Асимптотические разложения, ограниченность и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

АЙГУБОВ САЙДАРХАН ЗАНКУЕВИЧ

АСИМТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ, ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ п-го ПОРЯДКА С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискании ученой степени кандидата физико - математических наук

Махачкала - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Дагестанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Р.Г. Алиев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Кадиев Р.И. кандидат физико-математических наук, профессор Хийирбеков Т.Э.

Ведущая организация: Владимирский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится » & *7 2004 года в 14 часов на заседании специализированного Совета K212.053.ll в Дагестанском государственном университете (367025, г. Махачкала, ул. Дзержинского, д.12, математический факультет, аудитория 3-70).

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке ДГУ по адресу г. Махачкала, ул. Батырая, 2.

Автореферат разослан « 2004 года.

Ученый секретарь /и л/^

специализированного Совета Э.И.Абдурагимов.

г

f/S

2I0D8S2.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Неограниченно расширяющийся круг приложений теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) к самым разнообразным разделам науки и техники стимулировал ее бурное развитие. ФДУ привлекали к себе внимание огромного числа исследователей, интересующих как самими ФДУ, так и ее приложениями.

Разработка теории таких уравнений начата во второй половине 20 века под влиянием запросов техники и естествознании. Многообразия прикладных задач, поставленных с учетом запаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в небесной механике, физике, биологии, экологии, в ряде экономических проблем и в других науках. Особенно это теория нашла свое применение в современной технике, где имеются колебательные процессы в системах последействием и в системах с запаздывающими связями, в теории автоколебательных систем.

Основы ФДУ были заложены в середине 20 века в работах Э. Хилле

и Р. Филлипса, К. Иосиды, Т. Като. Этим вопросам посвящены целый ряд

ф

монографий отечественных и зарубежных математиков таких, как Э. Пинии, Р. Беллман, К. Кук, Дж. Хейл, А.Д. Мышкис и другие. Систематическим изучением уравнений с отклонением аргумента в нашей стране начал заниматься после 40-х годов А.Д. Мышкис, а с 50-х годов А.Э. Эль-тольц, H.H. Красовский, С.Б. Норкин и др.. Ими изучались скалярные уравнения. Исследованию абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве посвящены работы Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна, С.Г. Крейна. Позже исследование в этом направлении продолжили такие математики, как Азбелев Н.В., Г.А. Каменский, В.Б. Колмановский, В.Г. Курбатов и т.д.

Вопросы асимптотического поведения решений в случае операторного уравнения первого порядка рассмотрены в работах Ш. Агмона и Л. Ниренберга, А. Пази, В.А. Кондратьева, М.А. Евграфова.

Вопросы устойчивости абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве изучены в работах Далецкого Ю.Л., М.Г. Крейна и С.Г. Крейна. В последние годы вопросами разрешимости и изучени-

з

ем свойств решений функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) в гильбертовых пространствах занимался В.В. Власов.

Операторно-дифференциальные уравнения 1 и 2-го порядков с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве в пространствах с экспоненциальным весом изучены Р.Г. Алиевым, Л.М. Алиевой.

В настоящей диссертации рассматриваются вопросы асимптотических разложений решений абстрактных ФДУ «-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами, а также исследуются вопросы ограниченности и устойчивости решений этих уравнений.

Целью работы является:

1) получение асимптотического разложения решений уравнений п -го порядка с переменными неограниченными операторным коэффициентами и отклонениями аргумента из некоторых классов через решения со-о гветствуюшего однородного стационарного уравнения;

2) получение условий ограниченности и устойчивости решений стационарных уравнений и уравнений с переменными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента;

3) исследование аналогичных вопросов для уравнений с линейным отклонением аргумента.

Методика исследования: В настоящей работе применялись: методы функционального анализа, теории функций комплексной переменной, теории устойчивости, теории линейных операторов, метод преобразование Фурье.

Научная новизна:

- получены асимптотические разложения решений исследуемых уравнений;

- получены условия на резольвентный оператор, запаздывания аргумента, коэффициенты и на правую часть уравнения, при которых решения исследуемых уравнений является ограниченными и устойчивыми.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты дополняют теорию ФДУ высших порядков и могут быть

примененными в тех областях, в которых возникают уравнение высших порядков. Особенно широкое применение они найдут в теории уравнении в частных производных

Апробация работы. Результаты данной диссертации доложены на 3-й Северо-Кавказской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения», Махачкала, 1991 г., на научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава ДГУ (Махачкала, 1991-2003 г.), на научно-исследовательских семинарах профессора Алиева Р.Г. (кафедра математического анализа ДГУ, Махачкала), семинаре Зимней математической Воронежской школы (1993 г).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 82 страницах, состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 57 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Приведем необходимые обозначения, используемые в диссертации

Х,У- гильбертовы пространства, X с У, Ц^. > ||г,

2(Х, У), Ъ<ь (X, У), {X, У) - множества линейных ограниченных, (замкнутых), вполне непрерывных операторов из X в У соответственно,

1} ((г0,оо), У) - пополнение множества сильно непрерывных функций с компактными носителями и со значениями в К по норме

ИЧИ')!^'.

'о

К0 3(*0 ,+<»).

X™-пополнение множества функций м(0, «(<) = 0, с ком-

пактными носителями вместе с производными до (и -1) -го порядка и со

значениями в X, имеющих сильно непрерывную п - ю производную в Y по норме

||«(0|| = í /«píWgp'wt +||«w(0||! V]^' a ~ const e R >

oo ) )

- пополнение множества сильно непрерывных функций u(t), u(t) = 0, t<t0, с компактными носителями и со значениями в У по норме

!Н0|| = | 1ехр(2аО|"(0|2уЛ

15

V'o У

HJ -множество абсолютно непрерывных в JcR скалярных функций h(t), причем в точках существования производной h'(t)<r<\, teJ, STu{t)^u{t-r),

%л(е) - характеристическая функция оператора Д определяемая неравенством ¡Лг/Цг а- + Xa(s)\\u\\у п0 заданному £>0 и для любого u&XaY, имеющим место для оператора А е Z0 (К, Y)nZ (X, У),

n-l т 1 J*

k~oj=q i at

= = °> ^ = 0,1,..., я-1,

- D" - Z E AkJSkDl, hm(t) = hi0 = 0,

jfc=0 j=0

л-1 от

£o - - hw(t)^hw(t) = 0.

(t=0 y—0

коэффициенты , /f^ (i) e Z0(T,7) n Z(X, У), \ + h^ (t) > 0,

h^ (f) e HJ, j = 0,1,..., m,k = ОД,...и -1, t > t0.

Для любых фиксированных / e Л и ЛеС - плоскость комплексного переменного определим операторы

к-0 J=о

Яр(Л) = Кр0(Л,1) при (0 ^ о, } = 0,1,..., т,к = 0,1,..., и — 1,

= ПРИ к^вО, ] = 0,1,..., /иД = 0,1,.., и -1,

называемые резольвентами для операторов Ьр0,Ьр,10 соответственно.

Под решением уравнения Ьрйи(г) = /(0 понимается функция ¡¿(0 из

Л] имеющая сильные непрерывные производные до (и-1)-го порядка в X, и-го производную при почти всех г в У и удовлетворяющая уравнению.

Первая глава диссертации, состоящая из трех параграфов, посвящена асимптотическим разложениям решений уравнений Ьр0и(1) = /(/) и ¿0«(О = 0, а также уравнений с линейным отклонением аргумента. В первом параграфе доказаны две вспомогательные леммы. Во втором параграфе получены асимптотические разложения решений уравнения

в пространствах с экспоненциальным весом. Доказана следующая Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия:

a) ^ег0(Г,Г), к - 0,1,...,п-1, / = 0,1,...,т, A^^Z^XJ), * = 04,...,и-1, /■ = ],...,«, ||4,(/)|riScexp(-a/), t>tSi,

к = 0,1,...,и-1, / = 0,1,...,т, а = const >0;

b) Rp (Я) - мероморфна, Ця"'1 (Л)| = 0(1),|Я| 0 £ 1шЛ < а, на прямой 1т Л = S = а-е >0, е > 0, нет полюсов (Я);

в) \h^(t)\<cQxp{-at), t>t0+hlg, HR*,

Ь„о«(0 = /М

(1)

9v(t)mt-hb-hk(t),k = Q,\,...,n-\, У = 0,1,...,ж, fc + ysO;

г) Я0е1$;

д) и(0~ решение уравнения (1), и(к) Ь2 , X),

1< у5/п 0$к<.п-1

Тогда для любого £->0 имеется конечное число решений вида и„({] = ехр{1Л^)Ру{г), V = 1,2,...,ч, уравнение Ьри(1) = 0, где Лк - полюс резольвенты Яр(Л) в полосе 0<1тЛ„ <5, Ру(г)- многочлен с коэффициентами из X, степень которого на единицу меньше кратности полюса А„, что имеет место неравенство

где постоянная с не зависит от решения ы(?) и его производных и<к>и), к = 1,2, ..п-1.

В третьем параграфе рассмотрено уравнение с линейным отклонением аргумента вида

Ьи(1) з £>>(0 - V V ^ = /(,),

(2)

где Л,0(0 = А№ = СОПИ, ак0 = 1, к = 1,2,.. ,п -1, 0 < а^ < 1, У = 1,2,.. ,от

К(0»(0Ц,. ^ ехр^дгЩОЦд-. а>0,к = 0,1, ..,л-1, } = 0,1,2, ,.,т

1л"

Наряду с уравнением (2) рассматривается и уравнение

/.,«(*) ^ £>,"«(/) - Ак0Оки(1) = 0, а также резольвента

я-1

в (ГЕ-^а^л*)-' для оператора Ь1.

Справедлива следующая

Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия: о)|Ащ (Of57 ^ сexpj — t\, к = ОД,..., п -1, j = 0,1,..., т, а = cow? > 0;

6ЩЛ)- мероморфна и Л"'1 Л(Л) = 0( 1), 0 < 1шЯ < а;

II лг

г) £>,*;/(/) 6 ((0, оо), X), А: = 0,1,...,и -1, где «(/) решение уравнения (2)

Тогда для любого е > 0 существует конечное число решений вида и„ (0 = е'^ру (/), V = 1,..., ^ уравнения = 0, где Лу- полюс резольвенты Я, (Л)в полосе 0< 1тА < а-е, р „ (0 - многочлен с коэффициентами из X, степень которого на единицу меньше кратности полюса Л„, что имеет место

к = 0,1,..., /1-1,

где постоянная с не зависит от решения м(г) и его производных

Во второй главе, состоящей из трех параграфов, получены условия ограниченности и устойчивости решений стационарных уравнений и уравнений с переменными коэффициентами и отклонениями аргумента. Рассматривается уравнение

£о«(0 = /( 0. (3)

где Аи(()а0, к = 0,1,...,я-1, Л^(г)>0,< ><0, А^феЯЙ*, ^(<):Л-->Г -длялюбого фиксированного А: = 0,1,...,я-1, у = 1,2,...,от, |^(0«(0||г ¿СЩоЦ^ для любого А = 0,1,..., я-1, у = 0,1,2,..., /я.

Предполагается существование Нт Ак. (0 = Аь, НтЛь(<) = Ай, причем А^-.Х^У - вполне непрерывны и операторы, А = 0,1,..., и-1, у = 0,1,2,..., т.

Рассматривается основная начальная задача для уравнения (3),

= = (4)

Решение задачи (3), (4) обозначим через «г(0(<). где

£(') = (Яо С), .£1 (')>-, £„-!('))•

Под начальной задачей для уравнения п-го порядка принимается задача, нахождения решения (рассматривающего) для < > (0 - оо, удовлетворяющего условиям

и(4)С) = (0, ' 5 'о. и<4) Со + 0):= (0, ^ = ОД,..., и -1,

вектор функции г(0 = (£0(0> ^(О.-.ЯичСО). Решение (г) задачи (3), (4) называется устойчивым по Ляпунову если для любого е >го существует (?„,£■) такое, что из неравенства

- я(0||* ^ ^((0>£)>{- 1о> гДе Щ - любая другая начальная функция из X, следует неравенство

|и<(0 - и% < е, при />/0, которое понимается как п неравенств

А = од,...,и-1, г>г0.

Если кроме того =0, то решение «?(()(0 назы-

вается асимптотически устойчевым.

Наряду с уравнением (3) будем рассматривать «предельное» уравнение

£,"« = /(<)• (5)

Доказательства основных теорем второй главы опираются на результаты вспомогательных лемм, доказательство которых приведено в первом параграфе.

ю

Во втором параграфе получены условия, при которых решения уравнения (5) ограниченны и устойчивы. Справедлива следующая

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия: а) Яр (Я) регулярна в нижней полуплоскости 1тЯ < О,

\лкЯр (Л)\\х = 0(1), |Л"Кр (Л)||у = 0(1), \Л\ оо, 1тЯ < 0, к = 0,1,..., п -1,

sup —(Я"Д (Я)) <оо, причем R (Л) может иметь конечное число по-люсовна Im А = 0; б) О + |'|')/(0е L2(R,Y),

Тогда каждое решение уравнения (4) офаничено и устойчиво по Ляпунову.

В третьем парафафе второй главы при дополнительных требованиях на отклонения аргумента, на коэффициенты уравнения доказывается теорема об офаниченности и устойчивости решений уравнений (3) с запаздывающим аргументам с переменными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента.

Теорема 2.3.1. Пусть выполнены условия

а)AkeZo(Y,Y),k = 0,l,...,n-l, ./ = 0,1,...,m, A^eZ^XJ), к = 0,1,..., п -1, j = 1,2,..., т,

IK w - АVII I' - h «I * со о + \'\Уа, о- > о, i > i0 > -00,

к = ОД,..., п -1, j — 0,1,..., m;

б) резольвенты Яр(Л), Д0(Я,О регулярны в полуплоскости ГшД < О,

ЛкЛа{Л)\х=0(Х), ¡¿nRpWlr=0(\), \\ЛкН0(Л,0\\х =00), ¿ = 0,1,...,„-1 ЛпЯ0 (Л, о||у = 0( 1), \Л\ -> оо, ЬпЛ < О, t>t0, Rp (Я) может иметь конечное число простых полюсов на 1тЯ = 0, к ,|и^0(Я,о|1 Д = 0,1,...,я-1, Ш0(Я,О

равномерно офаничены по t > t0, Im Я < О, sup

1тЛ~0

(Л"ЯР(Л)

I

*

«) (l4!1/(')||KeL2(f0,co),

г) sup Jr^(r^a+,))|V<>-ft*kr<C0'

(т>0, <рц(()s(-A^((), A = 0,1,...,л — 1,у = 1,.,.,m.

Тогда каждое уравнения (3) ограничено и устойчиво по Ляпунову.

В третьем параграфе приведены примеры обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, иллюстрирующих абстрактную теорию, изложенная в предыдущих главах.

Перечень публикаций автора по теме диссертации.

1. Айгубов С.З. Об устойчивости решений функционально-дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве. Функционально-дифференциальное уравнение и их приложения. -Тез. докладов Третьей Северо-Кавказской региональной конференции «Функионально-дифференциальные уравнения и их приложения»,. Махачкала 1991, с.4.

2. Айгубов С.З Теорема об ограниченности и устойчивости решений функционально-дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве. Теория функций. Дифференциальные уравнения в мат. моделировании. -Тез. докладов школы г. Воронеж, 25 января - 3 февраля 1993, с. 7.

3. Айгубов С.З. Уравнения с линейным отклонениям аргумента в гильбертовом пространстве. Сборник докладов молодых ученых и аспирантов, Махачкала, 1993.

4. Айгубов С.З. Об ограниченном разложении функционально-дифференциального уравнения п-го порядка в гильбертовом пространстве. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Межвузовский научно - тематический сборник. Выпуск 4. Махачкала , 2002, с. 99-102.

5. Алиев Р.Г. Айгубов С.З. Об асимптотическом разложении решений функционально-дифференциального уравнения и их производных в гильбертовом пространстве. ВНТИЦ, №73200000063, 11июля 2002 .

6. Айгубов С.З. Теорема об асимптотическом разложении решений дифференциальных уравнений с линейным отклонением аргумента в гильбертовом пространстве. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Материалы первой Международной научной конференции. Махачкала, 2003, с. 11-12.

Формат 60x84 1/16 Печать ризографная Бумага № 1 Гарнитура Тайме Ус п.л - 1 изд п л - 1 Заказ № 153- 04 Тираж - 100 экз. Отпечатано в ООО «Деловой Мир» Махачкала, ул Коркмасова, 35

-■mur

?

РНБ Русский фонд

2006-4 918

i i ? i I Ш

\ s t «

OS Ш 2004

ВВЕДЕНИЕ

Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа.

Краткое содержание.^ис.^г-.рГЛ.чи'А.

ГЛАВА 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ

§ 1.1. Вспомогательные леммы.

§ 1.2. Теорема об асимптотическом разложении.

§ 1.3. Случай уравнения с линейным отклонением аргумента.

ГЛАВА И. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

§ 2.1. Вспомогательные леммы.

§ 2.2. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с постоянными запаздываниями аргумента и постоянными операторными коэффициентами.

§ 2.3. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с переменным запаздываниями аргумента и переменными операторными коэффициентами.

§ 2.4. Примеры для иллюстрации абстрактной теории.

Широкий спектр приложений, где используются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, способствует увеличению интереса к изучению абстрактных функционально - дифференциальных уравнений.

Число разнообразных прикладных задач, поставленных с учетом запаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в ' Н^ббСной механике, в физике, в биологии, экологии, в ряде экономических проблем и в других науках.

Наибольшее применение нашла эта теория в современной технике, где имеются колебательные процессы в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями, в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе, например, может существенно сказаться на ходе процесса. Могут возникнуть самовозбуждающиеся колебания и даже не устойчивость системы.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, которыми описываются процессы в реальных системах, вообще говоря, являются нелинейными. Однако при решение задач, особенно практических, их приближенно заменяют линейными. Поэтому основное внимание обращают на линейные уравнения с отклоняющимся аргументом.

Основы теории операторно-дифференциальных уравнений были заложены в конце 40-х, в начале 50-х годов в работах Э.Хилле и Р. Филипса [44], К.Иосиды [23], Т.Като [25]. Хилле и Иосида получили первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения ял=Ах с неограниченным операторам А в банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. В работе Като была получена теорема существования решения задачи Коши для уравнения х'= Ах с переменным неограниченным оператором A{t).

В последующие годы эта теория превратилась в большую самостоятельную область исследования. Ей посвящены целый ряд монографий отечественных и зарубежных математиков, занимающихся данными вопросами. Назовём здесь работы Э.Пинни [39], Р. Беллман -а, К. Кука [17], Дж. Хейла [43], А.Д. Мышкиса [36] и Н.В. Азбелева [2], Р.Г.Алиева [11] и др.

Большой вклад в развитие этой теории внесли советские ученые. Систематическим изучением уравнений с отклоняющимся аргументом в нашей стране начал заниматься после 40-х годов А.Д. Мышкис [36,37], а с 50-х годов Л.Э.Эльсгольц [45], H.H. Красовский [30], С.Б.Норкин [38]. Ими изучались скалярные уравнения. Исследованию абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве посвящены работы М.Г.Крейна [21], С.Г.Крейна [31], Р.Г.Алиева [11].

Позже исследование в этом направлении продолжили такие математики, как В.Б. Колмановский [26], В.Г.Курбатов [32], Г.А.Каменский, А.Л.Скубачевский [24] и т.д.

С 60-х годов теорию уравнений с отклоняющимся аргументом успешно начала развивать группа математиков под руководством Н.В.Азбелева [2].

Одной из важных проблем при изучении дифференциальных уравнений и их приложений является проблема описания характера поведений решений при больших их значениях независимой переменной и по отношению к возмущениям начальных данных.

Устойчивость решений дифференциальных уравнений - понятие качественной теории, разрабатывающиеся особенно в связи с вопросами устойчивости в механике имеет важное значение для приложений в технике. Современную строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем, определяемых конечным числом параметров, создал А.М.Ляпунов. С математической стороны этот вопрос сводится к исследованию предельного поведения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений при стремлении независимого переменного к бесконечности. До работ Ляпунова вопросы об устойчивости обычно решались по первому приближению, т.е. путем отбрасывания всех нелинейных членов уравнений, причем не выяснялась законность такой линеаризации уравнений движения. Выдающаяся заслуга Ляпунова — построение общего метода для решения задач об устойчивости. Точная и строгая теория устойчивости создана А.М.Ляпуновым в 1892 году в основном труде - докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения».

Из работ, посвященных асимптотическому поведению решений в случае скалярного уравнения, укажем на монографию Р.Беллмана, К.Кука

17], в которой установлена связь между распределением корней характеристического квазиполинома и поведением решения при больших г для случая уравнения с запаздывающим аргументом

70м'(/) + 60м(0 + ^1М(/ -£У) = 0, / €(-00,00), где а0,Ь0УЬ1 - действительные числа, са> 0.

Вопросы асимптотического поведения решений в случае операторного уравнения = / е(-оо,+оо), И, =- —, где А некоторый постоянный оператор, рассмотрены в работе Ш.Агмона и Л.Ниренберга [52]. В этой статье выведены асимптотические формулы для решений экспоненциального роста при условии, что спектр оператора А состоит из собственных значений, расположенных (за исключением разве лишь конечного числа) в некотором двойном угле меньшем /г, содержащем мнимую ось.

Эти результаты были распространены А.Пази [59] на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые.

Для решений параболических и эллиптических краевых задач в цилиндре подобные асимптотические формулы были получены В.А.Кондратьевым [28,29].

Асимптотические формулы для решений уравнения - = 0, /е(-оо,+оо), в случае, когда переменный оператор

Л(() стремится при / -> оо в некотором слабом смысле к постоянному оператору А были получены М.А. Евграфовым [22]. Им же получены условия устойчивости по Ляпунову и различные их обобщения в случае уравнения с постоянными и переменными операторными коэффициентами. Вопросы устойчивости уравнения и{ 0 - А(ф(0 = О, / е (-оо,+оо), в случае когда /Л(/) является производящим оператором полугруппы или ограниченным оператором рассмотрены в работах Ю.Л.Далецкого, М.Г.Крейна [21] и С.Г. Крейна [31].

Дифференциальному уравнению произвольного порядка вида

Ц^01)^01пи(0+ХА„ут/и(0 = 0, Э/ 7 = 0/€(-оо,-ко)

7=0 Г Ш с неограниченными операторными коэффициентами AnJ, ] = 0,.,л-1 в гильбертовом пространстве посвящены совместные работы В.Г.Мазья и Б.А.Пламеневского [33], Б.А. Пламеневского [40], З.И.Рехлицского [41,42]. Они обобщили асимптотическую формулу Агмона-Ниренберга на случай операторов с переменными коэффициентами, распространили теорему Евграфова на уравнения произвольного порядка.

В последние годы вопросы устойчивости решений скалярных т уравнений с запаздыванием вида *'(/) = ах(1) - ^Ькх(1 - гк (/)), /> О, где к=1 а, Ьк, к = 1,., п -1 - вещественные числа, причем Ьк > О, к = 1,1, гк, к = -1 -измеримые, неотрицательные, ограниченные функции, рассматривались в работах В.В.Малыгиной [34].

Вопросами разрешимости и изучением свойств решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах занимался В.В. Власов [19,20].

Операторно-дифференциальное уравнение первого порядка с отклоняющимся аргументом с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве т

А/0) = /(0 (0.0.1) в пространствах с экспоненциальным весом изучено Р.Г. Алиевым

9-12]. Получены асимптотические разложения решений этого уравнения. В этих же пространствах изучено уравнение первого порядка с линейным отклонением аргумента вида т у=0 и получены асимптотические разложения решений этого уравнения.

В работах [9,10] рассматриваются частные случаи уравнения (0.0.1) т о и т

- 2 А] - (0) = Л0, получены условия, при которых решения этих уравнений являются ограниченными и устойчивыми. Глубокое исследование таких уравнений стало возможным благодаря успешному применению методов функционального анализа, метода преобразования Фурье и методов, подсказанных спецификой уравнений с отклоняющимся аргументом впервые примененных в этих работах.

В работе JI.M. Алиевой [13] исследовано асимптотическое поведение и устойчивость решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка

1-1 т

Lpou(t) = D?u(t)- £ YXA„ + Akj{t)\Sh h Dkt:u(0 = ДО, (0-0.2) o j=о с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Вопросы разрешимости уравнения (0.0.2) на всей оси рассмотрены в работе Асила М. [15], а в случае полуоси, т.е. начальной задачи, в работе Аджиевой Х.И. [1].

В настоящей диссертации исследовано асимптотическое поведение, ограниченность и устойчивость решений для уравнения п -го порядка л-1 т

А"и(0- I Zt4y + ^0]Vv<)D< "(<) = ДО, (0.0.3) к=0 j=0 получены асимптотические разложения решений этого уравнения (0.0.3) из некоторого класса по решениям однородного уравнения л-1 т

А"и(0 -ES Л,•£>>(' - hkj) = 0, (0.0.4) а=О ;=о где Ак, = lim Ак- (/), hkj = lim hkj (/), а также доказаны теоремы об

7 /-»00 J J /—»со 7 устойчивости и ограниченности решений уравнений (0.0.3) и (0.0.4). Вопросам разрешимости уравнения (0.0.3) посвящены работы Чан Р.[45-47], Эмировой И.С. [49-51].

В основу получения результатов были положены методы, разработанные Р.Г.Алиевым, методы функционального анализа, теории функций комплексного переменного, теории устойчивости, теории линейных операторов, а также метод преобразования Фурье. В работе использованы следующие обозначения и определения: X, Y - гильбертовы пространства, X с Y, |-|| > |-|| ;

Z(X,Y) - множество линейных ограниченных операторов из X в V; Z0(X,Y) - множество линейных замкнутых операторов изХ в У; Z00(X,Y) - множество линейных вполне непрерывных операторов из Хв Y;

С-плоскость комплексного переменного;

C°°(G)-множество бесконечно-дифференцируемых на открытом множестве G функций.

Носителем определенной и непрерывной на открытом множестве G функции u(t) называется множество : u(t) ^ 0}n G.

Функция и(/) е X называется сильно непрерывной в точке /0, если ||w(0-"M|;r ->0 при /->/0.

Обозначим через L ((/0,со),Г)- пополнение множества сильнонепрерывных функций с компактными носителями и со значениями в Г по норме ||/||2=]||/(/)||2кЛ. о

К° =('о>+00)

Введем пространства: J";" - пополнение множества функций u{t), u(t) = О, / </0, с компактными носителями и со значениями в X, имеющие сильно непрерывные п -е производные в К по норме я—I „ „2 и 2

U =

Jexp(2aO(Z|KA) (0\\х + ||и(я) (0||к )dt

Vo *=° г О,а 2 а = const е R;

У пополнение множества сильно непрерывных функций «(/),

О = 0, t <t0, с компактными носителями и со значениями в У по норме 1 и = о ехр(2а0||м(0||^

V'o 2

HJ - множество абсолютно непрерывных в J cz R скалярных функций hit), таких, что h\t) < г < 1 в точках существования производной; SHl)u(t) = u{t - h{t)), Sh(t): L2 (Л J-«'o> ,X)->L2 (R'+°, X); м (Л) = (m (/)) - преобразование Фурье функции u{t).

Рассматривается начальная задача для уравнения п-\ т \ Ик

Lu(t) = D"u(t) - ]Г = (0-0-5) о у=о i at с начальными условиями и(4)(0 = я*(0, «(Л)(/о+0) = ^(/0), * = 0,1,.,л-1, /</0, (0.0.6) где gk (г) - заданные функции.

Под решением уравнения (0.0.5) Lu(t) = f(t) понимается функция u{t), имеющая сильную абсолютно-непрерывную {п -1) производную в У и удовлетворяющая уравнению почти всюду.

Решение задачи (0.0.5), (0.0.6) обозначим через wg(r)(/), где g(0 = te0(0>gi(0v.,g„-,(0)

Под начальной задачей для уравнения «-го порядка понимается задача, нахождения решения уравнения (рассматривающего) для t>t0> -оо, удовлетворяющего условиям и{к) (0 = gk (О, t < t о, и{к) (t0 + 0) = gk (/0 ), к-0,1,., /1-1, g(/)-вектор-функции g(0 = (£o(0, g|(0,.,g„-i(0)ug(.t) W " решения начальной задачи.

Решение ug(/)(t) задачи (0.0.5), (0.0.6) называется устойчивым по

Ляпунову, если для любого £>0 существует S(t0,£) такое, что и из неравенства ||ед - gCO]^ ^ е)* ' - 'о> гДе любая другая начальная функция из А', следует неравенство ul(t) - "^(ОЦ^ - € ПРИ гДе под неравенствами понимаются п неравенств \iM-Sk{t)\\x<ö{t0l€l t<t0, uf{t)(0~(/)|| ^s> k = 0,1,.,n-\ в каждом случае.

Если, кроме того, lim wf(i)(/)-wg(t)(/)]^ =0, то решение ug(t) (0 называется асимптотически устойчивым.

Линейный оператор А:Х ->У называется непрерывно обратимым, если выполнены условия: а) область значения ImA = Y\ б) оператор А обратим; в) А"1 ограничен.

Если при Л = Л0 область значений ImЦЯ0) операторного квазипучка

W-1 т плотна в пространстве X и оператор к=0 j=0

ЦЛ0)обладает обратимым оператором Z,"1 (Я0) = Rp(Л0), то говорят, что комплексное число Я0 принадлежит резольвентному множеству р(Ар) оператора я-1 т

А=0 у=0 +

Оператор Лр(Я0) называется резольвентой оператора в точке

Совокупность всех комплексных чисел Я, не принадлежащих резольвентному множеству р(Ар) называется спектром оператора Ари обозначается через аг(А).

Абстрактная функция. Пусть А некоторое множество на числовой оси или на комплексной плоскости, а X - нормированное пространство (абстрактное). Функция м(/) с областью определения А и областью значений в X принято называть абстрактной функцией числовой переменной или векторной функцией числовой переменной.

Преобразование Фурье функций из Ь (К, Я), где Я- гильбертово пространство: если /(/) е Ь2(Я,Н), то функция

1 *

Р(Л) = 1л.т. .— называется преобразованием Фурье функции л/2 я: д г где под /./.т. понимается предел по Ь2 норме.

Преобразовании Фурье для всякой функции ДО е Ь2(Я,Н) 1 00 определяется формулой /(Х) = —==]е~ш/(1)с11.Есп\]. ДО е Ь2(К",Н), л/2 л- оо то

ДА) = (2л-)~* /е-'^ДОА, функция ДО = (2/г)"2 /^^/(Л^Л

Л" Л" называется обратным преобразованием Фурье функции £(Л).

Теорема Планшереля [231. Если ДО е Я - гильбертово 1 ^ пространство, то функция /(А) -И.т.—■== Гехр(—/Д/)Д/)Л существует л/2 к и 7(0 еь2 (Я ,Я). При этом ]||7(я£^ = ]||/(/)||^/,

-с» -А/ 1

ДО = /.!./и.-= [ехр(Ш)7(Я)^Я. л/2 л- д г

Если Im Я = а * 0, то

-к»+/а 2 2 00 f ||7(Я)||наЯн J ||7(Л)||н dA = Jexp(2aOfl/(0||„ dt.

-оо-на 1тЛ=а -да

Теорема Пели - Винера [23]. Целая голоморфная функция является ~ 1 00 преобразованием Фурье /(Я) = — |ехр(-*Я0/(0^ функции a/2/г оо i) е , носитель которой содержится в отрезке ^ Л пространства

R тогда и только тогда, когда для любого целого N существует положительная постоянная CN такая, что

7(Я)|я<С„(1+И)~" ехр(а|1шЯ|).

Лемма Римана -Лебега [23]. Если

00 00

ДО е (Я, Я), то lim jДО sin ptdt = lim f ДО cos= О p—>00 J p—>00 -00 ' -oo

Теорема Коши [35]. Если /(z) аналитическая в некоторой полосе а < Im z < b, , причем /(z) равномерно стремится к нулю при |z| -> оо в этой полосе, то контур интегрирования можно произвольно деформировать в этой полосе. В частности, все контуры Im z - с эквивалентны между собой, т.е. интеграл J/(z)dz не зависит от с при а<с<Ь .

Im z=c

Формула Коши [35]. Пусть /(z) регулярная функция внутри ограниченной области D, непрерывная в замкнутой области D = Dkj Г. Тогда функция /(z) имеет производные всех порядков в области Z), п) / ч и! f f(Z)d£ которые выражаются gK '(z) J ^ * « = 1,2,— •

Основная теорема теории вычетов [35] . Пусть f(z) является аналитической функцией всюду в замкнутой области G, за исключением конечного числа изолированных особых точек - полюсов 2к ,к = 1,.,«, лежащих внутри С. Тогда |/(г)йг - 2т^ гев\/(г), 2к ] гв л=1

Оператор А:Х -> У называется замкнутым, если из хп —> лг, хп е X, Ах„ —> у при л —» оо следуеует, что хеХ, Ах-у.

Оператор А'.Х —> У называется ограниченным, если для любого иеХ выполнено неравенство \Аи\ < С||м||у. Наименьшее значение константы С называется нормой И^у оператора А. Ограниченный оператор непрерывен.

Непрерывный линейный оператор, определенный на всем пространстве X, ограничен. Замкнутый оператор, определенный во всем пространстве, ограничен.

Если оператор А замкнутый и имеет обратный А~\ то А'1- замкнут. Если А - замкнутый оператор, то А + В, где В ограниченный на области определения оператора А оператор, также замкнутый оператор. Если оператор А имеет ограниченный обратный, то А -замкнут. Вместе с оператором А замкнут или не замкнут оператор (А — ЛЕ) ( с областью определения В(А)), поэтому если существует ограниченный обратный оператор (А - ЛЕ)'1, то оператор А замкнут.

Линейный оператор называется вполне непрерывен, если он определен на всем пространстве X и отображает каждое ограниченные в X множество в компактные множества в У.

Ограниченный линейный оператор А(1) называется сильно непрерывным, если ||/4(/ + к) - ->0 при Л-> 0. Оператор-функция

А) называется регулярной функцией ЯеСсС, если в окрестности каждой точки Л0 е С имеет место разложения в сходящийся по равномерной норме степенной ряд R(A) = ^Вк(А-А0)к, где Вкы о ограниченные операторы.

Если в каждой ограниченной части плоскости R(A) регулярна за исключением, быть может, конечного числа полюсов, то R(A) называется мероморфной функцией.

Функция, регулярная во всей комплексной плоскости, называется целой функцией.

Целая аналитическая функция /(z), удовлетворяющая неравенству |/(z)| < с exp(6|z|), где b = const, называется функцией экспоненциального типа.

Краткое содержание диссертации

Объектом исследования диссертации является функционально-дифференциальное уравнение п -го порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве

Ьро и{1) = £>(/) - § X [Ац +Лу (0к,+М')А*"(0 = ДО, (0.0.7) о у=о где (Л^ + Ак] (/)): У -> У - замкнутые оператора, / е 7?, кц + Ик] (/) > 0, кц (0 е ЯЛ?, ¿0 > -со, £ = ОД-1 у = 0,1,., т. Кроме того

Лу + Лу(ф: X У - ограниченный оператора, / е Я, к = 0,1,.и -1, у = 0,1,.,т., X с. У, |х > Ц|у.

Наряду с уравнением (0.0.7) рассматривается и уравнение я-1 т

Ьр и(0 = /)>( 0-XX />,*«(/) = л/), (0.0.8)

А=0 у=0 получаемое из (0.0.7) приА^(г) = 0, ¿¿у(0 = 0, к = 0,1,.я -1, у = 0,1,., т. С уравнением (0.0.8) связан резольвентный оператор

I» ^ о у=о ;

У->Х. (0.0.9)

Полюсу резольвентного оператора Яр(Я) кратности р соответствует решение н,(0 = ехр(а,0П(0 > (0-0.10) однородного уравнения (0.0.8), где РА(/) многочлен степени р-\ с ограниченными операторными коэффициентами.

Исследуется асимптотическое поведение решений уравнения (0.0.7), а также рассматриваются вопросы ограниченности и устойчивости его решений.

Отдельно рассматривается уравнение с линейным отклонением аргумента п-1 т к=0 у=0 где Ak0(t) = Ак0= const, ак0 = 1, /с = 0,l,.,m, 0<а*у <1,

Л/ (0"(0||у ^ ехр{- а/^СОЦд,, а = const, к = 0,1,., п -1, j = 0,1,., w, а также исследуется асимптотическое поведение решений этого уравнения.

Рассмотрены частные случаи уравнения (0.0.7): уравнение с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента л-1 т

Lpu(t)^D?u(t)-j: ZAkJS.Dllu(0 = f(t), (0.0.8) к=0 j=о уравнение с переменными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента л-1 m

L0u(t) = D?u(t)-Z = (0-0.11) к=О J=о

В класс таких уравнений входят уравнения с частными производными с отклоняющимся аргументом и бесконечные системы уравнений.

Чтобы рассматриваемые уравнения содержали в себе дифференциальные уравнения без отклонения аргумента, полагаем также, что hk0(t) = hk0 = 0, к - 0,1,.,л -1.

Для любых фиксированных значений t е R, X е С определим

Rpo{X^{X"E-nt f\.Akj+Akj{t)Y ехр{-ih{hkj + hkj(О)})-1, (0.0.12) к=0 у=0 называемый резольвентой оператора к=о у=о

Для операторов п-1 /л А=0 У=0 И п-1 т А=0 у=0 частными случаями резольвенты оператора (0.0.12) будут

1-1 /Я /• ч

Яр (Я) Н (Д"£ - 2 2 ЛуА* ехр{- Шд,})-', (0.0.9)

Л=0 /=0 я-1 т г »

Д0(Я,/) = (А"£- 2 I^(0А* ехр{- (О})"1. к=о у=о

Получены условия, при которых решения уравнения (0.0.7) из некоторого класса асимптотически приближаются решениями типа (0.0.10.). Получены условия, обеспечивающие ограниченность и устойчивость решений уравнений (0.0.7) и (0.0.8).

Диссертация состоит из двух глав, которые подразделены на 7 параграфов и списка литературы.

Первая глава посвящена вопросам асимптотического разложения решений начальной задачи (0.0.7), (0.0.6). Даются определения собственного элемента (р0 <=Х и присоединенных элементов (рх,(р2.,Фк-\ оператора

1-1 т к=0У=0

Доказано, что если Л0 -к- кратный полюс резольвенты 11р(/1) из (0.0.9), то функция к-1

0 = ехр(/Л0/)Ет1^-^ является решениями однородного уравнения (0.0.8). Устанавливается связь между решениями однородного уравнениями (0.0.8) и вычетами оператор-функции exp(iM)Rp(X)F(X), где F(X)-регулярная в некоторой полосе

0 < Im Я < а функция, относительно полюсов Rp (Я) в этой полосе.

Во втором параграфе первой главе доказана Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия: a)AkJeZ0(V,Y), к = 0,1,.,«-1, У = 0,1,.,/я, AkJeZm(X,Y), к = 0,1,.,« -1, / = 1,.,т, ||^(0||у <сехр(-£7/), t>tQ, к = 0,1,.,« -1, j = 0,1,., т, а = const > 0; b) Rp(Я)-мероморфна, Ця"-1 RpW\x = 0(1),|А| °о, 0 < 1шЯ < я, на прямой 1т Л = <5 = а-£> 0, s > 0, нет полюсов Rp (Я); с ехр(-я/), / > /0 + hkj, hkJ (/) g , sup п t+hkJ co, pkjQ) = t-hkJ-hkJ(t),k = 0,1,1, j = 0,1,., m, k + j>0; г) f(t)eY°R;°; д) u(t)- решение уравнения (0.0.7), uw(t)e LZ(R'+,Х), T= min inf>v(/)L = min \t0,t0+hkJ, inf iZJZm I />/, J I i£j<m I y t>min(t0,t0+hkJ)

Тогда для любого б> 0 имеется конечное число решений вида uv(t) = exp(Mvt)Pv(t), v = 1,2,., q, уравнение Lpu{t) = 0, где Лу - полюс резольвенты Яр(Л) в полосе 0<1шЯ1,<^', Pv(t)- многочлен с коэффициентами из X, степень которого на единицу меньше кратности полюса Л„, что имеет место неравенство ехр(2(а - e)t) о

U(k)( 0-2>S4)(0 v=l С л-1 «„ И о *=0'о где постоянная с не зависит от решения м(/) и его производных и(А)(0> к = 1,2,.л - 1.

В параграфе 1.3 рассматривается уравнение с линейным отклонением аргумента л-1 т

Lu(t) = D>(0 - S S Лу CM V) = яо, h=0 y'=0

0.0.13) где Ак0 (0 = = const, ак0 = 1, к = 1,2,., л -1, 0 < < 1, j = 1,2,., m КД0и(0||у ^сехр{-д/}||«(/)||^, д>0, к = 0,1,.,« — 1, j = 0,1,2,-, m, с = const. Уравнение (0.0.13) перепишем в виде п-\

Lxu(t) = D"u(t) - £ Dt u{t) = 0, а также резольвента

А=0 л-1

Я, (Я) з (Я"£* - ^ )" Для оператора . к=о

Справедлива следующая Теорема 1.3.1. Пусть выполнены условия: a)\Akj(t)\Y<cew

-а akj к = 0,1,., п -1, j = 0,1,., m, а = const > 0; б)/?(Я) - мероморфна и

B)/(i) s У°У;

Я"-1 Д(Я) 0(1), 0 < 1тЯ < а; А г) Dt u(t)eL ((0,оо),ЛО, Л: = 0,1,., и-1, где u(t) решение уравнения (0.0.13)

Тогда для любого е > 0 существует конечное число решений вида м„(/) = е'^у = 1,., <7 уравнения = 0, где Лу-полюс резольвенты (Я) в полосе 0 < 1т Л < а —Б, ру (0- многочлен с коэффициентами из X, степень которого на единицу меньше кратности полюса Лу, что имеет место а-е)1 т(?)-±«1кЧ0я 2 с П-1 Ю

1/(01^+1 £ К»(0]|гЛ

О О Л к = 0,1,., п -1, где постоянная с не зависит от решения и его производных

У"0 (0.

Вторая глава посвящена изучению свойств решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве. Рассматривается уравнение

0и(О = /(О, (0-0.14) где -0, £ = 0,1,.,л-1, еЯД?, ^(0:АГ->У

- для любого фиксированного / е /?, /с = 0,1,., лг — 1, у = 1,2,., /и,

0"(0||у ^для любого н(/)еХ к = 0,1,.,п -1, ] = 0,1,2,.,т.

Предполагается существование Нш А (/) = А.-, Нш (/) = /и,, причем

->00 У J /—>00 7 7

Х У -вполне непрерывны и операторы, к = 0,1,., п -1, у = 0,1,2,., яг.

Наряду с уравнением (0.0.14) будем рассматривать «предельное» уравнение и(0 = /('). (0-°-15)

Доказательства основных теорем второй главы опираются на результаты вспомогательных лемм, доказательство которых приведено в первом параграфе.

Во втором параграфе получены условия, при которых решения уравнения (0.0.15) ограничена « и устойчивы. Справедлива следующая

Теорема 2.2.1. Пусть выполнены условия: а) Яр{X) регулярна в нижней полуплоскости 1т А < 0,

0(1), ||Ял/гр(А)||у =0(1), |А| -» оо, 1т А < О, к = 0,1,.,« -1, й sup

1тл=0 dX

Xя RAX)) оо, причем RP(X) может иметь конечное число полюсов на Im А = 0; б) (1 + И5)/(/)е£2(Д,У), s>±

Тогда каждое решение уравнения (0.0.15) ограничено и устойчиво по Ляпунову.

В третьем параграфе второй главы при дополнительных требованиях доказана теорема об ограниченности и устойчивости решений уравнения (0.0.13) с запаздывающим аргументом с переменными операторными коэффициентами.

Теорема 2.3.2. Пусть выполнены условия а) Akj е ZQ (У, У), к = 0,1,., /I -1, j = 0,1,., т, AkJ е Z„ (.X, У), к = 0,1,.,« -1, j = 1,2,., w,

К (0 " А, \\у - hkj (0| * с0 (1 + , о- > 0, t > tQ > -оо, к = 0,\,.,п-\, у = 0,l,.,m; б) резольвенты Rp(X), R0(X,t) регулярны в полуплоскости ImA<0,

XkR0(X^x =0(1), ||АяДр(А)||г =0(1), = Л = 0Д,.,я-1

XnR0(X,t)I^ = O(l), |А| оо, IwA <0, t > /0, Rp(X) может иметь конечное число простых полюсов на Im А = 0, д0 (Л, о равномерно ограничены по 1шЯ<0, Бир

1тЛ=0 У

А"« с!А оо; в)(1 + М'|/(01у€12(Г0,«), г) Бир

1>'о л„ со. сг>0, = £ = 0,1,.,/*-1,./ = 1,.,т.

Тогда каждое решение уравнение (0.0.15) ограничено и устойчиво по Ляпунову.

1. Аджиева Х.И. О существовании решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка, исчезающих на полуоси. Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Материалы первой Международной научной конференции. Махачкала, 2003, с. 8-9.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматулина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М., «Наука», 1991.

3. Алиев Р.Г. Айгубов С.З. Об асимптотическом разложении решений функционально-дифференциального уравнения и их производных в гильбертовом пространстве. ВНТИЦ, №73200000063, 11июля 2002 г.

4. Айгубов С.З. Уравнения с линейным отклонениям аргумента в гильбертовом пространстве. Сборник молодых ученых и аспирантов, Махачкала, 1993.

5. Алиев Р.Г. Асимптотические разложения решений уравнений с отклоняющимся аргументом в банаховом пространстве // Матем. заметки, Т. 13, №6. 1973, с 829-838.

6. Алиев Р.Г. Об асмптотическом разложении решений начальной задачи в банаховом пространстве // Матем. заметки, Т.16, № 5, 1974, с.725-730.

7. Алиев Р.Г. Об асимптотическом поведении решений уравнений с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве // Дифференциальные уравнения, Т. 17, №3, 1981,. с. 558-562.

8. Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Махачкала, ИПЦ, ДГУ, 2001,256 с.

9. Алиева Л.М. Об устойчивости решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Вестник ДГУ. Естественные науки. Вып. 1, Махачкала, 1998.

10. Алиев Р.Г., Алиева Л.М. Об устойчивости решения дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. Тез. Докладов Пятой Крымской Международной математической школы. Метод функций Ляпунова и его приложения, Алушта, 2000.

11. Асила М. К вопросу о разрешимости функционально-дифференциальных уравнений второго порядка.-Тез. докладов XII республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Дагестана. Махачкала. ДГУ им. Ленина, 1988,. с.290.

12. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., Изд. Иностранной литературы. 1954.

13. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М., «Мир», 1967.

14. Валеев К.Г. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием, линейно зависящим от параметра // Сиб. Матем. Журнал. Т.5, №2,. 1964, с. 290-309.

15. Власов В.В. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // УМН.-. Т.49, №3, 1994, с. 175-176.

16. Власов В.В. О некоторых свойствах решений линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве // Изв. вузов. Математика. №5, 1993, с. 24-35.

17. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М., «Наука», 1970.

18. Евграфов М.А. Структура решений экспоненциального роста для некоторых операторных уравнений // Труды Матем. института им. В.А. Стеклова, №10, 1961, с. 145-180.

19. Иосида. К. Функциональный анализ. М., «Мир», 1967.

20. Каменский Г.А. Скубачевский А.Л. Линейные краевые задачи для дифференциально- разностных уравнений. М., Изд-во МАИ, 1992.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., «Мир», 1972.

22. Колмановский В.Б., Носов В.П. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последствием. М., «Наука» , 1981.

23. Колмогоров А.Н., Фомин С.З. Элементы теории функций и функционального анализа. М., «Наука». 1981.

24. Кондратьев В.А. Краевые задачи для параболических уравнений в замкнутых областях // Труды Моск. матем. общества. №115, 1966.

25. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений и областях с коническими или угловыми точками // Труды Моск. матем. общества. №16, 1967.

26. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., «Гостехиздат» 1959.

27. Крейн. С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., «Наука», 1967.

28. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж., Изд-во ВГУ, 1990.

29. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.// Изв. АН СССР. Сер. матем, Т. 36(11972), №5.

30. Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. №5, 1993.

31. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т.1 и 2. М., 1968.

32. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М., «Наука». 1972.

33. Мышкис А.Д. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. T.XXXII, вып,. 2(193), 1977.

34. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М., «Наука», 1965.

35. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.,ИЛ, 1961.

36. Пламеневский Б.А. О существовании и асимптотике решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 36 (11972), №6.

37. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве. ДАН. СССР. Т. 111, №1, 1956, с. 29-32.

38. Рехлицкий З.И. Признаки ограниченности решений линейных дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием аргумента. ДАН. СССР, Т. 118, №3, 1959, с. 447-499.

39. Хейл. Дж. Теория функционально- дифференциальных уравнений М., 1984.

40. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы МИЛ, 1962.

41. Чан Р. О разрешимости уравнения с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве. Сборник статей студентов, аспирантов и преподавателей университета, Махачкала, 1993, с. 184-187.

42. Чан Р. Уравнения с маловозмущенными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве. Сборник статей студентов, аспирантов и преподавателей университета, Махачкала, 1993, с. 188-192.

43. Чан Р. О существовании решений одного уравнения в гильбертовом пространстве. Сборник функционально-дифференциальные уравнения и их приложения. Махачкала, 1993.

44. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., «Наука», 1971.

45. Эмирова И.С. О разрешимости функционально- дифференциальных уравнений п-го порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве. Сб. Труды молодых ученных. Махачкала, 1996. с. 55-59.

46. Эмирова И.С. О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений п -го порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве. Межвузовский научно-тематический сб., Махачкала, 1996, с. 227-241.

47. Эмирова И.С. Оценка характеристического показателя решения функционально-дифференциального уравнения n-го порядка с операторными коэффициентами. Тез. доклада. Четвертой СевероКавказской региональной конференции. Махачкала, 1997, с. 104-105.

48. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equatios in Banach Space. Comm. on Pure and Appl. Math., 1963,v 16, p.121-239.

49. Kato T. On linear differential equations in Banach Spaces. Comm. On Pure and Appl. Math., 1956, v.9, p. 479-486.

50. Kato Т., Vcleod J. The functional-differential equation y'(x) = ay(x) + by(Ax).- Bull. Am er. Math. Soc., 1971,7736, p.891-937.

51. Mahler K. On a special functional equation.-J. London Math. Soc., 1940,15,358, p.l 15-123.

52. Pandolfi L. Some observation on the asymptotic behavior the solutions of the equations x'(t) = A(t)x(Xt) + B{t)x(t), X > 0. J. Math. Anal. And Appl., 1979, v 67, p 483-489.

53. Pasy A. Asymptotic expansions of the solutions of ordinary differential equation in Hilbert Sparces. Arch. Rat. Mech. And Amal. 24.3 (1967), p. 1993-218.