Анализ и оптимизация алгоритмов оценивания параметров регрессионных моделей в условиях частичной статистической неопределенности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

О . ~ **

О ;, ! Ч 7.

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОМ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

на правах рукописи

ВЛАДИМИРОВ ИГОРЬ ГЕННАДЬЕВИЧ

АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В УСЛОВИЯХ ЧАСТИЧНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

01.01.00 — математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1992

Райотд выполнена, на ка$©др© упрд.*л»жия и кости сгь»ц систем

*4оско»ского <з.иэико-т«хнич«ского института

Научный руководитель: д.т. к., профессор Богуславский И. А.

Официальные оппоненты: д.т.н. » профессор Красильщиков М. Н. . г. и, , профессор С^еряко» Г. Г.

Ведущая организация: Институт проолвм передачи информации РАН

Защита ^состоится . , "..........1©Э2 г. на заседании

сп&циа/шэироаанного совата К. 063. 61.03 Московского физико-технического института

С диссертацией ножна ознакомиться в ОиОлиотекв Московского <$>изико-*г»х*<ического института

Автореферат разослан г.

Уч«ный секретарь специализированного совета: д-ф, -и-н. . до14в»кт Саны/гоаский А. И.

,\ Ь ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1 Актуальность тенм

В диссертационной работе проводится анализ алгоритмов оценивания конечномерных параметров нелинейных нестационарных регрессионных моделей.

Хотя вопросы асимптотического поведения точечных оценок в случае бесконечной выборки наблюдений и точно известной модели регрессии хорошо изучены» анализ качества нелинейного оценивания параметра по выборке наблюдений конечного объема в ситу&и.ин частичной статистической неопределенности а настоящее время практически осуществляется путем трудоемкого имитационного эксперимента на основе метода Монте—Карло.

Поэтому главной целью диссертации является разработка процедур априорного анализа качества оценивания параметров в случае конечных выборок наблюдений, позволяющих» не прибегая к имитационному моделированию, получать с учетом условий частичной статистической неопределенности гарантированные границы точности оценивания.

Кроме того, с учетом этих условий в работе решаются некоторые минимаксные задачи оптимизации рассматриваемых алгоритмов оценивания для случая бесконечной выборки наблюдений.

Научная новизна

Полученные в диссертации результаты С данные ссылок на - дру гие источники} являются новыми.

Практическая значимость Результаты диссертационной работы применимы к синтезу и априорному анализу С с учетом условий частичной статистической неопределенности) нелинейных алгоритмов параметрического оценивания» связанных с обработкой данных, доставляемых геофизическими полями сложного характера С в частности» раВота содержит применение. к задаче корреляционно-экстремальной навигации летательного аппарата по рельефу местности} .

Апро&ация работы

Результаты диссертационно«* работы докладывались на научных конференциях Московского физико-технического института.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в четырех печатных работах:

1. Богуславскил И. А. , Владимиров И. Г. Адаптивное оценивание еек~ тора сдвига /у Изв. АН СССР, Техн. киОерн. , N 4, стр. 47 - 63,

1990.

2. Владимиров И. Г. М^тод наименьших квадратов с использованием л^реОора Ша. РАН, Техн. кнберн. , N 3, стр. S3 - 1X0. 1QQ2.

3. Viadimirov I. G, On generating a homogeneous random field wit-h a given coviriance function у/ Proceedings of ICMTC-90. New York: Marcel Dekker, 1Q9S. С сСорник готовится к печатиЭ Владимиров И. Г. Восстановление функций нескольких переменных с помощью многомерных полиномов Бернштейна SS Ы. : МФТИ» 1S92. -Дел. в ВИНИТИ £8.02.93» N 692-В92.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ 1. Диссертация состоит из введения, шести глав и списков литературы, аббревиатур VI обозначении. Гл. 1 Сза исключением § 2). а также гл. '2 и § 1 гл. 3 диссертации носят характер расширенного введения. Рассматр1гвается следующая задача.

Пусть в дискретные моменты времени к г 1 фшсируются скалярные наблюдения ук. описываемые регрессионно« модель»:

у . ^ е ) + с , ( 1 ]

к к О к '

в которой неизвестны» и подлежащий оценивают по >к параметр регрессии с о. е с к" - известиое <лранпченное множество его значении; 0 —* к1 - функция регрессии, (с - случа!шыи шум наблюдения, пкеющш нулевое математическое ожидание См.о.) и ковариационную функции Ск.ф.)

Г% • Е ^Д) , 12)

Се - функционал м. о. . отвечают» вероятностной мере р на пространстве (к'1. к1). пороаденнон семеиством конечномерных вероятностных распределении шума наблюдения).

Имеет место ситуация частично» статистической неопределенности: функция регрессии г° в С1) и к.ф. г°к С2) шума наблюдеши Са значит, и (.(ера р) известны наблюдателю не вполне точно, и' оценивание параметра регрессии но наблюдениям ук осуществляется на основе некоторых имеющдхся у наблюдателя "эталонных" функции регрессии ^ и к.ф. г^. отличающихся от истинных С по принятому в диссертации соглашению, Гк и г составляют априорную информацию САН) I рода о регрессионном модели).

Для априорного анализа качества используемого метода оцекнва-

¡шя Ст. е. дня получеши каких-либо гарантированных характеристик точности, с которой этим методом будет оцениваться ео) необходима привлечение дополнительных сведении (составляющих АИ и рода) о самой истинной модели регрессии (например, гауссовость шума наблюдения) и/илн о мере отличия ее от эталонной модели Схарактеризующих степень ошибочности All х рода).

2. Априорный анализ точности оценивания параметра регрессии Скаким-либо конкретным методом оценивания, основанным на All I рода) состоит в том Сем. s 1 гл. 3). чтобы, привлекая АИ и рода, построить нетривиальную функцию ри; СО; 1 )*о —* к', n а 1, удовлетворяющую соотношению:

в котором

* "< « е СО; t J. в е в, 13)

Vr»V ■ Р1рн * r) t4J

- функция распределения вероятностей для н-и ошибки оцечивания

■ вир (1в-е01; в € , 16)

л м

где 0ц - случайное множество, из которого выбирается оценка ем параметра во по выборке наблюдений уи • (Ук)к.т^-

В качестве АИ и рода в диссертации (см. § 1 гл. 1) приняты функция т„: в —» к', к 1 1, и неубывающая последовательность >к 1 о такие, что априори выполняются неравенства:

- ^16)1 « 7к1в; , (в)

где

- соответственно истинная и "эталонная" ковариационные матрицы (к. м.) случайного вектора е^ . t ) к-ТП*• пРичем последняя предполагается невырожденной »ни (левая часть (7) названа n-m коэффициентом недооценки шума СКШ> наблюдения).

Гримеры получения верхних границ, х^ (7) для КНШ приведены в S 2 гл. 1 С один из них демонстрирует принципиальную возможность получения таких границ даже в случае, когда истинный механизм фор-игрования шума наблюдения существенно нелинеен, а эталонная к. ф. rJk построена наблюдателем на основе линейной модели).

Крош того, предполагается (см. 5 3 гл. 1), что используемая наблюдателем эталонная функция perpecctnt f имеет так называемую связную структуру порядка т.ю):

■fbie> • aj Ыв| + ck . 19)

где ak е R". век-гор-функция Ь: в —» я" шгьективна. причем ее компоненты линейно независимы на в и среди них нет тождественной константы. В рамках С9) выделен случай разделения переменных, когда

п

« . О XÍ в с К , i . 1;z,

1 ■ г 1 110 Í Мв) • Ble) bit) + ele) при 9 - is\tV. ве»1, te«2 ,

где В; е —♦ с: е-* к" и Ь; «2—» к", причем последняя век-

тор-пункция инъективна, ее компоненты линейно независимы на <?2 и среда них нет тождестеешой констант

3. В ссстоядей из трех параграфов гл. 2 описываются рассматриваемые алгоритмы оценивамся f>0, использующие специальный вид С 9) эталонной функции регрессии f

Алгоритм § i основан на репарамэтрнзадои - введении нового па-

раметра Э0 • Ь1в0) е к" путем нелинешого преобразования исходного. оценивании Ро посредством лнкеинои по выборке наблюдений -

Ч-ТТй оценки

К • % V V •

где рд е в . матрица к0 е в положительно определена,

*« • V" •

.....•

н последущем "обратном" нелинегаом преобразовании результат которого

ви • Щ/^) (13)

принимается в качестве оценки для 0О по уи. где отображение п: к" —» « удовлетворяет условию п<Ь(9)) • е.

В случае, когда ш > п. содержит с в качестве своего дод-вектора (так что в ■ р ыв) с соответствующей матрицей р с к""*), а множество е выпукло и замкнуто, в качестве отображения п используется ЩЭ) ■ пв1Р Р), где л^: в - оператор ортогональной проекции на тожество в: х) - лгя »и» 1х-в1. В этом случае

* ме

оценка С13) принимает вид

?„ ■ тур 114)

и названа РЛП-оценкой как получгнная в результате репараметрпза-ции к линейно-проективного оценивания (линейного оценивания С11) нового параметра с последующая нелинейным преобразованием его оценки, испольэушим оператор ортогональной проекции).

Согласно методу наименьших квадратов (НЕЮ с использованием перебора 4 2 оценка вщ для »0 по выборке определяется соопсно-

uiemiem

«, e 8, ■ Ala (rtin^ «А* Ь1в)+Сн-Ум( 115)

в i O R*

где e - (^шсцрованныи конечный наоор точек из в (сетка пересюра).

Алгоритм i 3 для случая разделения переменных СЮ) основан на

о

частичном нелинешюм преобразовании параметра регрессии в

lel'.t*)т. »с е,. t е в и введении нового параметра т =

UM VI v ь О

в котором ро . Ьи0) с- к" Оценки ¿н и для в0 и fi0 по выборке v схроятся многомодельным С ММ) методом:

е Ala lllill^ JM16). • 5,(5,1, tie j

где в( с - фксированная конечная сетка перебора.

J„U) - JWU.PHU)) . 117)

Ru К

Р„и) - КИ1а) 1К^,ро+ вЧа){гн-ЕИси))0 , 11В)

после чего оценка Тн для 10 определяется соотношением

• П1Р„) . (19)

в котором отображение П: К*'—> в2 удовлетворяет условию щЫъ)

В случае, когда ц.> иг, Ы.и содержит с в качестве своего под-

вектора Стак что. t » РЫо с соответствующей матрицей ре к * ). а множество в2 выпукло и замкнуто, в качества отображения п ис-польэуется ГЦ?) • пд 1Р р) и оценка С19) принимает вид

г

t„ - Пв IP . 120)

2

В & 1 приводятся фэрмулы рекуррентного (по числу наблюдении м) пересчета векторов г^е В" и матриц Е^е к"** С12). пооволяшде для вычисления (11), С18). а такдв швюлсзируемых сеточшм мэтодом функций С15) и (17). использовать рекурреитниэ уравнения фшьтра Калмана.

4. В 54 2 - 4 гл. 3 (Еэлагахнся процедуры априорного анализа (в смысле 4 1 гл. 3) качества описанных в гл. 2 РЛП-, И К- и №1-ал-горитмов оценивания параметра регрессии 60. позволяющее для каждого из них построить С усушенную при дополнительном предположении гауссовости шума наблюдения) функцию р>1«,Л). которая удовлетворяет соотношению СЗ) и является, следовательно, верхней границей для а-квантили распределения (4) н-й ошиоки оценивания рм (5).

В $ 2 С теорема 1) показано, что для РДП-оцеккн (14) соотношению СЗ) удовлетворяет функция

где

0(6) - пах [1в-в|: в е е> ,

,»/а

"К.

Vе» - <'> рТ> К-ы»*!-.+ *>>)'

ко

й„(в> » геах {«г^* гш.цк)кщ— и . 121)

•V*р ~ *лЧ>рт •

а«|ц дается формулой

0 • Тг&с* Ми/П-«)1,/г . либо, в стучав гауссовского шума наблюдения, определяется как

V« ■( \ л V )иг •

где хн - «-квантиль распредеяеш1я хи-квадрат с n^N сте-

пенями свободы. Получена также верхняя граница для среднего квадрата n-й ошибки РЛП-оценивакия: tyif * ф^я ) + х Trace н . Для

м ч о п н

случая, когда эталонная к.ф. rJk шума наблюдения построена на основе С вообще говоря, нестационарно») модели авторегрессют и скользящего среднего САРСС) произвольного' порядка (о,а), описан способ нахождения функции лн10) С 21) с помощью петода динамического программггрования Беллмана.

В S 3 С теорема 1) доказывается, что для МНК-оценки С15) соотношение СЗ) выполнено с функцией вида

¡V"-0' • V« ■ ») • »22)

где

О^и.0) - шах (19-01: Пев И У^В.О^ги) .

а "н а Дается формулой - I ним) / И-"). либо С в случае гаус-совского шума наблюдения) определяется как «-квантиль распределения х2(тлц). Функция яхо—> р' представляет собой специальным образом построенную взагодау» характеристику сетки перебора в и полуметрики С1Д0,,0,) - ИЬ1б, )-Ыв )й_ , в в е в. Это построе-

N 1 ^ 1 2 1 ь

ние осуществляется по одно!! пз трех схем:

v^e.f») -

max ¡O^'lfi.O) [t32ie.P)-G2(0,9)1: вея И G^ie.eV/O] при 9 е «40^10)

О При в £

[ a:\e.ej iahe,в j-g^o )) при S e в\9,1в) v^ie.e, • j л _ •

l О При ê e »„(f)

V^ê.0) - G^ê.ej-G^O) ,

где

G^cei - wirt GM(,e,0), eHi0) • Ara_ruii^GN(e,e) , See в e в

- roinfG^e.e): ëeêHie» ,

и отвечающие этим, схемам функции v^. i-i;3. связаны неравенствами v' г v* i vjj. Первая схема является наиболее трудоемко« в вычислительном отношении С но и приводит к наиболее сильном границе С22)3, а третья - наиболее простои.

В § 4 (теорема D показано, что для MM-оценки С16). С20) соотношению СЗ) удовлетворяет функция вида

p„i«.e> - »„[(«v/w;., ♦ / г, Ve\ в].

ко

где на этот раз

2 2 А 1/2 Л л * ^ Л \

[1в-»1 + dK(U,S,ei] : 0£в) И G1|lö,TJ-G|(ttJi2uj1 d„(u,e,e) - dtt) A К.,<в) Вт1в) Й1в,т)1 + + ( \.„<PV*,pTl CiâHtT)+2u)Z-G^e,Tn+ ) ] ,

û e в ( • "

dit) • maxClt-tl: ¿(s.T) • (BUJ-B(s)]P+cû)-cie)

Сздесь в я uT,tT)T t в, т « ieT.fT)\ р ш bitj). Слагается так-

же процедура получения верхних границ для «-квантилей маргинальных вероятностных распределении ошибок Ш-оценивания отдельных подвекторов и параметра во.

С каждой из построенных в §§ 2 - 4 функции связывается

функция

ЕН1 г ,в) - аир {«есо;П: .

являющаяся в силу (3) гарантированной нижней границей для функции распределения С 4 Э Ст. е. Г^г.в) > Это позволяет для

риска Е Н1рн,0о) по отношению к функции потерь ус к^н —» к1 такой. что V а е о щг,е> не убывает по г. получить верхнюю границу в виде соответствующего интеграла Леоега-Спшгьеса:

Е ЖР„.90) 1 ' '

(О;*

5. Состоящая из четырех параграфов гл. 4 посвящена применению полученных выш результатов к одной из задач корреляционно-экстремальной навигации.

Именно Сом. £ 1). рассматривается задача оценивания 2-мерного "вектора сдвига" « Свектора ошибок, с которым инерциальная навигационная система СИКХ» летательного аппарата ОТО определяет его горизонтальное местоположение в прямоугольных координатах на поверхности Земли) по замерам высот рельефа в точках вертикально под ЛА.

В этой задаче множество возможных значении вектора 'Сдвига в . Г-°; С я известно), показания высотомера ук в дискретные моменты »¡»...ени ^. к 1. описываются регрессионной моделью (1),' где

■ Ио<*к+ V • 123>

Ь0: к2 —» - поле рельефа местности. хк е кг - рассчитанное ШЗ и содержащее ошибку Рд местоположение ЛА. причем выполнено условие х4 е (;1 « гарантнруто.ее. что в к~й момент времени ЛА находился над квадратом к . го;И2 местности. для которого в памяти сортового компьютера ЛА имеется цифровая карта рельефа СЦКР) - 2-мерный массив

Ь • 6х • ЦБ, 1.5 - О ;5.

высот рельефа К0 в узлах равномерной сетки Г . {(¡бх.л^хп и -о;б}. Истинная функция регрессии ^(б) С53) известна не полностью Са лишь в тех точках в, для которых хк+в е. Ю, ив качестве эталонной функции регрессии предлагается использовать

<> - ЫХк+в,Хк), 424)

где Ь(х,х) - "эталонное" поле рельефа, которое для любого фиксированного х е ^ приближенно восстанавливает истинное поле рельефа Ь0(50 при х е х+0 " (х+Э; в £ о) с к с ошибкой восстановления, допускающей Сна основе; постулируемой щжнадлежности Ь0: к —» к' какому-либо функциональному классу) верхнюю оценку г

1Н1Х-+0,X; - И01Х+Р)1 4 71«,X), X е е е е. 125)

Эталонное поле рельефа Мх.Х), удовлетворяющее соотношеншо

Ьи+в,Х) • аТи) Ь(0) + С1Х). X £ бе«, (26)

Сгде функции а; —» к" и с: к^ —> к1 строятся на основе ЦКР. Ь; 9 —> к* - вектор то гп линейно независимых функций на в, среди которых нет тождественной константы) приводит к С £4), имеющей

связную структуру С9). в которой ак ■ а(Хк), ck - cixtJ. причем в

силу (25) неравенство (6) выполняется с 7 tej - rte.x ).

• • *

В 4 2 приводится весьма оседая квазнполиномиальная схема построения эталонного подя рельефа hix.X), удовлетворяющего (26).

В 5 3 излагается частный вариант этой схемы, согласно которому эталонное поле рельефа h(x.x) имеет вид 2-мерного полинома Берн-иггеина, построенного по участку ЦКР для квадрата ГЦх). являющегося мшпшальным квадратом с Еершинами в узлах сетки г.. содержащим в cede квадрат Характеризующая точность такой аппроксимации функция 7; —' R* (.35) строится в предположении принадлежности поля рельефа hc фуимцгональндглу классу щк.Я) из 4 1 гл. 6. Предлагается процедура расчета по 1£меицеися ШР величины я, на которую можно ориентироваться, задавая константу я при постулировании принадлежности h0 е н(к,Я) (процедура асимптотически корректна в той смысле, чт если функция hQ дважды непрерывно дифференцируема на квадрате к. то при сгущении сетки к Ох—» +о) н стремится к определенном в § 1 гл. 6 величине &то при-

водит к трек? вариантам называемой по традиции корреляционно-ькст-ремальнои навигационной системы CKSHC), в которых оценивание вектора сдвлга осуществляется с помэедью описанных в гл. 2 РЯ1-. МНК-п ММ-алгоритмов. качество которых жжет оьггь исследовано с помо-ссью разргоотакных в гл. 3 процедур шгриоркого анализа точности оценивания.

В s 4 приводятся результаты численных экспериментов по анализу описанных в з 3 вариантов КЭШ. Анализ осуществлялся не имитационным моделированием на основе метода Мзкте-Карло, а с помоиьп процедур априорного анализа точности оценивания гл. 3, программно

реализованных для этих целей на компьютере ibh pc/at - гае.

6. В состоял/ai из пяти параграфов гл. 5 проводится аналто предельного поведения описанных в гл. 2 PJÏÏ1-, МНК- и КМ-оценок параметра регрессии в пчгатетнчвскои ситуации, характеризующейся неограниченным накоплением наблюдении. Излагаемый здесь материал опирается на результаты гл. 3 и содержит достаточные условия, обеспечивающие "гашение" случайной составляющей, влияющей на оценку, при накоплении наблюдений, в результате чего поведение, оценки параметра регрессии определяется независящим от случая неизвестным фактором, проистекающим из наличия неопределенности в знании истинной функции peipecciai. Это приводит к ряду оптимизационных задач, две из которых, касающиеся РЛП- н МНК-оценивания, рассматриваются в S» 2, 4.

В S 1 для РЛП-оценки о С14) параметра в0 показывается (теорема 1), что при выполнении условия

»«ев j • оц;^21РКиртн. n -» 127 j

а также какого-либо из условий

lim {*„ ».„1Р КЖРJÎ • О . (28)

M ®

гауссовость шума наблюдения \

f (29)

*и„ж1р к„р) ■ 0(1/1пм), n -» }

множество

<Veo+*,; xER" " iiSi ,р ки А» "¡¡'

к -tt®

сгн(в0) » ик(фявляется наименьшим среди замкнутых множеств Асе, для которых последовательность с. в. mîn le -*! схо-

X Ь А

дится при н —» +ю к нулю по вероятности - если вьполнено С28), и

с вероятность!) 1 - если выполнено С29). Поэтому при вьшолнении С 27) и хотя du одного го условии С 28). С 29) предельное поведение РЛГ!-оценкп вя при N —► 4® характеризуется (в духе принципа гарантированного результата) множеством <Чво):

- {П0(Р+х»: хец0)1 , (30)

где

Ц<») . {xeRn; Э r»(7kJikI; lTtli;ktO) и (31)

1 ifw IP К, Аи R~1 Г^ - xl-O) .

N —>♦»

При наличии положительной монотонно стремящейся к +® последовательности (<•„},,,, С она названа нормирующей), обеспечивающей для матриц Еи С12) соотношение

lira юГ* Ты) . t о . (32)

и-»,® " "

условия С27) С29) при dec I >о эквивалентны соответственно следующим :

• ). N —>-*»,. 133;

*и * olV' н ** • 1341

(35 >

гауссовость пума наолюдения *и ' о1"к/ ,пМ' • N —» +« а множество цв) С31) приобретает вид

H9J • й Г1 lo<0; ,

где '

L„10) - {X€R": 3 r»U„)kil: lTkU7,,(0) И Ни •

Щ —

В $ 2 рассматривается задача оптимального выоора эталонной

к.ф. te (rJk t>l из заданного семейства сводящей к шнимуцу максимальную предельную ошиоку ГЛП-оценивания параметра регрессии:

л ^

sup {10-01: вев(в.г). «») —» min, х с* .

В I 3 рассматривается предельное поведение МНК-оценки 9 С15) в случав существования нормирующей последовательности С32?. В рамках условия С33) доказывается (теорема 1). что при выполнении соответственно (34) или (IS) справедгасвы соотношения-. .

Ию *{»„ с «не >) • i, r( n U ес éte )} • i ,

К ~»»в " " til Ni»

в которых множество »l«0) имеет вид

. U Arg min {а21в,9)-2хтЬ1в)> ,

где полуметрика

в1в,.в2) - «btAjJ-b^jJIIj. . КЗй)

Тем самым, множество »ie> характеризует предельное поведение МНК-оценки при N —> +*, принимая в случае точно известной функции регрессии более простой вид:

«(в) - АГО »in Gie,0) .

в Е в

В S 4 для случая точно известной функции регрессии рассматривается задача построения минимальной сетки перебора, обеспечивающей ШК-оценивание параметра регрессии с максимальной предельной ошибкой, непревышающей заданную величину с > о:

card 0 —> min 137)

при ограничении

sup в e Arg minJK e,»), e e s t, Sc», С 38)

вев

Задача (37), (38) является обобщением классической задачи построения минимальной e-сети компакта е (эти задачи совпадают в случае, когда GCe ,е Э • х ie,-s2i, ЮО), При определенных условиях получено уравнение (имеющее вид дифференциального включения в частных производных) для нахождения субоптимального (оптимального в некотором асимптотическом смысле) решения задачи (37) ,• (38) в широком классе сеток, которое легко решается в случае, когда функция (36) зависит лишь от разности своих аргументов: GC& ,»g) = G^Ci^-ep. Построение сусюпгимальной сетки перебора продемонстрировано на примере задач!: МНК-оценивания многомерного параметра фаз гармонического сигнала (л эталонной к.ф. шума наблюдения на основе стационарной АРСС-модели порядка (p,q)).

л л л

В 5 S рассматривается поведение MW-оценки в( = (sj, tj) (16), С 20) прк N —« +ш в случае существования нормирующей последовательности (32). В рамках (33) и условия

V s е в, det <BTCs) Е BCs)) > О показывается, что при выполнении (34) или (35) это поведение можно охарактеризовать множеством еС^):

«Се) = у |(sr,^(P5(s,T,x)))T; s е Агдлт1лл J(s,t,x)| , х е L0U) s е ei

JcS.r.xi = ..acS, О«¿-escSjKC^B-CsDe + +

_ «"N л л л

+ 2 хТ (BCs) KCs) В (s) s - I ) i(s,t) ,

#(s,i,x) = i-K(s)BTCs){S5Cs,r)-x), K(s) = {B^fflCs))'1 (здесь a . (sT,tT)T e t», t « Csr,ßr)\ ß > b(t)).

7. В состоящей га трех параграфов последней гл. 6 диссертации приводятся результаты, использованные как вспомогательные в предыдущей части работы.

В § 1 списывается способ приближенного восстановления функции И: о —> к1 на кубе о с 1!" по ее значениям в узлах заполняющей этот куб равномерной сетки с помощью п-мерного аналога классического полинома Бернштвина. Точность такого восстановления анализируется в предположении принадлежности И функциональному классу що,и) С¡^ * о - некоторая константа), определяемому следующим образом. Н(О.я) состоит из тех и только тех дважды дифференцируемых на <а функций Ь, для каждой из которых найдутся симметричные матрицы и. V « с нулевой главной диагональю такие, что:

*хе<э -Й I + и -< аг)|/аЛ5лт ~< н г + V .

л п

В теореме 1 получена верхняя оценка для сшибки аппроксимации функции Ь е щц,я) описанным способом. Эта оценка неулучшаема в классе 14Q.Fi 1 и остается справедливой при замене в неп константы я на величину

(^(<3,Ь) • 1 л^ (та: Ь е ию.иЛ .

Для целей § 3 гл. 4 получен явный вид функционала в^сз.Ь) при п ■ 2 Стеорема 2).

В § 2 излагается метод генерации однородного случа!шого поля Ь(.х). к е к", с заданной непрерывной к. ф. К: к"—» к1 и реализациями, удовлетворяющими условиям апериодичности и ограниченности Споследняя понимается в смысле выполнения с вероятностью 1 неравенства 1Ьи>1 * * / МО), где * - задаваемый параметр "вых е К"

броса"). Метод использовался для и.кусственного моделирования ре-

льефа местности при проведении численных эксперт,ентов, описанных в § 4 гл. 4.

В § 3 рассматривается задача оптимизации

Idet Ml—» max (39)

на множестве невырожденных матрргц н с RnX", удовлетворяющих условию

max jly-xl; у е Arg rain lz-хй,, х е Rnl с , (40)

1 z£MX" л '

где положительно определенная матрица а е кп*п и число к > о заданы. Эта задача является обобщением классической задачи построения наиболее редкой решетки н i" с радиусом покрытая с пространства Rn Сэти задачи совпадают лишь в случае скалярной матрицы д .

> > о). Для произвольного п получены решения обобщенной задачи С 39), С 40) в двух специальных классах матриц м Стеорема 1), а в двумерном случае и . гс помощью метода диаграмм Вороного получено явное решение,1 оптш-альное среди произвольных матриц' (теорема 3). Материал этого параграфа необходим для целен § 4 гл. 5.

Заключение

Основные результаты диссертационной' работы состоят в следующем:

1) Разработаны процедуры априорного анализа точности РЛП-, Mtffi- и мМ-алгорптмов оцейюания параметра, использующих связную эталонную функцию регрессии, которые позволяют, не прибегая к трудоемкому имитационному эксперименту Монте-Карло, получать в условиях частичной статистической неопределенности гарантирован-

ные верхние граннцы С усиленные при дополнительном предположении гауссовости шума наблюдения) для квантилей ошибки оценивания и для функций риска относительно потерь весьма общего вида. Процедуры применимы для произвольного конечного объема выборки наблюдений:

2) Предложены три варианта КЭШ. в которых оценивание вектора сдвига основано на аппроксимации поля рельефа 2-мерными полиномами Бернштеша и использовании РЛП-, МЖ- и ММ-алгоритмов. К оценке качества функционирования этих вариантов применены разработанные процедуры априорного анализа точности оценивания;

3) Для случая бесконечного накопления наблюдешш и точно известной функции регрессии рассмотрена задача построения минимальной сетки перебора, обеспечивающей МНК-оценивание параметра регрессии с ошибкой, непревышающей заданный уровень. Получено уравнение (в виде дифференциального включения в частных производных) для нахождения субоптимального Соптимального в определенном асимптотическом смысле) решения этой задачи в широком классе сеток. Построение суооптимальной сетки перебора продемонстрировано на примере МНК-оценивания многомерного параметра фаз гармонического сигнала, обрабатываемого на основе стационарной АРСС-модели для шума наблюдения;

4) Разработан метод генерации однородного случайного поля с заданной ковариационной функцией и реализациями, удовлетворявшими условиям апериодичности и ограниченности. который может использоваться для искусственного моделирования геофизических полей сложного характера.

ИТГЫ -£ 6 Ме-тиии «■ • № ^/з-М

"И^^сЛои^ Ь вО ^^ .