Аналоги пространств Соболева в теории новых обобщенных функций и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 и "ЕЛОРУС'Ш ГОСУДАРСТВЯШЫЙ ишгсида.

УДК 517.9

ФУРСЕНКО НАТАЛЬЯ ВЛАДИМИРОВНА

АНАЛОГИ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА В ТЕОРИИ НОВЫХ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ .

( 01. 01. 01. - математический анализ )

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Минск - 1995

/

Работа выполнена на кафедре функционального анализа Белорусского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико - математических наук,

профессор Антоневич A.B.

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, ведущий научный сотрудник Круглов В.И.

кандидат физико - математических наук, доцент Килбас A.A.

Оппонирующая организация - Гродненский государственный

университет

Защита состоится 23 июня 1995 г. в 10 часов на заседании совета К 156. 03. 05 по защите диссертаций в Белорусском государственном университете по адресу: 220080, Республика Беларусь, г. Минск, проспект Ф.Скорины, 4, главный корпус, ауд. 206. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан 2-2- мая 1995 г. Ученый секретарь совета • по защите диссертаций

доцент V{JCП.Н.Князев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБ02Н

Аияуальпосхь рабош. Создание теории обобщенных функций привело к существенному прогрессу во иногих математических дисциплинах. Однако, доказанная Л.Шварцем незозмсгность введения зсэду определенного ассоциативного . ттяя»*«*?;» обобзйия«» „кян-т«?» ггр'плгсхьыгм для полноценного

2СЕЗ.изоввкия обобщенных функций в теории нелинейных уравнений: и теории уравнений с обобщенными коэффициентами.

Важность задачи введения ассоциативного умножения постоянно стимулирует появление новых работ многих математиков, среда которых В.К.Иванов, А.В.Ким, В.В.Перминов, Хр.Я.Христов и В.П.Дамянов, Б.Фишер, Я.Минусинский, Е.Е.Розингер, Т.Д.Тодоров и др.

В 80 - х годах появляется ряд работ Ж.Ф.Коломбо к его последователей, в которых развивается теория так назнваемшс новых обобщенных функций, для которых определено ассоцигтивнсе произведение. Затем Ю.В.Егоровым была построена более простая ( по сравнению с Коломбо ) теория обобщенных функций, которая была им применена к нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производными. Подход при построении теорий обобхенкых функций у К.Ф.Коломбо и ¡О.В.Егорова осноБан на введении алгебр новых объектов ( вместо пространства распределений ), которые, обладая осесенкшс свойствами распределений, допускает корректно операция умказеняя. На основе анализа ряда конструкций алгебр новых обобщенных. функций Д.Б.Антоневятем и Я.В.Радыно бия предложен общий метод построения алгебр новых обобщенных функций & на его основе был построен ряд конкретных алгебр.

Однако, при построении конкретных алгебр использовались в основном равномерные норш. Вместе с тем хсрсао известно, что

в теории дифференциальны! и лсевдодофференциальных операторов наиболее точные результаты получаются при использовании пространств Соболева и соболевских норм. Поэтому естественно озэдать, что алгебра новых обобщенных функций, построенная с помощь» Соболевскад норм, позволит продвинуться в изучении дифференциальных уравнений с частными производными и с обобщенными коэффициентами.

Построению и изучению такой алгебры посвящена настоящая диссертация.

Цель работы состоит в построении с помощью соболеводах норм новой алгебры мнемофункций, ее исследовании, решении простейших уравнений в этой алгебре и выделении подпространств, являющихся аналогами классических пространств Соболева. Работа выполнена в рамках теш "Дифференциальные и операторные уравнения в топологических векторных пространствах" ( N 1.1.9 план НИР БГУ ), выполняемой на основании плана АН Республики Беларусь.

Методы исследования. Б работе применяются методы математического анализа, теории обобщенных функций и теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Получены следующие новые основные результаты, которые выносятся на защиту:

1) Построена алгебра мнемофункций , в которр естественно вкладываются все пространства Соболева.

2) Построено слабое решение модельного эллиптического уравнения с б - образным коэффициентом.

3) Выделен широкий класс подпространств в алгебре мнемофункций, являющихся аналогами классических соболевских пространств.

Праютеская ценность. Работа носит теоретический характер.

—-Метода,—изложенные в четвертой главе, могут быть использованы в математической физике. Апробащя работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах пб функциональному анализу и дифференциальным уравнениям в БГУ, на межреспубликанской научно-практической конференции творческой молодежи ( Минск, 18 - 22'мая 1992 г.). на конференции чъдззпзаай» Ч.7ЙЙ„Я - « » [ Еороыеа," 3-е «йя ^993 г.), на международной математической конференции ( Гомель, 1994 г.), на межгосударственной научно-практической конференции творческой молодежи ( Минск, 16 - 20 мая 1994 г.), на конференции Different 'aspects of differentiability » ( Варшава, 13 - 18 сентября 1993 г.), на конференции "Еругинские чтения" ( Гродно, 11-13 мая 1995 г. ). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-7.

Структура и объел работ Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав, выводов и списка использованных источников ( 88 шт.). Общий объем работы страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ Во введении дается оценка современного состояния решаемой проблемы. В первой главе делается обзор литературы по теме и излагаются общая методика и основные методы исследований. Вторая глава посвящена построению алгебры 9 ( IHf* ) новых обобщенных функций Соболевского типа. В пункте 2.1. приводится конструкция построения алгебры J? ( Sf ) . мнемофункций. Вводятся следующие обозначения H+ai = gHs , Н"й = у Нв , где (И8 = И3 ( IR11 ) - пространство Соболева.

Обозначают через Gy ( R11 ) множество таких отображений

R : ( 0, 1 ) Н+0°.

для которых выполнено следующее свойство:

Уаег^зу и з Г) > о, о > 0 , такие что II Ъа Н н, £ с

2

при 0 < с < г).

Выделяются в пространстве С^ подпространство N функций, удовлетворяющих условию:

V а, V 7 з с > 0 и I) > 0, такие что II БаЛ и. 5 с е*, при

4

О < £ < Г).

Определение 2.1. Фатар - пространство С^/Т! будел называть ■ пространствоА лнелофунщй Соболевского типа и обозначил

Теорема 2.1. Пространство 5 ( Н00 ; является алгеброй с дифференцировател.

Фиксируется функция и е 5 с К17 ), имеющая следующее

преобразование Фурье о : а ё Ъ ( К*1 ),.вирр а принадлежит

Л л

множеству п х н £ 1, <т ( х ) = 1 если и г и ^ 1/2 , 0 £ о * 1 для любого х.

По функции С строится семейство функций

с£ ( X ) = { о [ ), где 0 < £ < 1.

Теорема 2.2. Кля любой функции С , с выше описанныжи свойствам, отображение ■

Л : и -4 [ и * <7£ ]

задает вложение Н"® в ? как векторного пространства, при этол вложении 11+со вкладывается как алгебра, т.е. с ужнохениел. В пункте 2.2. вводатся понятие ассоциированных С -функционалов.

Определение 2.4. Будел говорить, что лнелофунщия и. € & ( йР и обобщенная, функция ч а Ъ ( ^ ) ассоциированы, если для любой функции $ £ Ъ ( )

lin г

£н0 j u£( x ] Ï ) dx = < T, f >.

sf

Классифицировать результаты, получаемые при вычислении различных произведений, помогает некоторое обобщенное понятие ассоциированного распределения, которое ьзодатся.в пункте 2.3.

Обозначают через с,, mroweo?«

окорт-гт., рсста не выше, чем степени ^ при е 0, через ^ -множество функций, убывающих быстрее любой степени е.

«V

С = Су/^ - фактор-алгебра, которую называют алгеброй

л*

обобщенных чисел. С не вкладывается в 9 ( Ш09 ) , но в

алгебре 9 ( 1Н09 ) естественно определена операция умножения на

элемент из С , т.е. 9 ( 5109 ) является С - модулем. Алгебра С

полезна тем, что там есть бесконечно малые величины, как например

к к £ и бесконечно большие, как ( 1/е ) .

IV

Определение 2.5 . Будел називапь С - функциотлат на Ьеторнол пространстве X С - линейные отображения из 16 С. Элементу и « 9 ( ) ставится в соответствие ассоциированный С - функционал и по формуле

< и , ф > = [ и ( 2 ) у ( х ) <1х,

п

где у € 2> ( ИГ ).

/и

Следует заметить, что ассоциированный С - функционал несет больше информации о и, чем ассоциированное распределение, но часть информации все равно теряется.

Введенное соответствие с С - функционалом не согласовано с умножением. Однако, для представления полученных результатов ассоциированные С - функционалы весьма удобны, т.к. полученные объекты весьма похожи на классические обобщенные функции.

Третья глава посвящена решению дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами. В качестве примера исследовано модельное эллиптическое уравнение с б - образным потенциалом

( - А + I + a S ) u = Í, ( 3.1 )

где L - оператор Лапласа, б - функция Дирака, а - постоянная.

Если понимать б - функцию в классическом смысле, то уже определение того, что есть решение уравнения ( 3.1) вызывает известные трудности. Если рассмотреть уравнение ( 3.1 ) в " пространстве гладких функций, то его правая часть должна содержать 5 - функции, а применение оператора ( - Д + I ) к б -функции дает разрывную функцию и, естественно возникает необходимость расширить пространство, присоединив к нему разрывные функций. Но здесь возникает проблема умножения разрывной функции на б - функцию.

В пункте 3.1. находится в смысле мнемофункций произведение б - функции и фундаментального решения Е =

1 р~1х1

= -^j- , которое возникает при решении уравнения ( 3.1 ). Для этого согласно общему подходу, выбераются мнемофункции из алгебры 5 ( tf ),ассоциированные с указанными функциями.

Пусть 9 е ® ( R3 ) , J í ( х ) dx = 1 и пусть'

бр = ( 1/с $> ( х/е ) - мнемофункция, ассоциированная с б -функцией. Пусть х ) = ( 1/с )3 у ( х/е ), где у

принадлежит S ( ), t ( 0 ) = 1 ,и возьмем мнемофунгцю Е^ = = Е * у£ ( х ), ассоциированную с Е. Тогда

Í ( х ) - f£( х ) = Еу ' (3.2) - произведение выбранных мнемофункций. Теперь задача

9 ____________________________________

'З'аключается том," чтобы выяснить, как ведет себя вто семейство гладких функций при е 0.

Теорема 3.1. Пусть р <= 2? ( К3 ), у € 3 ( К3 ). Тогда с -

«V

функционал 1, ассоциированный с проиэведениел 8 Е илеет вид

Г^Л с V-0 > +0 ( е2 > ] ^

+Й-[Сад£ + е2(2/3)ПЗ|>ад(0)+О(£3^ ;

+ 0 ( £2 ).

Если [ <р ( х ) Хк ¿х = 0, / 1 ( х ) хк йх = 0, к = 1, 2, 3, ш 1 = [ ^ 11 + ( 2/3 ) П3 + £ 13 * О ( £ ) 1 5 +

№1

п 2

+ 7 г си £ + О ( е3 ) ] + о ( е2 ).

Если, кроле того, футащ <Р и у - четте, то о^ = 0. Теорема 3.2. Пусть Г£ - произведете, определенное по форлуле ( 3.2 ), где у € 2) ( К3 ) и у € 2) ( К3 ),.

1 Ч 15!

1,

•1

тогда ( х ) = ( 1/с3 ) ( х/с ) - 6 - образные функции при к = - 1, о , 1 я

1€ ( 2 ) = I 1_1 - 50 + | 11 ^ + г£ ( х ), где

| | Ге ( х ) I йх й о- е2.

В пункте 4.2. ищется решение уравнения ( 3.1 ) в слабом смысле.

Пусть 1 ( х, с, Б ) - линейный дифференциальный оператор,

коэффициенты которого являются мнемофункциями из & ( И* ), £ « 9 < К* ), .

Определение 4.1. Пусть и е К. Будел говорить, шзи е ?( И") является у - слабил решениел уравнения

I ( X, £, Б ) и = Г, если бдя любой функции ^ е 5 ( ^ )

| [ Ь ( х, е, Б ) и - 1 ] у ( х ) йх -о.( с9 ). 'К11

В частоаж, и = и ( х, е ) есть о - слабое решение, если разность Ь ( х, с, Б ) и - Г ассоциирована с нулей. Пусть правая часть уравнения ( 3.1 ) имеет вид

1= с1 ( с ) Гп + Ь ( с )

___ _____11_________________________________________

где <1, Ь с С. Тогда будем искать слабое решение в виде

и = иОЕ(х)-о(х) ( 3.5 )

где с ( х ) - неопределенный коэффициент.

Поведение слабого решения вида ( 3.5 ) " зависит о? соотношений между коэффициентами а ( с ) и Ь ( е ).

¡íycTL а { с ) = äQ i ä| т a2 Г e b ( e ) = bQ + b1 e + b2 e2 6

( 3.9 )

Тогда возникают четыре качественно различных случая:

1) а0 * 0;

2) а0 = 0, 1 + at 11 * 0;

3) а0 s О, 1 + а^ = О, Ь0 * 0;

4) aQ = 0, 1 + а1 1, = 0, bQ = 0.

Toopsua 3.3. Пусть в уравнении ( 3.1 ) коэффициент а ( с ) и b ( £ ) илет ßuö ( 3.9 ). Тогда желофунщия и, определеююя

фарлулсй ( 3.5 ) , где

b( е )-а( t )[ иЛ( 0 ) + £ } о )

с(£) = -?-ikJb-

1 + а ( с ) [ ( 1^/с ) + 1 + о ( с ) ]

б случае 1) есть 7- слабое решение, ß случае 2) есяь 3 -слабое решение,в случае. 3) есть - ( -1 } - слабое рехеже, в случае 4) еет.ъ 0- слабое реи&кие.

Применимый вше подход к построению слабых решений переносится на уравнения с более обциш правили частями.

В пункте 3.2. дана таксе операторная трактовка предложенного подхода, задающая уравнение ( 3.1 ) в виде треугольной операторной матрицы размерности 3x3.

Глава 4 посвящена построению аналогов пространств Соболева

в алгебре 9 ( ¡rf° ). При этом используется тот факт, что для

функции u = u£ € ? ( ¡H00') соболевская норма с показателем s

есть 0 ( [ 1/е ). Связь меаду s г показателем 7 ( s )

отражает многие свойства мнемофунадш и, поэтому ■ естественно

объединить функции, допускающие одну и ту»е функцию у ( s ),

в одно цространство. На этом пути возникают пространства Н^8^ л 1|Т(в),в(в)ж

Пусть у ( s )- произвольная выпуклая вниз функция. Определение 4.1. Обозначим через пространства,

состоящие из таких функций ие со значениями в ff, что

Ii ие н8 S с ( s ) ( 1/е )í(s).

В пункте 4.1. рассматриваются конкретные примеры мнемофункций и выясняется в какие пространства н'^ они попадают.

В пункте 4,2. вводятся пространства которые

позволяют более точно проследить за' поведением соболввских норм.

Определение 4.2. Обозначим через пространства,

состоящие из таких функций и£ со значениями в , что

Ii ир н0 s о ( s ) ( 1/с )i(s) ( In ( 1/е ) )ü(s).

С в

В пункте 4.3. исследуется вопрос о том куда попадает

1Á s) Ь(в) произведение мнемофункций из Н и Н . Типичный

результат выглядит следующим образом :

уЛв) y2(s) у(в)

Теорема 4.2. Ясди.ие с Н , v£ е И , ю «£. v£ е Н ,

где у (з) г min {7,(0) + y2(|s| + \ + Д), ц(в) + y2(|s| + | + А)]

_____________________________________13----------------

при Л > 0.

В пункте 4.4. изучаются действия операторов в пространствах

Оператор к, действующий в ¡Н°\ порождает оператор В, действующий в М Н00 ), по формуле (Bu)(c) = Au(c).

fmpanoi.^.«.- СГтП-птгг, < • ; J,™ bbAvjeKCa СПСрСПирйД

порядка г, если v s, з Cg = const, то выполнено неравенство

и A u ns s Cs и u iis+r. ( 4.3 )

Теорема 4.5. Если А - оператор порядка г, то порожденный ил

оператор В переводит б 'А^.'

Из этой довольно простой теоремы следует, например, такой факт:

Теорема 4.6. Пусть ? ( s ) -» при с со. Тогда зллиптчесшй пседйодифференциальный. опера/пор порядка г действует из H7(s) & My(s-r) и обрстл,

БЫЕОДЦ

В диссертации удалось построить с помощью соболезскп . норм новую алгебру мнемофункций, в которую естественно вкладываются классические тространства Соболева.

Построенная алгебра позволила придать точный смысл понятию репс-кия дифференциального ' уравнения с обобщенным коэффициентом. Исследовано эллиптическое уравнение с 5 -образна коэффициентом.

Выделены подпространства, которые являются аналогами пространств Соболева, и исследованы некоторые операторы в этих подпространствах. Показано,что использование этих подпространств позволяет обнаруживать новые свойства даже для

классических операторов.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Фурсенко Н.В. Умножение обобщешшх -функций // Тезисы ■ докладов межреспубликанской научно-практической -

конференции творческой молодежи'. - Минск, 18 - 22 мая 1992. - С. 212.

2. Антоневич A.B., Фурсенко Н.В. Модельное уравнение с

5-образным коэффициентом // Тезисы докладов конференции "Доятрягинские чтения - 4 Воронеж, 3-8 мая 1993. -С 8.

3. Фурсенко Н.В. Аналоги пространств Соболева в алгебре инемофункций // Тезисы докладов международной математической конференции. - Гомель,. 1994. - С. 174.

4. Фурсенко Н.В. Ассоциированные С - функционалы // Тезисы докладов межгосударственной научно-практической конференции творческой молодеки. - Минск, 16 - 20 мая 1994. - С. 276.

5. Antonevech. A.B., Forsenko N.V. Model equation with 5-iigurative coefficient // Тезисы докладов Conference Different aspects of differentiability. - Варшава, 13 - 18 сентября 1993.

6. Антшевач A.B., Фурсенко H.B. Модельное эллиптическое уравнение с б-образным коэффициентом // Ди£фереяциальные уравнения.- 1994.- Т. 30. N 6.- С. 1317 - 1324.

7. Фурсенко Н.В. Аналоги пространств Соболева в алгебре

шемофункцай // Ред. sr. Белорусского университета, Деп. в ВИНИТИ 23.09.94, К 2258 - В94. 1994. - 26 с.

РЕЗЮМЕ

Фурсенко Наталья Владимировна . Аналога пространств Соболева в теорш новых обобденшя функсй и их щшгасешя • ■ Пространство Соболева, обобщенная функция, произведение

---------------------15----------------------

обобщенных функций, 5 - функция, псевдодифференциальный оператор, дифференциальный оператор с обобщенными коэффициентами.

В диссертационной работе построена алгебра с дифференцированием 9 ( М09 ), такая, что объединение 5-Г0 пространств Соболева вклялиляйтла п » / и09 \

:: прп зтси пересечение пространств

Соболева вкладывается как алгебра, т.е. с умножением.

Введенная алгебра позволила придать точный смысл решению дифференциального уравнения с обобщенными коэффициентами. Исследовано эллиптическое уравнение о 5 - образным коэффициентом.

Введены подпространства, позволяющие учитывать поведение соболевских норм при различных показателях 8, которые являются аналогами классических пространств Соболева.

РЭЗУМЕ

Фурсенка Наталля Уладз1м1рауна Аналаг! прастор Собалева у тэоры! новых эбзгульненых функций 1 пржякення

Простора Собалева, абагульненая функция, здабытак абагульненых функций, . 5 - функцыя, псеудадаферэнцыяльны аператар, дыферэнцыяльны аператар з абагульненым1 каэф1цыентам1.

У дысертацы! пабудавана алгебра 9 ( ¡Н00 ) з дыферэнцавакнем такая, што аб'яднанне Н-с0 прастор Собалева укладаецца у 9 ( ИГ ) як вектарная праетора, 1 пры тэтам перасячэнне И+со прастор Собалева укладарода як алгебра, г.зн. з множаннем.

Тэта алгебра дазвол!ла вызначыць дакладны сэно рашенню дыферэнцыяльнага раунання з абагульненым! каеф!цыентам1.

Даследавана ел1птычнае раунанне з 6 -.вобразным каеф1ц9нтьм.

Уведзены падпрасторы, як!я дазваляюць ул1чваць паводзХнк собалеуских норм пры розных 1ндвксах' в, як!я з'яуляюцца аналагам! клас!чных праотор Собалева.

RESUME

Foursenko Natalia Analogies oi Sobolev's r aoeis in the theory of new generalized iunotions and theirs applications

Sobolev's space, generalized function, maltiplication oi generalized iunotions, 5 -. function, pseudodifferential operator, differential operator with generalized coefficients.

In this thesis algebra ? ( H® ) with differentiation such as the Sobolev spaces union H~® is inoluded in 9 ( iff ) as veotor space and under this Sobolev space intersection W+a> is included as algebra, i.e. with multiplication, has been constructed.

The introduced algebra allowed to give the definite seuse to the differential equation with generalised coefficient solution.

The elliptical equation with 5 -figurative ooeffioient has been tested.

The subspace, allowed to toke into account the behoviour of Sobolev norms under different indexes, which are the analogies of Sobolev classic spaces had been introduced. Подписано к печати л:й*#Гираж 100 экз. Заказ N ZZ9. Отпечатано на ротапринте БГУ.220050, Минск, Бобруйская 7.