Асимптотическое интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка при наличии точек поворота тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НЛЦЮНАЛЬНА АКАДЕМШ ПАУК УКРЛШИ пюпггут дитамлтшси

• Ш пряязя рукеплгу

КАРПЕНКО Юрш Ьшнович

Асимптотичпе штегрупяння систем лыийних ДИфсрСПЩаЛЫШХ ршняпь другого порядку при нашшосп точогс повороту

01.01.02 - дпф'фсищзлып ртхкзшя

Автореферат , дисертацп на здобуттп наукового ступеня кандидата ф 1 з и ко-м атем ати ч н их наук

КИУВ-1996

ДисертаЩею е рукопис

Робота виконана в Укра1наькоыу деркавноад педагог ¿чноцу ун!-'вероитет! 1м. М.П. Драгоманош

вкадем1к АПН УкраПш, доктор ф1вико-математичних наук» профеоор Шк1ЛЬ МЛ. "

0ф1ц1Гш1 опоненти: доктор ф 1 вико- мате кати чти наук ПереСТЮЧ М.О. кандидат ф1зико-математичних наук КОЛОЫ1СЦЬ В.Г.

ПровIдна орган1зац1я: Одесышй державннй ун1верситет.

НАН УкраТни за адресов:- 252501 Ки1в-4, МОП, вул. ТерещешсШоька, 3. 3 дисертац1ею можна ознайомитися в б1бл!отец1 1нотитуту

Науковий кер1вншс:

Автореферат розI слано

зо

1996 року.

Вчений секретар оиец1ал1аовано1 ради доктор ф1зико-математичних наук

Лучка Л.Ю.

Загальна характеристика роботи

Актупдьн1оть тени. Одним з найб!льи ефектявиих метод! в розт:'я-эугзнпл да&эрэнц! алълих р1внянь збуренняыл в асимлтотичн1 мэто-ди, пгЛ грунтуються на IдэI зобракоиня шуканото роев'язку у виглпд! ряд! в га степенями параметра. Хочз так! ряда в б!.льтоот1 ншадт:1в i>oaj:i,iih;rbc.4 з зшчайному розум!нн1, однак Ix частили! суш дають ДОСЧТЬ ТОП!» тблихэння вукшюго розв' язку а ПрИИуИШШЯМ малого параметра до нуля.

Ц! кетоди вародшшся «э в 18-му стол1ет! 1 викортштовувалися у аргщях Лагрггаэ, Лапласа, Левэр'е, Фур'а.

3 ШЗЗ роц1 Л1ув!диь» ткоркетовуичи ревультати Штур"о, дет mtenmmrmü вобрзЕеиня резв'явку дцфдрс-нц1адьного р!шянш другого порядку, u;o «1 стать вэжпшй параметр.

У ав" язку з ваяшш1отв питания р.сюжтотичного ЮТегрутання дяфзрошиалышх р!енянь для розв'язку задач кптееатнчно! ф!йики ия теор!я почала иеидко розвшзатиоь п!оля прзць Л1ув1лля. Зокрэма аснмдтотичн! мэтоди роввш.'алися у працях Пуанкарэ, Елез!нгера, Б1 ргдчу^з, Я.Д. ТамаргЛна, В.Л. Терри-гика, Хукухара, В. Вавовэ, Чезари, Лангера, Е. КоддПггтона, II. Лев1неона, К.А. Абгаряна, О. Н. Тихонова 1 !н.

Нэобх1дно Екавати такон на фундаментальн! досШдаяння в1тчиз-тнгос угекк М.Ц.Крылова, И.И. Боголюбова, Ю.О. Митрзиодьсыого, яп! розробшш !.ютоди 1нтегрування систем диферонц! алымх р!внянь з

шлоэ вэл1н1йн1стю.

В подздыетлу асимптотичн i мэтоди розЕивалися бнгатьма в1тчиз-няннк! вчегеэги: Б. 1. ПосезшздЕМ,!, Л.М. Оамойленком, Д.!." 1!артинп-ком, О.'Б. Ликовоа, В.Г.Кодом!йцег.1, 15.П. GpyrliuiM та 1н™ими. П1д

- г -

наливом роб 1т Крилова-Боголюбова-Митролольського 1нтенсивно почали рОЗБИВаТИСЯ Д0СЛ1ДЕ9ННЯ дкф9рднц1альш1х рЮнянь з пов!льно зм1нними коеф!ц1внтами, значний вклад ц, розвкток ..яких внесли С.Ф.Фещенко, Н. I. Шк1ль та Ix учи!: I.I. Старун, В.В. Терлецьккй, В.К. Григорен-ко, I.I. Маркуш, М.А. СотШченко, Ю.П. Шдченко, В.П. Якоезць, С.Ы. Коваленко, Г.В. Зав!з!он.

' Одн1ею s найскладн!ших задач в т&эрП сингулярно збурених днфвренц-1альних р!внянь в задача побудош асимптотики сингулярно4 збуреннх систем з точками повороту - окремиыи точками проШкку зм1ни невалеяно! bmIhhoI, в яких зб!гаються корен! характеристичного р1вшшня або зШнюзться кратн1оть елемэнтарних д!льнш:1в голов-но! матриц! системи.

В роботах М.1. Ик1ля та Г.В. Зав!з!она, а= такой M.I. Шк!ля та М.О. Рашевського було розроблено мэтод 1нтегрування скалярних р1внянь другого порядку, систем р(внянь паршого порядку та систем з заШзненняы за наявност! простоI точки повороту. Незваааючи на долить -валику к1льк1сть публ!кац1й, вивчешши в лише окрем! частин-н! пр>блвми: розв'язки деяких клас1в скалярних р!внянь з точками повороту, звэдення систем з простою точкою повороту до б1лыа простого вигляду 1 дэяк! 1ш!. В1дкритиш залишаються проблема узгод-кення формальних розв'язк1в, визначених на р!зних пром1иках, побу-доеи нищих асимптотичних набликень розв'язк!в в окол1 точки повороту дов!льно1 кратност1, досл1дження вишдку к1лы;ох точок повороту. Тому розробка метод1в асимптотичного !итегрушшш систем днферэнц!-альних р1внянь з точками повороту в досить актуальною проблемою. Об'ект досд1дденкя. В робот! розглядаоться система диферэнц1альши

р!внянь виду '

. 2h С^Х h dx '

г А (т,е)—р- + е А (т,е)-- + Л (т,е)т =

' 'dir . 2 dx ^ 3

= p(.%,z)exp{lE.~h*i{x) j, . (1)

де г(t,s) - шуканиЯ п-шш1рниЛ вектор, е £ (О, е^] - палий дШсшШ

пчрамэтр (ео « 1), h € Ш, I = /-! , j = 1, 3 - ( п х п )

- матриц!, р(Х,е) - гг-шм1рний вектор, -О(г') - скалярна функц1я,-"

Т £ СО; Г]. ■

Прппускаеться, bio • о

1. Матриц! j = 1, 3, I вактор-функц!я p(t,е) мають в

облает! о: [s € (0, enü, т £ СО; Г]] асимнтотичн! або e6!ikh! роз -шнення

Aj(.V,G) = J a í, 3 , 17 < со, (2)

h=0

p(T,e) = Pb(,r)e . P < <»• • (3)

2 det A С тг) -Ф О Vïi СО; Г], о 10

3. Кооф1ц1снти Л. (t), р (í) розшнень (1.2),(1.3) неок1нчен-

h

но дофвранц1йош1 на в!др!зку СО; ï*]„ о

4. Матриц! А, Ах), ззвктори piт) 1 функц1я $(f) • розниваються

Jii л

на в1др!зку ЕО; Ю, Л > сТ в ряд, або за формулами Тейлора

Л,

= ¿1 df . * = 1.....ir, < », U>

2=0

d\(0)

рЬ(т) = 2_ ll—^-^ ks0'1.....ts <

S"0

h —¡¿г xa> *э < (6)

p1еняння

det 'MuCOl = 0, (7)

ДЭ

ыы(х)1 ез x) + u + л (t)],

о

назваыо характеристит.ним р1Бнянняы систем! (1.1), а власШ сиачешш

матриц1 Ши(х)] позначлмо через j' = 1, Bri.

о

5. Припуотимо таков, що

u,(t.) = и (г' ), i, J - 1, Sn , . к = Я, q,

J Я ь Ä , .

--(В)

u,(t) и u<t), l, J = 1, Sn ; i- * ,

•7 1

да t к = 1. q, - окрам! точки пром1шсу tО; ОЧ.-Так! точки будемо

я>

називати точками повороту системи (1).

Для оиотеми (1.1) досл1джувться задача Кош1 з ¡гачаткошыи умошми

ciх(0,в) ' ,

x(0,z) = х (в),--- х (е) (9)

О ¿X * о

В робот 1 Еивчаються так! питания: $) . Про асимлтотичне зобрааення фундаментально! оиотеми розв'язк1в для однор!дно1 енотами р1внянъ, що в1дшв1дав (1):

л» а х h ах

е уМтг.е)-5- + £ as(x,e)-+ a3(x,z)x - 0 ■ (10)

dir dx

При цьому роэглядаютьея р1зн1 можлшз! випадки канон1чно1 формп матриць 1, кр!м того, окремо досл1дх;ёно ешшдки h = 1,

h > 1.

2. Побудова чаотш-шого аоимптотичного розв'явку шоднор!дно1

оиотеми (1). В залекноот1 в!д .вкачень фушщИ 1Ых), да

сККг) «> -- •

йх

досл!дкено три випадки:

а) "нарезонансний", коли

Шх) и Wj(x) V г- е СО; И, J - 1, 2п,

б) "резонансний"-, коли Ы"х) тотогаю дор1Е1ссз одн1й ]з функцШ ы (х), хе [О; Г],

в) "точковий розонано",' коли ilt(i) б окромих точках iipoi.iltacy

СО; Г] еб!гаетьоя в одним а корэн1в р1вняння (1).

Так! н гостання досл!дк«ш для сиотем р

2Н <2 ' г '-(г "1

е -гг- = Л(т,е)2 + р(т,е)еа:р 1е , (11)

гь. йгх

е -= А{х,е)х (12)

при аналог1чних прилущеннях.

Матов робота е розробка методу побудови асимптотичного розв'язку задач! Кош! сингулярно збурених систем виду (1), (11) та за1ального розв'язку вказаних систем в едементарних фуш<ц!ях.

Методика досл1д=ення. При розв'я?анн1 поставлених задач вико-ристовуеться еданий н1дх!д, що базуетъся на вйкористанн) асимпто-тичкмх метод1в, як! розроблен1 для (нтегруЕання систем диференц!-альшгх р1внянь з пов1льно вм1нними ковф1ц1ентами О.Ф. Фецэшюм, М. I. Шк1лем та 1х учнями.

Нвукова повивш. Вшсористовутчи вказан! ншцэ метода, в дисар-тацИ розроблено метода побудош асимгготичних розв'язк!в систем (1), (11) при наяЕноот! дов1льного сличенного числа точок повороту в злемвнтарних функц!ях. Для даного клаоу задач вперта

- знайдено достатн1 умови 1снування 2п формальних розв"язк1в„ однор1дних систем (10), (12) при зм1н1 канон!Чно! форми характерно-тичних матриць в окремих точках лром1нку Штегрузання;

- одержано розрахунков1 рекурентн! формули для назначения коефЩ1ент1в в1дггав1дних розклад!в у явному нигляд1;

- досл1давно виладки-"резонансу", "нерезонансу" та "точкового рэзонаноу" при побудов! частинних-розв'язк1в неоднор1днкх сиотем,

(1), Ри);

- вказаьо методику введения систем (1), (11) з точкчии пово]о-ту до итадйу тотскно кратного спектру харзктаристичних ичтртач, вкавчнлх систгм в малому окол! точки повороту;

-

- доел I давно побудован1 формальн! розв'язки, доведено Ix л1н1йну неоалекн1оть та асиылтотичнмй характер;

.- побудовано асимптотичн^.й роав'явстг задач I ICobiI при дов1&ьних початкрвих умоцах.

Практична ц1нн!сть. Результата, одержат .в данШ робот 1, ыо-нуть бути викоркстан! для розв'язанкя гграктйчних задач, що виника-ють при доол1даани1 коливних проц-эсШ, задач! г1дрэдшам1чно1 ст1йкост! 1 1а.

/,ггробац1я роботи. Оснош! результата ц!еГ работа дашв1далися:

- на.сеШнар! в асимптотичних метод 1 в в теорН дкфорснц1адызих р1внянь прн УкраШськоиу державному педагог1чному ун1Еорсктот! р !у. М.П. Драгоманош (кэр1вник - акздем!к АПН Унра1ни, доктор ф1едг5Э-матокатичша наук, професор М. I.

- на сем!нар1 в дифвренц!альних р1шянь ищ йютятут! математики HAH УкраТни (кер1вник - акадвы1к HAH УкраНи А.!,!. Сааойланко);

- на кафедр 1 матемитичного ашл1зу Укра!нського доркшаюго Пб.-дагог1чного ун1верситету 1м. М.П. Драгоманоьа.

О- на кафедр! математики Н1киноького державного педагогикою Шституту 1м. М.В. Гоголя.

ПублIкацtI. Результата, одержан! в дан1й робот!, онублПюван! в шести наукових працях, список яких наведено в к1нц1 автореферату.

Особистий рнесок. Доол1дкення. представлен! в дисертацП, е результатом свмост1йно! роботи. Вони узагалънюють результата, одеркан! автором особисто, або в участи сп!швтор1в.

Структура 1 об'ей роботи. ДисертацГя складаетьоя з вступу, двох розд1л1в 1 списку л!тератури, що м1стить 173 джерела 1 мае об'ем 127 стор1нок машинописного тексту.

' ЗМ1СТ роботи

У вступ! розкривазться актуальн1стъ теми, наводиться огляд л1тератури по тем! дисертацИ, а такой коротко викладено науков1 результата, як! виносяться на захист.

Перший розд!л "Побудова асимптотпчних розв'язк1в сястеми

*>1г>'тгтттт ПТЧГтПП ППпПШт В»«ГЛЛТТЛ»*

«ИИК^иш ПГ^ ~ ^ -----Г*--- --------

масштабу" присвячено досл1дкення -систем дифарэнц1альних р1вкянь другого порядку за наявност1 дов!льного с^нченнот-о числа точок повороту або точок резонансу.

В 5 1.1 ставиться задача Кош! для неодаор!дно!системя сингулярно вбурвнпх р1внянь з гЛлькома точками повороту, а такоа задача 1нтогрування неодпор!дних систем гфи наявност! точкового резонансу. ■5 1.2 м1стнть деяк1 необх1дн! додатков1 в!домост1. В 5 1.3 методом зм1нл масштабу побудовано формальн! розв'язки однор1дно1 систеки в малому окол1 точки повороту т = О. Оуть цього методу полягав в насту!шому:

Розпинэга катр;щ1 А, (т), вектори р (т) 1 функцП -&(тг) на в!др!зку 011 21 '

СО; ЯЗ, П > еТ в ряд або за 'формулами Тейлора (4)-(6). Йробимо

зам1 ну зм!нних т = I впорядкуемо розклади (2),, (3) за степенями

малого параметра. ?од! система (10) набуде вигляду:

гп-г ?г-) ^

е В((1^е)-+ е Вг --+ Вз(4-,е)х = О, (13)

¿4*" йЬ

* а А (0)

Ы.е) = . (14)

й = о, ... .

йхв

Ь=0 ■ в*0

Заушил-га, що (Ь) - ^ ^0)» 1 ~ 1> 3» тону систе,-'л ПЗ) в окол! точки t = 0 мае тотогно кратний спектр, а, от-че, II мокнч асит-

тотично про1нтегрувати, кориотуючись класичними методами.

Зокрвма для системи (13) доведена наооупна теорема.

о о

•Теорема 1. Якцо вцконуютъся .умоЕИ 1 - 5 1,-крШ того, [кф, ф] и о, (15)

де г

К = ы В + ш В + В ,

0 11 О 21 31 „

а (£п х 2п) - матрицу 0(0) под1бна кл1тин! Жордаиа, то система (13) мае на t € СО; Г] 2п формальних розв'язкЛв виду

а/'-'и.е) = и 1 >а,11)ехр^е.1 ^ х'1 '(а.д)^, 1 = 1, 2п, (16)

о

Де

т от

и а,ц) = и » л. = \ »

ц = "/е"".

Ту?

" О Е

О(-с) =

-Л Л -Л А ю зо ю го

де Е„- одтшчна матриця розм1рност! п, а <р, ф - власн! вэктори ыат-о ^

риць Шы(к)1 та Ъ ГшСтгЛ, спряжано1 з Жш(х)1.

В'5 1.4 побудовано 2п частингоа розв'язШв однор!дно1 системи ва маками околу точки повороту.

В 5 1.5 доведено, що формальн! розв'язки, юбудован1 в попе-ре дн1х параграфах, е л1н!йно незалежними на в1дпов!дних пром!иках вм!ни незалежно1 зм1нно!..

5 1.6 приоЕячено "вшиванию" кобудо.ваних розв'язк1в. Зугошимось на цьому доклада!ше.

В § 1.3, 1.4 побудовано 2п чаотгаших розв'язк!в однор1дш1 системи (13) на в1др!вкзх СО; еГЗ 1 Се!?; Л. Дзл1 нэобх!дно "виити" отриман! розв'язки так, щоб у точц! т.= еГ вони були неперервними

pasow 8 nopiEHMH IIOXlflHHMH.

3 noóyfloeahíix na Blflplsicy 10; etj e6ktophhx po3B'n3KlB yTBO-pHMO, íjk 13 CTOBn'tiiKlB, flsa m í> n-1 HafijtiaseHl mhtpímhI $opMajibHl P03b'hbki[ ® (r.e), "^(i'.e), oSlpBaBnm BlfliioBl^m phah na pi-mV 'iJieHl. Tofll 3arajib!ntíi n-Hafijacieiiraí po3B'fl30K oiioTetm (13) Ha utOMy Hlflpls-Ky samnneTBcn y Bj-crjifl^l

e}(t,e) = '^(t.eíb^ + .

yt.iOB. no3Ha'OMO o^epinanjiíl 'lacTMHHirfi posb'hsok x (t,e).

r

Ai-iajiorl'iHO Ha Blflplsity íeT; Ti yTBopjiuo aeü m-Ha£wBns9Hl MaTpi«-Hl po3B'h3kh P^tT.e), P^t^e). 3arajibHHít pobb'hsok Ha flhhomy Blfl-plSKy 3aroni8Tbca y Btr.iíisl

xj,x,e) = Pí(t,e)c; + Fo(T;,E)O„, ,

fíQ C?, Co- flOHiJibHl n-UtíMipnl BeK'i'Opil.

TojU yMOBM HenepapBHOCTi 'sacTiiHF.oro posB'H3Ky x (t,e) 1 floro

r

nopmol noxifliiol b tomuI f = Eai¡Miiyrbon y BMrjLfi.nl

año

Pj(er,e)oj + P^er.eJo^ xJeT.e) ?'i(.eT,c)gi + WJeT, e)c2= 2MeP,e)

(18)

P (sr.e) P (er.e) í 2

P?(er,e) P2(er,e)

c = col{c;, oJ

(19)

' r (e?, e)" p

• t'(ef,e)j

r

CoptajibHl m-na6jaa!BHl posB'.isiai CKCTerai (13) g Jilulítao HeeaJies-hhiffli. rrpíi flocjwB Mamo: e > 0, Towy i-iaipiiuíi, ap e mhokhhkom npii BGKTopi c, HOEHpoflsena. Otho

x (eI',e)] r

x (er,e)J

P (eP,e) PJíí\e)

(20)

P (eí'.e) P (eí'.e)

7 3 j

Tensp EeKTOpn o;, c^ bI.üomí 1, oth9, neüypgpBHrat pasen rroxlflHOK) pobb'rsck sa^ail komi »¿osara patuicavie y lüir.iasl:

nepeora

z(v,e> = |

r (T,e), Í e ÍO; eT]

г

Р7(т,е)с? + F <т,е)с , t e (el*; 5*3

(21)

В 5 1.7 розглядазться вкладок к!лькох точох повороту. Ошюаио алгоритм побудоЕн неперервда диферонц Шовного розв'язку вадач1 Кош! для однор1дно! сиотеми (10).

В 5 1.8 побудовано формальн! розв'язки даоднор1дио1 снохами. Окремо розглянуто випадок точкового резонанзу в двох точках npoMls-ку 10; Г], п1сля чого побудовано нзперергно диференц1й01»сШ розв'язок задач! Кош! для неоднор!дно1 сиотош (1).

Позначимо чаотинн1 п-набликзн1 розв'язки сиотеми (1), внайден! . па в!др!зках [0; cTl, tcT; FJ в1дпов!дш чороо х (т,е), у (*,е).

VI Vi

Тепор Н0о5х!дко утворати нвперервшй разом в периою цох1дною час-тиший розв'язок оисгеш (1) на всьоыу иром!кку % ё СО; И. Для цього побудуемо 2п частинних розв'язгЛв однор!дноТ скстеми (10) 1 утвораю з них два натргчних розв'язки £>( (т,е), . ©^(т.е). Тод! загалький т-наближений розв'язок система (1) на в1др!вку t € ХО;еГЗ вапишатьоя у виг ляд I

х(г,е) = Ф (t,E)c + « (т,е)с + х (t.e)»

7 í 2 2 та

дв с,

о2 - п-шм1рн! стал! ввктори.

Тод! уыову нэпэрврвност 1 частинного розв'язку скствкл (1) I Гюго першо! пох1дно1 в точц! т = еГ вшсгшвш у ка-ляд!

Ф (е2',е)с + w (eF,e)o + х (еТ,с) = у (еТ,е)

1 12 Z ш sí

ф^(ег,е)с? + <¿'zie.?,z)oz + х\еТ,е.) = ц\сТ„е)

(22)

обо

'&((еГ,е) С'2(сТ,с)

о "

1

р-г

£/ (ег,е) - г (еГ,е)

к к

у'(ет,с) - г'(ет,е).

зв!дки коаугь бути кязшчен! стал! шкторп с(, с^:

С I н

1

Ф (еГ,е) Фо(еГ,е)

у (еГ,е) - аМеГ.е)

т тл

д/'(еГ.е) - х'(еГ,е)

"епэр непердрвно диференцШовний т-наблиионий частинний розв'язок

система (1) иабувап вигляду

{ 5 '(Г.е)о + 9 <*,е)с + х (г,е), г € СО; еГЗ г (%,Е) = < ' 12 * т (24)

™ I У -с С ■(£?; .Г]

ш

В 5 1.9 ДОСЛ1де-зпо ВСИНПТОТИЧН! ВЛЗСТИВОСТ! ПобуДОВЯНИХ роз -я'язк1е. Зокрема доведена наступив

Теорема 2. .-Яйцо виконуыться уиови теорем! 1.7, (9), 1, кр1м того,

тл

й=-£>

(13,

го при г í 10; еТЗ для .кс:люго форизяьного розв'язку х (т,е), 1 -

----_'( I !

я 4сяуз такий точниЯ ■розв''язот; х- ('С,е), що У та » п - } 1

давить шлях е > ■£> 5£ж©нзкля»ся «<5р1виоот1

г»), . си „т. , м . т+г-пгл-м

|| 5<и(г',г) - < сд

Г с т—• » г 5, ы , 1

х зит) его г€£0:'егз

V,,

(25)

_(I >, , , (I) ,

сЗ (т,е) <£г {V., ,е) ]

ат

<-£г'

ш+г-п! н-1 >

х вир г гр ТЙО; ЕГ)

о >.-о

дз с - деякз ста.*:!, го лпчкдггь в!д с.

3 5 1.10 пок,:гт;тн:';: !.г:сзт;.у»тъся методи 1нтнгру-

эзиил а!д!юи|систем, уосробл"»! а тгертеку роед1л1.

а:

Другий розл!л дано! робота "Аоммптотичне 1нтсгрувакин л1н1Гишх систем другого порядку методом малого збурешш характеристичного р1в!Ш1П1я" приовячено перенесению методики, розроблено! для скаляр-них дифорекц1альних р1внянь другого порядку та систем диференц1аль-них р1внянь першого порядку на сиотему диферэнд1ольних р1внянь другого порядку. При цьому, як 1 в першому розд1л! дано! роботи вказано алгоритм« побудови асимлтотичних розв'язк1в.

В 5 2.1 ставиться задача Кош1 для неоднор!дно1 систеш (1) з кЛлысома точками повороту, а такой к!лькома резонансными точками.

При цьому припускаеться, що о

6 . Збурене характеристична р1вняшш сиотеш {10):

с2е£

[ию+ ЧХ + * = 0

мае в деякому окол! 'точки повороту 1 = г просу! кореа! ы.(т,е), Л = 1, 2п.

7°. [Я(0)ф(0), ф(0)] * О, К(0) = %Аи(0) + %Лг1{0) + А31(0) В § 2.2 побудовоно форизльн! розв'кзки однор1дно1 оиотеш, с;о в!дпов1даз (1). Зокреш каа ы!оцз нзотушз

о о

V е о р е ы в 3. Якдо виконушться укови 1 - 3, т = О 1, ир!и о к

того, умова в виконусться V % 6 10; Т1, то на вказаноиу ] ¡ром 1

система (10) мае 2п форьалыих рсзв'язк!в паду

%

х"{Х,£) = ю,1'(г,Б)е:гр[е-'* | X* * '<е,е)(2з], £ = 1, 2 п, (26)

о

ч* > .."),,

дэ вектор-функц!I и (*,е) I окалярн! (¡>ункц|1 л (1',е) машть форггальн! розвинзння у ("С,Б) = (*с.е)е » * (*»£>• = ¿^ \ <т:,е)е (27)

В § 2.3 доводено, що побудошн! СГормальн1 розв'язки при мзлих с е лIн 1 йно незалекшши на в!др1зку Е0; Г).

~r i),

ílpt цьему Еотановлеш, l~o воктор-функц¡I V (т,е) в окол1 точки

повороту «хоть особлив |сть по параметру типу полюса порядку 0| |.

I цВ J

Тому Ц1 сектори коета подати у вигляд!

t 1 . . -Í I ) . 1

и (т,с) = и ,

-Г t ) И

де мнояп-пжя и (т,е) в:::а на мають оообликостеД по параметру е. Оотаточно мокемо загшсати

л та

г u, , v -m, . ,, i т—■-(«>. . ьП-п v (тг,е) = ) у. (т,е)е3- х = ) и (г,к)е ,

£-, Я цк ¿-. й

ЬО 7J-0

де число г заложить й!д канон!чно! структура матриц1 0(0) 1 задо-вэльняз neplBHooTl V2rL <г< 1.

$ 2.4 присвячено "згивашяо" розв'язгЛв однор!дно! оиотеми. В 5 2.5 розглянуто гатадок дов!лыю1 ск1нченно1 к1лькост! точок повороту. Вковано алгоритм побудови неперервно диференц!йов-ного рогв'язку задач! Кош).

В з 2.5 зиайдзно форталыотй гозв' явок наоднор1дно! оиотьки у виладку точкосого резонансу.

5 2.7 присвячено поппреш® методики, розроблено! для вкпэдку к1лькох точок повороту, на вмюдок к1лъкох резонансних точок.

3 § 2.8 доведано, в,о при кпсонашП певних умов форнальн! розв'язки, побудован! в другому розд!л1, о асимгготичшши npi с ♦ О. Зокрема доведена

Теорема 3. Яга;о ззтонуються уиови теореми 2.1, (9), а такса'умови

п

йэ( XZл1п'а)с'4) °<х е í0; ^ и с\+ es; г:!>

ll^O

n

Re[ < 0, x f. eS; + eSJ,

fe o

дэ т, € (0; Г) - точка повороту, то при V х ч ГО; Т1 розв'язок оадпч! Кош i иобуддйзшгй в 2.5 п

асимптотичиим при е - о, тобто V и С SI i досить малих е > О, в;шо~ нуються neplBHOCTl

I . < { ), , til. m+2-h-ß

x (t,e) - x (т,е) < с e x

7П И Í

у. sup xeíx -eS;t +eS1 & h 1 = 1

2n T. m

exp E_h J ^Г^ K^4 '(a.eje^j

da

T -ES

к

m+2-h-Ä

+ с e aup

2 <сеСО;т -eS] , .

ezp £~h J Re[ X^1'(o)abdaj

О ts^O

x

m+2-h -<X + с e sup

3 xilx +eS,_.

ь 1=1

2n m ^

' / L _ _ . - J

r +eS

is

-it) , < а, dx \x,e) dx (t,e)

dt

< С E 1

x aup

к fc t = l <f 2i=0 Ь

^ ' exp E~h J Rs( ) ' ^ '(а,е)еЬ^£

x -es 24=0 к

2 n - ra

E^r f te(ZXt)<s>elH

l = J L 0 i£=0 J

а гп f " m _

sup У еггр е" Reí Y^ к '(а)еЬйз] ,

ےx +eS;n f-* L J L f-- & jJ

m+2-h-<* + с e aup

2 t€CO;t -eSD

ji i=J

m+2-h.-1 + с e su]

3 — - c.f

t +es ь-о

fe

дэ a, p - деяк1 додатн! числа, як! Еизначаються в диоертацП.

В 5 2.9 побудовано формалый наблиивн! ровв'язки дэяких задач прикладного та 1лшстративного характеру.

m

Осиовп! рззультатл та виотаыш

Основы1 результата дисартацП полягають у наступному: • 1. Побудовано загэльниЯ асот.ттотичний розв'язок сингулярно збурено! систеш другого порядку 1з ск1нчоинм "шелом точок повороту дов!льно! кратноотК

2. Досл1джено неодиор!дну систему даференц!альних р!внянь, вокрош розглянуто вшгадок точкового резонансу.

3. Побудовано неперэрвно дпфвронц!Доений розв'язок задач!

Кош!.

4. Досл!да:ено властивост! отрнманих розв'язк!в. Вказано умови, при яких формальи! розв'язки будуть асимптотичними.

OoHQBul результат» дяеертацП оку£>л! кован I в роботах:

1. ifa|manKo в.ц. Асимптотическое роевика еадачи Кота для лзшейнэй система даффэронциа.кы2ЕС уравшиий второго порядж птм надагеш точю! поворота // Д^^ренцяаяыку-фуюдаюнаяьны»» уравнэкал. -К.: 1СГПИ, 1991. - С. 19-23.

2. S'lKljlb И. I., Карпенко К). I. Аоимптотияний розв'язок сгагулнрш вбурэно! снстеми другого порядку в точковим рээонаноом // Дом. AH УРСР. Gap. А. - 1991. - N 5. - G. 18-21.

3- Шк! ль К. i ■ .Карпонко Ю.1. Про асимптоткчн! розв'язки задач! Коа! для л1н!йно1 систем! дифвренц1альнпх р1внянь другого порядку при паявмост! точки повороту // Доп. АН УРСР. Овр. Л. - 1992. - N 3. - С. 11-14.

4. р-гсигь H.K. r?fepnjfU-:o W.Ii. Решение задачи Кош для «шейной системы дкц<1'ере£щиальных уравнений второго порядка с точкой поворота // Дпффоренщшлъно-фужциопалышэ уршмення. - К.: КГПИ, 1931. - О. 100-105.

5. йковец В.П. ,Кар;;?вг-о Ю.И. Асимптотике решений общей лилейной оиотвш дяффарандпалышх уравнений второго породам с шдлшшо мэшщивдся ковффиционгаыи. - Ногин, 1986.- 29 о. - Доп. » УкрНШГГК 02.10.85 X*. - N 2405 - Ук8б.

6. Яушпц R,T]r ,Kgp;ifjH;;r>' B).i:. 05 аолмлтотичосюи решзшшх лидайпих сингулярно возг.гуценгш; систем при наличии точки поворота // Еат. физкла и шджгзйн. махашка.- 1952. - Н 18(52). - 0. Б-*1.

i'sprre-HKO ,19. Ii. ^Асимяготлческое лизюггироЕатаэ систем линейных згфферзициальных уравнений второго иорядвд при наличии точек поворота"".

• Диссертация на соискание научной степени кандидата 'физико-математических «ауж по специальности 01.'01.02 - дифференциальные уравнения. ^Институт математики ШЯ Украины, Киев, 1996.

Защищается дясс-ертоцет. покзященная построению асимптотических рошбдащ ffiuisiifiMJS ■спитом дафферемхиазидаых уравнений о точками поворота. Отроятся решения нодатл Statsa при произвольных началы-шх усло-

"SjUIX.

Кркжжямтоя иетода "яете-нения »масштаба" и "возмущения характе-ртстапгаеизго ураЕнеигга"*.

Ksrpcnto. Y.J. "Asymptotic integration the system of linear differential equalЬсгл of the second order with turning points".

Doctor oi jihllososihy thesys, speciality 01.01.02 - differential Institute of mathematics, National Academy of Sciences OS Ulcralne, Kiev, 1996v

thesis deals with the construction of asymptotic solutions of Нг.езг ey3tem3 of differential equations with turning points. The solutions of Koshy's problem are made with arbitrary initial conditions.

Here apply the method of "scale cherige" and "disturbance of characteristic equation". -

1Слючов1 словаг точка повороту, зм1на масштабу, збурення характеристичного р!вняння, зшивдння, точковиЯ резонанс, асимптотика.

Шдн. до друку 16.04.96. CopivOT 60x84/16.Ibmip друк. Û}c. друк. Ум.друк. арк. 1,16. Vis. фарбо-В1дб. 1,16. Обл.- вид. арк. 0.8.

Тиран 100 пр. Зам. {0&_

В1ддруковано в Ыетктут! математики HAH Укра!ни 252601 КйГв 4, КАП, вул. Тврвщэшаваьт, 3