Атомистические механизмы и кинетика разрушения конденсированного состояния при высокоскоростном деформировании тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

□□34876Б1

На правах рукописи УДК 538.9+539.4

Куксин Алексей Юрьевич

Атомистические механизмы и кинетика разрушения конденсированного состояния при высокоскоростном деформировании

Специальность 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о ЛЕН 2009

Долгопрудный 2009

003487661

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» на кафедре физики высокотемпературных процессов (Базовый институт Объединенный институт высоких температур РАН)

Защита состоится 23 декабря 2009 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.06 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 117393, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 84/32, корпус В-2.

Отзывы направлять по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской обл., Институтский переулок, д. 9., МФТИ, Диссертационный совет Д 212.156.06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан 20 ноября 2009 г.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, зав. отд., профессор Норман Генри Эдгэрович (Объединенный институт высоких температур РАН)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Звягин Александр Васильевич (МГУ им. М.В. Ломоносова)

доктор физико-математических наук, в.н.с. Иногамов Наиль Алимович

(Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН)

Ведущая организация:

Лаборатория теоретической физики им. H.H. Боголюбова

Объединенного института ядерных исследований

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук

Н.П. Чубинский

1 Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке теоретического описания кинетики и механизмов разрушения конденсированных сред в области отрицательных давлений. На основе расчетов методом молекулярной динамики (МД) исследованы метастабильные состояния, достижимые при высокоскоростном растяжении, скорости их распада. Изучены стохастические свойства МД, существенные для расчета кинетических характеристик релаксационных процессов.

Актуальность работы. Процессы разрушения материалов под действием импульсных нагрузок имеют большое значение при создании ударостойких материалов и покрытий, их эксплуатации, развитии технологий обработки материалов с применением импульсных лазеров, пучков частиц, взрыва и др. Современные экспериментальные методы (воздействие лазерных пучков большой интенсивности на вещество, ударно-волновые эксперименты, субмик-росекундные электровзрывы проволочек [1-3]) дают возможность реализовать очень мощный энерговклад в вещество за короткое время. В результате достигаются метастабильные состояния конденсированных веществ. Такое развитие техники ставит задачи исследования вида фазовой диаграммы в областях сильно метастабильных состояний, кинетики их распада.

Экспериментальные методы диагностики [1] постоянно совершенствуются, но на сегодняшний день прямые данные о механизмах и скорости разрушения в субмикросекундном диапазоне немногочисленны. Поэтому широко используются различные теоретические подходы и методы моделирования [4—9], в том числе метод МД, заключающийся в численном интегрировании уравнений движения для системы атомных частиц. Применительно к проблемам разрушения конденсированных сред метод МД предоставляет возможность изучить механизмы и скорости элементарных актов разрушения при высокоскоростном растяжении в различных областях фазовой диаграммы. Важным является вопрос о вкладе дефектов кристаллической решетки в кинетику разрушения, величину прочности на разрыв при различных скоростях деформирования и температурах. Интерес представляет оценка влияния плавления на сопротивление разрушению и прочность.

Применение метода МД к исследованию релаксационных процессов существенно менее развито в сравнении с методиками расчета свойств равновесных состояний. В частности, недостаточно изученным вопросом теории метода МД является соотношение динамических и стохастических свойств. Это ставит задачу исследования предсказательных возможностей МД для расчета кинетических характеристик релаксационных процессов.

Цель работы. 1) Разработка метода расчета кинетических характеристик элементарных актов разрушения из данных МД моделирования и расчета на их основе кинетики разрушения. Исследование применимости метода МД для расчета кинетических характеристик, в частности, анализ влияния стохастических сил на скорость забывания начальных условий в динамической системе и частоту зарождения новой фазы.

2) Изучение фазовой диаграммы в области метастабильных кристаллической и жидкой фаз при отрицательных давлениях. Исследование возможности перегрева твердого тела в волнах разрежения в ударно-волновых экспериментах.

3) Определение механизмов разрушения кристаллов при высокоскоростном растяжении в различных областях фазовой диаграммы. Изучение влияния дефектов решетки и плавления на кинетику разрушения и откольную прочность.

4) Создание кинетической модели разрушения монокристаллических металлов в условиях высокоскоростного деформирования; расчет частоты нуклеации полостей, скорости роста полостей. Сравнение полученных данных с имеющимися теоретическими подходами для описания кинетики фазовых переходов и разрушения.

Научная новизна работы. Проанализировано расположение границ устойчивости кристаллической и жидкой фаз относительно кривой равновесного плавления для системы с потенциалом Леннарда-Джонса и алюминия А1. Изучено влияние характера распада

достижимых метастабильных состояний на динамическую прочность кристаллов.

Описан новый механизм роста полостей в перегретых монокристаллах при высокоскоростном деформировании: расплавление вещества около пор, стыков дефектов упаковки, вязкостный рост в образовавшемся расплаве. Данный механизм вместе с ростом за счет испускания дислокационных петель может обеспечивать большие скорости роста, имеющие место в откольных явлениях. Определены критические напряжения и скорости роста полостей в зависимости от их размера и температуры.

Предложен подход, позволяющий создать кинетическую модель разрушения на основе результатов расчетов методом МД частоты зарождения и скорости роста полостей. Построена модель разрушения монокристаллического алюминия и предложен вариант включения модели в расчеты в рамках механики сплошной среды.

Изучено влияние дефектов кристалла и плавления: 1) динамическую прочность монокристаллического А1 можно объяснить в рамках гомогенной нуклеации лишь при высоких температурах [Т ~ 0.7 Тт), при более низких Т требуется учет дефектов решетки; 2) наличие дислокационной подсистемы приводит к ослаблению зависимости скорости зарождения полостей от степени растяжения системы, и, соответственно, к сильной зависимости откольной прочности от скорости растяжения; 3) показана возможность перегрева монокристалла при наличии в нем дефектов (дислокационных петель, дефектов упаковки, пор); 4) для поликристалла наблюдается эффект предплавления, заключающийся в том, что при приближении к линии плавления межзеренные границы аморфизуются, а их свойства приближаются к жидкостным; 5) прочности на разрыв однородных кристалла и жидкости в А1 сопоставимы, скорость же роста полостей при тех же внешних условиях в жидкости больше, поэтому локальное плавление не всегда приводит к резкому падению прочности, но значительно активирует рост полостей и таким образом влияет на кинетику разрушения. Этим можно объяснить падение откольной прочности поликристаллических металлов с приближением к температуре плавления.

Выполнено исследование характера влияния случайных сил на скорость забывания начальных условий в динамической системе и кинетические характеристики фазовых превращений (частоту зарождения новой фазы и скорость фронта плавления).

Практическая ценность работы. Результаты диссертации могут быть использованы для оценки прочностных характеристик материалов при импульсных нагрузках, расчетов кинетики разрушения в области отрицательных давлений при рассмотрении практически важных задач механики (например, в рамках моделей сплошной среды). Данные о виде фазовой диаграммы, положении границ устойчивости метастабильных состояний могут быть использованы при построении уравнений состояния вещества.

Положения, выносимые на защиту.

1. Механизмы зарождения и роста полостей в гцк кристаллах, их взаимосвязь с особенностями расположения зоны плавления и границ устойчивости кристалла и жидкости.

2. Частота зарождения и скорость роста полостей, их зависимость от температуры и давления на примере растянутого монокристаллического А1.

3. Подход, позволяющий создать кинетическую модель разрушения на основе данных МД расчетов частоты гомогенной нуклеации и скорости роста полостей.

4. Выводы о возможности перегрева при высокоскоростном растяжении и влиянии плавления на разрушение поликристалла и монокристалла с дефектами.

5. Характер влияния случайных сил на кинетические характеристики фазовых превращений: частоту гомогенной нуклеации, скорость фронта плавления.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (2002-2008, МФТИ); "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" и "Уравнения состояния вещества" (п. Эльбрус, 2003-2009); "Nucleation Theory and Applications" (ОИЯИ, Дубна, 20052009); Joint U.S.-Russia Conference on Advances in Materials Science (Prague, 2009); "IUTAM Symposium on Dynamic Fracture and Fragmentation" (Austin, USA, 2009); International Conference on Multiscale Materials Modeling (MMM-2008, Tallahassee, USA, 2008); American Physical Society topical conference on Shock Compression of Condensed Matter (SCCM-2007, Hilo, USA, 2007); Sandia National Laboratories - Russian Academy of Sciences Program Review Meeting (Livermore, USA, 2006); "Advanced Problems of Mechanics" (Санкт-Петербург, 2007-2009); "Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения" (Томск, 2008); "Метастабильные состояния и флуктуационные явления" (Екатеринбург, 2005, 2007); International Workshop on Subsecond Thermopysics (Orlean, France, 2004); "Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем" (ИПМех РАН, Москва, 2007); "Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах" (Новый Афон, 2003, 2004, 2008).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ в реферируемых журналах, 15 работ в сборниках (список в конце автореферата) и тезисы российских и международных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения, на 102 страницах, включает 37 рисунков, библиографию из 116 наименований.

2 Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность, научная новизна и практическая значимость задач, решаемых в работе. Сформулированы цели работы и основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава носит обзорный характер. Кратко описываются доступные на сегодняшний день данные о свойствах вещества в области отрицательных давлений, проблемы, возникающие при их изучении. Изложены основные теоретические подходы к рассмотрению кинетики разрушения и описания веществ в метастабильных состояниях. Подробнее рассмотрены методы атомистического моделирования, используемые для изучения метастабильных состояний и явлений при их распаде.

Во второй главе описываются данные о фазовых диаграммах Леннард-Джонсовской системы и алюминия в области метастабильных состояний при отрицательных давлениях, полученные в работе. Описан метод определения положения границ устойчивости кристалла и жидкости из данных МД расчетов. Таким образом, оценивается идеальная прочность конденсированного вещества, определяющая верхнюю границу сопротивления разрушению.

Необходимое условие термодинамической устойчивости однородной изотропной системы относительно малых изменений термодинамических параметров: (др/др)т = 0. Линию на фазовой диаграмме, соответствующую потере внутренней стабильности вещества по этому условию, принято называть спинодалью. Анализ устойчивости однородного твердого тела, в общем случае анизотропного, включает большее число термодинамических переменных и приводит к условиям на модули упругости, например, для кубических кристаллов:

Вт = (Сц + 2Си +р)/3 >0, G' = (Си - Си - 2р)/2 >0.. G = 4(С44 -р)> 0.

Существует и другой вид термодинамической стабильности: по отношению к превращению в другую фазу вещества при заходе за линию равновесия фаз (бинодаль). Флуктуации, неиз-

бежно присутствующие в метастабильной системе, могут привести к появлению зародыша новой фазы и, если его размер превышает критический, к фазовому превращению. В таком случае вводится понятие кинетической границы устойчивости как предельного положения на фазовой диаграмме при стремлении времени жизни метастабильной фазы к нулю.

Расчет положения спинодалей в рамках МД модели проводится на основе расчета р — р зависимостей вдоль изотерм и их экстраполяции для определения точки, когда фаза становится абсолютно неустойчивой. Для каждого значения плотности р при заданной температуре Т рассчитывается МД траектория длиной ~ 10-Ю3 рэ. При высоких плотностях степень ме-тастабильности мала, и в системе за время расчета кавитации не происходит. Увеличение растяжения повышает уровень флуктуаций плотности, что приводит к появлению жизнеспособных полостей. Зародышеобразование сопровождается быстрым изменением температуры и давления. Таким образом, время жизни фазы г (для одного расчета) совпадает с длительностью стационарного участка МД траектории. Равновесные макроскопические величины (Т.р,е) метастабильной фазы определяются средними значениями на стационарном участке.

Положение кинетической границы устойчивости определяется на основе зависимости скорости (частоты) 3 = 1 /((т)N) гомогенной нуклеации от степени метастабильности. Метод расчета частоты нуклеации описан в главе 3. Положению кинетической границы соответствует максимально возможное значение скорости нуклеации Зтох ~ 1/(т„ьУсг), обусловленное возникновением зародыша новой фазы критического размера Усг за время т„й порядка периода тепловых колебаний атомов. Хотя предельно достижимая при МД моделировании частота гомогенной нуклеации Зми < Лпа*. тем не менее в данных расчетах предельная точка при расчете изотермы или изохоры (изохорический нагрев системы) дает хорошую оценку кинетической границы устойчивости.

Рис. 1: р - Т диаграмма системы. Границы устойчивости, рассчитанные в данной работе: 1 - жидкости, 2 - кристалла (по экстраполяции изотерм до минимума), 3 - кристалла (предельные точки при изохорическом нагреве). СУ и Тг - критическая и тройная точки. Кривые равновесия: АВ - кристалл-жидкость (по уравнению Симона), ТгСг - жидкость-пар.

(a) Спинодали по экстраполяции УРС из [10]: СгО - жидкости, - кристалла.

(b) Пунктир - аппроксимация границ устойчивости, полученных в данной работе: СгО' - жидкости, РС - кристалла. А - точка встречи линии равновесия кристалл-жидкость со спинода-лью жидкости.

Данные разных расчетов хорошо согласуются друг с другом в области низких температур как для кристаллической, так и жидкой фаз (рис. 1 для ЬЗ). Оценки границы устойчивости, нанесенные по пределу, достижимому на изохо-рах (точки 3), начинают расходиться с данными по экстраполяции производной к нулю (линия РС и точки 2) только для кристалла при положительных давлениях и больших температурах. В этой области минимум на изотермах не достигается, и граница устойчивости определяется кинетическим критерием. Физически это означает проявление неустойчивости кристалла по отношению к зарождению жидкой фазы. Дополнительным фактом, подтверждающим недостижимость спинодали в смысле (др/др)т = О, служит взаимное расположение и вид изохор и границы устойчивости. Известно, что спи-нодаль является одновременно огибающей системы изохор [4]. Такая ситуация имеет место лишь в области низких температур, где граница устойчивости кристалла практически совпадает с изохорой р = 0.85т/<73.

Накопленные данные свидетельствуют об обрыве линии равновесного плавления в низкотемпературном пределе. Но речь идет не об особенности типа критической точки, в которой совмещаются спинодали и линии равновесия фаз, а о достижении границы устойчивости одной из фаз в точке равновесия. Так для ЬЗ системы имеет место пересечение линии плавления и границы устойчивости жидкости (рис. 1, 2) при Т я; О.б«' (точка А на рис. 1). На продолжении линии равновесного плавления за эту точку кристаллу уже не с чем сосуществовать (рис. 2), понятие фазового равновесия утрачивает там свой смысл. При более низкой температуре метастабильность кристалла нужно понимать уже только относительно потери сплошности.

Этот сценарий поведения линии фазового равновесия при Т —> О обсуждался ранее для разных систем [11,12] и получил название спинодального распада зоны плавления [12]. Вид фазовой диаграммы А1 в области отрицательных давлений похож на вышеописанный. Но поскольку температуры критической и тройной точки различаются для А1 сильнее, то граница устойчивости жидкости может проходить при более низких давлениях (относительно границы устойчивости гцк кристалла). Разные потенциалы погруженного атома (ЕАМ), используемые в этой работе для А1 [13,14], дают несколько различающиеся оценки границы стабильности жидкой фазы, хотя хорошо согласуются для кристалла.

В главе 3 на примере ЬЗ и А1 проанализированы механизмы спонтанного зарождения полостей в монокристалле вблизи его границы стабильности и выявлены два сценария: зарождение полостей внутри самого кристалла и плавление с последующим образованием пустот в жидкой фазе. Рассчитываются соответствующие частоты нуклеации. Отмечена связь механизмов разрушения с особенностями расположения зоны плавления и границ устойчивости.

Рис. 2: Т — р диаграмма системы. Границы стабильности (эта работа): 1 - жидкости, 2 - кристалла (по экстраполяции изотерм до минимума), 3 - кристалла (предельные точки при изохорическом нагреве). Сг и Тгс,Тг1,Тгв - критическая и тройная точки. Кривые равновесного сосуществования: ТгсСгТгь - бинодаль пар-жидкость, Тг^Ь - кристаллизация, 7>а5 - плавление.

При низких температурах жидкость менее стабильна, чем кристалл. Следовательно локальное разупорядочение кристаллической решетки приводит к появлению в кристалле полости. Показано, что при низких температурах флуктуации параметра порядка сопряжены с флуктуа-циями плотности. Для роста полости необходимы определенные растягивающие напряжения. Причем пороговое напряжение возрастает с уменьшением размера полости. Причины этого рассмотрены в главе 4. Поскольку начальный радиус полости весьма мал, критические напряжения для ее роста и зарождения оказываются велики.

Другой сценарий разрушения кристалла при отрицательных давлениях - это плавление. В результате локального расплавления зарождение полостей происходит уже преимущественно внутри образовавшегося расплава. Расплавление может происходить при заходе за линию плавления, при этом жидкость должна быть (мета)стабильна. Такие условия реализуются в области высоких температур, вблизи температуры плавления при р = 0: давление на линии плавления в этом диапазоне невелико и вполне достижимо в волнах разгрузки. При этом пороговые напряжения для роста полостей малых размеров остаются сравнительно высокими, хотя и снижаются с ростом температуры. Расчеты для алюминия с обоими потенциалами показывают, что при высоких температурах прочность жидкости при растяжении сравнима с прочностью кристалла, а кроме того локальное плавление приводит к небольшой релаксации напряжений. Поэтому плавление не приводит к резкому уменьшению прочности на разрыв.

Смена одного механизма разрушения другим происходит постепенно, на фазовой диаграмме нет соответствующией четкой границы. Это связано со случайным характером процесса развития образовавшегося в кристалле зародыша жидкой фазы - находясь вблизи границы устойчивости жидкости, он обладает конечным временем жизни и будет разрушаться раньше, нежели достигнет значительного размера. Вообще говоря, он может не успевать даже достигнуть параметров равновесной фазы. Таким образом, смена механизма разрушения определяется соотношением времен образования жидкой фазы и появления полости в ней. Имеет значение не столько собственно пересечение линии плавления и спинодали жидкой фазы, сколько их сближение. Именно такая ситуация проявляется у алюминия. Так в переходной области, при температуре около 700 К спонтанное разрушение на границе стабильности проходит следующим образом: появляется зародыш жидкой фазы, распределение плотности в котором неоднородно, а температура устанавливается несколько ниже, чем в окружающем кристалле. Такой зародыш живет довольно продолжительное время Юрз), лишь затем в нем появляется и стремительно разрастается несплошность.

Скорость зарождения зародышей новой фазы (или полостей) принято характеризовать частотой нуклеации J, равной среднему числу критических зародышей, образующихся в единицу времени в единице объема, либо в пересчете на одну частицу. Частота зарождения полостей определена из данных МД расчетов на основе усреднения времени жизни метастабильной фазы по ансамблю независимых начальных микросостояний, соответствующих метастабильному макросостоянию. Время жизни метастабильной фазы т для одного начального микросостояния (одной МД траектории) определяется как продолжительность ее стационарного участка, т.е. до зарождения критического зародыша новой фазы, которое сопровождается изменением таких характеристик системы, как температура, давление. Далее проводится усреднение времен жизни макросостояния (т) по множеству независимых МД траекторий. Под макростоянием здесь понимается состояние системы с заданной температурой, плотностью, числом частиц N. Скорость нуклеации определялась по формуле: J = 1/((г)Дг).

С помощью вышеописанной процедуры рассчитаны частоты нуклеации полостей для гомогенного метастабильного монокристалла при заданных температуре Т и степени растяжения (т.е. плотности р, постоянной решетки а или давления р) (рис. 3). Использовался ЕАМ потенциал [13]. Типичная величина времен жизни в расчетах варьировалась от 1 до 103 рэ.

Данные по гомогенной частоте нуклеации в зависимости от давления во всем приведенном диапазоне температур от 300 до 935 К могут быть аппроксимированы (линии на рис. 3) в форме теории нуклеации:

1 е(7/У0) = -Л/Г-53/(р2Т),

где 33(Т)/р2 = Д!УСГ - работа образования полости критического размера и А - энергия активации пластического течения.

Кинетическая граница стабильности при низких температурах (Т < 500К) соответствует положению спинодали, на которой происходит зануление объемного модуля сжатия. Заметные флуктуации плотности проявляются только вблизи спинодали, что и является причиной очень сильной зависимости частоты нуклеации от плотности. При более высоких температурах кинетическая граница устойчивости кристалла связана с плавлением в объеме, что делает обсуждаемую зависимость более плавной.

В главе 4 анализируются механизмы и скорости роста полостей в гцк кристаллах А1 при температурах вплоть до температуры плавления металла. Помимо роста за счет испускания сдвиговых дислокационных петель при перегреве активируется механизм, связанный-с локальным расплавлением кристалла и вязкостым ростом в образовавшейся жидкости.

Кинетика роста полостей изучалась на основе модели растянутого кристалла с одной полостью в МД ячейке с периодическими граничными условиями. На предварительном этапе система без пор приводилась в равновесие при заданных Т \л а. Затем с помощью удаления части атомов в ней создавалась сферическая полость заданного радиуса г. Далее размер ячейки не менялся, наблюдался спонтанный рост полости. Иначе производились расчеты в статическом случае при Т = 0: ячейка постепенно растягивалась и параллельно проводилась минимизация потенциальной энергии системы по методу сопряженных градиентов до тех пор, пока напряжения не становились достаточными для роста. Типичные размеры системы в МД расчетах варьировались от 20 до 140 периодов гцк решетки. Размер полости выбирался небольшим в сравнении с размерами ячейки, чтобы избежать влияния граничных условий на распределение напряжений. Для описания межатомных взаимодействий в А1 использовались потенциалы погруженного атома [13,14].

Диагностика микроструктуры (дислокаций, дефектов упаковки, расплава) в системе осуществлялась на основе параметра центральной симметрии и координационного числа атома, рассчитанного только по атомам дефектной подсистемы. Это позволяет выделить атомы сильно смещающиеся из своих положений равновесия вследствие тепловых флуктуации и отличить плоские дефекты упаковки от двойников. Радиус полости оценивался из усреднения радиальных координат атомов на ее поверхности. Выделение поверхностных атомов проводилось по их потенциальной энергии: е > ест. Потенциальная энергия на атом, рассчитываемая на каждом шаге численного интегрирования, усреднялась по времени ~ 0.1 рэ.

В МД моделях наблюдаются два механизма роста полостей при растяжении: а) рост за счет испускания дислокационных петель и 6) расплавление решетки вокруг растущей полости с последующим вязкостным ростом в расплаве. Плавление преобладает в области, соответ-

-2

1д(М0)

р.вРа

ю

Рис. 3; Зависимость частоты нуклеации 3 от давления р вдоль изотерм: 1 - 935, 2 - 800, 3 - 700, 4 - 300 К.

>[100]

Рис. 4: Срез расчетной ячейки. Атомы с окружением, соответствующим идеа'льной гцк структуре (выделены по параметру центральной симметрии) не показаны.

(a) Т = 300 К, размер системы 200x200x20 элементарных ячеек, начальное состояние без полостей, постоянная решетки ад = 4.31 А, скорость деформирования 2 х 108

(b) Т = 700 К, 40x40x40 элементарных ячеек, а = 4.23 А, размер расчетной ячейки фиксирован, начальный радиус полости ~ 2.1 пт.

(c) Т = 935 К, 40x40x40 элементарных ячеек, а = 4.23 А, размер расчетной ячейки фиксирован, начальный радиус полости к 2.1 пт.

ствующей перегретому состоянию кристалла, т.е. при заходе за кривую плавления. Наоборот, дислокационный механизм работает до пересечения кривой плавления. При одинаковых температурах и размерах полости плавление происходит при большей степени метастабильности, следовательно, оно обеспечивает большие скорости роста полостей, чем испускание дислокационных петель.

Форма поверхности полости в случае дислокационного роста далека от сферической. Преимущественные направления роста определяются ориентацией плоскостей сдвига в кристалле, вдоль которых и происходит образование сдвиговых дислокационных петлей, представляющих собой плоский дефект упаковки, окруженный частичной дислокацией (рис. 4а). При расширении дислокационной петли с дефектом упаковки внутри дефекта зачастую происходит зарождение двойника, хотя иногда наблюдается зарождение второй частичной дислокации.

При заходе в область перегретого кристаллического состояния происходит локальное расплавление вещества вокруг полости (рис. 4). Такой заход при условии сравнительно небольших напряжений, достижимых в эксперименте, возможен в области высоких температур, где давление на линии плавления приближается у нулевому значению. Вид полости в таком случае представлен на рис. 4с. При умеренном перегреве вместе с расплавлением наблюдается также рост за счет испускания дислокационных петель (рис. 4Ь). Рост полости начинается с локального плавления, дислокационные же петли появляются позднее и дальше от поверхности полости. С течением времени наблюдается также активация плавления вдоль дислокационных петель. При низких температурах для перегрева кристалла нужны большие давления (если, конечно, жидкая фаза остается устойчивой). Поэтому расплавление может наблюдаться при весьма высоких скоростях деформирования, в частности, в МД модели растяжения ячейки с постоянной скоростью, где происходит как рост, так и зарождение полостей (рис. 4а).

Форма полостей и характер дефектов схожи для использовавшихся ЕАМ потенциалов для А1 [13,14]. Тип дислокационных петель и ориентация плоскостей скольжения, активируемых при росте, не зависят от кристаллографической ориентации граней расчетной ячейки. Локальное плавление происходит приблизительно одинаково во всех направлениях при высоких

сг

% в

*

ш

Л

в ОК ■ 300 К ▼ 700 К ♦ 900 К

Г,А

О1

К А/рв

<3 700 К, 12 А

v 700 К, 16 А

❖ 700 К, 20 А

О 700 К, 30 А

♦ 900 К, 20 А

т 900 К, 16 А

• 900 К, 30 А

* 900 К, 20 А*

10 20 30 40 50 О

v О

О

су-асг,СРа

0.5

1.5

Рис. 5: Зависимость критического напряжения а„ для роста полости от ее радиуса г.

Рис. б: Зависимость скорости роста полости V от напряжения а при Т = 700 К и 900 К. Указаны температура и радиус полости.

скоростях роста, в результате форма полости близка к сферической (рис. 4а,с). При малых же скоростях роста расплавление, а значит, и рост полости, происходят в преимущественных направлениях: полость как бы вытягивается в определенных направлениях (рис. 4Ь).

Из МД расчетов с различными температурами и размерами полостей определены критические напряжения асг(г,Т), необходимые для роста пор (рис. 5). При температуре Г = 300 К происходил дислокационный рост, а при 900 К - вязкостный. В промежуточном случае 700 К рост был близок к вязкостному. Видно, что критические напряжения для спонтанного роста убывают с увеличением размера пор и температуры для обоих описанных механизмов. Для объяснения этой зависимости обратимся сперва к дислокационному росту. Действительно, для испускания дислокационной петли, а следовательно, и для роста, необходима концентрация сдвиговых напряжений в некотором объеме у поверхности полости. С другой стороны, объем, в котором девиаторные напряжения велики, масштабируется вместе с размером полости (аналогично модели упругого изотропного твердого тела). Поскольку область больших девиаторных напряжений больше для полостей большего радиуса, вероятность испускания дислокационной петли при том же внешнем давлении также возрастает с увеличением радиуса. Аналогичное условие может быть применено и в случае плавления, если считать, что оно происходит из-за неустойчивости к сдвигу (аналогично критерию Борна). Это объясняет и наличие преимущественных направлений, в которых происходит локальное плавление.

Линиями на рис. 5 показаны аппроксимации, основанные на континуальной двухмерной модели и механизме испускания сдвиговых петель [8]. При этом значения модуля сдвига /./. и размера ядра дислокации гсоте варьировались для обеспечения лучшего согласия, в то время как модуль вектора Бюргерса Ъ и коэффициент Пуассона и были постоянны. Эта формула плохо описывает данные для полостей малого размера, где достигается предел применимости континуальных моделей.

Несмотря на то что критические напряжения роста при повышенных температурах (700 К)

ниже, чем при более низких, при высоких температурах и больших отрицательных давлениях достигаются значительные степени перегрева кристаллической фазы. Такой кристалл является сильно метастабильным по отношению к переходу в жидкое состояние и плавление полости может легче активироваться, чем ее рост. Это видно по обрыву зависимостей для 700 и 900 К (рис. 5) в области малых полостей: имеет место плавление. Также это свидетельствует о том, что вблизи линии плавления зарождению полостей в идеальном монокристалле предшествует локальное расплавление, и полости появляются и растут внутри расплава.

Когда рост полостей происходит за счет зарождения и движения дислокаций, скорость роста зависит как от скорости стохастического процесса их нуклеации, так и от скорости движения дислокаций. Стохастический режим важен на начальном этапе роста и может быть охарактеризован критическими напряжениями, необходимыми для роста. Сравнение скорости движения дислокаций со скоростью роста при Т = 300 К показало, что скорость роста примерно в 5 раз ниже скорости дислокаций. Скорость движения дислокаций близка к предельной величине, хотя она и существенно снижается в процессе роста полости в ограниченном объеме, сопровождающемся релаксацией напряжений.

При низких температурах напряжения, необходимые для зарождения дислокаций на поверхности пор, велики по сравнению с пороговыми напряжениями для движения дислокаций (даже в динамическом режиме, ограниченном фононным трением). Поэтому, появившись, дислокации начинают двигаться с большой скоростью, близкой к предельной (порядка скорости звука). В результате рост полостей происходит неравномерно по времени: имеет место большое время ожидания зарождения дислокационной петли, а затем быстрое движение дислокаций и рост.

С повышением температуры ситуация меняется: зарождение петель требует меньших напряжений, а при том же уровне напряжений скорость дислокаций меньше из-за роста фо-нонного трения. При еще больших температурах возможен значительный перегрев кристалла, тогда локальные сдвиговые напряжения вокруг полости приводят к плавлению, и большую роль играет вязкостный рост в расплаве. Для этого механизма роста установлено, что зависимость радиуса пор от времени близка к экспоненциальной пока скорости роста не велики, а далее происходит замедление.

Зависимости скорости роста пор v от напряжения а при высоких температурах для пор одного радиуса (рис. б) близки друг к другу и могут быть описаны единой функциональной зависимостью, если растягивающие напряжения отсчитывать от критического напряжения ffcr(r,T) для данного радиуса пор г и температуры Т: v(rr. г. Т) = /г [с — <тСг('')]- Такая зависимость может быть интерпретирована на основе уравнения, подобного уравнению Релея для роста полостей в вязкой несжимаемой жидкости. Уравнение такого вида получается также и в некоторых моделях роста сферических пор в изотропном упруго-пластическом теле [7] при учете диссипативного тензора напряжений (т.е. вязкости) [15]:

с - <Тст(г) = р

Здесь р и Tj - это плотность и вязкость материала. Полезное обсуждение этого уравнения (без вязкостного члена) и его дальнейшая модификация содержатся в работе [7]. Последний член в правой части описывает диссипацию энергии в процессах плавления, движения жидкости и движения дислокаций. В случае сферической полости в изотропном материале он идентичен вязкостному члену в уравнении Релея для жидкости. На начальной стадии роста размер полости и ускорение малы и ими можно пренебречь. Тогда зависимость скорости роста от растягивающего напряжения и радиуса поры будет определяться разницей напряжений в сравнении с критическими а — асг(г.Т), вязкостью и плотностью материала.

3 4г] .

гг + -г Н--г

2 г

В главе 5 излагается кинетическая модель разрушения, основанная на результатах МД расчетов по кинетике элементарных процессов, и относящейся к моделям типа нуклеации и роста несплошностей (nucleation and growth, NAG) [б]. Такая кинетическая модель позволяет перейти от атомистических механизмов разрушения к описанию процессов образования и развития несплошностей в материале на макроскопическом уровне.

Рассмотрим процесс динамического растяжения образца с постоянной скоростью деформирования. Суммарный объем полостей Vp в произвольном объеме вещества Va в момент времени t может быть найден по формуле: Vp = J^i'p(t - r)h(r)dr. Здесь vp(t - т) - объем одной полости, образовавшейся в момент времени т, а п(т) - частота зарождения полостей в момент времени т. Выражая первую величину через эффективный радиус полости

Момент откола tsp приближенно можно определить по достижению объема полостей Vp величины начального объема сплошной среды V0. Тогда, зная зависимость степени растяжения от времени a(t) для рассматриваемого режима растяжения и уравнение состояния р(а,Т) можно рассчитать величину откольной прочности asp = — psp.

На рис. 7 представлен график зависимости (рассчитанной с помощью модели NAG) величины откольной прочности asp в динамическом режиме деформирования от скорости растяжения £ при 900 К. В полулогарифмическом масштабе зависимость приблизительно линейная, поскольку разрушение определяется процессом гомогенной нуклеации полостей, скорость которого экспоненциально зависит от степени деформации. На рис. 7 также показаны данные по откольной прочности из экспериментов с ударными волнами [1] при Т ~900 К (точки 5).

В рассмотренном случае высоких температур результаты расчета находятся в хорошем согласии как с экспериментальными данными при более низких скоростях деформирования, так и с прямым МД моделированием в области высоких скоростей (точка 3 рис. 7). Прямое МД моделирование представляет собой всестороннее растяжение монокристаллического А1 при той же температуре. Изменение откольной прочности при изменении скорости деформирования тесно связано с зависимостью частоты зарождения полостей от напряжения, которая меняется, если имеет место плавление.

С понижением температуры согласие ухудшается: откольная прочность по оценкам из МД расчетов становится слабо зависящей от скорости деформирования (точки 1 рис. 7), а сама величина прочности оказывается завышенной в сравнении с экспериментом. Вероятно, это связано с увеличением роли дефектов в процессе разрушения даже при больших скоростях растяжения. При меньших температурах заметное значение частоты гомогенной нуклеации достигается лишь при больших растягивающих напряжениях. Однако столь большие значения напряжения не реализуются, поскольку разрушение инициируется при меньшем растяжении на дефектах кристаллической решетки.

Можно заключить, что кинетическая модель разрушения, основанная на кинетике гомогенной нуклеации, применима при достаточно высоких температурах (для алюминия - примерно при 700 К и выше) в диапазоне скоростей деформирования от ~ 10G до 10u s-1. Развитый здесь подход к построению кинетической модели разрушения на основе данных МД расчетов может быть использован и в гетерогенном случае. Представленный способ расчета величины прочности основывается на предположении о заранее заданной истории нагружения a(t) и является оценочным. Реальная временная зависимость деформации и напряжений может быть получена в рамках моделирования процесса на более высоком уровне, например, в гидроди-

вторую через частоту гомогенной нуклеации п(т) — J[a(r)] V0,

получим:

12 г asp, GPa

A - 1 А А Ж

▼ -2 д-з

•"4 Y У

О - 5 T

P,GPa

'T

— 1 • • 2

— 3 - 4

T,K

.,,-,11 -8 — 1U 200

400

600

800

Рис. 7: Зависимость откольной прочности от скорости деформирования. МД расчеты гидростатического растяжения, потенциал [13]: 1 - бездефектный кристалл, 100 А'; 2 - модель с дефектами, 100 К\ 3 - бездефектный кристалл, 900 К. 5 и 6 - экспериментальные данные [1] при 100 и 900 К. Линии: сплошная - кинетическая модель NAG для 900 К; пунктир - аппроксимация по уравнению 1 для 100 К.

Рис. 8■ р-Т диаграмма А1 и пути растяжения при скорости деформирования i = 10s s"1 для нескольких микроструктур: монокристалл с дислокациями (1), поликристалл (2) и монокристалл с полостью (3). Линия плавления (4) для используемого потенциала [14]. Кресты (5) -критические давления для роста полости вдоль межзеренной границы.

намических расчетах, которые часто используются для анализа ударно-волновых явлений.

Представленная модель разрушения может использоваться в этом случае в качестве определяющих соотношений для описания эволюции объема пор Vp{t). Так, модель разрушения может быть введена в гидродинамику в координатах Лагранжа, если в объеме каждой лагран-жевой ячейки выделять объем конденсированной фазы Vc и объем полостей (пор) Vp, так что V = Vc + Vp, причем Vt.(0) = V0 = 1 /ро- Тогда процесс релаксации напряжений может быть учтен внутри каждой ячейки на основе расчета прироста объема конденсированной фазы AVC = AV — AVPi,\-ag(P:T) и вычисления давления по уравнению состояния р = р{рс,Т). Предложена схема численного интегрирования уравнений кинетической модели разрушения NAG. С помощью предложенной кинетической модели с учетом релаксации напряжений проанализировано изменение пористости системы до разрушения на примере растяжения с постоянной скоростью деформирования г.

В главе б обсуждается влияние микроструктуры кристалла на кинетику нуклеации пор и величину откольной прочности. Представлено сравнение данных МД расчетов для монокристаллического А1 без дефектов, с дислокационной подсистемой, с порами и для поликристаллического А1.

Дислокационные петли и дефекты упаковки создавались в системе с помощью одноосного сжатия и последующей релаксации к нулевым напряжениям при заданной температуре. Это моделирует образование дефектов при распространении в веществе импульса сжатия и

его отражении от свободных границ образца при ударно-волновом нагружении. Откольная прочность оценивалась как максимальное напряжение, достижимое в процессе однородного трехосного растяжения. Использовалось гидростатическое растяжение, поскольку наличие дефектов в условиях эксперимента обеспечивает релаксацию девиаторных напряжений посредством пластической деформации.

При трехосном гидростатическом растяжении наблюдается движение дислокаций и рост плоских дефектов упаковки под действием сравнительно больших локальных напряжений. По достижении некоторой критической величины растягивающих напряжений в системе наблюдается зарождение полостей вблизи плоских дефектов упаковки и их пересечений. Величины прочности на растяжение схожи для используемых ЕАМ потенциалов.

Для кристаллов с дислокационной подсистемой (точки 2 на рис. 7) наблюдается существенное снижение откольной прочности в сравнении с бездефектными монокристаллами (точки 1). Также видно, что для случая кристаллов с дефектами, зависимость от скорости деформирования значительно более сильная и хорошо согласуется с зависимостью (точки 4), полученной в ударно-волновых экспериментах [1]. Аналогичное поведение имеет место и для поликристаллов: зарождение полостей происходит на дефектной структуре межзеренных границ и зависимость откольной прочности от скорости деформирования является сильной.

Изменение зависимости откольной прочности от скорости деформирования можно интерпретировать на основе термофлуктационного подхода к описанию кинетики зарождения повреждений твердых тел [5], развитого Журковым. Если нуклеацию полостей описывать в рамках этого подхода и считать, что момент откола определяется равенством скорости зарождения полостей и скорости деформирования, то получим следующую оценку откольной прочности а¡,р\

где Ео—энергия активации зарождения микрополости в недеформированном твердом теле, 1'о—параметр, пропорциональный критическому объему микрополости, а А и 70~ некоторые константы. В отличие от модели «нуклеация и рост» в этом соотношении рост полостей не рассматривается явно. Предполагается, что зависимость прочности от степени метастабиль-ности (и следовательно, от скорости деформирования) определяется в основном изменением скорости зарождения полостей. Согласно соотношению 1 наклон зависимости откольной прочности от скорости деформирования увеличивается при уменьшении размера критического зародыша в дефектной структуре. Оценка по приведенным на рис. 7 данным экспериментов (точки 4) и расчетов (точки 1 и 2) дает Уо ~ 1 -г 2 А3, что согласуется с наблюдаемыми размерами пор в МД расчетах.

Возможность перегрева поли и монокристаллического А! с различной микроструктурой (дислокации, дефекты упаковки, полости) при растяжении в волнах разрежения анализируется на основе модели гидростатического растяжения с постоянной скоростью деформирования £ = 108 -т- 10!0 Используется ЕАМ потенциал в параметризации для А/ [14]. Соответствующие пути деформирования при нескольких начальных температурах представлены на фазовой диаграмме А1 (рис. 8). Показано также положение линии плавления для используемого потенциала. Для монокристаллов имеет место заметный перегрев, даже при наличии в его микроструктуре дефектов упаковки и дислокаций (линии 1), небольших полостей (линии 3). Хотя плавление и может начинаться при заходе за кривую плавления в местах стыка дефектов упаковки, но доля расплава мала.

(1)

При гидростатическом растяжении поликристалла перегрева не наблюдается (линия 2), происходит аморфизация границ зерен из-за их дефектной структуры. Она проявляется в возникновении тонкого аморфного слоя на межзеренной границе. Его толщина возрастает с приближением к линии плавления (вблизи линии плавления достигает 1.5 пт), а его свойства (например, коэффициент диффузии) приближаются к жидкостным. Аморфизация происходит с большой скоростью, она хорошо видна на рис. 8 по изменению наклона линий 2 с приближением к линии плавления 4. Эффект аморфизации имеет место на значительном удалении от линии плавления объемной фазы и может быть назван предплавлением. Эффект не связан с площадью поверхности зерен (в отличие от размерного эффекта смещения равновесной температуры плавления с уменьшением размера зерен из-за возрастания вклада поверхности в свободную энергию), поэтому должен иметь место и в экспериментальных условиях для образцов с крупными зернами. Схожий эффект исследовался ранее методом Монте-Карло [16].

Дальнейшее разрушение поликристаллов в расчетах происходило при появлении полостей в образовавшейся жидкости. Однако для этого могло потребоваться значительное растяжение, что объясняется существенной прочностью жидкости на растяжение, сопоставимой с прочностью кристалла. Положение границы стабильности жидкости существенно различается для рассмотренных потенциалов, поэтому нельзя сказать с определенностью, при каких параметрах происходит зарождение полостей жидкости и достижимы ли они в экспериментах. Но вполне вероятно, что в исходной структуре поликристалла существуют поры или микротрещины. Тогда расплавление границы зерен вызовет рост такой поры вдоль межзеренной границы и откольная прочность может снизиться. Для исследования этой схемы было проведено МД моделирование бикристалла с микротрещиной по межзеренной границе. На подготовительном этапе бикристалл без полости приводится к равновесию при заданных температуре и давлении. Затем часть атомов на межзеренной границе удаляется, тем самым создается микротрещина. Полученные в результате критические напряжения роста микротрещины вдоль границы зерен обозначены на рис. 8 крестами и линией 5. Видно, что кривая плавления ограничивает величину критических давлений, а температурная зависимость качественно схожа с наблюдаемой в экспериментах зависимостью откольной прочности поликристаллов [1].

В главе 7 исследуется влияние уровня случайных сил на величину кинетических характеристик системы (таких как Л'-энтропия и частота гомогенной нуклеации), определяемых методом МД. Изучалась зависимость параметров релаксации системы к равновесию от уровня внешней случайной силы, создаваемой с помощью термостата Ланжевена. Стохастический фон, вносимый термостатом, можно характеризовать релаксационным параметром (временем) п., определяющим вклад термостата в суммарную силу, действующую на частицы:

¿V-

Релаксационный параметр т^ = т/в термостата Ланжевена выражается в единицах времени и определяет скорость потери корреляции скорости частиц.

Действие ланжевеновского источника состоит в: 1) изменении времени корреляции скоростей (т.е. вязкости системы); 2) внесении случайных возмущений в динамические траектории системы. Первый эффект напрямую связан с релаксационным параметром 77, и проявляется при достаточно малом его значении (77, ~ 1 г, т.е. около пикосекунды, порядка характерного периода колебаний атомов): частица движется под действием значительных случайной силы и силы трения, так что начальное значение скорости частицы быстро забывается. Второй же эффект, проявления которого подробно исследовались в данной работе, остается значительным и при больших релаксационных временах т^ > 1 т.

Система уравнений Ньютона экспоненциально неустойчива для системы, состоящей более чем из двух частиц [17]. Иначе говоря, траектории такой системы (гД/).^(7)} для различных

начальных условий со временем расходятся в фазовом пространстве. При численном интегрировании указанных уравнений в случае моделирования методом МД расхождение расчетной и истинной траекторий за счет неизбежно возникающих при этом погрешностей численного счета также происходит экспоненциально быстро. Параметром, определяющим степень неустойчивости (скорость разбегания первоначально близких фазовых траекторий), является К-энтропия (энтропия Крылова-Колмогорова, усредненный по фазовому пространству максимальный показатель Ляпунова). В рамках метода МД ее определяют по изменению во времени, например, величины:

¿=1

т.е. усреднением по системе N частиц квадрата разницы скоростей в совпадающие моменты времени, рассчитанных из одинаковых начальных условий с разными шагами численного интегрирования. До выхода на уровень насыщения 2(у2) во временной эволюции присутствуют начальный неэкспоненциэльный (обычно короткий) и экспоненциальный участки (рис. 9). Из последнего и вычисляется значение К-энтропии: (Ду2) ос ехр КЬ. Время выхода величины (Ду2) на насыщение характеризует время «забывания» начальных условий, для которого вводят понятие времени динамической памяти ¿т [17].

Из расчетов разбегания траекторий видно, что при больших значениях релаксационного параметра (рис. 9) значения -энтропии в пределах погрешности ее вычисления не зависят от добавления термостата. Таким образом, стохастический фон не меняет скорости релаксации системы на экспоненциальном участке. Действие термостата состоит в значительном увеличении уровня шумов в системе (соответствующие включению термостата кривые разбегания траекторий стартуют с бОльших величин {Дv2)) и, как следствие, в уменьшении времени динамической памяти. Действие же сильного термостата (малые т¿) настолько велико, что уровень шумов не позволяет проявиться экспоненциальному участку релаксации (рис. 9).

Далее исследовано влияние ланжевеновско-го источника на автокорреляционную функцию скоростей: ^¿(0)у<(<)), где усреднение проводится по частицам системы и по начальным состояниям. Автокорреляционная функция в кристалле представляет собой осцилляции, амплитуда которых убывает со временем. «Вязкостное» действие ланжевеновского источника приводит к дополнительному экспоненциальному затуханию амплитуды осцилляций с характерным временем около тх,. Исходную амплитуду (без этого эффекта) можно легко восстановить, что позволяет проследить отдельно действие второго, стохастического, эффекта. Корреляции скоростей в таком случае сохраняются, по-видимому, даже на временах, больших времени динамической памяти. Но с течением времени разброс скоростей становится очень большим, что говорит о недостаточности проводимого в

Рис. 9: Влияние ланжевеновского источника на характер разбегания скоростей вдоль динамической траектории. ¿7 кристалл при Т = 0.7е и р = 1.000т/ст3. Параметр термостата тд: 1 - без термостата; 2 - 103 т; 3 - 102 т; 4 - 10 т; 5 - 1.0 г; б - 0.1 т.

Р, 8/СТ3

800

Рис. 10: Влияние ланжевеновского источника на скорость гомогенной нуклеации (а) и скорость роста полостей (Ь) в метастабильной ЬЗ жидкости при Т = 0.5е и р = 0.799т/а3. Параметр ланжевеновского термостата т/,: 1 - без термостата; 2 - 10 т; 3 - 1 т; 4 - 0.1 т.

этой области усреднения для системы с сильным термостатом. Это, в свою очередь, объясняется увеличением уровня шума в такой системе.

Исследовано влияние случайных сил на вероятностный процесс разрушения в гомогенной метастабильной фазе. Время жизни метастабильной системы до разрушения (появление зародыша критического размера) может быть очень большим (десятки и сотни тысяч шагов интегрирования) и чаще всего превышает время динамической памяти системы. Поэтому время жизни на отдельно взятой МД траектории, конечно же, случайно и меняется с изменением начального микросостояния, шага численного интегрирования и т.п. Процесс разрушения на столь больших временах можно считать случайным Пуассоновским процессом, вероятность появления зародыша сверхкритических размеров пропорциональна отрезку времени наблюдения за системой.

Частота зарождения полостей определяется из усреднения времен жизни метастабильного состояния по ансамблю независимых МД траекторий. Временная зависимость числа траекторий с нераспавшимися состояниями приведена на рис. 10а. Аппроксимация данных расчетов прямыми экспоненциального распада показана на рис. 10а сплошными линиями. Видно, что действие слабого ланжевеновского источника не приводит к изменению распределения времен распада. Хотя, конечно же, для каждой траектории в отдельности время жизни случайно и изменяется даже при действии очень слабого ланжевеновского источника (т^ ~ 106т). Заметные же изменения распределения времен жизни происходят лишь для сильных источников, существенно изменяющих динамику движения атомов, что проявляется в значительном изменении скорости роста полостей. Это видно на рис. 10Ь по изменению времени релаксации давления в процессе роста: начальная стадия (плато) соответствует времени жизни метастабильной жидкости до зарождения полости, а вторая - процессу роста полости, который существенно замедляется для термостатов со временем релаксации т^ ~ 1т. Таким образом, действие ланжевеновского источника на скорость распада метастабильного состояния (зародышеобразования) проявляется только при изменении динамики роста зародышей.

Изучено влияние ланжевеновского термостата на скорость фронта плавления. Термостат оказывает влияние на скорость плавления двумя путями: 1) через поддержание температу-

ры системы на постоянном уровне Т; 2) через релаксационный параметр ланжевеновского термостата r¿, существенно изменяющий вклад термостата 8 суммарную силу, действующую на частицы. Поэтому использовались лишь те термостаты, которые еще могли поддерживать температуру в системе на постоянном уровне. Зависимость скорости фронта от параметров ланжевеновского термостата исследована для поверхности [100] Al в диапазоне Г = 1070 -г 1080 К. Показано, что и в этом случае проявляется действие лишь достаточно сильных термостатов, существенно изменяющих динамику движения частиц (r¿ < 1т).

Таким образом, все исследованные кинетические характеристики релаксационных процессов слабо чувствительны к уровню случайных сил, действующих в системе многих частиц при условии слабого изменения динамических траекторий ("вязкостный"эффект пренебрежимо мал). Поскольку метод МД (без термостатов) можно рассматривать как ланжевенвскую динамику с очень слабым ланжевеновским источником (рис. 9), это обеспечивает точность расчета кинетических характеристик в рамках МД.

3 Основные результаты и выводы работы

Рассмотрены различные механизмы разрушения в зависимости от микроструктуры металла и температуры. Выяснено влияние плавления в волнах разрежения на откольную прочность и кинетику разрушения моно и поликристаллических материалов.

1. Проанализировано расположение границ стабильности кристаллической фазы относительно кривых фазового равновесия кристалла и жидкости, объяснено различие в механизмах потери устойчивости метастабильной кристаллической фазы в зависимости от положения на фазовой диаграмме.

2. Предложен механизм разрушения кристаллов нехрупких металлов при высокоскоростном растяжении при приближении к температуре плавления - локальное расплавление и зарождение полостей в расплаве. Установлено, что с повышением температуры зависимость частоты зарождения полостей от степени растяжения (например, от плотности) становится менее резкой, чем при низких температурах. Это проявляется в усилении зависимости прочности на растяжение монокристаллов без дефектов от скорости деформирования с повышением температуры.

3. Описаны механизмы роста полостей в монокристаллах при высокоскоростном деформировании (при растяжении - испускание дислокационных петель; в перегретых состояниях кристалла - расплавление вещества около пор, стыков дислокационных петель и дефектов упаковки, вязкостный рост в образовавшемся расплаве), оценены критические напряжения для роста полостей различных размеров.

4. Предложена кинетическая модель разрушения, основанная на результатах расчетов методом МД частоты зарождения и скорости роста полостей; предложен вариант включения модели в расчеты в рамках механики сплошной среды; рассчитаны частота нуклеации полостей, скорость роста полостей в монокристаллическом Al для Т от 300 до 900 К, предложены варианты их теоретического описания.

5. Исследовано влияние дефектов кристалла и плавления на откольную прочность Al в зависимости от скорости растяжения: 1) динамическую прочность монокристаллического алюминия можно объяснить в рамках гомогенной нуклеации лишь при высоких температурах

0.7 Тт), при более низких температурах требуется учет дефектов кристалла; 2) наличие дислокационной подсистемы в кристалле приводит к ослаблению зависимости скорости зарождения полостей от степени растяжения системы, и, соответственно, к сильной зависимости откольной прочности от скорости растяжения; 3) показана возможность перегрева монокристалла при наличии в нем дефектов (дислокационных петель, дефектов упаковки,

пор); 4) для поликристалла наблюдается эффект предплавления, заключающийся в том, что при приближении к линии плавления межзеренные границы аморфизуются, а их свойства (например, коэффициент диффузии) приближаются к жидкостным; 5) прочности на разрыв однородных кристалла и жидкости в Al сопоставимы, скорость же роста полостей при тех же внешних условиях в жидкости больше, поэтому локальное расплавление вещества не всегда приводит к резкому падению прочности, но значительно активирует рост полостей и таким образом влияет на кинетику разрушения и прочность. Этим можно объяснить падение откольной прочности поликристаллических металлов с приближением к температуре плавления.

б. Определен характер влияния случайных сил на кинетические характеристики фазовых превращений (скорость фронта плавления и частоту гомогенной нуклеации) и скорость раз-бегания первоначально близких фазовых траекторий (А"-энтропию).

4 Публикации автора по теме диссертации

В реферируемых журналах:

1) Куксин А.Ю., Янилкин A.B. Кинетическая модель разрушения при высокоскоростном растяжении на примере кристаллического алюминия // Доклады академии наук. 2007. Т. 413. № 5. С. 615-619. (Представлено ак. Фортовым В.Е.)

2) Куксин А.Ю., Норман Г.Э., Стегайлов В.В. Фазовая диаграмма и спинодальный распад метастэбильных состояний леннард-джонсовской системы. // Теплофизика высоких температур. 2007. Т. 45. № 1. С. 43-55.

3) Куксин А.Ю., Стегайлов В.В., Янилкин A.B. Атомистическое моделирование пластичности и разрушения нанокристаллической меди при высокоскоростном растяжении // Физика твердого тела. 2008. Т. 50. № 11. С. 1984-1990.

4) Kuksin A.Yu., Norman G.E., Stegailov V.V., Yanilkin A.V. Surface melting of superheated crystals. Atomistic simulation study // Computer Physics Communications. 2007. V. 177. No. 1-2. P. 34-37.

5) Kuksin A.Yu., Norman G.E., Stegailov V.V., Yanilkin A.V. Atomistic simulations of structure transitions and fracture in Fe and AI single crystals // Ibid. P. 48.

6) Бажиров T.T., Куксин А.Ю., Норман Г.Э., Стегайлов B.B. О соответственных состояниях для границ устойчивости метастэбильных металлов // Доклады академии наук. 2007. Т. 413. № 4. С. 463-468. (Представлено ак. Фортовым В.Е.)

7) Бажиров Т.Т., Куксин А.Ю., Норман Г.Э., Стегайлов В.В. О термодинамическом подобии границ устойчивости метастэбильных состояний металлов // Журнал физической химии РАН. 2007. Т. 81. № 7. С. 1016-1024.

8) Kuksin A.Yu., Morozov I.V., Norman G.E., Stegailov V.V., Valuev I.A. Standards for molecular dynamics modelling and simulation of relaxation // Molecular simulation 2005. V. 31. No. 14-15. P. 1005-1017.

9) Kuksin A.Yu., Norman G.E., Stegailov V.V., Yanilkin A.V. Molecular Simulation as a Scientific Base of Nanotechnologies in Power Engineering // Journal of Engineering Thermophysics. 2009. V. 18. No. 3. P. 197-226.

10) Куксин А.Ю., Стегайлов В.В., Янилкин A.B. Молекулярно-динамическое моделирование динамики краевой дислокации в алюминии // Доклады академии наук. 2008. Т. 420. № 4. С. 467-471. (Представлено ак. Осипьяном Ю.А.)

В реферируемых сборниках статей:

11) Kuksin A.Yu., Morozov I.V., Norman G.E., Stegailov V.V. Standard of molecular dynamics modeling and simulation of relaxation in dense media // Lecture Notes in Computer Science series (LNCS 3039) / Ed. by M. Bubak, et al. Springer-Verlag. 2004. P. 596-603.

12) Norman G.E., Kuksin A.Yu., Stegailov V.V., Yanilkin A.V. Atomistic simulation of plasticity and fracture of crystalline and polycrystalline metals under high strain rate / In Shock Compression of Condensed Matter - 2007, Ed. by M.D. Furnish et al. American Institute of Physics, New York. 2007. V. 955. P. 329-334.

13) Kuksin A.Yu., Norman G.E., Stegailov V.V., Yanilkin A.V. Modeling of Al crystal fracture under high-rate strain based on atomistic simulations / Ibid. P. 317-320.

14) Stegailov V.V., Kuksin A.Yu., Norman G.E., Yanilkin A.V. Atomistic study of nanoprecipitates influence on plasticity and fracture of crystalline metals / Ibid. P. 339-342.

15) Yanilkin A.V., Kuksin A.Yu., Norman G.E., Stegailov V.V. Atomistic simulation of high strain rate plasticity, spall damage and fracture of nanocrystalline Си / Ibid. P. 347-350.

В сборниках статей:

16) Куксин А.Ю., Норман Г.Э., Стегайлов В.В. Устойчивость метастабильных кристаллов и жидкостей // В сб. Метастабильные состояния и фазовые переходы. Екатеринбург: УрО РАН. 2007. С. 143-153.

17) Куксин А.Ю., Норман Г.Э., Писарев В.В., Стегайлов В.В., Янилкин А.В. Кинетическая модель откола в простых жидкостях // Сборник трудов Всероссийской Школы-семинара «Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем» под ред. ак. Климова Д.М., чл.-корр. Суржикова С.Т. Москва. 2009. С. 110-114.

18) Жиляев П.А., Куксин А.Ю., Норман Г.Э., Стариков С.В., Стегайлов В.В., Янилкин А.В. Влияние микроструктуры материала на динамическую пластичность и прочность: молекулярно-динамическое моделирование // Там же. С. 115-120.

19) Норман Г.Э., Куксин А.Ю., Стегайлов В.В., Янилкин А.В. Многоуровневое моделирование пластичности и разрушения металлов при динамическом нагружении // Сборник трудов Всероссийской Школы-семинара «Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем» под ред. ак. Климова Д.М., чл.-корр. Суржикова С.Т. Москва. 2007. С. 60-65.

20) Куксин А.Ю., Норман Г.Э., Стегайлов В.В., Янилкин А.В. Описание разрушения монокристаллического А| при высокоскоростном деформировании на основе молекулярно-динамического моделирования // Там же. С. 191-196.

21) Янилкин А.В., Куксин А.Ю., Стегайлов В.В. Атомистическое моделирование пластичности и разрушения нанокристаллической меди при высокоскоростном растяжении // Там же. С. 197-202.

22) Стегайлов В.В., Куксин А.Ю., Янилкин А.В. Моделирование динамики краевых дислокаций и их взаимодействия с нановключениями в условиях высокоскоростного деформирования // Там же. С. 183-190.

23) Бажиров Т.Т., Куксин А.Ю. О законе подобия для границ устойчивости // В сб. "Физика экстремальных состояний вещества - 2006" (под редакцией ак. Фортова В.Е. и др.), Черноголовка 2006. С. 56-58.

24) Куксин А.Ю. Границы стабильности Леннард-Джонсовских кристалла и жидкости // В сб. "Физика экстремальных состояний вещества - 2005" (под редакцией ак. Фортова В.Е. и др.), Черноголовка 2005. С. 168-170.

25) Куксин А.Ю. Моделирование начальной стадии распада кристалла при отрицательном давлении // В сб. "Физика экстремальных состояний вещества - 2004" (под редакцией ак. Фортова В.Е. и др.), Черноголовка 2004. С. 28-30.

Список литературы

[1] Канель Г. И., Фортов В. Е., Разоренов С. В. Успехи физических наук 177, 809 (2007).

[2] Anisimov S. I., Inogamov N. A., Petrov Y. V., Khokhlov V. A., Zhakhovskii V. V., Nishihara K., Agranat M., Ashitkov S. I., Komarov P. Appl. Phys. A 92, 797-801 (2008).

[3] Воробьев В. С., Малышенко С. П., Ткаченко С. И. ТВТ43(6), 905-918 (2005).

[4] Скрипов В. П. Метастабильная жидкость. Наука, Москва, (1972).

[5] Zhurkov S. N. Int. J. Fract. Mech. 1(4), 311-322 (1965).

[6] Barbee T. W., Seaman L., Crewdson R„ Curran D. R. J. of Materials 7, 393-401 (1972).

[7] Czarnota С., Mercier S., Molinari A. Int. J. Fract. 141, 177-194 (2006).

[8] Lubarda V. A., Shneider M. S., Kalantar D. H., Remington B. A., Meyers M. A. Acta Materialia 52, 1397-1408 (2004).

[9] Рахматулин X. А., Шемякин E. И., Демьянов Ю. А., Звягин А. В. Прочность и разрушение при кратковременных нагрузках. Логос, Москва, (2008).

[10] Байдаков В. Г., Проценко С. П. ДАН 402(6), 754-758 (2005).

[И] Понятовский Е. Г. Письма в ЖЭТФ 66(4), 260-262 (1997).

[12] Иосилевский И. Л., Чигвинцев А. Ю. электронный журнал „Исследовано в России" (3), 20-34 (2003).

[13] Mishin У., Farkas D„ Mehl M. J., Papaconstantopoulos D. A. Phys. Rev. 8 59(5), 3393-3407 (1999).

[14] Liu X.-Y., Wei X., Foiles S. M„ Adams J. В. Appl. Phys. Lett. 72(13), 1578 (1998).

[15] Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Теоретическая физика. T. VII. Теория упругости. Наука, Москва, (1987).

[16] Besold G., Mouritsen О. G. Phys. Rev. В 50, 6573-6576 (1994).

[17] Норман Г. Э., Стегайлов В. È. ЖЭТФ 119, 1011-1020 (2001).

Куксин Алексей Юрьевич

Атомистические механизмы и кинетика разрушения конденсированного состояния при высокоскоростном деформировании

Подписано в печать 18.11.09 Формат 60 х 84 Усл. печ. л. 1,2 Тираж 80 экз. Заказ 41 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер. 9

1 Обзор литературы

1.1 Разрушение при импульсном нагружении

1.2 Молекулярно-динамическое моделирование

2 Положение границ устойчивости кристалла и жидкости

2.1 Определение границ устойчивости по расчетам изотерм кристалла и жидкости.

2.2 Оценка кинетической границы стабильности.

2.3 Положение границ устойчивости LJ и А1 кристалла и жидкости на фазовой диаграмме.

3 Зарождение полостей в гцк кристалле

3.1 Флуктуации вблизи границы устойчивости кристалла.

3.2 Механизмы зарождения полостей.

3.3 Частота зарождения полостей в гомогенном кристалле.

4 Рост полостей в гцк кристалле

4.1 Механизмы роста полостей.

4.2 Скорость роста полостей в кристаллах.

5 Кинетика разрушения кристаллов

5.1 Теория зарождения и роста полостей (NAG).

5.2 Включение кинетической модели в гидродинамику.

5.3 Релаксация среды при росте полостей

6 Влияние дефектов на кинетику разрушения

6.1 Влияние дефектов на зарождение полостей

6.2 Возможность перегрева и влияние плавления на разрушение.

7 Кинетические характеристики в стохастической системе

7.1 iC-энтропия.

7.2 Корреляция скоростей.

7.3 Частота нуклеации

7.4 Скорость фронта плавления.

Актуальность работы

Изучение процессов разрушения материалов под действием импульсных нагрузок имеет большое значение для прикладных задач: создание ударостойких материалов и покрытий, их эксплуатация; развитие технологий обработки материалов с применением импульсных лазеров, пучков частиц, взрыва. Современные экспериментальные методы (воздействие лазерных пучков большой интенсивности на вещество, ударно-волновые эксперименты, субмикросекундные электровзрывы проволочек, подробнее см. [1-10]) дают возможность реализовать очень мощный импульсный энерговклад в вещество за короткое время. Так лазерная техника позволяет создавать импульсы излучения длительностью вплоть до фемтосекунд (Ю-15 s), которые рассматриваются как перспективный инструмент для механических воздействий на нанометровых масштабах. В результате мощного импульсного воздействия достигаются метастабильные состояния конденсированных веществ. Такое развитие техники ставит задачи теоретического и экспериментального исследования поведения твердых тел и жидкостей в условиях экстремальных перегревов, сжатий и растяжений.

Экспериментальные методы диагностики [1-3,11-14] постоянно совершенствуются, но на сегодняшний день прямые данные о механизмах и скорости разрушения в субмикросекундном диапазоне немногочисленны. Интерпретация экспериментальных данных зачастую осложняется значительным разнообразием наблюдаемых одновременно динамических явлений. Поэтому на помощь приходят различные теоретические подходы и методы моделирования [15-27], в том числе метод молекулярной динамики [28-45], пространственное и временное разрешение которого близки к характерным масштабам рассматриваемых явлений. Важным близким направлением исследований является описание механизмов и кинетики разных фазовых превращений [46-55].

Метод МД заключается в численном интегрировании уравнений движения для системы атомных частиц (атомов, ионов, электронов, молекул и т.п.), поэтому он предоставляет информацию о движении каждого атома в системе. Развитие высокопроизводительных вычислительных машин позволило качественно расширить круг задач, доступных сейчас для анализа на атомном уровне. Выражения для сил межчастичного взаимодействия могут быть выбраны как в простой модельной форме (твердые или мягкие сферы, потенциал Леииарда-Джонса), так и в виде полуэмпирических выражений, численные коэффициенты которых подобраны для описания термодинамических, упругих свойств конкретных веществ.

Применительно к механике разрушения метод МД предоставляет возможность изучить механизмы разрушения кристаллов при высокоскоростном растяжении в различных областях фазовой диаграммы. В частности, исследовать условия достижения перегретого состояния твердого тела в волнах разрежения при ударно-волновых экспериментах. Далее, интерес представляет оценка влияния плавления сопротивлению разрушению и на откольную прочность. Не менее важным является вопрос о вкладе дефектов кристаллической решетки в кинетику разрушения, величину динамической прочности на разрыв при различных скоростях деформирования: в каких условиях возможно достижение идеальной, теоретической прочности вещества? Круг описанных проблем сопряжен со знанием вида фазовой диаграммы в областях значительной метастабильности, в частности, теоретических пределов устойчивости кристалла и жидкости.

МД расчет предоставляет данные не только о термодинамических свойствах, структуре равновесных и неравновесных систем, но и об изменении свойств в ходе процессов релаксации в метастабильной фазе. Важным преимуществом метода МД является возможность изучения релаксационных процессов в плотных средах основываясь непосредственно на расчетах динамики системы многих частиц без дополнительных предположений, возникающих в кинетической теории. Но применение метода МД к исследованию релаксационных процессов существенно менее развито в сравнении с методиками расчета свойств равновесных состояний. В частности, недостаточно изученным вопросом теории метода МД является соотношение динамических и стохастических свойств. В то же время известно, что большому классу динамических систем присущи хаотические свойства, такие как экспоненциальная неустойчивость фазовых траекторий. Поэтому горизонт предсказуемости во времени динамической эволюции системы многих частиц весьма мал в сравнении с типичным временем МД траектории, более того, он зависит от точности задействованной численной схемы расчета. Таким образом, актуальным является исследование предсказательных возможностей МД для расчета кинетических характеристик релаксационных процессов, влияния на результаты конечной точности численных методов, использующихся при проведении расчетов.

Цели работы

Целями настоящей работы являются:

1) Разработка метода расчета кинетических характеристик элементарных актов разрушения из данных МД моделирования и расчета на их основе кинетики разрушения. Исследование применимости метода МД для расчета кинетических характеристик, в частности, анализ влияния стохастических сил на скорость забывания начальных условий в динамической системе и частоту зарождения новой фазы.

2) Изучение фазовой диаграммы в области метастабильных кристаллической и жидкой фаз при отрицательных давлениях. Исследование возможности перегрева твердого тела в волнах разрежения в ударно-волновых экспериментах.

3) Определение механизмов разрушения кристаллов при высокоскоростном растяжении в различных областях фазовой диаграммы. Изучение влияния дефектов решетки и плавления на кинетику разрушения и откольную прочность.

4) Создание кинетической модели разрушения монокристаллических металлов в условиях высокоскоростного деформирования; расчет частоты нуклеации полостей, скорости роста полостей. Сравнение полученных данных с имеющимися теоретическими подходами для описания кинетики фазовых переходов и разрушения.

Положения, выносимые на защиту:

1. Механизмы зарождения и роста полостей в гцк кристаллах, их взаимосвязь с особенностями расположения зоны плавления и границ устойчивости кристалла и жидкости.

2. Частота зарождения и скорость роста полостей, их зависимость от температуры и давления на примере растянутого монокристаллического А1.

3. Подход, позволяющий создать кинетическую модель разрушения на основе данных МД расчетов частоты гомогенной нуклеации и скорости роста полостей.

4. Выводы о возможности перегрева при высокоскоростном растяжении и влиянии плавления на разрушение поликристалла и монокристалла с дефектами.

5. Характер влияния случайных сил на кинетические характеристики фазовых превращений: частоту гомогенной нуклеации, скорость фронта плавления.

Научная новизна работы

Проанализировано расположение границ устойчивости кристаллической и жидкой фаз относительно кривой равновесного плавления для системы с потенциалом Леннарда-Джонса (L J) и алюминия А1. Изучено влияние характера распада достижимых метастабильных состояний на динамическую прочность кристаллов.

Описан новый механизм роста полостей в перегретых монокристаллах при высокоскоростном деформировании: расплавление вещества около пор, стыков дефектов упаковки, вязкостный рост в образовавшемся расплаве. Данный механизм вместе с ростом за счет испускания дислокационных петель может обеспечивать большие скорости роста, имеющие место в откольных явлениях. Определены критические напряжения и скорости роста полостей в зависимости от их размера и температуры.

Предложен подход, позволяющий создать кинетическую модель разрушения на основе результатов расчетов методом МД частоты зарождения и скорости роста полостей. Построена модель разрушения монокристаллического алюминия и предложен вариант включения модели в расчеты в рамках механики сплошной среды.

Изучено влияние дефектов кристалла и плавления: 1) динамическую прочность монокристаллического А1 можно объяснить в рамках гомогенной нуклеации лишь при высоких температурах (Т ~ 0.7 Тт), при более низких Т требуется учет дефектов решетки; 2) наличие дислокационной подсистемы приводит к ослаблению зависимости скорости зарождения полостей от степени растяжения системы, и, соответственно, к сильной зависимости откольной прочности от скорости растяжения; 3) показана возможность перегрева монокристалла при наличии в нем дефектов (дислокационных петель, дефектов упаковки, пор); 4) для поликристалла наблюдается эффект предплавления, заключающийся в том, что при приближении к линии плавления межзеренные границы аморфизуются, а их свойства приближаются к жидкостным; 5) прочности на разрыв однородных кристалла и жидкости в А1 сопоставимы, скорость же роста полостей при тех же внешних условиях в жидкости больше, поэтому локальное плавление не всегда приводит к резкому падению прочности, но значительно активирует рост полостей и таким образом влияет на кинетику разрушения. Этим можно объяснить падение откольной прочности поликристаллических металлов с приближением к температуре плавления.

Выполнено исследование характера влияния случайных сил на скорость забывания начальных условий в динамической системе и кинетические характеристики фазовых превращений (частоту зарождения новой фазы и скорость фронта плавления).

Практическая ценность работы Результаты диссертации могут быть использованы для оценки прочностных характеристик материалов при импульсных нагрузках, расчетов кинетики разрушения в области отрицательных давлений при рассмотрении практически важных задач механики (например, в рамках моделей сплошной среды). Данные о виде фазовой диаграммы, положении границ устойчивости метастабильных состояний могут быть использованы при построении уравнений состояния вещества.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (2002-2008, МФТИ); "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" и "Уравнения состояния вещества" (п. Эльбрус, 2003-2009); Nucleation Theory and Applications (ОИЯИ, Дубна, 2005-2009); Joint U.S.-Russia Conference on Advances in Materials Science (Прага, Чехия, 2009); IUTAM Symposium on Dynamic Fracture and Fragmentation (Austin, USA, 2009); International Conference on Multiscale Materials Modeling (MMM-2008, Tal-lahassee, USA, 2008); American Physical Society topical conference on Shock Compression of Condensed Matter (SCCM-2007, Hilo, USA, 2007); Sandia National Laboratories - Russian Academy of Sciences Program Review Meeting (Livermore, USA, 2006); "Advanced Problems of Mechanics" (Санкт-Петербург, 20072009); "Многоуровневые подходы в физической мезомеханике. Фундаментальные основы и инженерные приложения" (Томск, 2008); "Метастабильные состояния и флуктуационные явления" (Екатеринбург, 2005, 2007); International Workshop on Subsecond Thermopysics (Orlean, France, 2004); "Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем" (ИПМех РАН, Москва, 2007); "Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах" (Новый Афон, 2003, 2004, 2008).

Основные результаты представленной работы следующие:

1. Проанализировано расположение границ стабильности кристаллической фазы относительно кривых фазового равновесия кристалла и жидкости, объяснено различие в механизмах потери устойчивости метастабилыюй кристаллической фазы в зависимости от положения на фазовой диаграмме.

2. Предложен механизм разрушения кристаллов нехрупких металлов при высокоскоростном растяжении при приближении к температуре плавления - локальное расплавление и зарождение полостей в расплаве. Установлено, что с повышением температуры зависимость частоты зарождения полостей от степени растяжения (например, от плотности) становится менее резкой, чем при низких температурах. Это проявляется в усилении зависимости прочности на растяжение монокристаллов без дефектов от скорости деформирования с повышением температуры.

3. Описаны механизмы роста полостей в монокристаллах при высокоскоростном деформировании (при растяжении - испускание дислокационных петель; в перегретых состояниях кристалла - расплавление вещества около пор, стыков дислокационных петель и дефектов упаковки, вязкостный рост в образовавшемся расплаве), оценены критические напряжения для роста полостей различных размеров.

4. Предложена кинетическая модель разрушения, основанная на результатах расчетов методом МД частоты зарождения и скорости роста полостей; предложен вариант включения модели в расчеты в рамках механики сплошной среды; рассчитаны частота нуклеации полостей, скорость роста полостей в монокристаллическом А1 для Т от 300 до 900 К, предложены варианты их теоретического описания.

5. Исследовано влияние дефектов кристалла и плавления на откольную прочность А1 в зависимости от скорости растяжения: 1) динамическую прочность монокристаллического алюминия можно объяснить в рамках гомогенной нуклеации лишь при высоких температурах 0.7 Тт), при более низких температурах требуется учет дефектов кристалла; 2) наличие дислокационной подсистемы в кристалле приводит к ослаблению зависимости скорости зарождения полостей от степени v растяжения системы, и, соответственно, к сильной зависимости откольной прочности от скорости растяжения; 3) показана возможность перегрева монокристалла при наличии в нем дефектов (дислокационных петель, дефектов упаковки, пор);

4) для поликристалла наблюдается эффект предплавления, заключающийся в том, что при приближении к линии плавления межзеренные границы аморфизуются, а их свойства (например, коэффициент диффузии) приближаются к жидкостным;

5) прочности на разрыв однородных кристалла и жидкости в А1 сопоставимы, скорость же роста полостей при тех же внешних условиях в жидкости больше, поэтому локальное расплавление вещества не всегда приводит к резкому падению прочности, но значительно активирует рост полостей и таким образом влияет на кинетику разрушения и прочность. Этим можно объяснить падение откольной прочности поликристаллических металлов с приближением к температуре плавления.

6. Определен характер влияния случайных сил на кинетические характеристики фазовых превращений (скорость фронта плавления и частоту гомогенной нуклеации) и скорость разбегания первоначально близких фазовых траекторий (К-энтропию).

1. Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г. И. Канель, С. В. Разоренов, А. В. Уткин, В. Е. Фортов. — Москва: Янус-К, 1996. — Р. 407.

2. Spall fracture / Т. Antoun, L. Seaman, D. Curran et al. — New York: Springer, 2003. P. 404.

3. Kanel G. I., Razorenov S. V., Fortov V. E. Sliock-wave phenomena and the properties of condensed matter. — New York: Springer, 2004. — P. 321.

4. Канель Г. И., Фортов В. Е., Разоренов С. В. Ударные волны в физике конденсированного состояния // Успехи физических наук. — 2007. — Т. 177. — С. 809.

5. Ivanov D. S., Zhigilei L. V. Combined atomistic-continuum modeling of short-pulse laser melting and disintegration of metal films // Phys. Rev. В. — 2003.— Vol. 68,- P. 064114.

6. Разрушение твердой пленки в результате действия ультракороткого лазерного импульса / С. И. Анисимов, В. В. Жаховский, Н. А. Иногамов и др. // Письма в ЖЭТФ. 2003. - Т. 77, № 11. - С. 731-736.

7. Ablation by ultrashort laser pulses: Atomistic and thermodynamic analysis of the processes at the ablation threshold / A. K. Upadhyay, N. A. Inogamov, B. Rethfeld, H. M. Urbassek // Phys. Rev. B. 2008. - Vol. 78. - P. 045437.

8. Thresholds for front-side ablation and rear-side spallation of metal foil irradiated by femtosecond laser pulse / S. I. Anisimov, N. A. Inogamov, Y. V. Petrov et al. // Appl. Phys. A. 2008. — Vol. 92. - P. 797-801.

9. Molecular dynamics simulation of femtosecond ablation and spallation with different interatomic potentials / V. V. Zhakhovskii, N. A. Inogamov, Y. V. Petrov et al. // Applied Surface Science. 2009. - Vol. 255, no. 24. — Pp. 9592-9596.

10. Воробьев В. С., Малышенко С. П., Ткаченко С. И. Нуклеационный механизм взрывного разрушения проводников с высокой плотностью энергии // ТВТ. — 2005. Т. 43, № 6. — С. 905-918.

11. Barker L. М., Hollenbach R. Е. Laser interferometer for measuring high velocities of any reflecting surface // J. Appl. Phys. — 1972. — Vol. 43, no. 11. — Pp. 4669— -4675.

12. Bloomquist D. D., Sheffield S. A. Optically recording interferometer for velocity measurments with subnanosecond resolution //J. Appl. Phys. — 1983. — Vol. 54, no. 4.-Pp. 1717—1722.

13. Механические свойства вещества при больших скоростях деформирования, вызванного действием лазерной ударной волны / Д. Батани, В. И. Вовченко, Г. И. Канель и др. // ДАН. — 2003. Т. 389, № 3. — С. 328-331.

14. Krasyuk I. К., Pashinin P. P., Semenov A. Y. Specific features of the application of a laser interferometer in the study of shock-wave phenomena // Laser Physics. — 2006. Vol. 16, no. 9. - P. 1345-1351.

15. Zhurkov S. N. Kinetic concept of the strength of solids // Int. J. Fract. Mech.— 1965. Vol. 1, no. 4. - Pp. 311-322.

16. Dynamic fracture criteria for ductile and brittle metals / T. W. Barbee, L. Seaman, R. Crewdson, D. R. Curran // J. of Materials. 1972. — Vol. 7.- Pp. 393-401.

17. Grady D. The spall strength of condensed matter // J. Mech. Phys. Solids. — 1988. Vol. 36, no. 3. - Pp. 353-384.

18. Nicholson D. W. A note on void growth in ductile metals // Acta Mechanica.— 1979. Vol. 34. - Pp. 263-266.i

19. Johnson J. N. Dynamic fracture and spallation in ductile solids //J. Appl. Phys. — 1981. Vol. 52, no. 4. - Pp. 2812-2825.

20. Czarnota C., Mercier S., Molinari A. Modelling of nucleation and void growth in dynamic pressure loading, application to spall test on tantalum // Int. J. Fract. — 2006.-Vol. 141.-Pp. 177-194.

21. Void growth by dislocation emission / V. A. Lubarda, M. S. Shneider, D. H. Kalantar et al. // Acta Materialia. — 2004. — Vol. 52,— Pp. 1397-1408.

22. Dynamic instability in intergranular fracture / V. I. Yamakov, E. Saether,

23. D. R. Phillips, E. H. Glaessgen // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Vol. 95. P. 015502.

24. Yamakov V. I., Glaessgen E. H. To twin or not to twin j j Nature materials.— 2007. Vol. 6. - P. 795.

25. Прочность и разрушение ири кратковременных нагрузках / X. А. Рахматулин,

26. E. И. Шемякин, Ю. А. Демьянов, А. В. Звягин. — Москва: Университетская книга; Логос, 2008. Р. 624.

27. Петров Ю. В., Ситникова Е. В. Проявление аномального плавления при ударном нагружении // ДАН. — 2005. Т. 400, № 4. — С. 480-482.

28. Грудков А. А., Петров Ю. В. Кавитационное разрушение жидкостей с большой и малой вязкостью // Журнал технической физики. — 2008. — Т. 78, № 3. С. 6-10.

29. Малкин А. И., Куликов-Косгпюшко Ф. А., Шумихин Т. А. Статистическая кинетика квазихрупкого разрушения // Журнал технической физики. — 2008. — Т. 78, № 3. С. 48-56.

30. Belak J. On the nucleation and growth of voids at high strain-rates // J. Comp.-Aided Mater. Design. — 1998. Vol. 5. - Pp. 193-206.

31. Belak J. Multi-scale applications to high strain-rate dynamic fracture // J. Comp.-Aided Mater. Design. 2002. - Vol. 9. - Pp. 165-172.

32. Seppala E. Т., Belak J., Rudd R. E. Effect of stress triaxiality on void growth in dynamic fracture of metals: A molecular dynamics study // Phys. Rev. B. — 2004,- Vol. 69. — P. 134101.

33. Seppala E. Т., Belak J., Rudd R. E. Three-dimensional molecular dynamics simulations of void coalescence during dynamic fracture of ductile metals // Phys. Rev. B. 2005. - Vol. 71. — P. 064112.

34. Dislocation nucleation induced by a shock wave in a perfect crystal: Molecular dynamics simulations and elastic calculations / D. Tanguy, M. Mareschal, P. S. Lomdahl et al. // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 68. — P. 144111.

35. Deformation of nanocrystalline materials by molecular-dynamics simulation: relationship to experiments? / D. Wolf, V. Yamakov, S. R. Phillpot et al. // Acta Materialia. — 2005. — Vol. 53. — P. 1.

36. Farkas D., Willemann M., Hyde B. Atomistic mechanisms of fatigue in nanocrystalline metals // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Vol. 94. — P. 165502.

37. Frederiksen S. L., Jacobsen K. W., Schiotz J. Simulations of intergranular fracture in nanocrystalline molybdenum // Acta Materialia. — 2004. — Vol. 52. — Pp. 50195029.

38. Atomistic modeling of shock-induced void collapse in copper / L. P. Davila, P. Erhart, E. M. Bringa et al. // Appl. Phys. Lett. — 2005. — Vol. 86. — P. 161902.

39. Ashkenazy Y., Averback R. S. Shock induced amorphization as the onset of spall // Appl Phys. Lett. 2005. - Vol. 86. - P. 051907.

40. Molecular dynamics simulations of the initial stages of spall in nanocrystalline copper / V. Dremov, A. Petrovtsev, P. Sapozhnikov et al. // Phys. Rev. B. — 2006. Vol. 74. - P. 144110.

41. Germann Т., Valone S.: Tech. rep.

42. Srinivasan S. G., Baskes M. I., Wagner G. J. Atomistic simulations of shock induced microstructural evolution and spallation in single crystal nickel // J. Appl. Phys. 2007. - Vol. 101. - P. 043504.

43. Cao В., Bringa E., Meyers M. A. Shock compression of monocrystalline copper: Atomistic simulations // Metallurgical and Materials Transactions A. — 2007.— Vol. 38A. — Pp. 2681-2688.

44. Бажиров Т. Т., Норман Г. Э., Стегайлов В. В. Кавитация и область устойчивости жидкого свинца при отрицательных давлениях, исследование методом молекулярной динамики // ДАН. 2005. — Т. 405, № 3. — С. 325-331.

45. Норман Г. Э., Стегайлов В. В., Янилкин А. В. Разрушение кристаллического железа при высокоскоростном растяжении, молекулярно-динамический расчет // Доклады Академии Наук. — 2005,— Т. 404, № 6. — С. 757-761.

46. Норман Г. Э., Стегайлов В. В., Янилкин А. В. Моделирование высокоскоростного растяжения кристаллического железа методом молекулярной динамики // Теплофизика Высоких Температур. — 2007. — Т. 45, № 2. — С. 193-202.

47. Скрипов В. П., Файзуллин М. 3. Фазовые переходы кристалл жидкость -пар и термодинамическое подобие. — Москва: Физматлит, 2003. — Р. 160.

48. Скрипов В. П., Коверда В. П. Спонтанная кристаллизация переохлажденных жидкостей. — Москва: Наука, 1984. — Р. 232.

49. Скрипов В. П. Метастабильная жидкость. — Москва: Наука, 1972. — Р. 312.

50. Debenedetti P. G. Metastable Liquids. Concepts and Principles. — Princeton University Press, 1996.

51. Зельдович Я. Б. К теории образования новой фазы, кавитация // ЖЭТФ.— 1942. Т. 12, № 11-12. - С. 525-538.

52. Лифшиц И. М., Гулида Л. С. К теории локального плавления // ДАН.— 1952. Т. 87, № 3. - С. 377-380.

53. Motorin V. /., Musher S. L. Kinetics of volume melting, nucleation and superheating of metals // J. Chem. Phys. — 1984. Vol. 81, no. 1. - Pp. 465-469.

54. Норман Г. Э., Стегайлов В. В. Гомогенная нуклеация в перегретом кристалле, молекулярно-динамический расчет // ДАН. — 2002. — Т. 386, № 3. — С. 328.

55. Norman G. Е., Stegailov V. V. Stochastic and dynamic properties of molecular dynamics systems: Simple liquids, plasma and electrolytes, polymers // Comput. Phys. Comm. 2002. — Vol. 147. — Pp. 678-683.

56. Norman G. E., Stegailov V. V. Simulation of ideal crystal superheating and decay // Mol. Simul. — 2004. — Vol. 30, no. 9. — Pp. 397-406.

57. Dynamic yield and tensile strength of aluminum single crystals at temperatures up to the melting point / G. I. Kanel, S. V. Razorenov, K. Baumung, J. Singer // J. Appl. Phys.- 2001.— Vol. 90. — Pp. 136-143.

58. Spallation model for the high strain rates range / E. Dekel, S. Eliezer, Z. Henis et al. // J. Appl. Phys. — 1998, — Vol. 84, no. 9. — Pp. 4851-4858.

59. Experimental measurment of the strength of metals approaching the theoretical limit predicted by the equation of state / E. Moshe, S. Eliezer, Z. Henis et al. // Appl. Phys. Lett. — 2000. — Vol. 76, no. 12. P. 1555.

60. Гаркушин Г. В., Разоренов С. В., Капель Г. И. Субмикросекундная прочность алюминиевого сплава dl6t при нормальных и повышенных температурах // Физика твердого тела. — 2008. — Т. 50. — С. 805.

61. Spall behavior of aluminum with varying microstructures / X. Chen, J. R. Asay, S. K. Dwivedi, D. P. Field // J. Appl. Phys. 2006. - Vol. 99. - P. 023528.

62. Хеерман Д. В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. — Москва: Наука, 1990. — Р. 176.

63. Frenkel D., Smit В. Understanding Molecular Simulation. From Algorithms to Applications. — San Diego: Academic Press, 2002.— P. 638.

64. Schlick T. Molecular Modeling and Simulation: An Interdisciplinary Guide. — New York: Springer-Verlag, 2002. P. 620.

65. Baidakov V. G., Protsenko S. P. Singular point of a system of lennard-jones particles at negative pressures // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Vol. 95. — P. 015701.

66. Байдаков В. Г., Проценко С. П. Спинодаль и линия плавления леннард-джонсовского кристалла при отрицательном давлении // ДАН. — 2005.— Т. 402, № 6. С. 754-758.

67. Байдаков В. Г., Проценко С. П. Компьютерное моделирование нуклеации в растянутой жидкости // ДАН. — 2004. — Т. 394, № 6. — С. 752-756.

68. Жуховицкий Д. И. 11 Коллоидный журнал. — 2003. — Т. 65. — С. 480.

69. Formation of high density amorphous ice by decompression of ice vii and ice viii at 135 k / C. McBride, C. Vega, E. Sanz, J. L. F. Abascal // J. Chem. Phys.— 2004,-Vol. 121, no. 23.-Pp. 11907-11911.

70. The range of meta stability of ice-water melting for two simple models of water / C. McBride, C. Vega, E. Sanz et al. // Molecular physics. — 2005.— Vol. 103, no. 1.- Pp. 1-5.

71. Zubov V. I., Caparica A. A. A statistical mechanical study of thermidynamic properties of solid sodium under pressures based on an effective interatomic potential // Int. J. of Modern Phys. B. 2004. - Vol. 18, no. 15. - P. 2185.

72. Johnson J., Zollweg J. A., Gubbins К. E. The lennard-jones equation of state revisited 11 Molecular Physics. — 1993. — Vol. 78, no. 3. — Pp. 591-618.

73. Mastny E. A., de Pablo J. J. Melting line of the lennard-jones system, infinite size, and full potential // J. Chem. Phys. 2007. - Vol. 127. - P. 104504.

74. Daw M. S., Baskes M. /., Semiempirical, quantum mechanical calculation of hydrogen embrittlement in metals // Phys. Rev. Lett. — 1983. —Apr. — Vol. 50, no. 17,- Pp. 1285-1288.

75. Daw M. S., Baskes M. I. Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals // Phys. Rev. B. — 1984. — Jun. — Vol. 29, no. 12.- Pp. 6443-6453.

76. Foiles S. M., Baskes M. I., Daw M. S. Embedded-atom-method functions for the fee metals cu, ag, au, ni, pd, pt, and their alloys // Phys. Rev. B. — 1986. — Jun. — Vol. 33, no. 12.- Pp. 7983-7991.

77. Interatomic potentials for monoatomic metals from experimental data and ab initio calculations / Y. Mishin, D. Farkas, M. J. Mehl, D. A. Papaconstantopoulos // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 59, no. 5. - Pp. 3393-3407.

78. Atomistic studies of segregation and diffusion in al-cu grain boundaries / X.-Y. Liu, X. Wei, S. M. Foiles, J. B. Adams // Appl. Phys. Lett. — 1998. — Vol. 72, no. 13. -Pp. 1578-1580.

79. Liu X.-Y., Ercolessi F., Adams J. Aluminium interatomic potential from density functional theory calculations with improved stacking fault energy // Modelling Sirnul. Mater. Sci. Eng. 2004. - Vol. 12. — P. 665.

80. Analysis of semi-empirical interatomic potentials appropriate for simulation of crystalline and liquid al and cu / M. I. Mendelev, M. J. Kramer, C. A. Becker, M. Asta // Philosophical Magazine.— 2008. — Vol. 88, no. 12.— P. 1723 — 1750.

81. Belashchenko D. K. // Russian Journal of Physical Chemistry. — 2006. — Vol. 80, no. 5. — P. 758.

82. Белащенко Д. К. Компьютерное моделирование жидких и аморфных веществ. Москва: МИСИС, 2005. - С. 408.

83. Хищенко К. В., Шемякин О. П. // Физика экстремальных состояний вещества 2006.

84. Lebovitz J. L., Percus J. К., Verlet L. Ensemble dependence of fluctuations with application to machine computations // Phys. Rev. — 1967.— Vol. 153, no. 1.— Pp. 250-254.

85. Voloshin V. P., Naberukhin Y. I. Homogeneity loss phase transition in packings of lennard-jones atoms under density decreasing //J. Mol. Liq. — 1999.— Vol. 82, no. 1-2,- Pp. 19-26.

86. Errington J. R., Debenedetti P. G., Torquato S. Quantification of order in the lennard-jones system // J. Chem. Phys. 2003.- Vol. 118, no. 5,- Pp. 22562264.

87. Lynden-Bell R. M. A simulation study of induced disorder, failure and fracture of perfect metal crystals under uniaxial tension // J. Phys.: Condens. Matter.— 1995. Vol. 7. - Pp. 4603-4624.

88. Байдаков В. Г. О механизме формирования зародышей новой фазы в области сильной метастабильности j j ДАН. — 2004. — Т. 394, № 2. — С. 179-182.

89. Новиков И. И. Термодинамика спинодалей и фазовых переходов. — Москва: Наука, 2000. С. 165.

90. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. — Москва: Изд-во АН СССР, 1945,- С. 424.

91. Кривогуз М. Н., Норман Г. Э. Спинодаль перегретого твердого тела jf ДАН. — 2001. Т. 379, № 2. - С. 177-180.

92. Понятовский Е. Г. Псевдокритическая точка на кривой плавления метаста-бильной фазы // Письма в ЖЭТФ. — 1997. — Т. 66, № 4. — С. 260-262.

93. Иосилевский И. Л., Чигвинцев А. Ю. Спинодальный распад зоны ме-тастабильного плавления в пределе нулевой температуры // Электронный э!сурнал „Исследовано в России".— 2003.— № 3.— С. 20-34. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/003.pdf.

94. Winey J. М., Kubota A., Gupta Y. М. A thermodynamic approach to determine accurate potentials for molecular dynamics simulations: thermoelastic response of aluminum // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. — 2009. — Vol. 17. — P. 055004.

95. Физические величины. Справочник / Под ред. И. С. Григорьев, Е. 3. Мейли-хов. — Москва: Энергоатомиздат, 1991.

96. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика. — Москва: Наука, 1976. — С. 584.

97. Kolesnikova A. L., Romanov А. Е. Misfit dislocation loop nucleation at a quantum dot // Technical Physics Letters. — 2004. — Vol. 30, no. 2. — Pp. 126-128.

98. Dynamic fracture kinetics, influence of temperature and microstructure in the atomistic model of aluminum / A. Y. Kuksin, G. E. Norman, V. V. Stegailov et al. // International Journal of Fracture. — 2009.

99. Ilirth J. P., Lothe J. Theory of dislocations (2nd ed.).— New York: Springer, 1982. P. 857.

100. Compact and dissociated dislocations in aluminum: Implications for deformation / S. G. Srinivasan, X. Z. Liao, M. I. Baskes et al. // Phys. Rev. Lett. — 2005.— Vol. 94. P. 125502.

101. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости. — Москва: Наука, 1987. — С. 248.

102. Куксин А. Ю., Янилкин А. В. Кинетическая модель разрушения при высокоскоростном растяжении на примере кристаллического алюминия // Доклады Академии Наук. 2007. — Т. 413, № 5. - С. 615-619.

103. Simulation of shock-induced plasticity including homogeneous and heterogeneous dislocation nucleations / M. A. Shehadeh, E. M. Bringa, H. M. Zbib et al. // Appl. Phys. Lett. — 2006. Vol. 89. - P. 171918.

104. Янилкин А. В., Куксин А. Ю., Стегайлов В. В. Атомистическое моделирование пластичности и разрушения нанокристаллической меди при высокоскоростном растяжении // ФТТ. — 2008. — Т. 50, № 11. — С. 1984-1990.

105. Журков С. Н., Куксенко В. С., Петров В. А. Физические основы прогнозирования механического разрушения // ДАН СССР. — 1981.— Т. 259, № 6.— С. 1350-1353.

106. Starikov S. V. Melting line of Al. — unpublished.

107. Besold G., Mouritsen O. G. Grain-boundary melting: A monte carlo study // Phys. Rev. B. 1994. - Vol. 50. - Pp. 6573-6576.

108. Duffy D. M., Rutherford A. M. Including the effects of electronic stopping and electron-ion interactions in radiation damage simulations //J. Phys.: Condens. Matter. 2007. - Vol. 19. - P. 016207.

109. Phillips С. L., Crozier P. S. An energy-conserving two-temperature model of radiation damage in single-component and binary lennard-jones crystals // The Journal of Chemical Physics. — 2009. — Vol. 131. — P. 074701.

110. Заславский Г. M. Стохастичность динамических систем. — Москва: Наука, 1984.

111. Норман Г. Э., Стегайлов В. В. Стохастические свойства молекулярно-динамической леннард-джонсовской системы в равновесном и неравновесном состояниях // ЖЭТФ. 2001. - Т. 119. — С. 1011-1020.

112. Куксин А. Ю., Норман Г. Э., Стегайлов В. В. Фазовая диаграмма и спино-дальный распад метастабильных состояний леннард-джонсовской системы // ТВ Т. 2007. - Т. 45, № 1. - С. 43-55.

113. Ваулина О. С., Адамович К. Г. Анализ процессов массопереноса в неидеальных диссипативных системах (численное моделирование) // ЖЭТФ. — 2008. — Т. 133, № 5.-С. 1091-1100.

114. Surface melting of superheated crystals, atomistic simulation study / A. Y. Kuksin, G. E. Norman, V. V. Stegailov, A. V. Yanilkin // Computer Physics Communications. — 2007. — Vol. 177, no. 1-2, — Pp. 34-37.