Бесконечные группы подстановок и группы автоморфизмов 2-однородных линейно упорядоченных множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

едёние. ава I. О строении бесконечной симметрической группы.

§ I. Задача В.Скотта о расщеплении симметрических групп.

§ 2. Среди композиционных факторов бесконечной симметрической группы изоморфных нет.

§ 3. Вложение надгрупп знакопеременной группы в ограниченные симметрические группы. tasa 2. Теоремы вложения для бесконечных симметрических групп.

§ 4. Теорема о стабилизаторе транзитивной подгруппы которая изоморфна fi)

§ 5 Убывающие полные ультрафильтры и теоремы вложения для ограниченных симметрических групп.

§ 6. Прямые пределы симметрических групп и универсальные группы.

1ава 3. 2-транзитивные группы автоморфизмов линейно упорядоченных множеств.

§ 7. Предварительные результаты о 2-транзитивных группах автоморфизмов линейно упорядоченных множеств.

§ 8. Нормальные делители 2-транзитивной группы автоморфизмов линейно упорядоченного множества.

§ 9. 2-однородные линейно упорядоченные множества с изоморфными группами автоморфизмов. зтированная литература.

Целью настоящей работы является исследование бесконечных сим-ютрических групп и их аналогов среди групп автоморфизмов линейно ■порядоченных (л.у.) множеств. Такими аналогами являются группы втоморфизмов так называемых 2-однородных л.у. множеств.

Пусть оС, Д. - бесконечные кардинальные числа, об + - следуйте за оL кардинальное число, и) - первый бесконечный кардинал, '.ормальное строение бесконечной симметрической группы S(x) опирает следующая теорема, доказанная Уламом, Шрейером [69] в счётом и Бэром [26] в общем случае: инвариантные.(нормальные)и суб-;ормальные подгруппы группы X) исчерпываются членами следующе-'о ряда: е <\AfX)<\SfXJw)<. <S(X*) «. <S(/JxD<S(x) ,(D де A fx) - знакопеременная группа на бесконечном мнокестве X , fX*) = $ J fx)\s сдвигает меньшее элементов множества X} ,

1x1 - мощность множества X . В дальнейшем Маурером [57] , иландтом [83] (доказательство Виландта приведено также в книге лоткина рб] ), Скоттом [7lJ , Бертрамом [30] были опублшсова-ы различные доказательства этой теоремы. Композиционные факторы яда (I) исследовались Каррасом и Солитером [ssj , Они доказали, то группаSfx)/Sfx, /х1) ни при каком е/</л/ неизоморфна.группе (Xd^JSfX,^) , и поставили проблему: есть ли среди компози-ионных факторов бесконечной симметрической группы изоморфные?

В книге Скотта (?l] поставлена более общая проблема: следует и из S(X* +)/S(X,*t) ^Sfy,^+)/S(y)js) , что оС шМ=/У/ ?

Скотт (7lJ также доказал, что группы. S(Xtи S (х) не явля-тся расщепляемыми расширениями группы финитных подстановок SfX, со) ри помощи 6(X,^)/S(X> ш) ( соответственно3(х)/3(хг со) ) и поставил опрос: являются ли группы л S(x) расщепляемыми расширениями руппы S(х, Д) , /3<U при помощи SfX^J/S^, fij (соответственно sflO/sfJcfi) )?

Ыаккензи [6l] доказал, что группа S^xJ/SfX, /X/) не вклады-!ается в группу

S(X) , т.е. S(X) не является расщепляемым расши-юнием S(xjx/) при помощи s(x)/srx /X/) . Клер (32] несколько ■бобщил теорему Маккензи. Однако, его обобщение решает вопрос Скот-'а лишь в очень частных случаях.

Решению вопроса Скотта о расщеплении симметрических групп и роблемы Карраса, Солитера о изоморфизме композиционных факторов :освящены соответственно § I и § 2 настоящей работы.

Используя обобщенную теорему Супруненко [is] о неразложимости ранзитивных подгрупп ограниченных симметрических групп и теорему аккензи [61] о пешюжтюстп *S(xJ/S(% /Х/J в S(x) , доказывается.

Предложение 1.4. Группа S(y)/S(y, /У/J не вкладывается в руппу £(х,/У/*) ни при каком X

Из этого утверждения и выводится окончательное отрицательное ешение задачи Скотта о расщеплении бесконечных симметрических рупп.

Теорема 1.5. Группы sMs(x) не являются расщепляемыми асширениями группы Sftfi), j3<°C .

Пусть P<i+(x)=iУ*х/ /у/*и} . Обозначим А * йакоС " ор - множество Pct*(X) по отношению эквивалентности: у Z , ели мощность симметрической разности этих подмножеств меньше оС очевидно, является структурой, в которой операции А , у ндуцируются соответственно пересечением и объединением подмножеств з • Действие подстановок из группы S(Xj на элементах /у * оС пределяет представление группы SfX) автоморфизмами структуры /\ * оС ричём ядром этого представления является подгруппа S (X, °с) .В лу результатов Болла [27] прообразы стабилизаторов ненулевых эле-:нтов Ajf в группе S(x) являются максимальными подгруппами S(X) . [едовательно, rjjynna «5(х)/S(x,*t) слабо примитивная в терминологии у ландта [84] группа подстановок на множестве Л^ \ » где х ноль структуры Л* .В § 2 настоящей работы доказывается, что необ-дальш условием существования изоморфизма групп S(x/S (хи "(К fi У является изоморфизм структур Л.^ и Л*& » а и изоморфны тогда и только тогда, когда оL=f> . Таким образом, )облема Карраса, Солитера имеет следующее решение.

Теорема 2.7. Среди композиционных факторов бесконечной симме-шческой группы изоморфных нет.

В направлении более общей проблемы Скотта имеем: из S(X,cL+)/S(xtoL) -S(y,fi*)/S{y,fi) следует o(~j3 . Открытым остается вопрос: гедует ли из S(X, V/SfcJjzSfySj/Sfyи) , что \Х\ = /У/ ?

Теорема Улама, Шрейера [70] о совершенности бесконечной симме-шческой обобщалась на изоморфизмы надгрупп знакопеременной группы A fx) см. Виландт [83] , [04] , Скотт [7lJ и полуавтоморфизмы Ден-щес [35] , Херштейн и Рухте [13] . Наиболее общий результат, объе-гаяющий оба эти направления, получен Скоттом [72] : пусть Afx)^ -GS(x) , A(y)$F$Sfy) и Cr , F - изоморфные группы, тогда а) шкий изоморфизм индуцируется некоторой биекцией Х-*- У ;

I всякий полуизоморфизм Cr-^F есть произведение отображения 7" •' Сг — & > Tfgj^g'1 и изоморфизма Cr-^F

В § 3 настоящей работы мы пытаемся обобщить эти результаты на южения надгрупп бесконечной знакопеременной группы в симметричес-хе. Полученные при этом утверждения используются в главе П при иссле-)вании проблемы Де-Брейна о вложении бесконечных симметрических эупп.

Теорема 3.2. Если A (y)s&sS(y) и y^-^Sfx, /у/) произльное вложение, то существует такая орбита 2 группы w (G) на южестве X , что ограничение У(С-) на этой орбите индуцируется [ещией .

Следствие 3.3. Пусть A(y)^G-^Sfy) и V-G^-SCx) - такое южение, что V(G) - транзитивная группа подстановок, имеющая нееди-гчное пересечение с подгруппой S(x, /У/) , то А/ - /У/ и У инду-фуется некоторой биекцией У—~х .

В статье Маккензи [6l] в наиболее общей форме сформулирована юблема, изучение которой было начато работами Де-Брейна |3б] , [37] : ише группы вкладываются в группы S(x) ,S(X,d) и S(X,*t)/S(x, js) , & при фиксированном бесконечном Л" , в частности, для каких ip этих групп одна изоморфна подгруппе другой? Первая часть этой юблемы фактически представляет собой программу исследования, коTorn в свою очередь разбивается на ряд проблем. Так, например, пробила Калужнина (п] - Супруненко [18] о исследовании локально конеч

IX гр'упп, которые вкладываются в группу финитных подстановок )жет быть отнесена к этой программе. В этом же направлении лежат ieдующие два вопроса из книги Куроша [4] , стр. 436: для каждого штересного" класса групп К выяснить а) всякая ли К - группа )щности вкладывается в группу £(*) ; б) существует ли такой эрдинал оС , что всякая К - группа вкладывается при подходящем

X в группу S (X, ®0 ?

Интересный подход к проблеме Калужнина - Супруненко, оснований на теореме Виландта [83] о примитивной группе подстановок с фи-ганой подстановкой, предложен в работе Михлеса и Тышкевич [15] . : результаты в различных направлениях были развиты в работах Виголь-1 [82] , П. Неймана [64] , [65] и Сигела [/з] , [74] . Строение си-)вских р - подгрупп группы S (X, со) ранее описано Иванютой Гб] , [7]. жально нилькотентные транзитивные подгруппы S(x, си) исследовал /пруненко [17] .

Де-Брейн [Зб] доказал, что любая абелева группа мощности сяадывается в группу Sfx) . С друтой стороны в любом неабелевом югообразии групп найдется группа мощности 21*1 , которая в S(x) з вкладьшается. Это вытекает из теоремы Маккензи [61] о вложении шмых произведений коммутативных групп в бесконечные симметрические зуппы: ограниченное прямое произведение/7°^; бе I некоммутативных эупп тогда и только тогда вкладывается в группу Sfx) , когда каж-ш группа Gl вкладывается в Sfx) и III $ (х\ . Из этой теоремы, шже вытекает, что ограниченное прямое произведение 2W копий зуппы S(x) в S(x) не вкладывается. Свободное же произведение ший группы S(x) , как доказав'! Де-Брейн [36] , в Sfx) вкладывает-I. Б связи с последним результатом Шщельским [62] была выдвинута шотеза: всякая свободная группа вкладывается при подходящем X в эуппу S(x, со V . Контрпример к этой гипотезе привел Маккензи [31] . сончательно вопрос о вложении свободных групп в ограниченные симме-жческие группы S(x, <ц) решен Шелахом [75] , |76j : свободная груп-1 мощности у тогда и только тогда вкладывается в группу Sfx, )гда найдется jn <оС такое, что у . Из этой теоремы и результатов § 5 настоящей работы следует, что при условии выполнения ОКГ зободная группа мощности 2оС+ не вкладывается в группуS(x,cc)/sfic,js) 1 при каком X

Первый пример группы, которая не вкладьшается в группу S(X, со +) I при каком х , приведен в статье Кнезера и -Сверчковского [54] , жазавших, что свободная метабелева группа мощности (2со)+ не вкла-шается в 5fx, со*) ни при каком х . Отвечая на вопрос Мицельского [62] : всякая ли группа мощности оС вкладывается в группу S(x,<>c) , шкензи 61 доказал, что группа С<с с образ'ующими Cj£<c0tC ie со*с - начальное порядковое число мощности оL и определяющими ^отношениями cLsisaeSs » с , а^ = € , <z{ = сгж о£ , = , af а€ , £ не вкладывается в группу

S (х, «0 ни при каком X . Некоторые свойства группы С^ приводит юр [32] . Другие примеры групп мощности ьС , которые не вкладывали в S(x,bi) приводятся в § I настоящей работы (см. следствие 1.6,, юдствие 1.8.).

Вторая часть сформулированной выше проблемы Де-Брейна представ-[ет собой самостоятельную задачу, которую пере формулируем в следую-зм виде: для класса групп, состоящего из бесконечной симметрической зуппы S(x) , её нормальных делителей S(X, <<) и фактор-групп V,»l)/S(Xt р) выяснить когда одна из гр'упп этого класса вкладьшается другую группу.

Понятно, что этот вопрос связан с проблемой определения интек-)в подгрупп симметрических групп. Первый результат в этом направле-т был получен Гохоном [39] , который обобщил теоремы Г.Хигмана [44] об индексах подгрупп А(х) , доказав, что собственная подгруп-1 G группы Sfx,oQ имеет индекс & /х1 за исключением оL=to ,

-А (л) •

Из результатов Болла [28J вытешет, что из IXl^ = 1x1 следует южимость группы S(x)/S(X, в S(x) . С другой стороны, как уже смечалось выше, Маккензи [61] доказал невложимость )/$(*> MJ

S(X) .

В § 4, § 5 настоящей работы вопрос о существовании вложения штор-группы S(X,oL)j/S(XljSj в ограниченную симметрическую группу (X, Л) сводится к вопросу о существовании над множеством X уль-зафильтров с определенными свойствами.

Пусть D - ультрафильтр над X . Рассмотрим 2> как структу-j (т.е. как подструктуру структуры всех подмножеств множества X ) обозначим Aui J) группу всех автоморфизмов этой структуры. Как 5гко видеть, тлеет место следующее утверждение: если 2) - ультра-тльтр над X , то AutD — Aut*LsisE S(x) для любого yej) » для некоторого Уя f 2) s индуцирует тожественную дстановку } . Рычман [67] доказал, что Aut*D является ксимальной подгруппой группы S(x) . Подробно строение группы t* D исследовал Санерыб [68] . Обозначал Au-t*D пересечение t*£ с подгруппой ^AXJ . Очевидно, Aut^D=s(x, об) тогда и толь-• тогда, когда 2) содержит все подмножества X , дополнения ко-Фых имеют мощность меньше оС .

Основным результатом § 4 настоящей работы является следующая юрема о стабилизаторе.

Теорема 4.2, Если yP!Sfcc6)—-Sfy,A), Л $ \х\ - транзитивное юдставление группы «SAWj ограниченными подстановками и Стабилизатор некоторого элемента множества У в группе Ч*(S(x,и)) , | найдется такой ультрафильтр Ь над X , что А и t^ 2)

Обозначим fiX множество всех ультрафильтров на X • Группа fx) естественным образом действует на множестве * Для каждо неглавного ультрафильтра D положим m(D)*rnini*C/ существует дмножество мощности оС принадлежащее D j .

Из определения вытекает, что если с - орбита группы S(x) на \Х , для элементов которой m/D)saL , то ограничение S(x) на С дуцирует вложение S(X)/S(X, Sfc) . Кроме того, С является .кже орбитой группы SCx,oC*J .

Следствие 4.4. Группа Sfx,oc)/S(x,тогда и только тогда ладывается в группу S (У, Л), Л £ \х\ , когда найдется такая орби-, С группы S(X,oC) на множестве рХ ,что

1) для каздого Ъе Су т /2)/ ~jB ;

2) /С/4: /У/ ;

3) каждый элемент из группы S(X,d) сдвигает на с меньше Л ътрафильтров.

В § 5 доказывается, что при условии выполнения ОКГ вопрос о :ожении фактор-групп ограниченных симметрических групп в ограничение симметрические группы сводится к вопросу о существовании убываю: полных ультрафильтров.

Следуя Чену [3l] , ультрафильтр D над множеством X назы-.ется убывающе oL - полным, если пересечение любой убывающей со^с-|следовательности подмножеств из D также принадлежит D . Мы ! будем останавливаться на вопросе о существовании убывающе ->лных ультрафильтров (см., например, [31, 22, 23] ), Во всех сформу-[рованных ниже результатах § 5 предполагается выполнение ОКГ.

Теорема 5.3. Тогда и только тогда существует вложение

L)/S(x,j&)^S(Y/ju.)>*i<y4.<lx\ , когда либо cf(Ixl) >ft , либо Cf(/ х/) и существует над множеством мощности js однородный >ывающе cf(/*l) - полный ультрафильтр.

Теорема 5.5. Пусть \Х\ < М . Группа 3 (X, ^)/S(XfJsX jS < оС гда и только тогда вкладывается в группу S(ytu) , когда выпол-:ется одно из следующих условий: а) оL ~ предельное кардинальное число; б) оL - непредельное кардинальное число и cffo6) >J2> *) в) оС - непредельное кардинальное число, cf (£) и суще-?вует над множеством мощности £ однородный убывающе cf(<Z) полги ультрафильтр.

Из теорем 5.3., 5.5. вытекает также решение вопроса о вложении )уппы S(xt *)/S(X,j3) в S(x,<x)

Следствие 5.6. Группа /S(XfJe}?jB<ot вкладывается в групг SfX,oC) только в следующих трех случаях:

I) выполняется одно из условий а)-в) из теоремы 5.5. и

Для непредельного 06 через £ обозначаем максимальное меньшее ос кардинальное число.

2) Cf(l*l<£ , выполняется одно из условий а), б) из теоремы ,5. и над множеством мощности JS существует однородный убывающе '(1*1) полный ультрафильтр;

3) U - непредельны!! кардинал, /nctxfcff/X/^ cf(vi) <jq и тцествует над множеством мощности ft однородный ультрафильтр, кото-& одновременно является и cf(lxj) iicffe) убывающе полным.

Группа \J класса К называется -универсальной к - группой )щности оL , если ftf/*и любая К - группа, мощность которой ^ вкладывается в группу V . Группа универсальная в классе всех )упп называется просто универсальной. Б. Нейман [бз] доказал, что шверсальной счетной группы не существует. Более того, как доказа-i Каргалолов [8] и Смит [78] , универсальной счетной группы нет да-5 в классе трехступенно разрешимых упорядочиваемых групп. Однако, ж условии выполнения ОКГ йонсон [5]] доказал существование универ-1льных групп для всех бесконечных несчетных мощностей. Универсальная )уппа мощности оС называется однородной -универсальной группой, если )бые две изоморфные подгруппы группы V , мощность которых меньше •L в ней сопряжены. Из теоремы Йонсона [52] (см. также анонс Вотта (SO] ) следует, что при условии выполнения 010? для каждой регулярно более чем счетного кардинала оС существует единственная с точ-)стыо до изоморфизма однородная универсальная группа мощности U шверсальная однородная локально конечная группа построена Ф. Холлом [40] . Такой группой является объединение возрастающего ряда конеч-к симметрических групп ол0 -~o/rf —. — ••• , где

7* / и :SnK - регулярное представление. Ф.Холл жазал, что группа H°V"Sn^ является универсальной локально конеч->й счетной грешной и она определяется единственно с точностью изо-)рфизма в классе локально конечных групп следующими условиями: а) Н счетная локально конечная группа, содержащая изоморфный образ лю->й конечной группы; б) любые две конечные изоморфные подгруппы lyrnibi H в ней сопряжены. Другие классы групп, для которых суще-■вуют счетные универсальные гр'уппы рассматривались в статьях Г.Хиг-иа [45] , Базаева [i] , Валиева (4] .

Как известно, бесконечная симметрическая группа Sfx) не явля-'ся универсальной группой мощности 2^*1 . Однако, как доказывается § 6 настоящей работы, универсальными группами являются некоторые дуктивные пределы бесконечных симметрических групп.

Элемент S€ S(x) называется регулярной подстановкой, если все •о циклы имеют одинаковую длину. Группа подстановок, все элементы •торой - регулярные подстановки, называются полурегулярной группой установок.

Теорема 6.2. Пусть о^ > и> и группа 1/ такова, что

1) V является индуктивным пределом бесконечных симметрических >упп: S(Xt)—. — S(Xe)—.>£<u)bi , где (Х{/<оС я всех €< и является собственной подгруппой группы

2) всякая регулярная подстановка в группе S (Хе) является так! регулярной подстановкой и в группе S(.'Хл) для всех Л >£ ; >гда V содержит изоморшнш! образ любой группы мощности оС и и условии вьшолнения ОКГ она является универсальной группой мощ->сти оС

Для построения универсальных групп, удовлетворяющих условию юремы 6.2., воспользуемся конструкцией диагональных вложений групп установок, введенной Яаргаполовым, Мерзляковьш и Реиесленниковым 9, ю] для доказательства существования пополнения в различных taccax групп и вложения групп в полные простые группы. Эта конструк-[я использовалась также Шутовым [р4] при доказательстве теорем вложил для полугрупп. Пусть X, У - непустые множества. Вложение

S(x) S (X* У) называется диагональным, если для всех s £ s(x) s)(x,y)4S(x),y) .

Каждому порядковому числу £< а) ы. поставил в соответствие ти «г ожество С^ мощности £ + со » где £ - мощность порядкового чис-i £ . В каждом множестве С е фиксируете элемент . Обозначим С-% ^множество множества ЖС£, , состоящее из всех элементов координаты которых отличны лишь на конечном ожестве мест. Для каждогоXс со^ С^^^С71 хС^ и естественны!,] (разом определяется диагональное вложение S(c . Имеем врастающий ряд диагонально вложенных друг в друта симметрических гупп: Sic1) — SCcг)—,,, ,. , aJgC , объединение

•торого обозначит-л . w^l является группой подстановок на С .

Следствие 6.3. I) Любая группа мощности оС изоморфна некото-& подгруппе группы Wd » причем эта подгруппа может быть выбрана iK, что она является полурегулярной группой подстановок на множе-ве С ;

2) При условии выполнения ОКГ группа является ушгоерсаль->й группой мощности об для всех оС > и) .

Изоморфные полурегулярные подгруппы группы W^ , мощность кото-ix меньше cffoi) оказываются сопряженными в группе Wot • Отсюда и i следствия 6.3. выводится.

Теорема 6.5. Пусть U >и> - регулярный кардинал, тогда при ;ловии выполнения ОКГ универсальная однородная группа мощности оС шлется объединением возрастающего ряда подгрупп изоморфных W^ .

Для счетных локально конечных групп имеет место следующий ана->г теоремы 6.2., который обобщает упомянутую выше теорему Ф.Холла.

Теорема 6.6. Пусть счетная локально конечная группа такова, о

I) является объединением возрастающего ряда конечных симметри-зских групп: SП1 — .S/^—. ♦ причем для любого лого /71 найдется такое L , что гп делит пс ;

2) всякая регулярная в группе Sn подстановка регулярна таки BSni + i ; гда группа содержит изоморйный образ любой счетной локально нечной группы.

Группа Ф. Холла [40] , очевидно, удовлетворяет условию теоремы 6. Следующая группа рассматривалась в статье Каргополова, Мерзляко-и Ремесленникова [ю] как пример полной простой группы: пусть = С / и Sr>i диагональное вложение, обозначим S{i j ъединение возрастающего ряда диагонально вложенных друт в друга нечных симметрических групп: Sf / уппа За) также удовлетворяет условию теоремы 6.6. Вообще суще-вует 2Ш попарно неизоморфных групп, удовлетворяющих условию этой оремы. Отсюда, в частности, вытекает.

Следствие 6.II. Существует 2Ш попарно неизоморфных простых етных локально конечных групп, каждая из которых содержит изоморш-й образ любой счетной локально конечной группы.

П. Нецман (Коуровская тетрадь, проблема 5.40) поставил вопрос: усть С- - счетная группа подстановок на множестве X . Предполо-м, что она /с - кратно транзнтивна для любого целого К и имеет дшичное пересечение с S(x, со) . Ыожно ли так отождествить .Y с диональной плоскостью Q * Q , что £ становится её группой авто-меоморфизмов?" В § 6 настоящей работы доказано, что группа подставок, порожденная объединением возрастающего ряда .диагонально вложеп-х друг в друта конечных симметрических групп Sp» и бесконечной клической подстановкой является контрпримером к указанному предложению П. Неймана.

Пусть (X, 4:) - линейно упорядоченное (л.у.) множество. Обозначим Aut(x,<)группу всех его автоморфизмов. Подгруппа зывается ft - транзитивной, если для любых элементов Xi <••• <Хк У1< . < Ук т X найдется такой ре С- , что для jex L - i} ч.} к •

Г. Хигман рассмотрел класс л.у. множеств, для которых most быть проведена параллель между строением группы Aut (X, и ?роением бесконечной симметрической группы S(x) . Таковыми окатись л.у. множества, удовлетворяющие следующим эквивалентны!/] усло-шм:

1) группа Aut (X, 2-транзитивна;

2) группа Aut(X, £) к -транзитивна для всех К, 2^к< ;

3) л.у. множество X не обладает ни наименьшим, ни наибольшим юментами и каждые два его интервала подобi (т.е. изоморфны).

Впервые на эту параллель указывалось в обзорном докладе Виландта [84] и его лекциях [83] . Дальнейшие исследования Холланда, Ллойда, пшлери и др. показали, что для групп автоморфизмов л.у. множеств ■транзитивные Aut(X, 4?) ведут себя как симметрические группы для )упп подстановок неупорядоченных множеств.

Л.у. множества с 2-транзитивными группами автоморфизмов (в даль-гйшем их будем называть 2-однородными), естественно возникают в раз-гчных областях. В частности, они используются при доказательстве юремы вложения структурно упорядоченных групп в полные структурно :орядоченные группы (см. Ллойд [55] , Вейнберг [8l] ). Таковыми у. множествами, очевидно, являются действительная и рациональная )ямые, однородные универсальные л.у. множества Хаусдорфа [42] и д. Широкий класс таких л.у. множеств доставляет линейно упорядочен-[е поля (см. [44, 48, 81 ] ).

Место 2-однородных л.у. множеств в классе всех однородных (т.е. юющих транзитивную группу автоморфизмов) л.у. множеств определяет едующая теорема Ллойда [бб] , Холланда [47] : если Aut (X, анзитивная группа подстановок выпуклые области импримитивности торой тривиальны, то либо Aut (X, - 2-транзитивная гр'уппа, бо Awt(Xt$) - регулярная группа подстановок.

Л.у. множества с регулярными AictfX, исследовал 0кума [бб] .

Г. Хигман (44] доказал, что если X - 2-однородное л.у. множе-во, то нормальный делитель группы Aut (К А(Х} = Aut(Xt *)/ Тхд ограничено сверху и снизу J, Тгд -fjce являетпростой группой. Как заметил Виландт [64] , А (X, является един-венным минимальным нормальным делителем группы Aut (X, и зани-.ет в ней то же положение, что знакопеременная группа в симметричес-й. Кроме А(х, группа Aut(x, обладает еще двумя естественными рмальными делителями А (X, 4) и раничено сверху J , А(Х, geAut(Xt^)j Т^д ограничено сниз$"

§ 7 настоящей работы содержит ряд предварительных утверждений, торые используются в § 8, § 9. Основной целью § 8 является доказа-льство теоремы о нормальной структуре группы всех автоморфизмов однородного л.у. множества.

Теорема 8.1. Пусть группа Aut(X- 2-транзитивна, тогда тривиальные нормальные и субнормальные подгруппы этой группы исчер-ваются подгруппами А (X, А (х, 4) и А (X,

Для случая действительной прямой этот результат получен Ллойдом м. Фукс [2l] , стр. 135, см. также Бурбаки [з] , стр. 194, 195). енбад [38] заметил, что метод Холланда |4б] , дает возможность казать эту теорему для так называемыхSHС - множеств, т.е. л.у. :ожеств, удовлетворяющих условиям: а) X содержит счетное неограни-нное сверху и снизу подмножество; б) любые выпуклые открытые под-:ожества X изоморфны. Отметите, что доказательство теоремы 8.1. в щем случае принципиально отличается от доказательств для указанных ше частных случаев.

Известно, что группа Aut(X, становится структурно упорядочен-й (с.у.) группой, если положить (х) ^fC^) для всех р х . Как доказано Холландом (4б] всякая с.у. группа вкладывается группу всех автоморфизмов некоторого л.у. множества. В ряде работ лланда, Ллойда и Макклери (см., например, [47, 49, 55, 58] ) иссле-'вались следующие вопросы о свойствах с.у. групп Aut(X, . а) Каким условиям должны удовлетворять л.у. множества (X, , чтобы с.у. группы и Aut(yt ^J были -С - изоморфб) Что можно сказать об автоморфизмах группы Aui(X, , ко->рые сохраняют её структурный порядок ( £ - автоморфизмах), в част-)сти, когда с.у. группа Aut(X, ^J является С - совершенной?

Из результатов этих работ следует, что в классе 2-однородных ■у. множеств выполняются.

1. Если Aut(X, ViAwtCy^) изоморфные с.у. группы, то л.у. [ожество (X, изоморфно некоторой орбите группы AutCy, на деде-гндовом пополнении У л.у. множества У

2. Всякий 6 - изоморфизм (т.е. изоморфизм сохраняющий структурой порядок) с.у. групп Aut(xt £s)—A(jtC</f й:) индуцируется некото-ш изоморфизмом л.у. множеств (-Х, (У.

3. € - автоморфизмы группы Aut(X, индуцируются автомор-гзмами л.у. множества (Xt 4.J .

4. С.у. группа Aut(Xf ^J тогда и только тогда является € - со-ершенной с.у. группой, когда среди её орбит на множестве XI X нет зоморфных (X) .

Целью § 9 настоящей работы является изучение взаимосвязи абстрак-гой группы Aut(X, и 2-однородного л.у. множества (х, групй всех автоморфизмов которого она является. Исследуются свойства ■однородных л.у. множеств с изоморфными, как абстрактные группы, )уппами автоморфизмов, а также внешние автоморфизмы 2-транзитивной >уппы Autfc . Основную роль при этом играет следующее утвержде-[е.

Предложение 9.2. Всякий изоморфизм Aut СК Aut СУ, у групп :ех автоморфизмов 2-однородных л.у. множеств либо сохраняет (т.е. шляется £ - изоморфизмом), либо обращает (т.е. является - изо->рфизмом) структурный порядок этих групп.

Из этого утверждения и результатов Холланда, Ллойда и Макклери ЕВОДИТСЯ.

Теорема 9.4. I) Пусть группы Aut СX, и Aut СУ, 2анзитивны. Если они изоморфны как абстрактные группы, то л.у. [ожество (X, is) либо изоморфно, либо антяизоморфно некоторой орбите )уппы Aut СУ, на множестве У .

2) Всякий групповой изоморфизм 4*:AutCx, индуци-гется либо изоморфизмом, либо антиизоморфизмом л.у. множеств (X,

У, .

3) Автоморфизмы группы Aut fe, индуцируются автоморфизма!,1И антиизоморфизмами л.у. множества СХ, 4?)

4) Группа AutCx, &J тогда и только тогда является совершенной ууппой, когда среди её орбит на множестве X 4 X нет ни изоморфных, 1 антиизоморфных (X, и само л.у. множество (X, не обладает 1тииз оморфизмами.

Для частного случая SHC - множеств этот результат получил зенбад [38] .

Ллойд [55] доказал, что всякая с.у. группа вкладывается в Е -шершенную с.у. группу. Эту теорему обобщает.

Следствие 9.13. Всякая с.у. группа вкладывается в с.у. группу, •торая является совершенной как абстрактная группа.

В силу известного результата Зайцевой [б] , Кона [33] , Конрада 34] (см., например, книгу Кокорина и Копытова [12] , стр. 104-105) lynna Aut(X, является правоупорядоченной группой, и, следователь>, всякая правоупорядоченная группа вкладывается в правоупорядочен-по группу, которая является совершенной как абстрактная группа. Блу->в и Кокорин [2] доказал:-!, что всякая полуоднародная структурно упо-[доченная группа вкладывается в группу всех автоморфизмов и анти->томорфизмов некоторого л.у. множества. Таким образом, всякая полу-щородно структорно упорядоченная группа вкладьшается в полуоднородно ?руктурно упорядоченную группу, которая является совершенной как ютрактная группа.

Для групп автоморфизмов 2-однородных л.у. множеств тлеет место гедующий аналог теоремы об изоморфизмах надгрупп знакопеременной )уппы в бесконечной симметрической.

Теорема 9.16. Пусть А(хг SAut(xy ^ ^FSAutfy, 4?),Х, У

2-однородные л.у. множества и G-, F - изоморфные группы, тогда )який изоморфизм G--—F единственным образом продолжается до изо->рфизма Ac/t(x, **)—Aut(y, . В частности, все автоморфизмы группы С- единственным образом продолжаются до автоморфизмов группы и±(Х,йг) .

Следствие 9.17. Все автоморфизмы групп А (х, и А (X, зляются С - автоморфизмами.

Отсюда вытекает положительный ответ на вопрос Макклери (бО] : гсть X -однородное универсальное л.у. множество Хаусдорфа |L2] , щщируются ли все автоморфизмы подгрупп А (X, и А (X, внутренняя автоморфизмами группы A ut (X, ?

Следствие 9.18. Если X - однородное универсальное л.у. множево Хаусдорфа, то все автоморфизмы подгрупп А (X, и А (Х} дуцируются внутренними автоморфизмами группы Aut(X,

Основные результаты диссертации опубликованы в |85-9б] . Работы 8б] , [92] выполнены совместно с В.З.Фейнбергом. В этих работах З.Фейнбергу принадлежит постановка задачи и руководство работой.