Бифуркация автоколебаний в сложных LCRG-системах с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

РГб од

1 ¿1 иг Ш

На правах рукописи

ФЕДОТОВ НИКОЛАЙ БОРИСОВИЧ

БИФУРКАЦИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ В СЛОЖНЫХ ЬСЬШ-СИСТЕМАХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Специальность 01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 2000

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук,

профессор Камбулов В.Ф.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Глущснко А.Г. кандидат физико-математических наук, доцент Тяпухин П.В.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Научно-исследовательский институт

Защита диссертации состоится « » ¿г 2000 г.

в час на заседании диссертационного совета К 118.10.02 в Поволжской государственной академии телекоммуникации и информатики по адресу: 443010, г. Самара, ул. Льва Толстого, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПГАТИ.

Автореферат разослан 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

связи ( г. Воронеж )

доктор технических наук, профессор

Карташевский В.Г.

ШЯ-йк.ЗЗ-Мь.О

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.. В последние годы наблюдается бурное развитие микроэлектроники, позволившее усовершенствовать радиоэлектронное оборудование: уменьшать вес, габариты, стоимость и повысить его надежность. Отметим, что данная тенденция затронула и автогенераторы с распределенными параметрами.

Современная радиоэлектронная промышленность предъявляет к автоколебательным устройствам достаточно жесткие требования, поэтому возникает необходимость их совершенствования и дальнейшего развития теории и методов анализа. С другой стороны исследование бифуркаций автоколебаний в радиофизических системах с распределенными параметрам!! позволяет лучше понять физику колебательных движений, существующих в различных явлениях природы.

Как известно[Л.1,2], в настоящее время теорию нелинейных колебаний в устройствах с сосредоточенными параметрами можно считать достаточно хорошо развитой. Однако для распределенных систем этого сказать нельзя. Последнее связано с тем, что интерес к нелинейным колебаниям в распределенных системах значительно возрос лишь в последние десятилетия[Л.З,4]. Поэтому методы исследования распределенных систем носят, как правило, эвристический характер.

Таким образом, возникает необходимость в развитии новых направлений в математическом моделировании, в разработке модификаций классических методов исследования и в использовании новых методологических подходов при анализе автоколебаний в сложных [ХКО-системах с распределенными параметрами.

Наиболее изученной моделью системы с распределенными параметрами является модель КС-автогенератора. Для

LCRG-автогенераторов, . обладающих выраженными индуктивными свойствами, подобного исчерпывающего анализа до сих пор не было, хотя и имеется ряд результатов их исследования [Л.5-8]. Одним из таких результатов, отражающих специфические особенности

LCRG-автогенераторов, является следующий: при определенных условиях в распределенной системе существует набор устойчивых периодических колебаний, причем реализация любого из них определяется заданием начальных условий [JT.9, 10]. Такие режимы можно использовать для создания устройств памяти — для запоминания частоты кратковременного внешнего воздействия. Отметим, что это явление присуще и некоторым автогенераторам с сосредоточенными элементами с числом степеней свободы п>2. В дальнейшем описанный выше феномен будем называть многоцикличностью.

Как уже отмечалось, многоцикличность имеет место во многих автогенераторах с распределенными и сосредоточенными параметрами. Одними из первых работ, в которых изучалось это явление, являются классические работы A.A. Андронова, A.A. Витта, В.М. Бовшеверова, Г.С. Горелика, С.П. Стрелкова, К.Ф. Теодорчика и др.

Отметим, что в настоящее время еще „не разработана достаточно полная теория LCRG-автогенераторов с распределенными параметрами, в частности, не изучены некоторые вопросы явления многоцикличности. Не исследован ряд важных задач, связанных с динамикой этого феномена при изменении следующих параметров системы: 1) распределенных активных потерь в линии и сосредоточенных импендансов на ее концах; 2) входных и выходных "паразитных" индуктнвностей и емкостей активного элемента и других ее "неидеальностей" (инерционности и т.п.); и т.д. Во многом это связано с проблемой математического моделирования указанных

генераторов. Именно предложение ряда новых математических постановок и определило успех качественно более глубокого исследования Г.ССИ-автогснераторов, проведенного в настоящей работе.

Как отмечалось выше, явление многоцикличности может рассматриваться как позитивный фактор и использоваться при создании ряда радиотехнических устройств. Однако в других случаях многоцикличность - нежелательное явление, которое требуется устранять. В диссертационной работе предлагаются новые способы разрушения многоцикличности в 1Х!Ю-системах, позволившие обеспечить стабильные режимы генерации.

Целью работы является исследование общих закономерностей и динамических свойств явления многоцикличности для широкого класса сложных 1ХКС-снстем с распределенными параметрами при "мягкой" нелинейности активного элемента.

Научная новизна работы заключается в том, что:

1. Впервые исследовано влияние на многоцикличность неидеальностей усилителя в ЬСКО-генсраторе с длинной линией в цепи обратной связи.

2. Впервые изучено поведение многоцикличности в ЬСв-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью при увеличении подаваемой в систему энергии в широком диапазоне значений.

3. Впервые предсказано теоретически и подтверждено экспериментом явление высокомодовой (высокочастотной) многоцикличности в ЬССг-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной

проводимостью и в ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим ТЧ-образную характеристику.

4. Впервые изучено влияние на многоцикличность отрезка дополнительной линии, сильно индуктивно взаимодействующей с основной линией базового ЬСИ-аатогенератора.

5. Разработаны специальные варианты асимптотических методов малых параметров (Андронова - Хопфа и Крылова - Боголюбова -Митропольского) для расчета автоколебаний в сложных распределенных автоколебательных системах.

Обоснованность и достоверность полученных результатов

подтверждается:

• строгостью разработанных математических моделей изучаемых физических объектов;

• использованием математически обоснованных методов решения поставленных задач;

• согласованностью полученных результатов с известными результатами для аналогичных постановок задач и областей параметров;

• соответствием теоретических и экспериментальных результатов.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

1. Разработаны специальные аналитические варианты расчета автоколебательных режимов в сложных ЬССН-системах, которые позволили создать новые передающие устройства с заданными характеристиками.

2. Развиты новые численные методы анализа сложных распределенных

систем, которые применялись при проектировании радиоэлектронных запоминающих устройств.

3. Результаты анализа бифуркации автоколебаний в сложных 1X011-системах могут быть использованы при конструировании различного рода электронных приборов как с распределенными, так и дискретными параметрами.

4. Предложетгы методологические подходы и развиты асимптотические методы анализа, которые позволили провести строгий анализ полученных краевых задач.

5. Результаты диссертации могут быть использованы в различных областях науки, например, при изучении колебательных и волновых процессов в экологии, биологии, медицине и т.д.

6. Результаты диссертации используются на физическом и математическом факультетах Ярославского государственного университета при проведении занятий по специальным дисциплинам и написании курсовых и дипломных работ студентами старших курсов.

Апробация работы. Приведенные в диссертационной работе теоретический и численный анализы установившихся автоколебательных режимов в сложных 1Х1Ю-системах с распределенными параметрами были применены при разработке практических схем автогенераторов на кафедре радиофизики Ярославского госуниверситета, в Институте микроэлектроники РАН и на предприятиях радиоэлектронной промышленности г. Ярославля. Они обсуждались па научных семинарах кафедры математической кибернетики и кафедры радиофизики, в Воронежском научно-исследовательском институте "Вега", а также докладывались:

1.Ha Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям и волновым процессам. Горький. 1980.

2.На межвузовских научных конференциях молодых ученых по проблемам нелинейных колебаний в естествознании. Ярославль в 1981 и 1983.

3.На Всероссийской 55-ой научной сессии, посвященной дню радио. Москва. 2000.

4 .На научном семинаре в НИИ связи. Воронеж. 2000.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 7 статей и 2 тезиса докладов на научно-технических конференциях.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новые математические модели для сложных LCGR-автогенераторов и новые постановки задач, которые более адекватно отражают изучаемые свойства реальных физических устройств.

2. Специальные варианты методов малых параметров (Андронова-Хопфа, Крылова-Боголгобова-Митропольского) для исследования явления многоцикличности в LCGR-автогенераторов с распределенными параметрами.

3. Результаты исследования буфуркаций многоциклических автоколебаний:

• в LCRG-автогенераторе с отрезком длинной линии в цепи обратной связи с учетом неидеальности усилителя;

• в LCG-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью;

• в LC-линии с активным элементом на конце, имеющим N-образную характеристику;

• в базовом LCR-автогенераторе, основная линия которого сильно индуктивно взаимодействует с отрезком дополнительной LCR-линии.

4. Результаты проведенных экспериментов, которые подтвердили основные теоретические расчеты и позволили предложить практические рекомендации при создании реальных физических устройств.

Структура н обьем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Она изложена на 128 страницах, содержит 25 рисунков, список литературы из 80 наименований.

Содержание работы.

Во введении дан краткий обзор современного состояния вопроса, обоснована актуальность темы, определена цель исследования, кратко изложено содержание работы, перечислены положения, выносимые на защиту.

В первом параграфе главы 1 приводится краевая задача, которая является математической моделью LCRG-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи. Анализируются условия самовозбуждения генератора. Приводится доказательство разрешимости начальной задачи Коши.

Параграф 2 посвящен анализу автоколебаний в LCGR-автогенераторе с неидеальным усилителем, в котором учтены малое

выходное и достаточно большое, но конечное входное активные сопротивления. Здесь в качестве математической модели выступает краевая задача вида

ди д? де ди ...

— =---а, и, — =---сср, С1)

й й: д. ск

где и,\> - переменные составляющие напряжения и тока в линии,

параметры а15<Х2 характеризуют свойства линии, а параметры

(I, = 0,1,2 -отражают специфику усилительного каскада.

На основе специального варианта метода Крылова-Боголюбова-Митропольского, получившего в диссертационной работе дальнейшее развитие, была получена укороченная система уравнений

- + )¿„ = — 2 4 2 J " (О,.

Здесь fn - коэффициент при ехр(гй>лу) ряда Фурье функции yw - (l + j32)w3 , где

со

w(s, у) = £ z„ (s) exp (ia>„y) + z„(s) exp(- icony).

n=0

Исследование укороченной системы уравнений показало, что учет малых неидеальностей усилителя не влияет на динамику автоколебаний в генераторе (сохраняет многоцикличность), и приводит лишь к увеличению критического значения коэффициента усиления, необходимого для их возникновения.

В этом же параграфе изучается влияние паразитных факторов на автоколебания в LCGR-генераторе. Выявлено, что в отличие от входного и

выходного активных сопротивлении усилителя учет малых паразитных факторов (паразитных индуктивностей, емкостей и т.д.) приводит к более существенным последствиям и может разрушить многоцикличность.

Вторая глава посвящена рассмотрению двух автоколебательных систем: [_,СС-самогенериругощсй линии с отрицательной дифференциальной проводимостью; ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим М-образную характеристику.

В параграфе 1 выводится математическая модель ЬСв-линии, в качестве которой служит краевая задача вида

да ¿V з да

— =--+ - и , — = - —, (3)

& ск

V

где Я0,Г0 > 0, и определяются условия самовозбуждения.

Анализ краевой задачи (3),(4) модифицированным методом квазинормальных форм приводит к следующей бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

2К = (у- 3|/юл)г„ + ^гкгргт - -У,2кгргт + 2р-гт-/ 4 «„ 4 Л 4 в„

-> "VI !2 91 I2 — ог 7 12,--2 2 >

I I I Л Г"' " ктп ^

где точка-дифференцирование по , со, - частоты самовозбуждения , а

= {(*, А т): к, р, т е К <и„ = суд + ^ + й)я },

Р„={(к,р-т), (к-т,р), (-т,к,р): еЫ,

= + й)р - гот, к Ф т, рФт}\

®„={(к,-р,-т), (-р, к-т), (-р,~т,к): к, р, т е И,

В параграфе 2 исследовалась выписанная выше система укороченных уравнений, т.е. изучались автоколебания в ЬСС-линии при малых активных потерях и малой "подкачке" энергии в систему. Проведенный анализ задачи выявил явление гармонической м но го ц и к л ичн ост 11. Однако, здесь наблюдалось новое явление-высокомодовая многоцикличность, заключавшаяся в том, что автоколебания реализовывались только на высоких модах.

В параграфе 3 выводится математическая модель для ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим М-образную характеристику, в качестве которой служит уравнение с отклоняющимся аргументом

¿Д [0(/) - -2)] + (1 - + (1 + л0)£©(г - 2) = = $[©(/) -ке(1 - 2)]2 - - Кв^ -2)]Э. (5)

Здесь ©(/)- нормированное напряжение в точке х=1, ~ коэффициенты аппроксимации нелинейной

характеристики активного элемента в окрестности рабочей точки, К -коэффициент отражения в точке х=1 ,й - нормированная емкость на выходе линии.

Применяя использованную ранее методику, здесь также выявлена гармоническая многоцикличность, проводится расчет автоколебаний. При некоторых допущениях на параметры автогенератора изучено явление высокомодовой многодикличности.

В третьей главе вводится математическая модель сложной ЬСЯ-системы, состоящей из базового ЬСЯ-автогенератора, который индуктивно взаимодействует с отрезком дополнительной ЬСЯ-линии

иы+г,щ,±Мхи1п=иих, (6)

и2„+г2и21+М2ии1 =ахи2хх,

Щх\^-0,и2\ =и2 I =0

(7)

(8)

+ , =0,

(9)

где Щ(/, х), иг <7, х), г\ = Ях ^С, /¿7 , г2 = 2 дД^С! Д2 ,

А/, ={МСг )1(Ь\СХ), Мг =(М71)/(12С2) - соответственно

нормированные переменные составляющие напряжений, активные потери и коэффициенты взаимоиндукций линий; д( = (¿,С1)/(£,2С2)- В краевом

условии (9) ^о - бифуркационный параметр, физический смысл которого -коэффициент усиления активного элемента.

Анализ краевой задачи (6)-(9) модифицированным методом квазинормальных форм приводит к следующей бесконечной системе

обыкновенных дифференциальных уравнений

гп +

1-

2 2 тп1П\ т2

\

У

+

я„ о„ я„

\

Рп = к^):тп = от -ьсо^ + , /и, А;, л < ;

0.п =^т,к,~з),(т,-<!,к),(-^,т,к):ап =озт+Фк -о,, теД, .у < ТУ|,

Кп =^Хт-к,-х),(-к,т,-з),(-к,-$,т):(£>п =озт -озк ^<Л^!".

Анализ выписанной выше системы уравнений показал, что включение добротной линии с закороченными концами приводит к устранению многоцикличности и реализации единственного, близкого к гармоническому, периодического автоколебания. С другой стороны, введение добротной линии со свободными концами хотя и приводит к разрушению многоцикличности, но при этом с ростом коэффициента усиления бифурцируют более сложные периодические автоколебания. В последнем случае математической моделью служит краевая задача

Щи + г\ии + М\и2„ = '«2« + г2иЪ + М2и\и = аи2хх . (]0>

щ.\ ,=0,м, | =0,1/1 I =0, (П)

2^и=0

= 0 ■ (12)

Отметим, что исследование краевой (10)-(12) проводилось по методике, аналогичной той, которая использовалась при анализе задачи (6)-(9).

Четвертая глава посвящена экспериментальной проверке теоретических результатов. В параграфе 1 описываются эксперименты по обнаружению явления многоцикличности в ЬССЖ-автогелераторе с отрезком длинной линии в цепи обратной связи.

В параграфе 2 описываются эксперименты по выявлению многоцикличности в автогенераторах с внутренней обратной связью: ЬСО-самогенерирукмцей линии и ЬС-линии с туннельным диодом на конце.

В параграфе 3 представлены эксперименты, проведенные на макетах сложных ЬСЯ-систем, подтверждающие теоретические результаты и выводы по разрушению многоцикличности в изучаемых устройствах.

1.

2.

3.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Для широкого класса ЬССЖ-систем построены математические модели, которые представляют собой нелинейные краевые задачи с частными производными.

Проведено исследование математической модели ЬСКО-антогенсратора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи, в результате которого выявлены:

сохранение многоцикличности с учетом малых "неидеалыгостей" усилителя (малого выходного и достаточно большого входного активных сопротивлений);

разрушение многоцикличности при наличии заметных (порядка г) "паразитных" индуктивностей (емкостей) в генераторе. Выведена математическая модель самогенерирующей ЬСС-лишш и определены условия самовозбуждения автоколебаний в ней в локальном и нелокальном случаях.

Проанализирована математическая модель

Ь С О - са м о ге нер и ру го те й линии с отрицательной дифференциальной проводимостью и обнаружено следующее:

• гармоническая многоцикличность при малых сосредоточенных активных потерях и малой "подкачке" энергии в лииию;

• градиентные катастрофы (разрушение автоколебаний) при увеличении подаваемой энергии в систему;

• высокомодовая (высокочастотная) многоцикличность, т.е. реализация автоколебаний на высоких модах, следующая после градиентных катастроф.

5. Исследована бифуркация автоколебаний в ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим N-06разную характеристику, и выявлено следующее:

• гармоническая многоцикличность;

• высокомодовая многоцикличность, имеющая место при уменьшении параметра автогенератора а = Сд/С ■

6. Построены новые математические модели для ЬСЯ-системы, состоящей из базового автогенератора, сильно индуктивно взаимодействующего с отрезком дополнительной линии. Выявлены следующие результаты:

• устранение многоцикличности при использовании "настроенной " дополнительной линии с закороченными концами и реализация единственного, близкого к гармоническому устойчивого автоколебания;

• вырождение многоцикличности при введениии в систему "настроенной " дополнительной линии со свободными концами и бифуркации с ростом коэффициента усиления соответственно одночастотных, двухчастотных и т.д. периодических режимов.

7. Определены параметры бифурцирующих автоколебаний и решен вопрос об их устойчивости в рассмотренных выше ЬС1Ю-распределенных системах.

8. Предложены новые методологические приемы исследования автоколебательных систем с распределенными параметрами, заключающиеся в дифференцированном подходе к математической модели и методам ее анализа (постановка ряда краевых задач в зависимости -от величины параметров автогенератора).

9. Разработаны специальные варианты методов малых параметров Андронова - Хопфа и Крылова - Боголюбова - Митропольского, расширяющие области их применения.

10. Проведены эксперименты по проверке теоретических выводов и результатов численных расчетов на четырех макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени. В результате экспериментов было подтверждено, что все основные положения и выводы, перечисленные в работе, соответствуют физике явлений и хорошо согласуются с экспериментальными данными.

11. Предложены методологические подходы и методы анализа, которые можно применять при исследовании автоколебательных движений в различных автоколебательных системах как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Федотов Н.Б. О жестком режиме возбуждения автоколебаний в длинной линии с туннельным диодом // Исследования по устойчивости и теории колебаний- Ярославль: ЯрГУ, 1978. -С. 81-99.

2. Федотов Н.Б. Влияние внешней гармонической силы на автоколебательную систему в случае основного резонанса // Исследования по устойчивости и теории колебаний,- Ярославль: ЯрГУ, 1979,- С. 86-110.

3. Федотов Н.Б. Полный анализ задачи об основном резонансе в нелинейной постановке. // Дифференциальные и интегральные уравнения.- Горький: ГГУ, 1980.- С. 120.

4. Федотов Н.Б. Бифуркационные диаграммы в задаче о влиянии внешней гармонической силы на автоколебательную систему в случае основного резонанса // Исследования по устойчивости и теории колебаний.- Ярославль: ЯрГУ, 1980,- С. 61-74.

5. Федотов Н.Б. Задача о воздействии гармонической силы на нелинейную автоколебательную систему // Исследования по устойчивости и теории колебаний- Ярославль: ЯрГУ, 1982. -С. 104-119.

6. Камбулов В.Ф., Колесов Ю.С., Майоров В.В., Федотов Н.Б. К вопросу о расчете энергетических характеристик квантового генератора •// Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. -Ярославль: ЯрГУ, 1985.-С. 6-9.

7. Камбулов В.Ф., Мазин A.A., Федотов Н.Б., Хрящов В.В. Бифуркация автоколебаний в одном сложной LCR-системе с

распределенными параметрами // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2000. -Т. 1, № 1.- С. 19-21.

8. Камбулов В.Ф., Федотов Н.Б., Хрящов В.В. К вопросу о защите информации от внешних и внутренних факторов при ее передаче в отрезках длинных линий // Труды 55-ой научной сессии, посвященной дню радио.- Москва.-2000.- С. 101.

9. Камбулов В.Ф., Тарасов С.А., Федотов Н.Б., Чикин А.Н. Об одной модели автоколебательной системы с распределенными параметрами // (в печати).

Литература.

ЛЛ.Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. - М.: Наука, 1983.- 320 с.

Л.2.Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. -Сов. Радио, 1978.-272 с.

Л.З.Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. - М.: Наука, 1988.-391 с.

Л.4.Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука, 1992-455 с.

Л.5.Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. - М.: Наука, 1979.-383 с.

Л.6.Горелик Г.С. Колебания и волны. -М.: Физматгиз, 1959.-572 с. Л.7.Камбулов В.Ф., Колесов АЛО. О явлении буферности в одной резонансной гиперболической краевой задаче из радиофизики // Мат. сборник. 1995,- Т. 186, № 7,- С. 77-96.

Л.8.Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Бифуркация пространственно неоднородных циклов у нелинейного волнового

уравнения с малой диффузией // ТР. ММО. 1991.- Т. 59.- С. 124147.

Л.9.Витт A.A. Распределенные автоколебательные системы // ЖТФ.-1934,-Т. 4,- Вып. 1.-С. 144-159.

ЛЛО.Витт A.A. К теории скрипичной структуры И ЖТФ,- 1936.- Т. 6. -Вып. 9.-С. 1459-1479.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.Анализ автоколебаний в ЬСЬЮ-генераторе с отрезком длинной линии в цепи обратной связи.

1.Общие свойства рассматриваемой математической модели.

1.1 .Вывод краевой адачи.

1.2.Разрешимость начальной задачи Коши.

1.3.Условия самовозбуждения автогенератора.

2.Исследование явления многоцикличности в реальном ЬС1Ш-автогенераторе.

2.1.Многоцикличность в ЬС1Ш-автогенераторе с учетом входного и выходного активных сопротивлений усилителя.

2.2.Влияние малых паразитных факторов на явление многоцикличности.

ГЛАВА 2.Анализ двух автогенераторов с распределенными параметрами.

1 .Вывод и общие свойства математической модели самогенерирующей ЬСО-линии.

1.1.Вывод краевой задачи.

1.2.Определение условий самовозбуждения линии.

2.Автоколебания в ЬСв - самогенерирующей линии.

2.1 .Гармоническая многоцикличность.

2.2.Градиентные катастрофы.

2.3 .Высокомодовая многоцикличность.

3.Автоколебания в отрезке длинной линии с активным элементом на конце, имеющим И-образную характеристику.

3.1.Вывод математической модели.

3.2.Гармоническая многоцикличность.

3.3.Высокомодовая многоцикличность.

ГЛАВА 3.Исследование автоколебательных движений в системе: ЬСЯ-генератор, цепь обратной связи которого индуктивно взаимодействует с отрезком длинной линии.

Бифуркации автоколебаний в ЬС11-системе, содержащей отрезок длинной линии с закороченными концами.

1.1.Анализ автоколебаний в рассматриваемой задаче.

1.2.Построение укороченной системы уравнений.

1.3.Исследование укороченной системы уравнений.

2.Бифуркации автоколебаний в ЬСЫ-системе, содержащей отрезок длинной линии со свободными концами.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Построение укороченной системы уравнений.

2.3. Исследование укороченной системы уравнений.

ГЛАВА 4. Экспериментальная проверка теоретических результатов ивыводов.

1 .Проведение экспериментов по обнаружению явления многоцикличности в ЬС1Ш-автогенераторах.

1.1 .Эксперимент для ЬСЬЮ-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи.

1.2.Эксперимент для ЬСЯО-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи, индуктивно взаимодействующей с дополнительной линией.

2.Постановка экспериментов по выявлению многоцикличности в ЬС-автогенераторах с внутренней обратной связью.

2.1 .Эксперимент для ЬСО-самогенерирующей линии.

2.2.Эксперимент для ЬС-линии с туннельным диодом на конце.

В последние годы наблюдается бурное развитие микроэлектроники, позволившее усовершенствовать радиоэлектронное оборудование: уменьшать вес, габариты, стоимость и повысить его надежность. Отметим, что данная тенденция затронула и автогенерирующие устройства. С другой стороны исследование бифуркаций автоколебаний в радиофизических системах с распределенными параметрами позволяет лучше понять физику колебательных движений, существующих в различных явлениях природы.

Современная радиоэлектронная промышленность предъявляет к автоколебательным устройствам достаточно жесткие требования, поэтому возникает необходимость их совершенствования и дальнейшего развития теории и методов анализа.

Как известно[47,61], в настоящее время не создана нелинейная теория колебаний для распределенных систем. Это связано с тем, что интерес к нелинейным колебаниям в распределенных системах значительно возрос лишь в последние десятилетия[7,10,48,69]. Поэтому методы исследования распределенных систем и в настоящее время, как правило, носят эвристический характер.

Таким образом, возникает необходимость в развитии новых направлений в математическом моделировании, в разработке модификаций классических методов исследования и в использовании новых методологических подходов при анализе автоколебаний в сложных ЬСЬЮ-системах с распределенными параметрами.

Наиболее изученной моделью системы с распределенными параметрами является модель КС-автогенератора. Для

LCRG-автогенераторов, обладающих выраженными индуктивными свойствами, подобного исчерпывающего анализа до сих пор не было, хотя и имеется рад результатов их исследования [2,5, 15, 20-24, 26-35, 41, 53, 61, 69]. Одним из таких результатов, отражающих специфические особенности LCRG-автогенераторов, является следующий: при определенных условиях в распределенной системе существует набор устойчивых периодических колебаний, причем реализация любого из них определяется заданием начальных условий [2, 21, 22, 29-35, 39]. Такие режимы можно использовать для создания устройств памяти - для запоминания частоты кратковременного внешнего воздействия [39, 69]. Отметим, что это явление присуще и некоторым автогенераторам с сосредоточенными элементами с числом степеней свободы п>2 [5, 12, 14, 16, 24, 25, 45, 50, 60]. В дальнейшем описанный выше феномен будем называть многоцикличностью.

Одними из первых работ, в которых изучалось это явление, являются классические работы A.A. Андронова [5], A.A. Витта [21,22] , В.М. Бовшеверова [12], Г.С. Горелика [23], С.П. Стрелкова [65], К.Ф. Теодорчика [66] и др. Например, в статье [21] исследовались автоколебания в лехеровой системе с неэквидистантным спектром собственных частот, когда к одному концу системы была присоединена емкость, а другой был закорочен через нелинейное знакопеременное сопротивление. Здесь было показано, что в автогенераторе возникают гармонические колебания на одной из частот, для которой выполнялись условия самовозбуждения и устойчивости стационарной амплитуды. В работе [22] анализировалась многоцикличность в распределенной автоколебательной системе с эквидистантным (резонансным) спектром собственных частот, представлявшей собой скрипичную струну, возбуждаемую смычком. Как показал анализ, колебания, возбуждаемые в таких системах, являлись негармоническими, так как происходило одновременное возбуждение нескольких мод с кратными частотами. Поэтому форма автоколебаний была сложной (вплоть до треугольной). Статьи [5, 50] были посвящены изучению автоколебательных движений в двухконтурных генераторах Ван-дер-Полевского типа, где также имела место многоцикличность. В дальнейшем явление многоцикличности было обнаружено и исследовано во многих автоколебательных системах: в автогенераторах с запаздывающей обратной связью [2,12,15,23,25,45,60,63], в КС-автогенераторах с распределенными параметрами [36], в самогенерирующих линиях и объемных структурах [21,32,39, 69], лазерах [7, 10,48] и т.д. При этом применялись как строгие [9,13,35,40-42,70-75,77,80, 81], так и эвристические методы исследований [3,4, 8, 11, 19, 20, 47, 56,61,69,79].

Отметим, что в настоящее время еще не разработана достаточно полная теория ЬС1Ш-автогенераторов с распределенными параметрами, в частности, не изучены некоторые вопросы явления многоцикличности. Не исследован ряд важных задач, связанных с динамикой этого феномена при изменении следующих параметров системы: 1) распределенных активных потерь в линии и сосредоточенных импендансов на ее концах; 2) входных и выходных "паразитных" индуктивностей и емкостей активного элемента и других его "неидеальностей" (инерционности и т.п.); и т.д. Во многом это связано с проблемой математического моделирования указанных генераторов. Именно предложение ряда новых математических постановок и определило успех качественно более глубокого исследования ЬС1Ш-автогенераторов, проведенного в настоящей работе.

Подчеркнем еще две характерные особенности проведенного в диссертации анализа. Во-первых, многоцикличность была обнаружена исключительно благодаря варьированию параметров изучаемых математических моделей. Во-вторых, в диссертационной работе исследовалось явление многоцикличности как в рамках поставленных краевых задач (модельная многоцикличность), так и экспериментально. При этом данные эксперимента качественно и количественно подтвердили результаты теории.

Как отмечалось выше, явление многоцикличности может рассматриваться как позитивный фактор и использоваться при создании ряда радиотехнических устройств. Однако в других случаях многоцикличность - нежелательное явление, которое требуется устранять. В диссертационной работе предлагаются новые способы разрушения многоцикличности в ЬСКХЗг-системах, позволившие обеспечить стабильные режимы генерации.

В качестве объектов исследования рассматривается ряд схем ЬСЬЮ-автогенераторов (ЬС1Ю-автогенератор с отрезком длинной линии в цепи обратной связи; ЬСО-самогенерирующая линия с отрицательной дифференциальной проводимостью; ЬС-линия с активным элементом на конце, имеющим М-образную характеристику), а также их математические модели.

Предмет исследования - явление многоцикличности в сложных ЬСЫв-системах с распределенными параметрами.

Целью работы является исследование общих закономерностей и динамических свойств явления многоцикличности для широкого класса сложных ЬС1Ш-систем с распределенными параметрами при "мягкой" нелинейности активного элемента.

Сформулируем основные задачи исследований.

1) Построение для широкого класса LCRG-автогенераторов новых математических моделей и формулировка новых постановок задач, которые более адекватно отражают изучаемые свойства реальных физических устройств.

2) Разработка модификаций методов малых параметров (Андронова-Хопфа, Крылова-Боголюбова-Митропольского) для расчетов многоциклических стационарных колебаний в LCRG-автогенераторов с распределенными параметрами.

3) Исследование бифуркаций многоциклических автоколебаний: a) в LCRG -автогенераторе с отрезком длинной линии в цепи обратной связи с учетом неидеальностей усилителей; b) в LCG-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью; c) в LC-линии с активным элементом на конце, имеющим N-образную характеристику.

4) Анализ сложных LCR-систем, состоящих из базового автогенератора и отрезков дополнительных LCR-линий.

5) Экспериментальное подтверждение теоретических выводов и результатов численных расчетов на макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени.

Научная новизна работы заключается в том, что: 1. Впервые исследовано влияние на многоцикличность неидеальностей усилителя в LCRG-генераторе с длинной линией в цепи обратной связи.

2. Впервые изучено поведение многоцикличности в ЬСв-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью при увеличении подаваемой в систему энергии в широком диапазоне значений.

3. Впервые предсказано теоретически и подтверждено экспериментом явление высокомодовой (высокочастотной) многоцикличности в ЬСО-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью и в ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим ]М-образную характеристику.

4. Впервые изучено влияние на многоцикличность отрезка дополнительной линии, сильно индуктивно взаимодействующей с основной линией базового ЬСИ-автогенератора.

5. Разработаны специальные варианты асимптотических методов малых параметров (Андронова-Хопфа и Крылова-Боголюбова-Митропольского) для расчета автоколебаний в сложных распределенных автоколебательных системах.

Приведенные в диссертационной работе аналитический и численный анализы установившихся автоколебательных режимов в сложных ЬС1Ш-системах с распределенными параметрами были применены при разработке практических схем автогенераторов на кафедре радиофизики ЯрГУ, в Институте микроэлектроники РАН и на предприятиях радиоэлектронной промышленности г. Ярославля.

Однако результаты диссертационной работы носят достаточно общий характер и могут найти применение при анализе существующих и создании новых автоколебательных систем как с распределенными, так и с сосредоточенными параметрами.

Предложенные в работе методы и алгоритмы можно использовать в частности:

• при анализе автоколебательных систем с распределенными и сосредоточенными параметрами в случае одночастотных и многочастотных режимов, нелинейные характеристики которых аппроксимированы полиномами;

• при изучении автоколебаний в генераторах с сосредоточенными и распределенными параметрами в радиофизических устройствах запоминания частоты;

• при разработке новых физических принципов многоустойчивых элементов [39, 69];

• при создании стабильных ЬС1Ш-систем с распределенными параметрами.

Основные идеи математического моделирования, развитые методы анализа и предложенные алгоритмы будут полезны для исследования других автоколебательных систем в различных задачах естествознания.

Поставленные задачи в диссертации исследуются в четырех главах. В первом параграфе главы 1 приводится краевая задача, которая является математической моделью ЬС1Ю-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи. Анализируются условия самовозбуждения генератора. Приводится доказательство разрешимости начальной задачи Коши.

Параграф 2 посвящен анализу автоколебаний в ЬСЖО-автогенераторе с неидеальным усилителем, в котором учтены малое выходное и достаточно большое, но конечное входное активные сопротивления. Показано, что учет малых неидеальностей усилителя не влияет на динамику автоколебаний в генераторе (сохраняет многоцикличность) и приводит лишь к увеличению критического значения коэффициента усиления, необходимого для их возникновения.

В этом же параграфе изучается влияние паразитных факторов на автоколебания в ЬСС11-генераторе. Выявлено, что в отличие от входного и выходного активных сопротивлений усилителя учет малых паразитных факторов (паразитных индуктивностей, емкостей и т.д.) приводит к более существенным последствиям и может разрушить многоцикличность.

Вторая глава посвящена рассмотрению двух автоколебательных систем: ЬСО-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью и ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим Ы-образную характеристику.

В параграфе 1 выводится математическая модель ЬСв-линии и определяются условия самовозбуждения.

В параграфе 2 исследуются автоколебания в ЬСО-линии при малых активных потерях и при увеличении "подкачки" энергии в систему в широком диапазоне значений. Проведенный анализ задачи позволил проследить за эволюцией многоцикличности от гармонической через релакционную к высокомодовой (высокочастотной). Здесь наблюдалось новое явление - высокомодовая (высокочастотная) многоцикличность, заключавшееся в том, что автоколебания реализовывались только на высоких модах (частотах).

В параграфе 3 выводится математическая модель для ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим ]\Г-образную характеристику. Здесь также выявлена гармоническая многоцикличность, проводится расчет автоколебаний. При некоторых допущениях на параметры автогенератора также обнаружено явление высокомодовой (высокочастотной) многоцикличности.

В третьей главе выводится математическая модель сложной ЬС11-системы, состоящей из базового ЬСЫ-автогенератора, который индуктивно взаимодействует с отрезком дополнительной ЬСЫ-линии. На основе модифицированного метода Крылова-Боголюбова-Митропольского доказано, что включение добротной линии с закороченными концами приводит к устранению многоцикличности и реализации единственного, близкого к гармоническому, периодического автоколебания. С другой стороны, введение добротной линии со свободными концами хотя и приводит к разрушению многоцикличности, но при этом с ростом коэффициента усиления бифурцируют все более сложные периодические автоколебания.

Последняя глава посвящена экспериментальной проверке теоретических результатов. В параграфе 1 описываются эксперименты по обнаружению явления многоцикличности в ЬОЮ-автогенераторе с отрезком длинной линии в цепи обратной связи.

В параграфе 2 описываются эксперименты по выявлению многоцикличности в автогенераторах с внутренней обратной связью: ЬСО-самогенерирующей линии и ЬС-линии с туннельным диодом на конце.

В параграфе 3 представлены эксперименты, проведенные на макетах сложных ЬС11-систем, подтверждающие теоретические результаты и выводы по разрушению многоцикличности в изучаемых устройствах.

В заключение отметим, что материалы диссертационной работы опубликованы в 8 работах[37,38,70-75]. Они обсуждались на научных семинарах кафедры математической кибернетики и кафедры радиофизики, в Воронежском научно-исследоваельском институте "Вега", также докладывались :

15

1.На Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям и волновым процессам. Горький. 1980.

2.На межвузовских научных конференциях молодых ученых по проблемам нелинейных колебаний в естествознании. Ярославль в 1981 и 1983.

3.На Всероссийской 55-ой научной сессии, посвященной дню радио. Москва. 2000.

4.На научном семинаре в НИИ Связи. Воронеж. 2000.

5.На научном семинаре кафедры физики колебаний МГУ. 2000.

В заключение диссертационной работы приведем основные результаты и выводы:

1. Для широкого класса ЬСОЯ-систем построены математические модели, которые представляют собой нелинейные краевые задачи с частными производными.

2. Проведено исследование математической модели ЬСОЛ-автогенератора с отрезком длинной линии в цепи обратной связи, в результате которого выявлены: a) сохранение многоцикличности с учетом малых "неидеальностей" усилителя (малого выходного и достаточно большого входного активных сопротивлений); b) разрушение многоцикличности при наличии заметных (порядка £) "паразитных" индуктивностей (емкостей) в генераторе.

3. Выведена математическая модель самогенерирующей ЬСв-линии и определены условия самовозбуждения автоколебаний в ней в локальном и нелокальном случаях.

4. Проанализирована математическая модель ЬСО-самогенерирующей линии с отрицательной дифференциальной проводимостью и обнаружено следующее: a) гармоническая многоцикличность при малых сосредоточенных активных потерях и малой "подкачке" энергии в линию; b) градиентные катастрофы (разрушение автоколебаний) при увеличении подаваемой энергии в систему; c) высокомодовая многоцикличность, т.е. реализация автоколебаний на высоких модах, следующая после градиентных катастроф.

5. Исследована бифуркация автоколебаний в ЬС-линии с активным элементом на конце, имеющим 1М-образную характеристику, и выявлено следующее: a) гармоническая многоцикличность; b) высокомодовая многоцикличность, имеющая место при уменьшении параметра автогенератора а = Сд/С .

6. Построены новые математические модели для ЬСЯ-системы, состоящей из базового автогенератора, сильно индуктивно взаимодействующего с отрезком дополнительной линии. Выявлены следующие результаты: a) устранение многоцикличности при использовании "настроенной " дополнительной линии с закороченными концами и реализация единственного, близкого к гармоническому устойчивого автоколебания; b) вырождение многоцикличности при введениии в систему "настроенной " дополнительной линии со свободными концами и бифуркации с ростом коэффициента усиления соответственно одночастотных, двухчастотных и т.д. периодических режимов.

7. Определены параметры бифурцирующих автоколебаний и решен вопрос об их устойчивости в рассмотренных выше ЬС1Ю-распределенных системах.

8. Предложены новые методологические приемы исследования автоколебательных систем с распределенными параметрами, заключающиеся в дифференцированном подходе к математической модели и методам ее анализа (постановка ряда краевых задач в зависимости от величины параметров автогенератора).

9. Разработаны специальные варианты методов малых параметров Андронова - Хопфа и Крылова - Боголюбова - Митропольского.

10. Проведены эксперименты по проверке теоретических выводов и результатов численных расчетов на четырех макетах автогенераторов, у которых нелинейные динамические характеристики активных элементов достаточно хорошо аппроксимируются полиномами третьей степени. В результате экспериментов было подтверждено, что все основные положения и

1. Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Смешанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости // Мат. сборник. 1960. Т. 50, № 4. С. 423-442.

2. Азьян Ю.М., Мигулин В.В. Об автоколебаниях в системе с запаздывающей обратной связью// Радиотехника и электроника. 1956. Т. 1, № 4. С. 418-427.

3. Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования. М.: Наука, 1966.-351 с.

4. Андреев B.C. Теория нелинейных электрических цепей. М: Радио и связь, 1982.-280 с.

5. Андронов A.A., Витт A.A. К математической теории автоколебательных систем с двумя степенями свободы // ЖТФ. 1934. Т. 4. Вып. 1.С. 122-134.

6. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. -М.: Наука, 1981.-568 с.

7. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. -М: ВИНИТИ, 1964.-295 с.

8. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Госиздат, ТТЛ, 1958.-628 с.

9. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.-496 с.

10. Бирнбаум Дж. Оптические квантовые генераторы. М: Советское радио, 1967.-359 с.

11. Блакьер О. Анализ нелинейных цепей. М.: Мир, 1969.-400 с.

12. Бовшеверов В.M. О некоторых колебательных задачах, приводящих к функциональным уравнениям // ЖТФ. 1936. Т. 6, № 9. С. 1480-1488.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.-503 с.

14. Брагинский В.Б., Митрофанов В.П., Панов В.И. Системы с малой диссипацией. М.: Наука, 1981.-144 с.

15. Brayton R.K. Nonlinear oscillations in distributed network // Quarterly of Appl. Math. 1967. V. 24, № 4. P. 289-301.

16. Бруевич A.H. Асинхронные колебания в автогенераторе с двумя степенями свободы // Радиотехника и электроника. 1960. Т. 5, № 10. С. 451-468.

17. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Наука, 1969.-892 с.

18. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.-384 с.

19. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. -М.: Связьиздат, 1935.-289 с.

20. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. -М.: Наука, 1979.-383 с.

21. Витт А.А. Распределенные автоколебательные системы // ЖТФ. 1934. Т. 4. Вып. 1.С. 144-159.

22. Витт А.А. К теории скрипичной структуры // ЖТФ. 1936. Т. 6. Вып. 9. С. 1459-1479.

23. Горелик Г.С. К теории запаздывающей обратной связи // ЖТФ. 1939. Т. 9. №5. С. 450-466.

24. Горелик Г.С. Колебания и волны. -М.: Физматгиз, 1959.-572 с.

25. Гоноровский И.С. К теории высокочастотных автогенераторов с запаздывающей обратной связью // Радиотехника и электроника. 1958. Т. 13, №5. С. 19-36.

26. Камбулов В.Ф. Математическая модель самогенерирующей линии с LCG-распределенными параметрами // Применение математических методов в физике и вычислительных системах. Вильнюс: Пяргале, 1976. С. 36-37.

27. Камбулов В.Ф. Две задачи, связанные с самогенерирующими линиями // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрПИ, 1977. С. 33-59.

28. Камбулов В.Ф. Гармонические колебания в автогенераторе с LCRG- распределенными параметрами в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23, № 11. С. 2321-2326.

29. Kambulov V.F. Bifurcation Auto-Oscillation in a Generator with a segment of a Long-Line in a Feedback Circuit // Second International Conférence on Development Direnmous of the Radiocommunication System and Means. Voronesh, 1995. C. 137-143.

30. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. О явлении буферности в одной резонансной гиперболической краевой задаче из радиофизики // Мат. сборник. 1995. Т. 186, № 7. С. 77-96.

31. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. Об одном модельном гиперболическом уравнении, возникающем в радиофизике // Математическое моделирование. 1996. Т. 8, № 1. С. 93-102.

32. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. О явлении буферности в длинной линии с туннельным диодом // УМН. 1996. Т. 51, вып. 5. С. 146-147.

33. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю. О специфике генерируемых колебаний в автогенераторе с малым затуханием в цепи обратной связи // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 8. С. 1019-1024.

34. Камбулов В.Ф. Модель распределенного автогенератора Ван-Дер-Поля // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, № 9. С. 1121-1124.

35. Камбулов В.Ф., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Бифуркация пространственно неоднородных циклов у нелинейного волнового уравнения с малой диффузией // ТР. ММО. 1997. Т. 59. С. 124-147.

36. Камбулов В.Ф. Бифуркация автоколебаний в одном RC-генераторе с распределенными параметрами при асимметричной нелинейной характеристике // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1997. Т. 40, № 10. С. 60-67.

37. Камбулов В.Ф., Мазин A.A., Федотов Н.Б., Хрящов В.В. Бифуркация автоколебаний в одном сложной LCR-системе с распределенными параметрами // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. Т. 1, № 1. С. 20-25.

38. Камбулов В.Ф., Федотов Н.Б., Хрящов В.В. К вопросу о защите информации от внешних и внутренних факторов при ее передаче в отрезках длинных линий // Труды 55-ой научной сессиии, посвященной дню радио. Москва. 2000. С. 101.

39. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984.-320 с.

40. Колесов Ю.С. Бифуркация инвариантных торов параболических систем с малой диффузией // Мат. сборник. 1993. Т. 184, № 3. С. 121-136.

41. Колесов Ю.С., Швитра Д.Й. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979.-146 с.

42. Колесов Ю.С., Майоров B.B. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10, № 10. С. 1778-1788.

43. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математический физики. -М.: Высшая школа, 1970.710 с.

44. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах. М.: АН СССР, 1949.-368 с.

45. Кузнецов С.П. Сложная динамика генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. Вузов СССР. Радиофизика. 1982. Т. 25,№ 12. С. 1410-1428.

46. Куликов А.Н. Исследование одной краевой задачи, возникающей в радиофизике // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрПИ, 1976. С. 67-85.

47. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983.-320 с.

48. Лэмб У. Лекции по теории оптических лазеров. В кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика. - М.: Мир. 1966. С. 281-376.

49. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч. 1956. Т. 2. С. 7-263.

50. Магазаник A.A. К качественной теории асинхронных режимов с двумя степенями свободы // Радиотехника и электроника. 1959. Т. 4, №7. С. 1103-1115.

51. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат, 1956.-488 с.

52. Мандельштам JI.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972.-512 с.

53. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1988.-391 с.

54. Минакова H.H. Неавтономные режимы автоколебательных систем. М.: МГУ, 1987.-168 с.

55. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1969.-379 с.

56. Нагумо Д., Шумура М. Автоколебания в длинной линии. // ТИРИ. 1961.Т. 49,№8. С. 1091-1101.

57. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.-526 с.

58. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. -М.: Наука, 1978.-336 с.

59. Пиппард А. Физика колебаний. -М.: Высшая школа, 1985.-453 с.

60. Понкратов B.C. Стационарные режимы автогенератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов СССР. Радиофизика. 1958. Т.1, № 6. С. 705-714.

61. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1992-455 с.

62. Рабинович М.И., Якубович E.H. О применении метода усреднения к исследованию систем с малой нелинейностью // Изв. вузов СССР. Радиофизика. 1966. Т.9, № 5. С. 987-992.

63. Рубаник В.П., Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием . -Минск: "Университетское, 1985.-143 с.

64. Самойло К.А. Метод анализа колебательных систем второго порядка. -М.: Сов. Радио, 1976.-204 с.

65. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964.437 с.

66. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. М.: Гостехиздат, 1952.-271 с.

67. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М: Наука, 1977.-735 с.

68. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.-622 с.

69. Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. -М.: Сов. Радио, 1978.-272 с.

70. Федотов Н.Б. О жестком режиме возбуждения автоколебаний в длинной линии с туннельным диодом // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1978. С. 81-99.

71. Федотов Н.Б. Влияние внешней гармонической силы на автоколебательную систему в случае основного резонанса // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1979. С. 86-110.

72. Федотов Н.Б. Полный анализ задачи об основном резонансе в нелинейной постановке. // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький: ГГУ, 1980. С. 120.

73. Федотов Н.Б. Бифуркационные диаграммы в задаче о влиянии внешней гармонической силы на автоколебательную систему в случае основного резонанса // Исследования по устойчивости итеории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1980. С. 61-74.

74. Федотов Н.Б. Задача о воздействии гармонической силы на нелинейную автоколебательную систему // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1982. С. 104119.127

75. Камбулов В.Ф., Колесов Ю.С., Майоров В.В., Федотов Н.Б. К вопросу о расчете энергетических характеристик квантового генератора // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: ЯрГУ, 1985. С. 6-9.

76. Камбулов В.Ф.Друдниченко A.C. Автогенераторы с распределенными параметрами и их математические модели. Книга 1.-Ярославль: ЗАО ФГИ "Содействие", 1997, С. 112.

77. Hale J. Theory of functional differential equations. N.Y. etc.: Sprindor, 1977.- 360 p.

78. Харкевич A.A. Нелинейные и параметрические явления в радиотехнике. М.: Гостехиздат, 1956.-184 с.

79. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.-432 с.

80. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986.-279 с.

81. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифферециальные уравнения с периодическими коэффициентами. М.: Наука, 1972.718 с.