Асимптотические решения задачи Коши с особенностью для системы сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН АЛМАТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АБАЯ

На правах рукописи УДК 517.9

Шульгин Александр Иванович

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КСШИ С ОСОБЕННОСТЬЮ ДЛЯ СИСТЕМЫ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРО - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

АЛМАТЫ 1996

Работа выполнена в Алматинском государственном университете имени Абая.

Научные руководители: член - корреспондент HAH PK, доктор физико - математических наук, профессор К.А. КАСЫМОВ, кандидат физико - математических наук, доцент М.К. ДАУЫЛБАЕВ Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор Ы.И. РАХИМЕЕРДИЕВ, кандидат физико - математических наук, доцент Н.Б. ЕИЯДИЛОВ. Ведущая организация: Московский государственный университет имени Ломоносова.

Защита состоится "_"_ 1996 г. в_

часов на заседании специализированного совета К 14/А.01.05 по присуждению ученой степени кандидата физико - математических наук в Казахском государственном национальном университете им. Аль - Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, ул. Масанчи, 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан "_"_ 1996 г.

Ученый секретарь спецссвета, кандидат физико - математических наук, доцент

Б.М. ЩЫКЕНОЕ

ОЕЕАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Сингулярно возмущенные уравнения, т.е. уравнения с малым параметром при старщих производных, являются важным классом дифференциальных и ¡штегро -дифференциальных уравнений, так как имеют большое прикладное значение. Такие уравнения выступают в качестве математических моделей многих задачах механики, физики, техник;!, химки, теории дв:кения гироскопов и других областей науки. Систематическое исследование таких уравнений качалось пселе появления основополагающих работ А.Н. Тихонова, в которых доказаны фундаментальные теоремы о предельном переходе для систекы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при стар-сей производной.

Существенный вклад в развитие теории сингулярно возмущенных уравнений внесли работы У.Л. Вищика, Л. А. Лостер-яика, A.B. Васильевой, 8.0. Бутугоза, H.H. Боголюбова, Б. П. Маслсва, Л. С. Понтрягина, Е.О. Мищенко, Н.Х. Розова, М.И. Иманалиева, С.А. Ломова,В.А. Трекогина, В.А. Тупчие-вз, М.М, Хапаева, H.A. Касымова я других.

Построение асимптотических разделений решений сингулярно возмущенных задач предстазляет большой теоретически :: прикладкой интерес.

Цель работы - исследование поведения репекий задачи Коли с особенность» для скстега линейных сингулярно возмущенных пятогро - дифференциальных уравнений з точке начального скачка и для скстеьа некоторого класса нелиней-сингулярно soair/щенкых пнтегро - дифференциальных уравнений, не изучавшихся ранее, выявление та«1х закономерностей в поведении репэнкй систем кнтегро - дифференциальных -/равнений, которые не присущи дифференциальным

ч

уравнениям, а также построение асимптотических приближений

- -

резений задачи Коей с начальным скачком.

Научная новизна. Основные результаты работы: научено асимптотическое поведение решения задачи Ксиа с особенностью е точке начального скачка для системы линейных сингулярно возмущенных пнтегро-дифференциальных уравнений, доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши с начальным скачком и задачи Кота с особенностью для системи некоторого класса нелинейных сингулярно возмущенных интегро - дифференциальных уравнении, построены асимптотические разложения ресенип рассмотренных задач, доказаны разномерные на рассматриваемом отрезке сценки остаточных членов асимптотических разложений с произвольной степень» точности по малому параметру. Все полученные научные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют как теоретическое, так и прикладное значение к могут Сыть' применены при качественном исследовании иди практическом рекенпи некоторых задач физики, механики и других областей науки. Построенные асимптотические разложения репений могут быть использованы з качес-• твй начальных приближений для численных методов.

Связь темы диссертации с планами отраслей науки. Диссертационная работа выполнена в соответствии с темой фундаментальных исследований КззГНУ гш. Аль - ©араби: '•Асимптотические методы сингулярно возмущенных уравнений."

■ Апробация работы, Материалы диссертации докладывались на VII Республиканской медвуэовско» научной конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1984), на конференции молодых ученых Алма-Атинской области (Алма-Ата, 1985), на всесоюзном научном советнин " Методы малого параметра " (Москва - Нальчик, 1987), IX Республиканской мэнвугсзскои . научной конференции по математике к механике (Ал»;а ~ Ата, 1983), на Республиканской научной конференции " Дифферек-

цизльные уравнения и их приложения " (Срунэе, 1989), на научны:-: конференциях прсфесссрско - преподавательского состава и'аспирантов ЛГУ км. Абая, на Всесоюзной научной конференции 11 Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных задач и некорректно поставленных задач " (Б'.ягкек, 1991), на сколе - семинаре по математике и механике, посвященном 60-летию члена - корреспондента HAH PK, профессора К.А. Касымова (Алматы, 1995), на научно -методическом семинаре, посвященном 50-летию профессора Е.Ы. Бидайбекова (Алматк, 19S5), на научных семинарах кафедр дифференциальных уравнении, уравнений математической физики и вычислительной математики КаэГНУ (руководители: профессора Касымов К.А., Мырзалиев Д.Н., Гемирбула-тов С.И, и Смагулоз Ш.С.). х

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С1-11].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа на 110 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав, разбитых на 11 параграфов и списка'литературы, включающего 72 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

2о введении приводится кратюй обзор истории развития асп/лтстических методов решения сингулярно возмущенных зядач и кратко излагается основное содержание диссертации.

S первой главе диссертации исследуется решение задачи Kosh длл спстеш сингулярно возмущенных линейных янтегро-дпфферонциальных уравнений типа гредгольмз с начальными условиями на правом конце отрезка [0,1]. Это репеняе при определенных условиях на коэффициенты систеии тлеет су-"еотзенну^ особенность по сравнен:® с рененкем аналогичной

ч

задачи для систем диффернциальных уравнений, а именно,

добавление в дифференциальные уравнения интегральных членов качественно меняет поведение реаения задачи с начальным условием на прагом конце. Если реыеииэ дифференциальной гадачи уходит в бесконечность при с-Ю, то ресе-ние интегро - дифференциальной задачи стремится к решении измененного Еырсмденного уравнения, прием в начальной точке значение реыения быстрой переменной стремится к бесконечности, а значение решения медленной переменной ограничено при е-О.

В первой главе диссертации в начальной точке 1-С для решения интегро - д и£фе р е н циааь к о и задачи приводится асимптотическое поведение при еЧ) и доказывается теорема существования и единственности реявши данной гадачи и оценка решения, равномерная на.всем отрезке 10,1].

В 5 1 первой главы сформулировала постановка гадачи. Рассматривается следующая система линейных интегро - дифференциальных уравнений типа Фредгольма: • 1

£2»Аа(1)г+Зо(Оу+П1и(Ь,х)2(х)+Ь12(1,х)у(х)]йх+р1 (*•),

О

(

1

y-Al(t)2+Бl(t)y+I[Lгi(t,x)2(x)+L22(t,x)y(x)]dx+F2(t) о

с нз-,зльнымк условиями в точке 1-1:

2(1.е) - в, у(1,е) - 5, (

где с>0 - малый параметр, а,в - некоторые известные постоянные.

Предполагается, что:

I. Функции Aitt), Bj(t), 1-0,1 И Fi(t), i-1,2 являются достаточно гладкими на отрезке СОД]г

II. Функции Li;)(t,x),i, 3-1,2 являются достаточно гладкими в области D-(0Ct<l,0<х<1);

III. Функция Ao(t) удовлетворяет условию:

Ao(t)<-r-con3t<0p 0<t<l.

В 1 г первой главы диссертации построен^ фундаментальная система решений системы линейных однородных д:гфференциальных уравнений:

82 » Ао(Ог + Во(1)У,

(3) '

у - А1(1)2 + В1(Ь)у.

В 5 3 первой главы диссертации построены функции Кош Ки^.э.е), являющиеся решениями , системы однородных уравнений:'

(ЖЦ

е--АоСОКц + В0а)К12 ,

СИ

(4)

(1К12

---А1(1)Кц + В1(1)К12 , 1-1,2 ,

<31

с начальными условиями при 1-з: -

- а -

Ки(з,з,е)

1, 1-1, О, 1-3.

(6)

Для функций Коши получены асимптотические представления при е-КЗ.

В § 4 первой главы диссертации исследовано асимптотическое поведение решения в начальной точке. Показано, что решение г(1,е), уе) системы (1) представимо в виде:

2(1,г) - Кц(Ь,0,е)2(0,е) + К21(Ь„0.е)у(0.е) +

+ I

О

Кца.з.ОМз.г) + К21и,з,е)й2(з,е)

ds

У^.е) - К12^,0,е)г(0,е) ♦ Кгга,0,е)у(0,е) ♦ 1

+ I

ок

сЗз

(6)

где

МЬ.е) - ПЦ1(Ь,х)г(х,е) + Ьг2(Ь.х)у(х,е)]с1х «• ,

О

1-1,2, (7)

а 2(0,е), у(0,е) - начальные значения, подлежащие определению.

Далее, подставляя (V) в (6),получаем систему линейных интегральных уравнений типа Фредгольма:

га.е) = Гга.еИШпи.х.е^х.аННга.х.вЖх.е)^,

О

У(Ь.е) - Г2а.а)+Ш21(1,х,а)::(х,в)-М22а,х,в)у(х,г):!<1х,

О

гдо ядра Л13(1,х,е) выражаются формулами!

1

О

К11(Ь,з,е)Ц1(з,х)+К21(1,з,е)и21(з,х)

йз.

Ь

•игСЬ.х.еЫ

О

-121 (Ь,

О

е

к

КП а,5,г)1.12(5,Х)+К21^,3,8)1.22(3,X)

К12чЬ.З.е)!-11(3,Х)+К22(Ь,3,2)Ь21(3,Х)

сЗэ,

ds,

О)

о

¡<12(1, Б, 2)1.12(3,х)+К22^, я, е^гг^.х)

сЬ.

Интегрируя по частям члены, содержащие — КцСЬ.э.а),

а

получаем для ядер .^¿(^х.с) асимптотические формулы при

î-O:

Jlj(t,x,e)«Jij(t,x)+

1 t t

-ÎA0(;;)dx+ÎEi(x)dx

Lij(O.x) e О 0

0(e),

Ao(0>

J2j(t,xte)-J2,(t,x) + 0(a), 3-1,2,

где Jij(t,x) - h в аависят от e и вырзлаатсп формулами:

t

Li.Ut.x) Bo(t) Ai(s)Li,(s,x) Jlj(t.x) ---- + -

Aoít) A0(t)

Ao(s)

3o(x)Ai(x) t

- dx +■ ÎBi(x)dx

Ao(x) s t

- L2j(S,x)

as +

Eo(s)

Ac(s) (11)

Ai(x)Eo(x)

dx

Ao(x)

XL2j(S,X)9

ds ,

■f

J23Ct,X)

ai(S;LI0(3,X)

Ao(3)

+ l2:(3,x)

(u)

2o(x)Ai(x)

Bi(x)

Ac(:<)

dx

ds

Предположим, что:

IV. При достаточно малых а ядра ^ (^х.е) не находятся на ссбственнсм значении.

Отсюда следует, что решение у(1,е) системы

интегральных уравнений (8) представимо в виде

:(t,£)'fi(t,£) + iCRiiit,x,.2)fi(x,2)+Ei2(t,x,e)f2(x,e)]dx,

О

y(t,a)»fг(*,£)+JCR21(t,x,£)fi(x,e)+R22(t,x,2)f2(x,a)]dx,

О

(12)

где Ri j(t,х,г), i,3-1,2 - резольвенты соответствуем ядер Ji, (t,x,e).

Подставлял это Еыраяение в начальник условия (2), получим в нулевом приближении систему линейных злгебраи-

ческих уравнений относительно 2(0,с), у(0,е):

Дисг(0,е) + Дг2У(0,е) - «г - Д13 , Û2isz(0,e) + Дг2У(0,г) - о - Дгз .

Предполагая теперь, что V. Справедливо неравенство:

Д = Дц-Дгг " Д12-Д21 * 0 .

доказывется теорема 1 о том, что решение г(1,е), у(Ъ,е> задачи (1), (2) в точке ЫО имеет следующие асимптотические формулы при е-Ю:

2(0,е)

(et - Д1з)Дгг - (з - Дгз)Д12 -+ 0(е)

(S - Д2з)Ди - (û - Даз)Д21 (Н) у(0,е) - -'- + 0(е) .

В 5 .5 первой главы диссертации доказывается теорема 2 о существовании, единственности и асимптотических сценках решения 2(t,e), y(t,e) задачи (1), (2).

В S 6 первой главы диссертации рассмотрен прт.!ер, иллюстрирующий результаты пергой главы.

Во второй главе диссертации построено асимптотическое реаение задачи Коши с особенностью для системы сингулярно возмущенных нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

В S 1 второй главы рассматривается система нелинейных пнтегро-дифференциальных уравнений вида

âz t s - „ A1(t,y)z + A2(t,y) + ¡ Ki(t,x,y(x))s(x)dx,

dt 0

dy t - - A3(t,y)z + A4(t,y) + J K2(t,x,y(x))z(x)dx

(15)

с начальными условиями в правой точке отрезка СО,13:

z(l,е) - а, у(1,е) - В, (16)

где е>0 - малый параметр, а.,3 - известные постоянные.

Предполагается выполнение следующих условий:

I. Функции Ai(t.y), 1-1,4 являются достаточно гладкими в области Di-íO<t<l,|у|<+«>, а функции Kj(t,x,y), 3-1,2 - в области D£--C0<t<l,0<х<1, |у|<+«>.

II. ©ункции Ai(t,y) и A3(t,y) в области Di удовлетворяют неравенствам:

Ai(t,y)<-r " const < 0, As(t,y) * 0.

Для построения асимптотики решения задачи (15),(16) предварительно рассматривается задача Копи с начальным скачком:

о(е)

у(0,е) - а(е), 2(0,е) - - , (17)

е

где a(e)-ao+sai + ... ,

(IS)

c(e)-c0*8ci + ... , со^О,

Вк» ск (к-0,1....) - пока неизвестные коэффициенты, подлежащие определении. . Определим ак, сь. так, чтобы решение задачи (15), (17) было репением задачи (15). (16).

Рассмотрим вырожденную систему уравнении:

О - А1а,у)г + Ае(Ъ.у) + 1К1(Ь,хгу)зес1х + Дг(1),

О

(19)

¿У _ _ t - - А3(Ь,у)г + А4(Ь,у) + I К2(Ь,х.уМх + ДгШ

<31 о

с начальным условием:

у(0)-ао+Дао, (20)

где Дао и - так называемые начальные скачки

решения и интегральных членов, определяемые из следующих формул:

ао+йао

Аа(0,т1).

-с!п , 30+&20 " у(0),

с0

М«

Аз(0,п) 30

(21)

ао+йао

К;, и,0, 7))

- <1п , 1-1,2,

Аз(О,И) ВО

Задача Кос;: (19), (20) называется вырожденной задачей для задачи (15), (17).

Ш. Пусть вырожденная задача (19), (20) на отрезке [0,1] имеет единственное ресение у(0, г(0.

Рассмотрим следукную задачу:

йо

Аг СО.т»)

Аз(0,Уо(0)+|>о(^)) •

ЛзСО.-я)

(22)

Уо(О-)

0о(0) > ао-Уо(О).

Дифференциальное уравнение (22) а соответствии с терминологией Л.Н.Тихонова называется присоединенным уравнением.

IV. Пусть начальное значение ро-Уо(О) принадлежит области влияния точки покоя Ло-О присоединенного уравнения (22),

В 5 2 втсрой гляеы излагается алгоритм построения асимптотики реаения задачи Ксси с начальным скачком (15), (17).

В 5 3 дается экспоненциальная оценка пограничных функций асимптотического разложения.

В 5 доказывается теорема 1 о существовании, единственности и асимптотическом представлении релепия задачи Коей с начальным скачком. Обозначим это ресение через у(£,а,с,е), г^.а.о.е).

3 5 5, возвращаясь к ресекга неходкой задачи (15),

(16), постоянные а, с подбираются так, чтобы ото репение y(t,a,c,e), z(t,a,c,£) удовлетворило при t*l условии (16)

у(1,а,с,£) = а , г(1,з,с,е) - ¡5 .

Тогда относительно неизвестных параметров а«, с* получим последовательность систем уравнений:

Уо(1.ао,со) - « ,

zo(l,ac,co) » 0 ,

Ук(1,а;к,С'к) - 0 ,

Zod.ak.Ck) - 0 , .к'1,2,...

(23)

(24)

Предполагается, что:

У. Система уравнении (22) имеет единспекное росенпэ

ао, со и якобиан отой систеш отличен от 0.

Показано, что (24) есть неоднородная система линейных алгебраических уравнений относительно £к,ска причем определитель этой систем совпадает с я!собианом систем,: (23). Следовательно, в силу условия V определитель зтой систеш отличен от 0 и, тем самым, параметры а^,сх, к>1 определяются однозначно.

Далее доказана теорока 2 с существовании, единственности и асимптотической представлении решения задачи (15),(16) и 'оО сценке остаточного члена

ас5оптотического разложения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Клсыуоз К.А., Еульгпн А.". Об асимптст:пс-скем поведении решения системы интегро - дифференциальных уравнений типа Срэдгсльма с малым параметром при производной.// Математика :: мехаякка. Тезисы докладов VIII Республиканской межзузозско': научной конференции по математике и механике, посвященной БО - летга Казахского Государственного Университета

1 п w Алма - Ата 1934. 0. S7

2. Шульгин А.И. ОС асимптотике решения системы сшггулярло возмущенных интегро - дифференциальных уравнений типа Еольтерра. // Тезисы конференции молодых ученых Алматинской области, проведенной на базе Каэ.ГУ им. С.М. КирсЕа. Алма ~ Ата. 1985. С. 219.

3. Сульгин А.И. Об одной задаче для системы интегро - дифференциальных уравнений типа Еольтерра.// Методы малого параметра. Тезисы докладов Всесоюзного научного совещания. Нальчик.

1987. С. 162.

4. Касымсв К.д., Шульгин А.И. Об одной задаче для сингулярно возмущенней систеш нелинейных ' интегро - дифференциальных уравнений.// Математика и механика. Тезисы докладов IX Республиканской меявузовсксй научной конференции по математике я механике. Алма - Ата. 1989. С. 62.

5. Каскмсв К.А., Шульгин А.И. О задаче с начальным скачком для сингулярно возмущенней нелинейной систеш кнтегро - дифференциальных уравнений.// Дифференциальные уравнения . п их прилоления. Тезисы докладов Республиканской научной кокферея-ции. §руя?е. 1989. С. 6?.

8. Шульгин А.И. Асимптотическое поведение решений систскы итог--ро - дифференциальных уравнений, содер»£35Х иззый параметр при старсей производной.// Тезисы докладов я сосСяекга 42 гсд!пной научней конференции прсфесссрска-преподавательегегго

состава и аспирантов, ч. II. Алма - Ата. 1991. С. 89 - 90.

7. Шульгин А.Я., Дауылбаев • Ы.К. Асимптотическое разложение решении системы сингулярно возмущённых интегро - дифференциальных уравнений.// Материалы школы - семинара по матемзтике и механике, посвященного 60-летию члена - корреспондента НАН

. РК К.А. Касымова. Алматы. 1995. С. 160.

8. Дауылбаев М.К..Шульгин А.И. Об асимптотическом решении задачи Коши для системы интегро - дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной.// Математико - информационные технологии в образовании и науке. Материалы научно -методического семинара. Алматы. 1995. С. 23 - 29.

9. Дауылбаев М.К., Шульгин А.И. Асимптотическое решение задачи Ксии с начальным скачком для нелинейной системы сингулярно возмущенных интегро - дифференциальных уравнений. Деп. в Каз.Гос.ИНТИ 9.04.96. N 6861 - Ка 96, 23 с.

10. Касымов К.А., Шульгин А.И. Асимптотические оценки решении задачи Коши системы линейных интегро - дифференциальных уравнений с малым параметром. Деп. в Каз.Гос.ИНТИ 12.04.96. N 6863 - Ка 96, 12 с.

11. Шульгин А.И. Об асимптотическом поведении решений задачи Коши с особенностями для нелинейной системы интегро - дифференциальных уравнений с малым параметром при старлей производной. Деп. в Каэ.Гсс.ИКТИ 18.04.06. N 6883 - Ка 96, 21 с.

Личный вклад диссертанта. Все научные- результаты, составляющие основное содержание диссертационной работы, получены диссертантом самостоятельно, а соавтора,! принадлежат постановка задачи и обсуждение работы.

- 10 -

Шульгин Ескендер Иванули.

Сингулярлы KcfiajcibiFSH интегрс-дифференциалды тендеулер :куйес1 уш!н ерекшел!г1 бар Ксши ecefii шеш1мШц асимптотикасы.

Диссертациялык, жумыста сингулярлы н;сбалжь!ган сызыктц интегро-дифференцпалды теэдеулер жуйес1 уш1н ерекаел1г1 бар Ксши есеб! шеш1м1н1ч ycLiici Сар нуктедегг каслеттер1 зерт- ' телген жэне осы ecenTiH сыгыкты емес интегро-дифференциалды тевдеулер жуйеа ум:н Копи есеб! шеш1м1н1ч асимптотикасы к,урылган.

Диссертаиияда алынган нег!зг1 нэтижелер!:

1). карастырылган есептер шеш1м1н!н уз!л1с1 бар нукте аскмтотикадык сипаты карастырылган;

2). осы есептерд!ц шеш1мдер1н1ц бар болуы жэне оньщ жалгыздыгы туралы теоремзлар дэлелденген;

3). карастырылган есептерд!ц шеш!мдерШч Kimi парамет-pl бойынша асимптотикалары курылган;

4). асимтотикалардыч калдык мушелер1 к1ш! параметр аркылы кез келген дэлд!кпен багаланган.

Shulgin Alexander

Asymptotic solutions of Koshi's problem with peculiarities system of singularly pertubed integro-differential equations

In this dissertation behavior of solution of Koshi's problem with peculiarities for the system of linear singularly pertubed integro-differential equations in the point of initial jump is Investigated.

The main results of dissertation are:

1. Asymptotic behavior of solution of Koshi's problem with peculiarities' in the point of initial Jump for the system of linear singularly pertubed integro-differential equations is studied;

2. Theorem of existence and singularity of solution of Koshi's problem with initial jump and Koshi's problem with peculiarities for the system of scmeclasses of nonlinear singularly pertubed integro-differential equations are proved;

3. Asymptotic expansions of solutions of the problems under consideration are given;

4. Even estimations of residual members of asymptotic expansion with arbitrary degree of accuracy are proved.