Управление полоидальными магнитными полями в термоядерных установках типа токамак тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.13 ВАК РФ

/3,0$. ¿¿СО

На правах рукописи

БЕЛЯКОВ Валерий Аркадьевич

УПРАВЛЕНИЕ ПОЛОИДАЛЬНЫМИ МАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ В ТЕРМОЯДЕРНЫХ УСТАНОВКАХ ТИПА ТОКАМАК

Специальность: 01.04.13 - электрофизика, электрофизические установки

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

С.-Петербург, 2003

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте электрофизической аппаратуры им. Д.В.Ефремова, г. Санкт-Петербург

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, проф.

Азизов Энглен Атакузиевич

Ведущая организация: Физико-технический институт им А.Ф.Иоффе РАН

на заседании диссертационного

исследовательский институт электрофизической аппаратуры им. Д.В.Ефремова" по адресу: 196641, г. Санкт-Петербург, п. Металлострой, ул.Полевая, д. 12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЭФА.

доктор физико-математических наук, проф. Егоров Николай Васильевич

доктор физико-математических наук, с.н.с. Иванов Николай Владимирович

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан £¿/¿/71* _2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., проф.

Шукейло И.А.

1ссс>2.

' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. За прошедшие годы достигнут впечатляющий прогресс в понимании физических явлений, ответственных за удержание и устойчивость плазмы в токамаках. Разработаны эффективные методы управления, нагрева и диагностики плазмы, позволившие изучить в действующих экспериментальных установках те плазменные режимы, которые будут использоваться в термоядерных реакторах на основе концепции токамак.

Одним из ключевых направлений, определившим успех работ по управляемому термоядерному синтезу, является создание эффективных систем управления плазменными процессами. Управление магнитной конфигурацией и током плазмы с помощью полоидальных магнитных полей является важнейшей составляющей частью систем управления в токамаках. Необходимость в проведении физических и инженерных исследований этой проблемы обусловлена потребностью экспериментаторов в достижении плазменных параметров, близких к предельным значениям. Особое значение качество управления плазмой приобретает в крупных экспериментальных и реакторных установках с высоким энергосодержанием плазмы, где нарушение режима разряда может приводить к значительному снижению ресурса и повреждению энергонапряженных элементов установки. Разработка и исследование систем управления полоидальными полями в экспериментальных и реакторных установках токамак является комплексной научной проблемой и включает в себя несколько направлений:

- Разработка и исследование линейных математических моделей объекта управления и задач оптимального синтеза регуляторов для управления положением, током и формой плазмы в токамаках.

- Исследование систем управления полоидальными магнитными полями на базе линейных моделей. Выбор и построение оптимальных систем стабилизации параметров плазмы. Разработка и экспериментальное

I РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

С. Петербург , .

' .....03

исследование систем управления плазмой на термоядерных установках типа токамак.

- Анализ источников ошибок полоидального магнитного поля и создание систем корректирующих катушек для подавления этих возмущений.

- Разработка и исследование эффективных и "быстрых" алгоритмов реконструкции положения и формы плазменного шнура для применения в системах управления полоидалышми магнитными полями.

Работа выполнена в соответствии с планами НИОКР:

- Федеральная целевая программа "Международный термоядерный реактор ИТЭР" на 2002 - 2005 годы (Постановление Правительства РФ № 604 от 21 августа 2001 г.).

- Федеральная целевая научно-техническая программа "Международный термоядерный реактор ИТЭР и научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в его поддержку" на 1999-2001 годы (Постановление Правительства РФ № 1417 от 1 декабря 1998 г.).

- Федеральная целевая программа "Международный термоядерный реактор ИТЭР и научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы в его поддержку" на 1996 - 1998 годы" (Постановление Правительства РФ № 1119 от 19 сентября 1996 г.).

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является комплексная разработка и исследование проблемы управления полоидальными полями в экспериментальных и реакторных установках типа токамак. Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

1. Разработка и создание линейных математических моделей объекта управления и применение различных классов современных задач оптимального синтеза стабилизирующих управлений для проектирования

систем управления положением, током и формой плазмы в термоядерных установках типа токамак.

2. Исследование вопросов устойчивости и равновесия плазмы в токамаках с ферромагнитным магнитопроводом Туман-3 и Т-15. Разработка и экспериментальное обоснование систем управления положением и током плазмы в токамаках Туман-3 и Т-15.

3. Синтез регуляторов на основе линейных математических моделей объекта управления для сферических токамаков Глобус-М и MAST. Разработка и обоснование систем управления положением и током плазмы в токамаках Глобус-М и MAST.

4. Исследование проблем управления положением, током и формой плазмы для двух стадий проекта ИТЭР: ИТЭР-FDR и ИТЭР-FEAT. Создание линейных математических моделей объекта управления. Синтез оптимальных регуляторов для выбранных точек сценария разряда и их сравнение с регуляторами, предложенными международной и европейской исследовательским группами.

5. Создание математической модели, описывающей переходные процессы в токамаках на стадии инициации плазмы и транспортные процессы в плазме на ранней стадии подъема тока плазмы. Исследование стадии инициации и начальной стадии разряда плазмы в токамаках ИТЭР и Т-15М и формулирование технических требований к системе полоидального магнитного поля и системе электропитания полоидальных катушек и центрального соленоида на этой стадии.

6. Разработка математических подходов для анализа и коррекции ошибок полоидального магнитного поля. Анализ важности по вносимому вкладу в суммарную ошибку поля для всех катушек и видов отклонений от осесимметричности магнитной системы с учетом принятой ИТЭР системы допусков при ее изготовлении и сборке. Определение источников систематических ошибок поля и оценка их вклада в суммарную ошибку

поля. Исследование и обоснование предложенной международной группой ИТЭР системы корректирующих катушек. 7. Разработка и исследование применимости различных математических алгоритмов для реконструкции положения и формы плазмы в токамаках Туман-3, Т-15, Глобус-М и ИТЭР на основе магнитных измерений. Разработка эффективного и "быстрого" алгоритма восстановления границы плазмы для применения в системе управления формой плазменного шнура в токамаке Глобус-М в режиме реального времени.

Научная новизна. Предложены методы построения математических линейных моделей для систем управления положением, током и формой плазмы в токамаках. Определена степень применимости линейных моделей в различной постановке. Выполнен анализ и сделаны рекомендации по аналитическому построению законов стабилизации плазмы в некоторой окрестности её положения равновесия в применении к токамакам на базе современных формализованных подходов к математическому моделированию, исследованию и проектированию систем автоматического управления с обратной связью. Выполнены подробные исследования с использованием линейных математических моделей в обоснование систем управления положением, током и формой плазмы для широкого круга установок управляемого термоядерного синтеза: Т-15, Туман-3, Глобус-М, MAST и ИТЭР. Результаты синтеза регуляторов для ИТЭР и проведенных на их основе исследований с использованием линейных и нелинейных кодов включены в базу данных ИТЭР. Предложена комплексная математическая модель, включающая в себя динамическую модель для анализа электромагнитных процессов и транспортную модель для начальной фазы образования плазменного шнура. Выполнены исследования фазы подготовки и инициации разряда в токамаках Т-15М и ИТЭР.

Впервые проведены подробные исследования источников ошибок магнитного поля для ИТЭР и системы корректирующих катушек с использованием предложенного российской исследовательской группой математического аппарата. Результаты этих исследований легли в основу технического проекта ИТЭР по разделу "Plasma Operation Scenario and Control". На базе известных алгоритмов реконструкции формы плазмы по данным магнитных измерений выполнен подробный анализ их применимости в ИТЭР. Предложены и реализованы математические методы для ускорения обработки данных при применении этих алгоритмов в системах управления положением и формой плазмы в токамаке Глобус-М в реальном масштабе времени.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Методы построения линейных математических моделей и законов стабилизации плазмы в некоторой окрестности ее положения равновесия в токамаках.

2. Результаты исследований равновесия и устойчивости плазмы и построения систем управления положением и током плазмы в токамаках с ферромагнитным сердечником Туман-3 и Т-15.

3. Синтез регуляторов на базе линейных математических моделей. Результаты исследований систем управления формой, положением и током плазмы в сферических токамаках Глобус-М и MAST и в международном экспериментальном термоядерном реакторе ИТЭР.

4. Создание и исследование комплексной математической модели объекта управления на стадии инициации плазмы, включающей в себя динамическую модель для анализа электромагнитных процессов в токамаках и транспортную модель физических процессов в плазме. Коррекция двумерной динамической модели с учетом трехмерных эффектов. Результаты анализа стадии инициации тока плазмы и начальной фазы разряда в токамаках Т-15М и ИТЭР.

5. Анализ источников ошибок поля в токамаке ИТЭР. Методы расчета ошибок магнитного поля в токамаках, вносимых погрешностями при изготовлении и монтаже магнитной системы, а также другими источниками. Результаты исследований коррекции возмущений магнитного поля с помощью дополнительных катушек полоидального магнитного поля в ИТЭР.

6. Результаты исследований алгоритмов реконструкции формы плазменного шнура, основанных на базе магнитных измерений, в токамаке ИТЭР. Разработка эффективных и "быстрых" алгоритмов реконструкции границы плазмы для системы управления формой плазмы в токамаке Глобус-М с учетом вихревых токов в конструкциях установки.

Достоверность результатов, полученных в диссертации, подтверждается результатами экспериментальных исследований на действующих установках термоядерного синтеза Туман-3, Глобус-М и Т-10 (транспортная модель стадии инициации плазмы). Результаты исследований, представленных в диссертации и выполненных для токамака ИТЭР, неоднократно докладывались на технических совещаниях ИТЭР, прошли соответствующую международную экспертизу и включены в базы данных и опубликованные материалы инженерного проекта ИТЭР.

Практическая ценность

1. Предложенные методы построения линейных математических моделей и постановки задач оптимального синтеза стабилизирующих управлений для анализа систем управления положением, током и формой плазмы использованы для построения и анализа систем управления токамаков Т-15, Глобус-М, MAST и ИТЭР.

2. Исследования топографии полоидального магнитного поля и зависимости эффективности обмоток и показателя спада магнитного поля от степени насыщения ферромагнитного сердечника для токамаков Туман-3 и

Т-15, расчетное и экспериментальное исследование вопросов равновесия и устойчивости плазмы использованы для выбора концепции систем управления плазмой в токамаках Туман-3 и Т-15.

3. Синтез и исследования регуляторов для системы управления вертикальным положением, током и формой плазмы вошли в международную базу данных по регуляторам для ИТЭР в качестве вклада от России.

4. Предложенная математическая модель, описывающая переходные процессы в токамаках на стадии инициации плазмы позволила выполнить анализ начальной стадии разряда плазмы для токамаков ИТЭР и Т-15М и дать технические рекомендации по выбору параметров системы электропитания полоидальной магнитной системы.

5. Предложенный математический аппарат для анализа и коррекции ошибок поля и выполненные исследования позволили сформулировать технические требования к точности изготовления и сборки магнитной системы и определить требования к системе корректирующих катушек и их электропитанию в ИТЭР.

6. Результаты исследований и разработок, представленные в диссертации, находят практическое применение в действующих токамаках (Туман-3, Глобус-М) и в новых проектах токамаков, разрабатываемых в России (Т-15М) и на международном уровне (ИТЭР, КТМ).

Совокупность результатов выполненных исследований можно квалифицировать как научно обоснованное решение крупной проблемы -"Создание основ для проектирования и реализации систем управления плазменными процессами в экспериментальных и реакторных термоядерных установках типа токамак", выполнение которой вносит значительный вклад в развитие термоядерных исследований.

Апробация работы.

Основные результаты работы опубликованы в российских и иностранных реферируемых журналах, докладывались на Всероссийских конференциях по инженерным проблемам термоядерных реакторов (Ленинград, Санкт Петербург 1981,1984, 1988,1990,1997 гг.), Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (Санкт Петербург 2002 г.), 12, 15, 18, 19 и 20-м Симпозиумах по технологии синтеза (SOFT-12, Юлих, ФРГ, 1982 г., SOFT-15, Утрехт, Голландия 1988 г., SOFT-18, Карлсруэ, Германия, 1994 г., SOFT-19, Лиссабон, Португалия, 1996 г., SOFT-20, Марсель, Франция, 1998 г.), 4-м заседании Технического комитета МАГАТЭ и Совещании по проектам и технологии термоядерных реакторов (Ялта, 1986 г.), 1-м Симпозиуме по технологии ядерного синтеза (FNT-1, Токио, Япония 1988 г.), 15-й Международной конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (Севилья, Испания 1994 г.), 16-й и 17-й конференциях МАГАТЭ по термоядерной энергии (Монреаль, Канада, 1996 г., Иокогама, Япония, 1998 г.), Симпозиуме по инженерным проблемам термоядерного синтеза (SOFE-97, Сан-Диего, США, 1997 г.), 24-й и 27-й конференциях европейского физического общества по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (EPS-24, Берсгаден, Германия, 1997 г., EPS-27 Будапешт, Венгрия, 2000 г.), Международном совещании по сферическим токамакам (Санкт Петербург, 1997 г.), 3-ми 9-м Международных симпозиумах "Динамика пучков и оптимизация" (BDO-96, Санкт Петербург, 1996 г., BDO-2002, Санкт Петербург, 2002 г.), 9-й Международной конференции по материалам для термоядерных реакторов (Колорадо Спринте, США, 1999 г.), Международных совещаниях ИТЭР по магнитной диагностике и управлению полоидальными полями (1992-2001 гг. Сан-Диего, США, Нака, Япония, Гаршинг, Германия).

Публикации. По результатам работы опубликовано 47 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, содержит 26 таблиц, 159 рисунков, список литературы из 202 наименований и изложена на 292 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель работы и направления исследований, приведена краткая аннотация диссертационной работы по главам и положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена вопросам разработки и исследования математических методов и моделей для систем управления положением, током и формой плазмы в токамаках.

В разделе 1.1 приведены общие положения, касающиеся построения математической модели системы управления положением, током и формой плазмы.

В разделе 1.2 описана одна из первых динамических моделей, которая была создана для исследования системы управления с обратными связями радиальным положением шпура в токамаке Т-15. В математической модели использован подход "жесткого" плазменного шпура с сохранением его формы при малых смещениях. Динамическая модель для движения плазмы в радиальном направлении без учета связи между радиальным и вертикальным движением может быть представлена в виде малых смещений радиального положения плазменного шнура тока плазмы 31 р, параметра бэта 8(3Р (отношение газокинетаческого давления к давлению полоидального магнитного поля) и внутренней индуктивности плазменного шнура 67, от базового равновесия. При выводе линеаризованных уравнений для тока плазмы и радиальных смещений плазменного шнура использовались дополнительные

условия: предполагалась полная вмороженность в плазму потока тороидального магнитного поля и адиабатическая зависимость поведения тепловой энергии плазмы при смещениях по большому радиусу. Уравнение для смещений плазмы дополнялось уравнениями Кирхгофа для обмоток управления (вихревые токи, наведенные в вакуумной камере, не учитывались ввиду ее большого электрического сопротивления).

В разделе 1.3 рассмотрены вопросы создания линейных математических моделей для управления формой, положением и током плазмы в токамаках с диверторной магнитной конфигурацией плазмы. Математическая модель построена на основе линеаризации базовых равновесных состояний и описывает динамику токов в активных и пассивных контурах, эволюцию тока и параметров формы плазмы. Также она включает в себя возможность учета возмущений параметров плазмы. Важным вопросом при создании линейных моделей является вычисление коэффициентов матриц. В диссертации эта процедура иллюстрируется па примере линейной модели (67 состояний), созданной для экспериментального токамака-реактора ИТЭР. Вычисление коэффициентов матриц включает в себя несколько этапов:

- Восстановление базовой конфигурации плазмы по заданным токам в по-лоидальных катушках и параметрам плазмы. Этот расчет выполняется с помощью кода PET, позволяющего решать задачу равновесия плазмы со свободной границей, как с учетом, так и без учета наведенных токов в пассивных структурах.

- Коэффициенты матрицы индуктивностей вычисляются путем вариации только токов в контурах относительно базового значения в задаче со свободной границей. При этом для более точного вычисления коэффициентов берется несколько вариаций тока, как положительных, так и отрицательных, и окончательное значение коэффициентов усредняется. Д ля вычисления коэффициентов матриц для возмущений, входящих в линейную модель, выполняется вариация параметра возмущения £.

Верификация полученной линейной модели для ИТЭР была выполнена при сравнении с нелинейной моделью (код PET) по величинам инкремента вертикальной неустойчивости, которая позволила сделать вывод, что линейная модель адекватно описывает движение плазмы. Была также определена область применимости линейных моделей. Как показали исследования для различных конфигураций плазмы, результаты моделирования на линейных моделях хорошо совпадают с аналогичными результатами, полученными с помощью кода со свободной границей. Отметим, что при этом линейные изменения формы плазмы достигают в контролируемых точках на сепаратрисе величины в 15 см. Таким образом, линейная модель позволяет моделировать крупномасштабные возмущения плазменных параметров ("малый'" срыв тока плазмы), приводящие к значительным изменениям формы плазменного шнура. Было проведено сравнение "жесткой" и "деформируемой" линейных моделей. Сравнение обратных инкрементов вертикальной неустойчивости для "жесткой" и "деформируемой" моделей в зависимости от вытянутости плазмы говорит о том, что "жесткая" модель дает более оптимистические результаты, чем "деформируемая", и различие в результатах может стать существенным. В разделе 1.4 основное внимание уделяется вопросам аналитического построения законов стабилизации плазмы в некоторой окрестности её положения равновесия. Эти вопросы рассматриваются на базе современных формализованных подходов к математическому моделированию, исследованию и проектированию систем автоматического управления с обратной связью. Рассмотрены различные классы современных задач оптимального синтеза стабилизирующих управлений: о минимизации нормы ||#||г (типичный представитель — задача LQG - оптимального синтеза), о минимизации нормы ¡#1^ (задача На - оптимального синтеза) и о минимизации указанных выше норм для "взвешенных" передаточных матриц HSr Примеры решения практических задач для систем стабилизации токамака ИТЭР позволяют сделать вывод о том, что идеология LQG-оптимального синтеза оказывается

эффективным инструментальным средством, которое можно использовать при проектировании систем управления плазмой с обратной связью. Вместе с тем, подход, базирующийся на Нт- оптимальном синтезе, следует считать перспективным направлением для учета "цветных" возмущений и шумов в измерениях. Однако развитие работ по данному направлению требует проведения широкого спектра дополнительных исследований. В ряде ситуаций структура рассмотренных выше оптимальных регуляторов, обладающих собственной динамикой, может оказаться с тех или иных позиций слишком сложной для практической реализации в системах управления плазмой с обратной связью. В связи с этим представляет определенный интерес рассмотрение вопросов оптимальной настройки параметров при фиксированной структуре обратной связи. Одной из наиболее простых подобных структур является структура ПД-регуляторов по вектору измерений. Рассмотрены три возможных подхода к решению задачи аналитического синтеза ПД-регуляторов: максимизация степени устойчивости замкнутой системы, минимизация отклонения от желаемого спектра корней и назначение части корней с минимизацией энергетических потерь. Анализ процессов управления позволяет заключить, что ПД-регулятор несколько увеличивает длительность переходного процесса, однако по сравнению с 1Х)0-регулятором обеспечивает меньшую колебательность.

Во второй главе диссертации обсуждаются особенности построения и исследования систем управления положением и током плазмы в токамаках с ферромагнитным магнитопроводом Туман-3 и Т-15. Для токэмаков предыдущего поколения с относительно небольшой длительностью разряда широкое применение нашли магнитные системы с использованием ферромагнитного сердечника для индуктора и замкнутым магнитопроводом. При работе вне зоны насыщения стали магнитопровода (р » 1) такая магнитная система обладает рядом преимуществ по сравнению с "воздушным"

вариантом. Для нее характерны значительное увеличение магнитного потока, запасенного в индукторе, низкий уровень рассеянных полей, как в области плазмы, так и вне установки и сильная магнитная связь между плазмой и катушкой индуктора, что позволяет непосредственно управлять током, текущим по плазме. Основные проблемы, связанные с наличием ферромагнетика в таких системах, заключаются в его влиянии на равновесие и устойчивость плазмы.

В разделе 2.1 приводятся основные результаты исследований характеристик полоидальной магнитной системы токамака Туман-3, рассмотрены вопросы равновесия и устойчивости плазмы, обсуждается структура системы управления положением и током плазмы, и приводятся результаты экспериментальных исследований системы управления. Установка Туман-3 представляет собой токамак, предназначенный дня исследования комбинированного адиабатического сжатия плазмы по малому и большому радиусам нарастающим во времени магнитным полем. Основными особенностями установки являются: малое аспектаое отношение Ria = 2.3, малая индуктивность тороидальной катушки (70 мкГн), позволяющая быстро увеличивать тороидальное магнитное поле, отсутствие стабилизирующего кожуха и близость стального сердечника трансформатора к области, занимаемой плазмой. В 1978 г. на установке были проведены измерения топографии полоидальных магнитных полей. Результаты экспериментов сравнивались в дальнейшем с данными численного решения магнитостатической задачи с учетом наличия ферромагнетика (в приближении аксиальной симметрии). Целью этой работы был выбор системы катушек полоидального магнитного поля, обеспечивающей устойчивое равновесие плазменного шнура круглого сечения в различных режимах работы установки и при изменении степени насыщения стального сердечника трансформатора. В токамаке с ферромагнитным сердечником не всегда могут быть выполнены условия устойчивости шнура по радиусу и в вертикальном направлении одновременно. Это связано с тем

обстоятельством, что эквивалентные токи намагниченности в сердечнике, оказывая существенное влияние на движение по радиусу, не отражаются на устойчивости вертикального положения. Для токамака Туман-3 были определены области устойчивости в обоих поперечных направлениях. Исследование устойчивости равновесия плазмы для омического режима работы установки, проведенное с использованием общего критерия устойчивости, учитывающего полную реакцию системы, показало, что в этом режиме радиальное равновесие плазмы устойчиво, а вертикальное равновесие характеризуется неустойчивостью. При адиабатическом сжатии устойчивым становится и равновесие плазмы в вертикальном направлении. Система управления, спроектированная и изготовленная для токамака Туман-3, включает в себя два контура обратной связи. Контур управления равновесием плазмы по горизонтали замкнут на корректирующую катушку, индуктивно развязанную с основной с помощью развязывающего трансформатора. Корректирующая катушка питается от конденсаторной батареи (0.75 Ф, 400 В, 60 кДж) через двухпозиционный тиристорный коммутатор, осуществляющий реверс тока и напряжения. Предельная частота срабатывания около 1.7 кГц (Т > 650 мкс), максимальный ток - 2 кА. Закон управления коммутатором включает в себя сумму смещения плазмы, ее производной и интеграла со своими коэффициентами (ПИД-регулятор). В системе управления положением плазмы по вертикали имеется два контура. Пассивный контур имеет с катушкой продольного поля трансформаторную связь. Введение его дало возможность частично компенсировать рассеянное горизонтальное поле катушки продольного поля. Во второй, активный контур входит корректирующая катушка горизонтального поля. Катушка запитывается от конденсаторной батареи (1 Ф, 200 В, 20 кДж) через трехпозиционный тиристорный коммутатор, осуществляющий только реверс напряжения. Закон управления включает в себя сумму произведения тока плазмы па ее вертикальное смещение и ее производной (ПД-регулятор). Удобство

регулирования по параметру заключается в возможности компенсации потока радиального поля до предыонизации, что обеспечивает малый уровень рассеянных магнитных полей на старте разряда. На Тумане-3 были получены и подробно исследованы несколько режимов: омический нагрев, трехкратное сжатие по малому радиусу, комбинированное сжатие шнура (по малому и большому радиусу) и режим с подъемом тока плазмы после сжатия по малому радиусу. В диссертации приведены экспериментальные результаты исследований устойчивости плазмы и работы системы управления положения шнура по горизонтали и вертикали в этих режимах.

В разделе 2.2 приводятся описание полоидальной магнитпой системы токамака Т-15, результаты исследований ее характеристик в зависимости от степени насыщения ферромагнитного сердечника, анализ устойчивости плазмы по радиусу и вертикали, обсуждаются результаты моделирования системы управления положением и током плазмы с обратными связями, структура системы управления и экспериментальные результаты. Токамак Т-15 (большой радиус плазмы Яр = 2.43 м, малый радиус плазмы ар = 0.7 м) был спроектирован и сооружен в Институте Атомной энергии им И.В.Курчатова для экспериментов с плазмой круглого сечения. Параметры (эффективность и показатель магнитного поля) катушек полоидальной магнитпой системы в значительной степени определяются степенью насыщения ферромагнитного сердечника. Полученные данные измерений магнитных полек позволяют сделать вывод, что равновесие плазмы по радиусу и вертикали устойчиво, несмотря на наличие стального сердечника и магнитопровода. Для исследования системы управления током и радиальным положением плазмы была использована специально разработанная для этой цели динамическая модель, описанная в первой главе диссертации. Результаты этого исследования были использованы для выбора структуры и построения системы управления с обратными связями. В частности, было показано, что комбинация корректирующей обмотки вертикального мапгитного поля и большой

полоидальной катушки дня управления радиальным положением плазмы является наиболее выгодным решением. При этом точность управления не снижается, но требуемый ток в маломощной катушке коррекции может быть снижен в 3 раза.

Система управления с обратными связями в токамаке Т-15 включает в себя контуры управления током в катушке омического нагрева и током плазмы, радиальным и вертикальным положением плазмы. В диссертации приведено описание структуры системы управления. На Т-15 было проведено только ограниченное число экспериментов. Рассеянные поля были скомпенсированы с высокой точностью с помощью управляемых с обратными связями катушек коррекции горизонтального и вертикального магнитного поля. Проведенные измерения с помощью электронного пучка показали, что усредненная по тороидальному направлению величина вертикальной и горизонтальной компонент рассеянного магнитного поля не превышает 5 гаусс. Эксперименты по управлению положением плазмы подтвердили основные выводы проведенного численного анализа, что комбинация корректирующей катушки и большой катушки полоидального магнитного поля является наиболее эффективным способом для стабилизации радиального положения плазмы. Эта комбинация позволяет в значительной степени снизить токи в катушке коррекции.

Третья глава посвящена моделированию и разработке систем управления формой и положением плазмы в сферических токамаках Глобус-М и MAST и в экспериментальном термоядерном реакторе ИТЭР.

В разделе 3.1 приведены описание и основные характеристики полоидальной магнитной системы токамака Глобус-М, анализ вертикальной устойчивости плазмы, рассмотрены вопросы создания линейной математической модели и синтеза регуляторов дня системы управления положением, током и формой плазмы. Сферический токамак ГЛОБУС-М был построен в ФТИ им. А.Ф.

Иоффе для исследований плазмы с низким аспектным отношением. Окончательные параметры сферического токамака Глобус-М были улучшены по сравнению с первоначальным проектом - номинальный ток плазмы увеличен до 0.5 МА, а тороидальное магнитное поле - до 0.65 Тл. Большой радиус установки R0 равен 0.36 м, малый ар = 0.24 м, что соответствует аспектному отношению 1.5. При этом вертикальная вьгашутость шнура может достигать величины до 2.2. Первым шагом на пути построения системы управления положением, током и формой плазмы является создание линейной модели для описания динамики этих параметров. Для создания математической модели использовался подход, описанный в первой главе диссертации. В качестве контролируемых параметров были приняты: вертикальное положение токового центра плазмы, ток плазмы, внутренняя точка на сепаратрисе (с наименьшим радиусом), внешняя точка на сепаратрисе (с наибольшим радиусом), радиальное положение и вертикальное положение х-точки. Для моделирования системы управления рассматривались два типа возмущений: система управления включалась при достижении вертикального смещения плазмы равного 0.02 м и мгновенном падении параметра Д, на 0.1 и внутренней индуктивности плазмы на 0.05. При синтезе регуляторов были реализованы два подхода: синтез регуляторов на базе LQG метода (Linear Quadratic Gaussian) и синтез ПД-регуляторов (ПД - пропорционально-дифференцирующий ). В результате исследований были синтезированы LQG и ПД-регуляторы для управления положением, током и формой плазмы. Оба типа регуляторов дают примерно одинаковое время стабилизации вертикального смещения плазмы (» 5 мс), а для стабилизации параметров формы и тока плазмы требуются времена » 20 мс. Хотя LQG-регулятор оптимален для выбранных критериев (энергетические затраты и точность стабилизации параметров), отличие в результатах для обоих типов регуляторов незначительно.

В разделе 3.2 представлены результаты синтеза регуляторов и исследования системы управления положением, формой и током плазмы сферического

токамака MAST (Mega-Amp Spherical Tokamak), построенного в Калэмской лаборатории в Англии. Метод синтеза регуляторов для системы управления положением, формой и током плазмы, основанный на линейных моделях и описанный в первой главе, был реализован и для этого токамака. При построении математической модели в качестве контролируемых параметров были использованы следующие параметры для двухнулевых конфигураций плазменного шнура: вертикальное положение токового центра Zc, вертикальное положение х-точки Z„ внутренний радиус сепаратрисы Rin, внешний радиус сепаратрисы Rm,, и ток плазмы 1Р. Положение плазмы по вертикали стабилизировалось по положению токового центра а размер плазмы по вертикали контролировался по координате Zx одной из дг-точек. Радиальное положение х-точки не стабилизировалось. Для лимитерной плазмы были приняты следующие контролируемые переменные: вертикальное положение токового центра Za внешний радиус сепаратрисы Roul, верхняя точка границы плазмы Z^ и ток плазмы 1Р. При исследовании системы управления токамака MAST были реализованы два подхода к выбору регуляторов: синтез регуляторов на базе LQG метода и синтез ПД - регуляторов и рассматривались те же два типа возмущений, что и в случае токамака Глобус-М. Оба типа регуляторов дают примерно одинаковое время установления переходных процессов (к 40-50 мс), причем время стабилизации вертикального положения много короче (« 5-10 мс) для диверторной конфигурации плазмы. Для лимитерной конфигурации были синтезированы свои LQG и ПД-регуляторы. В разделе 3.3 рассмотрены проблемы, связанные с управлением положением, формой и током плазмы в экспериментальном термоядерном реакторе ИТЭР. Как известно, в своем развитии проект ИТЭР претерпел две крупные стадии (ИТЭР-FDR и ИТЭР-FEAT), когда, в основном, по соображениям стоимости, были внесены принципиальные изменения в структуру системы полоидального магнитного поля токамака. Это повлекло за собой и изменения в концепции управления полоидальными магнитными полями. Поэтому анализ этой

ситуации с точки зрения управления полоидальными магнитными полями представляет собой серьезный научный интерес. На первой стадии (FDR) основное внимание было уделено исследованию управляемости для диверторных плазменных конфигураций. Масштаб времени, связанный с вертикальной неустойчивостью, составляет величину порядка одной секунды для диверторных магнитных конфигураций. Этот факт в значительной степени определил выбор структуры системы управления. Для 4-х точек (переход от лимитерной к диверторной конфигурации на стадии подъема тока плазмы, начало плато тока плазмы, начало фазы горения и конец фазы горения) базового сценария с максимальным током плазмы 21 МА осуществлялся синтез регуляторов и моделирование переходных процессов при заданных возмущениях параметров плазмы. В качестве контролируемых переменных для управления формой плазмы в диверторной конфигурации были выбраны шесть характерных точек g]...g6, показанных на рис.1. Для исследования системы управления положением, током и формой плазмы использовалось возмущение в виде малого срыва. Модель малого срыва выражалась через изменение

параметров /,• и Д следующим образом: мгновенное уменьшение внутренней индуктивности плазмы на величину 0.1 либо мгновенное уменьшение параметра Д на величину 0.2 с последующим линейным восстановлением для конфигураций с большим Д или без изменения Д дня конфигураций с низким значением Д,. Необходимо отметить, что синтез регуляторов и соответствующие исследовательские работы велись параллельно в ,о 1 ¡1 международной группе ИТЭР и

Рис.1 Контролируемые переменные дня диверторных конфигураций

-35 см 21 MA (ЕОВ) Q5 - ------------Поверхность

в исследовательских группах стран-участников проекта. В результате совместной работы международной группы ИТЭР и других участников проекта были синтезированы и отобраны три вида регуляторов, обеспечивающих стабилизацию формы и тока плазмы для всех рассмотренных конфигураций: Дхгрегулятор, в котором использован метод //-синтеза (европейская исследовательская группа), Яя-регулятор, ис-пользующий NCF (Normalized Coprime Factorization) подход (международная группа ИТЭР) и регулятор, использующий LQG метод синтеза (российская исследовательская группа). Отметим, что все полученные регуляторы не используют выделенного контура для управления неустойчивым вертикальным положением плазмы, а обеспечивают только стабилизацию формы и тока плазмы. Это связано с тем, что масштабы времен для управления вертикальным положением и формой плазмы сравнимы (около одной секунды).

Остановимся на особенностях LQG регулятора, синтезированного российской исследовательской группой. Из полученных данных следует, что этот регулятор, обеспечивающий более быстрый переходной процесс (время установления) и меньшие отклонения управляемых параметров (gl ...g6, Ip), требует больших мощностных затрат, хотя они и не превышают установленных ограничений (Ртах < 250 МВт). Что касается другого требования, связанного с ограничением скачка мощности, то для подавления скорости скачка мощности был предложен специальный алгоритм, позволяющий компенсировать ее быстрые изменения. Суть этого алгоритма заключается в том, что катушки полоидальной магнитной системы не одинаково эффективны с точки зрения управления формой плазмы. Исследования показали, что исключение некоторых катушек из процесса управления на "площадке" тока плазмы не влияет существенным образом как на положение полюсов в линейной модели, так и на качество переходных процессов. Поэтому естественным является желание использовать эти катушки для компенсации быстрых изменений мощности.

В 1998-2001 годах в проект ИТЭР были внесены значительные изменения. Главным образом, эти изменения были направлены на значительное снижение (приблизительно в два раза) капитальных затрат на его строительство. Эти изменения привели к уменьшению размеров установки, изменению числа секций центрального соленоида (шесть вместо одной) и снижению числа катушек полоидального магнитного поля с 9 до 6, уменьшению номинального тока плазмы и увеличению ее вертикальной вытянутости. Здесь отмечены только те изменения, которые являются существенными с точки зрения построения системы управления положением, формой и током плазмы. Новый проект экспериментального термоядерного реактора получил название ИТЭР-РЕАТ (В более поздних документах опять вернулись к прежнему названию -ИТЭР). Полоидальная магнитная система оптимизировалась под пять основных режимов на стадии горения термоядерной реакции. Сразу же отметим, что увеличение вытянутости плазмы повлекло за собой значительный рост инкремента вертикальной неустойчивости. Поэтому при анализе системы управления проблеме вертикальной стабилизации плазмы уделялось особое внимание. В качестве контролируемых переменных формы плазменного шнура используются те же зазоры, как и дня ИТЭР-РОЯ (рис.1). Контур для управления вертикальным положением плазмы выделен в отдельный канал управления. Входным сигналом для него является скорость смещения токового центра (dZe/dt) в вертикальном направлении. Это позволяет обеспечить быструю стабилизацию вертикальных смещений шнура в заданном положении по вертикали и в то же время развязать ее с более медленным управлением формой и током плазмы. Спроектированные регуляторы для управления положением, формой и током плазмы должны стабилизировать различные диверторные конфигурации для рассмотренных сценариев. Для того чтобы представить возможный диапазон изменений при малых срывах параметров плазмы и параметров, характеризующих систему управления, была создана база данных, которая включала данные моделирования для основных плазменных

конфигураций с тремя типами регуляторов. В качестве основных возмущений для системы управления положением, током и формой плазмы рассматривались две модели малого срыва, которые в изменениях параметров и рр выражались следующим образом. Первая модель - мгновенное падение /, на 0.2-(/,0 - 0.5) без восстановления с одновременным падением Рр на 0.2/?рЛ и последующим экспоненциальным восстановлением. Вторая модель - мгновенное падение Д, на 0.2/?р0 и последующим экспоненциальным восстановлением. Кроме малого срыва было исследовано воздействие на динамику плазмы еще двух типов о

циклических возмущений, связанных с возбуждением так называемых локализованных на границе плазмы мод, которые могут возникать в плазме на ^ фазе горения.

В четвертой главе рассмотрены проблемы управления на стадии инициации плазмы. Стадия инициации плазмы является начальной частью сценария разряда плазмы в токамаке. Она включает в себя две основные фазы: формирование условий пробоя плазмы и первоначальный подъем тока плазмы до уровня, когда начинают формироваться замкнутые магнитные поверхности. На этой стадии работы токамака предъявляются повышенные требования к параметрам источников питания катушек полоидального поля. Кроме того, на стадии инициации плазменного шнура в токамаках существует проблема преодоления ионизационного и радиационного барьеров. Очень важно знать, '•

возможен ли чисто индукционный пробой плазмы или требуется введение в плазму дополнительной СВЧ-мощности, и какова ее необходимая величина для с

преодоления радиационного барьера. Важно иметь информацию о величине потерь магнитного потока на этой стадии и др. Всё это выделяет начальную стадию инициации плазмы в отдельное направление исследований проблемы-управления полоидальной магнитной системой. В разделе 4.1 диссертации приведена математическая модель описания объекта управления, которая включает в себя динамическую модель для анализа электромагнитных

процессов в токамаках и транспортную модель физических процессов в плазме на стадии инициации плазмы. На базе разработанной математической модели был создан вычислительный код TRANSMAK, с помощью которого решается задача синтеза сценария для стадии инициации плазмы, то есть определение напряжений на катушках полоидалыюго поля как функции времени с учетом всех ограничений на технические параметры полоидальной магнитной системы и системы электропитания. Математически описываемая здесь задача с использованием разностных методов сводится к системе линейных уравнений с ограничениями и решается с применением симплекс метода с целевым функционалом " максимальная величина магнитного потока в зоне инициации плазмы в момент пробоя". В этом случае ожидается максимальный вклад магнитного потока в плазму. Верификация транспортного кода SCENPLINT, который в качестве подпрограммы входит в состав вычислительного комплекса TRANSMAK, проводилась на экспериментальных данных нескольких омических разрядов токамака Т-10.

В разделе 4.2 приведены результаты расчета начальной стадии инициации плазмы в токамаках ИТЭР-FEAT и Т-15М.

В разделе 4.3 описывается предложенная процедура коррекции двумерной расчетной модели с целью учета трехмерных эффектов пассивных структур на стадии инициации плазмы. Проблема коррекции двумерной расчетной модели возникает в силу того, что на практике пассивные проводящие металлические структуры в токамаках (вакуумная камера, бланкет) имеют асимметрию в тороидальном (азимутальном) направлении. Например, наличие в вакуумной камере токамака окон и патрубков несколько изменяет картину распределения вихревых токов, протекающих по стенкам камеры, по сравнению со случаем аксиально-симметричной модели. В настоящем разделе обсуждается предложенный метод учета влияния трехмерного распределения вихревых токов в проводящих структурах токамака на примере ИТЭР.

В пятой главе приведен анализ ошибок поля и системы их коррекции. Малые отклонения полоидальных магнитных полей от идеальной осесимметричности могут привести в токамаке к возбуждению так называемых запертых мод. При развитии такой моды ее амплитуда растет, и в результате насыщения с высокой амплитудой эта мода может привести к деградации удержания энергии и частиц в плазме или к немедленному срыву тока плазмы. Определение допустимых полей ошибок и стратегии развития плазмы на стадии подъема тока, чтобы избежать возникновения и развития запертых мод являются, следовательно, важными проблемами для ИТЭР и будущих реакторных установок, основанных на концепции токамак. В экспериментальном реакторе ИТЭР успешное решение этой проблемы может быть достигнуто только при одновременном выполнении следующих условий: достижение высоких точностей при изготовлении и сборке сверхпроводниковой магнитной системы, учет всех факторов, приводящих к нарушению осесимметричности и введение системы корректирующих катушек для подавления систематических ошибок поля до необходимого уровня. В соответствии с оценками, полученными из экспериментальных данных и их экстраполяции к параметрам ИТЭР, комбинация мод (т,п) = (1,1), (2,1), (3,1) нормальной компоненты В,„„ ошибок поля на рациональной магнитной поверхности q = min = 2 должна удовлетворять определенному критерию. Интерполяция на размеры ИТЭР (для наиболее опасной гармоники (2,1)) дает В21/Bt0 < 2.5xl0~s, где В10 =5.3 Тл -тороидальное магнитное поле на оси плазменного шнура. В разделе 5.1 проанализированы возможные источники ошибок поля для ИТЭР. В качестве ожидаемых источников ошибок поля рассматривались погрешности в изготовлении и отклонения от идеального положения в собранном состоянии системы тороидальных, полоидальных катушек и центрального соленоида. В анализе полей ошибок в качестве входных данных по отклонениям от осесимметричности использовались допуски, принятые международной группой ИТЭР с учетом особенностей проекта магнитной системы и

предполагаемых технологических процессов для ее изготовления. При этом были использованы данные НИОКР по изготовлению крупномасштабных прототипов центрального соленоида и испытательных катушек и катушки тороидального магнитного поля, а также имеющийся опыт промышленного производства сверхпроводпиковых магнитных систем в странах-участниках проекта (в том числе и в России).

При определении допусков принимались во внимание все технологические процессы изготовления катушек, включая изготовление проводника, процесс намотки (прогиб, скручивание, трапецеидальность), наложение изоляции (витковой и корпусной) и окончательная сборка в составе магнитной системы. В результате, с точки зрения анализа ошибок магнитного поля магнитная система в токамаке ИТЭР имеет 228 степеней свободы: (шесть секций центрального соленоида + шесть полоидальных катушек) х четыре степени свободы +18 тороидальных катушек TF х 10 степеней свободы. Исследование асимметричных ожидаемых ошибок поля установки ИТЭР проводилось с использованием статистического подхода. При этом применялись вероятностные методы для изучения ожидаемых (т,п) ошибок поля, вызываемых отклонениями в пределах принятых допусков при изготовлении и сборке полоидальных и тороидальных катушек и секций центрального соленоида.

Кроме этого, в качестве дополнительных источников ошибок поля, которые носят систематический характер, рассматривались соединения и выводные концы центрального соленоида, а также испытательные модули бланкета и активная и пассивная магнитная защита инжекторов нейтральных атомов ИТЭР.

В разделе 5.2 приведено описание гармонического анализа ошибок поля. Процедура определения величин ошибок поля состоит из двух последовательных этапов: на первом этапе проводится расчет распределения нормальной компоненты магнитного поля ошибок В± на равновесных

рациональных магнитных поверхностях и на втором этапе производится разложение нормальной компоненты поля ошибок на равновесных рациональных магнитных поверхностях в ряды Фурье в винтовых координатах. Матричный метод был использован при Фурье-анализе ошибок поля от систем полоидальных и тороидальных катушек.

В разделе 5.3 приведены результаты вычислений ошибок поля, вызываемые отклонениями при изготовлении и сборке полоидальных и тороидальных катушек и секций центрального соленоида установки ИТЭР. В разделе 5.4 подробно описано применение метода Монте-Карло для изучения ожидаемых (т,п) ошибок поля и анализируется статистическое распределение ожидаемых ошибок поля, вызываемых суперпозицией отклонений при изготовлении и установке полоидальных и тороидальных катушек и секций центрального соленоида установки ИТЭР. В качестве основного распределения случайных отклонений принято их равномерное распределение в пределах допусков. Результаты проведенных исследований показывают, что полученный уровень (т,п) ошибок в несколько раз превышает допустимый уровень, и поэтому необходимо применение системы корректирующих катушек для подавления ошибок поля до приемлемого уровня.

В разделе 5.5 приведен апализ систематических ошибок поля. Ошибки поля, которые носят систематический характер, появляются в ИТЭР благодаря наличию испытательных модулей бланкета и систем магнитного экранирования инжекторов ионных пучков, в которых применен ферромагнетик, а также из-за выводных токонесущих концов и соединений полоидальных и тороидальных катушек установки ИТЭР.

В разделе 5.6 приведено обоснование предложенной международной группой ИТЭР системы корректирующих катушек. Система состоит из трех наборов сверхпроводниковых катушек: верхнего, бокового и нижнего. Каждый набор содержит по шесть катушек, установленных снаружи катушек тороидального

поля и симметрично размещенных в азимутальном направлении. Выбор числа корректирующих катушек (в каждом наборе шесть) обусловлен числом тороидальных катушек. Попытка ограничиться только двумя наборами корректирующих катушек - верхними и боковыми для коррекции трех мод ошибок поля, как показал проведенный анализ, окончилась неудачей. Для обоснования правильности выбора геометрии и электрических параметров системы корректирующих катушек, а также изучения их эффективности были выполнены расчеты корректирующих токов, требующихся для подавления гармоник (т,п) = (1,1), (2,1), (3,1). Гармонический анализ ошибок поля В(м)тя и магнитных полей от системы корректирующих катушек Ь^ы^/Вю (п = 1, т = 1, 2, 3, 4) для верхнего, бокового и нижнего наборов приводит к системе линейных уравнений для определения токов 1к, (к = 1, 2,...,9) в девяти парах катушек. При решении системы линейных уравнений для нахождения токов в корректирующих катушках используется метод регуляризации, позволяющий найти оптимальный набор токов для снижения полей ошибок ниже порога запертых мод. На основании проведенного анализа были определены требования к системе питания катушек коррекции.

В шестой главе приводятся результаты разработки и исследования систем магнитной диагностики для применения в системах управления плазмой в токамаках. При разработке диагностических систем, основанных на магнитных измерениях, необходимо решить ряд принципиальных проблем. Первая из них относится к адаптации датчиков магнитной диагностики к конструкции и условиям работы в установке. Следующая проблема состоит в разработке алгоритмов реконструкции положения и формы магнитной поверхности, принимаемой за границу плазмы. При этом требования по точности и быстродействию этих алгоритмов в значительной степени определяются их назначением - использованием для информационных систем либо для систем управления с обратными связями и др.

В разделе 6.1 приведены результаты разработки и исследования методов магнитных измерений для управления с обратными связями положением плазмы в токамаках Туман-3 и Т-15. Для токамаков Туман-3 и Т-15 был предложен метод измерения положения плазмы (одновременно аналогичный подход был использован также для токамака ASDEX), при котором нет ограничений, связанных с формой плазменного шнура, как в методе двух зондов, или сложностью измерения и вычисления. Он представляет собой упрощенную разновидность метода локальной аппроксимации. Анализ применимости данного метода измерений был проведён для режимов омического нагрева и адиабатического сжатия, и экспериментально проверен натокамаке "Туман-3".

В разделе 6.2 приводятся результаты исследования применимости различных математических алгоритмов, предложенных для управления формой плазмы в токамаке ИТЭР (вариант FDR). Для сравнительного анализа были использованы шесть вариантов, отличающихся видом датчиков (однокомпонентные и двухкомпонентные магнитные зонды и измерительные петли) и три хорошо известных метода реконструкции границы плазмы: метод подвижных токовых нитей, метод фиксированных токовых нитей и метод локальной аппроксимации. Для лимитерной и диверторной конфигураций плазмы в токамаке ИТЭР проведена адаптация разработанных алгоритмов определения положения и формы плазменного шнура по данным внешних магнитных измерений. В результате исследований получены основные зависимости точности реконструкции границы плазмы от положения, числа и типа магнитных датчиков. Проведено сравнение по точности реконструкции и устойчивости к ошибкам измерений предложенных наборов датчиков. На основании проведенных расчетов сделан вывод, что оптимальным для магнитной диагностики токамака ИТЭР является набор из 32 двухкомпонентных

магнитных зондов, расположенных на внутренней поверхности вакуумной камеры.

В разделе 6.3. представлены результаты разработки и исследования "быстрого" алгоритма реконструкции магнитных поверхностей для определения положения контролируемых точек на границе плазменного шнура для сферического токамака Глобус-М. В установке Глобус-М размещение датчиков электромагнитной диагностики во многом определялось особенностью конструкции установки. Одной из существенных особенностей этого алгоритма является учет экранирующего действия вихревых токов, наводимых в вакуумной камере токамака.

Важным требованием при разработке алгоритмов реконструкции было достижение высокого быстродействия при обработке результатов измерений, достаточного для применения в системе управления формой плазмы в режиме реального времени. Это означает получение результата за время порядка нескольких миллисекунд (менее 3-10"3 с для Глобус-М). На основе предложенного алгоритма был разработан комплекс вычислительных программ ROMS (Reconstruction of Magnetic Surfaces). Код ROMS был верифицирован на серии модельных расчетов разряда плазмы в токамаках Глобус-М и ИТЭР, и является программной частью измерительного комплекса магнитной диагностики Глобус-М.

На основе разработанного алгоритма были решены следующие задачи: выбор типа и требуемого количества магнитных датчиков, оптимизация их положения и анализ влияния случайных ошибок измерений на точность определения границы плазмы. Сравнение различных подходов по реконструкции границы плазмы из данных магнитных измерений позволяет сделать заключение, что метод подвижных нитей в наибольшей степени отвечает задачам управления формой плазмы на всех стадиях развития разряда. Для установки Глобус-М получено, что время вычислений, связанное с реконструкцией границы плазмы по данным внешних магнитных измерений, составляет величину около 310"3 с

при использовании для расчетов стандартного персонального компьютера. При этом удовлетворяется требование по точности определения границы плазмы в пределах нескольких миллиметров. Это позволяет использовать алгоритм для решения задачи управления плазмой в реальном масштабе времени с целью получения устойчивого плазменного шнура внутри вакуумной камеры в течение всего разряда.

В Заключении сформулированы осповные результаты диссертационной работы. Основные результаты работы изложены в следующих публикациях.

1. Беляков В.А., Литуновский Р.Н. Мозип И.В. Системы управления положением плазменного шнура в токамаках. Электротехника, №1, 1981, стр. 50-56.

2. Беляков В.А., Васильев С.Н., Горностаев C.B. и др. Результаты экспериментального исследования управления положением шнура в токамаке с адиабатическим сжатием "Туман-3". Доклады Второй Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-2), Ленинград, 23-25 июня, 1981, стр. 344-352.

3. В.А.Беляков, С.Е.Бендер и др. Измерение положения плазменного шнура в установках токамак методами электромагнитной диагностики, Доклады Второй Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-2), Ленинград, 23-25 июня, 1981, стр. 377383.

4. Беляков В.А., В.Г.Ивкин, А.В.Кузнецов и др., Структура системы управления параметрами плазмы токамака Т-15. Доклады Второй Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-2), Ленинград, 23-25 июня 1981, стр. 328-335.

5. Беляков В.А., Васильев В.И., Литуновский Р.Н. и др. Исследование полоидальных магнитных полей на установке Туман-3. Журнал технической физики, том 52,1982, стр. 1946-1952.

6. Belyakov V A., Bender S.E., Vasiliev S.N. et al. Plasma parameter control experiments on "TUMAN-3", Proceedings of twelfth Symposium on Fusion Technology, Julich, vol. 2,13-17 September 1982, p. 1191- 1195.

7. Belyakov V.A., Ivkin V.G.., Kuznetsov A.V. et al. T-15 poloidal field control system, Proceedings of twelfth Symposium on Fusion Technology, Julich, vol. 2, 13-17 September 1982, p. 1209-1213.

8. Беляков B.A., В.И.Васильев, В.Г.Ивкин и др. Система управления параметрами плазмы в токамаке-реакторе. Доклады Третьей Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-3), Ленинград, 20-22 июня 1984, стр. 555-561.

9. В.А.Арсеньев, В.А.Беляков, С.Е.Бендер Эксперименты по управлению равновесием плазмы в токамаке "Туман-3". Доклады Третьей Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-3), Ленинград, 20-22 июня 1984, стр. 480-489.

10. Беляков В.А., Васильев Н.Д., Ивкин В.Г. и др. Информационно-техническое обеспечение системы управления полоидальным полем установки Т-15. Доклады Третьей Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-3), Ленинград, 20-22 июня 1984, стр. 382-389.

11. Л.Г.Аскинази, В.Е.Голант, В.А.Беляков и др., Первые эксперименты по высокочастотному нагреву плазмы на токамаке "Туман-3", Письма в ЖТФ, том. 11, вып. 5, 1985,315-318.

12. Belyakov V.A.,Bender S.E., Vasiliev N.D. et al. The problems of plasma parameter control in tokamak-reactors. Proceedings of the Fourth Technical Committee Meeting and Workshop on Fusion Reactor Design and Technology, 26 May-6 June 1986, Yalta, USSR, p. 49-67.

13. Андрианов О.JI., Астапкович А.М., Беляков В.А. и др. Экспериментальная термоядерная установка Т-10С (Реконструкция установки Т-10). Вопросы Атомной Науки и Техники, серия: Термоядерный синтез, выпуск 2, 1991, стр. 3-7.

14. Belyakov V.A., Bender S.E., Bondarchuk E.N. et al. Plasma position and current control in T-15 Tokamak, Plasma Devices and Operations, 1992, p. 61 -75.

15. Belyakov V.A., Mondino P.L., Benfatto I. et al. The ITER poloidal field system: control and power supplies. Book of Abstracts, 18th Symposium on Fusion Technology (SOFT-18), Karlsruhe, Germany, 22-26 August, 1994, p.342.

16. Mondino P.L., Belyakov V.A., Barabaschi P. et al. Plasma equilibrium and control in ITER. Extended Synopses of Fifteenth International Conference on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, Seville, Spain, 26 September - 1 October 1994, p. 256.

17. Belyakov V.A., Galkin S.A., Degtyarev L.M. et al. Numerical simulation of free boundary plasma equilibrium evolution and shape control in the tight tokamak Globus-M. Proceedings of 19th Symposium on Fusion Technology (SOFT-19), Lisboa, Portugal, 16-20 September 1996, p. 821-824.

18. Alekseev A.B., Arneman A.F., Belyakov V.A. Globus-M Tokamak Magnets. Proceedings of 19* Symposium on Fusion Technology (SOFT-19), Lisboa, Portugal, 16-20 September 1996, p. 829-832.

19. Ovsyannikov D.A., Veremey E.I., Zhabko A.P., Belyakov V.A., Kavin A.A. Mathematical methods of tokamak plasma shape control. Proceedings of 3rd International workshop «Beam dynamics & Optimization» (BDO-96), St.-Petersburg, 1-5 July 1996, p. 218-229.

20. Golant V.E., Gusev V.K., Belyakov V.A. et al. Basic peculiarities of Globus-M spherical tokamak project. Extended Synopses of 16th IAEA Fusion Energy Conference, Montreal, Canada, 7-11 October 1996, p. 581-582.

21. Belyakov V., Gribov Y., S.Gerasimov et al. ITER Poloidal Field Scenario, Error Fields and Correction Coils. 24th European Physical Society Conference on

Controlled Fusion and Plasma Physics, Berchtesgaden, Germany, 9-13 June 1997, p. 977-980.

22. ВЛ.Беяяков, B.B. Веснин, A.A. Кавин и др., Испытания макета центрального соленоида установки Глобус-М, Тезисы докладов 6-й Всероссийской конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов, С. Петербург, Россия, 27 - 29 мая 1997, стр. 92.

23. Belyakov V.A., Gusev V.K., Golant V.E., Sakharov N.V. Globus-M Experiment at the Final Stage of Preparations, Proceedings of 17th IAEA Fusion Energy Conference, Yokohama, Japan, 19-24 October 1998. vol.3, p. 1139-1142.

24. McArdle G.J., Belyakov V.A., Veremey E.I. et al. The MAST plasma control system. Proceedings of 20th International Symposium on Fusion Technology (SOFT 98), Marseille, 7-11 September, 1998, p. 541-544.

25. В.К.Гусев, В.Е.Голант, В.А.Беляков и др. Сферический токамак Глобус-М, ЖТФ, 1999, том. 69, вып. 9, стр. 58-62.

26. V.A. Belyakov, V.A.Divavin, O.G.Filatov et al., The center post alternative design version for volumetric neutron source based on spherical torus, Fusion Engineering and Design, 45,1999,317-331.

27. Belyakov V., Kavin A., Veremey E. et al. Linear quadratic Gaussian con-troller design for plasma current, position and shape control system in ITER. Fusion Engineering and Design. 1999. Vol. 45. p. 55-64.

28. Belov A., Belyakov V., KokotkovV. Effect of 3D Eddy Currents on Stray Field in Plasma Breakdown Region. Plasma Devices and Operations, 2000, Vol. 8, p. 79-94.

29. S. Yamamoto, E. Hodgson, V. Belyakov et al., "Impact of Irradiation Effects on Design Solutions for ITER Diagnostics", 9th International Conference on Fusion Reactor Materials, Colorado Springs, CO, 10-15 October 1999, Journal of Nuclear Materials, 283-287.2000. p. 60-69.

30. Belyakov V, Bender S., Dech A., et al., First plasma experiments on spherical tokamak Globus-M, Proceedings of 27th Conference on Controlled Fusion and

Plasma Physics (EPS-27), Budapest, Hungary, 12-16 June 2000, ECA, vol.24B p. 512-515.

31. Belyakov V.A., Korotkov V.A., Soikin V.F. Design and assembly of the Globus-M tokamak magnets. Plasma Devices and Operations, 2001, Vol. 9, p. 39-55.

32. V.A. Korotkov, V.A. Belyakov, S.E. Bender, Yu.G. Krasikov, E.N. Rumyantsev, V.F. Soikin, VA. Yagnov, Toroidal field coil and central solenoid modernization for Globus-M tokamak, Fusion Engineering and Design 58-59 (2001) p. 901 -905.

33. Belyakov V.A., Kavin A.A., Kostsov Yu.,A., Makarova L.P., Rumyantsev E.N. The poloidal fields control of the Globus-M tokamak. Plasma Devices and Operations, 2001, Vol. 9, p. 105-118.

34. Amoskov V., Belyakov V., Bender S., Kavin A., Lamzin E., Sytchevsky S. Plasma boundary reconstruction from external magnetic measurements in the Globus tokamak using the variable current loop method. Plasma Devices and Operations, 2001, Vol. 9, p. 159-172.

35. Amoskov V., Belyakov V., Bender S. tt al., Real-time plasma boundary reconstruction including eddy currents influence from external magnetic measurements in the Globus-M tokamak, 5 International congress of mathematical modeling, Book of abstracts, vol.1, Dubna, Russia, 30 September - 6 October 2002, p.135.

36. Alexeev A., Amoskov V., Belyakov V., et al., Numerical simulation of transient processes in ITER as 3D coupled problems, 5 International congress of mathematical modeling, Book of abstracts, vol.1, Dubna, Russia, 30 September- 6 October 2002, p. 129.

37. В.А.Беляков, А.Б. Алексеев, A.B. Андреев, Э.Н. Бондарчук и др., Проект токамака Т-15М, Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 15-16.

38. B.K. Гусев, A.C. Ананьев, В.А.Беляков, М.И. Вильджюнас и др., Статус установки Глобус-М, Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28 - 31 октября 2002 , стр. 24-25.

39. A.B. Белов, В.А.Беляков, Н.И. Дойников, В.В. Кокотков и др., Комплекс npoipaMM TYPHOON для численного моделирования переходных электромагнитных процессов в тонких проводящих оболочках сложной геометрической формы, произвольно расположенных в пространстве, Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 48-49.

40. В.М. Амосков, A.B. Белов, В.А.Беляков, В.П. Кухтин и др., Комплекс программ KLONDIKE для численного моделирования пространственных статических магнитных полей, Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 109-110.

41. В.М. Амосков, A.B. Белов, В.А.Беляков, Е.А. Ламзин и др., Анализ ошибок магнитного поля и системы корректирующих катушек установки ИТЭР, Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр.113-114.

42. В.М. Амосков, A.B. Белов, В.А.Беляков, Е.А. Ламзин и др., Статистический анализ ожидаемых ошибок магнитного поля, возникающих от суперпозиции отклонений магнитных катушек ИТЭР, Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Пеггербург, 28 - 31 октября 2002, стр. 116.

43. В.А.Беляков, В.И. Васильев, A.A. Кавин, K.M. Лобанов и др., Исследование системы управления вертикальным положением шнура в токамаке Т-15М, Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам

термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 172-173.

44. В.А.Беляков, В.И. Васильев, К.М. Лобанов, Л.П. Макарова и др., Анализ стадии инициации плазмы в токамаке Т-15М с использованием кода TRANSMAK, Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28 - 31 октября 2002, стр. 178-179.

45. В.А.Беляков, В.И. Васильев, К.М. Лобанов, Л.П. Макарова и др., Моделирование физических процессов на начальной стадии разряда в проектах токамаков ITER-FEAT, Т-15М, КТМ с помощью кода SCENPLINT, Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 182-183.

46. Belyakov V., Lobanov К., Makarova L., Mineev A., Vasiliev V., Plasma breakdown scenario for ITER-FEAT machine with 1 mT field limitation in breakdown region at breakdown time 0.9 s with plasma current ramp-up 0.5 MA/s. Proceedings of 9th International workshop «Beam dynamics & Optimization» (BDO-2002), St.-Petersburg, 24-27 June 2002, p. 40-50.

47. Belyakov V., Lobanov K., Makarova L., Mineev A., Vasiliev V., Simulation of plasma initiation stage in tokamaks. Proceedings of 9th International workshop «Beam dynamics & Optimization» (BDO-2002), St.-Petersburg, 24—27 June 2002, p. 51-54.

Подписано к печати 8.09.03 Формат 60x90/16. уч.-издл. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано в НИИЭФА

Оооз^А

15-502 »15502

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПЛАЗМОЙ В ТОКАМАКАХ.

1.1. Общие положения.

1.2. Динамическая модель для радиального движения плазмы.

1.3. Построение линейных моделей для управления формой, положением и током плазмы в токамаке.

1.3.1 Линеаризация базовых равновесий.

1.3.2 Вычисление коэффициентов матриц в линейных моделях.

1.3.3 Область применимости линейных моделей.

1.3.4 Сравнение "жесткой" и "деформируемой" линейных моделей.

1.4 Математические методы управления током, положением и формой плазмы.

1.4.1 Общая постановка задач аналитического оптимального синтеза.

1.4.2 Задача LQG-оптимального синтеза.

1.4.3 Оптимальный синтез по нормам пространств Н2 и Яф.

1.4.4 Параметрический синтез ПД-регуляторов.

За прошедшие годы был достигнут впечатляющий прогресс в понимании физических явлений, ответственных за удержание и устойчивость плазмы в токама-ках. Разработаны эффективные методы управления, нагрева и диагностики плазмы, позволившие изучить в нынешних экспериментальных установках те плазменные режимы, которые будут использоваться в термоядерных реакторах. Последние крупные экспериментальные машины - JET (Европа) [1], JT 60-U (Япония) [2], ASDEX-Up (Германия) [3], TFTR (США)[4] и Т-15 (Россия) [5] -были построены в начале 80-х годов для изучения удержания плазмы с термоядерными параметрами и получения условий, при которых нагрев плазмы сравним с полным выходом термоядерной мощности. Для исследования условий нагрева плазмы с помощью адиабатического сжатия в эти же годы был построен токамак Туман-3 [6]. Следует отметить и поколение токамаков, значительное место в программе которых отводилось исследованию вопросов управления параметрами вытянутой по вертикали плазмы в режимах с полоидальным дивер-тором. К ним относятся токамаки DIII-D (США) [7], TCV (Швейцария) [8], ТВД (Россия) [9], проекты токамаков ИФТ [10], Т10С [11] и Т-15М [12] в России. Позднее широкое развитие получила программа токамаков с малым аспекто-вым отношением, или так называемых сферических токамаков. В конце 90-х годов были проведены успешные эксперименты на установке START [13] в Англии, и затем построена серия сферических токамаков NSTX (США) [14], MAST (Англия) [15] и Глобус-М (Россия) [16]. Высокий интерес к сферическим токамакам был обусловлен ожиданием новых физических явлений в плазме. Всерьез рассматривается и перспектива их использования в качестве объемных нейтронных источников [17, 18] для проведения радиационных испытаний макетов компонент будущих термоядерных энергетических установок. В нескольких экспериментах на токамаках TFTR и JET была использована дейтерий-тритиевая смесь. В этих экспериментах был получен выход термоядерной мощности соответственно 11 и 16 МВт. В экспериментах с дейтерий-тритиевой смесью на токамаке JET получен режим с отношением термоядерной мощности к мощности нагрева плазмы, Q = 0,9, а на токамаке JT 60-U на модельной дей-терий-дейтериевой смеси достигнуто Q = 1,25. Это поколение токамаков практически выполнило свои задачи и создало все необходимые условия для следующего шага - строительства установок, нацеленных на исследование зажигания, Q > 5, и уже обладающих всеми чертами будущего реактора. Одновременно с развитием экспериментальных работ велась комплексная проработка национальных проектов термоядерных реакторов. Отметим одни из последних проектов - FER (Япония) [19], TIBER (США) [20], NET (Европа) [21] и OTP (СССР) [22]. С 1985 года начались совместные работы ученых США, Японии, Европы и СССР над проектом ИТЭР (Международный экспериментальный термоядерный реактор). Важным этапом в развитии этих работ было завершение в 2001 году технического (инженерного) проекта ИТЭР. В результате впервые в человеческой практике удалось создать реальный проект квазистационарного термоядерного устройства с расчетной тепловой мощностью около 500 мегаватт [23].

Одним из ключевых направлений, определившим успех работ по управляемому термоядерному синтезу, является создание эффективных систем управления плазменными процессами [24, 25]. Необходимость в проведении физических и инженерных исследований этой проблемы обусловлена потребностью экспериментаторов в достижении параметров разряда тока в плазме, близких к предельным значениям. Особое значение качество управления плазмой приобретает в крупных экспериментальных и реакторных установках с высоким энергосодержанием плазмы, где нарушение режима разряда может приводить к значительному снижению ресурса и повреждению энергонапряженных элементов установки. Разработка и исследование систем управления плазменными процессами в экспериментальных и реакторных установках токамак включает в себя решение четырех важнейших проблем [26]:

1. Разработка программных сценариев для различных фаз развития разряда: заведение тока в катушки полоидального магнитного поля, инициация плазмы, подъем тока плазмы, образование диверторной конфигурации, дополнительный нагрев, зажигание темоядерной реакции и поддержание ее горения, снижение тока плазмы и гашение термоядерной реакции, вывод тока из по-лоидальной магнитной системы и подготовка к следующему циклу разряда.

2. Управление магнитной конфигурацией плазмы: управление током плазмы, интегральными параметрами плазмы (Rp, ар, к, S), магнитной конфигурацией основной плазмы (например, выбранными зазорами между границей плазмы и первой стенкой) и магнитной конфигурацией диверторной области (положение х-точки, положение ветвей сепаратрисы в диверторных каналах и точек их касания на диверторной мишени). Сюда же необходимо отнести и системы коррекции ошибок поля, нарушающих осесимметричность магнитной системы.

3. "Кинетическое" управление и управление параметрами диверторной системы: управление поведением основной плазмы (плотность и мощность термоядерной реакции, содержание примесей и доля излучаемой мощности, инжекция примесей в основную плазму) и управление диверторной плазмой (откачка, подача газа в дивертор и инжекция примесей, оптимизация магнитной конфигурации с целью улучшения характеристик дивертора).

4. Быстрое гашение плазмы: снижение тока плазмы и гашение термоядерной реакции с помощью инжекции примесей или водорода.

Деление задач управления на эти четыре категории отражает естественное разделение этих категорий и иерархическую сущность соответствующих концепций управления. Высшее положение в этой иерархии занимает разработка программных сценариев для различных фаз развития разряда. Управление магнитной конфигурацией плазмы является следующей ступенью в этой иерархической лестнице, поскольку оно должно быть адаптировано к той последовательности событий, которое определяется общим сценарием. Для управления магнитной конфигурацией плазмы уже достаточно данных магнитных измерений, и не обязательно иметь сведения о кинетическом состоянии плазмы. И тем более независимой задачей является вопрос о гашении разряда. Первые две категории задач относятся к проблеме создания систем управления полоидальными магнитными полями в токамаках и могут рассматриваться как самостоятельное научное направление в создании термоядерных установок то-камак [27]. В диссертации рассмотрены все ключевые моменты решения этой проблемы создания систем управления с обратной связью полоидальными магнитными полями в токамаках (Вопросы программного управления на основной фазе разряда тока плазмы выходят за рамки диссертации).

Общие проблемы, усложняющие создание высокоэффективной системы управления положением, током и формой плазменного шнура в установках токамак, заключаются в необходимости учета многих факторов. К ним относятся быстрые изменения параметров плазменного шнура (Ip, Rp, /„ f3p), влияние наведенных токов в окружающих плазму конструкциях сложной конфигурации, взаимная связь всех контуров (плазменного шнура, катушек, наведенных токов в пассивных структурах) при большой мощности (десятки мегаватт), требуемой для управления. Решение задачи оптимизации управления с обратной связью возможно лишь при наличии математической модели плазменного шнура, позволяющей достаточно точно описать его поведение в реальных условиях и реакцию на появляющиеся возмущения и на управляющее воздействие. На сегодняшний день один из наиболее распространенных путей анализа и построения системы управления плазмой в токамаках состоит из следующих шагов: - получение набора статических равновесий плазмы (базовых), описывающих развитие плазменного шнура для заданного сценария эволюции физических параметров плазмы (как правило, это интегральные параметры: 1Р, Rp> Qp> bp, If, ftp, y^res) i

- создание для выбранных базовых равновесий линейных моделей, описывающих эволюцию положения, формы и тока плазменного шнура в окрестности базового равновесия;

- на базе линейных моделей синтез алгоритмов управления плазмой с обратной связью (выбор регуляторов);

- нелинейное моделирование сценариев развития разряда тока плазмы с учетом программного управления и синтезированных регуляторов в цепи обратной связи. Для этого анализа используются коды, описывающие поведение плазменных параметров наиболее полно;

- по результатам исследований возможна коррекция как программного управления, так и управления с обратной связью.

Следует сказать, что линейные модели позволяют:

- провести анализ пассивной стабилизации плазмы, что особенно важно для вертикально неустойчивых плазменных конфигураций;

- определить требования к источникам питания активных катушек управления полоидальными полями по быстродействию и мощности;

- синтезировать регуляторы, которые обеспечивают стабилизацию плазменного шнура с обратными связями. На сегодняшний день теория синтеза различных регуляторов наиболее развита для линейных моделей объекта управления.

Отметим, что эта методика является общепринятой при создании систем управления положением, формой и током плазмы экспериментальных установок типа токамак. Она же была принята и для анализа различных аспектов управления для экспериментального термоядерного реактора ИТЭР.

На крупнейшем европейском токамаке JET система управления током и формой плазмы строится на базе моделей, основанных на линеаризации уравнения равновесия плазмы и электротехнических уравнений [28]. В качестве базовых берутся нелинейное уравнение, в общем виде описывающее равновесие плазмы как:

X=X(lJlp,(Jp,l,%J (B.l) где X - вектор параметров формы плазмы, /с - вектор, содержащий все токи в полоидальных катушках, 1Р - ток плазмы, Д, - параметры, описывающие профиль тока плазмы, ¥-го„ - поток через железный сердечник токамака, и нелинейное уравнение для описания динамики токов: d dt

В.2)

Здесь М - матрица индуктивностей, R - матрица сопротивлений, I=[IP, IJ, V-[0, Vc], и Vc - вектор напряжений, прикладываемых к полоидальным катушкам.

Отметим, что матрица М не постоянная и зависит от ряда параметров. Уравнения (В.1) и (В.2) линеаризуются [29, 30] относительно базового равновесия и в результате для анализа системы управления используются следующие уравнения:

Ms Ie+RcIc = Vc + f(A,ln%ron)

Ip5X = Bsac+IpG

Я,

Яр - J—Mpc Slc Lp

B.3) (B.4)

B.5) где Ms, Rc, Bs, G, MpC — известные постоянные матрицы, a f(/?p, , ) - возмущающая функция от заданных параметров.

С помощью уравнений (В.З), (В.4) и (В.5) для управления в реальном времени параметрами формы X и током плазмы строится развязывающий регулятор в виде [31]:

X' X ref

J р. Jref + DIc,

В.6) где Vc - вектор напряжений на источниках питания полоидальных катушек,

К - матрица регулятора, D -матрица, используемая для компенсации сопротивлений полоидальных катушек.

Отметим, что в качестве контролируемых переменных формы в экспериментах обычно используются 4 параметра: внешний радиус сепаратрисы, верхняя точка сепаратрисы, положение внутренней ветви сепаратрисы в диверторе, положение внешней ветви сепаратрисы в диверторе. Эксперименты на токамаке JET показали эффективность и робастность разработанной системы управления. Единственным ограничением системы по точности является восстановление параметров формы по магнитным измерениям. Используемый для этой цели Xloc алгоритм (на базе тейлоровского разложения функции полоидального потока) обеспечивает ошибку измерений порядка нескольких сантиметров в зависимости от разряда.

Модель для анализа системы управления положением, током и формой плазмы для токамака ASDEX-Up разбивается на две части: статическую и динамическую [32]. Статическая часть описывается, используя подход функциональной параметризации [33, 34], как:

F - с + ЪТ1 + ITaI (В.7) где вектор I включает: токи в полоидальных катушках и параметры Д и /,•; У -любой параметр формы; коэффициенты а, Ь, с получаются с помощью квадратичной регрессии из базы данных равновесия плазмы.

Динамическая часть модели представлена электротехническими уравнениями для токовых контуров и уравнением баланса радиальных сил, действующих на плазму [35, 36]: d rr т дч/ л и т

-<v + —г)+ *,/ = « (В8)

Fjl + Frr = О

ЗУ где L,, R, - матрицы индуктивностей и сопротивлений,--производная подг тока магнитного поля на контуре. F, - вектор-строка усредненных по плазме полей от токовых контуров, Fr - усредненный градиент давления плазмы.

Для анализа системы управления формой наведенными токами в пассивных контурах пренебрегают, так как их постоянные времени (~5 мс) много меньше, чем масштаб времен для управления формой. После линеаризации базовых уравнений и, учитывая обратные связи для токов в катушках полоидального магнитного поля, для радиального движения и тока плазмы, можно записать следующие линейные уравнения: i=Ai+Bu у = Ci + Du

Входной вектор и представляет собой программные значения токов в катушках, программу радиального движения плазмы и тока плазмы. В него же входят параметры Д, /,. Коэффициенты динамической части модели (матрицы А, В) извлекают из экспериментальных измерений, чтобы повысить адекватность модели.

Для управления параметрами формы в реальном времени на токамаке ASDEX на базе метода расположения [37] был реализован регулятор с PI - структурой (пропорционально интегральный), который позволяет стабилизировать положение ветвей сепаратрисы в диверторе с точностью ~ 1 см. Наиболее полное исследование моделей для системы управления положением и формой плазмы было проведено на токамаке DIII-D. Последние результаты по управлению плазмой были получены на основе модели минимального отклика плазмы [38]. Суть ее заключается в уравнении для динамики токов в контурах:

Mss + XJ^ + RJS + {Msp +Xsp)^ + Xs/)^ + Xsl ^ = (B.10) где Xss - вариация потока на проводнике, вызванного смещением плазмы при изменении тока этого проводника, Xsp - вариация потока на проводнике, вызванного смещением плазмы при изменении тока плазмы, Msp - матрица взаимных индуктивностей плазмы с контуром, Хф Xsl - вариация потока на проводнике, вызванного смещением плазмы при изменении параметров Д, lh Rs, - матрица сопротивлений.

К этому уравнению добавляется электротехническое уравнение для тока плазмы и уравнения наблюдения для контролируемых параметров формы. Отметим, что в качестве контролируемых параметров формы выступают значения потока в выбранных точках границы плазмы и положение х-точки (Rx, Zx). Согласно алгоритму управления поток через выбранные точки должен быть одинаковым и равным потоку в х-точке. Этот метод ("isoflux" control [39]) успешно применяется в различных режимах токамака. Важным является тот факт, что для определения потоков в контрольных точках используется достаточно быстрый алгоритм восстановления равновесия плазмы по магнитным измерениям в реальном времени [39], что позволяет обеспечивать высокую точность значений потока в окрестности границы плазмы. На базе линейной модели был синтезирован На, регулятор для управления формой плазмы, который использует как входы потоковые ошибки, положение х-точки и токи в полоидальных катушках [40, 41]. Эксперименты с этим регулятором показали его эффективность и ро-бастность, особенно для стабилизации положения х-точки.

Стадия инициации плазмы является начальной частью сценария разряда плазмы в токамаке и включает в себя две основные фазы: формирование условий пробоя плазмы и первоначальный подъем тока плазмы до уровня, когда начинают формироваться замкнутые магнитные поверхности. При проектировании токамаков по ряду причин анализу начальной стадии пробоя плазмы уделяется особое внимание. На этой стадии режима работы токамака предъявляются повышенные требования к параметрам источников питания катушек полоидаль-ного поля. Необходимые условия пробоя по величинам вихревых электрических и рассеянных магнитных полей в зоне инициации плазменного шнура в момент разряда плазмы, как правило, определяют предельно возможные режимы работы источников питания полоидальной системы. Наиболее полный анализ этой стадии программного управления был выполнен для токамака ИТЭР и описан в главе 4 диссертации. Кроме того, на стадии инициации плазменного шнура в токамаках существует проблема преодоления ионизационного и радиационного барьеров, особенно, в присутствии примесей в плазме. Описание транспортных моделей для этой стадии можно найти в работах М. Fontanesi и др. [42] и В. Lloyd [43]. Всё это выделяет начальную стадию инициации плазмы в отдельное направление исследований проблемы управления полоидальной магнитной системой.

Малые отклонения полоидальных магнитных полей от идеальной осесиммет-ричности с амплитудами Bm n/Bt0 < 1СГ4 (которые в дальнейшем будут упоминаться, как ошибки поля) могут привести в токамаке к возбуждению так называемых запертых мод (то есть не вращающихся) с низкими значениями тип [44-49]. Здесь тип представляют собой соответственно числа оборотов силовой магнитной линии вокруг главной оси установки (в тороидальном направлении) и магнитной оси (в полоидальном направлении). Величины Втп являются амплитудами гармоник нормальной компоненты возмущения магнитного поля на равновесных рациональных магнитных поверхностях, где (т,п) принимает значения (1,1), (2,1), (3,1), и Bt0- величина тороидального магнитного поля на оси плазменного шнура. Сами по себе возникшие моды являются резистивными разрывными модами. Физика роста мод, их замедления и остановки подчиняется теории резистивной магнитной гидродинамики. Основным физическим механизмом, отвечающим за возникновение запертых мод, является эффект торможения (диссипации) тороидального вращения из-за полей ошибок магнитного поля, выражающийся в замедлении и, в конце концов, остановке вращения МГД мод на рациональных поверхностях q = т/п. При развитии такой моды ее амплитуда растет, и в результате насыщения с высокой амплитудой эта мода может привести к деградации удержания энергии и частиц в плазме или к немедленному срыву тока плазмы. Насыщение запертых мод в ранней стадии развития разряда может быть причиной срыва тока плазмы и в последующих стадиях разряда, когда возникают изменения в состоянии плазмы (например, нагрев, близость к пределу по /?и другие). В любом случае, запертые моды могут создавать значительные ограничения в достижении параметров разряда, характерных для современных токамаков. Недавние систематические исследования возникновения и развития запертых мод в омических разрядах на существующих токамаках: COMPASS-C (COMPASS-D) [45], DIII-D [46], JET [47] и теоретические оценки замедления вращения из-за полей ошибок магнитного поля привели к полуэмпирическому пониманию требований к уровню этих ошибок и необходимости их коррекции. Поскольку чувствительность в возникновении запертых мод из-за ошибок поля, как предполагается, возрастает с размерами (большой радиус токамака) и, возможно, с тороидальным полем, то для больших токамаков-реакторов эта проблема может оказаться гораздо более серьезной, чем для существующих экспериментальных установок [50-53]. Определение допустимых полей ошибок и стратегии развития плазмы на стадии подъема тока, чтобы избежать возникновения и развития запертых мод являются, следовательно, важнейшими проблемами для ИТЭР и будущих реакторных установок, основанных на концепции токамак. В экспериментальном реакторе ИТЭР успешное решение этой проблемы может быть достигнуто только при одновременном выполнении следующих условий:

- достижение высоких точностей при изготовлении и сборке сверхпроводниковой магнитной системы;

- учет дополнительных факторов, приводящих к нарушению осесимметрич-ности структуры полоидального магнитного поля;

- введение системы корректирующих катушек для подавления ошибок магнитного поля до необходимого уровня.

В соответствии с оценками, полученными из экспериментальных данных и их экстраполяции к параметрам ИТЭР комбинация мод (т,п) = (1,1), (2,1), (3,1) нормальной компоненты Вт,„ ошибок поля на рациональной магнитной поверхности q = т/п = 2 должна удовлетворять определенному критерию [53]. Усредненная в квадратичном смысле амплитуда трех первых гармоник не должна превосходить некоторого верхнего предела 5 • 1СГ5 • Bt0:

B,-modе = ■(Bll)2 +W2l -(B2 l)2 +JV2l -(B3 ])2 < 5 • 10■"5 • Btо, (В. 11) здесь Bt0 - тороидальное магнитное поле на оси плазменного шнура, весовые коэффициенты соответственно равны: Wu=0.2, W2]= 1.0, W3J=0.8 . Таким образом, полученный критерий накладывает серьезные ограничения на (т,п) ошибки поля в установке ИТЭР. Наименьшие гармоники ошибок поля и особенно (т,п) = (2,1) представляют особую опасность при работе в режиме с низким значением запаса устойчивости q. Омический режим, дейтериевая плазма q95 =3.4; h х а2 /1 = 0.2 х10м м' MA 1

Скейлинг для мод: , m, п = 1,1 2,1 & 3,1 COMPASS-C

Проект ИТЭР LMT

Предел для мод: m = 1+2+3, п = 1 m,n = 2,1

8 m 10.0

Большой радиус, Ro (m)

Рис. В.1 Предельно допустимые значения (m,n) ошибок поля (LMT скейлинг [51, 52]), полученные из экспериментальных данных на установках COMPASS-С, DIII-D и JET и их интерполяция на размеры ИТЭР: - сплошная линия - LMT для моды (т,п) = (2,1) пунктирная линия - LMT для усредненных в квадратичном смысле амплитуд трех первых гармоник

На рис. В.1 сплошная линия показывает оценки предельно допустимых значений величины (2,1) поля ошибок для различных установок без учета влияния остальных гармоник. Интерполяция на размеры ИТЭР дает В2 [ /В10 < 2.5 х Ю~5 = 2.5 отн.ед. (относительные единицы), где В10=5.3 Тл. тороидальное магнитное поле на радиусе 6.2 м, соответствующем оси плазменного шнура. Хотя обычно мода (2,1) ошибок поля наиболее опасна, эксперименты показали, что необходим также учет и других низших гармоник (1,1) и (3,1) на поверхности q = 2. Допустимые значения (т,п) ошибок поля должны удовлетворять критерию (В.11), полученному на DIII-D обобщением экспериментальных данных. Эта зависимость получила название LMT скейлинг.

Одним из основных параметров, подлежащих регистрации в течение разряда, является положение границы плазменного шнура относительно вакуумной камеры. В токамаках, где равновесие достигается с помощью обратных связей по смещению шнура, надёжное и быстрое измерение этого параметра играет особенно важную роль. Традиционным способом является вычисление положения шнура на основе измерения полоидальных магнитных полей вне плазмы с помощью датчиков электромагнитной диагностики. При разработке диагностических систем, основанных на магнитных измерениях, необходимо решить ряд принципиальных проблем. Первая из них относится к адаптации датчиков магнитной диагностики к конструкции и условиям работы в установке. Следующая проблема состоит в разработке алгоритмов реконструкции положения и формы магнитной поверхности, принимаемой за границу плазмы. При этом требования по точности и быстродействию этих алгоритмов в значительной степени определяются как их назначением (информационные системы, системы управления с обратными связями и др.), так и постоянными времени изменения параметров плазмы. По сравнению с экспериментальными установками в нейтронных источниках, основанных на концепции токамак (см., например, [17]), и в экспериментальном термоядерном реакторе ИТЭР [54] размещение датчиков магнитной диагностики в непосредственной близости от плазмы вызывает значительные трудности. Кроме этого они работают в условиях мощных нейтронных потоков. Это накладывает дополнительные ограничения на выбор числа датчиков, их расположение и конструкцию и требует учета различных наведенных радиационных эффектов [55]. В свою очередь применимость алгоритмов реконструкции формы плазмы должна быть также верифицирована для этих условий.

В ранних работах наибольшее развитие получили методы измерений, основанные на теории равновесия тороидального плазменного витка во внешнем магнитном поле [56]. Необходимый минимальный объём измерении обеспечивается следующим набором датчиков: секторная или полная петля для измерения потока магнитного поля через сечение плазмы, пояс Роговского для измерения тока разряда и пара магнитных зондов для измерения касательной составляющей полоидального магнитного поля (например, TFR-600 [57]). На токамаках CLEO [58] и TFTR [59] вместо магнитных зондов были применены пояса Роговского с косинусным законом намотки для измерения радиального движения и синусным для вертикального движения.

Уравнение Грэда-Шафранова, полученное в работах [60-62], является теоретическим фундаментом большинства современных методов магнитной диагностики плазмы в токамаках. Основные результаты теории МГД равновесия плазмы во внешнем поле изложены в известных обзорах и монографиях [56, 62-72]. Теоретические основы методов магнитной диагностики изложены в работах В.Д.Шафранова и Л.Е.Захарова [73-75], где были впервые получены интегральные соотношения для моментов плотности тороидального тока. Этот метод основан на измерении подробного распределения полоидального магнитного поля на выделенном контуре вокруг плазмы. Для его реализации необходима установка большого числа магнитных зондов для измерения нормальной и касательной составляющих магнитного поля [76]. Основная трудность этого метода заключается в необходимости обеспечить помехозащищённость большого количества зондов и в сложности алгоритма вычислений. Сравнительно быстро был математически сформулирован и практически реализован в виде программных кодов весьма широкий спектр методов магнитной диагностики плазмы в токамаках [77, 78]. С тех пор развитие методов магнитной диагностики плазмы идет в основном в направлении их оптимизации по точности и скорости вычислений. Задачи магнитной диагностики относятся к числу так называемых некорректных обратных задач математической физики [79, 80], что существенно усложняет организацию вычислительного процесса и требует применения регуляризирующей процедуры. Большинство методов магнитной диагностики основываются на некотором априорном параметрическом представлении потоковой функции плазмы и различаются лишь формой такого представления. Параметры каждого конкретного представления находятся путем минимизации невязки между измеряемыми и вычисляемыми величинами, при этом набор измеряемых величин, вообще говоря, в каждом методе свой. Программные коды, реализующие модели непрерывного распределения параметров плазмы, обычно наиболее точные и наименее быстрые. Кроме того, они весьма громоздки. Их основное применение - анализ разряда в паузе между импульсами тока плазмы.

Для быстрого определения параметров плазмы, и в первую очередь, положения и формы плазменного шнура, необходима разработка и верификация упрощенных моделей (методов). Простые модели особенно необходимы для решения задачи управления разрядом плазмы в реальном времени, когда определяющим становится вопрос скорости вычислений. При этом характерные времена вычислений не превосходят масштаба нескольких миллисекунд. Анализ существующих методов определения границы плазмы по данным внешних магнитных измерений, пригодных для управления плазмой в реальном времени и обеспечивающих требуемую точность реконструкции ее границы, показывает, что их число весьма ограничено (например, см. обзор [81,114]).

Согласно предложенной классификации [81, 114], методы реконструкции формы плазмы из магнитных измерений можно разделить на следующие основные типы:

- Метод гармоник [82-87] основан на разложении (обычно в тороидальной геометрии) потоковой функции в ряд по собственным функциям дифференциального оператора Грэда-Шафранова. Определяемыми параметрами являются радиус базовой окружности тороидальной системы координат и коэффициенты при нескольких первых гармониках.

- Метод локальной аппроксимации [82, 88-90] использует представление потоковой функции отрезком ряда Тейлора в окрестности нескольких характерных точек плазмы, то есть определяется не вся граница, а только ее наиболее важные (с точки зрения задачи управления) точки. Подлежащие определению параметры модели плазмы - коэффициенты ряда Тейлора.

- Метод потенциала простого слоя [91-94] основан на замене плазменного шнура некоторой замкнутой поверхностью, расположенной внутри плазмы и не обязательно совпадающей с границей плазмы. Весь ток плазмы считается сосредоточенным на этой поверхности. Параметры модели связаны с положением данной поверхности.

- Метод токовых нитей основан на модели тока плазмы в виде нескольких тонких кольцевых токов. Можно дополнительно выделить в рамках этой модели два метода, отличающихся набором восстанавливаемых параметров. В методе фиксированных токовых нитей подлежат определению только токи в кольцах, а положение самих токовых нитей фиксировано [95-97, 85, 90]. В методе подвижных токовых нитей [90, 98-102] необходимо определять как амплитуды значений токов, так и координаты токовых нитей.

Метод подвижных токовых нитей представляется наиболее эффективным с точки зрения компромисса между требованиями скорости вычислений и точности реконструкции границы плазмы и подробно обсуждается в данной главе диссертации. К настоящему время опубликовано довольно много работ по адаптации указанных методов к конкретным установкам, в частности, ASDEX [103], Doublet III [97, 104], Туман-3 [105], ISX-B [96, 106], JET [91,107], TNT-A [108], Глобус-М [109-111], ИТЭР [112, 113, 114].

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель работы и направления исследований, приведен краткий обзор состояния исследований по теме диссертации и краткая аннотация диссертационной работы по главам и положения, выносимые на защиту. Первая глава посвящена вопросам разработки и исследования математических методов и моделей для систем управления положением, током и формой плазмы в токамаках. В этой главе диссертации основное внимание будет уделено проблеме создания линейных моделей плазмы для базовых равновесий и проблеме выбора регуляторов. Во второй главе диссертации обсуждаются особенности построения и исследования систем управления положением и током плазмы в токамаках с железным магнитопро-водом Туман-3 и Т-15. Третья глава посвящена моделированию и разработке систем управления формой и положением плазмы в сферических токамаках Глобус-М и MAST и в экспериментальном термоядерном реакторе ИТЭР. В четвертой главе рассмотрены проблемы программного управления на стадии инициации плазмы в ИТЭР и Т-15М. В пятой главе приведен анализ источников ошибок поля в экспериментальном реакторе ИТЭР, описаны методы расчета и обоснование системы их коррекции. В шестой главе приводятся результаты разработки и исследования систем магнитной диагностики для применения в системах управления плазмой в токамаках ИТЭР и Глобус-М. В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Предложены методы построения линейных математических моделей для анализа систем управления положением, током и формой плазмы в токамаках. Показано, что линейные модели с достаточной точностью отражают динамику поведения формы плазмы при сравнении с кодами, которые моделируют эволюцию плазмы со свободной границей, и позволяют моделировать возмущения параметров плазмы в значительном диапазоне изменения этих параметров. При проектировании системы управления положением, током и формой плазмы для токамака-реактора ИТЭР на базе линейных моделей предложены регуляторы, которые обеспечивают необходимые параметры формы плазмы при моделировании всех сценариев на нелинейных кодах. Проведено сравнение "жесткой" и "деформируемой" линейных моделей и сделаны выводы о границах применимости этих подходов.

2. Рассмотрены различные классы современных задач оптимального синтеза стабилизирующих управлений: о минимизации нормы \Н\ (типичный представитель - задача LQG - оптимального синтеза), о минимизации нормы \НI (задача Нт - оптимального синтеза) и о минимизации указанных выше норм для "взвешенных" передаточных матриц HS7. Примеры решения практических задач для систем стабилизации токамака ИТЭР позволяют сделать вывод о том, что идеология LQG-оптимального синтеза оказывается исключительно эффективным инструментальным средством, которое можно использовать при проектировании систем управления плазмой. Вместе с тем, подход, базирующийся на оптимальном синтезе, следует считать перспективным направлением для учета "цветных" возмущений и шумов в измерениях. В ряде ситуаций структура рассмотренных выше оптимальных регуляторов, обладающих собственной динамикой, может оказаться слишком сложной для практической реализации в системах управления плазмой. В связи с этим представляет определенный интерес рассмотрение вопросов оптимальной настройки параметров при фиксированной структуре обратной связи. Одной из наиболее простых подобных структур является структура ПД-регуляторов по вектору измерений. Анализ процессов управления позволяет заключить, что ПД-регулятор несколько увеличивает длительность переходного процесса, однако по сравнению с LQG-регулятором обеспечивает меньшую колебательность.

3. Детально исследована топография полоидального магнитного поля установки Туман-3 с железным магнитопроводом. Расхождение экспериментальных данных и результатов расчета магнитных полей с помощью магнитостатического кода для выбранной модели распределенного магнитопровода не превышает 5 процентов. Проведено расчетное и экспериментальное исследование вопросов равновесия и устойчивости плазмы в установке Туман-3 в разных режимах: при омическом нагреве, адиабатическом сжатии по малому и большому радиусу и с подъемом тока после сжатия по малому радиусу. Обоснована и реализована система автоматического управления положением плазмы.

4. Получена зависимость эффективности катушек полоидального магнитного поля и показателя спада магнитного поля от степени насыщения ферромагнитного сердечника для токамака Т-15. Выполнен анализ устойчивости плазмы по радиусу и вертикали. С использованием предложенной линейной математической модели проведено исследование свойств системы управления полоидальными полями и выбрана концепция системы управления плазмой в токамаке Т-15. Обоснована и реализована система управления током катушки омического нагрева и током плазмы, радиальным и вертикальным положением плазменного шнура в токамаке Т-15.

5. Выполнен синтез регуляторов для систем управления положением, током и формой плазмы в токамаках Глобус-М и MAST на базе линейной модели. В этом анализе были реализованы два подхода: синтез регуляторов на базе LQG метода и синтез ПД регуляторов для лимитерной и диверторной конфигураций плазмы и выполнено сравнение этих двух подходов с помощью выбранных интегральных функционалов. Предложены схемы построения системы управления для токамаков Глобус-М и MAST. Для токамака Гло-бус-M реализована система управления, которая в настоящее время используется при проведении экспериментов.

6. Исследованы вопросы управления положением, током и формой плазмы для двух стадий проекта ИТЭР: ИТЭР-FDR и ИТЭР-FEAT. На первой стадии основное внимание было уделено исследованию управляемости для дивертор-ных плазменных конфигураций. На второй стадии усилия были сосредоточены, главным образом, на проблеме стабилизации вертикальной неустойчивости. Синтезированы LQG и ПД регуляторы для выбранных точек сценария разряда и проведено их сравнение с регуляторами, предложенными международной и европейской исследовательским группами. Для подавления скорости скачка мощности был предложен специальный алгоритм, позволяющий компенсировать ее быстрые изменения. Рассмотрены вопросы управления положением, током и формой плазмы для лимитерных конфигураций на фазах подъема и вывода тока. Проведенные исследовательские работы вошли в качестве вклада от России в международную базу данных по регуляторам для ИТЭР.

7. Предложена математическая модель, описывающая переходные процессы в токамаках на стадии инициации плазмы. Она включает в себя математическое описание процесса до пробоя плазмы, организацию необходимых условий в момент пробоя и эволюцию плазменного шнура на ранней стадии подъема тока плазмы. Предложена расчетная модель, описывающая транспортные процессы в плазме на ранней стадии подъема тока плазмы. Предложен алгоритм нахождения напряжений на катушках полоидальной системы, успешно реализующих сценарий стадии инициации плазмы. На базе предложенной математической модели созданы вычислительные коды TRANSMAK и SCENPLINT. С помощью разработанных кодов был выполнен анализ начальной стадии разряда плазмы для токамаков ИТЭР и Т-15М и сделаны рекомендации по выбору системы электропитания полоидальных катушек и центрального соленоида на этой стадии. Предложен метод коррекции двумерных расчетов для учета трехмерных эффектов, связанных с наличием отверстий и патрубков в вакуумной камере токамака ИТЭР.

8. Предложен и разработан математический аппарат, реализованный в программном комплексе PRORCODE для анализа и коррекции ошибок поля. Общие принципы построения программного комплекса основываются на модульной структуре выстраиваемой общей математической модели анализируемого объекта. Опираясь на принятую систему допусков при изготовлении и сборке магнитной системы ИТЭР, определена важность по вносимому вкладу в суммарную ошибку поля для всех катушек и видов отклонений от осесимметричности. Реализованы математические алгоритмы статистического анализа суперпозиций ожидаемых ошибок поля электромагнитной системы. Было рассмотрено два вида распределения вероятностей отклонений - равномерное и нормальное. Опираясь на полученный вероятностный спектр ожидаемых ошибок поля, выполнен анализ предложенных вариантов системы корректирующих катушек. Впервые был выполнен подробный анализ систематических ошибок поля от ферромагнитных элементов испытательных модулей бланкета, активной и пассивной (ферромагнитной) систем магнитного экранирования инжекторов нейтральных атомов и выводных концов и соединений катушек магнитной системы ИТЭР.

9. Для токамаков Туман-3 и Т-15 предложен метод измерения положения плазмы, при котором нет ограничений, связанных с формой плазменного шнура (метод двух зондов) или сложностью измерения и вычисления. Анализ применимости данного метода измерений был проведён для режимов омического нагрева и адиабатического сжатия, и экспериментально проверен на токамаке "Туман-3".

10.Выполнены исследования применимости математических алгоритмов, предложенных для управления формой плазмы в токамаке ИТЭР. Получены основные зависимости точности реконструкции границы плазмы от положения, числа и типа магнитных датчиков. Проведено сравнение по точности реконструкции и устойчивости к ошибкам измерений для предложенных наборов датчиков в ИТЭР и сделаны соответствующие рекомендации. На основе метода подвижных нитей для токамака Глобус-М предложен "быстрый" алгоритм восстановления границы плазмы, исходя из магнитных измерений. Получено, что для предложенного алгоритма время вычислений, связанное с реконструкцией границы плазмы ло данным внешних магнитных измерений, составляет величину около 3 мс с использованием стандартного персонального компьютера. При этом удовлетворяется требование по точности определения границы плазмы в пределах нескольких миллиметров. Впервые проведен подробный анализ влияния вихревых токов в пассивных структурах токамака на точность реконструкции. Вихревые токи имеют значительное влияние на начальной стадии разряда, когда ток плазмы мал и форма плазменного шнура имеет слабую эллиптичность. В этом случае для определения границы плазмы целесообразно применять модель одной подвижной токовой нити, отличающейся за счет простоты вычислений высоким быстродействием. Сравнение различных подходов по реконструкции границы плазмы из данных магнитных измерений позволяет сделать заключение, что метод подвижных нитей в наибольшей степени отвечает задачам управления формой плазмы на всех стадиях развития разряда.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. M.Huguet et al, Fusion Technology, January 1987, vol. 11, No.l p. 43-70.

2. A.Kitsunezaki and JT-60U Team, Proceedings of the Tenth topical meeting on the technology of fusion energy, Boston, USA, 7-12 June, 1992, Fusion Technology, May 1992, vol. 21, No. 3, part 2a, p. 1309-1316.

3. O.Gruber et al., Journal of Nuclear Materials, 121, 1984, p.407.

4. R.J.Hawryluk et al. Proceedings of the Tenth topical meeting on the technology of fusion energy, Boston, USA, 7-12 June, 1992, Fusion Technology, May 1992, vol. 21, No. 3, part 2a, p. 1324-1331.

5. V.A.Glukhikh et al., Plasma Devices and Operations, 1992, vol.1, No. 3-4, p. 303-309.

6. Воробьев Г.М., Голант B.E. и др. Физика плазмы, 1983, том 9, Вып.1, стр. 105-120.

7. T.C.Simonen for the DIII-D Team, Proceedings of the Tenth topical meeting on the technology of fusion energy, Boston, USA, 7-12 June, 1992, Fusion Technology, May 1992, vol. 21, No. 3, part 2a, p. 1332-1339.

8. J.B.Lister et al., Proceedings of 36th IEEE CDC, San Diego, USA, December 1997, p. 3679-3684.

9. А.В.Бортников, Н.Н.Бревнов и др., Препринт ИАЭ-4554/8, Москва, ЦНИИ-атоминформ, 1988.

10. В.А.Беляков, Г.М.Воробьев, Р.Н.Литуновский и др. Тезисы докладов Четвертой Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-4), Ленинград, январь 19-21, 1988, стр. 12-13.

11. Андрианов О.Л., Астапкович A.M., Беляков В.А. и др. Вопросы Атомной Науки и Техники, серия: Термоядерный синтез, выпуск 2, 1991, стр. 3-7.

12. В.А.Беляков, А.Б. Алексеев, А.В. Андреев, Э.Н. Бондарчук и др. Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002 , стр. 15-16.

13. A.Sykes et al. in Controlled Fusion and Plasma Physics, Proceedings of 18th European Conference, Berlin, 1991, vol.l5C, part 1, EPS, p.89.

14. M.Ono et al. Phys. Plasmas, 1997, No. 4, p. 799.th

15. A.C.Darke et al. Proceedings of the 16 Symposium on Fusion Energy, Sham-paign-Urbana, USA, 1995, vol. 2, p. 953-956.

16. В.К.Гусев, В.Е.Голант, В.А.Беляков и др., ЖТФ, 1999, том. 69, вып. 9, стр.58.62.

17. E.T.Cheng, Y.K.M. Peng et al. Fusion Engineering and Design, 1998, No. 38, p. 219-255.

18. V.A. Belyakov, V.A.Divavin, O.G.Filatov et al., Fusion Engineering and Design, 45, 1999,317-331.

19. S.Tamura and FER Design Team, Proceedings of the First International Symposium on Fusion Nuclear Technology, Tokyo, Japan, April 10-19, 1998, Fusion Engineering and Design 8 (1989), p. 29-36.

20. C.D.Henning, J.R.Gilleland, Proceedings of the First International Symposium on Fusion Nuclear Technology, Tokyo, Japan, April 10-19, 1998, Fusion Engineering and Design 8 (1989), p. 37-42.

21. J.Darvas, Proceedings of the First International Symposium on Fusion Nuclear Technology, Tokyo, Japan, April 10-19, 1998, Fusion Engineering and Design 8 (1989), p. 61-67.

22. V.A.Glukhikh, V.A.Belyakov, G.F.Churakov et al., Proceedings of the First International Symposium on Fusion Nuclear Technology, Tokyo, Japan, April 1019, 1998, Fusion Engineering and Design 8 (1989), p. 51-58.

23. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation Series No.24, IAEA, Vienna, 2002.

24. Беляков В.А., В.И.Васильев, В.Г.Ивкин и др. Доклады Третьей Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-3), Ленинград , 20-22 июня 1984, стр. 555-561.

25. Belyakov V.A.,Bender S.E., Vasiliev N.D. et al. Proceedings of the Fourth Technical Committee Meeting and Workshop on Fusion Reactor Design and Technology, 26 May-6 June 1986, Yalta, USSR, p. 49-67.

26. Technical Basis for the ITER Detailed Design Report, Cost Review and Safety Analysis, ITER EDA Documentation Series No. 13, IAEA, Vienna, 1997, Chapter III, Section 5.0 Plasma Operation Scenario and Control, p.7.

27. Y.Shimomura, J.Wesley, V.Belyakov et al., ITER Poloidal Field System, ITER Documentation series No.27, International Atomic Energy Agency, Vienna, 1991.

28. Angoletta M.E. et al., Proceedings of 19th Symposium on Fusion Technology, Lisbon, Portugal, September 1996, p. 389.

29. Garribba M. et al. XV EEE Symposium on Fusion Technology, Hyannis, USA, 1993, p. 564.

30. Garribba M. et al. Proceedings of 18th Symposium on Fusion Technology, Karlsruhe, Germany, August 1994, p. 722.

31. Lennholm M. et al. Fusion Engineering and Design, August 2000, vol. 48, No. 12, p. 37-45.

32. Treutterer W. et al. Proceedings of 19th Symposium on Fusion Technology, Lisbon, Portugal, September 1996, IEEE Transactions on Nuclear Science, vol. 43, 1996, p. 217-221.

33. Gruber O. et al. Proceedings of 17th Symposium on Fusion Technology, Rome,1.aly, 1992, North-Holland Publ., Amsterdam, 1993, p. 1042-1046.th

34. Carthy P.J. et al. Proceedings of 19 EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Innsbruck, 1992, p. 459-462.

35. Woyke W. et al. Proceedings of 19th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Innsbruck, 1992, p. 455-458.

36. Krugger К. Proceedings of llh IF AC Symposium of Design Methods of Control System, Zurich, 1991, p. 18.

37. Treutterer W. et al. Proceedings of IEEE Conference on Real Time Computer Applications in Nuclear Particle and Plasma Physics, East Lansing, 24-28 May1995, p. 292-296.

38. Humpreys D. A., Walker M. L. General Atomic Report GA-A23321.

39. Ferron J. R. et al. Nuclear Fusion, 1998, No.38, p. 1055.

40. Humpreys D. A. et al. Proceedings of 21st Symposium on Fusion Technology, September 2000, Madrid, Spain, p. 727-731.

41. Leuer J.A. et al. Proceedings of 18th IEEE/NPSS Symposium on Fusion Engineering, 25-29 October 1999, Albuquerque, New Mexico, p. 454.

42. M.Fontanesi, C.Maroli, V.Petrillo, Proceedings of the 3— Joint Varenna-Grenoble International Symposium, EUR 7979EN, 1982, v.II, p.699.

43. B.Lloyd, P.G.Carolan, C.D.Warrick, Plasma Physics and Controlled Fusion,1996, vol. 38, p.1627.

44. Nave, M.F.F., Wesson, J.A., Nuclear Fusion, 1990, vol. 30, p.2575.

45. Hender, T.C. et al. Nuclear Fusion 1992, vol. 32, p. 2091.

46. Scoville, J.T., La Haye, R.J. et al. Nuclear Fusion, 1991, vol. 31, p. 875.

47. Fishpool, G.M., Haynes, P.S, Nuclear Fusion, 1994, vol. 34, p. 109.

48. La Haye R.J., Fitzpatrick R., Hender T.C.,Morris A.W., Scoville J.T., and Todd T.N., Phys. Fluids, 1992, B.4, p.2098.

49. Buttery, R.J., Campbell, D.J. et al., in Controlled Fusion and Plasma Physics 1997 (Proc. 24th Eur. Conf. Berchtesgarden, 1997), Vol. 21 A, Part I, European Physical Society, Geneva (1997) 265-269.

50. R.J.La Haye, General Atomic Report GA-A21167, 1992.

51. Leuer J.A., Luxon J.L., Xu M.F., Antaya T.A., Proceedings of 16th IEEE/NPSS Symposium on Fusion Engineering, September 30 October 5, 1995, 885.

52. La Haye R.J. General Atomics Report: GA-A22468, February 1997.

53. Leuer J.A.,La Haye R.J., Doinikov N.I. et al., Proceedings of 17th IEEE/NPSS Symposium Fusion Engineering, vol. 1, San Diego, California, 6-10 October 1997, p.505-508.

54. V.Mukhovatov, H.Hopman, S.Yamamoto, V.Belyakov et al., ITER Diagnostics, ITER Documentation series No.33, International Atomic Energy Agency, Vienna, 1997.

55. S. Yamamoto, E. Hodgson, V. Belyakov et al., 9th International Conference on Fusion Reactor Materials, Colorado Springs, CO, 10-15 October 1999, Journal of Nuclear Materials, 283-287, 2000, p. 60-69.

56. V.S.Mukhovatov, V.D.Shafranov, Nuclear Fusion, 1971, No.ll, p. 605.

57. R.Dei Gas, I.Blum, I.P.Morera, P.Plinate, Proceedings of the 8th Symposium on Engineering Problems in Fusion Research, Knoxwille, 1977, p. 478.

58. J.Hugill, A.Gibson, Nuclear Fusion, vol. 14, 1974, p. 611.

59. R.Gran, M.I.Rossi, F.Sobierajski, Report PPPL EP-R-019,1977.

60. Шафранов В.Д., ЖЭТФ, 1957, вып. 33, стр. 710.

61. H.Grad, H.Rubin, in "Proceedings of the Second United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy", Geneva, 1958

62. Шафранов В.Д., Атомная энергия, 1962, вып. 13, стр. 521.

63. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, том VIII "Электродинамика сплошных сред", глава VIII "Магнитная гидродинамика". М.: Наука, 1992.

64. Шафранов В.Д. Вопросы теории плазмы (Под ред. М.А.Леонтовича), вып.2. М.: Энергоатомиздат, 1963, стр. 92.

65. Кадомцев Б.Б. Вопросы теории плазмы (Под ред. М.А.Леонтовича), вып.2. М.: Энергоатомиздат, 1963, стр. 132.

66. Wesson J.A. Nuclear Fusion 1978, vol. 18, p. 87.

67. Freidberg J.P. Rev. Mod. Phys. 1982, vol. 54, p. 801.

68. Кадомцев Б.Б., Шафранов В.Д. Успехи физических наук 1983, том.139, стр.399.

69. Bateman G. "MHD Instabilities", The MIT Press, Cambridge, Mass., 1978.

70. Арцимович Jl.А., Миронов С.В., Стрелков B.C. Атомная энергия 1964, том. 17, стр. 170.

71. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. ЖЭТФ 1967, том. 37, стр. 348.

72. Кадомцев Б.Б., Погуце С.П. ЖЭТФ, 1967, том. 53, стр. 2025.

73. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Вопросы теории плазмы (Под ред. Б.Б.Кадомцева), вып.11. М.: Энергоатомиздат, 1982, стр.118.

74. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. Журнал Технической Физики, 1973, XLIII, вып. 2, стр. 225.

75. Zakharov L.E., Shafranov V.D., Технический отчет IAE-3075, 1978, ИЯФ им. Курчатова.

76. H.Aikawa, A.Ogata, J.Suzuki, Japanese Journal Applied Physics, 15, No. 10, 1976, p. 2031.

77. Braams B.J. Plasma Physics and Controlled Fusion, 1991, vol. 33, p. 715.

78. Braams B.J. Preprint IPP 5/2, 1985.

79. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Нау-' ка, 1986.

80. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

81. Кузнецов Ю.К. Физика плазмы, 1994, вып. 20, стр.132.

82. Lee D.K., Peng Y-K.M. J. Plasma Phys., 1981, vol. 25, No.l, p.161.

83. Кузнецов Ю.К., Набока A.M. Физика плазмы, 1981, вып.7, стр. 860.

84. Van Milligen B.Ph. Nuclear Fusion, 1990, vol. 30, No.l, p. 157.

85. Deshko G.N., Kilovataya T.G., Kuznetsov Yu.K., Pyatov V.N., Yasin I.V. Nuclear Fusion, 1983, vol. 23, No. 10, p. 1309.

86. Бондаренко С.П., Голант В.Е., Грязневич М.П. и др. Физика плазмы, 1984, вып. 10, №5, стр. 910.

87. Kurihara К. Fusion Technology, 1992, vol. 22, p. 334.

88. Hofmann F., Tonetti G. Nuclear Fusion, 1988, vol. 28, p. 519.

89. O'Brien D.P., Ellis J.J., Lingertat J. Nuclear Fusion, 1993, vol. 33, No.3, p. 467.

90. Каминский А.О., Киловатая Т.Г., Кузнецов Ю.К., Ясин И.В. Физика плазмы, 1994, вып.20, № 2, стр.144.

91. Feneberg W., Lancker К., Martin P. Comput. Phys. Commun., 1984, vol. 31, p. 143.

92. Вабищевич П.Н., Зотов И.В. Физика плазмы, 1987, вып. 13, № 6, стр. 649.

93. Kurihara К. Nuclear Fusion, 1993, vol. 33, No. 3, p. 399.

94. Дмитриенко А.Г., Кузнецов Ю.К., Фесенко А.И. Физика плазмы, 1992, вып. 18, № 12, стр. 1515.

95. Wootton A.J. Nuclear Fusion, 1979, vol.19, No.7, p. 987.

96. Swain D.W., Neilson G.H. Nuclear Fusion, 1982, vol. 22, No. 8, p. 1015.

97. Lao L.L., John H.St., Stambaugh R.D., Kellman A.G., Pfeiffer W. Nuclear Fusion, 1985, vol. 25, No. 11, p. 1611.

98. Кузнецов Ю.К., Панов B.H., Ясин И.В. Метод определения формы плазменного шнура в токамаке с адиабатическим сжатием. Препринт ХФТИ. 85-1. М.: Цнииатоминформ., 1985.

99. Ясин И.В. Дисс.к.ф.-м.н., Харьков, 1992.

100. Amoskov V., Belyakov V., Bender S. et al. Plasma Devices and Operations, 2001, vol. 9, No. 9, p. 159.

101. Амосков B.M., Беляков В.А., Бендер C.E. и др. "Разработка и верификация программного обеспечения реконструкции равновесных параметров плазмы по данным внешних магнитных измерений для токамака ГЛОБУС-М", Технический отчет 2566-0, 2001, НИИЭФА.

102. Winter H., Albert D.B. "Separatrix Location Using Magnetic Measurements in ASDEX Tokamak", Report IPP 3/57, Max-Plank-Institut fur Plasmaphysik, 1980.

103. Lao L.L., John H.St., Stambaugh R.D. et.al. "Reconstruction of Current Profile Parameters and Plasma Shapes in Tokamaks", Report GA-A17910, General Atomic Company, 1985.

104. Bondarenko S.P, Kaminskij A.O., Kuznetsov Yu.K et.al., 12th European Conference of Controlled Fusion and Plasma Physics, Budapest, 1985, Europhysics Conference Abstracts 1985, 9F-I, p. 247.

105. Swain D.W., Bates S., Nei-son G.H., Peng Y.-K.M, "Determination of Plasma Shape from Poloidal Field Measurement on ISX-B", Report ORNL/TM 7172, Oak Ridge National Laboratory, 1980.

106. Brusati M., Christiansen J., Cordey J.G., Jarrett K., Lazzaro E., Ross R.T. Comput. Phys. Reports, 1984, vol.1, p. 345.

107. Ida K., Toyama H Japan J. Appl. Phys. 1983, vol. 22, p. 1587.

108. Гусев В.К., Голант В.Е., Гусаков Е.З. и др., Журнал Технической Физики. 1999, том. 69, №9, стр. 58.

109. Gusev V.K. Plasma Devices and Operations, 2001, vol. 9 No. 1-2, p. 1.

110. Sakharov N.V. Plasma Devices and Operations, 2001, vol. 9. No. 1-2, p. 25.

111. V.Mukhovatov, H.Hopman, S.Yamamoto, V.Belyakov et al., ITER Diagnostics, ITER Documentation series No.33, International Atomic Energy Agency, Vienna, 1991.

112. S. Yamamoto, E. Hodgson, V. Belyakov et al., 9th International Conference on Fusion Reactor Materials, Colorado Springs, CO, 10-15 October 1999, Journal of Nuclear Materials, 283-287, 2000, p. 60-69.

113. Belyakov V.A., Bender S.E., Kuznetsov Yu.K., Yasin I.V., Kilovataya T.G., in Report on the IAEA Technical Committee Meeting "Magnetic Diagnostics for Fusion Plasmas", 7-9 October 1994, Nuclear Fusion, 1996, vol. 36, No. 3, p. 387400.

114. Беляков В.А., Литуновский Р.Н. Мозин И.В. Электротехника, №1, 1981, стр. 50 -56.

115. Belyakov V.A., Bender S.E., Bondarchuk E.N. et al., Plasma Devices and Operations, 1992, p. 61-75.

116. Albanese R., Coccorese V., Rubinacci G., Nuclear Fusion, 1989, vol. 29, No.6.

117. Portone A., "Passive stabilization and stability margin of tokamak plasmas", ITER Report № 47 IP 8 99-08-31 W 01, Naka JWS, August 31 1999

118. Technical Basis for the ITER-FEAT Outline Design, ITER EDA Documentation Series No. 19, International Atomic Energy Agency, Vienna, 2000.

119. V. Belyakov et al., Fusion Technology, in: Proceeding of the 19lh SOFT, Lisbon, Portugal, 16-20 September, 1996.

120. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

121. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., Машиностроение, 1974.

122. Doyle J. С., Francis В. A., Tannenbaum A. R. Feedback control theory New York; Toronto: Macmillan Publ. Co., 1992.

123. Квакернаак X., Сиван P. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

124. Лётов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов, АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1960, № 4-6; 1961, № 4,11.

125. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1969.

126. Веремей Е.И., Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1986, №4.

127. Ovsyannikov D.A., Veremey E.I., Zhabko А.Р., Belyakov V.A., Kavin A.A. Proc. of 3rd Intern, workshop «Beam dynamics & Optimization» (BDO-96), St.-Petersburg, 1-5 July 1996, p. 218-229.

128. Беляков В.А., Васильев В.И., Литуновский Р.Н. и др. Журнал технической физики, том 52, 1982, стр. 1946-1952. Препринт НИИЭФА П-Г-0555

129. Исследование полоидальных магнитных полей на установке Туман-3", Ленинград, 1982 .

130. Беляков В.А., Васильев С.Н., Горностаев С.В. и др. Доклады Второй Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-2), Ленинград, 23-25 июня, 1981, стр. 344-352.

131. Belyakov V.A., Bender S.E., Vasiliev S.N. et al., Proceedings of twelfth Symposium on Fusion Technology, Julich, vol. 2, 13-17 September 1982, p. 11911195.

132. В.А.Арсеньев, Беляков B.A., С.Е.Бендер Доклады Третьей Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-3), Ленинград, 20-22 июня 1984, стр. 480-489.

133. Л.Г.Аскинази, В.Е.Голант, В.А.Беляков и др., Письма в ЖТФ, том. 11, вып. 5, 1985, 315-318.

134. Беляков В.А., В.Г.Ивкин, А.В.Кузнецов и др., Доклады Второй Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-2), Ленинград, 23-25 июня 1981, стр. 328-335.

135. Belyakov V.A., Ivkin V.G., Kuznetsov A.V. et al., Proceedings of twelfth Symposium on Fusion Technology, Julich, vol. 2, 13-17 September 1982, p. 1209-1213.

136. Беляков В.А., Васильев Н.Д., Ивкин В.Г. и др., Доклады Третьей Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-3), Ленинград, 20-22 июня 1984, стр. 382-389.

137. В.Ф.Андреев, Ю.Н. Днестровский, Д.П.Костомаров, А.М.Попов, С.В.Цаун, Физика плазмы, 1986, вып. 12, № 4, стр. 387. Препринт ИАЭ-4056/7 "Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке с железным сердечником", Москва, 1984.

138. В.Ф.Андреев, Ю.Н.Днестровский, Д.П.Костомаров, А.М.Попов, Препринт ИАЭ-4502/7 "Математическая модель адаптируемой системы управления полоидальными полями в токамаке", Москва, ЦНИИатоминформ, 1987.

139. В.Ф.Андреев, Ю.Н.Днестровский, Д.П.Костомаров, А.М.Попов, Препринт ИАЭ-4214/7 "Математические модели управления плазменным разрядом в токамаке", Москва, ЦНИИатоминформ, 1987.

140. N.A.Daniel, B.A.Larionov, N.A.Monoszon et al. Plasma Devices and Operations, 1992, vol.1, No. 3-4, p. 253-266.

141. Belyakov V.A., Divavin V.A., Dvorkin N.Ya. et al. Project of Spherical To-kamak Globus-M, Препринт ФТИ PAH, № 1629, Санкт Петербург, 1994.

142. Golant V.E., Gusev V.K., Belyakov V.A. et al. Extended Synopses of 16th IAEA Fusion Energy Conference, Montreal, Canada, 7-11 October 1996, p. 581582.

143. Belyakov V.A., Gusev V.K., Golant V.E., Sakharov N.V., Proceedings of 17th IAEA Fusion Energy Conference, Yokohama, Japan, 19-24 October 1998. vol.3, p. 1139-1142.

144. Alekseev A.B., Arneman A.F., Belyakov V.A. et al.? Proceedings of 19th Symposium on Fusion Technology (SOFT-19), Lisboa, Portugal, 16-20 September 1996, p. 829-832.

145. В.А.Беляков, B.B. Веснин, A.A. Кавин и др., Тезисы докладов 6-й Всероссийской конференции по инженерным проблемам Термоядерных Реакторов, С. Петербург, Россия, 27 29 мая 1997, стр. 92.

146. Belyakov V.A., Korotkov V.A., Soikin V.F., Plasma Devices and Operations, 2001, Vol. 9, p. 39-55.

147. V.A. Korotkov, V.A. Belyakov, S.E. Bender, Yu.G. Krasikov, E.N. Rumyant-sev, V.F. Soikin, V.A. Yagnov, Fusion Engineering and Design 58-59 (2001) p. 901 -905.

148. Belyakov V.A., Galkin S.A., Degtyarev L.M. et al., Proceedings of 19th Symposium on Fusion Technology (SOFT-19), Lisboa, Portugal, 16-20 September 1996, p. 821-824.

149. Belyakov V.A., Kavin A.A., Kostsov Yu.,A., Makarova L.P., Rumyantsev E.N., Plasma Devices and Operations, 2001, Vol. 9, p. 105-118.

150. Belyakov V, Bender S., Dech A., et al., Proceedings of EPS-27 Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, 12-16 June, 2000, Budapest, Hungary, p. 512-515.

151. Technical Basis for the ITER Final Design Report, Cost Review and Safety Analysis (FDR), ITER EDA Documentation Series No. 16, IAEA, Vienna, 1998.

152. Belyakov V.A., Mondino P.L., Benfatto I. et al. Book of Abstracts, 18th Symposium on Fusion Technology (SOFT-18), Karlsruhe, Germany, 22-26 August,1994, p. 342.

153. Mondino P.L., Belyakov V.A., Barabaschi P. et al. Extended Synopses of Fifteenth International Conference on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, Seville, Spain, 26 September 1 October 1994, p. 256.

154. Belyakov V., Kavin A., Veremey E. et al., Fusion Engineering and Design. 1999. Vol. 45. p. 55-64.

155. В.А.Беляков, В.И. Васильев, K.M. Лобанов, Л.П. Макарова и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 178-179.

156. В.А.Беляков, В.И. Васильев, К.М. Лобанов, Л.П. Макарова и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 182-183.

157. Belyakov V., Lobanov К., Makarova L., Mineev A., Vasiliev V., Proceedings of 9th International workshop «Beam dynamics & Optimization» (BDO-2002), St.-Petersburg, 24-27 June 2002, p. 40-50.

158. Belyakov V., Lobanov K., Makarova L., Mineev A., Vasiliev V., Proceedings of 9th International workshop «Beam dynamics & Optimization» (BDO-2002), St.-Petersburg, 24-27 June 2002, p. 51-54.

159. Belov A., Belyakov V., Kokotkov V., Plasma Devices and Operations, 2000, Vol. 8, p. 79-94.

160. Nuclear Fusion, 1999, vol. 39, p. 2206

161. С.В.Мирнов, Физические процессы в плазме токамака, М., 1985, с.73

162. D.E.Post, R.V.Jensen, C.B.Tarter, W.H.Grasberger, W.A.Lokke, Steady state radiative cooling rates for low-density high-temperature plasmas, 1977, Princeton University, Preprint PPPL-1352

163. ITER Design Description Document, DDD 11 Magnet, 2. Performance Analysis, 2.6 Tolerance Analysis, N 11 DDD 130 01-07-11 R0.1, 1998.

164. C. Sborchia, et al., Analysis of Tolerances & Error Fields for the ITER Magnet System, General Atomics Report: GA-A22920, 1998 (42).

165. H.Tsuji, S.Egorov, J.Minervini, M.Martovetsky, K.Okuno, Y.Takahashi, R.J.Thome, Fusion Engineering and Design, 2001, vol. 55, p. 153-170.

166. V.Belyakov, O.Filatov, S.Egorov, Proceedings of Fifteenth International Conference on Magnet Technology (MT-15), Beijing, China, 20-24 October 1997, p.397-400.

167. N.Mitchel, E.Salpietro, Fusion Engineering and Design, 2001, vol. 55, p. 171190.

168. Amoskov V., Belov A., Belyakov V. et al., Analysis of ITER error field and correction coils, ITER, Final Report EDA, 2001-2, PR 254, 30 December, 2001.

169. Максименкова Н.А, Мингалев Б.С., Гармонический анализ трехмерных магнитостатических полей ошибок магнитных систем токамака. Алгоритм программы "HARMAN", Препринт НИИЭФА П-0970 М.:ЦНИИатомнинформ, 2002.

170. Amoskov V., et al., Proceedings of Fifth European Particle Accelerator Conference (EPAC 96), Barcelona, 10-14 June, 1996, vol.3, p. 2161-2163.

171. Амосков B.M., Белов A.B., Филатов О.Г. и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 111112.

172. Амосков В.М.,Белов А.В., Беляков В.А. и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 113114.

173. Жидков Е.П., Кухтин В.П., Ламзин Е.А. и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 115.

174. Амосков В.М., Белов А.В., Беляков В.А. и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 116.

175. Тихонов А.А., Арсеньев В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

176. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями, М.: ИЛ, 1956.

177. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений, М: Наука, 1966.

178. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, М: Мир том 1, 2-е изд.,1964, том 2,1967.

179. Мингалев Б.С. Аналитическое решение задачи о форме безмоментной секторной катушки тороидального соленоида. Л., 1979, Препринт НИИЭФА: П-Б-0420.

180. Лейтес Л.В. Электричество, 1960, №11, стр.76.

181. Шафранов В.Д., ЖТФ, 1972, том X, вып.9, стр. 1785.

182. Gralnick S.L., Tenney F.H. Applied Physics,1976, vol. 47, No.6, p. 2710.

183. Moses R.W.Jr and Young W.C. Proceeding of the Sixth Symposium on Engineering Problems of Fusion Research, San Diego, 1975, p. 917.

184. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев B.C., ЖТФ, 1977, том. 47, вып.З, стр. 521-526.

185. Бондарчук Э.Н., Дойников Н.И., Мингалев Б.С. Численное моделирование равновесия плазмы в токамаке при наличии ферромагнетика.-Л.,1975, Препринт НИИЭФА Б-0236.

186. Bondarchuk E.N., Doinikov N.I., Mingalev B.S., Fusion Reactor Design Concepts, Vienna, 1978, p. 455-460.

187. Belyakov V., Gribov Y., S.Gerasimov et al., 24th European Physical Society Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Berchtesgaden, Germany, 9-13 June 1997, p. 977-980.

188. B.M. Амосков, A.B. Белов, В.А.Беляков, В.П. Кухтин и др., Тезисы докладов Международной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР 2002), Санкт-Петербург, 28-31 октября 2002, стр. 109-110.

189. В.М. Амосков, А.В. Белов, В.А.Беляков, Е.А. Ламзин и др., Анализ систематических ошибок поля и система корректирующих катушек установки ИТЭР, препринт НИИЭФА II-0979, Санкт Петербург, 2003.

190. В.А.Беляков, С.Е.Бендер и др., Доклады Второй Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-2), Ленинград, 23-25 июня, 1981, стр. 377-383.

191. F.Schneider, Report JPP III/47, 41, 1978.

192. D.B.Albert, Report JPP 111/61, 1980.

193. V.A.Belyakov, S.E.Bender, Yu.K.Kuznetsov, I.V.Yasin, T.G.Kilovataya, in the Report on the IAEA Technical Committee Meeting, Kharkov, Ukraine, 7-9 October 1994, Nuclear Fusion, vol. 36, No. 3, 1996.

194. Technical Basis for the ITER Interim Design Report, Cost Review and Safety Analysis, ITER Documentation Series, No. 7, IAEA, Vienna, 1996.

195. Sakharov N.V. Plasma Devices and Operations, 2001, vol. 9, No.1-2, p. 25.

196. Galkin S.A., Ivanov A.A., Medvedev S.Yu., Poshekhonov Yu.Yu., Nuclear Fusion, 1997, vol. 37, No. 10, p.1455.

197. Galkin S.A., Drozdov V.V., Ivanov A.A., Medvedev S.Yu. // General Atomic Report GA-A222441, February 1997; GA-23045, May 1999.

198. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1981.

199. Pustovitov V.D. Nuclear Fusion, 2001, vol.41, No.6, p.721.

200. A.Belov, V.Belyakov, V.Kokotkov et al. Plasma Devices and Operations, 2000, vol. 8, No. 2, p.79.