системы установки ИТЭР.
(20)
(21)
(22)
(23)
Для детального исследования фазовой структуры (т,п) ошибок поля от отклонений в ТБ, Св и РБ катушках, параметрическое пространство {бЧ'гыь 8^31-21} было разделено на 16 равных областей с помощью линий со значениями величин параметров: -7С, -Л /2, 0,+ 71 /2, + Л..
Для каждой из 16 областей в пространстве {бЧ'л.ц, б^л-ц} строится одноразмерная гистограмма "число попаданий - трехмодовая амплитуда ошибок поля". Шаг по параметру "трехмодовая амплитуда ошибок поля" (горизонтальная ось) равен 1. Параметр "число попаданий" (вертикальная ось) нормирован на общее число разыгрываний случайных событий методом Монте-Карло и назван "плотность вероятности". Гистограммы этого типа представлены на рис. 3. Фазовая зависимость ошибок поля иллюстрируется двухразмерной гистограммой "число попаданий - Параметр
"число попаданий" (вертикальная ось) нормирован на общее число бросаний методом Монте-Карло и названо "плотность вероятности". Шаг по параметрам 5f2i.ii И ЙЧ'лл равен л /2. Гистограмма этого типа представлена на рис.4. Результаты проведенных исследований показывают, что полученный уровень ^^ ошибок в несколько раз превышает допустимый уровень (LMT).
В пятом разделе втором главы, опираясь на полученный вероятностный спектр ожидаемых ошибок поля, анализируются возможности предложенных вариантов системы корректирующих катушек ИТЭР.
Используемый метод регуляризации при нахождении решения системы линейных уравнений для токов в корректирующих катушках реализуется с помощью программы "REGUL", входящей в комплекс "PRORCODE". Полученные данные позволяют сделать заключение, что три пояса корректирующих катушек дают возможность эффективно скорректировать три моды ожидаемых ошибок поля (m,n)=(l,l);(2,l);(3,l).
Показано, что система корректирующих катушек обеспечивает подавление (т,п) ошибок поля от уровня Вз mode/B10= 11.94-10-5 , соответствующего 99.9% вероятности, до приемлемого уровня
Вз
le/B10= 11.94-10- для основного набора допусков.
В результате численного моделирования было найдено, что вклады в ошибки поля от полоидальных и тороидальных катушек примерно равны. Получено, что максимальные значения ампер-витков в системе корректирующих катушек, необходимые для подавления трех мод ожидаемых ошибок поля для основного набора допусков, составляют: для верхнего пояса катушек - 103.6 кА, для бокового пояса катушек —104.1 кА, для нижнего пояса катушек-160.1 кА.
Величины максимальных ампер-витков в системе корректирующих катушек, необходимые для коррекции ожидаемых ошибок поля, не превосходят проектных величин.
Третья 'глава посвящена анализу и коррекции систематических ошибок поля ИТЭР. Используется алгоритм и программное обеспечение, описанные в первой и второй главах.
Во введении составлена номенклатура систематических ошибок поля токамака ИТЭР. С помощью программного комплекса "KLONDIKE" и комплекса программ "PRORCODE" анализируются такие источники систематических асимметричных отклонений магнитных полей как ферромагнитные элементы в реакторе-токамаке: ферромагнитные испытательные модули бланкета, системы ферромагнитной защиты инжекторов нейтралов от рассеянных магнитных полей ЭМС.
С помощью комплекса программ "PRORCODE" анализируются систематические асимметричные отклонения магнитных полей, вызываемые нал.ччием присущих катушкам выводных концов и соединений и других элементов нерегулярности.
Во втором разделе третьей главы анализируются ошибки поля, вызываемые ферромагнитными испытательные модулями бланкета ИТЭР- Для расчета магнитных полей используется программный комплекс "KLONDIKE". Гармонический анализ магнитных полей выполняется с использованием программы "HARMAN". Величина трехмодовой амплитуды суммарных ошибок поля, генерируемых пятью ферромагнитными тестовыми модулями бланкета, равная Вз_modeл/B1o=3.1049-10-5
составляет около 26% от ожидаемых ошибок поля ИТЭР
Расчеты токов корректирующих катушек, необходимых для компенсации полей ошибок, выполняются с помощью программы "REGUL".
В третьем разделе третьей главы анализируются ошибки поля, вызываемые активной и пассивной (ферромагнитной) системами магнитного экранирования инжекторов нейтралов от полей рассеяния установки ИТЭР. Программный комплекс "KLONDIKE" и программа "REGUL" используются для расчетов ошибок поля и токов в системе корректирующих катушек ИТЭР. Величина трехмодовой амплитуды суммарных ошибок поля, генерируемых системами магнитного экранирования трех инжекторов нейтралов, равная
Вз_тол,1/В1„=1.0815-10-5
составляет менее 10% от ожидаемых ошибок поля ИТЭР.
В четвертом разделе третьей главы анализируются ошибки поля, вызываемые выводными концами и соединениями полоидальных и тороидальных катушек и секций центрального соленоида ИТЭР. Используются программный комплекс "KLONDIKE" и программа "REGUL" (программный комплекс "TRORCODE"). Показана необходимость выбора оптимального варианта размещения выводных концов секций центрального соленоида. Величина трехмодовой амплитуды суммарных ошибок поля, генерируемых выводными концами и соединениями катушек тороидального и полотдального магнитного поля, равная Вз_шо<1е. 1/В 1„=2.2582-10-5
составляет около 19% от ожидаемых ошибок поля ИТЭР.
В пятом разделе третьей главы приведены результаты синтеза системы корректирующих катушек для коррекции суммарных ожидаемых и систематических ошибок магнитного поля ИТЭР. При этом учет коррекции систематических ошибок приводит к увеличению Ампер-витков во всех поясах системы коррекции примерно на 20 кА и достигает максимально приемлемой величины только в нижнем поясе катушек (180 кА).
В заключении формулируются основные результаты диссертационной работы. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом:
1. Предложен методический подход к созданию базового комплекса математических моделей, описывающих ожидаемые и систематические ошибки поля электромагнитной системы токамака.
2. На основе предложенных моделей разработан оригинальный расчетный инструмент—синтезирующий алгоритм- и реализующий его комплекс программ PRORCODE.
3. На базе разработанных алгоритмов предложены методы расчета ожидаемых и систематических ошибок поля.
4. Проведен статистический анализ ожидаемых ошибок поля, вызываемых технологическими отклонениями в полоидальных и тороидальных катушках. Исследована фазовая структура ожидаемых ошибок поля.
5. Впервые выполнено исследование системы корректирующих катушек, необходимых для коррекции ожидаемых ошибок поля, вызываемых технологическими отклонениями в полоидальных и тороидальных катушках.
6. Проведен анализ систематических ошибок поля, вызываемых пятью испытательными модулями бланкета, в конструкции которых использовались ферромагнитные материалы.
7. Проведен анализ систематических ошибок поля, вызываемых активной и пассивной (ферромагнитной) защитой инжекторов нейтралов от рассеянных магнитных полей ЭМС.
8. Проведен анализ систематических ошибок поля, вызываемых выводными концами и соединениями секций центрального соленоида, полоидальных и тороидальных катушек
9. Осуществлен синтез системы коррекции ожидаемых и систематических ошибок магнитного поля. Показано, что максимальные токи в корректирующих катушках не превосходят проектного предела ИТЭР.
Список литературы.
Публикации, в которых изложены основные результаты диссертационной работы:
1. Sborchia С, Alekseev A., Gribov Yu., Doinikov N., Krasnov S., Mingalev B. et. al, "Analysis of Tolerances & Error Fields for the ITER Magnet System", Proceeding of 20th SOFT, Marseilles, (1998), p. SMSSt
2. Belyakov V.,Gerasimov S, Gribov Yu.....Mingalev B.,.et.al. The ITER
poloidal field, scenarios, error field and correction coils//24th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Berchtessaden, Germany, June,9-13,1997,p.977-980.
3. Амосков В., Белов А., Беляков В, Кухтин В., Ламзин Е., Максименкова Н., Мингалев Б., Сычевский С, Филатов О., Программный комплекс PRORCOPE для анализа и коррекции ожидаемых и систематических ошибок поля в токамаке// Свидетельство РФ о регистрации номер 2003612490,12 ноября 2003 г.
4. Максименкова НА, Мингалев Б.С. Гармонический анализ трехмерных магнитостатических полей ошибок магнитных систем токамака. Алгоритм программы "HARMAN" // Препринт НИИЭФА П-0970 М.:ЦНИИАТОМИНФОРМ, 2002
5. Амосков В.М., Белов А.В., Беляков В.А., Грибов Ю.В., Ламзин Е.А., Максименкова Н.А,. Мингалев Б.С, Сычевский С.Е., Филатов О.Г. Анализ систематических ошибок поля и система корректирующих катушек установки ITER // Препринт НИИЭФА П-0979 М.ЦНИИАТОМИНФОРМ, 2003
6. Амосков В.М., Белов А.В.. Беляков В.А., Грибов Ю.В., Ламзин Е.А., Максименкова Н.А, Мингалев Б.С, Сычевский СЕ. .Филатов О.Г. Статистический анализ и коррекция ожидаемых ошибок поля, вызываемых отклонениями при изготовлении и сборке полоидальных и тороидальных катушек и секций центрального соленоида установки ITER . // Препринт НИИЭФАП-0983 М.: ЦНИИАТОМИНФОРМ, 2003
7. Амосков В.М., Белов А.В., Филатов О.Г., Гаркуша Д.Б., Грибов Ю.В., Кухтин В.П., Ламзин ЕА, Максименкова НА, Мингалев Б.С, Садаков С.Н., Сычевский СЕ. Проникновение осциллирующего магнитного поля через двухслойную вакуумную камеру установки - ИТЭР//Тезисы докладов/Седьмая международная конференция ИПТР, Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, НИИЭФА, 2002, с.4015.
8. Амосков В.М.,Белов А.В., Беляков В.А.,Грибов Ю.В., Ламзин ЕА, Максименкова НА, Мингалев Б.С, Сычевский С.Е., Филатов О.Г. Анализ ошибок магнитного поля и системы корректирующих катушек установки ИТЭР// Тезисы докладов. Седьмая международная конференция ИПТР, Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, НИИЭФА, 2002,с.ИЗ-114.
9. Мингалев Б.С. Аналитическое решение задачи о форме безмоментной секторной катушки тороидального соленоида. Л., 1979, 9с. (Препринт/НИИЭФА: П-Б-0420).
10.Жндков Е.П., Кухтин В.П., Ламзин Е.А., Мингалев Б.С.,Сычевский С.Е., Филатов О.Г. Применение регуляризующих алгоритмов для решения задач синтеза и оптимального проектирования магнитных систем ИТЭР// Тезисы докладов. Седьмая международная конференция ИПТР, Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, НИИЭФА, 2002, с. 115.
11.Амосков В.М., Белов А.В., Беляков В.А., Грибов Ю.В., Ламзин Е.А., Максименкова Н.А., Мингалев Б.С, Сычевский С.Е., Филатов О.Г. Статистический анализ ожидаемых ошибок магнитного поля, возникающих от суперпозиции отклонений магнитных катушек ИТЭР// Тезисы докладов. Седьмая международная конференция ИПТР, Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, НИИЭФА, 2002, с.116.
12.Amoskov V., Belov A.,Filatov О., Garkusha D., Gribov Yu., Kukhtin V., Lamzin E, Maksimenkova N., Mingalev В., Sadakov S., Sytchevsky S. Penetration of oscillating magnetic field Through ITER double walled vacuum vessel // In Proc.V International congress on mathematical modelling, Dubna, Moscow Region, Sept30-Oct.6,2002, Vol.l, p. 133.
13.Амосков В., Белов А., Беляков В, Белякова Т., Гапионок Е., Гаркуша Д., Глухих М., Кухтин В., Ламзин Ел Максименкова Нл Мингалев Б., Сычевский С, Филатов О., Комплекс программ KLONDIKE для численного моделирования пространственных статических магнитных полей// Свидетельство РФ о регистрации номер 2003612487, 12 ноября 2003 г.
14.Амосков В.М., Белов А.В., Беляков В.А., Кухтин .В.П, Ламзин Е.А., Максименкова Н.А., Мингалев Б.С, Сычевский СЕ., Филатов О.Г. Комплекс программ KLONDIKE для численного моделирования пространственных статических магнитных полейУ/Тезисы докладов. Седьмая международная конференция по инженерным проблемам термоядерных реакторов (Сантк-Петербург,28-31 октября, 2002) НИИЭФА, 2002, с. 109-ПО.
15.Бондарчук Э.Н., Дойников НЛ., Мннгалев Б.С. Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке с учетом эффектов насыщения ферромагнетика//Журн.техн.физики. 1977.Т.47,в.З.С.521 -526.
16.Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке при наличии ферромагнетика. -Л., 1975, 17с. (Препринт/НИИЭФА:Б-0236).
17.Bondarchuk E.N., Doinikov N.I., Mingalev B.S. Mathematical simulation of equilibrium plasma configuration and power supply operating conditions m tokamak-type devices/ZFusion Reactor Design Concepts, Vienna, 1978, pp.455460.
18.Бондарчук Э.Н:, Дойников Н.И., Мингалев Б.С., Шмалько Г.И. Методика расчета полоидальных полей токамака,Л., 1977,20 с. (Препринт/НИИЭФА: Б-0335).
19.Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. К оптимизации системы полоидального поля токамака//ВАНТ,серия :Электрофизическая аппаратура.-М.:Атомиздат, 1978,вып.16.С39-46.
20.Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. и др. Формирование полоидальных полей в установке Т-10М//Доклады конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (Л.,28-30 июня 1977)-Л.:НИИЭФА,1977,т.1,с. 145-152.
21.Дойников Н.И., Ламзин Е.А., Мингалев Б.С, Сычевскнй СЕ. К расчету динамической индуктивности магнитных систем. Препринт НИИЭФА, П-0928-М.: ЦНИИатоминформ, 1994, Зс.
22.Doinikov N., Kukhtin V., Lamzin E.A., Mingalev B.,Severgin Yu.,Sytchevsky S. The Computation of the Dynamic Inductance of Magnet Systems and Force Distribution in Ferromagnetic Region on the Basis of 3-D Numerical Simulation of Magnetic Field. Proc. of the 1995 Particle Accelerator Conference Dallas, Texas, USA, May 1-5, 1995 ,vol. 2, pp. 2359-2360.
23.Дойников Н.И., Кухтин В.П., Ламзин Е.А., Мингалев Б.С, Сычевский СЕ. Нахождение динамической индуктивности- и распределения пондеромоторных сил прецизионных магнитных систем с ферромагнитными элементами на основе численного моделирования пространственного магнитостатического поля. XIV .Совещание по ускорителям заряженных частиц, ИФВЭ, г.Протвино, '25—27 октября 1994,т.4,с.89-94.
24.Baturo I.,Berkhov N.,Bohn H., Bondarchuk E., Filatcv V., Giesen В., Doinikov N., KoroFkov M., Kitaev В., Kozhokhovskaja N., Maximenkova N., Mingalev В., Neubauer 0., Obidenko Т., Panin A., Simakov A., Mathematical model and results of calculations for poloidal magnetic field system and stress analysis for toroidal field system of the TEXTOR 94//Proceeding of the 19th Symposium on Fusion Technology, Lisbon, Portugal, Sep., 16-20,1996,Vol.1,p. 209-214 (North-Holland).
Подписано к печати 30.12.2003 г. Формат 60x90/16. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Зак. N 1/1
Отпечатано в ФГУП «НИИЭФА им. Д.В. Ефремова»
'.ï-7 7 9*
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1.АНАЛИЗ ОЖИДАЕМЫХ ОШИБОК
ПОЛОИДАЛЬНЫХ И ТОРОИДАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ В
ТОКАМАКАХ
1 • 1 Введение
1.2 "Источники ожидаемых ошибок полоидальных и тороидальных магнитных полей в токамаке 1 -3 Вычисление магнитных полей. Алгоритм, методика, программная реализация (программный комплекс
РЩЖСОБЕ") 1-4 Гармонический анализ. Алгоритм, методика, программная реализация (программа "НАИМЛИ") 1-5 Результаты расчетов для ЭМС Международного термоядерного экспериментального реактора. ш,п ошибки поля для единичных отклонений. ш,п ошибки поля от суперпозиций отклонений 1-6 Выводы
ГЛАВА 2 СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И
КОРРЕКЦИЯ ОЖИДАЕМЫХ ОШИБОК ПОЛЯ, ВЫЗЫВАЕМЫХ ОТКЛОНЕНИЯМИ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИИ И СБОРКЕ ПОЛОИДАЛЬНЫХ И ТОРОИДАЛЬНЫХ КАТУШЕК И СЕКЦИЙ ЦЕНТРАЛЬНОГО СОЛЕНОИДА МЕЖДУНАРОДНОГО ТЕРМОЯДЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО РЕАКТОРА
2.1' Введение
2.2 Статистические распределения ожидаемых ошибок поля, возникающих от суперпозиции отклонений в поля, возникающих от суперпозиции отклонении в магнитных катушках Международного термоядерного экспериментального реактора
2-3 Статистическое распределение ожидаемых ошибок поля, вызываемых суперпозицией отклонений при изготовлении и установке полоидальных и "тороидальных катушек и секций центрального соленоида Международного термоядерного экспериментального реактора. Результаты расчетов
2.4 Фазовая структура ошибок поля отклонений в секциях центрального соленоида, в катушках полоидального и тороидального поля Международного термоядерного экспериментального реактора
2.5 Система корректирующих катушек Международного термоядерного экспериментального реактора
2.6 Выводы
ГЛАВА 3. АНАЛИЗ И КОРРЕКЦИЯ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК ПОЛЯ МЕЖДУНАРОДНОГО ТЕРМОЯДЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО РЕАКТОРА
3.1 Введение
3.2 Ошибки поля, создаваемые пятью различными модулями бланкета из ферромагнитного материала Международного термоядерного экспериментального реактора
3.3 Ошибки поля, создаваемые системой магнитного экранирования инжекторов нейтральных пучков экранирования инжекторов нейтральных пучков Международного термоядерного экспериментального реактора
3.4 Ошибки поля, создаваемые выводными концами и соединениями модулей центрального соленоида , полоидальных и тороидальных катушек "Международного термоядерного экспериментального реактора
3.5 Синтез системы корректирующих катушек Международного термоядерного экспериментального реактора
3.6 Выводы 163 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Реальные перспективы создания реактора управляемого термоядерного синтеза связаны с установками типа ТОКАМАК[1]. Накопленный опыт проектирования и эксплуатации электрофизических установок типа ТОКАМАК [2-5] позволил перейти к стадии инженерного проектирования Международного термоядерного экспериментального реактора (ИТЭР) [1,6]. Разработка проекта завершена, и на повестке дня стоит вопрос о строительстве ИТЭР. Сверхпроводящая электромагнитная система (ЭМС), создающая тороидальные и полоидальные магнитные поля, является основной и самой дорогостоящей во всей установке.
Математическое моделирование сложных физических процессов и инженерно-технических объектов позволяет не только глубже понять их природу, провести всестороннюю оптимизацию конструкции, но и существенно удешевить саму стадию научно-исследовательских и расчетно-конструкторских работ над проектом. Поэтому разработка соответствующих математических моделей, программного обеспечения, создание расчетных методик и алгоритмов для комплексного анализа с их помощью проблем проектирования электромагнитных систем, является актуальной задачей.
Физические процессы в плазме, связанные с малыми отклонениями полоидальных магнитных полей в токамаках от их идеального распределения, именуемые в дальнейшем ошибками магнитного поля, хорошо теоретически изучены. Теория экспериментально проверена на действующих токамаках. Оказалось, что существуют жесткие ограничения на допустимые величины ошибок поля в токамаках, превышение которых приводит к возбуждению так называемых запертых мод неустойчивости плазмы, ведущих к нарушению удержания энергии и частиц в плазме и срыву тока плазмы. Сравнение допустимых пределов на ошибки магнитного поля для действующих токамаков разных размеров показало необходимость ужесточения допустимых пределов на ошибки поля с увеличением размеров установки. В токамаках с геометрическими размерами масштаба ИТЭР необходима система коррекции асимметричных отклонений магнитных полей.
В диссертации приведен анализ возникновения асимметричных отклонений магнитных полей и их коррекции.
Источниками асимметричных отклонений магнитных полей могут быть:
1) геометрические отклонения при изготовлении и монтаже магнитных катушек в пределах принятых допусков (именуются в дальнейшем источниками ожидаемых ошибок поля),
2) присутствующие ферромагнитные элементы в реакторе-токамаке: тестовые модули блднкета, системы ферромагнитной экранировки инжекторов нейтралов от рассеянных полей ЭМС, ферромагнитные вставки для снижения уровня гофрировки тороидального магнитного поля,
3) система активной защиты инжекторов нейтралов.
4) система активной защиты инжекторов нейтралов от рассеянных полей ЭМС.
5) присущие магнитным катушкам выводные концы и соединения и другие элементы нерегулярности [1,7-19].
Источники ошибок поля, перечисленные под пуктами 2)—5), именуются в дальнейшем источниками систематических ошибок поля.
При анализе ожидаемых ошибок поля, связанных с технологическими отклонениями, используются статистические методы [7,8,10,12,16]. Суммарные ожидаемые остаточные ошибки поля ИТЭР в 2-3 раза превышают допустимый уровень [20]. Обоснование выбора геометрической конфигурации и электромагнитных параметров системы коррекции асимметричных отклонений магнитных полей ИТЭР приведено в диссертации. Актуальность проблемы обусловлена необходимостью выбора оптимального баланса между ужесточением (смягчением) допусков на изготовление полоидальных и тороидальных катушек, являющихся основным источником ошибок полей, и снижением (повышением) токов в системе корректирующих катушек.
Работа выполнена в соответствии с планами НИОКР:
Федеральная целевая программа "Международный термоядерный реактор ИТЭР' на 2002-2005 годы (Постановление Правительства РФ № 604 от 21 августа 2001п).
Федеральная целевая научно-техническая программа "Международный термоядерный реактор ИТЭР и научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в его поддержку' на 1999-2001 годы (Постановление Правительства РФ № 1417 от 1 декабря 1998 г.).
Федеральная целевая научно-техническая программа "Международный термоядерный реактор ИТЭР и научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в его поддержку' на 1996-1998 годы (Постановление
Правительства РФ № 1119 от 19 сентября 1996 г.).
Цель работы.
Диссертационная работа имеет следующие цели:
1) разработка математических моделей, создание расчетных методик и алгоритмов и реализующего их эффективного программного обеспечения, для комплексного анализа ожидаемых ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака;
2) разработка математических моделей, создание расчетных методик и алгоритмов и реализующего их эффективного программного обеспечения, для комплексного анализа систематических ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака;
3) разработка алгоритмов и программного обеспечения для гармонического анализа ожидаемых и систематических ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака на равновесных рациональных поверхностях внутри плазменного шнура;
4) разработка алгоритмов и программного обеспечения для статистического анализа ожидаемых ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака;
5) проведение на базе предложенных методик многовариантных оптимизационных расчетов ошибок поля на основе принятой международной группой ИТЭР системы допусков электромагнитной систёмы,
6) проведение на базе предложенных методик многовариантных оптимизационных расчетов геометрических и электромагнитных параметров системы корректирующих катушек, для коррекции ожидаемых и систематических ошибок поля.
7) выдача рекомендаций по выбору токов системы коррекции ошибок поля токамака;
Научная новизна результатов, выносимых на защиту. На основе предложенной математической модели разработан расчетный инструмент — алгоритмы и реализующий их программный комплекс "PR.OR.CODE" [10,12,1416]. Задача создания комплекса и использование его для исследования электромагнитной системы ИТЭР распадается на несколько этадов:
• разработка алгоритмов и программного обеспечения для численного исследования ожидаемых полей ошибок;
• разработка алгоритмов и программного обеспечения для численного исследования систематических полей ошибок;
• разработка алгоритмов и программного обеспечения для гармонического анализа ожидаемых и систематических ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака (программа "НА11МАЫ") [10];
• разработка алгоритмов и программного обеспечения для статистического . анализа ожидаемых ошибок тороидального и полоидального магнитных полей токамака (программа "МОССО")[ 12,16];
• разработка алгоритмов и программного обеспечения для расчета токов системы корректирующих катушек (программа "11ЕСиЬ")[14,15];
• исследованы ожидаемые и систематические ошибки поля от электромагнитной системы Международного термоядерного экспериментального реактора. Результаты получены с использованием комплекса программ "РЯОЯСООЯЕ'^Ю, 12,14-16];
• исследованы параметры системы корректирующих катушек ИТЭР с использованием разработанного комплекса программ "PR.OR.CODE".
Итак, на защиту выносятся разработанные математические модели, методика и алгоритмы и реализующии их комплекс программ "РЯОКСООЕ [10,12,14-16], для расчетов ожидаемых и систематических ошибок поля и компенсирующих полей от системы корректирующих катушек; результаты моделирования ожидаемых и систематических ошибок поля и компенсирующих полей от системы корректирующих катушек.
Практическая ценность работы. Проведенные в диссертации исследования и математическое обеспечение нашли применение при проектировании Международного термоядерного экспериментального реактора. На основе -развитых в работе методик разработаны вычислительные программы, позволяющие:
1) проводить расчеты ожидаемых и систематических ошибок магнитных полей токамака,
2) выполнять их гармонический анализ,
3) классифицировать выявленные источники ошибок магнитных полей по степени их значимости,
4) проводить статистический анализ суперпозиции ожидаемых ошибок магнитных полей от выявленного набора источников,
5) выбирать параметры системы коррекции ошибок поля токамака, позволяющие снизить ошибки поля до допустимого уровня,
6) результаты расчетов вошли в материалы технического проекта ИТЭР. Предложенный математический аппарат для анализа и коррекции ошибок поля и выполненные исследования позволили сформулировать технические требования к точности изготовления и сборки электромагнитной системы и определить параметры системы корректирующих катушек и их электропитания в ИТЭР.
Апробация работы. Положенные в основу диссертации результаты докладывались на совещаниях рабочих групп ИТЭР, семинарах НИИЭФА им. Д.В.Ефремова, ИАЭ им. И.В.Курчатова, ФТИ им. А.Ф.Иоффе, СПбГПУ, на Международной конференциии по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР, Санкт-Петербург, 2002 г.), на Симпозиуме по технологии синтеза (80РТ-20, Марсель,Франция, 1998 г.), на 24-ой конференции европейского физического общества по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (ЕР8-24, Берсгаден, Германия, 1997 г.), на 19-м Симрозиуме по технологии ядерного синтеза (БЫТ-19, Ы8Ьоп,Ро111^а1,1996,(Ког1Н-Но11апс1)), на 5-ой Международной конференции по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.), а также опубликованы в 24-х печатных работах [4,7-17,19,27-32,43-45,73].
Объем и структура диссертации. Работа изложена на 165 машинописных листах, состоит из введения, трех глав и заключения, а также содержит 57 рисунков и 41 таблицу. Список цитируемой литературы состоит из 137 наименований.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом:
1. Предложен базовый комплекс математических моделей, описывающих ожидаемые и систематические ошибки поля электромагнитной системы токамака. .
2. На основе предложенных моделей разработан расчетный инструмент-синтезирующий алгоритм и реализующий его комплекс программ PR.OR.CODE.
3. На базе разработанных алгоритмов предложены методы расчета ожидаемых и систематических ошибок поля.
4. Проведен статистический анализ ожидаемых ошибок поля, вызываемых технологическими отклонениями в полоидальных и тороидальных катушках. Исследована фазовая структура ожидаемых ошибок поля.
5. Численно исследована система корректирующих катушек, необходимых для коррекции ожидаемых ошибок поля, вызываемых технологическими отклонениями в полоидальных и тороидальных катушках.
6. Проведен анализ ошибок поля, вызываемых пятью тестовыми модулями бланкета, в конструкции которых использовались ферромагнитные материалы.
7. Проведен анализ ошибок поля, вызываемых активной и пассивной (ферромагнитной) защитой инжекторов нейтралов.
8. Проведен анализ ошибок поля, вызываемых выводными концами и соединениями секций центрального соленоида, полоидальных и тороидальных катушек
9. Проведен численный расчет токов в системе корректирующих катушек, необходимый для коррекции ожидаемых и систематических полей ошибок. Показано, что максимальные токи в корректирующих катушках не превосходят проектного предела.
В заключение автор выражает благодарность за помощь и участие в выполнении работ по теме диссертации В.А.Белякова, Е.А.Ламзина и С.Е.Сычевского, автор благодарит их за стимулирование публикаций и полезные обсуждения.
Автор выражает благодарность за помощь при проведении расчетов Н.А. Максименковой.
Автор выражает благодарность Ю.В.Грибову и Н.И.Дойникову за инициативу проведения работ, послуживших основой диссертации, в рамках программы ИТЭР.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation Series No 24, International Atomic Energy Agency, Vienna,2002.
2. Бондарчук Э.Н. и др. Электромагнитная система установки ТОКАМАК-15. Доклады 2-ой Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов, Июнь 23.-25,1981, Ленинград
3. Bondarchuk E.N. et. al. Tokamak-15 Electromagnetic System. Design and Test Results, Plasma Device and Operation, 1992,Vol.2,pp. 1-25
4. Aymar R, Glaudet G. et al. Conceptual design of a superconducting tokamak: Tore II Supra.IEEE Trans. Mag. 15-1, 1979, pp.542-545.
5. Aymar ROverview of the ITER Project, Presented at ICEC 16 Kitakyushu, May 1996
6. Sborchia C., Alekseev A., Gribov Yu., Doinikov N., Krasnov S., Mingalev B. et. al., "Analysis of Tolerances & Error Fields for the ITER Magnet System", Proceeding of 20th SOFT, Marseilles, (1998), General Atomics Report: GA-A22920, 1998
7. Belyakov V,Gribov Yu., Gerasimov S.,.,Mingalev B. et al., The ITER poloidal field, scenarios, error field and correction coils//24th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Berchtesgaden,m*1. Germany, June 9-13,1997.
8. Amoskov V., Belov A., Belyakov V., Lamzin E, Maksimenkova N., Mingalev В., Sytchevsky S. Analysis of ITER error field and correction coils, ITER, Final Report EDO, 2001-2, PR 254, Dec30, 2001.
9. Ю.Максименкова Н.А, Мингалев B.C. Гармонический анализ трехмерных магнитостатических полей ошибок магнитных систем токамака. Алгоритм прграммы "HARMAN" // Препринт НИИЭФА П-0970 М.:ЦНИИАТОМИНФОРМ, 2002
10. Амосков B.M., Белов A.B., Беляков B.A., Кухтин В.П, Ламзин Е.А., Максименкова Н.А., Мингалев Б.С., Сычевский С.Е., Филатов О.Г.
11. Соловьев Л.С., Шафранов В.Д. Вопросы теории плазмы под ред. М.А. Леонтовича. М.: Госатомиздат,1967 Вып.5
12. Соловьев Л.С., Шафранов В.Д. Равновесие и устойчивость плазмы в стеллараторах.//Вопросы теории плазмы под ред. Б.Б. Кадомцева. М.: Госатомиздат,1987 Вып. 15
13. Johnson J.L.,Oberman C.R., Kulsrud R.M., Frieman E.A.//Phis. fluids, 1958. Vol. 1 .P.281-296.
14. Monticello D.A., Dewar R.L., Furth H.P., Reiman A.//Phis. fluids, 1984. Vol.27. P.1248-1252.
15. Вабищевич П.Н., Дегтярев Л.М., Пошехонов Ю.Ю. и др. //Физика ' плазмы. 1983. Т.9. С.484-494.
16. Zakharov L.E., Goedbloed J.P.//Nucl. Fus.l980.Vol.20.P1515-1527.
17. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке с учетом эффектов насыщения ферромагнетика//Журн.техн.физики.1977.Т.47,в.З.С.521-526.
18. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке при наличии ферромагнетика.-JL, 1975,17 с. (Препринт/НИИЭФА:Б-0236).
19. Bondarchuk E.N., Doinikov N.I., Mingalev В.S. Mathematical simulation of equilibrium plasma configuration and power supply operating conditions in tokamak-type devices//-Fusion Reactor Design Concepts, Vienna,1978, pp.455-460.
20. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С., Шмалько Г.И. Методика расчета полоидальных полей токамака,-Л., 1977,20 с. (Препринт/НИИЭФА: Б-0335).
21. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. К оптимизации системы полоидального поля токамака//ВАНТ,серия :Электрофизическая аппаратура.-М.:Атомиздат, 1978,вып.16.С.39-4б.
22. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. и др. Формирование полоидальных полей в установке Т-10М//Доклады конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (Л.,28-30 июня 1977)-Л. :НИИЭФА, 1977,т. 1 ,с. 145-152.
23. Филатов О.Г. Об интегральном методе расчета равновесия плазмы в токамаке//Журн.техн.физики. 1981.Т.51 ,вып.6.С. 1289-1290.
24. Филатов О.Г. Задачи расчета систем формирования равновесных плазменных конфигураций в токамаке.-Л., 1982.-32с. (Обзор/НИИЭФА:ОБ-54).
25. Дегтярев Л.М., Дроздов В.В. О возможном подходе к описанию трехмерного МГД равновесия скалярными уравнениями,-М., 1984,23с. (Препринт/Институт прикладной математики им.М.В.Келдыша:32).
26. Textor, Technical Data I, Institute fur Plasmaphysik, Herausgeber: Ass. EURATOM-KFA, 1980.
27. I.I.Baturo, E.N.Bondarchuk, S.A.Bulgakov at al. Analysis of transient process in poloidal system during plasma current disruption. Report of NIIEFA, No.5, 1993.
28. I.I.Baturo, E.N.Bondarchuk, S.A.Bulgakov at al. Inductance matrix and effeciencies of final TEXTOR poloidal magnetic field system. Report of NIIEFA, No. 3, 1993.
29. E.N.Bondarchuk, N.I.Doinikov, V.V.Kokotkov. Stray fields during breakdown in case of real current distribution in vessel and liner. D.V.~Efrermov Scientific Research Institute of Electrophysical Apparatus,TEXTOR report No.4, 1992.
30. Дойников Н.И., Ламзин E.A., Мингалев Б.С., Сычевский С.Е. К расчету динамической индуктивности магнитных систем. Препринт НИИЭФА, П-0928-М.: ЦНИИатоминформ, 1994, Зс.
31. Цаун С. В. Математическое моделирование равновесия плазмы в токамаке с железным сердечником. Дисс. к.ф.-м. наук, Москва, 1990
32. Андреев В.Ф. Математическое моделирование развития разряда в токамаке с железным сердечником. Дисс. к.ф.-м. наук, Москва, 1986
33. Крылов В И Приближенное вычисление интегралов. М.: "Наука", 1967, 500с.
34. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.-Л.: Из-во АН СССР, 1948.
35. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: ГТПТЛ, 1954, 620с.
36. Ландау Л .Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Из-во физико-математической литературы, 1959.
37. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. М.:Из-во иност.лит., 1961.
38. La Науе R.J., Fitzpatrick R., Hender Т.С.,Morris A.W., Scoville J.T., and Todd T.N.// "Critical error fields for locked mode instability in tokamaks", Phys.Fluids. 1992. B.4. p.2098.
39. J.T.Scoville, R.J. La Haye, A.G. Kellman, T.H. Osborne, R.D. Stambaugh, E.J. Strait, T.S, Taylor, Nucl. Fusion 31, 875 (1991).
40. Morris J.T., Carolan P.G., Hender T.C. and Todd T.N.// Phys. Fluids. 1992. B.4. P. 413.
41. Fishpool G.M., Campbell D.J., Fitzpatrick R., Haynes P.S. "A locked mode associated with low density in JET" //Proc.of IAEA Meeting on Avoidance and Control of Tokamak Disruption, Sept.10-12, 1991, p.84.
42. Fitzpatrick R. and Hender T.C.// "The interactions of resonant magnetic perturbations with rotating plasmas", Phys. Fluids B 3, p.644, 1991
43. La Haye R.J. "Physics of locked mode in ITER:error field limits, rotation for obviation, and measurement of error fields'Y/US Home Team Physics Contribution: General Atomics Report:GA-A22468, Feb., 1997.
44. Leuer J.A., Luxon J.L., Xu M.F., Antaya T.A.,Impact of PF and TF coil misalignment on toroidally asymmetrical plasma error fields in TPX//16th IEEE/NPSS Symposium on Fusion Engineering, Sept.30-0ct.5, 1995.
45. Buttery R.J.et.al. Error field mode thresholds, harmonics and scaling studies . on JET and COMPASS-D, and implications for ITER//24th EPS Conferenceon Controlled Fusion and Plasma Physics, Berchtesgaden, Germany ,june,9-13,1997.
46. Leuer J.A.,La Haye R.J., Kellman A.G., Hamphreys D.A., Scoville J.T., Gribov Yu., Wesley J.C.,Buttery R., Hender T.C., Doinikov N.I. A systematic approach to error field.analysis in ITER General Atomic Report: GA-A22920, July,1998.
47. RJ.La Haye, "Limits on m=2, n=l error field induced locked mode instability in TPX with typical sources of poloidal field coil error fields and a prototype correction coils, C-Coil", General Atomic Report GA-A21167, 1992
48. OPERA/TOSCA Reference Manual, Vector Fields Limited, Oxford England, 1994
49. S.C. Jardin, "Updated TPX field error criterion", TPX Memo 93-950405-PPPL-SJardin-01, April,5, 1995, also, G.H. Neilson and S.C. Jardin, TPX General Requirements Document Engineering Change #37, March 31, 1995.
50. M. De Benedetti, "Plasma Interactions with Error Fields on JET and COMPASS-D", Proc. 25th EPS Conference, Prague, 1998.
51. Тихонов A.A., Арсеньев В.Я. Методы решения некорректных задач. М.Наука, 1979, 288с.
52. Сычевский С Е Математическое обеспечение проектирования и расчеты пространственных полей электрофизических устройств, Дисс. . д. физ.-мат. наук, 1997
53. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями.-М: ИЛ,1956
54. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.: Мир, 1969
55. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений,-М:Наука,1966
56. Мингалев Б.С. Аналитическое решение задачи о форме безмоментной секторной катушки тороидального соленоида. Л., 1979, 9с. (Препринт/НИИЭФА: П-Б-0420).
57. Лейтес Л.В. //Электричество. 1960. #11,С.76.
58. Pile J.,Mills R.G.,Sheffield G.V.//Priceton Plasa Phesics Laboratory Report " MATT-848,1971.
59. Шафранов В.Д.//Журнал технической физики. 1972.X, вып.9.С. 1785.
60. Gralnick S.L., Tenney F.H.//Appl.Phys.l976.47,No.6.P.2710.
61. Moses R.W.Jr and Young W.C.//Proceeding of the Sixth Symposium on Engineering Problems of Fusion Research, San Diego.Cal.,1975,p.917.
62. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М: Изд. МГУ, 1987.
63. Седов JI.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983, 528с.81.- Днестровский Ю.Н, Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы. (Компьютеры в физике). Физматлит, 1993, 336с.
64. Кулон Ж.-Д., Сабоннадьер Ж.К САПР в электротехнике: М.: Мир, 1988.
65. Дойников Н.И. Математическое моделирование магнитных полей электрофизических устройств. Дисс. д. физ.-мат. наук, JI, 1980.
66. Ворожцов С.Б. Численное моделирование магнитной системы и динамики частиц в ускорителях с пространственной вариацией магнитного поля. Дисс. д.физ.-мат. наук, Дубна, 1986.
67. Акишин П.Г. Численное моделирование магнитостатических полей на ЭВМ. Дисс. д. физ.-мат. наук, Дубна, 1993.
68. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики.М.: Наука, 1985, 336с.
69. Жидков Е.П., Пузынин И.В ЖВМиМФ, 1967, т.7, с.1086.
70. Кнеппо П., Титомир Л.И. Биомагнитные измерения. М.:Энергоатомиздат, 1989,288с.
71. Gear C.W. Numerical solution of ordinary differential equations: is there anything left to do? p. 10-24, 1980.91. .Толмачев С.Т. Численное моделирование гистерезиса ферромагнетиков. Изв.АН СССР, Энергетика и транспорт, 1984, N2, с. 128-138.
72. Карпов В.Я., Корягин Д.А., Самарский A.A. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики. ЖВМиМФ, 1978, т. 18, N2, с.458-467.
73. Акишин П.Г. Об одной комбинированной постановке задачи магнитостатики. ОИЯИ, PI 1-91-577, Дубна, 1991.
74. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. Пер. с франц./Под ред. К.С.Шифрина. М.: Наука, 1964.
75. Брунов Й.Я., Гольденберг JI.M., Кряцкин И.Г., Цейтлин Л.А.Теория электромагнитного поля М.: Госэнергоиздат, 1962.
76. Дмитриев В.И., Березина Н.И. Численные методы решения задач синтеза излучающих систем. М: Изд.МГУ, 1987.
77. Дмитриев В.И., Ильинский A.C., Свешников А.Г. Развитие математических методов исследования прямых и обратных задач электродинамики. Успехи математических наук, 1976, т. XXII, вып.6.
78. Титков В.В. Теоретические и численные исследования прочности и разрушения соленоидов сильного и сверхсильного импульсного магнитного поля. Дисс. д. т. наук, С.Петербург, 1996 г
79. Дайковский А.Г. Дисс. д. физ.-мат. наук. Протвино, 1985 г.
80. Дайковский А.Г. Ершов С.Ю. Португалов Ю.И. Рябов А.Д. Объединение методов потенциала и конечных элементов для решения нелинейных задач магнитостатики. ИФВЭ, 81 -80 ОМВТ 1981.
81. Карпова JT.M., Титков В.В., Шнеерсон Г.А. Вихревые токи в неоднородных средах и проблема снижения джоулева нагрева в сильном импульсном магнитном поле. Изв. АН СССР, сер. "Энергетика и транспорт", 1988, N.3, с. 122-127
82. Дойников Н.И. Результаты математического моделирования полей и оптимизация параметров магнитных систем. Обзор ОБ-42, Л.: НИИЭФА, 1981,67с.
83. Ильин В.П., Урванцев А.Л Пакет прикладных программ расчета магнитных полей методом конечных элементов. Тезисы докладов 6-го Всес. семинара по электронной оптике. Рязань, 1978.
84. Дойников Н.И. Постановка задач численного анализа полей нелинейных магнитных систем. Обзор ОБ-8. Л.: НИИЭФА, 1976, 134с.
85. Simkin J. Recent Development in Field and Force Computation. J. de Physique, c.l, N1, Vol.45, 1984, p.851.
86. Jacobs A., Muller W. Numerical solution of forcesand torques. IEEE Trans, on Magn., November 1983 (Compumag Conférence).
87. Акишин П.Г., Жидков Е.П. О существовании решения дискретизированных задач магнитостатики. ОИЯИ Р11-81-826, Дубна, 1981.
88. Акишин П.Г., Жидков Е.П. О единственности решения дискретизированных задач магнитостатики. ОИЯИ Р11-83-427, Дубна, 1983.
89. Winslow A.M. Numerical Solution of the Poisson Equation in a Non-Uniform Triangle Mesh. UCRL 7784-T, 1964.
90. Тозони O.B. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах. Техника, Киев, 1974.
91. Тозони О.В., Майергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. Техника. 1974.
92. Akishin P.G., Vorozhtsov S.B., Zhidkov Е.Р. Calculation of the magnetic field of the isochronous cyclotron sector magnet by the integral equations method. Proc. of COMPUMAG Conf., Grenoble, 1978.
93. Жидков Е.П. и др. О формировании однородного магнитного поля на инжекторном участке ЛИУ-30. ОИЯИ Р9-88-508, Дубна, 1988.
94. Жидков Е.П. и др. Расчет стационарного магнитного поля многосекционной системы линейного индукционного ускорителя. ЖТФ Т.57, N3, 1987, с.483-488.
95. Урванцев А.Л. Численное решение нелинейных магнитостатических задач методом конечных элементов. Дисс. . канд. физ.-мат. наук, Новосибирск, 1981.
96. Абрамов А.Г. и др. Реализация объединенного метода потенциалов и конечных элементов для решения задач магнитостатики. Серпухов, 1982, 13. (Препринт ИФВЭ: 82-87, ОМВТ)
97. Горловой М.В., Дайковский А.Г., Ершов С.Ю. и. др. В кн. Тр. 5 Всесоюзн. семинара "Программа экспериментальных исследований на московской мезонной фабрике ИЯИ АН СССР". Звенигород, апрель 1982, М.: изд. ИЯИ АН СССР, 1987, с.117-124.
98. Демирчян К.С. и др. Реализация метода конечных элементов на ЭВМ для расчета двумерных электростатических и магнитных полей. Изв. АН СССР, N1, 1974.
99. Ламзин Е.А. Разработка алгоритма численного моделирования и расчет трехмерных магнитостатических полей в электрофизических устройствах. Дисс. .канд. технических наук, Л., 1988.
100. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.
101. Zienkiewicz О.С. The finite element method in engineering sciences. McGraw-Hill, London, 1971.
102. Allan J.J. Foundations of many manifestations of CAD.Proceedings of IFIP Working Conference on Principles of CAD,Eindhoven, pp.25-58 (Oct. 1972).
103. Nau D.S.Expert computer systems. IEEE Computer, pp.63-85, February, 1983.
104. Фаддеев Д.К., Фадцеева B.H. Вычислительные методы линейной алгебры. M.-JI.; Физматгиз, 1963, 734с. /
105. Simkin J., Trowbridge C.W. Three dimensional computer program (TOSCA) for non-linear static electromagnetic fields. Rutherford Lab., Oxon UK (User's manual).
106. Armstrong A.G., Biddlecombe C.S.The PE2D package for transient eddy current anallysis. IEEE trans MAG,Vol. 18, N2, March 1981.
107. M.J.Newman, C.W.Trowbridge, L.R.Turner."GFUN : An Interactive Program as an Aid to magnet Design".Proc. 4th Conf. Magn. Technol., Brookhaven National Lab., Brookhaven, NY,pp.617-626, 1972.
108. Manual de Reference. Laboratorie d'Electrotechnique, ENSIEG, BP46, 38402, St-Martin-d'Heres.
109. Polak, De Beer, Wachters, Van Velij.Maggy2 and Paddy program packages for two and three dimensional magnetostatic problems. Conf. COMPUMAG, Grenoble, 1978.
110. Silvester P. MAGNET 78: User's manual. Mac Gill University, Montreal, 1978.
111. Theron M. L'algebre des solides at la CFAO en mecanique — un exemple: le systeme EUCLID. MICAD84, Hermes, 1984.
112. Bernard F. CATIA: du dessin au volume, de la cinematique aux calcul scientificques, de la commande numerique de CFAO pour la mecanique. MICAD84, HERMES, 1984.
113. Trowbridge C.W. Progress in Magnet Design by Computer. Proc.4th Int. Conf. on Magnet Techn., Brookhaven, USA, 1972
114. Титков B.B. О предельной величине индукции импульсного магнитного поля, многократно генерируемого в толстостенных одновитковых соленоидах ЖТФ, 1989, Т.59, в.9, с.72-77 1
