Асимптотическое интегрирование некоторых классов линейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в бесконечном промежутке изменения аргумента тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.И. МЕЧНИКОВА

Р Г Б ОД

< г шоп ть

на правах рукописи

АМЕР Касем Ахмед

Асимптотическое интегрирование некоторых классов линейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений в бесконечном промежутке изменения аргумента

01.01.02 Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Одесса 1994

Диссертация являемся рукописью.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Одесского государственного университета им. И.И. Мечникова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Костия А.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, академик АН Грузии Кигурадзе И.Т.,

кандидат физико-математических наук, профессор Клих Ю.А.

Ведущая организация — Киевский педагогический университет

Защита состоится июня 1994 г. в час. на

заседании специализированного совета К 05.01.02. по физико-математическим наукам (математика) при Одесском государственном университете им. ИИ.Мечникова по адресу: 270000, Одесса, ул. Петра Великого, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Одесского государственного университета по адресу: 270000, Одесса, ул. Советской Армии, 24.

Автореферат разослан мая 1994 г.

Ученый секретарь СшИ^ТЦИ^-__Третьяк А.И.

специализированного ученого совета доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Многочисленные процессы в физике, механике, химии, биологии и т.д. описываются с помощью дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр е.

Поскольку лишь в исключительных случаях удается получить точное решение таких уравнений, то приходится прибегать к различным приближенным методам интегрирования. Весьма эффективными методами приближенного интегрирования таких уравнений являются асимптопгческие методы, в основе которых лежит идея разложения искомого решения в ряд по степеням малого параметра. В настоящее время существует обширная литература, посвященная исследованиям в этой области. Это работы Д.Бчркгоффа, А.Шлезингера, Я.Д.Тамаркина, Р.Фаулера, Аокка, В.Тржитзинского, В.Вазова, В.С.Пугачева, Х.Территина, Р.Сибуя, С.Ф.Фещпнко, Н.И.Шкиля, Н.Н.Моисеева, И.С.Градштейна, И.М.Рапопорта, М.В.Федоргока, К.А.Абгаряиа, Г.С.Жуковой, И.И.Старуна, ГО.А.Митропольского, А.Н.Тихопова, С.А.Ломова, А.Б.Васильевой и' многих других апторов. В частности, в работах С.Ф.Фещенко, Н.И.Шкиля и их учгпикоп всесторонне исследованы системы типа (4) в случае k = l, при

условии, что te[0,L[, где L— конечное число, при этом собственные значения матрицы !', (г,/г) могут быть как простыми, так if кратными. С этими исследованиями тесно связаны исследования А.Пуанкаре. Н.П.Ерупша, Н.Левннсо на, Ф.Хартмана, И.Т.Кигурадзе, А.В.Костина и других апторов, которые изучали поведение решений линейных систем при t ~» +».

Актуальность темы. Темой настоящей диссертации является нахождение асимптотических представлений при i-vO. te<T,,T, >, -то<Т, <T,S+oo, для решений линейной однородной или неоднородной системы вида (4). Актуальность темы диссертации объясняется тем, что случай системы (4) с несколькими неизвестными векторами типа Y,,...,Y, в случае бесконечного промежутка изменения аргумента t является мало исследованным.

Объекты исследования

I. Изучается вспомогательная квазилинейная система дифференциальных уравнений вида

е ~ = Q(r.«) + Р(г.г)Х+ F(г,г,X), (1)

которая удовлетворяет следующим условиям:

I/е — малый параметр, е б1 = ]0,го]г= а, 1еД = [0,+ос[, геД, кеКи, X ев, = {Х:Х ёС"',||Х| 5 а}, С>(г,£) еС{о,С"}, Р(г,г) бС{о(С""°}, Р(г,£,Х)бС{о,С"''}, где 0 = Дх1, 6 = 0x0,, ^.аеИ..

И/ существует Е^(г,£,Х) бС(й) — матрица Якоби д\я вектор —

функции Р) такая, что

где Ца) — некоторая скалярная функция,

III/ имеют место асимптотические разложения при ¿ —>0, X —> О

К = (к,,...,к.). |К| = к,X* =х?'.„х:-. РК =(РК1(г),...,РКа(г))'

т

причем

где считаем (}„( т) = 0 ,

IV/ шГ |а«Ра(г)|>0,

»¿л

V/ собственные значения матрицы РДт) удовлетворяет условию П:

Выполнение условий (2) и (3) условимся записывать в дальнейшем кратко — Q,(r), P.lO.F^r) бМ (seN„; |K¡¿2).

2. Изучается линейная однородная или неоднородная система вида

= (1с=й). (4)

где е - малый параметр, reí, г=л, teA, геЛ, Yk еС*'"1 (mk >l;k = l,n),

PkJ(г,t')ec(D,С"'""') (k,j = ¡7ñ), Qk(r.¿-)6C(D.C","')(k = ríi),

A(r,¿) sC(D,C), и имеют место асимптотические разложения при с -> О

»-U »*u

t=u

3. Изучается линейное однородное или неоднородное дифференциальное уравнение айда

Ее-'р1.(г.4-ЦХ£р.1( т,s)+ q(г,í)exp J^dt = 0. |5)

№Q "t сп-к ^t Г

где k e{l, ..,n-l}, í-el, r= ¿t, teA, rei, p„ -1,

p„(r,e) eC(D,C) (m = 0^ñ). q(r,f)eC(D,C), íeN, Которое сводится к системе runa (4).

Цель диссертации

1. Исследовать вопрос о существовании и об асимптотическом характере формального частного решения (в виде ряда »о степеням параметра в) квазилинейной системы (I) (задача А).

2. Исследовать вопрос о существовании и об асимптотическом характере формальных частных решений линейной однородной системы (4)

(Qk а 0,1с = 1,п), отвечающих простым собственным значениям некоторых матриц Рио( г) (k = n,...j) (задача В).

с.

3. Исследовать вопрос о существовании и об асимптотическом характере формального частного решения линейной неоднородной системы |4) (задача С).

4. Исследовать задачи В и С для уравнения (5).

Методика исследования. Используются результаты работы К.П.Персидского, работы С.Ф.Фещенко и Н.И.Шкиля. работы Л.В.Костина, а также специальный метод последовательных приближений.

Научная кошелка работы заключается в следующем.

1. Известная теорема К.П. Персидского о приведении линейной однородной системы к почти диагональному виду распространяется на случаи линейной однородной системы с медленно меняющимися коэффициентами.

2. Н случае квазилинейной системы (1) разработан эффективный метод исследования задачи А.

3. Для линейной однородной системы (4) (Qk = 0,k - l.n) разработан эффективный метод исследования задачи В.

4. В случае линейной неоднородной системы (4) разработан эффектноиый метод исследования задачи С.

При этом основное внимание уделяется изучению случая, когда промежуток изменения аргумента является бесконечным.

Теоретическая ценность Диссертация носит характер фундаментально-теоретического исследования. С помощью результатов диссертации могут быть рассмотрены задачи аналогичного типа для более общих чем (4) типов линейных дифференциальных систем, а также для дифференциально —разностных и интегро-дифференциальных уравнений.

Практическая ценность. Полученные результаты могут иметь приложения в различных областях естествознания: теоретической физике, . механике, теории упругости и т.д.

Апробация работы. Материалы диссертации обсуждались на научном семинаре кафедры высшей математики Одесского государственного уииперситега (научный руководитель - проф. Костин A.B.), на расширенных заседаниях Института Прикладной Математики им. И.Н.Векуа АН Грузии (1992 г.), а также на ежегодных отчетных конферен-

днях профессорсхо — препода пательского состава Одесского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ I — б ].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из списка некоторых вспомогательных обозначений, введения, трех глав, содержащих 15 параграфов, и списка литературы, включающего 68 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе исследуется задача А для квазилинейной системы дифференциальных уравнений (1). Наряду с системой (1) рассматривается формальная система

В 51.1 на остюпе ре^льтатоп К.П.Персидского рассмотрена вспомогательная задача о приведении хиппПпоЛ однородной системы с медленно меняющимися коэффициентами к почти диагональному пилу.

В ? 1.2. доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Если выполнены условия III/ —ГУ/, то у системы (1,) существует формальное частное решение вида

Х" = £Х,(гК (red), Х,(г)еМ (ssN). (6)

В §1.3. изучается асимптотический характер формального частного решения (6). Частное неформальное решение системы (1) ищется в форме

X = S., ( г, £•) + Z( г, е) , SM=£X,(r)ff\ Z(r.E) = 0(£"*1). »t

Теорема 1.2. Если выполнены условия I/ —V/, то существует такое достаточно малое число 0<е, St,, что при система (1) допускает

неформальное частное решение вида

а

Х = 1Х,(ГМ' (геД).

В §1.4. приведены аналоги теорем 1.1 — 1.2 для системы (1) и случае, когда гесТ,,^ >, -ж £Т, <Т2 < +».

Во второй главе рассматривается задача В дал однородной системы (4) а 0, к = 1,п), для которой выполняются условия А и В.

Будем говорить, что однородная система (4) удовлетворяет условию А, если для некоторого натурального q имеют место представления

Будем также говорить, что однородная система (4) удоилетиорнет условию В, ее,и! при любом натуральном с] соблюдается условие (7), причем существуют такие к, г е{|, .., гп„}, что алгебраические дополнения Аы(г), .,Аи(г) к. — й строки определителя

удовлетворяют неравенству (

шОЧуГ >0.

1

В случае выполнения услов!ш В имеют место асимптотические разложения но параметру б

Р.,( г, Е)« (г, с) = У] г)*' 0, к = и, г ь Д).

Одновременно с однородной системой (4) будем рассматривать формальную систему

(к = а (4,)

В §2.1. доказана следующая лемма о формальном расщеплении системы (4,).

Лемма 2.1. Ысли система (■!]) удовлетворит' условию В и, кроме того,

.nt'|dC4»„,(f)|>U, то сущиствует (формальной преобразование

X - К* i>L.( г> (к - 1И), Y; - х;,

где — формальные m, * т, — матрицы , (к-1,п-1),

и„.(г;еМ (k = "Cn4,sin-t), (Й)

которое приводит систему ¡1,; * пн',у

' . yVjr.ijX" (к - Г,.Г-"о, tit ^

Viv/r.i-jx, + ^.(г.^х;.

ul ,,,

rflf!

l\',(г,fi) IV,С '.'■) - t)l'I(Г. t) - У (rji/ (к, j - Гп~ I),

причем

*U 1.(0-P. ,«,(r)C(0l'„ J Г). (it)

p; (r, e) = p; ( r. e) + У !•;,( г, e) d; (r,«) - V( r) 4-,

j-l Ш'О

В §2.2. доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. Если выполнены у слоты леммы 2.1 и функции ^„(г), re{l,.. ,m0} такова, что

infix, (г)-Л1,, (г)|>0 (J - ) А г),

то система (4t) допускает и Л формальное частное решети* иида

у; = К.,(г.г)ехр}^^<И1 (геЛ).

г с

где П[„ (к = 1,п-1), определяются формулами (8),

К*(г,«-)-В,(г) + ^В„(г)г', Л'(г,г) = Л,Рт5(г) + £/;г,(г>4' - формальные

.-и

ряды размерности т„ и 1 соответственно, В,(г) -(лк1, ...Ак>)\ В„(г).//„(г)еМ (зеМ).

В §2.3. доказывается лемма 2.2 о неформальном расщеплении однородной системы (4), н которой предполагается, что для однородной системы (4) выполняется условие Л для некоторого ч > п - I и, кроме того, собственные значения Я1.,^ (г) Ц = 1.т,) удовлетворяют условию П. Полную формулировку леммы 2.2 опускаем.

В §2.4. изучается асимптотический характер формального решения |22).

Теорема 2.2. Если выполнены условия леммы 2.2 и, кроме того, существует г е{|,...,ш„} такое, что разности Л'Р (г) -(т) 0 = 1,т„,;г г) удовлетворяют условию П, то однородная система (4) допускает в Д неформальное частное решение типа

у„=оь(г.в)у, (к=Т7ГТ).

У, = К(г,Я)ехр}-АИ.';..^(| (Т 6 Д).

где

^ ( - 2¡>Л + (к = иЛ).

г, г) = В, + Х В„( ту ),

и

В (52.5. доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.3. Если для системы (4|) выполняются условия леммы 2.1, "]{ |(1е1Р„.,„.,0(г)|>0,

где Г,.|П.|0(т) определяется формулой (9) и, кроме того, существует функция Я', (г), г <={1,...,т11_,}, такая, что

Ы (т)-Х( в(г)|>0 а =

геа ' «-е-«» I

то система (4,) допускает я А формальное частное решение вида У,' = [ ±\( »У ]ехр, (к = й;Т 6Д)

где = у*,., =0, -- п - I - к (к = 1.....п »-2).

Теорема 2.4. Если для однородной системы (4) выполняются условия леммы 2.2 , функции ^ , ,(г) 0 * I, т„_,) удовлетворяют условию П и, кроме того, существует ге{1,...,гл„.,} такое, что разности ,_„(г)

(j = 1,т„_,, )*г) удовлетворяют; также условию П, то однородная система (4) допускает в Д неформальное частное решение типа

где wll = iv,., =0, = п-1-к (к = 1.....п-2).

В §2.6. рассматривается линейное однородное дифференциальное уравнение (5) г. £) = 0), т.е.

Л14.. о л™.,

гтп О' т^к А*

Наряду с уравнением (10) рассматривается соответствующее ему формальное уравнение

но,)

п»-п 01 т~к 01

и доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.5. Если для уравнения 10выполняется условие

¡п(|рм(фО. (Н)

ид ' 1

рт( г, г) (ш = 0, и) удовлетворяют условию типа В и, кроме того, непрерывный корень Я,(г) (г = {1,п- к), г — фиксировано) уравнения

обладает свойством

1пГ |л,(г)-Я,(г)|>0 П= 1,п-к,.)*г),

гьД ' ' I

то уравнение (10,) допускает в Л формальное частное решение такое, что справедливы формальные разложения вида

^ = ¿ЗДг^ехр}^^,, (¡ = МЙ.Т6д).

где

мЛ1) (зеЛ) — скалярные функции, д,(т)еМ (зеИ).

Теорема 2.6. Если для уравнения (10) функции ЯДг) 0 = 1,п-к)

удовлетворяют условию П, р„(г,г) (т = 0,п) удовлетворяют условию А с

q>k + l и для фиксированного г е{1,п — к} разности ЯД^-ЛДг)

() = 1,п-к, г), удовлетворяют условию П, то уравнение (10) доцускает ь Д неформальное частное решение вида

V ' Vsj + jexpj (i -Ö.7)"-"l,4 1,1

l'A«.' Mr,¿) - A, i V/<„(')¿-' rO(¿'").

Теорема 2.7. Ь'слн для уравнения (10,) выполняется условие (I 1|, р (г,í'J (iii-O.ii) удовлетворяют условию тшы 1J и, кроме того, корень /Л( (/><-{l, .,k}. /J — фиксировано) уравнения

О Vi и'f)1 " ' Д » 1 1>.«1 <> (|

ООлиД.игТ <Bullt-THUM

iut'i/Удо fi}( о| ' H (j - 1Л, j <Tu yp.liHil'UiU' (I0,J допуска«!']' Ii Л фчрМиЛЫКх.' 'íaCl'llut; рс'ШсНПО T.iK<a\ MIO

Ci IpULK* ДЛИНЫ форма,U.UUtí: раЧЛОЖОНИЯ ииди

d-y di'

i) i Vs,( r)S Jc-xjj j,\;iAi,,/.J<ll,, (i 0,11 I, I .л), где

A',('..'•) /'liliV^dlc',

/',»(') (stN)-- скалярные функции, //í) 1. M N)

Теорем.! 2.U. hi.,\ii для уравнении (10) функции /У ( i) (j-l,k)

удоилетвориют условию II, (111 ~0,п) удовлетворяют y(A(,iiuio Л с

i| • k f I 11, кроме тп.о, дм: фиксированного /lujl.kj ралюсгп /'.ДО /',( i)

(j- I,k, j r- p), удовлетворяют условию I I, 10 уравнение (Hi) ,V>liyCK.Iel' 11 Л lU'ljjopMdAbllOt: 'liicniül! (Jell Л' 1ПП ' TilКОС, чго

d'y dl¡

; /.;,( í) iVSj ,)t' i 0( ) )счр |л,1а, .í-bJtj. (1 -o.n-l.q .. k t I. г..л).

' \ X i I I

где Л,( г,£) - /?,( г) • г)я' +0(блИ).

1

Н $2.3. рассматривается частный случай к— и— 1 уравнения (10) и сформулиропапы аналоги теорем 2.5 — 2.8.

В третьей главе изучается задача С для неоднородной системы (4). Наряду с системой (4) рассматривается соотпетстпующая ей формальная система

г" ' = X Р;(г,( г. е)ехр }А11'(к = й). (4^)

1-1 1 €

В §§ 3.1.. 3.2, 3.3. рассматриваются различима случаи значений числа !■ ! > п - I, < - п - I, ( - п-2 и доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.1. Если выполняется услоппе II/ и, кроме того,

1пГ |Л„(!)[ 0, (12)

то у системы (4ч) и случаи <>п-1 сущестиует в Л формальное частное -решение вида

(к I) / г

Теорема Л.2. Если выполняются услоиня 1/ — II/ и, кроме того, (функция А „(г) удовлетворяет условию II, то существует такое достаточно малое число с,, 0 < <, еп, что при />е]0,£,] у системы (4) в случае ? > п-\ существует неформальное частное решение вида

У-=[ ¿У^г),е+0(сч',)|ехр|-/М-Ь£)т (к - Гп, ч > Л геЛ).

Теорема 3.3. Для системы (42) в случае ¿=п-1 остается справедливым утверждение теоремы 3.1, если выполнены условия II/, (12) и условие

ы; |ае1(Р„0(г)-Л„Е)|>0.

Если, кроме того, функции Л„(т) и (г)^ = 1,ш„) удовлетворяют условию П, то для этой системы справедливо утверждение теоремы 3.2.

Теорема 3.4. Если выполнено условие II/ и, кроме того, выполняются следующие условия

1.1«* |Ло(г)|>0,

2. тГ |ае1(РтЛ(г)|>0,

гс Л 1

3. 1П(Г |ае1(0п_,„_|О(г)|>О,

то у системы (42| в случае / = п - 2 су1цествует формальное частное решение вида

У*=( ¿^(г^ехр/^^Л Ос = йГЛ.теА).

где Ук,(г)бМ(к = 1,п-1.»2п-к-1; к = п.веМ,).

1

Теорема 3.5. Вели выполняются условия I/ —II/ и, кроме того, функции Л„( г), л'р^ (г) = 1,т,) и А'» (г)(| = 1,т„_,) удовлетворяют П, где

то система (-4) в случае ¿=п-2 допускает неформальное частное решение вида

¿Yk,(r)e'+0(£"l)]exp)^^dt (к = l,n-l,qS n-2; гeД),

Y- =iZY-(T)«' +0(^")lexP j^ht (q * 0, re Д).

В §3.4. изучается неоднородное дифференциальное уравнение (5) и

сформулированы аналоги теорем 3.1 —3.3.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в

следующих работах:

1. Амер К.А., Костин А.В. Асимптотика решений лилейного однородного уравнения с малым параметром при старшей производной и медленно меняющимися коэффициентами // Доклады расширенного заседания семинара Института Прикладной Математика им.И.Н.Векуа. - 1992. — 7, №5. — с. 9-11.

2. Амер К.А., Костин А.В. Об асимптотическом представлении решений линейного дифференциального уравнения п — го порядка с малыми параметрами при старших производных и медленно меняющимися коэффициентами // Известия АН Грузии.—1994.— 149, №2. — с. 5—8.

3. Амер КА., Костин А.В. Об асимптотических представлениях на полуоси решений линейных однородных систем с малыми параметрами при производных // Известия АН Грузии,— 1994. - 150, №2.-с.8- 12.

4. Амер К.А., Костин А.В. О существовании частных решений специального вида у квазилинейной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных и медленно меняющимися коэффициентами. Деп. в Укр IHTEI, 16.03.94 г., №584-Ук 94, 14 с.

5. Амер КА., Костин А.В. Об асимптотических представлениях на полуоси решений линейных однородных систем с малыми параметрами при производных и медленно меняющимися коэффициентами. Деп. в Укр IHTEI, 01.03.94 г., №444 - Ук 94, 23 с.

6. Амер К.А. Об асимптотических представлениях на полуоси решений линейных неоднородных систем с малыми параметрами при производных и медленно меняющимися коэффициентами. Деп. в Укр IHTEI, 16.03.94 г., №583-Ук 94, 17 с.