Биомеханическое моделирование кровеносных сосудов с учетом мышечной активности стенок

Доль, Александр Викторович

Биомеханическое моделирование кровеносных сосудов с учетом мышечной активности стенок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.08 ВАК РФ

Доль, Александр Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.08 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Биомеханическое моделирование кровеносных сосудов с учетом мышечной активности стенок»

Автореферат диссертации на тему "Биомеханическое моделирование кровеносных сосудов с учетом мышечной активности стенок"

На правах рукописи

Доль Александр Викторович

Биомеханическое моделирование кровеносных сосудов с учетом мышечной активности стенок

01.02.08 - Биомеханика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005535677

Саратов-2013

005535677

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского". Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математической теории упругости и биомеханики, ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского" Гуляев Юрий Петрович.

Официальные оппоненты:

Саврасов Геннадий Викторович, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана», профессор кафедры «Биотехнические системы и устройства».

Андрейченко Дмитрий Константинович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», заведующий кафедрой математического обеспечения вычислительных комплексов и информационных систем.

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический ».

Защита состоится 27 сентября 2013 г. в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете имени Н.Г. Чернышевского по адресу 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, корп. IX, ауд. 18 образовательно-научного института наноструктур и биосистем.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского Автореферат разослан «20» августа 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Шевцова Юлия Владиславовна

Общая характеристика работы

Актуальность работы. По статистике, сердечно-сосудистые заболевания на сегодняшний день являются одной из основных причин инвалидности и смерти жителей большинства современных развитых стран, причем на долю смертности от заболеваний сердечно-сосудистой системы в общем приходится до 60% от общего числа умерших. В России, как и в мире в целом, наблюдается похожая картина.

Нередко для восстановления кровообращения в пораженных сосудах помимо медикаментозного лечения проводятся реконструктивные операции, и часто невозможно объективно оценить, какой тип оперативного вмешательства будет оптимальным для конкретного пациента, а также насколько близок будет кровоток в сосуде к нормальному после операции.

Еще одной важной проблемой при прогнозировании результатов лечения является скорость расчетов: как правило, большинство современных математических моделей требуют численного решения, причем вычисления получаются затратными по времени и требуют довольно мощные компьютеры. При этом снижение времени расчетов путем упрощений может привести к неточности полученных результатов, что, безусловно, недопустимо.

В области математического моделирования гемодинамики в последние несколько лет все чаще поднимается вопрос о воздействии стенки сосуда на поток крови. Данная проблема была впервые исследована еще в начале XX века российским ученым академиком М.В. Яновским, который сформулировал гипотезу так называемого вторичного или периферического сердца: то есть предположение о том, что кровь помимо сердца ускоряется еще и за счет сокращения сосудистых стенок. На сегодняшний день это предположение подтверждено многими исследованиями, поэтому пренебрегать при моделировании кровообращения работой стенок нельзя.

Таким образом, построение математической модели течения крови в гибких сосудах, учитывающей мышечную активность стенки, является актуальной научно-практической задачей. Моделирование движения крови в артериях позволит вычислять кровоток в любой точке сосудистого русла и прогнозировать поведение сосуда после хирургического вмешательства.

Цели диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является разработка и верификация математической модели, которая бы достаточно полно описывала движение крови в кровеносных сосудах, учитывая взаимодействие жидкости со стенкой и влияние самой стенки на поток (работу вторичного сердца), являлась быстродействующей и легко адаптируемой под конкретного пациента. Для этого были поставлены следующие задачи:

• Провести анализ существующих на данный момент математических моделей гемодинамики.

• Построить математическую модель течения крови в системе кровеносных сосудов произвольной конфигурации, которая бы учитывала работу вторичного сердца.

• Провести механические эксперименты по растяжению стенок артерий с целью определения их механических характеристик.

• Методом конечных элементов решить задачу о течении крови в плечевой артерии и основных ее ответвлениях.

• Сравнить результаты расчетов по построенной модели с результатами, полученными методом конечных элементов.

Научная новизна. Разработана трехмерная линейная математическая модель динамики кровотока в сосудах с упругими стенками, учитывающая работу распределенного сердца. Предложены новые варианты постановки задач о движении крови в кровеносных сосудах с упругими стенками.

Разработана одномерная линейная математическая модель, для которой получено аналитическое решение. Результаты, полученные с помощью данной модели, мало отличаются от результатов, полученных методом конечных элементов.

Теоретическая и практическая ценность работы. Математические модели, описанные в диссертации, могут быть использованы для выбора наиболее удачного варианта реконструктивной операции. Одномерная модель, кроме того, существенно сокращает время расчетов, при этом показывая результаты, близкие к результатам, полученным методом конечных элементов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой задачи, а также хорошим соответствием численных результатов при использовании более точной пространственно трехмерной модели сосудистой системы (метод конечных элементов).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на

• X Всероссийской конференции «Биомеханика 2010» (Саратов, 2010),

• Всероссийской научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2011» (Саратов, 2011),

• X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011),

• Всероссийской научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2012» (Саратов, 2012),

• конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Саратов, 2012),

• научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского».

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• Трехмерная математическая модель периодического течения крови в кровеносных сосудах, учитывающая мышечную активность стенок.

• Новые варианты постановки задач о движении крови в кровеносных сосудах с упругими стенками.

• Одномерная линейная математическая модель периодического течения крови в кровеносных сосудах, учитывающая мышечную активность стенок.

• Исследование и анализ механических свойств плечевых артерий человека.

• Оценка влияния мышечной активности стенок сосудов на кровоток методом конечных элементов.

• Анализ и верификация полученных численных результатов путем сравнения одномерной модели с трехмерной.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 3 статьи в журналах из списка ВАК [2, 5, 7], 2 статьи в сборниках тезисов конференций [1, 9], 3 статьи в сборниках материалов конференций [3, 6, 8], 1 статья в сборнике научных трудов [4].

Личный вклад автора. Изложенные в диссертационной работе научные результаты получены автором самостоятельно. Постановка задач и анализ результатов проводились совместно с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет

144 страницы. Работа содержит 18 графиков, 3 таблицы, 36 рисунков и список литературы из 107 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, показаны практическая значимость и новизна, представлены положения, выносимые на защиту, дано краткое описание содержания работы.

Первая глава содержит информацию о строении кровеносной системы человека, а также описание современных математических моделей и расчетных схем, которые применяются различными исследователями для вычисления параметров кровотока и напряженно-деформированного состояния сосудистых стенок.

Вторая глава посвящена построению математических моделей движения крови в упругих изотропных сосудах с учетом мышечной активности стенок.

Рассмотрим осесимметричное движение крови, которую считаем вязкой несжимаемой жидкостью, в круглом сосуде постоянного радиуса Я. Ось х цилиндрической системы координат {х,г,в) совпадает с осью симметрии потока. Материал стенки считаем идеально упругим, изотропным.

Перемещения стенок будем представлять в виде суммы:

где и(х, 0 - упругие перемещения в продольном направлении, и/(х, - в поперечном, а функции u0(x,t), и/а(хЛ) описывают дополнительное смещение стенки сосуда, вызываемое реактивным мышечным сокращением при прохождении по сосуду пульсовой волны давления, то есть работу вторичного сердца.

Основная система уравнений динамики кровотока в гибких цилиндрических сосудах в таком случае будет иметь вид:

Здесь р - давление; р - плотность крови; /л - вязкость крови; V,! -осевая компонента скорости крови; Vг - радиальная компонента скорости крови; /? - радиус сосуда; Ь - время; и, ю - перемещения стенки в продольном и поперечном направлениях; Т' - силы натяжения в

окружном и продольном направлениях соответственно; 50, Т0 - начальные значения сил натяжения в окружном и продольном направлениях; £ - модуль Юнга стенки; V - коэффициент Пуассона; Л - толщина стенки сосуда; р0-массовая плотность материала стенки сосуда.

Третье уравнение системы (уравнение для давления) получено из уравнений Навье-Стокса для осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости. Оно заменяет уравнение неразрывности.

На стенке задаются статические и кинематические контактные условия:

?1£ + 1?Р+Ё1£ = о

дх2 г дг дг2

+ —- + —^ г дг дг2

(1)

1. Кинематические условия:

8t+ 81 '

8\Л/ д\н0

2. Статические условия: 'dv.

8vr \

+ —-

r,R Эх r=Rj

Т = * дг

r=R

Задача заключается в нахождении общего решения системы уравнений (1) с граничными условиями (2), (3). В силу линейности уравнений задача распадается на однородную и неоднородную. Сначала построим общее решение однородной задачи, после чего найдем частное решение неоднородной.

В однородном случае решение будем искать в виде простых гармонических волн вида:

и = и, exp[i{ajt-zx)],

w = w, exp[i(ojt - %х)],

v,=v^r)exp[i(a*-Xx)], (4)

vr = vrAr )exp[/(<af - %x)],

P = P\(r )exp[/(erf - %x)\.

Здесь a - частота пульсации кровотока, / - волновое число. Подставляя функции (4) в первые три уравнения системы (1), получим значения для амплитуд давления и скоростей: Pi =AJ0(izr),

v* (r) = ^AJ0(izr) + BJ0(i/3r), (5)

ра>

vr,(r) = -Z-AMiXr) + j-BJ,(ij3r), peo p

где J0(r), J,(r) - функции Бесселя первого рода порядков 0 и 1.

Далее, построив частные решения для каждой волновой гармоники е1Ы'х'), подставим в однородную систему (1) значения (5), а также функции (4) и выполним однородные кинематические условия (2). Получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных u1, vv1, А и В. Ненулевое решение системы

существует тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. Таким образом, получим дисперсионное уравнение:

връф

Я (Ф^ д/1 V * дЛ Р

-ко

К (Ф

/Ф »Я

Я юр } д/1

-и»

■-4ЙЛ

«ЦР

-.«чя

юр

4/т

Здесь с„г

РоО-*2)'

Для решения полной краевой задачи с учетом граничных условий на входе и выходе из сосудистой системы необходимо решить дисперсионное уравнение для конечных значений волновых чисел (конечных частот гармонических колебаний). Для определения числа решений и начального приближения может быть использован контурный фафик начальных точек дисперсионных кривых, полученный в программном пакете Ма1Ьса<1.

В случае малых коэффициентов вязкости (//* 0.00001 )дисперсионнос уравнение имеет 2 комплексных решения. Соответствующий контурный график представлен на рисунке 1.

1 в-1

сг 0

-0 8Н -12 • 16-2

:Л 0! \)

-и -88 •«« -44 .22 о 22 44 6« 88 И

Рисунок 1. Начальные точки дисперсионных кривых в случае малой вязкости.

Для относительно больших коэффициентов вязкости (//«0.1) число дисперсионных кривых образует бесконечное счетное множество (рисунок 2).

Рисунок 2. Начальные точки лислсрсконных кривых в случае большой шикости. Используя полученные точки в качестве начальных приближений для построения решения дисперсионного уравнения, можно построить необходимые дисперсионные кривые. Наличие дисперсионных кривых позволяет завершить решение полной краевой задачи с учетом краевых и контактных условий.

Таким образом, общее решение однородной системы (I) построено. Далее перейдем к построению частного решения неоднородной системы. Частное решение неоднородной системы (2.2.10), (2.2.8) для каждой

волновой гармоники в будем искать в виде:

"о, =и,0ехр(|(^-/„*)],

О—А

V*» -^1»(г)«РС/(Л1»-Л*И.(»—=-) (6)

^о» -^(ОвхЙ'М "*«*)]. Ро. -Р,о<Оехр1/М-*,х)1.

где р,„ = АЛС-ГоО.

рш

= ВМ'М.

Р<» А)

А IЯ* +1Хо* • Хо т——> — - параметр Уомерсли,

Сп* 1 М

Ст* = ' СК0Р°СТЬ пульс080" волны давления Моэнса-Кортевега.

Функции и0(х,1), \*0(х.1), учитывающие работу распределенного сердца, определяются из эксперимента. Следует отметить, что установившееся движение вязкой жидкости при дополнительном мышечном воздействии возможно, если среднег ускорение реактивного перемещения стенок равно нулю. В простейшем случае функции реактивного перемещения стенок могут быть записаны в виде:

г,(1-ссв(-.если 0 51——<,ЧТ

ЯТ С«,

0 ,если д7"<»--<Т.

с».

— соб(-.если 0—¿дГ

<?' с«.

0 ,если <1 —< 7".

(7)

(8)

где У\2~ параметры, характеризующие степень мышечной активности, 0 < ч 51, Т - период пульсации крови.

В этом случае график ускорения реактивного перемещения стенок будет антисимметричным, и среднее ускорение будет равно 0 (рисунок 3).

-ом».

Рисунок 3. Реактивное ускорение стенок сосуда.

Тогда, раскладывая в ряды Фурье функции скорости и ускорения реактивного перемещения стенок и подставляя в неоднородную систему (1) и в контактные условия (2) функции (6), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных (/,„, , Д,, 80, определитель которой будет отличен от 0. гак как не является корнем дисперсионного уравнения. Решая систему, определим неизвестные константы и построим базовые частные решения для продольной и поперечной компонент скорости. Сумма таких решений, найденных для

каждой волновой гармоник» в с- , даст нам решение системы уравнении (1) с кинематическими контактными условиями (2).

Таким образом, задача о построении решения системы уравнений (1) с граничными условиями (2}, (3) решена. Расчеты с помощью построенной трехмерной аналитической модели довольно трудоемки, поэтому было принято решение о необходимости се упрощения.

Осрсдняя уравнения системы (1) по радиусу сосуда, получим одномерную систему течения вязкой несжимаемой жидкости:

(30 2 .

й лЯ2

дх

= -лЯ

2 дР' 8лц

д20

дх лЯ

дх2

1 30

2 лЯ дх '

и а<2 дх

дЗ'Бо-Тс8™,

общ

Э':

Я2

£/7

1-у2

= Р + с

ди и/

— + V—

дх Я

дх Г

+ 5

3=У

общ

дх2

Т' = ЕЛ ГIV ди — + V- Я дх

1-У2

дх /■= я "лЯ3'

4/Ю лЯ3

(9)

где О = |2даухс/л - объемный расход крови.

Пренебрегая инерционными силами, действующими на элемент оболочки, а также конвективной составляющей ускорения частиц жидкости, из замкнутой системы уравнений (9) получаем более простую систему уравнений динамики кровотока:

дО

2 др Ълц

Я ди/.

общ

дх лЯ2 1 дО 2 лЯ дх ' Т_ Я

6ц, д1

(10)

Т'--

Е17 и/ Ч-у2 Я

Из системы (10) с учетом разложения функций (7), (8) в ряды Фурье, получаем разрешающее уравнение для объемного кровотока:

Э20 В 30 1 Э20 „2 В „

- + лЯ —Ве

Э?2

/. ег Ю дх2

О '

. . .2 як,, х .

2/лк '—«'"г:' е "*

-—Ие

¡.й

_ . . .2 як,, х .

(П)

Здесь 6 = -^,

TJ,

> ск>4 "

' - лЯ2 С 2лЯ3 Н-^2 коэффициенты разложения в ряд Фурье.

Построение аналитического решения задачи по определению объемного кровотока в системе кровеносных сосудов проводилось для участка сосудистой системы с двумя узлами бифуркации. Рассматривается система артерий, состоящая из пяти сегментов, в которых происходит периодическая пульсация крови. Каждый отдельный участок обладает своей пространственно одномерной системой координат, начало которой лежит на входе, а ось х направлена в сторону выходного отверстия.

На каждом ьм участке запишем уравнение для объемного кровотока:

а2о, | в,, во, = 1 a2Q, | ^ 2 в,

at2 L, 1

LA дх2

£ci

2/лк >¥«-

L,D,

1 '

(12)

Граничные условия:

при х = 0, О, = О0(0; при х да:02,04,05 -> 0. (13)

Контактные условия выражают условия сохранения расходов и непрерывности давления в узлах разветвления:

о,Ц =Q2L0 + Q3L.

: Рг|х=0 -

Q3| , = Q4| „ + Q6

Jl*=/3 4lx=0 3

=o'

Объемный кровоток на каждом участке будем искать в виде:

где О0, - средний объемный кровоток на ¡-том участке.

Решением уравнения (12) в этом случае будет функция:

(14)

(15)

(16)

о, ((,*>=

Д^»* + ---е Гс-

е "

(17)

Неизвестные константы определяются из граничных условий (13) и контактных условий (14), (15).

Средний объемный кровоток на первом участке определяем из условия на входе:

<Э10 =а0+яу„ра3Я12+а0ж>

_ 2лЯл _ 2Я1дТстку2(л2 -4) где "] --- . дополнительный

средний расход, возникающий за счет продольных сокращений стенки;

На остальных участках средние объемные кровотоки определяются из первого уравнения системы (10) при условии установившегося течения жидкости:

В30«/з +^—7г(В212^22 -В3/3К32) ВгОю'г ~_ез'зКз2)

о -__ О -___

- «зп--

®з' з + ®г'г

е50зо'5 + *^(е4/4к42 - в5/5к52) в4о30/4 - *^-(84/4я42 - в5/5я52) о -__ о -_01_

е4/4+в5/5 в4/4+б5/5

Таким образом, построена одномерная математическая модель периодического течения крови, которая учитывает работу распределенного сердца. Важнейшим преимуществом данной модели является то, что основная система уравнений допускает аналитическое решение.

Во второй главе также предложены новые варианты постановки задачи о движении крови в гибких цилиндрических сосудах.

Полагая, как и раньше, что задача осесимметрична, а кровь является ньютоновской жидкостью, рассмотрим случай направленного движения жидкости в сосуде, когда малая пульсация составляющий скоростей

происходит вокруг основной скорости потока у0 : vlr =v0 +v' \ vг = v'. В этом случае уравнения гидродинамики представляют собой уравнения Навье-Стокса для направленных потоков, и система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости в сосудах с упругими стенками принимает вид:

Условия «прилипания» частиц жидкости к стенкам сосуда можно заменить условием стесненного их скольжения по поверхности контакта:

X - коэффициент вязкого трения материала оболочки и жидкости.

Для дальнейшего упрощения предложенной системы уравнений в трехмерной постановке можно вместо уравнений Навье-Стокса (2.4.1) использовать уравнения Эйлера для описания движения направленного потока идеальной несжимаемой жидкости, полагая при этом, что вязкое стесненное трение жидкости о стенку сосуда будет происходить в бесконечно тонком слое (погранслой) на контактной поверхности:

(18)

(19)

дм

д(гуг) | 3(гу,)_0 дг дх

= 0,

дt

дх

Ф»

3 |/„

дх дх2

а2 "с°

д2и

яг Р0/?Я 5х р0л

а;^ к2 0 к ах эх2

Касательные напряжения на стенке будут иметь вид:

В качестве контактных условий для идеальной жидкости можно взять условия непроницаемости стенки и условия прилипания частиц жидкости вдоль стенки:

(21)

В одномерной постановке задача о движении крови в сосудах с упругими стенками может быть записана в уточненном виде на основе сокращения числа гипотез и предположений. Осредним по радиусу сосуда систему уравнений (18) с граничными и контактными условиями вида:

(дУ,

1 8г г-н дх

т = ц

<г = р|

дг

■Ёа

д\Л/

ИГ'

Тогда получим систему одномерных уравнений динамики кровотока в крупных кровеносных сосудах:

\ т лЯ2 дх) дх ^ дг

д20 + А-5".

, дх2

ди/

1 дО

2яЯ дх'

,д2и дБ Эц - Т0 ди/

. а21У Т0 Т 0 Й21У рстЬ—=- = —--+ 50—г- + сг,

сга аР я2 к ах2

_ ЕИ (ди иЛ

Б =-И — + V— ,

1-у21ах г*)

г =

ЕЛ ( ди \л/ Г 5х + Я/

Р\г-Н=Рс+Р

8 л-1 с'Юх

ах^

д2и 1 ас? 1 а3о

Эха? лИ2 дх + 4я- ах3

ал

дг

ди

1 30 д2и

г Н 2лЯ2 дх дхдС _ 4. Гаи__

г=я ~ я*2

20 ,

а? я/?2 х|г=0'

Система замкнута, так как для определения 10 неизвестных функций

О, и, IV, г, Г, рс, 1/х|г=п, ^

=°' аг

дг

имеем 10 уравнений.

Предложенная математическая модель допускает построение аналитического решения в классе периодических функций времени.

В третьей главе описаны механические эксперименты по определению свойств плечевых артерий человека. Были проведены испытания по растяжению трех пар плечевых артерий без патологий, изъятых у мужчин среднего возраста. Растяжение образцов проводилось как в продольном, так и в поперечном направлении.

В результате были получены диаграммы растяжений образцов, а также в автоматическом режиме рассчитаны модули Юнга для каждого образца и посчитаны средние значения модулей в продольном и поперечном направлениях. Среднее значения модуля упругости (по всем трем парам сосудов) для продольного направления составило 4.621 МПа, для поперечного 2.401 МПа.

В четвертой главе представлены результаты расчетов кровотока в участке сосудистого русла плеча. Расчеты проводились в программах Амув (методом конечных элементов) и МаЙ1сас! (по построенной одномерной модели).

В Апвув была решена задача о течении крови в участке сосудистого русла плеча. Рассматривалась плечевая артерия с двумя узлами бифуркации.

Механические характеристики стенки были взяты из предыдущей главы (средние значения). Кровь считалась вязкой несжимаемой ньютоновской жидкостью. Рассматривались две задачи: о течении крови в сосуде с учетом мышечной активности стенок и без учета мышечной активности. Функции реактивного перемещения стенок имели вид (7). В результате получили графики для объемных кровотоков на выходах из сосудов, которые показывают, что при коэффициенте мышечной активности, равному 0.001, за счет реактивного перемещения стенок объемный кровоток возрастает в среднем на 5%.

Далее в программе МаШсас! по одномерной модели были рассчитаны объемные кровотоки в той же системе артерий плеча. На рисунке 4 приведен график сравнения результатов конечно-элементного расчета (с учетом мышечной активности стенок) и одномерной теории.

Объемный кровоток на выходе из лучевой артерии

0.0000002

-0.0000001 -

Время, с

Рисунок 4 Объемный кровоток на выходе из лучевой артерии. Различия в значениях для объемных кровотоков на пиках систолы для всех выходных сечений не превышает 10%., что является вполне приемлемой погрешностью для практических приложений одномерной теории. Результаты и выводы

1. Построена трехмерная математическая модель периодического течения крови. Данная модель применима к сосудистому руслу

произвольной конфигурации. Построенная модель допускает численное решение.

2. Построена одномерная математическая модель периодического течения крови в сосудистом русле произвольной конфигурации. Модель допускает аналитическое решение, что позволяет быстро получать необходимые результаты.

3. Методом конечных элементов решена задача о течении крови в системе сосудов плеча (трехмерная постановка). Модель учитывала реактивное перемещение стенок.

4. Показано, что за счет периодического реактивного смещения стенок по определенному закону объемный кровоток на выходе из сосуда возрастает. Величина, на которую увеличивается кровоток, напрямую зависит от подбора коэффициента мышечной активности.

5. Проведено сравнение результатов, полученных при конечно-элементном моделировании сосудистой системы плеча, и вычисленных с помощью одномерной модели. Показано, что одномерная модель позволяет с высокой степенью точности оценивать объемные кровотоки в сосудах, причем время расчетов при ее использовании значительно ниже, чем при моделировании методом конечных элементов.

6. Предложенные в диссертации математические модели могут быть использованы для исследований участков сосудистого русла конкретного пациента. Кроме того, на основе построенной одномерной модели может быть создано специализированное программное обеспечение, позволяющее быстро (практически в режиме реального времени) рассчитывать объемные кровотоки в системе сосудов произвольной конфигурации.

Список публикаций

1. Гуляев, Ю.П. Моделирование гемодинамики крупных кровеносных сосудов с учетом взаимодействия потока крови со стенкой / Ю.П. Гуляев, A.B. Доль // III сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела: Тез. докл. Всерос. конф. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2009. С. 13.

2. Доль, A.B. Одномерная система уравнений динамики кровотока в крупных кровеносных сосудах/ A.B. Доль // Научно-технический вестник Поволжья. - Казань: Научно-технический вестник Поволжья. 2012. №2. С. 27-30.

3. Доль, A.B. Интегрирование замкнутой системы динамики кровотока методом разделения переменных / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине: Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2011. С.13-15.

4. Доль, A.B. Интегрирование основной системы уравнений динамики кровотока методом разделения переменных / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Математика. Механика: Сб. науч. Трудов. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2011. С. 140-143.

5. Доль, A.B. Математические модели гемодинамики кровотока с учетом работы распределенного сердца / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 2011. С. 423-425.

6. Доль, A.B. Моделирование течения крови в крупных кровеносных сосудах с учетом взаимодействия потока со стенкой / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине: Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара.. -Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2009. С.69-72.

7. Доль, A.B. Трехмерная математическая модель гемодинамики с учетом работы распределенного сердца / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Известия

саратовского университета. Серия математика. Механика. Информатика. — Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2012. - Т. 12.-Вып. З.-С. 62-66.

8. Доль, A.B. Учет работы распределенного сердца в трехмерной модели гемодинамики / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2012: Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2012. С.44-47.

9. Доль, A.B. Одномерное движение вязкой несжимаемой жидкости / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев//X Всероссийская конференция «Биомеханика 2010»: Тез. докл. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2010. - С. 69.

Формат 60x84 1/16. Печать RISO. Объем 1,5 п. л. Тираж 120 экз. Гарнитура Times.

Отпечатано на ризографе Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Доль, Александр Викторович, Саратов

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского»

04201361474

На правах рукописи

Доль Александр Викторович

БИОМЕХАНИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРОВЕНОСНЫХ СОСУДОВ С УЧЕТОМ МЫШЕЧНОЙ

АКТИВНОСТИ СТЕНОК

01.02.08 - биомеханика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент Гуляев Юрий Петрович

Саратов - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................................4

Актуальность темы............................................................................................................4

Цель работы........................................................................................................................5

Положения, выносимые на защиту:.................................................................................6

Научная новизна.................................................................................................................7

Теоретическая и практическая ценность работы..........................................................7

Достоверность.....................................................................................................................7

Апробация работы..............................................................................................................7

Публикации по теме диссертации....................................................................................8

Структура диссертации.....................................................................................................8

Глава 1 ОБЗОР......................................................................................................................10

1.1. Сосудистая система человека...................................................................................10

1.2. Обзор моделей и расчетных схем для описания....................................................13

тока крови и механического поведения сосудов..........................................................13

Классические модели кровеносных сосудов.............................................................14

Модель для асимптотического анализа.....................................................................22

Модель перистальтического сокращения стенки кровеносного сосуда...............25

Модель на основе метода сосредоточенных параметров.........................................27

Квазиодномерное приближение..................................................................................30

Модель сужающихся сосудов......................................................................................34

Электрическое моделирование системы кровообращения.....................................37

Модель винтового движения крови в сосуде............................................................41

Модель с учетом винтовой анизотропии стенки сосуда..........................................44

Модель пульсового движения крови во время систолы с учетом винтовой

анизотропии...................................................................................................................47

Глава 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕМОДИНАМИКИ КРУПНЫХ КРОВЕНОСНЫХ СОСУДОВ С УЧЕТОМ РАБОТЫ «ПЕРИФЕРИЧЕСКОГО СЕРДЦА» .................................................................................................................................................53

2.1. Предпосылки моделирования..................................................................................53

2.2. Постановка задачи и построение решения.............................................................55

Построение частных решений уравнений Навье-Стокса для каждой волновой

гармоники в случае однородной задачи....................................................................59

Вывод дисперсионного уравнения.............................................................................61

Учет работы распределенного сердца. Построение частного решения неоднородной

задачи.............................................................................................................................71

Результаты моделирования и выводы......................................................................76

2.3. Одномерная математическая модель гемодинамики кровотока с учетом работы распределенного сердца...................................................................................................78

Постановка задачи........................................................................................................78

Построение частных периодических решений уравнения для объемного кровотока

.........................................................................................................................................82

Результаты моделирования и выводы......................................................................93

2.4. Новые варианты постановки задачи о движении крови в гибких цилиндрических сосудах................................................................................................................................94

Трехмерная постановка...............................................................................................94

Одномерная постановка..............................................................................................97

Результаты и выводы.................................................................................................102

Глава 3 МЕХАНИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ..............................................................103

3.1. Цели и объекты исследования...............................................................................103

3.2. Оборудование и методы..........................................................................................106

3.3. Определение механических свойств сосудов.......................................................112

Глава 4 ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ ДИНАМИКИ КРОВОТОКА...............................118

4.1. Моделирование методом конечных элементов....................................................118

4.2. Расчеты в программном комплексе Mathcad......................................................127

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.............................................................................................133

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................................................134

ВВЕДЕНИЕ

Проведенные исследования направлены на решение медицинской задачи, связанной с исследованием движения крови в крупных кровеносных сосудах человека.

Актуальность темы

По статистике, сердечно-сосудистые заболевания на сегодняшний день являются одной из основных причин инвалидности и смерти жителей большинства современных развитых стран [45], причем на долю смертности от заболеваний сердечно-сосудистой системы в общем приходится до 60% от общего числа умерших [39]. В России, как и в мире в целом, наблюдается похожая картина. На рисунке 1 приведена статистика смертности от различных заболеваний по данным Министерства здравоохранения и социального развития РФ [34].

Статистика смертности в РФ за 2010 год

60%

50% -

дистые ия

40% -

30% -

Несчастные случаи

Новообразования

20% -...............................

Болезни дыхательной

системы

10% ...................

Инфекционные

Болезни органов

Прочие причины

заболевания

пищеварения

Рисунок 1. Смертность в России от различных заболеваний.

При этом с каждым годом заболеваниям сердечно-сосудистой системы подвергаются тысячи людей, а средний возраст пациентов неуклонно снижается

[7].

В области математического моделирования гемодинамики в последние несколько лет все чаще поднимается вопрос о воздействии стенки сосуда на поток крови. Данная проблема была впервые исследована еще в начале XX века российским ученым академиком М.В. Яновским, который сформулировал гипотезу так называемого вторичного или периферического сердца: то есть предположение о том, что кровь помимо сердца ускоряется еще и за счет сокращения сосудистых стенок. На сегодняшний день это предположение подтверждено многими исследованиями [2, 35, 37], поэтому пренебрегать при моделировании кровообращения работой стенок нельзя.

Таким образом, необходимо построить математическую модель гемодинамики, которая бы достаточно полно описывала движение крови в кровеносных сосудах, учитывая взаимодействие жидкости со стенкой и влияние самой стенки на поток (работу вторичного сердца), являлась быстродействующей и легко адаптируемой под конкретного пациента.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка математической модели, удовлетворяющей описанным выше требованиям, а также ее верификация. Для этого были поставлены следующие задачи:

1. Провести анализ существующих на данный момент

математических моделей гемодинамики.

2. Построить математическую модель течения крови в системе кровеносных сосудов произвольной конфигурации, которая бы учитывала работу вторичного сердца.

3. Провести механические эксперименты по растяжению стенок артерий с целью определения их механических характеристик.

4. Методом конечных элементов решить задачу о течении крови в плечевой артерии и основных ее ответвлениях.

5. Сравнить результаты расчетов по построенной модели с результатами, полученными методом конечных элементов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Трехмерная математическая модель периодического течения крови в кровеносных сосудах, учитывающая мышечную активность стенок.

2. Новые варианты постановки задач о движении крови в кровеносных сосудах с упругими стенками.

3. Одномерная линейная математическая модель периодического течения крови в кровеносных сосудах, учитывающая мышечную активность стенок.

4. Исследование и анализ механических свойств плечевых артерий человека.

5. Оценка влияния мышечной активности стенок сосудов на кровоток методом конечных элементов.

6. Анализ и верификация полученных численных результатов путем сравнения одномерной модели с трехмерной.

Научная новизна

1. Разработана трехмерная линейная математическая модель динамики кровотока в сосудах с упругими стенками, учитывающая работу распределенного сердца.

2. Предложены новые варианты постановки задач о движении крови в кровеносных сосудах с упругими стенками.

3. Разработана одномерная линейная математическая модель, для которой получено аналитическое решение. Результаты, полученные с помощью данной модели, мало отличаются от результатов, полученных методом конечных элементов.

4. Исследованы механические характеристики плечевых артерий человека.

5. Поставлена и решена новая задача о движении крови в системе сосудов плеча, с учетом мышечной активности стенок.

Теоретическая и практическая ценность работы

Математические модели, описанные в диссертации, могут быть использованы для прогнозирования возможного поведения сосудов после хирургического вмешательства или при различных патологиях. Одномерная модель, кроме того, существенно сокращает время расчетов, при этом показывая результаты, близкие к результатам, полученным методом конечных элементов.

Достоверность

Апробация работы

Основные положения диссертации представлялись на X Всероссийской конференции «Биомеханика 2010» (Саратов, 2010); Всероссийской научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине -2011» (Саратов, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); Всероссийской

научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2012» (Саратов, 2012).

Работа также докладывалась на научных семинарах и конференциях кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского, в том числе на конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Саратов, 2012).

Публикации по теме диссертации

Основные аспекты диссертационной работы отражены в 9-ти печатных работах [12, 17 - 18]. В том числе 3 статьи [15, 17, 19] опубликованы в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов ВАК.

Структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.

Первая глава содержит краткое описание сердечно-сосудистой системы человека, ее основных составляющих (артерий, вен, капилляров) и их особенностей, а также обзор основных на сегодняшний день математических моделей и расчетных схем кровотока.

Глава вторая посвящена математическому моделированию. Здесь приведена математическая постановка задачи о движении крови в артериях, записана основная система уравнений течения вязкой несжимаемой жидкости в сосудах с упругими сокращающимися стенками (то есть с учетом работы вторичного сердца). Построены базовые частные решения для продольной и радиальной компонент скорости. Кроме того, данная глава содержит постановку задачи в одномерном случае, приведена основная одномерная система уравнений динамики кровотока в случае учета работы распределенного сердца, построено аналитическое решение данной системы для системы разветвляющихся сосудов.

В третьей главе содержится описание существующих на сегодняшний день методик по определению механических свойств биологических тканей, а также описан эксперимент по определению упругих констант стенок плечевых артерий человека и приведены результаты исследований.

Четвертая глава содержит описание численного моделирования в конечно-элементном программном пакете АшуБ плечевой артерии с основными ее ответвлениями. Здесь также проведено сравнение результатов конечно-элементного расчета с результатами, полученными с помощью разработанной математической модели.

В разделе «Заключение» приведены основные результаты и выводы, сделанные на их основе.

Глава 1 ОБЗОР

1.1. Сосудистая система человека

С точки зрения биологии сердце и кровеносные сосуды изучает наука ангиология, angiologia (от греч. angeion - сосуд и logos - учение). Принято делить сосудистую систему на кровеносную (systema sanguineum) и лимфатическую (systema limphaticum) [43]. Вся сосудистая система в целом тесно связана с системой кроветворных и иммунных органов, таких как костный мозг, тимус, лимфатические узлы, лимфоидная ткань небной, язычной, трубной и других миндалин, селезенка и печень (в эмбриональном периоде), которые постоянно воспроизводит погибшие кровяные элементы.

Капи пери го-mu iihMt.

НСрЧНИЧ 01ЛС.КЖ 1у;ЮМИШИ и ясрхпнч конечное»ей

А слпиЬ communis

Капилляры кишечника

Клшияры легких

к «пи i.mpu нижних

«IIлс ION IV ШНШШ

к ннлнич конечное ген

Truncus /Mllnuinill%

Vv pulmonale» мпыгас

Airium tfotarum Vcnmculu» «muter TnilKU» ccliacu* A tatirtc*

к'амипяри «е1«лм Л чрктса<Ьетш1к>

ce ií юти

AoriJ

xfknic* iItcnjIim

A medente rica

V* pulmonale*

V «ve uiperior

Катил яры

V portee

V renal» KaiiM.LHpu почки

Aorta

Airium

Ventnculus dexier

A hcpalica

Ductus

V c*va inferior

Рисунок 1.1.1 Большой и малый круги кровообращения человека. По направлению движения крови принято выделять три основных группы сосудов:

1. артерии (arteriae), переносящие кровь (haema) от сердца к органам;

2. капилляры (vasa capillaria), через чьи стенки происходят процессы обмена;

3. вены (venae), несущие кровь из органов и тканей к сердцу. Удаляясь от сердца, артерии разветвляются на мелкие сосуды с более

тонкими стенками (рисунок 1.1.1). Непосредственно от сердца отходит аорта, которая ветвится на артерии, самые маленькие из которых разветвляются на

артериолы (arteriolae) и прекапилляры (precapillares), переходящие в капилляры. Из них кровь собирается в (postcapillares) и далее в венулы (venulae), которые уже соединяются в мелкие вены. Артериолы, прекапилляры, капилляры, посткапилляры, венулы, а также артериоловенулярные анастомозы (anastomoses arteriolovenulares) составляют микроциркуляторное русло, которое обеспечивает обмен веществ между тканями и кровью.

Лимфокапиллярные сосуды (vasa lymphocapillares) также являются частью микроциркуляторного русла, причем их расположение в пространстве непосредственным образом связано с кровеносными капиллярами.

Строение микроциркуляторного русла напрямую связано со свойствами конкретного органа, в чей состав оно входит.

Стенки сосудов, как кровеносных, так и лимфатических, состоят из трех слоев: наружного, среднего и внутреннего [93].

Наружный слой (tunica externa) состоит из коллагеновых волокон и продольных пучков эластических волокон.

Средний слой (tunica média) - это сложная структура, основным образующим элементом которой являются циркулярно расположенные гладкие мышечные клетки. Кроме того в этот слой входят соединительные и эластические элементы. В средней оболочке условно можно выделить отделенные друг от друга эластическими мембранами слои, в которых наблюдается четкая геометрическая организация волокон.

Внутреннюю оболочку сосудов (tunica intima) образует эндотелий, представляющий собой тесно прилегающие друг к другу эндотелиоциты, расположенные на субэндотелиальном слое, являющимся для них камбиальным.

Кровоснабжение кровеносной и лимфатической системы обеспечивают так называемые сосуды сосудов (vasa vasorum) - тонкие вены и артерии, лимфа же поступает по лимфатическим сосудам сосудов (vasa lymphatica vasorum).

В наружных и средних слоях стенок сосудов залегают нервные сплетения, обеспечивающие иннервацию сосудистого русла. Эти сплетения обр