Асимптотика спектра магнитных операторов Шредингера и представления нильпотентных алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

§ 1. Спектральные свойства операторов Шредингера.

§ 2. Элементы теории представлений нильпотентных алгебр Ли.

§ 3. Основные результаты и примеры

§3.1 Спектральная асимптотика операторов Шредингера в Я2 с полиномиальным магнитным полем.

§3.2 Примеры к теореме 3.1.

§3.3 Некоторые обощения теоремы 3.1. Существенное множество вырождений магнитного поля - кривая.

§ 3.4 Спектральные свойства операторов Шредингера в Я".

§3.2 Примеры к теореме 3.6.

Часть I. Асимптотический анализ в окрестности множества вырождений магнитного потенциала

§ 4. Анализ вклада в асимтотику окрестности множества вырождения.

§ 5. Доказательство теоремы 4.2.

§ 6. Случай нескольких множеств вырождений.

§ 7. Асимптотика одного вида функций.

Часть II. Доказательство теоремы 3.

§ 8. Доказательство теоремы 3.1(6).

§ 9. Доказательство теоремы 3.1 (а).

Часть III. Доказательство теоремы 3.3-3.

§ 10. Доказательство теоремы 3.3.

§11. Доказательство теоремы 3.5.

§12. Доказательство теоремы 3.6.

1. Бирман М.Ш., Соломяк М.З., Асимтотика спектра дифференциальных уравнений. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Мат. анализ, т. 141977

2. Бойматов К.Х., Асимптотика спектра оператора Шредингера. //Дифференц. уравнения. 10, №11(1974), 1939-1941.

3. Глазман И.М., Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз, 1963.-340 с.

4. Иврий В.Я., Оценка для числа собственных значений оператора Шредингера с сильным магнитным полем. //Докл. АН СССР. 297(5)-1987.- 1043-1046.

5. Иврий В.Я., Об асимтотике дискретного спектра для некоторых операторов в Rn. Функ. анал. и его прил. 19(1)-1985, 73-74

6. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. М. : "Наука", 1978.9 . Кириллов A.A. Унитарные представления нильпотентных групп Ли // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып.4. С.53-104.

7. Костюченко А.Г., Распределение собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов. Докл. АН СССР.-168, №1(1966), 21-24 .

8. Костюченко А.Г. , Асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженных эллиптических операторов.Четвертая математическая школа . Киев: Наукова думка . 1968

9. Левендорский С.З. , Обобщения формулы Вейля для вырождающихся операторов. Докл. Акад. Наук СССР. 293 (1987) , по. 6, 1297-1301.

10. Левендорский С. 3. , Теория Флоке для оператора Шредингера с возмущенным периодическим потенциалом и точная спектральная асимптотика. Доклады РАН. 1997, Т. 355, №1.

11. Левендорский С.З., Неклассические спектральные асимптотики. УМН, 43, №1(1988), 123-157

12. Левендорский С.З. , Метод приближенного спектрального проектора, как общий метод проверки классической формулы спектральных асимптотик. Докл. Акад. Наук СССР. 271 (1983), №2, 287-291.

13. Левендорский С.З., Асимптотическое распределение собственных значений// Изв. Акад. Наук СССР. Сер. Мат.- 46 (1982) , №. 4, 810852.

14. Розенблюм Г. В. , СоломякМ.З., Шубин М.А., "Спектральная теория дифференциальных операторов. Современные проблемы математики (Итоги Науки и Техники ВИНИТИ) ", т. 64, Москва: ВИНИТИ, 198 9

15. Розенблюм Г.В., Асимптотика собственных чисел оператора Шредингера. Мат. сб. 93, №3(1974), 346-367.

16. Соломяк М.З., Асимтотика спектра оператора Шредингера с нерегулярным однородным потенциалом. Мат.Сборник СССР, 55(1), 19-37(1986)

17. Туловский В.Н. , Шубин М.А., Об асимтотическом распределении собственных значений псевдодифференциальных операторов в К". Мат. сб.93 (4)-1973, 571-588.

18. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М. : Изд-воМоск. ун-та, 1988.

19. Хелгасон С. Дифферециальная геометрия и симметрические пространства.-М. : Мир, 1964.

20. Хуанг К. . Кварки, лептоны и калибровочные поля. Мир, М. (1985)

21. Чучаев И. И. , Маргулис В . А. , Шорохов А. В. , Холодкова С. Е. , Магнитный момент квантового цилиндра . //ФТТ, 41(5)-1999.

22. Шалаев Б.Н., Предел больших N в статистической физике и одноча-стичное уравнение Шредингера. //ФТТ, 43(1)-2001.2 6. Apenko S.M.// J.Phys. A: Math. Gen. 31,7, 1553(1998)

23. Avakumovic V.G. , Ùber die Eigenfunktionen auf geschlossenen Riemannischen Manigfaltigkeiten.// Math. Z. 65(4), 1956, 327344.

24. Avron J.E., Pnueli A, Landau Hamiltonian on Symmetric Spaces. Ideas and Methods in Mathematical analysis,stohastic, and applications. Vol. II. Cambridge University Press, (1992)

25. Avron J.E., Seiler R., Simon В., Charge deficiency, charge transport and comparison dimensions. Preprint. 2000.

26. Avron J., Herbst I., Simon В., Schrôdinger operators with magnetic fields. I. General interactions. //Duke Math. J. 45 (1978) , 847-883

27. Berard P.H. , Spectral geometry: direct and inverse problems. // Lect. Notes Math.-1986.-1207.1-272.

28. Boyarchenko, S. I.; Levendorskii, S. Z. Precise spectral asymptotics for perturbed magnetic Schrôdinger operator. //J. Math. Pures Appl. (9) 76 (1997), no. 3, 211-236.

29. Buser P. , Isospectral Riemannian surfaces. Ann. Inst. Fourier.- 1986.-36,№2.-167-192

30. Carleman T., Propriétés asymptotiques des fonctions fondamentales des membranes vibrantes, C.R. 8'eme Cong, des Scand. Stockholm, 1934, Lund. 1935, 34-44.

31. Colin de Verdiere Y. , L 1 asymptotique de Weyl pour les bouteilles magnetiques, Comm. Math. Phys. 105 (1986), 327-335

32. Cornean H.D., Nenciu G., On eigenfunctions decay for two dimensional magnetic Schrodinger operators .-Preprint. 1997

33. Cycon H.L., Froese R.G. , Kirsch W. , Simon B"Schrodinger operators with applications to quantum mechanics and global geometry", Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, London, Paris, Tokyo, 1985

34. DufresnoyA. Duke Math. J. 50(1983), 729-734

35. Erdos L., Gaussian decay of the magnetic eigenfunctions. Preprint. Vienna. E.S.I 184(1994)

36. Evans W. D., BalinskyA., Lewis R.T., On the Schrodinger operator m R2 with Aharonov-Bohm magnetic field, preprint. 2001

37. Evans W. D., BalinskyA., Lewis R.T., On the number of negative eigenvalues of Schrodinger operators with an Aharonov-Bohm magnetic field. Preprint. 2001.

38. Gelfand I.M. , Automorphic functions and theory of representations. Proc. of Stockholm Math. Congress. 1962. -Stockholm, 1963,74-85

39. Gordon C.S., Wilson E.N., Isospectral deformation of compact solvmanifold. J.Differ. Geom.-1984.-19,№1.-85-131.

40. Gurarie D. , Non-classical eigenvalue asymptotics for operators of Schrodinger type. Bull.Am.Math.Soc.15(2) , 2 33-237(1986)

41. Helffer B., Mohamed A., Caracterization du spectre essentiel de l'operateur de Schrodinger avec une champ magnetique, Ann. Inst. Fourier, Grenoble. 38(2) (1988), 95(112

42. Helffer B., On spectral theory for Schrodinger operators with magnetic potentials. Advanced Studies in Pure Mathematics. 23(1994), 113-141

43. Hempel, R. Levendorskii S.Z. On eigenvalues in gaps for perturbed magnetic Schrodinger operators.// J. Math. Phys. 39 (1998), no. 1, 63-78.

44. Hormander L., "The analysis of differential operators. 3", Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 1985

45. Hunziker W. , Schrodinger operators with electric or magnetic fields. Lecture notes in Phisics, 116, Spriger-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York, 1979.

46. Ivrii V. , Precise spectral asymptotics for elliptic operators . Lect. Notes Math.-1984.-1100.-1-238.

47. Iwatsuka A., The essential spectrum of two-dimensional Schodinger operators with perturbed magnetic fields. J. Math. Kyoto Univ. 23(1983), 475-480.

48. Iwatsuka A., Magnetic Schrodinger operators with compact resolvent. Preprint Kyoto Univ. (1985)

49. Joint R. , Prange R. , Conditions for quantum Hall effect. Phys. Rev. B 29, 3303 (1984)54 . Kac M. , Can one hear the shape of a drum? Amer.Math.Monthly. 73, №4 (1966), 1-23.

50. Laughlin R.G., Elementary theory: The incompressible quantum fluid; in: The Quantum Hall effect, R.E.Prange, S.M.Girvin, Eds. , Springer (1987)

51. Leinfeider C. , SimaderC.G., Schrodinger operatos with singular magnetic vector potentials . Math. Z. 17 6 (1981) , 1-19 .

52. Levendorskii S.Z., "Asymptotic distribution of eigenvalues of differential operators", Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1990

53. Levendorskii, S.Z. Degenerate elliptic equations. Mathematics and its Applications, 258. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993. 431 pp

54. Levendorskii, S. Z. Asymptotic formulae with remainder estimates for eigenvalue branches of the Schrodinger operatorH \W in a gap of H. Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999) , no. 3, 857-899.

55. Levendorskii, S. Z. Spectral properties of Schrôdinger operators with irregular magnetic potentials, for a spin | particle. J. Math. Anal. Appl. 216 (1997), no. 1, 48-68

56. Levendorskii, S. Z. The approximate spectral pro j ection method. Acta Appl. Math. 7 (1986), no. 2, 137-197.

57. Levendorskii, S. Z. Spectral asymptotics with a remainder estimate for Schrôdinger operators with slowly growing potentials. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 126 (1996), no. 4, 829-836.

58. Levendorskii, S. Z. Nonclassical spectral asymptotics in the case of degeneration that is not in a power form, in Differential Equations 24 (1988), no. 6, 677-682

59. Levitan B.M., On the eigenfunctions expansion for Laplace operator. Math. Trans. 35(2).-1954, 267-316.

60. Levy-Bruhl P., Mohamed A. , Nourrigat J., Spectral theory and representation of nilpotent groups. Bull. Amer. Math. Soc. 26(2), 299-303 (1992)

61. Malits P. and Vagner I. D. "Electron on an Arbitrary Sufrace of Revolution in a Magnetic Field". J. Phys. A: Math. Gen. 32, 1507 (1999).

62. Mohamed, A, Raikov, G.D. : On the spectral theory of the Schrôdinger operator with electromagnetic potential.1.: Advances in Partial Differential Equations. Pseudodifferential operators and Mathematical Physics, Academie Verlag: Berlin, 298-390 (1994)

63. Mustafa, 0. and Barakat, T., Nonrelativistic Shifted-1 expansion Technique for Three- and two-Dimensional Schrodinger Equation". Commun. Theor. Phys., (28)257, 1997.

64. NakamuraS., Bellisard J., Low energy bands do not contribute to Quantum Hall effect. Commun. Math.Phys. 131(1990), 283-305

65. Nencie G. , Dynamics of band electrons in electric and magnetic fields: rigorous justification of the effective hamiltonians. Rev. Mod. Phys. 63(1991), 91-128

66. Osawa T., Vanishing theorems on complete Kahler manifolds, Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 20(1984),21-38.

67. Perelomov A. Generalized coherent states and their applications. Texts Monographs Phys. Springer, 1981.

68. Pershin Yu.V., Vagner I.D., Wyder P. "Indirect hyperfine interaction between nuclear spins embedded into a mesoscopic ring" High-Mag Theory Journal. Condensed Matter (2000)

69. Raikov, G.D.: Strong-electric-field eigenvalue asymptotics for the perturbed magnetic Schrodinger operator. Commun. Math. Phys., 155 , No 2, 415-428 (1993)

70. ReedM. , Simon B., Method of modern mathematical phisics . I-IV. New York: Academic Press. 1972-1979.

71. Robert D. , Comportement asymptotique des valeurs propers d' operateurs de type Schrodinger a potentiel degenere. J.Math. Pures Appl. 61, 275-300 (1982)

72. Shigekawa I. , Eigenvalues problems for the Schrodinger operators on a compact Riemannian manifold, J. Funct. Anal. 75 (1987), 92-127.

73. Simon B . , Non-classical eigenvalue asymptotics, J. Funct. Anal. 53 (1) (1983), 84-98

74. Tamura H., Asymptotic distribution of eigenvalues for Schrödinger operators with magnetic fields, Nagoya Math. J. 105 (1987) , 49-69

75. Titchmarsh E. , Eigenfunction expansions associated with second order differential equations-Oxford: Oxford Univ. Press, 1946.

76. Wett J., Mandl F., On the asymptotic distribution of eigenvalues. Proc. Roy. Soc. A200(1950), 572-580.

77. Weyl H. , Das asymptotische Verteilugsgesettz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen. Math. Ann. 71, 441-479.

78. Weyl H., Über die Abhängigkeit der Eigenschwingungen einer Membran von der Begrenzung. J. Reine Anew. Math. 141, 1-11

79. Zak J., Magnetic translation group. Phys. Rev. 134, A1602-1607 (1964)Список работ по теме диссертации

80. Кудрявцев O.E. Спектральные асимптотики для магнитных операторов Шредингера.//Материалы XXXV МНСК "Студент и научно-технический прогресс" : Математика./Новосибирск, 1997.

81. Кудрявцев O.E. Спектральные асимптотики магнитных операторов Шредингера и нильпотентные алгебры ЛИ.//Материалы XXXIX МНСК "Студент и научно-технический прогресс": Математика . /Новосибирск, 2001.

82. Кудрявцев O.E. // Спектральные асимптотики магнитных операторов Шредингера // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Вып. 4. Межвуз. сб. научн. тр. /ДГТУ.- Ростов н/Д.-1999. С.55-58.

83. Кудрявцев O.E. Асимптотика спектра магнитных операторов Шредингера и нильпотентные алгебры ЛИ // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения. Вып. 5. Межвуз. сб. научн. тр. /ДГТУ.-Ростов н/Д.- 2000.бс. в печати.

84. Кудрявцев O.E. Спектральные свойства операторов Шредингера с полиномиальным магнитными полем определенного вида . // Деп . ВИНИТИ 2001. 33с.

85. Кудрявцев O.E. Спектральные асимптотики для магнитных операторов Шредингера и представления нильпотентных групп Ли. // Деп. ВИНИТИ 2001. 33с.

86. Кудрявцев О. Е . Спектральные асимптотики для операторов Шредингера с магнитными и электрическими потенциалами. // Деп. ВИНИТИ 2001. 22с.

87. Кудрявцев О. Е. Спектральные асимптотики для магнитных операторов Шредингера и нильпотентные алгебры Ли. 7с. принята к печати в "Доклады РАН".