Обобщение метода регуляризации для операторов с особенностями спектра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ С КРАТНЫМ СПЕКТРОМ

§ I. Формализм метода регуляризации и построение асимптотического решения задачи Коши . •

§ 2. Асимптотическая сходимость формальных решений

§ 3. Пример

§ 4. Регуляризация и формальные решения задачи Коши, когда предельный оператор имеет одну точку спектра конечной кратности

§ 5. Оценка остаточного члена

§ б. Пример.

ГЛАВА П. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ С КРАТНЫМ СПЕКТРОМ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ I» Постановка задачи и структура существенно особых многообразий

§ 2. Разрешимость итерационных задач. Построение формальных асимптотических решений

§ 3. Обоснование асимптотической сходимости формально ных решений

§4. Пример.

ГЛАВА Ш. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ТОЧКОЙ

ПОВОРОТА

§ I. Регуляризация задачи

§ 2. Разрешимость итерационных задач и построение формальных решений

§ 3. Асимптотическая сходимость формальных решений. здд

§ 4. Пример.

Теория асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач, рассмотрению которой посвящена настоящая работа, представлена трудами как советских,' так и зарубежных исследователей. Свое первоначальное развитие эта теория получила еще в трудах Лиувилля [59j, Биркгофа [57] , Шлезингера [б2^ • Однако только в конце сороковых годов настоящего столетия проблемами сингулярно возмущенных задач стал заниматься широкий круг математиков. Благодаря работе I 49J А.Н.Тихонова, посвященной исследованию предельного перехода в сингулярно возмущенных уравнениях с медленными и быстрыми переменными, начинается систематический этап развития математической теории асимптотического интегрирования. В конце пятидесятых годов разрабатывается метод Вишика-Люстерника [ilj в линейном случае и метод Васильевой (см., например,[4},[б] ) - в нелинейном. Эти методы стали основой исследования функции пограничного слоя в задачах, в которых решение стремится к предельному с экспоненциальной скоростью, когда возмущение стремится к нулю» Существенные результаты, обобщающие и развивающие метод Вишика-Люстерника-Васильевой, были получены В.Ф.Бутузовым {см., например, [3]). Рассматривая сингулярно возмущенные задачи в областях с негладкой границей,он приходит к идее углового пограничного слоя, на основе которого создает эффективный метод исследования как линейных, так и нелинейных сингулярно возмущенных уравнений в частных производных. Развитие идей метода пограничных функций в интегро-дифференциаль-ных уравнениях проводится в основном в работах М.И.Имакалиева (см., например, [2lJ). Эти же уравнения, но рассматриваемые на основе обобщения метода усреднения, явились объектом изучения А.Н. Филатова и его учеников (см., например, ).

Сингулярно возмущенные уравнения возникают и при изучении периодических процессов. При рассмотрении дифференциальных уравнений с большим параметром Дородницын A.A. разрабатывает теорию асимиготического интегрирования, в основе которой лежат идеи, отличные от идей теории пограничного слоя. Целая исключить в асимптотических решениях секулярные (вековые) члены, Дородницын A.A. разрабатывает метод эталонных уравнений и на его основе глубоко исследует релаксационные колебания, описываемые уравнением Ван-дер-Поля, (см., например, flö]). Общая теория релаксационных колебаний с точки зрения построения асимптотических решений разработана в трудах Понтрягина JI.C., Мищенко Е.Ф. и Розова Н.Х. (см., например , [47]).

Развитие теории асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач за рубежом представлено работами Вазова ["б], Лангера [58], Территина [53], Лайтхилла [бб], Ван Дайка [9J ? Дж.Коула [so], А.Найфэ и др. исследователей.

В конце пятидесятых и начале шестидесятых годов С.А.Ломов, изучая модельные уравнения Лайтхилла, приходит к идее регуляризации сингулярных возмущений путём перехода в пространство большей размерности. Эта идея глубоко развивается им в последующих работах (см., например, [8,31-37]) и приводит к созданию метода регуляризации, наиболее полно изложенному в его монографии [зёГ/.

Настоящая работа посвящена развитию метода регуляризации на некоторые (ранее не изученные) классы сингулярно возмущенных задач. Основное содержание диссертации составляет разработка алгоритмов построения регуляризованных асимптотических решений для уравнений в гильбертовых пространствах с кратным спектром предельного оператора. Последняя глава диссертации посвящена исследованию сингулярно возмущенной задачи, в которой нарушается известное условие стабильности спектра (задача с точкой поворота).

При асимптотическом интегрировании сингулярно возмущенных задач определяющим фактором является спектр предельного оператора.

Информация о спектре так или иначе используется в различных асимптотических методах. В методе регуляризации эта информация исполь зуется для выделения существенно особых многообразий в решениях сингулярно возмущенных задач и для дальнейшей регуляризации этих задач. В случае простого спектра существенно особые многообразия выделяются спектром предельного оператора, поэтому теория асимптотического интегрирования задач с таким спектром полностью описывается в терминах спектра. Для систем с кратным спектром ситуация значительно усложняется уже в случае обыкновенных дифференциальных уравнений (это следует из известных работ Тамаркина [51], Трджин-ского [63], Территина [53] и др.). Существенно особью многообразия задач с кратным спектром имеют более сложную структуру. В частности, в асимптотических решениях таких задач появляются дробные степени малого параметра.

Вопросам асимптотического интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным спектром посвящено много работ (см., кроме указанных выше, работы Фещенко Ф.С. и Шкиля Н.И.

56] , Моисеева H.H. [4-3] и дру). Однако в этих работах либо изучались однородные системы, либо строились частные решения неоднородных систем. Задача о построении асимптотических решений для неоднородных систем в случае обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным спектром, а также уравнений, рассматриваемых в конечномерных банаховых пространствах, была изучена Елисеевым А.Г. (см., например, [25]).Им предложен эффективный алгоритм построения регуляризованных асимптотических решений, позволяющий получать ( как частный случай ) асимптотику фундаментальной матрицы решений систем с кратным спектром. Обобщение метода регуляризации на бесконечномерной случай наталкивается на принципиальные трудности, связанные не только с кратностью спектра предельного оператора, но с той или иной системы собственных и присоединенных функций. В настоящей работе используются результаты Ильина В.А.,Моисеева Е.И., Ионкина Н.Ив> посвященные вопросам базисности [20], [23], [22"] .

Вопрос о том, когда система собственных и присоединенных функций в случае кратного спектра является базисной^ тривиален. В 1977 году В.А.Ильиным и Моисеевым Е.И. (см., например, [20]) был развит метод, позволяющий устанавливать условия базисности и равномерной сходимости разложений по собственным и присоединенным функциям обыкновенного несамосопряженного оператора. Этот метод является дальнейшим развитием идей, примененных при исследовании самосопряженных операторов.

Используя работы В.А.Ильина и Е.И.Моисеева, С.К.Блошанская показала, что при регулярных и только регулярных краевых условиях получается счетное число присоединенных функций, а при усиленно регулярных краевых условиях - их конечное число (см. рг! ).

В 1977 году стал известен конкретный пример Самарского-Ионки-на из физики плазмы, когда оператор имеет счетное число присоединенных функций (см.^22~) ). Результаты, связанные с вопросом базисности, используются в настоящей работе вместе с результатами С.А.Ломова по методу регуляризации |~35] и А.Г.Елисеева по кратному спекных решений в бесконечномерном случае.

Как стало известно из лекции, прочитанной проф. Ломовым С.А. в школе "Методы малого параметра и их применение", посвященной основой метода регуляризации являются следующие соображения. Точка 6 = 0 является особой для задачи (0.1), так как в ней правильного описания пространства безрезонанс

75-летию академика Тихонова общематематической классическая теорема существования не имеет места. Эта особая точка порождает в решении задачи (0.1) существенно особые многообразия, которые, как установлено С.А.Ломовым, выделяются с помощью спектра предельного оператора А (или с помощью спектра всего оператора в случае кратности спектра переменного предельного оператора, что установлено А.Г.Елисеевым (см. [36], стр. 78)). Выделив существенно особые многообразия (которых - счетное множество)," мы вправе ожидать, что решение полученной задачи зависит от £ (шш от некоторой его дробной степени Л случае кратного спектра переменного оператора) аналитически в некоторой окрестности точки 6 = 0 при каких-то "хороших" данных задачи (0.1), так как в уравнение (0.1) параметр 6 входит аналитически3^. Этот принципиальный факт в случае простого спектра (или кратного, но при совпадении алгебраической и геометрической крат-ностей) уже установлен (см.,например*, ^Зб"]). Если же данные задачи (0.1) "похуже", то мы вправе ожидать лишь асимптотическую сходимость при 6~+о . В этом и состоит основное преимущество метода регуляризации; он позволяет свести сингулярно возмущенную задачу к регулярно возмущенной. Все эти соображения (кроме аналитичности) будут подкреплены и на изучаемой нами задаче (0.1).

Перейдем к кратному изложению содержания диссертации. В первой главе рассматривается сингулярно возмущенная задача я) В случае кратного спектра имеется в виду "регуляризованная" аналитичность по аналогии с регуляризованным следом оператора. в которой оператор А(-Ь) постоянный и действует из гильбертова пространства Н в Н . Предполагается, что А - замкнутый линейный неограниченный оператор с всюду плотной областью определения С Н и 410 спектр {^Д этого оператора содержит кратные точки. Первая часть исследования посвящена разработке алгоритма регуляризованных асимптотических решений задачи (0.1) в случав одного простого собственного значения Я0= 0 и при наличии других собственных значений, имеющих кратность, равную 2. Регуляризация задачи (0.1) производится по спектру (Д^ оператора А . Для этого вводятся дополнительные переменные

•Ь о и вместо задачи (0.1) рассматривается задача ь

0.3)

Оо где оператор = • Нетрудно убедиться, что поэтому задача (0.3) является расширенной задачей по отношению к исходной. Задача (0.3) является регулярной по t (при ).

Определяя её решение в виде ряда

T^f-t^b) = S Otr/c) 7 (0.4) л 0 , te получим итерационные задачи вида к^НкМ, ^№,0)=^ , fc =-1,0,1,., (0.5) г*8 1-^0, |кМ=%=» при

Ц=0, ^ = 0 при . Разрешимость задач (0.5) изучается б пространстве , где подпространства"^ описываются следующим образом. Обозначим через % - собственную функцию, а через о> - присоединенную функцию оператора А соответствующих собственному значению ) (собственную функцию, отвечающее собственному значению обозначил через ). Тогда

QO

X Ч1 (t.-e) : Г 2 [о^ (t) W ^ tó Ъг со

Здесь: ы . (-fc) , р>. (t) € С °° [ О,5? ] , .Предполагаем, " Д/ что все ряды, участвующие в описании пространства Y , сходятся абсолютно и равномерно по "fcefo/P] при 1с=0д

С11 . § > О - некоторая постоянная. Отметим, что в рассматриваемом случае (в случае кратного спектра) пространство безрезонансных решений ~Y имеет более сложную структуру. Если бы оператор А имел простой спектр, то в структуре пространства

Y отсутствовали бы присоединенные функции .В силу зтого обстоятельства доказательства нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач (0.5) в случае кратного спектра значительно усложняются. Например', для получения однозначного решения первой итерационной задачи (0.5) надо рассматривать три последовательные задачи (0.5 ). (0.5 ), (0.5 ) (а не две, как это было в случае простого спектра). Кроме того, в случае простого спектра оператора А отсутствовали бы итерационные задачи (0.5^), что привело бы к асимптотическому решению (0.4) без отрицательных степеней малого параметра ь . Рассматривая три последовательные итерационные задачи:

Чоу»^ (0.6) у (0.7) ъ-ь , (0.8)

Сформулируем следующий результат, доказанный в настоящей главе.

Теорема I. Пусть функция е "У" и выполнены следующие условия:

I) о " простая точка спектра, (; >о) - двукратные точки

А л о спектра оператора А , причем каждому отвечает одна собственная функция и одна присоединенная функция ср

О-!,*,.-) ; V Ло=-0 ; По,\<о ;

3) существует сопряженный оператор Д* с тем же спектром Г

40 система собственных и присоединенных функций °бРазУет базис Рисса в пространстве Н ; 5) в каждом собственном подпространстве оператор А имеет спектральное разложение

А) г, Р + ^ » где ~ нильпотентный оператор индекса % , Р^ - проектор на Ек .

Тогда для разрешимости уравнения (0.6) в пространстве V необходимо и достаточно, чтобы где Нк* - линейно независимые элементы ядра оператора = = ~¿^'Х + А в пространстве У . Уравнение (0.6) при дополнительных условиях:

Ь» * V . однозначно разрешима в И . Здесь £ и сС - фиксированные элементы про с транса? ва Н , через < > - обозначена скалярное произведение (при каждом £ <= С^Л"5] ) элементов пространства "У , на элементы пространства "У *.

Применяя теорему I, построим ряд (0.4) с коэффициентами У к Ь/0) € • Произведем сужение этого ряда при Т^Э^е) и обозначим через го 60 - «V -ую частичную сумму полученеЛ ного ряда. Тогда при естественных требованиях на правую часть \ъ[-к) и при требованиях на спектр оператора А , описанных в теореме I, будут справедливы оценки

11 ? (°*10)

Ь/О - точное решение задачи (0.1), постоянная с^>0 не зависит от Ь при £е[о,е0) ( £о>0 - достаточно мало).

Во второй части исследования, посвященного уравнению (0.1) с постоянным оператором А , аналогичные вопросы изучаются в более общей ситуации', а именно: оператор А имеет одно из собственных значений гп, -кратным; остальные собственные значения предполагаются простыми. Идеи, с помощью которых был развит алгоритм построения регуляризованных асимптотических решений в случае двукратных собственных значений, естественным образом обобщаются и на этот случай. Однако асимптотическое решение в случае Ун,- кратного собственного значения начинается уяе с (0*1-1) -ой отрицательной степени параметра & . Для однозначного определения решения каждой из получающихся при этом итерационной задачи следует рассматривать серию из (оп+1} последовательных итерационных задач. Ясно, что в этом случае исследование их нормальной и однозначной разрешимости будет более тонким,чем в предыдущем случае.Мбтодика, с помощью которой в первой главе строятся алгоритмы асимптотических решений, обобщается и на более общие случаи кратного спектра постоянного оператора А .

Развиваемая в первой главе теория иллюстрируется следующим примером (0.11) в котором предельный оператор совпадает с примером Самарского-Ионки-на. Собственными функциями предельного оператора будут ср ^зс о ?

2.15-1 ^ = ^ ^ ^ и присоединенными функциями (оо) = = ос со*, 24с7Гос, . • Они отвечают следующим собственным значениям к^нЛ 1о . . Собственными функциями сопряженной задачи будут 2 , ср* =4 со-ь и присоединенными Я/кйт^.

Пользуясь алгоритмом, развитым в первой главе, получен главный член асимптотики решения задачи (0.II) оо ^ и- 09- + О)) МП гьъъ + рЧ*^^^ ^тсзЛ -V*

-1 / „ / ^(О). о Г г - + tW^ jt ? *2.4сitJ" Lта*+ а* J> где ^ ^ ^ - коэффициенты Фурье биортотонального разложения функций 'К^/О по системе l^C^i » К0ЭФФичиенты t '"t* ^о ИМ0ЮТ аналогичный смысл по отношению к функции *]>(*)•

- 13

Во второй главе диссертации задача (0.1) рассматривается уже в случае переменного оператора AGO . Предполагается, что при каждом Ье [о,Т] этот оператор действует из гильбертова пространства Н в Н и как в предыдущем случае, является неограниченным и имеет область определения Ф(А) с Н , независящую от Ь и всюду плотную в Н . Разработка метода регуляризации на этот случай требует для своей реализации привлечения принципиально новых идей. Из работ Елисеева А.Г., посвященных развитию метода регуляризации на системы с кратным спектром в конечномерном случае (см., например, [25] ), следовало, что для регуляризации задачи (0.1) с переменным оператором А({) недостаточно информации о спектре. Для этого необходимо дополнительно привлекать информацию о ветвлении собственных значений. Эти же соображения используются в нашей работе для проведения регуляризации задачи (0.1) в бесконечномерном случае. Для этого рассматривается следующая задача на собственные значения oi Фп при достаточно малом |е,| ) I

0.12)

2.171-1 е=о оо №> =0)> Ч* to)3 Vi'6 .4 где оператор = [^("ОР*+ представлен своим спектральным разложением, причем

Из этих равенств видно,что мы рассматриваем случай всех двукратных собственных значений У (+) оператора А(-Ь) ; предполагается, что эта кратность не нарушается при изменении Ь на отрезке [о,Т ] ). Переписав (0.12) в.виде т it =со ^ tex р+

Ку: Пь.

OO ti SP,! и применив теорию ветвления собственных значений, найдём, что поправка к собственному значению имеет различный порядок по 6 в зависимости от вида структурной матрицы (Р ~ С С \ (+)) где С? - коэффициенты разложений: Ь

00 2 иг-1 , îm, k=l см. [2 5] ). В работе мы ограничиваемся изучением основного случая, когда С^"1 V-fcG [о/Р] . В этом случае поправка со имеет порядок и разложение co^t-b^z) необходимо вести по степеням V& : если же С =0 . то со Ci &) разлагается в ряды по целым степеням параметра & • С учетом вышесказанного, мы вводим параметр |ц.-ч/& и произведем регуляризацию задачи (0.1) с помощью независимых переменных вида -ь 1

К "о t о где функции ^Сй) будем определять в процессе построения асимптотики решения задачи (0.1) (хотя их можно было бы определить, используя теорию ветвления). Вид регуляризирующих функций подсказан методом регуляризации, но |и.= б1/2- диктуется теорией ветвления, так как в рассматриваемом случае представление со (*,г} при £ о имеет вид:

Вместо исходной задачи (0.1) рассмотрим расширенную задачу: где операторы е£0 ^ имеет вид:

Определяя решение задачи (0.13) в виде ряда оо . . где ^(т^/г^.)» (^о^г >"" ) > получим следующие итерационные задачи:

1^(0,0,0)^0 (0.15)

-^, ^о ( 0, о, 0) ^ (0.16) г =19,

0.17)

Разрешимость этих задач изучается в пространстве ,где оо

YHy(t,T,,): j.gv,a>i2tet)f2K(*>]3j здесь: o^. (t) , ^. , jjfoe O^D,*].

В теореме I на стр. 9ô устанавливается нормальная разрешимость уравнений (0.15)-(0.17) в пространстве Y , а в теореме 2 на стр. 99 устанавливается однозначная разрешимость каждой из задач (O.I5)-(CUI7), если их решать последовательно. С помощью этих двух теорем мы строим однозначно ряд (0.14) с Y • Ряд (0.14) является формально асимптотическим для расширенной задачи (0.13). Для представления решения исходной задачи (0.1) нам потребуется сужение ряда (0.14).

Чтобы сформулировать теорему об асимптотической сходимости ряда (0.14) приведем два основных условия:

1°. Спектр iX-bVj оператора A(t) состоит из двукратных собственных значений n-(-fc) с 'ReiLf-O^O , причем каждой точке ЯЛ*") отвечает одна собственная функция <f (-0 и од

X л J 21С—£ на присоединенная функция , оператор AGfc) в каждом собственном подпространстве Hj< имеет следующее спектральное разложение:

А), -ида^пу*), vt6[o,T],

H к k где Тк (-¿) - нильпотентный оператор индекса !?*(-{;) - проектор на ЬЦ •

2°. Система [щ собственных и присоединенных функций оператора А (О образует базис Рисса в Н и вместе с системой собственных и присоединенных функций сопряженного оператора А* ["О - удовлетворяет следующей нормировки Условия 3°-4° приведены на стр. 85. ^ ^

- 17

Произведем сужение ряда (0.14) при оо

0о и обозначим его

М —ю частичную сумму через 3 |и/ ^

Имеет место следующая основная для второй главы

ТеоремаЗ(см. стр. Пб ). Пусть выполнены условия Тогда задача (0.1) имеет решение , для которого построенный выше ряд [»о является асимптотическим, т.е. при достаточно малых £ СО<£$£<0 справедлива о ценка где С^ > о - постоянная, не зависящая от £ . Б третьей главе рассматривается краевая задача

0.18) с точкой поворота сс=р , 4с(ж)>0 , осе [0,1] .В отличие от первых двух глав, в которых структура предельного оператора не изменялась при переходе независимой переменной -Ь из одной точки отрезка [О/Г] в другую, здесь предельный оператор

О 1

А(х) = у-осХСос) о имеет в точке х~о корданову структуру, а в остальных точках является диагонализуемым. Это становится особенно ясным, если от задачи (0.18) перейти к задаче

Ю'С**Ос.) о)(1)+(07 = у , где з-^б^2^' • Точка эс=эс0 , в которой оператор А Ох) меняет свою структуру, обычно называют точкой поворота. Ясно, что для построения асимптотического решения задачи (0.18) техника в том виде, в каком она развита в предыдущих главах, не проходит, так как для применения такой техники существенным является условие тождественной кратности точек спектра на всем рассматриваемом отрезке независимой переменной.

Асимптотические решения задач с точкой поворота строились в основном с помощью метода ВКБ (см. [4-0] ). Этот метод хотя и достаточно эффективен, имеет ряд недостатков. Во-первых, он приспособлен для асимптотического решения только однородных задач с точкой поворота. Построение асимптотических решений неоднородных задач можно свести к построению асимптотики фундаментальной системы решений и к построению асимптотики частного решения уравнения (0.18). Однако в случае краевой задачи такое сведение приводит к многократному применению процедуры переразложения рядов по степеням малого параметра при поиске соответствующих констант. Во-вторых, применение метода ВКБ связано с делением временного отрезка на зоны и сращиванием асимптотических разложений, полученных в разных зонах. Впервые равномерные асимптотические решения для фундаментальной системы решений получены Р.Лангером С583 . Метод регуляризации был применен для решения неоднородных начальных задач с точкой поворота С 31] . В настоящей работе производится обобщение этого метода на краевую задачу (0.18).

При развитии алгоритма построения регуляризованных асимптотических решений для краевых задач возникает, прежде всего, проблема выбора пространства решений соответствующих итерационных задач. Эти пространства строятся с учётом свойства решений модельного уравнения Эйри: и'~-Ьгс = О

Теория разрешимости итерационных уравнений в случае краевой задачи во многом повторяет теория разрешимости, развитию для начальной задачи в [33-35] , отличаясь от последней корректировкой, вносимой краевыми условиями и иным выбором частных решений. Большую трудность представляет обоснование асимптотической сходимости получаемых в работе формальных решений. Доказательство теоремы (см. теорему I стр. 141) об оценке остаточного члена проводится путём сведения краевой задачи к двум задачам Коши [52].

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинаре по асимптотическим методам профессора С.А.Ломова в МЭИ, на семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям, руководимом профессорами Ю.А.Дубинским, С.А.Ломовым и С.И.Похожаевым, на семинаре профессоров В.А.Ильина и Ш.А.Алимова в МГУ, на Всесоюзной школе-семинаре "Методы малого параметра и их применение", посвященном 75-летию академика А.Н.Тихонова (1982 г.), на юбилейной научной конференции МЭИ (1982 г.). Основные результаты опубликованы в работах ¡64-673 .

В заключение приношу глубокую благодарность научному руководителю профессору С.А.Ломову за постановку задач, руководство работой, ценные советы и обсуждение результатов, полученных в данной работе.

- 20

1. Васильева А.Б., Фаминская М.В. Критический случай с жордановой цепочкой в сингулярно возмущенной нелинейной задаче. - Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, Jg 10, с. 1.06-I8I6.

2. Блошанская С.К. О базисности системы собственных и присоединенных функций несамосопряженного дифференциального оператор-ра. ДАН СССР, 1980, т. 252, В I, с. 17-19.

3. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в смешанных сингулярно возмущенных задачах для гиперболических уравнений. Матем. сб., 1977, 104, В 3, с. 460-485.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.- 273 с.

5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МУ, 1978. - 106 с.Б. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. - 464 с.

6. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 528 с.

7. Валиев М.А., Ломов С.А. Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных задач в случае неограниченного несамосопряженного оператора. ДАН СССР, 1977, т. 236, № I, с. 11-13.

8. Ван Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. М.: top, 1967, 312 с.

9. Валиев М.А., Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач в гильбертовом пространстве. Дифферент уравнения, 1981, т. 17, J& 10, с. 1792-1805.

10. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений. УМН, 1957, 12, 5, с. 3-122.- 149

11. Блошанская C.K. Об условиях базисности системы собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка. Автореф. канд. дисс.- М.: МГУ,1981.-16с.

12. Глушко Б.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения. Воронеж, 1972. - 194 с.

13. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. М.: Мир, т. 3, 1974. - 664 с.

14. Дородницын A.A. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка.- УМН, 1952, т. УП, вып.6(52), с. 3-96.

15. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980. - 208 с.

16. Дзядык Б.К. Некоторые специальные функции и их роль при решении неоднородных дифференциальных уравнений с точкой поворота. Б кн.: Теория функций и ее приложения. - Киев: Наукова думка, 1979.

17. Дзядык С.Ю. Исследование решений колебательного типа неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с точкой поворота. Препринт ИМ-73-7. Киев, 1973.

18. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В.Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов. ДАН СССР, 1976, т. 227, А 9, с. 796-799.

19. Иманалиев М. Асимптотические методы в теории сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем.-Фрунзе: Илим,1972.- 150

20. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием. Дифферент уравнения, 197?, т. ХУ, te 7, с. 1244-1295.

21. Ионкин Н.И., Моисеев Е.М. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями. Дифференц. уравнения, 1979, т. ХУ, te 7, с. 1294-1295.

22. Елисеев А.Г., Ломов С.А. Метод возмущений в банаховом пространстве. ДАН СССР, 1982, т. 264, te I, с. 34-38.

23. Елисеев А.Г. Теория возмущений в конечномерном банаховом пространстве в случае кратного спектра предельного оператора. В кн. "Методы малого параметра и их применение", Минск, 1982, с.78.

24. Качмаэг С., Штейнгауз Т. Теория ортогональных рядов. М.; 1958. - 508 с.

25. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.; Мир, 1972.

26. К^абаций Н.М. Асимптотическое решение смешанной краевой задачи для параболического уравнения. В кн. .'Всесоюзная конференция по асимптотическим методам, ч. I. Алма-Ата, 1979,с. 108-109.

27. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979.

28. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972, 272 с.

29. Ломов С.А. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих малый параметр. Труды МЭИ, 1962, вып. 42, с. 99-144.

30. Ломов С.А. Степенной пограничный слой в задачах с малым сингулярным возмущением. Изв. АН СССР, сер.матем., 1966,т.30, te 3, с. 525-572.- 151

31. Ломов С.А. Асимптотическое поведение решений уравнений, предельные решения которых разрывны. Доклады научно-техн.конф. по итогам научно-исследовательских работ за 1966-1967 гг., спец.матем. МЭИ, 1967, с. 133-145.

32. Ломов С.А. Равномерные асимптотические разложения одной задачи с точкой поворота. Доклады научно-техн. конф. по итогам научно-исслед.работ за 1968-1969 гг. секц. матем. М.: МЭИ, 1969, с. 42-50.

33. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.- М.: Наука, 1981. 400 с.

34. Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач и метод регуляризации. В кн. "Методы малого параметра и их применение", Минск, 1982 (тезисы лекций), с. 45-48.

35. Ломов С.А. Аналитические решения сингулярно возмущенных задач.- ДАН СССР, 1982, 265, № 3, с. 529-533.

36. Ломов И.С. Регуляризация сингулярных возмущений по спектру предельного оператора. Вестн. МГУ, матем., мех., 1976, to 3, с. 6-13.

37. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве.- ИАН СССР, сер. матем., 1972, т. 36, № 35, с.1080-1133.

38. Мае лов В.1Г. Комплексный метод ВБК в нелинейных уравнениях. М.; Наука, 1977.

39. Мищенко Е:Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1976. -247с.

40. Михайлов В.П. О базисах Рисса в L^{o3i) . ДАН СССР,т.144, № 5 (1962), с. 981-984.

41. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука 1969. - 379 с.- 152

42. Мягкова М.П. Регуляризованная асимптотика задачи Коши в случае тождественно кратных точек спектра. В кн.: Все-союзн. конф. по асимптотическим методам, Фрунзе, 1975,с. 327-329.

43. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976, 456 с.

44. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.; Наука, 1969. 526 с.

45. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных. ДАН СССР, 1957, 21, № , с. 605-626.

46. Прилепин Н.Н. Метод регуляризации для решения некоторых параболических задач при наличии нулевой точки спектра. В кн. Всесоюзная конф. по асимптотическим методам, ч. I,Алма-Ата, 1979, с. 106-108.

47. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. Матем.сб., 1948, 22(64), с. 193-204.

48. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных. Матем. сб., 1952, 31(73), с. 575-586.

49. Тамаркин Я.Л. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград, 1917.

50. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1981, 144 с.

51. Территин Х.Л. Асимптотические разложения решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр. Математика, 1957, т. I, №2, с. 29-59.

52. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент: ФАН, 1974. - 216 с.

53. Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969. - 232 с.- 153

54. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы б теории дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1966.

55. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solutions 0f certain linear differential equations containing a parameter. Trans.r/iimer.math.Soc. ,1908,9,p.219-231.

56. Langer R.E. The asymptotic solutions of ardinary linear differential equations of the second order, with special reference to a turning point. Trans. Araer. Math. Soc.,1949,67,p.£61-490

57. Luke Y.L. Integrals of Bessel functions. New York-Toronto-London, 1962.

58. Schlisinger L. Uber asymptotishe Dorstellungen der Losungen linearer Differential systemeabe Funktionen eines Parametere. -- Math. Ann., 1907, 63, S.207-300.

59. Trjitzinsky W.I. Theory of linear differential equations containing a porameter. Acta Math., 1936, 67, p.1-50.

60. Бободнанов А.А. Асимптотическое интегрирование неоднородной краевой задачи с точкой поворота. В кн.: Методы малого параметра и их применение, Минск, 1982, с.71.

61. Бободжанов А.А., Ломов С.А, Применение спектральной теории операторов для асимптотического интегрирования сингулярновозмущенных задач. Тр./Моск. энерг. ин-т, 1982, вып. 566, с. 93-97.

62. Бободжанов A.A. Асимптотическая аппроксимация решений сингулярно возмущенных уравнений. В кн.; Тезисы Республиканской научной конференции по уравнениям математической физики, Душанбе, 1983, с. 90-91.

63. Бободжанов A.A., Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование задачи Коши со счетно кратным спектром. Матем.заметки,1984, 35, № I.