Асимптотические методы дифракционного расчета фокусаторов лазерного излучения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Центральное конструкторское бюро уникального приборостроения

На правах рукописи

Харитонов Сергей Иванович

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДИФРАКЦИОННОГО РАСЧЕТА ФОКУСАТОРОВ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Специальность 01.04.01 Техника физического эксперимента, физика приборов, автоматизация физического эксперимента

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Самарском государственном азрокосмическом университете им.С.П.КОРОЛЕВА

Научный руководитель доктор технических наук

профессор Сойфер В.А.

Официальные оппоненты доктор физико-математических

наук профессор Шмальгаузен В.И. доктор физико-математических наук Шепелев A.B.

Ведущая организация:

Институт проблем передачи информации РАН.

Л с ^ „ „ Защита состоится ^^р/ССгс^- 1993 г

в /О_часов на заседании специализированного совета

Д 003.77.01 при ЦКБ Уникального приборостроения РАН

(117342,МОСКВА,ул.Бутлерова 15).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ЦКБ Уникального приборостроения РАН.

О

Автореферат разослан ^

/

Ученый секретарь

специализированного совета Д003.77.01.

кандидат физико-математических .

наук Отливанчик Е.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертация посвящена разработке методов расчета фокусаторов лазерного излучения с учетом дифракционных поправок на основе асимггготичеких методов математической физики

Актуальность темы:

Для решения многих задач науки и техники требуется сфокусировать лазерное излучение в сложную область пространства , т в сформировать заданное распределение мощности излучения вдоль определенной пространственной кривой или в заданной области пространства. В последнее время для решения этой задачи были предложении фазовые оптические элементы, названные фокусаторами лазерного излучения . Впервые фокусаторы были предложены в 1981 году в совместной работе A.M. Прохорова,М.А.Голуба,С.В.Карпеева И.Н.Сисакяна.В.А.Сойфера.Первым оптическим элементом этого типа был фокусатор в отрезок, лежащий на оптической оси.Далее в 1982 году В.А.Данилов с соавторами предложил фокусатор в от р езок, лежащий в плоскости параллельной плоскости оптического элемента,а также ввел понятие слоя, как множества точек на фокусаторе »фокусирующих в данную точку на отрезке.Он же впервые разработал метод решения обратных задач фокусировки в произвольные фокальные кривые в приближении геометрической оптики. Строгое математическое обоснование этого метода ,а также доказательство теорем существования решения обратной задачи были сформулированы A.B.Гончарским. В его работах также получены главные члены асимптотики для световых полей в окрестности фокальной кривей. Позднее появились работы Н.Л. Казанского ,в которых с помощью вычислительного эксперимента был проведан дифракционный анализ структуры светового поля от различных фокусаторов (фокусатора в крест,кольцо,полукольцо),а также были исследованы влияние дискретизации и квантования фазы оптического элемента на распределение комплексной амплитуда

в пространстве за фокусатором.

В работах названных выше авторов решение обратной задачи фокусировки в фокальные кривые проводилось в приближении геометрической оптики,В данном приближении кривая представляется как полоса.имеющая нулевую ширину Распределение энергии в фокальной области в этом случае характеризуется линейной плотностью.Понятие линейной плотности является математической абстракцией и не учитывает возникающие дифракционные эффекты.Данное понятие также неприменимо для описания воздействия электромагнитного поля в области .недоступной для геометрооптических лучей.Актуальной является задача фокусировки в приближении, учитывающем дифракционное размытие кривой.Для фокусаторов в плоские фокальные области,интерес представляет нахождение сравнительно гладких решений (по сравнению с решениями, подученными с помощью итерационных алгоритмов типа Герчберга-Секстона>,так как именно эти оптические элементы могут быть легко изготовлены с помощью существующих технологий,а также создание оптических элементов создающих заданное распределение интенсивности на двумерной поверхности.Интерес представляет также получение более точных (по сравнению с существующими) асимптотик да световых полей, создаваемых фокусаторами лазерного излучения,в которых отражена зависимость распределения светового поля от локальных параметров фокальной кривой (например кривизны) и параметров апертуры фокусатора.

Цель диссертационной работы заключается в разработке асимптотических дифракционных методов решения прямых обратных задач фокусировки в плоские кривые и двумерны области.

В соответствии с поставленной целью определены

основные задачи диссертации

1. Разработка асимптотических методов расчета световых полей в окрестности фокальной кривой произвольной формы.

2. ~ Разработка асимптотических методов решения обратной задачи фокусировки лазерного излучения в фокальные кривые.

3. Получение гладких решений обратной задачи фокусировки в двумерные фокальные области.

4.Анализ структуры поля и поправок к геометрооптичест решению прямой задачи фокусировки.

5.Получение равномерных асимптотик .справедливых в освещенной области и в области геомегрооигической тени.

Метода исследования

Широко используются асимтотическиэ метода теории дифракции, числвнные метода анализа,метод вычислительного эксперимента.

Научная новизна:

1.С использованием специальной неортогональной системы координат .связанной , со слоями на фокусаторе получено асимптотическое представление интегрального преобразования Френеля для расчета поля вблизи фокальной линии.

2.Получено аналитическое решение задачи фокусировки фокальную кривую с малой кривизной при освещении равномерным и гауссовым пучком с учетом дифракционых поправок,а также решена задача фокусировки смеси мод Гаусса-Эрмига в фокальный отрезок.

3. Для фокусаторов в плоские двумерные области с факторизующимся распределением интенсивности при освещении факторизующимся световым пучком предложено решать обратную задачу Фокусировки с помощью аппроксимации фазовой функции оптического элемента набором функций с прямоугольным носителями и удовлетворящих уравнению Монжа -Ампера.

4. Получены уравнения для фазовой функции оптических элеметов, создающих заданное радиаяьно-симметричное распределение освещенности на заданной радиально-симметричной поверхности.

5. В псевдо-геометрооптическом приближении используя локальную квадратичную аппроксимацию фазы фокусатора,освещенного гауссовым пучком, получены уравнения для псевдоучей и получены равномерные асимптотики для поля за фокусатором,справедливые и в освещенной области, и в области гени.

- в -

тени.

На защиту выносятся

-метод решения задачи фокусировки лазерного излучения в произвольную плоскую кривую с учетом волновых свойств светового поля.

-метод нахождения фазовой функции фокусатора, создающего заданное распределение интенсивности на заданной радиально-симметричной поверхности.

- метод нахождения асимптотик душ световых полег от фокусаторов, освещаемых гауссовыми пучками

Практическая значимость работы.На основе разработанных методов расчитаны фокусаторы многомодового пучка в отрезок и оптический элемент .создающий равномерную освещенность на поверхности кругового конуса.получены, формулы для оценки качества фокусировки лазерного излучения

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладавалтсь на научно-технических семинарах кафедры Техническая кибернетика Самарского государственного аэрокосмического университета ,на III и IV • рабочем совещании по Компьютерной оптике (Сухумиj 1888 Тольятти,1990'),на международной конференции "Optical Science and Engineering" (Гаага, 1991)

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 12 работ Объем и структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения ,трех глав и заключениям и приложения,списка литературы(84 наименований),изложенных на 115 страницах,содержит 9 рисунков..

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность теш, сформулированы цель и задачи исследования, дан краткий обзор литературы по рассматриваемым вопросам, показана научная новизна, приведено краткое содержание диссертации и основные положения

выносимые на запдату.

В первой главе сформулирована постановка задачи фокусировки. Подучено асимптотическое представление интеграла Кирхгофа для вычисления световых полей вблизи фокальной кривой. Подучены уравнения для фазовой функции фокусатора с учетом волновых поправок.

Рассмотрим монохроматическую электромагнитную волну падающую на оптический элемент высота микрорельефа которого описывается выражением:

... * mod 4ACu,v>

hCu,vD=—:- пЛЛ

■ n-1

где

n-показатель преломления материала из которого изготовлен оптический элемент.

¿(и,7)-фазовая функция фокусатора в плоскую кривую с параметрическими уравнениями

x=XQC? Э У=У0С? Э

После прохождения плоской волны через фокусатор комплексная амплитуда становится равной.

Найдем выражение для светового поля вблизи фокальной • кривой. Воспользуемся для этого интегралом Кирхгофа в параксиальном приближении. Вычисление интеграла Кирхгофа будем проводить в 1фиволинейной системе координат, связанной со слоями на фокусаторе.

y=-ft XqC? э+YqC? э

В фокальной области введем систему координат .связанную с фокальной кривой

3-4893

й-расстояниэ от слоя на фокусатора до начала координат. Принимая во внкаание ,что световое поле в точке на фокальной кривой и ее окрестности форшруется за счет светового потока .падающего из окрестности соответствующего слоя, разложим функцию, находящуюся под знаком 1ХР в ря Тейлора по стешням ) с точностью до членов второго порядка. Вычисляя полученный интеграл, получим выражение для -свотового поля в окрестности фокальной кривой.В качестве примера рассчитано поле в фокальной плоскости от фокусатора в кольцо. Для фокальных кривых, обладающих небольшой кривизной при освещении фокусатора равномерным и гауссовским пучком получены формулы дая вычисления светового поля , которые можно применять дая решения ряда инженерных задач и для оценки характеристик фокусаторов.

где И-радиус ашртуры оптического элемента В1=о.5 и

2

2й (С1>

2

1/2

1 +

где а-параметр гауссовского пучка Б=2Г/Каг-бвзразмерный параметр.

Ьлученные выражения для поля в фокальной области можно досматривать как дифференциальные уравнения относительно ункции 5 , определяющей положена слоев на

окусаторв.После нахождения а(?1эможно восстановить эйконал ветового пучка в плоскости .непосредственно прилегавшей к пгическому элементу некоторых задачах, связанных с применением фокусаторов для азерной обработки материалов, требуется найти фазовую ункцию оптического элемента .создающего в фокальной лоскости заданное распределение электромагнитной энергии.В ачестве функции, характеризующей распределение энергии вдоль ривой, используют

где К?,/?) - распределение интенсивности в окрестности окальной кривой.

спользуя 1(?можно найти выражение для которое

акже можно рассматривать как уравнение относительно (О.В качестве примера был рассчитан фокусатор много-

одового цучка в отрезок.На рис.1 приведены распределение нергии вдоль фокального отрезка и центральная часть иплитудной маски фокусатора 3-х мод Гаусса-Эрмига. о второй главе рассмотрены методы расчета фокусаторов, оздающих заданное распределение интенсивности на заданной оверхности.

Пусть распределение интенсивности в области фокусировки и в Зласти фокусатора имеет соответственно вд Iсх,уз =1хсхЭ1 усу} и 10си. У5=И7сш17сг),а сами области граничены кривыми (и) ,и=а,7=Ь и

У=С1(х),у=С2(х),х=А,х=В . .

эдача нахождения фазовой функции фокусатора сводится к инимизации функционала

£

—е

1/2

-Ис(хи+уу)/1

| е

1(х,у>- —— I е

Рис 1а Распределение энергии вдоль фокального отрезка при фокусировке смеси мод Гаусса-Эрмита (мода <0,1),(1,1),(0,0))

рис 16 Центральный фрагмент амплитудной маски фокусатора смеси мод Гаусса-Эрмита в отрезок ( моды (0,1),(1,1),(0,0))

где ||.|| -норма в Ь,, к*>(и,у). - фазовая функция дополнения к линзе.

Представим искомую функцию в вида разложения

<ЧЛ). (и,7)=Р1(и)+Р1 (V)

где *>± (ил)-функция с областью определения в виде прямоугольника, у которого координаты левого верхнего и правого нижнего углов имеет вид(дг.д2 (л1)) и (л1+1<л1+1) и удовлетворяющая уравнению Монжа-Ампера:

I '«Л^иу3®!* =10(и.7)/1(Х,У)

где А=<й-а)Л1 ^-число прямоугольников.Кроме того должно ВЫПОЛНЯТЬСЯ условия С2(1ри(А1 ))= ) и

С1 <л± > >= «81 <д± >

Для .уменьшения интерференционных эффектов функции *> выбирается таким образом,чтобы значения ее на оси х в точках стыка соседних прямоугольников совпадали.Далее поводится минимизация функционала по числу прямоугольников. В качестве примера с помощью предложенного метода был рассчитан фокусатор круглого пучка в усеченный эллипс. В диссертации рассмотрен расчет фокусатора , формирующего заданное распределение освещенности на заданной радиально симметричной поверхности.

Пусть лазерное излучение с комплексной амплитудой 10с рэ падает на оптический элемент , расположенный в плоскости г=0,который преобразует его в пучок с амплитудой 1(р)ехр(1к*»(р>)

."Задача состоит в отыскании фазовой функции к^срэ непосредственно за оптическим элементом светового поля с заданным усредненным значением потока вектора Умова-Пойтинга(освещености) 1(г).- Закон сохранения светового потока в дифференциальной форме имеет вид

г 1x2

10СрЭрёр=1СгЭгс1г

]

интегрируя его , подучи« функцию г=гсрэ .Далее используя уравнения луча , получаем обыкновеннное дифференциальное уравнение для ^с р>

2 1/2

В качестве примера в диссертации рассчитан оптический элемент, формирующий равномерную освещенность на поверхности кругового конуса.Предложенный метод в работе распространен на случай нврадиально-симметричных поверхностей. Третья глава посвящена методам решения прямой и обратной задач фокус и ровки,основанным на уравнениях ПС8ВД0Г8ометрической оптики. Показано, что структура поля даже в окрестности каустики и фокальных точек носит геометрооптаческий характер , а уравнения для поля в свободном пространстве аналогичны уравнениям нелинейной геометрической оптики.

В диссертации предлагается для нахождения поправок к

геометрической оптике использовать систему уравнений:

(7р)2=1+ М

Кс А

Да.лзв вводится понятие псевдолучей .Псевдолучи - это решения характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений .В отличие от геометроопгических лучей,которые в свободном пространстве представляют собой прямые линии, псевдолучи искривлены.Анализируя исходную систему уравнений в диссертации показано .что энергия в псевдолучевых трубках, образованных псевдолучами

сохраняется (в отличив от энергии .заключенной в обычных световых трубках). Этот факт положен в основу получения равномерных асимптотик,которые справедливы и в освещенной области и в области геометрооптической тени. Аппроксимируя пучок в плоскости , непосредственно прилегающей к фокусатору локально гауссовым, в диссертации получены уравнения для псевдолучей и асимптотики для квазигауссовских пучков в свободном пространстве. В качестве примера с помощью предложенных методов было получено распределение светового поля в фокальной плоскости от фокусатора гауссовского пучка в отрезок и проведено сравнение с результатом вычисления поля с помощью численного вычисления интеграла Кирхгофа.

Заключение

В диссертации разработаны методы расчета фокусаторов лазерного излучения с учетом дифракционных поправок на основе асимтотичеких методов математической физики. Получены слэдующие основные результата:

1)С использованием специальной неортогональной системы координат .связанной со слоями на фокусаторе получено асимптотическое представление интегрального преобразования Френеля для расчета поля вблизи фокальной линии.Для равномерного и гауссова пучков получены асимптотики для поля , которые можно использовать для инженерных расчетов при оценке характеристик фокусаторов.

2)Получены дифференциальные уравнения для фазовой функции фокусатора в произвольную фокальную кривую с малой кривизной при освещении равномерным и гауссовым пучком по заданной функции .характеризующей распределение энергии вдоль кривой.

3)Получены аналитические формулы для вычисления поля в окрестности фокального отрезка при освещении фокусатора пучком .представляющим смесь мод Гаусса-Эрмита.

4)На базе полученных формул получены дифференциальные уравнения -для фазовой функции фокусатора многомодового пучка в отрезок по известной функции .характеризующей распределение энергии лазерного излучения с учетом дифракционных поправок

5) Для фокусаторов в плоские двумерные области с факторизующимся распределением интенсивности при освещении факторизующимся световым пучком (представимым в виде 1<и,у)=1(и)1(у))предяожено решать обратную задачу Фокусировки с помощью аппроксимации фазовой функции оптического элемента набором функции с прямоугольным носителями и удовлетворялся уравнению Монжа -Ампера и с последующей минимизацией функционала невязки по числу таких фукций при условии,что погрешность аппроксимации области фокусатора и фокальной облети не превышает заданного значения.С его помощью расчитан фокусатор из круглого пучка в "усеченный эллипс" с равномерной интенсивностью.

6)Получены уравнения для фазовой функции оптических элеметов, создающих заданное радиально-симметричное распределение освещенности на заданной

радиально-симметричной поверхности поверхности.Получено аналитическое выражение для фазовой функции оптического элемента, создащего равномерную освещенность на поверхности кругового конуса.

7)В псевдо-геометрооптическом приближении, используя локальную квадратичную аппроксимацию фазы фокусатора,освещенного гауссовым пучком, получены уравнения для псевдоучей и получены равномерные асимтотики для поля за фокусатором,справедливые в освещенной области и в области тени.Проведено сравнение результатов , полученных с помощью асимптотических методов , и непосредственным вычислением интеграла Кирхгофа на примере фокусатора гауссова пучка в отрезок.

Основные результаты опубликованы в работах

1. Голуб М.А., Досколович Л.Л, Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Харитонов С.И. " Дифракционные поправки при фокусировке лазерного излучения в отрезок" // Оптика и спектроскопия,

1991, N6, с.1069 - 1073.

2. Голуб М.А., Казанский Н.Л., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Харитонов С.И. "Дифракционный расчет интенсивности светового поля вблизи фокальной линии" // Оптика и спектроскопия, 1989, т.67, N 6, с. 1387-1389.

3. Голуб М.А., Казанский Н.Л., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Харитонов С.И. "Оценка дифракционного размытия фокальной линии геометрооптических фокусаторов" //Сб. Компьютерная Оптика,1989, N 5, с. 34-38.

4. М.А. Годуб.Н. Л. Казанский, И.Н. Сисакян, В. А. Сойфер, С. И. Харитонов "Дифракционный расчет оптического элемента фокусирующего в кольцо"//Автометрия. 1987, N6, с 8-15.

5.Голуб М.А..Харитонов С.И. "Дифракционный анализ поля от фокусаторов вблизи фокальной линии" //сб.Оптическая запись и обработка информации, Куйбышев 1988, с 19-25.

6. Голуб М.А., Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., Сисакян И.Н. .Сойфер В.А., Харитонов С.И. "Вычислительный эксперимент с фокусатором Гауссова пучка в прямоугольник с постоянной интенсивностью" // Сб. Компьютерная оптика, 1990, N 7, с.42-49.

7. Голуб М.А., Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., Сисакян И.Н.,Сойфер В.А., Харитонов С.И. "Устройство для фокусировки монохроматического излучения" Решение о выдаче A.C. от 30.01.92 по зявке 4927509/10/032674 от 17.04.91

8. Голуб М.А., Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., Сисакян И.Н..Сойфер В.А., Харитонов С.И. "Метод согласованных прямоугольников для расчета фокусаторов в плоскую область"// Сб. Компьютерная оптика, 1990, N 10, с.42-49.

9. Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., .Сисакян И.Н..Сойфер В.А., Харитонов С.И.Фокусировка лазерного излучения на трехмерную поверхность вращения//Сб. Компьютерная оптика,

1992, N 12, С.42-49.

10. M.A.Golub, L.I. loscolovich, N. L.

Kazanskly,S.I.Kharitonov, N.G. OrloYa, I.N. Sisakian, V.A.. Soifer "Computational experiment for computer generated opticalelements " // Proceedings SPII, 1991, y. 150Q, pp. 194 - 206.

11. Golub M.A., Doscolovich I.L., Kazanskiy N.L., KharitonovS.I., Soifer V.A. " Computer generated diffractive multi-focallens " // Modern Optics, 1992, to be published..

12. M.A.Golub, L.I.DoscoloYich, N.L.Kazanskiy, S.I.Kharitonov, I.N. Sisakian, V.A. Soifer "Tocusators at letters diffraction design" //Proceedings SPIE, 1991,Y. 1500, pp. 211 - 221.