Асимптотические разложения и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГВ ол

2 5 Щ 2П00

На правах рукописи

Алиева Людмила Марковна

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала -2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Дагестанского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Р.Г.Алиев

Оффициальные оппоненты: доктор физико-математических

года в 14 часов на заседании специализированного Совета К 063.61.07 в Дагестанском государственном университете (367025, г.Махачкала, ул.Дзержинского, д. 12, математический факультет, аудитория 3-70.)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ДГУ по адресу г.Махачкала, ул. Батырая,2.

наук, профессор В.А.Елеев; кандидат физико-математических наук, доцент Р.И.Кадиев

Ведущая организация: Московский педагогический

государственный университет

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

2000 года.

Ученый секретарь специализированного Совета

Р.И.Кадиев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкий спектр приложений, где исполь-;уются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументу особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, способствует 'величению интереса к изучению абстрактных функционально-щфференциальных уравнений.

Число разнообразных прикладных задач, поставленных с учетом апаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в на-¡ледственной механике, физике, биологии, экологии, в ряде экономических проблем и в других науках.

Наибольшее применение нашла эта теория в современной техни-;е, где имеются колебательные процессы в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями, в теории автоматическо-

0 управления, в теории автоколебательных систем.

Основы теории операторно-дифференциальных уравнений были аложены в конце 40-х - начале 50-х годов в работах Э.Хилле и \Филлипса, К.Иосиды, Т.Като. Этим вопросам посвящены целый >яд монографий отечественных и зарубежных математиков таких, ;ак Э. Пинни, Р.Беллман, К.Кук, Дж.Хейл, А.Д.Мышкис и др.

Большой вклад в развитие этой теории внесли советские ученые. Систематическим изучением уравнений с отклоняющимся аргумен-ом в нашей стране начал заниматься после 40-х годов А.Д.Мышкис,

1 с 50-х годов А.Э.Эльсгольц, Н.Н.Красовский, С.Б.Норкин. Ими

изучались скалярные уравнения. Исследованию абстрактны: дифференциальных уравнений в банаховом пространстве посвящень работы Ю.Л.Далецкого, М.Г.Крейна, С.Г.Крейна. Позже исследова ние в этом направлении продолжили такие математики, ка: Н.В.Азбелев, Г.А.Каменский, В.Б.Колмановский, В.Г. Курбатов А.Л.Скубачевский и т.д.

Одной из важных проблем при изучении дифференциальны: уравнений и их приложений является проблема описания характер; поведений решений при больших значениях независимой перемен ной и по отношению к возмущениям начальных данных.

Вопросы асимптотического поведения решений в случае опера торного уравнения первого порядка рассмотрены в работе Ш.Агмон! и Л.Ниренберга, А. Пази, В.А.Кондратьева, М.А.Евграфова Исследованию асимптотического поведения решений дифференци ального уравнения произвольного порядка с неограниченными one раторными коэффициентами в гильбертовом пространстве посвя щены работы В.Г.Мазьи и Б.А. Пламеневского.

Вопросы устойчивости абстрактных дифференциальны} уравнений в банаховом пространстве изучены в работах Ю.Л. Да лецкого и М.Г.Крейна и С.Г.Крейна. В последние годы вопросам! разрешимости и изучением свойств решений функционально дифференциальных уравнений (ФДУ) в гильбертовых пространства: занимается В.В.Власов.

Операторно-дифференциалыше уравнение первого порядка < отклоняющимся аргументом с неограниченными операторным! коэффициентами в гильбертовом пространстве

m

Ц u(t)- X [A, + A, (t)]u(t -h! + h, (t)) = f(t), 16 (-O0, +00)

j=0

в пространствах с экспоненциальным весом изучено Р.Г.Алиевым.

В настоящей диссертации рассматриваются вопросы асимптотических разложений решений абстрактных ФДУ второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами, а также исследуются вопросы ограниченности и устойчивости решений этих уравнений.

Целью работы является:

1) получение асимптотического разложения решений уравнения с переменными неограниченными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента из некоторых классов через решения соответствующего однородного стационарного уравнения;

2) получение условий ограниченности и устойчивости решений стационарных уравнений и уравнений с переменными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента;

3) исследование аналогичных вопросов для уравнений с линейным отклонением аргумента.

Методика исследования. В основу получения результатов были положены методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории устойчивости, теории линейных операторов, метод преобразования Фурье.

Научная новизиа: -получены асимптотические разложения решений исследуемых уравнений;

-получены условия на резольвентный оператор, запаздывания аргумента, коэффициенты и на правую часть уравнения, при которых решения исследуемых уравнений являются ограниченными и устойчивыми.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты дополняют теорию абстрактных функционально дифференциальных уравнений. Уравнения с запаздывающим аргументом встречаются во многих приложениях и эти результаты могут найти применение в тех областях, где возникают явления с последействием. Эта теория может быть применена к уравнениям в частных производных.

Апробация работы. Результаты данной диссертации доложены на четвертой Северо-Кавказской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (Махачкала, 1997 г.), на научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава ДГУ (Махачкала, 1998 г.), на научно-исследовательских семинарах профессора Р.Г.Алиева (кафедра математического анализа, ДГУ, Махачкала), на конференции, посвященной памяти Х.Ш.Мухтарова (Махачкала, 1999 г.), на городском математическом семинаре (Махачкала, 2000г.), на Пятой Крымской международной математической школе (Алушта, 2000г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано з 6 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 88 страницах, состоит из введения, двух глав и списка литературы. Библиография содержит 51 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Приведем необходимые обозначения, используемые в диссертации.

X, У - гильбертовы пространства, X с У, > .

г(Х,У) (20(Х,У)) и Z^(X,Y)- множество линейных ограниченных (замкнутых) и вполне непрерывных операторов из X в У соответственно.

Ь2(00со),у)-пополнение множества сильно-непрерывных функций с компактными носителями и со значениями в У по норме

со 'о

Х^ - пополнение множества функций и^), и(О = О,1^0, с компактными носителями и со значениями в X, имеющие сильно непрерывные вторые производные в У по норме

Н!

, а = сог^ е Я.

- пополнение множества сильно непрерывных функций и(1),

и(1) = О, I < 10, с компактными носителями и со значениями в У по норме

/

аз

|езф(2аПХ||и(0|уЛ

Ч'о

V'О

Ш- множество абсолютно-непрерывных в .1 с К скалярных функций Ь(1), причем в точках существования производной Ь'(0< г< 1, ге ). ^ЧО^иО-г).

Х\(е) - характеристическая функция оператора А. Она определяется неравенством ¡Аи|у + Ха (с)1Иу по заданному е>0 и любого

иеХсУ, имеющим место для оператора Ае ^(У, У)п г^ДХ, У). 1 ш 1 нк

к=0 ]=0 1 ьк0(0 = ько=о, к=0,1;

1 ш

к=0 j=0 1 га

к=0 1=0

Коэффициенты А^ , Ау (Ое (У, У)п г(Х,У), Ьц +ЬМ(1)>0, Ьк](1)еШ, ]=0,1,к = 0,1, 1>10.

Для любых фиксированных значений 1еЯ, ЛеС определим операторы

1 ш

^(А.О^^Е-^Х^У + ^СО^ехрЬЦ^+ЬуСО)})-1: У^Х , к=<^=0

Кр № = Кро (<*> г>! ^<0*0 '

называемые резольвентами для операторов Ьро,Ьр,Ь0 соответственно.

Под решением уравнения Lpou(t) = f(t) понимается функция u(t), имеющая сильную абсолютно-непрерывную производную в Y и удовлетворяющая уравнению.

Первая глава диссертации, состоящая из трех параграфов, посвящена асимптотическим разложениям решений уравнений Lpou(t) = f(t) и L0u(t) = 0 с линейным отклонением аргумента.

В первом параграфе доказаны две вспомогательные леммы. Во втором параграфе получены асимптотические разложения решений уравнения

Lpou(t)=f(t) (1)

в пространствах с экспоненциальным весом. Доказана следующая

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия:

а) Akj eZ0(Y, Y), k = 0,1. j = 0,l,...,m, Akj eZM(X,Y), k = 0,l, j = l,2,...,m,

|jAkj(t)|J <oexp{-at}, t>t0, k = 0,l, j = 0,l,...,m, a = const>0;

б) Rp(A)- мероморфна, .All,, (Я) • O(l), !Aj->®, «<JmA<a, на прямой ImA = 5 = a-£>a, £>0 нет полюсов Rp(A);

в) jhkj (t)< cexp{-(a-a)t}, t>t0 + hkj, hkj (t)e H(t0,«),

I

sup! Jexp{2(a-a)s}^ (exp{-(a-a)s})|hkj(s)[ds|<cc, ,>,0!»+>Ч, i

(t) - функции, обратные для (pv■ (t)st - hkj - hkj (t), k + j > 0;

Г) f(t)eY°£;

14 +

д) u(t) - решение уравнения (1), обладающее свойством

exp{a:t}D^ u(t)e L2 ((T,oo),X),

T= mnn tj, inf(t) , к = 0,1, ISjäm [ t£t[ J J

ti = mini t0,t0+hkj, inf i£>kj(t)f,k=0,l. lSj£m(_ t£min(to,t0+hkj) J

Тогда для любого e >0 имеется конечное число решений вида Uy(t)= е|Я"'р„(t), v = l,...,q уравнения Lpu(t) = 0, где Xv-полюс резольвенты Rp(/l) в полосе a<JmÄ<S, pt,(t)-многочлен с коэффициентами из X , степень которого на единицу меньше кратности полюса Xv, что имеет место неравенство

I е2(а-г)'

(t)-Xui">(d| dt<c|p |f(t^dt+X ]e2-|D^u(t)f dti

и=1

X l.o k=° X

где п=0,1, постоянная с не зависит от решения u(t)H его производной u'(t).

В третьем параграфе рассматривается уравнение с линейным отклонением аргумента

1 m

Lu(t)s D2u(t)Wu(akjt) = f(0, (2)

k=0 j»o

где Д.0 (t)= Ako = const, ak0 = 1, k= 0,1, 0< akj < 1, j= l,m,

|jAkj(t)u| < exp{-at}j|uiix , a= const, k = 0,1, j = 0,m.

Справедлива следующая Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия:

a) j|Akj(t)|l <cexpj—-t>, k = 0,1, j = l,m, a - const >0;

A 1 A

б) Я(Я)=(Я E-A00 -ЯА10) - мероморфна,

= 0(1), \Л\ ->оо, 0 < < а;

в) ;

к +

г) Е^и(1)е Ь2 ((0,оо),Х), к = 0,1, где и(0 решение (2).

Тогда для любого е>0 существует конечное число решений вида и5 (с)= е"1'' р, (0, 1=1,...^ уравнения 10и(О = 0, где \ - полюс резольвенты Я(Я) в полосе 0< 1тЛ<а-е, Р[(0- многочлен с коэффициентами из X, степень которого на единицу меньше кратности полюса Я, что имеет место

п=0,1, постоянная с не зависит от решения иО) и его производной и'(0.

Во второй главе, состоящей из трех параграфов, получены условия ограниченности и устойчивости решений стационарных уравнений и уравнений с переменными коэффициентами и отклонениями аргумента.

Рассматривается уравнение

где (t)= 0, к= 0,1, (t)> 0, hkj (t)e HJ, k = 0,1, j= l,...m, A kj (t): X Y - для любого фиксированного t e R, Ak|(t)uy < Cjj ii|x для любого u(t)e X, k= 0,1, j=0,l,...,m. Предполагается существование lim Aki (t)= Aki, limhki(t) = hkj,

t—ЮЭ J t-KO '

причем Akj :X-> Y-вполне непрерывные операторы, k= 0,1, j = l,...,m.

[o 0k=0

0 k=0

L0u(t)=f(t),

(3)

Наряду с уравнением (3) будем рассматривать и «предельное» уравнение

Ьри(1) = Д1). (4)

Доказательства основных теорем второй главы опираются на результаты вспомогательных лемм, доказательство которых приведено в первом параграфе.

Во втором параграфе получены условия, при которых решения уравнения (4) являются ограниченными и устойчивыми. Справедлива следующая

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия: а) (Я) регулярна в нижней полуплоскости 1шЯ<0,

¡ЛКр0{х = О(1), 1^(^=0(1), |Л| -> со, 1тЛ < О,

<оо, причем Ыр(Л) может иметь конечное чис-

Б11р

;тЛ=0

¿Я

У

ло простых полюсов на = 0;

Тогда каждое решение уравнения (4) ограничено и устойчиво по Ляпунову.

В третьем параграфе второй главы при дополнительных требованиях на отклонения аргумента, на коэффициенты уравнения доказана теорема об ограниченности и устойчивости решений уравнения (3) с запаздывающим аргументом с переменными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.

Теорема 2.3.1. Пусть выполнены условия:

а) Ay б Z0(Y, Y), к = 0,1, j = 0.1,...m, Ач e Z„(X, Y), к = 0,1, j = ...........

IK(0 - Akj||Y |t - by M! * c0(l + it|)-ff, cr > 0, t > t0 > = 0,1, j = 0,1,...,in;

б) резольвенты Rp(/t), R0(A,t) регулярные полуплоскости

ImЛ<0, Ц/lRp = O(l), • /-** Rp (Л) = O(l), ;|AR0 (A,t)jx =0(1), ;|a2Ro(Я,t)| = O(l), jA|->oo, \тЯ<0, t>t0; Rp(A)- может иметь конечное число простых полюсов на Im Л = 0; R0 (/.,t) x , |UR0(i,t);|x, ¡¡Л.2R0 (Я, t)|1 - равномерно ограничены по

t>t0, 1тЯ < 0, sup ti— (A2Rp(A)>! < со; В) (l + |t|S)!:f(t)i|y 6L2(t0,«), s>i;

¡pCj'CO

Г) sup| pff*A4(r"(ff+,))>kj(t)-hkj!dr

t>toit+bkj

< oo;

сг > 0, срц (1)= I- (О, ]= 1,...,т, к = ОД.

Тогда каждое решение уравнения (3) ограничено и устойчиво по Ляпунову.

В третьем параграфе приведены примеры обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, иллюстрирующих абстрактную теорию.

Перечень публикаций автора по теме диссертации!. 1. Алиева Л.М. Об устойчивости решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом в гильберто-

вом пространстве // Вестник ДГУ. Естественные науки. - Махачкала: ИПЦДГУ, 1998. - вып.1. - С.109-114.

2. Алиева Л.М. Асимптотическое поведение решений дифференциального уравнения второго порядка с линейным отклонением аргумента в гильбертовом пространстве. - Тезисы докладов VII международной конференции. Математика. Экономика. Экология. Образование. Рос-тов-на- Дону. 1999.- С.7-8.

3. Алиева Л.М. Оценка решения функционально-дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. // Межвузовский научно-тематический сборник "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения". -Махачкала: 2000, - вып.4. -С.12-18.

4. Алиева Л.М. Асимптотическое поведение решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. // Вестник ДГУ. Естественные науки. - Махачкала: ИПЦ ДГУ, 1999.-вып.1.-С.36-41.

5. Алиева Л.М. Оценка решения дифференциального уравнения второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами с запаздыванием в гильбертовом пространстве. - Тезисы докладов II математических чтений, посвященных памяти профессора Мухтарова Х.Ш. -Махачкала: 2000. -С. 10-11.

6. Алиева Л.М. Об устойчивости решения дифференциального уравнения , второго порядка с запаздывающим аргументом. - Тезисы докладов Пятой Крымской Международной математической школы "Метод функций Ляпунова и его приложения".-Алушта: 2000. -С.25-26.

ВВЕДЕНИЕ.,. 1

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа. 8

Краткое содержание диссертации. 11

ГЛАВА I. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ.

§1.1. Вспомогательные леммы. 19

§ 1.2. Теорема об асимптотическом разложении. 26

§ 1.3. Случай уравнения с линейным отклонением аргумента. 41

ГЛАВА И. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ.

§2.1. Вспомогательные леммы. 48

§ 2.2. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с постоянными запаздываниями аргумента и постоянными операторными коэффициентами. 62

§ 2.3. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с переменными запаздываниями аргумента и переменными операторными коэффициентами. 67

§ 2.4. Примеры для иллюстрации абстрактной теории. 78

Широкий спектр приложений, где используются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, способствует увеличению интереса к изучению абстрактных функцио-нальнр-дифференциальных уравнений.

Число разнообразных прикладных задач, поставленных с учетом запаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в наследственной механике, физике, биологии, экологии, в ряде экономических проблем и в других науках.

Наибольшее применение нашла эта теория в современной технике, где имеются колебательные процессы в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями, в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе, например, может существенно сказаться на ходе процесса. Могут возникнуть самовозбуждающиеся колебания и даже неустойчивость системы.

Основы теории операторно-дифференциальных уравнений были заложены в конце 40-х, начале 50-х годов в работах Э.Хилле и Р.Филлипса [42], К.Иосиды [23], Т.Като [25]. Хилле и Иосида получили первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения х' = Ах с неограниченным оператором А в банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. В работе Като была получена теорема существования решения задачи Коши для уравнения х' = А(Т)х с переменным неограниченным оператором А(Ч).

В последующие 15 лет эта теория превратилась в большую самостоятельную область исследования. Ей посвящены целый ряд монографий отечественных и зарубежных математиков, занимающихся данными вопросами. Назовем здесь Э.Пинни [39], Р.Беллмана, К.Кука [17], Дж.Хейл [41], А.Д.Мышкис [36] и др. 2

Большой вклад в развитие этой теории внесли советские ученые. Систематическим изучением уравнений с отклоняющимся аргументом в нашей стране начал заниматься после 40-х годов А.Д.Мышкис [36,37], а с 50-х годов А.Э.Эльсгольц [43], Н.Н.Красовский [30], С.Б.Норкин [38]. Ими изучались скалярные уравнения. Исследованию абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве посвящены работы Ю.Л.Далецкого, М.Г.Крейна [21], С.Г.Крейна [31]. «Одной из движущих сил при исследовании дифференциальных уравнений в банаховых пространствах является теория уравнений с частными производными, дающая наиболее естественные примеры уравнений с неограниченными операторами» [31].

Позже исследование в этом направлении продолжили такие математики, как В.Б.Колмановский [26], В.Г.Курбатов [32], Г.А.Каменский, А.Л. Скуба-чевский [24] и т.д.

С 60-х годов теорию уравнений с отклоняющимся аргументом успешно начала развивать группа математиков под руководством Н.В.Азбелева [1].

Одной из важных проблем при изучении дифференциальных уравнений и их приложений является проблема описания характера поведений решений при больших значениях независимой переменной и по отношению к возмущениям начальных данных.

Из работ, посвященных асимптотическому поведению решений в случае скалярного уравнения, укажем на монографию Р.Беллмана, К.Кука [17], в которой установлена связь между распределением корней характеристического квазиполинома и поведением решения при больших I для случая уравнения с запаздывающим аргументом а0и'(Т) + Ь0иО:) + ^(Ч — со) = 0, I € (-со,+со), где а о, Ь0, - действительные числа и со > 0.

Вопросы асимптотического поведения решений в случае операторного уравнения 3

- Аи(0 = О, I е (-00,4-00), где Ц = - —, А - некоторый постоянный оператор^ рассмотрены в работе 1 сИ

Ш.Агмона и Л.Ниренберга [44]. В этой статье выведены асимптотические формулы для решений экспоненциального роста при условии, что спектр оператора А состоит из собственных значений, расположенных (за исключением разве лишь конечного числа) в некотором двойном угле меньшем п, содержащем мнимую ось. <

Эти результаты были распространены А.Пази [51] на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые.

Для решений параболических и эллиптических краевых задач в цилиндре подобные асимптотические формулы были получены В.А.Кондратьевым [28,29].

Для уравнения

Б{и(0-А(1)и(1) = 0, I е (-оо,-ко),

1 <н в случае, когда переменный оператор А(1;) стремится при 1 -» оо в некотором слабом смысле к постоянному оператору А были получены асимптотические формулы М.А.Евграфовым. Им же получены условия устойчивости по Ляпунову и различные их обобщения в случае уравнения с постоянными и переменными операторными коэффициентами [22]. Вопросы устойчивости уравнения Бги(0-А(0и(0 = 0, 1е(-оо,+оо), в случае, когда 1А(1) является производящим оператором полугруппы или ограниченным оператором рассмотрены в работах Ю.Л. Далецкого, М.Г.Крейна [21] и С.Г.Крейна [31].

Дифференциальному уравнению произвольного порядка вида 4 адЬ^зОХО + ^А^ДОгиСО^О, I е (-со,-ко), ] = 0,.,п

Н> У* с неограниченными операторными коэффициентами , ] = 0,., п -1 в гильбертовом пространстве посвящены совместные работы В.Г.Мазья и Б.А.Пламеневский [33], Б.А.Пламеневский [40]. Они обобщили асимптотическую формулу Агмона-Ниренберга на случай операторов с переменными коэффициентами и распространили теорему Евграфова на уравнения произвольного порядка.

В последние годы вопросы устойчивости решений скалярных уравнений с т запаздыванием вида х'(0 = ах(1;) - ^Ькх(Ч - гк (1;)), I > О, к=1 где а,Ьк-вещественные числа, причем Ьк>0, гк - измеримые, неотрицательные, ограниченные функции рассматривались в работах В.В.Малыгиной [34].

Вопросами разрешимости и изучением свойств решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах занимается В.В.Власов [19,20].

Операторно-дифференциальное уравнение первого порядка с отклоня -ющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве т

1е(-оо,+оо), (0.0.1) о в пространствах с экспоненциальным весом изучено Р.Г.Алиевым [1-4]. Получены асимптотические разложения решений этого уравнения. В этих же пространствах изучено уравнение первого порядка с линейным отклонением аргумента вида т

О^О-ХА^Ма^ВД

И0

5 ' и получены асимптотические разложения решений этого уравнения. В работе [7] рассматриваются частные случаи уравнения (0.0.1): т И т 3=0

Получены условия, при которых решения этих уравнений являются ограниченными и устойчивыми. '

Глубокое исследование таких уравнений стало возможным, благодаря успешному применению к ним методов функционального анализа, метода преобразования Фурье и методов, подсказанных спецификой уравнений с отклоняющимся аргументом, впервые примененных в этих работах.

Целью настоящей диссертации является получение асимптотических разложений решений и исследование на устойчивость решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка

1 ш

Ьрои(0 = - X + Ач(1)]8ьч+ьч(4)^и(1:) = ОД к=о з=о с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Аналогичные вопросы рассмотрены для случая уравнения с линейным отклонением аргумента.

В основу получения результатов были положены методы, разработанные Р.Г.Алиевым, методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории устойчивости, теории линейных операторов, а также метод преобразования Фурье.

В диссертационной работе доказаны теоремы об асимтотическом разложении решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве и уравнения с линейным отклонением аргумента, получены ус6 ловия, при которых решения исследуемых уравнений являются ограниченными и устойчивыми.

Приведем необходимые определения, обозначения, формулировки результатов, используемые в диссертации.

X, У - гильбертовы пространства, X <= У, |||х >|||у.

Z(X, У) - множество линейных ограниченных операторов из X в У.

Z0 (X, У) - множество линейных замкнутых операторов из X в У.

Ъ^ (X, У) - множество линейных вполне непрерывных операторов из X в У.

С - плоскость комплексного переменного.

С°° (О)-множество бесконечно-дифференцируемых на открытом множестве О функций.

Носителем определенной и непрерывной на открытом множестве О е И. функции и(0 называется множество ^: и(1) Ф о}п в.

Функция и(1:) еХ называется сильно непрерывной в точке если ||и(1)-и(10)||х при

Ь2 СС^о оо), У) - пополнение множества сильно-непрерывных функций с

00 компактными носителями и со значениями в У по норме = |р"(Х)||ус11; . о

10,+®).

Введем пространства:

Х2'^ -пополнение множества функций и^), и(1:) = 0,1:<1:0, с компакточными носителями и со значениями в X, имеющие сильно непрерывные вторые производные в У по норме 7

11 = ехр(2о1)([и(1)| +||и'(0||2х +||и"0)||2у)(11 а = сош! е К.

У0;" -пополнение множества я}? сильно непрерывных функций и(1:), и(1:) = 0,1:<1:0, с компактными носителями и со значениями в У по норме ехр(2с*)(||и(0||^

Щ- множество абсолютно-непрерывных в 1сЯ скалярных функций 11(1;), причем в точках существования производной < г < 1, I е X 811(0и(1) = и(1 -11(1)). й(Я) = (и( I)) - преобразование Фурье функции и(1:).

Под решением уравнения Ьрои(1;) = ^^ понимается функция и(1;), имеющая сильную абсолютно-непрерывную производную в У и удовлетворяющая уравнению почти всюду.

Рассматривается основная начальная задача для уравнения

1 т

Ь0и(г)зО?и = Б* = (0.0.2) k=0j=0 {01 и(к)(0 = Е(к)(0, к = 0,1, ц<а0, (0.0.3) где (I)- заданные функции. Предполагается, что и^(1:0 + 0) = g(-k)(1:0). Решение задачи (0.0.2), (0.0.3) обозначим через 1^(^(1:), где Е(0 = (81(0,В2(0).

Решение и^ (0 задачи (0.0.2), (0.0.3) назовем устойчивым, если для любого 8 > 0 существует ¿^(«Мо) > 0 такое, что из неравенства

- к = 0,1, для любой другой начальной функх ции (р{х) = (срх 0), (р2 (I)), следует неравенство и §({) (I) - и (I)

Тривиальное решение и(Ч) = 0 соответствующей однородной задачи (0.0.2), (0.0.3) называется устойчивым, если для любого б >0 существует с5"10) > 0 такое, что неравенство и^^) < £ будет выполнено при всех

1>1;0, если только (Щ <д к = 0,1, при ^^

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение:

Лемма А ( лемма 2.1 [6]). Если А е (У, У) п Ъ^ (X, У), то для любого е > 0 существует Хк (£) > чт0 имеет место неравенство

Аи||у < £||и|[х + Ха для ЛК>бого и е X <= У.

ХА (£") называется характеристической функцией оператора А.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Преобразование Фурье [23] функции f еЬ (Я,Н), где Н- гильбертово пространство, определяется как (Я) = Li.nL ~т== [ехр(-ШЖ1)(Й,

ТЧГ^гг, . Г)тг Л n N

Под 1л.ш. понимается предел по Ь (Я,Н)- норме. Преобразование Фурье для всякой функции f еЬ (К,Н) определяется формулой

1 00 [ехр(-Ш)^)<к. л/2л- -1

-00

Теорема Планшереля [23]. Если f е Ь (Я,Н), то функция

1 N

1) = ii.ni. ,—- ехр(-Ш)^)с!1 существует и ? еЬ2(11,Н). При

N->»^/2 п *т этом n

-оо —со ^ —N

Из этой теоремы следует, что если ЗтЛ = а ^ 0, то

2 00

Л)|| <Ц= {ехр(2аО||ВД||*<к

ЗтЛ=а

Теорема Пели-Винера [23]. Целая голоморфная функция является преобразованием Фурье со л/2~п ии функции Г е Сд (К), носитель которой содержится в отрезке ^ < а пространства Я тогда и только тогда, когда для любого целого N существует положительная постоянная Ск такая, что (1 +1/1|)-14 ехр(а|1тЯ|). ' н

Лемма Римана Лебега [17]. Если е 1^(11,11), то

Нт ш^и^сН; = Ит щОсозр!^ =0 г»—^оп * п—^оп » р—>00 " р->00 -00 —00

Приведем некоторые сведения из теории операторов [31], используемые в диссертации. Пусть X, У -нормированные пространства.

Оператор А: X —» У называется замкнутым, если из хп —> х, хп е X, Ахп —» у при п —со следует, что х е X, Ах = у.

Оператор А:X —»У называется ограниченным, если для любого иеХ выполнено неравенство ¡Аи|х < с(|и||у. Наименьшее значение константы с называется нормой оператора А и обозначается через ||А||Х . Ограниченный оператор непрерывен.

10

Непрерывный линейный оператор, определенный на всем пространстве X, ограничен.

Замкнутый оператор, определенный во всем пространстве , ограничен.

Если оператор А замкнут и имеет обратный А-1, то А-1 - замкнут.

Если А - замкнутый оператор, то А+В, где В- ограниченный на области определения оператора А оператор, также замкнутый оператор.

Если оператор А имеет ограниченный обратный, то А - замкнут.

Вместе с оператором А замкнут или незамкнут оператор (А - ЛЕ ) (с областью определения D(A) ), поэтому, если существует ограниченный обратный оператор (А - ЛЕ)"1, то оператор А замкнут.

Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он определен на всем пространстве X и отображает каждое ограниченное в X множество в компактное множество в Y.

Ограниченный линейный оператор A(t) называется сильно непрерывным, если ||A(t + h) - A(t)|| Y -» 0 при h -> 0.

Оператор-функция R(/l) называется регулярной функцией AeGcC, если в окрестности каждой точки Л0 е G имеет место разложение в сходящийся по равномерной норме степенной ряд оо

R(A) = £Bk(A - А0)к , где Вк - ограниченные операторы. к=0

Если в каждой ограниченной части плоскости R(A) регулярна за исключением, быть может, конечного числа полюсов, то R(/l) называется мероморфной функцией.

Функция, регулярная во всей комплексной плоскости, называется целой функцией.

Целая аналитическая функция f (z), удовлетворяющая неравенству blzl f(z) < се 1 1, где b - const, называется функцией экспоненциального типа.

11

Теорема Коши [35]. Если í{z) аналитична в некоторой полосе а < 1тЛ < Ь, причем f (г) равномерно стремится к нулю при |?| -> оо в этой полосе, то контур интегрирования можно произвольно деформировать в этой полосе.

В частности, все контуры 1тг=с эквивалентны между собой, то есть интеграл не зависит от с при а < с < Ъ.

1пк=с

Формула Коши Г35]. Пусть ^(г) регулярная функция внутри ограниченной области Б, непрерывная в замкнутой области Б = Б и Г. Тогда функция f (:ъ) имеет производные всех порядков всюду в области Б, которые выражаются п! г £(£•)(!£• 2 т1(6-х)п+х п = 1,2.)

Основная теорема теории вычетов [35]. Пусть Г (г) является аналитической функцией всюду в замкнутой области в за исключением конечного числа изолированных особых точек - полюсов гк, к = 1,.п, лежащих внутри в. Тогда п

Ю к=1

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Объектом исследования диссертации является функционально-дифференциальное уравнение второго порядка с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве

1т , . к=0 ]=0

0.0.4)

12

Коэффициенты Akj, Akj (t): Y —> Y - замкнутые неограниченные операторы, hkj +hkj(t)>0, hkj (t) e HR, hkj (t) < r < 1, j = 0,l,.,m, k = 0,l, t>t0. Пусть X такое подпространство Y, что Akj , Akj (t): XY - ограниченные операторы. Предполагается выполненным для норм в этих пространствах неравенство

Их - Ну'

Рассматриваются вопросы получения асимптотических разложений решений уравнения (0.0.4), а также вопросы ограниченности и устойчивости его решений.

Отдельно рассматривается случай уравнения с линейным отклонением аргумента

1 m

Lu(t) - D?u(t) - X £ MWM = f(t), k=0 j=o где Ak0 (t) = Ak0 = const, ak0 = 1, k = 0,1, 0 < akj < 1, j = 1, m, |Akj(t)u(t) и также получены асимптотические разложения решений этого уравнения. Рассмотрены частные случаи уравнения (0.0.4): уравнение с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента

1 m

Lpu(t)SD?u(t)-X XAkjShkjDN(t) = f(t), (0.0.5.) k=0 j=0 уравнение с переменными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента

1 m

L0u(t)^D2u(t)-2] ZAkj(^\j(t)Dt^t) = f(t)- (0-0.6.) k=0 j=0

В класс таких уравнений входят уравнения с частными производными с отклоняющимся аргументом и бесконечные системы уравнений. к exp {-at}||u(t)||x, а = const, к = 0,1, j = 0, m

13 .

Чтобы рассматриваемые уравнения содержали в себе дифференциальные уравнения без отклонения аргумента, полагаем также, что Ик0 (1) = Ик0 = 0, к=0,1.

Для любых фиксированных значений Л е Я, Л е С определим оператор

1т

Кро(Я,1)^(Я2Е- ХЕ^ + АкзаЖкехрНЯ(Ьк] +Икз(0)})"1, (0.0.7) к=оз=о называемый резольвентой оператора

1 ш

Ьро = о? - Е 2>ч + Акз(0]8Ьк.+Ьк.(0в* . к=о

Для операторов

1т к=0 3=0 1 т к=0 3=0 частными случаями резольвенты оператора (0.0.7) будут

1 т цл) = (Л2Е-ХЕ4/ ехр тх,' к=0 >0

1 ш

Я0(Л, I) - (Я2Е - £ ]Г Ак](1)Лк ехр{-Шк]О)})"1. к=оз=о

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Сформулируем основные результаты первой главы.

1. Азбелев Н.В. и др. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н.В.Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. - М.: Наука, 1991.

2. Алиев Р.Г. Асимптотические разложения решений уравнений с отклоняющимся аргументом в банаховом пространстве. // Математические заметки.-1973.-Т.13.-№ 6.-С. 829-838.

3. Алиев Р.Г. Об асимптотическом разложении решений начальной задачи в банаховом пространстве. // Математические заметки.-1974.- Т. 16.- № 5.-С. 725-730.

4. Алиев Р.Г. Об асимптотическом поведении решений уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве. // Дифференциальные уравнения. -1981.- Т. 17.- № З.-С. 558-562.

5. Алиев Р.Г. Существование, единственность и асимптотическое поведение решений уравнения с линейным отклонением аргумента в гильбертовом пространстве. // Известия вузов. Математика. -1981.-12 (235).- С. 4-7.

6. Алиев Р.Г. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом с операторными коэффициентами: Учеб.пособие,-Махачкала: 1982.

7. Алиев Р.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве: Учебн. пособие.-Махачкала: 1984.

8. Алиева Л.М. Асимптотическое поведение решений функционально-дифференциального уравнения п-го порядка в гильбертовом пространстве. Тезисы докладов Четвертой Северо-Кавказской региональной конференции.-Махачкала: 1997.-С.12-13.

9. Алиева Л.М. Об устойчивости решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Вестник ДГУ. Естественные науки,- Махачкала: ИПЦ ДГУ, 1998.85вып. 1.-С. 109-И 4.

10. Алиева Л.М. Асимптотическое поведение решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве. // Вестник ДГУ. Естественные науки. Махачкала: ИПЦ ДГУ, 1999.-вып. 1.-С.36-41. ,

11. Алиева Л.М. Об устойчивости решения дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Метод функций Ляпунова и его приложения. Тез.докл. Пятой Крымской Международной математической школы.- Алушта, 2000.- С.25-26.

12. Асила М. К вопросу о разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка. -Тезисы докладов XII республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Дагестана. Махачкала: ДГУ им.Ленина, 1988.-С.290.

13. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.-М: Изд.иностранной литературы, 1954.

14. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. -М.: «Мир», 1967.

15. Валеев К.Г. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно зависящим от параметра. // Сиб. матем.журнал.-1964.-Т.5.- №2.-С. 290-309.

16. Власов В.В. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. // УМН. -1994.-Т.49.-№3.- С.175-176.

17. Власов В.В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве. //Изв.вузов. Математика.- 1993.- №5.- С.24-35.

18. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- М.: Наука, 1970.

19. Евграфов М.А. Структура решений экспоненциального роста для некоторых операторных уравнений. //Тр.' матем. ин-та им. В.А. Стеклова, -1961.-№10.-С. 145-180.

20. Иосида К. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1967.

21. Каменский Г.А., Скубачевский А.Л. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений. М.: Изд-во МАИ, 1992.

22. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: Мир, 1972.

23. Колмановский В.Б., Носов В.П. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

24. Колмогоров А.Н., Фомин С.З. Элементы теории функций и функционального анализа,- М.: Наука, 1981.

25. Кондратьев В.А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях. //Труды Моек, матем. общества.- 1966.- № 15.

26. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. //Труды Моск. матем. общества.-1967.-№16.87

27. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения.- М.: Гостехиздат, 1959.

28. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

29. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990.

30. Мазья В.Г.,Пламеневский Б.А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.// Изв.АН СССР. Сер.матем.- 1972.-Т. 36 .-№5.

31. Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием.// Изв.вузов. Математика.-1993.- №5.

32. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций.- М.-.1968.- Т.1- 2.

33. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.- М.: Наука, 1972.

34. Мышкис А.Д. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.// УМН. -1977.-Т.ХХХН.- Вып.2(193) С.173-202.

35. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.- М.: Наука, 1965.

36. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения.- М.: ИЛ, 1961.

37. Пламеневский Б .А. О существовании и асимптотике решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространтсве. // Изв.АН СССР. Сер.матем.-1972.- T.36.-№6.

38. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1984.

39. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. ИЛ,1962.

40. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

41. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equa tiosin Banach Spase. Comrn on Pure and Appl.Math.-1963 .-vol. 16.-P, 121239.

42. Kato T. On linear differential equations in Banach Spaces. Comm on Pure and Appl.Math.-1956.-vol.9.-P.479-486. ,

43. Kato Т., Vcleod J. The functional-differential equationy'(x) = ay(x) + ву(Ях) -Bull. Amer.Math. Soc.- 1971.-yo1.77.-#6. -P.891-937.

44. Mahler K.On a special functional equation.- J.London Math.Soc.-1940.-vol.15.-#58.-P.l 15-123.

45. Mclead J.B. The functional-differential equation y'(x) = ay(Ax) + ey(x) and generalizations.-Lect.Notes.Math.- 1972.-280.-P.308-313.

46. Ockendon J.B., Tauler A.B. The dynamics of current collection system for and electric licomotive. Proc.Poj.Soc London.- 1971.- A322.- #1551,-P.447-468.

47. Pandolfi L. Some observations on the asymptotic bevavior of the solutions of the equations x'(t) = A(t)x(Xt) + B(t)x(t), Л> 0. -J.Math.Anal.and Appl.-1979.-vol.67.-P.483-489.

48. Pasy A. Asymptotic expansions of the solutions of ordinary differential equa tion in Hilbert Spase. Arch.Rat.Mech. and Amal.-1967.- vol.24.3.-P.193-218.