Анализ излучения двумерных идеально проводящих структур методом интегральных уравнений

Алашеева, Елена Александровна

Анализ излучения двумерных идеально проводящих структур методом интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Алашеева, Елена Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Анализ излучения двумерных идеально проводящих структур методом интегральных уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Анализ излучения двумерных идеально проводящих структур методом интегральных уравнений"

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

На правах рукописи

Алашеева Елена Александровна

АНАЛИЗ ИЗЛУЧЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИХ СТРУКТУР МЕТОДОМ, ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

00346 ШЬ 1

003461051

На правах рукописи

Алашеева Елена Александровна

АНАЛИЗ ИЗЛУЧЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИХ СТРУКТУР МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Работа выполнена на кафедре высшей математики государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Научный руководитель:

- доктор физико-математических наук, профессор,

Блатов Игорь Анатольевич

Официальные оппоненты:

- Заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор,

Раевский Сергей Борисович

- кандидат физико - математических наук, Клюев Дмитрий Сергеевич

Ведущая организация:

Самарский государственный университет, кафедра радиофизики

Защита диссертации состоится (¿¿Ь^ШМлР 2009г. С?0. часов на заседании диссертационного совета Д 219.003.01 в Поволжском государственном университете телекоммуникаций и информатики по адресу: 443010, г. Самара, ул. Льва Толстого, 23.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью учреждения, просим выслать по адресу: 443010, г. Самара, ул. Льва Толстого, 23,

С диссертацией соискателя можно ознакомиться в библиотеке Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики

(ПГУТИ)

ПГУТИ.

Автореферат разослан »-¿¿¿¿¿УЕ-у* ■ ____2009 г.

Ученым секретарь

диссертационного совета Д 2 19.003.01. доктор физико - математических наук-

Осипов О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы к состояние вопроса. Существует огромное количество методов по решению задач дифракции. Широко известны различные приближенные (асимптотические) методы: геометрическая оптика, физическая оптика, метод краевых волн, метод краевых токов. Такие подходы к решению задачи описаны в работах Драбкина A.J1., Зузенко В .Л. [JI7], а также у Фрадина А.З. [JI17], Все они хороши и эффективны для решения отдельных типов задач. Наиболее широкий круг проблем охватывает метод интегральных уравнений. Данный метод заключается в сведении задачи дифракции к уравнениям Фредгольма первого или второго рода и последующему решению полученных уравнений. Еще В.Д. Купрадзе [Л 19] в 50-х годах свел плоские задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих цилиндрических телах к одномерным интегральным уравнениям второго рода. В. А. Фоком в 70-х годах было получено векторное интегральное уравнение для задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящем трехмерном теле относительно плотности электрического тока, наводимого на теле падающей волной [Л 16].

В последние десятилетия довольно активно развивается такая наука, как вычислительная математика. Соответственно появилось множество методик по решению интегральных уравнений, наиболее распространенными из которых являются различные модификации метода моментов. Наиболее полное описание данного метода применительно к электродинамическим задачам представлено в работе Р.Ф. Харрингтона [Л 18].

Учеными разработано огромное число различных систем базисных функций (базисы подобластей и базисы полной области) и методов решения систем алгебраических уравнений, возникающих при дискретизации интегрального уравнения (прямые методы, итерационные методы, применение разреженных технологий) [Л2, Л9, Л13, Л14].

Однако все выше описанные методики встречаются в литературе в основном для решения задач дифракции, сводимых к одномерным интегральным уравнениям. И практически нигде не описаны оценки эффективности существующих алгоритмов и четкие методики решения задач дифракции, сводимых к двумерным интегральным уравнениям, соответствующие современному развитию науки и техники. Данные задачи решались численными методами путем уменьшения порядка матриц, с помощью некоторого математического аппарата. Позднее такой подход был описан в работах Захарова Е.В.. Ппменова (О.В.. Poggio А. 1.. Mayes Р. [Лб, Л8]. Однако в данных трудах не приведены результаты численных расчетов. Видится, что данный факт имеет место быть из-за отсутствия еше в середине 90-х годов быстродействующи.4, ')ВМ. Быстрый темп развития вычислительной техники за последнее десятилеi не позволяет более глубоко исследовать проблем), сделать пере-оценк) с\шествующих методик н разработать новые.

Сведение задачи дифракции к системе двумерных интегральных уравнений Фредгольма подразумевает более общее решение поставленной задачи, т.к. появляется возможность отказаться от специальных систем координат. Кроме того, отпадает необходимость выбирать среди всех возможных решений дифференциального уравнения частное решение, удовлетворяющее данной задаче. В данном случае прямо получается единственное решение, за исключением тех редких случаев, когда уравнение имеет бесконечно много решений или не имеет решения.

Еще одним толчком для исследования двумерных задач дифракции послужил ряд открытий в области вычислительной математики. Например, вейвлет-функции появились сравнительно недавно, в середине 80-х годов, и завоевали популярность в связи с рядом преимуществ перед классическими ортогональными системами функций, включая тригонометрические полиномы, ряды Фурье, алгебраические полиномы, для широкого круга задач. Математическая теория \уауе1е1-систем была описана в работах К. Блаттера, К. Чуй, Ма11а1 Если использовать вейвлет-функции в качестве базисных, то матрицы линейных систем, возникающих при дискретизации интегральных уравнений оказываются псевдоразреженными (т.е. близкими к разряженным) [ЛЗ]. Это обстоятельство делает перспективным применение \vavelet-CHCTeM для численного решения многомерных интегральных уравнений. Методы работы с псевдоразреженными матрицами широко отражены в трудах Блато-ваИ.А. [Л1].

Итак, в свете научно - технического прогресса в таких областях, как математика и информатика появились новые возможности для решения задач дифракции электромагнитных волн. Поэтому проблема актуальна в настоящее время.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка математических моделей двумерных идеально проводящих излучающих структур на основе математического аппарата двумерных интегральных уравнений, а также разработка нового эффективного алгоритма решения двумерных интегральных уравнений, к которым сводятся внутренние электродинамические задачи для следующих излучающих структур:

- идеально проводящий плоский экран;

- зеркало в форме параболического цилиндра;

- зеркало в форме параболоида вращения,

возбуждаемые элементарным электрическим излучателем (ЭЭИ) и элементарным магнитным излучателем (ЭМИ).

Основные задачи работы:

Фурье), методом Галеркина с использованием базисов подобластей (сплайно-вого и вейвлет-базиса);

- разработка метода решения задачи расчета распределения поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на идеально проводящий плоский экран;

- разработка метода решения задачи расчета распределения поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало "в форме параболического цилиндра;

- разработка метода решения задачи расчета распределения поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболоида вращения.

Методы исследования. В работе использованы методы вычислительной электродинамики, вычислительной математики, уравнений математической физики, функционального анализа, дифференциальной геометрии.

Численные эксперименты реализованы на ЭВМ в среде визуального программирования Delphi. Также был использован пакет Mathematica.

Научная новизна диссертации:

1. Разработана методика расчета излучения двумерных проводящих структур, возбуждаемых ЭЭИ и ЭМИ, с применением численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, имеющей смысл граничного условия для тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности, образующей структуру.

2. Разработан алгоритм численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом Галеркина с использованием в качестве базиса полной области двумерного ряда Фурье.

3. При помощи разработанной методики получен ряд численных результатов анализа характеристик излучения двумерных проводящих структур с внешним возбуждением различной конфигурации (плоский экран, зеркало в форме параболического цилиндра, зеркало в форме параболоида вращения), а именно графики распределения поверхностной плотности тока на данных структурах.

Обоснованность и достоверность результатов работы. Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. Вывод непосредственно интегральных уравнений корректен с формальной математической точки зрения. Используемый численный метод решения интегральных уравнений получен на основе классических описанных в литературе методов [Лб]. Контроль результатов осуществлялся исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов; анализом физического смысла решении.

Практическая ценность работы. Результаты, полученные в диссертации. имеют большое значение применительно к вопросам, связанным с практическим применением рассмотренных антенн для излучения и приема электромагнитных воли. В частности, разработанный в диссертации метод расче-

та может быть обобщен на случай более сложных зеркальных антенн. Разработанные математически обоснованные электродинамические модели двумерных проводящих структур могут быть использованы в задачах синтеза сложных антенных конструкций. Полученные результаты могут быть использованы как справочные данные при проектировании зеркальных антенн. Предложенные алгоритмы расчета антенн могут быть использованы при разработке систем автоматизированного проектирования различных антенно-фидерных устройств.

Положения, выносимые на защиту:

1. Методика анализа излучения двумерных идеально проводящих структур, возбуждаемых ЭЭИ и ЭМИ, с применением численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, включающая:

- формальное представление сторонних источников в рамках сформулированной электродинамической задачи;

- алгоритм преобразования координат и специализации уравнений в задачах об излучении структур различного вида - в виде плоских экранов, зеркал в форме параболического цилиндра, зеркал в форме параболоида вращения.

2. Результаты исследования влияния вида базисных функций на показатели эффективности алгоритма численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

3. Эффективный алгоритм численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом Галеркина с использованием в качестве базиса полной области двумерного ряда Фурье;

4. Результаты расчета распределения поверхностной плотности тока на двумерных проводящих структурах различной конфигурации (в виде плоских экранов, зеркал в форме параболического цилиндра, зеркал в форме параболоида вращения) с внешним возбуждением.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования опубликованы в сборниках докладов XI,XII,XIII,XIV и XV Всероссийских научных конференций профессорско - преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГАТИ (Самара, 2004 г., 2005 г., 2006 г., 2007 г., 2008 г. соответственно), в сборниках трудов II, 111, IV Всероссийских научных конференций «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005 г. 2006 г., 2007 г. соответственно), в сборниках трудов V и

VI Международных научно-технических конференций «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2006 г. и Казань. 2007 г.),

VII и VIII Международных научно-методической конференций «Проблемы техники и технологии телекоммуникации» (Самара. 2006 г. и Уфа. 2007 г.), а сборнике материалов воронежской зимнем математической школы С.Г. Крей-на. (Воронеж. 2008 г.). в сборнике материалов воронежской весенней мате-

матической школы «Современные методы теории краевых задач», (Воронеж, 2008 г.)

Публикации. По тематике диссертационных исследований автором опубликовано 15 печатных работ. Основные научные и прикладные результаты опубликованы в 4 статьях в периодических научных изданиях, два из которых включены в перечень ВАК, и в 1 I публикациях в форме тезисов докладов, 3 на российских и 8 на международных конференциях и семинарах.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Основная часть работы содержит 146 страниц, включая 102 рисунка и 6 таблиц. Список литературы содержит ¡53 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор работ по теме диссертации, сформулированы цель и основные задачи исследования, описан состав и структура работы, определены ее новизна и практическая ценность.

Глава 1 «Разработка электродинамических моделей явлений и процессов, связанных с излучением двумерных идеально проводящих структур» посвящена непосредственно выводу уравнений отражающих модели задач диссертационного исследования.

В разделе представлен классический метод сведения различных задач дифракции к интегральным уравнениям. Кроме того, отмечены преимущества метода интегральных уравнений для решения подобных задач по сравнению с другими методами. В частности асимптотические методы имеют следующий недостаток: до сих пор нерешен вопрос о точности асимптотического решения и границах его применимости. Разработка численных методов решения задач дифракции открыла широкие возможности для анализа влияния поверхностей произвольной конфигурации на структуру электромагнитного поля. При этом возникла проблема создания общих вычислительных алгоритмов, позволяющих исследовать широкий класс задач. Методы, разработанные на основе применения различного математического аппарата, жестко связаны с определенными классами незамкнутых поверхностей и неприменимы для поверхностей произвольной формы. В этом отношенни универсальным математическим аппаратом являются интегро-дифференциальные уравнения, которые позволяют подойти с единых позиций к анализу дифракции радиоволн на поверхностях произвольной формы.

Далее в работе представлен общий принцип построения интегральных уравнении для электродинамических задач, который затем применяется для моделирования задач диссертационного исследования. Особенность данной модели заключается в том. что задача рассеяния электромагнитного поля тонким телом исследована не как краевая задача для неоднородного уравие-

ния Гельмгольца, а как система интегральных (интегро-дифференциальных) уравнений (ИУ), относительно поверхностной плотности тока или тангенциальных компонент суммарных электрического или магнитного полей. Система ИУ может быть получена из интегральных соотношений для векторного или скалярного потенциалов вторичного поля.

Пусть элементарный излучатель находится в точке с координатами г' = {а-',у',г'] (рис. 1) вблизи проводящего тела. Амплитуда тока, возбуждающего излучатель /, длина излучателя /. Здесь и далее штрихованные координаты обозначают точки источников первичного поля.

Геометрические параметры задачи приведены из рис. 1. г = |а',1', г} - радиус - вектор точки наблюдения, г' = у', г'} - радиус - вектор точки источника.

г" = радиус - вектор точки на поверхности экрана.

При выводе ИУ воспользуемся граничным условием для магнитного поля [Л6] на поверхности проводящего тела:

НтО-Ня=0, (1)

где НГ1) н /Уг5, соответственно, тангенциальные компоненты вектора напряженности первичного магнитного поля и поля рассеяния на поверхности .9.

Для тангенциальной компоненты магнитного поля рассеяния справедливо выражение [Л 10]:

¡Js{r")>■ .?")}'с/Б, (2)

где/¿-(г") - вектор плотности тока на поверхности S, « - вектор нормали в

точке с координатами r\ G(r,r") - ехр(-/-к-|г-'~"|)/(4л|г-г"|) - функция

Грина для свободного пространства, к =2я'А - волновое число. Штрих у оператора grad в (2) указывает на то, что дифференцирование производится по координатам г".

Выражение (2) с учетом граничного условия (I) можно представить в

виде:

"(го)*й0(г0)=л(г0)х

х lim f/y(r")x[gradG(r,?")]'-dS. (3)

где r0 - текущая координата на поверхности S.

Вычисление предела в (3) с помощью теории потенциалов [J15] приводит к следующему интегральному уравнению:

- {/sH^feradCiFfl.F')! W

Векторное уравнение (4) можно представить в виде совокупности двух скалярных уравнений следующим образом. Введем два ортогональных базисных вектора в плоскости, касательной поверхности S, таким образом, что

Очевидно, что введенные орты соотносятся между собой следующим образом:

т,{?„)х п{?п) = -г2(г0), х2(гп)х п(гп) = г/(Fn). (6)

• Тогда (4) распадается на два уравнения относительно двух ортогональных компонент вектора плотности тока:

Г?Ой)" Ho{'-n)=-^ri(':o)-js(rn)-

- J^iiyjJ-VsH^radCfe.r'JijrfS

■{rn )• н о ('?))=- 4 ('7,) • ./.s' ('"о)н

/г/ (гд)- {7sferad .Г-)] )flK.

(7)

(8)

В зависимости от вида элементарного излучателя левые части уравнении 0>>лут иметь различный вид. В работе представлены формулы для следующих

видов излучателей: вертикального ЭЭИ, горизонтального ЭЭИ, вертикального ЭМИ, горизонтального ЭМИ.

Глава 2 «Разработка алгоритмов решения двумерных интегральных уравнений относительно распределения поверхностной плотности тока на зеркалах различной конфигурации» посвящена выбору наиболее эффективного алгоритма для решения задач диссертационного исследования. Решение электродинамической задачи можно разделить на три этапа:

- получение математических соотношений между интересующими нас физическими величинами;

- введение определенных ограничений на поведение полей и источников на соответствующих поверхностях;

- получение численных результатов.

В работе в виде таблицы присутствует сравнительная характеристика следующих видов метода моментов: метод Галеркина (метод Бубнова - Га-леркина), метод наименьших квадратов, метод разделения области. В данной таблице отражены преимущества и недостатки каждого из методов:

- метод Галеркина удобен тем, что базисные функции совпадают с весовыми;

- метод наименьших квадратов удобен тем, что матрица системы, получаемой при дискретизации уравнения симметрична, однако существуют ограничения в его применении, например, в случае вибратора с плоскими торцами имеется известная особенность на ребре, наличие этой особенности приводит к ошибкам в определении величины рассеянного поля вблизи торцов;

- метод разделения области удобен тем, что при выборе весовых функций в виде дельта - функций все интегрирование сводится лишь к вычислению интегрального оператора.

При дискретизации уравнения в процессе решения его методом моментов часто возникают СЛАУ довольно высоких порядков, решение которых, в свою очередь занимает достаточно долгое время. Поэтому существенная часть раздела посвящена описанию приближенных методов: метод разряженной матрицы и итерационные методы. В рамках представления данных методов в работе разработан оригинальный алгоритм с использованием открытых недавно вейвлет - функций, который приводит к применению разряженных технологий. Это возможно из-за особенностей вейвлет - базиса (рис. 2), т.к. одни его элементы малы по абсолютной величине по сравнению с другими.

Данный алгоритм можно применять для решения задач диссертационного исследования, однако более разумно применять его для моделирования более сложных антенных структур, например самолетных антенн.

Далее в главе представлено описание двух видов систем базисных функций: базисы полной области (базисные функции определены на всей области определения интегрального оператора) и базисы подобластей (базисные функции финитные). В работе отмечено, что системы базисных функций полной области наиболее эффективно использовать в случае предполагаемого гладкого решения электродинамической задачи, а базисы подобластей, напротив, лучше использовать в случае получения предполагаемого негладкого решения. Кроме того, выделены особенности решения двумерной задачи: здесь пространство рассматривается как тензорное произведение подпространств (9), что существенно увеличивает порядок получаемой СЛАУ.

¿ = ¿д. х 1у (9)

Глава содержит множество примеров базисных функций подобластей и полной области. В качестве примера автором представлен алгоритм для решения задачи диссертационного исследования с использованием в качестве базиса сплайновых функций.

где tpi(x),(pj(y) - сплайны степени т-1 дефекта 1 (линейные сплайны) (рис. 3):

Рис. 3

В последней части главы выбран метод решения задач диссертационного исследования: метод Галеркина, т.к. в данном случае базисные функции совпадут с весовыми, что существенно упрощает алгоритм решения поставленной задачи. В качестве базисных функций наиболее рационально использовать разложение искомой функции в двумерный ряд Фурье, т. к. при таком выборе базис по форме близок к ожидаемому результату, что значительно снижает порядок матрицы импедансов, получаемой при дискретизации интегрального уравнения. Кроме того, в данном случае область определения интегрального оператора довольно проста, поэтому можно выбрать базис полной области. Применение двумерного ряда Фурье позволяет значительно снизить время на вычисление, по сравнению с применением вейвлет - базиса и сплайнового базиса.

Решение поставленной задачи ищется в виде:

,, 2л 2л 2л

J{x,y) = a¡ +а-> cos-х + sin — х + а4 —cos у +

Л Л Л (]1)

2л 2л . 2л 2л

+ о? cos-—хcos — v + а,< sin —„reos— v +.... Л Л ' 6 Л л

где Л длина волны.

Глава 3 «Расчет распределения поверхностной плотности тока на зеркалах различной конфигурации» посвящена непосредственно численному решению задач электродинамики разработанными методами.

В итоге автором был разработан алгоритм по вычислению распределения поверхностной плотности тока на следующих структурах:

- идеально проводящий плоский экран (рис. 4):

- зеркало в форме параболического цилиндра (рис. 5):

- зеркало в форме параболоида вращения (рис. 6).

Рис. 4

4 1

' 1 У

-V

Рис.5 Рис. 6

В алгоритме были учтены особенности каждой поверхности. В диссертационной работе представлены формулы по коррекции алгоритма с учетом данных особенностей.

Глава содержит преобразования уравнений выведенных в первом разделе с целью наиболее удобной реализации на ЭВМ алгоритма их решения.

Рис. 7

Рис.8

При расчетах полагаем г/(гп)= хи , г:(/-„) = у о , «('(>)= -/,

На рис.7 представлено нормированное распределение поверхностной плотности тока у на идеально проводящем плоском экране: 0. = ахЬ,А = а,

а = Ь = 2 м,Г = {0,0,0.25с/} . В качестве облучателя использован вертикальный ЭЭИ.

Расстояние между экстремумами (пучностями плотности тока) равно половине длинны волны, что соответствует физическому смыслу. Полученное распределение плотности тока полностью симметрично, как и ожидалось, т.к. вертикальный излучатель расположении строго над центром облучаемого плоского экрана квадратной формы.

На рис.8 представлено распределение поверхностной плотности тока /

на зеркале в форме параболического цилиндра г = а-' , у <= [-0.5«,0.5а],

А = а,а = I м,г' = {0,0,0.25а} .

В качестве облучателя использован вертикальный ЭМИ.

Рис.9 Рис.10

На рис.9 и на рис.10 представлены сечения нормированного распределения плотности тока вдоль осей х0 и у0 соответственно. Расчет производился для зеркала в форме параболоида вращения, заданного уравнением г = х2 + . д- е [- а. а], у е [- а, я], а = / м. В качестве источника выбран вертикальный ЭЭИ. который находится в точке г' = . Длина волны

А = а. По данным рисункам можно сделать следующий вывод: в случае вертикального излучателя сечения по двум различным направлениям поверхности плотности распределения тока совпадают

В глине 4 «Исследование электромагнитных полей реальных излучающих структур» проведен расчет распределения тока реальной структуры -параболической антенны. В качестве облучателя рассматривается открытый 14

конец волновода, направленный на зеркало параболической антенны (рис. 11). Данный источник представлен как система элементарных излучателей.

Рис. 11

Каждый из них имеет свою длину : _г/ = /; х2 = / - Лх и т.д. Чтобы найти решение данной задачи надо решить свое уравнение для каждого излучателя, а потом найти суперпозицию полученных токов:

7=1,7,-. (12)

где п - число излучателей в системе, /у - поверхностная плотность тока,

являющаяся решением системы уравнений Фредгольма для / - го излучателя.

На рис. 12 представлено сечение нормированного распределения поверхностной плотности тока вдоль оси х^, раскрыв зеркала £> = 100 см, длина

волны А = 10 см.

Из представленных результатов (рис.12) можно сделать вывод, что распределение поверхностной плотности тока при облучении параболического зеркала системой облучателей по форме будет таким же, как и при облучении зеркала элементарным излучателем.

Рис.12

При дальнейшем исследовании математической модели для расчета пространственного распределения значений вблизи апертурных антенн требуется знать нормированную характеристику направленности апертуры, а также её гарантированную огибающую.

Выражение, которое позволяет рассчитать характеристику направленности г(в, д) на любом расстоянии от апертуры, имеет вид:

1тка п О

I-

кг [кг)2

х| — Б1П0СО5^ - — СОБ Р | — СОБ^СОБ^ ~ /3) + Г г I г

кг {кг)2

-¡кг

соьвсо

где

£(Ар) = А + (/ + д)

кг

-§(кр)кр

с!{кр)с1р' СЗ)

; г = д//?2 + р~ -2Кр^т всо${(р- р), явля-

ется интегралом от быстро осциллирующей функции. Здесь а - радиус апертуры, М-точка источника, Р-точка наблюдения, г,Я,6,р,р,<р - геометрические параметры задачи, смысл, которых понятен из рис.13.

Процесс вычисления по формуле (13) требует больших временных затрат. В данной главе представлен алгоритм, позволяющий ускорить этот процесс. Смысл данного алгоритма в замене выражения при экспоненте линейным или кубическим интерполянтом и дальнейшем применении алгоритма по вычислению быстро осциллирующих функций.

Рис. 13

В заключении сформулированы основные научные и научно-практические результаты работы.

Итогом работы является разработка эффективных методов расчета поверхностной плотности тока на следующих поверхностях: идеально проводящем плоском экране, зеркале в форме параболического цилиндра, зеркале в форме параболоида вращения, диаграммы направленности параболической антенны, а также её гарантированной огибающей. Предполагается, что предложенные методики лягут в основу дальнейших исследований по решению двумерных задач дифракции.

Отмечено, что метод, разработанный в процессе данного исследования, отвечает следующим требованиям:

- алгоритм метода достаточно прост для программирования;

- поставленная задача решается за достаточно короткое время.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана электродинамическая модель для анализа излучения двумерных идеально проводящих структур, возбуждаемых ЭЭИ и ЭМИ.

2. Произведено сравнение трех методик анализа излучения двумерных проводящих структур с применением базиса полной области (двумерный ряд Фурье) и двух базисов подобластей (сплайновый базис и вей влет-базис).

.3. Разработана методика анализа излучения двумерных проводящих структур с применением численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, имеющей смысл граничного условия для тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности, образующей структуру.

4. Произведен расчет распределения поверхностной плотности тока на идеально проводящем плоском экране.

5. Произведен расчет распределения поверхностной плотности тока на зеркале в форме параболического цилиндра.

6. Произведен расчет распределения поверхностной плотности тока на зеркале в форме параболоида вращения.

ОПУБЛИКОВАНЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Алашеева, Е.А. Быстрый алгоритм численного моделирования направленных свойств круглой апертуры [Текст]/Алашеева Е.А., Кубанов В.П., Сподобаев Ю.М., Блатов H.A././ Инфокоммунпкашюнные технологии. № 3 2004г.. стр. 6-10.

2. Алашеева. Е.А. Алгоритм адаптации для модельной сингулярно возмущенной задачи [Текст]' Алашеева Е.А..'/' Труды Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 20051.. стр. 18-20.

3. Алашеева, Е.А. Применение двумерных вейвлет-технологий для решения задач электродинамики [Текст]/ Алашеева Е.А.// Сборник трудов третей всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 2006г., стр. 16-18.

4. Алашеева, Е.А. Метод вейвлет-Галеркина для решения задач электродинамики Алашеева Е.А.// Сборник трудов пятой международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», 2006г, стр. 102-103.

5. Алашеева, Е.А. Решение задачи рассеяния электромагнитного поля элемента электрического тока проводящим экраном конечных размеров [Текст]/Алашеева Е.А., Блатов И.А., Маслов М.Ю.// Инфокоммуникационные технологии, №2, 2006г., стр. 8-14.

6. Алашеева, Е.А. Применение метода вейвлет-Галеркина к решению двумерных задач теории антенн [Текст]/Алашеева Е.А., Блатов И.АЛ Сборник трудов седьмой международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций», 2006г., стр. 253-255.

7. Алашеева, Е.А. Метод вейвлет-Галеркина решения интегральных уравнений Фредгольма в двумерных областях [Текст]/Алашеева Е.А., Блатов И. А.// Вестник Сам ГУ, №9, 2006г., стр. 24-29.

8. Алашеева, Е.А. Решение задачи дифракции на существенно двумерном теле с использованием вейвлет-базиса [Текст]/Алашеева Е.А., Блатов И.А., Маслов М.Ю.// Вестник СОНИИР, 2006г., стр. 11-15.

9. Алашеева, Е.А. Построение сплайновых вейвлет на прямоугольнике для решение двумерного уравнения Фредгольма второго рода методом Га-леркина [Текст]/Алашеева Е.А., Блатов И.А.// Сборник трудов четвертой всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 2007г., стр. 17-19.

10. Алашеева, Е.А. Решение двумерных задач Дифракции, сводимых к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода [Текст]/Алашеева Е.А., Блатов И.А., Маслов М.Ю.// Сборник трудов шестой международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», 2007г., стр. 174-176.

11. Алашеева, Е.А. Сравнительная характеристика применения различных базисов при решении двумерных задач дифракции, сводимых к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, методом Бубнова-Галеркина [Текст]/Алашеева Е.А.// Сборник трудов VIH МНТК «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций», 2007г., стр. 189-190.

12. Алашеева. Е.А. Применение вейвлет - анализа для решения задач дифракции [Текст]/Алашеева Е.А.. Блатов И.А.. Маслов М.Ю.// Сборник трудов VIII МНТК «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций». 2007г.. стр. 187-188.

13. Алашеева. H.A. Применение разреженных технологий при решении уравнения Фредгольма в двумерных областях | Текст | Алашеева Е.А.. Блатов

W.A.I! Сборник трудов международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования», 2007г., стр. 8.

14. Алашеева, Е.А. Применение разреженных технологий в моделировании антенных устройств [Текст]/Алашеева Е.А.// Сборник материалов воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна, 2008г., стр. 8.

15. Алашеева, Е.А. Сплайновые вейвлеты и численное решении задач антенного моделирования [Текст]/Алашеева Е.А., Блатов H.A., Рогова Н.В.// Сборник материалов воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач», 2008г., стр. 80.

ЛИТЕРАТУРА

Л1 Блатов, И.А. Об алгебрах операторов с псевдоразреженными матрицами и их приложениях [Текст]/ Блатов И.А.// Сибирский мат. журнал. Т. 37. N 1. 1996. стр. 36-59.

Л2 Блатов, И. А. Применение сплайновых вейвлет-функций к численному моделированию тонкопроволочных антенн [Текст]/ Блатов И. А., Пименов А. С., Юдин В. В // Инфокоммуникационные технологии. Том 1, №4, 2003. -

ЛЗ Блаттер, К. Вейвлет-анализ. Основы теории [Текст]/ Блаттер К - М.: Техносфера, 2004. - Пер. с нем. Т.Э. Кренкеля; под ред. А.Г. Коркчана.

Л4 Вержбицкий, В.М. Основы численных методов [Текст]/Вержбицкий В.М. - М. Высшая школа, 2005.

Л5 Владимиров, B.C. Уравнения математической физики [Текст]/Вла-димиров B.C., Жариков В.В. - М: Физ-мат лит., 2000.

Л6 Вычислительные методы в электродинамике. Под ред. Р. Митры; пер. с англ. Под. ред. Э.Л. Бурштейна. - М.: Мир, 1977. - 487 с.

Л7 Драбкин, А.Л. Антенно-фидерные устройства [Текст]/Драбкин А.Л., Зузенко В.Л. - Спб.: Госгортехиздат, 1961. - 816 с.

Л8 Захаров, Е.В. Численный анализ дифракции радиоволн [Текст]/ Захаров Е.В., Пименов Ю.В. -М.:Радио и связь, 1982

Л9 Завьялов, Ю.С. Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций [Текст]/Завьялов Ю.С., Квасов Б.И - М.: Наука, 1980.

Л10 Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн [Текст]/ Никольский В.В. - М.: Наука, 1973. -607с.

Л11 Никольский, В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики [Текст]/ Никольский В:В. - М.: Наука, 1967.

Л 12 Никольский, В. В. Антенны [Текст]/ Никольский В.В. - М.: Связь. 1966.

Л 13 Меганов. В.А. Метод сведения уравнения Поклингтона для электрического вибратора к сингулярному интегральном) уравнению [Текст]/

Неганов В.А., Матвеев И.В., Медведев С.В.// Письма в ЖТФ, Т. 36, Вып. 12,2000.-стр. 86-94.

JII4 Писсанецки, С. Технология разреженных матриц [Текст]/ Писса-нецкиС.-М.: Мир, 1988.-412 с.

J115 Фальковский, О.И. Техническая электродинамика [Текст]/ Фапь-ковский О.И. - М.: Связь, 1978.

Л16 Фок, В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн [Текст]/Фок В. А. - М.: Сов. радио, 1970.

Л17 Фрадин, А.З. Антенны сверхвысоких частот [Текст]/ Фрадин А.З. -М.: Советское радио, 1957. -647 с.

Л18 Harrington, R.F. Field Computation by Moment Method [Text]/ Harrington R.F. -Macmillan, New York, 1968 - 150 p.

Л19 Купрадзе, В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения [Текст]/ Купрадзе В.Д. - М.: Гозтехиздат, 1951. - 280 с.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Поволжский государственный университет телекоммуникации и информатики» 443010, г. Самара, ул. Льва Толстого 23.

Отпечатано фотоспособом в соответствии с материалами, представленными заказчиком

о ~ ■'•"""•г....... ' ' -

Подписано в печать 12.01.09r. Формат 60х84'/16 Бумага писчая№1 Гарнитура Тайме Заказ 263. Печать оперативная. Усл. печ. л. 1.17. Уч. изд. л.1.11. Тираж 120 зкз

.Отпечатано в издательстве учебной и научной литературы Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики 443090, г. Самара, Московское шоссе 77.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Алашеева, Елена Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

1. РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ, СВЯЗАННЫХ С ИЗЛУЧЕНИЕМ ДВУМЕРНЫХ ПРОВОДЯЩИХ СТРУКТУР.

1.1. Физическая интерпретация и формализация сторонних источников в электродинамических задачах, сводимых к интегральным уравнениям.

1.1.1. Задача дифракции электромагнитных волн. Потенциалы. Сторонние источники.

1.1.2. Граничные условия. Постановка краевой задачи.

1.1.3. Интегральное уравнение в теории антенн.

1.2. Общие принципы построения физических и математических моделей двумерных излучающих структур

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Вывод исходных уравнений.

1.3. Выводы по разделу

2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ ПЛОТНОСТИ ТОКА НА ЗЕРКАЛАХ РАЗЛИЧНОЙ КОНФИГУРАЦИИ.

2.1. Общие подходы к решению интегральных уравнений второго рода на двумерных проводящих структурах.

2.1.1. Метод моментов.

2.1.2. Приближенные методы.

2.2. Применение различных базисов к аппроксимации токовых функций на проводящих поверхностях.

2.2.1. Системы базисных функций полной области.

2.2.2. Системы базисных функций подобластей.

2.3. Численное решение сформулированной электродинамической задачи

2.4. Выводы по разделу 2.

3. РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ ПЛОТНОСТИ ТОКА НА ЗЕРКАЛАХ РАЗЛИЧНОЙ КОНФИГУРАЦИИ.

3.1. Распределение поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на идеально проводящий плоский экран

3.1.1. Вертикальный элементарный электрический излучатель (ЭЭИ).

3.1.2. Горизонтальный элементарный электрический излучатель (ЭЭИ).

3.1.3. Вертикальный элементарный магнитный излучатель (ЭМИ).

3.1.4. Горизонтальный элементарный магнитный излучатель (ЭМИ).

3.2. Распределение поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболического цилиндра

3.2.1. Вертикальный ЭЭИ.

3.2.2. Горизонтальный ЭЭИ.

3.2.3. Вертикальный ЭМИ.

3.1.4. Горизонтальный ЭМИ.

3.3. Распределение поверхностной плотности тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболоида вращения.

3.4. Выводы по разделу 3.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ РЕАЛЬНЫХ ИЗЛУЧАЮЩИХ СТРУКТУР.

4.1. Расчет распределения тока на зеркале параболической антенны при различных распределениях возбуждения.

4.2. Определение характеристик излучения параболической антенны (определение пространственной характеристики направленности и ее огибающей).

4.3. Расчет диаграммы направленности параболической антенны.

4.4. Выводы по разделу 4.

Введение диссертация по физике, на тему "Анализ излучения двумерных идеально проводящих структур методом интегральных уравнений"

Антенны являются важнейшей составляющей частью любой радиотехнической системы (РТС), в значительной степени определяющей как ее качественные показателя, так и стоимость. Наиболее распространенным типом направленных антенн в сантиметровом, дециметровом и отчасти метровом диапазонах волн являются зеркальные антенны.

Зеркальные антенны, применяемые в радиолокационных системах, позволяют легко получить равносигнальную зону, допускают одновременное формирование суммарных и разностных диаграмм направленности общим зеркалом. Отдельные типы зеркальных антенн могут обеспечивать достаточно быстрое качение луча в значительном секторе углов. Такой тип антенн является наиболее распространенным в космической связи и радиоастрономии.

Широкое использование данного вида антенн объясняется следующими факторами:

- простотой конструкции;

- возможностью получения почти любого применяемого типа диаграммы направленности;

- высоким к.п.д.

- хорошими диапазонными свойствами.

При анализе действующих зеркальных антенн, а также при разработке новых типов антенн перед специалистами встает задача определения следующих параметров: распределения поверхностной плотности тока по зеркалу, диаграммы направленности, гарантированной огибающей и др.

С точки зрения проектирования антенн, одним из путей достижения этой цели является разработка строгой математической модели излучения антенны в свободном пространстве, позволяющей в рамках выбранной физической модели оценить погрешность расчетов, повысить точность инженерных расчетов и сократить время, затрачиваемое на их проведение. Решение данной задачи позволяет создавать антенны с улучшенными характеристиками и в то же время способствует сокращению объема работ, связанных с макетированием и экспериментальными исследованиями, что является технически весьма сложной задачей, требующей обеспечения условий излучения, близких к реальным.

Задачи анализа излучения зеркальных антенн в форме параболоида вращения, параболического цилиндра, идеально проводящего плоского экрана, облучаемых элементарными излучателями, являются базовыми в теории антенн и решение их в строгой математической и электродинамической постановке является крайне важным.

Актуальность работы

При моделировании различных антенных устройств большое значение имеют задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих незамкнутых поверхностях. Поэтому интерес к теории дифракции электромагнитных волн резко вырос за последнее время. Данная теория превратилась в самостоятельную область, в которой работает большое число ученых различных специальностей: математики, математической физики, вычислительной математики, радиофизики, специалисты в области антенн, радиолокации, техники СВЧ, распространения радиоволн и др. [1,6,7,8,22,31,42,52,54,56,61,62,63,67,74,75,79-88,91-99,113,129,136,141,150].

Под задачей дифракции понимают задачу определения влияния рассматриваемого объекта на структуру электромагнитного поля. При исследовании дифракции радиоволн на реальных объектах возникают сложные задачи электродинамики, решение которых сопряжено с большими математическими трудностями и практически осуществимо только на основе построения математических моделей реальных объектов. В настоящее время существует некоторая система математических моделей, в большей или меньшей степени соответствующих реальной ситуации [42,63,97,137]. При постановке дифракционной задачи делают ряд упрощающих предположений: ограничиваются исследованием дифракции монохроматических полей, пренебрегают влиянием соседних тел, считают окружающее пространство безграничным и заполненным однородной изотропной средой, металлические объекты считают идеально проводящими, максимально упрощают форму объекта.

Задача дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой поверхности допускает аналитическое решение на основе классических методов лишь в ограниченном числе случаев, когда рассматриваемая поверхность полностью совпадает с какой-либо координатной поверхностью системы координат, допускающей разделение переменных в уравнении Гельмгольца. В данном случае иногда удается получить решение в замкнутом виде, выраженное через известные функции (Драбкин А.Л., Зузенко B.JI. [61]). Например, решение в замкнутой форме задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей полуплоскости представлено в работах Гринберга [51].

Для нахождения решения задачи, заданной на незамкнутой поверхности более сложной формы (например, параболоид вращения или параболический цилиндр) метод Фурье и его обобщения непосредственно не применимы. Поэтому для решения таких задач применяются асимптотические методы: геометрическая оптика, физическая оптика, геометрическая теория дифракции, метод краевых волн, метод теневых токов и др. [42,62,96-98,129]. Данные методы имеют общий недостаток: до сих пор нерешен вопрос о точности асимптотического решения и границах его применимости (Фрадин А.З. [137]). Этот факт заставляет искать новые пути решения задач дифракции радиоволн. Один из таких методов - численный анализ задач дифракции [42,63].

Разработка численных методов решения задач дифракции открыла широкие возможности для анализа влияния поверхностей произвольной конфигурации на структуру электромагнитного поля. При этом возникла проблема создания общих вычислительных алгоритмов, позволяющих исследовать широкий класс задач. Методы, разработанные на основе применения различного математического аппарата [63], жестко связаны с определенными классами незамкнутых поверхностей и неприменимы для поверхностей произвольной формы. В этом отношении универсальным математическим аппаратом являются интегро-дифференциальные уравнения, которые позволяют подойти с единых позиций к анализу дифракции радиоволн на поверхностях произвольной формы.

Граничные задачи электродинамики допускают сведение к интегральным уравнениям различной размерности и различного типа.

Еще В.Д. Купрадзе в 50-х годах свел плоские задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих цилиндрических телах к одномерным интегральным уравнениям второго рода [63]. В. А. Фоком в 70-х годах было получено векторное интегральное уравнение для задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящем трехмерном теле относительно плотности электрического тока [136], наводимого на теле падающей волной. Примерно в то же время К. Мюллером та же задача была сведена к векторному интегральному уравнению по поверхности тела относительно плотности магнитного тока, были сформулированы условия, однозначные разрешимости интегральных уравнений, и доказаны теоремы существования и единственности. Интегральные уравнения имеют меньшую размерность, чем краевая задача, и универсальны по отношению к форме тела [63]. Они оказались удобными для построения численных методов решения задач дифракции. Например, алгоритмы решения задач дифракции для трехмерных тел, обладающих симметрией вращения, представлены в работах Е.Н. Васильева [44-46]. В данных работах задачи сводились к системе одномерных интегральных уравнений, которые получались из уравнений Фока и Мюллера. Однако данные алгоритмы приводят к довольно большому объему вычислений.

Проблемы возникают при численном исследовании задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих незамкнутых поверхностях. Применением формулы Грина или ее векторных аналогов эту задачу можно свести к векторному интегро-дифференциальному уравнению первого рода.

В общем случае алгоритмизация таких уравнений наталкивается на значительные трудности, связанные с необходимостью аппроксимации дифференциального оператора, удовлетворения условий на контуре, ограничивающем поверхность, и неустойчивостью решения интегральных уравнений первого рода с вполне непрерывным оператором [22,63,96-98]. Один из возможных путей преодоления указанных трудностей состоит в преобразовании ин-тегро-дифференциального уравнения к интегральным уравнениям Фредголь-ма второго рода [42,63].

Общая процедура решения граничной задачи для трехмерной области состоит в сведении трехмерной задачи к двумерной путем замены неизвестных функций, заданных в некотором объеме, неизвестными функциями, заданными на некоторой поверхности. Таким образом, вместо решения простого на вид волнового уравнения с очень сложными граничными условиями мы выражаем искомое решение через неизвестные функции, заданные на двумерной поверхности. Такой подход является более общим, чем непосредственное решение волнового уравнения, хотя он и приводит к интегральным уравнениям, которые, более трудны для решения.

Итак, преимущества данного подхода очевидны:

- появляется возможность отказаться от специальных систем координат;

- отпадает необходимость выбирать среди всех возможных решений дифференциального уравнения частное решение, удовлетворяющее данной задаче;

- уменьшаются ограничения, накладываемые на неизвестные функции (они должны лишь удовлетворять интегральному уравнению).

Однако трудности возникают при решении непосредственно самих двумерных интегральных уравнений.

Самыми распространенными методами численного решения интегральных уравнений являются различные модификации известного метода моментов. Наиболее полное описание данного метода применительно к электродинамическим задачам представлено в работе Р.Ф. Харрингтона [146]. Кроме того, описание численных методов решения интегральных уравнений можно встретить в работах Бахвалова Н.[25], Завьялова Ю.С., Квасова Б.И., Мирошниченко B.JI. [66], а также в ряде других работ [39,40,41,42,50,89,90,118,119,120].

Однако даже самые большие ЭВМ еще в конце прошлого века не обладали достаточной мощностью. Этот факт давал некоторые ограничения при решении задач дифракции, сводимых к двумерным интегральным уравнениям Фредгольма. Порядок матриц импедансов, получаемых при дискретизации данных уравнений в методе моментов, был неприемлемо велик, поэтому система полученных уравнений решалась довольно долго. Данные задачи решались при помощи численных методов путем уменьшения порядка матриц, используя некоторый математический аппарат [38,42,101]. В частности подобный подход к решению задачи описан в работах Poggio A. I., Mayes Р. [150], где исходя из некоторого физического смысла предлагается понизить порядок интегрирования в уравнении. В работах Е.В. Захарова и Ю.В. Пименова [63] также приводится метод решения задачи дифракции на поверхностях вращения, где задача сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Однако в данных трудах не приведены результаты численных расчетов.

В последние годы возможности для решения двумерных задач дифракции существенно расширились: во - первых, увеличилась мощность вычислительных машин, во - вторых, появился новый математический аппарат пригодный для решения задач такого класса (например, разработан новый класс базисных функций — вейвлеты [139]).

Вейвлет-функции появились сравнительно недавно, в середине 80-х годов, и завоевали популярность в связи с рядом преимуществ перед классическими ортогональными системами функций, включая тригонометрические полиномы, ряды Фурье, алгебраические полиномы, для широкого круга задач. Математическая теория wavelet-систем была описана в работах

18,32,43,59,99,100,139,144,147]. Если использовать вейвлет-функции в качестве базисных, то матрицы линейных систем, возникающих при дискретизации интегральных уравнений, оказываются псевдоразреженными (т.е. близкими к разряженным матрицам [101]). Это обстоятельство делает перспективным применение wavelet-систем для численного решения многомерных интегральных уравнений. Методы работы с псевдоразреженными матрицами широко отражены в трудах Блатова И.А.[26-28].

Кроме того, все описанные методики встречаются в литературе в последнее время в основном для решения задач дифракции, сводимых к одномерным интегральным уравнениям. Методы решения подобных уравнений, например, рассмотрены в работах Неганова В.А., Нефедова Е.И, Матвеева И.В. [91-94]. Анализ решения задач такого класса приведен в работах Юдина В.В.[141].

Однако практически нигде пе присутствуют оценки эффективности существующих алгоритмов и четкие разработки методик, соответствующие современному развитию науки и техники, направленные на решение задач дифракции, сводимых к двумерным интегральным уравнениям.

Итак, в свете научно - технического прогресса в таких областях, как математика и информатика появились новые возможности для решения задач о дифракции электромагнитных волн. Поэтому проблема достаточно актуальна в настоящее время.

Данная диссертационная работа посвящена изучению некоторых методов решения задач дифракции, сравнения их по сложности и быстродействию алгоритма, выбору оптимального базиса. В работе приводится расчет некоторых модельных задач (распределение тока на идеально проводящем плоском экране, на зеркалах в формах параболоида вращения и параболического цилиндра с источниками в виде элементарных излучателей). Кроме того, в работе присутствует расчет некоторых реальных электродинамических задач: расчет нормального распределения тока на зеркале параболической антенны, а также диаграммы направленности и гарантированной огибающей.

Цель работы.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей двумерных идеально проводящих излучающих структур на основе математического аппарата двумерных интегральных уравнений, а также разработка нового эффективного алгоритма решения двумерных интегральных уравнений, к которым сводятся внутренние электродинамические задачи для данных излучающих структур. В диссертации рассмотрены:

- идеально проводящий плоский экран;

- зеркало в форме параболического цилиндра;

- зеркало в форме параболоида вращения, возбуждаемые элементарным электрическим излучателем (ЭЭИ) и элементарным магнитным излучателем (ЭМИ).

Основные задачи работы:

- разработка экспериментальных алгоритмов для решения задачи об излучении двумерной идеально проводящей структуры различными методами: методом Галеркина с использованием базиса полной области (двумерный ряд Фурье), методом Галеркина с использованием базисов подобластей (сплайнового и вейвлет - базиса);

- разработка метода решения задачи поверхностного распределения тока, наводимого элементарным излучателем на идеально проводящий плоский экран;

- разработка метода решения задачи поверхностного распределения тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболического цилиндра;

- разработка метода решения задачи поверхностного распределения тока, наводимого элементарным излучателем на зеркало в форме параболоида вращения.

Методы исследования

В работе использованы методы вычислительной математики, теории дифференциальных уравнений в частных производных, функционального анализа, дифференциальной геометрии, вычислительной электродинамики.

Численные эксперименты реализованы на ЭВМ в среде визуального программирования Delphi. Также были использованы пакеты Mathematica, Excel.

Научная новизна диссертации

1. Разработана методика анализа излучения двумерных проводящих структур, возбуждаемых ЭЭИ и ЭМИ, с применением численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, имеющей смысл граничного условия для тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности, образующей структуру;

Обоснованность и достоверность результатов работы

Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. Вывод непосредственно интегральных уравнений корректен с формальной математической точки зрения. Используемый численный метод решения интегральных уравнений получен на основе классических описанных в литературе методов [42,44,101]. Контроль результатов осуществлялся: исследованием внутренней сходимости численных алгоритмов; анализом физического смысла решений.

Практическая ценность работы

Результаты, полученные в диссертации, имеют большое значение применительно к вопросам, связанным с практическим применением рассмотренных антенн для излучения и приема электромагнитных волн. В частности, разработанный в диссертации метод расчета может быть обобщен на случай более сложных зеркальных антенн. Разработанные математически обоснованные электродинамические модели двумерных проводящих структур могут быть использованы в задачах синтеза сложных антенных конструкций. Полученные результаты могут быть использованы как справочные данные при проектировании зеркальных антенн. Предложенные алгоритмы расчета антенн могут быть использованы при разработке систем автоматизированного проектирования различных антенно-фидерных устройств.

Положения, выносимые на защиту:

- формальное представление сторонних источников в рамках сформулированной электродинамической задачи;

Апробация работы

Основные результаты по теме диссертационного исследования опубликованы в сборниках докладов XI,XII,XIII,XIV и XV Всероссийских научных конференций профессорско - преподавательского ПГАТИ (Самара, 2004 г., 2005 г., 2006 г., 2007 г., 2008 г. соответственно), в сборниках трудов II, III, IV Всероссийских научных конференций «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005 г. 2006 г., 2007г. соответственно), в сборниках трудов V и VI Международных научно-технических конференций «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2006 г. и Казань, 2007 г.), VII и VIII Международных научно-методической конференциях «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций» (Самара, 2006 г. и Уфа, 2007 г.), а сборнике материалов воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна, (Воронеж, 2008 г.), в сборнике материалов воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач», (Воронеж, 2008 г.)

Публикации

По тематике диссертационных исследований автором опубликовано 15 печатных работ. Основные научные и прикладные результаты опубликованы в 4 статьях в периодических научных изданиях, два из которых включены в перечень ВАК, и в 11 публикациях в форме тезисов докладов, 3 на российских и 8 на международных конференциях и семинарах.

Содержание работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

4.4, Выводы по разделу 4

В данной главе была рассмотрена реальная задача об излучении параболической антенны с зеркалом в форме параболоида вращения и волно-водным облучателем. В первом пункте была описана сама модель, также найдено нормированное распределение тока при различных длинах волн при помощи алгоритма представленного ранее. Во втором пункте представлен оригинальный алгоритм для интегрирования быстро осциллирующих функций, с помощью которого можно ускорить процесс нахождения важнейшей антенной характеристики - диаграммы направленности. И, наконец, в третьей части главы были найдены непосредственно сами диаграммы направленности для параболических антенн с различными размерами и различными частотами.

Алгоритмы и результаты, приведенные в настоящем разделе, опубликованы в [3,4,10].

Заключение

К основным результатам и выводам диссертации следует отнести следующее:

3. Разработана методика анализа излучения двумерных проводящих структур с применением численного решения системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода, имеющей смысл граничного условия для тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности, образующей структуру.

4. Произведен расчет распределения поверхностной плотности тока на идеально проводящем плоском экране.

6. Произведен расчет распределения поверхностной плотности тока на зеркале в форме параболоида вращения.

Автор считает своим долгом выразить благодарность своему научному руководителю д. ф.-м. н. Блатову И.А., оказавшему сильное влияние на формирование научных взглядов.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Алашеева, Елена Александровна, Самара

1. Айзенберг, Г.З. Антенны ультракоротких волн Текст./ Айзенберг Г.З.-М.: Гос. изд-во литературы по вопросам связи и радио, 1957. — 696 с.

2. Алашеева, Е.А. Быстрый алгоритм численного моделирования направленных свойств круглой апертуры Текст./Алашеева Е.А., Кубанов В.П., Сподобаев Ю.М., Блатов И.А. // Инфокоммуникационные технологии, № 3 2004г., стр. 6-10.

3. Алашеева, Е.А. Алгоритм адаптации для модельной сингулярно возмущенной задачи Текст./Алашеева Е.А. // Труды Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 2005г., стр. 18-20.

4. Алашеева, Е.А. Применение двумерных вейвлет-технологий для решения задач электродинамики Текст./Алашеева Е.А. // Сборник трудов третей всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 2006г., стр. 16-18.

5. Алашеева, Е.А. Метод вейвлет-Галеркина для решения задач электродинамики Текст./Алашеева Е.А.// Сборник трудов пятой международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», 2006г, стр. 102-103.

6. Алашеева, Е.А. Решение задачи рассеяния электромагнитного поля элемента электрического тока проводящим экраном конечных размеров Текст./ Алашеева Е.А., Блатов И.А., Маслов М.Ю.// Инфокоммуникационные технологии, №2, 2007г., стр. 8-14.

7. Алашеева, Е.А. Применение метода вейвлет-Галеркина к решению двумерных задач теории антенн Текст./ Алашеева Е.А., Блатов И.А.//

8. Сборник трудов седьмой международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций», 2006г., стр. 253-255.

9. Алашеева, Е.А. Метод вейвлет-Галеркина решения интегральных уравнений Фредгольма в двумерных областях Текст./ Алашеева Е.А., Блатов И.А.// Вестник СамГУ, №9, 2006г., стр. 24-29.

10. Алашеева, Е.А. Решение задачи дифракции на существенно двумерном теле с использованием вейвлет-базиса Текст./ Алашеева Е.А., Блатов И.А., Маслов М.Ю.// Вестник СОНИИР, 2006г., стр. 11-15.

11. Алашеева, Е.А. Применение вейвлет анализа для решения задач дифракции Текст./ Алашеева Е.А., Блатов И.А., Маслов М.Ю.// Сборник трудов VIII МНТК «Проблемы техники и технологии телекоммуникаций», 2007г., стр. 187-188.

12. Алашеева, Е.А. Применение разреженных технологий в моделировании антенных устройств Текст./ Алашеева Е.А.// Сборник материалов воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна, 2008г., стр. 8.

13. Астафьева, Н.М., Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения Текст./ Астафьева Н.М.// Успехи физических наук. 1996. Т. 166. №11 С. 1145-1170.

14. Амосов. Вычислительные методы для инженеров Текст./ Амосов и др.- М.: В/ш, 1994. 542с.

15. Атаманова, И .Г Уравнения математической физики Текст./ Ата-манова И.Г., Левин В.И. М.: Наука, 1964, - 365с.

16. Архангельский, А .Я. Работа с локальными базами данных в Delphi 5 Текст./ Архангельский А .Я. М.: Бином, 2000. — 198 с.

17. Айзенберг, Г.З. Коротковолновые антенны Текст./ Айзенберг Г.З., Белоусов С.П., Журбенко Э.М. и др.; под ред. Г.З. Айзенберга. М.: Радио и связь, 1985. - 536 с.

18. Айзенберг, Г.З. Антенны УКВ.Т.1. Текст./ Айзенберг Г.З., Ям-польский В.Г., Терешин О.Н. М.: Связь, 1977. - 384 с.

19. Бейтмен, Г. Высшие трансцедентные функции. Т. 2. Текст./ Бейтмен Г., Эрдейи А. М.: Наука, 1974. - 296 с.

20. Бахвалов, Н. Численные методы Текст./ Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. М - СПб.: - Физматлит, 2000

21. Блатов, И.А. Об алгебрах операторов с псевдоразреженными матрицами и их приложениях Текст./ Блатов И.А.// Сибирский матеметиче-ский журнал. Т. 37. N 1. 1996. стр. 36-59.

22. Блатов, И.А. О методах неполной факторизации для систем с разреженными матрицами Текст./ Блатов И.А.// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. Т. 33. №7. стр. 819-836.

23. Блатов, И.А. Об оценках LU-разложений разреженных матриц и их приложениях к методам неполной факторизации Текст./ Блатов И.А.// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. Т. 37. №3. стр.259-276.

24. Блатов, И.А. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с погранслоем Текст./ Блатов И.А., Стрыгин В.В. // Воронеж: ВГУ, 1997. 406 с.

25. Блатов, И. А. Применение сплайновых вейвлет-функций к численному моделированию тонкопроволочных антенн Текст./ Блатов И.А., Пименов А. С., Юдин В. В.// Инфокоммуникационные технологии. Том 1, №4,2003.

26. Блаттер, К. Вейвлет-анализ. Основы теории Текст./ Блаттер К— М.: Техносфера, 2004. Пер. с нем. Т.Э. Кренкеля; под ред. А.Г. Коркчана.

27. Баге, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов Текст./ Баге К., Вилсон Е. М.: Стройиздат, 1982. - 250 с.

28. Бартенев, О.В. Современный Fortran Текст./ Бартенев О.В. -М.: МИФИ, 2000. 446 с.

29. Белоцерковский, С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях Текст./ Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. М.: Наука. Физматлит, 1985. - 256 с.

30. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры Текст./Беклемишев Д.В. М.: Наука, 1976. - 320 с.

31. Бор, К. Практическое руководство по сплайнам Текст./ Бор К. — М.: Радио и связь, 1985.

32. Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления Текст./ Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. М.: Наука. - 1984.

33. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов Текст./ Вер-жбицкий В.М. -М. Высшая школа, 2005.

34. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики Текст./ Владимиров B.C. М.: Наука, 1981. - 250 с.

35. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики Текст./ Владимиров B.C., Жариков В.В. М.: Физ-мат лит., 2000. - 250 с.

36. Вычислительные методы в электродинамике Текст. Под ред. Р. Митры. Пер. с англ. Под. ред. Э.Л. Бурштейна. -М.: Мир, 1977. 487 с.

37. Воробьев, В.И. Теория и практика вейвлет-преобразования Текст./ Воробьев В.И., Грибунин В.Г. СПб.: Изд-во ВУС, 1999.

38. Васильев, Е.Н. Численные методы решения задач дифракции на локальных неоднородностях Текст./ Васильев Е.Н., Ильинский А.С., Свешников А.Г.// В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып.24, МГУ, 1975, стр. 3-23.

39. Васильев, Е.Н. Алгоритмизация задач дифракции на основе интегральных уравнений Текст./ Васильев Е.Н.// Прикладная электродинамика. Сб. научно-методических статей. -М.: Высшая школа, 1977, стр. 94-128.

40. Марков, Г.Т. Математические методы прикладной электродинамики Текст./ Васильев Е.Н., Марков Г.Т. М.: Сов. радио, 1970.

41. Волков, Е.А. Численные методы Текст./ Волков Е.А.- М.: Наука, 1982.-200 с.

42. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике Текст./ Выгодский М.Я. М.: Наука, 1965. - 423 с.

43. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи Текст./ Гахов Ф.Д. М.: Наука, 1977.-640 с.

44. Годунов, С.К. Уравнения математической физики Текст./ Годунов С.К. -М.: Наука, 1979.-250 с.

45. Гринберг, Г.А. К вопросу о дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонких идеально проводящих экранах Текст./ Гринберг Г.А., Пименов Ю.В.//ЖТФ, Т. 26, вып. 10, 1957. стр. 2326-2339.

46. Гришин, Ю.П. Радиотехнические системы Текст./ Гришин Ю.П., Ипатов В.П., Казаринов Ю.М., Коломенский Ю.А., Ульяницкий Ю.Д. М.: Высшая школа, 1990. - 496 с.

47. Гранштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Текст./ Гранштейн И.С., Рыжик И.М. М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

48. Джексон, Дж. Классическая электродинамика Текст./ Джексон Дж.; пер. с англ.; под ред. Бурштейна Э.Л. М.: Мир, 1965.

49. Дезин, А.А. Общие вопросы теории граничных задач Текст./ Де-зин, А.А. М.: Наука, 1980.- 120 с.

50. Духов, В.М. Электродинамика Текст./ Духов В.М. М.: Высшая школа, 1975.

51. Дьяконов, В.П. Mathcad 8 PRO в математике, физике и internet Текст./ Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. М.: Нолидж, 2000 - 503 с.

52. Дьяконов, В.П. Mathematica 4. Текст./ Дьяконов В.П. Спб.: Питер, 2001-654 с.

53. Дьяконов, В.П. Вейвлеты. От теории к практике. Текст./ Дьяконов В.П. М.: СОЛОН-Р, 2002 - 440 с.

54. Дьяконов, В.П. Maple 6. Текст./ Дьяконов В.П. Спб.: Питер, 2001 -603 с.

55. Драбкин, А.Л. Антенно-фидерные устройства Текст./ Драбкин А.Л., Зузенко В.Л. Спб.: Госгортехиздат, 1961 - 816 с.

56. Зоммерфелъд, А. Электродинамика Текст./ Зоммерфелъд А.; пер. с нем.; под ред. Элькинда С. А. М.: ИЛ, 1958.

57. Захаров, Е.В. Численный анализ дифракции радиоволн Текст./ Захаров Е.В., Пименов Ю.В. М.: Радио и связь, 1982.

58. Зорич, В.А. Математический анализ. Том 1 Текст./ Зорич В.А. — М.: МЦНМО, 2002. 657 с.

59. Зорич, В.А. Математический анализ. Том 2. Текст./ Зорич В.А — М.: МЦНМО, 2002. 787 с.

60. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн — функций Текст./ Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. М.: Наука, 1980.

61. Ильинский, А.С. Математические модели электродинамики Текст./ Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г.- М.: Высшая школа, 1991.

62. Измаилов, А.Ф. Численные методы оптимизации Текст./ Измаилов А.Ф., Солодов М.В. -М. Физматлит, 2005.

63. Ильин, В.А. Линейная алгебра Текст./ Ильин В.А., Позняк Э.Г. — М.: Физматлит, 2002. 317 с.

64. Калинин, А.И. Распространение радиоволн и работа радиолиний Текст./ Калинин А.И., Черепкова Е.Л. М.: Связь, 1971.

65. Каиенеленбаум, Б.З. Высокочастотная электродинамика Текст./ Каиенеленбаум Б.З. М.: Наука, 1966.

66. Киттелъ, Ч. Введение в физику твердого тела: Пер. с англ. Текст./ Киттелъ Ч. М.: Наука, 1978.

67. Кочин, II.E. Векторное исчисление и начала тензорного вычисления Текст./ Кочин II.E. М.: Издательство АН СССР, 1961.

68. Кинг, Р. Антенны в материалах и средах. Т. 1 Текст./ Кинг Р., Смит Г.; пер. с англ.; под ред. Штейншлейгера В.Б. М.: Мир, 1984.

69. Кинг, Р. Антенны в материалах и средах. Т. 2 Текст./ Кинг Р., Смит Г.; пер. с англ.; под ред. Штейншлейгера В.Б. М.: Мир, 1984.

70. Кравченко, В.Ф. Wavelet-системы и их применение в обработке сигналов Текст./ Кравченко В.Ф., Рвачев В.А.// Зарубежная радиоэлектроника. 1996. №4. стр. 3-20.

71. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред. 2-е изд. Текст./ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. - М.: Гостехиздат, 1982.

72. Лисовский, Ф.В. Англо-русский словарь по радиоэлектронике Текст./ Лисовский Ф.В., Калугин И.К. — М.: Русский язык, 1987. 752 с.

73. Лиштаев, О.Б. Математическая модель и алгоритм анализа электродинамических характеристик проволочных излучателей сложной геометрии Текст./ Лиштаев О.Б., Лучанинов А.И., Толстова С.В., Шокало В.М.// Радиотехника, №1-2 . 1992. - стр. 87-88.

74. Лешеев, А.А. Интегральные уравнения теории тонких вибраторов Текст./ Лешеев А.А.// Радиотехника, № 1-2. 1995 . — стр. 22-25.

75. Маслов, М.Ю. Моделирование электромагнитных полей в помещениях для целей электромагнитной и информационной безопасности Текст./ Маслов М.Ю.// Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, Самара, 2003. -240 с.

76. Маслов, М.Ю Численный анализ электромагнитной обстановки в офисном помещении Текст./Маслов М.Ю.//Вестник СОНИИР, №1, 2004 г.

77. Маслов, М.Ю. Моделирование электромагнитных полей в помещении с полупроводящими стенками Текст./Маслов М.Ю.// Вестник СОНИИР, №1, 2002. стр. 20-22.

78. Маслов М.Ю. Применение метода конечных элементов к решению разделяемых электродинамических задач Текст./Маслов М.Ю., Ситникова С.В. //Материалы XII Всероссийской НК. Самара, ПГАТИ март 2005 г.

79. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике Текст./ Михлин С.Г. М.: Наука. 1970

80. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения Текст./Мусхелишвили Н.И. М.: Наука, 1968.

81. Маслов, М.Ю. Решение двумерных интегральных уравнений задач дифракции Текст./Маслов М.Ю.// Материалы XII Всероссийской НК. Самара, ПГАТИ март 2005 г.

82. Мартинсон, JI.K. Дифференциальные уравнения математической физики Текст./ Мартинсон JI.K., Малов Ю.И. М.:МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

83. Марчук, Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы Текст./ Марчук Г.И., Агошков В.И.-М.: Наука, 1981.

84. Неганов, В.А. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайневы-соких частот Текст./ Неганов В.А., Нефёдов Е.И., Яровой Г.П. М.: Наука. Физматлит, 1996. - 304 с.

85. Неганов, В.А. Сингулярное интегральное уравнение для расчёта тонкого вибратора Текст./ Неганов В.А., Матвеев И.В.// Физика волновых процессов и радиотехнические системы, Т. 2, № 2, 1999. — стр. 27-33.

86. Неганов, В.А. Метод сведения уравнения Поклингтона для электрического вибратора к сингулярному интегральному уравнению Текст./ Неганов В.А., Матвеев И.В., Медведев С.В.// Письма в ЖТФ, Т. 36, Вып. 12,2000.-стр. 86-94.

87. Неганов, В.А. Оценка погрешности решения краевых задач о собственных волнах полосковых и щелевых структур методом сингулярных интегральных уравнений Текст./ Неганов В.А.// Радиотехника и электроника, Т. 33, № 5, 1988. стр. 1076-1077.

88. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн Текст./ Никольский В.В. М.: Наука, 1973. — 607с.

89. Никольский, В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики Текст./Никольский В.В.- М.: Наука, 1967.

90. Никольский, В.В. Антенны Текст./ Никольский В.В. М.: Связь.1966.

91. Никольский, В.В. Электродинамика и распространение радиоволн Текст./ Никольский В.В., Никольская Т.Н. -М.: Наука, 1989.-543с.

92. Новиков, И .Я. Основы теории всплесков Текст./ Новиков И.Я., Стечкин С.Б.// Успехи математических наук. 1998. Т. 53. №6. С. 53-128.

93. Петухов, А.П. Введение в теорию базисов всплесков Текст./ Петухов А.П. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999.

94. Писсанецки, С. Технология разреженных матриц Текст./ Писса-нецки С. М.: Мир, 1988. - 412 с.

95. Потехин, А.И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн Текст./ Потехин А.И. -М.: Сов. радио, 1948.

96. Пановский, В. Классическая электродинамика Текст./ Панов-ский В., Филипс М.; пер. с англ.; под ред. С. П. Капицы. М.: Физматгиз, 1963.

97. Рамо, С. Поля и волны в современной радиотехнике Текст./ Рамо С., Уиннери Дж.; пер. с англ.; под ред. Ю. Б. Кобзарева. — М.: Гостехиздат, 1950.

98. Радциг, Ю.Ю. Исследование методом моментов интегральных уравнений вибратора с точными и приближенными ядрами Текст./ Радциг Ю.Ю., Сочилин А.В., Эминов С.ИЛ Радиотехника, № 3, 1995. с.55 - 57.

99. Ректорис, К. Вариационные методы в математической физике и технике Текст./ Ректорис К М.: Мир, 1985. - 589 с.

100. Рунов, А.В. О специализации интегрального уравнения тонкой проволочной антенны произвольной геометрии к некоторым частным случаям Текст./ Рунов А.В.// Радиотехника и электроника, Вып. 6. Минск: Вы-шейшая школа, 1976. - с.161 - 167.

101. Ряполов, С.И. Обобщенный метод численного решения задач Коши Текст./ Ряполов С.И.; под ред. Баринова. М-во обороны, 1975. — 80 с.

102. Радиоэлектроника. Русско-английский терминологический словарь. М.: ВНИИКИ, 1992. - 129 с.

103. Рытов, С.М. Введение в статистическую радиофизику Текст./ Рытов С.М. М.: Наука, 1976. - 494 с.

104. Самарский, А.А. Теория разностных схем Текст./ Самарский А.А. -М.: Наука, 1977.

105. Самарский, А.А. Задачи и упражнения по численным методам Текст./ Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. М.: Едиториал УРСС, 2003.-207 с.

106. Сазонов, Д.М. Антенны и устройства СВЧ: Учебник для радиотехнических специальностей вузов Текст./ Сазонов Д.М. — М.: Высшая школа, 1988.-432 с.

107. Стренг, Г. Теория методов конечных элементов Текст./ Стренг Г., Фикс Дж.; пер. с англ.; под ред. Марчука Г.И. М.: Мир, 1977.

108. Стренг, Г. Линейная алгебра и ее применения Текст./ Стренг Г.; пер. с англ.; под ред. Марчука Г.И. М.: Мир, 1980.

109. Стрэттон, Дж. Теория электромагнетизма Текст./ Стрэттон Дж.; пер. с англ.; под ред. Рытова С. М. М.: Гостехиздат, 1948.

110. Тамм, И.Е. Основы теории электричества Текст./Тамм И.Е. М.: Наука, 1989.

111. Тихонов, А.П. Уравнения математической физики Текст./ Тихонов А.П., Самарский А.А. М.: Наука, 1977.

112. Тихонов, А.И. Методы решения некорректных задач Текст./ Тихонов А.И., Арсенин В.Я. М.: Наука, 1979.

113. Турчак, Л.И. Основы численных методов Текст./ Турчак Л.И., Плотников П.В. М. Физматлит, 2003.

114. Туров, Е.А. Материальные уравнения электродинамики Текст./ Туров Е.А. М.: Наука, 1983.

115. Тарасов, И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления Текст./ Тарасов И.Е. М.: Высшая школа, 1966.

116. Толковый словарь по радиофизике. Основные термины Текст. Под ред. Гершмана Б.Н., Малахова А.Н., Борисовой Л.Т. — М.: Русский язык, 1993.-358 с.

117. Тиханов, В.И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем Текст./ Тиханов В.И., Харисов В.Н. — М.: Радио и связь, 2004. 608 с.

118. Умер, Х.Г. Пленарные и волоконные оптические волноводы Текст./ Умер Х.Г.; пер. с англ.; под ред. Шевченко В. В. М.: Мир, 1980.

119. Уфимцев, П. Метод краевых волн в физической теории дифракции Текст./ Уфимцев П // Советское радио — М.: 1962.

120. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике. Электричество и магнетизм. Т. 5 Текст./ Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.; пер. с англ.; под ред. Смородинского Я.А. М.: Мир, 1966.

121. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике. Электричество и магнетизм. Т. 6 Текст./ Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.; пер. с англ.; под ред. Смородинского Я.А. М.: Мир, 1966. -.

122. Фальковский, О.И. Техническая электродинамика Текст./ Фаль-ковский О.И. -М.: Связь, 1978.

123. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т 1 Текст./ Фихтенгольц Г.М. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

124. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т 2 Текст./ Фихтенгольц Г.М. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

125. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т 3 Текст./ Фихтенгольц Г.М. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

126. Фараонов, В.В. Delphi. Программирование на языке высокого уровня. Текст.: учебник для вузов / Фараонов В.В. СПб.: Питер, 2005. — 640 с.

127. Фараонов, В.В. Turbo Pascal 7.0. Начальный курс Текст./ Фараонов В.В. М.: Нолидж,2002. - 573 с.

128. Фараонов, В.В. Delphi 4. Текст.: Учебный курс / Фараонов В.В. — М.: Нолидж,1999. 448 с.

129. Фок, В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн Текст./ Фок В.А. М.: Сов. радио, 1970.

130. Фрадин, А.З. Антенны сверхвысоких частот Текст./ Фрадин А.З.

131. М.: Советское радио, 1957. — 647 с.

132. Цлаф, Л.Я. Вариационные исчисления и интегральные уравнения Текст./ Цлаф Л.Я. М.: Наука, 1966. - 176 с.

133. Чуй, К. Введение в вейвлеты Текст./ К. Чуй. М.: Мир, 2001. —412 с.

134. Эбнер, М. Delphi 5. Руководство разработчика Текст./ Эбнер М.- Киев: Ирина, 2000. 475 с.

135. Юдин, В.В. Анализ проволочных антенн на основе интегрального уравнения Харрингтона методом моментов с использованием различных весовых функций Текст./ Юдин В.В.// Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, Т 4, № 4,1996. с. 116-124.

136. Янке, Е. Специальные функции Текст./ Янке Е., Эмдэ Ф., Леш Ф.; пер. с ием.; под ред. Седова Л.И. М.: Наука. 1977.

137. Andreasen, M.G. IEEE Trans on Ant. and Prop. Text./ Andreasen M.G.// AP-12, 1964. 746 c.

138. Daubechies, I. Orthonormal basis of compactly supported wavelets Text./ Daubechies I.// Comm. Pure Appl. Math. 1988. V. 46. p. 909-996.

139. Daubechies, I. Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF Text./ Daubechies I.// Regional conference seriesin applied mathematics, SIAM. 1992.

140. Harrington, R.F. Field Computation by Moment Method Text./ Harrington R.F. Macmillan, New York, 1968 - 150 p.

141. Mallat, S. Multiresolution approximation and wavelets Text./ Mallat S. Trans. AMS. 1989. 315. p. 69-88.

142. Meyer, Y. Ondelettes et operateurs Text./ Meyer Y. Paris: Hermann,1990.

143. Miller E.K. Mathematical Modeling of Aircraft Antennas and Supporting Structures Text./ Miller E.K., Maxut В.// Final Report, ECOM Contract ADDB 07-68-C-0456, Report, No. ECOM-0456-1, 1970.

144. Poggio, A.I. Numerical solution of integral equations of a dipole and slot antennas including active and passive loading Text./ Poggio A.I., Mayes P.// Techn. Rept. AFAL-TR-69-180, Antenna Lab., University of Illinois, Urbana, Uli-nos, 1967.

145. Richmond, J. Computer analysis of three-dimensional wire antennas Text./ Richmond J. //Techn. Rept. No. 2708-4, Electro-Science Lab., Ohio State University, Columbus, Ohio, 1969.

146. Schoneberg, I.J. Contribution to the problem of approximation of equidistant date by analytic functions Text./ Schoneberg I.J.// Quart. Appl. Math., 1946,4, p.45-46,112-141.

147. Willoughby, R.A. Proceedings of the Symposium on Sparse Matrices and Their Applications Text./ Willoughby R.A.// IBM Watson Research Center, 1968.