Асимптотический анализ свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

травах рукописи

005018542

Плаксина Ирина Владимировна

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЕЮБОДНОКОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2012

005018542

Работа выполнена на кафедре механики и математического моделирования Дальневосточного Федерального Университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

кандидат физ.-мат. наук, доцент Бочарова Анна Альбертовна

Булгаков Виктор Кирсанович, доктор физ.-мат. наук, профессор, Тихоокеанский государственный университет, профессор

Ведущая организация:

Трофимов Михаил Юрьевич,

доктор физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичева Дальневосточного отделения РАН, ведущий научный сотрудник

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН, г. Пермь

°u

Защита состоится «27» апреля 2012 года в 15^ часов на заседании диссертационного совета ДМ005.007.02 в/институте автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, ауд. 510. E-mail: dm00500702@iacp.dvo.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН.

Автореферат разослан « » марта 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук Су^--Дудко Ольга Владимировна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Внимание к задачам свободной конвекции в пористой среде обусловлено широким распространением термически управляемых потоков в современных промышленных процессах и агрегатах. Такие процессы и устройства встречаются в различных областях техники: пищевой и химической промышленности, геотермических системах, при охлаждении электронных систем, в угольных камерах сгорания и др.

Известны исследования, где характеристики свободноконвективного потока на вертикальной поверхности изучаются в приближении пограничного слоя при условии заданной на поверхности температуры или теплового потока. В реальных теплообмен-ных аппаратах теплопроводность на твердых стенках трубы в значительной степени зависит от конвекции в окружающей жидкости, температура поверхности не известна и определяется внутренними свойствами системы, а именно теплопроводностью жидкости и твердого тела. Следовательно, задачи теплообмена в твердом теле и окружающей жидкости должны анализироваться одновременно, что соответствует тепловым условиям сопряжения. В этом случае следует учитывать связь между процессами теплопроводности и конвекции путем задания зависимости скорости теплоотдачи от поверхности с конечной теплоемкостью локальной температуре поверхности. Такие граничные условия называют условиями сопряжения конвективному потоку.

Для анализа свободноконвективного пограничного слоя в большинстве работ вместо ньютоновской силы вязкого трения учитывается сила сопротивления Дарси, пропорциональная скорости потока, что позволяет понизить порядок системы уравнений и сокращает число граничных условий для скорости. Из-за этого на границе раздела пористой среды с твердым непроницаемым массивом не выполнено условие прилипания, тогда как для определения характеристик теплоотдачи сопряженного свободноконвективного потока существенным как раз является определение поля скоростей в узкой пристеночной области. С этой целью в диссертации рассматривается полная система уравнений свободноконвективного течения, основанная на следствиях законов сохранения, что позволит, в том числе, определить ошибки, вносимые использованием приближения закона Дарси без учета вязкого сопротивления матрицы пористой среды. Используемый подход является естественным развитием предшествующих исследований, снимающим ряд допущений последних, что и предопределяет актуальность темы диссертации.

Целью работы является изучение процесса свободноконвективного течения в пограничном слое на полубесконечной вертикальной стенке, помещенной в насыщенную жидкостью пористую среду, на основе приближенного решения системы уравнений, следующих из законов сохранения; разработка варианта метода асимптотических разложений для целей анализа влияния параметров задачи на ее решения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- следуя методу возмущений, впервые получено приближенное решение задач свободноконвективного течения в пористой среде при наличии вертикальной непрош цаемой стенки, теилоотвод на которой пропорционален местной температуре;

- показано, что в условиях присутствия большого параметра (число Рэлея) краева задача конвективного течения в пористой среде, ограниченной стенкой, сводится к сш гулярной задаче метода возмущений, в которой внутреннее разложение отвечает извест ному приближению пограничного слоя;

- в приближении Обербека-Буссинеска проведен анализ размерностей систем! уравнений, следующей из законов сохранения, и указан набор безразмерных параметро задачи; изучены зависимости построенных решений от изменений этих параметров;

- на основе автомодельных решений получены асимптотические разложения peius ния в случаях малых и больших значений продольной координаты, построено равномер но пригодное разложение решения; на такой основе изучено влияние на течение и тепле обмен вязкого сопротивления, пористости, параметров Прандтля и Дарси.

Достоверность полученных результатов определяется использованием классич« ских подходов механики жидкости при моделировании процессов свободноконвектш ных течений, последовательным и корректным следованием процедурам построения ра: ложений решений согласно методу возмущений.

Практическая значимость работы. Полученные в работе профили скорости температуры в пограничном слое, характеристики теплоотдачи и напряжения трения н вертикальной поверхности позволяют в инженерных задачах рассчитывать параметр] систем охлаждения на поверхностях, сопряженных со свободноконвективным потокок Проведено исследование влияния характеристик пористой среды, что также важно в ш: женерных приложениях.

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список коте рых приводится в конце автореферата.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались и обсуж дались на Дальневосточной математической школе-семинаре Е.В. Золотова (г. Владивс сток, 2008), Всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред», приурс ченной к 70-летию академика В.А. Левина (г. Владивосток, 2009), 5-ой Всероссийско конференции по теплообмену (г. Москва, 2010). Диссертация в целом докладывалась н заседании кафедры Прикладной математики и механики Дальневосточного государст венного технического университета (ДВПИ им. В.В. Куйбышева), на расширенном засе дании кафедры Механики и математического моделирования Дальневосточного феде рального университета и на объединенном семинаре «Механика сплошных сред» отдел механики деформируемого твердого тела Института автоматики и процессов управлени Дальневосточного отделения РАН под руководством чл.-корр. РАН A.A. Буренина.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 105 наименований. Общий объем работы 97 страниц, в том числе 41 рисунка и 7 таблиц, включенных в текст.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор литературы, посвященной изучению сво-бодноконвективного течения в пористой среде для различных конфигураций и различных типов граничных условий. Излагается структура диссертационной работы.

Первая глава посвящена постановке задачи. Система уравнений, следующая из законов сохранения в пренебрежении тепловым расширением жидкости (приближение Обербека-Буссинеска) может быть записана в форме: VV-0,

EL{v ■ V)F = -VP + p/g-^-V + p'V2V - pfC\V\V, (1) m К

PfC/V ■ V Г = v2r. Здесь и далее индекс /относится к проникающей жидкости, а индекс т - к матрице; приняты обозначения: а = Xmp~jc~j — коэффициент температуропроводности пористой среды 0 вместе с жидкостью; су — удельная теплоемкость; К - про- Рис. 1.

ницаемость пористой среды; Р - давление; Г-температура; V - вектор скорости; т -пористость; - коэффициент теплопроводности пористой среды вместе с жидкостью; Pj - динамическая вязкость; р' - Pf/т - эффективная вязкость; pj- - плотность; С -коэффициент инерции в поправке Форхгеймера, определяемый теоретически.

Рассматривается задача свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в полубесконечной насыщенной жидкостью пористой среде (рис. 1). Предполагается, что жидкость и пористая матрица находятся в термодинамическом равновесии, свойства жидкости и матрицы изотропны и постоянны. Тепловые граничные условия на поверхности заданы по закону Ньютона, т.е. тепловой поток на поверхности пропорционален локальной температуре поверхности:

— = -hsT при у = 0, х>0, (2)

ду

где hs — постоянный коэффициент теплоотдачи с поверхности. Также на поверхности заданы условия прилипания ñ = v = 0 при у = 0, х > 0. Граничные условия на бесконечности имеют вид: й -»0, Г-^Гзд при о, х>0, ü = v = 0, Т = Тоа при J=0.

Вид граничных условий (2) определяет выбор безразмерных переменных: х = х/1,

у = у/1, У = У0У, и0 =ак,21, У0 =и01, I = , ® = Г Г°° ,где /? - коэффищ

а^А Л»

ент теплового объемного расширения, = - кинематическая вязкость. Тог;

система уравнений (1) без учета квадратичной поправки и граничные условия в термин: функции тока У перепишутся в виде:

ду дхХ ' дх дук ' Ба

.Зу

На2

ЗУ 50 ЗУ 30 _ 1 у2е. (3

Зу а* Эх Эу Лд2

3^ = ^1 = 0, ^ = -Яа(1+0)приУ = О,*>О,

дх ду ду яш

— ->0, 0->О при х>0, (<

Зу

ЗУ ЗУ . _ _ Л

-=-= 0, 0 = 0, х = 0.

дх ду

В системе (3) в уравнение сохранения количества движения включены слагаемы описывающие конвективный перенос завихренности. Первое слагаемое в правой част соответствует приближению Дарси-Буссинеска, второе учитывает вязкое взаимодейс-вие, третье слагаемое определяет инерцию пористой матрицы, пропорциональну: квадрату скорости.

В результате анализа размерностей получена система определяющих критерж данного процесса, включающая пять безразмерных комплексов: Рг = /иУу/а - мод1 фицированное число Прандтля, характеризующее отношение между полями скорости температуры; Оа = КИ3 - число Дарси, представляющее собой отношение силы вязк<

стЪГПТ

го трения к силе сопротивления Дарси; Яа = 1г31 =-—- число Рэлея, которое хара]

«"А

теризует отношение подъемных сил к силам вязкости в жидкости; О = (^gPTmK2')|Vу

— число Грасгофа, определяемое как мера отношения силы пористой матрицы, вызва! ной искривлением поровых каналов к силам внутреннего трения; гп- пористость, ра] ная относительной объемной доле порового пространства в среде.

Во второй главе диссертации рассмотрен асимптотический анализ системы ура] нений (3), при этом вид тепловых граничных условий определяет выбор малого пар:

метра как Да-', и деформирование поперечной координаты как у = Яа'^У. Полага что толщины теплового и динамического пограничных слоев являются величинами о; ного порядка (т.е. Рг = 0(1)), построим внутреннее решение для области погранично1 слоя, в котором сосредоточено действие подъемных сил, сил вязкости и инерции, в вщ

6

Ч/(х,у,Яа) = Яа~1Ф0(х,Г) + Ка~2Ф1(х>Г)+..., в(х,у,Яа) = 60(х,У) + /га"16»1(д:,Г) +... (5) Для пары неизвестных функций Ф0, в0 получена система уравнений пограничного слоя, которая зависит от параметров Рг, Па, Сг г т и позволяет учесть влияние вязких, конвективных и инерционных членов уравнения:

дв0 32Ф0

дУ 8Y2

„ 34Ф0 2mGrVr дФ0 5 Ф0 + Рг-

ЗУ4 ¿>а ЭУ ЗУ2

(6)

дФ0д'Ф0 8Ф0 д Ф0 _mPr 37 &ЗУ2 & ЭК3 ~ Дя

ЗФ0 Зб0 дФ0дв0_д2в0 зу ах ах зу "ЗУ2'

с граничными условиями дФп дФп „ двп Л „ ч

дФп

-^-->0, 0О ->0 при У->оо.

Применение автомодельного преобразования Ф0 (х, У) = xF0 (У), в0 (х, К) = хН0 (У) позволяет свести систему уравнений в частных производных (6) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

Fo + ¿(w-^о'2)+ - П)-^2 = 0, Н'0 + F0H'0 -FqHq = О,

(7)

F0(o)=Fo(0)=0, Я6(0) + Я0(0) = 0, ^оН=0, я0Н=о.

Система (7) решается численно путем понижения порядка и линеаризации уравнений при помощи итерационной процедуры, с заданием некоторых первоначальных профилей скоростей и температуры, удовлетворяющих данным граничным условиям. Полученная краевая задача решается методом прогонки. В результате численного счета были получены характеристики процесса свободноконвективного течения в зависимости от различных значений определяющих параметров.

На рис. 2, 3 представлено исследование влияния числа Дарси (Da) на характеристики свободноконвективного течения в пористой среде при граничных условиях третьего рода. Численное решение системы уравнений (7) проводилось при Рг=1, ш=0.5 и различных значениях Da. При уменьшении числа Дарси (Da) продольная скорость потока увеличивается (рис. 2), а температура уменьшается с уменьшением этого параметра. В предельном случае при £>я —» 0 полученные значения совпадают с результатами работами D. Lesnic1 по свободноконвективному течению в пористой среде на ос-

1. Lesnic D., Ingham D.B., Pop I., Storr С. Free convection boundary-layer flow along a vertical surface

in a porous medium with Newtonian heating // International Journal of Heat and Mass Transfer. V.42.

1999. P. 2621-2627.

Fi(Y)

H0{Y)

Рис. 2.

нове закона Дарси (рис. 3). Показано, что решение

Рис. 3.

Я0(Г)

1

- х=0.2 ----х=0.4

- х=0.8

Y

Рис. 4.

не зависит от изменения числа Прандтля в рассматриваемой области значений параметра Рг (Рг= 0.1; 0.72; 10). На рис. 4 показана температура потока при Pr=l, £>а=10"3, Gr= 0,5 и различных значениях продольной координаты х.

Следуя схеме, предложенной в работах D. Les-nic [1, с. 7] и J.H. Merkin1, решение системы (6) рассматривается в виде координатных разложений для функции тока и температуры, в области около передней кромки (при х->0) и далеко вниз по потоку, которые затем объединяютс посредством, метода непрерывных преобразований.

В окрестности передней кромки пластины, что соответствует х—>0, течение нулевом приближении определяется постоянным тепловым потоком. Применяя автомс

дельное преобразование Ф0(х,F) = x4/5F0(C)+-.., 0о =х1/5Н0(С)+..., С = Y/х11\ свс дем систему уравнений в приближении пограничного слоя (6) к следующей систем дифференциальных уравнений:

Fo(0)=0, Fo'(0)=0, #о(0)=-1, ^о'И=0, Я0(оо)=0, которая зависит от параметров Pr, Da и т. В результате численного счета были получе ны зависимости касательного напряжения т„ и температуры на стенке 0S от значени числа Дарси и пористости среды (табл. 1, табл. 2), профили продольной скорости температуры потока в зависимости от различных значений параметров (рис. 5-8).

1. Merkin J. Н. Natural convection boundary-layer flow on a vertical surface with Newtonian heating

International Journal of Heat Fluid Flow. 15. 1994. P. 392-398.

Рг=1, £>а=0.01

т=0.1 /л=0.5 ш=0.9

5.184287^4... 13.334150ДГ2/5+... 18.794990д:г/5+...

в, 1.182258жу/1+... 0.857304лг;/5+... 0.76242 \х"ь+...

Табл.2.

Рг=1, т=0.5

Оа=0.001 £>а=0.01 £>а=0.1

Гу, 50.782571л2/1+... 13.33415^'5+... 3.445923^+...

в., 0.541735У/5+... 0.857304У/5+... 1.357824х"5+...

Показано, что при увеличении пористости т касательное напряжение на стенке увеличивается, а температура на стенке уменьшается; при увеличении числа Дарси фа) происходит уменьшение значений касательного напряжения на стенке и увеличение температуры на поверхности.

^о'(С)

Я0(О

Рис. 5.

Рис. 6.

6.4 4.8 3.2 1.6 О

- 0а=0.1 —• 0а=0.01 -БаЮ.ОО!

4^-6

Рис. 7.

ю

Я0(О

.....Ба=0.1

----0а=0.01

- 0а=0.001

4^-6 Рис. 8.

ю

На рис. 5, 6 представлены профили продольной скорости и температуры потока при Рг=1, £>а=0.01 и различных значениях пористости т. Показано, что с увеличением

9

пористости продольная скорость потока увеличивается, а температура уменьшается. Н; рис. 7, 8 представлена зависимость продольной скорости и температуры потока от чис ла Дарси фа). Численное решение проводилось при Р1=1, т=0.5 и различных значени ях Оа. Уменьшение числа Дарси приводит к увеличению продольной скорости потока I уменьшению температуры, зависимость от числа Прандтля несущественная.

При больших значениях продольной координаты -» рассматривается разви тое течение, обусловленное граничными условиями третьего рода, которое предполага ет использование преобразования Ф0{х,У) = х/0(У)+00(х,У)=х1г0(/) + .... Систем; уравнений и граничные условия для пары функций /0(Г)> /¡¿(У) имеют вид:

/о"+ ¿(/о/о" - (/о')2)+ - /о) = 0. К + /Л - Уо'Ао = 0,

(9)

/о(0)=0, /о(0)=0, И'0(0) + /г0(0) = 0, /О'(оо) = 0, ка(со) = 0.

В результате профили продольной скорости и температуры потока в зависимост! от различных значений параметров представлены на рис. 9-12, значения касательной напряжения и температуры на стенке в1 в зависимости от определяющих параметро] представлены в табл. 3 и 4.

/¿(X)

2.4

1.2

0.6

.....ш=0.1

----111=0.5

- т=0.9

4уб

Рис. 10.

ю

т)

-— 0а=0.1 ....Ва=0.01 — 0а=0.001

Рис. 11.

ю

К (У)

3.2 2.4 1.6 0.8

0а=0.1

— 0а=0.01

— 0а=0.001

2 4 6

7

Рис. 12.

8 10

Рг=1, £>а=0.01

т=0.1 т=0.5 т=0.9

Ги. 5.001524*+... 7.681907*+... 9.104834*+...

в. 2.458346*+... 1.539304*+... 1.389540*+...

Табл. 4.

Рг=1, т=0.5

£>а=0.001 £>а=0.01 Ба=0.1

14.308259*+... 7.681907*+... 4.300865*+...

в., 1.175221*+... 1.539304*+... 3.360122*+...

Увеличение пористости т приводит к увеличению касательного напряжения и уменьшению температуры на стенке. При уменьшении числа йа происходит увеличение касательного напряжения и уменьшение температуры на стенке. На рис. 9, 10 представлены профили продольной скорости и температуры потока при Рг=1, £>а=0.01 и различных значениях пористости т. Показано, что с увеличением пористости продольная скорость потока увеличивается, а температура уменьшается. На рис. 11, 12 представлена зависимость продольной скорости и температуры потока от числа Дарси фа). Численное решение проводилось при Рг=1, т=0.5 и различных значениях параметра Оа. Уменьшение числа Дарси приводит к увеличению продольной скорости потока и уменьшению температуры.

Построенное асимптотическое решение внутренней задачи (5) не является единственным. Оно определяется с точностью до собственных решений, удовлетворяющих нулевым граничньм условиям, и имеет вид

Ч/(х,у,Яа)= Яа~>Ф0(х,У)+Яа~2(1пхс^0(У)+Фц(*,У))+...,

0{х, у, Яа)=6>0 (*, У) + Яа~\\пхсхН0 (у) + 0, (х, Г)) +.....

где с, - константа, которая не может быть определена в рамках развитой теории.

Существенное отличие задачи для граничных условий третьего рода от случая изотермической пластины состоит в том, что собственные решения являются членами первого порядка во внутреннем асимптотическом разложении и поэтому влияние определяющих параметров существенно в нулевом приближении внутреннего разложения.

В третьей главе рассматривается численное решение системы уравнений пограничного слоя (6). Для получения решения, верного для всех значений продольной координаты, используется метод непрерывных преобразований. Тогда система уравнений и соответствующие граничные условия принимают вид

а3/ _1_ э?г3 + Рг

4 + 5<Г

5 + 5£

?32/

V

5 + 5£5

- N2^

ж

£>о

й-

(1 + £5)275 дц

д/ д/

д£дг! дц дц

8/ а27л -2

(П)

д2И

4 + 5^

5 + 5£5

? дИ 1 Ъц

1 + 5£5

5 + 5£:'

д/дИ

Д<?,о)=о, = |^,о)+£(1 + 1*5) = + при /Г = 0,

от] от]

«>)-»(), при ^ =

дп

Для получения численного решения нелинейной системы дифференциальны: уравнений (11) использовалась неявная конечно-разностная схема с аппроксимацие! производных по г[ центральными, а производных по £ - левосторонними разностями При этом использование итерационной процедуры для линеаризации уравнений, позво лило свести задачу к решению трехточечного разностного уравнения. Эта систем: уравнений описывает переход от одного предельного решения при малых х в окрестно сти передней кромки к другому предельному решению при больших х и позволяет по лучить решение верное в промежуточной области изменения продольной координаты В результате численного счета получены зависимости характеристик процесса пр] различных значениях пористости т от продольной координаты £ профили продольно! скорости и температуры при различных значениях координаты £

Рис. 13.

Рис. 14.

На рис. 13 и 14 представлены поверхности, определяющие продольную скорость поток: и температуру, полученные из численного решения системы уравнений (12) при Рг=1 Оа=ОЛ и т=0.1. На рис. 15 и 16 представлены профили касательного напряжения ]

температуры на стенке при Рг=1 и 0а=0.01 в зависимости от различных значений пористости т. Представленные результаты показывают гладкий переход от автомодельного решения, соответствующего малым значениям продольной координаты, к решению для больших значений продольной координаты.

221-

/"(£, о)

— ш=0.1

— т=0.5 т=0.9

/ ш

-

-ш=0.1

г — т=0.5

- - т=0.9

^ - » , ^ г

Рис. 15. Рис. 16.

В четвертой главе получено аналитическое решение уравнений свободноконвек-тивного пограничного слоя с использованием сращиваемых асимптотических разложений по малому параметру Дарси фа), которое в отличие от работы Б. Ье5тс [1, с. 7] удовлетворяет условию прилипания на поверхности и позволяет учесть влияние определяющих параметров.

Аналитические решения внешней и внутренней задачи имеют вид:

где А0(0) получено численно из решения внешней задачи и У = Оа'^у .

Получены составные аналитические решения для продольной скорости потока и температуры, равномерно пригодные во всей области пограничного слоя:

дФ,

дУ

У) = 1ц- И,, О<(х,У)=/го(0У^г. (12)

На рис. 17 представлено аналитическое составное решение для температуры, на рис. 18 - графики составных аналитических решений для продольной скорости потока при Рг=1, т=0.5 и различных значениях параметра Оа. Полученные результаты показывают, что составное решение для температуры не зависит от параметров задачи, тогда как составная продольная скорость потока увеличивается с уменьшением числа Дарси.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получено приближенное решение задачи свободноконвективного течения пористой среде при наличии вертикальной непроницаемой стенки, теплоотдача от кс торой пропорциональна местной температуре поверхности.

2. Проведен асимптотический анализ системы уравнений по большому параметр (число Рэлея), позволяющий определить область применимости приближения погр; ничного слоя и внешней невязкой области течения; в приближении Буссинеска пров< ден анализ размерности системы уравнений и получена система безразмерных критерр ев задачи, исследовано влияние этих параметров на процесс свободноконвективного т( чения в пористой среде при заданных граничных условиях.

3. Получены асимптотические автомодельные решения для малых и болыни значений продольной координаты, которые объединены численным решением, прим< нимым для всех промежуточных умеренных значений продольной координаты.

4. Предложена конечно-разностная схема, применимая для моделирования св< бодноконвективного пограничного слоя на вертикальной поверхности при граничны условиях третьего рода, которая верна для всей области изменения значений продол! ной координаты.

5. Для учета влияния границы в приближении пограничного слоя построены ра ложения по параметру Дарси; с помощью метода асимптотических разложений получи ны аналитические решения для продольной скорости потока и температуры, проведем сравнение представленных решений с численным решением.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в рецензируемых журналах: 1. Бочарова A.A., Плаксина И.В. Свободная конвекция в пористой среде при тепловь граничных условиях третьего рода на вертикальной поверхности // Вычислительная м ханика сплошных сред, 2008. Т.1. № 4. С. 28-38.

хлаксина И.В. Численное моделирование свободноконвективного пограничного слоя пористой среде при заданной теплоотдаче на вертикальной поверхности // Вест-к ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельных состояний. Чебоксары: д-во ЧПГУ, 2010. № 2 (8). С. 406-412.

Бочарова A.A., Плаксина И.В. Асимптотический анализ свободноконвективного тече-я на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего да//Тепловые процессы в технике. М.: «Наука и технология», 2011. Т. 3. № 5. С. 1993. ISSN 2074-2649.

Бочарова A.A., Плаксина И.В. Влияние границы на свободноконвективное течение в ристой среде при заданной теплоотдаче с вертикальной поверхности // Вычислитель-я механика сплошных сред, 2011. Т.4. № 3. С. 5-12.

Bocharova A.A., Plabina I. V. Boundary and inertia effects on free convection in porous :dium about a vertical surface with a Newtonian heating // Pacific Science Review. Vol. 9. 1. Kangnam University, Korea. 2007. P. 35-38.

Bocharova A.A., Plaksina I. V. Boundary effect on free convection flow in a porous medium given heat transfer from a vertical surface // Fluid Dynamics. 2011. Vol. 46. № 6. P. 9841.

Другие публикации:

Плаксина И.В. Исследование определяющих критериев свободноконвективного тения в пористой среде при граничных условиях третьего рода // Машиностроение. Ес-:твенные науки. Экономика. Сборник материалов научной конференции «Вологдин-ие чтения». Владивосток: ДВГТУ. 2008. С. 88-89.

Бочарова A.A., Плаксина И.В. Свободноконвективный пограничный слой на верти-пьной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего рода // {XIII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золото: тезисы докладов. Владивосток: «Дальнаука». 2008. С. 190. ISBN 978-5-7442-1470-8. Бочарова A.A., Плаксина И.В. Метод асимптотических разложений в задаче свобод-конвективного течения в пористой среде с граничными условиями третьего рода // :пехи механики сплошных сред. Тезисы всероссийской конференции, приуроченной к -летию академика В.А. Левина. Владивосток: «Дальнаука», 2009. С. 57. ISBN 978-544-0986-0.

. Бочарова A.A., Плаксина И.В. Асимптотический анализ свободноконвективного тения на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего да // Пятая Российская конференция по теплообмену: сборник трудов. М.: Издатель-ий дом МЭИ. 2010. Т. 2. С 51-54. ISBN 978-5-383-00528-6.

Личный вклад автора. Работы [2, 7] выполнены автором лично. В работах [1, 3,4, 6, 8, 9, 10] в рамках сформулированной научным руководителем проблемы автор почила необходимые для теоретического анализа и численных расчетов соотношения и овела необходимые вычисления.

ПЛАКСИНА Ирина Владимировна

АСИМПОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СВОБОДНОКОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Автореферат

Подписано к печати 16.03.2012 г. Усл.п.л. 1 Уч.-изд.л. 0.8

Формат 60*84/16 _ Тираж 100. Заказ 178

Издано ДВФУ, г. Владивосток, ул. Пушкинская, 10.

Отпечатано в типографии № 2 ИПК ДВФУ, 690990, г. Владивосток, ул. Пушкинская, 10.

61 12-1/1122

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

ПЛАКСИНА Ирина Владимировна

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СВОБОДНОКОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

01.02.05. - механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физ.-мат. наук A.A. Бочарова

Владивосток 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Введение....................................................................................4

Глава1. Построение модели свободноконвективного течения в пористой среде при граничных условиях третьего рода...................................11

1.1. Обзор существующих моделей пористой среды..........................11

1.1.1. Пористость, коэффициент проницаемости...........................11

1.1.2. Скорость фильтрации....................................................13

1.1.3. Моделирование структуры пористой среды.........................14

1.2. Уравнения свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде....................................................15

1.2.1. Линейный и нелинейный закон фильтрации........................15

1.2.2. Метод локального усреднения по объему...........................20

1.2.3. Законы сохранения........................................................22

1.2.4. Приближение Буссинеска................................................24

1.2.5. Граничные условия.......................................................25

1.3. Приведение основных уравнений свободноконвективного течения в пористой среде к безразмерному виду..........................................26

1.3.1. Безразмерные переменные...............................................26

1.3.2. Анализ размерностей.....................................................29

Глава 2. Анализ свободноконвективного пограничного слоя на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего рода с помощью метода асимптотических разложений.........30

2.1. Метод асимптотических разложений в задаче свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде........................................................................30

2.1.1. Основные понятия теории возмущений..............................30

2.1.2. Особенности течения при свободной конвекции и применимость методов возмущений.............................................................36

2.2. Асимптотические разложения. Приближение пограничного слоя...39

2.2.1. Решение для малых значений продольной координаты...........46

2.2.2. Решение для больших значений продольной координаты........55

2.3. Собственные решения.........................................................60

Глава 3. Численное решение системы уравнений пограничного слоя, определяющей свободноконвективное течение на вертикальной поверхности в пористой среде......................................................63

3.1. Метод непрерывных преобразований переменных.....................63

3.2. Разностная схема уравнений пограничного слоя........................64

3.3. Результаты численного моделирования....................................67

Глава 4. Исследование влияния параметра Дарси на характеристики свободноконвективного пограничного слоя на вертикальной поверхности в пористой среде......................................................77

4.1. Асимптотический анализ структуры пограничного слоя...............77

4.2. Аналитические решения для скорости и температуры в пограничном слое......................................................................................80

4.3. Собственные решения.........................................................85

Заключение...............................................................................86

Список литературы.....................................................................88

Введение

Внимание к задачам свободной конвекции в пористой среде обусловлено широким распространением термически управляемых потоков в современных промышленных процессах и агрегатах, встречающихся в различных областях техники: пищевой и химической промышленности, геотермических системах, охлаждении электронных систем, угольных камерах сгорания, на транспорте.

Фильтрационные процессы - просачивание жидкостей и газов через пористые среды под действием внешних массовых сил, широко распространены и встречаются как в повседневной жизни (очистка водопроводной воды бытовыми фильтрами, очистка воздуха в системах вентиляции и кондиционирования), так и в явлениях, влияющих на благосостояние целых государств (передвижение нефти и природного газа в подземных пластах, миграция влаги в плодородных почвах, мелиорация, водоснабжение, строительство гидротехнических сооружений, работа технологических устройств химических предприятий). Как правило, внутренняя поверхность порового пространства имеет случайную структуру и не бывает точно известна, поэтому прямое описание движения жидкости по сложной системе разветвленных каналов, сообщающихся между собой во всех подробностях оказывается невозможным.

Первый эмпирический закон, описывающий ламинарный поток однородной жидкости в однородной пористой среде был сформулирован французским гидравликом А. Дарси в 1856 г. Он задает связь между потоком жидкости в пористой среде и градиентом давления, что позволяет получить замкнутую систему уравнений для решения различных задач о течении жидкости. Закон Дарси (линейный закон фильтрации) оказался справедлив при определенных условиях для различных жидкостей и газов, протекающих через различные пористые среды.

Большой вклад в развитие теории фильтрации и применении ее в

нефтяной и газовой промышленности, гидроэнергетики внесли такие ученые

4

как Павловский Н.Н., Жуковский Н.Е. [16], Христианович С.А. [53], П.Я. Полубаринова-Кочина, И.А. Чарный, М.Д. Миллионщиков и др.

Исследование процесса охлаждения разрушенного в результате аварии энергоблока Чернобыльской АЭС расширило область применения теории фильтрации. Результаты исследований большой группы ученых в области математического моделирования охлаждения разрушенного энергоблока Чернобыльской АЭС легли в основу работы В.П. Маслова, В.П. Мясникова, В.Г. Данилова [33]. В работе основное внимание уделено исследованию стационарного режима охлаждения аварийного реактора. Исследования режимов охлаждения пористого саморазогревающегося элемента было продолжено В.П. Масловым [34]. Процесс движения газа через твердую пористую среду, в которой происходит тепловыделение был рассмотрен В. А. Левиным, Н.А. Луценко [21, 22, 28, 29].

Если пористая среда насыщена жидкостью или газом, то при наличии разности температур возникает конвективное движение (конвективная фильтрация). Изучение закономерностей свободноконвективного теплообмена является необходимым шагом в построении общей теории тепло- и массообмена [31, 32, 51].

Свободноконвективное течение, вызываемое разностью температур

между поверхностью и окружающей средой в пористой среде, является

одним из самых распространенных явлений в технических, промышленных и

геофизических приложениях [11, 17, 27, 54]. Свободная конвекция в

насыщенной жидкостью пористой среде исследовалась как

экспериментально [46, 47, 89], так и теоретически [57, 60]. Математическое

моделирование свободноконвективного течения в пористой среде при

различных граничных условиях рассматривается в работах по исследованию

свободноконвективного пограничного слоя около горизонтальной

поверхности для различных моделей пористой среды [58, 61, 67, 79, 90],

около горизонтального или вертикального цилиндра, наполненного

насыщенной жидкостью пористой средой, - работы [66, 65, 83, 91] и при

5

других геометрических конфигурациях [3, 8, 10, 13, 43, 44, 45, 49, 50, 68, 76, 92].

Модель Дарси-Бринкмана, учитывающая влияние сил вязкости, в случае заданной постоянной температуры на горизонтальной поверхности рассматривается в работе [91], а в случае свободноконвективного течения в прямоугольной области - в работе [76]. Анализ размерности представленных уравнений приводит к возможности определения набора безразмерных критериев, два из которых — это числа Рэлея и Дарси. Исследование инерционных эффектов твердой матрицы (фильтрация по закону Форхгеймера) проводилось, например, в работах [3, 66, 67, 90, 94]. Известно, что инерционные эффекты, порожденные равномерно нагретой горизонтальной поверхностью слабо влияют на процесс свободноконвективного течения в пористой среде. В случае, когда инерционные эффекты достаточно велики [67], происходит увеличение толщины пограничного слоя, в окрестности переднего края пластины происходит преобладание сил инерции, но далее по течению поток подчиняется закону Дарси. Если на поверхности задается степенной закон распределения температуры [67], то влияние сил инерции в первую очередь зависит от показателя степени. Сираев Р.Р., Якушин В.И. исследовали структуры конвективных движений для модели пористой среды Дарси [49], Форхгеймера [50] и характер теплопередачи в горизонтальном цилиндрическом слое, что позволило обнаружить новые асимметрические решения конвективной фильтрации. Исследованы их возникновение, области существования и устойчивость.

В последнюю декаду интерес к изучению конвективных течений в пористых средах при различных геометрических конфигурациях возрос в связи с растущими возможностями вычислительной техники. Следует отметить, например, работы таких исследователей как Рамазанов М.М. [43 -45], Любимов Д.В.[8, 13], Любимова Т.П. [8], Тарунин Е.Л. [10].

Одной из всесторонне изученных задач свободной конвекции в пористой среде является свободная конвекция на вертикальной поверхности, характеристики которой существенным образом зависят от тепловых граничных условий на поверхности [56, 59, 63, 64, 70, 71, 77, 80, 82, 84, 103,105]. В основном, рассматриваются четыре общих процесса подвода тепла, определяющих распределение температуры от стенки к жидкости:

- постоянная температура или степенной закон распределения температуры стенки вдоль поверхности пластины;

- заданное распределение теплового потока;

- тепловые граничные условия третьего рода, в частности, когда скорость теплоотдачи от поверхности с конечной теплоемкостью пропорциональна локальной поверхностной температуре.

- условия сопряжения, когда тепловой поток подводится через граничную поверхность конечной толщины и конечной теплоемкости; в этом случае поверхностная температура неизвестна, но зависит от внутренних свойств системы, таких как теплопроводности жидкости и твердой матрицы;

Впервые автомодельные решения уравнений пограничного слоя на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях первого и второго рода были получены в работе P. Cheng и W.J. Minkowycz [59], при этом в- качестве модели пористой среды использовалась модель Дарси. Граничные условия нагрева поверхности по закону Ньютона только недавно начали использоваться при рассмотрении задач свободноконвективного переноса. Первым автором, рассмотревшим задачу свободной конвекции в однородной жидкости при таких тепловых условиях, был Merkin [84]. Исследование свободной конвекции проводилось на основе уравнений пограничного слоя с использованием соответствующих данным граничным условиям координатных преобразований. Впервые были введены безразмерные переменные, соответствующие такому типу граничных условий. Построены разложения для функций тока и температуры в области

передней кромки пластины и для больших значений продольной координаты.

7

Подобного рода исследование свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде на основе закона Дарси было проведено Lesnic D., Ingham D.B., Pop I. [77], а на горизонтальной поверхности - в работе [78]. Закон Дарси является простейшей моделью пористой среды, которая не позволяет учесть влияния вязких сил и удовлетворить однородным граничным условиям на поверхности. Отклонение от закона Дарси рассмотрено в работах [7, 65, 76, 87, 88, 92, 94].

Детальное описание свободной конвекции, обеспечивающее хорошее количественное совпадение с результатами экспериментов, возможно только на основе полных уравнений движения вязкой жидкости в пористой среде и энергии. Выход за рамки теории пограничного слоя приводит к использованию методов сингулярных возмущений, достоинством которых являются общность подхода к различным аспектам решаемых задач и ясность физического смысла получаемых результатов. Мощным методом решения сингулярных дифференциальных уравнений является метод сращиваемых асимптотических разложений [9, 20, 37]. Систематическое применение современных асимптотических методов позволило рассмотреть широкий круг задач, которые не поддаются описанию в рамках классической теории пограничного слоя: теория отрыва и присоединения пограничного слоя, различные течения с сильным локальным или глобальным взаимодействием пограничного слоя с внешним сверхзвуковым потоком, что позволило детально изучить структуру течений, сформулировать новые приближенные законы подобия [18, 26, 38]. В применении к задачам маловязких жидкостей этот метод развит в работах [5, 6, 72, 81, 82, 93].

В данной диссертационной работе рассматривается асимптотический анализ на полубесконечной вертикальной поверхности в пористой среде при теплоотдаче с поверхности по закону Ньютона. В отличие от работы [77] проводится анализ полной системы уравнений сохранения количества движения и энергии с учетом вязких, конвективных и инерционных членов уравнений.

Первая глава посвящена построению модели свободноконвективного течения на непроницаемой полубесконечной вертикальной поверхности, помещенной в насыщенную жидкостью пористую среду при граничных условиях третьего рода. В первом параграфе рассматриваются основные параметры пористой среды, такие как проницаемость, пористость, скорость фильтрации. Во втором параграфе приводятся уравнения свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего рода: линейный (закон Дарси) и нелинейный (приближение Форхгеймера) закон фильтрации; система уравнений, состоящая из уравнения сохранения количества движения и энергии. В третьем параграфе производится обезразмеривание рассматриваемой системы уравнений, выводятся основные безразмерные критерии задачи - пористость, число Прандтля, Дарси, Грасгофа.

Вторая глава посвящена применению метода сращиваемых асимптотических разложений в задаче свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде. В первом параграфе рассматриваются основные положения теории возмущений. Во втором параграфе строятся внешнее и внутреннее асимптотические разложения для функции тока и температуры; записываются уравнения свободноконвективного течения в приближении пограничного слоя. Полученная система уравнений при помощи автомодельной замены сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается числено при различных значениях определяющих критериев. Решение задачи в приближении пограничного слоя рассматривается в двух областях: в окрестности передней кромки пластины, что соответствует малым значениям продольной координаты и далеко вниз по потоку - большие значения продольной координаты. Для каждого из представленных случаев решение строится в виде координатных разложений. В третьем параграфе рассматриваются собственные решения, удовлетворяющие однородным граничным условиям.

Третья глава посвящена построению численного решения системы уравнений пограничного слоя, определяющей свободноконвективное течение на вертикальной поверхности при граничных условиях третьего рода. В первом параграфе рассматривается применение метода непрерывных преобразований, справедливого для всей области течения. Во втором параграфе приводится конечно-разностная схема, которая может применяться при решении задач свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде. В третьем параграфе рассматриваются основные, полученные в результате численного счета, характеристики процесса.

В четвертой главе рассматривается исследование влияния параметра Дарси на процесс свободноконвективного течения на вертикальной поверхности в пористой среде при граничных условиях третьего рода. В первом параграфе проводится асимптотический анализ системы уравнений в приближении пограничного слоя, строятся асимптотические разложения для функции тока и температуры. Полученные в результате системы уравнений решаются числено. Во втором параграфе строятся аналитические решения внешней и внутренней задач, составные решения для функции тока и температуры, проводится сравнение результатов численного счета и построенных аналитических решений. Также приведена зависимость характеристик процесса от числа Дарси и пористости среды. В третьем параграфе построенное внешнее разложение дополняется собственными решениями, удовлетворяющими однородным граничным условиям.

В заключении содержится краткий обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе.

В диссертации принята двойная нум�