Билинейная задача оптимального управления и биосистемы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

/*Ч /Л / / ,/Э

/ л/ / fй 1 /

С/ X ^ ^ г /

/ МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

На правах рукописи ТОПУНОВ Михаил Владимирович

БИЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

И БИОСИСТЕМЫ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель к.ф.-м.н., доцент М.С.Сабуров

Москва — 1998

Оглавление

Введение..............................................................................................4

I О некоторых методах решения билинейных задач оптимального управления.......................................................6

II Исследование неавтономных билинейных задач оптимального управления........................................................21

II. 1 Постановка проблемы............................................21

11.2 Принцип максимума для неавтономных билинейных задач . 29

11.2.1 Основные теоремы........................................29

И.2.2 Исследование изопериметрической задачи............38

11.2.3 Некоторые частные случаи..............................42

11.3 Принцип оптимальности и неавтономная билинейная задача 51

11.3.1 Принцип оптимальности для неавтономных задач . . 51

11.3.2 Условие § и его свойства......................55

И.3.3 Приближение неавтономной билинейной задачи последовательностью автономных билинейных задач . 66

11.3.4 Принцип оптимальности для краевой билинейной задачи быстродействия ....................................73

II. 4 Примеры............................................................84

11.4.1 Принцип оптимальности для линейных оптимальных

. задач........................................................84

11.4.2 Исследование одной билинейной задачи................92

III Применение теории оптимального управления для иссле-

дования биосистем...................................101

III. 1 О применимости теории оптимального управления для исследования биосистем......................101

111.2 Автономная задача оптимальной регуляции сердечно-сосудистой системы..........................110

111.2.1 Постановка проблемы..................110

111.2.2 Исследование задачи регуляции сердечно-сосудистой системы на основе "принципа оптимальности" .... 116

111.3 Неавтономная задача оптимальной регуляции сердечно-сосудистой системы....................., . . . 123

111.3.1 Постановка проблемы..................123

111.3.2 Исследование неавтономной задачи..........125

Литература.............................................132

А "Принцип оптимальности" М.С.Сабурова..............139

Б Краткое описание программы CONTROL..............150

Введение

В теории оптимальных задач особое место занимают билинейные задачи оптимального управления. Интерес, который в последнее время вызывают билинейные задачи, во многом объясняется тем, что они занимают промежуточное положение между линейными и нелинейными оптимальными задачами. Дело в том, что линейные задачи, общая теория которых к настоящему времени практически полностью разработана, как правило, не дают адекватного описания сколько-нибудь сложных управляемых процессов и систем. С другой стороны, современное состояние теории оптимального управления пока еще не позволяет достаточно эффективно исследовать и решать нелинейные оптимальные задачи в общей постановке.

Вследствие этого, в связи с конкретными приложениями математической теории оптимального управления, очень часто приходится иметь дело именно с билинейными задачами оптимального управления'. Однако приходится признать, что и в этой области еще далеко не все изучено.

Настоящая работа посвящена исследованию неавтономной билинейной задачи оптимального управления с фиксированным левым концом оптимальной траектории и условиями типа равенства на ее правом конце. Постановкой проблемы автор обязан М.С.Сабурову, которому принадлежит весьма перспективный метод решения автономных билинейных оптимальных задач — так называемый "принцип оптимальности". Автором осуществлены модификации этого принципа применительно к различным типам неавтономных билинейных задач оптимального управления, основанные на использовании специальной формы классического принципа максимума Понтрягина.

Обращает на себя внимание то обстоятельство, что в то время, как методы математической теории оптимального управления находят все более широкое применение в технике, они практически не используются для исследования нетехнических управляемых систем, в частности — биосистем. Это представляется совершенно неоправданным, поскольку каких бы то ни было принципиальных препятствий их использованию не имеется. Несмотря на то, что первые работы в этой области появились практически одновременно с возникновением самой теории оптимального управления, впоследствии интерес к этому вопросу несколько ослаб.

Данная проблема представляется тем более заслуживающей внимания, что все еще приходится сталкиваться с возражениями по поводу использования методов математической теории оптимального управления для исследования проблем оптимальной регуляции в биосистемах (см. например, [29]). В связи с этим, одна из задач настоящей работы заключается в обосновании применимости методов теории оптимального управления в этих целях. Более того, эффективность предлагаемых автором методов решения неавтономных билинейных оптимальных задач демонстрируется на примере некоторых практически важных задач, связанных с регуляцией в сердечно-сосудистой системе.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю доценту М.С.Сабурову, заведующему кафедрой математического анализа математического факультета МПГУ доценту С.Ю.Колягину, декану математического факультета МПГУ доценту Г.Г.Брайчеву, а также заместителю заведующего кафедрой нормальной физиологии Московской медицинской академии имени И.М.Сеченова профессору В.И.Бадикову за добрые советы и помощь в работе.

Глава I

О некоторых методах решения билинейных задач оптимального управления

В настоящее время билинейные задачи оптимального управления все больше и больше привлекают внимание исследователей. Это объясняется в том числе и тем, что описание реальных управляемых процессов с помощью линейных систем не позволяет не только осуществить их исчерпывающее исследование, но, в ряде случаев, даже получить корректные результаты. С другой стороны, использование билинейной структуры позволяет учесть существенные особенности процесса и, в результате, получить гораздо более адекватное описание исследуемого процесса.

Данное обстоятельство отмечалось исследователями уже в конце 60-х — начале 70-х годов, когда основные теоретические исследования проводились преимущественно в области решения линейных задач. Что же касается билинейных оптимальных задач, то каких бы то ни было содержательных методик их решения (помимо общего принципа максимума [32, 33]) не существовало вообще. Одним из первых, кто обратил на это внимание, был Рональд Мохлер (Ronald Möhler), который в работе [62] оцисал некоторые процессы, протекающие в биосистемах, как билинейные задачи оптимального управления и попытался их исследовать.

В то время развитие математической теории оптимального управле-

н.ия позволяло исследовать лишь отдельные частные случаи билинейных задач, и то весьма приближенно, что, естественно, не могло дать полной картины рассматриваемого процесса. Тем не менее, это был первый шаг к исследованию регуляции в биосистемах. С тех пор теория оптимального управления интенсивно развивалась, появлялись новые разработки в области решения билинейных задач, однако, если к настоящему времени общая теория решения линейных оптимальных задач в целом разработана, то в области билинейных задач еще многое подлежит дальнейшему исследованию.

Главной сложностью при исследовании билинейных задач является то, что для них не удается непосредственно воспользоваться принципом максимума как необходимым условием оптимальности, так как управляющая функция в каждый момент времени явно зависит как от фазовых координат, так и от решений сопряженной системы.

В настоящее время отсутствует единая методика решения билинейной задачи оптимального управления, хотя билинейным задачам посвящены многочисленные исследования. Широкий обзор современного состояния теории нелинейных систем дан в работе [17], а также в статье С.А.Вахрамеева [67], где представлен обзор ряда основных результатов, связанных с геометрическими методами теории оптимального управления.

Не ставя своей целью дать полный обзор литературы по данному вопросу, отметим некоторые, интересные с практической точки зрения, результаты.

Прежде всего, отметим широкий круг работ, связанных с теоремами релейности (т.н. "bang-bang theorems"), среди которых заметное место занимают [И, 48, 49, 65, 64, 4, 24, 68, 5, 6].

В работах Е.Н.Хайлова [48, 49] исследуется задача оптимального быстродействия в начало координат для билинейной системы

х = иАх + bw + с

со скалярным управлением, ограниченным по абсолютной величине. Автором получены достаточные условия релейности соответствующих экстремальных управлений, что дает возможность, при определенных предположениях, получить оценки на число локальных минимумов и максимумов интеграла от экстремального управления в рассматриваемой задаче. Эти локальные экстремумы играют роль моментов переключения для данного класса билинейных задач.

Гектор Суссман (Hector Sussmann) [64] для билинейной задачи

m

X(t)= Ao(i) + X>№Ai(t) X(t),

г=1

где Ао,...,Ат — матрицы размера т х п, зависящие от времени, а Х(*) Е показал, что множество достижимости для любого эле-

мента М Е М) за время Ь в случае релейного управления является

замкнутым при условии (которое не может быть ослаблено), что для всех г.] и всех таких, что 0 ^ £" ^ t, матрицы Аг-(£') и комму-

тируют.

В работе [65] Г.Суссман рассматривает систему со скалярным ограниченным управлением

х = ¡(х) + ид(х), х Е М, |м| < 1. (1.1)

Будем говорить, что система (1.1) удовлетворяет условию (Л), если для всех х Е М и для всех т Е N существует окрестность V точки х и вещественно аналитические в этой окрестности функции аг-, 6, г = 0,..., т•, такие, что |Ь(#)| < 1 и

т

[д, асГ ¡'д] (х) = щ(х) асГ ¡д(х) + Ъ(х) ас!1 ¡д(х), ¿=о

где —гладкие векторные поля, [/,д] —коммутатор. Г.Суссманом доказана следующая теорема.

Теорема.

Пусть (1.1) — вещественно аналитическая система на вещественно аналитическом многообразии М, удовлетворяющая условию (А).

Тогда эта система обладает свойством релейности с оценкой числа переключений (то есть для любого подмножества К С М и для любого Т > 0 существует целое N, такое, что, если

— оптимальная по быстродействию траектория для (1.1), соединяющая тючки £о и х\ (#1 — х{Т)-> т ^ Т), целиком лежащая в компакте К; то существует управление й(£), О ^ £ ^ Т, такое, что |м(£)| = 1 при почти всех О ^ £ ^ Т/ более того, и(-) кусочно постоянно и имеет число переключений (точек разрыва), не превосходящее N, и для соответствующей ему траектории х{1) — м(-)), имеем

.Г (0) = .'С0, х(т) = XI ).

Большое внимание проблеме релейности уделяет С.А.Вахрамеев [4, 67, 68, 5, 6],. В работе [4] рассмотрены различные обобщения классической теоремы Р.В.Гамкрелидзе [8, 9] о конечности числа переключений для линейной управляемой системы

х = Ах + Ви, х е и € Мга

на нелинейный случай (а также доказана теорема существования оптимального управления для задачи быстродействия для гладких управляемых систем).

Основной результат, обобщающий теорему Р.В.Гамкрелидзе, формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема.

Произвольное экстремальное управление для системы

х =/(х,и), х € М, и 6 и,

удовлетворяющее обобщенным условиям релейности и условию общности положения относительно многогранника и; совпадает почти всюду с кусочно постоянной функцией, принимающей значения только в вершинах многогранника и.

Нельзя не упомянуть и о крайне интересной статье Дж. Байеула (J.Baillieul) [54], в которой излагается новый подход к нелинейным задачам оптимального управления на основе идей дифференциальной геометрии и теории групп Ли. В частности, этот метод позволяет эффективно исследовать билинейные системы вида

, т

г=1

где А, Bi,..., Bm — постоянные матрицы n-го порядка; X(t) — матрица ?г-го порядка, зависящая от времени, м2(-), г = 1,... , m — измеримые на отрезке [О,Г] функции.

Автором конструируется матричное дифференциальное уравнение относительно управления, из которого, в большинстве случаев, оптимальное управление может быть определено в замкнутой форме.

В ряде работ по проблеме синтеза оптимального управления, в случае вырождения условий Лежандра, авторы предлагают использовать условия оптимальности высших порядков, нередко вообще не связывая их с предварительным использованием принципа максимума, как, например, в [19], где рассматриваются оптимальные задачи, линейные по управлению. характерной особенностью которых и является вырождение условий Лежандра. Найденные М.И.Зеликиным необходимые условия оптимальности позволяют выделить для нижеследующей задачи более узкое множество экстремальных траекторий, чем с помощью принципа максимума.

т

J /o(x,v) dt у min,

о

x,- = /i(x,v), г = 1,..., n,

х(0) = а, х G v G V С Мг,

где V — выпуклый многогранник, Т — момент достижения фазовой траекторией x(t) некоторого множества В С К™, а функции /¿(x,v)- линейны

НО V.

Исследованию условий оптимальности особых траекторий посвящены и другие работы М.И.Зеликина [18, 20]. В первой из них исследуется практически важная задача минимизации интеграла от дифференциальной формы. Отмечая, что "при построении синтеза оптимальных управлений в задачах с вырожденным условием Лежандра основную роль играют особые траектории", автор находит необходимые и достаточные условия оптимальности особых траекторий, которые имеют инвариантную форму относительно выбора начала координат, и, таким образом, удобны для практического применения.

Отметим и работу [59], посвященную двумерным задачам быстродействия, а также [30], в которой исследуются необходимые и достаточные условия оптимальности второго порядка; достаточным условиям оптимальности посвящена и работа В.И.Благодатского [2].

Исследованию особых оптимальных управлений посвящены работы Е.Шульце [51, 52]. В диссертации [52], основанной на трудах М.И.Зелржина и Г.Суссмана, рассматривается следующая гладкая двумерная автономная задача в области С К2.

Основываясь на принципе максимума, Е.Шульце предлагает пути осуществления синтеза оптимального управления для поставленной задачи, которая может быть сведена к эквивалентной ей оптимальной задаче со скалярным управлением:

Т 1п£, х = М1/1 (х) + ^2/2(х), х £ С^,

= (мь и2) / щ+и2 = 1, щ > х(0)=хо, Х(Т) £ {Я(х) = 0},

где { Е{х) = 0} П — одномерное гладкое многообразие.

Т Ы, х = /г(х) + уд(х), х £ <3, <;£УС = {Н<1},

х(0) = хо, х(Г) е {Е(х) = о},

где

Л(х) = i(/i(x) + /2(х)), д(х) = I(/2(x) - /i(x)),

v = 2W2 — 1.

Е.Шульце предлагает классификацию допустимых траекторий, содержащих "куски", соответствующие особым управлениям, и устанавливает условия, при которых данная допустимая траектория х(£) будет особой и оптимальной, откуда получает конкретные рекомендации по осуществлению синтеза оптимального управления. Несмотря на весьма специальный вид исследованной Е.Шульце задачи, полученные результаты интересны с практической точки зрения еще и тем, что допускают определенную формализацию вычислений, а также позволяют полностью исследовать задачи, синтез в которых не является регулярным.

Изучению особых управлений посвящены работы А.В.Дмитрука. В работах [15, 16] объектом исследования служит задача оптимального управления, линейная по управлению, частным случаем которой и является билинейная оптимальная задача. Задаваясь целью получения квадратичных необходимых и достаточных условий понтрягинского минимума в случае особых режимов, А.В.Дмитрук рассматривает наиболее общую постановку задачи, включающую как малые, так и игольчатые вариации управления:

J = хо(р) —У min,

Xj(p) < 0, i = 1, . . . , 7/,

А» = О, x = /(x,i) + F(x,£)u, uev(f),

1де

p = (x0,xi), хо = х(*о), X]=x(ii),

М,] — фиксированный отрезок,

х — абсолютно непрерывная функция размерности ¿/(х), и — измеримая ограниченная функция размерности ¿{и). При этом

1. -/, щ и К — дважды дифференцируемые функции конечномерного аргумента р, и их вторые производные ограничены на любом ограниченном множестве.

2. Функции /, ^ равномерно по х, £ из любого ограниченного множества дважды дифференцируемы по х.

измеримы по t и на любом ограниченном множестве х, £ лип-шицевы по х с общей для всех t константой; Г, Г'Х,Р1Х липшицевы

4. У(£) выпукло, измеримо зависит от непрерывно и многогранно.

Обозначим через некоторую пару (х°,и°), предполагая особость и°(£) по отношению к У(£), то есть для любого набора множителей Лагран-жа, обеспечивающих выполнение принципа максимума для данной пары (х°,и°), функция Понтрягина Л"(х°,и°,£) постоянна по и на всем У(£) для всех I. При сделанных предположениях А.В.Дмитруком получены критерии существования понтрягинского минимума в точке .

Полученные результаты имеют прикладную направленность. Более того, в ряде частных случаев автором приводятся точные аналитические формулы информативного характера, которые могут быть ис