Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

с\

V

МосКовсЛиЙ государственный университет

На правах рукописи УЛК 517.92

ЩИТОВ Игорь Николаевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫХ ЗАДАЧ

Автореферат диссертации на: соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 "Дифференциальные уравнения"

МОСКВА

Работа выполнена в Санкт-Петербургском институте кино и телевидения

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор М.М. Ханаев

■л

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор A.B. Васильева доктор физико-матемаТйЧеских наук, профессор М.Г. Дмитриев доктор физико-математических наук, профессор A.B. Нестеров

Ведущая организация: Российский государственный педагогический университет им. А.И.ГерцеНа, г. Санкт-Петербург

Защита состоится " ЛКьриХ 1995 г. в часов -на заседании специализированного совета Л - 053.05.37 по защите, диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119 899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, 2-й учебный корпус, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке факультета вычислительной Матйматики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан я "__1994 г..

Ученый секретарь

специализированного совета sr\ t ' > доктор физико^ математических '

профессор ' - Vj/V^ . В^И. Моисеев

ОБШАЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Методы теории возмущений являются одним из основных инструментов аналитического Исследования прикладных задач, позволяя получать как качественные, тдк и количественные характеристики их решений.

К сингулярно возмущенным задачам традиционно относят задачи, связанные с системами обыкновенных дифференциальных сравнений с малыми параметрами при старших производных. К сингулярно возмущенным задачам принадлежат также задачи об шимптотике решений слабо возмущенных систем па асимптотически большом временном промежутке [0,Т/е]. Эти два типа задач 1егко преобразуются один в другой переходом от "медленной" независимой переменной к "быстрой" и наоборот. Их существенной >собепностью является то, что к пим, как правило, неприменима классическая" схема разложения в стеленной ряд по малому па-тметру, т.к. при этом либо происходит потеря некоторых допол-[ительпыж условий (начальных или граничных), либо возникают екуллрные члены и т.д.

Основы теории сингулярно возмущенных задач заложены в ра-отах А.Н.Тихонова, А.Б.Васильевой, А.Н. Крылова, H.H. Бого-гобова, Ю.А. Митропольского и других отечественных и зару-ешшх авторов.

Задачи указанного вида возникают по многих разделах при-ладной математики, физики, техники: в теории колебаний, те-рии оптимального управления, гидромеханике, квантовой меха-ике, кинетике и т.д. Эти задачи важны также в связи с тем, что равнения, используемые для описания различных йродессов в ре-льиых системах, неизбежно оказываются упрощенными, получается поелс отбрасывания тех пли иных малых членов, что привй-ят к необходимости оценить возникающие ошибки.

Несмотря на широкое применение численных методов решетя систем обыкновенных дифференциальных уравнений, значе-

ние асимптотических методов для их исследования не снижается асимптотические разложения решений сингулярно возмущенные задач позволяют установить качественную картину поведения точ них решений, могут быть использованы в качестве начальных при ближений в численных расчетах, в самих численных методах применяются идеи и приемы асимптотических методов.

Объект ^сследов1уни!?. В диссертации для сингулярно возмущенной системы вида

<£-*(?'•<)• м

и для некоторых ее частных случаев строится асимптотика решений на конечном промежутке [0,Т].

Переходом к "быстрому" времени I — т/е систему (1) можно свести к слабо возмущенной системе

^ = Х(1,х,е), (2)

а "сингулярность" задачи будет состоять в том, что асимптотика решений строится на асимптотически большом временном промежутке [0, Т/е].

В некоторых отношениях эта, эквивалентная формулировка задачи оказывается удобнее и часто используется в работе.

Наряду с системами вида (1) рассматриваются и более общие системы вида

£ Тт = (3)

хотя формально, вводя новую переменную =» г и добавляя к

системе (1) уравнение еИх0¡¿т — £, можно свести »ту задачу к предыдущей.

Частным случаем системы (3) {и системы (1)) являе- я система с медленными и быстрыми переменными

^ - У{у^,г), (4)

для которой А.Н.Тихоновым построено нулевое приближение.

Основное предположение при атом - существование устойчивого корня г = у>(у, т) уравнения2(у,х,т) = 0, или, иными словами,

существолапие aciiMlitoTirttecKii устойчивой точки покоя у присоединенной системы

— = Z(y>,z,ry (tj'= const, т = const).. (5)

В этом случае в пулевом прйблй'йёМ'ип медленная переменная У = у(т) определяется из системы .

^ = У(у,<р(у,т),т)\ (6)

а для быстрой переменной имеем z — f{y{r), т).

Если ввести быстрое время t = т/г, то (4) сводится к системе (являющейся частным случаем системы (2)), для которой вырожденной системой (е —- 0) будет

dy dz „. . dr

¿И- = Tt = 0 .. (7)

■ система, непосредственно связанная с трисоедийбййьй'снЬтемой

(5). .

Сделанные выше предположения означают, ч¥б у 1Й1фоя^деппой гнетом м (7) D R'y х Rk, у, Bj. имеется m +1- мерное аЫйЬтОтнчсски /стойчииое интегральное многообразие 5 : z = г), заполненное :тацнонарпыми решениями у = const, г = const, z = if (у, г) = const :истемы (7).

Асимптотические разложения решений зад&чй'йойй для системы (4) получены А.Б.Васильевой. При этом'гф&дййлйжение об .снмптотической устойчивости точки покоя z = (pfyi r)1 йрисоедн-tènaott системы (5) заменяется на более сильнйо йу^дШложение б • отрицательности действительных частей корйё$ хЙУ&Мтё^кс.ти-tèCKoro уравнения системы в вариациях

^ = Z'y(!,Mv,r),T% (8)

оторое также может быть сфопмулироаано "йая? itëiàJtbpoë условие а интегральное многообразие S вырождёйййй' сиёте'мЙ ' (7).

Асимптотика решений задачи Коши; настроенная' A'.fl .ёКсиль-вой, имеет вид: •

У = VoiT) + Шг) + ■ ■ ■ + ЩУ (~) + £Пly + . .

г = Mr) +ег,(г) + ...+Ti0z Q + еП,г Q + . .

т.е. в ней осуществлено разделение "быстрых" и "медленных" движений.

В то же время,"медленные" движения можно интерпретировать как движения по интегральному многообразию 5е возмущенной системы (4), а "быстрые" движения обеспечивают переход из начальной точки, принадлежащей некоторой области влияния V многообразия S, на "возмущенное" интегральное многообразие Sc . системы (4).

Основы общей теории краевых задач для системы (4) залажены в работах А.Б.Васильевой, В.Ф.Вутузова и В.А.Тупчиева. В этом случае асимптотические разложения (9) вкйючают дополнительно правый погранслой (условно устойчивый случай), либо могут содержать внутренний погранслой и т.д.

Более общая система вида

изучалась А .Б.Васильевой и В.Ф.Вутузовым ври условии, что уравнение Х(г,х,0) = 0 имеет зависящий от к параметров корень я — <р(т,р), удовлетворяющий некоторому условию устойчивости, т.е. что вырожденная система ; : ■ . . ; ■•■'■• . .. •;; ;■','-■"

,. ;.,, ; : § = ■ А'(г,а:,0), £ = 0;

имеет kI - мерное интегральное многообразие S, образованное стационарными решениями х — const;т = const этой системы.. Асимптотические разложения в этой задаче также состоят ил двух частей - медленной, отвечающей движениям но возмущенному интегральному многообразию Se системы (10), и быстрой, обеспечивающей переход из начальной точки на многообразие "Se,

Асимптотика решений задачи Коши на промежутке fil,TJ для системы (4) строилась также в ря бот ах JI .С, Поятршйна и

Родыгипа. Основное предположение состояло п том, что присоединенная система (5) имеет асимптотически орбитально у< гой-чивий предельный цикл г — <р(г/е,у,т), т.е. вырожденная система (7) имеет интегральное многообразие 5, обладающее соответствующим свойством устойчивости, заполненное периодическими решениями.

Медлеяпая составляющая у = у(г) в нулевом приближении определяется при этом как решение системы

I = <"М;-))}. (»>

где фигурная скобка означает усреднение по "быстрому" времени

Таким обргиом, главпой особенностью рассмотренных задач является предположение о существовании у вырожденной системы

- ЯТ

^ = Х0^х) = Х(1,х,0) (13)

хшхгтральпого многообразия, обладающего некоторым свойством устойчивости.

Заметим, что общая з^лпа о существовании интегральных многообразий у возмущенной снетёмы рассматривалась многими авторами. Наиболее общие результаты принадлежат Ю.И. Ней-мдрку, Н.. Фешпаелу, Р. Сакеру, М. Хиршу, Ч. Пью'я М. Шубу, А. М. Самойленко и связаны с условием гиперболичности: если хштегральпое многообразие вырожденной системы (13) гипербо-личпо п нормальном Направлении, то у возмущенной системы (1) -(2) существует обладающее тем же свойством и лежащее в малой окрестности ^интегральное многообразие Зс.

В ряде'-работ строилась гсямпютикарешений, лежащих па 5г, либо начинающихся п его окрестности. Система вида .

. ^ = ВД+е.ВДа.г) ..(14)

изучалась в работах Ю.А.Митронольского п О.Б.Лыковой, результаты которых изложебй ь их монографии. •'.•.:-.■

В этих работах предцолагалось, что вырожденная система (£ = 0) имеет интегральиое многообразие 51, образованное однопараме-трическнм х — Ч-^о), двухпараметрическим х — <р(ы(а)1 + 0ц,и), или к - параметрическим семейством периодических решений, и что характеристические показатели соответствующей системы в вариациях (кроме одного, двух к рулевых) имеют отрицательные действительные част;?.

Построены интеурааддое ьдеогообраэия возмущенной системы (14) (в виде, нарр^ер, г = <¿>(0,а) егЦ^^а) + . . . ,если к — 2) и а с и м п т о т и ч е с к де е разложения ^ежащих на них решений; при построении этрх дсцодьзуется метод усреднения. Родственные резу^тд.?^ ролучецц в работах других авторов; обзор этих работ дед р уроадяцутоц монографии.

Несмотря да Дольщои количество результатов, относящихся к существованию интегральных многообразий возмущенной системы (1) - (2), асимптотические разложение лежащих на них рещеиий построены только в указанных частных случаях; что касается задачи об асимптотике произвольных решений, начинающихся в области влияния многообразия 5, то наиболее общими результатами д!Щ задачи остаются результаты х>аботы А.Б.Васильевой и В-Ф-рутузода; теория сингулярно возмущенных краевых задач рздэдт» ДЛЯ систем вида (4), (10).

Цель щ цетоды исследования. Для общей системы (1) (или (2)) рс|естаенной является поэтому постановка задачи о построении Асимптотики решений задачи Коти или краевых задач при усло-Щ1И, что вырожденная система (13) имеет интегральное многообразие 5, обладающее некоторым свойством устойчивости.

Сформулированная так задача является, в разных вариантах, основным предметом исследования в диссертации. Основной метод, используемый при этом метод иогранфункций, развитый в работах А.В.Васильевой. Оказывается, что, в соответствии с общим методом логранфункций, и в случае такой постановки задачи для системы (1)> асимптотическое разложение решений склады-

пается из нескольких составляющих, одна из которых описывает движение по "возмущенному" интегральному многообразию S. системы (1) (или (2)), а остальные - переходы из начальной или граничных точек на это многообразие (этим составляющим в реальных системах соответствуют погранслойные явления, переходные процессы и т.д.). В ряде случаев системы, отвечающие за движения вдоль St, допускают дальнейшее упрощение с помощью метода усреднения. Эти вопросы также исследуются в работе.

В работе рассматриваются также раличпые частные случаи системы (1); это связано с тем, что использование специальных свойств изучаемых систем позволяет значительно упростить построение асимптотики.

Для системм с медленными и быстрыми переменными

^ = X (Z,xfz,T,e) , . е ^ (15)

па промежутке [О, Т] (или, для эквивалентной ей системы

, — = eX(tx,z,ei,e), Z (i, х, z,, st, е), (16)

в а промежутке [0, Т/еJ) строится асимптотика решений задачи Коши, при различных предположениях относительно существования и croiiciB интегрального многообразия присоединенной системы

= Z(t,x,z,T, 0), (ж = const, г = const) (17)

Кроме того, Для таких систем предложено некоторое обобщение метода усреднения. •Лая саешн ..'-.

dx

" - dz ' ■ (18)

включающей о себя как частный случай систему (16), строятся при разных предположениях асимптотические разложения решений задачи Коши я краевых задач; Основное условие при этом

существование у вырожденной системы (1т

— = Х0Ц,х,г), ~ = (19)

интег]>ального многообразия (интегральной поверхности) 5 : г = »/>(*, я), для которого выполнено соответствующее условие устойчивости, формулируемое в терминах некоторой, связанной с 5 линейной системы.

Для случая периодической, интегральной поверхности на каждом шаге построения асимптотики используется операция усреднения, а сами асимптотически^ разложения-имеют черты как разложений А.Б.Васильевой, т^ь И разложений метода усреднения.

Рассматриваются некоторые приложения к задачам прикладного характера, для которых применение разработанных методов позволяет получить новые результаты.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты, определяющие научную новизну работы:

- построены асимптотические разложения решений задачи Копи: для систем с медленными и быстрыми переменными (15) при условии, что присоединенная система имеет экспоненциально притягивающее решение, и при некоторых других предположениях;

- построены асимптотические разложения решений задачи Каши и краевых задач для системы (18) при условии, что вырожденная система (19) имеет интегральную поверхность с соответствующим свойством устойчивости ( экспоненциальная устойчивость для задачи Коши и гиперболичность в нормальном направлении для кра-. сш-г- чадач); ' •

- для частного случая периодической интегральной поверхности найдены разложения, при построении которых Используются как метод погранфункций, так и Метод усреднения:;

- построены асимптотические разложения решений задачи Коши и краевых задач для общейсистемы вида (I)(или (2))¡.при условии, что вырожденная система имеет интегральное многообразие с соответствующим!! свойствами устойчивости;

- построены асимптотические разложения собственных значений и собственных функций в сингулярно возмущенной задаче на собственные значения для квазилинейной системы;

- получены теоремы, дающие оценки точности построенных разложений;

- предложено некоторое обобщение метода усреднения, включающее в себя как частные случаи различные схемы частичного усред пения;

- с помощью разработанных методов получены решения некоторых прикладных задач.

Теоретическое и практическое значение работы. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы 1 теории сингулярпых возмущений, качественной теории дифференциальных уравнений, при решении сингулярно возмущенных 1адач п различных областях прикладной математики, физики, тех-нисп: в теории упругих колебаний, теории оптимального управление теории гироскопических систем и т.д.

Апробация работы: Основные результаты работы докладываюсь и обсуждались: па Воронежской математической школе (Во->опеж, 1993), па международной крнференцшг по терин приближений и задачам вычислительной математики (Днепропетровск, 993), иа Воронежской математической школе " Понтрпгинские чте-ия" (Воронеж, 1994), Па городском семинаре по дифференциальны уравнениям при РГПУ (Санкт-Петербург), на семинарах ка-!едры математики физического факультета МГУ, кафедры общей ;атематикй:факультета ВМиК МГУ, кафедры гидромеханики СПГУ, афедры дифференциальных уравнений ЛГУ, кафедры прикладной атематйкй ДТИ. ' : ;

Публикании. Содержание диссертации опубликовано в 21 рА-оте; список основных публикаций автора по теме диссертации риведен в концё реферата. - л ; ' : . -

Структура и объем работы. .Диссертация состоит из введения, ' гсти глав, заключения и списка литературы, включающего 104 на-

именованця. Общий объем работы составляет 234 страницы текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

В первой главе для системы с медленными и быстрыми переменными (15) строится асимптотика решений задачи Коши.

В § 1.1 предполагается, что выполнены следующие условия:

Функции X(t,z,x,T) и Z(t,z,x,r) определены и непрерывны в области Q С [0, со] х li'" х Rn х [О, Г) и удовлетворяют в этой области условию Липшица по z,x,r , функция X(t,z,x, т) ограничена.

Для любых (а., г) £ 0> где Q - некоторая область в R" х [О, Т], присоединенная система (17) имеет определенное для всех t > О решение г = ifi(t,x,T), такое,что : а.) Vi > О кривая (t,i¡>(t,x,T),x,T) лежит в Q вместе с некоторой р-окрестностыо; б.) решение z = = 0(í,x,r) равномерно асимптотически устойчиво, причем в условие равномерности входит равномерность по параметрам х, г; в.) функция i/'(í, х, т) удовлетворяет условию Липшица по х.

Точка го принадлежит области влияния решения г = 4>(t,xo, 0) системы

' jt=Z{t,z, а0,0), (20)

т.е.если г = z°(t) -решение системы (20), удовлетворяющее.начальному условию ги(0) = г0, то а.) (£, 2°(t),a:o,0) 6 Q и — -t.Hí.a-o, u)j-ü. ..

Рассмотрим систему

i-)"1

Пусть для £ € (0,Си)-решение у — у{т,е) сштсмь! (21), 'удовлетворяющее начальному условию у(0) — xq, определено дли г € [0,7 j и (у(г,г), т) Е f!u , где íla - внутренность Sí. . -

Справедлив следующий результат, являющийся-"непосредственным обобщением теоремы А.Н.Тихонова иа случай систем вида (15)

ТЕОРЕМА 1.1.1. Для лю&ого 7 > 0 найдется Ео такое, что для всех е € (0,£о) решение х(т,е), i(r,e) системы (15), удовлетворяющее начальным условиям х(0,е) = хо> ¿(0, е) = го, определено аа {0,Т) я удовлетворяет на этом отрезке неравенствам

¡¡z(r>£)-^,y(T,s),r)-2°(j) + »0,0)|| < Г].

В 5 1.2 строятся асимптотические разложения решений задачи Коша для системы (15) на промежутке [О,Т] (или для системы (16) па промежутке [0,Т/е]).

Предполагается, что выполнены условия предыдущего параграфа, причем условие б.) заменено условием: система в вариациях А 17

aTf = z (22)

для решения г = t/>(t, х,т) вкспопенциальпо устойчива равномерно по (г, г) е По, т.е. существуют плела Со > 0 п а >,0 такие, что если 0{t, х, т) - фундаментальная матрица системы (22), то

Р(«,х,г)<Г5(г,1,г)В C0exp[-a(i - s)]

для 0 < з < t и V(ar, г) 6 fl9i ;

Для рещешш x(t,e),z(t,e) системы (16), отвечающего йачаль-вын условиям г(0) = xq, z(0) — ¿¡о, асимптотическое разложение па отрезке [0, Т/е] ищется в виде:

х « г(г,£)+Па:(*,(г) = г0(<, <0+^(1, е)+ .. .¿ПоОДеНеЗДх^еН . • •>

. ¿ = 2(t,e) + n2(l,e)=To(i,^o(i,e),et,e)-b (23)

+eri(i,Jo(<,e),^i(t,e),et,e)-l- . + 110г(<,е) + Ш1г(<,е)+ . i '

прп этом предполагается, что dxi/dt имеют порядок с, а П¡х(<,г), n,z(i,e) при t—* со стремятся к пулю, т.е. имеют оогранслойный характер. ' • '..:•/•'.•.';'. ••

Функции 2q и :t0, например, определяются из системы ^ = Z(t,zihx0,r), ~ = £ X(t,Ja,T{bet),) дли 11„х и Пог имеем

—~ = 0, - Z(t,zm 4 Щг,хю -f Il.j.r-,О) - Z{l,zm,nmJ)h

Введем следующие обозначения для частичных сумм разложений (23):

И

2n{t,e) = JVfoO-e) + П*г(<,£)),

4=0

п

z„(t,e) = J2£t(Jt(Uzo(t,e), . . +П¿¿(<,е)).

1=0

ТЕОРЕМА 1.2.1. Пусть X(t,z,x,r) и Z(t,z,x,r) определены, непрерывны и ограничены в области Q и имеют й этой области непрерывные, ограниченные производные по переменным z,x,t до порядка н + 2.

Тогда найдутся числа ео > 0 и С > 0 такие, что Ve б (0,£о] решение x(t,e), z{t,s) задачи Коши для системы (16) существует для t е Т/е], единственно и удовлетворяет на этом отрезке неравенствам

|И*,е) - х-„(<,е)|| < Се'*1, Цг((,е) - z„(i, e)H < Cs"+i.

В § 1.3 основным предположением относительно присоединенной системы является предположение'и существовании у Нее интегрального многообразия S вида z = </'(М', г, г), обладающею некоторым свойством устойчивости.

Вторым важным условием, используемым в этом Шфагрифе, является предположение о существовании у функции г)

среднего в смысле В.М. Волосова "вдоль траекторий присоединенной системы, лежащих на 5". Это позволяет, но< ле перехода к усредненной системе, разделить медленные и быстрые дишкешш. Внедгм в расе »трение усредненную систему

<)■ ßi)

Нреднолагаотся, что : функции X{t,z,x, т) и Z(t,z,x,r) определены И непрерывны и Q и удовлетворяют условию Липшнгт in» Z, я, М т, функция X(t,z, х,г) непрерывно дифференцируема но z и ограничена; присоединенная система (17) имеет равномерно асимптотически устойчивое интегральное многообразие S, лежащее в Q »месте с соответствующей нормальной <\) - окрестностью I ¡,; в С! существует среднее У(х,г) функции X(t,z,x,T) вдоль S, функция Y(x,t) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по х и г; начальная точка (0,го,-г^,fi) принадлежит области влияния интегрального многообразия S.

Тогда, при некоторых дополнительных предположениях, справедлив следующий результат.

ТЕОРЕМА 1.3.1. Если Ve € (0.£,j решение .т(/,е),г(/,г) системы (1С) определено для t 6 [0,2о/е] и кривая (/,.т(/,е), z(t,e),el) лежит в Q вместе с р - окрестностью, то Уt] > 0 найдутся с > О п ¿1 > 0 такие, что Ve € (0, ео] решение у (et) усредненной системы (24), удовлетворяющее начальному условию у(0) = я((1,е) = хо. определено для всех t С [О, Т0/е] и на этом промежутке

||*{М) - v(ef)j| < ъ Hz(i,e) - Щр, y(et), е/)|| < »,, t е |f,, Щ .

Частными случаями теоремы 1.3.1 являются теоремы А.II. Тихонова, Л.С. Понтрягйна и Л .В. Родыгина, D.M. Волосопа.

В § 1.4 даются некоторые приложения полученных результатов к исследованию конкретных механических и электрических систем.

В §1.5 построены асимптотические разложения решений задачи Коши для системы (4) на асимптотически большом временном промежутке (0,Т/е).

Во второй главе строятся асимптотические разложения решений задачи Коши для системы (18). В § 2.1 считается, что вырожденная система

имеет обладающее соответствующим свойством устойчивости интегральное многообразие (поверхность) 5 : г = а что выполнены условия.

Функции Хо(1,х, г) и ЛГ г), х, г) определены,

непрерывны и имеют необходимое число производных по 1,г и некоторой области С? С (0,оо) х х Л™.

Функция F(i,x) определена, непрерывна и имеет необходимое число производных в области О С [0,оо] х В!х\ для любых (*, х) £ О, (*, я,/•"((, я)) 6 С? и уравнение г = F(<,x) определяет б ф интегральное многообразие 5 вырожденной системы (25), т.е. если ввести обозначение х = ^(Мсь^о,^)!* = ¿о> ^о 1 го) для решения системы (25), проходящего через точку (<о,го), то из условия (<о>хо,го) 6 5 будет следовать, что (<, <о> ^о. го), '/'зО, <о. *о)) £ > <о-

Системой в вариациях для интегрального многообразия Б назовем систему относительно £ и 7, которая получается при подстановке в (25) выражений х = <о> ^о) г — ^(¿.^(Мо^о)+ и линеаризации но £ и ц:

* = [Х'аЛ1, хя, гэ) + ха, **)] £ + а*, »/, (26)

г, = '' (27)

Здесь используется обозначение для решений системы (25), лежащих на 5: х5(<) = ¥>(Мо.*о) = «ММо.яо^о^о))^} = ?(Мо*о))

Предположим, что нормированная при 1 = (¿ фундаментальная матрица , <о> ^о) системы (27) удовлетворяет для некоторых С > О и а > 0 неравенству

||Ф('.-«о.*о)11 5 Сехр(-а(^<й)1, х0) 6 О, V* > <0,

и что фундаментальная матрица системыД2б) ограничена.

Будем говорить, что точка (<о, х0,20) € £? принадлежи области влияния V" иш трального многообразия 5, если проходящее через нее решение вырожденной системы (25) определено для всех < > Ла и притягивается к 5. . -

Асимптотические разложения решений возмущенной синими (18), отвечающих начальным условиям х(<о) = ^о.^('о) -- 1 V»« (<о,го,*о) 6 V, будем искать в виде:

. г(»,е) = Ш(1,е) = У0(*. *(*,*)) + г1,(*,г(*,<0)+ (28)

. . . + П0г(<,е) + еП1г(е,е)+ . . .,

при этом на члены вида П,х и П,г накладываются дополнительные условия: П,х -»0 а П,г —* 0 при I - + оо, т.е. считается, что они имеют пограпслойный характер.

Раскладывая правые части по е, выделяя пограислойные члены к приравнивал члены с одинаковыми степенями е, приходим к серии систем урапнепий в частных производных, первого порядка относительно функций г<((,х) (поскольку здесь х рассматривается как независимая переменная, можно вместо И писать х):

Для г* имеем: •

сйГ -

— - Х0(<, Зо, го) + * Хо,{1,ЗЬ, ?о)5"1 + ^ Х^, х0, г0),

~ + е'Хш№<,, . . .,х4), к = 1,2,...

Для погранслойных членов получаем:

Пц 2 = %)(<)+По*, го(г. %(<).)+Пог).- 2Г0(<, гео(0. ^оо(О),4» (здесь использованы радлржения .

п Т.д.) •

Этм системы дополняются начальными условиями.

Будем считать, что решение J0(f, е) соответствующей системы определено для всех t € *о -V-'X'/ej и лежит в D вместе с некоторой ,'ЬОКрССТНОСТЬЮ.

Заметим,что системы для xt содержат малый параметр е и могут быть исследованы, в свою очередь, асимптотическими метода ми, например, методом усреднения.

Формулируемая ниже теорема дает оценки точности построенной асимптотики.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Если го) принадлежит области влия-

ния V интегрального многообразия S ' z — F(t,x) вырожденной системы (25), то существует С > 0 и £q > 0 такие, что V< £ + 1'/е\ у- V- G (О, £0)

N

L(i, е) - £ е) + П*х(|. Щ <CeN+\

4=0

(f,£) - ХУ[Ц«,|>'г<0,е)) + П,*(Щ| < Се

4=0 ¡=0

В ij 2.2 для системы

х = е Х(х, <р, г), ф = ш(т) + Ф(х,<р,г,е), .

2 = H(x,<p)z + Z(x,<p,z,e),

являющейся частным случаем системы (16), строится асимптотика решений задачи Коши, причем предполагается, что ЛГ, Ф и Z периодичны но <р с периодом 27г.

Или отвечающей (29) вырожденной системы интегральное многообразие S задается уравнением г == 0. Считается, что характеристические показатели линейной системы с периодическими по I коэффициентами

г = H{x,ut)z, (зг = const) имеют отрицательные действительные части.

Асимптотическое разложение решения системы

(29), проходящего через точку г0), ищется в виде

х = 3? + Их = £ + еы,^,ф)+ . . . + П0а.(<) + еП1.г(«) + . , ., + = ф + + . . . + П0р(О + еЯМО + - •

г ~ I + Пг = £2!((,1>) + е3г2(е,11>) + . . .+-И0г(0 + г1М<) + . . Где £ и ф определяются, аналогично общей схеме метода усреднения как решепия системы

с = еЛ,(0 + е1Л2(0+ ф = «(*) + £ + в2(0+ . ■

а ЧЯены П^х, имеют погранслойный характер, т.е. стре-

мятся к Нулю, при £ —♦ со.

Получена теорема, дающая оценки точности Построенной асимптотики.

В § 2.3 рассмотрены некоторые примеры исследования конкретных систем.

В третьей глане для промежутка (О, Т] построены асимптотические разложения решений задачи Коши для сингулярно возмущенной системы (1) (или (2) для промежутка [0,У/е]).

Основное Предположение этой главы: вырожденная система (13) имеет экспоненциально устойчивое интегральное многообразие $.

Такай «остановка задачи включает в себя, как частные случаи, задачи, рассмотренные н главах 1 и 2.

Считается, что выполнены условия.

ФуНКЦИИ Л'о(<)^) Н Л'|(1,л) определены, непрерывны и ограничены вместе с их Производными но х до порядков N 1 2 и N Ч 1 соответственно » некоторой области Я С /?< х Л"; У(/,ь хи) € П ре Цепне ^о) Порожденной системы (13), проходящее через эту

гочку, определено для всех ( > и лежит и

В области вырожденная система (1.3) имеет 7 - мерное инте-■ралыюе многообразие 5; если, (¿ц,.,г«),6 5 то ((, х0)) <Е 5 для »сох ( > <ц.

Для некоторой окр< тности V С П многообразия S определено гладкое отображение V -» 5, имеющее ограниченные равномерно rio (t,x) € V производные, являющееся для любого <о отображением проектирования V<0 = V П {i = *о} па S,„ = £п{< = <о}, т.е. отображение (t,Pr(t,x)), для которого

• д Рг

Pr(i,Pr(i,x)) = Pr(i,x), ~(i,Pi(<,*))(x - Pr(f,x)) - 0.

Как известно, такая окрестпость для достаточно гладкого многообразия S всегда существует, а в качестве отображения Рг(<,х) можно взять, в частности, отображение нормального проектирования на 5(.

Положим P\{t,x) = Pi4(<,x) и P2(f,x) = Е - Pi(t,x). Будем ш> ¡юльзовать обозначение (i,p) для точек, лежащих на 5, тогда операторы P\{t,p) и P'i(t,p) являются проекторами,

Будем предполагать выполненным следующее условие: существуют С>0йа>/?>0 такие, что V(fo,po) € S,

||Ф(<, <о,Ро)Л10о,Ро)!( < Cexpl-ofi - fo)î, Vi > *0,

||$(Mo,Po)Pi(*o,Po)il «

<Cexp/3|i-t0|,

где Ф(<, to,po) - фундаментальная матрица некоторой линейной системы, связанной с многообразием 5. Б этом случае интегральное многообразие вырожденной системы. (13) даилется экспоненциально притягивающим.

Будем считать, что выполнено условие: область У является областью влияния интегрального шогообразия 5 вырожденной системы (13).

Асимптотическое разложение решения, проходящего-через точку (<о,асо) 6 ищется в следующем виде:

х(^е) = Щие) + Ш(<,е) = р(*,е) + £А(*,р£*,е),е) + йж(М), (30)

где '"■"■•. / . •

Л(<,х,е) = *>+»•.' (31)

Пх(*,е), = Иож(«'>*+ .... + (<>)+..., (32)

при этом предполагается, что p(t,e) лежит да S, hk(t,p) = xht{t,p), т.е. члепы hk{t,p) трансверсалыш к S, и HmV) —> О п]>и t —» оо, т.е. члепы имеют погранслойяый характер,

Для определения функций hk(t,x) получаем серию линейныч уравнений в частных производных первого порядка

+ X0(t,x) = A(t,x)hk + P2(t,x) Xk(t,x).

йля погранслойных членов получаем сШоя

dt

и для fc = 1,2,...

dUiX

= A'o(t,2o(í) -i-IMO) - A'o(t,ío(0),

= Jf^(i,2o(t)+IIoi(i))nia:+C7i(i)-

dt

В к-м приближении функция p(t,e) (обозначенная через рк(1. г)) определяется как решение системы

^ - XoO.pt) + ё [XUhpt) -■A(í,pt)]/íi(<,Pi)H-

• +е Pl(í,pt) [АЖрь) + е \М) К- ■. +

Fk{t,F:.:,hu...,hi+i)j = X0(t,pk) + £ P,{t,Pk) Hk{t,Pk,e), (Щ Считая, что функции pN{t,e) , 1ц(t,x),,.., hN(í,x), П0г(<),..., Пл(^(0 построены, в качестве jY-ro приближения для x{t,s) выбираем ■ •

- ' • N-1 • .v-1

*ir(t,e) = pf/(t,e)+2¿£ihk(t,pH(t,e))-i-'££tntx(t). .'.'.' t=! . k-0 Формулируемая виже теорема дает оценки »точности пост роен-пой асимптотики. ; ,

TEÚPEM А 3.1;1. Если (ío,^о) принадлежит области влияния V интетральцого многообразий" 5 вырождепной системы (13). т > существуют.*? > 0 и е9 > 0 такие, что Vi е (<o,ío + T'/f) и Ve 6 (Ü,fyj решение системы (2), удовлетворяющее начальному условию

x(ló,e) = ¿o, определено,, лежит в íi и

В § 3.2 рассмотрены некоторые частные случаи.

1.) Интегральное многообразие S вырожденной системы задается уравнением х = х¡¡(t, s), (t, s) e По С Ri x R'e, отдельно разобран случай, когда функция х — xp(l, s) язляется решением вырожденной

' системы.

2.) Рассмотрена система (изучавшаяся А.В. Васильевой и В.Ф. Бутузовым)

а- = XG(x) +е A'i(x)

в предположегии, что интегральное многообразие S заполнено решениями вырожденной системы вида 1 = const, т.е. S определяется уравнением Хо(х) = 0.

3.) Рассмотрена система (15), что дает асимптотику несколько иного вида, чем н § 2.1.

4.) Построены асимптотические разложения решений системы

^ = ад+еад

в предположении, что вырожденная система

' Ах - ■*

§ =

имеет ¿-параметрическое семейство периодических решений х = = ip(u(a)t + в0,а), зависящее от параметров во,а — (oj,... ,a*-i) и что п — к характеристических показателей системы S вариациях имеют отрицательные действительные части (к характеристических показателей равны нулю).

В § 3.3 для системы ^ '

• . получены некоторые достаточные условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость интегрального многообразия S; эти достаточные условия формулируются непосредственно в терминах правых частей системы. Их частным случаем являете,;,' например, известный признак Пуанкаре асимптотической оьбш алг.пои устойчивости предельного цикла.

' В четвертой главе ца системы вида (18) и (1)-(2) переносятса основные результаты Л.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова, относящиеся к так называемому условно устойчипому случаю.

В § 4.1 для система (J8) (dim a: = I, dims = m, т + I — п) рассматриваются следующие краевые условия

si(Q) = о, zi.(0) = гю; хг ^ = х2т, Ч (^j = ггт, (31)

где х — (xi,xi), г — (21,22), dimzi = /+,dimi2 = dim21 = m+, dim 22 = тп~

Предполагается, что выполнены условия.

Функции Xo(t,x,z),Zo(t,x,z) и X\(t,x,z),Z\(t,x,z) определены, непрерывны и ограничены вместе с нх производными по х, z до порядков N +■ 3 и Л^ + 2 соответственно в некоторой области Q С [О, со) х R'x х П'гп.

Вырожденная система (19) имеет лежащее в Q интегральное многообразие S, которое задается уравнением г = F(t,x). Функция F(t, я) определена, непрерывна и имеет ограниченные производные до порядка /У+2 в области D с [П,оо)хЛ[.; V(t,x) е D, (t,x,F(t,x)) е

Q.

Будем пазывать системой в вариациях для интегрального многообразия S следующую систему относительно £ и г/:

i = xs, zs)+ X^(t, xs, ®SJ] £ + Xi(t, xs, zs) Tf, (35)'

... rj = К (t, xSt zs) ~K(t, xS)X'0z(t, xs, 2.5)] г]. (36)

Здесь используются обозначения xs(t) = <рЦ, <0, £o), 2s(i) = F(t, <p{t, toi^o)) ДЛЯ решений вырождеппой системы (19), лежащих на

s: . '■'• • . .'.•■.'.'•■•"

Предположим, что пармироваппал фундаментальная матрица системы (35): ограничена,- а фундаментальная матрица Ф(<,('ц,а'о) системы, (36), Удовлетворяет условию гиперболичности, т.е. существуют проекторы х), P~(t,x),действующие в R", такие, что для некоторых С > 0 и а > 0

\\<Щ> h, x0)P'(t0, ®o)||' < Cexp[Q(í'- íü)}, V(fó,*o) € D.

Вудсм считать, что dimP+(iírt) -.m+, dimP~(Rm) = m~ (где m+ к иг входят в краевые условия (34)).

Асимптотические разложения решений краевой задачи (18),(34) ищутся в виде:

Н Ií0x(í,e) -f eU.ix{t,e) Л- . . . +Q^e) + eQix(t,e) -f . . .,

= z{t,x{i,s),e)-)- Ш(1,е)+ Qz{t,e) = ze(l,S(f,e))+

-I £z,(í,<r(M))+ . . . +IIo*(í,e)+'riÍr*(<,e)+ .. .+Q1}z(t,E)+eQlz(t,e)+ . . .,

при этом на члены вида П,а:,П¿г п Q¡x,Q¡z накладываются дополнительные условия: П.-я -* 0 и П ¡z —»О при t.-v со; Q¡x -»Он QjZ О при t —» —со, т.е. считается, что спи имеют погранслой-ный характер. , .

Подстановка этих разложений в систему. (28) позволяет получить для определения входящих в йих фупкцлй системы, аналогичные системам § 2,1, а подстановка разложений п краевые условия приводит d конечном к :оге к некоторым начальным условиям для П,-.г,.Щг и Qíx, Qíz на левом и правом концах соответственно и к краевым условиям для x¡. Таким образом, построение асимптотики решения сингулярно возмущенной краевой задачи сводится к решению серии задач Коши для левого и правого концов для вырожденной системы (или связмшой с вей системы о вариациях) и к решению серии краевых задач меньшей размерности ("па St")-.

В § 4.2 получены оценки точвости состроенной асимптотики. Если положить ' .

\ ■ ■■ дг-4' • '.•:.,' ;-

rN(t,е) = J2¿[xk+mx+Qk*], zN(t,e) = то для точного решений имеем: ;

В § 4.3 для системы с медленными и быстрыми переменными

х = еХ{х,у), у - Y0(x,y) + eYi(x,y)

на промежутке fO,Т/е] рассматривается краевая задача с граничными условиями вида

г+(х(0),у(0)) =0, г-(х(|),,/(|)) = 0.

Считается, что присоединенная система

у = Yo(x, у), (х - const)

нмеет периодическое решение у = \(t,x) — F(u(x)t,x) с периодо. ■ Т(х) = 2п/ьо(х). Предполагается, кроме того, что система в вариациях

имеет m+ характеристических показателей с отрицательными действительными частями и m~ = m — m+ характеристических показателей с положительными действительными частями (в силу гвтономпости системы один характеристический показатель равен *улю ). Асимптотические разложения решений краевой задачи строятся с использованием как метода погранфупкций, так и метода усреднения.

В § 4.4 построены асимптотические разложения собственных шачениЙ и собственных функций в задаче на собственные значения 1ля сингулярно возмущенной квазилинейной систем!,т

= \A(t)y + eF(t, у, Ь)

: краевыми условиями yj(0) = 0, уг(Т) = 0, где у = (2/i,

Считаются выполненными условия: собственные значения //,(г) гатрицы А(т) удовлетворяют условиям (« = п+ + п~ 2):

Re < v' < 0. fc=l,...,n+;

Re fk{r) > и" > 0, k = n+ + 1, ...,n+ +«";

^n—l = « • w(r), M„(r) = -i ■ ui(r), w(r) > M) > 0.

;, кроме того, dimi/j = + 1; dimj/2 = »*" +

В § 4.5 для системы (1) па промежутке [ОД'] строится аст шготика решений краевой задачи с граничными условиями вир r+(z(0)) = 0, г_(я(Т)) = 0.

Предполагается, как и в главе 3, что вырожденная система {1; имеет интегральное многообразие S, но условие асимнтоткчесгс устойчивости 5 заменяется па более общее условие гиперболичш сти S в нормальном направлении.

Асимптотическое разложение решешш краевой задачи шкутс в виде:

x(t,e) = x(t,e) + Ux(t,e)-}-Qz(i,£) —p{t,e) + eh{t,p(t,e),e)+ +mx(t,e)-\-Qx(t,())

где

h(t,x,e) = h\{t,x)-\-eki(t,x)-i- ...,Tlx(t,e) = Ilox(t) + ellix(i) -,}-Qx(t, e) = Q0x(t) + eQix(t) + ....

При атом предполагается, что p(i, e) лежит на S, %(£,£>) Pi{tip)hk(t,p)> т.е. члены /и(г,р).трансверсалыхы к S, и ¡ЕЦгф) —» при t со, Qkx(t) -» 0 при t —» -сю, т.е. членыи определяют пограпелий па левом и правом концах.

Для входящих сюда функций получаются уравнения, а,нале гичпые уравнениям § 3.1; при зтом погранслойные члены Qtx(t) определяются как решения соответствующих задач ¡Кони a Pk(t) является решением некоторой краевой задачи для систем (33). . / . . .

Если положить

N - ' АГ N .

к=1 ' i=0 ' >=0 то, при сформулированных в работе предположениях,

1И<, £) -*„(<,е)Ц <Се"41. ■'./:'■ ■

В §4.6 рассматриваются приложения полученных результате к некоторым задачам теории упругих колебаний и п ¿ории- опт] мального управления. '

Снстемы, сиедегщые иа S\ содержат малые параметры и, и юю очередь, могут исследоваться асимптотическими методами, ля этого ионспо применять метод усреднения, а п тех случаях, 1гда он неприменим, можно использовать пекоторые его обобще-ш, например, частичное усреднение, которое разрабатывалось в ьботах А.-Й.Филатова, М.М.Хапаеиа и других авторов. .

В пятой главе предлагается метод, позволяющий строить аси'м-отику решений систем с медленными и быстрыми переменными i некотором промежутке вида [0, Т{е)], где Т(с') —> со при t —> со, включающий в себя, как частный случай, различные схемы чг. чачвого усреднения.

Метод усреднения, разработанный для систем с медленными и острыми переменным» В.М. Вллосопым, в нулевом приближении

I

¡едят исследование системы

^=.£X(t,z,x,e), ~^Z(t,z,x,£) (37)

Исследованию системы ' . . "

- "v.. " - i-sr(y)' ' (:38)

е Y(x) - среднее от.функции, Xo(i,г,,х) = A'(i.:.i.O) пдоль траек-рий вырожденной системы ...

• Ч= ji=ZQ{t,z,x)~Z(t,z,x, 0). . ' V ' (38) ,

В. § 5.1 рассматривается некоторый более общий подход к ис-едованию систем вида (37), состоящий В том,> что система (37) меняется по определенному правилу более простой системой того ; вида . , ' ^<v-. •

.'39)

Оказывается, что дйя близости ме^яёпных составляющих x(t) y(t) регаепиЙ (x(l),z(t)) и (y(t),p(t)) систем (37) и (39) на пеко-ром асимптотически большом промежутке (fo.Tie)) достаточно .; [бирать сигу ему (38) таким образом, чтобы асимптотическое по- ; денЙе при i —» со йятегралов от функций Xё, х) и Y(t\z,x),

вычисленвых вдоль траекторий вырожденных систем (38) и

% = Г«,Р,у) (40)

соответственно, было одинаковым (в смысле, который уточняется » работе).

В § 5.2 для системы в стандартной форме построены высшие приближения. В § 5.3 даны некоторые приложения к исследованию конкретных систем.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Щитов И.Н. О движении тяжелого гироскопа в кардаповом подвесе. \\ Инж.ж.МТТ.-ШТ.-Л^.-С.бО-бг:

2.Щитов И.Н. Влияние высокочастотных вибраций па астатический гироскоп. \\ В сб. Лифференц. уравнения'и'их приложения.-ЛГУ, 1971.-С.140-148.

3.Щитов И.Н. Исследование гироскопических систем'методом усреднения при быстро вращающейся фазе.\\ В еб; НЬлинейная механика.- ЛГУ, 19У5.-С.93-96.

4.Щитов И.Н. О близости peшeний^cиcтeм«Blcтaпдйpтнoй■ форме. \\ В сб.Лифференц.уравнения'и1 их приложении.1- ДГ'У, 1982,-С.91-96.

5.Щитов И.Н. Об одном методе асимптотического иитегриро-вания систем в стандартнойЦгормеД^,ДШ1 еСОР.-1083:-27'2;АГ11-С.315-319.

6.Щитов И.Н. О теореме В!М!В6лосова' об' усреднении; \\ В сб. Исслед ^ванияпо современным проблемам'суммированиЯ' и приближения функций и-их приложениям.'-ДРУ.-1983;-0.1110-!146.

7.Щитов И.Н. Теоремы'Сравнения для'систем'в' стандартной1 форме. \\ В с б. Лифференц.у равнения' и их приложения.1-Д Г У.-1984.-С.12-20.

8.Щитов И;Н1 Асимптотика решений систем с медленными'и1 быстрыми перемеаяшми.' \\ Укр. мат; ж>.-1985.-37,]У2.-С.237-243.

9.Шитов И.Н. К вопросу об асимптотике решений задачи Ксшш для сингулярно возмущенной системы.\\ Дифференц. уравнения.-1985.- 21,N10.-0.1823-1825.

Ю.Шитов И.Н. Об одном обобщении теоремы А.II.Тихонова. \\ Укр.мат.ж.-1986.-38, N3.-0.394-397.

11.Щитов И.И. Асимптотика решений систем с медленными и быстрыми перемешшми 2. \\ Укр.мат.ж.-1987.-39,/У5.-С.Г>31 - 037.

12.Щитов И.Н. Оценки близости решений нелинейных систем. Высшие приближения метода усреднения.\\ В сб.Вопросы прикл. математики и матем. моделирования.-ЛГУ.-1988.-С.38-42.

13.Шитов И.Н. Асимптотика решений сингулярно возмущенных систем для асимптотически большого временного промежутка. \\ В сб. Дифференц. уравнений и прикладные задачи.ТГШ-1991 .С. 15 - 19.

14.Шитов И.Н. Асимптотика решений сингулярно возмущенных задач.\\ В сб. Качеств.теория сложных систем,-С.-Петербург.: Иэд-во РПУ.-1991.-С. 106-118.

15.Шитов И.Н. Асимптотика решений задачи Коши для сингулярно возмущенных систем. \\ Дифференц.уравнения.-1992.-28,Дг5.-С.779-790.

16.Шитов И.Н. Об асимптотике сингулярно возмущенных систем (тезисы доклада). \\ Теория функций.Дифференц. уравнения в матем. моделировании.Тезисы докладов школы.-ВГУ.-1993,-С.150.

17.Шитов И.Н. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных систем. \\ Укр.мат.ж.-1993.-45,Д'4,-С.552-561.

18.Щитов И.Н. О задаче Понтрягина-Родыгийа(тезисы доклада). \\ Теорш наближення та задач! обчислювальши математики (тези доповией).-ДГУ.-1993.-С.216.

19.Шитов И.Н. О высших приближениях в задаче Понтрягина-Родыгина. \\ В сб. Лиферснциалыше уравнения и их приложения.-ДГУ.-1993.