Асимптотика собственных и квазисобственных значений оператора Лапласа в некоторых областях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. ФОРМАЛЬНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ РЖЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕПЬМГОЛЬЦА (ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ)

§1. Постановка задачи. Анзац

§2. Подстановка в уравнение

§5. Граничные условия. Первое условие квантования

§4. Определение функций главного приближения. Каустики г г

§5. Асимптотика функции Эйри и функций Вебера

§6. Сшивание асимптотических выражений

§7. Решение систем дальнейших приближений по(1>К)~1 и

§8. Вывод уравнений каустик $£

ГЛАВА П. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОТЕРЬ НА ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА, ОБРАЗОВАННОГО ЦШИНДРИЧЕСКИМИ СЛАБО ИЗОГНУТЫМИ ЗЕРКАЛАМИ

§9. Постановка задачи. Сводка результатов

§10. Второе условие квантования в случае широких областей ??

§11. Вывод асимптотических формул для квазисобственных значений в случае широких областей 8£

§12. Второе условие квантования в случае узкой области света &&

§13. Вьгоод асимптотических формул для квазисобственных значений в случае узкой области света ^

§14. Второе условие квантования в случае узкой области тени %

§15. Вывод асимптотических Формул для квазисобственных значений в случае узкой области тени

ГЛАВА Ш. РАСЩЕПЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА, ОТВЕЧАЮЩИХ ДВУМ СОБСТВЕННЫМ КОЛЕБАНИЯМ ТИПА "ПРЫГАЮЩЕГО ШЧИКА"

§16. Постановка задачи. Сводка результатов

§17. Второе условие квантования и вывод формулы для расщепления в случае широких областей ^

§18. Второе условие квантования и вывод формулы для расщепления в случае узких областей и ^ 112,

§19. Второе условие квантования и вывод формулы для расщепления в случае узкой барьерной области

§20. Расщепление собственных значений, соответствующих колебаниям типа "прыгающего мячика", сосредоточенным внутри: эллипса

ГЛАВА 1У. АСИМПТОТШНЖЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОТЕРЬ НА ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА, образованного осташшятичными

СЛАБО ИЗОГНУТЫМИ ЗЕРКАЛАМИ ¿¿У

§21. Постановка задачи. Анзац.

Сводка результатов ¥

§22. Подстановка в уравнение.

Граничные условия

§23. Асимптотика функций Бесселя -/УЗ

§24. Сшивание асимптотических разложений вблизи оси 02 1ЦЦ

§25. Решение систем уравнении, полученных в

§

§26. Второе уравнение квантования. Вывод формул дот квазисобственных значений 15Ц Заключение i

Диссертация посвящена проблеме построения коротковолновой асимптотики собственных функций и собственных значений задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в двумерных и трехмерных областях. Предполагается, что граница области содержит два слабо изогнутых участка, мало отличающихся от плоских, параллельных между собой. При некоторых условиях в полости между этими участками (которые мы далее будем именовать зеркалами) могут сосредотачиваться одно или несколько взаимодействующих друг с другом колебаний типа "прыгающего мячика" [4,35^ с неперекрывающимися зонами осцилляций. Если рассматриваемая область представляет собой "открытый резонатор" (например, граница области вся состоит из двух зеркал, либо область достаточно быстро расширяется на бесконечности), то колебания, формирующиеся в полости резонатора, теряют энергию за счет излучения в окружающее пространство. Это обстоятельство приводит к сдвигу собственного числа в комплексную область. Интерес к таким собственным функциям и отвечающим им собственным значениям связан с развитием лазерной техники, техники СШ, резонаторов, волноводов и световодов.

Основной целью работы является получение асимптотики мнимых частей собственных чисел для ряда сформулированных ниже задач с неограниченными областями. Однако методы, применяемые в диссертации, дают новые результаты и в случае задач в ограниченной области. Если в области существуют взаимодействующие друг с другом колебания с совпадающими в квазиклассическом приближении частотами, то квантовые условия, полученные в диссертации, позволяют получить формулы для расщепления собственных значений.

Пусть - неограниченная область на плоскости с гладкой границей (открытый резонатор), функция Грина0(ххо-к) задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца есть по определению решение уравнения л = , у*

А д*? + > х = (х*>' удовлетворяющее условию Дирихле *о> К)=0 при Хе^ , условию Хо>*<)~*0 при 1т К >0 на бесконечности (при |эс|—~Известно, что функция Грина такой задачи как функция параметра К допускает мероморфное продолжение из верхней полуплоскости на логарифмическую риманову поверхность, и все ее полюса Кп> располагаются вне замкнутой верхней полуплоскости. Бачеты Ы,Кп) , соответствующие этим полюсам, в физической литературе называются "квазистационарными состояниями", а обратные величины к мнимым частям полюсов интерпретируются как "времена жизни" квазистационарных состояний (см. ¡6,7,431). Квазистационарные состояния, или квазисобственные функции, как мы их будем называть, растут при \Х\—, удовлетворяют однородному уравнению Гельмгольца и условию Дирихле :

Л + К2) ¿уС = О и\ «0. ,п IЪЯ

В случае, если ¡¡^ \ строго выпуклая область, В.М.Бабичем [з] было показано, что полюса функции Грина располагаются ниже некоторой параболы 1т К =

С(/?ек/3 , С >о .

Если невыпукла и дя содержит фокусирующие участки, образуя при этом области "ловушечной конфигурации", то полюса могут подходить близко к вещественной оси.

Методы, применяемые в диссертации, позволяют исследовать именно такие асимптотически (при 1?еК—-630) близкие к вещественной оси полюса. Частота колебания, сосредоточенного в ограниченной области, характеризуется величиной К , она вычисляется по обычным квазиклассическим формулам, а потери данным колебанием энергии на излучение в бесконечную часть области определяются мнимой добавкой 1т. при

Яек—~ ж .

Вопрос о потерях на излучение в открытых резонаторах активно изучается в последние десятилетия, результаты исследований систематизированы в нескольких монографиях [21,30]. Основным инструментом исследования в этих работах служат интегральные уравнения, с помощью которых удалось получить оценки и правдоподобные формулы для излучения (см., например, [бо}). Существует и другой путь исследований, связанный непосредственно с рассмотрением приближенных решений уравнения Гельм-гольца. В работе ^38] В.Ф.Лазуткина был сформулирован геометрический подход, позволяющий исследовать дифракционные потери в открытых резонаторах. В соответствии с ним дифракционные потери являются результатом туннельного перехода ^25,43], просачивания поля наружу через потенциальные барьеры, в роли которых выступают особые "барьерные зоны", формирующиеся в полости резонатора. Для описания этих потерь необходимо изучать комплексные решения уравнения эйконала в области, где поле экспоненциально мало и имеет вид так называемых "исчезающих волн" во]. Если решение уравнения эйконала существует в достаточно широкой области за каустиками, ограничивающими зону осцилля-ций, то в некоторых случаях из геометрических соображений следует, что невещественные решения уравнения эйконала в области за каустиками не могут? существовать в неограниченной области, неизбежно возникает в силу геометрии области вторая пара каустик, ограничивающая область невещественного эйконала. В диссертации мы следуем этому второму пути. Фактически мы ищем приближенное решение задачи (0.1) в неограниченной области (см. рисунок), имеющее на бесконечности заданное асимптотиц! яг \ % I \®3

I I I и!)/)т П I ) и I// / /! / п I ! ) >) < / / /) п п/Т

П (у-о) ческое поведение (удовлетворяющее условию излучения). При этом уравнение эйконала и уравнения переноса следующих порядков по частоте мы решаем путем разложения по малому параметру (0 < 6 <5-^1), характеризующему отклонение зеркал от плоских. Каустики , ^ = 1,2,3,4 , не предполагаются заданными в условии задачи, они возникают в процессе решения уравнений главного по параметру К приближения и оказываются ортогональными к зеркалам, ограничивающим рассматриваемую область. В зоне 9)о собственные функции осциллируют как в направлении от зеркала Ц к зеркалу , так и в направлении от каустики % к каустике , в зонах и невещественного эйконала собственные функции осциллируют только в направлении от Г) к ¡2 , в зонах Юз и <к/ц поле имеет в силу условий излучения вид волны, уходящей от каустик и Жу в бесконечность. Процесс возникновения потерь состоит, таким образом, в просачивании энергии из области Й)о через барьерные зоны и и последующем ее излучении через каустики . Физически этот процесс подобен туннельному переходу - потерям энергии одномерной квантовой частицы, запертой между двумя потенциальными барьерами £7,25,43]. Используя эту физическую аналогию, можно получить формулы для "квазисобственного" числа К=к'-»-1 К11 . Вещественная часть К1 характеризует собственные частоты колебаний типа "прыгающего мячика" в замкнутом резонаторе, к" описывает потери энергии, возникающие за счет просачивания энергии через барьерные зоны и . Если эти барьерные зоны достаточно широки по сравнению с длинои волны, то К экспоненциально стремится к / нулю с ростом К .

Для сравнения и иллюстрации предлагаемого метода приведем здесь способ построения асимптотических разложений по малому параметру Рь для решений одномерного уравнения Шредин-гера

0.2) в случае потенциала следующего вида:

Л7Р:) ос<(Е) эсг(Е) х3(£) 0СЧ(Е) % и предположим, что на бесконечности выполняются условия излучения ос

2 ~ (в-У)* ех/>{* ^тсе-у/ б/*}

Е - спектральный параметр. "Собственные" значения этой задачи - комплексные, Е = Ек^ = Екь + б Еп, , П- 0,1,2,., мнимая часть их определяет потери энергии, возникающие за счет просачивания энергии через барьерные зоны*#г(Е) <Х< ^¿(Е) 9 х3{£)0С<ЭСц(Е)ш Главный член разложений для решений уравнения (0.2) в связи с многочисленными физическими приложениями был получен в работах В.А.Фока [72,73], М.Й.Петрашень [55], Г.И.Макарова [4бД, Л.А.Вайнштейна [21], при этом ими был использован развитый В.А.Фоком метод эталонного уравнения. Вопрос о дальнейших членах разложения был связан главным образом с необходимостью получить поправочные члены к формулам квантования Бора. Эти поправки были найдены в работах М.В.Федорюка [б6-70|, В. П. Ма слова [46-49], В.С.Булдырева [12,15], С.Ю.Сла-вянова [59], Н.Фремена, Р.Фремена [79] и других авторов. Не имея здесь возможности полностью осветить данный вопрос, сошлемся на монографию М.В.Федорюка [71].

Одним из возможных способов получения асимптотик является метод эталонного уравнения [7б]. Если точки перехода ( В ) ,

1,2,3,4 достаточно далеки друг от друга, то решение вдали от этих точек можно искать в виде комбинации экспонент, а в окрестности точек перехода - использовать функции Эйри. Если какие-либо из двух точек перехода близки, то для построения асимптотик можно применять функции Вебера. Сшивая асимптотические разложения и учитывая условия излучения, можно получить дисперсионное уравнение, из которого и определяются квазисобственные значения. В частности, в случае достаточно далеких друг от друга точек перехода и несимметричного потенциала оказывается, что г . , , J , (У-Е^с/г где Е п,о определяется из условия квантования Бора:

0.4) г / 1/г ^ 4 г(Е»,о) ' ' а

Ецо) л г" = * . / Г V"

0.5)

Могут быть выписаны формулы для дальнейших поправок к 1т Е (см., например, \^631), можно исследовать квазиуровни на дне потенциальной ямы и вблизи вершины потенциального барьера, проследить переход формул друг в друга.

Применяемый в диссертации подход к исследованию задачи о потерях на излучение из открытого резонатора приводит к формулам, имеющим такой же понятный физический смысл, результаты согласуются с соответствующими результатами для одномерных задач. В связи с проблемой обоснования асимптотических формул для собственных функций и собственных значений при условии существования квазиклассического сосредоточенного колебания представляет интерес возможность получения бесконечного асимптотического разложения, формально удовлетворяющего уравнению Гельмгольца. Методы, разработанные в диссертации применительно к областям со слабо изогнутыми границами, позволяют построить такое разложение. Строгое же оправдание формул, характеризующих экспоненциально малые эффекты, наталкивается на непреодолимые пока трудности. Отметим в связи с этим, что строгое обоснование формул для расщепления спектра в одномерных задачах с симметричным потенциалом было проведено недавно (см. статью [х] А.Г.Аленицына). По этой причине в диссертации рассматривается указанный В.Ф.Лазуткиным и Д.Я.Терманом допускающий разделение переменных вариант задачи об экспоненциально малом расщеплении собственных значений оператора Лапласа для колебаний, сосредоточенных внутри эллипса (см. рис.5). Этот пример подтверждает возможность существования в областях определенной конфигурации физического механизма, обуславливающего эффекты, связанные с просачиванием энергии через образующиеся "барьерные" зоны.

Предлагаемые в диссертации приемы позволяют исследовать также резонаторы, на зеркалах которых поставлены условия Неймана или импедансные граничные условия, они могут оказаться полезными и в других вопросах.

Прежде, чем переходить к обзору содержания основной части работы, автор хочет выразить глубокую благодарность своему научному руководителю В.Ф.Лазуткину за руководство и постоянное внимание к работе на всех этапах, через которые она проходила. Автор обязан В.Ф.Лазуткину также многими улучшениями и упрощениями в изложении. В первоначальном изложении материал диссертации был очень труден для чтения.

Автор благодарен В.С.Булдыреву и С.Ю.Славянову за ценные советы и консультации. Автор благодарит всех участников дифракционного семинара ЛОМИ за проявленный интерес к данной тематике и обсуждения.

Основной текст диссертации состоит из четырех глав. В первой главе, носящей вспомогательный характер, рассматривается вопрос о построении асимптотических разложений для решений уравнения Гельмгольца в двумерных областях со слабо изогнутыми границами, на которых поставлены условия Дирихле. Пусть граница области состоит из плоского зеркала Г} и зеркала П? , мало отличающегося от плоского, параллельного зеркалу Г? (см. рис. на стр. 8 ), так что между ними в области , ограниченной каустиками, возможны устойчивые колебания типа "прыгающего мячика". Если область достаточно широка по сравнению с длиной волны, то во внутренних точках области од0 квазиклассическое решение уравнения Гельмгольца мы ищем в виде чг^-7 г .г™)-,

4 = с™, ех/э{ ¿КБ } (о.б) т=4 , (т) А(т) . где (-ю - постоянные, ь = о - неизвестные функции, разлагающиеся в асимптотические ряды по степеням ЦК) :

Щ ,Ст)

Функции Ьп, - вещественны, о0 удовлетворяет уравнению эйконала (= I. В окрестностях каустик выражение для I// содержит функции Эйри: ^, СкФм ¿ь

Здесь Ат - постоянные,^™ и У/т - искомые функции, разлагающиеся в асимптотические ряды по степеням (ЧК) , С А/] означает целую часть числа А^ , - линейно-независимые решения уравнения Эйри Если предположить, что решение уравнения Гельмгольца за пределами области

I (гг\-)

Яэо по-прежнему выражается формулой (0.6), то функции Ьп Э^с , т= I,

2,3,4. В случае, если область ^о или какая-либо из образующихся барьерных зон узкая по сравнению с длиной волны, то решение уравнения Гельмгольца в такой области мы представляем в виде комбинации функций параболического цилиндра, аналогичном (0.8). Подставляя указанные выражения в уравнение Гельмгольца и граничные условия на зеркалах Г) и Пг, , получаем набор рекуррентных краевых задач для определения коэффициентов искомых асимптотических рядов. Используя то, что исходная задача содержит малый параметр £ , характеризующий отклонение зеркала 'г от плоского, параллельного зеркалу

П , мы получаем формальное решение в виде рядов по степеням £ . При удовлетворении граничным условиям на Г^ и возникает первое условие квантования. После построения в разных областях асимптотических формул для решений уравнения Гельмгольца стандартным образом осуществляется сшивание, из требования совпадения различных асимптотик для одного и того же решения уравнения Гельмгольца на границах областей - в окрестности разделяющих их каустик. При этом используются асимптотические формулы для функций Эйри и функций параболического цилиндра, учитывающие сохранение потока энергии при переходе точки поворота.

С использованием разработанной методики во второй главе получены асимптотические формулы, характеризующие потери энергии на излучение из открытого резонатора, образованного цилиндрическими слабо изогнутыми зеркалами. Условия излучения и условия сшивания асимптотических формул на каустиках приводят ко второму условию квантования. Вместе с первым условием квантования мы получаем систему уравнений, из которой определяются квазисобственные числа К= К1 + 1К1 . рассмотрены три случая, связанные с шириной той или иной зоны света и тени, образующейся в исследуемом открытом резонаторе (см. §9).

Третья глава посвящена выводу асимптотических формул для расщепления собственных значений оператора Лапласа в ограниченной двумерной области, при условии возникновения в ней собственных колебаний с неперекрывающимися зонами осцилля-ций, имеющих в квазиклассическом приближении двукратные собственные числа. Расщепление оказывается экспоненциально малым, если теневая барьерная зона, разделяющая области осцилляции, достаточно широка по сравнению с длиной волны (§16).

В четвертой главе рассмотрен вопрос о построении асимптотических разложений, для собственных функций и собственных значений задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в случае открытого резонатора, образованного в осесимметричными слабо изогнутыми зеркалами. При больших значениях волнового числа К и малых в исследованы сосредоточенные в полости между зеркалами собственные колебания резонатора, обладающие осевой симметрией, и в указанном приближении на формальном уровне строгости найдены асимптотические формулы для мнимых поправок к собственным частотам, отвечающим за излучение энергии в пространство. Отличительной особенностью рассматриваемого случая является то, что в окрестности оси симметрии резонатора решение выражается через функции Бесселя (см.§21), в остальном различия между схемой вычислений в гл.П и 1У носят технический характер.

В диссертации применена сквозная нумерация параграфов. Формулы помечаются номером соответствующего параграфа и порядковым номером внутри параграфа.

Материал диссертации опубликован в работах [39-41, 63-65^.

Результаты диссертации докладывались на семинарах по общей физике, квантовой.механике и математической физике в ЛГУ им.А.А.Панова, на общегородском семинаре по дифракции и распространению волн в ЛОМИ АН СССР им.В.А.Стеклова. Работа £зэ] докладывалась на совместном заседании семинара им.И.Г.Петров-ского и Московского математического общества, работа [40] -на X Всесоюзной акустической конференции в Москве.

Заключение

В диссертации разработаны методы, пригодные для детального исследования высокочастотных колебаний в резонаторах, образованных цилиндрическими и осесимметричными слабо изогнутыми зеркалами. Получены явные асимптотические формулы, характеризующие потери на излучение из открытых резонаторов указанных типов, а также формулы для расщепления собственных значений замкнутого резонатора, в котором существуют два взаимодействующих друг с другом колебания с неперекрывающимися зонами осцилляции и совпадающими в квазиклассическом приближении частотами. Предлагаемые в работе приемы позволяют исследовать ряд других аналогичных вопросов теории резонаторов, они могут быть полезными при разработке эффективных вычислительных методов для расчетов резонаторов, применяемых в лазерной технике и технике СШ.

1. Аленицын А.Г. Расщепление спектра, порожденное потенциальным барьером, в задачах с симметричным потенциалом. -Дифф. уравн., 1982, т.18, H1. с.1971-1975.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- М., 1974. 432 с.

3. Бабич В.М. Об аналитическом продолжении резольвенты внешних задач для оператора Лапласа на второй лист. В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения.

4. Вып.З. Харьков, 1966, с.151-157.

5. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М., 1972. - 456 с.

6. Бабич В.М., Улин В.В. Комплексный пространственно-лучевой метод и "квазифотоны". Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1981, т.117, с.5-И.

7. Базь А.И. Некоторые вопросы теории квазистационарных состояний. Прилож. IX в кн.: Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т.2. М.: ЙЛ, 1961.

8. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов A.M. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. -М., 1966.

9. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.П.- М., 1974. 295 с.

10. Боровиков В.А. Поля в сужающихся многомодовых волноводах и собственные функции открытых резонаторов. Препринт ИПМ, 1978, М07, 31 с.

11. Боровиков В.А., Попов A.B. Асимптотическая теория плавно-нерегулярных волноводов. В кн.: Прямые и обратные задачи теории дифракции. - М., 1979. - 157 с.

12. Булдырев B.C., Фрадкин Э.Е. Интегральные уравнения открытых резонаторов. Опт. и спектр., 1964, т.17, М,с.583-596.

13. Булдырев B.C., Славянов С.Ю. Равномерные асимптотические формулы для решений уравнений типа Шредингера с двумя точками перехода. Вестник ЛГУ, 1968, т.22, М, с.70-84.

14. Булдырев B.C., Неделин A.A. Равномерные асимптотические формулы для функций параболического цилиндра на комплексной плоскости значка. В кн.: Вопр. динам, теор. распр. сейсм. волн, 1974, т.14, с.61-83.

15. Булдырев B.C., Григорьева Н.С. Равномерное дисперсионное уравнение в многоканальной задаче. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1981, т.104, с.33-48.

16. Булдырев B.C., Славянов С.Ю. Регуляризация фазовых интегралов вблизи вершины барьера. Проблемы матем. физики, 1982, НО, с.50-70.

17. Буслаев B.C. Дополнение к статье В.М.Бабича "Об аналитическом продолжении резольвенты внешних задач для оператора Лапласа на второй лист". В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып.З. - Харьков, 1966, с.155-156.

18. Быков В.П. Геометрическая оптика трехмерных колебаний в открытых резонаторах. В кн.: Электроника больших мощностей, 1965, вып.4, с.66.

19. Быков В.П. Лучевая теория открытых резонаторов и открытыхволноводов, колебания в которых ограничены каустическими поверхностями. Радиотехника и электроника, 1966, т.II, с.477-487.

20. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум B.S. Основы теории дифракции.- М., 1982. 272 с.

21. Базов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1968.

22. Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые волноводы.- М., 1966. 476 с.

23. Ватсон Дж. Н. Теория бесселевых функций. T.I. М.: М, 1949.

24. Вей- и Д.Ван, Дешамп Дж. Использование комплексных лучей в задачах рассеяния. ТНИЭР, 1974, т.62, MI, с.150.

25. Войтович H.H., Каценеленбаум В.З., Сивов А.Н. К теории рассеяния на квазистационарном уровне. Препринт Ш8(143), ИРЭ АН СССР, 1973.

26. Гольдман И.М., Кривченков В.Д. Сборник задач по квантовой механике. М., 1957.

27. Дородницын A.A. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. УМН, 1952, т.7, йб, с.3-96.

28. Дубровский Г.В. Квазиклассическое приближение для фаз рассеяния. Опт. и спектр., 1964, т.117, №5, с.771-775.

29. Евграфов М.А., Федорюк М.В. Асимптотика решений уравненияпри л сю в комплексной плоскости ¿Г .- УМН, 1966, т.21, И, с.3-50.

30. Завадский В.Ю. Вычисление волновых полей в открытых областях и волноводах. М.: Наука, 1972.

31. Ищенко Е.Ф. Открытые оптические резонаторы. М.: Сов. радио, 1980. - 208 с.

32. Кравцов Ю.А. Модификация метода геометрической оптики для волн, просачивающихся через каустику. Изв. ВУЗов, сер. радиофизика, 1965, т.8, М, с.659-667.

33. Кравцов Ю.А. Комплексные лучи и комплексные каустики. -Изв. ВУЗов, сер. радиофизика, 1967, т.10, №9,10, с.1283-1304.

34. Кравцов Ю.А., Орлов ИДО. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980. - 304 с.

35. Лазута A.B., Славянов С.Ю., Тампель И.Б. О распространении волн в двух связанных волноводах с излучением. В кн.: Труды У Всесоюзн. симп. по дифракции и распространению волн. - I., 1971, с.125-133.

36. Лазуткин В.Ф. Построение асимптотического ряда для собственных функций, типа "прыгающего мячика" Тр. МИАН, 1968, т.95, с.106-118.

37. Лазуткин В.Ф. Спектральное вырождение и малые знаменатели в асимптотике собственных функций типа "прыгающего мячика". Вестник ЛГУ, 1969, с.23-34.

38. Лазуткин В.Ф., Терман Д.Я. О количестве квазимод типа "прыгающего мячика". Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1983, т.128, с.152-157.

39. Лазуткин В.Ф. Дифракционные потери в открытых резонаторах. Геометрический подход. ДАН СССР, 1981, т.285, №5, с.1089-1092.

40. Лазуткин В.Ф., Табанов М.Б. Асимптотика нефизических собственных функций оператора Лапласа в области, близкой к полосе. УМН, 1983, т.38, в.5, с. 163-164.

41. Лазуткин В.Ф., Табаков М.Б. Излучение из открытого резонатора, образованного цилиндрическими слабо изогнутыми зеркалами. В кн.: X Всесоюзная акустическая конференция, секция А. - М., 1983, с.13-16.

42. Лазуткин В.Ф., Табаков М.Б. Асимптотические формулы для потерь на излучение из открытого резонатора, образованного цилиндрическими слабо изогнутыми зеркалами. I. Деп. ВИНИТИ 11.07.83, В 3828-83. - 58 с.

43. Лаке П.Д., Филлипс P.C. Теория рассеяния. М.: Мир, 1971. - 312 с.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974. - 752 с.

45. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. -М.-Л.: ФМ, 1963.

46. Макаров Г.И. Построение решений эталонных уравнений ионосферных слоев. В кн.: Проблемы дифракции и распространения волн, вып.1. - Л.: Изд. ЛГУ, 1962, с.5-23.

47. Маслов В.П. Задача рассеяния в квазиклассическом приближении. ДАН СССР, 1963, т.151, J12, с.306.

48. Маслов В.П. Асимптотика собственных значений уравнения Шредингера. УМН, 1965, т.20, Н, с.199-201.

49. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. -М.: Изд. МГУ, 1965. 485 с.

50. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976.

51. Молотков И.А., Старков A.C. Локальное резонансное взаимодействие нормальных волн в связанных волноводах. Проблемы математ. физики, 1982, МО, с. 164-176.

52. Никитин Е.Е., Уманский С.Я. Неадиабатические переходы при медленных атомных столкновениях. М. : Наука, 1979. -272 с.

53. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Мир, 1978.

54. Осмоловский В.Г. Об асимптотике собственных колебаний эллиптической мембраны. ЖВММФ, 1974, т.14, $2, с.365-378.

55. Петрас C.B. О расщеплении серий резонансов при неограниченном росте барьера "ловушечного" типа. Проблемы матем. физики, 1976, вып.8, с.138-155.

56. Петрашень М.И. О полуклассических методах решения волнового уравнения. Уч. зап. ЛГУ, 1949, т.120, 1Г?7, с.59-78.

57. Петрашень Г.И., Смирнова Н.С., РЯакаров Г.И. Об асимптотических представлениях цилиндрических функций. Уч. зап. ЖУ, 1953, H70, с.7-95.

58. Попов М.М. Дифракционные потери конфокального резонатора с зеркалами произвольной формы. ДА.Н СССР, 1974, т.219, М.

59. Попов М.М., Попова Т.М. О дифракционных потерях открытых резонаторов. Опт. и спектр., 1975, т.39, В4, с.719-723; №, с.II57-1159.

60. Славянов С.Ю. Асимптотика некоторых сингулярных задач Штурма-Лиувилля по большому параметру в случае близких точек перехода. Дифф. уравн., 1969, т.5, №2, с.313-325.

61. Славянов С.Ю. К теории открытых резонаторов. ЖЭТФ, 1973,т.64, вып.З, с.785-795.

62. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.З, ч.П. М., 1974.

63. Справочник по специальным функциям. М., 1979.

64. Табанов М.Б. Асимптотические разложения для решений уравнений типа Шредингера с четырьмя точками поворота при наличии излучения. Деп. ВИНИТИ 13.01.83, $ 241-83. - 23 с.

65. Табанов М.Б. Излучение из открытого резонатора, образованного осесимметричными слабо изогнутыми зеркалами. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1983, т.128, с.158-165.

66. Табанов М.Б. Асимптотические формулы для величины экспоненциально малого расщепления собственных значений, оператора Лапласа, отвечающих двум собственным колебаниям типа "прыгающего мячика". Деп. ВИНИТИ, №

67. Федорюк М.В. Асимптотика дискретного спектра оператора-кгр(Ъ)(М~(ЭС) . Матем. сб., 1965, т.68, Ж, с.81 1. НО.

68. Федорюк М.В. Одномерная задача о рассеянии в квазиклассическом приближении. I. Дифф. уравн., 1965, т.1, В5,с.631-646; П. 1965, т.1, М1, с.1525-1536.

69. Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории одномерных сингулярных дифференциальных операторов. Тр. Московского математического общества, 1966, М5, с.296-345.

70. Федорюк М.В. Аналитические свойства амплитуды рассеяния в одномерном случае. I. Дифф. уравн., 1968, т.4, МО,с.1842-1853; П. 1969, т.5, №3, с.507-517.

71. Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Матем. сб., 1969, т.79, М, с.477-516.

72. Федорюк M.B. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. -352 с.

73. Фок В.А. Приближенная формула для дальности горизонта при наличии сверхрефракции. Радиотехника и электроника, 1956, т.1, JI5, с.560-574.

74. Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Наука, 1970. - 520 с.

75. Фреман Н., Фреман П.У. ВКБ-приближение. М.: Мир, 1967. -168 с.

76. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВЕБ). М.: Мир, 1965.

77. Черри Т.М. Равномерные асимптотические формулы для функции с точками поворота. Математика, 1965, т.9, М, с.67 -119.

78. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Мир, 1962.

79. Янсон З.А. Асимптотика решений уравнения Гельмгольца в области каустической тени. Зап. научн. семин. ЛОШ, 1983, т.128, с.172-185.чъ.Ъхикссгеы FiÓma,n У!, FtomanRO. The. Vod Function, bteaUd F-mcdux ¡oh,сиг integta-frrntbkod,

80. Л Phui. A Matk.Gm.1&y&, tW9,so. Fetzen, /.А ЕъамелсемА wo^et. 1 0fit, Sloe. Am^ 6€t B? W6t W- 460.8i. ГПсШ с. Qood A WKö-tyjoefrfipwumaiiofb to ihe ücßutoctingefc etyuxbtcon. Phyi.Re*., i953, W-4Y9.